行星轮系

2024-09-18

行星轮系（共6篇）

行星轮系篇1

0 引言

机械在工作过程中产生的振动严重影响其设备的生产效率及使用寿命。同时, 由于机械振动所产生的噪声对环境也会产生严重的污染。齿轮传动是各种机械设备应用最广泛的动力传动装置, 而机械振动以及噪声大部分来自于齿轮在工作过程中所产生的振动。因此, 研究齿轮传动系统动力学一直备受人们的关注[1,2,3]。利用有限元法对齿轮系统结构形式、几何参数进行深入的研究, 可以设计与制造高品质的齿轮传动系统。使用Catia行星轮系进行实体建模, 利用Workbench设置单元、材料属性、自由度约束以及有限元分析计算, 得到行星轮系的固有频率和振型, 并进一步分析模数以及压力角变化对行星轮系模态的影响。通过模数以及压力角的变化对行星轮系的结构振动特性分析, 对于提高行星轮系的安全性和可靠性具有重要的意义[4,5]。

1 单个行星排的传动方案

根据输入轴、输出轴和固定轴的不同选择, 可以获取6种不同的传动方案。如表1所示。单个行星排的传动比方案不同, 约束也不同。一般行星齿轮机构用来实现减速传动, 而且要求传动比比较大, 因此选择A方案, 然后根据行星轮系实际传动情况, 对行星轮系进行施加约束并进行模态分析。

2 行星轮系模态分析

2.1 模态分析理论基础

模态分析是动力学分析重要的理论基础, 主要用于确定机械结构和部件的固有频率、固有振型、模态刚度、模态质量和模态阻尼, 是谐响应分析、瞬态动力分析和谱分析的开端。

一个N自由度的线性系统, 其振动微分方程为[6]:

式中:[M]、[C]、[K]分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵;{P (t) }为激振力向量; 、{x (t) }分别为加速度向量、速度向量、位移向量。

要对行星系统进行模态分析, 求解的主要是固有频率和振型参数固有模态, 由于固有频率与外载荷无关, 故可令激振力等于0;且当结构阻尼在很小的情况下, 阻尼对固有频率的影响比较小, 基本上可以不考虑, 因此可以简化成结构无阻尼自由振动方程计算结构的固有特性, 由式 (1) 可得:

其对应的特征方程为:

由式 (3) 可得出n个特征值, 也就是结构的n阶固有频率ωi2和相应的n个特征向量也就是结构的模态振型{φ}i, 它反映了结构按频率ωi振动时各自由度方向振幅间的相对比例关系。

2.2 有限元分析模型

使用Catia对行星轮系进行参数化建模, 模型主要参数:太阳轮齿数、行星轮齿数、齿圈齿数分别为22, 23, 68, 行星轮数目为3, 齿轮模数都为3 m, 压力角都为20°。在Catia中建立的行星轮系模型只是实体模型, 而实际分析中针对的是有限元模型, 如图1所示。因此需要对实体模型进行单元定义和网格划分。

齿轮的材料为铬锰合金钢20Cr Mn Ti, 其弹性模量为2.06×105MPa, 泊松比取值0.3, 密度为7.8×10-9g/mm3。

对行星轮系所有齿轮的齿部以外采用以六面体单元为主进行网格划分, 齿轮齿部则用四面体单元。这样既对重要部分可以进行精确的求解, 而又不会使整个有限元模型网格较多导致计算时间太长。

2.3 行星轮系有限元模型中的自由度约

1) 行星轮系有限元模型的自由度约束

模态分析是在初始约束状态下求解系统的固有频率和振型, 故需要对模型的初始状态进行约束, 包括1个太阳轮, 3个行星轮和1个内齿圈的初始状态约束。

对于太阳轮, 约束其中心孔内的所有节点的ux, uy, uz方向的自由度。

对于行星轮, 需要建立局部柱坐标系, 如图2所示, 坐标系的原点设置在各个行星轮的中心处。设置完成后, 激活局部柱坐标系, 然后约束中心孔处所有节点的ux, uy (uz) 方向的自由度。

对于内齿圈, 则是完全约束齿圈外部所有节点的自由度[7]。

2) 啮合齿轮间耦合关系的设定

在整个分析过程中, 定义齿轮间的接触关系是非常重要的, 齿轮在啮合的过程中齿廓间产生作用力, 故采用定义齿轮间的无摩擦接触关系的方法来模拟实际啮合以便达到简化分析的目的。主要对整个行星齿轮系统的啮合施加接触约束, 即行星轮和内齿圈之间的接触, 太阳轮和行星轮之间的接触, 如图3所示[8]。

2.4 模态分析求解

模态分析是采用试验分析或理论分析的方法来识别系统的模态参数, 为系统结构动力学分析、振动故障诊断及结构的动力特性的优化设计提供依据。

在ANSYS软件中, 模态提取算法主要有Sub-space, Block Lancos, Power Dynamics, Reduced, Damped等。考虑到Block Lancos算法的求解精度高, 计算速度快, 故对行星轮系采用Block Lancos算法进行模态分析。计算时提取模态数为前9阶模态振型及固有频率 (表2) , 各阶模态振型如图4 (a) 图4 (c) 所示[9]。

第一到第六阶固有频率对应振型是三个行星轮的扭转振动, 振幅明显有增大的趋势。第七到第九阶固有频率对应振型分别是不同一个行星轮的摆动振型。

3 齿轮模数的变化对模态的影响

模数是指相邻两轮齿同侧齿廓间的法向齿距t与圆周率π的比值 (m=t/π) , 以mm为单位。模数是齿轮的一个最基本参数。模数越大, 轮齿越高而且越厚, 如果齿轮的齿数一定, 则齿轮的径向尺寸就越大。分别取模数为2 mm, 3 mm, 4 mm, 其他参数不变。然后通过对行星齿轮进行动力学模态分析, 确定模数的变化会对整个行星轮系的模态有何影响。

通过有限元分析得出在不同模数下的固有频率及振型。由于篇幅有限, 振型图不再列出, 通过表3来比较在不同模数下对固有频率的影响。

通过表3和图5可以明显看出, 模数的变化对行星轮系的固有频率有一定的影响, 并且整个行星轮系的固有频率随着模数的增大而减小。

4 齿轮压力角变化对模态的影响

压力角又称啮合角是在两齿轮节圆相切点P处, 两齿廓曲线的公法线 (即齿廓的受力方向) 与两节圆的公切线 (即P点处的瞬时运动方向) 所夹的锐角。对单个齿轮而言称作齿形角。标准齿轮的压力角一般为20°。小压力角齿轮的承载能力较小, 而大压力角齿轮, 虽然承载能力较高, 但在传递转矩相同的情况下轴承的负荷增大, 所以仅用于特殊情况。分别以压力角为18°、20°、22°, 其他参数不变。然后通过对行星齿轮进行动力学模态分析, 确定压力角的变化会对整个行星轮系的模态有何影响 (表4) 。

通过表4和图6可以明显看出, 压力角的变化对行星轮系的固有频率有一定的影响, 并且整个行星轮系的固有频率随着压力角的增大而增大。

5 结论

本文利用有限元软件ANSYS Workbench对行星轮系进行了模态分析, 提取了行星轮系的前9阶固有频率和振型;在其他参数不变情况下, 改变齿轮的模数, 通过有限元分析表明整个行星轮系的固有频率随着模数的增大而减小;在其他参数不变情况下, 改变齿轮的压力角, 通过有限元分析表明整个行星轮系的固有频率随着压力角的增大而增大;通过对行星轮系齿轮和对行星轮系齿轮几何参数的研究, 为行星轮系的结构设计提供直接的理论依据。

参考文献

[1]Ahmet Kahraman.A Kinematics and Power Flow Analysis Methodology for Automatic Transmission Planetary Gear Trains[J].Journal of Mechanical Design, 2004, 126 (6) :1071-1081.

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[5]陶泽光, 李润方, 林腾蛟.齿轮系统有限元模态分析[J].机械设计与研究, 2000 (3) :45-46.

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[9]小飒工作室.最新经典ANSYS及Workbench教程[M].北京:电子工业出版社, 2004.62-65.

行星轮系侧隙分析理论探讨篇2

关键词：侧隙,行星轮系,浮动量,均载

0引言

目前,齿轮副侧隙分析理论主要针对固定轴齿轮副而言,仅适用于齿轮轴有固定支撑且中心距偏差由箱体轴承座孔制造精度保证的情况。然而,在行星轮系传动中,太阳轮、齿圈为浮动件,中心距偏差取决于其浮动量的大小和行星销轴的位置度精度,因此,固定中心距的齿轮副侧隙分析理论不适用于行星轮系齿轮副侧隙分析。

当前,关于行星轮系齿轮副侧隙分析方面的理论很少,本文在充分研究固定中心距齿轮副侧隙分析原理的基础上,结合行星轮系的运动特性,通过均载分析理论估算出太阳轮、齿圈的浮动量,以浮动量为重要设计参数对行星轮系齿轮副侧隙分析理论进行深入的研究。

1固定中心距齿轮副侧隙分析

文献[1]中介绍了固定中心距齿轮副侧隙分析理论,由该分析理论可知,齿轮副侧隙的主要作用是为了保证齿轮在啮合过程中能够得到充分的润滑、避免因齿轮受力变形和摩擦发热膨胀导致挤轧。齿轮副侧隙主要包括以下几部分:

(1)补偿由于温升而引起变形所必需的最小侧隙量jn1:

其中:αn为分度圆法向压力角,(゜);a为齿轮副的工作中心距,mm;α1为齿轮材料的线膨胀系数;α2为箱体材料的线膨胀系数;Δt1为齿轮工作温度与环境温度之差,(゜);Δt2为箱体工作温度与环境温度之差,(゜)。

(2)保证正常润滑所必需的最小侧隙量jn2,其值取决于齿轮传动时所允许的工作温度、润滑方式和齿轮的节圆圆周线速度等。

(3)补偿由齿轮副的制造误差和安装误差所引起的侧隙减小量Jn:

其中:L为轴承支承跨距,mm;b为齿轮齿宽,mm;fpb1,fpb2分别为大、小齿轮的基节极限偏差,μm;Fβ为螺旋线总公差,μm。

(4)齿轮副中心距极限偏差±fa。

综合考虑以上各因素,得到固定中心距齿轮副最小侧隙Jmin:

2行星轮系齿轮副侧隙分析理论研究

通过对行星轮系的运动特性进行深入的分析,将行星轮系简化成合理的力学模型。然后依据均载分析理论,将太阳轮、齿圈的浮动量及各构件的制造误差转换投影到对应齿轮副的啮合线方向上得到当量啮合误差,再根据力学平衡条件,建立轮系的力学平衡方程组,联立求解即可得到太阳轮、齿圈的浮动量。最后,综合考虑太阳轮、齿圈浮动量的大小和行星销轴的位置度精度,并用该综合量替代固定中心距齿轮副侧隙分析理论中的中心距偏差,研究行星轮系齿轮副侧隙理论。

2.1力学模型建立

整个行星轮系由太阳轮、行星轮、齿圈和行星架组成。将行星齿轮系传动机构的各构件看作质量-弹性体,啮合副、回转副及支承处的弹性变形用等效弹簧刚度表示,建立行星齿轮传动静力学模型[2,3,4],如图1所示。本文只以星型传动为例进行研究,其他行星轮系传动结构可以此为基础进行研究。

2.2当量啮合误差分析

行星轮系各轮之间的载荷分布不均及各轮的浮动主要是由于各轮存在当量啮合误差造成的。当量啮合误差主要由各轮的浮动量和制造误差两部分组成。

(1)太阳轮、齿圈浮动量引起的当量啮合误差。依据轮系几何关系[5,6],将太阳轮和齿圈的浮动量转换至外、内啮合线上的当量啮合误差为xsdi和xrdi:

其中:xs和ys分别为太阳轮中心沿固定坐标系的x和y轴方向上的微小位移量,mm;ωH为行星架的转速,rad/s;t为行星轮运转的时间,s;φi为第i个行星轮中心和太阳轮中心的连线与x轴正方向的初始位置角,(゜);αs和αr分别为齿轮副的外、内啮合角,(゜);xr和yr分别为齿圈中心沿固定坐标系的x和y轴方向上的微小位移量,mm。

(2)制造误差引起的当量啮合误差。制造误差包括偏心误差、装配误差及各轮的齿厚公差等,通过理论分析与试验,证明行星架偏心误差和齿厚公差对均载和浮动量影响最大,依据几何关系,可将行星架偏心误差和齿厚公差转换至外、内啮合线上的当量误差。

行星架的制造偏心误差EH转换到太阳轮与第i个行星轮啮合线上的当量啮合误差为espi:

其中:βEH为行星架的制造偏心误差EH相对坐标系x轴正方向的初始位置角,(゜)。

行星架的制造偏心误差EH转换到齿圈与第i个行星轮啮合线上的当量啮合误差为erpi:

太阳轮齿厚公差εs转换到太阳轮与第i个行星轮啮合线上的当量啮合误差为esi:

齿圈齿厚公差εr转换到齿圈与第i个行星轮啮合线上的当量啮合误差为eri:

行星轮齿厚公差εp转换到太阳轮、齿圈与第i个行星轮啮合线上的当量啮合误差分别为epsi,epri:

将上述的当量啮合误差综合可得在太阳轮、齿圈与第i个行星轮啮合线上的综合啮合误差分别为Δspi,Δrpi:

2.3建立平衡方程求解太阳轮、齿圈的浮动量

分析力学模型中各轮的受力情况,建立各轮力学平衡方程,构建行星轮系的受力平衡方程模型,通过相关数值分析理论,求解太阳轮、齿圈的浮动量δsi和δri:

其中γs=arctan(ys/xs).(18)

由于轮系各制造误差具有随机性,因此,需要分析较多行星轮样本,可得太阳轮、齿圈浮动量分布符合蒙特卡罗分布,取其3σ值表征轮系的太阳轮、齿圈浮动量。

2.4行星轮系齿轮副侧隙分析

用太阳轮、齿圈的浮动量加行星销轴的位置度误差之和替代中心距偏差,可得行星轮系外、内啮合的侧隙J1min,J2min:

其中:Ai为第i个行星轮销轴的位置度误差;ηpsi为太阳轮与第i个行星轮的啮合线方向与该销轴的位置度误差方向的夹角;ηpri为齿圈与第i个行星轮的啮合线方向与该销轴的位置度误差方向的夹角。

3结论

(1)深入研究了固定中心距齿轮副侧隙分析理论,指出该理论在行星轮系齿轮副侧隙分析中存在的局限性。

(2)结合行星轮系的运动特性,依据均载分析理论,在充分研究固定中心距齿轮副侧隙分析理论的基础上建立了行星轮系齿轮副侧隙的分析理论。该理论更加适合于行星轮系齿轮副侧隙的分析。

两级行星轮系分岔与混沌特性研究篇3

多级行星齿轮传动系统相比于单级行星齿轮传动系统, 结构更为紧凑, 可增大系统传动比, 提高承载能力, 增加系统功率流的传递路线, 因而在车辆装备、风电设备及大型机械设备中得到了广泛的应用[1]。目前国内外对于单级行星齿轮传动系统的非线性动态特性已进行了大量的研究。Kahraman[2]建立了单级行星齿轮传动的非线性扭转振动模型, 分析了行星齿轮传动的扭转振动特点; 孙涛等[3]在考虑时变啮合刚度、综合啮合误差和齿侧间隙的基础上, 采用谐波平衡法求得了系统的非线性频响特性; al-Shyyab等[4]建立了单级行星轮系非线性扭转振动模型, 运用增量谐波平衡法对系统的动态响应进行求解, 并将解析解结果与数值法结果进行了对比; 孙智民等[5]在忽略各齿轮副啮合刚度波动以及齿轮偏心误差的情况下, 发现行星齿轮扭转振动系统中存在丰富的强非线性动力学行为; Parker等[6]建立了行星齿轮传动的扭转集中参数模型和有限元模型, 分析比较了两种模型下行星齿轮传动的非线性动力学响应。上述文献研究对象均限于单级行星齿轮传动系统, 目前有关多级行星齿轮传动系统动力学特性的研究多侧重于重载机械装备。陈亮等[7]建立了盾构机减速器三级行星齿轮传动系统的动力学模型, 并求解了各构件振动位移的时域响应曲线; 秦大同等[8]采用梯形波表示啮合刚度的时变特性, 分析了行星齿轮啮合过程中的相位关系, 计算了某盾构机三级行星齿轮减速器不同啮合位置的动态响应。以上研究多针对多级行星轮系在重载工况下的应用, 大多忽略了齿侧间隙强非线性因素对其动态特性的影响, 随着现有多级行星齿轮传动系统在车辆装备等高速轻载工况下的广泛应用, 由齿侧间隙引起的多级行星轮系在高速轻载工况下的非线性动态特性研究亟待深入。

本文以某两级行星齿轮传动系统为研究对象, 在综合考虑时变啮合刚度、齿侧间隙和综合啮合误差等强非线性因素的基础上, 推导出该系统在广义坐标下的量纲一动力学方程, 采用数值积分方法对方程组进行求解, 得到了系统的非线性动态响应结果, 综合运用分岔图、相空间轨线和Poincáre截面研究了激励频率和啮合阻尼比对系统分岔与混沌特性的影响。为深入研究多级行星齿轮传动系统非线性动态特性, 降低其振动和噪声影响提供了理论基础。

1 系统非线性动力学模型

图1 为某两级行星齿轮传动系统结构示意图, 该系统由2 个单级2K-H行星轮系串联而成, 其中, 单级行星轮系中, 内齿圈为固定构件, 太阳轮输入, 行星架输出。Tin、Tout分别为系统的输入、输出转矩, 系统两级之间的连接用扭转弹簧表示, 其中K ( 1，2) 表示两级间的耦合刚度。在单级行星齿轮系统中, s为太阳轮, p为行星轮, c为行星架, r为内齿圈。将系统简化为集中参数模型, 并作以下假设: ①系统各构件为刚体; ②每个构件都在垂直于轴线的平面内振动; ③各行星轮在行星架上均匀分布, 且参数相同;④忽略齿面啮合摩擦力的影响。

系统扭转动力学模型如图2 所示。n为行星轮系的级数, Nn为第n级行星轮个数, i为第n级行星轮编号, i = 1, 2, …, Nn。定义 θj ( n) ( j = s, pi, c, r) 为第n级各构件的角位移, 定义角位移时, 以第一级输入端太阳轮顺时针转动时各构件的运动方向为正方向, 齿轮啮合弹性变形受压方向为正。Ij ( n) 为第n级各构件的转动惯量, rbj (n) 为第n级各构件基圆半径。kl (n) 、cl (n) 、2bl (n) 、el (n) ( l = spi, rpi) 分别为太阳轮与行星轮间和内齿圈与行星轮间的时变啮合刚度、阻尼、齿侧间隙和综合啮合误差。

2系统动力学方程

2. 1系统纯扭转原始振动微分方程

根据上述定义的角位移, 可将各构件 ( j = s, p, c, r) 的角位移换算成相应啮合线上的等价线位移:

式中, rc (n) 为第n级行星架半径; α 为渐开线合角。

第n级相互啮合的齿轮沿啮合线方向上的相对位移为

式中, xspi (n) 、xrpi (n) 分别为第n级行星轮与太阳轮和内齿圈沿啮合线方向上的相对位移。

本文根据拉格朗日方程建立的两级行星齿轮传动系统非线性纯扭转动力学方程为

式中, g (xl () l) 为第n级齿侧间隙非线性函数;T (n) s、T (n) c分别为第n级中心构件太阳轮和行星架传递的转矩。

2.2系统激励分析

2.2.1时变啮合刚度

由于行星齿轮传动系统作连续转动, 同级行星轮系各齿轮对之间具有相同的啮合周期。当齿圈固定时, 根据行星齿轮传动关系推导的单级啮合频率为

式中, ω (n) m、ω (n) s、ω (n) c分别为第n级啮合频率、太阳轮转动频率和行星架转动频率;Z (n) s、Z (n) r分别为第n级太阳轮齿数和内齿圈齿数。

根据传动比关系, 本文两级轮系的啮合频率可表示为

式中, Λ为第一级行星轮系的传动比。

采用周期矩形波表示啮合刚度的时变特征[9], 可将两级啮合刚度展开成为Fourier级数, 其一次谐波项可表示为

式中, k (n) ml为第n级啮合副平均啮合刚度;k (n) al为第n级啮合副啮合刚度的变化幅值;φ (n) l为第n级啮合副啮合刚度变化幅值的初相位。

2.2.2行星轮系综合啮合误差

行星轮系综合啮合误差函数可简化为正弦函数形式[10], 即

式中, E (n) l为第n级啮合副综合啮合误差幅值;φ (n) el为第n级啮合副综合啮合误差初相位。

2.2.3齿侧间隙函数

齿侧间隙函数[11]可表示为

其中, 2b (n) l为齿侧间隙。

2.3系统在广义坐标下的量纲一动力学方程

式 (3) 为半正定、变参数微分方程组, 存在刚体位移, 无法直接求解, 定义第一级行星架与第二级太阳轮耦合连接间的相对线位移为

根据式 (2) 和式 (9) 对式 (3) 进行线性变换, 引入相邻质量块之间的相对位移作为新的广义坐标, 则有

由式 (10) 得到的系统在广义坐标下的微分方程组中的各物理量数量级相差很大, 需要对方程组进行量纲一处理。引入量纲一时间自变量τ和量纲一频率ωd, 则τ=ωdt;另外, 引入位移标称尺度, 则量纲一位移、速度和加速度可分别表示为

量纲一综合啮合误差为

量纲一间隙非线性函数可表示为

根据上述各式, 可得到本文系统在广义坐标下的量纲一动力学方程表达式:

式中, ξ1、ξ2分别为外、内啮合副的相对阻尼比。

本文系统在广义坐标下的量纲一动力学方程的矩阵表达式为

3系统动态响应求解及其分岔和混沌特性研究

3. 1系统非线性动态响应求解与分析

多级行星轮系结构复杂, 动力学方程自由度数多, 数值解法对于复杂系统动力学求解具有一定优势。本文两级行星齿轮传动系统的结构参数如下: 第一级齿数Zs= 14, Zpi= 25, Zr= 64, 模数m = 5 mm, 压力角 α = 20°, 行星轮个数N1= 3; 第二级齿数Zs= 17, Zpi= 21, Zr= 59, m = 6 mm, α =20°, N2= 4。该系统计算参数如表1 所示。

本文采用变步长gill积分法对式 ( 12) 进行数值求解[12]。图3 所示为通过改变系统第一级行星轮系量纲一激励频率 Ωm (1) 而得到的系统分岔, 图中只显示了第一级行星轮和内齿圈啮合副的仿真结果, 经验证, 其他齿对所处的运动的状态与该齿对一致。为书写简单, 以下均以 Ωm代替Ωm ( 1) 。

图3 展示了系统稳态运动随激励频率变化表现出来的丰富的非线性动力学行为。由图3 可以发现, 系统第一级量纲一激励频率在[0. 5, 0. 552]区间时, 系统经过拟周期运动, 即经锁相、封闭环破裂进入混沌, 之后经由逆倍周期分岔进入短暂的倍周期运动。其中, 当 Ωm= 0. 508 时, 系统处于拟周期状态, 如图4 所示, 其相轨线类似于2 倍周期运动, 但是其内部轨线之间存在一定距离, 总体上为一个具有一定宽度的闭合曲线带, Poincáre截面为两条封闭曲线; 当 Ωm= 0. 538 时, 系统由拟周期运动进入混沌运动, 如图5 所示, 相轨线充满了相空间的一部分, 呈现复杂的相互交叉与缠绕现象, 既不重合又不封闭, Poincáre截面则分布在一定区域内, 并呈现出具有分形结构的2 个分离的云雾状, 为奇怪吸引子, 说明系统此时处于典型的混沌运动状态; 当 Ωm= 0. 55 时, 系统由混沌回归至倍周期亚谐波响应, 其相轨线环绕2 周之后闭合, 而对应的Poincáre截面存在2 个独立的离散点, 如图6 所示。

随着激励频率的增大, 系统第一级量纲一激励频率在[0. 552, 0. 64]区间, 经分岔发生阵发性混沌, 最后进入稳定的倍周期运动, 其间, 存在多个周期窗口。例如, 当 Ωm= 0. 59 时, 系统由不稳定的拟周期运动进入5 倍周期运动, 如图7 所示, 其相轨线在相空间内环绕5 周之后闭合, Poincáre截面存在5 个独立的离散点。

系统第一级量纲一激励频率在[0. 64, 0. 96]区间时, 系统由倍周期运动经分岔进入拟周期运动后, 进入混沌运动, 经逆倍周期分岔, 依次回归为4 倍周期运动、2 倍周期运动, 当系统第一级量纲一激励频率到达0. 81 时, 系统回归为单周期运动。当 Ωm= 0. 85 时, 系统为单周期谐响应, 如图8 所示, 相图为椭圆闭合曲线, Poincáre截面上存在单个离散点。

3. 2 系统分岔与混沌特性研究

图9 为第一级量纲一激励频率从1. 45 向1. 55 变化时的系列Poincáre截面图, 展示了系统的Hopf分岔特性。系统由稳定的倍周期运动发生Hopf分岔, 从2 个稳定的不动点变为2 个不稳定的不动点后扩张生成为2×T ( 1) 不变环面, 从而进入拟周期运动状态, 随着激励频率的继续增大, 2 ×T ( 1) 环面首先失去光滑性, 接着产生环面振荡、扭曲、缠绕和锁相, 最后演化为混沌运动状态。这种由周期运动向拟周期运动并通向混沌的演化路径经常出现, 属于常规路径。传动系统中的混沌运动不断地由某种轨道突跳到另一种轨道上去的变化, 表明其运动状态的不可预测性和轨道的永不重复性, 这种不可预测性和永不重复的突变会严重影响设备的寿命, 引起大的噪声。机械设备在实际工作中, 应避开拟周期和混沌等复杂运动的区域, 以保证系统在稳定的周期运动区域内正常可靠运行。

3. 3 阻尼系统对系统动态特性的影响

根据灵敏度分析, 发现啮合阻尼比对系统动态特性影响较大。通过改变系统的啮合阻尼比, 得到在 ξ1= ξ2= 0. 1 和 ξ1= ξ2= 0. 12 时, 系统随第一级量纲一激励频率变化的分岔图如图10 所示。对比图10、图3 可发现: 啮合阻尼比对系统动态特性的影响十分明显, 增大阻尼比, 可有效地缩小系统的混沌运动区间, 扩大系统的稳定周期运动区间, 从而提升系统的动态性能。

轮齿之间的啮合阻尼比与轮系结构参数和齿轮物理参数有关, 设计时, 可通过调节轮系结构参数和齿轮物理参数来获得合适的阻尼比, 以缩小系统复杂运动响应的区间, 达到在提高系统可靠性和寿命的同时, 降低系统噪声的目的。

4 结论

( 1) 建立了含时变啮合刚度、齿侧间隙与综合啮合误差等强非线性因素的某两级行星齿轮传动系统纯扭转非线性动力学模型, 推导了该系统在相对位移坐标下的量纲一动力学方程, 采用数值积分方法对方程组进行了求解, 得到了系统的非线性动态响应结果。

( 2) 多级行星轮系在高速轻载工况下, 由于齿侧间隙强非线性因素的作用, 系统表现出非常丰富的非线性动力学行为和分岔特性。随着激励频率的变化, 系统会发生简谐单周期运动、非简谐周期运动、拟周期运动和混沌运动。

( 3) 系统通过Hopf分岔由周期运动进入混沌运动, 这种由周期运动向拟周期运动转化最终通向混沌的演化路径属于常规路径。实际设备工作时, 应避开拟周期和混沌等复杂运动的区域, 以保证系统在稳定的周期运动区域内正常可靠运行。

( 4) 在耗散系统中, 啮合阻尼比对于系统的动态特定影响很大, 适当增大阻尼比, 可有效压缩系统的混沌运动区间, 增大周期运动的区间, 从而提高系统的动态特性。在设计时, 可考虑通过调整系统的结构参数和设计参数, 选择合适的啮合阻尼比来提高设备的可靠性和寿命。

参考文献

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行星轮系篇4

1 2K-H型行星轮系优化设计模型

为了建立优化模型，首先讨论行星轮和太阳轮之间齿数的关系。由图1可看出，为了便于叙述，分别用zb、zs表示大齿轮和小齿轮的齿数，zt、zx分别表示太阳轮和行星轮的齿数。对于传动比i≥4时，太阳轮为小齿轮，行星轮为大齿轮，此时有zt=zs，zx=zb，zt=i-22zx;当传动比i<4时，太阳轮为大齿轮，行星轮为小齿轮，此时有zt=

1.太阳轮;2.行星轮;3.齿圈

1．1建立目标函数

以行星轮系的最大承载力和最小体积为目标进行优化。

最大承载力目标函数：

F1(x)max=T(1)

最小体积目标函数[4]：

式中：m为齿轮模数;b为齿轮宽度;z为太阳轮齿数;C为行星轮个数;i为齿圈太阳轮齿数比。

1．2确定设计变量

由式(1)(2)可知，F1()x和F2()x由m、b、z、C、T5个独立参数决定，故取设计变量为：x=T,m,z,b,[C]=x1,x2,x3,x4,x[5]。

1．3建立约束条件

弯曲强度要求：

接触强度要求：

式中：KA为载荷系数;KV为动载荷系数;YF为齿形系数;Ys为应力较正系数;α为齿轮啮合角;E为齿轮材料弹性模量;σ[F]为许用弯曲应力;σ[H]为许用接触应力。

保证各个行星齿轮齿顶不相互碰撞条件：

式中：Dx1为行星轮齿顶圆直径;A为太阳轮和行星轮直径的中心距。

限制齿宽系数的范围：

边界约束：小齿轮不发生根切zs≥17;

限制齿宽最小值b≥10;

限制模数最小值m≥2。

2 基于NSGA-2算法的优化设计

以往的设计方法由于缺少高效的算法，有时仅是根据经验和结构需要，在几种方案中选择较佳方案。单方面的提高某一目标而使另一目标下降，使设计在初期就有了不完备性，而多目标优化设计能够解决此类问题。多目标算法是多目标优化设计学科首要研究的问题。对于多目标优化问题，通常存在一个解集，其特点是：在改进任何一个目标函数的同时不削弱其它任何一个目标函数，这种解就称为非支配解或Pareto最优解[2]。NSGA-2算法是最近流行的多目标优化算法，它能够高效的找到各个目标函数的最优值，其计算过程见图2。

3 实例分析

设某2K-H型行星齿轮减速器的传动比为i=4.65，齿轮材料为38SiMnMo，相应的弯曲许用应力取值范围为：430≤σ[F]≤880MPa，1 300≤σ[H]≤1 650MPa，经查手册各个系数取值为：KA=1.1，KV=1.5，YF=2.65，Ys=2.65,E=206 000MPa。

根据分析，建立优化数学模型：

目标函数F1(x)max=-x1;;设计变量x=T,m,z,b,[C]=x1,x2,x3,x4,x[5];约束条件;;边界条件x3≥17,x4≥10,x2≥2。

将所建立的模型运用MATLAB编制成程序，在NSGA-2的主程序里调节交叉概率为0.85，变异概率为0.02，种群规模为50，进化代数为200。最终运算结果见图3和图4(图中横纵坐标分别表示目标函数1和目标函数2的值)。

从图3和图4中可以看出，理想点约为1 450.81和4.41×106。在计算到200代时，将计算过程中的一些参数值列出(见表1)。

根据设计规范和标准，一些参数值经过查手册圆整后，成为优化设计后的计算参数。为说明NSGA-2的优越性，现将常规设计、普通GA算法[5]和NSGA-2算法所得的设计结果进行比较。由表2可知，用NSGA-2算法得到的优化设计结果，体积有所减少，承载能力略有下降，而多目标优化设计本身就是一个权衡的过程，计算的最终结果是力求使总的优化效果达到最好，不是单独的注重某一方面。

4 结论

多目标优化设计更贴近工程设计，有广泛的应用价值，比传统的单目标优化设计有着更为接近全局最优解的优越性。该文应用NSGA-2优化算法，对2K-H型行星轮系进行了多目标优化设计，为2K-H型行星轮系的多目标优化设计提供了一个可行方案。从计算的结果来看，算法有很好的收敛性，能给出合理的优化解。优化结果表明，行星传动的体积和最大承载能力都介于常规设计和普通算法之间，表明对多目标的权衡作用更好。

参考文献

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[4]周廷美,蓝悦明.机械零件与系统优化设计建模与应用[M].北京:化学工业出版社,2005:20-26.

行星轮系篇5

本文通过建立NW型双自由度行星传动的可靠度模型,对负载、齿宽和速比分配系数等因素对太阳轮以及整个系统可靠性的影响进行了研究。

1 速度参量求解

如图1所示为NW型行星轮系示意图。

图1中,1、2、2'、3、H分别代表轮系中的内齿圈、小行星轮、大行星轮、太阳轮和行星轮架,其中1,3,H的转动轴在一条直线上。T1表示内齿圈1的输入转矩,T3表示太阳轮3的输入转矩。

故

因为齿轮1、和3为主动件,故n1和n3为已知值,且n3=αn1。

再结合运动方程[4]

得各个构件转速及相对行星架转臂的转速见表1。

2 齿数比的优化分配

对行星轮系来,体积的缩小不仅意味着节约了材料,减少了空间占用,还意味着适应性更强,可靠性更高。故以行星轮系的体积最小化为目标建立数学模型[5]。

行星轮系的体积受强度的影响,接触应力及许用应力计算公式为[6]

式中,μ1是内齿圈1与小行星轮2的齿数比;μ2表示大行星轮2'和太阳轮3的齿数比;K1为载荷系数;Ft1=2T1/(kd1);k表示行星轮的个数;[σ]H1=σH lim1ZN1/SH1。

令

故

同理可得

为简化计算,用齿轮分度圆圆柱体代替齿轮体积进行计算,

行星轮系的总体积为

即

又μ1、μ2的取值范围为[7]

为使体积最小,取μ1=4.8,μ2=1.2。

3 可靠度模型

由于点蚀是齿轮失效的主要形式。只考虑点蚀疲劳导致的系统失效。

3.1 内齿圈的可靠度模型

大量研究表明,齿轮点蚀疲劳寿命的可靠度和应力循环次数具有以下关系[8]。

式(1)中,R(t)表示齿轮单个轮齿的可靠度;l表示齿轮接触面上的应力循环次数;l10表示齿面失效概率为10%时的应力循环次数;βs是齿轮的威布尔指数。

研究表明,当齿面失效概率为10%时,单个轮齿载荷和寿命之间具有以下关系[8]。

式中,Ft表示轮齿受到的切向力;εs是直齿轮的威布尔疲劳寿命系数(一般取4.3);C表示额定动载荷;f'表示有效齿宽;ρΣ表示综合曲率半径;对于钢制材料的齿轮,B一般取常数135 MPa。

设l表示一对内啮合齿轮轮齿的应力循环次数,以内齿圈的百万转数为单位,将其定义为寿命;N表示行星传动中齿轮相对行星架的应力循环次数,以内齿圈的百万转数为单位,将其定义为当量寿命。由于内齿圈同时与k个行星轮啮合,故内齿圈的每个轮齿承受k N1次应力循环[2]。根据表1可知

齿轮各个轮齿之间组成的是一个串联系统,根据串联系统可靠性乘积模型[9],若单个轮齿的可靠度为R(t),则有z1个齿的内齿圈的可靠度为

由式(1)、式(4)、式(5)得内齿圈1的可靠度表达式为

式中,N1是内齿圈1可靠度为R(t)时的当量寿命;l1,10为内齿圈可靠度为0.90时单个轮齿的寿命。当失效概率为0.10时,当量寿命N1,10为

又,结合式(2)、式(3),可得内齿圈1的当量动载荷D1为

当内齿圈失效概率为0.10时,内齿圈载荷与寿命的关系式是

故,内齿圈1的可靠度为

3.2 其余构件的可靠度模型

根据内齿圈1的可靠度模型的推导过程,易得小行星轮2、大行星轮2'以及太阳轮3的可靠度模型见表2。

3.3 系统的可靠度

由于系统各个构件是串联关系,故系统的可靠度服从乘积模型[8]

R(t)=R1(t)R2k(t)Rk2'(t)R3(t),即

式(6)中,βs是齿轮的威布尔指数,且βs=2.5。

4 实例及图解分析

以应用于某电动工具中的NW型双自由度行星传动系统(其传动结构如图1所示)为例,分析转速分配因数α、负载和齿宽等因素对系统及太阳轮3可靠度的影响。实例中取钢制齿轮模数为3 mm,节圆压力角20°,大、小行星轮的个数均为3个,输入转矩T1=191 N·m,齿圈1的输入转速n=1 000r/min。为实现体积最小模型中的传动比和满足尺寸约束条件,取μ1=1.2、μ2=4.8,设计了13种方案,各方案的数据如表3所示。表3中有效齿宽取为理论齿宽的三分之一。

以横坐标表示当量寿命,以纵坐标表示可靠度,根据式(6)绘制系统和太阳轮的可靠度分布曲线图(图2~图7)。图2是根据方案1~4绘制的图像,从中可以看出,在一个输入转速不变的情况下,轮系的可靠度随速比系数α的增大而下降,再结合图6易得,α的增大使太阳轮3的可靠度下降,从而导致了整个NW型行星轮系的可靠度下降。图3是根据方案5~8绘制的图像,从中可以看出,齿数的合理配置,对行星轮系的可靠度有着举足轻重的作用,再结合图7易得,太阳轮的齿数配置尤为关键,对整个系统的可靠度起着决定性作用。图4表明,系统的可靠度随着齿宽的减小而减小。从图5中可以清楚地看出,系统的可靠度随着负载的增大而急剧下降,这表明电动工具的堵转或过载将会导致齿轮的磨损加剧、传动性能恶化以及使用寿命迅速下降。

5 结论

本文将传动比的优化模型和NGW型行星轮系的可靠度设计理论相结合,建立了NW型双自由度行星轮系的可靠度模型,并结合实例绘制出了行星轮系构件和系统与当量寿命的分布曲线,研究了速比分配系数、齿宽和负载等因素对太阳轮以及整个系统可靠度的影响。

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行星轮系篇6

机械系统的运动学分析主要涉及系统及其各构件的运动分析,它与引起运动的力无关[1]。运动仿真是在已知机构尺寸及原动件运动规律的情况下,确定机构中其他构件上某些点的轨迹、位移、速度及加速度和构件的角位移、角速度及角加速度。ADAMS是虚拟样机分析软件,它具有强大的运动学、动力学仿真和后处理功能,但其几何建模却有很多不足之处,这就很有必要利用CAD(Pr o/E等)软件建模来解决这个问题。

1 齿轮的参数化[2]建模

利用Pr o/E,并根据标准渐开线方程和齿根过渡曲线方程准确地建立了直齿轮的齿形。因此,建立参数化的通用模型设计新的齿轮时,根据需要输入齿轮的参数,如齿数、模数和齿轮宽度等数据,就可以自动生成新的齿轮。齿轮参数化设计可以方便齿轮的修改,在优化设计中不必重新建模,而省去大量时间。

1.1 设置齿轮的参数

以某特种减速器上的作为典型齿轮传动的2Z-A行星齿轮传动(图一)为例,其主要参数如表一所示。

1太阳轮2行星架3行星轮4齿圈

由于太阳轮的齿数小于zmi n=17,所以将太阳轮做出齿轮轴。

在Pr o/E工具菜单中选择参数选项,定义m(模数)、z(齿数)、pa(压力角)、wi dt h(齿宽)、x(变位系数)、ha*(齿顶高系数)、c*(顶隙系数)。在草绘中画四个圆并定义如下关系:

齿顶圆直径da=(z+2ha*+2x)*m;

齿根圆直径df=(z-2ha*-2c*+2x)*m;

分度圆直径d=m*z;

基圆直径db=m*z*(cos(pa)/(1+x/z))。

1.2 创建标准渐开线直齿圆柱齿轮轮廓线

渐开线的形成可以看作是当一条直线沿着一个圆的圆周作纯滚动时,直线上任意一点的轨迹便是该圆的渐开线,这个圆称为渐开线的基圆[2]。齿轮渐开线的生成原理如图二所示。

在Pr o/E界面中单击“创建/插入基准曲线/从方程”,然后坐标系选择“笛卡儿”,在打开的记事本中输入如下渐开线方程式文件并保存。

r=db/2

t het a=t*45

x=0

z=r*s i n(t het a)-r*(t het a*pi/180)*cos(t het a)y=r*cos(t het a)+r*(t het a*pi/180)*s i n(t het a)

对于参数化设计的齿轮,只须在“参数”窗口中灵活地更改设计参数经“再生”即可。

齿圈为内啮合齿轮,其齿顶圆与齿根圆的计算公式与外啮合齿轮不同,应为齿顶圆直径da=(z+2ha*+2c*+2x)*m,齿根圆直径df=(z-2ha*+2x)*m。在Pr o/E中建好的行星轮齿圈太阳轮模型如图三,装配图如图四所示。

1.3 装配模型的干涉检查

在Pr o/E环境中利用菜单“分析/模型分析/体积干涉或全局干涉”对装配后的模型进行干涉分析检查,结果中会列出干涉的零件,干涉的位置在模型中加亮显示。

2 约束副的创建

将三维模型导入ADAMS后(模型如图五),添加约束条件。由于进行运动仿真时不考虑力的影响,啮合齿轮之间的约束通过齿轮副实现,可以得到准确的传动比和转速。

齿轮副关联两个运动副和一个方向坐标系(Mar ker),这两个运动副可以是旋转副、滑移副或圆柱副,通过它们的不同组合,就可以模拟直齿齿轮、斜齿齿轮、椎齿轮、行星齿轮、涡轮-蜗杆和齿轮-齿条等传动形式[3]。行星齿轮系的运动特点是,齿圈和大地固定,行星轮本身自传和绕轴心公转,太阳轮绕轴心自转。一般轮系齿轮副的公共机架设为大地,但行星轮系中的行星轮需要创建两个旋转副,一个绕轴心公转,一个绕本身质心自转。而行星轮的质心相对于大地是运动的,所以不能选择大地作为行星轮和太阳轮以及行星轮和齿圈的齿轮副的公共机架,而选择行星架作为公共机架。

2.1 太阳轮与行星轮之间的齿轮副创建

选择ADAMS/Vi ew约束库中的旋转副(Revol ut e)图标,选择2Bod-1 Loc和Nomal To Gr i d。第一Par t选择行星轮,第二Par t选择行星架,将Ji ont 1放在行星轮质心坐标点上;选择ADAMS/Vi ew约束库中的旋转副(Revol ut e)图标,选择2Bod-1 Loc和Nomal To Gr i d。第一Par t选择太阳轮,第二Par t选择行星架,将Ji ont 2放在太阳轮质心坐标点上;在Joi nt name栏内点鼠标右键,在Pi ck栏内选取J i ont 1、J i ont 2,在Comm on Vel onci t y mar k栏内选取行星轮与太阳轮啮合点的坐标系(Maeker),创建了一个行星轮与太阳轮之间的齿轮副。

2.2 齿圈与行星轮之间的齿轮副创建

选择ADAMS/Vi ew约束库中的旋转副(Revol ut e)图标,选择2Bod-1 Loc和Nomal To Gr i d。第一Par t选择齿圈,第二Part选择行星架,将Jiont3放在太阳轮质心坐标点上;在Joint name栏内点鼠标右键,在Pick栏内选取Jiont1、Jiont3,在Common Veloncity Mark栏内选取行星轮与齿圈啮合点的坐标系(Maeker),创建了一个行星轮与齿圈之间的齿轮副。

注意:Maeker点要建立在行星架上,并且Maeker点的z轴方向与齿轮副啮合点的运动方向一致。

3 运动仿真

在行星架建立在大地上的旋转副上施加驱动,在驱动库中选择旋转驱动图标,在Speed一栏中输入360,表示每秒钟旋转360度。

点击仿真按钮,设置仿真终止时间为1s,仿真步长为10步,然后点击开始仿真按钮,进行仿真。由仿真结果可以测量到太阳轮和行星轮的转速分别如图六、图七所示。

图六太阳轮的角速度曲线

由图可知,太阳轮转速为ωa=272rad/s,行星轮转速为ωb=-473.1rad/s,方向与行星架的转动方向相反。2Z-A型行星传动相对角速度的传动比为[4]:

式中:p——内齿轮与中心轮的齿数比,称为2Z-A型行星传动的特性参数(或称内传动比),一般可取p=2~8。

其中

两式相等,实际结果和理论数值相等,这说明该行星齿轮传动机构的设计是正确的,且运动时各构件相对比较稳定定,,装装配配达达到到了了约约束束要要求求。。

4 结束语

通过本文的实例我们可以在ADAMS中对其进行动力学仿真,并分析其仿真结果及数据,进行优化,有助于在短期内得到更好的产品。

摘要：利用Pro/E对齿轮进行参数化建模,将其装配模型导入到ADAMS中建立虚拟样机模型,继而对该模型进行运动仿真,得到其转速特性曲线。