抛物线理论

2024-07-03

抛物线理论（精选7篇）

抛物线理论篇1

在起重机械、液压顶升平桥、架空索道、桅杆结构等工程设计领域,钢丝绳的计算十分关键。目前,钢丝绳的静力计算有两种方法:悬链线理论法和抛物线理论法。一般认为采用悬链线理论计算,才能获得钢丝绳有关量的精确值。但悬链线函数是超越函数,在计算方面不如代数函数方便,因此在实际应用中又用抛物线理论取而代之,而且在一般情况下用抛物线理论计算的结果也可达到工程要求的精度。但对于这一取代所能达到的适用精度,却没有进行系统的分析论证,从而无法指明在什么样的条件下,它能达到什么样的精度,而这恰恰是钢丝绳选用和计算中十分重要的问题。本文就上述问题进行了深入讨论。

1 两种理论曲线方程的相互关系

假定两种理论中,弦向单位均布载荷q、弦向拉力S和弦长l均相同,设钢丝绳均布载荷与弦向张力之比为参数ε,即ε=ql/S。

钢丝绳抛物线理论的曲线方程为

钢丝绳悬链线理论的曲线方程为

将(2)式中的和分别按级数展开得

忽略Q1和Q2,取各级数的前两项并化简得

可见,抛物线方程是将悬链线方程按级数展开取前两项得到的。

2 两种计算理论的相对误差分析

2.1 最大挠度误差分析

由得,时挠度最大

同理

两种模型的最大挠度比为

因此两种模型计算的最大挠度误差为

误差比较结果见图1与表1。

2.2 钢丝绳工作长度误差分析

两种模型计算的钢丝绳工作长度由(1)和(2)式经推导分别为

因此两种模型计算的工作长度误差为

误差分析结果见图2和表1。

2.3 最大轴向张力误差分析

钢丝绳抛物线模型的最大轴向张力计算,从(1)式推导,得

同理

因此两种模型计算的最大轴向力误差为

误差比较结果见图3和表1。

3 结论

1)抛物线计算理论和悬链线计算理论的误差大小决定于参数ε值。

2)在ε≤0.6时,可以认为两种理论模型均可满足工程的精度要求,采用抛物线理论模型计算更加方便。在ε>0.6时,为保证工程的计算精度,最好采用悬链线理论。

参考文献

[1]沈士钊,徐崇宝,赵臣.悬索结构设计[M].中国建筑工业出版社,1996.

[2]俞载道,王肇民.无线电塔桅钢结构[M].北京:科技卫生出版社,1958.

[3]王肇民.桅杆结构[M].北京:科学出版社,2001.

[4]杨文柱.重型设备吊装工艺与计算[M].北京:中国建筑工业出版社,1984.

[5]冯优达.高空作业平台远距离柔性附着静力学研究[D].辽宁:东北大学,2009.

浅析抛物线与几何问题篇2

例1:如图, 二次函数y=ax2+bx+c的图像交x轴于A (-1, 0) , B (2, 0) , 交y轴于C (0, -2) , 过A, C作直线.

(1) 求二次函数的解析式;

(2) 点P在x轴正半轴上, 且PA=PC, 求OP的长;

(3) 点M在二次函数图像上, 以M为圆心的圆与直线AC相切, 切点为H.

(1) 若M在y轴右侧, 且△CHM∽△AOC (点C与点A对应) , 求点M的坐标;

(2) 若⊙M的半径为求点M的坐标.

考查知识点:二次函数综合题, 待定系数法, 曲线上点的坐标与方程的关系, 勾股定理, 平行的判定和性质, 相似三角形的判定和性质, 解一元二次方程.

分析:

(1) 先根据与x轴的两个交点A、B的坐标, 设出交点式解析式, 然后把点C的坐标代入计算求出a的值, 即可得到二次函数解析式.

(2) 设OP=x, 然后表示出PC、PA的长度, 在Rt△POC中, 利用勾股定理列式, 然后解方程即可.

(3) (1) 根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO, 然后分 (I) 点H在点C下方时, 利用同位角相等, 两直线平行判定CM∥x轴, 从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同, 都是-2, 代入抛物线解析式计算即可; (II) 点H在点C上方时, 根据 (2) 的结论, 点M为直线PC与抛物线的另一交点, 求出直线PC的解析式, 与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标.

(2) 在x轴上取一点D, 过点D作DE⊥AC于点E, 可以证明△AED和△AOC相似, 根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度, 然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度, 从而得到点D的坐标, 再作直线DM∥AC, 然后求出直线DM的解析式, 与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标.

例2:在平面直角坐标系xOy中, 点P是抛物线:y=x2上的动点 (点在第一象限内) .连接OP, 过点0作OP的垂线交抛物线于另一点Q.连接PQ, 交y轴于点M.作PA丄x轴于点A, QB丄x轴于点B.设点P的横坐标为m.

(1) 如图1, 当m=时,

(1) 求线段OP的长和tan∠POM的值;

(2) 在y轴上找一点C, 使△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形, 求点C的坐标.

(2) 如图2, 连接AM、BM, 分别与OP、OQ相交于点D、E,

(1) 用含m的代数式表示点Q的坐标;

(2) 求证:四边形ODME是矩形.

考查知识点:二次函数综合题, 待定系数法, 曲线上点的坐标与方程的关系, 勾股定理, 平行的判定和性质, 锐角三角函数定义, 等腰三角形的性质, 相似三角形的判定和性质, 矩形的判定.

分析: (1) (1) 已知m的值, 代入抛物线的解析式中可求出点P的坐标;由此确定PA、OA的长, 通过解直角三角形易得出结论.

(2) 题目要求△OCQ是以OQ为腰的等腰三角形, 所以分QO=OC、QC=QO两种情况判断:

QO=QC时, Q在线段OC的垂直平分线上, Q、O的纵坐标已知, C点坐标即可确定;QO=OC时, 先求出OQ的长, 那么C点坐标可确定.

(2) (1) 由∠QOP=90°, 易求得△QBO∽△MOA, 通过相关的比例线段表示出点Q的坐标.

(2) 在四边形ODME中, 已知一个直角, 只需判定该四边形是平行四边形即可, 那么可通过证明两组对边平行得证.

例3:如图, 已知菱形ABCD的边长为, 点A在x轴负半轴上, 点B在坐标原点.点D的坐标为抛物线y=ax2+b (a≠0) 经过AB、CD两边的中点.

(1) 求这条抛物线的函数解析式;

(2) 将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移 (如图2) , 过点B作BE⊥CD于点E, 交抛物线于点F, 连接DF、AF.设菱形ABCD平移的时间为t秒 (0

(1) 是否存在这样的t, 使△ADF与△DEF相似?若存在, 求出t的值;若不存在, 请说明理由.

(2) 连接FC, 以点F为旋转中心, 将△FEC按顺时针方向旋转180°, 得△FE′C′, 当△FE′C′落在x轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中 (包括边界) 时, 求t的取值范围. (写出答案即可)

考查知识点:二次函数综合题, 曲线上点的坐标与方程的关系, 菱形的性质, 平移的性质, 勾股定理, 锐角三角函数定义, 特殊角的三角函数值, 平行的性质, 相似三角形的判定, 解方程和不等式.

分析:

(1) 根据已知条件求出AB和CD的中点坐标, 然后利用待定系数法求该二次函数的解析式.

(2) (1) 如图2所示, △ADF与△DEF相似, 包括三种情况, 需要分类讨论:

(I) 若∠ADF=90°时, △ADF∽△DEF, 求此时t的值.

(II) 若∠ADF=90°时, △DEF∽△FBA, 利用相似三角形的对应边成比例可以求得相应的t的值.

(III) ∠DAF≠90°, 此时t不存在.

(2) 画出旋转后的图形, 认真分析满足题意要求时, 需要具备什么样的限制条件, 然后根据限制条件列出不等式, 求出t的取值范围:

如图3所示, 依题意作出旋转后的三角形△FE′C′, 过C′作MN⊥x轴, 分别交抛物线、x轴于点M、点N.

观察图形可知, 欲使△FE′C′落在指定区域内, 必须满足:

EE′≤BE且MN≥C′N.

例4:如图, Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上, O为坐标原点, A、B两点的坐标分别为 (-3, 0) 、 (0, 4) , 抛物线y=32x2+bx+c经过点B, 且顶点在直线x=25上.

(1) 求抛物线对应的函数关系式;

(2) 若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE, 点A、B、O的对应点分别是D、C、E, 当四边形ABCD是菱形时, 试判断点C和点D是否在该抛物线上, 并说明理由;

(3) 在 (2) 的条件下, 连接BD, 已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小, 求出P点的坐标;

(4) 在 (2) 、 (3) 的条件下, 若点M是线段OB上的一个动点 (点M与点O、B不重合) , 过点M作∥BD交x轴于点N, 连接PM、PN, 设OM的长为t, △PMN的面积为S, 求S和t的函数关系式, 并写出自变量t的取值范围, S是否存在最大值?若存在, 求出最大值和此时M点的坐标;若不存在, 说明理由.

考查知识点:二次函数综合题, 待定系数法, 曲线上点的坐标与方程的关系, 二次函数的性质, 菱形的性质, 相似三角形的判定和性质.

分析: (1) 根据抛物线y=32x2+bx+c经过点B (0, 4) , 以及顶点在直线x=25上, 求出b, c即可.

(2) 根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是 (5, 4) 、 (2, 0) , 利用图像上点的性质求出x=5或2时, y的值即可.

(3) 首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b, 求出解析式, 当x=25时, 求出y即可.

(4) 利用MN∥BD, 得出△OMN∽△OBD, 进而得出得到ON=2t, 从而表示出△PMN的面积, 利用二次函数最值求出即可.

例5:如图, 在平面直角坐标系中, 直线分别与两坐标轴交于B, A两点, C为该直线上的一动点, 以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动, 作等边△CDE, 点D和点E都在x轴上, 以点C为顶点的抛物线y=a (x-m) 2+n经过点E.⊙M与x轴、直线AB都相切, 其半径为

(1) 求点A的坐标和∠ABO的度数;

(2) 当点C与点A重合时, 求a的值;

(3) 点C移动多少秒时, 等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切?

考查知识点:动点问题, 二次函数综合题, 待定系数法, 曲线上点的坐标与方程的关系, 锐角三角函数定义, 特殊角的三角函数值, 等边三角形的性质, 直线与圆相切的性质.

分析: (1) 已知直线AB的解析式, 令解析式的x=0, 能得到A点坐标;令y=0, 能得到B点坐标;在Rt△OAB中, 知道OA、OB的长, 用正切函数即可得到∠ABO的值.

(2) 当C、A重合时, 可知点C的坐标, 然后结合OC的长和等边三角形的特性求出OD、OE的长, 即可得到D、E的坐标, 利用待定系数即可确定a的值.

(3) 作出第一次相切时的示意图, 已知条件只有圆的半径, 那么连接圆心与三个切点及点E, 首先能判断出四边形CPMN是正方形, 那么CP与⊙M的半径相等, 只要再求出PE就能进一步求得C点坐标;可以从PE=EQ, 即Rt△MEP入手, 首先∠CED=60°, 而∠MEP=∠MEQ, 易求得这两个角的度数, 通过解直角三角形不难得到PE的长, 即可求出PE及点C、E的坐标.然后利用C、E的坐标确定a的值, 从而可求出AC的长, 由此得解.

抛物线性质集结与应用篇3

抛物线有许多优美的性质.本文将这些性质加以归类整理, 并举例加以应用, 供复习参考.限于篇幅, 性质的证明这里从略.

一、焦点弦焦半径的性质

过抛物线 y2=2px (p>0) 焦点 $F (\frac{p}{2} ‚ 0)$ 作倾斜角为θ的直线 l, 交抛物线于A (x1, y1) 、B (x2, y2) 两点, 则有

① y1y2=-p2; $② x_{1} x_{2} = \frac{p^{2}}{4}$ ; $③ | F A | = \frac{p}{1 - \cos θ} = x_{1} + \frac{p}{2}$ ; $④ | F B | = \frac{p}{1 + \cos θ} = x_{2} + \frac{p}{2}$ ; $⑤ | A B | = \frac{2 p}{\sin^{2} θ} = x_{1} + x_{2} + p$ ; $⑥ \frac{1}{| F A |} + \frac{1}{| F B |} = \frac{2}{p}$ ; $⑦ S_{△ Ο A B} = \frac{p^{2}}{2 \sin θ} .$

例1 (2001年全国) 如图1, 抛物线 y2=2px (p>0) 的焦点为F, 经过点F的直线交抛物线于A、B两点, 点C在抛物线的准线上, 且BC//x 轴, 证明直线AC经过原点O.

证明:记A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则 $C (- \frac{p}{2} ‚ y_{2}) .$

由结论①知 y1y2=-p2, 则

$\begin{array}{l} k_{Ο C} = \frac{y_{2}}{- \frac{p}{2}} = \frac{2 p}{y_{1}} = \frac{2 p x_{1}}{y_{1} x_{1}} = \frac{y_{1}^{2}}{y_{1} x_{1}} = \frac{y_{1}}{x_{1}} \\ = k_{Ο A} . \end{array}$

又OA与OC都过点O, 故直线AC过点O.

例2 (2007年宁夏·海南) 已知抛物线 y2=2px (p>0) 的焦点为F, 点P1 (x1, y1) 、P2 (x2, y2) 、P3 (x3, 3) 在抛物线上, 且2x2=x1+x3, 则有 ( )

(A) |FP1|+|FP2|=|FP3|

(B) |FP1|2+|FP2|2=|FP3|2

(D) |FP2|2=|FP1|·|FP3|

$\begin{array}{l} 解 ∶ 由结论 ③ 有 | F Ρ_{1} | = x_{1} + \frac{p}{2} ‚ \\ | F Ρ_{2} | = x_{2} + \frac{p}{2} ‚ | F Ρ_{3} | = x_{3} + \frac{p}{2} . \end{array}$

又2x2=x1+x3, 则有

2|FP2|=|FP1|+|FP3|.

选 (C) .

例3 (2007年山东) 设O是坐标原点, F是抛物线 y2=2px (p>0) 的焦点, A是抛物线上的一点, $\vec{F A}$ 与 x 轴正向的夹角为60°, 则 $| \vec{Ο A} |$ 为__.

解:如图2, 作AB⊥x 轴于B.由结论③知

$\begin{array}{l} | F A | = \frac{p}{1 - \cos 60 °} \\ = 2 p ‚ \end{array}$

$\begin{array}{l} 且 | A B | = \frac{\sqrt{3}}{2} | F A | \\ = \sqrt{3} p ‚ \end{array}$

点A横坐标为 $| Ο B | = 2 p - \frac{p}{2} = \frac{3}{2} p .$

$\begin{array}{l} 故 | \vec{Ο A} | = \sqrt{| Ο B |^{2} + | A B |^{2}} \\ = \sqrt{(\frac{3}{2} p)^{2} + (\sqrt{3} p)^{2}} \\ = \frac{\sqrt{21}}{2} p . \end{array}$

例4 (2007年全国Ⅰ) 如图3, 抛物线 y2=4x 的焦点为F, 准线为 l, 经过F且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点A, AK⊥l, 垂足为K, 则△AKF的面积是 ( )

$(A) 4 (B) 3 \sqrt{3} (C) 4 \sqrt{3} (D) 8$

解:由斜率为 $\sqrt{3}$ , 知∠AFx=60°.又由抛物线定义知|AF|=|AK|, 故△AKF是等边三角形.由结论③知

$| A F | = \frac{2}{1 - \cos 60 °} = 4$ ,

从而 $S_{△ A Κ F} = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3} .$

选 (C) .

例5 (2009年福建省) 过抛物线 y2=2px (p>0) 的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点, 若线段AB的长为8, 则 p=__.

解:如图4, 由结论5知

$| A B | = \frac{2 p}{\sin^{2} 45 °} = 8$ ,

得 p=2.填2.

例6 (2000年全国) 过抛物线 y=ax2 (a>0) 的焦点F的一条直线交抛物线于P、Q两点, 若线段PF与FQ的长分别是 p、q, 则 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q}$ 等于 ( )

$(A) 2 a (B) \frac{1}{2 a} (C) 4 a (D) \frac{4}{a}$

解:化抛物线为标准型: $x^{2} = \frac{1}{a} y$ .由结论⑥, 立刻得 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{2}{\frac{1}{2 a}} = 4 a .$

故选 (C) .

二、垂直顶点弦的性质

设点A、B在抛物线 y2=2px (p>0) 上, 且OA⊥OB, 则有

⑧OA⊥OB⇔直线AB过定点 (2p, 0) ;

⑨AB中点M的轨迹方程是 y2=p (x-2p) ;

⑩原点O在动直线AB上的射影是H, 那么点H的轨迹方程是 (x-p) 2+y2=p2 (x≠0) .

例7 (2006年山东) 已知抛物线 y2=4x, 过点P (4, 0) 的直线与抛物线相交于A (x1, y1) 、B (x2, y2) 两点, 则 y $_{1}^{2}$ +y $_{2}^{2}$ 的最小值是__.

解:由题设, 利用结论⑧, 可知OA⊥OB,

则 $\frac{y_{1}}{x_{1}} \cdot \frac{y_{2}}{x_{2}} = - 1$ , 即 x1x2=-y1y2.

再由 y $_{1}^{2}$ =4x1, y $_{2}^{2}$ =4x2,

有 $x_{1} x_{2} = \frac{y_{1}^{2} y_{2}^{2}}{16}$ ,

从而得 y1y2=-16.

所以 y $_{1}^{2}$ +y $_{2}^{2}$ ≥2|y1y2|=32.填32.

例8 (2005年广东) 平面直角坐标系 xOy 中, 抛物线 y=x2 上异于坐标原点O的两个不同动点A、B满足AO⊥BO.求△AOB的重心G的轨迹方程.

解:由结论⑨知AB中点M (x0, y0) 的轨迹方程是

$x_{0}^{2} = \frac{1}{2} (y_{0} - 1) . (*)$

而G (x, y) 是△AOB的重心, 则

代入 (*) 中, 化得 $y = 3 x^{2} + \frac{2}{3} .$

综上可见, 在高考总复习中, 引导学生进行一些专题内容的探究, 对提高解答高考题的能力十分有益, 因此是很有必要的.

巧用抛物线的定义解题篇4

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.定点F叫作抛物线的焦点, 定直线l叫做抛物线的准线.抛物线的定义, 是解决有关抛物线问题的重要工具.巧用抛物线的定义解题, 可以化难为易, 使思路简洁, 运算简便, 提高解题的速度和解题的正确率, 提升解题的质量.下面举例说明.

一、求坐标问题

例1 已知抛物线x2=4y上的一点M到焦点的距离为5, 求点M的纵坐标.

分析利用抛物线的定义, 把点M到焦点的距离转化为点M到准线的距离求解.

解抛物线x2=4y的焦点是F (0, 1) , 准线l的方程是y=-1.设点M的纵坐标为yM, 作MN⊥l于点N, 则yN=-1.

由抛物线定义和题意, 得|MN|=|MF|=5.∵MN⊥l,

∴|MN|=|yM-yN|=|yM- (-1) |=|yM+1|=5.

又由抛物线x2=4y, 得yM>0,

∴yM+1=5, ∴yM=4, ∴点M的纵坐标是4.

点评本题可以列出方程组求解, 但是应用抛物线的定义解题, 运算比较简易.

二、求参数问题

例2 若抛物线y2=4px上的点M到焦点F的距离为3, 且xM=2, 求p的值.

分析利用定义, 把点M到焦点F的距离转化为点M到准线的距离, 可简化运算.

解抛物线y2=4px的准线l的方程是x=-p.根据抛物线的定义, 可得点M到焦点F的距离等于点M到准线l的距离, 于是有2- (-p) =|MF|=3, 得p=1.

点评求参数的问题很多, 方法也很多, 不同的问题有不同的解法, 有些题是一题多解, 有些题解法唯一, 其中一题多解法又有最佳解法, 要注意方法的选用.

三、求最值问题

例3 已知点P在焦点为F的抛物线x2=4y上, 点A (-2, 6) , 求 (|PA|+|PF|) min.

分析 |PF|等于点P到抛物线的准线l的距离d, (|PA|+|PF|) min= (|PA|+d) min.

解过抛物线x2=4y上点P作其准线l:y=-1的垂线, 垂足为M, 则yM=-1.

把点A (-2, 6) 的横坐标x=-2代入抛物线方程x2=4y, 得y=1.

∵yA=6>1, ∴点A在抛物线的内部.由抛物线定义知|PA|+|PF|=|PA|+|PM|,

又由三角形三边关系定理, 可得当PA⊥l时, 即点A, P, M三点共线时, |PA|+|PM|最小, 即|PA|+|PM|=|AM|.

∵|AM|=|yA-yM|=|6- (-1) |=7, ∴ (|PA|+|PF|) min=7.

点评此题是距离之和的最值问题, 若采用函数的最值法是难以得解的, 而用抛物线定义, 通过数形结合和三角形的三边关系定理求解, 思路清晰巧妙, 运算简易.

类型题设点P是抛物线y2=4x上的一个动点, 则点P到点A (6, -12) 的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值是多少?

分析与例3类同.点A在抛物线外, 连接点A和焦点F, 交抛物线于一点, 此交点即为动点P到点A的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值的对应点.

四、求面积问题

例4 过抛物线y2=4x上一点P作其准线的垂线, 垂足为A, 设抛物线的焦点为F, 且|PF|=9, 求△APF的面积.

分析由抛物线的定义得点P到焦点F的距离|PF|等于点P到准线的距离|PA|.

解设P (y $_{0}^{2}$ , y0) .∵抛物线y2=4x的准线是x=-1,

$\begin{array}{l} 故 | Ρ F | = | Ρ A | = y_{0}^{2} + 1 = 9 ‚ \\ ∴ y_{0} = \pm 2 \sqrt{2} ‚ \\ ∴ S_{△ A Ρ F} = | Ρ A | \times | y_{0} | \div 2 = 9 \times 2 \sqrt{2} \div 2 = 9 \sqrt{2} . \end{array}$

点评本题可以列出方程组求解, 但是用抛物线的定义求解, 运算更加简易.

五、求抛物线焦点弦长的问题

例5 设直线AB过抛物线y2=4x的焦点F, 且交抛物线于A, B两点, 若弦AB的中点M的横坐标为3, 求弦长AB的值.

分析利用抛物线的定义和线段中点坐标的公式求解, 思路巧妙简洁, 运算量少.

解设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则x1+x2=2xM=2×3=6.因抛物线y2=4x的准线是l:x=-1, 则过点A作AP⊥l于点P, 过点B作BQ⊥l于点Q, 得xP=-1, xQ=-1.由定义得弦长AB=|AF|+|BF|=|AP|+|BQ|=|x1-xP|+|x2-xQ|=x1+x2+2=8.

点评若用平面上两点间的距离公式求|AB|, 需设出直线AB的方程, 与抛物线方程联立方程组求解, 运算量较大, 而用抛物线定义求解, 思路简洁, 运算简易.

六、求轨迹问题

例6 设动点M满足方程 $5 \sqrt{(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2}} = | 4 x + 3 y - 12 |$ , 求动点M的轨迹.

分析由点到直线的距离公式和抛物线的定义, 直接可判定动点M的轨迹是以点 (1, -1) 为焦点, 以直线4x+3y-12=0为准线的抛物线.这是非标准式的抛物线.若将方程两边平方后整理, 不易分析轨迹类型.体现出巧用抛物线定义的优越性.

以上从六个方面阐述了抛物线定义的应用, 从这些例子中可以看出, 在特定的条件下, 巧用抛物线的定义解题, 具有其特定的必要性和优越性.“回归定义”是数学解题最原始﹑最基本的方法, 有时也是最有效的方法﹑最巧妙的方法.在解决圆锥曲线问题时, 特别要注意树立“用定义解题”的意识.许多圆锥曲线的问题具有几何意义, 若能结合定义挖掘题中隐含的几何意义, 常可巧妙快速解题.

抛物线焦点弦性质的探究篇5

关键词：抛物线,焦点,弦,性质,直线,方程,相切

平面内与一个定点F和一条定直线1(1不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.由于抛物线定义的特殊性,使得它有许多其他圆锥曲线所没有的特征,特别是抛物线过焦点的弦的性质尤其突出,同时也是高考中经常要考查的热点内容。下面笔者就抛物线焦点弦的性质进行一系列探究,请各位方家不吝赐教。

若抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F倾斜角为α的直线交抛物线于A、B两点(如图1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB为焦点弦。

设直线AB方程为,联立y2=2px消去x得:

y2-2pmy-p2=0

y1和y2是方程的两根,所以得:

性质1 y1y2=-p2。

而,所以(y1y2)2=4p2x1x2,化简得:

性质2。

如何求|AB|?如图2,过A、B分别做准线的垂线,垂足分别为M、N,由抛物线的定义可知,,于是得|AB|=|AF|+丨BF|=x1+x2+p。

性质3|AB|=x1+x2+p。

能否用几何的办法求|AB丨,过F做x轴的垂线,交直线AM、BN分别为M1、N1,则|AF|=|AM|=|AM1|+|MM1|=|AF|cosα+p,所以

特别的,垂直于对称轴的焦点弦最短,叫做抛物线的通径,其长度为2p。

性质6以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

解析:如图3,在直角梯形AMNB中,设AB中点为C,过C作CD⊥1于D,,由中位线定理,|AB|=|AF|+|BF|,由定义|AF|=|AM|,|BF|=|BN|,

所以1,所以以AB为直径的圆与1相切,同理可得。

性质7以AF为直径的圆与y轴相切,以BF为直径的圆也与y轴相切。

性质8 A、O、N三点共线。同理,B、O、M也三点共线。

由性质1知y1y2=-p2,而点N的坐标为.直线NO的斜率为,

所以k也是直线OA的斜率,所以直线AN经过原点O。

性质9∠MFN=90°。

如图4,由抛物线定义|AF|=|AM|,|BN|=|BF|,

所以△AMF和△BNF为等腰三角形。

所以∠AMF=∠AFM,∠BNF=∠BFN。

因为∠AMF+∠MFA+∠MAF=180°即

(1)+(2)得:

2∠MFA+∠MAF+2ZBFN+∠NBF=360°。

而F+∠NBF=180°。

所以2∠MFA+2∠BFN=180°,即∠MFA+∠BFN=90°。

所以:∠MFN=90°。

△NFM为直角三角形,D为斜边MN的中点,

则DF|=DM|=|DN|,∠DMF=∠DFM,

又因为∠AMF=∠AFM,

所以.∠DMF+∠AMF=∠DFM+∠AFM,

而∠AMF+∠FMD=90°,

所以∠DFM+LAFM=90°,即∠DFA=90°.

这说明,DF⊥AB,且,所以得

性质10以MN为直径的圆与直线AB相切于F点.

即kBK=-kAK,所以∠AKF=ZBKF。

性质11∠AKF=∠BKF。

性质12直线DA与抛物线y2=2px相切,同理直线DB也与抛物线y2=2px相切。

证明:如图6,由导数知识可得曲线y2=2px,在处切线的斜率为,所以过点A的切线方程为

D是M,N的中点,则,由性质1可知,所以,经检验,D点坐标满足切线方程。

所以直线DA与抛物线y2=2px相切,同理可得直线DB也与抛物线y2=2px相切。

注:(1)过抛物线y2=2px上一点E(x0,y0)的切线方程还可写成y0y=p(x+x0)。

(2)利用性质12就可以解释抛物线的光学性质。连接DA并延长到P点,过A作AQ⊥DA,则AQ为法线,如图6,在圆内接四边形AMDF中,∠2=∠3,而∠1=∠2,所以∠1=∠3,而AQ⊥DA,所以,∠4=∠5。若PA为入射光线,则AF为反射光线。所以当一束平行于抛物线的轴的光线,经过抛物线反射交于焦点;根据光线的可逆性,从焦点发出的光线,经过抛物线反射后,反射光线平行于抛物线的轴.

上述结论如果能够理解掌握、灵活应用,对于那些重在考察抛物线的定义、直线方程、根与系数关系和平面几何等知识的综合应用题目,考察数形结合数学思想的题目和相关客观题的处理,均可以提高思维起点、拓展思路,并迅速求解。

参考文献

[1]范如青.圆锥曲线切线的几个有趣性质[J].中学数学,2012(19):26.

[2]秦俭.圆锥曲线中典型的定点和定值问题[J].中学数学,2012(6):38-39.

抛物线的定值问题篇6

证明设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 直线AB的方程为

当k不存在时,

2.过抛物线y2=2px (p>0) 焦点F的两条相互垂直的弦AB和CD, 则 (定值) .

证明设A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) , D (x4, y4) ,

同理,

3.设MN是过抛物线y2=2px (p>0) 焦点F的动弦.由M, N分别向抛物线的准线作垂线MA, NB, 其中A, B是垂足.求证: (定值) .

证明设M (x1, y2) , N (x2, y2) , 则

证明设A (x1, y1) , B (x2, y2) , M (a, m) , 则由即 (x1-a, y1-m) =λ1 (x0-x1, -y1) ,

5.设F是抛物线y2=2px (p>0) 的焦点, A, B, C是抛物线上的三点, , 则 (定值) .

证明设x1, x2, x3是A, B, C三点的横坐标.

∴抛物线焦点F是ABC的重心.

参考文献

[1]刘铭.平面解析几何的定值问题.辽宁招生考试, 2009 (2) .

高中数学抛物线两个结论的推导篇7

结论1:如图1, F是抛物线的焦点, M是抛物线上任意一点, MT是抛物线在M的切线, MN是法线, ME是平行于坐标轴的直线, 则法线MN必平分∠FME, 即φ1=φ2。

结论2:如图2, M、N、P三点在抛物线的准线上, M、N在P点异侧, F是抛物线的焦点, 过P向抛物线引两条切线PA、PB, 则PA、PB平分∠FPM, ∠FPN。

上述两个结论主要考查直线、抛物线、曲线的切线等基础知识, 考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法, 以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识。

二通性通法分析

比较这两个结论可以看出它们的共同特征: (1) 条件:抛物线上的切线问题, 给定抛物线C:y2=2px。结论1是在抛物线上任取一点M做一条切线MT, 结论2是从抛物线准线上任取一点P向抛物线上引两条切线PA、PB。切点为A、B; (2) 研究的问题相近:切线平分角的问题, 涉及直线与焦点有关。查阅高考试题及有关高中的数学资料, 可以找到诸多与此相似的问题, 由于抛物线方程可以看作为函数的表达式, 因而研究的思路更加宽阔、活跃, 在高考试题中频频出现。

求抛物线切点弦所在直线方程的常见通法是:设出切点坐标, 用导数表示切线的斜率写出切线方程, 利用已知点在切线上展开思路。 (2) 联立方程研究位置关系。利用已知设出切线方程, 联立切线方程与抛物线方程, 利用判别式为0展开思路。 (3) 待定所求直线方程, 通常用斜截式。联立直线方程与抛物线方程, 用韦达定理列出切点坐标, 再利用导数的几何意义列式消参求出所待定的系数。用导数求切线的斜率和联立方程研究直线与抛物线的位置关系均为课标的要求, 在人教A版教材中的例、习题中都有相应的题目。

三解题思路和策略

两个结论都先从导数的几何意义入手, 将切点坐标设出来。

结论1是根据两垂直直线斜率之积等于-1, 根据点斜式写出垂直与切线且经过切点的直线方程, 计算出此直线与抛物线轴的交点坐标N, 计算出|FN|和|FM|的长度, 判断出△FNM是等腰三角形, 再根据ME∥轴线推出内错角相等, 即证。详细证明过程如下:

结论1证明:取坐标系如图, 设此时抛物线方程为y2=2px (p>0) , 因为ME平行x轴 (抛物线的轴) , ∴φ1=φ2, 设点M的坐标为 (x0, y0) , 对y2=2px两边求导得:2yy′=2p。

结论2是设出切点坐标, 利用点斜式写出切线PA所在的直线方程, 根据角平分线定理:角平分线上的点到角两边的距离相等, 得出切点A到准线的距离与切点A到PF的距离相等。得出PA平分∠FPM, 同理得出PB平分∠FPN。

详细证明过程如下:

所以点A到FP的距离等于点A到准线的距离, 故PA平分∠FPM, 同理PB平分∠FPN。

四学生应该突破的瓶颈

第一, 在解题过程中, 不会应用导数的几何意义。导数是解决函数问题的重要工具, 导数的几何意义使得求曲线的切线方程十分便捷。

第二, 没有养成用数学思想指导、分析问题的好习惯。这类问题的典型特征是变量多、关系式复杂, 容易使学生迷失方向, 看到很多式子不知如何推算。而产生这种问题的原因是没有用数学思想去指导分析问题, 没有从整体上对解题进行规划, 明确解题的方向路线。解题思路是围绕如何选择有效途径消参来展开, 推算则不再盲目。

摘要：笔者在研究抛物线时发现了抛物线的两个结论, 抛物线上的切线有很多性质, 它能和许多角联系起来, 解决一些角与角的转换问题, 通过参考文献, 笔者现将之整理成文, 现与大家共同探讨。

关键词：抛物线,切线,角平分线,重要结论

参考文献

[1]王诚祥、马家祚主编.直线与圆锥曲线[M].南京:河海大学出版社, 2006

[2]傅建红.圆锥曲线综合问题[J].数学教学通讯:数学金刊 (高考) , 2013 (1)

【抛物线理论】推荐阅读：