自由变形（通用4篇）
自由变形 篇1
0前言
钢结构杆件在满足强度、刚度、稳定性要求的前提下, 如能选择最佳截面来减少钢材损耗量、降低造价, 将带来良好的经济效益和社会效益。而薄壁结构杆件恰好具有重量轻、强度大、能充分利用材料的特点, 所以各发达国家先后制定了关于薄壁结构的设计规范, 我国也于1969年颁布了《弯曲薄壁型钢结构技术规范 (草案) 》, 1975年又颁布了TJ18-75《薄壁型钢结构技术规范》, 1987年颁布了GBJ18-87《冷弯薄壁型钢结构技术规范》和2002年颁布的GB5008-2002《冷弯薄壁型钢结构技术规范》共计4个版本。国家体育场“鸟巢”主结构和次结构均采用焊接扭曲薄壁箱型截面, 对此我国专家首次在国内外提出复杂扭曲薄壁箱型构件的设计理论与工程构型方法, 可见薄壁杆件应用前景广阔。
扭转是工程中较为常见的一种现象, 对薄壁截面扭转性能的研究是在试验和理论分析的基础上发展起来的。无论是开口截面还是闭合截面, 根据支撑情况和加载方式的不同, 扭转分为两类:自由扭转 (轴向位移是自由的) 和约束扭转 (轴向位移受到约束) 。针对薄壁杆件自由扭转问题, 鲁汉银、郭建华[1]已经做出了相关研究, 本文与其不同之处在于: (1) 鲁汉银等的研究仅限于三种闭合截面薄壁杆件, 而本文增加了两种开口截面薄壁杆件工字型截面杆[2,3,4,5]和T形截面杆的研究, 五种薄壁杆件自由扭转性能形成更鲜明对比; (2) 鲁汉银等的文章从抗扭承载力方面研究薄壁截面杆件的扭转性能, 而本文从扭转变形能力方面进行研究, 通过变形能力可以使薄壁截面杆件的扭转性能对比更有说服力。
1 基本假定
在薄壁杆件中, 郝际平、钟炜辉[6]和孙训方、方孝淑、关来泰[7]将平分截面壁厚的曲面称为薄壁杆件的中面。中面与杆件截面的交线称为轮廓线或中线, 中线或轮廓线描述了横截面的形状, 分析时常用中线表示截面。为了便于本文的研究计算, 现作如下假定。
1) 为保证材料用量相同, 本文五种薄壁截面杆件均为等直杆, 其中线长度均为s, 杆件的截面面积为sδ。
2) 本文所分析的薄壁杆件采用统一壁厚δ。
3) 在杆件截面上作用有大小方向相同的扭矩T。
2 研究所用公式
根据郝际平、钟炜辉和孙训方、方孝淑、关来泰[7]用到的自由扭转公式如下:
闭口薄壁截面等直杆单位长度扭转角:
开口薄壁截面等直杆单位长度扭转角:
基于以上假设, δmax=δmin=δ, 其中A为闭口薄壁截面中线所围面积。
3 薄壁杆件扭转
3.1 圆形截面薄壁杆件 (见图1)
圆的周长公式c=2πr=s得出
将公式 (3) 带入公式 (1) 得圆形薄壁截面杆单位长度扭转角:
3.2 箱形薄壁截面杆 (见图2)
将公式 (5) 带入公式 (1) 得箱形薄壁截面杆单位长度扭转角:
设函数, 对该函数求导:
故f (x) 在 (0, 1) 单调递减, 在 (1+∞) 单调递增, f (1) =8为函数最小值。
通过分析得出以下结论:
1) 当x=1时箱型薄壁截面的高宽比相等, 即为方形截面。由f (1) =8可知方形薄壁截面杆件单位长度扭转角, 即截面积相等的方形薄壁截面杆件比圆形薄壁截面杆的扭转变形能力差。
2) 因f (1) =8为函数最小值, x>1函数单调递增, 所以f (x) >f (1) , 即截面积相等时高宽比不同的矩形薄壁截面比方形薄壁截面扭转变形能力差。
3.3 三角形薄壁截面杆 (见图3)
将公式 (7) 带入公式 (1) 得三角形薄壁截面杆单位长度扭转角:
设函数, 对该函数求导:
故g (x) 在单调递减, 在单调递增, 为函数最小值。
通过分析得出以下结论。
1) 当时截面为等边三角形, 则等边三角形薄壁截面杆件单位长度扭转角, 即截面积相等的三角形薄壁截面杆件扭转变形能力比方形薄壁截面杆差。
2) 因为函数最小值, 函数单调递增, 所以, 即随三角形截面薄壁杆件高宽比增大其扭转变形能力降低。
3) g (x) 部分散列值见表1。
表1g (x) 部分散列值
由散列值, 所以在附近降低或增加高宽比对切应力影响不大, 故三角形薄壁截面杆高宽比建议值为。
3.4 工字形截面薄壁杆件 (见图4)
其自由扭转惯性矩为:
将公式 (9) 带入公式 (2) 得工字型薄壁截面杆单位长度扭转角:
3.5 T形截面薄壁杆件 (见图5)
其自由扭转惯性矩为:
将公式 (11) 带入公式 (2) 得的工字型薄壁截面杆单位长度扭转角:
4 闭合薄壁截面杆与开口薄壁截面杆的自由扭转变形能力比较
以三角形截面与双轴对称工字型截面为比较对象比较:
由前面的分析结合散列值表得出:
进而可以分析, 由得到:
另外, 薄壁杆件要求s/b≥10, s/h≥10以及b/δ≥10, h/δ≥10, 进而近似推出:
将式 (14) 、 (15) 带入 (13) 近似得到
故相同材料用量下开口截面薄壁杆件比闭口截面薄壁杆件抵抗自由扭转变形能力要差很多。
5 结论
1) 相同材料用量下自由扭转变形能力由强到弱依次为圆形、箱形、三角形、工字形、T形。
2) 考虑自由扭转抵抗变形的能力, 三角形薄壁截面的高宽比建议为。
3) 约束和加载方式的不同会导致薄壁杆件截面内力形式不一样, 所以对于具体受弯或受扭时采用何种截面形式不能一概而论, 甚至同一结构体系根据截面内力形式的不同在不同部位采用不同的截面形式。[ID:003522]
摘要：近些年建筑行业对薄壁杆件的应用在迅猛增加, 冷弯形成的各种杆件以及焊接、热轧薄壁杆件在钢结构中比比皆是。本文进行对比研究相同材料用量下工字形、T形开口薄壁截面杆和圆形、箱型、三角形闭口薄壁截面杆在自由扭转时的变形能力, 分析了相同材料用量下工字形、箱形和三角形薄壁截面杆高宽比对截面扭转变形能力的影响。
关键词：薄壁截面杆件,自由扭转,扭转变形能力,高宽比
参考文献
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[7]孙训方, 方孝淑, 关来泰.材料力学 (Ⅰ) [M].北京:高等教育出版社, 2001.
自由变形 篇2
在几何造型领域,非均匀有理B样条(NURBS)的出现为自由形状的数学描述提供了近乎完美的方法。但由于伴随它的形状修改技术(改变权因子或控制顶点)是有限的,因此在产生复杂的形状时,人们不得不借助于其他高级形状修改技术——自由变形。迄今为止,有关自由变形方法的研究已经取得了相当的成就,各种不同的变形技术已在实践中发挥着作用。然而寻求新的、有效而直观的变形方法仍然是计算机图形学中日益重要的研究领域。
事实上,几何变形体的变形本质是其所在空间自身到自身的一个映射,通过该映射改变变形体的几何形状、光顺程度等,以满足人们的设计需要。整体与局部的变形方法[1]是第一个进入CAD领域的变形造型技术。该方法及其推广[2]能够进行常规变形(如弯曲、扭曲、尖角等),但要产生任意形状是很难的。自由变形(FFD)方法[3]克服了上述缺点,被广泛用于几何造型、计算机动画、科学数据可视化等领域[4],但其变形控制不灵活,变形难以精确地达到预期效果。继承FFD思想的轴变形(AXDF)方法[5]、曲面控制变形方法[6]等,不同程度地改进了FFD方法,增强了控制灵活性。总体来说,这些方法在预定或调节变形的范围、控制变形的方向和变形的幅度、确保变形区域边界处的连续性等方面尚不够理想。文献[7,8,9,10,11]提出了基于伸缩因子的参数曲线曲面自由变形方法,利用伸缩因子作用于待变形曲线曲面方程,直接对待变形对象施行映射,产生变形效果。该方法在确定变形范围、变形边界处的光滑指数,以及调节变形方向和变形幅度等方面有较好的效果,但构造的伸缩因子主要基于幂函数类和余弦函数类等超越函数,变形后的曲线曲面均为超越曲线曲面,需利用逼近方法进行转换;另外,因伸缩因子都只能在单点达到峰值,且变形区域为圆域,故对参数曲面的自由控制变形有着较大的限制。为减少限制,不少科研工作者对该方法做了进一步的研究,取得了一些成果[12,13,14]。
在文献[7,8,9,10,11]研究的基础上,本文提出了一种新的基于多项式的伸缩因子,该伸缩因子包含了已有伸缩因子的优点,在区域上能达到峰值,且可用分段多项式形式表示,变形操作对Bézier曲面和NURBS曲面具有封闭性,能将变形区域由圆域推广至四边域,使曲面变形的效果更加丰富。
1 基本伸缩因子的定义及性质
定义1 设n为正整数,对于R2中的以(u0,v0)为中心的圆形区域存在:
U1=((u,v)|(u-u0)2+(v-v0)2≤r21)
U2=((u,v)|(u-u0)2+(v-v0)2≤r22)
令
式中,f(u,v)为R2上的基本伸缩函数;n为光滑指数。
设闭区域U1、U2对应的边界曲线为C1、C2,其中,U2为支撑区域,U1为峰值区域,则基本伸缩函数f(u,v)具有如下性质:
(1)当0≤f(u,v)≤1,且(u,v)∈U1时,f(u,v)=1;当(u,v)∉U2时,f(u,v)=0。如图1所示。
(2)区间峰值性:在U1上,f(u,v)取最大值1;在(u,v)∉U2上,f(u,v)取最小值0。特别当r1=0时,f(u,v)具有单峰性。如图2所示。
定义2 令E(u,v)=E(u,v,u0,v0,r1,r2,n,h)=1+hf(u,v),则称E(u,v)为R2上带参数n、h的多项式伸缩因子(h为伸缩参数)。支撑区域U2的边界和峰值区域U1的边界分别为
C2=((u,v)|(u-u0)2+(v-v0)2=r22)
C1=((u,v)|(u-u0)2+(v-v0)2=r21)
伸缩因子E(u,v)具有如下性质:
(1)E(u,v)|C2=1。
(2)区域峰值性:在U1上,E(u,v)取最大值,特别当r1=0时,E(u,v)具有单峰性。
2 空间参数曲面的变形与控制
2.1以任意点O′为中心的变形
设p(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))T为定义在参数(u,v)平面R2中区域U上的Cr类曲面(r≥1),Eij(u,v)=E(u,v,u0,v0,r1,r2,n,hij)(i,j=1,2,3),为具有相同支撑区域和光滑指数的伸缩因子,光滑指数n≤r+1,U1⊂U2⊆U,中心O′(u0,v0)=(x(u0,v0),y(u0,v0), z(u0,v0))T,令
为支撑区域U2上的伸缩矩阵,则变形后的曲面pd(u,v)与变形前的曲面p(u,v)可表示为
pd(u,v)=T(p(u,v)-O′)+O′ (u,v)∈U (1)
2.2变形的几何意义
令T=(dij)3×3,e1、e2、e3为线性无关的单位向量,记p(u,v)-O′=p1e1+p2e2+p3e3,则式(1)可表示为
由此可看出式(1)所定义的变形几何含义是:在支撑区间内,在原曲面上的每一点p(u,v)处,对向量p(u,v)-O′在仿射坐标系[O′,e1,e2,e3]下的坐标(p1,p2,p3)T作仿射变换,变换矩阵就是伸缩矩阵T。
此外,如果作线性变换
即为分段2n次多项式,运用Bernstein基可与幂基相互变换的原理[15],可进一步验证变形操作对Bézier曲面和NURBS曲面均具有封闭性。
2.3变形的交互控制方法
在变形过程中,通过调控变形中心、支撑区域、峰值区域、光滑指数和伸缩参数,可以灵活地控制变形曲面的形状:
(1)改变O′,可以控制曲面的相对变形中心。
(2)改变r1、r2,可以控制曲面的支撑区域和峰值区域。
(3)改变光滑指数n,可以控制变形曲面在边界C1、C2处的光滑性。
(4)改变伸缩参数hij(i,j=1,2,3),可以控制曲面的伸缩方向和调整各方向的伸缩幅度:①取h11=h≠0,hij=0(i,j=1,2,3,且i、j不同时为1),即T=diag(E,1,1),可以控制曲面沿X轴的凹凸变形;②改变h11的符号,可以控制曲面沿X轴正向或负向变形;改变|h11|的大小,可以控制曲面沿X轴变形的幅度;③改变h12、h13的大小,可以得到曲面沿X轴的剪切效果;类似地,可以控制曲面在Y轴、Z轴方向上的变形效果。
实际应用时,可同时改变各控制参数,以达到理想的变形效果。还可以结合坐标系变换,以改变伸缩变形的主方向,从而得到更加丰富的变形效果。
3 四边域上的空间参数曲面自由变形
若令定义1中的t=max(|u-u0|,|v-v0|),则变形区域将变为R2中的以(u0,v0)为中心的正四边行区域,即
D1=((u,v)|u0-r1≤u≤
u0+r1,v0-r1≤v≤v0+r1)
D2=((u,v)|u0-r2≤u≤
u0+r2,v0-r2≤v≤v0+r2)
式中,D2为支撑区域;D1为峰值区域。
可以类似地定义正四边域上的伸缩函数f(u,v)和伸缩因子E(u,v),它们与圆域上的伸缩函数和伸缩因子有相似的性质,如图3、图4所示。
对于更一般的矩形变形区域,伸缩函数的定义如下:
定义3 设n为正整数,0≤a1<a2,0≤b1<b2(当a1=0时,b1=0;当a1≠0时,b1/a1=b2/a2),对于R2中的以(u0,v0)为中心的矩形区域:
D*1=((u,v)|u0-a1≤u≤
u0+a1,v0-b1≤v≤v0+b1)
D*2=((u,v)|u0-a2≤u≤
u0+a2,v0-b2≤v≤v0+b2)
令
式中,f*(u,v)为R2上的伸缩函数。
设h为任意实数,令E*(u,v)=1+hf*(u,v),则称E*(u,v)为R2上带参数n、h的多项式伸缩因子。其中D*2为支撑区域,D*1为峰值区域。
四边域上的伸缩函数f*(u,v)和伸缩因子E*(u,v)与圆域上的伸缩函数和伸缩因子有相似性质。其变形模型以及变形控制方法均与圆域上的变形模型以及变形控制方法相类似。
4 应用实例
以抛物面p(u,v)=(u,v,(2-u2-v2)/8+2)T(图5)为例,分别演示本文方法的实际效果及变形控制参数改变时引起的变形结果的改变。
圆域上的自由变形效果如图6～图10所示。其中相同的参数为O′=(0,0,2.25),n=4;不同的参数如表1所示。
四边域上的自由变形类似于圆域的效果,图11所示为h33=1时,沿Z轴上凸的区域峰值,图中,O′(0,0),a1=0.9,b1=0.6,a2=2.4, b2=1.6, n=2,h33=1;图12所示为h33=-0.4时,沿Z轴下凸的单峰值,图中,a1=b1=0,h33=-0.4;图13、图14所示分别为复合变形和叠加变形的效果。
图6～图14效果显示,不仅可以在单点或区域达到峰值,还可以改变变形区域形状,以及在同一或互不相交的支区间上进行复合变形。通过调控各参数,可以灵活地控制变形曲面的形状,得到丰富的变形效果。
5 结论
本文提出的基于多项式的伸缩因子包含了文献[7,8,9,10,11]所引入的伸缩因子的性质:能精确控制变形范围;变形模型简单、易于操作;控制参数具有明显几何意义,变形效果丰富;对一般参数曲面均适用,具有普遍性。与现有方法比较,本文方法具有以下优点:
(1)不仅能在单点上达到峰值,而且可以在区域上达到峰值。
(2)变形区域和峰值区域可以是圆域也可以是四边域。
(3)伸缩因子可表示为分段多项式形式,变形操作对Bézier曲面和NURBS曲面具有封闭性。
为使变形效果更加丰富,变形方法更加实用,下一步研究的方向是:
(1)研究的变形区域将突破简单的圆域和四边域,目标是在曲面上任意画一条闭曲线,变形能严格以此为界,且变形曲面在该曲线上光滑圆润。
(2)本文只利用几何变换矩阵研究了基于伸缩因子的伸缩变换,今后将结合几何变换的平移、旋转功能,进一步研究曲线曲面的平移变形和旋转变形。
(3)在本文讨论的曲面简单变形的基础上,利用提出的基于多项式的伸缩因子进一步研究曲面的周期变形。
(4)将本文方法拓展至网格,结合曲面拟合等方法,进一步研究网格曲面的编辑与变形。
自由变形 篇3
1地表变形对铁塔的损害机理
1. 1地表下沉对高压输电铁塔的影响
地下开采导致的地表下沉会引起输电铁塔基础的下沉,实测表明,基础下沉量与该处的地表下沉量基本一致,特别是在高潜水位矿区,地表下沉将导致地下潜水位相对上升。当地表下沉致使地面潜水位接近或高于铁塔基础底面时,基础土被水浸泡软化和低气温情况下的冻胀现象都将严重威胁铁塔基础的稳定性。铁塔基础底面的不均匀沉降将导致铁塔上层部分内部产生附加应力,当铁塔构件的内力在附加应力的作用下超过材料的许用应力时,将导致铁塔结构的破坏,引发安全事故。根据电力部门的实践经验,对于根开在4 ~ 7 m的自立式直线塔的不均匀沉降量必须控制在12. 7 ~ 25. 4 mm之间才能保证其自身的稳定性［4］。
1. 2地表倾斜对高压线塔的影响
输电铁塔基础底面积小,高度大,属于杆状构筑物,对倾斜变形敏感。地表倾斜通过地基与高压铁塔基础之间的相互作用传递到铁塔,铁塔倾斜导致倾覆力矩的增加以及档距、高差变化,改变了输电线路的运行工况,从而产生诸如绝缘子串倾斜、横担变形、导线弧垂超标等安全问题。地表倾斜对输电线路影响较复杂,影响的对象包括铁塔及其基础、绝缘子串、线路档距等,主要体现在: 1对输电铁塔及基础的影响; 2对档距、弧垂和悬垂串的影响; 3对近地距离的影响。
1. 3地表水平变形对高压线塔的影响
地表水平变形通过铁塔基础的底面和侧面,使塔基受到附加的拉伸或压缩应力作用。地表水平变形,尤其是拉伸变形,对塔基的破坏作用很大。塔基抵抗拉伸能力远小于抵抗压缩的能力,所以较小的地表拉伸变形可能使塔基产生开裂性裂缝。
1. 4地表曲率对塔基的影响
地表曲率变形表示地表的倾斜程度,由于出现了曲率变形,地表形状将由原来平面变成曲面。在正负曲率作用下,各有两种情况,一种是塔基全部切入地基,另一种是塔基部分切入地基。塔基在受到正负曲率影响下,将按地基反力重新分布,改变了铁塔各部分原有的应力平衡状态。地表曲率的影响将使塔基受到附加的弯矩和剪力作用。一般情况下, 地表的拉伸变形和正曲率变形同时出现,地表的压缩变形和负曲率变形也同时出现。
通过上述分析可以看出,对输电线路有明显影响的变形指标是下沉、倾斜和水平移动。下沉、水平移动以及倾斜变形通过地基与高压线塔基础的相互作用后改变了高压线塔的空间位置,进而引起诸如档距、悬垂串偏斜、弧垂等运行参数超标［5］。其具体影响过程见图2。
2实验装置设计及几何建模
2. 1实验装置模型要求
为了完成对基础变形的模拟,实验装置需要满足以下几点要求:
1) 能对实验室状态下的四个塔脚点X、Y、Z三个方向位移调节;
2) 四个塔脚点的位移调节保证互不干涉,且每个塔脚点的位移调节也应互不干涉;
3) 根据实验条件下有足够的调节空间,即X、 Y、Z三个方向的位移调节量需满足实验条件;
4) 装置在实验过程中必须能够实现自锁,即在某一可调范围内的空间位置,每个塔脚点都能自锁并保证自由度为0;
5) 保证足够的机械强度、刚度,要保证装置在施加荷载过程中不被破坏,并且避免因装置自身变形导致的误差,装置调节过程中应每个方向应施加不小于10 000 k N的力。
2. 2装置模型选取及依据
目前,关于基础变形对铁塔影响以理论研究为主,或对发生基础变形区域的铁塔收集数据进行分析,涉及单独实验的很少［6］。本次设计需依据试验要求对装置选取合适的模型,目前能调节三个方向位移的机械结构主要有导轨式结构( 如图3) 和机器人中应用的多自由度结构( 如图4) 。
对比两种结构,前者结构简单易于调节,但此装置的承力性能较差,图4所示的结构虽然较复杂,但是结构稳定、承力功能和刚度较好,能满足实验要求。由于其具有六个自由度的调节功能,且控制系统复杂,因此本实验选择了功能类似,结构相对简单的装置,如图5。
2. 3少自由度并联机构介绍
所谓并联机构,即有多个自由度且驱动器分配在不同环路上的闭式多环机构。并联机构具有刚度大、承载力强、位置精度高、响应快等优点,应用前景十分广阔。
少自由度并联机构新构型有着不同的理论方法,现采用的是利用螺旋理论来分析新型少自由度并联机构,即利用力螺旋与运动螺旋的对偶关系,以及运动与约束、运动螺旋与反螺旋的对应关系,建立复杂少自由度并联机器人机构类型的综合数学模型［7］。可以通过计算机仿真验证其运动特性及控制方式。
3运动特性仿真及控制仿真
3. 1机械系统动态仿真步骤
机械系统的仿真一般步骤如图6。
如图7所示,应用Adams建立模型并给装置添加驱动,在静平台转轴处添加转动驱动,将步长设置为5 000,进行模拟可以观察动平台运动效果,进而观察每个构件的运动速度,角速度,加速度及位移。 图8是上述模拟过程中动平台在X、Y、Z三个方向的位移随时间变化情况。
为了验证其运动特性,需要观察运动过程中动平台的角速度,如图9。在图中可看出动平台的角度在10－ 9数量级,可以忽略不计。
由模拟得出的位移及速度变化图可以得出以下结论:
1) 该装置具有三个方向的移动自由度,在模拟过程中角速度几乎为零,不具有转动自由度;
2) X、Y两个方向的移动具有很好的一次性,即可以通过两个转动副的协调驱动实现其沿X或Y的单向运动;
3) 此装置动平台在Z方向有位移,随时间变化呈非线性,但位移量很小,可以忽略。
3. 2可行性分析
由上述模拟结果可以看出此装置在动平台单转动副驱动下的运动特性: X、Y方向呈线性变化,Z方向的位移量很小,可以忽略。所以通过转动副驱动只能实现X、Y的方向的移动控制,且实现单向运动时有如下困难:
1) 协调性问题不易解决,单向运动需要两个转轴按一定速率比运动;
2) 动力不易添加,由于此装置在改变位移时需要很大的力,所以转动副处的需要的转矩非常大,所以能控制转动速度的动力很难添加;
3) 自锁问题不易解决,装置改变塔脚点位移后需要通过自锁机构锁定动平台位置,一般机械机构中转动自锁靠涡轮蜗杆来实现,但这种机构会与动力添加产生矛盾;
4) 构件强度问题,由于转动副处转矩非常大, 所选材料尺寸会很大,从而影响整个机构空间尺寸及布置方式。
综上所述,此装置在转动副上加不能完成对踏脚点的Z方向位移调节,且对X、Y方向的调节不易控制,所以需要改变驱动方式。
3. 3驱动方式的选择及控制实现
由上节结论可知,需通过改变驱动方式来实现其调节功能。另外两个运动副分别为圆柱副和移动副,而在圆柱副处添加驱动不能解决Z方向行程不足的问题,所以选择在移动副处添加驱动。为了使控制方便精准,驱动构件选择液压缸。这种控制方式有如下优点:
1) 解决了Z方向行程不足的问题,Z方向的行程可通过三个液压缸的同步伸缩完成;
2) 系统受力状况好,装置的动平台由液压缸控制,主要控制力为液压缸的轴向力;
3) 提高了装置刚度,刚度主要由连接件的轴向变形决定［7］,改为液压缸后就能通过液压缸的伸缩弥补由轴力引起的微小变形;
4) 控制精度高,液压缸具有较高的控制精度, 能减小由装置引起的误差。
这种驱动方式需解决如何控制上平台按设定方向及位移移动的问题。目前解决这种问题的主要方法有正解法和反解法,而这两种方法在计算上都比较复杂,上海交大提出了一种基于虚拟仿真技术的实时仿真控制［8］。这种控制方法基本思想是通过仿真让动平台运动到预定位置,反解出液压缸的运动曲线后,将此运动曲线作为控制器的输入数据完成对平台的实时控制。现采用上述方法。控制图如图10。
下面模拟两种工作状况,并得出运动曲线及液压缸的长度变化曲线。工况一: 给上平台加两个方向的位移驱动,X方向给定速度20 mm/s,Z方向速度20 mm/s,运动时间为1 s,步数1 000。如图11。
图11是动平台位移曲线。
图12是三个连接件的长度变化。
由工况一的运动曲线可以得出以下结论:
1) 该平台能实现预定位移单双向运动( 单向平动已在装置运动特性中说明过) ,且不产生干涉( 模拟中Y方向没有位移) ;
2) 可以通过仿真模拟得出运动过程中三个连接杆的长度,且有较高精度。该装置在实际工作过程中还可能有三向位移调节需求。
工况二将模拟该装置三向运动特性并验证其控制方法。工况二给上平台加三个方向的位移驱动, X、Y、Z三个方向都给同样的速度20 mm / s,运动时间为1 s,步数1 000。如图13。
图14是连接杆长度变化。
由上面的运动曲线可知该装置可以实现预定三向位移的调节功能,所得运动曲线符合要求,且三个方向位移互不干涉。测得杆长变化精准,可以实现其控制功能。
综上所述,改变该装置的驱动方式后,能够达到实验对装置的需求,同时也能通过基于虚拟仿真的实时控制方法解决其控制难题。
4结论
设计了基础变形实验模拟装置,主要工作如下。
1) 选取了机器人中的少自由度并联机构作为装置模型,该机构具有刚度大,精度高结构紧凑等优点,是实验装置的理想模型。
2) 建立了装置的三维模型,并通过计算机软件实现了其运动特性的模拟,证明了适用性。
3) 选择了合适的驱动方式使装置满足了实验的行程需求,并利用仿真模拟解决了装置的控制问题。
4) 根据装置的使用条件,对装置进行了机械结构设计,并对装置进行了强度校验。
自由变形 篇4
大变形自由表面流( 如气液二相流) 数值计算的关键之一是精确模拟水面的运动形状和移动位置。目前关于自由表面流计算方法的研究成果很多,根据求解Navier-Stokes流体运动方程时采用的离散坐标系和对自由表面追踪方法的不同,大致可以分为基于欧拉坐标的有网格法和基于拉格朗日坐标的无网格粒子法两种。粒子法( MPS法,SPH法)[1]的优点是在求解自由表面流的过程中,不需要引入特殊的自由表面跟踪方法; 同时流体运动方程中不包含对流项,可以降低计算过程中的数值扩散。但是,现有的粒子法计算模型存在较大的压力数值震荡,难以用于实际工程问题。有网格法对自由表面运动的计算方法,主要包括: 直接追踪自由表面轨迹的界面追迹法( 如ALE,arbitrary Lagrangian Eulerian) 法[2,3]、BFC ( boundary-fitted coordinate )法[4]) ,以及通过间接引入自由表面轨迹追踪模型的界面捕捉法( 如MAC,marker and cell) 法[5]、VOF法[6,7],和Level-set法[8]。由于有网格法大都基于Euler坐标,在对流体运动方程中对流项的离散求解中会引入较大的数值扩散,使得欧拉网格法在模拟大变形自由表面流,特别是包括流体表面破碎的复杂物理现象时,求解精度的降低。因此,对自由表面形状的追踪是网格法的难点。
近年,T. Yabe[9,10]等提出了适用于双曲型方程的具有高阶精度的差分方法———CIP法( cubic interpolated pseudo-particle scheme / constrained interpolation profile scheme) 。该方法通过利用单个网格中的节点变量及其一阶导数,建立3 次多项式形式的插值函数,进而提高了网格内部的差值精度,可以有效地降低双曲型方程离散求解中的数值扩散。因此,在流体、机械、电磁以及弹性力学等领域的数值解析中得到了广泛的应用。此外,VOF法及肖锋等基于VOF法拓展得出的THINK法[11]等自由表面追踪方法,本质上是采用流体占有率函数或者流体密度函数间接地描述自由面运动,其控制方程均为对流方程( 双曲型方程) 。因此,在对大变形自由表面流问题的模拟中,CIP法不仅能抑制流体运动中对流项求解时的数值扩散,而且能够较为准确地模拟复杂的自由表面运动,可以大大提高对波浪破碎等强非线性自由表面流问题的计算精度。
为探索能够精确模拟大变形自由表面流( 如波浪破碎) 问题的数值计算方法,本文采用CIP法建立了自由表面流数值计算模型; 并将其用于干床面和湿床面上溃坝溢流问题的数值模拟。对溃坝溢流问题的数值计算采用了与L. Lobovsk'y和Janosi的物理模型实验相同的条件; 并将数值计算结果与物理模型试验进行了对比分析。所建立的数值计算模型在对溢流形态、波前水柱位置变化以及压力场变化等均与实验结果有较好的吻合。表明CIP法在对波浪破碎等大自由表面问题的模拟中具有较好的应用前景。
1 数值计算模型
1. 1 流体运动控制方程
假定流场内流体为不可压黏性流体,建立了用于模拟自由表面流运动的垂向二维数值计算模型,描述流体运动的Navier-Stokes方程为:
连续性方程:
动量方程:
式中u为速度矢量,t为时间,p为压力,ν 为流体黏滞系数,ρ 为流体密度,g为重力加速度,!为拉普拉斯算子。
1. 2 自由表面运动控制方程
通过引入流体占有率函数f ,对流体自由表面进行追踪,其控制方程为:
式( 3) 中,u为速度矢量,t为时间,f为描述自由表面位置的流体占有率函数,!为拉普拉斯算子。
1. 3 边界条件
图1 为本文建立的数值水槽示意图。如图1 所示,AB,AC,BD,CD为无滑移固壁边界。EF为自由表面边界,由流体占有率函数f判定。f = 0 是为空气,f = 1 时为液体,0 < f < 1 时为自由表面。在自由表面处流体密度和黏度可通过流体占有率函数求得:
式中,ρl,ρg分别为液体与气体的密度,νl,νg分别为液体与气体的黏度。
基于式( 1) 至式( 5) ,在给定的初始条件和边界条件下,即可对气液二相流问题进行求解。
2 数值计算方法
2. 1 CIP法简介
CIP法是T. Yabe等提出的适用于双曲型方程的具有高阶精度的差分方法。在对函数S的控制方程进行离散求解时,该方法同时采用函数S以及描述其曲线变化趋势的一阶导数S'的网格节点值,建立对函数S的3 次多项式形式的插值函数,进而对其控制方程中的对流项进行离散求解。因此,CIP法不仅具有高阶的局部插值精度,而且可以有效地降低由对流项离散求解带来的的数值耗散。
以函数S的一维对流方程式( 6) 为例:
对式( 6) 求导可以得到:
式( 7) 亦为对流方程。可见,CIP法具有同时对函数S及其一阶导数S' 的网格节点值进行对流计算的特点。
如图2( a) 所示,假定在tn时刻,函数S及其一阶导数S' 在网格节点i( 图中C点) 和iup( iup为节点i的上游节点,当u ≥ 0 时,iup= i - 1,即图中A点)已知,则函数S及S' 在该两点间( xi -1到xi间) 的曲线可以用式( 8) 和式( 9) 所示的3 次多项式来描述:
式中,a,b,c,d为待定系数。将x = xi,x = xi -1=xi- Δx ( 对应图2 中A,C两点) 分别代入式( 6 ) 与式( 7) ,可得:
将解得的式( 10) ~ 式( 13) 代回式( 8) ,即可得到tn时刻i - 1 至i处的S函数的3 阶多项式:
如图2( b) 所示,假定在一个较小的时间步长Δt内,函数形式保持不变,便可求解得tn +1时刻各网格节点处函数S的离散值。
类似的,通过简单推导亦可以得到二维及三维情况下的插值函数[12]。
2. 2 控制方程的离散求解
鉴于CIP法对流体控制方程中对流项具有较高的离散求解精度,研究采用了Kim与Moin[13]提出的分裂步长法对流体运动控制方程[式( 1) 和式( 2) ]进行离散求解。分裂步长法基于动量方程求解过程中时间变量的独立性,将一个时间步长内对动量方程的求解过程分解成对流项和非对流项进行离散求解。
对式( 2) 分解可得式( 15) ~ 式( 17) 。
式中A,D,P分别代表对流项,扩散项和压力项,上标“* ”与“**”分别代表分步计算中速度的中间值。
针对方程中各项的特点可以采用不同的离散格式进行求解。为降低对流项离散求解中的数值扩散,本研究在对对流项[式( 15) ]的离散求解中采用了CIP法,对扩散项[式( 16) ]及压力项[式( 17) ]的离散求解采用了传统的中心差分格式。
2. 3 压力方程的求解
通过式( 15) ,式( 16) 解出u**后,对式( 17) 进行离散可得:
将连续方程[式( 1) ]带入式( 18) 可得压力泊松方程:
采用经典的五点差分格式及超松弛迭代法对压力泊松方程[式( 19) ]进行求解。求得压力场后,采用式( 17) 可以进行速度更新,得到某一时刻的速度场。
2. 4 气液界面的求解
如式( 3) 所示,自由表面运动的控制方程为对流方程。本文采用Xiao F[14]提出的THINC法对自由表面进行求解,具体计算格式如下:
式( 21) 中,α、β、γ 为方程的控制参数,α 取前一网格的流体占有率函数的f ,以保证自由表面连续性:
β 为锐度系数,一般取2. 0。
γ由梯度方向决定:
为f在单个空间步长的平均值,在 α、β、γ 给定后由式( 20) 求得。
2. 5 程序实现流程
如图3 所示,对二相流控制方程的求解方法可以归纳为:
( 1) 利用已知条件计算流体通量,并通过Thinc法判断自由表面,计算流体占有率函数f;
( 2) 采用CIP法对对流项[式( 15) ]进行离散求解,由un,计算得出u*;
( 3) 依据式( 16) 对黏性扩散项进行离散求解,由u*,计算得出u**;
( 4) 采用超松弛迭代SOR法对压力泊松方程[式( 19) ]进行离散求解得出压力值。通过式( 17)计算得出速度un +1;
( 5) 对速度,压力及自由表面赋值更新后,由结束条件判定是否完成计算。
3 计算模型的验证
3. 1干床面上的溃坝溢流
首先以干床面上的溃坝溢流问题,对基于CIP法建立的数值计算模型的模拟精度进行了验算。模型计算采用了与Lobovsky L,Botia-Vera E[9]的溃坝溢流实验相同的条件。如图4所示,水槽长1 610 mm,高600 mm。在距离水槽右端1 010 mm处设置一块垂直挡板,初始时刻挡板右侧设有高度为H的水体。另外,在水槽左侧壁面( 自下而上3 mm,15 mm,30 mm,80 mm处) 布置了4 个压力传感器以测量水体压力。参照物理模型实验,本研究对初始水柱高度为H =300 mm和H =600 mm的两组工况分别进行了模拟计算,并对所得溃坝溢流形态及其压力分布等与实验结果进行了对比分析。
3. 1. 1 溃坝溢流形态
对溃坝溢流形态模拟的正确与否是检验数值计算模型模拟精度的关键要素之一。图5 为初始水体高度H = 600 mm工况下,t = 317 ms,413 ms和463ms时刻的模型计算结果与物理实验结果的对比图。图6 为初始水体高H = 300 mm工况下,t = 160 ms,450 ms,573 ms,862 ms,1 023 ms,1 167 ms六个不同时刻的模型计算结果与物理实验结果的对比图。其中( a) 图为物理模型实验测得的自由表面形态,( b) 图为相同时刻的自由表面形态的数值模拟结果,( c) 图为对应时刻的压力分布的数值模拟结果。
从图5 和图6 可以看出,就自由表面形态而言,采用该数值计算模型的计算结果与实验结果基本吻合。特别是对溢流水舌撞壁后形成的回卷波的模拟与实验结果基本一致。此外,从图5( c)和图6( c) 所示的压力场计算结果可见,对初始水体高度为H = 300 mm和H = 600 mm的两种工况条件,本文所建立的数值计算模型也均给出了合理的压力分布。
3. 1. 2 溃坝溢流波前水柱移动速度
图7、图8 分别给出了H = 300 mm与H = 600mm工况下,采用本文提出的数值水槽模型得出的溢流水体波前移动位置随时间变化计算结果与前人的物理模型实验结果的对比图( 图中横坐标为无量纲时间,纵坐标为无量纲波前移动距离) 。可以看出,本文的水体波前移动的计算结果与L. Lobovsky[15],Martin & Moyce[16],Dressler[17]以及Hu[18]所做物理实验结果相比,虽然在量值上存在微小的差距,但是总体变化趋势基本吻合。
数值模拟结果与实验结果间存在微小偏离的主要原因为: 第一,相对数值模拟,物理模型实验在开始阶段无法实现瞬间移除垂直挡板的要求,各种不同的移除方法间也存在差别,表现为初始时刻波前水柱处速度相对数值模拟总体偏小。第二,在物理模型试验中的实际床面往往是不均匀的粗糙床面,表现为不同实验条件下波前水柱位置的相对偏离。
3. 1. 3 溃坝溢流水体冲击压力
为验证所提出的数值计算模型对水体作用于壁面上的冲击压力的模拟精度,本文参照L. Lobovsky[15]所作的溃坝溢流的物理模型实验,在数值水槽左端壁面的同样位置设立了4 个压力监测点( 如图4 所示) 并与L. Lobovsky的实测压力结果进行了比较。
图9 为各测点数值计算模型得出的压力随时间变化计算结果与实验结果对比图( 图中横坐标为无量纲时间,纵坐标为无量纲压力) 。可以看出,与物理模型实验相比,数值计算得出的各测点的压力峰值,略小于实测的压力值,而且波前水柱撞壁后产生的压力峰值的发生时刻略微滞后于实测结果。不过,总体上看该数值计算模型得出的各测点的压力随时间的变化趋势与物理模型实验结果基本一致。表明所提出的数值计算模型对模拟溃坝溢流问题具有一定的计算精度。
3. 2 湿床面上的溃坝溢流问题
为了验证所建立的数值计算模型的适用性,本文还对湿床面上溃坝溢流问题进行了数值模拟。模型计算采用了与Janosi[19]的物理模型实验相同的条件。如图10 所示,水槽长2 000 mm,高200 mm在380 mm处设置一垂直挡板,初始时刻挡板左侧设有高度H = 150 mm的水体,挡板右侧设有d = 18 mm的下游水体。
图11 给出了湿床面上溃坝溢流的物理模型实验结果和数值计算模型得出的表面形态变化以及对应的压力分布的计算结果的对比。选取了t = 281ms,343 ms,413 ms和468 ms四个有代表性的时刻,其中图( a) 为物理模型实验测得的自由表面形态,图( b) 为相同时刻的数值模拟结果,图( c) 为对应时刻的压力分布的数值模拟结果。
由图可以看出,湿床面上溃坝溢流的主要过程包括,垂直挡板打开后,水体下泄形成溃坝溢流水舌,由于湿床面上下游水体的阻滞作用,溢流水舌上部水体直接跃起,进而回落,在跃起水舌与湿床面间形成空腔,并伴随溢流水舌而向前推进。同时,受湿床面下游水体阻滞,后续水体在溢流水舌的中部形成驼峰状堆积。与物理模型实验结果相比,数值计算模型完整地再现了湿床面上溃坝溢流引起的水舌跃起、回落,水舌与下游水体间形成空腔以及水舌中部的驼峰状堆积现象。计算得出的对应时刻的压力分布基本合理。
4 结语
本文基于CIP法建立了用于大变形自由表面流问题的数值计算模型。采用该计算模型对干湿床面及湿床面上溃坝溢流进行了数值模拟并与物理模型实验结果进行了对比分析。结果表明,用CIP法及Thinc法自由表面追踪技术,能够较为准确地模拟大变形自由表面流问题中的表面形态及其压力场分布。为进一步模拟波浪与建筑物相互作用等实际工程问题提供了基础。
摘要：为探索能够精确模拟大变形自由表面流(如波浪破碎)问题的数值模拟方法,采用CIP(constrained interpolation profile Scheme)法建立了自由表面流数值计算模型;并以干床面、湿床面上的溃坝溢流为例,研究了CIP法在模拟具有大自由界面变形的气-液二相流问题中的应用。研究结果表明,通过采用CIP法对Navier-Stokes流体运动方程中对流项进行离散求解;对溃坝溢流问题的自由表面形态及压力分布均能给出良好的模拟结果。证明CIP法在对波浪破碎等大自由表面问题的模拟中具有较好的应用前景。