典型方程

典型方程（精选7篇）

典型方程 篇1

对于线性回归方程问题,一是要注意相关关系的定义;二是要注意相关关系的理解;三是要注意回归分析中的散点图法及回归方程法和最小二乘法,从而确定变量之间的关系.

典型题一相关关系问题的探究

例1下列关系中,是带有随机性相关关系的是______.

(1)正方形的边长与面积之间的关系;(2)水稻产量与施肥之间的关系;(3)人的身高与年龄之间的关系;(4)降雪量与交通事故的发生率之间的关系.

分析:两变量之间的关系有两种,函数关系与带有随机性的相关关系,要注意两者的区分.

解:(1)是函数关系;(2)不是严格的函数关系,但是具有相关关系,因而是相关关系;(3)不是相关关系,也不是函数关系,因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显的变化了,因而他们不具有相关关系;(4)具有相关关系.

点评:本题主要研究的是函数关系和相关关系的区别和联系,当两个变量之间的关系是一种不确定的关系时,这两个变量之间的关系.就是相关关系,判断变量之间有无相关关系的一种常用的简便方法就是绘制散点图.

典型题二相关系数法求回归直线方程

例2测得某国10对父子身高(单位:英寸)如表1.

(1)对变量y与x进行相关性检验;(2)如果y与x之间具有线性相关关系,求回归直线方程;(3)如果父亲的身高为73英寸,估计儿子身高.

分析:对于线性回归方程,即是用函数关系拟合函数关系进行解答.

,所以y与x之间具有线性相关关系.

(3)当x=73英寸时,,所以当父亲身高为73英寸时,估计儿子的身高约为69.9英寸.

点评:回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述,利用回归直线,可以对一些实际问题进行分析、预测,由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化.这是此类问题常见题型.

典型题三利用回归直线方程对总体进行估计

例3一台机器由于使用时间较长,但还可以使用,它按不同的转速生产出来的某机器零件有一些会有缺点,每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化,表2是抽样试验结果.

(1)如果y与x具有线性相关关系,求回归直线方程;

(2)若实际生产中,允许每小时的产品中有缺点的零件数最多为10个,那么机器的转速应该控制在什么范围内?

所以回归直线方程为

y=0.7286x-0.8575.

(2)要使y≤10,则0.7286x-0.8575≤10,所以x≤14.9019.

因此,机器的转速应该控制在15转/秒以下.

点评:本题中准确求出回归直线方程,是做出正确判断的前提.

典型题四回归分析创新题

例4在某化学实验中,测得如表3所示的6组数据,其中x(min)表示化学反应进行的时间,y(mg)表示未转化物质的量.

(1)设y与x之间具有关系y=cdx,试根据测量数据估计c和d的值.

(2)估计化学反应进行到10 min时未转化的物质的量.

分析:可考虑先通过适当的变量代换,把非线性回归问题转化为线性回归问题,从而确定未知参数.

解:(1)在y=cdx的两边取自然对数,可以得到lny=lnc+xlnd.设lny=z,lnc=a,lnd=b,则z=a+bx,则由已知数据可以得到表4.

公式的,线性回归方程

即lnc=≈3.9055,lnd≈-0.2219,所以c≈49.675,d≈0.8010,根据测量数据估计c=49.675,d=0.8010.

(2)由(1)知y与x之间的关系为y=49.675×0.8010x,当x=10时,y的估计为49.675×0.801010≈5.4.

所以估计化学反应进行到10 min时未转化物质的量为5.4 mg.

点评:在实际问题中,有时两个变量之间并不是线性关系,这就需要我们根据专业知识或散,点图选择适当的曲线方程,然后通过适当的变量代换,把线性问题转化为线性回归问题,从而确定未知参数,建立相应的回归方程.

典型方程 篇2

（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展。

解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。

算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数。

加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。

数量关系式（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。

差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。

数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数

最大数与各数之差的和÷总份数=最大数应给数

最大数与个数之差的和÷总份数=最小数应得数。

例：一辆汽车以每小时 100 千米 的速度从甲地开往乙地，又以每小时 60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。

分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1”，则汽车行驶的总路程为“ 2”，从甲地到乙地的速度为 100，所用的时间为，汽车从乙地到甲地速度为 60 千米，所用的时间是，汽车共行的时间为 + = ,汽车的平均速度为 2÷ =75（千米）

（2）归一问题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之而改变，其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题。

根据求“单一量”的步骤的多少，归一问题可以分为一次归一问题，两次归一问题。

根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题，反归一问题。

一次归一问题，用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一。”

两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“双归一。”

正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用乘法计算结果的归一问题。

反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后，再用除法计算结果的归一问题。

解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。

数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一）

总数量÷单一量=份数（反归一）

例 一个织布工人，在七月份织布 4774 米，照这样计算，织布 6930 米，需要多少天？

分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。693 0÷（477 4÷ 31）=45（天）

（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量）。

特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。

数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量 =另一个单位数量

单位数量×单位个数÷另一个单位数量=另一个单位数量。

例 修一条水渠，原计划每天修 800 米，6天修完。实际 4天修完，每天修了多少米？

分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度。所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同之处是“归一”先求出单一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量。80 0× 6÷ 4=1200（米）

（4）和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题。

解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后再求另一个数。

解题规律：（和＋差）÷2 =大数

大数－差=小数

（和－差）÷2=小数

和－小数=大数

例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94人，因工作需要临时从乙班调 46人到甲班工作，这时乙班比甲班人数少 12人，求原来甲班和乙班各有多少人？

分析：从乙班调 46人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙数转化成 2个乙班，即 9 4－ 12，由此得到现在的乙班是（9 4－ 12）÷ 2=41（人），乙班在调出 46人之前应该为 41+46=87（人），甲班为 9 4－ 87=7（人）

（5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。

解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。

解题规律：和÷倍数和=标准数

标准数×倍数=另一个数

例:汽车运输场有大小货车 115辆，大货车比小货车的 5倍多 7辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？

分析：大货车比小货车的 5倍还多 7辆，这 7辆也在总数 115辆内，为了使总数与（5+1）倍对应，总车辆数应（115-7）辆。

列式为（115-7）÷（5+1）=18（辆），18× 5+7=97（辆）

（6）差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。

解题规律：两个数的差÷（倍数－1）=标准数 标准数×倍数=另一个数。

例 甲乙两根绳子，甲绳长 63 米，乙绳长 29 米，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？ 各减去多少米？

分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3倍，实比乙绳多（3-1）倍，以乙绳的长度为标准数。列式（63-29）÷（3-1）=17（米）„乙绳剩下的长度，17× 3=51（米）„甲绳剩下的长度，29-17=12（米）„剪去的长度。

（7）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。

解题关键及规律：

同时同地相背而行：路程=速度和×时间。

同时相向而行：相遇时间=速度和×时间

同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。

例 甲在乙的后面 28 千米，两人同时同向而行，甲每小时行 16 千米，乙每小时行 9 千米，甲几小时追上乙？

分析：甲每小时比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小时可以追近乙（16-9）千米，这是速度差。已知甲在乙的后面 28 千米（追击路程），28 千米 里包含着几个（16-9）千米，也就是追击所需要的时间。列式 2 8÷（16-9）=4（小时）

（8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题。它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。

船速：船在静水中航行的速度。

水速：水流动的速度。

顺水速度：船顺流航行的速度。

逆水速度：船逆流航行的速度。

顺速=船速＋水速

逆速=船速－水速

解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答。解题时要以水流为线索。

解题规律：船行速度=（顺水速度+逆流速度）÷2 流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2 路程=顺流速度× 顺流航行所需时间

路程=逆流速度×逆流航行所需时间

例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行 28 千米，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比顺水多行 2小时，已知水速每小时 4 千米。求甲乙两地相距多少千米？

分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流 速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用 2小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 284× 2=20（千米）2 0× 2 =40（千米）40÷（4× 2）=5（小时）28× 5=140（千米）。

（9）还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题，我们叫做还原问题。

解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。

解题规律：从最后结果 出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，逐步推导出原数。

根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆运算的方法计算推导出原数。

解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号。

例 某小学三年级四个班共有学生 168人，如果四班调 3人到三班，三班调 6人到二班，二班调 6人到一班，一班调 2人到四班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？

分析：当四个班人数相等时，应为 168÷ 4，以四班为例，它调给三班 3人，又从一班调入 2人，所以四班原有的人数减去 3再加上 2等于平均数。四班原有人数列式为 168÷ 4-2+3=43（人）

一班原有人数列式为 168÷ 4-6+2=38（人）；二班原有人数列式为 168÷ 4-6+6=42（人）三班原有人数列式为 168÷ 4-3+6=45（人）。

（10）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。

解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。

解题规律：沿线段植树 棵树=段数+1

棵树=总路程÷株距+1 株距=总路程÷（棵树-1）

总路程=株距×（棵树-1）

沿周长植树

棵树=总路程÷株距

株距=总路程÷棵树

总路程=株距×棵树

例 沿公路一旁埋电线杆 301根，每相邻的两根的间距是 50 米。后来全部改装，只埋了201根。求改装后每相邻两根的间距。

分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电线杆的根数减掉一。列式为 50×（301-1）÷（201-1）=75（米）

（11）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人，在两次分配中，一次有余，一次不足（或两次都有余），或两次都不足），已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题，叫做盈亏问题。

解题关键：盈亏问题的解法要点是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差，再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差，就得到分配者的数，进而再求得物品数。

解题规律：总差额÷每人差额=人数

总差额的求法可以分为以下四种情况：

第一次多余，第二次不足，总差额=多余+不足

第一次正好，第二次多余或不足，总差额=多余或不足

第一次多余，第二次也多余，总差额=大多余-小多余

第一次不足，第二次也不足，总差额=大不足-小不足

例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔，如果小组 10人，则多 25支，如果小组有 12人，色笔多余 5支。求每人 分得几支？共有多少支色铅笔？

分析：每个同学分到的色笔相等。这个活动小组有 12人，比 10人多 2人，而色笔多出了（25-5）=20支，2个人多出 20支，一个人分得 10支。列式为（25-5）÷（12-10）=10（支）10× 12+5=125（支）。

（12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题”。

解题关键：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种“差不变”的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。

例 父亲 48岁，儿子 21岁。问几年前父亲的年龄是儿子的 4倍？

分析：父子的年龄差为 48-21=27（岁）。由于几年前父亲年龄是儿子的 4倍，可知父子年龄的倍数差是（4-1）倍。这样可以算出几年前父子的年龄，从而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4倍。列式为： 21（48-21）÷（4-1）=12（年）

（13）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题。通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题

解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如全是“鸡”或全是“兔”，然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数。

解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数 兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2 如果假设全是兔子，可以有下面的式子：

鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2 兔的头数=总头数-鸡的只数

例 鸡兔同笼共 50个头，170条腿。问鸡兔各有多少只？

兔子只数（170-2× 50）÷ 2 =35（只）

典型方程 篇3

【关键词】初中数学教学；一元一次方程；应用题解题

一、影响应用题解题的因素

1.问题表征

心理表征在认知心理学中是指信息的记载以及呈现方式，而问题表征就属于心理表征，它能够将问题具体详细的呈现在脑海中然后再把问题表现出来，并且每个学科问题表征的呈现也各不相同。数学的问题表征是指当解题者看到一个数学题时，是如何将这个数学问题在脑海中呈现，并且表现出来，也就是解题者在审题的过程中，了解和认识问题的结构，并且通过联想，激活脑海中已经学过的知识，找到与之相连的其他知识点，从而在其中找到解决问题的思路并且能够宏观把控所要解决的问题。对问题表征的认识正确与否直接决定了答案的正确性，错误的甚至是不完整的问题表征都会让解题思路混鲁昂进而一起解题答案的错误，所以，表征对于能否解决问题有着特殊的意义。

2.模式识别

模式是指将若干元素或者成分按照一定的关系形成某种结构，比如在我们的周围所围绕着的符号、图像、物体、音乐等。在认知心理中的模式识别是指当人们接收到一个信息并且输入到大脑中时，大脑会自动将其与记忆中的相关的信息进行匹配，并且对该信息进行识别分类看其属于哪个范畴，然后将其与其他模式进行区别。在方程应用问题当中，比如学生对于工程，水流，相遇等问题的模式识别在表征问题中起着重要作用，在看到题目是，能否正确将问题归类，识别其属于哪个模式对于顺利解题有着重要意义。在解决数学问题时，首先需要识别该问问题属于哪一类，然后再在记忆中进行搜索找到相关的知识，学生头脑中的模式越多，解题的思路就越清晰，也就更加的得心应手。

3.认知图式

在认知心理学当中图式是指人们为了某一特定情境或者需要而产生的认知结构，图式是一种思维、动作模式，也可以将其理解为策略中概念，它是用以抽象概括表征客观存在的事物以及与其相关的关系的一些知识、心理结构以及其框架，然后将一些零散、混乱的知识进行整理、排列，构成一个完整的知识体系，也就是将数学问题进一步细化进行分类，只要学生能够掌握哲学解题模式，就能够解决类似的所有题目，但是，数学中应用题的类型千变万化，存在着无数的解题模式，学生却无法学习到所有的解题方法，此时，就需要运用图式，在题目中发现隐含条件，搜集可能的条件，并且运用所学的数学知识以及运算技能、作图技能、算法和程序性知识等进行解题。

二、常见的方程应用题典型错误分析

1.含有两个数量关系的应用题的典型错误

当应用题的题目中含有两个数量关系时，这句需要进行一次转换才能列出所需方程。例如，小明去商店买了一本笔记本和四支笔，而小丽买了一本笔记本和一支笔正好六元，问售货员多少钱，售货员说18元，问笔记本每本多少钱和钢笔每支多少钱？遇到此类题目，大多数同学都采用算术法进行解答，即先求出3支笔的价钱然后除以三得到每支笔4元，从而求出每本笔记本2元，运用算术法不仅思路简单，而且计算也比较简单。但是如果运用方程解答则更加简单，但是在用方程法姐一元一次应用题时，总会出现一些错误。

首先，审题出现错误，曲解了题目意思，在上题中，如果同学们没有正确理解题意，就会将题意理解为2本笔记本和4支笔的总价为18元，于是就出现了这样的方程式：

解：设每本笔记本X元，那么每支钢笔（6-X）元

列出的方程为： X+4（6-4X）=18-6

其次，所列方程错误，导致方程等式两边的意义不同，如：

解：设每本笔记本X元，则： X+4（18-X）=18

在所列方程中，（18-X）是指4支笔的价钱，等式左边表示的是16支钢笔的价格，而等式右边表示的则是一本笔记本和4支钢笔的价钱，方程等式两边表示的意义不一。

除了以上的典型性错误，在平时的解题过程中，还可能会出现表达不规范，在设未知数以及做大事表达不完整，甚至是设未知数或者作答都忘记的情况也时有发生，也会有其他的一些错误，但是在阶梯式，同学们在审题、列方程以及表达规范三个方面出现的错误最多，所以，这就需要同学们在解题完之后，再进行检验，但是检验也不一定能够错误，这就需要同学们在解题的过程中融入检验，也就是边做边检验，检查所给条件是否用足，量纲是否一致，等量关系是否正确等，如果发现错误，就需要重新审题，以找到正确的解题思路以及答案。

2.算数思想抑制了方程思想

在刚开始学习解方程应用题时，同学们在建立解题思路时，会受到算数解题思路思维定势的影响，会将未知数放在一个很特殊的位置，不将其放到列式的运算中，所以虽然设了未知数，并且列了方程，但是仍然没有建立方程思想。例如，希望小学有学生208人，比红旗小学的5倍还多23人，问红旗小学有多少人？对这个应用题，很多同学会列出X=（208-23）÷5的方程，这就是严重的受算数思想的侵袭，如果不将未知数参与到运算中，就难以发挥其作用，所以如果用算术法解应用题，不仅不易列出算式，而且题目越复杂，求解也就越困难。列方程等式时，不能将求解过程摆在第一位，而要根据题目中的等式关系将其直观的表达出来。

例如，小明走了7公里，用了2个小时，问速度是多少？

算术法：V=S/T=7/2

方程法：设速度为V千米/小时，则2V=7

算术法表示的是用以质量求出未知量，而方程法则是将速度、时间、路程之间的关系清晰的表现出来。

例如：小丽买了3千克苹果，付了10元钱，找回了3角4分，问每千克苹果多少钱？

算术法：（10-0.34）/3=3.22元

方程法：设每千克苹果x元钱，则3x+0.34=10

这是比较简单的题，用方程法很简单，但是用算数法就很难解，而且很多题只能用方程法才能接，用数学法根本解不了。

3.解应用题时的阅读障碍

解应用题时，读懂题目很重要，由于应用题大多是来源于经过加工和省略的实际问题，虽然省略了一些难以理解的复杂内容，但是仍然存在以难以理解文字繁多并且较为模糊的内容存在，这就给学生的审题造成了困难，在解体前，需要审题找到其中的关系，这也就给同学们加大了难度，很多同学在读完提之后，根本不懂要干什么，不知从何处下手，找到突破口，而且用方程法解题时，设未知数很重要。

总结

总而言之，在一元一次方程的解题过程中，审题、计算以及书写规范是同学们经常出现的问题，出现这些问题的主要原因是同学们还没有形成一个完整的知识体系结构，对于方程的类型模式认识不够全面，再遇到问题，不能将其转换成已经学过的知识，并且解题也不够规范，做题态度不严谨，由于这些问题的出现，也说明在平时的学习当中，同学们应该一边学习一边进行总结，并且通过模式识别的方法将知识归类整理，在遇到问题时，便能得心应手，不费吹灰之力就解决问题。

【参考文献】

[1]洪雪娇.初中生求解方程模型应用题的典型错误及归因研究[D].西南大学硕士学位论文，2012.

“一元二次方程”典型易错题分析 篇4

【分析】本题根据一元二次方程的定义, 必须满足两个条件:

(1) 未知数的最高次数是2;

(2) 二次项系数不为0.据此即可求解.

【正解】选B.

【点评】一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0 (a, b, c是常数, 且a≠0) , 特别要注意a≠0的条件.

【跟进训练】关于x的一元二次方程 (a-1) ·x2+ax+a2-1=0的一个根是0, 则a值为 () .

A.1B.0C.-1D.±1

2.关于x的方程 (a-3) x2-3x-1=0没有实数根, 求a的取值范围.

【分析】由于二次项系数为a-3, 所以应分两种情况:

(1) a-3≠0; (2) a-3=0.

【正解】 (1) 当a-3=0时, 方程为-3x-1=0, 此时一定有解, 不符合题意;

【点评】只有当方程为一元二次方程时, 才能用方程根的判别式来解决问题.

3.在某次聚会上, 每两人都握了一次手, 所有人共握手6次, 设有x人参加这次聚会, 则列出方程正确的是 () .

【错解】选A.

【正解】选B.

【点评】理清题意, 找对等量关系是解答此类题目的关键;本题中“每两人都握了一次手”的条件, 不能重复计算, 类似于球类比赛的单循环赛制.若题目改为“每两位同学之间互换贺卡”呢?结果又是怎样?请同学们尝试解答.

4.等腰△ABC中, BC=8, AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根, 求实数m的值.

【错解】△ABC是等腰三角形, 所以关于x的方程x2-10x+m=0有两个相等的实数根, 所以m=25.

【分析】题中没有交代等腰三角形的腰和底, 所以边BC可以是底边, 也可以是一腰.

【正解】 (1) 边BC是底边, 则AB=AC, 所以关于x的方程x2-10x+m=0有两个相等的实数根, 所以m=25;

(2) 边BC是一腰, 则8是方程x2-10x+m=0的一根, 所以m=16.

【点评】应认清几何图形中隐藏的各种数量关系.

典型方程 篇5

例1 把下面式子中的一元一次方程找出来，写在下面的括号里． 2＋3＝5，2x51,x30,2x3,2x0 4一元一次方程：｛ ｝ 例2 根据下列条件列方程：（l）某数的3倍比7大2；（2）某数的1比这个数小1； 3（3）某数与3的和是这个数平方的2倍；（4）某数的2倍加上9是这个数的3倍；（5）某数的4倍与3的差比这个数多1．

例3 据2001年中国环境状况公报，我国水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方公里，其中风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里，问水蚀与风蚀造成的水土流失面积各是多少平方公里？请列出解决这个问题的方程．

例4 判断下列各式是不是方程，如果是指出已知数和未知数；如果不是，说明为什么？（1）3x20；（2）xy10；（3）2534；（4）xy1；（5）3x2x1；（6）x13x2.例5 己知x2是方程3x12xm的解，求m的值． 例6 根据下列条件列出方程

（1）某数的平方比它的5倍小－3，求这个数；（2）某数的223与15的差的一半比这个数大20％，求这个数； 5（3）一根铁丝，第一次用去了它的一半，第二次用了剩下的一半多1米，结果还剩2.5米，求这根铁丝的长；

（4）有两个运输队，第一队32人，第二队有28人，现因任务需要，要求第一队人数是第二队人数的2倍，需林第二队抽调多少人到第一队？

例7 某工程队每天安排120人修建水库，平均每天每人能挖去5m或运土3m，为了使挖出的土及时运走，问应如何安排挖土和运土的人数？

1 例8 若x2是关于x的方程xkxk50的一个解，则常数k____.2

参考答案

例1 分析 判断是否是一元一次方程应注意以下几个方面：（1）必须是等式；

（2）等式中必须含有一个未知数，且未知数的指数是1． 解 一元一次方程：2x51,x30,2x0 4说明：2＋3＝5和2x3，都不是一元一次方程，因为前者无未知数，后者不是等式． 例2 分析 要列方程，首先要认真审题，明确未知数，并设未知数，然后根据题中的条件，找出相等关系，列出方程，解（1）设某数为x，则有：3x72；或 3x72；或3x27；

（2）设某数为x，则有：

111x1x；或 xx1；或xx1;333222（3）设某数为x，则有：x32x；或x2x3；或x2x3；

（4）设某数为x，则有：2x93x；或 2x3x9；或 3x2x9；

（5）设某数为x，则有 4x3x1；或 4x31x；或 4xx13 说明：此题条件中的大（小）、多（少）、和（差）、倍等实际上说的是相等关系：

大数－小数=差； 小数十差=大数； 大数一差=小数．

例3 分析 根据已知条件，我们可以知道，我国水蚀与风蚀造成水土流失的总面积，又知道，风蚀造成的水土流失面积比水位造成的水土流失面积多，那么即使我们没学过本节知识，利用小学学过的关于和差问题的公式，我们仍然能够计算出本题的正确答案．

风蚀造成的水土流失面积＝（风蚀、水蚀造成的水土流失之和＋风蚀、水性造成的水土流失之差）＋2 水蚀造成的水土流失面积＝（风蚀、水蚀造成的水土流失之和－风蚀、水蚀造成的水土流失之差）÷2

但是，和差公式需要死记硬背。

如果利用这一节学过的知识来解本题，要简便很多．

（1）水蚀与风蚀造成的水土流失总面积为356万平方公里，即水蚀造成的水土流失面积＋风蚀造成的水土流失面积＝356万平方公里．（2）可以设水蚀造成的水土流失面积为x平方公里，又知“风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里”，所以风蚀造成的水土流失面积为（x26）万平方公里．

（3）把x与（x26）代入①中的等式并省略不参与计算的单位名称，就得到方程。解 设水蚀造成的水土流失面积为x平方公里，则有

x(x26)356

说明：（1）这个方程并不难解，同学们在学习下一节之后，将会有更深的体会。（2）对题目中出现的表示同一种量的数（在本题中是表示水土流失面积的数）要注意分清哪个数大、哪个数小，要仔细分析列式时该用加号、还是该用减号。初学者要尽量避免在这些地方发生错误。

例4 分析 判断一个式子是不是方程，主要根据方程的概念；一是等式，二是含有未知数，二者缺一不可。

解（1）是。3，－2，0是已知数，x是未知数。（2）是：－1，0是已知数，x、y是未知数。（3）不是。因为它不含未知数。

（4）是。－1，0是已知数，x、y是未知数。（5）不是。因为它不是等式。

（6）是。－1，3，2是已知数，x是未知数。

说明： 未知数的系数如果是1，这个省略是1也可看作已知数，但可以不说，已知数应该包括它的符号在内。

例5 分析 欲求m的值，由己知条件x2是方程3x12xm的解，也就是将x2代入方程后左、右两边的值相等，即左边321，右边22m。

∵ 左边=右边，∴32122m，即可求出m． 解 ∵x2是方程3x12xm的解，∴ 将x2代入方程得：

32122m

∴ m1.例6 解（1）设某数为x，根据题意，得5xx3.2（2）设某数为x，根据题意，得13(x15)x20%x.25（3）设这根铁丝的长为x，根据题意，得 x111xxx12.5.222（4）设需从第二队抽调x人到第一队． 根据题意，得32x2(28x).说明：本题要求根据条件列方程，解题关键在于找到数量之间的有关运算和等量关系．列式时要根据不同的问题，适时添加括号以体现运算的顺序．对没有给出未知数的问题，列方程前先要正确设出未知数．

例7 解 设安排x人挖土，则运土人数为(120x)人，依题意得

5x3(120x).解得x45，则120x75.答：应安排45人挖土，75人运土．

说明：本题中有一句重要的话体现了等量关系，即“使挖出的土及时运走”，这就是说挖土与运土的总数应相等．本例中人数分配的目的是使挖土与运土的体积相同，实际上隐含的是人数分配中挖土人数：运土人数＝3：5，依据这个等量关系也可以列出方程来．

2例8

解

因为x2是关于x的方程xkxk50的一个解，所以222kk50，即9k0，故k9，填9．

典型方程 篇6

一、课程分析

本节主要学习椭圆的定义与椭圆的标准方程，重点是椭圆的定义及其标准方程．难点是椭圆的定义的理解与标准方程的推导．通过本节课的学习，应初步掌握椭圆的定义及标准方程，能根据所给条件确定椭圆的标准方程．

二、学情分析

本班学生学习气氛较浓，课堂气氛活跃，学生能在老师的合理指导下，课堂上充分发挥，积极讨论，独立思考，实现学习目标，完成学习任务．

三、设计思路

1．指导思想:

本节课坚持以“诱思探究教学思想”理论为指导，围绕“诱”是“思”的基础，“思”是“诱”的目的这一中心确定教学的主线———以诱达思，启智悟道．

2．总体设想:

本节课通过对椭圆的标准方程的学习，进而提升学生对曲线的认识，体现了解析几何的宗旨，进一步提高学生数形结合的能力．达到“启智悟道”的目的．

3．流程概况:

创设情境，引入新课;探究新知，形成概念;探索研究，导出方程;随堂练习，巩固双基;课堂小结，完善认识;作业布置，巩固知识．

四、学习目标

知识和技能目标:1．掌握椭圆的定义及标准方程;2．待定系数法求方程的应用;

过程与方法目标:数形结合思想的渗透．

情感态度与价值观目标:1．使学生认识并理解世间的一切事物的运动都是有规律的．2．培养学生发现规律，寻求规律，认识规律并利用规律解决实际问题的能力．3．通过小组合作，培养协作、友爱精神．

五、教学流程

1．创设情境，引入新课

(课件投影)请同学们看投影所给的图片，观察人造卫星、行星的运行轨迹是什么?

设计意图:通过对图片的展示，引发学生的思考，在通过教师的导向性信息，使学生对椭圆有一个整体的认识，为下面的教学铺平道路．

简要实录:学生甲:图片显示的是生活中的一些椭圆．

学生乙:人造卫星和行星的运行轨迹是椭圆．

老师:这些有规律的曲线在实际生活中应用很广泛，那么怎样进一步加深对这些曲线的认识了呢?本章将学习如何建立这些曲线的方程，然后利用方程研究他们的性质，进而利用性质解决一些简单的实际问题．本节课我们先来学习椭圆及其标准方程．

2．探究认知，形成概念

(课件投影)请同学们用准备好的工具，按下面的要求画图:

1．取一条细线，一张纸板;2．在纸板上取两点分别标上F1、F2;3．把细线的两端分别固定在F1、F2两点;4．用笔尖把细线拉紧，在纸板上慢慢移动画出图形．

(课件投影)1．几何画板演示椭圆的形成过程．

2、根据画图的过程，回答下列问题:

(1)当线长大于|F1F2|时，笔尖的轨迹是_______．

(2)当线长等于|F1F2|时，笔尖的轨迹是_______．

(3)在画图的过程中，哪些量没有发生变化?把这些量用几何式子表示出来．

要求:独立完成后，再相互交流、反思总结．

设计意图:通过该问题的回答，让学生对椭圆的形成在几何上有一个准确的描述．为解决后面定义中的特殊情况做了很好的铺垫．

简要实录:学生丙:当线长大于|F1F2|时，笔尖的轨迹是椭圆．学生丁:当线长等于|F1F2|时，笔尖的轨迹是线段．

(板书)定义:在平面内，到两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．

注意:1、椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数;即|MF1|+|MF2|=2a.

2．该常数大于|F1F2|，即2a>2c.

设计意图:通过对定义的探究，使学生更清楚的理解椭圆定义中的关键点和容易出错的地方．

3．探索研究，导出方程

(课件投影)请同学们思考如何建立适当的直角坐标系?

简要实录:学生A:以直线|F1F2|为x轴，线段|F1F2|的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．

(板书):以直线|F1F2|为x轴，线段|F1F2|的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设M(x,y)为椭圆上的任意一点，因为|F1F2|=2c,c>0，所以F1(-c,0),F2(c,0)．由椭圆的定义知，椭圆的集合为:P={M||MF1|+|MF2|=2a}，即.

(问题):如何化简该根式方程?

简要实录:学生B:先两边平方，移项在两边平方．马莉娜同学:这样不行，方程中会出现四次方，无法化简．应该先移项，再平方，使得二次项消掉，再移项平方，就可以化简下来．

老师:马莉娜回答的很好，提出表扬．(时霞同学板演):略

老师:(a>b>0)表示焦点在x轴上的椭圆的标准方程．

焦点在y轴上的椭圆的标准方程的推导，请同学们在课后完成．

=1(a>b>0)表示焦点在y轴上的椭圆的标准方程．

4．随堂练习，巩固双基

请同学们独立完成练习册第45页1,2题．

设计意图:通过这两个例题，让同学们进一步熟悉椭圆的定义及其标准方程．例2中，通过分类讨论的思想，使同学们明白，焦点位置的讨论是求标准方程的关键．

5．课堂小结，完善认知

(课件投影)请同学们理解记忆本节课的要点:1．椭圆的定义及其简单的应用．2．椭圆的标准方程及其焦点位置的判断．3．用坐标法研究曲线，用运动变化的观点分析问题．

设计意图:概括总结的能力是数学能力的有机组成部分，这对学生表达能力的提升是一次很好的训练，同时，及时概括总结，更有利于学生掌握本节课的主要内容．

6．作业布置，巩固知识

(课件投影)1．课本第106页习题8.1第2,3题．2．课后思考:对于方程=1满足什么条件时，它表示椭圆?

设计意图:课后巩固，强化记忆，使知识转化为学生的能力．

7．课后反思

本节课是圆锥曲线的第一课时，它是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解，对坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线．但从研究圆到研究椭圆，学生思维上存在障碍．故在教学中运用多媒体演示行星运行轨迹，形象的给出椭圆．通过让学生自己动手作图，“定性”的画出椭圆．再通过坐标法“定量”地描述椭圆，使之从感性到理性抽象概括，形成概念，推出方程．

典型方程 篇7

1.问题表征

心理表征在认知心理学中是指信息的记载以及呈现方式, 而问题表征就属于心理表征, 它能够将问题具体详细的呈现在脑海中然后再把问题表现出来, 并且每个学科问题表征的呈现也各不相同。数学的问题表征是指当解题者看到一个数学题时, 是如何将这个数学问题在脑海中呈现, 并且表现出来, 也就是解题者在审题的过程中, 了解和认识问题的结构, 并且通过联想, 激活脑海中已经学过的知识, 找到与之相连的其他知识点, 从而在其中找到解决问题的思路并且能够宏观把控所要解决的问题。对问题表征的认识正确与否直接决定了答案的正确性, 错误的甚至是不完整的问题表征都会让解题思路混鲁昂进而一起解题答案的错误, 所以, 表征对于能否解决问题有着特殊的意义。

2.模式识别

模式是指将若干元素或者成分按照一定的关系形成某种结构, 比如在我们的周围所围绕着的符号、图像、物体、音乐等。在认知心理中的模式识别是指当人们接收到一个信息并且输入到大脑中时, 大脑会自动将其与记忆中的相关的信息进行匹配, 并且对该信息进行识别分类看其属于哪个范畴, 然后将其与其他模式进行区别。在方程应用问题当中, 比如学生对于工程, 水流, 相遇等问题的模式识别在表征问题中起着重要作用, 在看到题目是, 能否正确将问题归类, 识别其属于哪个模式对于顺利解题有着重要意义。在解决数学问题时, 首先需要识别该问问题属于哪一类, 然后再在记忆中进行搜索找到相关的知识, 学生头脑中的模式越多, 解题的思路就越清晰, 也就更加的得心应手。

3.认知图式

在认知心理学当中图式是指人们为了某一特定情境或者需要而产生的认知结构, 图式是一种思维、动作模式, 也可以将其理解为策略中概念, 它是用以抽象概括表征客观存在的事物以及与其相关的关系的一些知识、心理结构以及其框架, 然后将一些零散、混乱的知识进行整理、排列, 构成一个完整的知识体系, 也就是将数学问题进一步细化进行分类, 只要学生能够掌握哲学解题模式, 就能够解决类似的所有题目, 但是, 数学中应用题的类型千变万化, 存在着无数的解题模式, 学生却无法学习到所有的解题方法, 此时, 就需要运用图式, 在题目中发现隐含条件, 搜集可能的条件, 并且运用所学的数学知识以及运算技能、作图技能、算法和程序性知识等进行解题。

二、常见的方程应用题典型错误分析

1.含有两个数量关系的应用题的典型错误

当应用题的题目中含有两个数量关系时, 这句需要进行一次转换才能列出所需方程。例如, 小明去商店买了一本笔记本和四支笔, 而小丽买了一本笔记本和一支笔正好六元, 问售货员多少钱, 售货员说18 元, 问笔记本每本多少钱和钢笔每支多少钱?遇到此类题目, 大多数同学都采用算术法进行解答, 即先求出3 支笔的价钱然后除以三得到每支笔4 元, 从而求出每本笔记本2 元, 运用算术法不仅思路简单, 而且计算也比较简单。但是如果运用方程解答则更加简单, 但是在用方程法姐一元一次应用题时, 总会出现一些错误。

首先, 审题出现错误, 曲解了题目意思, 在上题中, 如果同学们没有正确理解题意, 就会将题意理解为2 本笔记本和4 支笔的总价为18 元, 于是就出现了这样的方程式:

解:设每本笔记本X元, 那么每支钢笔 (6-X) 元

列出的方程为: X+4 (6-4X) =18-6

其次, 所列方程错误, 导致方程等式两边的意义不同, 如:

解:设每本笔记本X元, 则: X+4 (18-X) =18

在所列方程中, (18-X) 是指4 支笔的价钱, 等式左边表示的是16 支钢笔的价格, 而等式右边表示的则是一本笔记本和4 支钢笔的价钱, 方程等式两边表示的意义不一。

除了以上的典型性错误, 在平时的解题过程中, 还可能会出现表达不规范, 在设未知数以及做大事表达不完整, 甚至是设未知数或者作答都忘记的情况也时有发生, 也会有其他的一些错误, 但是在阶梯式, 同学们在审题、列方程以及表达规范三个方面出现的错误最多, 所以, 这就需要同学们在解题完之后, 再进行检验, 但是检验也不一定能够错误, 这就需要同学们在解题的过程中融入检验, 也就是边做边检验, 检查所给条件是否用足, 量纲是否一致, 等量关系是否正确等, 如果发现错误, 就需要重新审题, 以找到正确的解题思路以及答案。

2.算数思想抑制了方程思想

在刚开始学习解方程应用题时, 同学们在建立解题思路时, 会受到算数解题思路思维定势的影响, 会将未知数放在一个很特殊的位置, 不将其放到列式的运算中, 所以虽然设了未知数, 并且列了方程, 但是仍然没有建立方程思想。例如, 希望小学有学生208 人, 比红旗小学的5 倍还多23人, 问红旗小学有多少人?对这个应用题, 很多同学会列出X= (208-23) ÷5 的方程, 这就是严重的受算数思想的侵袭, 如果不将未知数参与到运算中, 就难以发挥其作用, 所以如果用算术法解应用题, 不仅不易列出算式, 而且题目越复杂, 求解也就越困难。列方程等式时, 不能将求解过程摆在第一位, 而要根据题目中的等式关系将其直观的表达出来。

例如, 小明走了7公里, 用了2个小时, 问速度是多少?

算术法:V=S/T=7/2

方程法:设速度为V千米/小时, 则2V=7

算术法表示的是用以质量求出未知量, 而方程法则是将速度、时间、路程之间的关系清晰的表现出来。

例如:小丽买了3 千克苹果, 付了10 元钱, 找回了3 角4 分, 问每千克苹果多少钱?

算术法: (10-0.34) /3=3.22 元

方程法:设每千克苹果x元钱, 则3x+0.34=10

这是比较简单的题, 用方程法很简单, 但是用算数法就很难解, 而且很多题只能用方程法才能接, 用数学法根本解不了。

3.解应用题时的阅读障碍

解应用题时, 读懂题目很重要, 由于应用题大多是来源于经过加工和省略的实际问题, 虽然省略了一些难以理解的复杂内容, 但是仍然存在以难以理解文字繁多并且较为模糊的内容存在, 这就给学生的审题造成了困难, 在解体前, 需要审题找到其中的关系, 这也就给同学们加大了难度, 很多同学在读完提之后, 根本不懂要干什么, 不知从何处下手, 找到突破口, 而且用方程法解题时, 设未知数很重要。

总结

总而言之, 在一元一次方程的解题过程中, 审题、计算以及书写规范是同学们经常出现的问题, 出现这些问题的主要原因是同学们还没有形成一个完整的知识体系结构, 对于方程的类型模式认识不够全面, 再遇到问题, 不能将其转换成已经学过的知识, 并且解题也不够规范, 做题态度不严谨, 由于这些问题的出现, 也说明在平时的学习当中, 同学们应该一边学习一边进行总结, 并且通过模式识别的方法将知识归类整理, 在遇到问题时, 便能得心应手, 不费吹灰之力就解决问题。

摘要：初一学生在一元一次方程应用题解题方面容易出错, 本文简述了影响应用题解题的因素, 并且通过对不同数量关系系的一元一次方程解题中出现的错误进行了分析。

关键词：初中数学教学,一元一次方程,应用题解题

参考文献

[1]洪雪娇.初中生求解方程模型应用题的典型错误及归因研究[D].西南大学硕士学位论文, 2012.