平方差公式的导出

2024-08-02

平方差公式的导出（共9篇）

平方差公式的导出篇1

平方差公式和完全平方公式在数的运算和代数的化简及求值中有着十分重要的作用, 经常与其他知识综合在一起出现在考题中, 具有较强的灵活性和技巧性。因此, 熟练灵活运用好乘法公式, 就可以使同学们举一反三、触类旁通。

例1 计算

undefined;

(2) (x+y-z) (x+y+z) .

解: (1) 原式undefined;

(2) 原式=[ (x+y) -z][ (x+y) +z]

= (x+y) 2-z2

=x2+xy+xy+y2-z2

=x2+2xy+y2-z2.

注: (2) 题中利用整体思想, 把x+y看作一个整体再利用平方差公式计算, 则此题中相同项是 (x+y) , 相反项是z和-z.

例2 计算 (-xy+1) (xy+1) (x2y2+1)

解:原式= (1-xy) (1+xy) (x2y2+1)

= (1-x2y2) (1+x2y2)

=1-x4y4.

注:计算中要对因式适当变形, 使式子符合公式的结构特征。

例3 计算 (a+4b-3c) (a-4b-3c) .

分析:注意到本题中两个多项式因式中, a与a、-3c与-3c都是相同的项, 4b与-4b是互为相反数的项, 把相同的项分为一类, 互为相反数的项分为一类, 分组后便符合平方差公式左边的特征了。

解:原式=[ (a-3c) +4b][ (a-3c) -4b]

= (a-3c) 2- (4b) 2

= (a-3c) (a-3c) -16b2

=a2-3ac-3ac+9c2-16b2

=a2-6ac+9c2-16b2.

注: (a-3c) 2根据乘方的意义写成 (a-3c) (a-3c) , 用多项式乘法法则计算。

例4 计算

(1) 498×502;undefined

分析:题 (1) 中的498可改写为 (500-2) , 520可改写为 (500+2) , 这样就可以用平方差公式进行简便运算;同样, 题 (2) 中的undefined可改写成undefined可改写成undefined后再进行简便运算。

解: (1) 498×502

= (500-2) (500+2)

=5002-22

=250000-4

=249996;

undefined

注:这种简便方法必须写成 (a+b) (a-b) 的形式时才行。

例5 计算:

(3x+2y-4) (3x+2y+4) - (3x+2y+4) (3x-2y-4) .

解:原式=[ (3x+2y) -4][ (3x+2y) +4]-[3x+ (2y+4) ][3x- (2y+4) ]

=[ (3x+2y) 2-16]-[ (3x) 2- (2y+4) 2]

=12xy+8y2+16y

=8y2+12xy+16y.

“平方差公式”的变形与应用篇2

一、找准a,b，正确套用

例1计算(-3x-5)(3x-5).

分析：两个因式中-5是相同项，3x是相反项.即-5相当于公式中的a，3x相当于公式中的b.

解：(-3x-5)(3x-5)=（-5）²-（3x）²

=25-9x².

二、改变系数，灵活套用

例2计算（2a+4b)(a-2b).

分析：观察题目的特点，将（2a+4b)提取系数2后，得2（a+2b），再观察可直接套用公式.

解：（2a+4b)(a-2b)=2(a+2b)(a-2b)

=2(a²-4b²)

=2a²-8b².

三、巧妙组合，分组应用

例3计算（a-b+c-d)(a+b-c-d).

分析：两个因式中的a,d前边的符号分别相同，而b,c前边的符号分别相反，所以可进行适当的变化，再用平方差公式解决.

解：（a-b+c-d)(a+b-c-d)=[(a-d)-(b-c)][(a-d)+(b-c)]

=(a-d)²-(b-c)²

=a²-2ad+d²-b²+2bc-c².

例4计算（x-y)(x²+y²)(x+y)(x⁴+y⁴).

分析：观察本题特点，可调整顺序连续使用平方差公式.

解：（x-y)(x²+y²)(x+y)(x⁴+y⁴)

=(x-y)(x+y)(x²+y²)(x⁴+y⁴)

=(x²-y²)(x²+y²)(x⁴+y⁴)

=(x⁴-y⁴)(x⁴+y⁴)

=(x⁴)²-(y⁴)²

=x⁸-y⁸.

四、因题而异，逆向使用

例5计算（x+2y-3z)²-(x-2y+3z)².

分析：观察题目特点，可逆用公式.

解：（x+2y-3z)²-(x-2y+3z)²

=[(x+2y-3z)+(x-2y+3z)][(x+2y-3z)-(x-2y+3z)]

=[x+2y-3z+x-2y+3z][x+2y-3z-x+2y-3z]

=2x(4y-6z)

=8xy-12xz.

五、拆项变形，重组使用

例6计算（a-b+1)(a+b-3).

分析：观察式子的特点，可以将两个多项式拆成两个数的和与这两个数的差的形式，然后利用平方差公式计算.

解：（a-b+1)(a+b-3)

=(a-b+2-1)(a+b-2-1)

=[(a-1)-(b-2)][(a-1)+(b-2)]

=(a-1)2-(b-2)²

=a²-2a+1-b²+4b-4

谈“平方差公式”的探索过程篇3

一、计算并观察

活动1:计算下列多项式的积, 并说说你发现了什么规律?

(1) (a+1) (a-1) =__;

(2) (x+2) (x-2) =__;

(3) (2a+b) (2a-b) =__;

(4) (2m+1) (2m-1) =__.

【设计意图】通过这几道特殊的多项式的乘法计算, 让学生们发现多项式的特征并比较多项式与相乘后所得积之间的联系.这一步不但复习了多项式的乘法计算, 还为学习平方差公式进行了热身.

二、观察并猜想

活动2:根据活动1中的四道题回答下面的问题.

(1) 仔细观察, 式子的左边都具有什么特征?

(2) 它们的结果有什么特征?

(3) 能用字母来表示你发现的规律吗?

教师通过提问的方式引导学生们进行观察和猜想.学生们通过自主探究以及合作交流等方式对这个规律进行猜想:等式左边是两个数的和与这两个数的差的积, 式子的右边是这两个数的平方差, 并猜想出: (a+b) (a-b) =a2-b2.

【设计意图】通过引导和提示, 鼓励学生们仔细观察和猜想, 探索具有特殊形式的多项式乘法──平方差公式, 这样更加自然、合理.

三、实践及验证

活动3:实践探究, 有一个长为 (a+b) 、宽为 (a-b) 的长方形, 剪下长为 (a-b) 宽为b的长方形条, 拼成一个有空缺的正方形, 并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系 (a>b>0) .

【设计意图】通过小组合作的方式, 让学生们进行实践和探索, 利用图形面积相等的关系来验证平方差公式的正确性还可以让学生们体会到数形结合的数学思想.

四、总结和归纳

活动4:你能分别用文字语言和数学符号来表示所发现的规律吗?

两个数的和与这两个数的差的积, 等于这两个数的平方差.

【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述, 发展学生的组织语言及表达的能力.并且把语言表达转化为数学符号的形式, 实现了用数学符号来表达数学公式.

五、本质的探究

活动5:你能准确表达出平方差公式 (a+b) (a-b) =a2-b2的结构特征吗?

(1) 左边是两个二项式相乘, 其中“a与a”是相同项, “b与-b”是相反项;右边是二项式, 相同项与相反项的平方差, 即a2-b2;

(2) 在这个公式中, a和b不只可以代表一个数字, 还可能代表一个式子.

【设计意图】通过仔细观察公式, 并总结出公式的特征和本质, 正确理解公式中所含字母表示的意义.抓住概念的核心才能灵活使用公式.

六、巩固和内化

活动6:1.判断下列算式能否运用平方差公式计算:

【设计意图】学生经过思考、交流与讨论, 并结合平方差公式的本质特征进行判断.进一步理解和巩固公式, 特别是理解a与b表示的含义.进一步增强数学公式的运用能力.

2.小明家有一块“L”形的菜地, 现在要分成两块形状、面积相同的部分, 种上两种不同的蔬菜, 请你想办法帮小明设计, 并算出这块自留地的面积.

【设计意图】让学生们感受到数学在实际生活中的运用, 体会平方差公式的几何意义.同时巩固和加深了对平方差公式的理解, 并学会灵活使用公式.

总结

在平方差公式的学习和探究过程中, 学生们的主体性得到了发挥, 观察及验证推理的能力得到了提高, 并对数学知识的学与用以及数形结合的数学思想有了更深刻地理解和感悟.学生们通过自主学习与交流合作的学习方式感受到了知识探索过程的乐趣, 激发了对数学的兴趣.

参考文献

[1]杜万根.巧用拼图游戏验证平方差公式[J].中学生数学初中版, 2012 (6) .

[2]杨雪冰.平方差公式的透彻教法[J].新课程学习, 2012 (1) .

平方差公式的导出篇4

关键词　实验公式导出　实验方法　准确度评估

物理实验的原理体现着实验的设计思想与实验方法，它告诉实验者该实验要做什么、该怎么做，它是实验者了解与掌握实验的钥匙。物理实验的设计思想与实验方法体现在实验公式的导出上。如果实验公式的导出理论透彻、数学推导简明，不仅有利于学生对实验的理解与掌握，也有利于启发与培养学生观察与揭示问题实质的能力。在明了实验原理的基础上，完成实验的测量往往会有多种方法。好的实验方法不但能够简化测量过程、优化实验数据，而且能使学生学到更多的知识。对实验数据与结果的准确度评估，应根据具体的实验情况给出不同的要求，不应统一于千篇一律的处理模式，以使学生更好地感受自己测量的准确性究竟如何。下面作者就自己在实验教学中的一些体会提出来与大家交流。

1　实验公式的导出

以三线摆测物体的转动惯量实验为例，这是一个重要的基本力学实验，实验公式的推导方法有两种。第一种方法是在认为圆盘的小幅扭摆为谐振动的前提下，利用重力作用下刚体升降扭摆的机械能守恒以及扭摆过程中线量与角量的关系，导出实验公式。

第二种方法是从刚体扭摆过程中的受力分析出发，计算出小幅扭摆下悬线拉力对刚体的扭力矩，然后利用刚体的转动定律建立刚体扭摆运动的微分方程，解此微分方程，导出实验公式。两种方法相比较而言，第二种方法显然最好，因为它从基本的受力分析开始，直接导出实验公式，过程清楚明了。在第一种方法中，设定圆盘的小幅扭摆为谐振动需要给出证明，尽管可以证明圆盘的小幅扭摆满足谐振动的微分方程，但这一证明本身就是第二种方法的根本思路。所以尽管第一种方法没有错，但从逻辑上讲是不严格的，如果要严格导出又将使导出过程绕了个大弯子。通过两种方法的比较，作者感到，从最基本处清晰明了地导出实验公式是建立实验公式的最佳方法，这将有助于学生观察与把握物理问题的实质，培养他们独立思考并解决问题的能力。

2　实验方法的选择

在实验原理的指导下，选择好的实验方法，不但能够简化测量过程、优化实验数据，而且能使学生学到更多的知识。例如用流体静力称衡法测不规则固体与液体密度的实验，实验所用的仪器为矿山天平，所要测量的物理量是质量。对质量的测量是采取通常的左物右码的多次测量，还是采用复称法，但只进行单次测量，这是可以讨论的。采取左物右码的多次测量，取其平均值，是为了减小测量的随机误差。然而作者感到，在学生能够正确使用天平的情况下，只要他们能够测得仔细，即使是单次测量，其测量的随机误差也不会大，在这种情况下，对同一质量进行多次测量并无意义。如果采用复称法，且又是单次测量，既避免了无意义的多次测量，简化了实验过程，又可以让学生学习一种新的测量方法—复称法，用这种方法可以消除天平不等臂所带来的系统误差，使实验数据优化。作者在实验教学中感到，不少实验在测量方法上可以有改进的余地，以上所举的用流体静力称衡法测不规则固体与液体密度的实验就是一例。选择好的实验方法，对于提高实验课的教学质量是非常有帮助的。

3　准确度评估

准确度评估是大学物理实验数据处理的重要内容。准确度评估是指用不确定度或相对误差来评估实验数据与结果的准确度。在有公认值或参考值的情况下，计算实验值的相对误差是必需的，是否要计算不确定度则应视情况而定。这是因为，如果实验所测的物理量比较多，或者实验公式比较复杂，都将使不确定度的计算量变得很大，这将使学生在计算上花费很多时间，而学生学习的重点在于掌握不确定度的基本概念。如果实验的不确定度计算概念涉及完整、计算量又不大，则应要求学生计算，以达到基本的教学目的。对于有公认值或参考值的实验，计算相对误差比计算不确定度更能让学生体会自己实验结果的准确与否，对于这样的实验，也可以不计算不确定度。三线摆测物体的转动惯量实验又是这方面的一个典型例子。在这个实验中，作为同一物体转动惯量的扭摆法测量值和定义法测量值（理论值）就可以互为参考，计算它们之间的相对误差就可以让学生很好地感受到自己实验结果的准确性究竟如何。而这个实验的不确定度计算量又很大，可以不让学生计算。

在多年的实验教学中，作者感到，大学物理实验课除了要起到培养学生实验动手能力的重要作用外，还应同样起到培养学生理论思考能力、实验设计能力的作用。选择严格简明的实验公式导出方法和良好的实验方法是培养后一方面能力的重要途径。选择合理的准确度评估方式，可以让学生真切地感受自己测量质量的好坏，从而培养他们探索误差来源的积极性并激励他们提高测试能力，而这正是实验动手能力的重要内容。

参考文献

平方差公式的导出篇5

企业中测量煤气的标准就是流量, 流量的使用情况和它的指标是一个十分重要的监测工作。气体流量中的检测要涉及到的问题有差压、压力和温度, 对于这些流量数据的检测要进行数学的计算从而得出最好的测量结果。通过设备的调试、单体、连接和安装, 还要对流量量程的差压、温度压力补偿、不同状态间的转换和参数的计算求出最佳的最适合煤气运用的方案。这也具有非常实质的意义。

1 混合煤气的密度计算

1.1 标况干煤气的密度计算

混合煤气、焦炉煤气、高炉煤气混合之后它们的密度具有一定的规律, 就是:

在公式里混合气体的体积百分数 (%) , 用v1, v2, …, vn表示;混合气体的密度用ρ1, ρ2, …, ρn表示。

在标准的气压下煤体的密度不同, 最终所实现的焦炉煤气和高炉煤气的密度也各不相同, 同样在密度相同的情况下煤气密度用ρN焦=0.5032kg/Nm3和ρN高=1.3580kg/Nm3表示。焦炉煤气和高炉煤气之间的密度混合会使煤气在低气压下得到最佳的密度数据, 从而使煤气的密度有一个很大的改变。在这里, 煤气的密度在混合煤气下的表示方式为:ρN混=XρN高+ρN焦/ (X+1) (2)

标况密度是0.9306kg/Nm3和1.1066kg/Nm3, 混合在一起的高焦煤气比例是1:1和2.4:1。

1.2 工况湿煤气的密度计算

工作状态为相对湿度φ和温度T以及压力P的情况下, 湿气体的密度是:

每一个工作状态下的气体都有它各自的系数, 每一个系数所计算出来的数据都是为了使煤气密度更加准确更加具体。工作状态下的干气体密度计算可以从公式 (3) 里求出, 其中φ表示相对湿度。在生产的过程中, 高焦混合煤气密度和饱和水蒸气之间的密度表示都是通过这个公式得出。这也是最好的一种计算湿度的方法之一。

2 体积流量值的状态转换和仪表实现

在整个过程中都要考虑到流量的刻度和原始数据的使用, 容积变化之后就会产生一种新的数据, 流量值固定之后就会产生一种全新的气柜设计使用情况。所以在工作设计的过程中, 差压和流量的关系为:

将两个公式互除之后可以得到:

要计算标准的流值, 还要得到流量体积的转换公式ρQMax=ρNQNMax和ρQ=ρNQN, 因此:

差压变送器运用第Ⅲ型时, Q0N为:

通过公式 (7) , 可以求出流量量程、开方、电流输入, 在整个变送器流量的使用中都要考虑到变送器的线性和仪表问题。如图1所示, 流量测量过程图就是一个指示积算仪, 在整个流量的传输过程里对于单元组合仪表来说十分的重要。

通过的流程图再结合公式 (8) 可以计算出仪表产品的流量和密度以及整个流量值的调整状态, 在整个流量调整的过程中就会得出密度和仪表所用流量的结果。

以此公式里, 有标况下的流体密度还有设计工况的密度, 两者之间的关系直接影响到了电流值的传输和流量的总体使用。

3 被测流量的温压补偿和仪表实现

差压和体积差量之间的关系为公式 (9) , 在此公式里有工况的状态还有流量的状态。

在此公式里, 工况下的流体密度为ρ, 体积流量为Q。

流体的温度和密度以及函数之间的关系式在公式 (10) 里可以得出最佳的压力、温度和密度的数据。

将公式 (11) 的理想气体数据代入下面的公式可以取得最佳的气体数据。

从公式里所求出来的气体流量数据带入完整的公式里, 最终可以求得整个流量的体积, 流量的体积求法与温压在传感器的装置下就会产生不同的效果, 如图2所示。

通过上面的图示和计算公式最终求出最佳的运算方式, 最后得出仪表的实际使用值和最佳的测量数据的方式, 在整个计算的过程里, 要求出最佳的大气压参数和最好的温度量程、输入类型, 将这些数据输入到单片机中最终得出仪表的最佳的运算法则, 输出信号的过程中会有运算方式和最终的开方器将两者之间的数据相结合, 可以得到最好的运算结果。

4 质量流量

对于流量质量的运用可以有具体的原理介绍方式。在转流量和质量的过程问题中, 会出现不同的变性质量情况, 在这种情况下要有温度压力做为补偿还要有设计工况的补偿。在设质量流量在无温压补偿的情况下可得:

质量流量在实际工况下的工作中可以得出:

通过上面每一个公式的计算方式和仪表的操作方法最终可以得出最佳的流量的使用数据和最好的流量, 在仪表的分析和操作过程中会让每一种设备和仪表组合都适用于每一种煤气的流量测算, 通过多种方式可以得到最佳的数据分析。

5 流量量程调整

将混合在一起的高焦混合煤气进行调整之后就会有最适合的工艺要求, 将各种工作要求和不一样的混合煤气在公式里得到调整之后就会有量程的参数出现, 这样的参数很大程度就会影响到流体的条件设计。不同的高焦比就会有不一样的体积流量比:。当表压力7000Pa, 温度为25℃时, 其值是:。每一个仪表的量程不同、流量不同, 所以扩展出来的测量结果也不相同, 而且流量还会加倍。

6 结束语

通过本文对仪表的测量方式和测量结果的论述, 最终实现了煤气流量的测量结果, 这也是整个煤气流量测量过程中的一种十分有效的方式, 将这种试验的方式相结合最终求出最佳的测量结果。

参考文献

[1]梁剑波.基于煤气流量的高炉炉况诊断系统设计及实现[D].中南大学, 2009.

[2]杜雅楠.基于核学习的冶金煤气流量在线区间预测方法[D].大连理工大学, 2013.

浅析平方差公式在解题中的作用篇6

例1 计算undefined

分析:此题若按习惯解法, 先乘方、再进行计算, 显然十分繁琐, 然而巧用公式a2-b2= (a+b) (a-b) , 做起来就比较简单了。

undefined

例2 把式子undefined分母有理化。

分析:形如undefined的式子的有理化因式是undefined, 其方法是利用平方差公式化去根号;此题亦可将分子变成undefined, 再利用公式进行分解因式。

解法一:原式undefined

undefined

例3 证明3599是合数。

分析:如果用一些整数进行整除的方法证明, 其难度是可想而知的。可是将3599变成3599+1-1, 然后运用公式

a2-b2= (a+b) (a-b) 就不难了。

证明:∵3599=3599+1-1=3600-1

=602-12

= (60+1) (60-1)

=61×59.

∴3599是一个合数。

创造条件运用平方差公式解题篇7

一、变换位置, 再用公式

例1 计算: (2x+3y) (3y-2x) .

解:原式= (3y+2x) (3y-2x)

=9y2-4x2.

二、变换符号, 再用公式

例2 计算: (3a-4b) (-3a-4b) .

解:原式=- (3a-4b) (3a+4b)

=- (9a2-16b2)

=16b2-9a2.

三、变换指数, 再用公式

例3 计算: (a+2b) 2× (a-2b) 2.

解:原式= (a+2b) 2× (a-2b) 2

=[ (a+2b) × (a-2b) ]2

= (a2-4b2) 2

=a4-8a2b2+16b4.

四、合理组合, 再用公式

例4 计算: (x+2y-3z+1) (-x+2y-3z-1) .

解:原式=[ (2y-3z) + (x+1) ][ (2y-3z) - (x+1) ]

= (2y-3z) 2- (x+1) 2

=4y2-12yz+9z2-x2-2x-1.

五、拆项组合, 再用公式

例5 计算: (2x-3y-1) (-2x-3y+5) .

解:原式= (2x-3y-3+2) (-2x-3y+3+2)

=[ (2-3y) + (2x-3) ][ (2-3y) - (2x-3) ]

= (2-3y) 2- (2x-3) 2

=9y2-12y-4x2+12x-5.

六、乘1变换, 再用公式

例6 计算: (2+1) (22+1) (24+1) (28+1) .

= (2-1) (2+1) (22+1) (24+1) (28+1)

= (22-1) (22+1) (24+1) (28+1)

= (24-1) (24+1) (28+1)

= (28-1) (28+1)

平方差公式的导出篇8

例1 运用乘法公式进行计算。

分析:本例如果直接计算不太方便, 但如果我们把构造成平方差公式后, 就会发现可以和第一项中的相消, 由此得到下面的解法。

解法一:1232-124×122

= 1232- (123+1) (123-1)

= 1232- (1232+1)

【猜想】在上面的解法中我们不难发现, 把1232看成 (123+0) 2, 即 (123+0) 2- (123+1) (123-1) , 然后再把式子中所有的123拿掉, 可得02-1× (-1) , 其运算结果也是1, 由此我们猜想, 式子 (123+0) 2- (123+1) (123-1) 的运算结果与123无关, 把123换成其他任何一个数, 其结论也应成立, 即 (a+0) 2- (a+1) (a-1) =02-1×) -1) =1, 更一般地, 我们猜想, (a+b) 2- (a+c) (a+b) =b2-cd。这个猜想是否正确呢?

答案是肯定的, 于是我们得到下面的定理:

定理 (拟平方差公式) :若2b=c+d, 则 (a+b) 2- (a+c) (a+d) =b2-cd。

证明: ∵2b=c+d

∴ (a+b) 2- (a+c) (a+d)

=a2+2ab+b2- (a2+ad+ac+cd)

=a (2b-c-d) +b2-cd

=a (a+d-c-d) +b2-cd

=b2-cd

即: (a+b) 2- (a+c) (a+d) =b2-cd

应用如上的拟平方差公式我们可以得到例1的以下两种不同折项的简捷解法:

解法二:1232-124×122

= (123+0) 2- (123+1) (123-1)

=02-1× (-1)

解法三: 1232-124×122

= (122+1) 2- (122+1) (122+0)

=12-4×0

【点评】解法一虽然能达到简捷运算的目的, 但因涉及到整式乘法公式和去括号法则, 而整式乘法公式和去括号法则又是学生学习过程中的难点和易错点;解法二、解法三直接应用拟平方差公式, 因而从理论上避免了学生学习的难点和易错点, 这不仅能大大提高学生解题的正确性, 而且还简化了计算。

关于拟平方差公式的应用, 我们再来看两个例子。

例2 计算 (a+5) 2- (a+7) (a+3)

分析:容易发现, 1×5=7+3, 因此本题是标准的拟平方差公式, 直接应用上面的定理即可。

解: (a+5) 2- (a+7) (a+3)

=52-7×3

例3 计算undefined

分析:本题乍一看去, 好象看不出什么简捷的运算方法, 但细心观察就会发现, 若把因数分解成 , 再把两个分别乘以后面的两项后就会发现可以使用拟平方差公式来简化运算。

解:undefined

应用方差公式解高中数学竞赛题篇9

中学数学中的方差公式在数学解题中有着极其广阔的应用价值, 然而由于统计初步列入中学数学时间不长, 因而有关方差公式在数学解题中的应用资料甚少. 为延伸教材内容、紧跟素质教育和新课程改革的步伐, 下面我们将方差公式在解高中数学竞赛题中的应用举例介绍如下, 供师生参考.

1 方差公式引理

如果 $\bar{x}$ 为一组数据x1, x2, …, xn的平均数, S2为这组数据的方差, 则有

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{n} [(x_{1} - \bar{x})^{2} + (x_{2} - \bar{x})^{2} + \dots \\ + (x_{n} - \bar{x})^{2}] \\ = \frac{1}{n} [(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}) - n \bar{x}^{2}] \\ = \frac{1}{n} [\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \bar{x}^{2}] . \end{array}$

2 典型例题解析

本文以竞赛试题为例, 谈谈如何利用方差公式解高中竞赛题.

2.1 求最大值

例1 (1993年全国高中数学联赛题) 实数x, y满足4x2-5xy+4y2=5, 设S=x2+y2, 则 $\frac{1}{S_{\max}} =$ __.

解设x2+y2=t, 则视x, y为一组数据, 由方差公式, 得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{2} [(x^{2} + y^{2}) - 2 \cdot (\frac{x + y}{2})^{2}] \\ = \frac{1}{2} [(x^{2} + y^{2}) - \frac{x^{2} + 2 x y + y^{2}}{2}] \\ = \frac{(x^{2} + y^{2}) - 2 x y}{4} = \frac{t - 2 x y}{4} . (1) \end{array}$

因为4x2-5xy+4y2=5, 所以

$x y = \frac{4}{5} (x^{2} + y^{2}) - 1 = \frac{4}{5} t - 1 .$

代入 (1) 中, 得

$S^{2} = \frac{t - \frac{8}{5} t + 2}{4} = \frac{- 3 t + 10}{20} \geq 0,$

所以 $3 t - 10 \leq 0, t \leq \frac{10}{3} .$

即 $S_{\max} = \frac{10}{3}, \frac{1}{S_{\max}} = \frac{3}{10} .$

2.2 求最小值

解视s+5-3|cos t|, 2|sin t|-|s|为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{2} [(s + 5 - 3 | \cos t |)^{2} \\ + (s - 2 | \sin t |)^{2} \\ - \frac{1}{2} (s + 5 - 3 | \cos t |) \\ + 2 | \sin t | - s)^{2}] \\ \geq 0, \end{array}$

$\begin{array}{l} 即 (s + 5 - 3 | \cos t |)^{2} + (s - 2 | \sin t |)^{2} \\ \geq \frac{1}{2} (s + 5 - 3 | \cos t | + 2 | \sin t |) - s)^{2} \\ = \frac{1}{2} (5 - 3 | \cos t |) + 2 | \sin t |)^{2} \\ = \frac{1}{2} (5 + 2 \sin θ - 3 \cos θ)^{2} \\ = \frac{1}{2} [5 + \sqrt{13} \sin (θ - φ)]^{2}, \end{array}$

其中 $θ \in [0, \frac{π}{2}], \sin θ = | \sin t |, \cos θ = | \cos t |, \sin φ = \frac{3 \sqrt{13}}{13}, \cos φ = \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ .显然当θ=0 (此时t=kπ, k∈Z, s可取任意实数) 时, 原式可达到最小值2.

2.3 解方程

例3 (南昌市高中数学竞赛题) 解方程 $4 (\sqrt{x} + \sqrt{y - 1} + \sqrt{z - 2} = x + y + z + 9 .$

解设 $\sqrt{x} = a, \sqrt{y - 1} = b, \sqrt{z - 2} = c$ , 则x=a2, y=b2+1, z=c2+2.原方程化为

4 (a+b+c) =a2+b2+c2+12,

即 a2+b2+c2=4 (a+b+c) -12.

视a, b, c为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{3} [(a^{2} + b^{2} + c^{2}) - \frac{1}{3} (a + b + c)^{2}] \\ = \frac{1}{3} [4 (a + b + c) - 12 - \frac{1}{3} (a + b + c)^{2}] \\ = - \frac{1}{9} (a + b + c - 6)^{2} . \end{array}$

因为S2≥0, 所以

$- \frac{1}{9} (a + b + c - 6)^{2} \geq 0$ ,

从而 (a+b+c-6) 2=0,

即 a+b+c=6.

故有S2=0, 从而a=b=c=2.

故x=4, y=5, z=6.经检验是方程的解.

2.4 解方程组

例4 (法国高中数学竞赛题) 解方程组

${\begin{cases} x + y + z = 1, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = \frac{1}{3} . \end{cases}$

解视x, y, z为一组数据, 则由方差公式, 得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{3} [(x^{2} + y^{2} + z^{2}) - 3 (\frac{x + y + z}{3})^{2}] \\ = \frac{1}{3} [\frac{1}{3} - 3 (\frac{1}{3})^{2}] = \frac{1}{3} \times 0 = 0 . \end{array}$

而由方差公式的推导可知:若 $(x_{1} - \bar{x})^{2} + (x_{2} - \bar{x})^{2} + \dots + (x_{n} - \bar{x})^{2} = n S^{2} = 0$ , 则有 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n} = \bar{x}$ .本题中, $x_{1} = x, x_{2} = y, x_{3} = z, n = 3, S = 0, \bar{x} = \frac{x + y + z}{3} = \frac{1}{3}$ , 故有

$(x - \frac{1}{3})^{2} + (y - \frac{1}{3})^{2} + (z - \frac{1}{3})^{2} = 0,$

即 $x = y = z = \frac{1}{3} .$

2.5 求最值范围

例5 (美国第七届IMO试题) 设实数a, b, c, d, e适合a+b+c+d+e=8, a2+b2+c2+d2+e2=16, 试确定e的取值范围.

解由已知得

视a, b, c, d为一组数据, 则由方差公式,

所以 $0 \leq e \leq \frac{16}{5} .$

2.6 证明不等式

例6 (1988年四川省高中数学联赛题) 已知:实数xi (i=1, 2, …, n) 满足 $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} = a (a > 0), \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} = \frac{a^{2}}{n - 1}, n \geq 2, n \in Ν$ .求证 $0 \leq x_{i} \leq \frac{2 a}{n} (i = 1, 2, \dots, n) .$

证明由题意知

$\begin{array}{l} x_{2} + \dots + x_{n} = a - x_{1}, \\ x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2} = \frac{a^{2}}{n - 1} - x_{1}^{2} . \end{array}$

则由方差公式, 得

由S2≥0得

$\frac{- n x_{1}^{2} + 2 a x_{1}}{(n - 1)^{2}} \geq 0$ ,

解得 $0 \leq x_{1} \leq \frac{2 a}{n} .$

同理可证 $0 \leq x_{i} \leq \frac{2 a}{n} (i = 1, 2, \dots, n) .$

如果在这道竞赛题中, 令a=8, n=5, 则成为美国第七届IMO试题, 见例5.

2.7 求整式值

例7 (2008年合肥市高中数学竞赛题) 已经△ABC的三边a, b, c满足 (1) a>b>c; (2) 2b=a+c; (3) b是正整数; (4) a2+b2+c2=84.求b的值.

解因为2b=a+c, 所以a+b+c=3b.视a, b, c为一组数据, 则由方差公式, 得

因为S2≥0, 所以28-b2≥0, 得b2≤28.

又由2b=a+c, 有

4b2=a2+c2+2ac=84-b2+2ac.

而a>0, c>0, 所以4b2>84-b2, 得

$16 \frac{4}{5} < b^{2} \leq 28 .$

因为b是正整数, 所以b=5.

2.8 求根式值

例8 (2008年庆阳市高中数学竞赛题) 已知实数a, b, c, d满足a+b+c+d=4, a2+b2+c2+d2=4, 求 $\sqrt{a b c d}$ 的值.

解 $\bar{x} = \frac{1}{4} (a + b + c + d) = \frac{1}{4} \times 4 = 1,$

视a, b, c, d为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{4} [(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) - 4 (\bar{x})^{2}] \\ = \frac{1}{4} (4 - 4 \times 1) = 0, \\ (a - 1)^{2} + (b - 1)^{2} + (c - 1)^{2} + (d - 1)^{2} \\ = 4 S^{2} = 0, \end{array}$

故由非负数性质得

a=b=c=d=1,

所以 $\sqrt{a b c d} = 1 .$

2.9 求对数值

例9 (2007年南京市高中数学竞赛题) 已知x, y, z均为实数, 且满足x+y+z=2, x2+y2+z2=4, 求 $\log_{\frac{3}{8}} (z_{\max} - z_{\min}) =$ __.

解视x, y为一组数据, 则由方差公式, 得

$S^{2} = \frac{1}{2}$ $(x^{2} + y^{2}) - 2 (\frac{x + y}{2})^{2}$

$= \frac{1}{2}$ $(4 - z^{2}) - (\frac{2 - z}{2})^{2}$

$\begin{array}{l} = \frac{8 - 2 z^{2} - 4 + 4 z - z^{2}}{4} \\ = \frac{4 - 3 z^{2} + 4 z}{4} \geq 0, \end{array}$

所以 3z2-4z-4≤0,

解之得

$\begin{array}{l} - \frac{2}{3} \leq z \leq 2 ‚ 即 z_{\max} = 2, z_{\min} = - \frac{2}{3}, \\ \log_{\frac{3}{8}} (z_{\max} - z_{\min}) = \log_{\frac{3}{8}} \frac{8}{3} = - 1 . \end{array}$

2.10 证明几何题

例10 (2008年昆明市高中数学竞赛题) 设△ABC的三边a, b, c满足:b+c=8, bc=a2-12a+52.求证:△ABC是等腰三角形.

证明由已知, 得

b2+c2=64-2bc=-2a2+24a-40.

视b, c为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{2} [(b^{2} + c^{2}) - \frac{1}{2} (b + c)^{2}] \\ = \frac{1}{2} [(- 2 a^{2} + 24 a - 40) - \frac{1}{2} \times 8^{2}] \\ = - (a - 6)^{2} \geq 0 . \end{array}$

因为S2≥0, 所以

- (a-6) 2≥0, (a-6) 2=0, a=6.

所以S2=0, b=c=4.故△ABC是以a为底, b, c为腰的等腰三角形.

综上所述可知:应用方差公式解高中数学竞赛题, 其关键在于根据题设, 寻找出一组数据, 再运用方差公式写出 $S^{2} = \frac{1}{n} [(x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + \dots + x_{n}^{2}) - n \bar{x}^{2}] = \frac{1}{n}$ $\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n \bar{x}^{2}$ 的等式, 然后通过化简运算解不等式, 去求解.

此法富有新意, 具有规律, 解题明晰, 易于理解, 值得重视.

总之, 加强方差公式的研究, 符合新课程改革关于“以课程标准为指导, 以教材为基础, 合理使用课本, 加强教学科研”的理念要求, 有利于培养学生的探索精神和创新意识, 有利于指导学生启迪思维、开拓视野, 有利于学生数学思维能力和综合运用知识的解题能力的提高, 有利于培养学生感悟数学、掌握基础知识和基本技能及方法, 提高综合解题水平, 有利于培养学生的思维品质, 有利于调动学生学习的积极性, 有利于提高学生的专题总结水平.故笔者认为:在今后的教学过程中, 适当引导学生进行这样的专题研究是很有必要的.

3 练习题

1. (上海市高中数学竞赛题) 已知实数x, y, z满足试求x2y+z的值.

提示:视x, 3y为一组数据.答案:9

2. (前苏联奥尔德荣尼基市中学竞赛题) 已知x+y+z=1, 求证: $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq \frac{1}{3} .$

提示:视x, y, z为一组数据, 结合S2≥0得证.

3. (2005年贵州省安顺市高中数学竞赛题) 已知实数x, y, z, 且 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, x + y + z = \frac{3}{2}$ , 则 $\sqrt{y_{最大值} + y_{最小值}} =$ __.

提示:视x, z为一组数据, 由方差公式得12y2-12y+1≤0, 解得

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{6}}{6} \leq y \leq \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{6}, \\ \sqrt{y_{最大值} + y_{最小值}} \\ = \sqrt{(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{6}}{6}) + (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{6}}{6})} = 1 . \end{array}$

4. (吉林省高中数学竞赛题) 设实数a, b, c满足

${\begin{cases} a^{2} - b c - 8 a + 7 = 0, (1) \\ b^{2} + c^{2} + b c - 6 a + 6 = 0 . (2) \end{cases}$

则a的取值范围是__.

提示: (1) + (2) , 得

b2+c2=-a2+14a-13.

(2) - (1) , 得

(b+c) 2= (a-1) 2.

由方差公式, 得实数b, c的方差为

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{2} [(b^{2} + c^{2}) - \frac{1}{2} (b + c)^{2}] \\ = - \frac{3}{4} (a^{2} - 10 a + 9) . \end{array}$

而S2≥0, 所以a2-10a+9≤0, 即1≤a≤9.

5. (第二届美国数学奥林匹克试题) 解方程组

${\begin{cases} x + y + z = 3, \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3, \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3 . \end{cases}$

提示:视x, y, z为一组数据, 由方差公式得

$\begin{array}{l} S^{2} = \frac{1}{3} [(x^{2} + y^{2} + z^{2}) - \frac{1}{3} (x + y + z)^{2}] \\ = \frac{1}{3} (3 - \frac{1}{3} \times 3^{2}) = 0 . \end{array}$