球类运动中的抛物线

2024-09-12

球类运动中的抛物线（精选6篇）

球类运动中的抛物线篇1

足球、篮球、排球、乒乓球等都是同学们喜爱的运动项目,可你们知道吗,球在运动中的某一过程形成的轨迹就是抛物线. 利用我们学习的二次函数知识了解并认识其中的科学道理,将有助于我们对球类运动更深入的了解,从而科学地指导我们进行这方面的运动,提高运动成绩.

例1一场篮球赛中,球员甲跳起投篮,如图1(1),已知球在A处出手时离地面20/9m,与篮筐中心C的水平距离是7 m,当球运行的水平距离是4 m时,达到最大高度4 m(B处),设篮球运行的路线为抛物线.篮筐距地面3 m.

(1)问此球能否投中?

(2)此时对方球员乙前来盖帽,已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19 m,他如何做才能盖帽成功?

【分析】(1)解答此题的关键是建立平面直角坐标系,用待定系数法确定二次函数的关系式,然后依据点(篮筐)的坐标是否满足函数关系式,从而判断球是否投中. (2)由于对方球员乙跳起后摸到的最大高度为3.19 m,所以须确定此时乙离甲的距离s,在抛物线上升过程中,乙在离甲的距离小于s状况前来盖帽,则盖帽成功;在抛物线下降过程中,依据篮球比赛规则,不容许盖帽,否则无效,算对方投篮成功.

(2)由(1)求得的函数解析式,当y=3.19时,3.1/9=-19(x-4)2+4,解得:x1=6.7,x2=1.3.当x1=6.7时,球已过最高点开始下落, 依据篮球规则,要想盖帽,必须在篮球下降前盖帽,否则无效,所以该舍去,

∴当球员乙与球员甲的距离小于1.3米时即可盖帽成功.

例2 (2015·湖北随州)如图2,某足球运动员站在点O处练习射门,将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间满足函数关系y=at2+5t+c, 已知足球飞行0.8 s时,离地面的高度为3.5 m.

(1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少?

(2)若足球飞行的水平距离x(单位:m) 与飞行时间t(单位:s)之间具有函数关系x=10t,已知球门的高度为2.44 m,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为28 m,他能否将球直接射入球门?

【分析】(1)将实际问题转化为数学问题,由题意得:函数y=at2+5t+c的图像经过点A(0,0.5)和点(0.8,3.5),这样便可求出抛物线的解析式. 足球离地面的最高点就是抛物线的顶点,所以求出抛物线的顶点坐标即可.

(2)由于运动员离球门的水平距离为28 m,因此当抛物线解析式中取横坐标28时,其纵坐标只要在0~2.44之间,他就能将球直接射入球门.

解:(1)由题意得:函数y=at2+5t+c的图像经过点(0,0.5)和点(0.8,3.5),

∴他能将球直接射入球门.

例3 (2014·甘肃天水)如图3,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距O点的水平距离为18 m.

(1)当h=2.6时,求y与x的关系式.(不要求写出自变量x的取值范围)

(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由.

(3)若球一定能越过球网,又不出边界, 求h的取值范围.

【分析】(1)利用h=2.6,将点(0,2)代入解析式求出即可.

(2)利用h=2.6,当x=9时,y=-1/60(9-6)2+2.6=2.45与球网高度比较;当y=0时,解出x值与球场的边界距离比较,即可得出结论.

(3)根据球经过点(0,2),得到a与h的关系式.由x=9时,球一定能越过球网得到y>2.43;由x=18时,球不出边界得到y≤0. 分别得出h的取值范围,即可得出答案.

解:(1)把x=0,y=2及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h,即2=a(0-6)2+2.6,∴a=-1/60.

∴当h=2.6时,y与x的关系式为y=-1/60(x-6)2+2.6.

(2)当h=2.6时,y=-1/60(x-6)2+2.6,

∵当x=9时,y=-1/60(9-6)2+2.6=2.45>2.43,∴球能越过网.

∴球会过界.

∴若球一定能越过球网,又不出边界,h的取值范围为h≥8/3.

【反思】利用二次函数解决实物抛物线形问题时,要把实际问题中的已知条件转化为点的坐标,代入解析式求解,最后根据求解的结果转化为实际问题的答案.

【感悟】数学来源于生活,通过构建数学模型,将实际问题转化为数学问题,用我们掌握的数学知识,解答数学问题,从而解决实际问题. 加强这方面的训练不仅能培养同学们的应用数学能力,而且能培养同学们的灵活解题能力,为未来奠定扎实的基础.

小试身手

1. 2013年5月26日,中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军,成就了首个五连冠霸业. 比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图4).若不考虑外力因素,羽毛球行进高度y(米) 与水平距离x(米)之间满足关系y=-2/9x2+8/9x+10/9,则羽毛球飞出的水平距离为________米.

2. 如图5,足球场上守门员在O处开出一高球,球从离地面1米的A处飞出(A在y轴上),运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M,距地面约4米高,球落地后又一次弹起.据实验测算,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.

(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式.

(2)足球第一次落地点C距守门员多少米?(取4(3)1/2=7)

(3)运动员乙要抢到第二个落地点D, 他应再向前跑多少米?(取2(6)1/2=5)

答案:

1. 5

2.(1)y=-1/12(x-6)2+4(或y=-1/12x2+x+1)(2)13米(3)17米

球类运动中的抛物线篇2

一、教学目标

1．物理知识方面的要求：

（1）知道平抛运动形成的条件；

（2）掌握平抛运动的分解方法及运动规律。

2．通过观察演示实验，概括出平抛物体运动的特征，培养学生观察、分析能力；通过对教材上所附彩图“平抛物体的闪光照片”的分析，或对平抛运动录像片的慢放分析，启发学生：处理物理问题可以利用各种技术手段来弥补我们感官功能上的不足，从而创造出新的研究方向和创造新的测量仪器。

3．利用已知的直线运动的规律来研究复杂的曲线运动，渗透物理学“化曲为直”、“化繁为简”的方法及“等效代换”的思想。

二、重点、难点分析

1．重点是平抛运动的规律：物体（质点）的位置、速度如何随时间变化，轨迹是如何形成的；

2．平抛运动是怎样分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的？这是难点，也是教学的重点。

三、教具

1．演示平抛的物体与自由落体同时落地：平抛与自由落体实验器（包括两个不同颜色、同样大小的小球、小锤、支架等）； 2．演示平抛运动和它的两个分运动：

平抛竖落演示器（包括电源、三个钢球）3．分析实验数据

（1）平抛物体的闪光照片（课本彩图）、刻度尺、铅笔；（2）演示实验2的录像片（有慢放镜头）。4．分析平抛分运动

CAI课件（能分析演示水平匀速运动和竖直自由落体运动）。

四、主要教学过程

（一）引入新课

问：物体做曲线运动的条件是什么？

引导回答：当运动物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一直线上（成角

度）时，物体就做曲线运动。

演示：在黑板边框上事先固定一小段水平木条，木条上放一个粉笔头，用手指将粉笔头弹出，粉笔头以黑板为背景在空中划出一道曲线。问：粉笔头离开木条后为什么做曲线运动？

引导回答：粉笔头离开木条后受重力作用（空气阻力很小，可不计），重力的方

向跟粉笔头的速度方向不在同一条直线上，所以粉笔头做曲线运动。入题：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动叫做平抛运动。

（二）教学过程设计 1.平抛运动的形成

物体的初速度和受力情况决定了物体的运动形式。

演示：在平抛竖落演示器的电磁铁J1上吸小钢球A，切断电源，观察A离开斜槽末

端（水平部分）后的运动。

概括出形成平抛运动的条件：

（1）物体具有水平方向的初速度；（2）运动过程中物体只受重力。2.平抛运动的分解

（1）平抛运动的竖直分运动是自由落体运动

演示：平抛的小球与自由下落的小球同时落地。

在高度一定的条件下，先后使平抛小球以大小不同的水平速度抛出（小锤打击的力度不同），学生观察得出结论：在高度一定的条件下，平抛初速度大小不同，但运动时间相同。推理：平抛运动的时间与初速度大小无关，说明平抛运动的竖直分运动是自由落体运动。分析验证：从课本所附彩图“平抛物体的闪光照片”上可以看出，同时开始自由下落和平抛的小球在同一时间下落相同的高度。

（2）平抛运动的水平分运动是匀速直线运动

演示：在平抛竖落演示器的两个斜槽上的电磁铁J1和J2上各吸住一个小钢球A和

B，切断电源后，A离开水平末端后做平抛运动，B进入水平轨道后匀速运动，观察得知：A和B同时到达演示器右下方向小杯中。

分析推理：由于两球运动时间较短，空气阻力和轨道对B球的摩擦阻力可不计，B 球的运动可视为匀速直线运动，A、B从释放到斜槽末端水平部分的高度差相同，故A球抛出时的水平初速度与B球沿水平轨道运动的速度相同，再由A、B运动时间相同，推知：平抛运动的水平分运动是匀速直线运动。

演示：在平抛竖落演示器的三个电磁铁上分别吸住A、B、C三个小钢球。切断电源，当A开始平抛时撞击弹簧片使J3断电，C同时开始做自由落体运动。观察得知：三球同时入杯。

分析推理：A沿水平抛出的同时，B以相同的速度沿水平轨道做匀速运动，C做自由落体运动，它们的运动时间相同，说明平抛运动可以分解为沿水平方向的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动。

（3）分析验证

①放录像：将上述三球运动的演示拍摄下来并编辑成慢镜头播放，利用暂停功能

仔细观察画面，可看出：每一画面上，A、B、C三球几乎都分布在矩形的三个角上（另一个角是右下方的小杯），这个矩形是逐渐缩小的。

这个现象表明：平抛运动的水平分运动是匀速直线运动，竖直分运动是自由落体运动。

②在“平抛物体的闪光照片”上用铅笔画几条竖直线，间隔要相等，并且过小球的球心，用刻度尺测量这些小球之间的水平距离和竖直距离，再用学过的知识计算一下竖直分运动的加速度。（照片上水平线间的实际距离是15cm，每隔1／30s拍摄的。）

3.平抛运动的规律

由上述演示实验，反过来说就是：水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落

体运动合成就是平抛运动。（1）平抛运动的位移公式

明确：以抛出点为坐标原点，沿初速度方向为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向。

从抛出时开始计时，t时刻质点的位置为P（x，y），如图1所示。

由于从抛出点开始计时，所以t时刻质点的坐标恰好等于时间t内质点的水平位移

和竖直位移，因此（1）（2）两式是平抛运动的位移公式。

①由（1）（2）两式可在xOy平面内描出任一时刻质点的位置，从而得到质点做平

抛运动的轨迹。

②求时间t内质点的位移——t时刻质点相对于抛出点的位移的大小

位移的方向可用s与x轴正方向的夹角α表示，α满足下述关系

③由（1）（2）两式消去t，可得轨迹方程

上式为抛物线方程，“抛物线”的名称就是从物理来的。（2）平抛运动的速度公式

t时刻质点的速度vt是由水平速度vx和竖直速度vy合成的。如图2所示。

v1的方向可用vt与x轴正方向的夹角β来表示，β满足下述关系。

4.例题

（1）试验课本第二册p.11，增加第二问“求炸弹落到目标上时的速度大小和方向。”

分析：“投弹”就是炸弹从飞机上释放，（不是从飞机上发射出去）炸弹被释放时具有飞机当时的水平速度（由于惯性），离开飞机后只受重力，忽略空气阻力，炸弹将做平抛运动。解题过程（略），注意将各已知量用国际单位制表示。演示CAI课件（或挂图分析）：

①飞机水平飞行投下1个铁球；显示平抛轨迹（注意观察：铁球落地前总在飞机正

下方）。②飞机每隔1s投下1个铁球，共4个；显示各自的平抛轨迹。

（三）课堂小结

1.具有水平速度的物体，只受重力作用时，形成平抛运动。

2.平抛运动可分解为水平匀速运动和自由落体运动。平抛位移等于水平位移和竖

直位移的矢量和；平抛瞬时速度等于水平速度和竖直速度的矢量和。

3.平抛运动是一种匀变速曲线运动。

4.如果物体受到恒定合外力作用，并且合外力跟初速度垂直，形成类似平抛的匀

变速曲线运动，只需把公式中的g换成a，其中a=F合／m。

五、说明

1.平抛运动是学生接触到的第一个曲线运动，弄清其成因是基础，水平初速度的

获得是问题的关键，可归纳为两种：

（1）物体被水平加速：水平抛出、水平射出、水平冲击等；

（2）物体与原来水平运动的载体脱离，由于惯性而保持原来的水平速度。2.平抛运动的位移公式和速度公式中有三个含有时间t，应根据不同的已知条件来

求时间。但应明确：平抛运动的时间完全由抛出点到落地点的竖直高度确定（在不高的范围内g恒定），与抛出的速度无关。

3.平抛竖落演示器演示前应调整好

（1）A、B两球的高度由电磁铁J1、J2在轨道上的位置调节；

（2）电磁铁J3的电路中由A球抛出时碰触的开关S2应调弹簧片的弹性和位置：要

保证A球既能碰到它又对A球的运动影响极小。（如果换成光控继电器更好），释放小球后，应将J3的总开关S断开。

例谈抛物线解题中的转化策略篇3

关键词：抛物线；解题；转化

抛物线，作为高中数学教材“解析几何”部分的“压轴戏”，其题型新颖，解法灵活，综合性强，是各级各类考试的必考内容，是中学数学教学的重头戏之一。求解有关抛物线的问题，适时采用转化策略可以化难为易，曲径通幽。

一、化焦点为准线

例1.已知点P（3，2）为抛物线y2=4x内一点。在抛物线上求一点M，使得|MP|+|MF|最小。

分析：若设点M的坐标为（■，y），利用两点间距离公式求出|MP|+|MF|，再利用函数知识求其最小值，则运算比较复杂。如果利用抛物线的定义，将M到焦点的距离转化为M到准线的距离，那么就可以简化解题过程。

解：过P作准线l的垂线交抛物线于M，交准线于Q，由抛物线的定义可知|MF|=|MQ|。于是|MP|+|MF|=|MP|+|MQ|。因为P，M，Q三点共线，所以|MP|+|MQ|最小。易知M点的纵坐标为2。将其值代入抛物线的方程y2=4x，可知x=1。所以点M（1，2）即为所求。

二、化不等为相等

例2.若动点M到F（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。

分析：本题若设动点的坐标为（x，y），根据题意，列出等式■?摇=|x+5|-1?摇，则化简较繁，如果能把题中的距离不等化为距离相等，则根据抛物线定义，立即可得到方程。

解：本题等价于：“若动点M到F（4，0）的距离与它到直线x+4的距离相等，求点M的轨迹方程。”设点M的坐标为（x，y），根据抛物线的定义，点M的轨迹是以点F（4，0）为焦点的抛物线，因为■=4，所以p=8，又因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y2=16x。

三、化相离为相切

例3.在抛物线y2=4x上求一点M，使其到直线x+y+2=0的距离最小。

分析：若设点M的坐标为（■，y），由点到直线距离公式得d=■，再用求极值的方法去求y的值，也未尝不可。但有时绝对值处理不好，容易出错。如果平移直线，使其和抛物线相切，则切点即为所求。

解：设平行于直线x+y+2=0且和抛物线y2=4x相切的直线为x+y+m=0，解方程组y2=4xx+y+m=0，因其只有一组解，于是由y2=4（-y-m），可得?驻=16-16m=0，所以m=1，所以y=-2，x=1，即所求点M的坐标为（1，2）

四、化实数为复数

例4.已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，若点A（-1，0）和点B（0，8）关于l的对称点在C上，求抛物线C的方程。

分析：本题因为不知道直线l的方程，故虽知道A、B的对称点A，B，在抛物线上C上，却不易求得其坐标，故很难求抛物线的方程，若把A，的坐标用复平面上的点来表示，化实数为复数，则问题可迎刃而解。

解：设抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），令ZA'=x+yi，则ZB'=8i ZA'=-8y+8xi，因为A，B，都在抛物线C上，所以y2=2px（8x）2=2p（-8y）所以■=■，■=-8，即y=■，所以kOA'=-2，又|OA'|=|OA|=1

所以x2+y2=1y=-2x由x≥0得 x=■，y=-■

“平抛物体的运动”实验创新设计篇4

一、实验器材与装置

用大小为70×50的铝塑板作为演示板, 并制作铝合金框架将其固定。将装修用的铝合金分别在1/5、1/2处折成弯度相同的两个轨道, 拐弯处不要折成死弯, 以保证两个小球滚出斜面时速度相等。在上面轨道末端安装一个碰撞开关。用长为10cm的锡钢片, 在其上面绕制500匝漆包线, 做成三个规格相同的电磁铁, 分别安装在如图位置。

1、2、3 为电磁铁;4、5、6 为小球; 7、8 为斜面轨道;9.演示版;10.小铁片;11.坐标纸;12.总开关;13. 碰撞开关

电磁铁1、2由总开关控制, 电磁铁3安装在竖直方向, 并且可以在水平方向自由移动由碰撞开关控制。当电磁铁3吸上小球6后, 球底部恰好和轨道7出口在同一水平线上。并在电磁铁3的正下方放上一小块钢板, 使竖落的小球落地声音清脆响亮, 而在作平抛运动小球的落地点处放上一块泡沫薄板, 使平抛运动的小球落地声音较为低沉, 以验证两个小球落地的同时性。在贴有坐标纸的演示板上固定三个带有小孔的小铁片 (小孔略大于球直径) , 小铁片水平方向位移比为1:1:1, 竖直方向位移比为1:3:5;另有一带有调平旋钮的活动板, 上面铺有白纸和复写纸。

二、实验步骤与方法

1. 演示平抛运动的竖直分运动———自由落体运动。

闭合开关, 将小球4、6分别吸在电磁铁1、3上, 断开开关, 小球4因失去磁性而下滑, 并在轨道末端触动碰撞开关, 断开电磁铁电路, 使小球4、6同时分别作平抛运动和自由落体运动。观察两小球的运动情况, 并注意听两小球落地的声音, 使学生初步感知平抛运动的竖直分运动是自由落体运动。同时, 任意改变电磁铁的水平位置, 即自由落体小球的水平位置, 观察两小球在空中相碰的情景, 从而更确切地证明平抛运动的竖直分运动是自由落体运动。

2. 演示平抛运动的水平分运动———匀速直线运动。

闭合开关, 将小球4、5分别吸在电磁铁1、2上, 断开开关, 可观察到小球4、5下滑到轨道末端, 小球4做平抛运动, 小球5做匀速直线运动。结果两小球在水平轨道的某点相碰, 从而说明平抛运动的水平分运动是匀速直线运动。

3.定性展示平抛运动的规律。

闭合开关, 将小球4、5、6分别吸在电磁铁1、2、3上, 断开开关, 小球4、5同时下滑, 小球4在轨道末端触动碰撞开关, 小球6开始下落, 即可演示三个小球在水平轨道上相碰的现象。这进一步说明平抛运动是水平方向的匀速直线运动和竖直方向自由落体运动。

4.定量研究平抛运动的规律。

按匀速运动规律和自由落体运动规律在平抛运动的第一秒、第二秒、第三秒位置的交点 (水平方向位移比为1:1:1, 竖直方向位移比为1:3:5) , 固定三个带有小孔的小铁片。闭合开关, 将小球4吸在电磁铁1上, 断开开关, 使小球4滑至轨道末端做平抛运动, 并依次穿过三个带有小孔的小铁片, 从而定量的验证平抛运动的规律。移动其中一个小铁片的位置, 重复上述实验, 从而可在坐标纸上准确地描绘出其运动轨迹。

三、用途拓展

该实验仪器同时还可以验证动量守恒定律。在水平轨道处放置一活动板, 调节调平旋钮使之水平, 在活动板上贴有白纸和复写纸。在轨道7的末端悬挂一重垂线, 确定抛出点O, 让小球4从轨道7的最高点由静止开始滚下, 记录下活动板上一点P, 然后在轨道7末端放置与小球4大小相同的玻璃球, 小球和玻璃球的质量分别为m1、m2, 从最高点释放, 记录下小球和玻璃球分别落到活动板上的位置M、N, 则满足, 即验证了动量守恒定律。

参考文献

[1]刘兰魁.平抛运动演示仪[J].中国物理教育网.中等物理教育

[2]朱亚军.“平抛物体的运动”创新教学设计和教案[J].物理教师.2002.4.6

剖析抛物线中的分类探究题篇5

分类讨论是初中常用的重要思想方法,无论是在生产活动、科学实验中,还是在日常的生活中,都常常需要用到它.分类讨论是根据数学对象本质属性的相同点与不同点,将其分成几个不同种类的一种数学思想.它能训练人的思维条理性和严密性.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学策略.掌握分类思想,有助于我们提高理解知识,整理知识和独立获得知识的能力.而二次函数作为初中阶段最核心、最重要的内容,越来越被作为呈现知识、能力和思想的载体.为此,让我们结合有关试题,一同走进与抛物线有关的分类世界,感受它的魅力与奇妙动感.

一、有关等腰三角形的分类探究题

例1:(2010年重庆市綦江县)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图像经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2.

(1)求该抛物线的解析式;

(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若不存在,请说明理由;

(3)在(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M使,△MPQ为等腰三角形?若存在,请求出所有点M的坐标,若不存在,请说明理由.

思路点拨:(1)可用待定系数法求解;(2)当条件既满足PD=QD,又满足PQ⊥CD时,是否存在PD的长.注意到当PD=QD,PQ⊥CD时,△PDC≌△QDC(HL),此时∠QDC=∠PDC,又∵∠PDC=∠ACD,于是可以判断DQ∥AC,∵D是AB中点,∴DQ是△ABC的中位线,AC可求,那么DQ亦可求,从而确定PD的长;(3)探究△MPQ为等腰三角形要分类讨论:若以PQ为等腰△MPQ的底边,则作PQ的中垂线,与x=1的交点即为点M;若以PQ为腰,则分别以P、Q两点为圆心,以PQ长为半径作圆,与x=1的交点即为点M,依此作法,可作出5个点.再利用勾股定理和一次函数的性质,解出点M的坐标.

解析:(1)∵抛物线过点C(0,-6),∴c=-6,即y=ax2+bx-6.

(2)存在,设直线CD垂直平分PQ,在Rt△AOC中,

∴点D在抛物线的对称轴上,连结DQ,显然∠PDC=∠QDC,

由已知∠PDC=∠ACD,∴∠QDC=∠ACD,∴DQ∥AC,

DB=AB-AD=20-10=10,∴DQ为△ABC的中位线,

∴t=5÷1=5(秒).

∴存在t=5(秒)时,线段PQ被直线CD垂直平分,在Rt△BOC中,∴CQ=3姨5,∴点Q的运动速度为每秒单位长度.

(3)存在.如下图,过点Q作QH⊥x轴于H,则QH=3,PH=9,在Rt△PQH中,

①当MP=MQ,即PQ为底边时,设直线CD的直线方程为y=kx+b(k≠0),则:

∴y=3x-6,当x=1时,y=-3,∴M1(1,-3).

②当PQ为等腰△MPQ的腰时,且P为顶点,设直线x=1上存在点M(1,y),由勾股定理得:42+y2=90,即

③当PQ为等腰△MPQ的腰时,且Q为顶点.过点Q作QE⊥y轴于E,交直线x=1于F,则F(1,-3),设直线x=1存在点M(1,y)由勾股定理得(y+3)2+52=90:,即综上所述,存在这样的5个点:

点评:本题是集代数、几何核心内容于一体的综合题.在(2)它从一个新的角度提出问题,重在考查了学生化动为静及数形结合能力,在(3)中重点考查了探究等腰三角形存在情况的分类讨论.在探究等腰三角形的形状时,通常对已知线段为底和腰两种情况进行分析,考虑已知线段为腰时,又要分两种情况:线段两端点分别为等腰三角形的顶点.解题时要注意将有关点的坐标转化为相关线段的长,再借助等腰三角形的两边相等构建方程求解相关未知数或变量.

二、有关平行四边形的分类讨论题

例2:(2010年陕西省)如下图,在平面直角坐标系中,抛物线A(-1,0),B(3,0)C(0,-1)3个点.

(1)求该抛物线的表达式;

(2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标.

思路点拨:(1)已知3个点求抛物线的解析式可用一般式求解.(2)要使Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形分两种情况考虑:①AB为边,则利用PQ∥AB且PQ=AB,从而可知P的横坐标是4或者-4,然后代人二次函数解析式,求出点P坐标;②如果AB为对角线,只要线段PQ与线段AB互相平分即可又知点Q在y轴上,且线段AB中点的横坐标为1,∴点P的横坐标为2,这时符合条件的P只有一个点记为P3,将x=2代入二次函数解析式即可求出.

解析:(1)设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c根据题意,得

(2)①AB为边时,只要PQ∥AB且PQ=AB=4即可.又知点Q在y轴上,∴点P的横坐标为4或-4,这时符合条件的点P有两个,分别记为P1,P2.而当x=4时,当x=-4时,y=7,此时

②当AB为对角线时,只要线段PQ与线段AB互相平分即可,又知点Q在y轴上,且线段AB中点的横坐标为1,∴点P的横坐标为2,这时符合条件的P只有一个记为P3,而且当x=2时y=-1,此时P3(2,-1).综上,满足条件的P为

点评:在探究4点构建的平行四边形中,其中只有两个点确定,其余两点为动点,则需要借助分类讨论的思想进行分析,即已知的两个点可能为所要探究平行四边形的边,也可能为对角线,再进一步借助平行四边形的边、角及对角线性质进行求解.

三、有关直角三角形的分类讨论题

例3:(2009年福建省宁德市)已知抛物线C1:y=a(x+2)2-5的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边),点B的横坐标是1.

(1)求P点坐标及a的值;

(2)如下页图(1),抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的解析式;

(3)如图(2),点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标.

思路点拨:将点B(1,0)代入C1的解析式能快速地求出a的值;在(2)中,当点P、M关于点B成中心对称时,要求出

C3的解析式关键是求出顶点M点的坐标,而B点坐标为(1,0),利用对称性及通过添加适当的辅助线、全等知识等可得顶点M(4,5),且抛物线C3开口向下,运用顶点式便可求出C3的解析式;在(3)中,抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4.其实就是P,N关于点Q成中心对称,根据对称性可设字母m表示出N、E、F等各点的坐标,探究以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,要进行适当的分类考虑:3个角都有为直角的可能,再利用相关的勾股定理等确定其中所设字母m的值,进而求出Q点的坐标.

解析:(1)由抛物线C1:y=a(x+2)2-5得顶点P(-2,-5).

∵点B(1,0)在抛物线C1上,∴0=a(1+2)2-5,

(2)连接PM,作PH⊥x轴于H,作MG⊥x轴于G,∵点P、M关于点B成中心对称,∴PM过点B,且PB=MB,∴△PBH≌△MBG,∴MG=PH=5,BG=BH=3,∴顶点M的坐标为(4,5).

抛物线C2由C1关于x轴对称得到,抛物线C3由C2平移得到,∴抛物线C3的表达式为

(3)∵抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到,∴顶点N、P关于点Q成中心对称,由(2)得点N的纵坐标为5.

设点N坐标为(m,5),作PH⊥x轴于H,作NG⊥x轴于G,作PK⊥NG于K,∵旋转中心Q在x轴上∴EF=AB=2BH=6,∴FG=3,点F坐标为(m+3,0),H坐标为(2,0),K坐标为(m,-5),

根据勾股定理得PN2=NK2+PK2=m2+4m+104,PF2=PH2+HF2=m2+10m+50,NF2=52+32=34.

①当∠PNF=90°时,PN2+NF2=PF2,解得∴Q点坐标为

②当∠PFN=90°时,PF2+NF2=PN2,解得∴Q点坐标为

③∵PN>NK=10>NF,∴∠NPF≠90°.

综上所得,当Q点坐标为或时,以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形.

点评:本题是一道集抛物线的变换及探究直角三角形存在性的综合题,解题关键是要弄清两个对称点之间横坐标、纵坐标之间的变量与不变量之间的关系.对于图像类的坐标问题,其基本的思想是“数形转换”,把根据已知条件、图形性质求出来的几何量,转化成点的坐标,或者是由坐标转化成几何量时都应注意对点的坐标符号或几何量的确定.在探究三个点是否构成直角三角形时,主要是运用勾股定理的逆定理进行验证,其中应进行分类讨论哪一条边可能为斜边.

四、有关三角形相似的分类讨论题

例4:(2010年甘肃省)如下图,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D.

(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;

(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

思路点拨:(1)运用待定系数法可求解解析式;(2)结合B、C、D三点的坐标可计算出三边的长度,再结合勾股定理的逆定理可判断是否为直角三角形;(3)要探究以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似,其中△BCD已确定,则相似的对应关系存在多种可能,故需要采用分类讨论的思想进行考虑,即AC可能分别与△BCD的三边为对应边.

解析:(1)设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,由抛物线与y轴交于点C(0,-3),可知c=-3即抛物线的解析式为y=ax2+bx-3.把A(-1,0)、B(3,0)代入,得解得a=1,b=-2.∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.∴顶点D的坐标为(1,-4).

(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形.理由如下:过点D分别作轴、轴的垂线,垂足分别为E、F.在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,∴BC2=18.在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,∴CD2=2.在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,∴BD2=20.∴BC2+CD2=BD2,故△BCD为直角三角形.

(3)连接AC,可知Rt△COA∽Rt△BCD,得符合条件的点为O(0,0).过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1,可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD,求得符合条件的点为过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2,可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD,求得符合条件的点为P2(9,0).∴符合条件的点有3个:O(0,0),

点评:本题以二次函数为载体,将勾股定理与相似相融合,解题的关键是能运用数形结合的思想将相关的点的坐标及时转化为相应的线段长,在探究相似时,应弄清哪些是已知的量(边),确定的量(边),进而运用几何图形(相似三角形)的性质分别对应列成比例式进行求解.

五、有关探究图形面积的分类讨论题

例5:(2010年山东省潍坊市)如下页上图所示,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于C(0,-3).以AB为直径做⊙M,过抛物线上的一点P作⊙M的切线PD,切点为D,并与⊙M的切线AE相交于点E.连接DM并延长交⊙M于点N,连接AN.

(1)求抛物线所对应的函数的解析式及抛物线的顶点坐标;

(2)若四边形EAMD的面积为,求直线PD的函数关系式;

(3)抛物线上是否存在点P,使得四边形EAMD的面积等于△DAN的面积?若存在,求出点P的坐标,若不存在,说明理由.

思路点拨:(2)连接MP,由条件可得半径为2,结合切线长定理可得△EAM≌△EDM,借助四边形EAMD的面积为,即△EAM的面积为,发现,这时要注意分类,点E可能在第二象限,也可能在第三象限,故点E的坐标有两个;结合△EAM三边的关系存在特殊角,进行借助特殊角的三角函数关系求解D点坐标(也存在两个,第一象限或第四象限),运用待定系数法从而得到两条直线BD的解析式.(3)要探究四边形EAMD的面积等于△DAN的面积,结合相关图形关系也就是S△EAM=S△AMD,即同底等高,可知切线PD与x轴平行,且到x轴的距离为2,应分类讨论:可能y=2或y=-2,即将(x,2)和(x,-2)代入抛物线可得相应P点坐标.

解析:(1)因为抛物线与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0)两点,设抛物线的函数关系式为y=a(x+1)(x-3),∵抛物线与y轴交于C(0,-3),∴-3=a(0+1)(0-3),解得a=1,所以抛物线的解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,因此抛物线的顶点坐标为(1,-4);

(2)连接EM,∵EA、ED是⊙M的切线,∴EA=ED,EA⊥AM,ED⊥MD,∴△EAM≌△EDM,又四边形EAMD的面积为又∵AM=2,因此或者,当点E在第二象限时,切点D在第一象限,在Rt△EAM中,故∠EMA=60°,∴∠DMB=60°,过切点D作DF⊥AB于F点,,则直线PD过的坐标代入,则函数PD的解析式为.当点E在第三象限时,切点D在第四象限,同理可求直线PD的解析式为,因此直线PD的函数关系式为

(3)若四边形EAMD的面积等于△DAN的面积,又∵S四边形EAMD=2S△EAM,S△DAN=2S△AMD,则S△EAM=S△AMD,∴E、D两点到x轴的距离相等,∵PD与⊙M相切,∴点D与点E在x轴同侧,∴切线PD与x轴平行,此时切线PD的函数关系式为y=2或y=-2.当y=2时,由y=x2-2x-3得当y=-2时,由y=x2-2x-3得故满足条件点P的位置有4个,分别是