复合电磁散射

2024-08-02

复合电磁散射（精选7篇）

复合电磁散射篇1

目标与粗糙地、海表面背景的复合电磁散射研究在雷达检测、目标的识别及探测等领域有着广泛的应用[1,2,3,4,5],通过目标与粗糙面复合散射回波的数值采集,可为导弹的精确制导、目标的隐身与反隐身等科学研究提供重要的理论依据和技术支持。有关该领域的研究引起了国内外诸多学者们的重视。目前,大多针对海面与简单目标的复合电磁散射研究[6,7,8,9],对于特定的沙壤土表面及其上方需考虑旋转的复杂目标复合电磁散射的研究在国内外鲜有报道。现应用矩量法研究了一维指数型沙壤土表面及其上方需考虑旋转的复杂矩形截面导体柱的复合电磁散射问题。数值计算得到了复合电磁散射系数随散射角的变化曲线,讨论了土壤表面高度起伏均方根、土壤湿度、柱体中心高度、柱体倾角对复合散射系数的影响。

1 复合散射的矩量法理论

无限长需考虑旋转的矩形截面柱的ab边与x轴的夹角(柱体倾角)为α,具体见图1所示,矩形截面中心距土壤表面的高度(柱体中心高度)用H表示, So和Sr分别表示柱体和土壤表面轮廓, θi为入射角,θs为散射角,考虑Thorsos锥形波[10]φin(r)入射,土壤和上方矩形截面导体柱表面的总场为φ0(r),土壤下方表面的总场为φ1(r),它们满足如下的积分方程

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} φ_{0} (r) = φ^{i n c} (r) + \int_{S_{r}} [φ_{0} (r^{´}) \frac{\partial g_{0} (r, r^{´})}{\partial n^{´}} - \\ g_{0} (r, r^{´}) \frac{\partial φ_{0} (r^{´})}{\partial n^{´}}] d s^{´} + \int_{S_{o}} φ_{1} (r^{´}) \times \\ \frac{\partial g_{0} (r, r^{´})}{\partial n'} d s^{´} ； r \in S_{r} 或 r \in S_{o} (1 a) \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} φ_{1} (r) = - \int_{S_{r}} [φ_{1} (r^{´}) \frac{\partial g_{1} (r, r^{´})}{\partial n^{´}} - \\ g_{1} (r, r^{´}) \frac{\partial φ_{1} (r^{´})}{\partial n^{´}}] d s^{´} ； r \in S_{r} (1 b) \end{array}$

这里,土壤表面上、下半空间的二维空间格林函数分别用g0(r,r′)和g1(r,r′)来表示。波函数φ0(r)和φ1(r)在土壤界面上任意点满足如下的边界条件[11]

φ0(r)=φ1(r); r∈Sr (2a)

$\frac{\partial φ_{0} (r)}{\partial n} = \frac{1}{ρ} \frac{\partial φ_{1} (r)}{\partial n}$ ; r∈Sr (2b)

式(2)中,对于TM入射波,ρ=ε1。

沿x轴将土壤表面Sr划分为Ns段,同时将需考虑旋转的矩形截面导体柱沿其表面划分为N0段。应用分域脉冲基函数结合点匹配方法(即矩量法),可以由积分方程(1)离散得到下面的矩阵方程

$[\begin{matrix} A & B & C \\ D & - ρ E & 0 \\ F & G & J \end{matrix}] [\begin{array}{l} V_{1} \\ V_{2} \\ V_{3} \end{array}] = [\begin{matrix} φ^{i n c} \\ 0 \\ φ^{i n c} \end{matrix}] (3)$

式(3)中,Amn、Bmn、Cmn、Dmn、Emn、Fmn、Jmn为矩阵方程的9个系数矩阵块,三个未知矩阵块分别为V1(x)=φ0(r)(r∈Sr),V2(x)=∂φ0(r)/∂n(r∈Sr);V3(x)=φ0(r)(r∈So),三个未知矩阵块可通过共轭梯度法解矩阵方程(3)得到。土壤表面上方空间的散射场可表示为

$φ_{s} (r) = \frac{e^{i k r}}{\sqrt{r}} φ_{s}^{Ν} (θ_{s}, θ_{i}) (4)$

式(4)中

$\begin{array}{l} φ_{s}^{Ν} (θ_{s}, θ_{i}) = \frac{i}{4} \sqrt{\frac{2}{π k_{0}}} e^{- i \frac{π}{4}} {\int_{S_{r}} [- i (\hat{n} \cdot k_{s}) V_{1} (x) - V_{2} (x)] \exp (- i k_{s} \cdot r) \sqrt{1 + [z' (x)]^{2}} d x - \int_{S_{o}} i (\hat{n}_{o} \cdot k_{s}) V_{3} (x) \exp (- i k_{s} \cdot r) \\ \sqrt{1 + [Ζ_{o}^{'} (x)]^{2}} d x} (5) \end{array}$

在锥形波入射的情形下,粗糙面及其上方目标的归一化复合散射系数可以表示为

$σ (θ_{s}) = \frac{| φ_{s} (θ_{s}, θ_{i}) |^{2}}{g \sqrt{\frac{π}{2}} \cos θ_{i} (1 - \frac{1 + 2 \tan^{2} θ_{i}}{2 k_{0}^{2} g^{2} \cos^{2} θ_{i}})} (6)$

基于矩量法理论[公式(3)—(6)],采用FORTRAN语言编写了计算程序,计算了粗糙土壤面及其上方矩形截面柱复合散射的特征。

2 数值计算结果及分析

数值结果计算了一维指数型沙壤土表面及其上方需考虑旋转的矩形截面导体柱的复合电磁散射特征,若不特殊说明,在计算中取柱体倾角α=10°,入射角θi=30°,入射波频率f=3 GHz,锥形波的射束宽度参数g=L/4。指数型土壤表面长L=150λ,分别将土壤和矩形截面导体柱表面划分为1 500和120个网格点,数值结果以100个土壤表面取统计平均得到。数值结果以沙壤土为例,该类型土壤的沙含量为fs=51.5%,黏土含量为fc=13.5%,取土壤温度为T=20 ℃,土壤的介电常数可依据不同的土壤湿度mv,通过文献[12]计算得到。本文只分析TM波入射的数值计算结果。

2.1土壤表面高度起伏均方根对复合散射系数的影响

取l=2.0λ,mv=0.1,ab=2.0λ,cd=1.0λ,H=8.0λ,f=3 GHz,分别取δ=0.1λ,δ=0.2λ,δ=0.4λ,研究复合散射系数σ随土壤表面高度起伏均方根δ的变化情况,数值计算结果如图2所示。可以看出,在镜向方向附近的复合散射系数σ随土壤表面高度起伏均方根δ的增大而减小。但散射角在-30°≤θs≤10°范围内,δ越大,σ越小,这是由于沙壤土表面的粗糙程度随高度起伏均方根的增大而增大,导致非相干散射增大,相干散射减小。

2.2土壤湿度对复合散射系数的影响

图3给出了复合散射系数σ随土壤湿度mv的变化情况,计算中取δ=0.2λ,l=2.0λ,ab=2.0λ,cd=1.0λ,H=8.0λ,f=3 GHz,通过文献[12]计算得到不同土壤湿度mv=0.05,mv=0.2,mv=0.3对应沙壤土的介电常数分别为ε=4.17-0.19i,ε=11.05-1.17i,ε=17.08-2.10i。可以看出,在其它参数一定的条件下,在散射角变化所有区域内,复合散射系数σ随土壤湿度mv的增大而增大,这是因为土壤湿度越大,沙壤土介电常数的实部越大,土壤的反射越强,导致复合散射系数越大。

2.3柱体中心高度对复合散射系数的影响

图4给出了复合散射系数随柱体中心高度的变化情况,其中δ=0.1λ,l=2.0λ,mv=0.1,ab=4.0λ,cd=2.0λ,f=3 GHz。通过比较三条曲线可以看出,除镜向方向附近的大部分散射角范围内,复合散射系数σ随柱体中心高度H的增大而减小。这是因为目标与土壤表面的耦合散射强度随柱体中心高度的增大而变弱,导致复合散射系数减小。而在镜向方向附近,σ随H的增大无明显变化。

2.4柱体倾角对复合散射系数的影响

图5给出了δ=0.05λ,l=2.0λ,mv=0.1,ab=4.0λ,cd=2.0λ,f=3 GHz时,复合散射系数σ随柱体倾角α的变化情况。可以看出,柱体倾角α的变化对复合散射系数σ的镜向峰值影响不大,还有柱体倾角α越小,镜向方向附近的复合散射系数σ下降地越急剧。另外,复合散射系数σ随散射角θs变化曲线的振荡频率随柱体倾角α的增大而减小,这一结果在200<θs<90°的范围内成立。

3 结束语

应用矩量法计算了一维指数型沙壤土表面及上方二维无限长需考虑旋转的复杂矩形截面导体柱的复合电磁散特征,详细分析了土壤表面高度起伏均方根、土壤湿度、柱体中心高度、柱体倾角对复合散射系数的影响。得到了较完整的沙壤土表面及其上方需考虑旋转的复杂矩形截面导体柱的复合电磁散射特性。这些结论在实际沙壤土背景下目标的探测、识别以及目标的隐身与反隐身等领域的应用有一定的现实意义。

摘要：一维指数型粗糙土壤表面采用Monte Carlo方法模拟产生,运用矩量法研究了一维指数型粗糙土壤表面及其上方矩形截面导体柱的复合电磁散射。通过数值计算得到了复合散射系数随散射角的变化曲线。讨论了土壤表面高度起伏均方根、土壤湿度、柱体中心高度、柱体倾角对复合散射系数的影响,得到了一维指数型粗糙土壤表面及其上方矩形截面导体柱的复合电磁散射特征。

关键词：电磁散射,矩量法,一维指数型粗糙土壤表面,共轭梯度法

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散射通信系统电磁辐射影响分析篇2

手机通信基站以及卫星通信地面站周围的电磁辐射问题[1],一直是人们重点关注与研究的焦点[2],同时,电磁辐射检测系统的研制也逐步发展[3],形成了初步的产品[4]。近几年,随着散射技术的迅猛发展以及军民融合的大力推进,散射通信系统在民用通信中也崭露头角。民用散射系统周边环境的电磁辐射问题也越来越受到人们的关注[5]。

对流层散射通信是利用对流层中的不均匀介质对电磁波的前向散射实现的一种超视距通信方式。与传统微波视距通信相比,对流层散射通信是一种超视距的通信方式,多采用大功率发射(几百至上千瓦)、多面抛物面天线分集接收技术。目前,对流层散射通信一般多使用的频段是4 400~5 000 MHz。

本文针对典型散射通信系统的电磁辐射进行了理论分析,得出其电磁辐射安全区域,可作为散射通信系统选址的理论参考。

1 电磁辐射标准

国际上,电磁辐射标准有如下两大标准:

①ICNIRP标准:《限制时变电场、磁场和电磁场(300 GHz及以下)暴露导则》,是国际非电离辐射防护委员会(The International Commission for NonIonizing Radiation Protection,ICNIRP)发布的标准,主要使用范围在欧洲、澳大利亚、新加坡、巴西、以色列以及我国的香港特区[6]。

②美国的电气与电子工程师学会(IEEE)标准:《与曝露在3 k Hz~300 GHz射频电磁场相关的人体安全等级》(IEEE C95.1-2005)。主要使用范围在美国、加拿大、日本、韩国以及我国的台湾地区(准备采用ICNIRP标准)等[7]。

我国民用的电磁辐射标准是《电磁环境控制限值》(GB8702-2014)。此标准参考了ICNIRP和IEEE的相关标准,并考虑了我国电磁环境保护工作实践,扩展了其频率适用范围。

我国最新的相关军用标准为《电磁辐射暴露限制和测量方法》(GJB5313-2004)。国内外电磁辐射标准对比结果如表1所示。

注:功率密度为6 min的平均值;f是频率,单位MHz。

从表1中可以看出,我国电磁辐射标准的限值比国际上的更严格。根据我国环境保护行业标准《辐射环境保护管理导则———电磁辐射环境评价方法与标准》(HJ/T10.3-1996),为使公众受到总照射剂量小于限值,对单个项目的影响必须限制在限值的若干分之一,故散射通信站环境管理目标值应当选取最严格的相应频段功率密度的1/5作为评价,在4 400~5 000 MHz频段选择最小值(即以4 400 MHz频点计算)8.8μW/cm2作为生活区暴露限值,17.6μW/cm2作为工作区暴露限值。

2 抛物面天线近、远区功率密度的计算

讨论了电磁辐射标准,下面以散射通信系统常用的抛物面天线为例,分析抛物面天线的近远区功率分布。

任何交流电路都会向周围空间辐射电磁能量,形成交变电磁场。根据麦克斯韦的电磁场理论,场源与电磁辐射关系分为2部分:①在场源或与场源相连接的导体附近,存在着束缚电磁波。这种电磁波的能量不仅在电场分量与磁场分量之间相互转化,交替作用,还受场源与导体上的电荷和电流的控制,从而使电磁能与场源发生相互交换,场源发射出的电磁能量将有一部分不断地返回场源;②在相当远离场源或与场源连接的导体空间,存在着自由电磁波。它的电磁能量不受场源控制,而是按一定速度不断向远方传播,传播方式完全是辐射的。依据麦克斯韦电磁理论,本文将天线的辐射范围划分为近场区和远场区,以R=2D2/λ为分界点。规定R<2D2/λ范围内为天线近场区,近场区的电磁场强度一般都很大,且空间不均匀度高;R≥2D2/λ范围内为天线远场区,远区场为弱场,其电磁强度均很小。

本文主要考虑抛物面天线的轴向功率密度,其偏轴功率密度在近场和远场均很小,不再展开。

2.1 近区功率密度

在实际工程中,由于场地限制和测试精度要求不高,采取一种近似估算的方法,即由天线口面场分布函数,通过数值积分近似计算天线近区场,从而计算天线近区增益,最终估算天线的近区功率密度分布。

抛物面天线口面场分布函数:

通过计算,其轴向近区功率密度的工程计算公式[8]为:

式中,PD0为天线轴向近区功率密度;Pt为天线辐射功率;G0为天线远场增益;D为天线直径;λ为发射频率波长;β为距离因子,且β=R/(2D2/λ)(R为离开天线口面的距离)。

通过对上式的分析,当R=0.192D2/λ时,近区功率密度最大,且当R=0.192D2/λ时,近区功率密度随距离因子β是单调减小的,当R在[0,0.192D2/λ]区间内时,近区功率密度是振荡变化的。

2.2 远区功率密度

由HJ/T10.2-1996《辐射环境保护管理导则—电磁辐射监测仪器和方法》中给出了远场轴向功率密度PD0的计算公式[9]:

式中,PD0为天线轴向近区功率密度;Pt为天线辐射功率;G0为天线远场增益;R为为离开天线口面的距离,且R>2D2/λ。

通过对上式的分析,其功率密度值随距离R的增加减小,发射功率与天线增益固定时,只与距离R的平方成反比。

3 散射通信系统安全区的确定

电磁辐射的强度与以下因素有关:功率、频率、与场源的距离、屏蔽与接地以及空间内有无金属天线或反射电磁波的物品及金属结构。

在散射通信系统中使用天线时,一般会保持良好的屏蔽与接地状态,且在空旷地展开,所以空间内无金属物体干扰,因此,本文将主要就与场源的间距和不同频率2方面展开讨论。

3.1 散射通信系统主要参数

下面本文将以常用的2组散射通信系统为例进行分析,2组系统的主要参数如表2所示。

3.2 散射通信系统安全区的理论计算

对1.6 m抛物面天线,40 W功放的散射通信系统进行理论计算,该系统的近区与远区的分界点R=2D2/λ,取值范围约为75~85 m。根据式(2)估算其轴向近区的功率密度如表3所示,根据式(3)估算其轴向远区的功率密度如表4所示。

对2.4 m抛物面天线,1 000 W功放的散射通信系统进行计算可得,其近区与远区的分界点R=2D2/λ,取值范围约为169~192 m。根据式(2)估算其轴向近区的功率密度如表5所示,根据式(3)估算其轴向远区的功率密度如表6所示。

从表3、表4、表5和表6可以看出,天线口径、发射功率与功率密度成正比,且在近区,功率密度振荡变化,其值均较大,超出8.8μW/cm2的生活区暴露限值;在远区,功率密度值递减,距离越远,其值越小,其安全区可由式(3)计算并与8.8μW/cm2的暴露限值比较得到。

故散射通信系统的近场区均为不安全区,远场区小于生活区暴露限值的区域才为安全区。对于1.6 m天线口径、40 W功放的通信站,通信正前方500 m外属安全范围;2.4 m天线口径、1 000 W功放的通信站,通信正前方2 500 m外属安全范围。

3.3 散射通信系统选址建议

针对该理论分析结果,在散射通信系统建链初选址期间,由于近区功率密度较大,故需要首先保证所选站址近区无人员活动,再根据散射通信系统的能力(频率、天线口径、天线架高和发射功率等)理论估算出远区的安全距离。

对于发射功率、天线口径较小的小型散射通信站可在楼顶和山顶等位置建站,保证前方1 000 m范围内无明显遮挡的前提下,正前方500 m内无人员活动。

对于发射功率、天线口径较大的大型散射通信站,一般不选择在市内等人员密集的区域建站,可在山顶、沙漠和戈壁等位置建站,保证前方1 000 m范围内无明显遮挡的前提下,正前方2 500 m内无人员活动。

为了保证满足环境保护要求,建议在散射通信系统建设完成后,依靠专业检测机构进行专业检测[5],最终确定安全区域。同时,定期检查天馈线系统,防止馈线因老化、人为或其他原因造成破损而发生电磁辐射泄漏,对于辐射值较高地点设立电磁辐射警示牌等。

4 结束语

日常生活中电磁辐射无处不在,其对人身健康的危害引起人们的关注。随着流层散射通信系统的应用越来越广泛,其固有的多天线空间分集及大功率发射特点,也引起人们的担心。本文针对散射通信系统周边电磁辐射进行理论分析,得到符合电磁辐射标准的安全区域。一是电磁辐射可以通过理论分析得知,消除施工及周边人们的恐慌情绪;二是散射通信系统在站址选择时,前期可以进行理论估算,避免因不满足相关电磁辐射标准,加大工程后期的建设量。

参考文献

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[10]中华人民共和国环境保护局.电磁环境控制限值GB8702-2014[S].北京:中华人民共和国环境保护部,2014.

复合电磁散射篇3

体面积分方程 ( VSIE) 的求解基于矩量法( Mo M) ,矩量法在分析电磁辐射或散射问题中有着广泛的应用[1]。矩量法所产生的矩阵是满阵,存储量的量级是矩阵阶数的平方O( N2) ,直接法求逆的计算量是矩阵阶数的立方,即O( N3) ,迭代求解的计算量是O( N2)[2]。对于电大尺寸目标而言,无论是存储量还是计算量上,现有计算机资源都难以满足需求。重叠型区域分解法将整个求解域划分为几个子域,并通过循环求解子区域来得到整个区域的解。由于每次只求解一个子区,因而能节省计算资源。多层快速多极子算法( MLFMA)[3,4,5]是一种在多个层级分组、层间嵌套、逐层递推来实现的快速多极子算法。多层快速多极子方法能将计算机的存储量及计算复杂度进一步降低到O( Nlog N)[6,7,8]。本文将重叠型区域分解法( ODDM) 和多层快速多极子方法( MLFMA) 同时加入体面积分方程法中,得到了改进算法( VSIE - ODDM - MLFMA) ,数值算例结果证明了该方法的正确性和有效性,具有分析复杂目标电磁散射问题的能力。

1 公式推导

1. 1 VSIE 概述

VSIE的基本思想是利用面等效原理和体等效原理把金属面用面电流代替,介质体用体电流代替,2个独立的等效电流同时满足面积分方程和体积分方程,然后用矩量法来求解。面积分方程作用在金属区域,而体积分方程作用在介质区域[9,10]。对面积分方程进行离散的基函数为RWG基函数[1],对体积分方程进行离散的基函数为SWG基函数[11]。在金属介质混合结构的电磁散射问题中,体面积分方程的复合形式可表示为:

可对式( 1) 和式( 2) 进行基函数离散,然后利用矩量法进行求解。

1. 2 ODDM 的基本原理

若将整个求解区域分为若干个子区域,则对应的阻抗矩阵Z也被分为若干个子矩阵,然后分别求解子矩阵方程,再通过迭代求解得到整个区域的解,这便是区域分解法的思想基础[12,13]。由于每次只对一个子矩阵进行求解,所以降低了内存消耗。

若子区域没有重叠部分,则得到的分块矩阵相互之间无公共元素。从电流角度来看,分区边界有奇异效应出现,这样会导致算法效率不高,甚至不收敛。为抑制电流的奇异性,Brennan等[14]将子区域边界附近区域作为该子区的缓冲区,并将缓冲区与子区域作为整个求解区域来计算电流,然后舍弃缓冲区电流并保留子区域的电流,最后循环求解得到整个区域电流,这就是ODDM的原理。

1. 3 VSIE - ODDM 方法推导

用介质体极化电流JV和金属面电流密度JS表示式( 1) 和式( 2) 中的磁矢量位与电标量位,得到以JV和JS为自变量的入射场表达式。为便于推导VSIE - ODDM的递推公式,采用算子F简化该表达式,式( 1) 和式( 2) 可重新写为:

为了建立子区域之间积分迭代公式,定义2个关于JV和JS的线性算子,对于体积分式( 3) 有:

式中,下标i表示子区域序号,第i个扩展子区包括和表示的补域。结合式( 3) 、式( 5)和式( 6) ,可得金属介质混合结构中的体积分方程的重叠型区域分解迭代公式为:

同理,定义和面积分方程( 4) 有关的2个算子TM( r,J) 和KM( r,J) ,则可获得混合结构中的面积分方程的重叠型区域分解迭代公式为:

对式( 7) 进行RWG基函数和SWG基函数展开,采用迦辽金( Galerkin) 法进行测试,取测试函数为V'i内SWG基函数,可获得体积分方程的矩阵形式。同理,对式( 8) 进行类似处理,取测试函数为S'i内RWG基函数,可获得面积分方程的矩阵形式,将两个矩阵方程结合可最终获得VSIE - ODDM的迭代公式为:

式中,M表示子区域个数,等式右边第一个向量表示第i个目标子区域上的入射场;和分别表示目标子区域内介质和金属的相互作用。

1. 4 VSIE - ODDM - MLFMA 方法

在区域分解法中将整个求解区域划分为迭代区和入射区,而在多层快速多极子的方法[2,15]中,又对整个求解区域进行了分层分组,因此对这2种方法进行结合时,必须同时考虑求解区域的划分和分组问题。

如果在多层快速多极子方法的某一层中,某个组至少存在一个基函数单元位于第i个迭代( 入射)区中,那么就说该组属于第i个迭代( 入射) 区。因此值得注意的是有的组既属于迭代区又属于入射区。在ODDM - MLFMA中,必须根据以上原则分别建立迭代区和入射区的八叉树,方法是通过逐层剔除入射区上的元素来获得迭代区的八叉树,因此迭代区的八叉树和入射区的八叉树是整个区域八叉树的分支。

在此基础上,便可方便地在ODDM的基础上运用MLFMA。与MLFMA相比,ODDM - MLFMA聚合、转移、配置的对象发生变化。

2 数值算例

算例1计算一个介质涂敷球结构。金属球半径为0. 342 3λ0,涂层厚度为0. 101 7λ0,相对介电常数为εr= 2,平面波为垂直照射到结构上。将目标分成4个区域,分别对介质和金属进行四面体与三角形网格离散,其中SWG基函数的个数为14 332,RWG基函数的个数为963。

VSIE - ODDM - MLFMA和Mie级数计算所得的双站RCS的比较结果如图1所示。从图1中可以看出,VSIE - ODDM - MLFMA计算金属介质混合结构的结果和解析解是比较吻合的,说明了程序的有效性。

算例2计算一个上表面覆盖一层金属平板的介质长方体,介质的相对介电常数为1. 6,目标结构尺寸如图2所示。

利用区域分解法进行计算时,将目标沿x轴平均分为2个区域,产生的SWG基函数的个数为4323,RWG基函数个数为636,所以总共的基函数个数为4 959。仿真结果如图3所示。

在VSIE - ODDM - MLFMA计算中,只经过5次外迭代就达到收敛精度,收敛精度为9. 001×10- 4,而VSIE - ODDM经过第5次外迭代后所到达的收敛精度为1. 006×10- 3,比VSIE - ODDM - MLFMA略慢。在内存方面,VSIE - ODDM - MLFMA所占的内存仅占VSIE - ODDM所需内存的20. 4% ,表明了采用MLFMA后在节省内存方面的效果明显,如表1所示。

算例3计算平面FSS阵列结构,FSS单元为方环,方环外边长D1 = 7 mm,内边长D2 = 6 mm,方环周期为8 mm,阵列总大小为7×7。加载介质底板,介质长与宽都是56 mm,厚度0. 5 mm,相对介电常数εr= 3. 0,求解频率在14 GHz,其结构示意图如图4所示。

目标分成4个非均匀区域,对介质和金属分别采用四面体和三角形剖分。SWG基函数的个数为30 213,RWG基函数的个数为1 372。垂直入射TM极化时其RCS计算结果与FEKO结果对比如图5,结果未归一化。

从图5可以看出,VSIE - ODDM - MLFMA分析FSS散射特性的结果与FEKO分析结果非常吻合,体现了该算法具有准确分析复杂目标电磁散射问题的能力。

3 结束语

复合电磁散射篇4

矩量法(MOM)被看作是数值"精确解"，被广泛应用于电磁散射问题的分析中，但每次计算只能得到一个频率点的电流分布和雷达散射截面(RCS)，而在日渐发展的遥感技术和雷达目标识别中，需要随机分布目标的宽带RCS以产生一维距离像。与其它频域方法一样，为了获得目标的宽带RCS，应用MOM就必须在频带内的每个频率间隔点上逐点计算，当目标的RCS随频率变化剧烈时，必须以很小的频率间隔计算才能得到精确的频率响应，这就意味着在整个频带内矩阵方程求解次数的增加。为了克服这个缺点，E.H.Newman和G.J.Burke分别通过内插阻抗矩阵[1]和使用基于模型参数估计[2]的方法获得了宽带数据。一种类似的技术--渐近波形估计(AWE)技术被提出,并首先用于超大规模集成电路的时域分析[3]。近年来，AWE技术被逐渐应用到电磁问题的分析中[4,5,6,7,8]。

本文将AWE技术应用到MOM中，计算了二维随机分布的理想导体柱的宽带RCS。数值计算表明，本方法与传统MOM的逐点计算结果吻合良好，而计算效率却显著提高。

1 渐近波形估计技术

对于任意形状二维理想导体柱的电磁散射问题，其电场积分方程(EFIE)为：

式中为导体柱截面的周线，为导体表面上的电流密度，为入射电场，为第二类零阶Hankel函数，和分别表示场点和源点的位置矢量，k、分别为自由空间波数和波阻抗。

将理想导体柱的周界划分成N段，选择脉冲函数作为基函数，函数作为检验函数，应用MOM可将EFIE化成矩阵方程Z(k)I(k)=V(k)(2)

式中Z为阻抗矩阵，V为激励向量，它们的元素表达式分别为：

为入射平面波与轴间的夹角。

应用矩量法求解式(2)，只能得到一个频率点的导体表面电流。为了得到给定频带内的导体表面电流分布，就必须以一定的频率间隔重复求解式(2)。AWE技术通过将展开成关于的泰勒级数得到频带内的导体表面电流分布，即

展开系数的表达式为:

式中Z(i)表示Z(k)的i阶导数，V(n)表示V(k)的n阶导数。

为了扩大泰勒级数的收敛半径，可通过Padé逼近将展开成有理函数,即

确定，将其代入式(8)，便得到给定频带内任意频率点的表面电流分布，进而计算出散射场和宽带RCS。显然，在AWE方法中，只需进行一次矩阵求逆运算，便可得到给定频带内电流密度的分布，这正是AWE方法提高计算效率的原因所在。

2 数值计算与比较

为了验证应用AWE方法分析二维随机分布导体目标宽带电磁散射特性的有效性，本文对如下两种情况的宽带RCS进行了计算。

(1)36个正方形理想导体柱随机分布在边长为0.0103米的正方形平面内，每个正方形理想导体柱的边长为λ0/20(λ0为中心频率对应的波长)，根据蒙特-卡罗方法[9]生成的二维理想导体柱分布状态如图1所示，选择入射波为TM波，E zi=e-jkx，中心频率0f=3 5GHz,Padé逼近中的L=4,M=3,20～50GHz范围内的RCS频率响应如图2所示。

(2)16个正方形理想导体柱随机分布在边长为0.0102米的正方形平面内，每个正方形理想导体柱的边长为λ0/10，分布状态如图3所示，其他参数同(1)，20～50GHz范围内的RCS频率响应如图4所示。

图3 N=16,a=0/1 0,l=0.0 10 2 m图4 RCS与频率间的关系(参见右栏)

在上述两种情况下，每个正方形理想导体柱离散单元尺寸选择为λ0/40，从以上两个算例的RCS频率响应曲线来看，用Padé逼近的AWE技术得到的结果与MOM逐点计算的结果有较好的一致性，而计算效率则显著提高，表1为上述两种情况所用的计算时间。

表1计算时间及与传统矩量法的比较*(参见右栏)

3 结论

本文给出了一种分析二维随机分布导体目标宽带电磁散射特性的方法，文中对两种情况下的随机分布理想导体柱的宽带RCS进行了计算，结果表明，本文的计算结果与矩量法逐点计算的结果吻合良好，而计算效率显著提高。对于任意给定的频带，要想获得精确的宽带RCS，需要使用多个频率展开点的AWE技术。

参考文献

[1]Newman E H.Generation of wide-band data from the method of moments by interpolating the impedance matrix[J].IEEE Trans.Antennas Propagation,1988,36(12):1820-1824.

[2]Burke G J,Miller E K,Chakrabarti S,et al.Using model-based parameter estimation to increase the efficiency of computing electromagnetic transfer functions[J].IEEE Trans.Magn.,1989,25(4):2807-2809.

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[7]孙玉发,徐善驾.渐近波形估计技术在三维电磁散射问题快速分析中的应用[J].电子学报,2002(60)794-796.

[8]施长海,孙玉发.二维电大导体目标宽带雷达散射截面的快速计算[J].电波科学学报,2004(6):325-328.

复合电磁散射篇5

时域有限差分法( the finite difference time domain method,FDTD)[1,2,3]是目前电磁仿真领域使用最多的方法之一。为了在仿真区域中激励出电磁波,必须以适当的方式在仿真区域中加入激励源。总场 - 散射场源[4,5,6]是时域有限差分法的最常用的激励源,但受时域有限差分法电场和磁场数值采样既不同位又不同时的影响,不可避免地会有入射波泄漏到散射场区,从而使计算结果带有由于电磁泄漏而产生的误差。针对这一问题,本文提出了一种用亚网格技术[7,8,9]来减少总场 - 散射场源电磁泄漏的方法,并通过数值实验证明了这一方法的有效性。

1基本原理

总场 - 散射场源产生电磁泄漏的原因是时域有限差分法固有的电场和磁场数值采样既不同位又不同时的做法,即在空间排布上,电场采样位置和磁场采样位置差半个空间步长,在时间递进上,电场采样时刻和磁场采样时刻差半个时间步长。因此本文设想,如果能够使用较小的网格进行仿真,则空间步长和时间步长都将减小,总场 - 散射场源的电磁泄漏也会得到有效的削减,但如果在整个仿真区域都使用较小的网格,势必使算法所需计算机内存和计算耗时大幅度增加。故综合考虑后采用了以下方案: 在总场区和散射场区的连接界面附近,使用少量亚网格进行仿真,而在其它区域,使用主网格进行仿真,在主网格和亚网格的交界面上,采用适当的插值方法实现主网格区和亚网格区的数据交换,其具体原理如图1所示。这样既减小了总场 - 散射场源的电磁泄漏,又使算法的总的内存需求和计算耗时不至于增加很多,实现了算法精度和算法效率之间的一个较好的平衡。

2数值实验

为了验证上述方法的有效性,文中编程进行了数值实验。编写了两套程序,两套程序模拟的都是平面波在一维空间的传播情况,但第一套程序用传统的总场 - 散射场方法加入激励源,第二套程序用本文提出的亚网格方法加入激励源。两套程序的网格长度均为 Δs = 0. 01 m,时间步长均为 Δt = Δs/3c, 其中c为光速。第二套程序的亚网格的长度为 Δs'= Δs /5 ,在亚网格区域仿真时的时间步长为 Δt'= Δt /5。模拟区域的大小为200个网格,其中总场区为中间的100个网格。第二套程序中亚网格的设置为在总场 - 散射场连接面两侧各设置5层亚网格。吸收边界条件采用Mur吸收边界条件[10,11]。

简谐源和高斯源是实践中应用较多的两种激励源,本文对由两种激励源产生的平面波都进行了仿真,两种激励源的具体形式分别为:

其中,λ = 28Δs ,n0= 200 ,ndecay= 50 。当使用简谐源时,计算时间总步数为900。当使用高斯源时, 为使高斯脉冲不致于完全离开总场区,计算时间总步数改为450。

图2 - 5分别给出了仿真结束时两套程序仿真的波形曲线。可以看出,不论是用传统的总场 - 散射场方法加入激励源,还是用本文提出的亚网格方法加入激励源,电磁泄漏都是不能绝对避免的,但究竟那种方法引起的电磁泄漏小,从图上不容易看出, 因此文中又引入了一个量S ,并定义:

其中,Ei0为散射场区中某点的电场的理论值,Ei为该点的电场的仿真值,整个求和对散射场区中所有点进行。根据该结果即可评估电磁泄漏的大小,显然该结果越小,电磁泄漏也越小。程序中计算了和四幅图对应的S值,分别为4. 78 × 10-2、4. 64 × 10-2、8. 02 × 10-6和7. 91 × 10-6,其中后两个结果比前两个结果小4个数量级,这是由于后两个结果对应的是高斯脉冲,而高斯脉冲没有完全离开总场区且高斯脉冲两侧的电场近乎为零的缘故。由这些结果可以看出,采用本文提出的方法加入激励源可以有效地减小总场 - 散射场源的电磁泄漏。

3结束语

以往的亚网格方法主要用来模拟电磁散射体的精细结构。本文把亚网格方法用于模拟总场 - 散射场源,有效地减少了总场 - 散射场源所固有的电磁泄漏。

此外,由于所有波的波动方程都是一样的,相应的时域有限差分法也大同小异,所以本文提出的方法并不局限于电磁波的数值仿真,也可推广用于其它波如声波、地震波等的数值仿真。

摘要：总场-散射场源是时域有限差分法(FDTD)最常用的激励源,但受时域有限差分法电场和磁场数值采样既不同位又不同时的影响,不可避免地会有入射波泄漏到散射场区,从而对计算结果造成影响。文中提出一种减少总场-散射场源电磁泄漏的方法,其基本原理是:在总场区和散射场区的连接界面附近,使用亚网格进行仿真,而在其它区域,使用主网格进行仿真。使用亚网格仿真时,空间步长和时间步长均明显小于使用主网格仿真时的空间步长和时间步长,从而可以明显减小在加入激励源时电场和磁场数值采样既不同位又不同时的影响,大幅度地改善计算结果。编程进行了数值实验,实验结果表明新方法在减少总场-散射场源电磁泄漏方面效果明显。

复合电磁散射篇6

粗糙地、海表面的电磁散射理论在诸如雷达探测、海洋工程、遥感、辐射定标以及天文学等领域都有及其重要的意义[1,2,3,4]。对于实际的海面来说,传统的分形模型[5,6]其表面谱只是满足负幂律关系,同时还未给出分形模型中如高度起伏均方根、空间波数等参数与实际海况参数之间的关系,改进的分形模型既可以满足正幂律谱又可满足负幂律谱,能更好地反映整个海面的完全谱。

在粗糙面电磁散射的研究中,近似解析法如基尔霍夫近似法[7](KA)和微扰法[8](SPM)等有小斜率近似的限制,仅能够解决微粗糙度粗糙面的电磁散射问题,矩量法是一种有效研究这类粗糙面散射问题的方法及工具,这是因为它能够避开近似解析方法的上述局限性。本文应用矩量法研究了锥形波[1]入射时,一维改进的分形海面的电磁散射特性,数值计算得到了改进的分形海面散射系数随散射角的变化曲线,讨论了海面风速、分维数、入射波频率对散射系数的影响,得出一维改进的分形海面散射系数的基本特征和随频率变化特征。

1 改进的分形海面模型

采用改进的一维分形模型来模拟实际的风驱海面,该分形模型能反映整个海面的完全海谱,其具体形式为[9]:

undefined

式中,δ为粗糙面高度起伏均方根,η为归一化因子,D(11),βm、ϕm为[-π,π]上服从均匀分布的随机相位,vx为观测者的速度,M、N为求和次数。对于风驱海面来说,海面高度起伏均方根、空间波数、海面风速满足下面特定的数学关系:

δ=0.03498Uundefined/4 (2)

K0=0.8772g/Uundefined (3)

此处,U19.5为距海面高度为19.5m处的风速, 为了更好地与PM海谱拟合,可确定改进的分形模型中各参数取值分别为ξ=2.9,b=1.015,a=1/b,M=N=400。

2 粗糙面电磁散射的矩量法理论

图1为一维粗糙面电磁散射几何示意图。上层介质Ω0(ε0=1,μ0=1)为自由空间,下层介质Ω1的相对介质参数为ε1,μ1=μ0粗糙面轮廓记为S,其表面函数为z(x),θi和θs分别为入射角和散射角。考虑电磁波ψi(r)入射到粗糙海面上,ψ0(r)表示海面轮廓S上任意点的总场,ψ1(r)表示粗糙面S下表面任意点的总场,它们满足下面积分方程[1]:

undefined

这里,undefined为粗糙面上任意点的单位法向矢量,G0(r,r′)和G1(r,r′)分别为区域Ω0和Ω1的格林函数,ψ0(r)和ψ1(r)满足的边界条件为:

ψ0(r)=ψ1(r) r∈Sr (6)

undefined

将式(5)代入式(4),并粗糙面S沿x离散为N断,则方程(4)可离散为如下矩阵方程:

undefined

方程中,undefined。其中每个矩阵的元素的表达式为:

undefined

此处,γ=1.78107,e=2.1718138,k0=2π/λ 为上半空间中的Ω0的波矢,undefined为下半空间Ω1中的波矢,Hundefined为第1类1阶汉克尔函数。

为了避免人为截断粗糙面而引起的计算误差,采用Thorsos锥形波[1]代替平面波入射,通过共轭梯度法,可求解出方程式(6)中V1、V2的解,区域Ω0中任意点的散射截面可表示为:

undefined

其中:

ϕundefined(θS,θi)=∫S{-U1(x)+U2(x)k0[z′(x)

sinθS-cosθS]}exp(-ikS·r)dx (14)

3 数值计算结果和讨论

实际的海面由改进的分形模型来模拟,如图1所示。在下面计算过程中若无特别声明,锥形入射波参数取入射角θi=30°,频率f=0.3GHz,锥形波射束宽度系数g=L/4,海面介电常数ε=73.41-52.51i,海面长度L=160λ,粗糙面别分为1600个网格点。本文只研究TM波入射的情形,计算结果采用100个粗糙面样本取均值得到。

3.1 海面风速对散射系数的影响

图2给出了散射系数随海面风速的变化情况,计算中取海面分维数D=1.62。可以看出,在除镜向方向附近的大部分散射角范围内,散射系数随着海面风速的增大而增大,这是因为粗糙海面的粗糙程度随着风速的增大而增大,导致非相干散射增强。

3.2 海面分维数对散射系数的影响

图3给出了不同海面分维数对散射系数的影响结果,计算中取海面风速u=2m/s。从图中可以看出,在除镜向方向附近的大部分散射角范围内,散射系数随海面分维数的增大而增大,这是因为海面分维数越大,粗糙面的粗糙程度越大,导致非相干散射越强。另外,通过比较图2和图3可以发现海面风速对散射系数的影响较大,而海面分维数对散射系数影响较小,这是因为分维数只影响粗糙面的细节粗糙情形。

3.3 入射波频率对散射系数的影响

图4给出了散射系数随入射波频率的变化情况,计算中取海面长度L=160m,海面风速u=2m/s,分维数D=1.62。可以看出,在除镜向方向附近的大部分散射角范围内,散射系数随入射波频率的增大而增大,这是因为在粗糙面参数一定的条件下,入射波频率越大,粗糙面的相对粗糙度越大,导致非相干散射越强。

4 结束语

本文应用改进的分形模型模拟了实际的粗糙海面,运用矩量法离散了粗糙海面的电磁场积分方程,并利用共轭梯度法求解了该矩阵方程,数值计算得到了散射系数随散射角的变化曲线,讨论了海面风速、分维数以及入射波频率对散射系数的影响,这些结果在诸如雷达探测、海洋工程、遥感、辐射定标、粗糙面重构等电磁散射问题中有着广泛的应用。当然本文仅限于对一维改进的分形海面的电磁散射进行研究,对于更为复杂的粗糙面的电磁散射问题有待于今后作进一步研究,有关理论和计算结果还有待于实验验证。

参考文献

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复合电磁散射篇7

近几十年来,粗糙面散射一直是一个十分活跃、有着大量实际应用、且为许多学科领域共同研究的热门课题[1,2,3,4,5]。如海面通信会受到海面粗糙度的影响,在无线海洋学中,通过雷达接收到海杂波来探测海浪特性;红外、可见光遥感中,利用目标表面对光波的散射获得数据以识别目标形态和特征;再如对人体组织的超声波散射,粗糙金属表面的光学散射等方面均属于粗糙面散射问题。在近年来,研究粗糙面电磁散射的方法不断得到丰富和发展,目前基于各种积分/微分方程的电磁场数值方法有有限元法[6]、时域有限差分法[7]和矩量法[3,8]等方法。

在以往的粗糙面散射研究中,大多采用近似解析法,但近似解析法如基尔霍夫近似法[9](KA)和微扰法[10](SPM)等都有小斜率近似的限制,它们的求解不够准确,而且近似解析方法仅能够解决微粗糙度粗糙面的电磁散射问题,矩量法能够避开近似解析方法的上述局限性,在近似方法失效时得到一些重要的散射效应。另外,过去粗糙海面的数学模型也常采用周期函数或随机函数描述,但是实际的粗糙海面一般既不是纯随机的也不是完全周期的。分形粗糙面存在着自相似性,同时具有在大范围内有序和小范围内无序的特点[11,12],能更好地反映自然界中粗糙面的物理特性。本文采用一维带限Weierstrass分形函数来模拟实际的分形海面,依据海水的介电特性,运用矩量法研究了锥形波[3,13]入射时,一维带限Weierstrass分形海面的电磁散射特性,数值计算得到了散射系数随散射角的变化曲线,讨论了海面风速、分维、海水盐含量、入射波频率对散射系数的影响。

1一维带限Weierstrass分形粗糙海面模型

采用一维带限Weierstrass函数来模拟实际的分形粗糙海面,该函数从Weierstrass-Mandelborot函数衍生而来,具有一定的内、外尺度,保证了在一定区间内保持分形的主要特征,该函数表示为[14]

式(1)中,D为分维数(1<D<2),b(>1)为空间基频,K为海表面的空间波数,φn为(0,2π)上均匀分布的随机相位,δ为粗糙海面高度起伏均方根。当空间基频b取有理数时,Z(x)表现为周期函数,当空间基频b取无理数时,Z(x)表现为准周期函数,最高谐波数N可以由入射波的频率来确定,即KbN-1=海面高度起伏均方根δ和空间波数K以及风速u满足下面的关系[15]

式(4)中,g=9.8 m/s为重力加速度,u为海面19.5 m高处的风速。

2理论计算公式

图1为粗糙面电磁散射问题的几何示意图。粗糙土壤表面轮廓记为Sr,θi和θs分别为入射角和散射角。考虑电磁波入射到一维粗糙面上,表示粗糙面Sr上表面任意点的磁场,表示粗糙面Sr下表面磁场,它们满足下面积分方程[3]

这里,G0( $\vec{r}$ , $\vec{r}$ ′)和G1( $\vec{r}$ , $\vec{r}$ ′)分别为上半空间Ω0和下半空间Ω1中的格林函数,对于粗糙面Sr上的任意点 $\vec{r}$ , $ψ_{0} (\vec{r})$ 和 $ψ_{1} (\vec{r})$ 满足边界条件

式(6b)中, $ρ = \frac{ε_{1}}{ε}$ 。

将式(6)代入式(5),并沿x轴离散粗糙表面轮廓Sr为N断,采用脉冲基函数,以点匹配做检验,将积分方程(5)离散化为如下方程

矩阵方程中, $U_{1} (x) = \sqrt{1 + f^{'} (x)} (\overset{\land}{\vec{n}} \cdot \nabla ψ_{0} (\vec{r} ´))_{} \vec{r} \in S_{r} ‚ U_{2} (x) = ψ (\vec{r} ´)_{} \vec{r} \in S_{r} ‚ f (x)$ 为粗糙海面高度起伏函数,其中Amn、Bmn、Cmn和Emn为方程离散系数。

为了尽量减少数值计算中粗糙面的人为截断所引起的边缘效应,采用THorsos锥形波[3]代替一般的平面波入射, 锥形波的射束宽度参数取 $g = \frac{L}{4}$ 。利用共轭梯度法解矩阵方程(7)就可以得到U1(x),U2(x),采用锥形波入射后,粗糙面的散射截面为

式(8)中

此时,散射系数定义为

3 数值计算结果和讨论

采用一维带限Weierstrass分形粗糙面来模拟实际的粗糙海面,如图1所示。在下面计算过程中若不特殊说明,锥形入射波参数取 $θ_{i} = 30^{0} ‚ g = \frac{L}{4} ‚ f = 1.2$ GHz。粗糙面参数取 $L = 160 λ ‚ b = \frac{e}{2}$ ,将粗糙面长度划分为1 600个网格,采用100个粗糙面样本统计。选取海水温度T=25 ℃,不同海水盐含量S对应的等效介电常数ε=ε′+ε″i。根据文献[16]计算得到。本文只考虑锥形TM入射波的情形下,一维带限Weierstrass分形海面的的电磁散射问题。

3.1 风速对散射系数的影响

取D=1.1,S=20 ‰,f=1.2 GHz,分别取风速u=2.0 m/s,u=4.0 m/s,u=8.0 m/s,研究风速u对散射系数σ的影响,数值计算结果如图2所示。从图2看出,散射系数σ随散射角θs变化曲线是振荡的,但还是有固定的规律可循,总体来说,散射系数σ在大部分散射角θs区域内随风速u的增大而增大,在镜向散射方向,散射系数σ随风速u的增大而减小。这主要是因为粗糙海面的粗糙度随着风速u的增大而增大,导致非相干散射分量增大,相干散射分量减小。

3.2 分维对散射系数的影响

图3给出了u=2 m/s,S=20 ‰,f=1.2 GHz的情况下,不同分维D=1.1,D=1.5,D=1.9对应的散射系数σ随散射角θs的变化曲线。不难看出,镜向散射系数σ几乎不随分维D的变化而变化,但非镜向方向散射系数σ随着分维D的增大而增大,这一结果在-900<θs<-200范围内尤为明显,这是由于分维D越大,粗糙面粗糙程度越大,导致非相干散射分量增大。

3.3 海水盐含量对散射系数的影响

取u=2.0 m/s,D=1.1,f=1.2 GHz,海水盐含量分别取S=10 ‰,S=20 ‰,S=30 ‰,在海水温度T=25 ℃的情形下,依据文献[16]计算可得不同海水盐含量对应的海水等效介电常数ε=75.42+29.98i,ε=73.43+52.51i,ε=71.51+73.46i,研究海水盐含量S对散射系数σ的影响,数值计算结果如图4所示。从图4可以看出,不同海水盐含量S对应的散射系数σ随散射角θs的变化曲线几乎是重合的,但在大散射角区域,散射系数σ随海水盐含量S的增大而减小,这一结论对海洋遥感等工程问题来说颇有意义。

3.3 入射波频率对散射系数的影响

图5给出了入射波频率f对一维Weierstrass分形海面散射系数σ的影响情况,计算时各参数取值如下:u=2 m/s,D=1.3,S=20 ‰,L=40 m,入射波频率分别取f=0.5 GHz,f=1.0 GHz,f=2.0 GHz,通过计算得到不同入射波频率f对应的海水等效复介电常数ε=71.80+167.94i,ε=71.62+86.62i,ε=70.97+48.46i。从图5可以看出,入射波频率f越小,散射系数σ角分布曲线振荡的振幅越大。另外,在镜向方向附近的一个小范围内,散射系数σ随着入射波频率f的增大而减小,这主要是由于在海面粗糙度参数固定的情形下,入射波频率越大,则粗糙面的相对粗糙度就越大,导致散射曲线的镜向峰值减小。

4 结束语

本文采用一维带限Weierstrass分形函数来模拟实际的分形海面,运用矩量法离散了一维带限Weierstrass分形海面电磁场积分方程,并利用共轭梯度法求解了该矩阵方程,数值计算了一维带限Weierstrass分形海面在锥形波入射情形下电磁散射的特性,讨论了风速、分维、海水盐含量、入射波频率对散射系数的影响。得出了一维带限Weierstrass分形海面散射系数的基本特征、分维特征和随频率变化特征。毫无疑问,这些结果在诸如环境遥感、探地雷达、无线电传播与通信、粗糙面重构等电磁散射问题中有着广泛的应用。当然本文仅限于对一维带限Weierstrass分形海面电磁散射进行了研究,对于其它类型的一维粗糙面、以及更为复杂的二维粗糙面的电磁散射问题有待于今后作进一步研究,有关理论和计算结果还有待于实验验证。

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