方差控制

2024-09-16

方差控制（共10篇）

方差控制篇1

1 引言

4 0年前,对于参数未知的随机自适应系统,前苏联学者Feldbaum提出了对偶控制[1](dual control)。他提出了最优自适应系统的控制信号应该具有的两种主要特性,1系统输出谨慎跟随控制目标,2充分的激励装置提高参数估计作用,以提高未来的控制质量。这就是所谓的对偶特性,具有这两种特性的自适应控制系统称为对偶控制系统。求解对偶控制的方法是采用动态规划,得出一个含有容许控制策略的阶段损失函数的泛函方程,称为Bellman方程。然而Bellman方程最优解的解析形式无法求出,采用数值方法求解Bellman方程计算量大,仅有少数非常简单的问题可以解决。在这种情况下,产生了许多次优的解决方案。其中有:在谨慎控制器中加入探测信号,限定控制参数的方差,使用连续扩展损失方程,修改损失方程,有限参数集法,使用鲁棒控制设计思想等方法[2]。1974年,J.Alster等对一步超前的最小方差控制问题通过附加估计的方差约束[3],获得了一个次优的对偶控制策略;1982年,C.S.Padilla等通过引入新息给出了系统参数未知但为常数的最小方差控制问题[4];1994年,A.Maitelli等利用预测控制方法给出了二步最小方差控制问题的一个次优算法[5];2004年,钱富才等提出了系统模型为差分方程且系统参数未知的两级优化算法对偶控制[6];2008年,高振斌等将互信息引入参数未知随机系统作为性能指标,得到了基于最大互信息指标的对偶控制[7]。

在谨慎控制器中加入探测信号[8],激励信号可以使控制器参数收敛,使控制具有优越性。虽然加入额外探测信号会很自然的增加近期控制误差,但却会在未来的时刻减小控制误差[9]。然而应该何时加入多大的探测信号,尚未有系统的方法给出指导[2]。本文提出了一种在谨慎控制的基础上加入探测信号的方法,利用系统参数辨识的好坏自动调节探测信号的大小,避免了单纯使用谨慎控制所产生“关断”现象,实现系统的次优对偶控制。

2 问题描述

2.1 模型

考虑离散时间、单输入单输出系统:

其中:y为输出,u为输入,e为扰动,{e(t)}是均值为零、方差为2R的高斯白噪声序列。并且假定e(t)与y(t-1),y(t-2),…,u(t-1),u(t-2),…,ai(t),ia(t-1),…,以及bi(t),b i(t-1)…之间是相互独立的,假定0b(t)≠0,对于所有t系统都是最小相位的。

时变参数:

为Gauss-Markov过程,满足随机差分方程:

其中:系统矩阵Φ为已知常数矩阵,{v(t)}是均值为零、方差为1R独立同分量正态随机向量。假设(3)式中系统的初始状态x(0)为正态分布,均值:

方差:

假定e(t)、v(t)和x(0)相互独立。方程(1)的输入输出关系可写成如下形式:

这里:

为观测矩阵,模型的定义由方程(3),(6)给出。

2.2 准则

控制目标是极小化下列损失函数,使输出与参考输入uc(t)差异尽可能小:

其中:E表示数学期望,称以上为损失函数为N阶准则。当N=1时,为一步超前自适应控制也称为谨慎控制。

2.3 容许控制策略

如果控制策略u(t)是所有观测输出包括时间t的函数则控制策略是容许的。令γt表示所有输出值包括y(t)的组合,即γt是由y(t),…,y(0)和x(0)所产生的σ-代数。

3 引入探测信号的对偶控制

3.1 参数估计

引理1[10]状态空间的条件分布:假设模型(3)输出由(6)式定义,e(t)和v(t)分别是方差为R2和1R均值为零的高斯变量,系统的初始状态由式(4)和(5)给出。则x(t)为在γt-1条件下以xˆ(t)为均值P(t)为方差的高斯分布,并满足以下差分方程:

其初始状态为:

此外,y(t)的条件分布为高斯分布,均值为:

方差为:

3.2 确定性等价控制

在(1)中参数已知的情况下可得:

其中:

在x(t+1)和b0(t+1)已知时可得到最优控制:

当参数x(t+1)和b0(t+1)未知时,用其估计值xˆ(t+1)和ˆb0(t+1)代替,可以得到(11)式:

称为确定性等价控制(Certainty Equivalence Control),简称CE控制。

3.3 谨慎控制

在(8)式中当N=1时根据引理1,y(t+1)为高斯条件概率分布,其均值为ϕT(t)xˆ(t+1)、方差为R2+ϕT(t)P(t+1)ϕ(t),则有:

第一个等式可由标准方程:

得到,其中ζ为均值为m方差为p的高斯变量。列向量l的作用是从矩阵P(t)中分离出第一列:

0bp是参数估计值ˆb0的方差,方程(12)为u(t)的二次型,最小化(12)式可以得到谨慎控制(Caution Control):

(13)式也称作一步超前控制。

3.4 引入探测信号

确定性等价控制与谨慎控制代表对偶控制中的两种不同控制作用。确定性等价控制将系统估计参数作为已知参数使用,简化了随机自适应控制问题,保证了系统的稳定性,但忽略估计参数的误差和不确定性,控制起来过于“大胆”,不具备良好的暂态特性[4]。而谨慎控制则将参数的不确定性引入控制,使得系统输出与控制目标的差最小但又过于谨慎,如果参数估计不准确且参数值过小,则可能出现误差协方差阵,从而使控制量变小。小的控制量又会进一步恶化参数估计的精度,如此反复循环,最终使控制量减小为零。这种由于控制器过于谨慎而造成的控制中断现象称为“关断”现象。

对偶控制的关键是在辨识系统参数与跟随控制目标两者之间取得平衡。为了使控制中即考虑参误差的不确定性又避免“关断”现象,在Caution控制的基础上引入探测信号,组成新的次优对偶控器。

对于由(1)式描述的系统,{e(t)}为零均值、协方差为R2的高斯噪声序列,系统参数x(t)由(2)式给出是均值为零、方差为R1的Gauss-Markov过程,ucaution(t)谨慎控制由(13)式给出。则由(14)式定义的加入探测信号的谨慎控制器,可以根据系统参数辨识的好坏自适应的改变探测信号的大小,并可避免单纯使用谨慎控制时产生的“关断”现象,具有对偶性。

其中:uperturbation(t)为探测信号,w(t)加入的随机探测信号。λ(t)为加入探测信号的幅值,r、s为系数,erpb0(t+1)+s是pb0(t+1)的增函数,q>0为探测信号的最大值,是为避免加入过大的探测信号损坏控制器,而限定探测信号的最大值。

当系统参数辨识误差增加时,相应增加,使λ(t)增加探测信号uperturbation(t)增加。当系统参数辨识误差减小,减小,使λ(t)减小探测信号uperturbation(t)减小。当系统参数辨识误差较大,探测信号uperturbation(t)达到最大值,系统以最大的探测信号辨识参数,因此不会产生谨慎控制中因控制量而一步恶化参数估计的精度情况,既不会产生“关断”现象。

由以上可知控制器u*(t)在系统参数辨识不准确的情况下加入较大的探测信号,在系统参数辨识准确的情况下加入较小的探测信号,使控制器接近谨慎控制。实现了在辨识系统参数与跟随控制目标两者之间取得平衡,具有对偶性。

注:参数r、s、q的选取原则应使得在参数辨识不准确时加入大的探测信号,在参数辨识准确时探测信号接近于零。先选定允许加入探测信号的最大值,然后根据以下方程求出r、s的值:

其中:分别为参数方差的最大值和最小值,p为方差最小值既系统稳定时加入的探测信号。(16)式可以限定参数b0方差的最大值,从而改变控制系统的动态性能。

4 仿真分析

给定单输入单输出系统:

则有:

w(t)为方差为1均值为0的高斯白噪声序列;

并根据(16)可以得到:

分别对系统实施确定等价性控制、谨慎控制和加入探测信号的谨慎控制,仿真结果如图1-图4:

由仿真结果可以看出,在起始时刻和参数突变时参数误差很大,加入探测信号的谨慎控制此时产生较大控制误差,但可以使系统参数快速的收敛到实际值,使得在以后的控制中减小误差;在参数收敛到实际值时后,加入探测信号的谨慎控制与CE控制与谨慎控制相比损失函数的变化几近相同,这是由于此时参数较准确探测信号较小与方差较小使得三者之间的差别不大。

5 结束语

本文提出了一种在谨慎控制的基础上加入探测信号的方法可以根据系统参数辨识的好坏情况自动改变探测信号的大小。与其它次优对偶控制相比,加入探测信号的对偶控制不仅计算量小易于实现,而且具有良好的对偶性。仿真表明该方法优于单纯使用确定性等价控制与谨慎控制具有良好的对偶性。

其中:Ⅰ为CE控制的损失函数,Ⅱ为加入探测信号谨慎控制的损失函数,Ⅲ为谨慎控制的损失函数。

摘要：本文针对未知参数的最小方差控制问题,提出了一种在谨慎控制器基础上加入探测信号的控制策略。利用系统方差在参数辨识好坏时的变化调节探测信号的大小,避免了单纯使用谨慎控制所产生“关断”现象。与其它次优对偶控制相比,引入探测信号的最小方差对偶控制不仅计算量小易于实现,而且能够根据需要设计控制系统的动态性能、参数跟踪能力。

关键词：探测信号,最小方差,对偶控制,对偶特性

参考文献

[1]FEDBAUM A A.Dual control theory I-IV[J].AutomaticRemote Control,1960,21(4):1033-1039.

[2]BJRN WITTENMARK.Adaptive dual control methods:an overview,In 5th IFAC symposium on Adaptive Systems inControl and Signal Processing[C].1995.67-72.

[3]ALSTER J,BELANGER P R.A technique for dualadaptive control[J].Automatic,1974,(10):627-634.

[4]MILITO,R.,C.S.PADILLA,R.A.PADILLA,and D.CADORIN:An innovations approach to dual control[J].IEEE Trans.Automat.Contr.,1982,AC-27,132-137.

[5]MAITELLI A L,YONEYAMA T.A two-stage dualsuboptimal controller for stochastic systems using approximatemoments[J].Automatica,1994,30(12):1949-1954.

[6]钱富才,刘丁,李云霞.基于两级算法的对偶控制[J].控制理论与应用,2004,21(1):89-93.

[7]高振斌,钱富才,刘丁,基于最大互信息指标的对偶控制研究[J].自动化学报,2008,34(8):1008-1012.

[8]ANDERSON,B.D.O.,R.M.JOHNSTONE.Global Adaptivepole positionin[J].IEEE Trans.Automat.Contr.,1985,AC-30,11-22.

[9]WIESLANDER.J,B.WITTENMARK.An approach toadaptive control using real-time identification[J].Automatica,1971,(7):211-217.

[10]KARL JOHAN?STR?M,BJ?RN WITTENMARK.自适应控制,第二版[M].北京:科学出版社,2003.

“方差”帮你决策篇2

例1 (2009年江西省)经市场调查,某种优质西瓜质量为(5±0.25) kg的最为畅销。为了控制西瓜的质量,农科所采用A、B两种种植技术进行试验。现从这两种技术种植的西瓜中各随机抽取20颗,记录它们的质量如下(单位:kg):

A:4.14.85.44.94.75.04.94.85.85.2

5.04.85.24.95.25.04.85.25.15.0

B:4.54.94.84.55.25.15.04.54.74.9

5.45.54.65.34.85.05.25.35.05.3

(1)若质量为(5±0.25) kg的为优等品,根据以上信息完成下表:

(2)请分别从优等品数量、平均数与方差三方面对A、B两种技术作出评价;从市场销售的角度看,你认为推广哪种种植技术较好。

解析这是一道利用统计知识进行方案决策的试题。第(1)问直接从所给数据中即可回答;第(2)问要从不同的角度考虑,得到的结论可能不一样。

(1)依次为16颗、10颗。

(2)从优等品数量的角度看,因A技术种植的西瓜优等品数量较多,所以A技术较好;

从平均数的角度看,因A技术种植的西瓜质量的平均数更接近5 kg,所以A技术较好;

从方差的角度看,因B技术种植的西瓜质量的方差更小,所以B技术种植的西瓜质量更为稳定;

从市场销售角度看,因优等品更畅销,A技术种植的西瓜优等品数量更多,且平均质量更接近5 kg,因而更适合推广A种技术。

点评本题是一道与数据有关的开放性试题。主要考查利用数据的平均数和方差处理数据的能力。

例2 (2009年湖南省衡阳市)甲、乙两人在相同的条件下各射靶5次,每次射靶的成绩情况如图所示。

(1)请你根据图中的数据填写下表:

(2)从平均数和方差相结合看,分析谁的成绩好些。

解析利用平均数、方差的计算公式和众数的意义以及折线图中呈现的信息,易求解第(1)小题;解第(2)小题应结合第(1)小题的结果,从平均数、方差方面进行分析。

(1)甲的平均数是6,方差是0.4。乙的众数是6。

(2)甲、乙两人射靶成绩的平均数都是6,但甲比乙的方差要小,说明甲的成绩较为稳定,所以甲的成绩比乙的成绩要好些。

方差控制篇3

关键词：性能评价,DCS,最小方差,广义最小方差

0 引言

控制系统在运行初期,其控制器都会表现出良好的控制性能。但长时间运行之后,因受到执行机构摩擦磨损、过程特性变化、控制器整定不充分和缺乏维护、扰动等各种因素的影响[1],都会导致性能逐渐退化。在实际生产过程中,大约60%的控制系统都会出现性能方面的问题。运用控制性能评价技术,可以向控制工程师直观地反映系统运行的状况和存在的问题,通过及时调整操作以减少不必要的生产损失,对系统的长期稳定运行有着重要的指导意义。虽然,控制器性能评价这一领域的理论研究刚刚起步,但却已倍受工业界的关注[2]。

最小方差控制指标[3]是研究控制系统性能的基本评价基准,但由于其经常会带来一些高增益、宽带宽和不现实的大方差控制信号[4]导致了在很多实际系统中不太适用。2004年,P.Majecki, M.J.Grimble参考了B.Huang的多变量滤波和相关性分析(MFCOR)算法,把单变量广义最小方差控制性能评价方法扩展到了多变量情形[5]。2010年,赵宇等人也将广义最小方差基准应用于工业分离塔的控制性能分析中[6]。

串级控制在提高动态响应性能、抗干扰等方面比起单回路控制具有明显优势,是流程工业广泛应用的控制方案[7]。但目前针对串级控制系统的性能评价方法很少,文献能搜索到的只有Byung Su Ko,T.F.Edgar[8]和T.M.Teo[9]先后提出的采用最小方差基准的系统性能评价方法。本研究将给出基于广义最小方差的串级控制系统性能评价基准,并将这一方法应用于实验室水箱液位控制系统的性能评价中。利用DCS平台实现控制并采集过程运行数据,进行模型辨识,进而实现控制性能的评价。

1 串级系统广义最小方差性能评价

如图1所示,考虑有两个回路的串级控制系统,其主对象G1和副对象G2的时延时间分别为d1和d2;系统的总时延时间为d=d1+d2。以G*1和G*2分别表示系统主、副对象无时延部分的传递函数。a1和a2分别是主、副回路上的随机高斯噪声(假定均值都为0,方差分别为δ $_{a_{1}}^{2}$ 和δ $_{a_{2}}^{2}$ )。设系统设定值r=0,系统完全由干扰通道上的噪声驱动。在研究广义系统时,通过引入误差权Pc和控制权Fc,构造综合了主控制量和主被控量的广义输出信号方差作为控制性能基准。其中,广义输出表达式为ϕ=-Pcc1+Fcu1;误差权为 $Ρ_{c} = \frac{Ρ_{c n}}{1 - q^{- 1}} (Ρ_{c n}$ 通常是常数的形式或者1-αq-1,其中0<α<1)。控制权为Fc=-k×q-d(1-γq-1)(其中γ是校正参数,可以取0<γ<1,k是适当的比例系数)。

从图1中可以得到:

u1=e1Gc1=-c1Gc1 (1)

c2=u2G2+GL2a2 (2)

u2=e2Gc2=(u1-c2)Gc2 (3)

c1=c2G1+GL1a1 (4)

将主扰动模型GL1和副扰动模型GL2分别分解成如下形式:

GL1=Q1+R1q-d1-d2 (5)

GL2=Q2+R2q-d2 (6)

G*1Q2=S2+T2q-d2 (7)

则:

$\begin{array}{l} c_{1} = [Q_{1} a_{1} + S_{2} q^{- d_{1}} a_{2} + q^{- d_{1} - d_{2}} Μ_{1} a_{1} + q^{- d_{1} - d_{2}} Μ_{2} a_{2}] = \\ Q_{1} a_{1} + S_{2} q^{- d_{1}} a_{2} + \\ q^{- d_{1} - d_{2}} [\frac{(1 + G_{2} G_{c 2}) R_{1} - G_{1}^{*} G_{2}^{*} G_{c 1} G_{c 2} Q_{1}}{1 + G_{c 2} G_{2} + G_{1} G_{2} G_{c 1} G_{c 2}}] a_{1} + \\ q^{- d_{1} - d_{2}} [\frac{Τ_{2} + G_{1}^{*} R_{2} - G_{2}^{*} G_{c 2} S_{2} (1 + G_{1} G_{c 1})}{1 + G_{c 2} G_{2} + G_{1} G_{2} G_{c 1} G_{c 2}}] a_{2} (8) \end{array}$

其中: $Μ_{1} = \frac{(1 + G_{2} G_{c 2}) R_{1} - G_{1}^{*} G_{2}^{*} G_{c 1} G_{c 2} Q_{1}}{1 + G_{c 2} G_{2} + G_{1} G_{2} G_{c 1} G_{c 2}}, Μ_{2} = \frac{Τ_{2} + G_{1}^{*} R_{2} - G_{2}^{*} G_{c 2} S_{2} (1 + G_{1} G_{c 1})}{1 + G_{c 2} G_{2} + G_{1} G_{2} G_{c 1} G_{c 2}}$ 。

通常Q1和S2都能用如下形式表示:

则串级主输出的最小方差基准值可表示为:

最小方差的性能指标为:

$η_{Μ V} = \frac{(δ_{c_{1}}^{2})_{Μ V}}{a c t_var (c_{1})}$ (10)

式中 act_var(c1)—系统输出的实际方差, $a c t_var (c_{1}) = \frac{1}{n}$ $\sum_{i = 1}^{n}$ $(c_{1} (i) - \bar{c}_{1})^{2}$ ;n—输出数据的个数; $\bar{c}$ 1—输出的均值。

在求广义最小方差基准时,同样必须完全地分离出广义输出信号ϕ中q-(d1+d2)之前的所有项数,下面定理将给出串级系统的广义最小方差评价准则。

定理如果已知串级控制系统主、副对象模型,时延值分别为d1和d2(总时延d=d1+d2),主、副回路上的随机高斯噪声均值为0,方差分别为δ $_{a_{1}}^{2}$ 和δ $_{a_{2}}^{2}$ ,Pc与Fc分别是主控制器的误差权和控制权,那么串级系统的广义最小方差基准值为:

同时,相应的广义最小方差性能指标为:

$η_{G Μ V} = \frac{(δ_{φ}^{2})_{G Μ V}}{a c t_var (ϕ)}$ (12)

其中:

式中 A1、A3—由误差权Pc系数分解组成的d×d、d2×d2下三角矩阵;B、C—由Q1和S2系数分解所组成的前d、d2项系数矩阵;act_var(ϕ)—系统广义输出ϕ的实际方差。

证明:

首先,系统的广义输出ϕ表示为:

因为Q1、S2可表示成下面形式:

Pc误差权进行如下两种分解:

(1) 将PcQ1a1项以q-(d1+d2)项为界分离成两部分:

令:

PcQ1的q-(d1+d2)之前所有项的和(即从0到(d1+d2-1)为止的所有项的和):

$\begin{array}{l} Ρ_{c} Q_{1 (0 ~ d_{1} + d_{2} - 1)} = [\begin{matrix} q^{0} & q^{- 1} & \dots & q^{- (d_{1} + d_{2} - 1)} \end{matrix}] \times \\ (A_{1} \times B) = X_{1} \end{array}$

再令:

那么,PcQ1的q-(d1+d2)之后所有项的和:

其中,W1=[q0q-1 … q-(d1+d2-1)]×(A2×B)。

(2)将PcS2q-d1a2项以q-(d1+d2)项为界分离成两部分:

令:

PcS2q-d1的q-(d1+d2)之前所有项的和(即从0到(d1+d2-1)为止的所有项的和):

再令:

那么,PcS2q-d1的q-(d1+d2)之后所有项的和:

其中,W2=[q0q-1 … q-(d2-1)]×(A4×C)。

可以推导广义最小方差输出项如下:

其中X1和X2具有如下形式:

因此,可得到串级系统的广义最小方差基准值为:

证毕。

2 广义最小方差评价基准的应用

本节将针对实验室的水箱液位控制对象,采用广义最小方差的基准进行控制性能评价。

实验对象包括上、下两个串接水箱,通过改变进水管路的电动调节阀开度来控制水箱液位。实验以下水箱液位为主被控参数,利用JX-300X的DCS平台组态串级控制系统,基于DCS平台采集过程实验数据,并进行模型辨识和方差估计分析,根据本研究的广义最小方差评价方法得到控制性能评价结果。

2.1 对象模型测试

本研究在液位操作稳定后对调节阀叠加M序列激励信号,采样周期设置为2 s,M序列周期为35 s,幅值变化范围为15%～30%的调节阀给定信号,实验中测试得到的部分开环输入/输出数据如图2所示。

本研究将图2得到的开环数据中前300组数据用于建模,选用的辨识模型为ARMAX结构。以内环开度和上水箱液位值作为上水箱的输入/输出,采用预报误差法进行模型辨识,分别得到上下水箱模型如下。

上水箱过程模型:

$G_{2} = \frac{0.010 01 - 0.018 83 z^{- 1} + 0.008 933 z^{- 2}}{1 - 2.981 z^{- 1} + 3.1 z^{- 2} - 1.235 z^{- 3} + 0.116 6 z^{- 4}} z^{- 5}$ ;

上水箱扰动模型:

$G_{L_{2}} = \frac{1 - 1.795 z^{- 1} + 0.792 8 z^{- 2}}{1 - 2.981 z^{- 1} + 3.1 z^{- 2} - 1.235 z^{- 3} + 0.116 6 z^{- 4}}$ 。

取部分测试数据进行模型验证,其结果如图3所示。此时得到上水箱a2噪声方差估计值为:

δ $_{a_{2}}^{2}$ =4.065 9×10-5。

以上水箱液位值和下水箱液位值作为输入/输出,笔者建立了主对象模型。得到的下水箱过程模型 $G_{1} = \frac{0.042 09 - 0.031 82 z^{- 1}}{1 - 0.995 1 z^{- 1}} z^{- 6}$ ,下水箱扰动模型 $G_{L 1} = \frac{1 - 0.369 7 z^{- 1}}{1 - 0.995 1 z^{- 1}}$ 。模型验证结果如图4所示。此时可得到下水箱a1噪声方差值为δ $_{a_{1}}^{2}$ =1.782 9×10-6。

2.2 性能评价基准的计算

将主副对象的扰动模型进行如下分解:

$\begin{array}{l} G_{L 1} = Q_{1} + R_{1} q^{- d} = \frac{1 - 0.396 7 z^{- 1}}{1 - 0.995 1 z^{- 1}} = \\ 1 + 0.625 4 z^{- 1} + 0.622 3 z^{- 2} + 0.619 3 z^{- 3} + \\ 0.616 3 z^{- 4} + 0.613 2 z^{- 5} + 0.610 2 z^{- 6} + \\ 0.607 2 z^{- 7} + 0.604 3 z^{- 8} + 0.601 3 z^{- 9} + \\ 0.598 4 z^{- 10} + \frac{0.595 4}{1 - 0.995 1 z^{- 1}} z^{- 11} \end{array}$

因此,Q1的系数矩阵QQ1如下:

$\begin{array}{l} Q Q_{1} = B^{Τ} = [1 0.625 4 0.622 3 0.619 3 0.616 3 \\ 0.613 2 0.610 2 0.607 2 0.604 3 0.601 3 \\ 0.598 4] \\ G_{L 2} = Q_{2} + R_{2} q^{- d_{2}} = 1 + 1.186 0 z^{- 1} + 1.228 3 z^{- 2} + \\ 1.219 9 z^{- 3} + 1.176 9 z^{- 4} + \\ \frac{1.105 4 - 2.285 0 z^{- 1} + 1.311 2 z^{- 2} - 1.372 3 z^{- 3}}{1 - 2.98 z^{- 1} + 3.10 z^{- 2} - 1.24 z^{- 3} + 0.117 z^{- 4}} z^{- 5} \end{array}$

由于G*1Q2=S2+T2q-d2,那么:

$\begin{array}{l} S_{2} = 0.010 01 + 0.022 882 z^{- 1} + 0.036 075 z^{- 2} + \\ 0.048 646 z^{- 3} + 0.060 055 z^{- 4} \\ Τ_{2} = \frac{0.058 843 - 0.119 79 z^{- 1} + 0.068 496 z^{- 2} - 0.007 z^{- 3}}{1 - 2.98 z^{- 1} + 3.10 z^{- 2} - 1.24 z^{- 3} + 0.117 z^{- 4}} \end{array}$

于是,S2的系数矩阵SS2如下:

SS2=CT=[0.01 0.022 9 0.036 1 0.048 6 0.060 1]

(1) 最小方差(MV)基准。

串级主输出的最小方差基准值为:

(2) 广义最小方差(GMV)基准。

选取误差权和控制权分别为:

$Ρ_{c} = \frac{1 - 0.8 z^{- 1}}{1 - z^{- 1}} ‚ F_{c} = - z^{- 11} (1 - 0.4 z^{- 1})$ 。

那么,相应的A1、B、A3、C的矩阵分别如下:

2.3 闭环控制及其性能评价

在串级控制实验中,选定副控制器为P控制,主控制器为PI控制。整定得到主控参数Kp1=10%,Ti1=1.5 min;副控参数Kp2=30%。在t=0 s和t=1 744 s分别置主被控变量(下水箱液位)设定值r为5 cm和10 cm,得到的系统响应和控制量变化情况分别如图5所示。

将t=300～1 600 s和t=2 200～3 800 s的两段数据分别进行性能评价,得到实际的下液位输出方差值分别为act_var(c1_1)=1.054 1×10-5,act_var(c1_2)=1.037 6×10-5。

相应的最小方差性能指标为:

$η_{Μ V 1} = \frac{(δ_{c_{1}}^{2})_{Μ V}}{a c t_var (c_{1_1})} = \frac{8.778 5 \times 10^{- 6}}{1.054 1 \times 10^{- 5}} = 0.832 8$

$η_{Μ V 2} = \frac{(δ_{c_{1}}^{2})_{Μ V}}{a c t_var (c_{1_2})} = \frac{8.778 5 \times 10^{- 6}}{1.037 6 \times 10^{- 5}} = 0.846 0$

然而,广义输出方差值分别为:act_var(ϕ1_1)=5.251 5×10-5,act_var(ϕ1_2)=5.328 9×10-5。

相应的广义最小方差性能指标为:

$η_{G Μ V 1} = \frac{(δ_{ϕ}^{2})_{G Μ V}}{a c t_var (ϕ_{1_1})} = \frac{3.776 9 \times 10^{- 5}}{5.251 5 \times 10^{- 5}} = 0.719 2$

$η_{G Μ V 2} = \frac{(δ_{ϕ}^{2})_{G Μ V}}{a c t_var ϕ_{1_2}} = \frac{3.776 9 \times 10^{- 5}}{5.328 9 \times 10^{- 5}} = 0.708 7$

实验结果分析:

(1) 在本串级实验中,可看出串级控制系统在两次设定值变化下都能较快达到稳态值,并且性能指标值都在0.6之上,反映了良好的控制状态。

(2) 对比第1段与第2段的过程曲线,由于第2段的相对稳定性更好些,因此,ηMV1<ηMV2。但第二段的控制偏差也较大,故ηGMV1还是要比ηGMV2略大些。可以看出基于广义最小方差的评价指标更能反映控制信号的变化。

3 结束语

本研究给出了基于广义最小方差的串级系统性能评价方法,并将之应用于实验室水箱液位串级控制系统的性能评价中。通过与最小方差评价结果的对比,表明基于广义最小方差的评价不仅能反映被控变量的波动信息,且对于控制信号的变化方差较敏感,因此,这种评价基准比之最小方差基准更能全面、综合地反映整个控制系统的运行状况。可以预见,未来基于GMV的基准将会在监督层的控制器性能评估中起到重要作用。

参考文献

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[2]杨马英.模型预测控制的性能监视与评价—综述[C]//第21届中国控制会议论文集,2002:253-259.

[3]HARRIS T J.Assessment of control loop performance[J].The Canadian Journal of Chemical Engineering,1989,67(10):856-861.

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[8]KO B S,EDGAR T F.Performance assessment of cascadecontrol loops[J].American Institute of Chemical Engi-neering,2000,46(2):281-291.

对方差计算公式的探究篇4

一、简化计算公式

因为n[x]＝x1＋x2＋…＋xn，而（x1－[x]）2＋（x2－[x]）2＋…＋（xn－[x]）2＝x12－2x1[x]＋[x]2＋x22－2x2[x]＋[x]2＋…＋xn2－2xn[x]＋[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－2[x]（x1＋x2＋…＋xn）＋n[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－2n[x]2＋n[x]2＝x12＋x22＋…＋xn2－n[x]2．所以s2＝（x12＋x22＋…＋xn2－n[x]2）＝（x12＋x22＋…＋xn2）－[x]2．从化简后的公式可以看出，这里数据的平均数没有参与到较复杂的运算中，这样就使计算过程大为简化，特别是当一组数据的平均数是分数时，利用这个公式求方差就更方便．如求数据3，－1，2，1，－3，3的方差时，先求其平均数[x]＝（3－1＋2＋1－3＋3）＝，若用原公式计算方差，就会出现很多分数的平方，计算起来比较麻烦．但若采用化简后的公式，则s2＝［32＋（－1）2＋22＋12＋（－3）2＋32］－

2＝－＝，这样就避免了多次计算分数平方的情况．

二、数据加减后的方差

若一组数据x1，x2，…，xn的平均数为[x]，方差为s2，把这组数据都加上同一个常数a，得到一组新数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a，其平均数为[x]＋a，方差为［（x1＋a－[x]－a）2＋（x2＋a－[x]－a）2＋…＋（xn＋a－[x]－a）2］＝［（x1－[x]）2＋（x2－[x]）2＋…＋（xn－[x]）2］＝s2，即方差不变．同样，把这组数据同减去一个常数a，得到一组新数据x1－a，x2－a，…，xn－a，其平均数为[x]－a，方差仍然为s2．利用方差的这个特点，可以简化方差的求解过程．比如求数据2 011，2 007，2 010，2 009，2 005，2 011的方差时，如果直接计算，运算量较大，容易出错，观察发现，可以先将每个数据减去2 008，得到一组新的数据3，－1，2，1，－3，3，再求这组数据的方差就很容易了．

三、数据放缩后的方差

方差控制篇5

1 对煤炭制样过程进行质量控制的必要性

《检验检测机构资质认定评审准则》 ( 2015版) 指出,对检验检测结果有重要影响的仪器的关键量或值,应制定校准计划,设备在投入服务前应进行校准和核查; 检验检测机构应明确区分检验前过程、检验过程、检验后过程的要求,应建立和保持监控检验检测有效性的质量控制程序。

通常在一般的实验室中,对煤炭检验的质量控制主要集中在化验过程,实验室参加的能力验证、测量审核、实验室间比对、人员比对等都是针对化验部分。造成这一现象的原因在于制样过程中的煤炭属于不均匀物质,每一批次的煤炭都有不同的煤质特性,这一特性是无法复制的,因此不能采用上述验证方法对制样过程进行质量控制。但是在煤质制样—化验中,制样的方差约占80% ,化验方差约占20% ,因此,仅对化验过程进行质量控制不能满足评审准则的要求,必须开展煤炭制样过程的质量控制活动。

2 核验依据与核验方法

GB / T14943. 3 - 2004 《煤炭机械化采样第三部分: 精密度测定和偏倚试验》中提出了对制样和化验误差进行核验的方法,具体步骤如下:

( 1) 依据GB /T474 和GB /T14943. 3 的要求,缩分制备2 组各10 对试样。

( 2) 根据公式估算实验的制样—化验期望总方差。

( 3) 化验上述试样的灰分( 以Aad计) ,分别求出2 组试样的标准差,判断上述2 组10 对试样的制样和化验总方差是否落在目标( 总期望方差) 范围内。若上述总方差超过目标范围上限,需要再对制样各分阶段进行方差核验,找出超差的阶段,分析超差原因并进行处理。

3 制样过程

( 1) 制样设备包括: 型号为EP - Ⅱ( XPC) 的颚式破碎机,出料粒度不大于13 mm; 型号为HRG100 × 250 的联合破碎缩分机,出料粒度不大于3 mm; 型号为6J - 1A的粉碎机,出料粒度不大于0. 2 mm。

( 2) 制样方法。颚式破碎机对全部煤样进行破碎,全部煤样均进入联合破碎缩分机进行缩分。由于制样误差几乎全部集中在缩分过程中,因此在联合破碎缩分机出口制取核验试样。首先制取第一份试样,然后将全部弃样重新返回联合制样缩分机制取第二份试样,这两份试样构成一对试样。按照这种方法制取2 组各10 对试样,共计20 对试样,试样粒度不大于3 mm。然后将上述各试样分别粉碎至不大于0. 2 mm,各试样均用二分器缩分出约60 g试样。最后对上述煤样进行化验,得出2 组各10 对数据。

4方差核验

4.1试样化验

试验共采用10 种不同品质的煤,为便于确定本次试验的期望方差,将煤样的灰分Aad分布范围定为25% ~ 28% ,在此范围内Aad的重复性限r均为0. 3% ,化验结果分2 组,见表1、2。

4. 2 计算制样—化验期望总方差

根据GB /T19494. 3 中的公式( 20) 计算VT0:

式中: VT0———化验方差;

r———重复性限。

由上述公式得出: VT0= 0. 32/8≈0. 01。

按GB /T474 和GB /T19494. 2 规定的制样程序,在留样量符合要求的条件下,离线制样的制样和化验总方差可以达到0. 2 以下。采用估算法确定制样和化验期望总方差,一般情况下可以认为制样阶段方差为2 倍化验方差。对于一个3 阶段的制样—化验试样,可以将制样和化验总方差估算为( 2 + 2 + 1) 倍的化验方差,由此得出制样和化验期望总方差V0PT= 5VT0= 0. 05 。

4. 3 计算制样—化验实际总方差

查表得,在95% 的置信概率下,自由度n =10 时,,由此得出: 制样和化验期望标准差s的范围为: 0. 16 ~ 0. 39。

制样和化验的标准差:

将表1和表2中数据代入式(2)得:

第1组10对试样:

第2 组10 对试样:

结果显示:

4. 4 方差核验

上述数据显示,2 组10 对双份试样的实验标准差均处于期望目标值限值范围之内。在GB /T19494 中要求,只有连续2 组10 对双份试样的标准差都落在目标值置信范围内或小于目标值下限时,方能做出制样—化验整体程序满意的结论。若有任一组结果不满足上述要求,则必须进行分阶段方差检验,查找方差超差原因。根据上述实验数据及计算结果可以得出,本次实验采用的制样设备和制样过程能满足精密度要求,进而实现了实验室对制样过程的质量控制。

虽然上述2 组10 对双份试样实验标准差均处于期望目标值限值范围之内,但是从实验数据不难发现,第2 组10 对双份试样的标准差s2已经处于期望目标值的上限附近,对照实验数据也可以看出,从第4 对试样起,d值有明显增大的趋势。由此可以预测从第4 对试样开始,制样设备出现显著偏倚。通过对设备进行拆解检查,发现在联合破碎缩分机的二分器缩分部位,有部分格栅有粘连堵塞现象。将这些堵塞物清理后,重新对1 组4 对试样进行了简单验证,d值回归正常。

5 结论

在煤质化验过程中,质量控制程序应包含制样过程。单靠样品比对、能力验证等方式无法满足对整个制样—化验过程的质量控制。通过定期核验制样方差可以在制样设备使用前进行校准和核查,也可以为使用中的制样设备进行定期校准和核查。发现制样过程中的不符合项,要及时改进或纠正,进而最终实现对制样设备和制样过程的质量控制。

参考文献

[1]检验检测机构资质认定评审准则(2015)[S].

[2]GB/T19494.3-2004煤炭机械化采样[S].

[3]GB/T474-2008煤样制备方法[S].

[4]GB/T212-2008煤的工业分析方法[S].

[5]段云龙,韩立亭.《煤炭机械化采样》实施指南[S].

方差控制篇6

在进行CPⅢ高程控制网测量时, 需要将地面水准点的高程传递到桥上或路基上, 当路基和桥与地面高程差异较大时往往进行全站仪三角高程观测高差。高程控制网内存在着两类高差观测值, 这两类观测值误差来源不同。目前国内的CPⅢ平差软件在进行高程控制网平差时将全站仪的高差测量值的权设为无穷大, 认为这些观测值不存在误差, 这本身并不科学。文章在高程控制网平差时引入赫尔墨特方差分量估计, 合理确定两类观测值的权。

1 CPⅢ高程控制网简介

CPⅢ控制网又名基桩控制网, 为无碴轨道的铺设和运营维护提供控制基准。

CPⅢ控制点高程测量起闭于二等水准基点。测量方式采取以下方式:

CPⅢ点与CPⅢ点之间的水准路线, 一般采用下图所示的水准路线形式进行。这样的水准路线, 可保证每相邻的四个CPⅢ点之间都构成一个闭合环, 如图1 所示。

2 数据处理流程

平差计算流程如图2 所示。

3 CPⅢ高程网平差数据处理方法

3.1 水准测量和三角高程测量的先验误差分析

3.1.1 水准测量的先验中误差

以天宝DINI03 电子水准仪为例, 其标称误差为0.3mm/km, 即每公里往返侧中误差为0.3mm, 根据协方差传播率, S公里的水准观测值的单位权中误差为。

3.1.2 全站仪三角高程测量值的先验方差

全站仪三角高程测量值可以用S×sinθ 表示, 其中S为斜距, θ 为高度角, 对其取全微分有

若后视的实测高差 △H1=S1sinθ1, 前视实测高差 △H2=S2sinθ2, 根据协方差传播定律

3.2 概略高程推算

根据实测高差和已知点高程来推算未知点高程。

( 1) 初始化概略高程数组, 概略高程数组包括点号和对应的高程, 将已知点的信息加入该数组。

( 2) 将实测高差的首尾点的点号和概略高程数数组的点号进行比较, 若首尾两个点的点号都能在数组中找到, 则转入下一个高差, 若都不能找到, 则将该高差进行下一轮比较, 若只能找到一个, 根据高差计算另一个点的概略高程, 并将该点和高程加入概略高程数组。

( 3) 反复进行步骤2, 直至推算出所有待求点的高程。

3.3 高差平均值的计算及高差观测值中误差的计算

由于在CPⅢ高程网中, 相邻环的公共边需要观测多次, 因此需要计算该公共边的高差平均值及观测次数, 并根据每公里单位权方差及测量次数确定高差观测值的先验中误差。

3.4 高程控制网误差方程的建立及解算

若1、2 两点的观测高差为L1, 1、2 点的估算高程为h10, h20, 根据间接平差理论有

整理得

00H1和H2分别是1、2号点的估算高程

若1号点已知

则有

若2号点已知

则有

由于高程网误差方程的解算采用间接平差, 和普通水准网相同。

3.5赫尔墨特方差分量估计

3.5.1方差分量估计公式

间接平差的基本公式为

设在L中包含两类独立的观测值, 它们的权分别是, 并且P12=0, 它们的误差分别为

一般来说第一次平差给定的两类观测值的权是不恰当2的, 或者说它们所对应的单位权方差不相等, 令其分别为σ012和σ0, 则有2

方差分量估计的目的是利用各次平差后的改正数的平方22和VT1P1V1及VT2P2V2来估计σ0和σ接平10, 含两类观测值按间2差时的赫尔墨特估算公式为

式中

赫尔墨特估算公式的解为

3.5.2方差分量估计的迭代计算步骤

(1) 将观测值按等级或者不同来源分类, 并进行验前权估计, 即确定各类观测值的权的初值P1, P2, …, Pm;

(2) 进行第一次平差, 求得VTiPiVi;

(3) 按照方差分量估计公式进行第一次方差分量估计, 求2得个类观测值单位权方差的第一次估值, 再依下式定权:i

2式中c为任一常数, 一般选中的某一个值。i

(4) 反复进行第二项和第三项, 即进行:平差———方差分222量估计———定权后再平差, 直至。

4计算实例

4.1平差计算数据 (见表1、表2、表3)

4.2平差计算结果

4.2.1赫尔墨特方差分量估计平差结果

第1次估计, 方差分量为 (mm2) :

第2次估计, 方差分量为 (mm2) :

第3次估计, 方差分量为 (mm2) :

第4次估计, 方差分量为 (mm2) :

第5次估计, 方差分量为 (mm2) :

后验单位权中误差0.3968mm/km。

4.2.2最小二乘法与赫尔墨特方差分量估计的平差高程较差

通过以上对比可以发现方差分量估计平差的结果和最小二乘平差结果差异较大, 特别是全站仪的高差改正数及中误差, 这是因为初始权不恰当造成的。

5结束语

由于目前国内的平差软件在进行高程网平差时, 一般仅考虑水准仪观测值, 在定权时根据距离定权, 而难以对于混合水准网中全站仪高差观测值进行准确定权, 文章通过对水准仪和全站仪观测值的误差来源分析来确定先验权, 然后通过赫尔墨特方差分量估计来准确确定两类观测值的权比并进行平差。较好地解决了混合水准网中不同类观测值的合理定权问题, 该方法是国内高铁领域的首创。文章中提供的模型还存在如下不足:

(1) 在进行全站仪三角高程测量误差来源时, 未考虑大气折光系数, 由于CPⅢ控制网全站仪高差测量仅采用单向观测, 大气折光系数对高差测量值将产生一定影响, 因此该模型仅适用于边长较短的情况。需要对模型进行改进, 设法消除大气折光系数的影响。

(2) 未对已知控制点的稳定性进行分析, 作者考虑后期对程序加入拟稳平差的功能。

摘要：在进行CPⅢ高程控制网测量时, 需要将地面水准点的高程传递到桥上或路基上, 当路基和桥与地面高程差异较大时需要通过全站仪三角高程测量来传递高程。这样控制网内就存在两类观测值, 一类是全站仪观测值, 另一类是水准仪高差观测值。文章对两类观测值的误差来源进行了分析, 确定各类观测值的先验误差, 然后利用赫尔墨特方差分量估计对两类观测值进行合理定权并对高程网进行平差。平差计算程序由matlab实现。

关键词：CPⅢ高程控制网,方差分量估计,平差

参考文献

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[2]崔希璋, 刘大杰, 等.广义测量平差[M].武汉大学出版社, 2009.

谈极差、方差和标准差篇7

极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数, 即

其中, 是x1, x2, x3, …, xn的平均数, S2是方差。标准差S就是方差的算术平均数。它的计算公式是:

极差、方差与标准差既有联系, 也有着明显区别。

它们的联系是:它们是用来表示一组数据离散程度的特征数。一般情况下, 一组数据的极差、方差或标准差越小, 这组数据就越稳定。

它们的区别是:“极差”是表示数据波动状况的量度之一, 是用来反映一组数据变化范围的大小。极差只能反应一组数据中两个极端值之间的差异情况, 对其他数据的波动情况不敏感。一般情况下, 方差和标准差可以更为精细的刻画数据的波动情况。

例题放送

1.极差。

例1在NBA 2008—2009赛秀比赛中, 姚明最后六场的得分情况如下:17、15、21、28、12、19。这组数据的极差为______。

解析:本题考查极差的概念和求法。极差是一组数据中最大数据与最小数据的差, 在已知的六个数据中, 最大数据是28, 最小数据是12, 所以极差为28-12=16。

答案:16。

例2已知一组数据0, -1, x, 1, 2, 的极差是4, 求x的值。

解析: (1) 当x为最大值时, 有:x- (-1) =4。

解得:x=3;

(2) 当x为最小值时, 有:2-x=4。

解得:x=-2。

故x的值为3或-2。

点拨:本题容易出现如下的错解:由题设得2-x=4, 解得x=-2。错解错在受思维定的影响, 考虑问题不周密, 事实上, 这组数据中的x有两种取值情况, 既有可能是这组数据中的最大值, 也有可能是最小值。

2.方差。

例3在全运会射击比赛的选拔赛中, 运动员甲10次射击成绩的统计表 (如下表所示) 和扇形统计图 (图1) 如下:

(1) 根据统计表及图 (1) 中提供的信息, 补全统计表及扇形统计图;

(2) 已知乙运动员10次射击的平均成绩为9环, 方差为1.2, 如果只能选一人参加比赛, 你认为应该派谁去?并说明理由。

解析:要看派谁去参加比赛, 需要比较甲、乙的方差, 在平均数相近的条件下, 看谁的成绩比较稳定。

答案: (1) 如下表及图2所示:

(2) 应该派甲去。

理由如下:

因为甲、乙两人的平均成绩相同, 而S甲2

例4一组数据中的方差为S2, 将这组数据中每个数据都除以2, 所得新数据的方差是 () 。

解析:设原数据为x1, x2, x3, 其平均数和方差分别为, 则新数据为, 其平均数为, 根据方差的意义可知S2新为:

答案:选C选项。

点拨:本题容易错选A选项。这是由于对概念认识不清, 误认为只要把原数据的方差也除以2就可得到新数据的方差为。事实上, 样本中各数据与样本平均数的平方的平均数才叫方差.

例5有一组数据如下:3、a、4、6、7, 它们的平均数是5, 那么这组数据的方差是 () 。

解析:由平均数的意义可知:,

解得:a=5。

由方差公式计算得:,

∴选项C正确。

答案:C。

点拨:本题的思路是, 先由平均数的意义求出未知数a, 再用方差公式求方差.

3.三差的综合应用。

例6如图3所示, 在两条石级路, 哪条石级路走起来更舒适?图中数字表示每一级的高度, 单位:厘米

所以两条石级路总高度一样, 都是90厘米;由于都是6个台阶, 所以台阶的平均高度也一样, 都是15厘米。上台阶是否舒适, 就看台阶的高低起伏情况如何, 因此, 需要计算两条石级路台阶高度的极差、方差和标准差。

左边石级路台阶高度的极差为16-14=2;

方差为:;

标准差为:;

右边石级路台阶高度的极差为:19-10=9;

方差为:;

标准差为:。

由上述计算可见, 左边石级路的极差、方差和标准差都比右边的小, 所以左边的石级路起伏小, 走起来舒适些。

例7从甲、乙两块稻田里各抽取8株水稻, 测得各株高度如下: (单位:厘米)

甲稻田:76, 86, 81, 90, 84, 87, 86, 82;

乙稻田:83, 84, 89, 79, 80, 85, 91, 81。

这两块稻田中, 哪块田的水稻长得整齐些。

解析: (1) 甲稻田极差为:90-76=14。

利用计算器求得标准差为4.03 (精确到0.01) 方差为16.25。

(2) 乙稻田极差为:91-79=12.求得标准差为3.97, 方差为15.75。

《平方差公式》说课稿篇8

1.说课内容:

人教版15.2.1——平方差公式

2.本节教材的地位和作用

本节课是在学生学习了整式乘法相关运算后, 进入乘法公式的第一节起始课, 在教材中有承上启下的作用。所以, 要让学生体会到简化运算的意义, 养成使用公式简化运算的习惯, 为后续的完全平方公式的学习铺平道路。

3.教学重点和难点

重点:平方差公式的应用。

难点:认识公式的特征, 能利用所学知识解决相关较难的问题。

二、目标分析

根据教学大纲的要求并结合本节教材内容的地位、作用、特点以及初二学生已具备的知识和能力, 确定本节课的教学目标为:

1.知识与技能:

通过求解实际问题, 引导学生探索规律, 并推导出平方差公式, 掌握平方差公式的结构特点, 理解公式中字母的含义, 在正确运用平方差公式进行计算的同时, 体现“特殊——一般——特殊”的认识规律。

2.过程与方法:

①通过一组“看谁算得快”的题目, 激发学生的学习兴趣。②通过小组活动, 实际动手操作, 亲身生活中数学公式存在的意义, 让学生进一步体验数形结合的思想, 自己得出结论, 并证明结论的正确性。通过运用还原思想加深理解公式中字母的含义, 并能正确运用平方差公式。

3.情感与价值观:

①通过积极参与活动, 培养学生对数学学习的兴趣, 激发学生的求知欲。②通过探索解题方法, 培养学生敢于克服困难的勇气, 获得运用知识解决问题的成功体验, 增强学生学好数学的信心。③通过发现“数学美”这一环节, 激发学生对数学的喜爱之情, 提高对数学的学习兴趣。

三、教学方法分析

建构主义认为, 知识不是通过教师传授得到的, 而是学生在一定的情景下, 借助教师和同学的帮助, 利用必要的学习资源, 通过意义建构的方式获得的。知识和基本方法都是重要的, 而在教学过程中渗透“人人获得有价值的数学”的数学思想, 发展学生的思维能力和动手能力, 特别是培养学生的创新意识和探究问题的能力更加重要。因此, 我在教学方法的选择上, 尽量做到在整个教学中充分发挥学生学习的主体地位。在教学中以学生为主, 让学生动手操作, 自己体验拼图的过程, 亲身验证图形面积的等量关系, 自己总结得出来的结论会记得最牢。组织学生小组讨论, 并将可能得出的4种拼图在黑板上展示, 并自己写出面积等量关系, 引导自己总结平方差公式的形成过程, 培养学生探究学习的兴趣和能力。

首先, 设计一组看似普通却很特殊的“看谁算得快”的题目, 给2分钟时间让学生练习;之后老师直接写出答案, 并且说明没有事先计算, 用计算“法宝”激发学生的学习兴趣。然后, 设计实际问题让学生自己动手操作, 亲身感受到生活中数学公式存在的意义, 并引导学生得出结论, 证明结论的正确性, 让学生经历数学知识的形成过程。

对于例题、习题通过分层提问与引导小组讨论、探究等方法和手段来激发学生的创新意识, 利用多种形式调动学生的积极性, 采用“做一做”、“试一试”、“想一想”等活动, 增强了学生学习平方差公式的兴趣。这样既增强了学生在课堂中的竞争意识, 又充分体现了学生的主体性、参与性, 培养了学生的数学情感。

四、教学过程

《新课程》指出:“有意义学习活动不能单独地依赖模仿和记忆。”为了更多地给学生提供从事数学活动的机会, 我将本节课的过程设计如下:

1.问题引入, 激发兴趣

看谁算得快

给两分钟时间, 之后老师给出答案, 亮出“法宝”。

设计意图:“好的教师不是在教数学, 而是激发学生自己去学数学。”用一组看似普通, 实际却很特殊的练习题, 在学生经过努力计算之后, 亲眼见证教师直接写出答案的事实下, 自己产生一种学习实用知识的动力。

2.探究过程

让学生拿出实现准备好的边长为8cm的正方形纸片, 并在正方形的一角截去一个边长为2cm的正方形。在只能剪一刀的情况下将剩余部分重新拼接, 使其变成我们能计算面积的特殊四边形。

研究与猜测:以小组为单位, 思考教师提出的问题, 动手实践。

将小组得出的图形一一帖在黑板上展示, 并引导得出结论: (8+2) (8-2) =82-22

设计意图:心理学家皮亚杰曾说过:“一切真理都要让学生自己获取, 由他重新发现, 而不是草率地传授给他。”所以, 教学中设置这些动手操作、共同探讨的活动, 一方面培养学生自己发现, 自己总结的自学能力;另一方面, 这种归纳涉及到五种面积的已知图形来构造方程, 自己发现平方差公式的由来, 这符合学生建构知识的规律, 有利于培养学生数形结合的思想。

3.小结与升华

引导学生用字母把刚才的结论表示出来:

(a+b) (a-b) =a2-b2

我们能不能猜测这个等式对任意数字都成立呢?

平方差公式: (a+b) (a-b) =a2-b2

两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差

小组讨论, 代表作答, 进一步认清公式的本质。

(1) 公式左边是两个二项式的积, 在这两个二项式中, 两个数相同, 只是之间的运算符号不同。

(2) 公式中的字母可以是具体的数, 也可以表示单项式或多项式。

设计意图:通过自己的总结, 把主动权交给学生, 一方面可以了解学生听课的接受情况, 另一方面, 有助于学生积极性和学生的概括能力、表达能力的提高。课堂中通过同学之间分享交流自己的心得, 达到“交换一个苹果, 各得一个苹果;交换一种思想, 各得两种思想”的收获加倍的功效。

4.学与做

(1) 用一用

① (a+3) (a-3) = ② (3a+2b) (3a-2b) =

(2) 变一变

① (x-8) (8+x) = ② (a+b+c) (a-b-c) =

③ (m2+n-7) ( m2-n-7) =

(3) 辨一辨

① (a-5b) (a-5b) =a2-25b2 ( )

② (-a-4b) (a+4b) =a2-4b2 ( )

③ (-5m+1) (5m+1) =25m2-1 ( )

④ (3a-bc) (-bc-3a) =bc2-9a2 ( )

(4) 想一想

你认为运用平方差公式进行计算要注意些什么? (学生活动)

学生归纳:①只有符合公式结构特征的才能运用平方差公式。

②有些式子表面上不能应用公式, 但实质能应用公式, 。要注意变形。

(5) 试一试:

你能编写运用平方差公式的计算题吗? (每人至少编一个)

(6) 拓展练习 (选做其二)

① ②

③

设计意图:考虑到学生的个体差异, 为更好地促使每一个学生得到不同的发展, 我设置了必做题和选做题, 体现分层教学的思想, 目的是尊重学生的个体差异。

5.发现数学美

(1) 这一节课你学到了什么?跟大家交流一下在这节课知识中你发现的数学美。

(2) 课后作业:

①书上153页, 练习第1, 2题。

②继续发现本节课的数学美。

③预习下一堂课的内容

设计意图:同时促进学生对自己的学习进行反思, 在课外作业的布置上, 我采用了几种变式练习。预习作业可以培养学生的自学能力, 使学生成为学习的主人。

五、板书设计

设计意图:这样的板书设计突出了教学的目的、重点和解题的技巧, 有利于学生更好地理解、掌握和归纳所学的内容, 可供学生课后回味。

六、教学评价

本节课的过程设计从我校学生已有的知识水平和认知规律出发, 为了更好地突出难点、解决重点、解决难点, 对教材上的有关内容进行了调整和修改, 重点突出以下三点:

1.重视实际动手训练, 加强学生的参与性。为了让学生愿意并主动参与到学习中, 设计了动手操作环节, 激发学生学习数学的兴趣。

2.重视学生的课堂参与, 提高学生的学习能力。由于本节课的诸多知识点需要通过小组讨论的形式进行, 这些师生互动、生生互动的活动, 让学生从中获得分析问题的经验和解决问题的能力。

方差与平均数的“较量” 篇9

班长小红走了过来，小声地问小方：“怎么了？”

“太不公平了，明明是我的成绩比他们的好，可为什么不让我去呢？”小方愤愤不平地说，

小方：“早些时候，我们4人都参加了学校举行的‘书香校园知识竞赛’选拔活动.我们的成绩的平均数以及方差如下表所示.

你看，是不是应该让我去？”

小红：“哦，看来应该让小平和小明去.”

小红：“方差是用来比较两组数据波动大小的量.在实际问题中，当两组数据的平均数相等或比较接近时，才适合用方差进行比较.由于你的平均分数明显低于小平和小明，所以仅仅根据平均分数就能确定小平和小明的成绩优于你.这时再比较方差，就没有太大意义了.”

小方：“要是这么说，我倒是能理解，可是，最近一次为什么也不让我参加呢？”

小红：“最近一次？那又是怎么同事呢？你说说，”

小方：“这一周，我和小飞去参加市运动会女子百米跑集训.在训练过程中，将10次的训练成绩进行了记录，你看看这个成绩：

我也对平均成绩和方差进行了计算：.你看，我俩的平均成绩相同，满足了你说的运用方差进行比较的条件.我的方差也比小飞的小多了，可为什么还是没有选我呢？”

小红：“是呀，这次好像真该选你了呀，太不公平了！走，我们去找老师说说.”

不一会儿，他俩来到了教师办公室，并对教他们的张老师说明了来意.

张老师认真地看了看成绩，然后对小方说：“你们俩的平均成绩棚同，你的方差较小，说明你的成绩更稳定.而小飞的方差较大，说明其成绩波动大.但是在你们俩平均成绩相同的情况下，正是因为小飞的成绩的波动大，所以他跑出最好成绩的可能性就比你大，观察数据也可以发现，10次训练成绩中，小飞虽然不太稳定，但主要是因为在训练的头几天成绩较差些.经过几天训练后成绩有明显的提高，说明小飞进步快，很有创造佳绩的潜力，而你的进步较慢，到了后几天就停滞不前，甚至退步.另一方面，在10次成绩中，小飞有5次的成绩在15s内，而你却只有3次，可能基丁这些考虑，学校还是让小飞参赛了.”

小红：“老师，经你这样一说，我明白了.在比较两组数据时，首先看它们的平均数.若用平均数难于区分时，再考虑方差.一般情况下，方差越小，数据就越稳定.但是数据稳定并不一定是好事，对吗？”

张老师：“是的！方差是反映一组数据波动大小的一个特征数，即方差只是反映一组数据的波动的大小.至于波动大了好还是小了好，即方差大好还是方差小好，那就要看这组数据所关联的实际问题，要具体问题具体分析.如预测未来几年我国的国民生产总值，则是方差越大越好，因为方差大了，说明波动大，波动大了，才有发展.认为数据凡是方差小的都‘比较好’，这其实是对方差的一种片面理解，”

小方：“我也明白了，谢谢老师！”

小方、小红：“再见！”

平方差公式的灵活应用篇10

例1 计算

undefined;

(2) (x+y-z) (x+y+z) .

解: (1) 原式undefined;

(2) 原式=[ (x+y) -z][ (x+y) +z]

= (x+y) 2-z2

=x2+xy+xy+y2-z2

=x2+2xy+y2-z2.

注: (2) 题中利用整体思想, 把x+y看作一个整体再利用平方差公式计算, 则此题中相同项是 (x+y) , 相反项是z和-z.

例2 计算 (-xy+1) (xy+1) (x2y2+1)

解:原式= (1-xy) (1+xy) (x2y2+1)

= (1-x2y2) (1+x2y2)

=1-x4y4.

注:计算中要对因式适当变形, 使式子符合公式的结构特征。

例3 计算 (a+4b-3c) (a-4b-3c) .

分析:注意到本题中两个多项式因式中, a与a、-3c与-3c都是相同的项, 4b与-4b是互为相反数的项, 把相同的项分为一类, 互为相反数的项分为一类, 分组后便符合平方差公式左边的特征了。

解:原式=[ (a-3c) +4b][ (a-3c) -4b]

= (a-3c) 2- (4b) 2

= (a-3c) (a-3c) -16b2

=a2-3ac-3ac+9c2-16b2

=a2-6ac+9c2-16b2.

注: (a-3c) 2根据乘方的意义写成 (a-3c) (a-3c) , 用多项式乘法法则计算。

例4 计算

(1) 498×502;undefined

分析:题 (1) 中的498可改写为 (500-2) , 520可改写为 (500+2) , 这样就可以用平方差公式进行简便运算;同样, 题 (2) 中的undefined可改写成undefined可改写成undefined后再进行简便运算。

解: (1) 498×502

= (500-2) (500+2)

=5002-22

=250000-4

=249996;

undefined

注:这种简便方法必须写成 (a+b) (a-b) 的形式时才行。

例5 计算:

(3x+2y-4) (3x+2y+4) - (3x+2y+4) (3x-2y-4) .

解:原式=[ (3x+2y) -4][ (3x+2y) +4]-[3x+ (2y+4) ][3x- (2y+4) ]

=[ (3x+2y) 2-16]-[ (3x) 2- (2y+4) 2]

=12xy+8y2+16y

【方差控制】推荐阅读：

方差-协方差09-01

方差—协方差估计法05-24

动态方差05-11

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方差控制

方差控制篇1

2.1 模型

2.2 准则

2.3 容许控制策略

3.1 参数估计

3.2 确定性等价控制

3.3 谨慎控制

3.4 引入探测信号

“方差”帮你决策篇2

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对方差计算公式的探究篇4

方差控制篇5

方差控制篇6

谈极差、方差和标准差篇7

《平方差公式》说课稿篇8

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