最大-最小（精选12篇）
最大-最小 篇1
从重量来说, 世界上最重的昆虫是热带美洲的巨大犀金龟 (鞘翅目犀金龟科) 。这种犀金龟从头部突起到腹部末端长达155 mm, 身体宽100 mm, 比一只最大的鹅蛋还大。其重量竟有约100 g, 相当两个鸡蛋的重量。另外, 巴西产的一种天牛 (鞘翅目天牛科) 体长也可达150mm以上。但从体长来说, 最长的
昆虫是生活在马来半岛的一种竹节虫, 其体长有270 mm, 比一只铅笔还要长。
世界上最小最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科My-maridae的一种卵蜂Alaptus magnonimus Annandale, 体长仅0.21 mm, 其重量也极其轻微, 只有0.005 mg。折算一下, 20万只才1 g, 1 000万只才有一个鸡蛋那么重。
最大-最小 篇2
新教师因处理课堂上的违纪行为不当，造成完不成教学任务或与学生产生敌对情绪甚至造成教学事故的屡见不鲜。怎样避免这些不愿看到的尴尬局面呢？ 讲一讲我的心得体会。
①自己的课堂要力求自己解决问题，不依赖班主任或学校处理。
②千万要冷静，给双方足够的.时间和空间，降低冲突的热度。要把握住自己扮演的角色，如果“难缠”学生的行为确实严重已影响教学时，与他（她）斗智斗勇时，要先考虑好对方若不接受自己的处理方法或与自己对抗时怎么办？自己怎样体面下台。
最小的成本 最大的收益 篇3
美国航空公司是全美国最赚钱的航空公司之一。美航的成功，应归功于它的执行长官柯南道尔所采取的一系列有效策略，其中最值得称道的是将成本降到极限的管理方案。
美航在加勒比海岸边有一栋货仓，早先一直雇了一个人整夜看守，后来柯南道尔决定要压缩这项开支。会上有人说：“这不可能，我们雇这个人是用来防盗的。”柯南道尔说：“能否把他换成临时工，隔天守夜一次，应该不会有人知道他在不在。”
过了一年，柯南道尔还想减少成本，便告诉下属：“能否将此人换成一条狗来巡守仓库？”下属还真就这么做了，而且很有效。又过了一年，柯南道尔还想把成本继续往下压，下属说：“我们现在已降到只雇用一条狗了。”柯南道尔说：“你们干吗不把狗叫的声音录下来播放？”
就这样，柯南道尔为了省钱，直接开除了一条“毫无过错”的看门狗。
奥运会商业之父的收益绝招
众所周知奥运会需要巨额资金投入，而这会给承办这一盛会的城市带来难以承受的财政负担。1976年，蒙特利尔举办第21届奥运会花了30亿美元，巨额债务险些让当时的市政府破产，蒙特利尔在后来的10多年时间里都在偿还这笔债务。蒙特利尔的“惨痛教训”使得奥运会成了“烫手的山芋”，各国政府对其敬而远之。1978年，第23届奥运会的申办城市最后竟只有洛杉矶一家。
美国商人尤伯罗斯私人承办本届奥运会后发现，所有“来钱”的路都被“提前”堵上了。按照传统思路，筹备奥运会通常有3个资金来源：政府资助、彩票和捐款。然而，加州禁止动用公共基金举办奥运会，美国政府甚至拒绝向奥运会提供一分钱的资助；发行彩票在加州是非法的，还不能与美国奥委会和慈善机构争抢捐款。尤伯罗斯骑虎难下，只好对本届奥运会的组织方式进行了前所未有的“商业化”改革。
转播权招标
尤伯罗斯的第一个商业创意是转播权招标。尤伯罗斯亲自登门拜访，“直接敲打”竞标方，最后将这次奥运会的电视转播权在美国本土拍卖，得到了2亿美元，在欧洲、亚洲分别得到了2000万美元，还得到了2000万美元的广告转播权转让费。为了最大限度融资，这届组委会规定：在招标期间，有意转播奥运会的电视公司须预先支付75万美元作为招标定金。包括美国三大电视网在内的5家电视机构交付了定金，单就这些定金每天高达1000美元的利息便帮助尤伯罗斯渡过了第一道难关。
点燃赞助商战争
尤伯罗斯的第二招是：一改以往组委会“哀求赞助商”的做法，首次成功地将商业竞争的“熊熊战火”引向赞助商。他将正式赞助商的总数严格限定为30个，规定通过竞标的方式，每个行业只接受一家赞助商，利用商家争当行业龙头老大的心态，促使这30个行业内部进行激烈的竞争，进而最大限度地提高赞助价位。通过这一策略，他首先“点燃”了竞争最激烈的饮料行业的“战火”：面对400万美元的底价和强有力的竞争对手“百事可乐”，为了拔取头筹，“可口可乐”最终痛下决心，以1260万美元的天价成为软饮料行业的独家赞助商。后面的企业招标中，尤伯罗斯如法炮制，直到将30家不同行业的企业都用最高价一一拿下。
奥运火炬“荣誉化”
尤伯罗斯的第三招是：将与商家无丝毫联系的荣誉性的火炬接力变成“印钞机”。他开价3000美元/公里，拍卖美国境内奥运火炬传递路线的所有里程，对参加者只有两个要求：第一要身体好，第二要付3000美元。美国人都为自己能当一名奥运火炬手而感到自豪，于是纷纷踊跃报名。通过这一活动成功募集到的1100万美元被用于当地体育设施建设，推广体育活动，培养体育人才。尤伯罗斯还将观赛座位分为三六九等，标上不同价格，最贵的VIP座位竞卖到2万美金。尤伯罗斯甚至公开宣称，即使总统来了，也要自己掏钱买票。
在“开源”的同时，尤伯罗斯还全力压缩开支进行“节流”。他充分利用已有设施，拒绝建新的奥林匹克村，而是租用假期空闲的大、中、小学教室做运动员村，招募大量大学生和社会人员做志愿者，无偿为大会义务工作，节约了大量开支和成本。
凭借着天才的商业头脑和运作手段，尤伯罗斯使没有一分钱政府拨款的洛杉矶奥运会盈利2.25亿美元，成为近代奥运会恢复以来真正盈利的第一届奥运会，从此，奥运会变成了一棵人见人爱的摇钱树。因其对现代奥运做出的突出贡献，1984年，尤伯罗斯获得了国际奥委会颁发的“杰出奥运组织奖”，他被誉为奥运会的“商业之父”。
最小的风险就是最大的成功 篇4
那么罗·道密尔成功的秘诀到底是什么呢?我们可以从罗·道密尔收购一家玩具厂的例子中发现罗·道密尔成功的秘诀。
在20世纪50年代的时候, 罗·道密尔刚到美国没有几年, 手中的积蓄也不多, 可是这时候一家濒临倒闭的玩具厂低价对外出售, 罗·道密尔抓住这个机会买下了这家濒临倒闭的玩具厂。
好多人都不看好罗·道密尔这一行为, 认为他是不自量力, 可是罗·道密尔却不这样认为, 他经过仔细研究后发现, 这家玩具工厂失败的主要原因就是成本太高, 而这成本高并不是制造玩具的成本高, 而是工人的成本高。罗道密尔经过研究后, 作出了两项决定:凡是制作玩具所用的工具、材料, 一定要放在顺手的地方, 工作的时候一伸手就可以拿到, 这样一来, 操作机器的工人, 就不必再为等材料、找工具耽误时间, 无形中节省了许多时间。
这样下来, 整个玩具厂的工作效率提高了许多, 而罗·道密尔的另一个规定则是:在工作的时候, 工人们不允许吸烟, 但是每隔两个小时, 准许工人们休息15分钟, 而工人们对这一个规定也很欢迎。
罗·道密尔的这两项规定执行以后, 在机器没有增加、工人没有增加的情况下, 整个玩具厂的产量增加了近百分之五十, 整个玩具厂扭亏为盈, 而罗·道密尔也为他的发展积累了第一桶金。
最小二乘法和最大似然估计 篇5
二：最小二乘法：
基本思想：
简单地说，最小二乘的思想就是要使得观测点和估计点的距离的平方和达到最小.这里的“二乘”指的是用平方来度量观测点与估计点的远近(在古汉语中“平方”称为“二乘”)，“最小”指的是参数的估计值要保证各个观测点与估计点的距离的平方和达到最小。
这里m是样本数量，θ表示要求的参数，yi是观测值, h是估计值
最小二乘的作用
用于得到回归方程的参数的一个最优估值。在统计学上，该估值可以很好的拟合训练样本。并且对于新的输入样本，当有了参数估值后，带入公式可以得到输入样本的输出。
如何求解最小二乘
多元函数求极值的方法，对θ求偏导，让偏导等于0，求出θ值。当θ为向量时，需要对各个θi求偏导计算。
解：
三：极大似然估计
基本思想
当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大，而不是像最小二乘估计法旨在得到使得模型能最好地拟合样本数据的参数估计量。
极大似然估计的定义：
注意：一般的扰动项是对立同分布的，符合正态分布，因此y-hθ(x)也是正态分布,y就是以hθ(x)为中心的正态分布，
求解极大似然
同样使用多元函数求极值的方法。
四：最小二乘与极大似然估计的区别和理解
对于最小二乘法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据，也就是估计值和观测值之差的平方和最小。而对于最大似然法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。显然，这是从不同原理出发的两种参数估计方法。
在最大似然法中，通过选择参数，使已知数据在某种意义下最有可能出现，而某种意义通常指似然函数最大，而似然函数又往往指数据的概率分布函数。与最小二乘法不同的是，最大似然法需要已知这个概率分布函数，这在实践中是很困难的。一般假设其满足正态分布函数的特性，在这种情况下，最大似然估计和最小二乘估计相同。
最小二乘法以估计值与观测值的差的平方和作为损失函数，极大似然法则是以最大化目标值的似然概率函数为目标函数，从概率统计的角度处理线性回归并在似然概率函数为高斯函数的假设下同最小二乘建立了的联系。
最大似然估计：现在已经拿到了很多个样本(你的数据集中所有因变量)，这些样本值已经实现，最大似然估计就是去找到那个(组)参数估计值，使得前面已经实现的样本值发生概率最大。因为你手头上的样本已经实现了，其发生概率最大才符合逻辑。这时是求样本所有观测的联合概率最大化，是个连乘积，只要取对数，就变成了线性加总。此时通过对参数求导数，并令一阶导数为零，就可以通过解方程(组)，得到最大似然估计值。
最小二乘：找到一个(组)估计值，使得实际值与估计值的距离最小。本来用两者差的绝对值汇总并使之最小是最理想的，但绝对值在数学上求最小值比较麻烦，因而替代做法是，找一个(组)估计值，使得实际值与估计值之差的平方加总之后的值最小，称为最小二乘。“二乘”的英文为leastsquare，其实英文的字面意思是“平方最小”。这时，将这个差的平方的和式对参数求导数，并取一阶导数为零，就是OLSE。
五：为什么最小二乘法对误差的估计要用平方?
在区别当中提到了当假设数据满足正态分布函数的特性，在这种情况下，最大似然估计和最小二乘估计相同。这也是为什么最小二乘法对误差的估计用平方!!下面给出证明。来自：www.fuzihao.org/blog//06/13/%E4%B8%BA%E4%BB%80%E4%B9%88%E6%9C%80%E5%B0%8F%E4%BA%8C%E4%B9%98%E6%B3%95%E5%AF%B9%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E7%9A%84%E4%BC%B0%E8%AE%A1%E8%A6%81%E7%94%A8%E5%B9%B3%E6%96%B9/
荷包最小化 购物最大化 篇6
商场购物派(美术编辑Lena)：正常的价格让我理智消费，实实
在在的挑选让我放心购买
大多数女孩应该都是会选择去商场购物，实实在在的产品和公开透明的价格，让人不用在这方面担心。在商场买护肤品或者是彩妆，最重要的是抓好时机，在适当的时候出手，实惠也是多多的。
商场派精明计一：选择时不仅仅是考虑商场规模的大小，最主要的是看美容产品的区域大小。一般来说，如果某个商场的美容产品柜台比较集中，那么打折和做各种促销活动的机会就会比其他同类商场要多。
商场派精明计二：挑选产品也有讲究。例如，今天想挑选一款睫毛膏，在你进入商场的时候就可以先去柜台试用再接着逛街。几层楼逛下来，时间也过去了不少，你对这支睫毛膏的效果也能有个七八成的把握了。如果是选择护肤产品，保湿产品是能比较快看出效果的。同样的顺序，在容易干燥的部位试用产品，一圈下来对比的效果还是能让你做出选择的。
商场派精明计三：在国内，成为商场的会员或者是在专柜注册会员，都会在第一时间里通知你最新最优惠的打折信息。我经常和好朋友一起购买产品，然后按各自的需要再拆分。这样做不但可以选择那些优惠套装，还可以得到很多赠品，非常划算。
Lena的购物宝盒：M.A.C精采持色粉底液SPF15∕320元，专业级的彩妆品牌，这款粉底液属于哑光质地，遮盖力也不错，重点部位比如T区可以多涂一到两层，加强一下遮盖效果。
网络购物派(网络高手静静)：足不出户，也可以用最经济的价格和最少的时间，买到称心的商品
可能是因为接触网购的时间比较早，现在我生活中很多东西都依赖于网络购物了。发达的网络能满足我各方面要求，哪怕是远在国外的新商品也可以购买到。
网购派精明计一：找到值得信赖的卖家，最直观的是看卖家等级，等级高好评多的比较值得信赖。看好评时不要只看好评率，因为不一定是真实的。应该通过成交宝贝的好评内容来进行观察。有必要的话，可以挑个与你现在需要购买的宝贝相似的成交买家，咨询一下买家的意见。再有就是看卖家商品的数量，达到一定商品数量的可以说明货源的充足和实力。但这其中不乏为了不积压商品减少垫付资金，等你购买以后才会进货或是直接让批发商寄给你的卖家。在和店主沟通中可以询问货品什么时间能够收到等实际问题来判断是否是代理卖家。
网购派精明计二：掌握价格真实性。通常搜索商品时，可以利用网站提供的价格排序功能。让价格由小向大排序，这样一下就可以看出同类同质商品的最低售价与最高售价。就大部分商品来说，一般网购的价格是正常销售的6～7折，太便宜的一般都是有问题的商品或者是假货。
网购派精明计三：争取其他优惠，对于那些国外代购的卖家，他们去进货时都会得到很多小样，如果你提出想试用什么护肤品或彩妆，一些负责任的卖家进货时也会尽力向批发商索取。
最大-最小 篇7
在该网络中,网络节点被分为主用户(PU,Primary User)和次用户(SU,Secondary User)两类。其中主用户对频谱资源的占用具有优先权,可以任意使用。而次用户只能在主用户空闲或者不对主用户造成干扰的情况下共享使用频谱,前一种方式称为overlay,后一种方式称为underlay[5]。认知无线网络技术主要研究次用户之间的传输、组网等问题。
目前,对认知无线网络的频谱感知(spectrum sensing)和动态频谱分配(DSA,Dynamic Spectrum Allocation)技术研究较多,但相对应的组网问题研究较少。该文聚焦在认知无线网络的路由技术上,一些已有的典型研究成果如下。
通过计算或预测主用户的活动规律,使用主用户活动较少的信道来进行路由选择,是认知无线网络路由技术研究中常见的思路。如文献[6]提出了一种结合频谱调度的路由算法。文章通过对所使用频谱资源进行分析,选择具有最小切换次数的频谱作为路由。文献[7]通过分析主用户活动的繁忙程度,提出次用户路由应避开主用户活动频繁的区域,选择主用户活动较少的“边缘区域”。文献[8]通过广播路由查找报文来搜集所有链路的链接状况和主用户活动情况,然后选择最佳的路由。文献[9]在假设主用户活动满足经典ON-Off模型[10]的基础上,结合地理位置信息和频谱感知结果选择路由节点,能够较好地适应频谱的动态性。
本文针对underlay频谱共享模式,提出一种基于最大最小干扰温度余量的认知无线网络路由协议。该协议使用最大最小干扰温度余量的原则选择路由,能够在保证对主用户的干扰不超过限制的条件下,有效利用频谱资源。
本文安排如下,第2节给出本文协议适用的网络场景及协议约束条件,第3节给出最大最小干扰温度余量的具体计算过程,以及述路由查找及更新的基本过程,第4节通过仿真验证协议的有效性,最后是全文总结。
1 网络场景
本文考虑次用户以underlay方式共享主用户频谱资源,并以无线多跳方式进行组网的网络场景。即首先要求次用户对主用户的干扰不能超过一定限制,其次限定没有任何形式的次用户中心节点。
如图1所示,underlay频谱共享模式对次用户的限制主要在发射功率上,overlay频谱共享模式的限制主要在发射时间上。因此,由于可以不间断地使用频谱,underlay模式下的路由协议所需要主要考虑的并非频谱的时间稳定性,即路由稳定性,而是对主用户干扰限制条件的满足。
根据美国联邦通信委员会(Federal Communications Commission)的规定,次用户对主用户的干扰使用“干扰温度(Interference Temperature)”[11]进行度量。其定义如公式(1)所示,式中PSU为以频率fc为中心、频谱带宽为B的次用户功率,κ=1.38*10-23为玻尔兹曼常数。
则次用户对主用户的干扰限制表现为对干扰温度的限制,如公式(2)所示。式中pi表示次用户i的发射功率,hid表示从该节点到主用户U的信道增益,其他符号同公式(1)。
2 基于最大最小干扰的路由协议
2.1 最大最小干扰温度余量计算
如前文所述,对主用户干扰条件的满足是underlay模式下路由协议主要考虑的问题。该文使用最大最小干扰温度余量来度量一条端到端路径上所有次用户对主用户的干扰情况。定义次用户在信道U内的干扰温度余量如公式(3)所示。
由认知无线网络的特性,一条路径上的次用户可能处于不同信道内。设某路径上所有次用户的集合为S,其中位于信道c内的次用户集合为Sc,有S={S1,S2,…,Sc,…}。则将该路径上所有次用户在不同信道内的最小干扰温度余量作为该路径的干扰温度余量。记该路径为l,则该路径的干扰温度余量tl为:
设从源节点到目的节点所有可能路径的集合为L,则将这些路径中具有最大路径干扰温度余量的路径作为端到端的路由。即最终所选路由的干扰温度t如公式(5)所示。
使用这样的原则进行路由选择可以保证整个路径在不同信道上都满足主用户干扰限制,在尽可能共享主用户频谱资源的同时又保证距离主用户干扰限制足够的保护距离。
2.2 路由建立及更新过程
次用户节点在执行频谱分配[12,13]之后,都应记录下自身所选择信道的干扰温度余量,作为路由查找的基本指标。
本文采用被动路由的方式发起路由查找。即仅在有数据发送时发起路由查找报文(RREQ,Routing REQuest),RREQ以广播方式传播。当目的节点收到RREQ,则以单播方式回复路由确认报文(RREP,Routing REPly)。RREP包含发出节点的干扰温度余量。当中间节点收到RREQ,若此节点没有到源节点的路由表项,则建立到源节点的反向路由;若已经有相关路由表项,则先根据RREQ中的序列号判断是否收到过该报文,若已收到过则直接丢弃,若没有收到过则根据该RREQ携带的信息进行路由更新。如果中间有关于目的节点的最新路由,则可以直接回复该RREQ,以减少路由查找时间。最佳的路由在包括目的节点在内的其他节点回复RREP后逐渐更新。
当以下三种条件任一满足时,进行路由更新:1)源节点收到不同RREP后,计算得到更大的路径干扰温度余量tl;2)源节点收到不同RREP后,tl不变,但具有更小的端到端跳数;3)特别的,中间节点变换信道后。
对于中间节点变换信道的情况,由于信道变换后干扰温度余量可能变大也可能变小。因此规定,当某节点变换信道后,发出RREP通知源节点。源节点收到该RREP后,先根据以上条件(1)、(2)进行路由更新;如果tl下降,发起新的路由查找。
3 仿真验证
采用如图2的拓扑结构进行仿真验证。设共有3个频谱资源,分别用f1,f2,f3表示,对应的干扰温度限制为T1,T2,T3。各条链路所能使用的频谱如图2所示。进行从节点S到节点D的路由查找。其他节点I表示中间转发节点,组成一个基本的转发网络。各节点使用随机的发射功率进行传输,以得到不同发射功率的影响情况,但各节点间的信道增益不变。将本文算法和最短路径算法进行比较,通过多次仿真观察对主用户的干扰情况。
仿真结果如图3所示。图3(a)所示为多次仿真的平均值结果,图3(b)所示为各次仿真值的分布情况。从尽可能有效使用频谱的角度看,次用户对主用户总的干扰应尽量靠近干扰温度限制,以提高频谱的利用率。从图3(a)可以看出,最短路径算法并没有充分利用频谱资源,其总的干扰距离干扰温度限制还有相当距离。而本文算法则实现了靠近干扰温度限制但又留有合理距离的目标,充分利用了宝贵的频谱资源。图3(b)表现的不同发射功率对算法效果的影响。可以看出,尽管在平均值上两种算法都满足主用户干扰温度限制,但最短路径算法在不同发射功率下的波动性要大得多,在某些值上甚至已经超过了主用户干扰温度限制。而本文算法却能够始终保证平稳的算法效果,无论在何种发射功率下始终保证对主用户干扰温度限制条件的满足。这也从另一个角度证明了本文算法在最大化利用频谱资源和满足干扰温度限制之间取得了合理的折中。
4 结论
认知无线网络中,次用户对频谱资源的使用受到方方面面的限制,其中最主要的限制之一即是对主用户干扰温度的限制。该文针对这一问题,利用最大最小原则,制定基于最大最小干扰温度余量的路由协议。该协议通过对比不同路径对主用户的干扰情况,选择总干扰温度适当接近干扰限制同时又有足够距离的路径作为最佳路由,从而实现了对主用户干扰限制的始终满足,同时又能够尽可能地利用频谱资源。在干扰限制和资源利用之间取得了合理的折中。
摘要：针对认知无线网络中次用户对主用户的干扰问题,提出了一种基于最大最小干扰的路由协议。该协议通过对比不同路径对主用户的干扰温度,利用最大最小原则选择路由,能够实现在满足干扰温度限制的条件下,尽可能的充分频谱资源。通过大量仿真验证,该文算法实现的设计目的。
求最大值与最小值的常用方法 篇8
一、观察法
一般应用于一目了然地看出函数的性质, 由函数的性质得出最值。
例1 (1991年高考试题) :如果奇函数f (x) 在区间[3, 7]上是增函数且最小值是5, 那么f (x) 在区间[-7, -3]上是 ( ) 。
A.增函数且最大值是-5 B.增函数且最小值为-5
C.减函数且最小值是-5 D.减函数且最大值是-5
解析:f (x) 是奇函数, 所以函数的图像关于原点对称, f (x) 在[3, 7]上是增函数, 则f (x) 在[-7, -3]上也是增函数, 所以f (-7) 是最小值, f (-3) 是最大值。由已知f (x) 在[3, 7]上增函数有最小值5, 即f (3) =5。再由奇函数的性质f (-3) =-f (3) =-5。所以选A, 即:f (x) 在[-7, -3]是增函数且有最大值-5。
二、配方法
配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧, 由于配成完全平方的恒等变形, 使问题的结构发生了转化, 内在条件明朗化, 从中可以找到已知和未知之间的联系, 促成问题的解决。
例2:已知函数f (x) =2+log3x, (1≤x≤9) , 求函数g (x) =f2 (x) +f (x2) 的最大值与最小值。
解析:由于f (x) 定义域为[1, 9], 所以g (x) =f2 (x) +f (x2) 的定义域是[1, 3], 所以g (x) =f2 (x) +f (x2) = (2+log3x) 2+ (2+log3x2) = (log3x) 2+6log3x+6= (log3x+3) 2-3, 由1≤x≤3得:0≤log3x≤1, 所以当x=1时g (x) 有最小值6, 当x=3时, g (x) 有最大值13。
三、判别式法
此法多用于求分式函数或无理函数的最值, 但运用此法必须全面慎重地考虑已知条件, 否则易产生“漏判”“误判”等情况。
例3:求函数undefined的最大值及最小值。
解析:因为函数解析式中有偶次根式, 所以首先确定定义域, 否则可能会“漏判”“误判”。则:由x (2-x) ≥0得0≤x≤2, ①
再将函数变形得:undefined, 两边平方后得:
2x2-2 (y+1) x+y2=0 (y-x≥0) , 方程有实数根的条件是:Δ=4 (y+1) 2-8y2≥0, 即:undefined
由①、②及y-x≥0得:undefined, 所以y的最大值为undefined, 最小值为0。
四、均值不等式法
用“算术平均值≥几何平均值”来求最值。注意应用条件:各项正, 和 (积) 定, 再验等号成立的可能性。
例4 (2001高考) :若实数a、b满足a+b=2, 则3a+3b的最小值是 ( ) 。
undefined
解析:由3a>0, 3b>0可知用均值不等式法, undefined。等号在“当且仅当3a=3b时”成立, 即a=b=1即可, 所以3a+3b的最小值是6。
例5:求undefined的最小值。
解析:由x>0知undefined, 所以可用均值不等式, 但是, 用undefined时ab的积不定undefined不是常数) , 所以应变化为:undefined, 所以当x=1时, y的最小值为3。
五、换元法
换元法是通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的。
例6:求undefined的最大值。
解析:先求定义域, 由x-1≥0得x≥1, 再设undefined, 则x=t2+1, 所以undefined (配方法) , 所以y的最大值是undefined。 (此题也可用判别式法)
例7:求undefined的最值。
解析:设undefined是偶函数, 不必取θ∈[0, π]) 则undefined, 所以y的最大值是undefined, 最小值是0。
六、函数、方程的思想
最值问题在几何中也常出现。由于几何自身特点的局限性, 它的最值往往转化成代数或三角的最值问题, 容易解决。
例8:已知直线undefined和两个定点A (1, 1) 、B (2, 2) , 在此直线上取一点P , 使PA2+PB2最小, 求点P的坐标。
解析:设点P的坐标为 (x, y) , 因为点P在直线undefined上, 所以x=2y, (1)
设u=PA2+PB2= (x-1) 2+ (y-1) 2+ (x-2) 2+ (y-2) 2, 将 (1) 代入得:
undefined, 所以当undefined时, PA2+PB2的最小值是undefined。即undefined且undefined时, PA2+PB2的最小值是undefined, 所以点P的坐标为undefined。
七、分类讨论的思想
分类讨论是解决问题的一种逻辑方法, 也是一种数学思想。有关分类讨论思想的数学问题之所以在高考中有一定的地位, 原因是:一是有明显的逻辑特点;二是能训练人的思维条理性和概括性。
分类有以下原则和方法:分类的对象是确定的, 标准是同一的, 不遗漏, 不重复分层次, 不越级讨论, 明确讨论对象 , 确定对象的全体;确定分类标准, 正确进行分类;逐步进行讨论, 获得阶段性结果, 归纳小结, 综合得出结论。常用在有参数、有绝对值的最值问题。
例9:解关于x的不等式undefined。
解:根据对数函数的单调性和a的取值进行如下分类:
①当a>1时, 不等式可化为undefined
解得undefined
②0
解得:undefined
所以, 原不等式的解集为:undefined或undefined
八、数形结合思想
此思想实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 使抽象思维和形象思维有机地结合起来, 通过图形的认识, 数形的转化使问题具体化。
例10:若x、y∈R;x2+y2=10, 则x+y的最值是多少?
解析:设x+y=t, 则x+y=t是以x、y为变量的直线, t表示直线在y轴上的截距, 换句话说:x2+y2=10上的哪一点能够使过该点且平行于y=-x的直线截距最大或最小, 如图。
显然, 平行于x=-y且与圆相切的两直线的截距分别是最大与最小, 计算得:t的最大值为undefined, 最小值是undefined。
九、转化的思想
转化思想, 无处不在, 尤其在几何中的最值问题用数形结合方法有时还得不出理想的解法, 不妨转个角度来试。
例11:平面上有两点A (-1, 0) , B (1, 0) , 在圆 (x-3) 2+ (y-4) 2=4上取一点P, 使AP2+BP2取最值, 求最小值, 最大值。
解析:用参数方程表示圆:
undefined
则undefined。令undefined, 则AP2+BP2=60+40sin (θ+φ) , 有20≤AP2+BP2≤100, 所以AP2+BP2最小值为20, 最大值为100。
十、整体思维思想
数学问题, 逻辑严密, 环环紧扣。解题时我们习惯个个击破。但有些题若能摆脱束缚有意放大考察视角, 会有柳暗花明之感。
例12:设a, b∈R+且a≠b, 求函数f (x) = (asin2x+bcos2x) (acos2x+bsin2x) 的最大值。
解析:由a、b∈R+知, asin2x+bcos2x>0且acos2x+bsin2x>0而 (asin2x+bcos2x) + (acos2x+bsin2x) =a+b, 用均值不等式得:
undefined
所以f (x) 的最大值为undefined。
最大-最小 篇9
关键词：最大—最小蚂蚁系统,K-TSP,智能计算
0 引 言
自1991年意大利学者Dorigo M等人提出蚂蚁算法[1,2,3]以来, 该算法求解TSP问题、二次分配问题、job2shop 调度问题等组合优化问题上得到了极大的成功, 但同时也存在一些缺陷, 其中最大问题是容易出现停滞现象, 即算法的迭代停滞于某局部最优解。十多年以来, 大批学者对蚂蚁算法进行了充分的研究, 提出了大量对基本蚂蚁算法进行改进的算法, 如蚁群系统[1]、最大最小蚂蚁系统[6]等。诸多算法中, 最大最小蚂蚁系统具有最优性能, 并可以证明该算法可以以任意接近1的概率收敛于最优解[6]。本文将在简要介绍基本蚁群系统和最大最小蚂蚁系统的基础上, 详细论述运用最大最小蚂蚁系统求解K-TSP问题的方法, 列出了部分求解结果, 对结果进行了分析。
1 基本蚂蚁算法与最大最小蚂蚁系统
1.1 基本蚂蚁算法的原理
基本蚂蚁算法利用了蚂蚁觅食总是能找到最短路径的原理。生物学家发现蚁群离开蚁窝外出觅食时, 经过一段时间的搜索, 最后蚁群总是能找到蚁窝与食物之间的最短路径, 即使其中有障碍物阻隔也是如此。原来, 蚂蚁在觅食过程中, 总是在所经路径上留下一种信息素, 该信息素随时间挥发, 所有蚂蚁均能感知到此种信息素, 并总是趋向于行走信息素最浓的路径。蚁群开始觅食时, 由于不知道食物的位置, 各蚂蚁寻食路径是随机的, 当它们搜寻到食物后, 一般沿原路返回。因为经过最短路径往返的时间最短, 因此在该路径上搜寻到食物的蚂蚁已经返回时, 其它蚂蚁还在路上, 因此离蚁窝近处, 最短路径上信息素比其它路径上信息素浓, 吸引了较多的蚂蚁走这条路外出觅食, 久而久之, 最短路径气味越来越浓, 而其它路径上由于信息素逐渐挥发, 信息素逐渐减弱直至消失, 因此, 最后所有蚂蚁都能根据信息素的指引找到最短路径。
Dorigo M等人正是依据上述原理发现了基本蚂蚁算法。基本蚂蚁算法与具体问题相关, 下面以TSP问题为例说明蚂蚁算法的基本思路。
TSP问题的全称是旅行商问题 (Traveling Salesman Problem) , 即某商人要在一系列城市售货, 所有城市之间都有道路连接, 要求解一条最短路径, 该路径除出发城市外只行经各城市一次, 并最后回到出发城市。用基本蚂蚁算法求解TSP问题的基本迭代流程是:
① 将所有城市对 (i, j) 间路径的信息素初始化为一个较小值τij (0) ;
② 将m只蚂蚁随机放到n座城市;
③ 某时刻t时, 各蚂蚁按下式决定的概率选择下一座城市:
其中, allowed为该蚂蚁未行经的城市集合;ηij是一个启发式因子, 表示蚂蚁从城市i转移到城市j的期望程度, 在基本蚂蚁算法中ηij取城市i和城市j间距离的倒数;α, β分别表示信息素和启发式因子的相对重要程度。
④ 当所有蚂蚁完成一次周游后, 各路径上的信息素根据下式更新:
τij (t+1) = (1-ρ) *τij (t) +Δτij (2)
其中, ρ (0<ρ<1) 表示路径上信息素的挥发系数;Δτij表示本次迭代城市间ij上的信息素增量, Δ
⑤ 返回②直到达到某一最短路径或迭代次数达到规定次数。
1.2 最大最小蚂蚁系统对基本蚂蚁算法的改进
基本蚂蚁算法的主要问题是在迭代到一定次数时出现停滞现象, 即最后所有蚂蚁都走同一条次优路径, 而再也不能发现新的解。最大最小蚂蚁系统是目前对基本蚂蚁系统所作改进的算法中性能最优良的系统, 其对基本蚂蚁算法的改进主要有如下三点:
(1) 每次迭代完成后, 只使用本次迭代中路径最短的蚂蚁或到本次迭代为止最短路径的蚂蚁更新各城市间信息素, 即:
τij (t+1) = (1-ρ) *τij (t) +Δτ
其中, Δτ
(2) 为了防止迭代中出现的停滞现象, 总是将城市间信息素限制在[τmin, τmax]的范围, 其中,
式中, Lbest使用迄今为止的最短路径, 并实时更新;Pbest为蚂蚁一次行走中找到最短路径的概率, 计算结果[5]表明, 最大最小蚂蚁算法效率对pbest的取值不敏感, 一般取值为0.05即可。式 (5) 、 (6) 的推导在此从略。
(3) 与基本蚂蚁算法及信息素初始化为一个最小值不同, 最大最小蚂蚁系统将信息素初始化为最大值τmax。
2 K-TSP问题
K-TSP (K-person traveling salesman problem) , 即k个商人从同一城市出发售货, 最后均返回出发城市, 除出发城市外, 所有城市只被一个商人经过, 求每个商人的售货路线, 使所有商人的售货路线最短。
K-TSP问题的数学描述为:设V= (v1, v2, …, vn) 是平面上n个点的集合, G= (V, E) 是V上的完全图, C:E→R为权函数, 称H为图G= (V, E) 的k-周游路, 如果它是k条子周游路的集合H= (H1, H2, …, Hn) , 这里:
(1) Hi为至少包含3条边的简单图, i=1, 2, …, k;
(2) Hi经过定点v1, i=1, 2, …, k;
(3) 任给v∈V/{v1}, 存在唯一的子周游路Hi经过v。
k-周游路H的长度记为L (H) , 即:
其中l为Hi中任意边的长度。
由上可见, TSP问题仅是K-TSP问题的一个特例, 仅是当k=1时的情形。由于K-TSP问题要求多人共同遍历各城市且总路径最短, 因此与TSP问题相比, 其候选解更多, 是一个更难的组合优化问题。目前仅有少量文献涉及K-TSP问题, 其中文献[7]运用基本蚂蚁算法对其进行了求解, 本文将运用最大最小蚂蚁系统求解K-TSP问题。
3运用最大最小蚂蚁系统求解K-TSP问题 (MMAS-KTSP)
3.1 求解基本思想
可以将m·k个蚂蚁分成m个组, 每组k个蚂蚁, 每组各蚂蚁的访问的城市数随机生成, 设c
其中, n为城市总数, i=1, 2, …, m。
各组每个蚂蚁访问完指定城市数后回到出发城市, 每组蚂蚁对应生成一个已访问城市表, 禁止蚂蚁在访问过程中经过已访问城市表中的城市。因此当一组中各蚂蚁均回到出发城市后, 就构造了K-TSP问题的一个解。
蚂蚁在访问过程中, 按照 (1) 式确定的概率寻找下一城市, 但禁止访问的城市列表为本组所有蚂蚁已访问过的城市。当所有组的蚂蚁均完成访问后, 可求得最优组, 把它当成当前最优解。这样就可以运用最大最小蚂蚁系统求解K-TSP问题。
3.2 算法流程
依据上述思想, 可以得出运用最大最小蚂蚁系统求解K-TSP问题的算法流程如下:
① 指定K-TSP问题中的出发城市和k值大小, 将蚂蚁分成m个组, 每组k个蚂蚁;
② 各城市间的信息素初始化为τmax, τmax按 (5) 式确定, 其中Lbest为任意一组蚂蚁按贪婪法 (即蚂蚁总是访问下个离自己最近的城市) 生成的一个解;
③ 置迭代次数iteration=1;
④ 对第i (i=1, 2, …, m) 组的蚂蚁j (j=1, 2, …, k) , 随机生成其访问的城市数c
⑤ 若蚂蚁没有访问完指定城市数, 则蚂蚁按 (1) 式确定的概率选择访问下一个城市, 并将该城市加入已访问城市表, 否则回到出发城市;
⑥ 若本组所有蚂蚁均完成访问, 按 (7) 式求得本组的解, 否则返⑤;
⑦ 若所有组均完成访问, 本次迭代完成, 求取本次迭代最优解, 按 (5) (6) 式更新τmax、τmin, 否则返④;
⑧ iteration=iteration+1, 若解达到要求或迭代次数已满, 结束本次试验, 否则按 (4) 式更新城市间信息素τij, 判断信息素是否在范围[τmin, τmax]。若τij<τmin, 则τij=τmin, 若τij>τmax, 则τij=τmax, 其中i, j=1, 2, …, n。返③。
4 实验结果及分析
4.1 实验结果
为了与文献[7]的ACA-KTSP方法结果对比, 我们同样选取51城市的TSPeil51[8], 分别对不同人数 (k值) 的TSP进行了对比实验, 另外也选取了100城市的kroA100进行了实验。实验参数取α=1, β=2, ρ=0.8, eil51中迭代次数为2500次, 蚂蚁总数为40;kroA100中迭代次数为6000次, 蚂蚁总数为120, 结果列于表1～3。
同时给出k=2, 3, 5时eil51的最优路径。
4.2 实验结果分析
① 运用最大最小蚂蚁系统求解K-TSP问题是可行的, 其结果明显优于文献[7]中的求解结果, 即使是最差的解也比文献[7]中好, 各次实验结果也非常稳定。
② 求解结果中, 同组蚂蚁中各蚂蚁访问路径长度明显不相等, 即负载不均衡。实际问题中, 可能要求各蚂蚁访问的路径基本相等, 即负载均衡, 此时可对程序予以修改, 使各蚂蚁负载均衡, 即首先估计组中蚂蚁行径路径的平均值, 在蚂蚁构造解过程中控制蚂蚁的访问路径, 使得其在行经路径长度在平均值附近时返回出发城市, 这样可求得负载均衡下的最优解。
要求负载均衡时, 求解出来的最短总路径将比表3中的路径长, 但各蚂蚁访问的城市数不再是随机的, 而必须满足负载均衡条件, 所以算法需搜索各种路径组合数将下降, 因而求解效率将有所提高。
参考文献
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[3]Colorni A, Dorigo M, Maniezzo V.Distributed optimization by ant colo-nies.In proceedings of the First European Conference on Articial Life.Elsevier, 1992:134-142.
[4]Dorigo M, Cambardella.Ant Colony System:A Cooperative LearningApproach to the Traveling Salesman Problem.IEEE Transactions onEvolutionary Computation, 1997, 1 (1) :53-66.
[5]Thomas St櫣tzle, Holger HHoos.MAX-MINAnt System.Future Genera-tion Computer Systems.2000, 16 (8) :889-914.
[6]Thomas St櫣tzle, Marco Dorigo.A short convergence proof for a class ofACO algorithms.IEEE Transactions on Evolutionary Computation, 2002, 6 (4) :358-365.
[7]黄席樾, 张著洪, 何传江, 等.现代智能算法理论及其应用[M].北京:科学出版社, 2005, 4:357-361.
最大-最小 篇10
针对上述缺陷, 利用随机矩阵理论RMT (Random Matrix Theory) 的频谱感知技术引起国内外学者的关注, 迅速成为当前的研究热点, 提出了多种基于RMT的频谱感知算法。参考文献[3]提出了最大最小特征值MME (Maximum Minimum Eigenvalue) 算法, 参考文献[4]提出了最大最小特征值之差DMM (Difference between Maximum and Minimum eigenvalue) 算法, DMM比MME具有更好的检测性能。但在协作用户较少的情况下, DMM性能有待提高, 对此, 本文提出了改进的DMM算法, 对感知信号进行拆分重组, 增加协作用户的逻辑个数, 提高了DMM算法在较少协作用户情况下的性能。
1 理论基础
考虑多径衰落信道下的频谱感知, h (n) 代表了发射机与接收机之间的信道衰落函数, 则SU采样信号x (n) =h (n) s+w (n) =s (n) +w (n) , s代表PU发射信号, s (n) 代表发射信号经过信道衰减后接收到的信号, w (n) 是加性高斯白噪声。假设感知过程中有M个SU, 每一个SU对接收信号采样N次, 则第i个SU在k时刻的采样信号、接收信号及噪声分别表示为xi (k) 、si (k) 和wi (k) 。
定义M×N维采样信号向量矩阵X=[x1x2…xM]T, 其中, xi=[xi (1) xi (2) …xi (N) ]T (i=1, 2, …, M) 表示第i个SU采样得到的信号向量。相应的定义背景噪声向量矩阵为W, PU发射信号经过信道衰减后接收到的信号向量矩阵为S。频谱感知过程可以看作为一个二元假设检验过程, SU对PU发射机信号进行检测的结果存在两种可能, 建立假设检验模型如下:
假设噪声W是均值为0、方差为σ2的高斯白噪声。当PU发射信号不存在时, S为0, 则式 (1) 可以统一表示为X=S+W。根据PU发射信号与噪声统计独立, 可得接收信号的统计协方差矩阵为:
其中, IM为单位矩阵。定义如下采样协方差矩阵:
2 改进的DMM频谱感知算法
2.1 检验统计量的确定及判决准则[4]
令矩阵 的最大特征值为λmax和ρmax, 根据式 (1) 和式 (2) 可得, 当存在PU信号时, 接收信号协方差矩阵的最大特征值为ρmax+σ2, 不存在时为σ2;而无论PU信号存在与否, 接收信号协方差矩阵的最小特征值都为σ2。利用矩阵 的最大最小特征值之差作为检验统计量, 得到基于接收信号相关矩阵特征值的DMM算法, 设检验统计量为TDMM=λmax-λmin。
将TDMM作为判决统计量, 判决门限设为γDMM, 算法性能取决于γDMM的设置。根据以上分析, DMM算法的判决准则为:
(1) 当TDMM≥γDMM时, 检测到PU信号, 判决H1成立;
(2) 当TDMM<γDMM时, 未检测到PU信号, 判决H0成立。
2.2 IDMM算法
基于定理1和定理2, DMM算法的虚警概率Pf可以表示为:
因此, DMM算法的理论门限值为:
由于DMM算法的检测统计量TDMM和门限值γDMM都与信号自相关矩阵的最大特征值和最小特征值估计有关, 最大特征值和最小特征值由PU信号的最大特征值ρmax和噪声方差σ2决定, 而ρmax和σ2的估计又与协作用户数M和采样点数N有关, 协作用户数M和采样点数N越多, 能够获得的信号信息越多, 对ρmax和σ2估计越准确, 因此检测性能越好。
基于上述分析, 在采样点数N和协作用户数M一定的情况下, 本文将信号拆分成多个子信号, 在总的数据量不变的前提下, 增加了用户的逻辑个数, 以获得更多的信号相关信息, 提高DMM算法在较少协作用户情况下的性能, 提出了IDMM算法。
在IDMM算法中, 将xi (i=1, 2, …, M) 拆分成q (q>0) 段k=N/q长的子信号向量, 将拆分后的信号向量进行重组, 则可以得到一个 (q M) ×k维的信号矩阵Y:
第1节中的定理1与定理2成立的前提是相比于协作用户数M, 采样点数N趋向于无穷大, 即N远大于M。为了在IDMM算法中能继续应用上述定理, 对矩阵Y定义如下限制:拆分后的信号矩阵需满足k>>q M。
将上述拆分后的矩阵Y表示成向量形式Y=S′+W′, 其中S′=[s11, …, sjm, …, sMq]T, W′=[w11, …, wjm, …, wMq]T。对于矩阵Y, 任取两个向量xim, xjn做相关检测, 则有:
当j=i, m=n时, 此时为自相关检测;不相等时为互相关检测, 此时Rim×jn (k) =E (wimwTjn) 。互相关检测消除了噪声的自相关性对信号的影响, 其性能要优于自相关检测。
Y的协方差矩阵RY=E (YYT) =E (S′S′T) +E (W′W′T) =Rs′+σ2Iq M, 定义矩阵Y的采样协方差矩阵R赞Y=YYT/k, 当k→∞时, 信号协方差矩阵的统计平均等于采样平均RY=R赞Y (k) 。
比较矩阵 可以发现, IDMM算法在逻辑上增加了协作用户数, 从算法上克服了协作用户数少对检测性能造成的影响。协方差矩阵 除对角线元素为自相关函数值外, 其他都为互相关函数值, 且矩阵 维度扩大了q倍, 增加了感知信号子信号间的互相关信息, 所以能够进一步提高DMM检测性能。
综上所述, IDMM算法主要步骤如下:按照式 (5) , 对xi (i=1, 2, …, M) 进行拆分重组, 获得 (q M) ×k维矩阵Y;对矩阵 进行特征值分解, 求得最大最小特征值, 得到判决统计量TDMM=λmax-λmin;估计噪声方差, 由式 (4) 计算得到门限γDMM;最后根据判决准则进行检测。
3 算法仿真及结果分析
本节仿真分析算法性能, 主用户信号采用经过升余弦脉冲成型的QPSK调制信号。假设用户数M=4, 虚警概率Pf=0.05, 5 000次的M-T模拟仿真各种算法。图1是不同q值情况下门限γDMM随采样点数N变化的理论值与仿真值曲线。从图可见随着采样点数N的增加, 理论值与仿真值都趋于稳定。因为对门限值的理论推导过程中, 最小特征值采用的是极限值, 导致门限γDMM的理论值与仿真值有一定偏差, 但是随着采样点数的增加, 最小特征值逐渐逼近理论值, 因此γDMM理论值与仿真值的偏差也越来越小, 这与图1中随着N的增加, 理论值与仿真值的曲线接近重合是一致的。表1是当采样点数N为8 500次时, 不同q值情况下的理论门限值与仿真门限值, 从表1中可以得到, 当采样点数足够大时, 门限仿真值近似等于理论值, 且随着q值的增加, 两者之间的偏差越来越小, 验证了算法理论分析的正确性。
当采样点数N=3 000, q值分别取2、3、4、5时, 算法的检测性能如图2所示。由图2可见, 随着q值的增加, 检测性能逐步提高。例如当信噪比为-15 d B时, DMM算法的检测概率为0.3, 而4次拆分后的IDMM算法检测概率达到了1。上述结果验证了算法理论分析的正确性, 充分表明了IDMM算法的优越性。进一步分析图2可以看出, 当q值再增加时, 检测性能提高幅度越来越小。这与理论分析是相符的, 在式 (5) 中对拆分后的矩阵Y定义过k>>q M的限制条件, 所以拆分次数有限的, 当拆分次数超过一定范围后, 不能继续应用定理1和定理2的结论。
下面对不同算法的检测性能进行比较, 在IDMM算法中, q取2。由于ED算法与噪声不确定性有关, 为了便于比较, 假设σ2=1固定不变, 采样点数N=3 000, 4种算法的检测概率与信噪比之间的关系如图3所示。由图可见, 随着信噪比的增加, 4种算法的性能均有提高, 但IDMM算法的检测性能明显优于其他3种检测算法。
本文从提高特征值估计精度出发, 根据DMM算法的理论基础, 对接收信号矩阵拆分重组, 提出了IDMM算法。理论分析与实验仿真均表明, 该算法延续了DMM算法优点, 即感知性能不受噪声不确定度的影响, 无需知道主用户的信息, 同时检测性能优于DMM算法, 而算法复杂度与DMM算法相同。
参考文献
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[2]李转, 任旭虎.基于信任度函数的认知无线电频谱感知算法研究[J].电子技术应用, 2012, 38 (6) :108-114.
[3]Zeng Yonghong, Liang Yingchang.Eigenvalue-based spectrum sensing algorithms for cognitive radio[J].IEEE Transactions on Communications, 2009, 57 (6) :1784-1793.
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[5]JOHANSSON K.Shape fluctuations and random matrices[J].Communications in Mathematical Physics, 2000, 209 (2) :437-476.
最大-最小 篇11
关键词：最小费用最大流；救灾物资；运输规划
一、问题的背景
我国是自然灾害多发的国家之一。因此严重的自然灾害一旦发生，就需要紧急调运大量的救灾物资，用于抢险救灾，所以如何快速调运就是一个需要研究的实际问题。在实际中，各种物资的储存地与受灾地的位置不同、距离不同，物资的需求量也不同，有时或许还需要经过中转站等情况。当然，在救灾物资的调运过程中，包括运输和中转等都是需要成本的。于是，怎么样才能在保证快速调运的情况下，使总的费用最小。
二、问题的提出
因某地区发生了严重的自然灾害，需要紧急调运一批救灾物资，现在所掌握的情况是共有位于m个不同地方的仓库存有该种物资，并且第i个仓库的储存量为ai（i=1，2，…m），根据不同受灾地的实际需求，共有n个受灾地需要这些物资，且第j个受灾地的需求量为bj（j=1，2，…n）。已知要将这批救灾物资从各个储存仓库运送到各受灾地时途中都需要经过个中转站之一，每启用一次第个中转站（无论转运量多少）均发生固定费用fk（k=1，2，…p），且已知在要求的时间内第k个中转站的最大转运量为ck（k=1，2，…p），用dik和ekj分别表示从第i个储存仓库到第k个中转站和从第个中转站到第j个受灾地的运输费用。现在的问题是如何确定一个方案来快速调运这批救灾物资，使得总的费用最少。
三、问题的分析
对问题进行分析可知，这个问题是一个比较复杂的有中转站的运输问题。在该问题中所产生的费用来自3个方面，即从各个储存地到某个中转站的运输费用、从中转站到各个受灾地的运输费用和每个中转站的启用费用，因此这个问题的优化目标为3个方面费用之和的最小化。为了建立问题的数学模型引入如下的决策变量：用xik表示从第i个储存仓库到第k个中转站的转运物资数量；用yki表示从第k个中转站到第j个受灾地的运输物资数量；用lk表示0-1变量，当启用第k个中转站时取值为1，当不启用第k个中转站时取值为0.
四、模型的建立与求解
（一）模型的建立。
（二）模型求解。求解该不平衡的运输问题有两种方法。一是用運输单纯形法，二是用网络流中的最小费用最大流思想。在这里主要介绍最小费用最大流求解运输问题。
最小费用最大流的实质：将问题转化为最短路问题求解，即能求解救灾物资的快速调运问题。
定义：设f是一个可行流，如果存在一条从发点vs到收点vt的链，满足：（1）所有前向弧上fij
五、模型的评价
这里给出了具有一般意义的运输规划模型，如果能够给出问题中的所有参数的具体数值，该模型就可以用Mathematica或者LINDO软件来求解，得到问题的最优救灾物资的调运方案。该问题具有很好的通用性和实用性，在实际中可以根据灾情的变化及最低需求量来改变运输方案。
参考文献：
[1] 熊伟. 运筹学[M]. 北京：机械工业出版社，2009.9.
最大-最小 篇12
例1 (99全国初中物理竞赛) :某工地设计了一个提起重物的机械, 下图是这个机械一个组成部分的示意图。OA是个钢管, 每米长的重为30N;能绕O点转动;重物的质量m为150kg, 挂在B处, OB=1m;拉力F加在A点, 竖直向上。取g=10N/kg.为维持平衡, 钢管OA为多长时所用的拉力最小?这个最小拉力是多少?
解:设钢管OA长为L (m) 时, 钢管重GL=30LN, GL的作用点在Lm/2处。
由杠杆平衡条件:F1L1=F2L2
得:FL=mg.OB+GLL/2
代入数据得:
F= (150×10×1+30×L×L/2) /L
=[15 (L2+100-20L+20L) ]/L恒等变形。
=[15 (L-10) 2+20L]/L当L=10, (L-10=0) 时, F最小, 则最小力为:
F=15×20
=300 (N)
例2已知R0为定值电阻, R为滑动变阻器, 当变阻器滑片P从a向b移动过程中, 变阻器R连入阻值为多大时, 消耗的电功率最大?最大电功率为多少?
解:由电功率公式:P=UI=I2R
得:P=[U/ (R0+R) ]2R
=U2R/ (R02+2R0R+R2-2R0R+2R0R) 恒等变形
=U2R/[ (R0-R) 2+4R0R]
当R=R0时, R消耗的电功率P最大。其最大电功率P为:
P=U2/4R0s