一题多变

2024-06-23

一题多变（精选11篇）

一题多变篇1

师:同学们, 图文转换是当今高考常见的一种语用题题型。本次测验, 我们考了这样的一道题。但是大家做得不理想, 满分者寥寥。原因之一, 这是同学们进入高中以来首次接触的题型, 多数人看到“陌生面孔”, 就有点慌张。原因之二, 是不得解题要领。实际上, 此类题并不难解。现在我们一起来回顾, 一起来探究, 希望通过训练, 大家都能掌握一把金钥匙。

一、展示原题

下图是一张汶川特大地震中抢运伤员的照片。这张照片震撼人心, 请对此写几句简明得体、鲜明生动的话, 表达你的颂扬之情。 (100字以内) (4分)

师: (点拨) 遇到新的题型, 第一步心中莫慌。第二部仔细审题。一般抓三个环节: (1) 看画面内容 (一看就懂) , (2) 看文字说明 (汶川特大地震中抢运伤员) , (3) 看拟写要求 (一段表达你的颂扬之情的文字, 也就是抒情性文字, 并且在100字以内) , 然后撰写。请大家尝试一下。 (给2分钟)

学生思考, 撰写答案, 展开交流。

生1:天灾无情人有情。敬爱的武警官兵和医生们, 你们头顶烈日, 脚踏乱石, 抬着伤员, 用最快的速度向临时医院进发, 任何困难也阻挡不了你们前进的决心。你们团结一心, 无私奉献, 是我们永远的骄傲。谢谢你们!

生2:你们, 在崎岖的山路上, 在酷日的暴晒下, 紧急运送伤员。只要有一线希望, 你们就付出百倍努力。你们用双手托起了生命的光亮, 用行动诠释着无私的大爱。我们为你们感到骄傲和自豪!

师: (展示参考答案) 你们, 头顶着烈日, 脚踩着乱石, 肩扛着伤员, 心想着人民。你们, 是最伟大的军人, 是最无私的医生, 是最高尚的公民, 有着最真最纯最伟大的爱心。我们向你们致敬!

师:比较一下, 同学们的答案比参考答案逊色吗?

生:难分高下。

师:对啊。我们应该有足够的自信!

师:这幅照片, 如果可以换几种问法来考, 我们都应当能够应对, 才能在考试中始终占据主动。今天我们就一起来探讨一下。

二、变形一

这是一张汶川特大地震中抢运伤员的照片。这张照片震撼人心, 请你为照片拟写一段解说词 (或拟写一段文字, 扼要描述画面内容) 。 (100字以内) (4分)

师:解说词常用于陈列、展览物品, 导游及纪录片等, 主要是根据选用的照片或实物等, 对人或事物做概括的或重点的介绍。要求内容准确、扼要, 有文采, 有抒情味。语言风格的要求是通俗化、口语化。谁来为这幅照片拟写一段解说词?

学生思考, 撰写答案, 然后交流。

生3:地震使汶川变为一片废墟, 但照片中的医生和解放军脚踏乱石, 头顶烈日, 正急急忙忙地扛着担架运送一位伤员。他们满头大汗顾不得擦, 他们身心疲惫顾不得歇, 他们正努力创造着一个又一个生命的奇迹!

生4:烈日下, 废墟上, 武警官兵、医护人员, 这些新时代最可爱的人, 正抬着垂危的生命, 迈着稳健的步伐, 翻越崎岖的山路, 赶往医院。汗湿衣衫, 全然不顾, 只为抢在死神前面, 只为了生命的延续。

师: (展示参考答案) 烈日下, 碎石遍地的斜坡上, 一群解放军官兵和医护人员, 正奋力用担架抬着一名刚从大地震废墟下救出的伤员, 向临时医院急急奔去。他们个个汗流浃背, 气喘吁吁, 可是谁也没有放慢脚步, 他们在和死神赛跑!

三、变形二

师:师生同台比武, 难分伯仲。同学们的自信心是不是更足了?

生:是的!

师:你们能再为这幅照片设计一道考题, 来考一考老师吗?谁来试一试?

没人举手。

师: (启发) 还记得我们学习必修一《想北平》《我心归去》《江南的冬景》《西地平线上》等课文时经常做的一个训练题型吗?

生:写点评文字。

师:对啊, 题目诞生了吗?

生:这是一张汶川特大地震中抢运伤员的照片。这张照片震撼人心, 请你为照片拟写一段点评文字 (或一则短评) 。 (100字以内) (4分)

师:撰写点评文字, 我们比较熟悉。要得到好分数, 关键是要知道它有两个切入角度:一个是对照片中人物的精神面貌进行点评, 一个是对照片的选题、立意、艺术手法进行点评。知道这一点非常重要, 因为你答题时就有了选择, 可以扬长避短。评论要简洁、准确, 有一定的认识高度。大家开动脑筋都来写一写。 (2分钟)

学生思考, 撰写答案, 然后交流。

生5:地震能够震倒房屋, 却震不倒解放军战士和白衣天使救人的信念。解放军时刻不忘自己的职责, 坚持为人民服务;白衣天使本着治病救人的信念, 用双手创造着一个个生命的奇迹。他们的高尚值得我们学习, 他们的无私值得我们敬佩。

生6:拍摄者以独特细腻的视角, 捕捉到了这一震撼人心的瞬间。从这幅紧急运送伤员的照片中, 我们看到了救灾工作者不畏艰辛、勇于奉献的精神;也读出了中华民族团结一心抗大灾的向心力、凝聚力。

四、变形三

师:今天我们师生互动, 举一反三, 大大提高了这幅照片的利用率。我们对图片转换成文字这类语用题有了较多的认识。其实, 这幅照片还有一个考点, 还有一种呈现方式。同学们要不要知道?要不要再操练一下?

生:要——

师: (展示) 这是一张汶川特大地震中抢运伤员的照片。这张照片震撼人心, 请你为照片写一则读后感 (读后感悟) 。 (100字以内) (4分)

师: (提示) 读后感, 就是写出你读图后的感受, 或受到的启发、激励等。这段文字最好是理性和情感相互渗透的结晶。最好以议论为主。现在大家试一试。

学生思考, 撰写答案, 然后交流。

生7:炎炎烈日下, 解放军官兵和医务人员顾不上擦拭额头的汗水, 他们争分夺秒地将伤员送往医院, 为的是救人如救火。我被他们深深地感动了。他们是如此的高尚。我们一定要向他们学习, 乐于奉献, 甘于吃苦。

生8:烈日下, 医生和武警官兵正抬着一个垂危的伤员, 急如星火般赶往医院。炎热饥渴都不能让他们叫一声苦, 歇一下脚。他们的行为就是天灾无情人有情的最好诠释。他们让我明白了一个道理——再大的灾难, 除以13亿, 就会变得微不足道!

师:同学们的答案都很出色, 现在老师也来凑个热闹。 (答案示例) 我深深地被照片感动了!我终于知道了为什么人们称子弟兵是守护神, 称医护人员为白衣天使;也知道了人民的生命财产比自己的生死更重要。只要祖国和人民需要, 我也会像照片中的英雄一样挺身而出, 勇往直前!

师:比较一下, 老师的答案与同学的答案有什么区别吗?细心的人才看得出来哦。

生9:老师的答案几乎全是议论, 同学的答案是叙议结合。

师:说得太到位了。注意, 两种表达方式皆可。

师:读图可以写读后感, 那么读书呢?可否写出读后感?

生:可以。

师:如果要写观看电影戏剧的感受, 那叫什么呢?

生:观后感。

师:如果要写聆听了音乐后的感受呢?

生:听后感。

师:对。读后感、观后感、听后感, 写作要求、写作思路、写作技巧, 基本一样。同学们来一个举一反三, 没问题吧?

生:没问题。

师:下面我们做一个巩固练习, (展示题目) 《越战中震撼人心的图片:奔跑的小女孩》, 感悟这幅照片震撼人心之处体现在何处? (友情提示) 注意, 这个问法规定了“感”的方向, 两分钟时间请撰写答案, 然后交流学习。

学生交流 (略) , 下课钟声响起。

师:好。今天我们对图片类图文转换题进行了有效、有趣的讨论。相信我们今后解答这类题目一定是游刃有余了。下课!

五、整体点评

高质量的讲评课是重点高中实现语文有效教学、优质教学的重要保证。高效的讲评课应当注意联系和比较, 做到拓展和延伸, 引导学生探寻规律, 深切体悟, 举一反三, 真正做到“授人以渔”。

改变题目中的一项或一些已知条件, 改变试题的表述角度, 或改变试题的最终要求, 来达到举一反三、触类旁通的目的, 这是数理化教师的拿手好戏。它也可以借鉴到语文学科中来, 用试题变形的方式, 来上好拓展型讲评课。曹老师的这堂讲评课就具备了这样的特点, 应该说是一堂优质高效的讲评课, 其闪光点主要集中在以下几个方面。

第一, 立足一则基本题材, 进行题型变换, 实施多方位训练, 节约时间, 增加材料利用率, 提高了课堂教学效率。

第二, 立足一则基本题材, 进行题型变换, 可以让学生明白命题人在这一材料中可能设置多少个考点, 一般从哪些角度来命题, 试题有哪些基本呈现方式, 我们又将有哪些应对之策以及答题的思路和模式, 有利于提高学生的解题能力和应试水平。

第三, 一料多用, 纵横捭阖, 进行灵活多变的思维训练。它有利于引导学生从线性思维 (沿着一定的线型或类线型的轨迹寻求问题的解决方案的一种思维方法。它在一定意义上属于单一思维、静态思维) 迈向发散思维 (沿着不同的思维路径、不同的思维角度, 从不同的层面、不同的关系出发来思考问题, 以求得解决问题的多种可能的方法, 并在此基础上优选出最佳的解决方案的思维) , 从而提升他们分析问题、解决问题的能力, 优化他们的思维品质。

一题多变篇2

水口中学

陈雄彬

各位评委.老师你们好：

我今天说题的题目是《一题多变，多题归一》，我说题的内容分为以下几个方面：

原题再现:

如图△ABC 和△DCE都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，比较AD与BE的大小。你能对所得结论说明理由吗？

A C

一背景和立意 :

本题主要是利用等边三角形的性质,全等三角形的性质及判定来进行证明、求解.意在考查学生对基础知识和基本技能的掌握程度,培养学 1

生的观察、分析、概括、归纳及语言表达能力。

在教学中引导学生从不同角度、不同知识、不同的思想方法来思考同一个问题，能使各个层次的学生都达到一定的效果，也能使学生从单一的思维模式中解放出来，达到以创新方式来解决问题，培养学生思维的开阔性、发散性和灵活性。

二设问和解法

设问：（1）度量线段AD与线段BE的大小，你得到什么样的结论？

（2）证明线段相等的常用方法有那些呢？解题指导：

（1）、数学思想：转化、数形结合的数学思想

（2）、解题方法：主要是构造全等三角形，等角加同角相等

（3）、解法：首先引导学生从条件入手，通过观察图形，自主探究，再进行合作交流，小组内、小组间充分讨论后，概括得出自己的结论。本问对于学生来说，没有障碍，由等边三角形性质自然联想到三条边相等、三个角相等，在经过构建的全等三角形△ADC与△BEC中，边的相等学生可以轻松找出，而对于角的相等是解决三角形全等的关键

答案： AD=BE.因为 △ABC 和△CDE都是等边三角形，所以 ∠ACB=∠DCE= 60° ,AC=BC,CD=CE.于是，∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即 ∠ACD=∠BCE，在△ACD与△BCE中,因为AC=BC, ∠ACD=∠BCE,CD=CE,根据“SAS ”可知△ACD ≌△BCE.所以AD=BE.试题评价:

本题的解决重在考察学生的基础知识和基本技能，对大部分学生来说不是难题，这样既激发了学生的学习兴趣，也增强了学习信心，同时又培养了学生推理论证能力和语言表达能力，最后，教师加以补充、启发，完善本题结论和证明。如果问题就此结束就会显得题目过于单一

三、拓展延伸：

拓展一:

若AD交BC于点N,BE交CD于点M，连接MN,图中还有等边三角形吗?

A C E

本问的设计意图是引导学生认真观察图形，深入挖掘隐含的条件和结论，寻找知识点的联系，转化，激发学生积极思考，主动探索，调动学生学习的积极性。

本问是建立在第一问的基础上，在条件没有改变的情况下，解题时要有“回头看”的意识，注意后生成的条件的运用，这样更有利于问题的解决。

拓展二:

如果A、C、E不在同一条直线上，其他条件不变，猜想BD与AE关系？设计意图，通过学生动手操作，画出基本图形，轻松进入探究角色，通过温故体验让学生进一步明晰全等三角形的判定，性质等基本知识，并熟练用符号语言写出表达式，主要培养学生几何基本作图能力，以及猜想、探索问题的能力。

若三角形ABC不动，将三角形DCE绕着点C旋转，在旋转的过程中，BE=AD是否恒成立？

A C

图形的旋转是运动变化的一种表现，通过图形旋转化静为动，动静结

合，使数学问题更具魅力。提高学生解决问题的兴趣注重学生动手操作，实践探究能力的培养。

变式：

如果把原题中已知条件等边三角形ABC和等边三角形DCE

改为等腰直角三角，且∠ ACB=90°，∠ DCE=90°结论仍然成立

C E

若将图中的三角形改为等腰三角形哪几条边因该是腰，等腰三角形应该满足什么条件时，结论仍成立。

四、总结反思：

通过本题的二拓展和一变式，启发学生思考，引导学生自主探索鼓励学生合作交流，获得广泛的数学经验，变式之前，先让学生析其特点，渗透解题思想，既通过全等证线段相等的理念，从特殊到一般，运用数学转化的思想，通过不断的变化，建立新与旧、已知与未知的联系，有助于学生关注问题或概念的不同方面，让他们觉得有新的理念出现，学会从不同的角度看问题，因而加深对题意的理解，让学生在充分的交流与合作中加深对问题的认识学习数学不仅是为了掌握

一些基本的知识、基本技能，更重要的是可以提高学生的发散思维能力、划归迁移思想能力和思维的灵活性。

在数学教学中，要引导学生探索数学问题的解题方法，做一题，通一类，会一片。让学生走出题海，教会学生思考、善于思考，提高学生分析问题解决问题的能力。

一题多变效率高篇3

【关键词】一题多变；创新思维；实践；思考

一题多变是培养学生创新思维能力的有效途径之一。教学中适当的一题多变，可以激发学生去发现和去创造的强烈欲望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性、深刻性、灵活性和独创性，从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维。下面结合本人的教学实践，谈谈我在教学中诱发一题多变的几种做法。

一、一题多变的解法

一题多解是从不同的视角、不同的方位审视分析同一问题中的数量、位置关系，用不同解法求得相同结果的思维过程。通过探求同一问题的不同解法，可以引出相关的多个知识点和解题方案，有助于培养学生的洞察力和思维的变通性、独创性，从而培养学生的创新思维的意识。

这里将相似与函数知识结合，培养了学生综合探究的能力。

由上述六种题型的变式，把同样的数学思想方法渗透到不同的题型中，既锻炼了学生适应不同题型的能力，又加深了对数学思想方法的理解运用，既激活了学生的思维，又活跃了课堂气氛，看似浪费了时间，实质触及到思维的灵魂，收到了事半功倍的效果。

多年的教学实践使我深深地体会到：作为一名数学教师，应加强对例题和习题教学的研究，通过科学合理地使用教学素材进行一题多变教学，能较好地培养学生思维的广阔性、独立性和创造性，促使学生形成良好的思维习惯和品质，为培养学生的个性特征和创新思维能力创造更广阔的天地，正所谓“一题多变效率高”。

（作者单位：江苏省建湖县恒济初级中学）

【摘要】培养学生的创新思维能力是中学课程标准的基本要求，也是数学教学的重要任务。在数学教学中，培养学生创新思维能力的途径是多渠道的，在教学实践中我发现，有效地进行一题多变教学是培养学生创新思维能力的有效途径之一。

【关键词】一题多变；创新思维；实践；思考

一、一题多变的解法

这里将相似与函数知识结合，培养了学生综合探究的能力。

（作者单位：江苏省建湖县恒济初级中学）

【关键词】一题多变；创新思维；实践；思考

一、一题多变的解法

这里将相似与函数知识结合，培养了学生综合探究的能力。

一题多变话切线篇4

问题: 求曲线y = x3+ 3x在点P ( - 2,- 14 ) 处的切线方程.

生解: ∵ f'( x) = 3x2+ 3,∴ f' ( - 2) = 15,∴ 切线方程为y = 15x + 16.

如果该试题“点到即止”,笔者认为失去了在此处切线教学的价值,学生也根本对切线缺乏深入的思考,因此笔者将以教材中的原型问题进行变式,激发学生探索类似问题的方式、方法.

变式1已知曲线C: f( x) = x3- x + 2,求经过点P( 1,2) 的曲线C的切线方程.

笔者请学生板书,请了三名同学,板演的学生解答几乎如出一辙:

错解: 由f'( x) = 3x2- 1得切线的斜率k = f' ( 1) = 2,过点P( 1,2) 的曲线C的切线方程为y - 2 = 2 ( x - 1) ,即y = 2x.

错解剖析: 学生第一次遇到这样的问题存在着审题不清的错因,题中含义经过点P的切线,寓意是切线从点P穿过,至于是否点P是切点并未说明! 很多学生对于切线的认知停留在初中层面,笔者接触过很多学生,他们认为切线一定和曲线只有一个公共点或者切线一定是在曲线的一侧,或者只有一个公共点的问题是相切问题等等,这些错误都是对于切线概念的认知匮乏. 何为切线? 切线和曲线是不是只有唯一交点? 这些都是学生犯错的原因所在.

所以,现行高中数学教材对切线的定义完全规避了公共点个数的情形来定义,而是利用高等数学中更为科学的定义去介绍: 切线即为割线的极限位置. 在这种定义下,曲线x0= 0或x0= 2,在点P( x0,y0) 处的切线如果存在,则切线只有一条, 而过曲线上的点P( x0,y0) 的切线如果存在,则切线可能不止一条,而且点P( x0,y0) 也不一定是切点,如图1,曲线C是y = sinx,它在点N处的切线只有l1,而过正弦曲线上的点P的切线当0≤x≤2π 时有两条,即l1和l2,可见“过曲线上的点P的切线”与“曲线上点P处的切线”是两个不同的概念,将这两个概念混为一谈,以至于认为过曲线y = f( x) 上的点P( 1,2) 的切线的斜率就是f'( 1) 是错误的根源所在.

下面教师引导学生改变点P的位置( P可以在曲线外) ,继续探求切线方程.

变式2: 已知曲线C: f( x) = x3- x + 2,试问: 分别过点 ( 1) ( 0,- 54) ,( 2) ( 2,0) ,( 3)(16/11,2)的曲线C的切线有几条? 如果是一条,写出切线的方向向量; 如果是两条,求出两切线之间夹角的正切值; 如果是三条,写出切线方程.

变式3: 已知曲线C: f( x) = x3- 3x2+ 2x + a一切线为y = 2x,求实数a.

变式4: 斜率为3的直线与曲线C: y = x3相切,切点为P点,且两者有另一交点Q,求P、Q两点的坐标.

变式5: 若方程x3- 3x - m = 0有一组相同的根,求此方程所有的解.

变式6: P为曲线C: y = x3上一动点,若以点P为切点的切线与该曲线相交于Q,试求线段PQ中点的轨迹方程.

上述六个变式源于课本而又高于课本,将三次函数图像的切线问题探究的比较深入. 在学习中就是要从无限的题目的学习去领悟无限题目的思维方式及规律. 这样能使学生强烈感受道数学的美妙,而且笔者认为通过教材问题的引领、辐射的变式才能真正将一题多变的探索味道融入其中.

摘要：新课程一直致力的课程理念是提高学生的探索能力.探索能力以何种教学方式呈现较为合适呢?笔者认为是传统教学中的变式教学,将变式教学融入新课程探索学习的理念,形成全新的视角进行课堂教学是学习的一种尝试.

一题多变创意无限篇5

原题：已知空间四边形ABCD，AB=AC，DB=DC，求证：BC⊥AD

本题旨在练习线面垂直的判定定理和性质运用，以及线线垂直与线面垂直的相互转化。如图1，取BC的中点E，构造辅助平面AED是解决问题的关键。

■

变式一：如图1，空间四边形ABCD，AB=AC，DB=DC，若将△ABC绕BC转动时，BC是否仍然与AD垂直呢？

解：BC仍然与AD垂直。证明如下：

当A不在平面DBC内时，同原题一样，取BC的中点E，可证得BC⊥平面ADE，再得BC⊥AD；当A在平面DBC内时， ∵AB=AC，DB=DC， ∴点A与点D都在线段BC的垂直平分线上，故BC⊥AD。因此将△ABC绕BC转动时，BC一定与AD垂直。

点评：通过本题的进一步思考，动静结合，使我们更能体会到立体几何与平面几何的联系，变与不变的统一。

变式二：空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：BC⊥AD

■

证明：如图2，作AO⊥平面BCD于O，则BO为AB在平面BCD内得射影，因为AB⊥CD，所以BO⊥CD。同理CO⊥BD（三垂线定理的逆定理）。所以O为△BCD的垂心。连结DO，则DO⊥BC。又因为DO为AD在平面BCD内得射影，所以BC⊥AD。

点评：改变原题的题设条件后，将知识迁移到考查三垂线定理及逆定理的运用，通过本题的证明还可得出两个结论：四面体中，若两组对棱垂直，则第三组对棱也垂直；顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。

变式三如图3，在空间四边形ABCD中，AB=AC，DB=DC，E为BC的中点，作AO⊥ED于O，求证：AO⊥平面BCD

■

证明：连结AE，同原题可先证得BC⊥平面AED，∵AO？奂平面AED，∴BC⊥AO，又∵AO⊥ED，ED∩BC=E，∴AO⊥平面BCD。

点评：直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式，本题在证明中多次运用了“线线垂直与线面垂直”之间的转化，通过习题的变式进一步巩固了线面垂直的判定与性质的灵活运用。

变式四：如图4，在空间四边形ABCD中，AB=AC，DA=DB=DC，E为直角△ABC斜边BC的中点，求证：AE⊥平面DBC

■

证明：因为DB=DC，E为BC的中点，所以DE⊥BC。连结DE，在Rt△ABC中，AE=BE=CE，又DA=DB=DC，所以△ADE≌△BDE ，则AE⊥DE。又AB=AC，E为BC的中点，则AE⊥BC，所以AE垂直于平面DBC内两条相交直线，所以AE⊥平面DBC。

点评：在论证中利用题设的已知条件来寻找线面垂直判定定理的充分条件是证明过程的基本思路，而找线线垂直通常要利用平面几何知识，如直角三角形的性质，三角形全等。

谈物理“命题”和“一题多变” 篇6

命题如图1所示, 一条长度为 a 的柔软细绳, 两端分别系于距离为 b 的两竖直墙壁的同一水平线的A、B两点之间, 设 a>b, 且绳足够长;一轻质滑轮搭挂于绳上, 其下方悬挂质量为 m 的物体.当系统平衡时.试求: (1) 细绳中的张力T0的大小、细绳跟水平方向的夹角α0; (2) 若细绳的长度 a、物体的质量 m 等不变, 使绳的右端沿墙壁下移 (或上移) 到任意点P, 即使细绳两端水平距离 b 保持不变, 则细绳中的张力T的大小、细绳跟水平方向的夹角.

解析: (1) 首先, 在题设条件下, 轻绳、滑轮的质量和摩擦力均可忽略, 先由线段的几何关系、系统受力情况做出示意图2.然后, 根据三角关系、力的平衡条件, 可得

由①、②式可得

$\begin{array}{l} Τ_{0} = \frac{a}{2 \sqrt{a^{2} - b^{2}}} ‚ ③ \\ α_{0} = \sin^{- 1} \frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a} . ④ \end{array}$

(2) 容易理解, 在这种情况下两段细绳所产生的张力大小也是大小相等的.如图3所示, 设左右两段细绳跟水平方向的夹角分别为α1、α2, 同理, 可得

由于 $\cos α_{1} = \frac{b / 2 + Δ b}{a / 2 + Δ a} ‚ \cos α_{2} = \frac{b / 2 - Δ b}{a / 2 - Δ a} ‚ \cos α_{0} = \frac{b / 2}{a / 2} . ⑦$

在中学数学中, 对正比函数 y=kx, 可以证明下式

$\frac{y}{x} = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y + Δ y}{x + Δ x} = \frac{y - Δ y}{x - Δ x} = k .$

完全成立, 从而由⑦式可得

亦即 $α_{1} = α_{2} = α_{0} = \sin^{- 1} \frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a} . ⑧$

再把上式代入⑤式, 又得

$Τ = Τ_{0} = \frac{a}{2 \sqrt{a^{2} - b^{2}}} . ⑨$

同样地, 若使B点向上移到任意点p, 解析表明仍旧可以求出⑧、⑨两式的结果.

综上解析再加以合理外推可知, 当细绳的长度 a、两端水平距离 b 以及物体的质量 m 等均保持不变时, 无论怎样改变A、B两点的位置, 只要能使得两段细绳的长度均不为零, 那么, 细绳中的张力的大小和两段细绳的方向保持不变, 其数值均可由③、④式来表示.

由图4可以看出, 当沿AC方向的自变量 x 发生变化时, 沿AB方向的变量 y 亦发生相应的变化, 而 y 与 x 成正比的函数关系.在B点从上面的最高点D (图中并未画出) 向下面的最低点C移动过程中, 细绳的张力T的大小和方向等均保持不变.

既然如此, 在物理解题的教学中, 我们可以不改变上述基本思想的条件下, 通过改变题设已知条件、未知目标等方法, 就可以编制或选择一些类似的习题让学生分析或解答, 使之对物理概念、规律等加深理解和熟练应用, 以期丰富、深化这一基本思想, 强化、硬化学生解答此类物理问题的基本能力.

例1 如图5所示, 总长为L的轻绳两端各系一个重量为G的圆环, 在轻绳的中点挂一重量为2G的物体, 已知圆环所受最大静摩擦力等于压力的1/2, 求:两圆环在杆上静止时的最大距离 x.

解析:此例与命题情况类似.由于G=mg, 因此由命题中②、③式得

$\begin{array}{l} Τ_{0} = \frac{l}{2 \sqrt{l^{2} - x^{2}}} \cdot G ‚ ① \\ \sin α_{0} = \sqrt{\frac{l^{2} - x^{2}}{l}} ‚ ② \end{array}$

又由图可知 $\cos α_{0} = \frac{x}{l} . ③$

对于圆环由平衡条件

$\begin{array}{l} F_{\max} = \frac{F_{Ν}}{2} = Τ \cos α_{0} ‚ ④ \\ F_{Ν} = G + Τ \sin α_{0} . ⑤ \end{array}$

再由②③④⑤式得

$Τ_{0} = \frac{G l}{2 x - \sqrt{l^{2} - x^{2}}} . ⑥$

联立①⑥求解, 最后得结果为 $x = \sqrt{2} l / 2 .$

例2 如图6所示, 竖立在地面上的两杆相距4 m、长为5 m 的细绳两端分别固定与两杆的顶端A和B, 在绳上一轻质光滑的小挂钩O的下面挂一重量为G的物体.当物体静止时, 下列判断正确的是 ( )

(A) 细绳AO段、BO段分别跟水平方向的夹角肯定相等

(B) 细绳AO段、BO段的张力相等

(D) 只有两杆等高时, 选项A才正确

解析:类似地, 由于G=mg, 因此由命题中⑧、⑨式得

$\begin{array}{l} Τ_{1} = Τ_{2} = Τ_{0} = \frac{5}{2 \sqrt{5^{2} - 4^{2}}} \cdot G = \frac{5 G}{6} ‚ \\ α_{1} = α_{2} = α_{0} = \sin^{- 1} \frac{\sqrt{5^{2} - 4^{2}}}{5} \\ = \sin^{- 1} 0.6 = 37 ° . \end{array}$

易知, 对静止状态下、质量不计的轻绳而言, 两杆顶端所受绳的拉力等于两段细绳中的张力.由命题所得结果看, 无论两杆是否等高, 选项 (A) 、 (B) 都正确.因此, 本题正确选项为 (A) 、 (B) 、 (C) .

一题多变, 提高学生解题能力篇7

一、类比变题

类比变题, 是通过类比推理使化学的知识点进行延伸, 从此类知识点中找出和其他知识点的相似之处, 并进行知识点的迁移和运用。使用类比变题, 可以开阔学生的视野, 培养创新思维能力, 使其在解决化学问题时能够触类旁通, 活学活用。

【例1】硫在氧气中燃烧时, 为了避免所产生的气体在空气中造成污染, 必须在实验瓶中添加一种溶液与之发生化学反应, 则该溶液为___。

分析:硫在氧气中燃烧会生成二氧化硫, 二氧化硫属于酸性气体, 则必须用碱性的溶液去吸收它, 所以较适合的溶液为氢氧化钠。

为了能使学生在此类型题中总结规律, 从而明白在何种实验中使用何种溶液来吸收所产生的物质, 可进行类比变题, 如:为了测试空气中氧气的含量, 在红磷燃烧时, 瓶中装水的作用是___。

类比变题, 能使学生对于化学实验中物质的内涵和外延有更深一步的理解, 并为今后的举一反三奠定基础, 提高解题能力。

二、逆向变题

逆向变题来源于逆向思维, 也就是反其道而行之, 即从题目中的结论出发逆向思维, 将结论作为解题的条件之一, 和原题形成互逆命题的关系。使用逆向变题, 会使有些问题更加明了化、简单化, 提高学生的解题速度。

【例2】 Cl2和Fe经过加热, 进行正常反应后, 生成的物质为___。

学生略加思考后, 能够轻而易举得知此物质为FeCl3, 但是学生的解题能力只能停留在初步的水平, 无法得到切实的提高。为此可引导学生进行逆向变题:1.哪些物质进行化学反应时能够生成物质FeCl3?2.FeCl3与哪些物质进行化学反应可生成Fe?

对于第一个逆向变题, 学生进行知识梳理后, 可得知:三氧化二铁和盐酸反应生成水和氯化铁, 其化学方程式为:6HCl+Fe2O3=2FeCl3+3H2O。对于第二个逆向变题, 学生根据FeCl3的性质可探究出:FeCl3+Al=AlCl3+Fe和2FeCl3+3Zn=3ZnCl2+2Fe。逆向变题可培养学生的发散性思维和创新性思维, 增强学生的解题能力。学生在进行逆向互换的过程中, 可以明确在已知条件和计算结果中, 哪些是可以互换的, 哪些是不能互换的, 在多次的互换过程中, 可以加深对知识的理解和记忆, 从而提高学生的解题能力。

三、归纳变题

归纳变题是从归纳推理演化而来, 即从相同事物中的某种属性, 推理出该种事物都具有的共同属性。在高中化学归纳变题中, 往往由部分到整体、由特殊到一般, 对一些特殊问题的条件、结论等各个方面进行总结, 归纳出此类问题的共同题型, 从而提高学生的解题能力。

【例3】氢化锂 (LiH) 在干燥的空气中能稳定存在, 遇水或酸会燃烧。氢化锂遇水发生反应的化学方程式为:LiH+H2O=LiOH+H2↑, 请认真分析该反应原理, 完成氢化锂与无水乙醇反应的化学方程式。

解析:此题目其实是考察氧化还原反应规律, 在任何一个氧化还原反应中, 都有元素化合价的升降变化。在该化学反应中, 化合价升降关系如上图所示:氢元素化合价的变化符合归中规律, 学生在明白了化合价的归中规律后, 应用归纳推理便可按同样的方法写出氢化锂与无水乙醇反应的化学方程式:CH3CH2OH+LiH=CH3CH2OLi+H2↑。

为加深学生的归纳推理能力, 教师可增加如下的归纳变题:拟卤素[如氰 (CN) 2、硫氰 (SCN) 2等]的化学性质与卤素单质的化学性质具有相似性, 如有较强的氧化性, 在水或碱溶液中易发生歧化反应。请写出氰 (CN) 2与水反应的化学方程式和离子方程式。

解析:由于拟卤素的化学性质与卤素单质相似, 而Cl2与H2O反应的方程式和离子方程式分别为:Cl2+H2O=HCl+HClO, Cl2+H2O=H++Cl-+HClO, 依此可推出氰 (CN) 2与水反应的化学方程式和离子方程式为: (CN) 2+ H2O= HCN+ HCNO, (CN) 2+ H2O=H++CN-+HCNO。

一题多变篇8

一、“一题多变”的意义与作用

“一题多变”可以使小学生所学的数学知识得到活化, 融会贯通, 而且可以开阔他们的思路, 发展他们的思维和能力, 从而达到提高小学生的数学学习的效果。教师设计形式多样的练习能够促使学生将知识转化为技能, 这是小学数学教师在教学中常用的方法。因此, 重视研究习题和解题的教学, 是提高小学数学教学质量、巩固深化小学数学知识、发展学生思维能力和增强学生解题能力的重要途径。波利亚说:“教学生解题是意志的教育, 但学生求解那些对他来说并不太容易的题目时, 他学会了败而不馁, 学会了等待灵感的到来, 学会了当灵感到来后的全力以赴。如果在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐, 那么他的数学教育就在最重要的地方失败了。”是的, 小学数学教师应该在使用习题的过程中首先要做到“精选”, 其次要做到“会用”, 重要的是要做到“善变”。“一题多变”的教学价值很大, 教材是教学的依据, 教材上的例、习题是经过认真筛选后设置的, 具有一定的示范性、典型性、探索性。教师在教学实践中要善于以这些例、习题为原形进行适当的引申、拓展和解题后的反思, 这不但使例、习题的教学功能得到充分的发挥, 而且有利于激发小学生数学学习的兴趣, 培养他们探索、创新的意识, 使之不断提高观察、分析、解决问题的能力。这样通过借题发挥, 适当变换、引申、拓展, 能够有效发展学生思维的变通性和创造性。

二、“一题多变”的原则与方法

可能有些数学教师认为“一题多变”的方法早就用了, 但是纵观部分教师以往所用的“一题多变”, 常常是比较肤浅的、单一的, 并往往只在总复习的时候才会出现。其实, 利用“一题多变”要符合一个原则, 那就是必须在学生牢固掌握基础题的基础上进行。通过“一题多变”, 做到触类旁通, 能“以少胜多”开拓思路。做习题时, 注重了“一题多变”, 可以让学生在一个题目里看到其他的题目。那么, “一题多变”的方法有哪些呢?“一题多变”的方法一般有:一是变换题设或结论训练。例如学生学了长方形面积计算公式以后, 教师可以出这样一组题目让学生练习:

(1) 开发区要新建一个露天游泳池, 如果它的长是100米, 宽是80米, 建这样一个游泳池, 它的占地面积是多少平方米呢?

(2) 开发区要新建一个露天游泳池, 如果它的长是100米, 宽是长的一半, 那么, 这个游泳池的占地面积又是多少平方米呢?

(3) 开发区要新建一个露天游泳池, 如果它的长是100米, 比宽多20米, 这个游泳池的占地面积是多少平方米?

(4) 开发区要新建一个露天游泳池, 如果宽是80米, 比长少20米, 这个游泳池的占地面积是多少平方米?

通过以上题设和结论的不断变化, 学生很快就会牢牢掌握长方形面积与长宽之间的关系, 就会很顺利地解已知长方形的长和宽求长方形的面积和已知长方形的面积, 知道长求宽或知道宽求长的问题。

二是变换题型训练。例如在学生学习完圆的周长和面积以后, 教师可以出这样的基本题型加以训练:

如填空题:一个圆的半径是2厘米, 那么这个圆的周长是 () 厘米, 面积是 () 厘米。然后进行题型变换训练:

1. 变换为选择题:

一个圆的半径是2厘米, 这个圆的周长是 () 厘米, 面积是 () 平方厘米。

2. 变换为计算题:

一个圆的周长是12.56厘米, 它的半径是多少厘米?

一个圆的面积是12.56平方厘米, 它的半径是多少厘米?

3. 变换为判断题:

一个圆的半径是2厘米, 这个圆的周长是6.28厘米, 面积是12.56平方厘米。 ()

或者变为:半径是2厘米的圆, 它的周长和面积是相等的。 ()

4. 变换为应用题:

做一个半径为1米的圆台面, 圆台面的上表面要贴上木纹纸, 贴木纹纸的面积是多少平方米?如果这个圆台面的四周用铝条封边, 至少要买多少米的铝条?

5. 变换成操作题:

画一个面积为12.56平方厘米的圆, 并标注出圆心和半径。

通过这样的“一题多变”, “变中有不变”, 可使学生克服思维定势的影响, 不局限于某一方面的思考, 多角度、多方位分析问题、解决问题。它有利于发展学生的创造性思维, 更有利于培养他们的发散性思维, 达到提高学生数学能力之目的。

一题多变篇9

一、巧用“一题多变”, 巩固学生的基础知识

例如对人教版高中生物必修2中“神经纤维上的兴奋传导”这一知识点, 可以采用变式训练的方式加以巩固和强化。

【例1】下图表示一段离体神经纤维的S点受到刺激而兴奋时, 局部电流和神经兴奋的传导方向 (弯箭头表示膜内、外局部电流的流动方向, 直箭头表示兴奋传导方向) , 其中正确的是 ( ) 。

解析:本题可直接根据知识点判断:神经纤维在静息状态膜内外电位情况是外正内负, 受到刺激后变为外负内正。从刺激点开始兴奋沿神经纤维双向传导。故答案为C。

[变式]如图甲所示, 以枪乌贼的粗大神经纤维作材料, 在神经纤维的表面, 放置两个相距1～2厘米的电极a和b。

(1) 在图中刺激点给予较强电刺激, 则电流表指针偏转情况为 ( ) 。

解析:本题考察的知识点仍然是兴奋在神经纤维上的传导过程, 但考查形式有所改变, 结合物理学知识对知识点进行了整合与变化。分析得知刺激点兴奋后a点膜外先变为负电位, 此时b点仍为正电位, 电流表指针向左发生偏转, 之后兴奋传至b点, b点变为负电位, a点此时已恢复正电位, 电流表指针向右发生偏转。故偏转情况为1、2、3、4或4、2、3、1。

(2) 依据观察到的电流表指针偏转 (向左为正, 向右为负) 情况, 绘出的曲线如图乙, 正确的是 ( ) 。

解析:本小题进一步结合数学模型设置问题, 巧用曲线图将神经纤维受刺激前后电位变化情况进行了描述, 在对第 (1) 小题正确分析的基础上, 得出正确答案为D。

二、巧用“一题多变”, 提高学生思维的灵活性

人教版高中生物必修2“现代生物进化理论的主要内容”一节中涉及基因频率的相关问题, 是复习时需要把握的重点。针对基因频率的计算问题可以采用“一题多变”的方式加以复习和巩固, 以提高学生思维的灵活性。

【例2】某种群中AA、Aa、aa个体数目分别为30、60、10。求A和a的基因频率。

解析:根据基因频率的定义, 可以推出如下公式 (N表示不同基因或基因型个体的数目) :

A的基因频率=NA/ (NA+Na) = (2NAA+NAa) /2 (NAA+NAa+Naa)

a的基因频率=Na/ (NA+Na) = (2Naa+NAa) /2 (NAA+NAa+Naa)

结合公式计算出A、a的基因频率分别为60%和40%。

[变式1]某种群中AA、Aa、aa个体所占比例分别为30%、60%、10%。求A和a的基因频率。

解析:本题中并未给出不同基因型个体的数目, 而是给出不同基因型个体的比例 (即基因型频率) 。将上述公式进行变化可得如下用基因型频率计算基因频率的公式:

A的基因频率=AA的基因型频率+50%×Aa的基因型频率

a的基因频率=aa的基因型频率+50%×Aa的基因型频率

将题目中的条件直接代入公式, 计算得出A、a的基因频率分别为60%和40%。

[变式2]某种群中aa的个体所占比例为0.01%, 则杂合子出现的机会是多少?

解析:本题利用上述公式无法得出题目所求。此时需要用到遗传平衡定律中的计算公式:

在理想种群中种群基因频率保持不变, 若A%=p, a%=q (p+q=1) , 则

AA的基因型频率=p2, Aa的基因型频率=2pq, aa的基因型频率=q2。

本题中已知aa的基因型频率=0.01%, 则a的基因频率=1%, A的基因频率=99%, 则根据遗传平衡定律的计算公式, 杂合子Aa出现的机会 (即Aa的基因型频率) =2×99%×1%=1.98%。

[变式3]某工厂有男女职工各200名, 对他们进行调查时发现, 女性色盲基因的携带者为15人, 患者为5人, 男性患者为11人, 那么这个群体中色盲基因的频率为多少?

解析:因为伴性遗传的基因型存在特殊性 (男性Y染色体上不含有相应基因) , 因此不能直接套用上述公式。伴性遗传应根据基因频率的定义来计算基因频率, 可得出下列计算公式 (设正常及色盲的控制基因为B和b) :

B的基因频率

b的基因频率

将题目中的已知条件代入公式计算得出色盲基因 (b) 的频率=6%。

三、巧用“一题多变”, 提高学生的应变能力

人教版高中生物必修3中与能量流动有关的计算问题也可采用变式训练的方法加以突破, 同时培养学生的应变能力。

【例3】有如下食物链:植物→植食性动物→肉食性动物→人。若植物的总同化量为1000kg, 则人最多、最少从该食物链增重多少千克?

解析:根据能量流动的传递效率为10%～20%, 总结出如下公式:

人最少增重=1000kg× (10%) 3=1kg。

[变式1]如上题食物链, 人增重1kg, 最多、最少消耗绿色植物多少千克?

解析:根据上述公式, 计算得出:

最多消耗绿色植物=1kg×103=1000kg,

最少消耗绿色植物=1kg×53=125kg。

[变式2]如下图食物网, 人要增重1kg, 最多、最少消耗绿色植物多少千克?

解析:本题不清楚人的各种食物所占比例, 故只能利用极值法进行计算。因为能量在沿着食物链流动的过程中会逐级递减, 故食物链越长能量损耗越多。则求最多消耗多少绿色植物, 应该选取最长的食物链 (植物→植食性动物→肉食性动物→人) , 并要按照传递效率10%来计算;求最少消耗多少绿色植物, 应该选取最短的食物链 (植物→人) , 并要按照传递效率20%来计算。过程如下:

最多消耗绿色植物=1kg×103=1000kg,

最少消耗绿色植物=1kg×5=5kg。

[变式3]如上图食物网, 若人的食物中有1/4来自植食性动物, 1/4来自肉食性动物, 1/2来自于绿色植物。则人增重1kg最少、最多消耗绿色植物多少千克?

解析:本题知道具体的食物比例, 应利用分解法把人增加的重量分解到三条食物链中分别计算, 求最多消耗量用10%计算, 求最少消耗量用20%计算。过程如下:

从食物链1 (植物→人) 增重0.5kg,

从食物链2 (植物→植食性动物→人) 增重0.25kg,

从食物链3 (植物→植食性动物→肉食性动物→人) 增重0.25kg,

则最多消耗绿色植物=0.5kg×101+0.25kg×102+0.25kg×103=280kg,

最少消耗绿色植物=0.5kg×51+0.25kg×52+0.25kg×53=40kg。

教材题目的一题多解与一题多变篇10

一、一题多解

一题多解，即一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路与解法.

【例1】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.（人教版第二册（上）P131例3，教材给出两种解法）

变式：斜率为1的直线经过椭圆x2+4y2=4的右焦点，与椭圆相交于两点A、B，求线段AB的长.

解法一：先将直线方程和椭圆方程联立求A、B坐标，然后利用距离公式求AB的长.

解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知l的方程为y=x-3.

联立y=x-3，

x2+4y2=4得5x2-83x+8=0.

由弦长公式得|AB|=（x1+x2）2-4x1x2=815.

图1解法三：由椭圆的第二定义知|AB|=AF+BF=e（2a21c-x1-x2）.

解法四：（几何法）由图1知，BB′-AA′1AF+BF=cos45°，

即11e（BF-AF）1AF+BF=cos45°.

又FD1AF=CF-AA′1AF=cos45°，

求得AF、BF，进而AB=AF+BF.

该法是利用几何关系建立方程，此方法也可灵活解决以下题目：

1.（2009年全国卷Ⅱ，11）已知双曲线C：x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为（）.

2.（2010年全国卷Ⅱ，12）已知椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的离心率为312，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点.若AF=3FB，则k=.

解法五：（点差法）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），其在准线上的射影为M′.

x21+4y21=4，（1）

x22+4y22=4.（2）

（1）-（2）得x01y0=-4y1-y21x1-x2=-4.（3）

又M（x0，y0）在直线AB上，则y0=x0-3.（4）

由（3）（4）得x0=4215.

MM′为梯形的中位线，所以MM′=AA′+BB′12，

即（a21c-x0）=11e·AF+BF12=11E·AB12，得解.

二、一题多变

一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论.

图2【例2】过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个焦点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p2.（人教材第二册（上）P133第7题）

变式：如图2，设A（x1，y1），B（x2，y2）.求证：

（1）x1x2=p214；

（2）11|AF|+11|BF|=21p；

（3）|AB|=x1+x2+p=2p1sin2θ（θ为直线的倾斜角）；

（4）S△ABO=p212sinθ；

（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

（6）（教材第2题）过抛物线的焦点的直线与抛物线相较于、两点，自、向准线作垂线，垂足分别为、，求证.

（7）设线段AB中点M在准线上的射影为N，证明：.

（8）设线段AB中点M在准线上的射影为N，MN交抛物线点Q，证明：MQ=NQ.

（9）（教材第6题）过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求证直线MQ平行于抛物线的称轴.

（10）求证：存在实数使得.

实质：证明A、O、D三点共线.（2001年高考题）设抛物线（）的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点.点在抛物线的准线上，且轴.证明直线经过原点.

2.题设变更变式

（1）一条直线与抛物线交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求且直线MQ平行于抛物线的称轴，求证直线过抛物线焦点.

将此变式与上面的（8）、（9）联系起来，更能体现问题的本质.

（2）（教材例2）如图，直线与抛物线相较于点、，求证.

实质：直线与抛物线相较于点、，且，则直线恒过点.

积极开展多种变式题的求解，不仅可以渗透、活化所学的知识，而且可以培养学生的发散、创新思维能力，引导学生能从问题的解法中概括推广出同类问题的解法，起到“讲好一题，带活一片”的效果.

总之，在数学教学中，让学生学会一题多解与一题多变，有利于培养了学生的综合分析能力；有利于启迪思维，培养学生的发散思维能力和解题技巧，提高学生思维的敏捷性、灵活性和深刻性；有利于创新意识的形成和发展，是培养学生良好思维品质与创新精神的好方法.

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教学中紧扣课本，挖掘教材中的经典练习题潜在的内涵，让学生进行对比、联想，采取一题多解与一题多变是一种有效的教学手段.巧用典型题的多解与多变，既能加深学生对各章节基础知识的理解，又可培养学生的探索问题和解决问题的能力.本文将通过教材中两个例题的教学，谈谈对一题多解与一题多变的认识.

一、一题多解

一题多解，即一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路与解法.

【例1】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.（人教版第二册（上）P131例3，教材给出两种解法）

变式：斜率为1的直线经过椭圆x2+4y2=4的右焦点，与椭圆相交于两点A、B，求线段AB的长.

解法一：先将直线方程和椭圆方程联立求A、B坐标，然后利用距离公式求AB的长.

解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知l的方程为y=x-3.

联立y=x-3，

x2+4y2=4得5x2-83x+8=0.

由弦长公式得|AB|=（x1+x2）2-4x1x2=815.

图1解法三：由椭圆的第二定义知|AB|=AF+BF=e（2a21c-x1-x2）.

解法四：（几何法）由图1知，BB′-AA′1AF+BF=cos45°，

即11e（BF-AF）1AF+BF=cos45°.

又FD1AF=CF-AA′1AF=cos45°，

求得AF、BF，进而AB=AF+BF.

该法是利用几何关系建立方程，此方法也可灵活解决以下题目：

1.（2009年全国卷Ⅱ，11）已知双曲线C：x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为（）.

2.（2010年全国卷Ⅱ，12）已知椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的离心率为312，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点.若AF=3FB，则k=.

解法五：（点差法）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），其在准线上的射影为M′.

x21+4y21=4，（1）

x22+4y22=4.（2）

（1）-（2）得x01y0=-4y1-y21x1-x2=-4.（3）

又M（x0，y0）在直线AB上，则y0=x0-3.（4）

由（3）（4）得x0=4215.

MM′为梯形的中位线，所以MM′=AA′+BB′12，

即（a21c-x0）=11e·AF+BF12=11E·AB12，得解.

二、一题多变

一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论.

图2【例2】过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个焦点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p2.（人教材第二册（上）P133第7题）

变式：如图2，设A（x1，y1），B（x2，y2）.求证：

（1）x1x2=p214；

（2）11|AF|+11|BF|=21p；

（3）|AB|=x1+x2+p=2p1sin2θ（θ为直线的倾斜角）；

（4）S△ABO=p212sinθ；

（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

（6）（教材第2题）过抛物线的焦点的直线与抛物线相较于、两点，自、向准线作垂线，垂足分别为、，求证.

（7）设线段AB中点M在准线上的射影为N，证明：.

（8）设线段AB中点M在准线上的射影为N，MN交抛物线点Q，证明：MQ=NQ.

（9）（教材第6题）过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求证直线MQ平行于抛物线的称轴.

（10）求证：存在实数使得.

实质：证明A、O、D三点共线.（2001年高考题）设抛物线（）的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点.点在抛物线的准线上，且轴.证明直线经过原点.

2.题设变更变式

（1）一条直线与抛物线交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求且直线MQ平行于抛物线的称轴，求证直线过抛物线焦点.

将此变式与上面的（8）、（9）联系起来，更能体现问题的本质.

（2）（教材例2）如图，直线与抛物线相较于点、，求证.

实质：直线与抛物线相较于点、，且，则直线恒过点.

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一、一题多解

一题多解，即一道数学题，因思考的角度不同可得到多种不同的思路与解法.

【例1】斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.（人教版第二册（上）P131例3，教材给出两种解法）

变式：斜率为1的直线经过椭圆x2+4y2=4的右焦点，与椭圆相交于两点A、B，求线段AB的长.

解法一：先将直线方程和椭圆方程联立求A、B坐标，然后利用距离公式求AB的长.

解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题知l的方程为y=x-3.

联立y=x-3，

x2+4y2=4得5x2-83x+8=0.

由弦长公式得|AB|=（x1+x2）2-4x1x2=815.

图1解法三：由椭圆的第二定义知|AB|=AF+BF=e（2a21c-x1-x2）.

解法四：（几何法）由图1知，BB′-AA′1AF+BF=cos45°，

即11e（BF-AF）1AF+BF=cos45°.

又FD1AF=CF-AA′1AF=cos45°，

求得AF、BF，进而AB=AF+BF.

该法是利用几何关系建立方程，此方法也可灵活解决以下题目：

1.（2009年全国卷Ⅱ，11）已知双曲线C：x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为（）.

2.（2010年全国卷Ⅱ，12）已知椭圆C：x21a2+y21b2=1（a>b>0）的离心率为312，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点.若AF=3FB，则k=.

解法五：（点差法）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x0，y0），其在准线上的射影为M′.

x21+4y21=4，（1）

x22+4y22=4.（2）

（1）-（2）得x01y0=-4y1-y21x1-x2=-4.（3）

又M（x0，y0）在直线AB上，则y0=x0-3.（4）

由（3）（4）得x0=4215.

MM′为梯形的中位线，所以MM′=AA′+BB′12，

即（a21c-x0）=11e·AF+BF12=11E·AB12，得解.

二、一题多变

一题多变，对一道数学题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列新的题目，甚至得到更一般的结论.

图2【例2】过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个焦点的纵坐标为y1、y2，求证：y1y2=-p2.（人教材第二册（上）P133第7题）

变式：如图2，设A（x1，y1），B（x2，y2）.求证：

（1）x1x2=p214；

（2）11|AF|+11|BF|=21p；

（3）|AB|=x1+x2+p=2p1sin2θ（θ为直线的倾斜角）；

（4）S△ABO=p212sinθ；

（5）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

（6）（教材第2题）过抛物线的焦点的直线与抛物线相较于、两点，自、向准线作垂线，垂足分别为、，求证.

（7）设线段AB中点M在准线上的射影为N，证明：.

（8）设线段AB中点M在准线上的射影为N，MN交抛物线点Q，证明：MQ=NQ.

（9）（教材第6题）过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求证直线MQ平行于抛物线的称轴.

（10）求证：存在实数使得.

实质：证明A、O、D三点共线.（2001年高考题）设抛物线（）的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点.点在抛物线的准线上，且轴.证明直线经过原点.

2.题设变更变式

（1）一条直线与抛物线交于两点P、Q，经过两点P和抛物线顶点的直线交准线与M点，求且直线MQ平行于抛物线的称轴，求证直线过抛物线焦点.

将此变式与上面的（8）、（9）联系起来，更能体现问题的本质.

（2）（教材例2）如图，直线与抛物线相较于点、，求证.

实质：直线与抛物线相较于点、，且，则直线恒过点.

一题多变篇11

一、“一题多变”, 培养学生思维能力的广阔性

思维能力的广阔性是指思路广阔, 考虑问题周到、精细, 善于全面考察问题, 能从多种多样的联系与关系中认识物理问题, 用多种知识探究问题。习题教学中要选择典型题目, 许多物理题与实际联系密切, 可以实现“一题多变”。在教学中, 可针对一些习题, 要求学生解完后, 思考如何增减条件构造变式, 进而, 引导学生从多角度、多方位观察和思考问题, 在广阔的知识范围内寻找相关联系, 在“一题多变”的习题教学中, 培养学生思维的广阔性。例如, 在评讲中考模拟卷习题“一个人用100N的力, 沿水平方向匀速推着一个重250N的木箱前进, 问木箱受到的摩擦力是多少牛”时, 学生异口同声地回答“100N”。教师紧接着问此题还可以求出什么?有个学生用很小的声音说:“支撑力”。“很好、很聪明”, 教师跟着说。此时又有学生说:“可以求受到几对平衡力。”“还可以求木箱的质量……, 还可以求……”突然, 班里气氛活跃起来。教师顺势说:“好, 下面我们在此题基础上增减条件, 看它能演变出哪些相关的习题。”于是学生开始讨论并依次说出自己的观点, 经归纳, 主要有如下几种:

变式1:求木箱受到的支持力?

变式2:求木箱受到哪几个力的作用?各力的施力物体是谁?有几对平衡力?画出木箱受力的示意图。木箱对地面的压力是多少?木箱的质量是多少?

变式3:若用50N的推力推木箱, 木箱没推动, 原因是什么?若推力继续增大至60N, 木箱能动吗?木箱受到的摩擦力有什么变化?

变式4:假如推力突然增至110N, 摩擦力是多少?木箱的运动状态将会怎样?假如摩擦力突然消失, 木箱运动状态将会怎样?如果摩擦力和推力都突然消失, 木箱的运动状态会怎样?

变式5:若推动木箱在2s内前进了4m, 求推力做的功和功率各是多少?重力做的功是多少?

变式6:在缓慢抬起木箱的一端的过程中, 抬起的力会变化吗?

变式7:若敲击木箱, 能听到声音吗?为什么?听到声音的条件是什么?

变式8:假如在木箱上加一个重物, 木箱对地面的压强和摩擦力将如何变化?

变式9:若把木箱放入水中, 它会下沉吗?为什么?它受到的浮力是多少?

变式10:为了检查木箱的一边是否平直, 可以闭住一只眼睛, 用另一只眼睛沿着这条边看去, 这利用了什么物理知识?

变式11:若木头的热值是Q木=1.2×107J/kg, 取木箱质量的10%完全燃烧, 所放出热量的40%被水吸收, 可以使温度为10℃、质量为300kg的水温度升高多少?

在活跃的讨论中, 学生就这一题演变出十几个问题, 涉及物理的多个方面。下课铃响了, 学生余兴未尽, 有的学生在课后还把其他的新方案拿来请教师点评。就此一题, 不仅在课堂上充分调动了学生思维的积极性, 而且通过启发、引导学生由一道题演变出包含声、光、热、力、能、简单机械等现象的多种习题。由此可见, “一题多变”既加深了学生对概念的理解, 使知识结构的建立更加合理有序、彼此关联, 融会贯通, 又让学生体验到了学习物理的乐趣, 培养了学生思维能力的广阔性。

二、“一题多变”培养学生思维能力的深刻性

思维的深刻性是指思维反映事物本质和规律的能力, 是思维的抽象强度、逻辑水平和思维活动的深度。思维的深刻性集中表现在善于透过表面现象发现问题的本质, 即善于用概念、规律去揭示问题的本质特征, 预计事物的发展进程, 并能迁移运用。思维的深刻性集中体现出思维的概括特点。中学生常说, 物理难学, 原因之一也就在于物理概念、规律的概括性强。培根说过:“物理学使人深刻。”可见, 物理思维对深刻性具有独特的要求。要培养学生思维的深刻性, 在习题教学中就要善于挖掘题目的潜在功能, 恰当地对题目进行延伸、演变和拓展, 通过“一题多变”使学生的思维处于积极的最佳状态, 以激起思维火花, 推进思维活动, 不断引导学生透过现象把握因果关系, 摒弃问题的非本质特征, 使之深入思考问题, 对问题的本质属性有更深刻的理解, 从而培养思维的深刻性。例如前面提到的例子, 通过对题目做微小的改动, 使之成为另一道题, 既达到了检查不同内容的目的, 又使学生形成了具有广泛联系的知识体系, 起到举一反三, 触类旁通的功效。

三、“一题多变”, 培养学生思维能力的敏捷性

思维能力的敏捷性是指思维反应速度的快慢, 它表现在能迅速地发现问题和解决问题。在思维的速度和效率上不是循序渐进, 而是保持较大的思维跨度, 以最快的速度攻克未知。它还表现在善于抓住时机, 加快对信息的吸收、筛选和运用。物理中有些问题可以统一为一个简单的模型。鉴于此, 在习题教学中通过题目条件变换、结论变换或情景变换在大脑中形成合理的“知识组块”, 实现多题归一, 不但能迅速地解决一些物理问题, 提高解题速度, 而且能培养学生思维的敏捷性。例如, 有一个阻值看不清的电阻器R1, 给你一个电池组, 一个电流表, 一个阻值已知的电阻器R2和若干导线, 请测出R1的阻值, 并说明你的办法及理由?初中阶段此题变式很多, 如电流表变为电压表后如何测?电池组电压给出后如何测?阻值已知的电阻器R2变为最大阻值已知的滑动变阻器或电阻箱又如何测?通过条件变换, 得到不同题目;通过教学中的引导、点拨、归纳, 使学生很快掌握伏安法测电阻或测电功率这类题目的解法。“一题多变”的教学方法, 提高了学生解决一类题目的解题速度, 有效地培养了学生思维能力的敏捷性。

四、“一题多变”, 培养学生思维能力的灵活性

思维能力的灵活性是指善于根据事物发展变化的具体情况, 审时度势, 随机应变, 及时调整思路, 找出符合实际的解决问题的最佳方案。在遇到难题, 能多角度思考, 即善于发散思维, 又善于集中思维, 一旦发现按某一常规思路不能快速达到目的, 就要立即调整思维角度, 探索新路, 以期加速思维过程。例如, 把灯L1“220V40W”与L2“220V100W”串联接在380V的电源上, 问哪盏灯将被烧坏?试计算说明。大部分学生拿到题目后, 不知所措, 教师可以引导学生变换成不同条件的题目, 得到如下几个变式; (1) L1“220V40W”与L2“220V100W”两灯的电阻和正常工作电流各是多少? (2) 两灯串联接在380V的电路中, 求总电阻和通过两灯的电流各是多少?哪盏灯将被烧坏?由此使学生认识到实际电流大于正常工作电流或实际电压大于额定电压时, 用电器将被烧坏。通过以上变式可使学生知道例子实际是求L1、L2的实际电流或实际电压进行比较, 能否合理地转化或变更问题而探索新路是衡量思维灵活性的重要标志。培养思维能力的灵活性, 就是要使学生思维始终处于那种对题目本质的不断探索之中。

五、“一题多变”, 培养学生思维能力的批判性

思维能力的批判性是指思考问题时不受别人暗示的影响, 能严格而客观地评价和检查思维的结果, 冷静地分析结果的利弊是非。在物理习题教学中, 教师要积极地培养学生善于鉴别问题的可能性, 注意引导学生不拘一格的活跃思路, 鼓励他们对问题进行独立推测、猜想, 认真辨析, 审阅题目所给条件, 去伪存真, 培养其思维的批判性。例如在第一个例子的变式11中, 学生的变式是“若木头的热值是Q木=1.2×107J/kg, 让木箱完全燃烧, 所放出热量被水吸收, 可以使温度为10℃、质量为30kg的水升温多少?”经过计算发现水的温差超过了100℃, 所以经过讨论验证改成上面的变式11。在“一题多变”的习题教学中, 让学生自己找到错误原因, “吃一堑, 长一智”, 注意在审题时做到去伪存真, 从而培养学生思维能力的批判性。

六、“一题多变”培养学生思维能力的独创性

思维能力的独创性是指思维的创新程度。所谓独创思维一般带有新颖、独特的特点, 不是人云亦云, 按图索骥或墨守成规, 而是突破常规、不受经验的束缚, 从前所未有的新角度、新观点去认识事物, 提出非同寻常的新见解, 这是思维独创性品质的本质内容。在“一题多变”的教学中通过对题目增减条件, 已经给学生思维的广度打开了一扇窗, “多而新, 独而异”的变式, 有利于培养学生“求多、求新、求异”的思维独创性。在“一题多变”的教学中, 教师更应鼓励学生不因循守旧, 不因袭前人, 敢于突破相关知识的局限, 敢于提出别人未曾想过的方案、问题、方法, 鼓励学生结合其他领域的问题, 如物理问题与化学问题结合等, 创造性地提出新的问题, 一方面检测学生对知识的掌握程度, 以期改进今后的学习;另一方面培养思维能力的独创性。

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