均值函数

2024-11-25

均值函数(共8篇)

均值函数 篇1

0 引言

作为微软重磅推出的办公自动化软件 (Microsoft office) 的重要组成部分, Excel已经超出了传统的表格处理界限, 朝着办公自动化, 集成化, 数据库化方向发展。社会的高速发展催生出天量数据, 数据的管理与控制即数据库在办公领域发挥愈来愈重要的作用, 而excel作为基础软件, 具备普及率高, 界面高度友好性, 上手操作容易等优点, 因此很多办公人员乐意借助excel管理数据, 构建自己的数据库系统。

而在这些浩如烟海的数据函数, 有一类函数尤其吸引我们的关注和兴趣, 即均值函数。这类函数看似简单, 但却在日常办公、统计, 生活, 财务管理等各个方面发挥举足轻重的作用。本文先将Excel中有关均值函数做一简要分类和简析。

1 一般平均值函数

平均值在统计学中是非常重要的概念, 有算术平均值, 几何平均值等各种平均值概念。excel根据这些现实需求也开发出多种求平均值的函数。

1.1 Average函数

该函数返回统计组的算术平均值。其语法形式为AVERAGE (Numberl, Number2, …, ) , 其中Number1到NumberN为需要统计的参数。该函数虽看似简单, 但在大量处理数据面前需要进入其他函数的嵌套, 这方面就需要学习者苦下功夫。下面举一个求平均值的案例。

实例1:现有100万数据, 如何通过excel函数实现按顺序每1万个数据求平均值呢?我可以可以利用如下函数实现AVERAGE (INDIRECT ("A"& (ROW (A1) *10000-9999) &":A"& (ROW (A1) *10000) ) )

1.2 GEOMEAN函数

函数返回统计组中的几何平均值。其语法形式为GEOMEAN (Number1, Number2, …, ) 。需要说明的是考虑到几何平均值, Number1, Number2, …, 这些数值必须都为正数。

1.3 HARMEAN函数

该函数返回参数组的调和平均值, 其语法为HARMEAN (number1, number2, …) , 如果数组或引用参数包含文本、逻辑值或空白单元格, 则这些值将被忽略, 如果单元格包含零值, 该参数会以0被计算在内。另外, 该函数参数可以是数字, 或者是包含数字的名称、数组或引用。

2 反映参数离散程度的均值函数

2.1 AVEDEV函数

该函数不是反应参数均值得指标, 而是返回数据与其均值的绝对偏差的平均值, 该值体系了数据组的离散情况。其公式为

其在EXCEL里面的函数实现为AVEDEV (Nummber1, Number2, …, )

2.2 COVAR函数

该函数也称协方差平均值。协方差平均值是指每对数据点的偏差乘积的平均数。利用协方差可以研究两个数据集合之间的关系, 它也是数理统计中重要的指标参数。其公式为

该函数的语法形式为COVAR (array1, array2) 参数:Array1是第一个所含数据为整数的单元格区域, Array2是第二个所含数据为整数的单元格区域。

实例2:如果A1=3、A2=2、A3=1、B1=3600、B2=1500、B3=800, 则公式“=COVAR (A1:A3, B1:B3) ”返回933.33。

3 具备特殊功能的均值函数

3.1 AVERAGEA函数

其语法形式为AVERvalue1, value2, ...) 。该函数与average函数一样, 同样返回参数组中的平均值, 但不同的是, AVERAGE函数仅对数字参数有效, 而AVERAGEA函数不仅对数字有效, 而且可以将文本和逻辑值 (如TRUE和FALSE) 纳入运算体系。

实例3:如果A1=76、A2=85、A3=TRUE, 则公式“=AVERAGEA (A1:A3) ”返回54 (即 (76+85+1) /3=54) 。这是因为A3对应的逻辑值为1。

3.2 TRIMMEAN函数

在现实的数据统计中, 有些数据可能对我们的统计是无效的, 这就需要对统计数据进行一定的筛选, 然后再进行运算。TRIMEAN就是提供了这样一种具有筛选功能的函数, 方便我们科学有效的对数据进行分析统计。

该函数在求平均值前, 先从数据集的头部和尾部去除一定比例的数据。比如, 一般在计算选手得分时, 通常会去掉一个最高分和一个最低分再统计选手的平均值。TRIMMEAN的语法形式为TRIMMEAN (Array, Percent) , 其中Array为需要进行筛选并求平均值的数组或数据区域;Percent为计算时所要除去的数据点的比例。

实例4:例如函数Trimmean (A1:A20, 0.2) , 表示头尾各去掉10%的数据, 然后再统计平均值, 即头尾分别取得2个数据即四个数据。但需要注意的是TRIMMEN函数去处数据遵循向下舍入为最接近的2的倍数的原则。比如如果是统计TRIMM EN (A!:A 26, 0.2) 共计19个数据, 19的20%为5.2, 向下最接近2个倍数是4。

4 结论

Excel函数博大精深, 但从均值函数即可窥其一斑。对excel的使用者来说, 我们首先要掌握基本函数的使用, 比如普通的求平均值函数, average等。但随着学习的深入, 我们需要结合使用者特点的专业需求, 工作诉求, 更加深入地学习更高级的函数, 提高效率, 让计算机服务于我们, 让我们从繁琐的数据中解脱出来, 能够腾出视角站在更高层次构架数据, 更好地服务于我们的工作。

参考文献

[1]张山风, 周凤.Excel统计函数应用解析.办公自动化 (综合版) , 2009, 11.

[2]刘君妹, 赵其明, 姚桂芬等.Excel统计函数在数据分析方面的应用技巧.河北工业科技, 2002, 5.

[3]滕颖俏.关于Excel一些统计函数的研究.东北大学:概率论与数理统计, 2007.

均值函数 篇2

关于Fiboancci计数函数三次均值的计算

利用Fibonacci数列的基本性质,在猜测、归纳的`基础上,得出了Fibonacci数列计算函数三次均值计算公式:Ar(N)=∑n<Nar(n)(r=1,2,3).

作 者:陈斌 赵教练 CHEN Bin ZHAO Jiao-lian  作者单位:渭南师范学院数学与信息科学系,渭南,714000 刊 名:科学技术与工程  ISTIC英文刊名:SCIENCE TECHNOLOGY AND ENGINEERING 年,卷(期): 9(20) 分类号:O156 关键词:Fibonacci数列   均值   计数函数  

关于一个复合函数的均值 篇3

关键词:复合函数,均值,渐近公式

1 引言及结论

定理设p、q是两个素数,b(n)表示n的平方补数,对任意实数x≥1,有渐近公式

2 定理的证明

设p为一素数,由b(n)的定义有:

对于任意实数s,定义函数:。由ep(n)和b(n)的定义,可以得到eq(b(n))是积性函数。于是当Re s=σ>1时,由Euler乘积公式[4]及b(pm)的表达式有

其中,ε是任意确定的正数。

为了估计其主项

容易估计

利用分部积分法可得

因此有

这样就完成了定理的证明。

参考文献

[1]Smarandache F.Only problems,not solutions.Chicago:Xiquan Pub-lishing House,1993

[2]LüChuan.A number theoretic function and Its mean value.Research on Smarandache Problems in Number Theory.Phoenix:Hexis,2004:33—35

[3]Gao Nan.A hybrid number theoretic function and its mean value.Re-search on Smaran-dache Problems in Number Theory.Phoenix:Hex-is,2004:107—109

[4]Apostol T M.Introduction to analytic number theory.New York:Spring-Verlag,1976

均值函数 篇4

双阶乘函数Smarandache双阶乘:

对于任意整数m,它的Smarandache双阶乘为

m!!={135m,ifmisodd246m,ifmiseven

,例如:3!!=1×3=3,6!!=2×4×6=48。

双阶乘函数Sdf(n):对于Smarandache双阶乘,我们定义函数:对任意的正整数n,双阶乘函数Sdf(n)定义为最小的正整数m使 得m!!是n的一个倍数,即 Sdf(n)=min{m:m!!=kn,m∈N.k∈N}。

对于Smarandache双阶乘而言双阶乘函数Sdf(n)的前几项值为:

Sdf(1)=1;Sdf(2)=2;Sdf(3)=3;Sdf(4)=4;Sdf(5)=5;Sdf(6)=6;Sdf(7)=7;

Sdf(8)=4;Sdf(9)=9;Sdf(10)=10;Sdf(11)=11;Sdf(12)=6;Sdf(13)=13;

Sdf(14)=14;Sdf(15)=5;Sdf(16)=6,…。

关于双阶乘函数Sdf(n),已有许多学者[3,4,5,6]对这个数列进行了研究: 在文献[1]中,Kenichiro Kashihara介绍了这一函数,文献[3]研究了有关n=11Sdf(n)n=1Sdf(n)n敛散性, 同时给出了Diophantine方程Sdf(n)=Sdf(n+1)解的讨论,特别是文献[2]、给出了一个较强的渐近公式

nxSdf(n)=xlnxlnlnx+Ο(xlnx(lnlnx)2)

Kenichiro Kashihara建议我们研究S(n)与Sdf(n)之间的关系,本文通过初等方法和解析方法研究了双阶乘函数K次方及其它的复合的均值估计问题,并获得了几个较强的渐近公式,推广了文献[6]的结果。

定理1 对任意的实数.对任意固定的正整数k(k2)r,有渐近公式

nx(Sdf(n)-Ρ(n))k=ζ(k+1)8(k+1)xk+1lnx+i=2rcixk+1lnix+Ο(xk+1lnk+1x)

其中P(n)是n的最大素因子,ci(i=2,3,…,k)是可计算常数。

推论 当k=2时

nx(Sdf(n)-Ρ(n))2=ζ(2)24x3lnx+i=2kcix3lnix+Ο(x3lnk+1x)

其中ζ(s)是Riemann Zeta函数, ci(i=2,3,…,k)是可计算常数。

定理2 对任意的实数,对任意固定的正整数k(k≥2)及r,有渐近公式

nx(Sdf(n)-S(n))k=ζ(k+1)8(k+1)xk+1lnx+i=2rcixk+1lnix+Ο(xk+1lnk+1x)

其中ζ(s)是Riemann Zeta函数, ci(i=2,3,…,k)是可计算常数。

推论 当k=2时

nx(Sdf(n)-S(n))2=ζ(2)24x3lnx+i=2kcix3lnix+Ο(x3lnk+1x)

2 几个引理及其证明

引理1 对于任何实数x≥1,有渐近公式

π(x)=pn1,由Abel求和公式[7]及素数定理,π(x)=i=1kaixlnix+Ο(xlnk+1x)

其中ai=(i-1)!,(i=1,2,3,…,k)。

引理2的证明可参阅文献[2]中定理4.2及文献[7]中定理3.2。

引理2 设p是素数,则有

pxpk=1k+1xk+1i=1railnix+Ο(xk+1lnr+1x)

证明 由Abel求和公式[7]及引理1,有

3 定理的证明

定理1证明:

对于任意的n≥1, n=p1α1p2α2prαrn的标准素因子分解式把区间(1,x]的所有正整数n分成如下两个部分:

A:区间(1,x]满足Ρ(n)n,所有正整数n,i=1,2,…,k,其中P(n)是n的最大素因子。

B:表示区间(1,x]中不属于集合A的正整数n。那么:

nx(Sdf(n)-Ρ(n))k=nxnA(Sdf(n)-Ρ(n))k+nxnB(Sdf(n)-Ρ(n))k

nA,则n=mP(n),且P(m)<P(n),由A的定义知Sdf(2)=2,对于任意正整数n>2,且nA,若2|n,Sdf(n)=2P(n),若2n,Sdf(n)=P(n),根据这个性质,有

由引理2有

2n<px2npk=2nx2ntkdπ(t)=(x2n)kπ(x)-k2nx2ntk-1dπ(t)dt=

xk+18(k+1)nk+1+i=1rbixk+1lninnk+1lnix+Ο(xk+1lnr+1x)(11)

式(1)中用到估计式2nxbi(i=2,3,,k)是可计算常数。

注意到n=11nk+1=ζ(k+1),根据式(10),式(11)可得

nxnA(Sdf(n)-Ρ(n))k=ζ(k+1)8(k+1)xk+1lnx+i=2rcixk+1lnix+Ο(xk+1lnk+1x)(12)

式(12)中ci(i=2,3,…,k)是可计算常数。

对于任意的n≥1且nB,易见Sdf(n)nlnnΡ(n)n,故有

nxnB(Sdf(n)-Ρ(n))knxnlnknxklnkx(13)

结合式(12)、式(13),立刻有

nx(Sdf(n)-Ρ(n))k=nxnA(Sdf(n)-Ρ(n))k+nxnB(Sdf(n)-Ρ(n))k=ζ(k+1)8(k+1)xk+1lnx+i=2rcixk+1lnix+Ο(xk+1lnk+1x)

其中ζ(s)是Riemann Zeta函数。这就完成了定理的证明。

现在我们证明定理2。

nA,S(n)-P(n)=0;若nB,|S(n)-Ρ(n)|n;根据文献[6]的结论与定理2的证明我们有

nx(Sdf(n)-S(n))k=nx(Sdf(n)-Ρ(n))k+Ck1nx(Ρ(n)-S(n))(Sdf(n)-Ρ(n))k-1+Ckinx(Ρ(n)-S(n))i(Sdf(n)-Ρ(n))k-i++nx(Ρ(n)-S(n))k=ζ(k+1)8(k+1)xk+1lnx+i=2rcixk+1lnix+Ο(xk+1lnk+1x)

其中ζ(s)是Riemann Zeta函数。这就完成了定理3的证明。

摘要:利用初等方法和解析方法,研究了双阶乘函数Sdfk(n)的性质,获得了几个较强的均值性质及渐进公式。

关键词:Smarandache函数,复合函数,均值,渐近公式

参考文献

[1]Tom MA.Introduction to analytic number theory.NewYork:Spring-er-Verlag,1976

[2]沈虹,一个新的数论函数及其它的值分布.纯粹数学与应用数学,2007;23(2):235—238

[3]贺艳峰.两个数论函数的混合均值公式.黑龙江大学自然科学学报,2008;25(4):477—479

[4]陈国慧.Slnarandaehe M题新进展.Ann Arbor:High A merica Press,2007

[5]Zhu Minhui.On the mean value of the smarandache double-factorial function.Scientia Magna,2005;Vl(1):197—202

[6]Xu Z F.On the value distribution of the Smarandache function.Acta Mathematics Sinica,Chinese Series,2006;49(5):1009—1012

妙用均值定理求多元函数的最值 篇5

在教学实践中, 学生一般都能用均值定理求一个变量的最值, 这只需按照“一正、二定、三等”六字诀即可搞定;但是, 对于含双元 (或两个以上) 的最值问题, 学生往往能列出式子, 但无法求出最值来!笔者的体会是, 不必拘泥于“定值”二字, 而应尝试用均值定理去“化积”、“化和”, 从而把这个非定值的积或和约分, 进而突破“瓶颈”, 使问题获解.举例说明如下:

例1 求函数f (xy) =4x+y+4xyx+y (xy0) 的最大值.

分析 把积4xy化为“和”x+4y, 使分子“凑出”5x+5y, 再约去x+y即求出最值.

4xy=2x4yx+4y,

f (xy) 4x+y+ (x+4y) x+y=5.

所以函数f (x) 的最大值为5, 当且仅当x=4y时取得.

例2 △ABC的三边a, b, c依次成等比数列, 求角B的取值范围.

分析 由b2=ac, 得cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac.注意到分式中的“积”, 我们把a2+c2化为“积”2ac即可求出最值.

解 因为b2=ac, a2+c2≥2ac, 所以

cosB=a2+c2-b22ac=a2+c2-ac2ac2ac-ac2ac=12.

B∈ (0, π) , 故B (0π3].

例3 用长为l的铁丝围成直角三角形的三边, 求直角三角形的最大面积.

分析 设直角边长分别为x, y (x, y>0) , 面积为S, 则l=x+y+x2+y2, S=12xy.注意到求“积”的最值, 我们把x+yx2+y2分别化“积”2xy和2xy即可巧妙求出最值.

l=x+y+x2+y22xy+2xy=22S+4S

S3-224l2.

所以S的最大值为3-224l2, 当且仅当x=y=2-222l, 即等腰直角三角形时取得.

例4 有一块半径为r, 圆心角为60°的扇形木板, 现欲按如图1锯出一矩形桌面再利用, 求此桌面

的最大面积.

分析 设矩形MNPQ的边长MN=x, NP=y, 则S=xy, Rt△OMQ中, ΟΜ=ΜQcot60°=33y;Rt△OPN中, OP2=ON2+NP2, 即

r2= (x+33y) 2+y2=x2+43y2+233xy.

x2+43y2化“积”即得最值.

解 如图1, 设MN=x, NP=y, 则S=xy, 且

r2= (x+ycot60°) 2+y2=x2+43y2+233xy2x233y+233xy=23S.

所以S36r2, 即桌面的最大面积为36r2, 当且仅当x=233y, 即当x=33ry=r2, 此时点P恰为弧AB的中点时取得最值.

均值函数 篇6

关键词:Lucas数列,Fibonacci数列,均值,计数函数

文献[1—3]研究了Fibonacci数列的基本性质, 文献[4]对Lucas数列的研究中, 对于任意一个正整数m都可以用Lucas数列的正项唯一地表示为或1;具体的表示方法如下:若Ln≤m<Ln+1, 则m=Ln+r1;若Lk≤r1<Lk+1, 则r1=Lk+r2, k<n;这样依次进行, 直到rj=0为止.并且在此基础上, 定义了一个计数函数a (m) =a1+a2+…+an, 同时得到一个计算其均值的公式

于是, 任意一个正整数是否也可以用Lucas数列的负项唯一地表示出来呢?这当然是可以的, 不仅如此, 还可以表示出任意一个负整数, 同时, 同样可以依此来定义新的计数函数, 进而研究其均值的计算。

1 预备知识

Lucas 数列{Ln}和Fibonacci 数列{Fn}可以表示为:

{n-6-5-4-3-2-10123456Ln18-117-43-1213471118Fn-85-32-110112358

并且, 它们的项满足这样的关系式:Ln+2=Ln+1+Ln , Fn+2=Fn+1+Fn

命题1 对于任意一个正整数k, 有以下等式成立:

A1 (Lk) =0n<Lka (n) =kFk-1, A2 (Lk) =0n<Lka2 (n) =15[ (k-1) (k-2) Lk-2+5 (k-1) Fk-2+7 (k-1) Fk-3+3Fk-1]=15k[ (2k+1) Fk-1- (k-1) Fk-2]

2 新的计数函数的定义及其均值计算公式

定义1 设BB′分别为任一正整数和任一负整数, 则BB′可以用{Ln}数列的负项唯一地表示为:

B=i=t-1ai|Li|B=-i=s-1ai|Li|=i=s-1ai (-|Li|) ai=01

(ⅰ) 若|Lt|B<|Lt-1|, 则B=|Lt|+r1;若|Lk|r1<|Lk-1|, 则r1=|Lk|+r2, t<k;这样依次进行, 直到rj=0为止;

(ⅱ) 若|Ls||B|<|Ls-1|, 则B=-|Ls|+r1;若|Lk||r1|<|Lk-1|, 则r1=-|Lk|+r2, s<k;这样依次进行, 直到rj=0为止.

根据定义1, 这里所定义的计数函数为:

{a (B) =at+at+1+at+2++a-1a (B) =as+as+1+as+2++a-1

它们的均值计算公式为:

Ar (Μ) ={0n<Μar (n) , Μ>0Μ<n0ar (n) , Μ<0 (r=1, 2)

3 主要结论及其证明

由定义1 容易得知, 当B′=-B时, a (B) =a (B′) ,

同理就有:a (B-1) =a (B′+1) , a (B-2) =a (B′+2) , …,

从而易得:Ar (B) =0n<Bar (n) =ar (0) +ar (1) ++ar (B-2) +ar (B-1) =

ar (0) +ar (-1) ++ar (B+2) +ar (B+1) =B<n0ar (n) =Ar (B) =Ar (-B)

定理1 对于任意负整数k, 有以下等式成立:

k, A1 (Lk) =Lk<n0a (n) =kFk+1 (1) k, A1 (Lk) =0n<Lka (n) =-kFk+1 (2)

证明: 1° 当k=-1 (奇数) 时, A1 (L-1) =A1 (-1) =0=-F0, 所以 (1) 式成立.

k=-2 (偶数) 时, A1 (L-2) =A1 (3) =2=- (-2) F-1, 所以 (2) 式成立.

2° 假设对于任意的km+1, 当k为奇数时 (1) 式成立, 当k为偶数时 (2) 式成立, 则由假设, 当k=m时, 有:

(m为奇数时)

A1 (Lm) =Lm<n0a (n) =-Lm+1<n0a (n) +Lm<n-Lm+1a (n) =A1 (-Lm+1) +Lm+2<n0a (n-Lm+1) =A1 (Lm+1) +Lm+2<n0 (a (n) +1) =A1 (Lm+1) +Lm+2<n0a (n) +|Lm+2| (Lm+2<0) =A1 (Lm+1) +A1 (Lm+2) -Lm+2=- (m+1) Fm+2+ (m+2) Fm+3-Lm+2=mFm+1

(m为偶数时) 。

A1 (Lm) =0n<Lma (n) =0n<-Lm+1a (n) +-Lm+1n<Lma (n) =A1 (-Lm+1) +0n<Lm+2a (n-Lm+1) =A1 (Lm+1) +0n<Lm+2 (a (n) +1) =A1 (Lm+1) +0n<Lm+2a (n) +Lm+2=A1 (Lm+1) +A1 (Lm+2) +Lm+2=-mFm+1- (Fm+1+Fm+3) +Lm+2× (Fm+1+Fm+3=Lm+2) =-mFm+1

3° 由1°和2°可知, 对于任意负整数k, 当k为奇数时 (1) 式成立, 当k为偶数时 (2) 式成立.

定理2 对任意的负整数k, 有以下等式成立:

k, A2 (Lk) =Lk<n0a2 (n) =k5[ (-2k+1) Fk+1- (k+1) Fk+2] (3) k, A2 (Lk) =0n<Lka2 (n) =-k5[ (-2k+1) Fk+1- (k+1) Fk+2] (4)

证明:1° 当k=-1 (奇数) 时, A2 (L-1) =A2 (-1) =0=-15 (2+1) F0, 所以 (3) 式成立。

k=-2 (偶数) 时, A2 (L-2) =A2 (3) =2=25 (5F-1+F0) , 所以 (4) 式成立。

2° 假设对于任意的km+1, 当k为奇数时 (3) 式成立, 当k为偶数时 (4) 式成立, 则由假设, 当k=m时, 有:

(m为奇数时)

A2 (Lm) =Lm<n0a2 (n) =-Lm+1<n0a2 (n) +Lm<n-Lm+1a2 (n) =A2 (-Lm+1) +Lm+2<n0a2 (n-Lm+1) =A2 (Lm+1) +A2 (Lm+2) +2A1 (Lm+2) -Lm+2=-m+15[ (-2m-1) Fm+2- (m+2) Fm+3]+m+25[ (-2m-3) Fm+3- (m+3) Fm+4]+2 (m+2) Fm+3-Lm+2=m5[ (-2m+1) Fm+1- (m+1) Fm+2]

(m为偶数时)

A2 (Lm) =0n<Lma2 (n) =0n<-Lm+1a2 (n) +-Lm+1n<Lma2 (n) =A2 (-Lm+1) +0n<Lm+2a2 (n-Lm+1) =A2 (Lm+1) +0n<Lm+2 (a (n) +1) 2=A2 (Lm+1) +0n<Lm+2a2 (n) +20n<Lm+2a (n) +Lm+2=A2 (Lm+1) +A2 (Lm+2) +2A1 (Lm+2) +Lm+2=m+15[ (-2m-1) Fm+2- (m+2) Fm+3]-m+25[ (-2m-3) Fm+3- (m+3) Fm+4]+2 (-m-2) Fm+3+Lm+2=-m5[ (-2m+1) Fm+1- (m+1) Fm+2]

3° 由1°和2°可知, 对于任意负整数k, 当k为奇数时 (3) 式成立, 当k为偶数时 (4) 式成立。

参考文献

[1]Duncan R L.Application of uniform distribution to the fibonacci numbers.The Fibonacci Quarterly, 1967;3 (5) :137—140

[2]Kuipers L.Remark on a paper by R.L.Duncan concerning the Uni-form distribution mod1of the sequence of the Logarithms of the Fi-bonacci numbers.The Fibonacci Quarterly, 1969;5 (7) :465—466

[3]London H, Finkelstein R.On fibonacci and lucas numbers which are perfect powers.The Fibonacci Quarterly, 1969;5 (7) :476—481

两个新的数论函数的混合均值 篇7

对任意正整数n, 若n=p1α1p2α2psαs为n的标准分解式, 其中 (pi为素数, 1≤i≤s) 。定义Sk (n) 为其阶乘可被nk整除的最小正整数, 即

Sk (n) =min{m:m∈N, nk|m!}。

从Sk (n) 的定义知, Sk (n) =max1is{Sk (piαi) }

文献[1]研究了Sk (n) 的性质并得出对任意实数x≥3, 正整数k≥1, 有

nxSk (n) =kπ2x212lnx+Ο (x2ln2x)

且对任意正整数n, 若有最大素因子p (n) >max{k, n}, 就有

Sk (n) =kp (n) (1)

对于其他素因子pi (1≤is, pip (n) ) , 容易得到

Sk (piαi) ≤αipi (2)

对正整数n, 当n>1, n=p1α1p2α2psαs为n的标准分解式, 其中 (pi为素数, 1is) , Ω¯ (n) 定义为

Ω¯ (n) =α1p1+α2p2++αsps,

n=1, Ω¯ (1) =0, 如Ω¯ (2) =2, Ω¯ (3) =3, Ω¯ (4) =4, Ω¯ (5) =5, Ω¯ (6) =5, Ω¯ (7) =7, Ω¯ (8) =6, Ω¯ (9) =6, Ω¯ (10) =7,

文献[2]对Ω¯ (n) 进行了研究得到了它的均值公式

nxΩ¯ (n) =x2i=1kbilnix+Ο (x2lnk+1x) (3)

式 (3) 实数x≥1, k为任意正整数bi为可计算的常数 (i=1, 2, , k) , b1=π212

现研究函数Sk (n) 与数论函数Ω¯ (n) 的混合均值, 并给出一个渐近公式, 即得到下面的定理

定理 对任意实数x≥2, 正整数k≥1, 有渐近公式

nxΩ¯ (n) Sk (n) =kζ (3) x3lnx-kx22lnx+Ο (x32ln2x)

推论 对任意实数x≥2, 有渐近式

nxΩ¯ (n) S (n) =ζ (3) x3lnx-x22lnx+Ο (x3ln2x)

2定理的证明

现给出定理的证明, 为方便起见, 将[1, x]中的正整数n分为集合AB, 即

A={n|nx, p (n) >n};

B={n|nx, p (n) n}

nxΩ¯ (n) Sk (n) =nxnAΩ¯ (n) Sk (n) +nxnBΩ¯ (n) Sk (n)

从定义可知Ω¯ (n) 为完全可加函数, 即对任意正整数a, b, Ω¯ (ab) =Ω¯ (a) +Ω¯ (b) 。结合集合A的定义及式 (1) 有

nxnAΩ¯ (n) Sk (n) =nx, p|np>nΩ¯ (n) Sk (n) =pnx, p|np>nΩ¯ (np) Sk (np) =pnxn<pkp (p+Ω¯ (n) ) =knxn<pxnp2+knxn<pxnpΩ¯ (n) (4)

根据素数函数π (x) =xlnx+Ο (xln2x) (见文献[3]) , 利用Abel求和公式[4]有

n<pxnp2=π (xn) (xn) 2-n2π (n) -nxn2tπ (t) dt=x3n3lnxn+Ο (x2n2ln2xn)

nxlnnn3=lnx (x) 3π (x) -1x (tlnt+Ο (tln2t) ) 1-3lntt4dt=lnx (x) 3 (xlnx+Ο (xln2x) ) -1x (1t3lnt-3t3+Ο (1-3lntt3ln2t) ) dt=-12x+Ο (2xlnx)

m≥2时, 有

nxlnmnn3=lnmx (x) 3π (x) -1x (tlnt+Ο (tln2t) ) mlnm-1t-3lnmtt4dt=lnx (x) 3 (xlnx+Ο (xln2x) ) -1x (mlnm-2tt3-3lnm-1tt3+Ο (mlnm-3t-3lnm-2tt3) ) dt=lnm-2x3×2m-2x+Ο (lnm-2x2m-2x)

所以

nxn<pxnp2=nx (x3n3lnxn+Ο (x3n2ln2xn) ) =nxx3n31lnx-lnn+Ο (nxx3n21 (lnx-lnn) 2) =x3lnxnx1n3 (1+lnnlnx+ln2nln2x++lnmnlnmx+) +Ο (x3ln2xnx1n21 (1-lnnlnx) 2) =ζ (3) x3lnx-x22lnx+Ο (x2ln2x)

π (x) =xlnx+Ο (xln2x) , 结合式 (3) 就有

nxn<pxnpΩ¯ (n) nxx12π (xn) Ω¯ (n) x12xlnxnxΩ¯ (n) nx32ln2x (5)

结合式 (3) —式 (5) 得

nAΩ¯ (n) Sk (n) =kζ (3) x3lnx-kx22lnx+Ο (x32ln2x)

现讨论B中的情况。由B的定义及 (2) (3) 知

nBΩ¯ (n) Sk (n) =nx, p|npnΩ¯ (n) Sk (n) =npx, p|npnΩ¯ (np) Sk (np) npxαp (p+Ω¯ (n) ) nxαn+nxαnΩ¯ (n) x32ln2x (6)

由集合AB的定义及上面的计算就有nxΩ¯ (n) Sk (n) =kζ (3) x3lnx-kx22lnx+Ο (x32ln2x)

于是完成了定理的证明。

在定理中令k=1即得到推论。

摘要:对任意正整数n, 定义数论函数Ω (n) 为Ω (1) =0, 当n>1, n=pα11pα22…pαss为n的标准分解式, Ω (n) =α1p1+α2p2+…+αsps, 其中 (pi为素数, 1≤i≤s) 。数论函数Sk (n) 定义为Sk (n) =m in{m:m∈N, nk|m|m!}, 即最小正整数m, 使得nk|m|m!。运用初等方法研究数论函数Ω (n) 与Sk (n) 的混合均值问题, 并得到一个有趣的渐近公式。

关键词:数论函数,混合均值,渐近公式,推广

参考文献

[1]丁丽萍.一个新的数论函数及其均值.延安大学学报 (自然科学版) , 2004;23 (3) :5—6

[2]薛社教.一个新的算术函数及其均值.纯粹数学与应用数学, 2007;23 (3) :351—354

[3]潘承洞, 潘承彪.素数定理的初等证明.上海:上海科学技术出版社, 1988

均值函数 篇8

例.已知x>0, y>0, 且 , 求x+y的最小值

分析:本题是求和的最小值, 要找积为定值, 困难在于如何利用条件 , 对条件 从不同的角度进行分析就可以得到不同的解决问题的方法

解法一:整体地利用条件, 灵活运用“1”进行代换, 在x+y上乘以“1”展开构造 的形式, 两者的积 是定值

当且仅当 , 即x=, y=12时, 上式等号成立, 故当x=4, y=12时, (x+y) min=16

解法二:将原式变形构造x+y= (x-1) + (y-9) +10, 两者的积 (x-1) (y-9) =9是定值

由 得 (x-1) (y-9) =9 (定值) , 又知x>1, y>9,

所以, x+y= (x-1) + (y-9) +10莛2姨9+10=16

当且仅当x-1=y-9=3, 即x=4, y=12时, (x+y) min=16

解法三:由结构特点联想到三角函数公式, 将原式换元变形x+y=coc2θ+9sec2θ=cot2θ+9tan2θ+19, 而cot2θ·9tan2θ=9是定值

则:x+y=csc2θ+9sec2θ=cot2θ+9tan2θ+19莛2姨9+10=16,

当且仅当 , 即x=4, y=12时, (x+y) min=16

解法四:将二元函数转化为一元函数,

当且仅当 (x-1) 2=9, 即x=4, y=12时, (x+y) min=16

由此可见, 利用均值不等式求最值时, 要进行巧妙地分拆、组合、添加系数等使之变成可用均值不等式的形式是关键。若多次利用均值不等式求最值, 必须保持每次取“=”号的一致性, 否则就会出错.

请同学们分析下面的解法错在何处?

当然本题也可以利用判别式法和数形结合法求解, 请同学们自己去探索。

以下几道题, 请同学们试试:

1.已知不等式 对任意正实数x, y恒成立, 则正实数a的最小值为 ()

A.2 B.4 C.6 D.8

2.已知两正数x, y满足, 则取最小值时的值分别为 ()

A.5, 5 B.10, C.10, 5 D.10, 10

3.设x、y为正实数, 且xy- (x+y) =1, 则 ()

4.已知a>b>0, 求 的最小值

解析:

1.选B

2.由x+y+5=xy得 , 再利用二次函数求xy的最小值, 当且仅当 时xy取到最小值, 求得

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