均值函数(共8篇)
均值函数 篇1
0 引言
作为微软重磅推出的办公自动化软件 (Microsoft office) 的重要组成部分, Excel已经超出了传统的表格处理界限, 朝着办公自动化, 集成化, 数据库化方向发展。社会的高速发展催生出天量数据, 数据的管理与控制即数据库在办公领域发挥愈来愈重要的作用, 而excel作为基础软件, 具备普及率高, 界面高度友好性, 上手操作容易等优点, 因此很多办公人员乐意借助excel管理数据, 构建自己的数据库系统。
而在这些浩如烟海的数据函数, 有一类函数尤其吸引我们的关注和兴趣, 即均值函数。这类函数看似简单, 但却在日常办公、统计, 生活, 财务管理等各个方面发挥举足轻重的作用。本文先将Excel中有关均值函数做一简要分类和简析。
1 一般平均值函数
平均值在统计学中是非常重要的概念, 有算术平均值, 几何平均值等各种平均值概念。excel根据这些现实需求也开发出多种求平均值的函数。
1.1 Average函数
该函数返回统计组的算术平均值。其语法形式为AVERAGE (Numberl, Number2, …, ) , 其中Number1到NumberN为需要统计的参数。该函数虽看似简单, 但在大量处理数据面前需要进入其他函数的嵌套, 这方面就需要学习者苦下功夫。下面举一个求平均值的案例。
实例1:现有100万数据, 如何通过excel函数实现按顺序每1万个数据求平均值呢?我可以可以利用如下函数实现AVERAGE (INDIRECT ("A"& (ROW (A1) *10000-9999) &":A"& (ROW (A1) *10000) ) )
1.2 GEOMEAN函数
函数返回统计组中的几何平均值。其语法形式为GEOMEAN (Number1, Number2, …, ) 。需要说明的是考虑到几何平均值, Number1, Number2, …, 这些数值必须都为正数。
1.3 HARMEAN函数
该函数返回参数组的调和平均值, 其语法为HARMEAN (number1, number2, …) , 如果数组或引用参数包含文本、逻辑值或空白单元格, 则这些值将被忽略, 如果单元格包含零值, 该参数会以0被计算在内。另外, 该函数参数可以是数字, 或者是包含数字的名称、数组或引用。
2 反映参数离散程度的均值函数
2.1 AVEDEV函数
该函数不是反应参数均值得指标, 而是返回数据与其均值的绝对偏差的平均值, 该值体系了数据组的离散情况。其公式为
其在EXCEL里面的函数实现为AVEDEV (Nummber1, Number2, …, )
2.2 COVAR函数
该函数也称协方差平均值。协方差平均值是指每对数据点的偏差乘积的平均数。利用协方差可以研究两个数据集合之间的关系, 它也是数理统计中重要的指标参数。其公式为
该函数的语法形式为COVAR (array1, array2) 参数:Array1是第一个所含数据为整数的单元格区域, Array2是第二个所含数据为整数的单元格区域。
实例2:如果A1=3、A2=2、A3=1、B1=3600、B2=1500、B3=800, 则公式“=COVAR (A1:A3, B1:B3) ”返回933.33。
3 具备特殊功能的均值函数
3.1 AVERAGEA函数
其语法形式为AVERvalue1, value2, ...) 。该函数与average函数一样, 同样返回参数组中的平均值, 但不同的是, AVERAGE函数仅对数字参数有效, 而AVERAGEA函数不仅对数字有效, 而且可以将文本和逻辑值 (如TRUE和FALSE) 纳入运算体系。
实例3:如果A1=76、A2=85、A3=TRUE, 则公式“=AVERAGEA (A1:A3) ”返回54 (即 (76+85+1) /3=54) 。这是因为A3对应的逻辑值为1。
3.2 TRIMMEAN函数
在现实的数据统计中, 有些数据可能对我们的统计是无效的, 这就需要对统计数据进行一定的筛选, 然后再进行运算。TRIMEAN就是提供了这样一种具有筛选功能的函数, 方便我们科学有效的对数据进行分析统计。
该函数在求平均值前, 先从数据集的头部和尾部去除一定比例的数据。比如, 一般在计算选手得分时, 通常会去掉一个最高分和一个最低分再统计选手的平均值。TRIMMEAN的语法形式为TRIMMEAN (Array, Percent) , 其中Array为需要进行筛选并求平均值的数组或数据区域;Percent为计算时所要除去的数据点的比例。
实例4:例如函数Trimmean (A1:A20, 0.2) , 表示头尾各去掉10%的数据, 然后再统计平均值, 即头尾分别取得2个数据即四个数据。但需要注意的是TRIMMEN函数去处数据遵循向下舍入为最接近的2的倍数的原则。比如如果是统计TRIMM EN (A!:A 26, 0.2) 共计19个数据, 19的20%为5.2, 向下最接近2个倍数是4。
4 结论
Excel函数博大精深, 但从均值函数即可窥其一斑。对excel的使用者来说, 我们首先要掌握基本函数的使用, 比如普通的求平均值函数, average等。但随着学习的深入, 我们需要结合使用者特点的专业需求, 工作诉求, 更加深入地学习更高级的函数, 提高效率, 让计算机服务于我们, 让我们从繁琐的数据中解脱出来, 能够腾出视角站在更高层次构架数据, 更好地服务于我们的工作。
参考文献
[1]张山风, 周凤.Excel统计函数应用解析.办公自动化 (综合版) , 2009, 11.
[2]刘君妹, 赵其明, 姚桂芬等.Excel统计函数在数据分析方面的应用技巧.河北工业科技, 2002, 5.
[3]滕颖俏.关于Excel一些统计函数的研究.东北大学:概率论与数理统计, 2007.
均值函数 篇2
关于Fiboancci计数函数三次均值的计算
利用Fibonacci数列的基本性质,在猜测、归纳的`基础上,得出了Fibonacci数列计算函数三次均值计算公式:Ar(N)=∑n<Nar(n)(r=1,2,3).
作 者:陈斌 赵教练 CHEN Bin ZHAO Jiao-lian 作者单位:渭南师范学院数学与信息科学系,渭南,714000 刊 名:科学技术与工程 ISTIC英文刊名:SCIENCE TECHNOLOGY AND ENGINEERING 年,卷(期): 9(20) 分类号:O156 关键词:Fibonacci数列 均值 计数函数关于一个复合函数的均值 篇3
关键词:复合函数,均值,渐近公式
1 引言及结论
定理设p、q是两个素数,b(n)表示n的平方补数,对任意实数x≥1,有渐近公式
2 定理的证明
设p为一素数,由b(n)的定义有:
对于任意实数s,定义函数:。由ep(n)和b(n)的定义,可以得到eq(b(n))是积性函数。于是当Re s=σ>1时,由Euler乘积公式[4]及b(pm)的表达式有
其中,ε是任意确定的正数。
为了估计其主项
容易估计
利用分部积分法可得
因此有
这样就完成了定理的证明。
参考文献
[1]Smarandache F.Only problems,not solutions.Chicago:Xiquan Pub-lishing House,1993
[2]LüChuan.A number theoretic function and Its mean value.Research on Smarandache Problems in Number Theory.Phoenix:Hexis,2004:33—35
[3]Gao Nan.A hybrid number theoretic function and its mean value.Re-search on Smaran-dache Problems in Number Theory.Phoenix:Hex-is,2004:107—109
[4]Apostol T M.Introduction to analytic number theory.New York:Spring-Verlag,1976
均值函数 篇4
双阶乘函数Smarandache双阶乘:
对于任意整数m,它的Smarandache双阶乘为
,例如:3!!=1×3=3,6!!=2×4×6=48。
双阶乘函数Sdf(n):对于Smarandache双阶乘,我们定义函数:对任意的正整数n,双阶乘函数Sdf(n)定义为最小的正整数m使 得m!!是n的一个倍数,即 Sdf(n)=min{m:m!!=kn,m∈N.k∈N}。
对于Smarandache双阶乘而言双阶乘函数Sdf(n)的前几项值为:
Sdf(1)=1;Sdf(2)=2;Sdf(3)=3;Sdf(4)=4;Sdf(5)=5;Sdf(6)=6;Sdf(7)=7;
Sdf(8)=4;Sdf(9)=9;Sdf(10)=10;Sdf(11)=11;Sdf(12)=6;Sdf(13)=13;
Sdf(14)=14;Sdf(15)=5;Sdf(16)=6,…。
关于双阶乘函数Sdf(n),已有许多学者[3,4,5,6]对这个数列进行了研究: 在文献[1]中,Kenichiro Kashihara介绍了这一函数,文献[3]研究了有关
Kenichiro Kashihara建议我们研究S(n)与Sdf(n)之间的关系,本文通过初等方法和解析方法研究了双阶乘函数K次方及其它的复合的均值估计问题,并获得了几个较强的渐近公式,推广了文献[6]的结果。
定理1 对任意的实数.对任意固定的正整数
其中P(n)是n的最大素因子,ci(i=2,3,…,k)是可计算常数。
推论 当k=2时
其中ζ(s)是Riemann Zeta函数, ci(i=2,3,…,k)是可计算常数。
定理2 对任意的实数,对任意固定的正整数k(k≥2)及r,有渐近公式
其中ζ(s)是Riemann Zeta函数, ci(i=2,3,…,k)是可计算常数。
推论 当k=2时
2 几个引理及其证明
引理1 对于任何实数x≥1,有渐近公式
设
其中ai=(i-1)!,(i=1,2,3,…,k)。
引理2的证明可参阅文献[2]中定理4.2及文献[7]中定理3.2。
引理2 设p是素数,则有
证明 由Abel求和公式[7]及引理1,有
3 定理的证明
定理1证明:
对于任意的n≥1, n=p
A:区间(1,x]满足
B:表示区间(1,x]中不属于集合A的正整数n。那么:
若n∈A,则n=mP(n),且P(m)<P(n),由A的定义知Sdf(2)=2,对于任意正整数n>2,且n∈A,若2|n,Sdf(n)=2P(n),若2n,Sdf(n)=P(n),根据这个性质,有
由引理2有
式(1)中用到估计式
注意到
式(12)中ci(i=2,3,…,k)是可计算常数。
对于任意的n≥1且n∈B,易见
结合式(12)、式(13),立刻有
其中ζ(s)是Riemann Zeta函数。这就完成了定理的证明。
现在我们证明定理2。
若n∈A,S(n)-P(n)=0;若
其中ζ(s)是Riemann Zeta函数。这就完成了定理3的证明。
摘要:利用初等方法和解析方法,研究了双阶乘函数Sdfk(n)的性质,获得了几个较强的均值性质及渐进公式。
关键词:Smarandache函数,复合函数,均值,渐近公式
参考文献
[1]Tom MA.Introduction to analytic number theory.NewYork:Spring-er-Verlag,1976
[2]沈虹,一个新的数论函数及其它的值分布.纯粹数学与应用数学,2007;23(2):235—238
[3]贺艳峰.两个数论函数的混合均值公式.黑龙江大学自然科学学报,2008;25(4):477—479
[4]陈国慧.Slnarandaehe M题新进展.Ann Arbor:High A merica Press,2007
[5]Zhu Minhui.On the mean value of the smarandache double-factorial function.Scientia Magna,2005;Vl(1):197—202
[6]Xu Z F.On the value distribution of the Smarandache function.Acta Mathematics Sinica,Chinese Series,2006;49(5):1009—1012
妙用均值定理求多元函数的最值 篇5
在教学实践中, 学生一般都能用均值定理求一个变量的最值, 这只需按照“一正、二定、三等”六字诀即可搞定;但是, 对于含双元 (或两个以上) 的最值问题, 学生往往能列出式子, 但无法求出最值来!笔者的体会是, 不必拘泥于“定值”二字, 而应尝试用均值定理去“化积”、“化和”, 从而把这个非定值的积或和约分, 进而突破“瓶颈”, 使问题获解.举例说明如下:
例1 求函数
分析 把积
解
故
所以函数f (x) 的最大值为5, 当且仅当x=4y时取得.
例2 △ABC的三边a, b, c依次成等比数列, 求角B的取值范围.
分析 由b2=ac, 得
解 因为b2=ac, a2+c2≥2ac, 所以
又B∈ (0, π) , 故
例3 用长为l的铁丝围成直角三角形的三边, 求直角三角形的最大面积.
分析 设直角边长分别为x, y (x, y>0) , 面积为S, 则
得
所以S的最大值为
例4 有一块半径为r, 圆心角为60°的扇形木板, 现欲按如图1锯出一矩形桌面再利用, 求此桌面
的最大面积.
分析 设矩形MNPQ的边长MN=x, NP=y, 则S=xy, Rt△OMQ中,
将
解 如图1, 设MN=x, NP=y, 则S=xy, 且
所以
均值函数 篇6
关键词:Lucas数列,Fibonacci数列,均值,计数函数
文献[1—3]研究了Fibonacci数列的基本性质, 文献[4]对Lucas数列的研究中, 对于任意一个正整数m都可以用Lucas数列的正项唯一地表示为或1;具体的表示方法如下:若Ln≤m<Ln+1, 则m=Ln+r1;若Lk≤r1<Lk+1, 则r1=Lk+r2, k<n;这样依次进行, 直到rj=0为止.并且在此基础上, 定义了一个计数函数a (m) =a1+a2+…+an, 同时得到一个计算其均值的公式
于是, 任意一个正整数是否也可以用Lucas数列的负项唯一地表示出来呢?这当然是可以的, 不仅如此, 还可以表示出任意一个负整数, 同时, 同样可以依此来定义新的计数函数, 进而研究其均值的计算。
1 预备知识
Lucas 数列{Ln}和Fibonacci 数列{Fn}可以表示为:
并且, 它们的项满足这样的关系式:Ln+2=Ln+1+Ln , Fn+2=Fn+1+Fn
命题1 对于任意一个正整数k, 有以下等式成立:
2 新的计数函数的定义及其均值计算公式
定义1 设B和B′分别为任一正整数和任一负整数, 则B和B′可以用{Ln}数列的负项唯一地表示为:
(ⅰ) 若
(ⅱ) 若
根据定义1, 这里所定义的计数函数为:
它们的均值计算公式为:
3 主要结论及其证明
由定义1 容易得知, 当B′=-B时, a (B) =a (B′) ,
同理就有:a (B-1) =a (B′+1) , a (B-2) =a (B′+2) , …,
从而易得:
定理1 对于任意负整数k, 有以下等式成立:
证明: 1° 当k=-1 (奇数) 时, A1 (L-1) =A1 (-1) =0=-F0, 所以 (1) 式成立.
当k=-2 (偶数) 时, A1 (L-2) =A1 (3) =2=- (-2) F-1, 所以 (2) 式成立.
2° 假设对于任意的k≥m+1, 当k为奇数时 (1) 式成立, 当k为偶数时 (2) 式成立, 则由假设, 当k=m时, 有:
(m为奇数时)
(m为偶数时) 。
3° 由1°和2°可知, 对于任意负整数k, 当k为奇数时 (1) 式成立, 当k为偶数时 (2) 式成立.
定理2 对任意的负整数k, 有以下等式成立:
证明:1° 当k=-1 (奇数) 时,
当k=-2 (偶数) 时,
2° 假设对于任意的k≥m+1, 当k为奇数时 (3) 式成立, 当k为偶数时 (4) 式成立, 则由假设, 当k=m时, 有:
(m为奇数时)
(m为偶数时)
3° 由1°和2°可知, 对于任意负整数k, 当k为奇数时 (3) 式成立, 当k为偶数时 (4) 式成立。
参考文献
[1]Duncan R L.Application of uniform distribution to the fibonacci numbers.The Fibonacci Quarterly, 1967;3 (5) :137—140
[2]Kuipers L.Remark on a paper by R.L.Duncan concerning the Uni-form distribution mod1of the sequence of the Logarithms of the Fi-bonacci numbers.The Fibonacci Quarterly, 1969;5 (7) :465—466
[3]London H, Finkelstein R.On fibonacci and lucas numbers which are perfect powers.The Fibonacci Quarterly, 1969;5 (7) :476—481
两个新的数论函数的混合均值 篇7
对任意正整数n, 若n=p
Sk (n) =min{m:m∈N, nk|m!}。
从Sk (n) 的定义知,
文献[1]研究了Sk (n) 的性质并得出对任意实数x≥3, 正整数k≥1, 有
且对任意正整数n, 若有最大素因子
Sk (n) =kp (n) (1)
对于其他素因子pi (1≤i≤s, pi≠p (n) ) , 容易得到
Sk (p
对正整数n, 当n>1, n=p
当
文献[2]对
式 (3) 实数x≥1, k为任意正整数bi为可计算的常数
现研究函数Sk (n) 与数论函数
定理 对任意实数x≥2, 正整数k≥1, 有渐近公式
推论 对任意实数x≥2, 有渐近式
2定理的证明
现给出定理的证明, 为方便起见, 将[1, x]中的正整数n分为集合A和B, 即
。
从定义可知
根据素数函数
当m≥2时, 有
所以
由
结合式 (3) —式 (5) 得
现讨论B中的情况。由B的定义及 (2) (3) 知
由集合A和B的定义及上面的计算就有
于是完成了定理的证明。
在定理中令k=1即得到推论。
摘要:对任意正整数n, 定义数论函数Ω (n) 为Ω (1) =0, 当n>1, n=pα11pα22…pαss为n的标准分解式, Ω (n) =α1p1+α2p2+…+αsps, 其中 (pi为素数, 1≤i≤s) 。数论函数Sk (n) 定义为Sk (n) =m in{m:m∈N, nk|m|m!}, 即最小正整数m, 使得nk|m|m!。运用初等方法研究数论函数Ω (n) 与Sk (n) 的混合均值问题, 并得到一个有趣的渐近公式。
关键词:数论函数,混合均值,渐近公式,推广
参考文献
[1]丁丽萍.一个新的数论函数及其均值.延安大学学报 (自然科学版) , 2004;23 (3) :5—6
[2]薛社教.一个新的算术函数及其均值.纯粹数学与应用数学, 2007;23 (3) :351—354
[3]潘承洞, 潘承彪.素数定理的初等证明.上海:上海科学技术出版社, 1988
均值函数 篇8
例.已知x>0, y>0, 且 , 求x+y的最小值
分析:本题是求和的最小值, 要找积为定值, 困难在于如何利用条件 , 对条件 从不同的角度进行分析就可以得到不同的解决问题的方法
解法一:整体地利用条件, 灵活运用“1”进行代换, 在x+y上乘以“1”展开构造 的形式, 两者的积 是定值
当且仅当 , 即x=, y=12时, 上式等号成立, 故当x=4, y=12时, (x+y) min=16
解法二:将原式变形构造x+y= (x-1) + (y-9) +10, 两者的积 (x-1) (y-9) =9是定值
由 得 (x-1) (y-9) =9 (定值) , 又知x>1, y>9,
所以, x+y= (x-1) + (y-9) +10莛2姨9+10=16
当且仅当x-1=y-9=3, 即x=4, y=12时, (x+y) min=16
解法三:由结构特点联想到三角函数公式, 将原式换元变形x+y=coc2θ+9sec2θ=cot2θ+9tan2θ+19, 而cot2θ·9tan2θ=9是定值
则:x+y=csc2θ+9sec2θ=cot2θ+9tan2θ+19莛2姨9+10=16,
当且仅当 , 即x=4, y=12时, (x+y) min=16
解法四:将二元函数转化为一元函数,
当且仅当 (x-1) 2=9, 即x=4, y=12时, (x+y) min=16
由此可见, 利用均值不等式求最值时, 要进行巧妙地分拆、组合、添加系数等使之变成可用均值不等式的形式是关键。若多次利用均值不等式求最值, 必须保持每次取“=”号的一致性, 否则就会出错.
请同学们分析下面的解法错在何处?
当然本题也可以利用判别式法和数形结合法求解, 请同学们自己去探索。
以下几道题, 请同学们试试:
1.已知不等式 对任意正实数x, y恒成立, 则正实数a的最小值为 ()
A.2 B.4 C.6 D.8
2.已知两正数x, y满足, 则取最小值时的值分别为 ()
A.5, 5 B.10, C.10, 5 D.10, 10
3.设x、y为正实数, 且xy- (x+y) =1, 则 ()
4.已知a>b>0, 求 的最小值
解析:
1.选B
2.由x+y+5=xy得 , 再利用二次函数求xy的最小值, 当且仅当 时xy取到最小值, 求得