马尔柯夫模型（共7篇）
马尔柯夫模型 篇1
火灾事故预测是对火灾发展变化的一种认识和估计,可以为制定消防工作规划和决策提供有效的参考。由于火灾发生受很多不确定因素的影响,因此表征火灾事故的参数是随机变化的灰数。由于GM(1,1)模型要求原始数据较为平缓,如果原始数据波动较大,可能会引起预测结果的失真。马尔柯夫链预测模型则可以弥补这个缺陷,能较好地适用于随机波动性较大的数列预测,从而使预测结果更精确、更科学。
1 火灾事故灰色马尔柯夫预测模型的建立
1.1 灰色GM(1,1)模型
假设n年火灾事故按照时间排列的原始数据是x(0)={x(0)(k)|k=1,2,3,…,n},利用累加生成法得到新数列x(1),使得新数列每一项与原始数据的相应项之间具有式(1)的关系。
x(1)(k)=undefinedx(0)(i) (1)
生成后的数列x(1)为一阶一个参数的灰色微分方程(见式(2)),记为GM(1,1):
undefined (2)
式中:a和u为待定常数。
式(2)的解为:
undefined (3)
该式也称为时间反应方程,其参数列为:
用最小二乘法求出:
undefined (5)
式中:
Xn=[x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4),L x(0)(n)]T
将求出的参数a和u代入时间响应方程中,可以算出生成数列中的第k项和第k+1项的估计值undefined和undefined。在此基础上,再做累减生成,按式(6)计算原始数据列中的第k+1项的估计值。
undefined (6)
模型中求出a常数称为发展系数,它反映了undefined和undefined的发展态势。u称为灰作用量,它的大小反映数据的变化关系,在系统中相当于作用量。
2.2 马尔柯夫预测模型
2.2.1 状态划分
根据原始数据序列和灰色GM(1,1)模型预测数列,建立状态划分标准,将具有马尔柯夫链特点的非平稳随机序列undefined划分为n个互不相交的状态,任一状态表示为:
Ei=[⨂1i,⨂2i] i=1,2,3,L,n (7)
undefined (8)
式中:⨂1i和⨂2i是随时间变化的灰元,分别表示Ei状态的上界和下界。
2.2.2 构建转移概率矩阵
undefined (9)
状态转移概率矩阵为:
式中:Pij(k)为在原始数据样本空间中,由状态i经过k步转移到j状态的概率;nij(k)为在原始数据样本空间中由状态i经过k步转移到j状态的样本个数;ni表示在原始数据样本空间中,处于i状态的样本个数。
状态转移概率矩阵P(k)描述了系统各状态转移的全部统计规律。在实际运用中,一般只考察一步转移概率矩阵P(1)。设在预测时刻火灾事故处于⨂k状态,则考察状态转移概率矩阵P(k)中的第k行,若
max(Pkj)=Ppl (11)
则可以认为下一时刻系统最有可能由⨂k转向⨂l状态。若遇矩阵P(1)中第k行有两个或两个以上概率相同或相近时,则状态的未来转向难以确定,此时需要考察二步或n步转移概率矩阵P(2)和P(n)(其中n≥3)。
2.2.3 编制预测表
选取离预测年份最近的m个年份,按距离预测年的远近,转移步数分别定为1,2,L,m。在转移步数所对应的转移矩阵中,取起始状态所对应的行向量,即为各状态出现的概率,对各状态的概率求和并归一化,其中概率最大的状态即为系统随机量的预测转向状态。
2.2.4 计算预测值
按概率最大原则确定了系统状态的未来转向后,也就确定了未来时刻火灾事故的状态和变化的灰区间,并且用其均值表示灰色马尔柯夫预测值y(k),即
undefined
3 火灾事故灰色马尔柯夫预测应用实例
以宁夏1997-2007年间的火灾事故统计指标为例,检验了灰色马尔柯夫模型预测精度,并对2008年火灾指标进行了预测。原始火灾数据见表1。受篇幅所限,笔者仅叙述了火灾次数的预测过程,利用同样的方法,还可以对其他统计指标进行预测,其结果见表5。
注:表1中1997-2006年的数据来自于《宁夏回族自治区二OO六年火灾年报》,2007年数据来自于《全国火灾统计管理系统》
3.1 建立GM(1,1)模型并求解
由表1可知1997-2007年宁夏火灾次数的原始数据为x(0),根据式(1)可得累加数列x(1)。
由式(4)、(5),用matlab程序算得:
a=-0.065 796,u=2 260.640 94
由式(3)和(6), 得到:
undefined
将a,u分别代入,得到了1997-2007年宁夏火灾次数的拟合值,见表2。
3.2 状态划分
将各年度实际值除以对应的拟合值(预测值),求出其相对变化率(见表2),然后根据相对变化率将拟合值分为以下4种状态:
E1:undefined;undefined
E2:undefined;undefined
E3:undefined;undefined
E4:undefined;undefined
各个状态具体阀值的大小并无严格的要求,数据量的大小对状态的划分是个关键因素。当数据量较小时,以划分较少的状态为宜,以保证预测的准确性。
3.3 构建转移概率矩阵
由式(10)、(11),计算各步状态的转移概率矩阵。
undefined
undefined
3.4 利用马尔柯夫模型重新拟合火灾次数
利用式(12),对宁夏1997-2007年火灾事故次数值进行拟合,结果如表3所示。从表3中可以看出,利用马尔柯夫模型进行预测后,其结果比GM(1,1)模型误差大大降低。
图1为火灾次数的原始值、GM(1,1)拟合值和灰色马尔柯夫拟合值的曲线图,可以看出用灰色马尔柯夫模型的预测结果,与原始值的吻合情况非常好,说明灰色马尔柯夫模型预测火灾次数的准确率比较高。
GM(1,1)拟合值和灰色马尔柯夫拟合值曲线图
3.5 编制预测表
根据状态转移概率矩阵,选取离预测年份最近的4个年份,按距离预测年份的远近,转移步数分别定为1、2、3、4。在转移步数所对应的转移矩阵中,取起始状态所对应的行向量,得到新的概率矩阵(见表4)。对矩阵求和并归一化处理后可以看出,火灾次数处于E4状态的概率为最大,表示未来拟合值与实际值的残差最大可能处于E4状态,利用式(12)当k=11时,就可以得到宁夏自治区2008年火灾次数的预测值为4 301。
同理,利用灰色马尔柯夫模型对火灾直接经济损失、死亡、受伤人数的拟合值和2008年预测结果见表5。从计算结果看,当数列波动较大时,其拟合值的误差相对较大,但与单纯的灰色模型预测结果比较,这种误差还是处于可接受范围的。
4 结 论
利用灰色马尔柯夫模型研究了火灾事故发展趋势的预测,当原始数据波动很大时,单纯利用灰色模型GM(1,1)可能会磨灭原始数据的随机性,而灰色马尔柯夫模型充分发挥了灰色预测模型和马尔可夫预测模型的优点,不仅可以用较少的信息预测火灾事故的发展趋势,而且还考虑了各种随机因素对系统状态转换规律的影响,充分挖掘历史数据提供的信息,在预测中通过增加原始数据的状态划分个数以及状态转移步数,就可以得到较为精确的预测结果,大大提高提高了预测的精确度和评价的可信度。
需要指出的是,灰色马尔可夫预测结果的准确与否,受火灾事故状态划分的影响很大,目前对于事故状态的划分尚缺乏统一的标准,有待进一步研究。
摘要：灰色马尔可夫模型是将灰色系统理论和马尔可夫链理论相结合建立的预测模型,它不仅充分发挥了灰色预测模型和马尔可夫预测模型的优点,而且有效地解决了灰色预测模型对于随机波动性较大的数列预测精度低的问题。实例计算证明:火灾事故灰色马尔可夫预测模型预测精度高于GM(1,1)模型预测精度,模型可以用于火灾事故预测。
关键词：火灾事故,灰色马尔可夫模型,转移概率
参考文献
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[8]刘志斌,施斌.灰色马尔可夫链在深基坑沉降预测中的应用[J].煤田地质与勘探,2002,30(6):35-37.
马尔柯夫模型 篇2
加权马尔柯夫链在降水预测中的应用研究
在介绍马尔柯夫链预测基本原理和方法后,针对年降水量是相依随机变量的特点,采取以各阶自相关系数为权重,以某水库1965-降水量的统计资料为实例,用马尔柯夫链模型预测了某水库未来年份的`旱涝状态.
作 者：温进化 苏飞 WEN Jin-hua SU Fei 作者单位：浙江省水利河口研究院,浙江,杭州,310020刊 名：浙江水利科技英文刊名：ZHEJIANG HYDROTECHNICS年，卷(期)：“”(6)分类号：P338关键词：马尔柯夫链 降水量 预测
马尔柯夫模型 篇3
土地利用是人类活动对自然环境施加影响的显著表现形式之一, 客观把握土地利用变化的规律, 了解土地利用变化特征, 预测未来土地利用结构的情况, 有助于指导我们合理、高效地利用土地, 为政府决策及土地管理部门制定管理政策和落实各项管理措施及区域可持续发展提供重要决策支持。然而普通的预测方法仅仅预测出了各种土地类型的数量, 不能体现土地利用的动态变化, 对土地的政策制定无法做出具体的相关措施。而土地利用的动态演变具有马尔柯夫过程的性质:1) 在一定区域内, 不同土地利用类型之间具有相互转化的特性;2) 土地利用类型之间的相互转化过程包含着较多尚难用函数关系准确描述的事件。
2利用马尔柯夫进行预测的数学模型
马尔柯夫 (Markov) 是一种事物的随机发展过程, 该方法基于一种独立的统计假设, 只要事物的现在状态已知, 利用一步转移概率便可以预测将来。它具有“无后效性”的特殊随机过程, 即某随机过程在t+1时刻的状态只有与t时刻的状态有关, 而与以前各时刻的状态无关的性质;一种状态出现的概率只与历史上出现的一种状态有关, 而与其他状态独立无关。在土地利用类型之间相互转换的面积数量或比例即为状态转移概率, 可以利用如下公式对土地利用变化进行预测。
系统初始概率向量:
其中, 向量元素S
系统的转移概率矩阵:
其中, Pij为从状态i转移到j的概率。
第k步系统的概率向量:
其中, S (0) 为初始概率向量;P (k) 为高阶转移概率矩阵。
3湘潭市土地利用变化预测
3.1 数据处理
本文在ArcGIS处理过程中所使用的数据来源于中国资源环境数据库, 是根据陆地卫星 (LandSat TM/ETM) 1989年/1990年, 1995年/1996年与1999年/2000年 (简称为1990年, 1995年与2000年) 进行目视解译形成的1∶100 000土地利用数据。对1990年和1995年两期矢量数据进行叠加, 地类归并, 提取属性表的面积转化状况及增减情况变化见表1, 表2。
km2
3.2预测
1) 初始状态向量。
无论系统的出发点在哪里, 必须获得该出发点, 因为只有同时获得出发点时刻的系统状态和在一定步长下的下一步转移矩阵, 才能够对该过程进行马尔柯夫分析。马尔柯夫的转移步长可以是一步, 也可以是多步。这里以5年为一步长。
其中, 向量的各元素分别为耕地、林地、草地、水域、城镇用地等各类土地利用类型占总面积的比例。
2) 转移概率矩阵。
利用Matlab计算出一阶、二阶转移概率矩阵, 以及其他高阶转移概率矩阵。由初始概率向量和各高阶转移概率矩阵, 可以分别计算出在经过各步运算后系统的概率向量, 即相应年份各土地
参考文献
[1]全斌, 朱鹤健, 晏路明, 等.厦门岛土地利用变化趋势预测[J].资源科学, 2004, 26 (5) :97-104.
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马尔柯夫模型 篇4
关键词：GM(1,1)模型,灰色马尔柯夫,逆向物流量,预测
1 问题的提出
随着经济全球化、网络经济和电子商务的迅速发展,逆向物流已逐渐成为企业竞争的最前沿。为了获得竞争优势以及满足可持续发展的要求,企业必须将逆向物流纳入企业战略管理的高度上,提高企业的声誉和利润。
然而相对于正向物流,逆向物流在数量、时间和质量等方面存在着高度的复杂性和不确定性[1]。这些不确定性的存在,对逆向物流的预测难度以及预测精确性提出了严峻的挑战。
在灰色系统领域,GM(1,1)模型被广泛应用于不确定问题的预测,并且预测效果很好。在一些特定问题中,GM(1,1)仍然是决策者乐于选择的预测模型。传统的GM(1,1)模型主要是用于时间短、数据少、波动小、具有长期趋势的预测对象,对随机性波动较大的序列进行预测,其预测精度不理想,拟合度较差[2]。马尔柯夫预测是通过反映各种随机因素的影响程度以及各状态之间的转移的内在规律性来预测系统的未来发展方向[3]。适用于随机波动性较大的序列的预测,正好弥补了GM(1,1)模型预测的缺陷。
综上所述,对逆向物流量的预测采取灰色预测和马尔柯夫预测两种方法结合,取长补短,用灰色预测模型来揭示长期发展的某种总趋势,而用马尔柯夫模型来确定状态之间的转移关系,建立灰色—马尔柯夫预测模型对逆向物流量进行预测具有重要的理论与现实意义。
2 模型的建立
2.1 灰色预测模型建立
(2)级比检验、可行性分析
满足惯性要求,是利用传统GM(1,1)模型的最主要的条件,要求用于预测的数据序列必须在级比范围内,否则精度没有保证。即(n为原始序列数据的数目)。
对逆向物流而言,是基于反应的,它通常不是公司计划或决策的结果,而是对消费者行为或下游成员行为的反应,所以逆向物流量主要随时间而变化,呈现波浪式变化曲线,具有非稳定、波动大的特点[4]。这些波动性的存在,在运用GM(1,1)时可能产生病态性。所以必须根据原始序列的分布特点,通过级比检验,判定是否适合GM(1,1)建模。
(3)数据变换
对不符合惯性要求序列寻求合适的数据变换,保证处理后能够进行GM(1,1)建模。常用的数据变化有平移变化
(4)GM(1,1)模型建立及求解
2.2 马尔柯夫预测模型建立
马尔柯夫预测是根据初始的状态概率向量和状态概率矩阵来推测某一变量未来某一定时期所处状态的一种方法,其理论基础是马尔柯夫过程,其描述的是一个随机时间序列的动态变化过程。
(1)状态划分
根据马尔柯夫链将数据划分为多个不同的状态,用E1,E2,…,Em来表示,一般通过实测值和预测值之间的相互关系进行状态划分,划分依据可以根据实际情况而定。例如文献[5]采取实测序列和预测序列的残差相对值序列的均值和方差的方法划分5个状态空间。文献[6]采用实测序列和预测序列的相对值进行划分,而在文献[7]人为将股票价格的波动划分为上升、持平、下降等三个状态。文献[8]运用上下边界线和上下极限线对序列划分为4个区间。
(2)状态转移概率矩阵
(3)计算预测值
确定了预测对象未来状态转移方向,也就确定了预测值的变动区间,E1L,E2L-,一般用区间的中位数来进行模拟或预测。
2.3 灰色—马尔柯夫预测模型的建立及求解步骤
(1)灰色预测模型建立及求解
根据2.1GM(1,1)模型建立及求解步骤,求解出预测曲线
(2)状态划分
式中A——落入预测曲线以上的实测值与预测值相对值的均值
B——落入预测曲线以下的实测值与预测值相对值的均值
C———测值与预测值差值的最大值
D——预测值与实测值差值的最大值
(3)状态转移概率矩阵
计算并确定状态转移概率矩阵。
(4)编制预测表[5]
选取离预测点最近的S个月份,按照预测时间的远近,转移步数分别定为1,2,…,S,在转移步数对应的转移矩阵中,取其初始状态所对应的行向量,从而组成新的概率矩阵,对新的概率矩阵将其向量求和,其和最大的转移步数所对应的状态即为系统的未来转向状态。
(5)计算预测值
3 实证分析
本文以2005年某汽车零部件企业起动机产品逆向物流(三包退回)为例,进行相应的模拟和预测。具体数据如表1所示:
(1)级比检验、建模可行性分析
(2)数据处理
(3)数据模拟
(4)状态划分
(5)状态转移概率
(6)模拟值的修正
依据原始数据所处状态对预测值进行修正,所得结果如表2所示:
(7)编制状态预测表
依据2.3中编制状态预测表的方法,编制如表3所示2006年1月起动机产品逆向物流(三包退回)量的状态预测。
(8)预测
从表中可以看出,2006年1月逆向物流量最大可能出现在E3状态,即通过计算可得2006年1月相应的物流量为1 450台,而实际数据为1 572台,相对误差7.8%。
2006年其它月份的预测,可以采取定长原始序列,即在序列中增加最近一月的实际值,删减最远时间的实际值,按照上述方法进行动态预测。
(9)误差分析
从表中可以看出,运用数据变化处理的GM(1,1)模型和马尔柯夫预测模型的结合平均相对误差(0.34%)比单纯运用数据变换处理GM(1,1)模型(-9.03%)以及传统GM(1,1)模型(-17.87%)小的多,预测精度较高。
4 结论
本文首先通过对原始具有较大波动的原始序列进行级比、可行性判定,对不能满足惯性要求的序列,寻求数据变换处理,建立灰色—马尔柯夫模型进行预测,预测精度相对较高,可以用于企业对逆向物流量的预测。
参考文献
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马尔柯夫模型 篇5
对于预测问题,首先想到的是运用灰色预测。但由于传统GM(1,1)模型本身所特有的遐思,使其仅对短期预测和原始数据序列呈指数规律变化且变化速度较慢的情况有较好的效果。无偏灰色预测模型避免了传统灰色预测模型本身所固有的同实际值的偏离,实质只是一种无偏的指数模型,模型准确度与传统GM(1,1)模型相比有所提高。但无论是哪一种GM(1,1)模型,其预测的图形都为一条比较平滑的曲线,用于预测随机波动性较大的数据序列时,预测结果就会起伏不定,影响预测准确度。
马尔柯夫链理论适合对随机波动大的动态过程进行研究,在这一点上恰好可以弥补灰色预测的不足。马氏链预测对象需要具有马氏链和平稳过程等均值的特点,而现实世界中的大量预测问题属于随时间发展呈现某种非平稳变化趋势的过程。如果使用灰色模型拟合预测问题的时序数据,发现其变化规律,就能够弥补马氏链预测中存在的缺陷,而在灰色预测的基础上进行马尔柯夫预测,又可提高灰色预测对随机波动大的数据序列的预测准确度。灰色马尔柯夫预测模型以GM(1,1)模型对系统的发展变化特点进行拟合,并在此基础之上进行马尔柯夫预测,这样既能够互取二者长处,又弥补了两者的不足,比之于传统灰色GM(1,1)预测模型,虽然大大降低了预测的相对误差,但仍然无法克服随着时间的推移预测准确度越来越低的问题,即它仅保证了对短期预测的准确度。
新维无偏灰色马尔柯夫预测模型的问世,成功解决了随机波动性大的动态过程中长期预测问题。根据新信息更有价值的思想,利用灰色马尔柯夫预测的最新数据不断更新原始时序数据,应用于自贡旅游产业2009-2020年旅游需求人次的预测,不但保持了短期预测准确度高的优势,而且提高了中、长期预测的准确度。
1 新维无偏灰色马尔柯夫预测模型
在任何一个灰色系统的发展进程中,越向未来发展会有越多的随机扰动或驱动因素进入系统,相继影响系统的发展。无偏灰色马尔柯夫预测模型同样如此,准确度高的只是原点数据以后的几个数据。所以,在实际应用中,必须不断地将那些随着时间发展相继进人系统的影响因素考虑进去,淡化历史数据,随时往X(0)中加入进人系统的新信息,建立新信息模型,使中长期预测的准确度得到提高。
等维新信息处理是指将GM(1,1)模型预测的一个值补充到己知数列并同时去掉最老的一个数据,使数列维数保持不变,接着建立GM(1,1)模型,将预测结果补充到原数列之后,再去掉最老的一个数据。这样新陈代谢,逐个预测,依次递补,直到完成预测目标或达到一定精度要求为止。
建立新维无偏灰色马尔科夫预测模型的步骤是:
Step1:原始数据序列
Step2:对X(0)作一次累加生成模块X(1);
Step3:确定数据矩阵B、Y,求参数a和u
Step4:令求生成数据序列模型;
Step5:设第k期无偏马尔科夫预测值为,以为中心将系统分为m个状态;
Step6:计算一步状态矩阵(nij)m×n,i,j=1,2,…,m;
Step7:计算一步状态转移矩阵(Mij)m×n;
Step8:判断需要预测数据所处的状态Q1,i=1,2,…m;
Step9:计算数据的预测值;
Step10:更新数据序列X(0),
Step11:返回步骤2,重复步骤2到步骤10,直到计算完所需预测数据的预测值为止。
2 自贡旅游人数预测(见表1)
2.1 无偏灰色预测模型是以指数变化趋势的函数对原始数据进行拟合,如果以每年旅游人数作为原始序列,则在未来将会出现人数增长过快,从而与真实值产生严重误差,故以每年的旅游人次增长率作为原始序列,则:
2.2 作一次累加生成的序列:
2.3 确定数据矩阵B,Yn:
2.4 用最小二乘估计计算一阶线性微分程的待估参数和..
2.5 作一次累加生成的序列
利用上式可求得用传统模GM(1,1)型参数,表示的b和A的估计值为:
2.6 建立原始数据序列模型:
2.7 划分状态
根据历年旅游人数增长率的数据,并为了更方便的计算,划分成如下四个状态。
上式中为K时候按模型求得的旅游人数增长率预测值,为历年旅游人数增长率的年平均值。
将原始数据,模型预测曲线和划分的4个状态表示成图1,据图1可以看出上述状态划分成了四个与模型预测曲线上下对称且平行的条形区域。
2.8 计算状态转移概率:
由图可知落入◎1,◎2,◎3,◎4状态的原始数据样本点数分别为M1=3,M2=3,M3=6,M4=2,由状态◎1一步转移到状态◎1,◎2,◎3,◎4的原始数据样本数分别为MII(1)=1,M12(1)=0,M13(1)=1,Mn(1)=1。同样可计算Mij(1)(i=2,3,4;j=1,2,3,4)的值,则可计算各状态间的一步转移概率Pij(i=2,3,4;j=1,2,3,4)并构建状态转移概率矩阵:
由该矩阵可预测自贡每年旅游人数增长率的未来转移状态,由于2008年处于◎2状态,则考察矩阵第二行,maxP2=P22,因此预测2009年旅游人数增长率最有可能处于◎2状态。
2.9 确定的变动区间和预测值:
考察一步转移概率矩阵R(1)可知2009年旅游人数增长率最有可能处于状态,即旅游人数增长率最可能在灰区间[-2,13 18.42]之间,则
用同样方法即可得2009年至2020年的旅游人数增长率,在以2008年的自贡旅游人数为基数,进行累乘,即可得2009年至2020年的旅游人数(万人)。(见表2,图2)
3 结果分析
利用无偏灰色马尔科夫模型对自贡2009-2020年旅游人数进行预测并做对比分析,可得表3。
由表3中数据可知,由于无偏灰色马尔科夫模型以旅游人口和旅游收入作为原始数据,以指数函数,作为拟合函数,在2020年时,预测旅游人口达到7567.5万人,严重脱离实际情况。
在新维无偏灰色马尔科夫模型中,我们以年同比旅游增长率作为原始数据,同时进行马尔柯夫链改进,以曲线为基准,将X(0)划分成与曲线平行的S个条形区域Q1,Q2,…,Qn,计算状态概率转移矩阵R(m),通过考察R(m),则可对系统未来状态的转向进行预测,增加了预测的准确性。在2020年时,预测旅游人口达到1763.4万人。
4 结论
新维无偏灰色马尔柯夫链预测模型将灰色预测和马尔柯夫链有机结合起来,运用该模型预测自贡旅游产业2009-2020年旅游需求人次,避免了自然环境、社会经济条件、政策导向等因素,同时采用等维新息方法处理原始数据,使中长期的预测精度得到了提高,具有较大的科学性和实用性。
该模型对有波动性的中长期预测精度较高,对股票走势、能源消费、建设用地等都能取得良好的预测效果。
参考文献
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马尔柯夫链在经济预测中的应用 篇6
一、马尔柯夫预测法原理简介
马尔柯夫(A.A.Markov)预测法是应用概率论中马尔柯夫链的理论和方法来研究随机事件变化并借此分析预测未来变化趋势的一种方法。根据马尔柯夫的两个重要特性(无后效性和吸收性)可以进行动态的诸如状态预测、市场占有率和期望利润预测。关于马尔柯夫预测法具体参考文献。
二、马尔柯夫预测步骤
马尔柯夫链模型分析步骤:第一，分析预测对象可能有几种状态存在，进行状态划分并计算初始状态的概率。若以Si表示预测对象在基期呈现第i种状态的初始概率(i=1, 2, …，N;N为系统可能存在的相互独立的状态数)，则相应的初始状态概率向量为。
第二, 采用一定的方法, 确定一步转移概率矩阵。在预测实践中, 通常可按以下两种方法确定一步转移概率:一是主观估计法, 即将专家根据自己的知识和经验对系统状态间相互转移可能性大小的主观估计值, 作为一步转移概率;二是统计估计法, 即根据历史统计资料或市场调查资料计算的有关频率作为一步转移概率。若以Pij表示预测对象由第t时刻状态i转向第t+1时刻状态j的一步转移概率 (i, j=1, 2, …, N) , 则一步转移概率矩阵为:
第三步，进行预测。若预测对象的状态转移具有无后效性特征，且初始状态已知和一步转移概率矩阵不变，经过k次转移以后，对象处于状态i的概率为，则可以利用如下公式进行预测和计算稳态概率。马尔柯夫预测模型为:稳态概率模型为：
在市场占有率预测中，稳态概率为市场竞争达到均衡状态的终级市场占有率。
三、应用研究
解 (1) 在这里初始从本月开始下个月的市场占有率：第二个月份的市场率：
(2) 终极市场占有率的计算：
首先判断概率矩阵P是否为标准概率矩阵，显然是根据标准概率矩阵的性质，必然存在非零行向量，使得，此时所得到的即为P的平衡向量，也就是终极市场占有率。
于是有
可得到线性方程组
解这个线性方程组得:=0.5，=0.25，=0.25
所以三家企业生产同种商品的终极市场占有率分别为:0.5, 0.25, 0.25
解:状态转移概率矩阵:
状态转移利润概率:
(1) 即时期望利润:
代入数据
结果表明当本月处于畅销时，下个月可期望获利4。当本月处于滞销时，下个月有可能亏损2。
当n=3时，有
代入数据可得：
结果表明当本月处于畅想时，预计3个月后可以期望获利5.7。当本月滞销时，3个月后可能亏损0.96。
马尔柯夫链预测法具有广泛的应用，它不但可以应用于企业经营利润的预测，而且亦适用于市场占有率的预测。在企业的经营管理中，除了需要摸清销路的变化情况外，还要对利润的变化进行预测，马尔柯夫链预测法能实现这一目的。
摘要：对于经济方面的预测方法很多, 本文利用马尔柯夫链理论对经济做出预测, 以期得到良好效果。
关键词：马尔柯夫链,转移矩阵,转移概率,无后效性
参考文献
马尔柯夫模型 篇7
随着信息技术的发展，计算机以其卓越的性能在科学技术、国民经济和社会生活各个领域得到广泛的应用。20世纪70年代，在管理信息系统（Management Information Systems,MIS）基础上出现了决策支持系统（Decision Support Systems,DSS）,DSS是以计算机为主要手段,综合了管理科学与工程、计算机科学、统计学和运筹学等多学科理论和方法，以支持决策过程为目标的信息处理系统。MIS和DSS的产生与发展使计算机应用从工程技术、自然科学等领域向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交通等领域渗透。
DSS是面向组织的管理层，侧重于应用模型化的数量分析方法，通过对组织内部、外部数据的分析，挖掘信息内在的规律和特征，以易于理解和使用的方式为管理层提供决策信息。但是，由于管理决策问题的复杂型，现有决策系统大多是面向某类决策问题，如经济分析、人口分析、流量分析等，在实际的管理应用中，DSS只能以某种形式“嵌入”到已建立的信息系统中。基于此，本文给出了基于马尔柯夫分析模型的计算机预测和决策应用，利用Excel2007提供的线性规划功能，简化了手工预测中的大量烦琐计算，提高了预测工作的效率和数据的准确性，具有一定的应用价值。
1 马尔柯夫分析的基本原理
1.1 马尔柯夫分析的定义
马尔柯夫分析是以俄国数学家A.马尔柯夫（A.Markov）命名的一种预测模型。早在1907年，马尔柯夫经多次试验研究发现：在某些随机事件的转移过程中，第n次试验结果取决于第n-1次试验结果，而与更早的试验结果无关。对于由一种情况转换至另一种情况的过程若具有转换概率，而且此转换概率又可以依据其前项情况推算出来，这种过程称为马尔柯夫过程，一连串的此种转换过程称为马尔柯夫链。对马尔柯夫过程或马尔柯夫链进行分析，观察和预测该过程或链未来变化趋势的工作称为马尔柯夫分析。马尔柯夫分析作为预测技术广泛应用于各个领域，如产品销售状态、市场占有率、设备更新成本、交通运输流量、最佳服务地点选择、人口分布和人才拥有量预测等等。
1.2 马尔柯夫分析的数学原理
定义1：任意向量U=（ui），若各元素都为非负数，且元素总和为1，则此向量U称为概率向量。
定义2：任意矩阵P=（pij），若各行均为概率向量，则此方阵称为概率矩阵。
1.3 马尔柯夫分析过程
马尔柯夫分析过程是一概率过程，其转移概率就是过去若干个状态下的概率向量。假定研究系统S有互不相容的n个状态，每隔一定时间状态变更一次，如果在ti时刻系统处于状态Ai(i=1,2,3，…，n），在下一时刻ti+1呈现出状态Aj(j=1,2,3，…，n）的概率只与ti时刻有关，而与ti以前的状态无关，利用条件概率可记为：
Pij(i,j=1,2,3，…，n）称为系统S的马尔柯夫链转移概率，由转移概率Pij构成的矩阵称为系统S的状态转移矩阵，也叫做马尔柯夫链的转移矩阵,即:
基于马尔柯夫分析的预测就是利用转移矩阵对系统发展趋势进行分析的过程。
2 马尔柯夫预测的基本步骤
Step 1：划分预测对象基本状态。从预测目标出发，根据过去出现的基本状态，通过定性与定量分析，确定未来可能出现的状态。
Step 2：计算初始概率。分析历史数据，确定预测对象初始状态的概率向量S0。
S(0）=[S1(0）,S2(0），…，Sn(0）]（n为系统可能存在相互独立的状态数）（3)
Step 3：确定一步状态转移概率矩阵。根据收集数据，采取统计估算或主观估计法，计算状态转移概率，将所有的状态转移概率依次排列起来，确定一步状态转移概率矩阵P，如（2）式。
Step 4：预测k次转移后的状态。根据马尔柯夫链具有无后效性特征，经k次转移后，对象处于状态i的概率为S(k），由S(k）=S(k-1）·P，递推可得S(k）=S(0）·P(k）(4)
Step 5:预测稳定状态。根据马尔柯夫链具有遍历性特征,系统状态经历多步转移后将逐渐达到稳定状态,且与初始状态无关,即得稳态概率模型为:
3 马尔柯夫预测法在市场占有率预测中的应用
市场占有率又称市场份额（Market Shares），是指一个企业的销售量（或销售额）在市场同类产品中所占的比重，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标。在市场经济条件下，竞争日趋激烈，了解市场动态、掌握商品的市场占有率，对企业发展有着至关重要作用。
例：有A、B、C三家公司同时向市场投入一种轮胎，假设三家公司初期市场占有份额相等。但在第二年中，市场份额发生了如下变化：A公司保持其客户的80%，5%客户流失到B公司，15%客户流失到C公司；B公司保持其客户的90%，10%客户流失到A公司；C公司保持其客户的60%，20%客户流失到A公司，20%客户流失到B公司。
预测三家公司未来一年及市场达到稳定状态时的市场占有率。
3.1 建立数学模型
根据题意，系统中研究的客户状态可划分为保持、流失和争取3种。三家公司初期市场占有率（即预测对象初始状态的概率向量）S1=[1/3,1/3,1/3]，三家公司客户转移情况见表1。
由表1可知，表中每行表明各公司保留客户和流失客户的百分比，表中每列表明各公司保留客户和争取客户的百分比，由此得到
根据（4）式，第二年各公司市场占有率是：
如果客户流动按照这个趋势不变，经过若干年，各公司市场占有率趋于稳定，与期初市场占有率无关，根据（5）式，达到稳定状态
3.2 应用计算机预测
Excel 2007中的“规划求解”命令可以用来解决线性规划与非线性规划优化问题，借助“规划求解”命令可实现基于马尔柯夫分析模型的预测计算。
3.2.1 加载“规划求解”命令
在Excel 2007窗口中，单击【开始】→【Excel选项】按钮，打开【Excel选项】对话框，选择【加载项】选项卡，从【管理】列表中选择“excel加载项”，单击【转到】按钮，打开【规划求解】对话框，选中“规划求解加载项”，单击【确定】按钮，则在窗口【数据】选项卡【分析】组中加载了【规划求解】命令。
3.2.2 数学模型的计算机转换和计算
(1)预测一次转移状态市场占有率。启动Excel2007，建立“市场占有率预测”表；根据（6）式，将状态将转移矩阵中的各元素置于B4:D6区域，初期市场占有率S1置于E4:E6区域，在E7单元格输入“=SUM(E4:E6)”，结果为“1”，如图1所示。
应用SUMPRODUCT函数求解一步转移矩阵向量，预测第二年市场占有率。在B7-D7单元格依次输入：
第二年市场占有率的预测结果：S2=[36.7%，38.3%，25.0%]，如图2所示。
(2)预测稳定状态市场占有率。在图2基础上，重新输入E2和A7单元格内容，清除E4:E6区域数据，建立“稳态市场占有率”表，如图3所示。
应用“规划求解”命令预测稳定状态市场占有率。选择【数据】选项卡，单击【数据】→【规划求解】命令，打开【规划求解参数】对话框，进行参数设置，如图4所示。
设置目标单元格为E7,选定“值”,输入值为“1”;
设置可变单元格为E4:E6;
设置约束为﹩B﹩7=﹩E﹩4、﹩C﹩7=﹩E﹩5、﹩D﹩7=﹩E﹩6;
单击【选项】按钮，打开【规划求解选项】对话框，选中“采用线性模型”和“假定非负”复选框，其它默认；
在【规划求解参数】对话框中，单击【求解】按钮，得到稳定状态市场占有率:St=[38.1%,47.6%,14.3%],如图5所示。
求解结束后,打开【规划求解结果】对话框,如图6所示。选中“保存规划求解结果”单选按钮,选择“运算结果报告”,单击【保存方案】按钮,运算结果报告将以工作表形式保存在同一文件中,见表2。
3.3结果分析
基于马尔柯夫分析模型进行市场占有率的预测解决了两个问题,一是预测某一特定时期的市场占有率,二是预测最终占有率,其最终目的是为经营决策提供依据。以C公司为例,当市场趋于稳定时,其仅占市场份额的14.3%。因此,C公司为了争取市场可以采取两种策略:一是保留策略,二是争取策略。
保留策略就是通过提高产品质量、提供良好售后服务等措施尽力保留原有客户,减少客户流失。若C公司流失到A、B公司的客户各减少10%,通过预测可得C公司稳态市场占有率为25%,提高了9.7%,如图7所示。争取策略就是通过加大宣传、降低价格等措施积极争取其他公司客户。若C公司能从A、B公司争取到的客户在原有基础上提高10%,通过预测C公司稳态市场占有率为29.7%,提高了15.6%,如图8所示。
由上可知，采取争取措施的稳态市场占有率略高保留策略，在实际决策中采取哪种策略还要综合考虑成本等因素，也可综合运用两种策略。
4 结论
利用Excel 2007中的SUMPRODUCT函数和“规划求解”命令可以解决基于马尔柯夫模型预测的计算问题，本文设计的表格简便通用，提高了基于马尔柯夫模型预测的计算精度和效率。在实际应用中，本文设计的表格除了可以在预测过程中使用外，在决策分析过程中，通过修改表格中的参数，即可提供决策参考信息，也可通过增加参数项解决马尔柯夫分析模型在其他领域中预测和决策的计算问题。
摘要：从DSS应用现状出发,介绍了马尔柯夫分析的定义和数学原理,阐述了马尔柯夫分析的过程和预测的基本步骤,利用Excel设计了进行市场占有率预测的应用模型,并进行了仿真预测和决策分析。测试表明,应用模型简便通用,操作方便,提高了预测的计算精度和效率。
关键词：马尔柯夫,预测,概率,转移矩阵,市场占有率
参考文献
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