最小方差模型

2024-09-17

最小方差模型（精选4篇）

最小方差模型篇1

0 引言

在工业过程控制中,采用的自适应校正调节器用是一个参数缓慢变化的过程,在原理上是按系统输出的最小方差自校正控制,被调量通常指受随机扰动影响过程的输出(如纸张单位面积的重量、轧机输出的钢板厚度、反应器工值的出口温度等),这些过程的输出都要求对其定值的波动尽可能小,就是说,其控制目标是使输出的稳态方差尽可能小,而最小方差控制是按最小输出方差为目标设计的自校正控制律。它能有效地抑制随机干扰,算法简单,易于实现,在实际工业过程中具有重要的应用。

1 最小方差控制模型[1]

在自动控制范畴里,最小方差控制的基本思想是先假定u(t)=0,并根据t时刻数据,即已经得到的输出信息Yt=(y(0),y(1),...,y(t))来预报(t+k)时刻的输出Y'=(t=k|Yt),以预报随机扰动ζ(t+k)对输出的影响。由于有延迟k,t时刻的控制输入u(t),以补偿对输出的影响,算出的u(t)即为最小方差控制律。通过不断地进行采样、预报和控制,最后达到输出量的稳态值方差为最小。

假设被控对象(过程)模型为受控的自回归滑动平均差分方程模型(CARMA模型),下式差分方程可表示单输入单输出对象:

式(1)可以用另一种形式变换为:

在式(2)中参数多项式包括:v(z-1)、H(z-1)、L(z-1)三项,ma、mb、mc依次是它们的阶次。其中,上式中的包涵有输入、输出的白噪声序列:{u(t)}、{y(t)}、{w(t)},p在实际应用中是采用周期的整数倍,这里用作对象延迟。

被控对象单输入单输出的差分方程情形仍可用式(2)表示,并可改写成

基于以上公式,针对最小方差控制方法的求解过程,被控对象(过程)作下述假定[2]:

1){w(t)}是一个独立的随机序列,它的方差为δ2,均值为0;

2)随机扰动过程ζ(t)=L(z-1){w(t)}/v(z-1),v(z-1)、H(z-1)为稳定多项式,它们和F(z-1)的所有零点都分布在单位圆之内,这样可以保证ζ(t)为平稳随机过程。

3)在自校正过程种系统参数是不变的或称“冻结的”。

在假定基础上,根据式(2)可知,输出u(t)、输出y(t)和w(t)之间关系,可用图1来表示。

2 最小方差控制器设计

根据被控对象的差分方程式(2),在推导最小方差预报律时有下列的假设[1,3]:

1)被预报的过程,即由随机扰动说产生的输出是一个具有有理谱密度的平稳随机过程;

2)最优的性能指标是稳态预报误差的方差最小;

3)预报律应当是线性的和物理上可以实现的,即预报律应当是有y(t),y(t+1),…的线性函数。

在假设的前提下,可以把最小预报误差的方差改写为[4,5]:

则(2)式可以改写成

由形成滤波器L(z-1)/v(z-1)可得到ζ(t+k)和w(t+k)的关系式:

在输出函数为y(t+k),给定值为yr(t)的情况下,最小方差控制的目标就是使两者偏差的方差是最小的。在公式表现出来就是:

若假设yr(t)=0,则上式变成

而式(8)中的y(t+k)由式(5)表示,并且考虑到式(6)、(7)的关系,可以得到

考虑到上式右边括号中第一部分和第二、第三部分是无关的,并且w(.)的均值为零,因而上式可进一步改写为

考虑到上式右边第一项在t时刻是未知的不可控项,因此,要使价值函数R为最小,只有使上式右边的第二项为零,可得

此即为最小方差控制律。由价值函数R关系式可知,当最小方差控制达到时,输出的最小方差E{y2(t+k)}和输出误差y(t+k)分别为

式(10)中δ2为白噪声序列w(.)的方差。

由此最小方差控制所构成的控制系统如图2所示。

3 模型仿真研究

考虑控制系统非线性不确定随机性,仿真对比最小方差模块对整个控制系统输出特性的影响,取受控系统为[6]:

其中

w(t)为高斯白噪声序列N(0,1),(即均值为0,方差δ2=1),设延迟k=1。D(z-1)的阶次为k-1=0,所以D(z-1),Diophantine方程C(z-1)=A(z-1)D(z-1)+z-1E(z-1)代入具体数据得:

根据自校正调节器的最小方差控制策略理论,对上述受控方程的最小方差控制系统进行仿真[7],如图3所示。

在这个系统中,yr(t)的以正弦波形式输入,幅值调节为3,w(t)为带限白噪声。在时间参数t=0~10s时,y(t)和u(t)都是以示波器形式输出。采用最小方差算法,控制效果如图4所示。如果仅用对象和变量的关系,即是在仿真中缺少最小方差控制Discrete Filter模块,而输入的方式和参数都没有发生改变,在相同的时间范围内,y(t)和u(t)都是以示波器形式输出,控制效果如图5所示。

比较图4和图5同样的y(t)输出可以看出,图4的曲线变换范围大约为[-4.2 7.2],图5的曲线变化约为[-11 17]。仅采取对象和变量的关系控制的系统振荡很大,而加入最小方差控制环节后系统的稳定性明显的增强。

由仿真结果可以看出,本文由原理推导出来的方法应用是有效地,具有较快的响应速度。随着自适应机理的建立,改变参数一般化的最小方差控制系统,显示出较好的跟随性;再者,改变输入方式,可以得出不同的输出效果,使系统具有相关领域的兼容性。

4 结束语

最小方差控制是基于最优化原理,即基于某种模型通过使某一目标函数的最优化而设计出所需要的控制作用的控制算法。在本文的叙述,理论分析和仿真结果都表明了所提出最小方差自校正控制方法是简单易行且有效的,它在自校正控制器应用具有更高的控制精度、更快的响应速度、更好的鲁棒性,且适用于离散控制对象。

参考文献

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[7]张森,张正亮.MATLAB仿真技术与实例应用教程[M].北京:机械工业出版社,2004.

引入探测信号的最小方差对偶控制篇2

4 0年前,对于参数未知的随机自适应系统,前苏联学者Feldbaum提出了对偶控制[1](dual control)。他提出了最优自适应系统的控制信号应该具有的两种主要特性,1系统输出谨慎跟随控制目标,2充分的激励装置提高参数估计作用,以提高未来的控制质量。这就是所谓的对偶特性,具有这两种特性的自适应控制系统称为对偶控制系统。求解对偶控制的方法是采用动态规划,得出一个含有容许控制策略的阶段损失函数的泛函方程,称为Bellman方程。然而Bellman方程最优解的解析形式无法求出,采用数值方法求解Bellman方程计算量大,仅有少数非常简单的问题可以解决。在这种情况下,产生了许多次优的解决方案。其中有:在谨慎控制器中加入探测信号,限定控制参数的方差,使用连续扩展损失方程,修改损失方程,有限参数集法,使用鲁棒控制设计思想等方法[2]。1974年,J.Alster等对一步超前的最小方差控制问题通过附加估计的方差约束[3],获得了一个次优的对偶控制策略;1982年,C.S.Padilla等通过引入新息给出了系统参数未知但为常数的最小方差控制问题[4];1994年,A.Maitelli等利用预测控制方法给出了二步最小方差控制问题的一个次优算法[5];2004年,钱富才等提出了系统模型为差分方程且系统参数未知的两级优化算法对偶控制[6];2008年,高振斌等将互信息引入参数未知随机系统作为性能指标,得到了基于最大互信息指标的对偶控制[7]。

在谨慎控制器中加入探测信号[8],激励信号可以使控制器参数收敛,使控制具有优越性。虽然加入额外探测信号会很自然的增加近期控制误差,但却会在未来的时刻减小控制误差[9]。然而应该何时加入多大的探测信号,尚未有系统的方法给出指导[2]。本文提出了一种在谨慎控制的基础上加入探测信号的方法,利用系统参数辨识的好坏自动调节探测信号的大小,避免了单纯使用谨慎控制所产生“关断”现象,实现系统的次优对偶控制。

2 问题描述

2.1 模型

考虑离散时间、单输入单输出系统:

其中:y为输出,u为输入,e为扰动,{e(t)}是均值为零、方差为2R的高斯白噪声序列。并且假定e(t)与y(t-1),y(t-2),…,u(t-1),u(t-2),…,ai(t),ia(t-1),…,以及bi(t),b i(t-1)…之间是相互独立的,假定0b(t)≠0,对于所有t系统都是最小相位的。

时变参数:

为Gauss-Markov过程,满足随机差分方程:

其中:系统矩阵Φ为已知常数矩阵,{v(t)}是均值为零、方差为1R独立同分量正态随机向量。假设(3)式中系统的初始状态x(0)为正态分布,均值:

方差:

假定e(t)、v(t)和x(0)相互独立。方程(1)的输入输出关系可写成如下形式:

这里:

为观测矩阵,模型的定义由方程(3),(6)给出。

2.2 准则

控制目标是极小化下列损失函数,使输出与参考输入uc(t)差异尽可能小:

其中:E表示数学期望,称以上为损失函数为N阶准则。当N=1时,为一步超前自适应控制也称为谨慎控制。

2.3 容许控制策略

如果控制策略u(t)是所有观测输出包括时间t的函数则控制策略是容许的。令γt表示所有输出值包括y(t)的组合,即γt是由y(t),…,y(0)和x(0)所产生的σ-代数。

3 引入探测信号的对偶控制

3.1 参数估计

引理1[10]状态空间的条件分布:假设模型(3)输出由(6)式定义,e(t)和v(t)分别是方差为R2和1R均值为零的高斯变量,系统的初始状态由式(4)和(5)给出。则x(t)为在γt-1条件下以xˆ(t)为均值P(t)为方差的高斯分布,并满足以下差分方程:

其初始状态为:

此外,y(t)的条件分布为高斯分布,均值为:

方差为:

3.2 确定性等价控制

在(1)中参数已知的情况下可得:

其中:

在x(t+1)和b0(t+1)已知时可得到最优控制:

当参数x(t+1)和b0(t+1)未知时,用其估计值xˆ(t+1)和ˆb0(t+1)代替,可以得到(11)式:

称为确定性等价控制(Certainty Equivalence Control),简称CE控制。

3.3 谨慎控制

在(8)式中当N=1时根据引理1,y(t+1)为高斯条件概率分布,其均值为ϕT(t)xˆ(t+1)、方差为R2+ϕT(t)P(t+1)ϕ(t),则有:

第一个等式可由标准方程:

得到,其中ζ为均值为m方差为p的高斯变量。列向量l的作用是从矩阵P(t)中分离出第一列:

0bp是参数估计值ˆb0的方差,方程(12)为u(t)的二次型,最小化(12)式可以得到谨慎控制(Caution Control):

(13)式也称作一步超前控制。

3.4 引入探测信号

确定性等价控制与谨慎控制代表对偶控制中的两种不同控制作用。确定性等价控制将系统估计参数作为已知参数使用,简化了随机自适应控制问题,保证了系统的稳定性,但忽略估计参数的误差和不确定性,控制起来过于“大胆”,不具备良好的暂态特性[4]。而谨慎控制则将参数的不确定性引入控制,使得系统输出与控制目标的差最小但又过于谨慎,如果参数估计不准确且参数值过小,则可能出现误差协方差阵,从而使控制量变小。小的控制量又会进一步恶化参数估计的精度,如此反复循环,最终使控制量减小为零。这种由于控制器过于谨慎而造成的控制中断现象称为“关断”现象。

对偶控制的关键是在辨识系统参数与跟随控制目标两者之间取得平衡。为了使控制中即考虑参误差的不确定性又避免“关断”现象,在Caution控制的基础上引入探测信号,组成新的次优对偶控器。

对于由(1)式描述的系统,{e(t)}为零均值、协方差为R2的高斯噪声序列,系统参数x(t)由(2)式给出是均值为零、方差为R1的Gauss-Markov过程,ucaution(t)谨慎控制由(13)式给出。则由(14)式定义的加入探测信号的谨慎控制器,可以根据系统参数辨识的好坏自适应的改变探测信号的大小,并可避免单纯使用谨慎控制时产生的“关断”现象,具有对偶性。

其中:uperturbation(t)为探测信号,w(t)加入的随机探测信号。λ(t)为加入探测信号的幅值,r、s为系数,erpb0(t+1)+s是pb0(t+1)的增函数,q>0为探测信号的最大值,是为避免加入过大的探测信号损坏控制器,而限定探测信号的最大值。

当系统参数辨识误差增加时,相应增加,使λ(t)增加探测信号uperturbation(t)增加。当系统参数辨识误差减小,减小,使λ(t)减小探测信号uperturbation(t)减小。当系统参数辨识误差较大,探测信号uperturbation(t)达到最大值,系统以最大的探测信号辨识参数,因此不会产生谨慎控制中因控制量而一步恶化参数估计的精度情况,既不会产生“关断”现象。

由以上可知控制器u*(t)在系统参数辨识不准确的情况下加入较大的探测信号,在系统参数辨识准确的情况下加入较小的探测信号,使控制器接近谨慎控制。实现了在辨识系统参数与跟随控制目标两者之间取得平衡,具有对偶性。

注:参数r、s、q的选取原则应使得在参数辨识不准确时加入大的探测信号,在参数辨识准确时探测信号接近于零。先选定允许加入探测信号的最大值,然后根据以下方程求出r、s的值:

其中:分别为参数方差的最大值和最小值,p为方差最小值既系统稳定时加入的探测信号。(16)式可以限定参数b0方差的最大值,从而改变控制系统的动态性能。

4 仿真分析

给定单输入单输出系统:

则有:

w(t)为方差为1均值为0的高斯白噪声序列;

并根据(16)可以得到:

分别对系统实施确定等价性控制、谨慎控制和加入探测信号的谨慎控制,仿真结果如图1-图4:

由仿真结果可以看出,在起始时刻和参数突变时参数误差很大,加入探测信号的谨慎控制此时产生较大控制误差,但可以使系统参数快速的收敛到实际值,使得在以后的控制中减小误差;在参数收敛到实际值时后,加入探测信号的谨慎控制与CE控制与谨慎控制相比损失函数的变化几近相同,这是由于此时参数较准确探测信号较小与方差较小使得三者之间的差别不大。

5 结束语

本文提出了一种在谨慎控制的基础上加入探测信号的方法可以根据系统参数辨识的好坏情况自动改变探测信号的大小。与其它次优对偶控制相比,加入探测信号的对偶控制不仅计算量小易于实现,而且具有良好的对偶性。仿真表明该方法优于单纯使用确定性等价控制与谨慎控制具有良好的对偶性。

其中:Ⅰ为CE控制的损失函数,Ⅱ为加入探测信号谨慎控制的损失函数,Ⅲ为谨慎控制的损失函数。

摘要：本文针对未知参数的最小方差控制问题,提出了一种在谨慎控制器基础上加入探测信号的控制策略。利用系统方差在参数辨识好坏时的变化调节探测信号的大小,避免了单纯使用谨慎控制所产生“关断”现象。与其它次优对偶控制相比,引入探测信号的最小方差对偶控制不仅计算量小易于实现,而且能够根据需要设计控制系统的动态性能、参数跟踪能力。

关键词：探测信号,最小方差,对偶控制,对偶特性

参考文献

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[7]高振斌,钱富才,刘丁,基于最大互信息指标的对偶控制研究[J].自动化学报,2008,34(8):1008-1012.

[8]ANDERSON,B.D.O.,R.M.JOHNSTONE.Global Adaptivepole positionin[J].IEEE Trans.Automat.Contr.,1985,AC-30,11-22.

[9]WIESLANDER.J,B.WITTENMARK.An approach toadaptive control using real-time identification[J].Automatica,1971,(7):211-217.

最小方差模型篇3

关键词：性能评价,DCS,最小方差,广义最小方差

0 引言

控制系统在运行初期,其控制器都会表现出良好的控制性能。但长时间运行之后,因受到执行机构摩擦磨损、过程特性变化、控制器整定不充分和缺乏维护、扰动等各种因素的影响[1],都会导致性能逐渐退化。在实际生产过程中,大约60%的控制系统都会出现性能方面的问题。运用控制性能评价技术,可以向控制工程师直观地反映系统运行的状况和存在的问题,通过及时调整操作以减少不必要的生产损失,对系统的长期稳定运行有着重要的指导意义。虽然,控制器性能评价这一领域的理论研究刚刚起步,但却已倍受工业界的关注[2]。

最小方差控制指标[3]是研究控制系统性能的基本评价基准,但由于其经常会带来一些高增益、宽带宽和不现实的大方差控制信号[4]导致了在很多实际系统中不太适用。2004年,P.Majecki, M.J.Grimble参考了B.Huang的多变量滤波和相关性分析(MFCOR)算法,把单变量广义最小方差控制性能评价方法扩展到了多变量情形[5]。2010年,赵宇等人也将广义最小方差基准应用于工业分离塔的控制性能分析中[6]。

串级控制在提高动态响应性能、抗干扰等方面比起单回路控制具有明显优势,是流程工业广泛应用的控制方案[7]。但目前针对串级控制系统的性能评价方法很少,文献能搜索到的只有Byung Su Ko,T.F.Edgar[8]和T.M.Teo[9]先后提出的采用最小方差基准的系统性能评价方法。本研究将给出基于广义最小方差的串级控制系统性能评价基准,并将这一方法应用于实验室水箱液位控制系统的性能评价中。利用DCS平台实现控制并采集过程运行数据,进行模型辨识,进而实现控制性能的评价。

1 串级系统广义最小方差性能评价

如图1所示,考虑有两个回路的串级控制系统,其主对象G1和副对象G2的时延时间分别为d1和d2;系统的总时延时间为d=d1+d2。以G*1和G*2分别表示系统主、副对象无时延部分的传递函数。a1和a2分别是主、副回路上的随机高斯噪声(假定均值都为0,方差分别为δ $_{a_{1}}^{2}$ 和δ $_{a_{2}}^{2}$ )。设系统设定值r=0,系统完全由干扰通道上的噪声驱动。在研究广义系统时,通过引入误差权Pc和控制权Fc,构造综合了主控制量和主被控量的广义输出信号方差作为控制性能基准。其中,广义输出表达式为ϕ=-Pcc1+Fcu1;误差权为 $Ρ_{c} = \frac{Ρ_{c n}}{1 - q^{- 1}} (Ρ_{c n}$ 通常是常数的形式或者1-αq-1,其中0<α<1)。控制权为Fc=-k×q-d(1-γq-1)(其中γ是校正参数,可以取0<γ<1,k是适当的比例系数)。

从图1中可以得到:

u1=e1Gc1=-c1Gc1 (1)

c2=u2G2+GL2a2 (2)

u2=e2Gc2=(u1-c2)Gc2 (3)

c1=c2G1+GL1a1 (4)

将主扰动模型GL1和副扰动模型GL2分别分解成如下形式:

GL1=Q1+R1q-d1-d2 (5)

GL2=Q2+R2q-d2 (6)

G*1Q2=S2+T2q-d2 (7)

则:

$\begin{array}{l} c_{1} = [Q_{1} a_{1} + S_{2} q^{- d_{1}} a_{2} + q^{- d_{1} - d_{2}} Μ_{1} a_{1} + q^{- d_{1} - d_{2}} Μ_{2} a_{2}] = \\ Q_{1} a_{1} + S_{2} q^{- d_{1}} a_{2} + \\ q^{- d_{1} - d_{2}} [\frac{(1 + G_{2} G_{c 2}) R_{1} - G_{1}^{*} G_{2}^{*} G_{c 1} G_{c 2} Q_{1}}{1 + G_{c 2} G_{2} + G_{1} G_{2} G_{c 1} G_{c 2}}] a_{1} + \\ q^{- d_{1} - d_{2}} [\frac{Τ_{2} + G_{1}^{*} R_{2} - G_{2}^{*} G_{c 2} S_{2} (1 + G_{1} G_{c 1})}{1 + G_{c 2} G_{2} + G_{1} G_{2} G_{c 1} G_{c 2}}] a_{2} (8) \end{array}$

其中: $Μ_{1} = \frac{(1 + G_{2} G_{c 2}) R_{1} - G_{1}^{*} G_{2}^{*} G_{c 1} G_{c 2} Q_{1}}{1 + G_{c 2} G_{2} + G_{1} G_{2} G_{c 1} G_{c 2}}, Μ_{2} = \frac{Τ_{2} + G_{1}^{*} R_{2} - G_{2}^{*} G_{c 2} S_{2} (1 + G_{1} G_{c 1})}{1 + G_{c 2} G_{2} + G_{1} G_{2} G_{c 1} G_{c 2}}$ 。

通常Q1和S2都能用如下形式表示:

则串级主输出的最小方差基准值可表示为:

最小方差的性能指标为:

$η_{Μ V} = \frac{(δ_{c_{1}}^{2})_{Μ V}}{a c t_var (c_{1})}$ (10)

式中 act_var(c1)—系统输出的实际方差, $a c t_var (c_{1}) = \frac{1}{n}$ $\sum_{i = 1}^{n}$ $(c_{1} (i) - \bar{c}_{1})^{2}$ ;n—输出数据的个数; $\bar{c}$ 1—输出的均值。

在求广义最小方差基准时,同样必须完全地分离出广义输出信号ϕ中q-(d1+d2)之前的所有项数,下面定理将给出串级系统的广义最小方差评价准则。

定理如果已知串级控制系统主、副对象模型,时延值分别为d1和d2(总时延d=d1+d2),主、副回路上的随机高斯噪声均值为0,方差分别为δ $_{a_{1}}^{2}$ 和δ $_{a_{2}}^{2}$ ,Pc与Fc分别是主控制器的误差权和控制权,那么串级系统的广义最小方差基准值为:

同时,相应的广义最小方差性能指标为:

$η_{G Μ V} = \frac{(δ_{φ}^{2})_{G Μ V}}{a c t_var (ϕ)}$ (12)

其中:

式中 A1、A3—由误差权Pc系数分解组成的d×d、d2×d2下三角矩阵;B、C—由Q1和S2系数分解所组成的前d、d2项系数矩阵;act_var(ϕ)—系统广义输出ϕ的实际方差。

证明:

首先,系统的广义输出ϕ表示为:

因为Q1、S2可表示成下面形式:

Pc误差权进行如下两种分解:

(1) 将PcQ1a1项以q-(d1+d2)项为界分离成两部分:

令:

PcQ1的q-(d1+d2)之前所有项的和(即从0到(d1+d2-1)为止的所有项的和):

$\begin{array}{l} Ρ_{c} Q_{1 (0 ~ d_{1} + d_{2} - 1)} = [\begin{matrix} q^{0} & q^{- 1} & \dots & q^{- (d_{1} + d_{2} - 1)} \end{matrix}] \times \\ (A_{1} \times B) = X_{1} \end{array}$

再令:

那么,PcQ1的q-(d1+d2)之后所有项的和:

其中,W1=[q0q-1 … q-(d1+d2-1)]×(A2×B)。

(2)将PcS2q-d1a2项以q-(d1+d2)项为界分离成两部分:

令:

PcS2q-d1的q-(d1+d2)之前所有项的和(即从0到(d1+d2-1)为止的所有项的和):

再令:

那么,PcS2q-d1的q-(d1+d2)之后所有项的和:

其中,W2=[q0q-1 … q-(d2-1)]×(A4×C)。

可以推导广义最小方差输出项如下:

其中X1和X2具有如下形式:

因此,可得到串级系统的广义最小方差基准值为:

证毕。

2 广义最小方差评价基准的应用

本节将针对实验室的水箱液位控制对象,采用广义最小方差的基准进行控制性能评价。

实验对象包括上、下两个串接水箱,通过改变进水管路的电动调节阀开度来控制水箱液位。实验以下水箱液位为主被控参数,利用JX-300X的DCS平台组态串级控制系统,基于DCS平台采集过程实验数据,并进行模型辨识和方差估计分析,根据本研究的广义最小方差评价方法得到控制性能评价结果。

2.1 对象模型测试

本研究在液位操作稳定后对调节阀叠加M序列激励信号,采样周期设置为2 s,M序列周期为35 s,幅值变化范围为15%～30%的调节阀给定信号,实验中测试得到的部分开环输入/输出数据如图2所示。

本研究将图2得到的开环数据中前300组数据用于建模,选用的辨识模型为ARMAX结构。以内环开度和上水箱液位值作为上水箱的输入/输出,采用预报误差法进行模型辨识,分别得到上下水箱模型如下。

上水箱过程模型:

$G_{2} = \frac{0.010 01 - 0.018 83 z^{- 1} + 0.008 933 z^{- 2}}{1 - 2.981 z^{- 1} + 3.1 z^{- 2} - 1.235 z^{- 3} + 0.116 6 z^{- 4}} z^{- 5}$ ;

上水箱扰动模型:

$G_{L_{2}} = \frac{1 - 1.795 z^{- 1} + 0.792 8 z^{- 2}}{1 - 2.981 z^{- 1} + 3.1 z^{- 2} - 1.235 z^{- 3} + 0.116 6 z^{- 4}}$ 。

取部分测试数据进行模型验证,其结果如图3所示。此时得到上水箱a2噪声方差估计值为:

δ $_{a_{2}}^{2}$ =4.065 9×10-5。

以上水箱液位值和下水箱液位值作为输入/输出,笔者建立了主对象模型。得到的下水箱过程模型 $G_{1} = \frac{0.042 09 - 0.031 82 z^{- 1}}{1 - 0.995 1 z^{- 1}} z^{- 6}$ ,下水箱扰动模型 $G_{L 1} = \frac{1 - 0.369 7 z^{- 1}}{1 - 0.995 1 z^{- 1}}$ 。模型验证结果如图4所示。此时可得到下水箱a1噪声方差值为δ $_{a_{1}}^{2}$ =1.782 9×10-6。

2.2 性能评价基准的计算

将主副对象的扰动模型进行如下分解:

$\begin{array}{l} G_{L 1} = Q_{1} + R_{1} q^{- d} = \frac{1 - 0.396 7 z^{- 1}}{1 - 0.995 1 z^{- 1}} = \\ 1 + 0.625 4 z^{- 1} + 0.622 3 z^{- 2} + 0.619 3 z^{- 3} + \\ 0.616 3 z^{- 4} + 0.613 2 z^{- 5} + 0.610 2 z^{- 6} + \\ 0.607 2 z^{- 7} + 0.604 3 z^{- 8} + 0.601 3 z^{- 9} + \\ 0.598 4 z^{- 10} + \frac{0.595 4}{1 - 0.995 1 z^{- 1}} z^{- 11} \end{array}$

因此,Q1的系数矩阵QQ1如下:

$\begin{array}{l} Q Q_{1} = B^{Τ} = [1 0.625 4 0.622 3 0.619 3 0.616 3 \\ 0.613 2 0.610 2 0.607 2 0.604 3 0.601 3 \\ 0.598 4] \\ G_{L 2} = Q_{2} + R_{2} q^{- d_{2}} = 1 + 1.186 0 z^{- 1} + 1.228 3 z^{- 2} + \\ 1.219 9 z^{- 3} + 1.176 9 z^{- 4} + \\ \frac{1.105 4 - 2.285 0 z^{- 1} + 1.311 2 z^{- 2} - 1.372 3 z^{- 3}}{1 - 2.98 z^{- 1} + 3.10 z^{- 2} - 1.24 z^{- 3} + 0.117 z^{- 4}} z^{- 5} \end{array}$

由于G*1Q2=S2+T2q-d2,那么:

$\begin{array}{l} S_{2} = 0.010 01 + 0.022 882 z^{- 1} + 0.036 075 z^{- 2} + \\ 0.048 646 z^{- 3} + 0.060 055 z^{- 4} \\ Τ_{2} = \frac{0.058 843 - 0.119 79 z^{- 1} + 0.068 496 z^{- 2} - 0.007 z^{- 3}}{1 - 2.98 z^{- 1} + 3.10 z^{- 2} - 1.24 z^{- 3} + 0.117 z^{- 4}} \end{array}$

于是,S2的系数矩阵SS2如下:

SS2=CT=[0.01 0.022 9 0.036 1 0.048 6 0.060 1]

(1) 最小方差(MV)基准。

串级主输出的最小方差基准值为:

(2) 广义最小方差(GMV)基准。

选取误差权和控制权分别为:

$Ρ_{c} = \frac{1 - 0.8 z^{- 1}}{1 - z^{- 1}} ‚ F_{c} = - z^{- 11} (1 - 0.4 z^{- 1})$ 。

那么,相应的A1、B、A3、C的矩阵分别如下:

2.3 闭环控制及其性能评价

在串级控制实验中,选定副控制器为P控制,主控制器为PI控制。整定得到主控参数Kp1=10%,Ti1=1.5 min;副控参数Kp2=30%。在t=0 s和t=1 744 s分别置主被控变量(下水箱液位)设定值r为5 cm和10 cm,得到的系统响应和控制量变化情况分别如图5所示。

将t=300～1 600 s和t=2 200～3 800 s的两段数据分别进行性能评价,得到实际的下液位输出方差值分别为act_var(c1_1)=1.054 1×10-5,act_var(c1_2)=1.037 6×10-5。

相应的最小方差性能指标为:

$η_{Μ V 1} = \frac{(δ_{c_{1}}^{2})_{Μ V}}{a c t_var (c_{1_1})} = \frac{8.778 5 \times 10^{- 6}}{1.054 1 \times 10^{- 5}} = 0.832 8$

$η_{Μ V 2} = \frac{(δ_{c_{1}}^{2})_{Μ V}}{a c t_var (c_{1_2})} = \frac{8.778 5 \times 10^{- 6}}{1.037 6 \times 10^{- 5}} = 0.846 0$

然而,广义输出方差值分别为:act_var(ϕ1_1)=5.251 5×10-5,act_var(ϕ1_2)=5.328 9×10-5。

相应的广义最小方差性能指标为:

$η_{G Μ V 1} = \frac{(δ_{ϕ}^{2})_{G Μ V}}{a c t_var (ϕ_{1_1})} = \frac{3.776 9 \times 10^{- 5}}{5.251 5 \times 10^{- 5}} = 0.719 2$

$η_{G Μ V 2} = \frac{(δ_{ϕ}^{2})_{G Μ V}}{a c t_var ϕ_{1_2}} = \frac{3.776 9 \times 10^{- 5}}{5.328 9 \times 10^{- 5}} = 0.708 7$

实验结果分析:

(1) 在本串级实验中,可看出串级控制系统在两次设定值变化下都能较快达到稳态值,并且性能指标值都在0.6之上,反映了良好的控制状态。

(2) 对比第1段与第2段的过程曲线,由于第2段的相对稳定性更好些,因此,ηMV1<ηMV2。但第二段的控制偏差也较大,故ηGMV1还是要比ηGMV2略大些。可以看出基于广义最小方差的评价指标更能反映控制信号的变化。

3 结束语

本研究给出了基于广义最小方差的串级系统性能评价方法,并将之应用于实验室水箱液位串级控制系统的性能评价中。通过与最小方差评价结果的对比,表明基于广义最小方差的评价不仅能反映被控变量的波动信息,且对于控制信号的变化方差较敏感,因此,这种评价基准比之最小方差基准更能全面、综合地反映整个控制系统的运行状况。可以预见,未来基于GMV的基准将会在监督层的控制器性能评估中起到重要作用。

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最小方差模型篇4

最小二乘算法是系统辨识中用得最广泛的估计方法之一。标准的递推最小二乘算法是通过极小化关于输入输出数据的一个二次准则函数,即极小化估计残差平方和而得到的算法[1]。本文基于卡尔曼滤波原理[2],从一个新的角度来推导递推最小二乘算法:定义一个参数估汁误差协方差矩阵,通过极小化该协方差矩阵而推导出递推最小二乘算法。

1最小二乘辨识算法

考虑下列单输入单输出(SISO)系统的参数估计问题,

A(z)y(t)=B(z)u(t)+v(t)(1)

(1)式中{u(t)}和{y(t)}分别是模型的输入和输出序列,{v(t)}为零均值、方差为σ2的不相关随机白噪声序列A(z)和B(z)均为单位后移算z-1的多项式[z-1y(t)=y(t-1)],且

A(z)=1+a1z-1+a2z-2+…+anaz-n,

B(z)=b1z-1+b2z-2+…+bnbz-nb。

定义参数向量θ和信息向量φ(t)分别为

θ:=[a1,a2,…,ana,b1,b2,…,bnb]T∈Rn,

φ(t):=[-y(t-1),-y(t-2),…,-y(t-na),u(t-1),u(t-2),…,u(t-nb)]T∈Rn。

那么式(1)写可成下列最小二乘辨识模型,

y(t)=φT(t)θ+v(t)(2)

本文的目标是,利用系统的输入输出数据{u(t),y(t)}或{y(t),φ(t)},基于卡尔曼滤波原理,极小化参数估计误差协方差阵,而推导辨识参数向量θ的递推最小二乘算法。

很多文献给出了计算θ估计白 $\hat{θ}$ (t)的递推最小二乘算法[1,3]:

$\hat{θ} (t) = \hat{θ} (t - 1) + L (t) [y (t) - φ^{Τ} (t) \hat{θ} (t - 1)]$ (3)

L(t)=P(t-1)φ(t)[1+φT(t)P(t-1)φ(t)]-1(4)

P(t)=[I-L(t)φT(t)]P(t-1)(5)

其中 $\hat{θ}$ (t)为t时刻的估计,L(t)称为增益向量,P(t)称为协方差矩阵。

2算法推导

2.1单输入单输出系统的递推最小二乘算法

仍考虑上述单输入单输出系统式(1)或式(2)。参照式(3),设t寸刻的参数估计 $\hat{θ}$ (t)足由前一时刻参数估计 $\hat{θ} (t - 1)$ 加上一个补偿项得到,且具有下列形,

$\hat{θ} (t) = \hat{θ} (t - 1) + L (t) [y (t) - φ^{Τ} (t) \hat{θ} (t - 1)]$ (6)

那么问题就是如何找到增益向量L(t)∈Rn。方法如下,定义参数估计误差为

$\hat{θ}$ (t): $= \hat{θ} (t) - θ$ (7)

将式(6)代入式(7),并利用式(2)展开可得

$\hat{θ} (t) = [Ι - L (t) φ^{Τ} (t)] \hat{θ} (t - 1) + L (t) v (t)$ (8)

(8)式中I是一个适当维数的单位阵.目标是确定一个最优增益向量L(t)使参数估计误差 $\hat{θ}$ (t)最小。由于v(t)是白噪声,假设L(t)和φ(t)与v(t)独立,对式(8)两边取期望得 $E [\hat{θ} (t)] = 0 (E$ 为期望算子)。定义参数估计误差协方差阵.

P(t): $= E [\hat{θ} (t) \hat{θ}^{Τ} (t)]$ (9)

将式(8)代入式(9)可得

P(t)=[I-L(t)φT(t)]P(t-1)×

[I-L(t)φT(t)]T+L(t)σ2LT(t)(10)

因为P(t)为非负定矩阵,将P(t)配成下列形式:

把P(t)看作待定增益向量L(t)的函数。通过极小化估计误差协方差矩P(t),可求得最优增益向量L(t).上式中矩阵P(t)包含3项,第一、二项与L(t)无关,第二项中,因为P(t-1)是非负定矩阵,所以σ2+φT(t)P(t-1)φ(t)≥0。如果选择增益L(t)使得第三项为零,即取

L(t)=P(t-1)φ(t)[σ2+φT(t)P(t-1)φ(t)]-1(12)

那么协方差阵P(t)最小,也就是参数估计误差最小。

$E [∥ \hat{θ} (t) ∥^{2}] = t r [Ρ (t)] = \min$ 。

将式(12)代入式(11)得到

P(t)=P(t-1)-P(t-1)φ(t)×

[σ2+φT(t)P(t-1)φ(t)]-1φT(t)P(t-1)=

[I-L(t)φT(t)]P(t-1)(13)

式(6),式(12)和式(13)构成了基于卡尔曼原理的单输入单输出系统的最小方差递推最小二乘算法它与标准递推最小二乘算法式(3)-式(5)的差别在于式(12)-式(13)中取σ2=1.

下面讨论一种特殊情况。对于确定性系统,噪声方差σ2=0,则算法式(6),式(12)-式(13)退化为

$\hat{θ} (t) = \hat{θ} (t - 1) + L (t) [y (t) - φ^{Τ} (t) \hat{θ} (t - 1)]$ ,(14)

L(t)=P(t-1)φ(t)[φT(t)P(t-1)φ(t)]-1(15)

P(t)=[I-L(t)φT(t)]P(t-1)(16)

为了防止式(15)中分母为零,可加上一个小常数ε(如取ε=10-6),则算法式(14)-式(16)可修改为

$\hat{θ} (t) = \hat{θ} (t - 1) + L (t) [y (t) - φ^{Τ} (t) \hat{θ} (t - 1)]$ (17)

$L (t) = \frac{Ρ (t - 1) φ (t)}{ε + φ^{Τ} (t) Ρ (t - 1) φ (t)}, 0 ＜ ε \leq 1$ (18)

P(t)=[I-L(t)φT(t)]P(t-1)(19)

在后面的例子中,将研究ε取不同值时,参数估计精度的变化。

这是文献[2]状态估计算法推导过程,推导递推最小二乘参数估计的一种新的简便方法。从上述推导看:这种参数状态估计误差具有最小方差性质。也可理论上证明这个递推最小二来算法的参数估计误差收敛于零。

2.2多输入多输出系统的递推最小二乘算法

上述方法也叮推广到多输入多输出(MIMO)系统.考虑下列多输入多输出系统,

A(z)y(t)=B(z)u(t)+v(t)(20)

A(z):=I+A1z-1+A2z-2+…+Anaz-na,

B(z):=B1z-1+B2z-2+…+Bnbz-nb,

u(t)∈Rr为系统输入向量,y(t)∈Rm为系统输出向量,u(t)∈Rm为零均值、协方差阵为Rv=E[v(t)vT(t)]∈Rm×m的随机噪声向量。

定义参数矩阵ϑ和信号向量φ(t)如下

ϑT:=[A1,A2,…,Ana,B1,…,Bnb]∈Rm×m,φ(t):=[-yT(t-1),…,-yT(t-ma),tT(t-1),…,uT(t-nb)]T∈Rn。

则式(20)可等价写为

y(t)=ϑTϕ(t)+v(t)(21)

参照式(6),由上式可知ϑ的递推估计应取为下列形式:

$\hat{ϑ} (t) = \hat{ϑ} (t - 1) + L (t) [y^{Τ} (t) - ϕ^{Τ} (t) \hat{ϑ} (t - 1)]$ (22)

则参数估计误差可写为

$\begin{array}{l} \hat{ϑ} (t) ∶ = \hat{ϑ} (t) - ϑ = [Ι - L (t) ϕ^{Τ} (t)] \times \\ \hat{ϑ} (t - 1) + L (t) v^{Τ} (t) . \end{array}$

定义参数估计误差协方差短阵P(t): $= E [\hat{ϑ} (t) \times \hat{ϑ}^{Τ} (t)]$ 。令ϵ:=tr[Rv]=E[‖v(t)‖2].采用与上节相同的方法,可以得到多输入多输出系统的最小方差递推最小二乘算法:

$\hat{ϑ} (t) = \hat{ϑ} (t - 1) + L (t) [y^{Τ} (t) - ϕ^{Τ} (t) \hat{ϑ} (t - 1)]$ (23)

$L (t) = \frac{Ρ (t - 1) ϕ (t)}{ϵ + ϕ^{Τ} (t) Ρ (t - 1) ϕ (t)}$ (24)

P(t)=[I-L(t)ϕT(t)]P(t-1)](25)

如果式(24)中取ϵ=1,就得到多输入多输出系统的标准递推最小二乘算法.

3仿真例子

例1 考虑下列随机系统,

A(z)y(t)=B(z)u(t)+v(t),

A(z)=1+a1z-1+a2z-2=1-1.60z-1+0.80z-2,

B(z)=b1z-1+b2z-2=0.412z-1+0.309z-2,

θ=[a1,a2,b1,b2]T=[-1.60,0.80,0.412,0.309]T。

仿真时,输入u(t)采用零均值单位方差不相关可测随机序列,v(t)采用零均值方差为σ2的白噪声序列.当噪声方差为σ2=0.102和σ2=1.002时,对应的噪信比分别为δns=14.26%和δns=142.63%.应用提出的算法式(6),式(12)-式(13)估计这个系统参数,不同噪声方差下的参数估计及其误差如表1所示,参数估计误差δ: $= ∥ \hat{θ} (t) - θ ∥ / ∥ θ ∥$ 随t变化曲线如图1所示.