推理及分析能力

2024-07-08

推理及分析能力（精选4篇）

推理及分析能力篇1

摘要：推理能力在国际数学教育界被一致视为基础且重要的能力。本研究从数学素养试题库中选取数学推理能力问题, 对中国和英国8年级部分学生进行测试。测试结果显示, 英国学生在代数推理和概率推理方面的得分要高于中国学生, 中国学生在几何推理得分要高于英国的学生。本文结合课堂观察对差异产生的原因进行了分析, 并提出对中国数学教育的几点启示。

关键词：数学推理能力,中学生,中英比较

推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式, 是对判断间的逻辑关系的认识。推理能力一直是世界各国教学中所追求的重要目标之一, 同时也是各国数学课程标准中的重要内容。中国《全日制义务教育课程标准 (修订稿) 》中将“推理能力”作为一重要目标, 并强调“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。[1]”英国的《达成目标》也将“应用数学推理 (use mathematical reasoning) [2]”作为其一项重要的过程目标。旨在测评学生数学素养的“国际学生评价项目” (PISA) 将推理能力作为能力水平考查中的一项重要内容, 并明确了对其进行评价要聚焦于如下四个方面[3]:一是能够提出具有推理特征的数学问题;二是知道解决这些问题的数学方法;三是能区分不同类型的陈述 (定义, 定理, 猜想, 假设, 例子, 条件判断) ;四是理解和把握所给概念的范围和局限性。那么在实践层面, 中英两国在培养学生推理能力方面究竟有什么样的差异?本文基于作者在英国中学半年的教学、观察经验, 通过数学素养的测试比较, 试图揭示两国在推理方面存在的差异, 为我国的课程实施和评价提供一定的参考, 同时也为2012年国际数学素养测试提供一定的实证研究数据。

一、测试题的设计

1. 题目设计的维度

本研究基于国际数学素养测试的设计思路而进行问题设计。PISA对数学素养的定义是“数学素养是一种个人能力, 学生能确定并理解数学在社会 (包括自然、社会、个体生活的文化背景) 中所起的作用, 能做出有根据、有理由的数学判断和能够有效的运用数学。这是作为一个有创新精神、关心社会、有自觉反思能力的公民, 适应当前及未来生活所必须的数学能力[4]。”PISA测试题中主要从内容 (数与代数、空间与图形、统计与概率) 、能力 (再现、联系、反思) 和情境 (个人、学校、社会、学科) 三个维度去考查学生的数学素养。本研究从数学素养试题库中选取8年级的14道题, 着重从内容和推理能力两个维度去分析, 其他不做考虑。

(1) 推理能力维度

PISA能力维度将推理能力分为三个水平:推理的再现水平、联系水平和反思水平。再现水平[3]的推理主要指学生能提出一些基本的问题, 比如“多少”, “多大”等问题, 并能理解相应的各种答案;能区分定义和判断;正确认识和处理第一次出现的不同情境下的数学概念及其应用。联系水平[3]是指能提出诸如“我怎么发现这个问题”, “这个问题涉及哪些数学内容?”等的问题, 并能理解相应的各种答案 (包括表格, 图表, 代数, 数字等等) ;区分定义和不同类型的判断;理解数学概念和应用情境所存在的一些差异。反思水平[3]指能提出诸如“我怎么发现这个问题”, “这个问题涉及哪些数学内容?”等的问题, 并能理解相应的各种答案 (包括表格, 图表, 代数, 数字, 关键点的阐述等) ;在特定的情况下, 能区分定义, 定理, 猜测, 假设和判断, 并能反思或说明这些概念的区别;能理解和把握所给定的数学概念的局限性和范围, 并能对结论进行推广应用。

(2) 数学内容维度

在内容维度的选取中, 研究涉及了数与代数、空间与图形、概率与统计三个方面。但考虑到可比性以及比较的重点, 选择时依据了如下原则:一是所选题目考察两国课程标准中都包含的内容;二是选择与推理能力相接近的内容。所选题目在数与代数领域中包括模式与规律、策略选择和多样表征等内容;在空间与图形领域包括图形与变换 (展开、折叠、对称) 、平行线、三角形和相似形等内容;在概率统计领域包括概率的含义和随机现象等内容。

综合考虑推理能力维度和内容维度后选取了14道题目, 确保在内容维度上各部分比例相当, 在能力维度上各部分比例呈1:5:1。具体题目数量如表1所示:

2. 测试对象

考虑到测试对象的可比性, 在英国里丁和中国北京分别选择了两所比较好的学校进行测试。英国里丁中学为110人, 该校在2010年的全英排名为19名。中国北京选择了丰台区一所重点中学, 从全校8年级13个班中随机抽取了的62名学生。

二、研究的结果

每道题目做对计分为1, 否则计分为0。对统计数据进行处理后得出了试卷的分数分布情况, 英国学生成绩平均分为0.666, 中国学生成绩平均分为0.679, 比英国稍高。英国学生成绩标准差为0.165, 中国学生成绩标准差为0.131, 比英国小。

从试卷每个题的得分分析可以看出, 两国完成题目的情况差异较大, 英国平均分最高的是处于再现水平的“代数”问题, 平均分达到0.897。而平均分最低的是“几何”的问题, 能力属于反思, 平均分为0.336。中国平均分最高和英国的最高分的题目是同一个问题, 平均分达到0.919。而平均分最低的是“代数”的问题, 能力属于联系水平, 平均分为0.387。

为了便于比较不同维度上的得分情况, 可以分别利用内容维度分数表 (表2) 和水平维度分数表 (表3) :

由表2可知, 英国学生在概率推理上不仅平均得分最高, 而且标准差最小;平均得分最低的是英国学生的几何推理, 仅为0.518分。中国学生在三个内容领域的表现成绩都比较居中。由表3可知, 中国与英国学生在再现水平和联系水平上表现相当, 英国学生在解决反思水平的数学推理问题中略逊于中国的学生, 平均得分较低, 且标准差较大。

三、分析与讨论

1. 两国学生在概率推理方面表现较好, 尤其是英国学生表现比较突出

由上面的统计分析可以发现, 三项内容维度中两国均在概率推理方面表现较好。在涉及到概率推理的四个问题中, 有三道题目英国学生都优于中国学生。如案例1和案例2。

案例1:在一个抽奖活动中, 有以下两种抽奖方案:

方案一:有10张彩票, 其中只有1张能中奖, 你从中抽出1张;

方案二:有100张彩票, 其中只有1张能中奖, 你从中一次抽出10张。

你觉得选择哪种抽奖方案中奖的可能性大? ()

A.方案一 B.方案二 C.一样大 D.不能确定

该题属于联系水平的问题, 考察了学生对概率含义中“随机观念”的认识。正确答案是C。英国学生在此题的正确率为0.776, 中国学生的正确率为0.548。进一步分析学生的选项发现, 英国选A、B项学生所占的比例分别为15%和6%, 而中国选A、B项学生所占的比例分别为34%和11%。这说明中国学生受直观经验数量多少的影响较大。在与此相类似的问题中, 英国学生也比中国学生表现要好, 同样印证了概率推理是中国学生较为薄弱的环节, 学生尚欠缺健全的随机观念。

案例2:百货商场举行促销活动, 消费者可以参加转盘抽奖活动, 商场设置了两个可以自由转动的均匀转盘, 都被分成六等份, 并分别涂上不同颜色。

活动规定:任意选一个转盘转动一次, 如果指针停止后落在红色区域, 则中奖;若停在其他区域, 则没有奖品;若停在等分线上, 则重新转一次, 那么小明选择哪个转盘中奖的概率比较大? ()

A.大转盘 B.小转盘 C.一样大 D.不能确定

这道题的正确答案是C, 属于联系水平的问题。英国学生的平均得分为0.804, 中国学生的平均得分为0.677, 呈现出较大的差异。其原因是中国学生较易受到直观因素的误导, 认为面积大、数量多就一定概率大, 忽视了事件具有相同的本质。

2. 两国学生在代数推理方面表现处于中等水平, 但中国学生要低于英国学生

在代数推理方面, 两国学生的表现都处于中等水平, 英国学生表现要好于中国学生, 尤其对于高水平的代数推理问题, 案例3和案例4就说明了这一点。

案例3:下边横排有15个方格, 每个方格中都有一个数字, 可以取任意实数。若任何相邻三个数字之和都是15,

(1) 则A代表的数字是什么? ()

A.3 B.4 C.5 D.不能确定

(2) B代表的数字是什么? ()

A.3 B.4 C.5 D.不能确定

问题 (1) 和问题 (2) 都属于联系水平, 正确答案分别为C和D。其中问题 (1) 英国学生平均分为0.561, 中国学生平均分略高, 为0.661。但问题 (2) 两国学生的表现完全倒置, 英国学生平均分为0.533, 中国学生平均分为0.387。这两道题主要考查数与代数中的规律探索和对模式的认识。从所收集的测试卷中可以发现, 不少学生都在表格中尝试着写下数字, 从中发现解决问题的思路。在问题 (2) 的解答中, 中国学生面对开放性问题没有足够的自信心, 对无法确定答案的问题具有较大的怀疑, 这也表现了他们对推理严谨性的一种负依赖。

案例4:A、B、C、D、E五个景点之间的路线如图所示。若每条路线的里程a (km) 及行驶的平均速度b (km/h) 用 (a, b) 表示。有的路线是乡村土路, 如AD段, 时速只能达到40km/h, 有的路段是高速公路, 如AE段, 时速能达到120km/h。路途上平均花费分为油费和高速费两个部分, 油费平均为0.5元/km;在D点、E点设有高速公路收费站, 分别收费45元、30元。请考虑以下问题:

(1) 从景点A到景点B路程最短的路线是 ()

A.A→C→B B.A→D→B C.A→E→B D.无法判断

(2) 从景点A到景点B用时最少的路线是 ()

A.A→C→B B.A→D→B C.A→E→B D.无法判断

(3) 从景点A到景点B费用最少的路线是 ()

A.A→C→B B.A→D→B C.A→E→B D.无法判断

此题考查数与代数中策略的选择和最值问题, 三个小问题分别属于不同的能力层次, 其中的问题 (1) 属于再现层次, 问题 (2) 属于联系层次, 问题 (3) 属于最高能力层———反思层次。问题 (1) 的正确答案为B。中国和英国学生的平均得分分别是0.919和0.897, 中国的学生得分高出英国的学生两个百分点。英国有3%的学生选择选项A, 而中国学生没有人选择A。数据说明了中国学生在解决基础知识方面稍好一些, 而且把握知识的准确度方面也较强。问题 (2) 的正确答案为C。中国学生和英国学生的平均得分分别是0.710和0.832。英国的学生得分要高出中国的学生13个百分点, 具有显著的差异, 这说明了英国学生在解决较高思维水平的代数推理问题上具有一定的优势。问题 (3) 是一个较综合的问题。学生不仅需要对该问题进行数学化处理, 而且要综合考虑多种数学因素, 综合运用数学的知识去解决。该问题的正确答案为A。中国学生和英国学生的平均得分分别是0.710和0.785, 英国的学生得分较中国的学生得分高出8个百分点, 这说明了英国的学生在解决高水平的数学问题中具有优势。

3. 两国学生在几何推理方面的得分都是最低, 但是中国学生要明显优于英国的学生

与代数推理和概率推理相比, 两国学生在几何推理方面的平均得分最低, 但中国学生要高于英国学生。除了图形与变换的题目外, 中国学生在平行线、三角形和相似形方面明显强于英国学生。下面从案例进行具体分析:

案例5:一个三角形纸片被遮住了一部分, 那么被遮住的两个角不可能是:

A.一个锐角一个钝角 B.两个锐角

C.一个锐角一个直角D.一个直角一个钝角

该问题是考查学生的逻辑推理能力, 能否有条理性地思考, 属于联系水平, 正确答案为D。英国学生的平均得分为0.542, 而中国学生的平均得分为0.742, 呈现出较大的差异。英国学生中选A、B两个选项的学生所占的比例为10%和32%, 而中国学生的比例仅为1%和21%。由此可见, 中国学生在逻辑思考中的表现要优于英国的学生。

案例6:已知在直角三角形中, 斜边长的平方等于两直角边长的平方和。如图, 有一栋占地成直角三角形形状的教学楼ABC, 三角形ABC三边外各有一块正六边形清洁区域。学校安排八年级1班打扫蓝色清洁区域, 八年级2班打扫红色和绿色两块区域, 你认为这两个班工作量相同吗?

A.相同 B.不相同 C.与三角形ABC形状有关

该问题将勾股定理、图形相似, 正多边形面积的计算和推导结合起来, 涉及到较为复杂的推理过程。该问题属于反思水平, 正确答案为A。英国学生的平均得分为0.336, 而中国的平均得分为0.613, 中国学生的表现明显优于英国学生。进一步研究学生的选项发现, 选C项的比例两国差不多 (中国21%, 英国22%) , 说明学生都考虑了条件是否充足, 结论是否与三角形ABC的形状有关, 但是并没有充分和本问题已知条件联系起来。英国有38%的学生选择了B项, 而中国学生选该项的只有18%。在笔者对学生的访谈中, 英国学生认为无法确定应选A或是B, 只是凭感觉选择, 并未有意识地寻找依据, 更不会比较两个图形的共性, 将面积问题和勾股定理转化联系起来。这说明英国学生面对高水平的推理论证问题时思维空间较狭窄, 缺乏必要的拓广训练。

四、启示

通过对两国学生数学推理能力的比较分析, 我们可以得出对中国数学教育的几点启示:

第一, 要加强推理能力的培养, 不仅要重视几何推理, 还要培养学生的代数推理和概率统计推理的能力。

强调几何推理一直是我国数学教育的传统理念, 故而从数据分析显示, 英国学生在代数推理和概率推理这两方面并不弱于中国学生, 而且在概率推理方面, 英国学生还表现出一定的优势。这让我们反思对“推理能力”的理解是否过于狭窄?此外, 即使在几何推理方面我们的发展也不均衡, 涉及到几何变换的内容上中国学生的平均分要低于英国学生的平均分。我们要加强概率推理能力、代数推理能力的培养, 同时也应加强对几何变换的推理要求。

第二, 要重视几何直观和多样表征对于学生数学学习的影响, 发展学生的推理能力。

图形直观对于学生理解推理有重要的价值。从测试结果可以看出, 英国非常注重几何直观对于学生理解数学的作用。在问题解决过程中, 通过多种方式来表述问题和表征问题, 无疑对解决问题有很大帮助。英国学生运用数学进行表征的方式非常多样。在测试后, 我们从英国学生的草稿纸中发现, 有些学生将问题进行分解, 并用框图的形式表达自己的思维过程。处理复杂综合的问题时使用多种数学表征手段可以帮助学生分析问题, 使得自己的思路更清晰, 进而准确地解决问题。

第三, 在概率教学中, 要关注概率的随机现象和概率含义的理解。

随机现象和概率本质含义是概率推理中的重要要素, 在教学中应加强对这方面内容的关注。要通过大量的概率试验活动, 让学生在活动中体会概率的意义, 建立随机观念。从研究者对英国进行的课堂观摩中发现, 英国数学课中有大量的试验活动, 这些内容在整个数学课程中的比例要远远高于中国数学课程中相应的内容。在我国, 作为课程改革新增的内容, 部分教师缺乏相关知识, 部分教师认为试验活动浪费时间, 致使实际教学中概率试验形同虚设, 其结果是学生缺乏基本的活动经验的积累, 仅仅是简单接受概念并机械掌握计算方法, 在学生对概念形成认识的关键阶段丧失了对数学原理的刻画和揭示, 这给学生理解随机事件及概率的含义设置了障碍。为有效促进学生形成正确的随机观念, 加大概率试验教学不可小视。

当然, 测试的结果对英国的数学教育也有一定的启示, 比如应在强调数学实用的同时, 增加数学内容的难度, 适当增加一些逻辑推理的内容, 这对于发展学生的推理能力是有一定的作用的。

由于受到样本量、测试题目信度和效度的限制, 以及不同文化下测试题翻译的理解差异影响, 本研究存在一定的局限性。但作为中英比较的实证研究, 本研究聚焦在数学推理能力的差异分析, 以期对我国的数学课程和教育评价提供一定的借鉴。

参考文献

[1]全日制义务教育数学课程标准 (修订稿) [S].2011, 12.

[2]Mathematics Programme of study for key stage3and attainment targets[S].Qualifications and Curriculum Authority, 2007, 142.

[3][5][6][7]OECD, PISA2009Assessment Framework-Key compe tencies in reading, mathematics and science[R], 2009, 106, 107, 110, 112.

[4]OECD.Assessing scientific, reading and math literacy.A framework for PISA2006[R].2006, (3) :72.

推理及分析能力篇2

逻辑推理：

(A)所有入场的考生都经过了体温测试，所以没能入场的考生都没有经过体温测试。

(B)所有出场设备都是检测合格的，所有检测合格的设备都已出厂。

(C)所有已发表文章都是认真校对过的，所以认真校对过的文章都已发表。

(D)所有真理都是不怕批评的，所有怕批评的都不是真理。

(E)所有不及格的学生都没有好好复习，所以没好好复习的学生都不及格。

29.王涛和周波是理科(1)班学生，他们是无话不说的好朋友。他们发现班里每一个人或者喜欢物理，或者喜欢化学。王涛喜欢物理，周波不喜欢化学。

根据以上陈述，以下哪项必定为真?

Ⅰ.周波不喜欢物理。

Ⅱ.王涛不喜欢化学。

Ⅲ.理科(1)班不喜欢物理的人喜欢化学。

Ⅳ.理科(1)班一半人喜欢物理，一半人喜欢化学。

(A)仅Ⅰ(B)仅Ⅲ

(C)仅Ⅰ、Ⅱ(D)仅Ⅰ、Ⅲ

(E)仅Ⅱ、Ⅲ、IV

30.李明、王兵、马云三位股民对股票A和股票B分别作了如下预测：

李明：只有股票A不上涨，股票B才不上涨。

王兵：股票A和股票B至少有一个不上涨。

马云：股票A上涨当且仅当股票B上涨。

若三人的预测都为真，则以下哪项符合他们的预测?

(A)股票A上涨，股票B不上涨。

(B)股票A不上涨，股票B上涨。

(C)股票A和股票B均上涨。

(D)股票A和股票B均不上涨。

推理及分析能力篇3

下面给出“推理能力”在学习内容与教学建议的变化。

学习内容——

《标准 (实验稿) 》:能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想, 并进一步寻求证据、给出证明或举出反例 ;能清晰、有条理地表达自己的思考过程, 做到言之有理、落笔有据 ;在与他人交流的过程中, 能运用数学语言合乎逻辑地进行讨论与质疑。

《标准 (2011年版) 》:推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式, 也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理, 合情推理是从已有的事实出发, 凭借经验和直觉, 通过归纳和类比等推断某些结果 ;演绎推理是从已有的事实 (包括定义、公里、定理等) 和确定的规则 (包括运算的定义、法则、顺序等) 出发, 按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中, 两种推理功能不同, 相辅相成 :合情推理用于探索思路, 发现结论 ;演绎推理用于证明结论。

教学建议——

《标准 (实验稿) 》:“证明”的教学所关注的是, 对证明必要性的理解, 对证明基本方法和证明过程的体验, 而不是追求所证命题的数量、证明的技巧。应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展, 引导学生从问题出发, 根据观察、实验的结果, 运用归纳、类比的方法首先得出猜想, 然后再进行证明 ;使用较规范的数学语言表述论证的过程, 有利于学生清晰而有条理地表达自己的观点并理解他人的思想 ;组织学生探索证明的不同思路, 并进行适当的比较和讨论, 这有利于开阔学生的视野。

《标准 (2011年版) 》:义务教育阶段要注重学生思考的条理性, 不要过分强调推理的形式。教师在教学过程中, 应该设计适当的学习活动, 引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律, 猜测某些结论, 发展合情推理能力 ;通过实例使学生逐步意识到, 结论的正确性需要演绎推理的确认, 可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求。在第三学段中, 应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展, 使学生知道合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式。“证明”的教学应关注学生对证明必要性的感受, 对证明基本方法的掌握和证明过程的体验。证明命题时, 应要求证明过程及其表述符合逻辑, 清晰而有条理。此外, 还可以恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法, 进行比较和讨论, 激发学生对数学证明的兴趣, 发展学生思维的广阔性和灵活性。通过对比分析, 发现有以下几方面的变化:

1. 课程性质更加明确。《标准 (2011年版) 》提出 :数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能, 培养学生的抽象思维和推理能力, 培养学生的创新意识和实践能力。

上述内容突出了推理能力在数学中的重要地位, 这是对《标准 (实验稿) 》的继承与发扬。同时, 明确学生的学习应在掌握基础知识、基本技能的基础上, 培养抽象思维和推理能力, 最终是发展创新意识和实践能力, 从而为学生未来生活、工作和学习奠定基础。

2. 学习内容更加具体。“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程之中。”这是《标准 (2011年版) 》中提出的非常明确的要求。具体为 :推理能力应贯穿于所有学习内容之中, 包括数与代数、图形与几何、统计与概率及综合与实践等所有领域 ;推理能力应贯穿于课堂教学的各种活动之中, 包括在概念教学、命题教学、证明教学等学习活动时, 应关注学生推理能力的培养 ;推理能力也应贯穿于整个数学学习的环节, 包括预习、复习、课堂教学、自我练习、测试考试等学习环节中, 逐步要求学生做到言必有据、合乎逻辑。

3. 推理内涵更加清晰。传统教学中, 对学生推理能力的培养往往被认为就是加强逻辑证明的训练, 主要是通过习题演练以掌握更多的证明技巧。显然, 这样的认识是有局限性的。《标准 (2011年版) 》指出 :合情推理是从已有的事实出发, 凭借经验和直觉, 通过归纳和类比等推断某些结果 ;演绎推理是从已有的事实 (包括定义、公里、定理等) 和确定的规则 (包括运算的定义、法则、顺序等) 出发, 按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中, 两种推理功能不同, 相辅相成 :合情推理用于探索思路, 发现结论 ;演绎推理用于证明结论。应在多种形式的数学活动中, 发展合情推理与演绎推理的能力。

同时, 给出了清晰的探究方式 :教师在教学过程中, 应该设计适当的学习活动, 引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律, 猜测某些结论, 发展合情推理能力 ;通过实例使学生逐步意识到, 结论的正确性需要演绎推理的确认。在第三学段中, 应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展, 使学生知道合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式。“证明”的教学应关注学生对证明必要性的感受, 对证明基本方法的掌握和证明过程的体验。证明命题时, 应要求证明过程及其表述符合逻辑, 清晰而有条理。此外, 还可以恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法, 进行比较和讨论, 激发学生对数学证明的兴趣, 发展学生思维的广阔性和灵活性。

二、教学建议

推理, 是从一个命题判断到另一个命题判断的思维过程。推理是数学的基本思维方式, 也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。学习数学就是要学习推理, 具有一定的推理能力是培养学生数学素养的重要内容, 也是数学课程和课堂教学的重要目标。

1. 在学习内容中发展推理能力。初中学段的数学学习内容包括“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”及“综合与实践”等四大领域, 各领域都为发展学生的推理能力提供了丰富的素材。教学中必须改变培养学生推理能力的“载体”单一化 (几何) 的状况, 要为学生提供自主探索、合作交流的时间和空间 ;要设置现实的、有意义的、富有挑战性的问题, 引导学生参与“过程”;要恰当地组织、指导学生的学习活动, 并真正鼓励学生、尊重学生、与学生合作。这样, 就能帮助学生形成“推理”的意识, 逐步理解“推理”的内容、方法和依据, 拓宽发展学生推理能力的空间, 从而有效地发展学生的推理能力。

在“数与代数”的教学中, 计算要依据一定的“规则”——公式、法则、运算律, 即“算理”;现实世界中的数量关系往往有其自身的规律, 用代数式、方程、不等式、函数刻画这种数量关系或变化趋势的过程中, 也不乏分析、判断和推理。

在“图形与几何”的教学中, 既要重视演绎推理, 又要重视合情推理。具体教学中, 应引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动进行合情推理, 发现一些规律, 猜测某些结论, 增强发现和提出问题的能力, 以及解决问题的基本思路, 做到合情推理与演绎推理相结合。

“统计与概率”中的推理 (也称统计推理) 属于合情推理的范畴, 是一种可能性的推理, 与其他推理不同的是, 由统计推理得到的结论无法用逻辑的方法去检验, 只有靠实践来证实。因此, “统计与概率”的教学要重视学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断和决策的全过程。

2.在教学活动中培养推理能力。课堂教学是培养学生推理能力的重要阵地。因此, 如何在课堂教学中培养学生推理能力是我们每位教师应特别重视的话题。

教学中要增强发展学生推理能力的意识, 丰富教学活动内容与形式。无论在概念教学、命题教学或者证明教学中, 教师应始终关注教学活动的设计与思考, 通过生动、活泼、有趣的探究活动, 激发学生探究的兴趣。

例1, 观察下列运算:

15×15 = 1×2×100 + 25 = 225 ;

25×25 = 2×3×100 + 25 = 625 ;

35×35 = 3×4×100 + 25 = 1225。

(1) 你能发现上述运算规律, 并用字母n (n为正整数) 表示出来吗?

(2) 对 (1) 中发现的规律, 你能给出证明吗?

说明 :这是一个由具体数值计算到符号公式表达的过程, 即由特殊到一般的过程。通过这个教学活动, 可以让学生感悟, 有些问题是可以通过具体问题得出结论, 然后通过一般性证明来验证的。经常在教学中设计这样的探究活动, 必将激发学生从推理中找到学习的乐趣。

在第三学段的推理教学中, 应注意在三段论、反证法、一般性命题证明等的教学活动中, 精心设计一些探究活动, 帮助学生逐步形成推理的意识, 激发推理的欲望, 规范推理的表述, 提升推理的能力。

除课堂教学外, 还有很多日常生活中的活动也能有效地发展人的推理能力。要进一步拓宽发展学生推理能力的渠道, 使学生感受到生活、活动中处处有“推理”, 养成善于观察、勤于思考的习惯。如, 若每两人仅握一次手, 则三个人共握几次手?n个人共握多少次手呢? (通过合情推理探索规律) 这与“由上海开往北京的1462次列车途中停靠23个站 (不包括上海和北京) , 这次列车共发售多少种不同的车票”这样的问题, 有什么联系呢?

《标准 (2011年版) 》在推理能力的性质、要求及理念等方面都有了新的表述, 并明确应在数学学习全过程中加以培养与发展。在实施建议中也给出了一些具体实例, 明晰了课堂教学设计的操作典范。一线教师只有认真研究《标准 (2011年版) 》、研究教学方法, 才能更好地把新的教学理念落实好, 学生的推理能力也才能得到更好的发展。

参考文献

[1]教育部.全日制义务教育《数学课程标准》 (实验稿) [S].北京:北京师范大学出版社, 2002.

[2]教育部.义务教育《数学课程标准》 (2011年版) [M].北京:北京师范大学出版社, 2012.

[3]教育部.全日制义务教育《数学课程标准解读》[M].北京:北京师范大学出版社, 2002.