参数方程教案

参数方程教案（精选8篇）

参数方程教案 篇1

课题：参数方程和普通方程的互化（一）

教学目标：

知识目标：掌握如何将参数方程化为普通方程；

能力目标：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法；

情感目标：

培养严密的逻辑思维习惯。

教学重点：参数方程化为普通方程

教学难点：普通方程与参数方程的等价性

教学过程：

一：复习引入：

课本第24页的例题2中求出点的轨迹的参数方程为：。

问题1：你能根据该参数方程直接判断点的轨迹图形吗？如果要判断点的轨迹图形，你有什么方法吗？

二：新课探究

1：问题2：结合前面的例子，从参数方程到普通方程有什么变化？你能从中得到什么启发？

2：试一试：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？

（1）（为参数）；

（2）（为参数）.3：例题讲解：

例3、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？

4：问题3：将参数方程化为普通方程需要注意哪些要点？

5：变式练习：P26第4题

（1）（为参数）；

（2）（为参数）；

6：问题4：从以上例3和练习中你逐一能总结出消去参数的一些常用方法吗？

6：补充例题：

若直线（为参数）与直线垂直，则常数=________.7：变式练习：

（1）曲线的参数方程为，则曲线为（）.A．线段

B．双曲线的一支

C．圆弧

D．射线

（2）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数），圆的参数方程为（参数），则圆的圆心坐标为，圆心到直线的距离为。

三：课堂小结

（）

普通方程

参数方程

1:

2:

参数方程化为普通方程要注意哪些要点？

3:消去参数的一些常用方法:

四：作业

1：把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。

（1）

（2）

(3)

2:（2008重庆模拟）若直线

与圆

（为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是。

参数方程教案 篇2

具体通过以下几个例子来分析.

例1求与直线3x+4y-7=0垂直, 且在y轴上的截距为-2的直线.

解法一因为和直线3x+4y-7=0垂直, 所以所求的直线方程是4x-3y+m=0 (其中m是参数) .

因为直线过点 (0, -2) , 将 (0, -2) 代入4x-3y+m=0,

所以直线方程是4x-3y-6=0.

分析此解法先利用垂直的直线系方程设出方程, 再将 (0, -2) 代入, 使这道题变得简单易于理解, 计算量也小.

解法二因为“在y轴上截距为-2”, 所以设直线方程为y=kx-2.

因为所求直线垂直于3x+4y-7=0, 所以得

代入得所求的方程为4x-3y-6=0.

分析此解法从平行的直线系入手, 先得到直线方程为y=kx-2, 再根据垂直条件得到这样做思维简单易于入手.

解法三因为此直线过点 (-2, 0) , 用点斜式设直线方程为y+2=k (x-0) , 即y=kx-2, (斜率k是参数) .

因为直线垂直于直线3x+4y-7=0, 所以

代入得到所求的方程为4x-3y-6=0.

分析此解法先利用过已知点 (-2, 0) 的直线系方程得y+2=k (x-0) , 再根据垂直条件得到此法也是一个不错的选择.

例2求和直线3x+4y+2=0平行, 且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程.

解因为直线平行于直线3x+4y+2=0, 所以设所求直线方程为3x+4y+λ=0 (λ为参数) , 所以在x轴、y轴的截距分别为解得λ=±24.

所求直线l的方程为3x+4y±24=0.

分析此题是用了平行的直线系方程先设出方程, 再根据三角形面积的计算得出参数的值, 从而解决了问题, 此法不但思路清晰, 而且便于计算.

例3对于任意的实数k, 直线 (3k+2) x-ky-2=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是________.

解直线方程可化为k (3x-y) +2x-2=0, 由3x-y=0且2x-2=0得直线恒过定点 (1, 3) , 而点 (1, 3) 在圆上, 所以直线与圆相交或相切.

分析利用过交点的直线系方程可得直线恒过点 (1, 3) , 使这个题目变得简单.

通过上面的例子, 我们可以看出给直线方程引入参数, 可以勾画出满足某些特点的一组直线, 数学上称之为直线系, 利用已知直线系可以使我们理清思维, 简化做题过程, 并能大量地减少计算量.经总结发现直线系常见的有以下几种形式:

(1) 与已知直线Ax+By+C=0平行的直线系方程Ax+By+λ=0 (λ是参数)

(2) 与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程BxAy+λ=0 (λ为参数)

(3) 过已知点P (x0, y0) 的直线系方程y-y0=k (x-x0) 和x=x0 (k为参数)

(4) 斜率为k的直线系方程y=kx+b (b是参数)

(5) 过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2) =0 (λ为参数)

在曲线方程中也有和直线系方程类似的曲线系方程的思想, 我们以圆和双曲线为例来分析.

参数方程与普通方程的互化 篇3

参数方程最初起源于力学及物理学，例如运动方程大都采用参数方程，其中参数t往往表示时间这一变量.高中数学中解析几何的核心思想是“用代数的方法研究几何问题”.在具体的问题解决中，“方程”的地位十分重要，运用代数方法通常是以“方程”为载体，“方程”架起了“代数”与“几何”之间的桥梁，从而使得解析几何变得如此丰富多彩.同学们在学习解析几何时，一定要认真理解每个曲线不同形式的方程，这是研究它们几何性质的基础.在直角坐标系下，曲线方程通常分为两大类：参数方程与普通方程.参数方程与普通方程是曲线方程的两种不同的表达方式，它们在形式上、用途上、方法上各具特点又互相补充，研究它们之间的关系、实现它们之间的互化，有利于发挥它们彼此的长处，从而简化问题解决的过程.本文拟从互化的视角，以具体问题为例，介绍常见曲线的参数方程与普通方程的互化及其运用.

一、 两类方程互化的必然性及其策略

对于具体问题，有时我们要选择将一种曲线方程化为另一种曲线方程，简称“互化”.例如当点在曲线上任意运动时，我们常选择将普通方程化为参数方程来解决，这也是我们学习参数方程的主要目的，下文将重点阐述.而实际生活很多问题提炼的数学模型往往是参数方程的形式，例如物理学中的平抛运动，我们得到的是水平方向的位移、竖直方向的位移用时间表示的参数方程，如果要进一步研究其曲线时，我们就要将之化为普通方程.也有一些数学问题是由参数方程给出的，直接解决比较繁琐，必须将之转化为普通方程解决.例如：由参数方程x=cos θ+3,

y=sin θ(θ为参数）给出的曲线，很难发现其表示的曲线类型，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单.由参数方程可得：cos θ=x－3,

sin θ=y.因为sin2θ+cos2θ=1，所以x－32+y2=1，即表示的曲线是圆心（3，0），半径为1的圆.

将“参数方程”化为“普通方程”的过程本质上是“消参”，常见方法有三种：1．代入消参法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；2．三角消参法：利用三角恒等式消去参数；3．整体消参法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数.特别强调的是：“消参”仅仅是对代数式进行了简化，没有涉及到所消参数的范围，而两类方程中的变量x,y的范围必须相同，所以消参的同时一定要关注消参引起的“范围”变化.

例1

将下列参数方程化为普通方程：

（1）

x=t+1,

y=1－2t(t为参数）；（2）x=sin θ+cos θ,

y=1+sin 2θ(θ为参数）.

思

考通过两个例子，我们能体会到参数方程化为普通方程的注意点是哪些吗？

解

析

（1）因为x=t+1≥1，所以化为普通方程是y=－2x+3(x≥1).

这是以（1,1）为端点的一条射线（包括端点）.

（2）因为x=sin θ+cos θ=2sin(θ+π4)，所以x∈［－2,2］.

化为普通方程是x2=y,x∈［－2,2］.

评

注

上述例题我们很容易在转化过程中忽略变量的范围，如（1）中x=t+1≥1，(2)中x∈［－2,2］，因此在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.

例2

选择适当的参数，将下列普通方程化为参数方程：

（1）xy=9；（2）y2=x.

思

考选取的参数不同，同样的曲线方程写出来的参数方程是否一样呢？

解

析

（1）x=t,

y=9tt为参数;（2）x=t2,

y=tt为参数.

评

注

对于（1）的参数方程也可写成x=9t,

y=tt为参数，因此同一曲线的参数方程的形式可以不同，但（2）如果写成x=t,

y=tt为参数，则和原来的不等价，因为y≥0，只是y2=x的一部分.

因此，关于参数有几点说明：

① 参数是联系变数x,y的“桥梁”；

② 参数方程中参数可以是有物理意义、几何意义，也可以没有明显意义；

③ 同一曲线选取参数不同，曲线参数方程形式也不一样；

④ 在实际问题中要确定参数的取值范围.

二、 参数方程的具体运用

1． 椭圆参数方程运用

若椭圆标准方程是x2a2+y2b2=1，其参数方程可设为：x=acos θ,

y=bsin θ(θ为参数），其中参数θ称为离心角.当点在椭圆上运动时，设点的坐标为(acos θ,bsin θ)，可以用一个变量θ表示点的两个坐标，体现了使用参数方程的优越性.

例3

已知A,B是椭圆x29+y24=1与坐标轴正半轴的两个交点，在椭圆第一象限的部分求一点P，使四边形OAPB的面积最大.

图1

解

析

设点P(3cos α,2sin α)，S△AOB面积一定，只需求S△ABP的最大值即可，即求点P到直线AB的距离最大值.

d=|6cos α+6sin α－6|22+32

=6132sin(π4+α)-1.

当α=π4时，d有最大值，此时面积最大，P坐标为(322,2).

评

注

如果不设参数方程，则必须设P点坐标，再利用点到直线的距离公式，这样处理比较困难.可以看出，关于点到直线距离的最值问题，借助椭圆参数方程，将椭圆上任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决，比用普通方程解决要方便一些.

2. 圆参数方程的运用

若圆的方程是x－a2+y－b2=r2，则其参数方程通常设为：x=a+rcos θ,

y=b+rsin θ(θ为参数），利用参数方程处理动点轨迹问题往往比较简单.

例4

如图2，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，点A是x轴上的定点，坐标为（12,0），当点P在圆上运动时，线段PA中点M的轨迹是什么？

图2

解

析

设M(x,y)，圆x2+y2=16的参数方程为x=4cos θ,

y=4sin θ.

所以可设P(4cos θ,4sin θ)，由中点公式得M点轨迹方程为x=6+2cos θ,

y=2sin θ,再转化为普通方程得到：点M轨迹是以（6,0）为圆心，2为半径的圆.

评

注

也可利用普通方程解答：设M(x,y)，则P(2x－12,2y)，因为点P在圆x2+y2=16上，所以2x－122+2y2=16，即点M的轨迹方程为x－62+y2=4.

所以M的轨迹是以（6,0）为圆心，2为半径的圆.求轨迹方程时，参数方程也能展现出它的优越性，只需把动点的坐标分别用第三个量来表示即可.当然，如果想知道具体是怎样的曲线，还需化为普通方程来观察.

例5

已知点px,y是圆x2+y2－6x－4y+12=0上的点，求x+y的最值.

解

析

对于此题，我们可以通过两种方法的解答加以对比，从而体会参数方程的运用.

圆x2+y2－6x－4y+12=0，即x－32+y－22=1.

方法一：圆参数方程为x=3+cos θ,

y=2+sin θ,由于P点在圆上，可设P3+cos θ,2+cos θ.

x+y=3+cos θ+2+sin θ=5+2sinθ+π4，所以x+y最大值为5+2，最小值为5－2.

方法二：令x+y=z，因为圆x－32+y－22=1与直线x+y－z=0相切时，1=5－z2，所以z=5±2. 所以zmax=5+2 ，zmin=5－2.

故x+y最大值为5+2，最小值为5－2.

评

注

相比较而言，有关圆的问题，既可用参数方程，也可用普通方程解决，但对于椭圆，用参数方程解决要比较简单一点.

3. 直线参数方程的应用

如果直线经过点M0x0,y0，倾斜角为α的直线l的参数方程为 x=x0+tcos α,

y=y0+tsin α（t为参数），直线的参数方程中，它的形式、变量、常量要分清楚.

例如：x=3+tsin 20°,

y=tcos 20°（t为参数）倾斜角为70°.

又如：直线x+y－1=0的一个参数方程为x=1－22t,

y=22t（t为参数）.

直线的普通方程可以有若干个参数方程.

例6

已知直线l：x+y－1=0与抛物线y=x2交于A，B两点，求线段AB的长和点M－1,2到A，B的两点的距离之和.

思

考在学习直线的参数方程之前，我们会如何解决上述问题？

解

析

因直线l过点M－1,2,l的倾斜角为3π4，

所以它的参数方程为

x=－1+tcos3π4,

y=2+tsin3π4（t为参数），即x=－1－22t,

y=2+22t（t为参数） ①=1*GB3.

把①=1*GB3代入抛物线方程y=x2得t2+2t－2=0， 解得t1=－2+102，t2=－2－102.

由参数t的几何意义可得：AB=t1－t2=10， MA·MB=t1t2=2.

评

注

在学习直线的参数方程之前，我们会用如下方法解答：

由x+y－1=0,

y=x2得x2+x－1=0，解得x1=－1+52,

y1=3－52或x2=－1－52,

y2=3+52.

参数方程教案 篇4

一、教学目标：

知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法

教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.三、教学方法：启发、诱导发现教学.四、教学过程：

（一）、复习引入：

1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

xrcos(1)圆x2y2r2参数方程（为参数）

yrsinxx0rcos（2）圆(xx0)(yy0)r参数方程为：（为参数）yy0rsin2222．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。

3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？

（二）、讲解新课：

xacosx2y21.椭圆的参数方程推导：椭圆221参数方程 （为参

abybsin数）,参数的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹角。

6543A21M-8-6-4-2-1OL12N46810-2-3-4-5-6-7 xasecx2y22.双曲线的参数方程的推导：双曲线221参数方程 （abybtan为参数）

25002000QP1500B1000500A-4000-3000-2000-***0M40005000-500-1000-1500-2000-2500-3000-3500 参数几何意义为以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹角。

x2Pt23.抛物线的参数方程：抛物线y2Px参数方程（t为参数）,t

y2Pt2为以抛物线上一点（X,Y）与其顶点连线斜率的倒数。

（1）、关于参数几点说明：

A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围(2)、参数方程的意义：

参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。参数方程实际上是一个方程组，其中x，（3）、参数方程求法：（A）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x,y)；（B）选取适当的参数；（C）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；（D）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程

(4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间t做参数；与旋转的有关问题选取角做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。

xacosx2y24、椭圆的参数方程常见形式：（1）、椭圆221参数方程 （abybsinxbcosxy1(ba0)(为参数，且02）.2为参数）；椭圆2的参数方程是yasinba22（2）、以(x0,y)为中心焦点的连线平行于x 轴的椭圆的参数方程是0x0acosxacos。（3）在利用研究椭圆问题时，椭圆上的点{yybsin(为参数）0ybsinx的坐标可记作（acos,bsin）。

（三）、巩固训练

1xtt(t为参数)22xy4。

1、曲线的普通方程为1ytt

2、曲线12xcosysin(为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D）

A． B．2 C．1 D．2 2x3cos

3、已知椭圆(为参数)求（1）时对应的点P的坐标

6y2sin（2）直线OP的倾斜角

（四）、小结：本课要求大家了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义，能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程，通过推到椭圆及双曲线的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握。

（五）、作业：

参数方程教案 篇5

用进化策略方法反演二维弹性波动方程的参数

从材料响应的.理论合成与实际测量数据相拟合出发,将二维弹性波动方程的参数反演问题归结为非线性多峰函数的最优化问题.全局最优解的求解采用了进化策略法,并同遗传方法的反演结果进行了比较.数值结果表明,用进化策略方法进行参数反演的精度大大高于用遗传方法进行参数反演的精度,进化策略反演是一种良好的非线性反演方法.

作 者：孙维志 韩华  作者单位：孙维志(吉林大学,吉林,长春,130026)

韩华(北方交通大学,北京,100044)

刊 名：计算物理  ISTIC EI PKU英文刊名：CHINESE JOURNAL OF COMPUTATIONAL PHYSICS 年，卷(期)： 19(6) 分类号：O24 关键词：进化策略   参数反演   遗传方法  

参数方程教案 篇6

一、选择题：

二、填空题：

1．(2007广东文)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ=3，则点(2，π/6)到直线l的距离为．

【解析】法1:画出极坐标系易得答案2;法2:化成直角方程y

3及直角坐标可得答案2.2.(2007广东理)（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为xt3x2cos(参数tR)，圆C的参数方程为(参数0，2)，则y3ty2sin2

题C的圆心坐标为.(0，2)，圆心到直线l的距离为22.3．(2007广东文)(几何证明选讲选做题)如图4所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=．

【解析】由某定理可知DCAB60,又ADl,故DAC30.4.(2007广东理)（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆O的直径

AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过

A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则

∠DAC＝ 30°，线段AE的长为3.图

5三、解答题：

1．(2007海南、宁夏理)请考生在A，B，C三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．

1．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 如图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点．，P，O，M四点共圆；（Ⅰ）证明A（Ⅱ）求OAMAPM的大小． 1．Ａ

E-mail:第1页（共2页）

（Ⅰ）证明：连结OP，OM．

因为AP与O相切于点P，所以OPAP．

因为M是O的弦BC的中点，所以

A

OMBC． 于是OPAOMA180°．

由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．，P，O，M四点共圆，所以OAMOPM．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A

由（Ⅰ）得OPAP．

由圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM90°．

所以OAMAPM90°．

1．Ｂ(2007海南、宁夏文、理)（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 O1和O2的极坐标方程分别为4cos，4sin．

O1和O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程．（Ⅰ）把

1．Ｂ

解：以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

（Ⅰ）xcos，ysin，由4cos得24cos．

所以x2y24x．

即x2y24x0为

22O1的直角坐标方程． O2的直角坐标方程． 同理xy4y0为

22xy4x0，x10，x22（Ⅱ）由2解得． 2y0，y212xy4y0

含参数问题的方程解法探索 篇7

一、以方程的根索引参数

这里我们针对已知方程可能产生的根解出来 (可以用参数表示) 再将根代入原方程所具有的条件, 构建成新的方程或不等式。通过转移条件来得到参数应具有的解。

例1 已知关于x的方程1+log2x=2log2 (x-a) 恰有一个实数解, 求实数a的取值范围。

解:原方程等到价于undefined, 即undefined由二次方程的根的判别式△=4 (a+1) 2-4a2=4 (2a+1) 。当△=0即undefined时, 方程 (2) 的解为undefined, 满足 (1) 。原方程的解恰恰有一解undefined, 当△>0即undefined时, 方程 (2) 有两解

undefined。

由于undefined即x2>a, 故要使原方程恰有一解, 必须且只须undefined。解之得a≥0。

综上可知, 所求 的取值范围是{a|a≥0或undefined。

从上题中我们看出以根索引参数是解决参数的通法, 它的缺点运算较为复杂。但它具有思路流畅清晰, 方法易掌握, 学生易懂。

二、实根分布法

将原方程式有解的条铁皮转化为关于x方程的根在某个区间上的分布规律, 再结合二次函数的图象构造出参数所满足的不等到式 (组) , 使问题获解。

例2 已知关于x的方程loga (2x2+x-3) -loga (x+4) =1+loga (a-1) 有两个实根, 并且其中的一个实根小于3。求实数a的取值范围。

解:原方程等到价于undefined即undefined

令f (x) =2x2+[1-a (a-1) ]x-3-4a (a-1) 。由于

f (-4) =32-4[1-a (a-1) ]-3-4a (a-1) =32-4+4a (a-1) -3-4a (a-1) =25>0 故问题等到价于:当a>0时, 方程f (x) =0有一根在区间 (-4, 3) 上, 另一根在区间[3, +∞) 上。

由二次函数的图象知:

(1) f (3) =18+3[1-a (a-1) ]-3-4a (a-1)

=18+3-3a (a-1) -3-4a (a-1) =18-7a2+7a<0即7a2-7a-18>0, 结合a>1时, 解得 , 适合题意。

(2) f (3) =18+3[1-a (a-1) ]-3-4a (a-1) =18=8a2+7a=0。结合a>0, 解得undefined, 此时二次函数 的对称轴

undefined, 适合题意。

综合 (1) (2) 得所求 的取得范围是undefined。

从上题中我们看出以实根分布可以达到化陌生为熟悉的目有, 而且有效地简化了运算的过程, 方法易掌握, 学生易懂, 收到了良好地效果。

三、分离参数法

在解含有参数的方程中我们往往变客为主的方法。主要是能过方程式的恒等变形, 使方程一边只含有参数的解析式, 而另一边为与参数无关的主元的函数, 就将函数关系由“隐”转化为“显”。只要我们能求出主元函数的值域, 则参数的取值范围也就可以确定了。

例3 关于x的方程9x+ (4+a) 3x+4=0恒有解, 求实数a取值范围。

解:分离参数a, 得undefined, 当且仅当undefined, 即x=log32时取等号。∴-4 (4+a) ≥4即a≤-8。故得实数a的取值范围是 (-∞, -8]。

通过分离参数, 可以借助于函数的值域来确定参数的范围, 这种变换主元法思路新颖, 方法独特, 富有创造性。

《坐标系与参数方程》高考全解 篇8

一、要点回顾

1.极坐标

平面几何问题中有许多问题牵扯到长度与角度问题，以这两个量为变量建立极坐标系得到点的坐标、线的方程研究问题就比较容易，而研究极坐标方程时往往要与普通方程之间进行相互转化，在转化时坐标系的选取与建立是以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为（x，y）和（ρ，θ），则有x=ρcosθ

y=ρsinθ和ρ2=x2+y2

tanθ=yx这样的互化关系式，这就给两种方程之间建立了桥梁关系，我们可以来去自由.注意在极坐标系中，极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意的正角或负角.当ρ<0时，点M（ρ，θ）位于极角终边的反向延长线上，且OM=|ρ|.M（ρ，θ）也可以表示为（ρ，θ+2kπ）或（-ρ，θ+（2k+1）π）（k∈Z）.

2.参数方程

参数方程是曲线上点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与普通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x，y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标.参数方程求法（1）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为（x，y）；（2）选取适当的参数；（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；（4）证明这个参数方程就是所求的曲线的方程.求曲线的参数方程关键是参数的选取，选取参数的原则是曲线上任一点坐标，当参数的关系比较明显时关系相对简单，与运动有关的问题选取时间t做参数，与旋转有关的问题选取角θ做参数，或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜角、斜率等.

参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数.三角法：利用三角恒等式消去参数.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去.化参数方程为普通方程为F（x，y）=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f（t）和g（t）值域得x、y的取值范围.

常见曲线的参数方程要熟悉，如：圆、椭圆、双曲线、抛物线以及过一点的直线，并明确各参数所表示的含义.在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.

二、题型探究

1.求曲线的极坐标方程或点的极坐标

例1（1）求在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程.

（2）已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3，ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ≤π2），求曲线C1与C2交点的极坐标.

分析：（1）把极坐标方程化为普通方程求出直线，再得到极坐标方程.（2）直接解方程组.

解：（1）由题意可知圆的标准方程为（x-3）2+y2=9，圆心是（3，0），

所求直线标准方程x=3，则坐标方程为ρcosθ=3.

（2）联立解方程组ρcosθ=3

ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ≤π2）解得ρ=23

θ=π6，即两曲线的交点为（23，π6）.

评注：本题中的已知与所求都是极坐标问题，所以可以直接求解.当然也可以转化为普通方程解答.

2.由极坐标求最值

例2在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ（cosθ+3sinθ）=2的距离为d，求d的最大值.

分析：已知圆为极坐标方程，可以转化为普通方程，然后改写为参数式即可表示出圆上任意一点的坐标，并把直线的极坐标方程转化为普通方程，圆上的点的坐标可以表示出来，由点到直线的距离公式即可求出.也可以转化为圆心到直线的距离利用数形结合的思想解答.

解法一：将极坐标方程ρ=3转化为普通方程：x2+y2=9，ρ（cosθ+3sinθ）=2可化为x+3y=2，在圆x2+y2=9上任取一点A（3cosα，3sinα），则点A到直线的距离为d=|3cosα+33sinα-2|2=|6sin（α+30°）-2|2，它的最大值为4.

解法二：将极坐标方程ρ=3转化为普通方程：x2+y2=9，ρ（cosθ+3sinθ）=2可化为x+3y=2，则圆心到直线的距离为1，圆的半径为3，所以圆上的点到直线的最大距离为4.

评注：在求点线距离时常常转化为普通方程解答，而且要学会转化的思想和数形结合的思想.

3.用参数方程研究两曲线的位置关系

例3求直线x=1+2t

y=1-2t，（t为参数）被圆x=3cosα

y=3sinα，（α为参数）截得的弦长.

分析：把参数方程转化为普通方程来判断位置关系，利用圆心距与半径求出弦长.

解：把直线方程x=1+2t，

y=1-2t，化为普通方程为x+y=2.将圆x=3cosα，

y=3sinα，化为普通方程为x2+y2=9.圆心O到直线的距离d=22=2，弦长L=2R2-d2=29-2=27.

所以直线x=1+2t，

y=1-2t，被圆x=3cosα，

y=3sinα，截得的弦长为27.

评注：消去参数可得普通方程，在关于正弦余弦函数时常利用平方和关系消参.endprint

4.用参数方程求最值

例4在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆x23+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值.

分析：由于已知条件椭圆为二次式，而所求为一次式，所以要求S=x+y的最大值需要把椭圆的方程改写为参数方程变为一次运用代入求之.

解：因椭圆x23+y2=1的参数方程为x=3cosφ

y=sinφ （φ为参数），

故可设动点P的坐标为（3cosφ，sinφ），其中0≤φ<2π.

因此S=x+y=3cosφ+sinφ=2（32cosφ+12sinφ）=2sin（φ+π3）

所以，当φ=π6时，S取最大值2.

评注：在所求函数为一次，而已知为二次时，常常用曲线的参数方程求出，其实质为换元或为三角代换，目的就是降次.

5.极坐标方程与参数方程的混合

例5已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x=22t+1

y=22t，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长.

分析：本题中的曲线为极坐标方程，直线为参数方程，要求弦长，就要把它们都统一成普通方程，再进一步解答.

解：曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，即（x-2）2+y2=4，直线l的参数方程x=22t+1

y=22t，化为普通方程为x-y-1=0，曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为12=22，所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为24-12=14.

评注：在题目中同时出现极坐标方程和参数方程的问题，要统一成普通方程解答；对于直线被圆截得的弦长一般由圆心距和半径求出.

例6已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=123cos2θ+4sin2θ，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为x=2+22t

y=22t（t为参数，t∈R）.

（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和.

分析：本题中的椭圆为极坐标方程，直线为参数方程，先把它们化为普通方程，再由点到直线的距离公式求解.

解：（Ⅰ）直线l普通方程为y=x-2；曲线C的普通方程为x24+y23=1.

（Ⅱ）∵F1（-1，0），F2（1，0），∴点F1到直线l的距离d1=|-1-0-2|2=322，

点F2到直线l的距离d2=1-0-22=22，∴d1+d2=22.

评注：本题主要考查极坐标方程、参数方程转化为普通方程的过程.极坐标方程化为普通方程时可由公式x=ρcosθ

y=ρsinθ进行转化，即同乘右面的分母把分母去掉，得到普通方程.而对于参数方程则需要两式相减消掉参数即可.

三、巩固练习

1.在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP=12.

（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为l上任意一点，试求RP的最小值.

解：（1）设P（ρ，θ），OM=4cosθ，因为P（ρ，θ）在直线OM上，OM·OP=12，所以ρ=3cosθ.

（2）由直线l：ρcosθ=4为一条垂直于极轴的直线，与极点距离为4，P点的轨迹方程为ρ=3cosθ，这是以（32，0）为圆心，以32为半径的圆.由图形可知RP的最小值为1.

2.过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线x=t+1t，

y=t-1t（t为参数）相交于A、B两点.求线段AB的长.

解：直线的参数方程为x=-3+32s，

y=12s（s为参数），曲线x=t+1t，

y=t-1t（t为参数）可以化为x2-y2=4.将直线的参数方程代入上式，得s2-63s+10=0.设A、B对应的参数分别为s1，s2，∴s1+s2=63，s1s2=10.AB=|s1-s2|=（s1+s2）2-4s1s2=217.

3.求直线x=1+4t

y=-1-3t（t为参数）被曲线ρ=2cos（θ+π4）所截的弦长.

解：消去t得直线的方程为3x+4y+1=0，

由ρ=2cos（θ+π4）=2（cosθcosπ4-sinθsinπ4）=cosθ-sinθ，两边同乘ρ，得ρ2=ρcosθ-ρsinθ，即x2+y2=x-y，即（x-12）2+（y+12）2=12，所以曲线为圆，圆心为（12，-12），半径为22，则圆心到直线的距离为|3×12+4×（-12）+1|5=110，所以弦长为2（22）2-（110）2=75.

（作者：薛秋，江苏省太仓高级中学）endprint

4.用参数方程求最值

例4在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆x23+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值.

分析：由于已知条件椭圆为二次式，而所求为一次式，所以要求S=x+y的最大值需要把椭圆的方程改写为参数方程变为一次运用代入求之.

解：因椭圆x23+y2=1的参数方程为x=3cosφ

y=sinφ （φ为参数），

故可设动点P的坐标为（3cosφ，sinφ），其中0≤φ<2π.

因此S=x+y=3cosφ+sinφ=2（32cosφ+12sinφ）=2sin（φ+π3）

所以，当φ=π6时，S取最大值2.

评注：在所求函数为一次，而已知为二次时，常常用曲线的参数方程求出，其实质为换元或为三角代换，目的就是降次.

5.极坐标方程与参数方程的混合

例5已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x=22t+1

y=22t，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长.

分析：本题中的曲线为极坐标方程，直线为参数方程，要求弦长，就要把它们都统一成普通方程，再进一步解答.

解：曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，即（x-2）2+y2=4，直线l的参数方程x=22t+1

y=22t，化为普通方程为x-y-1=0，曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为12=22，所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为24-12=14.

评注：在题目中同时出现极坐标方程和参数方程的问题，要统一成普通方程解答；对于直线被圆截得的弦长一般由圆心距和半径求出.

例6已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=123cos2θ+4sin2θ，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为x=2+22t

y=22t（t为参数，t∈R）.

（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和.

分析：本题中的椭圆为极坐标方程，直线为参数方程，先把它们化为普通方程，再由点到直线的距离公式求解.

解：（Ⅰ）直线l普通方程为y=x-2；曲线C的普通方程为x24+y23=1.

（Ⅱ）∵F1（-1，0），F2（1，0），∴点F1到直线l的距离d1=|-1-0-2|2=322，

点F2到直线l的距离d2=1-0-22=22，∴d1+d2=22.

评注：本题主要考查极坐标方程、参数方程转化为普通方程的过程.极坐标方程化为普通方程时可由公式x=ρcosθ

y=ρsinθ进行转化，即同乘右面的分母把分母去掉，得到普通方程.而对于参数方程则需要两式相减消掉参数即可.

三、巩固练习

1.在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP=12.

（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为l上任意一点，试求RP的最小值.

解：（1）设P（ρ，θ），OM=4cosθ，因为P（ρ，θ）在直线OM上，OM·OP=12，所以ρ=3cosθ.

（2）由直线l：ρcosθ=4为一条垂直于极轴的直线，与极点距离为4，P点的轨迹方程为ρ=3cosθ，这是以（32，0）为圆心，以32为半径的圆.由图形可知RP的最小值为1.

2.过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线x=t+1t，

y=t-1t（t为参数）相交于A、B两点.求线段AB的长.

解：直线的参数方程为x=-3+32s，

y=12s（s为参数），曲线x=t+1t，

y=t-1t（t为参数）可以化为x2-y2=4.将直线的参数方程代入上式，得s2-63s+10=0.设A、B对应的参数分别为s1，s2，∴s1+s2=63，s1s2=10.AB=|s1-s2|=（s1+s2）2-4s1s2=217.

3.求直线x=1+4t

y=-1-3t（t为参数）被曲线ρ=2cos（θ+π4）所截的弦长.

解：消去t得直线的方程为3x+4y+1=0，

由ρ=2cos（θ+π4）=2（cosθcosπ4-sinθsinπ4）=cosθ-sinθ，两边同乘ρ，得ρ2=ρcosθ-ρsinθ，即x2+y2=x-y，即（x-12）2+（y+12）2=12，所以曲线为圆，圆心为（12，-12），半径为22，则圆心到直线的距离为|3×12+4×（-12）+1|5=110，所以弦长为2（22）2-（110）2=75.

（作者：薛秋，江苏省太仓高级中学）endprint

4.用参数方程求最值

例4在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆x23+y2=1上的一个动点，求S=x+y的最大值.

分析：由于已知条件椭圆为二次式，而所求为一次式，所以要求S=x+y的最大值需要把椭圆的方程改写为参数方程变为一次运用代入求之.

解：因椭圆x23+y2=1的参数方程为x=3cosφ

y=sinφ （φ为参数），

故可设动点P的坐标为（3cosφ，sinφ），其中0≤φ<2π.

因此S=x+y=3cosφ+sinφ=2（32cosφ+12sinφ）=2sin（φ+π3）

所以，当φ=π6时，S取最大值2.

评注：在所求函数为一次，而已知为二次时，常常用曲线的参数方程求出，其实质为换元或为三角代换，目的就是降次.

5.极坐标方程与参数方程的混合

例5已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：x=22t+1

y=22t，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长.

分析：本题中的曲线为极坐标方程，直线为参数方程，要求弦长，就要把它们都统一成普通方程，再进一步解答.

解：曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，即（x-2）2+y2=4，直线l的参数方程x=22t+1

y=22t，化为普通方程为x-y-1=0，曲线C的圆心（2，0）到直线l的距离为12=22，所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为24-12=14.

评注：在题目中同时出现极坐标方程和参数方程的问题，要统一成普通方程解答；对于直线被圆截得的弦长一般由圆心距和半径求出.

例6已知椭圆C的极坐标方程为ρ2=123cos2θ+4sin2θ，点F1、F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为x=2+22t

y=22t（t为参数，t∈R）.

（Ⅰ）求直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）求点F1、F2到直线l的距离之和.

分析：本题中的椭圆为极坐标方程，直线为参数方程，先把它们化为普通方程，再由点到直线的距离公式求解.

解：（Ⅰ）直线l普通方程为y=x-2；曲线C的普通方程为x24+y23=1.

（Ⅱ）∵F1（-1，0），F2（1，0），∴点F1到直线l的距离d1=|-1-0-2|2=322，

点F2到直线l的距离d2=1-0-22=22，∴d1+d2=22.

评注：本题主要考查极坐标方程、参数方程转化为普通方程的过程.极坐标方程化为普通方程时可由公式x=ρcosθ

y=ρsinθ进行转化，即同乘右面的分母把分母去掉，得到普通方程.而对于参数方程则需要两式相减消掉参数即可.

三、巩固练习

1.在极坐标系中，从极点O作直线与另一直线l：ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使OM·OP=12.

（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为l上任意一点，试求RP的最小值.

解：（1）设P（ρ，θ），OM=4cosθ，因为P（ρ，θ）在直线OM上，OM·OP=12，所以ρ=3cosθ.

（2）由直线l：ρcosθ=4为一条垂直于极轴的直线，与极点距离为4，P点的轨迹方程为ρ=3cosθ，这是以（32，0）为圆心，以32为半径的圆.由图形可知RP的最小值为1.

2.过点P（-3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线x=t+1t，

y=t-1t（t为参数）相交于A、B两点.求线段AB的长.

解：直线的参数方程为x=-3+32s，

y=12s（s为参数），曲线x=t+1t，

y=t-1t（t为参数）可以化为x2-y2=4.将直线的参数方程代入上式，得s2-63s+10=0.设A、B对应的参数分别为s1，s2，∴s1+s2=63，s1s2=10.AB=|s1-s2|=（s1+s2）2-4s1s2=217.

3.求直线x=1+4t

y=-1-3t（t为参数）被曲线ρ=2cos（θ+π4）所截的弦长.

解：消去t得直线的方程为3x+4y+1=0，

由ρ=2cos（θ+π4）=2（cosθcosπ4-sinθsinπ4）=cosθ-sinθ，两边同乘ρ，得ρ2=ρcosθ-ρsinθ，即x2+y2=x-y，即（x-12）2+（y+12）2=12，所以曲线为圆，圆心为（12，-12），半径为22，则圆心到直线的距离为|3×12+4×（-12）+1|5=110，所以弦长为2（22）2-（110）2=75.