抛物方程

2024-12-04

抛物方程（共10篇）

抛物方程篇1

一、教学目标

1. 知识与技能:

(1) 了解抛物线的生成, 理解抛物线的定义及参数的意义. (2) 掌握抛物线的标准方程, 并会根据条件求出抛物线标准方程.

2. 过程与方法:

(1) 通过对抛物线生成的探究及定义的概括, 培养学生分析和概括的能力. (2) 通过对抛物线标准方程的探究, 进一步渗透坐标法, 提高学生建立坐标系的能力.

3. 情感态度与价值观:在抛物线的生成及方程的探究中, 培养学生勇于探索、严密细致的科学态度.

二、教学重点、难点

重点:抛物线的定义及标准方程的推导.难点:抛物线概念的形成.

三、教学过程设计

问题:前面我们已经探究过, 平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e (e>0) 的点的轨迹是什么?

(引导学生回忆椭圆和双曲线的第二定义, 归纳出一般的结论)

当01时是双曲线.诱发探究:当e=1时, 轨迹又是什么曲线呢?

设计意图:启发引导, 以问题为出发点, 激发学生的求知欲, 并且鼓励学生积极参与, 积极思考.

活动一:观察实验, 构建概念

抛物线的生成, 虽说与椭圆、双曲线有类似的地方, 但学生难以通过自身的动手实验完成.同时, 抛物线与椭圆、双曲线又有着显著的区别.为了加深学生对抛物线的生成, 帮助学生理解抛物线的概念, 我设计了如下探究活动.

探究一:观看到定点距离与到定直线距离之比等于1的动点轨迹的动画演示 (定点在定直线的右边) , 注意观察所生成曲线的形状特征.试画出定点分别在定直线的左边、上边及下边的曲线草图.

设计意图:引导学生观察和比较, 感受抛物线的生成过程及其形状特征.通过对另外三种情形的绘图, 激发学生的学习兴趣, 并熟悉抛物线的四种类型.

探究二:类比椭圆、双曲线的概念, 从抛物线的生成过程归纳总结出抛物线的概念, 并说出概念中的关键词.

设计意图:构建准确的抛物线的概念和知识体系.让学生在归纳总结概念的过程中, 提升学生的分析概括能力;在讨论、交流、完善的过程中, 培养学生的学习能力及口头表达能力.

活动二:由形及数, 探究方程

探究一:以定点在定直线的右边为例, 探究求抛物线方程时坐标系的建立方法, 要求要对称和简洁.

设计意图:通过专门对抛物线建立坐标系的探究, 突破求方程中的难点, 并在讨论交流过程中让学生掌握建系的方法, 为下一步求方程做好准备.

探究二:根据抛物线的生成条件, 求出四种形式的抛物线标准方程, 并进行比较观察.

设计意图:让学生在求抛物线标准方程的过程中, 进一步掌握求轨迹方程的方法, 提高学生的运算能力.在合作分工中, 培养学生的团队精神与合作意识.在比较分析中, 让学生理解掌握四种形式的标准方程.

探究三:举例要求学生尝试说出方程表示的抛物线的开口方向及其定点到定直线的距离p的值, 并小结判断规律.

设计意图:通过对方程的分析判断, 让学生进一步认识抛物线的标准方程, 并引导学生发现抛物线标准方程的规律“一次项与焦点所在轴同名, 且符号指出了抛物线的开口方向”.

活动三:练习感悟, 巩固新知

(1) 抛物线的焦点坐标是F (0, -2) , 则它的标准方程为.

(2) 准线方程是x=-4的抛物线的标准方程为.

(3) 焦点在直线y=2x+1上的抛物线的标准方程为.

(4) 焦点到准线的距离是2且焦点在x轴上的抛物线的标准方程为.

设计意图:这组题是抛物线标准方程的简单运用, 条件不同, 实则解法相同, 需要学生根据条件判断抛物线的开口及参数p的值.通过学生独立思考、小组讨论、展示反馈等环节的活动, 让学生在自主学习、合作学习中, 掌握抛物线的标准方程.

活动四:归纳小结

本节课内容结束后, 由学生进行归纳总结, 采用学生积极发言, 填写表格的形式对本节内容进行对比总结.让学生填表格, 通过表格将它们对比, 发现异同点, 寻找规律, 全面掌握所学知识, 同时培养学生的观察、归纳能力.

四、教学反思

课前我设想学生可能会遇到的问题有两个, (1) 抛物线的标准方程推导过程, 不会化简, 所以要求学生课前预习, 并且熟悉前面椭圆、双曲线标准方程的推导过程, 在上课时学生能通过小组交流推导出抛物线的标准方程, 所以课上这一活动环节很顺利.这更加让我坚信培养学生预习的习惯是提高课堂效率必不可少的. (2) 对四种标准方程容易混淆, 所以我设计了一个环节, 要学生讨论记忆的好方法, 学生讨论非常热烈, 的确提出了很多有意思的方法.我认为在教学中, 不仅学生之间要交流, 教师和学生也要交流, 把学生当成木偶的老师是成不了好老师的, 真正的教学不仅要教会学生学, 还能让学生展现他们的智慧.

抛物方程篇2

根据课程标准的要求，本节教材的特点及所教学生的认知情况，把教学目标拟定如下：知识目标：理解抛物线的定义；明确焦点、准线的概念；了解用抛物线的定义推导开口向右的抛物线的标准方程的推导过程进一步得出开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程，并熟练掌握抛物线的四种标准方程及其所对应的开口方向、焦点坐标、准线方程之间的关系；

2、能力目标：让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生类比、数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力，同时培养学生运动、变化的辨证唯物主义观点；

3情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。教学重点和难点：

重点：抛物线的定义；根据具体条件求出抛物线的标准方程；根据抛物线的标准方程求出焦点坐标、准线方程。

难点：抛物线的标准方程的推导。

关键：创设具体的抛物线的直观情景，结合建立坐标系的一般原则，从“对称美”和“简洁美”出发作必要的点拨。教学方法启发、探索教学手段

运用多媒体和实物辅助教学教学过程：

一、新课引入：

1、实例引入：观察生活中的几个实例（1）截面图；（2）卫星接收天线（观察其轴截面）；（3）太阳灶（观察其轴截面）；（4）探照灯（观察其轴截面）；（5）投球时球的运行轨迹（播放动画演示其轨迹）

2、复习引入：在平面内到一定点的距离和到一条定直线距离的比是常数e 的点的轨迹，当0〈e < 1时是什么图形？（椭圆）当e > 1时是什么图形？（双曲线）

当e = 1时它又是什么图形呢？（让学生大胆猜想，猜想后用几何画板演示动画，让学生认真观察动点所满足的条件，让学生对抛物线由感性认识上升到理性认识）教师指出：画出的曲线叫抛物线。（类比：使学生看到曲线上任一点到定点和到定直线的距离之比等于常数是圆锥曲线的一个共同的本质属性，明确抛物线与椭圆、双曲线之间的联系）

二、新课讲授：

（一）定义：（提问学生，由学生归纳出抛物线定义）

平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。概念理解：

平面内有——(1)一定点F——焦点

(2)一条不过此点（给出的定点）的定直线l ——准线

探究：若定点F在定直线l 上，那么动点的轨迹是什么图形？

（是过F点与直线l 垂直的一条直线——直线MF，不是抛物线）

(3)动点到定点的距离 |MF|

(4)动点到定直线的距离 d

(5)| MF| = d

满足以上条件的动点M的轨迹——抛物线

（二）推导抛物线的标准方程（开口向右）（重点）：

１、要把抛物线上的点Ｍ的集合P={M| |MF|=d}表示为集合Ｑ＝{(x,y)|f(x,y)=0}。首先要建立坐标系，为了使推导出的方程尽量简化，应如何选择坐标系？［教师引导］建立适当的直角坐标系应遵循的两点原则： ①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴； ②曲线上的特殊点，可选作坐标系的原点。］

过焦点F作准线l 的垂线交l 于点K，启发学生思考回答问题：（1）如何确定x轴（或y轴）？

（以对称轴为坐标轴）

由抛物线的几何特征知KF是抛物线的对称轴。（2）如何确定坐标原点？

（曲线上的特殊点，可作为坐标系的原点）

因为线段KF的中点适合条件——到点F的距离等于到直线l 的距离，所以它又在抛物线上——以线段KF的中点为坐标原点。

（3）怎样建立坐标系才使方程的推导简化？

［教师引导］通过不同位置的二次函数解析式的对比，联想抛物线如何建系。让学生大胆发言，谈谈自己的观点（教师要积极鼓励学生引导学生）

取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l 相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。

２、开口向右的抛物线标准方程的推导：（教师引导得出结论）步骤:（投影展示）

过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与直线l 相交于点K，以线段ＫＦ的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系。

设焦点到准线的距离｜ＫＦ｜= p（p>0）那么，焦点Ｆ的坐标为（p / 2,0）,准线l的方程为x =p/2 顶点：坐标原点（０，０）开口方向：向右

4、让同学们类比写出不同位置的抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程

5、让学生对这抛物线和它们的标准方程进行对比分析，辨认异同：相同点：

１、原点在抛物线上；２、对称轴为坐标轴；３、p值的意义：（重点）

（１）表示焦点到准线的距离；（２）p>0为常数;（３）p值等于一次项系数绝对值的一半；

４、准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离等于一次项系数的绝对值的１／４，即2p/4=p/2.不同点：方程

对称轴

开口方向

焦点位置

X2=2py(p>0)x轴

向右

X轴正半轴上

X2=-2py(p>0)

x轴

向左

X轴负半轴上

Y2=2px(p>0)y轴

向上

Y轴正半轴上

Y2=-2px(p>0)y轴

向下

Y轴负半轴上

三、例题讲解：

例1.(1)已知抛物线的标准方程是y2 =6x,求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程

（解题过程教师要板书，注意版面条理，简洁，做好起到示范作用）解：（1）p＝3，所以抛物线的焦点坐标是（3/2，0），准线方程是 x＝－3/2．（2）因为抛物线的焦点在轴的负半轴上,且，所以抛物线的标准方程是

例2．求分别满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（－5，0）（2）经过点A（2，－3）解：（1）焦点在x轴负半轴上，＝5，所以所求抛物线的标准议程是．

（2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝

点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝ ∴所求抛物线的标准方程是y2＝x或x2＝－y。

四、课堂练习：

1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（投影展示）（1）焦点是F（3，0）；（2）准线方程是x = ；

（3）焦点到准线的距离是2。

2、根据下列抛物线的焦点坐标和标准方程、准线方程：（投影展示）（1）y 2=20x

(2)x 2=1/2y

(3)2y 2+5x=0

(4)x 2+8y=0 向学生指出，本题是求抛物线的标准方程，所求抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴总结：要确定抛物线的标准方程，关键在于确定p 值及抛物线开口方向；反之亦然。

五、课堂小结：（提学生归纳总结）

1．椭圆、双曲线与抛物线的定义的联系及其区别；

2．会运用抛物线的定义、标准方程求它的焦点坐标、准线方程； 3．注重类比及数形结合的思想。

六、作业布置：课本

抛物方程篇3

例1 已知关于x的方程x2-x=k在区间(-1,1)上有两个不等实根,求实数k的取值范围.

分析此题较为简单,参数仅在一元二次方程的常数项中.

法一将原方程的根看作抛物线y=x2-x与直线y=k(k为常数)交点的横坐标.

在同一平面直角坐标系下,画出抛物线y=x2-x及直线y=k,如图1.

可得使两个交点的横坐标x1,x2均满足-1

法二将原方程的根看作抛物线y=x2与直线y=x+k(k为常数)交点的横坐标.

画出抛物线y=x2与直线y=x+k,如图2.

若直线与抛物线相切,则-2+4k=0,得k=-.此时切点为,,而-1<<1.

若直线与抛物线在x=1处相交,则+k=1,得k=-.此时另一交点为,,而-1<<1.

所以满足条件的k应满足-

例2 已知关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0一个根比2大,另一个根比3大,求实数m的取值范围.

分析这里一元二次方程的一次项系数与常数项中均有参数.

解由x2+(m-2)x-(m-2)+

3=0,可得x2+3=-(m-2)(x-1).从而原方程的根即为抛物线y=x2+3与直线y=-(m-2)(x-1)(m为常数)

交点的横坐标.

作出抛物线y=x2+3与直线y=-(m-2)(x-1),如图3.

由直线与抛物线相切,得(m-2)2-4(5-m)=0,得m=±4,得切点为M(-1,4)或N(3,12).

结合抛物线上横坐标为2的点为A(2,7),横坐标为3的点为N(3,12),直线恒过点P(1,0),

所以要使直线与抛物线有两个交点,且一个横坐标大于2,另一个横坐标大于3,则应有kPN<-(m-2)

+2<,故-5

例3 (苏教版必修1P94复习题第27题)若关于x的方程3tx2+(3-7t)x+4=0的两个实根α,β满足0<α<1<β<2,求实数t的取值范围.

分析这里一元二次方程的二次项系数与一次项系数中均有参数.

解由原方程有两个实根,得t≠0,从而原方程可化为3x2-

7x=-(3x+4).从而原方程的根即为抛物线y=3x2-7x与直线y=

-x+(t为常数)交点的横坐标.

画出抛物线y=3x2-7x与直线y=-x+,如图4.

结合抛物线上的点O(0,0),A(1,-4),B(2,-2),直线恒过的点P-,0,

可得要使直线与抛物线有两个交点,且一个横坐标在(0,

1)内,另一个横坐标在(1,2)内,则应有kPA<-

-<,故

例4 若关于x的方程|x|

-4•|x|-m=0有实数解,则实数m的取值范围是 .

解令|x|=t.因为|x|≥0,所以0

=0在(0,1]上有解.

以下过程请同学自己动手完成.

从以上例题可以看出,利用直线与抛物线交点的位置,研究一元二次方程根的分布,关键在于由一元二次方程构造抛物线与直线方程.

1. 已知关于x的方程3x2+(m-5)x+7=0的一个根大于4,另一个根小于4,求实数m的取值范围.

2. 已知关于x的方程x2+2mx

+2m+3=0的两个不等实根都在区间(0,2)内,求实数m的取值范围.

3. 已知关于x的方程x2-2ax+

a=0有两个实根α,β,且满足0<α<1,β>2,求实数a的取值范围.

一类新的抛物方程混合体积元方法篇4

考虑如下形式的抛物方程初边值问题

(1) 式中pt=dp/dt, f (x, t) 与p0 (x) 是充分光滑的函数;Ω⊂R2为有界的轴平行区域, n是边界∂Ω上的单位外法向, T>0为任意的常数;A (x) =

diag (τ $_{1}^{- 1}$ (x) , τ $_{2}^{- 1}$ (x) ) 是已知的对称正定对角阵, 且有界, 并假设τ1 (x) , τ2 (x) 满足局部Lipschitz连续条件。

引入向量函数u=A (x) ᐁp, 则方程 (1) 可写为下形式

${\begin{matrix} (a) & p_{t} - d i v u = f, & (x, t) \in Ω \times (0, Τ], \\ (b) & u = A (x) \nabla p, & (x, t) \in Ω \times (0, Τ], \\ (c) & u \cdot n = 0, & (x, t) \in \partial Ω \times (0, Τ], \\ (d) & p (x, 0) = p_{0} (x), & x \in Ω \end{matrix} (2)$

混合体积元方法自Russel引入后获得了很大的发展。Chou和Kwak[2]讨论了三角网格上椭圆问题的混合体积元方法, 后又推广到矩形网格[1]及一般的四边形网格;Rui[3]研究了线性抛物问题的混合体积元方法, 提出对称的混合体积元格式, 证明了流速及压力的一阶最优收敛。以上这些方法均是通过将压力方程 (2a) 在原始剖分单元上积分, 速度方程 (2b) 在对偶剖分单元上积分, 得到混合体积元格式。受H1-Galergin[4]方法的启发, 对式 (2a) 两端作用梯度算子得ᐁpt-ᐁ (div u) =ᐁf。又因

ᐁpt=A-1ut, 则由式 (2) 可得到

本文将式 (3a) , 式 (3b ) 均在对偶剖分单元上积分, 利用格林公式得到新的混合体积元格式, 而且得到了速度H (div) 模和压力L2模的最优误差估计。本文中采用Sobolev空间中的标准定义、记号和模, 用C表示不依赖于剖分参数与时间的正常数。

1 混合体积元格式

引入向量函数空间V=H (div, Ω) ∩{u·n=

0}={u∈ (L2 (Ω) ) 2∶div u∈L2 (Ω) }∩{u·n=0};纯量函数空间W=L $_{0}^{2}$ (Ω) =q∈L2 (Ω) ∶

∫Ωqdxdy=0, 其中∫Ωdxdy=0是保证解的唯一性的充分条件。

令Th={Qij}ij是区域Ω的拟正则矩形剖分, Qij中心为cij= (xi, yj) , 垂直边中点分别记为ci-1/2, j= (xi+1/2, yj) , Ci+1/2, j= (xi+1/2, yi) , 水平边中点分别记为ci, j-1/2= (xi, yj-1/2) , ci, j+1/2= (xi, yj+1/2) , 其中xi+1/2= (xi+xi+1) /2。定义Qi+1/2, j=[xi, xi+1]×

[yj-1/2, yj+1/2], Qi, j+1/2=[xi-1/2, xi+1/2]×[yj, yjn], Qij=[xi-1/2, xi+1/2]×[yj-1/2, yj+1/2], 我们称{Qij}为原始剖分, {Qi+1/2, j}{Qi, j+1/2}为对偶剖分, 并称Qi+1/2, j为u体积元, Qi, j+1/2为v体积元。

在原始剖分上定义试探函数空间Hh×Lh⊂V×W, 其中

Hh={ (u1, h, u2, h) ⊂V∶u1h=a+bx, u2, h=c+dy在∀Qij∈Th上};

Lh={qh∈W∶qh在∀Qij上为常数}。

在对偶剖分上定义检验函数空间Yh⊂ (L2 (Ω) ) 2,

Yh={ (v1, h, v2, h) ∶v1, h在u体积元为分片常数, v2, h在v体积元上为分片常数}。由上述定义, 对任意uh∈Hh, 显然div uh在Qij∈Th上为常数, 且根据格林公式有

$\int_{Ω} d i v u_{h} d x d y = \sum_{Q_{i j}} \int_{Q_{i j}} d i v u_{h} d x d y = \sum_{Q_{i j}} \int_{\partial Q_{i j}} u_{h} \cdot n d s$ 。

注意到uh∈Hh⊂V满足边界条件uh·n|∂Ω=0及法向连续条件, 则上式为零。因此上述定义的有限元空间满足div Hh⊂Lh。定义迁移算子γh∶Hh→Yh, 对∀wh= (w1, h, w2, h) ∈Hh,

γhwh= (γhw1, h, γhw2, h) =

$(\sum_{i, j} w_{1, h} (c_{i + 1 / 2, j}) χ_{i + 1 / 2, j}, \sum_{i, j} w_{2, h} (c_{i, j + 1 / 2}) χ_{i, j + 1 / 2})$ 。

其中χi+1/2, j, χi, j+1/2分别为Qi+1/2, j与Qi, j+1/2, j的特征函数。

将式 (3a) 重新写为

$τ_{1} u_{1 t} - \frac{\partial d i v u}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x}, τ_{2} u_{2 t} - \frac{\partial d i v u}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial y}$ 。

将上两式分别在u, v体积元上积分, 并利用格林公式得

∫Qi+1/2, jτ1u1tdxdy-∫∂Qi+1/2, jdiv u (1, 0) T·nds=

∫∂Qi+1/2, jf (1, 0) T·nds (4)

∫Qi, j+1/2τ2u2tdxdy-∫∂Qi, j+1/2div u (1, 0) T·nds=

∫∂Qi, j+1/2f (1, 0) T·nds (5)

令w= (w1, w2) T为常向量, 式 (4) , 式 (5) 两端分别乘以w1与w2, 并对i, j求和后将两式相加得

$\begin{array}{l} (A^{- 1} u_{t}, w) - \sum_{i, j} (\begin{array}{l} \int_{Q_{i, j + 1 / 2}} d i v u (w_{1}, 0)^{Τ} \cdot n d s + \\ \int_{\partial Q_{i, j + 1 / 2}} d i v u (0, w_{2})^{Τ} \cdot n d s \end{array}) = \\ \sum_{i, j} (\int_{\partial Q_{i, j + 1 / 2}} f (w_{1}, 0)^{Τ} \cdot n d s + \int_{\partial Q_{i, j + 1 / 2}} f (0, w_{2})^{Τ} ‚ n d s (6) \end{array}$

对式 (3b) 做相同处理可得

$(A^{- 1} u, w) - \sum_{i, j}$ ∫∂Qi+1/2, jp (w1, 0) T·nds+

∫∂Qi, j+1/2p (0, w2T·nds=0 (7)

定义如下的双线性形式, 对∀w∈Yh,

$\begin{array}{l} a (u, w) = \int_{Ω} A^{- 1} u \cdot w d x d y, u \in v, \\ b (w, p) = \sum_{i, j} (\int_{\partial Q_{i + 1 / 2, j}} p (w_{1} (c_{i + 1 / 2 ‚ j}), 0)^{Τ} \cdot n d s + \\ (\int_{\partial Q_{i, j + 1 / 2}} p (0, w_{2} (c_{i, j + 1 / 2}))^{Τ} \cdot n d s), p \in W 。 \end{array}$

利用上述双线性形式, 则问题式 (3) 可写为下形式:求{u, p}∈V×W, 使得

${\begin{cases} (a) a (u_{t}, γ_{h} w_{h}) - b (γ_{h} w_{h}, d i v u) = b (γ_{h} w_{h}, f), \\ \forall w_{h} \in Η_{h}, t \in (0, Τ], \\ (b) a (u, γ_{h} w_{h}) - b (γ_{h} w_{h}, p) = 0, \\ \forall w_{h} \in Η_{h}, t \in (0, Τ], \\ (c) u (x, 0) = A (x) \nabla p_{0} (x), x \in Ω \end{cases} (8)$

用uh, ph代替式 (8) 中的u, p得问题式 (3) 的混合体积元格式:求{uh, ph}∈Hh×Lh, 使得

${\begin{cases} (a) a (u_{h t}, γ_{h} w_{h}) - b (γ_{h} w_{h}, d i v u_{h}) = b (γ_{h} w_{h}, f), \\ \forall w_{h} \in Η_{h}, t \in (0, Τ], \\ (b) a (u_{h}, γ_{h} w_{h}) - b (γ_{h} w_{h}, p_{i}) = 0, \\ \forall w_{h} \in Η_{h}, t \in (0, Τ], \\ (c) u_{h} (0) = u_{0 h}, \end{cases} (9)$

式 (9) 中u0h是u (0) 在有限元空间Hh中的近似。

引理1[5] 存在与h无关的正常数C0, 使得对∀wh∈Hh, 有

a (wh, γhwh) ≥C0‖wh‖2 (10)

引理2[1] 对∀wh∈Hh, qh∈Lh, (11) 式成立

b (γhwh, qh) =- (qh, div wh) (11)

引理3[1] 存在与h无关的正常数C, 使得

‖γhwh‖≤C‖wh‖, ∀wh∈Hh (12)

引理4[1] 存在与h无关的正常数β, 使得

$\begin{array}{l} \sup \\ 0 \neq w_{h} \in Η_{h} \end{array} \frac{| b (γ_{h} w_{h}, q_{h}) |}{∥ w_{h} ∥_{Η (d i v)}} \geq β ∥ q_{h} ∥, \forall q_{h} \in L_{h} (13)$

定理1 格式 (9) 有唯一解。

证明:仅需证齐次问题只有零解即可。令f=0, 在式 (9a) 中取wh=uht, 由引理2得

$a (u_{h t}, γ_{h} u_{h t}) + \frac{1}{2} \frac{d}{d t} ∥ d i v u_{h} ∥^{2} = 0$ 。

上式关于t从0到t积分, 令初值uh (0) =0, 利用引理1得

C∫ $_{0}^{t}$ $∥ u_{h t} ∥^{2} d t + \frac{1}{2} ∥ d i v u_{h} ∥^{2} \leq 0$ 。

由上式可得‖uht‖=0, 即uht≡0, 从而uh关于t为常向量, 而uh (0) =0, 因此uh=0。

注意到引理4, 式 (9b) 及引理3有

β‖ph‖≤sup0≠wh∈Hh $\frac{| b (γ_{h} w_{h}, p_{h}) |}{∥ w_{h} ∥_{Η (d i v)}} =$

sup0≠wh∈Hh

$\frac{| a (u_{h}, γ_{h} w_{h}) |}{∥ w_{h} ∥_{Η (d i v)}} \leq$

sup0≠wh∈Hh

$\frac{C ∥ u_{h} ∥ ∥ γ_{h} w_{h} ∥}{∥ w_{h} ∥_{Η (d i v)}} \leq C ∥ u_{h} ∥$ 。

因此‖ph‖=0即ph≡0。则式 (9) 解的存在唯一性得证。

2 误差估计

引入文献[5]中定义的投影算子:πh, Rh, 则由文献[5]有∀u∈V, ∀p∈W, πhu∈Hh, Rhp∈Lh。

‖u-πhu‖≤Ch‖u‖1, ∀u∈ (H1 (Ω) ) 2 (14)

‖div (u-πhu) ‖≤Ch‖divu‖1, ∀u∈H1 (div, Ω) (15)

‖p-Rhp‖≤ch‖p‖1, ∀p∈H1 (Ω) (16)

其中Hl (div, Ω) ={u∈ (Hl (Ω) ) 2∶divu∈

Hl (Ω) }, l=1, 2。

引理5[5] 对∀u∈ (H1 (Ω) ) 2, 存在正常数C使得下两式成立

a (u-πhu, γhv) ≤Ch‖u‖1‖v‖, ∀v∈Hh (17)

∫Ωqhdiv (πhu) dxdy=∫Ωqhdiv udxdy, ∀qh∈Lh (18)

引理6[5] 对∀v∈Yh, 存在正常数C使得

b (v, Rhp-p) ≤Ch‖p‖2‖v‖ (19)

引理7[1] 对∀u∈ (H1 (Ω) ) 2, wh∈Hh, 存在正常数C使得

|a (u, (γh-I) wh) |≤Ch‖u‖1‖wh‖ (20)

引理8 对∀wh∈ Hh, u∈H2 (div, Ω) , 存在正常数C使得

b (γhwh, div (u-πhu) ) ≤Ch‖ᐁ (divu) ‖1‖wh‖ (21)

证明根据双线性形式b (., .) 的定义及格林公式有

$\begin{array}{l} b (γ_{h} w_{h}, d i v u) = \\ \sum_{i, j} (\int_{\partial Q_{i + 1 / 2, j}} d i v u (γ_{h} w_{1, h} (c_{i + 1 / 2 ‚ j}), 0)^{Τ} ‚ n d s + \\ \int_{\partial Q_{i, j + 1 / 2}} d i v u (0, γ_{h} w_{2, h} (c_{i, j + 1 / 2}))^{Τ} \cdot n d s) = \\ \sum_{i, j} (\int_{Q_{i + 1 / 2, j}} \nabla (d i v u) \cdot (γ_{h} w_{1, h} (c_{i + 1 / 2, j}), 0)^{Τ} d x + \\ \int_{Q_{i, j + 1 / 2}} \nabla (d i v u) \cdot (0, γ_{h} w_{2, h} (c_{i, j + 1 / 2}))^{Τ} d s = \\ (\nabla (d i v u), γ_{h} w_{h}) 。 \end{array}$

由引理2引理5及格林公式得

b (γhwh, div (πhu) ) =- (div (πhu) , divwh) =

- (divu, divwh) = (ᐁ (divu) , wh) 。

再由引理7, 引理得证。

定理2 若令uh (0) =u0h=πhu (0) , ph (0) =Rhp0, 且{u, p}是式 (8) 的解, {uh, ph}是式 (9) 的解, 则存在与h无关的正常数C使得

$\begin{array}{l} ∥ u_{u} - u_{h} ∥_{Η (d i v, Ω)} \leq C h {∥ u ∥_{1} + ∥ d i v u ∥_{1} + (\int_{0}^{t} (∥ \nabla (d i v u) ∥_{1}^{2} + ∥ u_{t} ∥_{1}^{2}) d τ)^{1 / 2}} (22) \\ ∥ p - p_{h} ∥ \leq C h {∥ p ∥_{2} + ∥ u ∥_{1} + (\int_{0}^{t} (∥ \nabla (d i v u) ∥_{1}^{2} + ∥ u_{h} ∥_{1}^{2}) d τ)^{1 / 2}} (23) \end{array}$

证明令ξu=πhu-uh, ηu=u-πhu, ξp=

Rhp-ph, ηp=p-Rhp。将式 (8) , 式 (9) 两式相减, 得误差方程

${\begin{cases} (a) a (ξ_{u t}, γ_{h} w_{h}) - b (γ_{h} w_{h}, d i v ξ_{u}) = \\ b (γ_{h} w_{h}, d i v η_{u}) - a (η_{u t}, γ_{h} w_{h}), \forall w_{h} \in Η_{h}, \\ (b) a (ξ_{u}, γ_{h} w_{h}) - b (γ_{h} w_{h}, ξ_{p}) = \\ b (γ_{h} w_{h}, η_{p}) - a (η_{u}, γ_{h} w_{h}), \forall w_{h} \in Η_{h} \end{cases} (24)$

在式 (24a) 中取wh=ξut得

a (ξut, γhξut) -b (γhξut, divξu) =b (γhξut, divηu) -

a (ηut, γhξut) (25)

利用引理2, 引理1, 引理5, 引理8得

$\begin{array}{l} C_{0} ∥ ξ_{u t} ∥^{2} + \frac{1}{2} \frac{d}{d t} ∥ d i v ξ_{u} ∥^{2} \leq \\ C h^{2} (∥ \nabla (d i v u) ∥_{1}^{2} + ∥ u_{t} ∥_{1}^{2}) + \frac{1}{2} C_{0} ∥ ξ_{u t} ∥^{2} 。 \end{array}$

将上式关于t从0到t积分, 利用ξu (0) =πhu (0) -uh (0) =0得

$∥ d i v ξ_{u} ∥ \leq C h (\int_{0}^{t} (∥ \nabla (d i v u) ∥_{1}^{2} + ∥ u_{t} ∥_{1}^{2}) d τ)^{1 / 2}$ (26)

同时还能得到

$\int_{0}^{t} ∥ ξ_{u t} ∥^{2} d τ \leq C h^{2} \int_{0}^{t} (∥ \nabla (d i v u) ∥_{1}^{2} + ∥ u_{t} ∥_{1}^{2}) d τ (27)$

在式 (24a) 中取wh=ξu得

a (ξut, γhξu) -b (γhξu, divξu) =b (γhξu, divηu) -

a (ηut, γhξu) 。

注意到 $a (ξ_{u t}, γ_{h} ξ_{u}) = \frac{d}{d t} a (ξ_{u}, γ_{h} ξ_{u}) - a (ξ_{u}, γ_{h} ξ_{u t})$ 及引理2, 由引理5, 引理8有

$\begin{array}{l} \frac{d}{d t} a (ξ_{u}, γ_{h} ξ_{u}) + ∥ d i v ξ_{u} ∥^{2} \leq C h^{2} (∥ \nabla (d i v u) ∥_{1}^{2} + \\ ∥ u_{t} ∥_{1}^{2}) + C ∥ ξ_{u} ∥^{2} + C ∥ ξ_{u t} ∥^{2} 。 \end{array}$

上式关于t从0到t积分, 由引理1, 式 (27) 及Gronwall不等式得

‖ξu‖2≤Ca (ξu (0) , γhξu (0) ) +

Ch2∫ $_{0}^{t}$ (‖ᐁ (divu) ‖ $_{1}^{2}$ +‖ut‖ $_{1}^{2}$ ) dτ。

注意到ξu (0) =0有

$∥ ξ_{u} ∥ \leq C h (\int_{0}^{t} (∥ \nabla (d i v u) ∥_{1}^{2} + ∥ u_{t} ∥_{1}^{2}) d τ)^{1 / 2} (28)$

联合 (26) 式、 (28) 式与 (15) 式、 (14) 式得 (22) 式。

另一方面由式 (24b) 有

b (γhwhξp) =a (ξu, γhwh) -b (γhwh,

ηp) +a (ηu, γhwh) 。

利用引理3, 式 (14) , 和引理6得到

|b (γhwh, ξp) |≤C‖ξu‖‖wh‖+Ch‖p‖2×

‖wh‖+Ch‖u‖1‖wh‖。

注意到‖wh‖≤‖wh‖H (div) , 由引理4及式 (28) 知

$\begin{array}{l} ∥ ξ_{p} ∥ \leq \begin{array}{l} \sup \\ 0 \neq w_{h} \in w_{h} \end{array} \frac{| b (γ_{h} w_{h}, ξ_{p}) |}{∥ w_{h} ∥_{Η (d i v)}} \leq C ∥ ξ_{u} ∥ + \\ C h ∥ p ∥_{2} + C h ∥ u ∥_{1} \leq C h {∥ p ∥_{2} + \end{array}$

‖u‖1+∫ $_{0}^{t}$ (‖ᐁ (divu) ‖ $_{1}^{2}$ +

‖ut‖ $_{1}^{2}$ ) dτ1/2}。

上式联合式 (16) 知式 (23) 成立。

摘要：与标准的混合体积元方法不同, 用梯度算子作用压力方程后, 将两个方程均在对偶单上积分, 得到新的混合体积元格式, 且得到了速度H (div) 模和压力L2模的最优误差估计。

关键词：抛物方程,混合体积元,误差估计

参考文献

[1] Chou S H, Kwak D Y.Mixed covolume methods on rectangular grids for elliptic problems, SIAM J Numer Anal, 2000;37 (3) :758—771

[2] Chou S H, Kwak D Y, Vassilevski P S.Mixed covolume methods for elliptic problems on triangular grids SIAM J Numer Anal, 1998;35 (5) :1850—1861

[3] Rui H.Symmetric mixed covolume methods for parabolic problems.Numerical Methods for Partial Differential Equations, 2002:18 (5) :561—583

[4] Pani A K.An H1-galerkin finite element method for parabolic partial differential equations.SIAM J Numer Anal, 1998;35 (2) :712—727

抛物线及其标准方程”教学案例篇5

高中数学“情境·问题·反思·应用”

——“抛物线及其标准方程”教学案例

梁

家

斌

（江苏省金湖中学，江苏金湖 211600）

摘要：通过几何画板及Fash的演示，使学生直观感受抛物线的形成过程，然后学生运用类比的方法，自主研究、合作交流等方式得出抛物线的定义、标准方程，最后反思应用。

关键词：抛物线；标准方程；教学 1 教学设计

1.1 教学内容分析

圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。本章对抛物线的安排篇幅不多，并非其不重要，主要是因为学生对于椭圆、双曲线的基本知识和研究方法已经熟悉了，这里精简介绍，学生是完全可以接受的，讲解时应采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出抛物线的定义、标准方程，最后反思应用。本课是高二数学§8.5的第一课时，它是学习抛物线的性质及其应用的基础。抛物线的定义很简单但非常重要，学习时要注意和椭圆、双曲线的第二定义相联系，为深刻体会圆锥曲线的统一定义作好充分准备。由椭圆、双曲线、抛物线的定义可以看出，它们都是平面内与一个定点的距离和它到一条直线的距离之比为常数e的点的轨迹，随着e的变化，轨迹的图形发生变化，既可从中得到圆锥曲线的统一定义，又可对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育。在由抛物线的定义导出它的标准方程时，可先让学生考虑怎样选择坐标系，在导出方程的过程中，设焦点到准线的距离是p，这就是抛物线方程中参数p的几何意义，所以p的值永远大于0。1.2 数学情境的创设

笔者上这一节课的时间是2003年12月10日上午第二节，当时的背景是淮安市高

一、高二数学研讨会在我校举行，围绕新课改的精神，如何进行课堂教学上的一节公开课。笔者设置了以下的数学情境：

前面我们一起研究了椭圆、双曲线的定义，标准方程，几何性质，大家想一想：椭圆、双曲线的第二定义的内容是什么？

与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？

师生一起利用几何画板进行动画演示得出e=1，指出此时曲线是抛物线。1.3 教学目标

根据教学大纲和考试说明，结合数学情境的创设，确定本节课的素质教育目标是： ⑴知识教学目标：理解和掌握抛物线的定义与标准方程。

⑵能力训练目标：掌握抛物线的定义及其标准方程，掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系，培养学生数形结合、分类讨论、类比的思想。

⑶德育渗透目标：根据圆锥曲线的统一定义，对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育。2 教学过程 2.1 创设情境

师：前面我们一起研究了椭圆、双曲线的定义，标准方程，几何性质，大家想一想：椭圆、双曲线的第二定义的内容是什么？

生：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么，当e=1时，它是什么曲线呢？

师生一起利用几何画板进行动画演示得出e=1，指出此时曲线是抛物线。

（通过几何画板的演示，由e的变化揭示课题，通过研究e的值，得到抛物线，再观察抛物线的点满足的条件，由学生归纳抛物线的定义，生动、直观。）2.2 探索研究

1、实验、演示，观察猜想。几何画板课件演示：

学生观察 ① 动点M到焦点F的距离|MF|与动点M到定直线l的距离d之间的关系；② 观察追踪动点M得到的轨迹形状。

探索出当e ＝1时动点M的轨迹为抛物线，进而给出抛物线的定义。

2、抛物线的定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.点F叫抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.3、求抛物线的标准方程。师：下面，根据抛物线的定义，我们来求抛物线的方程，过F作准线的垂线，垂足为K，设｜MK｜＝p，如何建立直角坐标系？

先让学生思考，独立建立直角坐标系，教师巡视，从学生中归纳出以下几种解法，视频展台展出。

y2＝2px－p2(p＞0)

y2＝2px＋p2(p＞0)

y2＝2px(p＞0)

师：选择哪一种方程作为抛物线的标准方程？并说明理由。

生：将方程y2＝2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程，因为此时方程最简洁，顶点是原点。师：很好！我们把方程y2＝2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程，它表示焦点在x轴的正半轴上，坐标是(p/2,0),准线方程是x＝－p/2。（Flash动画演示）

强调：① p的几何意义；

② 已知抛物线的标准方程y2＝2px（p>0），迅速写出它的焦点坐标、准线方程； ③ 已知抛物线的焦点F（p/2，0）或准线方程x＝－p/2（p>0），迅速写出其标准方程。练习：已知抛物线的标准方程是y2＝6x，则焦点坐标是________；准线方程是_____________。生：焦点(3/2, 0)，准线方程是x＝－3/2。

4、讨论四种位置上的抛物线标准方程

利用Fash，设置一个旋转按钮将焦点在x轴正半轴上的抛物线（上图）逆时针旋转分别得到下列图形，由学生说出标准方程，焦点坐标及准线方程。

图形

标准方程：y2＝－2px（p>0）

x2＝2py（p>0）

x2＝－2py（p>0）焦

点：F(－p/2,0)

F(0，p/2)

F(0，－p/2)准线方程：x＝p/2

y＝－p/2

y＝p/2 师：观察上面的图与表格，观察、归纳，寻找异同？生：相同点 ① 顶点为原点； ② 对称轴为坐标轴；

③顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离，其值为p(p＞0)。不同点 ①一次项变量为x（或y），则焦点在x（或y）轴；若系数为正，则焦点在正半轴上，系数为负，则焦点在负半轴上；

② 焦点在x（或y）轴的正半轴上，开口向右（向上），焦点在x（或y）轴的负半轴上，开口向左（向下）。

（学生先归纳，师然后点评）

师：知道抛物线的标准方程，如何写出焦点坐标与准线方程？

生1：先确定焦点的位置，然后根据表格写出焦点坐标与准线方程。

生2：先观察方程的结构，若一次项变量为x，则焦点的横坐标是一次项系数的1/4，纵坐标为0；若一次项变量为y，则焦点的纵坐标是一次项系数的1/4，横坐标为0。2.3 反思应用

例1 已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程.生：因为焦点在y轴的负半轴上，并且所以所求抛物线的标准方程是x2=－8y.变：

⑴抛物线的标准方程是y2=－6x，则它的焦点坐标是＿，准线方程是＿＿＿；生：焦点(－3/2,0)，准线方程x＝3/2 ⑵抛物线的标准方程是y=－x2/8，则它的焦点坐标是＿，准线方程是＿；生：焦点(0，－2)，准线方程x＝2 ⑶抛物线的焦点F(0,3)，则它的标准方程是________；生：x2＝12y ⑷抛物线的准线方程是y＝3,则它的标准方程是＿＿＿＿＿＿；生：x2＝－12y ⑸抛物线的焦点在x轴上，且过点(－3,2)，则它的标准方程是_____；生：由抛物线过点(－3,2)，且焦点在x轴上，设方程为y2＝－2px(p>0), 将点(－3,2)代入方程得p＝－4/3，所以方程为y2＝－4x/3。

师：大家想一想，在椭圆（或双曲线）中，若椭圆（双曲线）经过两个点，求它的标准方程时，我们是如何设方程的？

生：一般化，设mx2＋ny2＝1(m>0,n>0)师：这里能否一般化？

生2：能！∵抛物线的焦点在x轴上，∴设方程y2＝mx(m≠0)将点(－3,2)代入方程得m＝－4/3，所以方程为y2＝－4x/3。例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程 ⑴过点(－3,2)；

生：设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点的坐标代入得

y2 ＝－4x/3或 x2＝9y/2 ⑵焦点为直线l：2x＋y－4＝0与坐标轴的交点。生：先求出直线与坐标轴的交点（2,0）或（0,4），故标准方程为y2 ＝8x或 x2＝16y 例3 点P(2,y)为抛物线y2＝8x上的一点，F是它的焦点，则|PF|＝______，y＝_____。

生：由抛物线y2＝8x知准线方程x＝－2，根据抛物线的定义知|PF|等于点P到准线的距离4，将点的坐标代入方程有y＝±4。

师：解决这类问题，首先心中要有一个图形，利用定义求解是关键。变：若点Q为抛物线的一点，⑴若|QF|＝4，则点Q的坐标是_________；生：(2,±4)⑵|QF|的最小值是_______；生：2 ⑶若A(3,4),则|QA|＋|QF|的最小值是____，此时点Q的坐标是_______。生：5；（2,4）2.4 归纳总结

师：下面请同学们回忆一下，这节课学习的主要内容？

生：⑴抛物线的定义、焦点、准线、标准方程等基本知识及其相互联系； ⑵理解p的几何意义，即焦点到准线的距离，p>0；

⑶掌握用坐标法求曲线方程的方法，要注意选好坐标系的恰当位置。师：用到了哪些数学思想方法：

生：坐标法、数形结合、待定系数法、定义法师：一起观看表格，并填充（表在几何画板上）3 回顾反思

这堂课受到听课教师和学生的好评，主要是因为把学习的主动权交给学生，利用几何画板创设情境，使得学习内容直观、生动，抓住解析几何的核心─数形结合。3.1创设情境是上好课的基础

利用几何画板从学生已有的知识进行迁移，采用类比的方法让学生主动学习、合作交流，体验数学的发现和创造过程，培养学生数学表达和交流的能力。3.2恰当引导学生提出数学问题

在上课前需要事先预想学生可能会提出的问题以及可能提出的解决方法，但是也不能忽视学生的发散思维，在讲授过程中并不是每一个环节都能按照教师预想的步骤进行，对于课堂上突发性的问题，教师要能自如地应对。比如，在如何建立直角坐标系求方程时，有一个学生提出以FK为y轴，FK的中垂线为x轴，虽然与我们的过程不一致，也要加以肯定与鼓励，其实从另一个角度来看，反而是一件好事，为我们后面谈其它三种形式埋下引子。3.3 变式训练，提高学生解题能力与思维深度

在本例中，我们围绕例1进行变式训练，师生围绕几个典型问题展开了充分的讨论，学生在质疑、讨论、总结的过程中，理解了抛物线的定义与标准方程，形成了自己的数学思想方法，更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发了学生的智慧源泉，实现了举一反

抛物方程的ADI方法的几点说明篇6

参考文献

[1]Peaceman D W, Rachford Jr H H, The numerical solution of parabolic and ellipfic differential equations, J SIAM, 3, 1955:28-41.

[2]李荣化, 刘播, 微分方程数值解法[M].4版.北京:高等教育出版社, 2009.

[3]胡健伟, 汤怀民.微分方程数值方法[M].北京:科学出版社, 2000.

[4]闵涛, 张海燕, 周宏宇, 等.二维变系数热传导方程初边值问题的交替方向隐格式[J].西安工业大学学报, 2007, 27 (2) .

[5]葛永斌, 田振夫, 吴文权.高维热传导方程的高精度交替方向隐式方法[J].上海理工大学学报, 2007 (29) :55-58.

抛物方程篇7

抛物线方程(PE)法是在利用波动方程的抛物线近似形式的基础上发展出来的一种电磁计算方面的新方法。在计算目标的电磁散射特性时,该方法首先将散射目标等效为一系列的面元或线元,然后通过边界条件和场的迭代递推方法求解抛物线形式的波动方程,进而获得这些面元在抛物线方向某一截面上的散射场,最后通过近场远场变换技术得到远区的散射场。在计算电波传播问题时,该方法只考虑电波的前向传播,而忽略电波的后向传播,二阶椭圆形波动方程就可以简化成关于传播方向为一阶导数的抛物线形方程,然后根据初始条件与边界条件进行求解运算[1]。

PE法被大量运用于不规则地表和大气波导的研究,Levy最早基于二维PE的有限差分[2](Finite difference,FD)解法计算了城镇建筑顶部的场强分布。从2000年开始,PE法开始运用于室内电波传播的研究,2006年,Magno、Valente运用抛物线方程的有限差分解法求解了室内电波的传播特性,但其采用的是窄角PE,最大计算仰角只能达到为15°,当发射源位于室内时,PE法的计算范围显得较小;2009年,SouzaKC则采用宽角抛物线方程的分步傅里叶解法求解了室内的场分布,该宽角抛物线方程的最大计算仰角可达到30°,PE法的计算范围有所增加。应用PE法预测复杂环境的电波传播特性时,因SSFT算法是步进算法,需要知道电磁场的初始值。Dockery与Barrios等人提出利用发射天线方向图与天线口径场分布成傅里叶变换关系来求解电磁场初始值的方法[3,4]。此种方法可以将发射天线方向图、主波束角以及发射天线架设高度等影响电波传播的因素考虑在内。然而这种方法在电波传播仰角较小时才具有较高的精度,当传播仰角较大时则不够准确,给以后步进场的计算引入较大误差。因此,Levy、胡绘斌等人提出了求解抛物线方程初始值的Green函数法[5,6]。此种求解初始值的方法可以应用在宽角抛物线方程模型中,在保持较高计算精度的同时,计算仰角也大于Dockery与Barrios等人提出的方法。

文章将PE方法应用于室内电波传播模型。选取有限差分分步步进法,该方法的数值稳定性更好,且它的网格步长可取的较大、计算时间短、速度快。在室内电波传播的研究中与射线追踪法相比较,抛物线方程法大大提升了运算的速度,节约了时间。因为抛物线方程具有轴向的小角度传播的特性,对于三维大角度的实际运用还需要改进。

1抛物线方程室内模型的原理

1.1抛物线方程

为了得到PE,首先建立室内二维空间坐标系,设z轴为轴向高度,x轴是电波水平传输方向。空间的底端为地面,顶端为天花板位置,整个室内空间视作一个闭合的区域。

用β表示室内的电波空间场,根据电磁场理论列出β的电波标量方程:

式中,k是真空中的波数,n是折射率。处理上述方程时,为了排除水平相移对电波传输的影响,可将相位偏移因子剥离出来,用不含相位信息的u(x,z)代替β(x,z)来描述场量:

式(1)可写为:

由式(3)可以得出:

式(4)表示向前发射的天线散射场强方程。

式(5)表示向后发射的天线散射场强方程。在发射角很小时,如果排除向后发射的能量,方法仍能够精确描述空间场的参数。

采用近似法,可得:

代入式(4)可得:

PE是对波动方程二级近似得到的,方程是关于z的二阶导,关于x的一阶导,仅与环境分布情况相关,式 (7)即是本文要求解的宽角抛物线方程。

1.2有限差分算法

假设二维坐标系(x,z)中网格划分如图1所示。

其中,zj=jΔz,j=0,1,…,N;xm=mΔx,m=0,1,…,n。为了用xm -1点的场表示xm点的场,考虑两点的中点:

微分近似用中心差分来表示:

由于Padé型的宽角抛物线方程目前还无法用傅里叶分布步进的算法求解,它主要是通过中心有限差分的算法来求解。采用Padé近似,由此得到Padé型抛物线方程为:

Padé型抛物线方程的最大计算仰角可以达到45°,有效地增加了PE的计算范围。为此,本文只推导了前向抛物线方程的有限差分解形式以及其相应的边界条件。

对点(ξm,zj)进行Crank-Nicolson型离散差分可得前向PE的有限差分解形式为:

式中,zj为垂直方向的网格节点的坐标,考虑ξm为xm-1和xm的中点。

取点(ξm,zj )处的场值为前后2整格点场的平均值,由此对式(15)进一步化简并整理得:

式中:

由式(16)可知,抛物线方程的有限差分解法是一个步进求解的过程,由前一个面上的场就可以求得下一步进上的场分布。

定义传播因子F为实际场强和自由空间场强之比,F和u之间的关系为:

则路径的传播损耗L可以表示为:

根据PE的推导公式,讨论接收场相位的求解方法。波函数β(x,z)和电场、磁场之间有如下关系:在水平极化时,只有Ey为非零的电场分量,波函数β(x,z)=Ey(x,z);在垂直极化时,只有Hy为非零的磁场分量,β(x,z)=Hy(x,z)。所以考虑取波函数β(x,z)的相位为接收场的相位,而β(x,z)可以表示为:

即接收场的相位可以用PE方法计算的时域场u获得。

对室内电波传输特性进行分析。由于多径效应造成不同射线到达接收点的时间间隔不一样,有必要定义均方根时延扩展τrms:

式中,是所有路径的传播时间,Pi是每条路径的接收功率,PR是所有路径的功率之和,N是电磁波的到达路径总数。

相关带宽是对于信道来说的,如果移动无线信道带宽Bc大于传输信号的带宽Bs,且在带宽内具有恒定增益及线性相位,那么接收信号将经历平衰落。在平衰落信道中,传输信号的带宽倒数Ts远大于信道的时延扩展τrms。

1.3室内 PE法的边界条件处理

对于Padé近似的PE法计算建筑物内部场时,涉及上边界和下边界的处理,为此本文将对上下边界处场满足的离散差分格式进行推导。

1)下边界

有限阻抗的表面边界通常采用以下的阻抗边界(Leontovich边界)条件来描述:

式中β反映了边界面上的阻抗特性,对点(ξm,z1/2)进行前向差分可得:

再对进行中心差分,即:

将阻抗边界条件式 (22)和式 (24)同时代入式(23)可得:

将式(25)代入前向抛物线方程并对点(ξm,z0)进行离散差分可得上边界处场满足的差分格式为:

式中a,b,c的计算见式(17)。

2)上边界

上边界的阻抗边界形式为:

与下边界场离散形式的推导过程类似,可以得到上边界场满足的有限差分格式为:

采用Padé型抛物线方程并结合上下阻抗边界就可以对建筑物内部场的分布特性进行求解。

2计算与仿真结果

将PE法运用在室内传播模型之前,需要进行一个对比实验,来验证PE法的正确性。选取测试环境为电气工程和计算实验室(LEEC),文献[7]中有实际测量的值,用本文的PE法与其进行对比。该实验室是一个2层楼的建筑,没有人居住,只需考虑建筑中使用的材料,如铁门、玻璃、铝合金窗和砖墙;不同的材料和几何结构对电波的传播影响很大。垂直极化的平面波,频率为2.4GHz,一楼的路径损耗测量值和PE法的值比较如图2所示。

由图2可以看出PE法与理论结果基本一致,验证了PE法模型的准确性。

建立一个简单的室内房间模型:在一个5×4m2的房间,高度为3m,天线高度设为1.5m,为房间高度的一半(内外墙壁的厚度都为20cm,墙壁的相对介电常数取2.4,磁导率10-4s/m)。k=2π/λ,f=1GHz,将发射天线放在靠墙处,对一个平面波信号的强度进行测量分析。f=1GHz时,室内电波的场强分布图如图3所示。

从图3中可以清晰地看出,在频率为1 GHz时,仿真与理论验证相符合,具有近轴传播的特性,即沿传播方向,偏离主轴小角度传播。f=1GHz时,电波沿着主轴(x轴)方向水平传播的路径损耗图如图4所示;f=1GHz时沿主轴方向的时延扩展图如图5所示;f=1GHz时,室内电波的三维分布图形如图6所示。

仿真结果表明,频率为1GHz时效果明显,与理论结果符合。

3结束语

抛物方程篇8

无线信道多径传输特性是影响无线通信系统性能的重要因素之一。静态多径环境通常会带来接收干涉现象,即临近位置之间接收信号强度呈现有规律波动,而移动多径环境通常会带来衰落现象,即接收信号强度在小尺度上的剧烈起伏变化,这些都会对无线通信系统的站址选择、信号带宽、移动速度等带来限制和影响[1],故一般在通信系统设计、覆盖性能分析之前,都需要对无线信道的多径参数进行测量和估算。

传统的多径信道参数计算方法都是基于大量的测量数据来建立无线信道的多径模型,进而对无线信道的观测统计特性进行分析; 而近些年提出的基于射线追踪的衰落信道分析方法[2]尚存在计算复杂、计算量大的缺点,在大尺度区域内很难保证实时性。在文献[3]中,A. Barrios提出了基于标准抛物方程算法的宽带波形传输信道的冲击响应函数解算方法,该方法通过对抛物方程计算结果进行简单处理即可得到传输信道的冲击响应函数,具有计算简单、精度较高的优点。

本文将文献[3]中标准抛物方程 ( Parabolic Equation,PE) 算法改进为宽角抛物方程算法,并利用分步傅里叶变换 ( Split-Step Fourier Transform,SSFT) 实现了基于宽角抛物方程算法的无线多径信道参数计算方法。该计算方法可用于外场试验场区多径传播特性的理论估计和通信对抗内场仿真试验系统信道模拟器信道冲击响应函数的计算。

1 算法原理

1. 1 抛物方程算法

抛物方程算法[4,5]是近年来兴起的一种新型的电磁计算方法,它是从波动方程中推导出来的一种全波分析方法,一般被用来预测给定几何关系后的单音信号源辐射场的幅度和相位。

抛物方程算法不需要极远处的边界条件,故可引进“行进解”,使抛物方程算法先在零距离处求解,然后用前一距离处的解作为初场,以小距离间隔向远处求解。这样只要确定了上部边界条件和地面边界条件,就可求出任意远处的解,这种解比需要知道一闭域上大量未知边界条件的求解容易计算。这样,对流层中的传播问题可以作为开域的边界值问题求解。这一方法可以很好地解决折射率的水平不均匀问题,所以在解决对流层波导传播问题和其他方法相比具有优越性。同时,由于抛物方程算法的下边界条件是由大气与地表分界面的形状和电磁特性决定,大气变化的影响在数值求解过程中体现,故其不仅能够处理精确描述的复杂大气结构,而且能够处理复杂的地表起伏特性和电磁特性,故被认为是目前预测对流层大尺度电波传播特性最准确的模型。

抛物方程算法由距离x和高度z的2D标量波动方程推导得到。假设空间电磁波波源具有频率为ω的简谐振荡特性,则有

将其代入根据由麦克斯韦方程组推导出的电磁波齐次矢量波动方程,可得

此即自由空间中的亥姆霍兹( Helmholtz) 矢量方程。

如果考虑到传播媒介的折射效应,则在直角坐标系下,任意标量场分量ψ( x,z) 满足以下2D亥姆霍兹标量方程:

式中,假定了ψ( x,z) 与y无关,对于水平极化波,只有Ey为非零的电场分量,此时ψ( x,z) = Ey( x,z) ;对于垂直极化波,只有Hy为非零的磁场分量,此时ψ( x,z) = Hy( x,z) ; k = ω/c为波数,n ( x,z) 为随距离( x) 和高度( z) 缓慢变化的传播媒质折射指数。

在直角坐标系中,由于求解波动方程所用的时谐函数通常为e- ikx形式,因此,可定义沿x正向传播的波函数u( x,z) 为:

将其代入式( 4) 可得:

由于对于大气为传播媒介的情况,n( x,z) 为随距离( x) 的变化更为缓慢,故可假设( n2) /x≈0,那么可将上式分解为:

这里,Q为伪微分算子,且

令式( 7) 的左边第1项为0,可得前向传播方程为:

令式( 7) 的左边第2项为0,可得后向传播方程为:

而我们所说的抛物方程即是式( 9) 表示的前向传播方程,它是x的一阶微分方程,是z的二阶微分方程,故称为抛物方程。如果对该抛物方程进行求解,则理论解为:

式( 11) 表明PE的求解是一个步进计算的过程,通过某一步进上的场分布就可以求出下一步进上的场。

但由于存在伪微分算子Q,因此上式在复杂的边界条件下无法得到解析解,必须对Q做近似处理,通过数值解法来求解。对Q做不同形式的近似就得到了不同形式的抛物方程。令

则设平面波以小仰角α在空气中传播,空气的折射指数n( x,z) ≈1( n > 1) ,则单位幅度的场分量可以表示为ψ( x,z) ≈eik( xcosα + zsinα),由式( 5) 可得:

此时有|B( u)| ≈sin2α,| A + B( u) |< 1。

利用不同的方法对伪微分算子Q进行近似,可以得到不同抛物方程算法:

1 Taylor级数近似法。将Q按Taylor级数展开,取级数的前两项,可得到所谓的标准PE,即SPE,

2 Feit-Fleck近似法。由Feit和Fleck提出,即

将其代入式( 9) 即可得到Feit-Fleck型PE:

由Taylor级数近似导出的SPE是一个窄角抛物方程( NAPE) ,它在传播仰角小于15°时具有很好的计算精度。SPE适合求解远距离电波传播问题,如著名的TPEM模型就是典型的基于SPE的电波传播模型; 由于Feit-Fleck所导出的PE模型在理论上可以计算仰角超过30°的传播问题,因此称为宽角抛物方程( WAPE) 。Feit-Fleck型PE是目前最常用的宽角抛物方程( WAPE) 算法,本文即采用的是该算法。

求解抛物方程目前常用的数值算法是分步傅里叶变换( SSFT) 算法[5]。该算法的基本思想就是在PE的每一步进计算过程中,分离出伪微分算子Q,然后结合边界条件,对其进行傅里叶变换运算,最后再与折射指数项相乘而求得最终解。SSFT算法对步长Δx的限制非常宽松,相对于有限差分( Finite Difference,FD) 算法,Δx可以取很大,从而可以很快完成步进计算,而且SSFT采用FFT技术,不需要进行矩阵运算,因此SSFT求解速度很快,通常是FD算法的几十倍。

文献[5]给出了WAPE的SSFT解为:

式( 16) 可通过FFT技术实现快速求解。文献[6]指出: 式( 16) 中的傅里叶逆变换项等效为半空间中无限大导电屏对电波传播的绕射效应。由此可以看出抛物方程SSFT解的意义[6]: 在每一个步进上,指数项eik( n - 2) Δx反映了传播媒质对电波的折射效应,而指数项则反映了路径上障碍物对电波的绕射效应,而所谓的分步傅里叶变换就是将折射指数项和绕射项分离,对每一步进处的绕射项进行傅里叶变换运算。

1. 2 基于抛物方程算法的多径信道参数计算方法

抛物方程模型能够对电波传播损耗进行准确预测,可满足雷达性能评估、常规通信性能评估和布站规划等方面的需求,可是它却不能直接对多径信道参数进行计算,这是因为抛物方程模型的每一次计算都是在单一频率的条件下进行的,这对于易受多径信道影响的采用跳频和宽带波形的通信现代通信系统而言,显然仅考虑某一频点( 即使是中心频点)上的传播损耗来对通信系统性能进行评估是不充分的。文献[1]给出了利用抛物方程算法进行多径信道脉冲响应函数计算的方法。

根据式( 16) 可得到角频率为ω的单频信号源在高度z和距离x处的场u( ω,x,z) 。那么从辐射源到接收机之间的通信信道的传输函数可表示为:

如果选定一定宽度的频率带宽和频率间隔,那么通过式 ( 17 ) 可以得到一系列信道传输函数H( ωn,x,z) ,n为正整数。那么,对这些传输函数进行ω域上的傅里叶反变换即可得到信道的基带脉冲响应函数:

式中,N为带宽内选择的频率点的个数; Δf为频率间隔; tm= x / c + mΔt,x为传播距离,Δt为时域步进,即时域分辨率,m = 0,1,…,N - 1,mΔt为脉冲响应函数窗口宽度。

2 参数选择

在抛物方程计算中,为了提高计算有效性,利用FFT来将垂直空间Z域转换到垂直空间频率p域,其中,高度步进Δz由Nyquist准则来决定:

式中,θmax为每次算法运行时所选择的PE仰角; c为光速; f为频率。每次运行时,Δz可保持恒定以确保接收机在同一高度上。但是,固定了Δz,当f增加时θmax就需要减少。选择合适的θmax需要考虑2个因素: 1 θmax需要足够大来保证接收到的信号能够尽可能地包括每一路多径信号; 2 θmax也不能太大,以致PE算法的假设( 在x方向上变化缓慢) 得不到满足。θmax的计算需要射线描迹法[2]进行计算,另外,由于θmax和频率有关,因此,计算θmax实际上对感兴趣带宽的截至频率进行了限定,从某种意义上说,这限制了能够用这种抛物方程模型进行信道建模的带宽。

除了θmax外,在进行脉冲响应函数计算前,还需要确定所欲预测信道的带宽和频率间隔,根据傅里叶变换的特性可知,傅里叶变换两端的频域参数和时域参数是密切相关。其中,信道脉冲响应函数的时域分辨率Δt等于带宽的倒数,而信道脉冲响应函数的时间窗口mΔt则等于频率步进的倒数,即

通常,时域分辨率Δt需要选择尽量小以分辨尽可能小的多径信号到达时间差,而时间窗口mΔt则需要尽量选择长以确保每条多径信号能够在时间窗口内到达接收机,以免造成测量模糊。

例如,假设发射机高度为50 m,通信距离3 km,接收机高度分别为125 m、250 m、375 m和500 m,地面平坦且仅存在地面发射波。根据几何位置关系,可算得到达4个接收机的直射波、反射波的到达时间以及两者的到达时间如表1所示。

根据表1中的计算结果,可选择带宽128 MHz,此时时间分辨率为7. 8 ns,保证了对最小多径时间差的分辨; 频率步进可选1 MHz,此时时间窗口为1μs,可满足164 ns的最大时差范围。

3 仿真算例

3. 1平坦地面条件下的多径信道脉冲响应函数计算

假设在平坦地面上,发射机高度为50 m,发射机波束宽度为10°,接收机位于距离发射机远3 km远的某一高度上,此时利用2D WAPE模型得到的传播特性预测如图1所示。

根据表1中计算结果和参数选择,假设通信信道频带中心是200 MHz,带宽为128 MHz,即频率范围为136 ~ 264 MHz,此时时间分辨率为7. 8 ns,频率步进可选1 MHz,此时时间窗口为1μs,通过式( 21)计算可得到该信道的脉冲响应函数如2所示。

图2给出了接收机高度分别为125 m、250 m、375 m和500 m时的信道脉冲响应函数,图中横坐标的点位间距为时间分辨率( 7. 8 ns) 。从图2中可以看出,仿真结果清晰地展示了平坦地面条件下直射波和反射波的波达延时特性。通过仿真计算的波达延时特性和表1中理论结果的误差如表2所示。从表2可以看出,利用基于抛物方程的多径信道建模方法能够准确地计算平坦地面条件下的通信信道脉冲响应函数,且精度较高,其误差能够保持在时间分辨率以内。

3. 2 不规则地形条件下的多径信道脉冲响应函数计算

在上面的算例中,通过对平坦地面条件下的多径信道脉冲响应函数解算,证明了利用基于抛物方程的多径信道建模的可行性,本节将抛物方程的多径信道脉冲响应函数解算方法应用到不规则地形条件下,以验证其在复杂地形条件下的适应性。

仿真中仍然采用上面的假设条件,即发射机高度为50 m,通信距离3 km,接收机高度分别为125 m、250 m、375 m和500 m,但地形剖面采用的是3座连绵山峰,山峰高度按照正弦函数变化,山峰高度分别为20 m、30 m和50 m。在该条件下,由于直射波和反射波的时延范围和表1计算结果相近,故仍采用频率为136 ~ 264 MHz,频率步进可选1 MHz,即时时间分辨率为7. 8 ns,时间窗口为1μs的计算设置。

图3给出了该条件下的电波传播特性预测图,从图中可以看出,由于山峰的存在,在3 km距离上的不同高度的接收机所接收到的电磁波除了直射波以外,还将有不同斜率的山体的反射波,由于山峰的高度、距离和斜率不同,显然将会有多个反射波出现。

图4给出了接收机高度分别为125 m、250 m、375 m和500 m时的信道脉冲响应函数,同样图中横坐标的点位间距为时间分辨率( 7. 8 ns) ,从图4中可以看出,当接收机高度为125 m,由于地形的抬升,使得地面直射波、反射波之间的时延减小,故此时用7. 8 ns的时间分辨率并不能将多径信号区分开来; 当接收机高度为250 m时,多径时差渐渐拉大,通过图示已经能够看出共存在4路入射波,它们之间的时差约为2×7. 8 ns = 15. 6 ns; 当接收机高度为375 m时,4路入射波的时差和幅值关系已经能够得到清晰的展现,它们之间的时差分别为4×7. 8 = 31. 8 ns、5×7. 8 = 39 ns和7×7. 8 = 54. 6 ns;当接收机高度为500 m时,由于地形的不规则反射,此时共有3路主要的入射电波到达接收机,它们之间的时延分别为6×7. 8 = 46. 8 ns和10×7. 8 = 78ns,而相对时延为14×7. 8 = 109. 2 ns的第4路入射波的强度已经非常微弱,该现象通过图4也能够看出来,而第4路入射波应该是第3座山峰的反射波。

4 结束语

针对电波传播领域中常见的多径信道脉冲响应函数预测问题进行研究,重点研究了基于抛物方程的多径信道脉冲响应函数预测算法及其实现,并利用2D抛物方程模型对不同场景下的多径信道脉冲响应函数进行了预测仿真,仿真结果表明了基于抛物方程模型的多径信道脉冲响应函数预测模型的适用性。

抛物方程篇9

关键词：混合体积元方法,拟线性抛物型积分微分方程,误差估计

2008年9月9日收到国家自然科学基金 (10270168、40581119) 、天元基金 (A0324647) 、山东省自然科学基金 (Y2002A01) 和山东省优秀中青年科学家科研奖励基金 (2004BS01009) 资助

设Ω为R2中的轴平行有界区域, 考虑下列拟线性抛物型积分微分方程初边值问题 (c表示不依赖于部分参数的正常数, 不同处的c可以表示不同的值) 。

(1) 式中T是固定的正常数, a (u) , b1 (u) , c1 (u) 以及它们的偏导数光滑有界, 且假定存在正常数c0, c1, 满足0<c0<a (u) <c1<∞, f, u0为已知的函数。假定∀ε>0, 0<ε<1, 对任给f∈Hε (Ω) , (1) 式存在唯一解u∈Hε+2 (Ω) 。

1混合体积元格式

引入函数空间

基于矩形原始剖分Γh选择最低阶的R-T混合元空间Vh×Wh作为试探函数空间, 其中Vh={v∈V;v (x, y) = (a+bx, c+dy) on Qij∈Γh}, Wh={w∈W;w|k=const, ∀k∈Γh}。

定义R-T投影πh:V→Vh, 满足 (div (v-πhv) , wh) =0, ∀wh∈Wh;

定义L2正交投影ph:W→Wh满足 (phχ-χ, wh) =0, ∀wh∈Wh;

基于部分Γh及其对偶剖分, 选择空间Yh×Wh作为检验函数空间, 其中Yh={ (u1, h, u2, h) ∈L2 (Ω) 2: $u_{1, h} / Q_{i + \frac{1}{2}, j} = c o n s t a n t$ , 在边界单元上u1, h=0; $u_{2, h} / Q_{i, j + \frac{1}{2}} = c o n s t a n t$ , 在边界单元上u2, h=0}。

迁移算子γh: $V_{h} \to Y_{h}, γ_{h} v_{h} = (\sum_{i, j} v_{1, h} (c_{i + \frac{1}{2}}, j) χ_{i + \frac{1}{2}, j}, \sum_{i, j} v_{2, h} (c_{i, j + \frac{1}{2}}) χ_{i, j + \frac{1}{2}})$ , 其中 $v_{h} = (v_{1, h}, v_{2, h}) ‚ χ_{i + \frac{1}{2}, j}, χ_{i, j + \frac{1}{2}}$ 分别为对偶剖分单元 $Q_{i + \frac{1}{2}, j}$ 和 $Q_{i, j + \frac{1}{2}}$ 的特征函数, γh为一对一的。

引入插值算子Rh:H3 (Ω) ⊂L∞ (Ω) →Wh, 其中Rhp (x, y) =p (ci, j) , ∀ (x, y) ∈Qi, j。

令p=- (a (u) ᐁu+∫ $_{0}^{t}$ b1 (u) ᐁudτ+∫ $_{0}^{t}$ c1 (u) udτ) = (p1, p2) , α (u) =a-1 (u) , b (u) =α (u) b1 (u) , c (u) =α (u) c1 (u) -ᐁb (u) = (c1 (u) , c2 (u) ) , x= (x, y) , n= (n1, n2) 为单位外法向量, 从而问题 (1) 式的混合体积元格式为求{ph, uh}:[0, T]→Vh×Wh, 使得

其中 $p_{h} = (p_{1, h}, p_{2, h}) \tilde{u} (0)$ 与 $\tilde{p} (0)$ 由 (3) 式定义。并且对于

$\begin{array}{l} v_{h} = (v_{1, h}, v_{2, h}) \in V_{h} ‚ \\ B (v_{h}, l) = - \sum_{i, j} \int_{\partial Q_{i + \frac{1}{2}, j}} l (v_{1, h} (c_{i, \frac{1}{2}, j}), 0)^{Τ} \cdot n d s - \sum_{i, j} \int_{\partial Q_{i, j + \frac{1}{2}}} l (0, v_{2, h} (c_{i, j + \frac{1}{2}}))^{Τ} \cdot n d s 。 \end{array}$

2混合体积元椭圆投影

引入变分问题 (2) 的混合体积元椭圆投影。设 $(\tilde{p}, \tilde{u})$ :[0, T]→Vh×Wh满足

由带积分余项的泰勒展开式, 有 $α (\tilde{u}) - α (u) = α_{u} (u) (\tilde{u} - u) + \tilde{α}_{u u} (\tilde{u}) (\tilde{u} - u)^{2}$ , 其中 $\tilde{α}_{u} (\tilde{u}) = \int_{0}^{1} α_{u} (\tilde{u} + θ (u - \tilde{u})) d θ$ 是Ω上的有界函数, 对 $b (\tilde{u}) - b (u)$ 有类似的结论。

令Γ1=αu (u) p, Γ2=b (u) +bu (u) u, Γ3=c (u) +cu (u) u, 则 (3) 式可写为

(4) 式中 $Μ_{1} + Μ_{2} = \int_{0}^{t} [R_{h} b (\tilde{u}) \tilde{u} - b (\tilde{u}) \tilde{u}] d τ = \int_{0}^{t} {[R_{h} (\tilde{b}_{u} (\tilde{u}) (\tilde{u} - u)) - \tilde{b}_{u} (\tilde{u}) (\tilde{u} - u)) (\tilde{u} - u) + (R_{h} b (u) - b (u)) (\tilde{u} - u)] + [(R_{h} (\tilde{b}_{u} (\tilde{u}) (\tilde{u} - u)) - \tilde{b}_{u} (\tilde{u}) (\tilde{u} - u)) u + (R_{h} b (u) - b (u)) u]} d τ$ 。

定义一个投影Φ:Vh×Wh→Vh×Wh, Φ (μ, ρ) = (y, z) 是问题

的解, 易见问题 (4) 式的解就是Φ的一个不动点。如果能够证明Φ是将Vh×Wh中半径为δ的球映射到自身的映射, 那么问题 (4) 式解的存在性可用Brouwer不动点定理来证明。首先类似于文献[1], 可证得下面的预备定理。

引理1 设2≤θ<∞, ω∈V, q是定义在Vh上的线性函数。若χ∈Wh, 满足

则有‖χ‖0, θ∈c{‖q‖0+h2/θ‖ω‖0+h‖divω‖0}, 其中 $∥ q ∥_{0} = \sup_{v_{h} \in V_{h}} \frac{(q, v_{h})}{∥ v_{h} ∥_{0}} (7)$

令vh=Vh, wh=Wh, ‖vh‖vh=‖vh‖0, 2+ϵ+‖divvh‖0, ‖wh‖wh=‖wh‖0, (4+2ϵ) /ϵ。

引理2 当依赖于h的δ>0充分小时, Ψ是将Vh×Wh中半径为δ的球映射到自身的映射。

证明记θ= (4+2ϵ) /ϵ, 设‖πhp-μ‖vh≤δ, ‖phu-ρ‖wh≤δ<1, (8)

在 (6) 式中令

$\begin{array}{l} q (v_{h}) = (α (u) (π_{h} p - p), γ_{h} v_{h}) + (α (u) p + \int_{0}^{t} c (u) u d τ, γ_{h} v_{h} - v_{h}) - (d i v v_{h}, \int_{0}^{t} Γ_{2} (p_{h} u - u) d τ) + \\ (Γ_{1} (p_{h} u - u) + \int_{0}^{t} Γ_{3} (p_{h} u - u) d τ, γ_{h} v_{h}) + \\ (\tilde{α}_{u} (ρ) (u - ρ) (p - μ) + \tilde{α}_{u u} (ρ) p (u - ρ)^{2} + \int_{0}^{t} [\tilde{c}_{u} (ρ) + \tilde{c}_{u u} (ρ)_{u}] (u - ρ)^{2} d τ, γ_{h} v_{h}) - \\ (d i v v_{h}, \int_{0}^{t} [\tilde{b}_{u} (ρ) + \tilde{b}_{u u} (ρ) u] (u - ρ)^{2} d τ) + \\ (d i v v_{h}, \int_{0}^{t} [\tilde{b}_{u} (ρ) (ρ - u) - R_{h} (\tilde{b}_{u} (ρ) (ρ - u)) + b (u) - R_{h} (b (u))] (ρ - p_{h} u) d τ) + \\ (d i v v_{h}, \int_{0}^{t} [\tilde{b}_{u} (ρ) (ρ - u) - R_{h} (\tilde{b}_{u} (ρ) (ρ - u)) + b (u) - R_{h} (b (u))] p_{h} u d τ) - \end{array}$

$\begin{array}{l} B (v_{h}, \int_{0}^{t} [\tilde{b}_{u} (ρ) (ρ - u) - R_{h} (\tilde{b}_{u} (ρ) (ρ - u)) + b (u) - R_{h} (b (u))] (ρ - p_{h} u) d τ) - \\ B (v_{h}, \int_{0}^{t} [\tilde{b}_{u} (ρ) (ρ - u) - R_{h} (\tilde{b}_{u} (ρ) (ρ - u)) + b (u) - R_{h} (b (u))] p_{h} u d τ) = \\ B_{1} + B_{2} + \dots + B_{10} 。 \end{array}$

易知, B1≤ch‖p‖1‖vh‖;B2≤ch (‖p‖1+∫ $_{0}^{t}$ ‖u‖1dτ) ‖vh‖;B4≤ch (‖u‖1+∫ $_{0}^{t}$ ‖u‖1dτ) ‖vh‖;

设Γ0是Γ2的分片常数逼近, 满足‖Γ2-Γ0‖0≤ch, 所以由逆估计 (8) 式有

B3≤‖divvh‖∫ $_{0}^{t}$ ‖ (Γ2-Γ0) (phu-u) ‖dτ≤ch‖vh‖∫ $_{0}^{t}$ ‖u‖1, ∞dτ;

B5≤c{‖u-ρ‖0, θ‖p-μ‖0, 2+ϵ+‖u-ρ‖ $_{0, 4}^{2}$ +∫ $_{0}^{t}$ ‖u-ρ‖ $_{0, 4}^{2}$ dτ}‖vh‖≤c (h2+hδ+δ2) ‖vh‖0;

B6≤c‖divvh‖0, θ/ (θ-2) ∫ $_{0}^{t}$ ‖ (u-ρ) 2‖0, θ/2dτ≤c‖divvh‖0, θ/ (θ-2) ∫ $_{0}^{t}$ ‖ (u-ρ) ‖ $_{0, θ}^{2}$ dτ≤

c (h4/ (2+ϵ) +h (2-ϵ) / (2+ϵ) δ+h-2ϵ/ (2+ϵ) δ2) ‖vh‖0;

$\begin{array}{l} B_{7} \leq c h^{2} \int_{0}^{t} (∥ \tilde{b}_{u} (ρ) (ρ - u) ∥_{2} + ∥ b (u) ∥_{2} \\ ∥ d i v v_{h} (p_{h} u - ρ) ∥_{0} d τ \leq c h^{2 / (2 + ϵ)} δ ∥ v_{h} ∥_{0} ； \end{array}$

B8≤ch2∫ $_{0}^{t}$ (‖ρ-phu‖0+1) ‖divvh‖0‖phu‖0, ∞dτ≤

ch (δ+1) ‖vh‖0;

类似于B7, B8, 可得B9≤ch2/ (2+ϵ) (δ+1) δ‖vh‖0≤ch2/ (2+ϵ) δ‖vh‖0;B10≤ch (δ+1) ‖vh‖0。

由方程 (5) 式 (b) 得到‖div (πhp-y) ‖0=0, (5) 式 (a) 中取vh=πhp-y, 对 (5) 式应用引理1, 当h充分小时, 由Gronwall引理得 $∥ π_{h} p - y ∥_{0, 2 + ϵ} \leq c h^{\frac{2}{2 + ϵ} - 1} ∥ π_{h} p - y ∥_{0} \leq C_{2} (h^{\frac{2}{2 + ϵ}} + h^{\frac{2 - 2 ϵ}{2 + ϵ}} δ + h^{\frac{- 3 ϵ}{2 + ϵ}} δ^{2})$ 。

因此取 $δ = 3 C_{2} h^{\frac{2}{2 + ϵ}}$ , 要求h, δ满足 $h \leq (\frac{1}{3 C_{2}})^{\frac{2 + ϵ}{2 - 2 ϵ}}, C_{1} {\frac{1}{3 C_{2}} h^{\frac{e}{2 + e}} + h^{\frac{2 - e}{2 + e}} + 3 C_{2} h^{\frac{2 - 2 e}{2 + e}}} \leq 1, δ \in [3 C_{2} h^{\frac{2}{2 + e}}, \frac{1}{3 C_{2}} h^{\frac{3 e}{2 + e}}] \neq \emptyset$ 。即证Φ是将Vh×Wh中半径为 $δ = Ο (h^{\frac{2}{2 + e}})$ 的球映射到自身的映射。

因为 (5) 式是线性的, 所以Φ有唯一不动点, 从而得到问题 (4) 式的解存在唯一。

推论 $3 ∥ \tilde{u} ∥_{0, \infty}, ∥ \tilde{p} ∥_{0, \infty}$ 均有界。

令 $ξ = \tilde{p} - p = \tilde{σ} + π_{h} p - p, \tilde{τ} = \tilde{u} - p_{h} u, η = \tilde{u} - u = \tilde{τ} + p_{h} u - u$ , 则 (3.1) 可写为

其中 $Γ_{4} = \tilde{α}_{u} (\tilde{u}) \tilde{Ρ}, Γ_{5} = \tilde{b}_{u} (\tilde{u}) \tilde{u} + b (u), Γ_{6} = c (u) + \tilde{c}_{u} (\tilde{u}) \tilde{u}$ , 由投影的有界性可得Γ4, Γ5, Γ6是有界的。上式关于t求导得

引理4 设Ω是2-正则的, 当h充分小时有 $∥ \tilde{u} - u ∥ \leq c h {∥ u ∥_{1} + ∥ p ∥_{2} + \int_{0}^{t} ∥ u ∥_{1} d τ}$ 。

$\begin{array}{l} ∥ \tilde{p} - p ∥_{Η (d i v)} \leq c h (∥ u ∥_{1} + ∥ p ∥_{2} + \\ \int_{0}^{t} (∥ u ∥_{1} + ∥ p ∥_{2}) d τ) 。 \end{array}$

证明对0≤t≤T, 有

$\begin{array}{l} (\tilde{τ}, ψ) = - (α (u) ξ, γ_{h} π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) + \\ (d i v (π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) \int_{0}^{t} Γ_{5} \tilde{τ} d τ) + (d i v (π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) \times \\ \int_{0}^{t} Γ_{5} (p_{h} u - u) d τ) + (Γ_{4} (u - p_{h} u) + \\ \int_{0}^{t} Γ_{6} (u - p_{h} u) d τ) - \int_{0}^{t} Γ_{6} \tilde{τ} d τ, γ_{h} π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) + \\ (α (u) p + \int_{0}^{t} c (u) u d τ, (Ι - γ_{h}) π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) - (d i v (π_{h} (a (u) \nabla ϕ)), \int_{0}^{t} (b (\tilde{u}) - R_{h} b (\tilde{u})) \tilde{u} d τ) - \\ B (π_{h} (a (u) \nabla ϕ), \int_{0}^{t} (R_{h} b (\tilde{u}) - b (\tilde{u})) \tilde{u} d τ) + (Γ_{4} \tilde{τ}, a (u) \nabla ϕ - γ_{h} π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) = D_{1} + D_{2} + D_{3} + D_{4} + D_{5} + D_{6} + D_{7} + D_{8} 。 \end{array}$

ψ∈L2 (Ω) , ϕ是 (a) -div (a (u) ᐁϕ) +a (u) ᐁϕΓ4=ψ, inΩ, (b) ϕ=0, on ∂Ω, (11)

的解。

下面依次估计右端各项。D1≤ch‖ξ‖‖ᐁϕ‖1+ch‖divξ‖‖ϕ‖1≤ch{‖ξ‖+

‖divξ‖}‖ψ‖。因为 (div $ξ, π_{h} p - \tilde{p}) = 0$ , 所以‖divξ‖≤‖div (πhp-p) ‖≤‖p‖2。

由此得到, |D1|≤ch{‖ξ‖+‖p‖2}‖ψ‖; $| D_{2} | \leq c \int_{0}^{t} ∥ \tilde{τ} ∥ d τ ∥ ψ ∥$ ;|D3|≤ch∫ $_{0}^{t}$ ‖u‖1dτ‖ψ‖;

$| D_{4} | \leq c {h (∥ u ∥_{1} + \int_{0}^{t} ∥ u ∥_{1} d τ) + \int_{0}^{t} ∥ \tilde{τ} ∥ d τ} ∥ ψ ∥;$

|D5|≤ch{‖p‖1+∫ $_{0}^{t}$ ‖u‖1dτ}‖ψ‖;

$| D_{6} | \leq c h \int_{0}^{t} (∥ \tilde{τ} ∥ + ∥ u ∥) d τ ∥ ψ ∥;$

$| D_{7} | \leq c h \int_{0}^{t} (∥ \tilde{τ} ∥ + ∥ u ∥) d τ ∥ ψ ∥;$

$| D_{8} | \leq c h | \tilde{τ} | ∥ ψ ∥$ 。

当h充分小时, 利用Gronwall引理得, $∥ \tilde{τ} ∥ \leq c h {∥ ξ ∥ + ∥ u ∥_{1} + ∥ p ∥_{2} + \int_{0}^{t} ∥ u ∥_{1} d τ}$ 。

在 (9) 式 (b) 中令wh=div $\tilde{σ}$ 有div $\tilde{σ} = 0$ 。在 (9) 式 (a) 中取 $v_{h} = \tilde{σ}$ 有

$∥ \tilde{σ} ∥ \leq c {h (∥ p ∥_{1} + ∥ u ∥_{1} + \int_{0}^{t} ∥ u ∥_{1} d τ) + ∥ \tilde{τ} ∥ + \int_{0}^{t} ∥ \tilde{τ} ∥ d τ}$ , 定理即得证。

引理 $5 ∥ (\tilde{u} - u)_{t} ∥ \leq c h {∥ u ∥_{1} + ∥ u_{t} ∥_{1} + ∥ p ∥_{2} + ∥ p_{t} ∥_{1} + \int_{0}^{t} (∥ u ∥_{1} + ∥ p ∥_{2}) d τ}$ 。

$∥ (\tilde{p} - p)_{t} ∥ Η_{(d i v)} \leq c h {∥ u ∥_{1} + ∥ u_{t} ∥_{1} + ∥ p ∥_{2} + ∥ p_{t} ∥_{2} + \int_{0}^{t} (∥ u ∥_{1} + ∥ p ∥_{2}) d τ}$ 。

证明在 (10) 式 (b) 中取wh=div $\tilde{σ}_{t}$ , 有‖div $(p - \tilde{p})_{t} ∥ = ∥ d i v (p - π_{h} p)_{t} ∥ \leq c h ∥ p_{t} ∥_{2}$ 。

$\begin{array}{l} c ∥ \tilde{σ}_{t} ∥^{2} \leq (α (u) \tilde{σ}_{t}, γ_{h} \tilde{σ}_{t}) = E_{1} + E_{2} + E_{3} + E_{4} = \\ l_{t} (\tilde{σ}_{t}) + (α_{t} (u) (p - π_{h} p) + α (u) (p_{t} - π_{h} p_{t}), γ_{h} \tilde{σ}_{t}) - \\ (α_{t} (u) \tilde{σ} + Γ_{4 t} \tilde{τ} + Γ_{4} \tilde{τ}_{t}, γ_{h} \tilde{σ}_{t}) - (\int_{0}^{t} Γ_{6 t} \tilde{τ} d τ + Γ_{6} \tilde{τ}, γ_{h} \tilde{σ}_{t}) 。 \end{array}$

下面依次估计右端各项。

$| E_{1} | \leq c h {∥ u ∥_{1} + ∥ u_{t} ∥_{1} + ∥ p ∥_{1} + ∥ p_{t} ∥_{1} + \int_{0}^{t} (∥ u ∥_{1} + ∥ \tilde{τ} ∥) d τ + ∥ \tilde{τ} ∥} ∥ \tilde{σ}_{t} ∥$ ;

$| E_{2} | \leq c h {∥ p ∥_{1} + ∥ p_{t} ∥_{1}} ∥ \tilde{σ}_{t} ∥$ ; $| E_{3} | \leq c {∥ \tilde{σ} ∥ + ∥ \tilde{τ} ∥ + ∥ \tilde{τ}_{t} ∥} ∥ \tilde{σ}_{t} ∥$ ; $| E_{4} | \leq c {∥ \tilde{τ} ∥ + \int_{0}^{t} ∥ \tilde{τ} ∥ d τ} ∥ \tilde{σ}_{t} ∥$ ;

得 $∥ \tilde{σ}_{t} ∥ \leq c h {∥ u ∥_{1} + ∥ u_{t} ∥_{1} + ∥ p ∥_{2} + ∥ p_{t} ∥_{1} + \int_{0}^{t} (∥ u ∥_{1} + ∥ p ∥_{2}) d τ} + c ∥ \tilde{τ}_{t} ∥$ 。

对ψ∈L2 (Ω) , 设ϕ∈H2 (Ω) ∩H $_{0}^{1}$ (Ω) 满足问题 (11) ,

$\begin{array}{l} (\tilde{τ}_{t}, ψ) = - (α_{t} (u) \tilde{σ} + α (u) \tilde{σ}_{t}, γ_{h} π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) - \\ (Γ_{4 t} \tilde{τ} + \int_{0}^{t} Γ_{6 t} \tilde{τ} + \int_{0}^{t} Γ_{6 t} \tilde{τ} d τ + Γ_{6} \tilde{τ}, γ_{h} π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) + \\ (d i v (π_{h} (a (u) \nabla ϕ)), Γ_{5} \tilde{τ} + \int_{0}^{t} Γ_{5 t} \tilde{τ} d τ) + (Γ_{4} \tilde{τ}_{t}, a (u) \nabla ϕ - γ_{h} π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) + (α_{t} (u) (p - π_{h} p) + \\ α (u) (p_{t} - π_{h} p_{t}), γ_{h} π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) + \\ l_{t} (π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) = F_{1} + F_{2} + F_{3} + F_{4} + F_{5} + F_{6} 。 \end{array}$

F1至F6的估计如下:

$\begin{array}{l} | F_{1} | \leq c {∥ \tilde{σ} ∥ ∥ π_{h} (a (u) \nabla ϕ) ∥ + \\ h ∥ \tilde{σ}_{t} ∥ ∥ ψ ∥} \leq c {∥ \tilde{σ} ∥ + h ∥ \tilde{σ}_{t} ∥} ∥ ψ ∥}; \end{array}$

$\begin{array}{l} | F_{2} | = | - (Γ_{4 t} \tilde{τ} + \int_{0}^{t} Γ_{6 t} \tilde{τ} d τ + Γ_{6} \tilde{τ}, γ_{h} π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) | \leq \\ c {∥ \tilde{τ} ∥ + \int_{0}^{t} ∥ \tilde{τ} ∥ d τ} ∥ ψ ∥; \end{array}$

$| F_{3} | \leq c {∥ \tilde{τ} ∥ + \int_{0}^{t} ∥ \tilde{τ} ∥ d τ} ∥ ψ ∥;$

$| F_{4} | \leq c h ∥ \tilde{τ}_{t} ∥ ∥ ψ ∥;$

|F5|≤ch{‖p‖1+‖pt‖1}‖ψ‖;

$| F_{6} | = | l_{t} (π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) | \leq c h {∥ u ∥_{1} + ∥ u_{t} ∥_{1} + ∥ p ∥_{1} + ∥ p_{t} ∥_{1} + \int_{0}^{t} (∥ u ∥_{1} + ∥ \tilde{τ} ∥) d τ + ∥ \tilde{τ} ∥} ∥ ψ ∥$ 。

当h充分小时, 利用Gronwall引理

$∥ \tilde{τ}_{t} ∥ \leq c {h (∥ u ∥_{1} + ∥ u_{t} ∥_{1} + ∥ p ∥_{1} + ∥ p_{t} ∥_{1} + \int_{0}^{t} ∥ u ∥_{1} d τ) + ∥ \tilde{σ} ∥ + h ∥ \tilde{σ}_{t} ∥ + ∥ \tilde{τ} ∥ + \int_{0}^{t} ∥ \tilde{τ} ∥ d τ}$ , 证毕。

引理 $6 ∥ (\tilde{u} - u)_{t t} ∥ \leq c h {∥ u ∥_{1} + ∥ u_{t} ∥_{1} + ∥ u_{t t} ∥_{1} + ∥ p ∥_{2} + ∥ p_{t} ∥_{1} + ∥ p_{t t} ∥_{1} + \int_{0}^{t} (∥ u ∥_{1} + ∥ p ∥_{2}) d τ}$ 。

$∥ (\tilde{p} - p)_{t t} ∥ Η_{(d i v)} \leq c h {∥ u ∥_{1} + ∥ u_{t} ∥_{1} + ∥ u_{t t} ∥_{1} + ∥ p ∥_{2} + ∥ p_{t} ∥_{1} + ∥ p_{t t} ∥_{2} + \int_{0}^{t} (∥ u ∥_{1} + ∥ p ∥_{2}) d τ}$ 。

证明对 (10) 式关于t求导得

${\begin{cases} (a) (α_{t t} (u) \tilde{σ} + 2 α_{t} (u) \tilde{σ}_{t} + α (u) \tilde{σ}_{t t}, γ_{h} v_{h}) + \\ (Γ_{4 t t} \tilde{τ} + 2 Γ_{4 t} \tilde{τ}_{t} + Γ_{4} \tilde{τ}_{t t}, γ_{h} v_{h}) + \\ (2 Γ_{6 t} \tilde{τ} + \int_{0}^{t} Γ_{6 t t} \tilde{τ} d t + Γ_{6} \tilde{τ}_{t}, γ_{h} v_{h}) - (d i v v_{h}, \tilde{τ}_{t t} + \\ 2 Γ_{5 t} \tilde{τ} + Γ_{5} \tilde{τ}_{t} + \int_{0}^{t} Γ_{5 t t} \tilde{τ} d τ) = \\ (α_{t t} (u) (p - π_{h} p) + 2 α_{t} (u) (p_{t} - π_{h} p_{t}) + \\ α (u) (p_{t t} - π_{h} p_{t t}), γ_{h} v_{h}) + l_{t t} (v_{h}), \forall v_{h} \in V_{h} ； \\ (b) (d i v \tilde{σ}_{t t}, w_{h}) = 0, \forall w_{h} \in W_{h} 。 \end{cases}$

(12)

对ψ∈L2 (Ω) , 设ϕ∈H2 (Ω) ∩H $_{0}^{1}$ (Ω) 满足问题 (11) 式, 有

$\begin{array}{l} (\tilde{τ}_{t t}, ψ) = - (α_{t t} (u) \tilde{σ} + 2 α_{t} (u) \tilde{σ}_{t}, \\ γ_{h} π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) + (α (u) \tilde{σ}_{t t}, (Ι - γ_{h} π_{h}) (a (u) \nabla ϕ)) - \\ (Γ_{4 t t} \tilde{τ} + 2 Γ_{4 t} \tilde{τ}_{t}, γ_{h} π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) + l_{t t} (π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) - \\ (2 Γ_{6 t} \tilde{τ} + \int_{0}^{t} Γ_{6 t t} \tilde{τ} d τ + Γ_{6} \tilde{τ}_{t}, γ_{h} π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) + (d i v (π_{h} (a (u) \nabla ϕ)), 2 Γ_{5 t} \tilde{τ} + Γ_{5} \tilde{τ}_{t} + \int_{0}^{t} Γ_{5 t t} \tilde{τ} d τ) + \\ (α_{t t} (u) (p - π_{h} p) + 2 α_{t} (u) (p_{t} - π_{h} p_{t}), γ_{h} π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) + (α (u) (p_{t t} - π_{h} p_{t t}), γ_{h} π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) + \\ (Γ_{4} \tilde{τ}_{t t}, a (u) \nabla ϕ - γ_{h} π_{h} (a (u) \nabla ϕ)) = Ν_{1} + Ν_{2} + Ν_{3} + Ν_{4} + Ν_{5} + Ν_{6} + Ν_{7} + Ν_{8} + Ν_{9} 。 \end{array}$

在 (2) 式中令wh=div $\tilde{σ}_{t t}$ , 得‖div $(\tilde{p} - p)_{t t} ∥ = ∥ d i v (p - π_{h} p)_{t t} ∥ \leq c h ∥ p_{t t} ∥_{2}$ 。

右端各项进行如下估计。

$\begin{array}{l} | Ν_{1} | \leq c {∥ \tilde{σ} ∥ + ∥ \tilde{σ}_{t} ∥} ∥ ψ ∥ \leq c h {∥ u ∥_{1} + \\ ∥ u_{t} ∥_{1} + ∥ p ∥_{2} + ∥ p_{t} ∥_{1} + \int_{0}^{t} (∥ u ∥_{1} + ∥ p ∥_{2}) d τ} ∥ ψ ∥; \end{array}$

$| Ν_{2} | \leq c ∥ \tilde{σ}_{t t} ∥ ∥ (Ι - γ_{h} Π_{h}) (a (u) \nabla ϕ)) ∥ \leq c h ∥ \tilde{σ}_{t t} ∥ ∥ ψ ∥$ ,

令 (12) 式 (a) 中 $v_{h} = \tilde{σ}_{t t}$ , 有

$\begin{array}{l} ∥ \tilde{σ}_{t t} ∥^{2} \leq c {∥ \tilde{σ} ∥ + ∥ \tilde{σ}_{t} ∥ + ∥ \tilde{τ} ∥ + ∥ \tilde{τ}_{t} ∥ + \\ ∥ \tilde{τ}_{t t} ∥ + \int_{0}^{t} ∥ \tilde{τ} ∥ d τ + h (∥ p ∥_{1} + ∥ p_{t} ∥_{1} + ∥ p_{t t} ∥_{1})} ∥ \tilde{σ}_{t t} ∥ + ∥ l_{t t} (\tilde{σ}_{t t}) ∥ ‚ \end{array}$

$l_{t t} (\tilde{σ}_{t t}) \leq c h {∥ u ∥_{1} + ∥ u_{t} ∥_{1} + ∥ u_{t t} ∥_{1} + ∥ p ∥_{1} + ∥ p_{t} ∥_{1} + ∥ p_{t t} ∥_{1} + ∥ \tilde{τ} ∥ + \int_{0}^{t} (∥ u ∥_{1} + ∥ \tilde{τ} ∥) d τ} ∥ \tilde{σ}_{t t} ∥$ , 从而得

‖

$| Ν_{2} | \leq c h {∥ u ∥_{1} + ∥ u_{t} ∥_{1} + ∥ u_{t t} ∥_{1} + ∥ p ∥_{2} + ∥ p_{t} ∥_{1} + ∥ p_{t t} ∥_{1} + \int_{0}^{t} (∥ u ∥_{1} + ∥ p ∥_{2}) d τ +$

tt‖}‖ψ‖;

|N3|≤c{h (‖u‖1+‖ut‖1+‖p‖2+‖pt‖1+∫ $_{0}^{t}$ (‖u‖1+‖p‖2) dτ) }‖ψ‖;

$| Ν_{4} | \leq c h {∥ u ∥_{1} + ∥ u_{t} ∥_{1} + ∥ u_{t t} ∥_{1} + ∥ p ∥_{1} + ∥ p_{t} ∥_{1} + ∥ p_{t t} ∥_{1} + ∥ \tilde{τ} ∥ + \int_{0}^{t} (∥ u ∥_{1} +$

$∥ \tilde{τ} ∥) d τ} ∥ ψ ∥;$

|N5|≤ch{‖u‖1+‖ut‖1+‖p‖2+‖pt‖1+∫ $_{0}^{t}$ (‖u‖1+‖p‖2) dτ}‖ψ‖;

|N6|≤ch{‖u‖1+‖ut‖1+‖p‖2+‖pt‖1+∫ $_{0}^{t}$ (‖u‖1+‖p‖2) dτ}‖ψ‖;

|N7|≤ch{‖p‖1+‖pt‖1}‖ψ‖;|N8|≤ch‖ptt‖1‖ψ‖; $| Ν_{9} | \leq c h ∥ \tilde{τ}_{t t} ∥ ∥ ψ ∥$ 。

由前面得到的‖div $(\tilde{p} - p)_{t t} ∥$ 和三角不等式即得结论。

3连续时间的误差估计

$\begin{array}{l} 令 u_{h} - u = u_{h} - \tilde{u} + \tilde{u} - u = \tilde{η} + η, p_{h} - p = p_{h} - \tilde{p} + \tilde{p} - p = \tilde{ξ} + ξ, η = \tilde{u} - u = \tilde{τ} + p_{h} u - u ‚ \\ Γ_{7} = \tilde{α}_{\tilde{u}} (u_{h}) p_{h}, Γ_{8} = c (\tilde{u}) + \tilde{c}_{\tilde{u}} (u_{h}) u_{h}, Γ_{9} = b (\tilde{u}) + \tilde{b}_{\tilde{u}} (u_{h}) u_{h} \end{array}$

则误差方程整理为

${\begin{cases} (a) (\tilde{η}_{t}, w_{h}) + (d i v \tilde{ξ}, w_{h}) = - (η_{t}, w_{h}), \\ \forall w_{h} \in W_{h}, \forall v_{h} \in V_{h}, t \in (0, Τ]; \\ (b) (α (\tilde{u}) \tilde{ξ} + Γ_{7} \tilde{η}, γ_{h} v_{h}) + (\int_{0}^{t} Γ_{8} \tilde{η} d τ, γ_{h} v_{h}) - \\ (d i v v_{h}, \tilde{η} + \int_{0}^{t} (R_{h} Γ_{9}) \tilde{η} d τ) = B (v_{h}, \int_{0}^{t} (Γ_{9} - \\ R_{h} Γ_{9}) \tilde{η} d τ) 。 \end{cases}$

(13)

定理1 令 (u, p) , (uh, ph) 分别为真解和离散解, 则

$\begin{array}{l} ∥ u - u_{h} ∥ \leq c h {∥ u ∥_{1} + ∥ p ∥_{2} + \int_{0}^{t} ∥ u ∥_{1} d τ + \\ (\int_{0}^{t} (∥ u ∥_{1}^{2} + ∥ u_{t} ∥_{1}^{2} + ∥ p ∥_{2}^{2} + ∥ p_{t} ∥_{1}^{2}) d τ)^{\frac{1}{2}}} 。 \end{array}$

‖ (uh-u) t‖≤ch{‖u (0) ‖1+‖ut (0) ‖1+‖p (0) ‖2+‖pt (0) ‖1+‖u‖1+‖ut‖1+‖p‖2+‖pt‖1+∫ $_{0}^{t}$ (‖u‖1+‖p‖2) dτ}+

ch{∫ $_{0}^{t}$ (‖u‖ $_{1}^{2}$ +‖ut‖ $_{1}^{2}$ +‖utt‖ $_{1}^{2}$ +‖p‖ $_{2}^{2}$ +‖pt‖ $_{1}^{2}$ +‖ptt‖ $_{1}^{2}$ ) dτ}1/2。

‖ph-p‖H (div) ≤ch{‖u (0) ‖1+‖ut (0) ‖1+

‖p (0) ‖2+‖pt (0) ‖1+‖u‖1+‖ut‖1+‖p‖2+‖pt‖1}+

∫ $_{0}^{t}$ (‖u‖1+‖p‖2) dτ+ (∫ $_{0}^{t}$ (‖u‖ $_{1}^{2}$ ) +‖ut‖ $_{1}^{2}$ +‖utt‖ $_{1}^{2}$ +‖p‖ $_{2}^{2}$ +‖pt‖ $_{1}^{2}$ +‖ptt‖ $_{1}^{2}$ ) dτ) 1/2}。

证明在 (13) 式中令 $v_{h} = \tilde{ξ} ‚ w_{h} = \tilde{η} + \int_{0}^{t} (R_{h} Γ_{9}) \tilde{η} d τ$ 两式相加, 又因为

$\frac{d}{d t} (\tilde{η}, \int_{0}^{t} (R_{h} Γ_{9}) \tilde{η} d τ) = (\tilde{η}_{t}, \int_{0}^{t} (R_{h} Γ_{9}) \tilde{η} d τ) + (\tilde{η}, (R_{h} Γ_{9}) \tilde{η} + \int_{0}^{t} (R_{h} Γ_{9})_{t} \tilde{η} d τ)$ , 所以

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \frac{d}{d t} ∥ \tilde{η} ∥^{2} + c_{0} ∥ \tilde{ξ} ∥^{2} \leq \frac{1}{2} \frac{d}{d t} ∥ \tilde{η} ∥^{2} + (α (\tilde{u}) ξ, γ_{h} \tilde{ξ}) = \\ - \frac{d}{d t} (\tilde{η}, \int_{0}^{t} (R_{h} Γ_{9}) \tilde{η} d τ) + (\tilde{η}, (R_{h} Γ_{9}) \tilde{η} + \int_{0}^{t} (R_{h} Γ_{9})_{t} \tilde{η} d τ) - (η_{t}, \tilde{η} + \int_{0}^{t} (R_{h} Γ_{9}) \tilde{η} d τ) \leq \\ - \frac{d}{d t} (\tilde{η}, \int_{0}^{t} p_{h} (Γ_{9} \tilde{η}) d τ) + c {∥ \tilde{η} ∥^{2} + \int_{0}^{t} ∥ η ∥^{2} d τ + ∥ η_{t} ∥^{2}} + \frac{c_{0}}{2} ∥ \tilde{ξ} ∥^{2} 。 \end{array}$

对上式关于t积分, 且有 $\tilde{η} (0) = u_{h} (0) - \tilde{u} (0) = 0$ 得 $∥ \tilde{η} ∥^{2} \leq c \int_{0}^{t} (∥ \tilde{η} ∥^{2} + ∥ η_{t} ∥^{2}) d τ$ 。

类似 $∥ \tilde{η} ∥$ 的推导, 可以得到 $∥ \tilde{ξ} ∥$ 的估计。对 (13) 式关于t求导, 并令 $v_{h} = \tilde{ξ}$ , 在 (13) 式中令 $w_{h} = \tilde{η}_{t} + (R_{h} Γ_{9}) \tilde{η} + \int_{0}^{t} (R_{h} Γ_{9})_{t} \tilde{η} d_{r}$ , 可以得到 $∥ \tilde{ξ} ∥^{2} \leq c \int_{0}^{t} (∥ η_{t} ∥^{2} + ∥ \tilde{η} ∥^{2} + ∥ \tilde{ξ}_{t} ∥^{2}) d τ (14)$

对 (13) (a) 关于t求导并 $w_{h} = \tilde{η}_{t} + (R_{h} Γ_{9}) \tilde{η} + \int_{0}^{t} (R_{h} Γ_{9})_{t} \tilde{η} d τ$ , 对 (13) (b) 关于t求导并令 $v_{h} = \tilde{ξ}_{t}$ , 可以得到 $\int_{0}^{t} ∥ \tilde{ξ}_{t} ∥^{2} d τ + ∥ \tilde{η}_{t} ∥^{2} \leq ∥ \tilde{η}_{t} (0) ∥^{2} + c \int_{0}^{t} (∥ η_{t t} ∥^{2} + ∥ \tilde{ξ} ∥^{2} + ∥ η ∥^{2}) d τ$ 。 (15)

将上式代入 (14) 式并应用Gronwall引理有 $∥ \tilde{ξ} ∥^{2} \leq c {\int_{0}^{t} (∥ \tilde{η} ∥^{2} + ∥ η_{t} ∥^{2} + ∥ η_{t t} ∥^{2}) d τ + ∥ \tilde{η}_{t} (0) ∥^{2}}$ 。而 $∥ \tilde{η}_{t} (0) ∥ \leq ∥ η_{t} (0) ∥ \leq c h {∥ u (0) ∥_{1} + ∥ u_{t} (0) ∥_{1} + ∥ p (0) ∥_{2} + ∥ p_{t} (0) ∥_{1}}$ 。

在 (13) (a) 中令wh=div $\tilde{ξ}$ 有

$∥ d i v \tilde{ξ} ∥ \leq c h {∥ u (0) ∥_{1} + ∥ u_{t} (0) ∥_{1} + ∥ p (0) ∥_{2} + ∥ p_{t} (0) ∥_{1} + ∥ u ∥_{1} + ∥ u_{t} ∥_{1} + ∥ p ∥_{2} + ∥ p_{t} ∥_{1} + \int_{0}^{t} (∥ u ∥_{1} + ∥ p ∥_{2}) d τ} + c h {\int_{0}^{t} (∥ u ∥_{1}^{2} + ∥ u_{t} ∥_{1}^{2} + ∥ u_{t t} ∥_{1}^{2} + ∥ p ∥_{2}^{2} + ∥ p_{t} ∥_{1}^{2} + ∥ p_{t t} ∥_{1}^{2}) d τ}^{1 / 2}$ 。

定理证毕。

参考文献

[1]Kwak D Y, Kim K Y.Mixed covolume methods for quasi-linear sec-ond-order elliptic problems, SIAM J Numer Anal, 1998;38:1057—1072

[2]朱爱玲, 姜子文, 抛物型积分微分方程的矩形网格混合体积元方法.山东科学, 2004;17 (2) :1—7

[3]Milner F A.Mixed finite element methods for quasilinear second-order elliptic problems.Math Comp, 1985;44:303—320

抛物方程篇10

我本学期担任塘沽一中高二的数学教学,前段时间我们进行圆锥曲线的学习和研究。在学生进行完《椭圆》和《双曲线》学习的基础上,课前让学生再次研究人教版选修2-1,第47页例6,第59页例5。

【课前预习提纲】

1.在人教版选修2-1,第47页例6,第59页例5这两道有关求轨迹的例题的研究中,你有什么收获?有什么发现?能找到其中的规律吗?(让学生先学会思考,发现问题,尝试解决问题)

2.学习完椭圆和双曲线,研究抛物线应从几个方面研究的?你有研究成果吗?你运用了什么数学方法和思想?

【案例描述】

一、交流预习心得

首先让小组内合作交流预习后问题1的个人研究心得。学生讨论非常热烈,都在积极参与,我也在巡视,注意观察每个小组的研究情况,当我让选出小组代表谈谈时,丁一铭和田家赫两个组最积极,丁一铭主动站起来争先回答:“老师,我发现两个共同之处, 第一,这两个问题都是求轨迹的问题,都用的是直接法;第二,这两个题都说的是动点到定点的距离与到定直线的距离是一个常数。当一说出来时立刻得到大家的认可,有的同学才发现,丁一铭特自豪。我对他大家赞赏道:“很有智慧,有一双发现问题的眼睛。”此时,我用几何画板展示例题中延伸出的轨迹的动态变化,到定点与到定直线的距离的比是小于1的常数的点的轨迹是椭圆;到定点与到定直线的距离的比是大于1的常数的点的轨迹是双曲线, 让学生直观生动地感受,将本节课推向第一次高潮。这个用了近10分钟。

二、创设情境,提出问题

我紧接着提问,这个常数大小有什么特征?同学们都能很积极地回答:常数比1小的轨迹是椭圆,常数比1大的轨迹是双曲线。你们有什么问题吗?结果有几个学生就说是抛物线。

抛砖引玉让学生大胆猜想:到定点的距离和到定直线的距离的比是等于1的常数的点的轨迹是什么?

三、阅读课本,小组探究

问题1:在解析几何中研究曲线的方法是什么?

问题2:抛物线上的点的几何特征是什么?你会用尺规作出抛物线吗?

问题3:抛物线的方程是什么?如何推导其标准方程?几种形式?

问题1学生在学了椭圆和双曲线后很容易完成。研究曲线的方法是:定义、方程、性质。

阅读后让小组一块合作探究尺规作图画出抛物线,当时学生自己动手做不知怎么利用几何条件特征,我做了提示,并让一个作图水平较高的高远和田家赫小组一起上黑板作图,作图花费的时间超出我的预设,原计划用5分钟,结果用时10分钟。学生完成自己的杰作后,我再次用几何画板给学生直观展示,将课堂推向第二次高潮。

此时让学生归纳抛物线上的点的几何特征。我板书了抛物线定义。

阅读课本推导抛物线的方程后,提出建系的方法,参数p的几何意义?是否还有别的建系方法?可下去推导。请问课本的其他三种形式具有什么特点?四个大组在四种特殊的建系方法下分别推导了抛物线的方程,并互相交流推导后的结果,同时选出四个学生上黑板板演,焦点和准线有什么特征?我在黑板上画出表格,请同学们思考后上黑板完善完善。这个标准方程的推导过程完成接近18分钟。

【案例分析与感悟】

感悟一:以问题为驱动,鼓励学生自主探索,让学生思维的火花绽放。

本节课对问题妙引导,创设一个良好的思维情境,引导学生以问题为主线,问题驱动,使思维始终处于问题提出—问题求解—问题解决的状态中,对学生的思维训练是非常有益的。充分暴露知识形成的过程,促使学生一开始就进入创新思维状态中,让学生经历从具体情境中抽象出抛物线的模型,以探索者的身份去发现问题、总结规律,真正地让学生自己有了成功的体验。

感悟二:类比拓展,给学生一个想象的空间,培养学生的创新思维。

在前面两个例题的数学解题教学中,要引导学生多方位观察, 多角度思考,进行类比,广泛联想,培养学生敏锐的观察力和活跃的灵感,解题后让学生进行反思和引申,鼓励学生积极求异和富有创造性的想象,不只体现在课堂积极地回答问题,还应该表现为内在的思维上的主动。

研究了椭圆和双曲线,研究抛物线可以大胆放手让学生类比推理。课标中要求学生了解曲线与方程的对应关系,体会数形结合的思想这就是很好的契机。

感悟三:在实践中探索,在探索中反思,在反思中创造。

转变学生的学习方式,激发学生的学习积极性,让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来,这是新课程数学教学的基本要求。以“问题、探究、交流、反思”为主线的“自主合作探究”的课堂教学,并在探索中反思,在反思中创造的教学理念。

【抛物方程】推荐阅读：

抛物线及其标准方程教案09-12

高二数学教案：抛物线及其标准方程01-15

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大型抛物面11-18

平抛物体运动12-19

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