均值函数

均值函数（共8篇）

均值函数 篇1

0 引言

作为微软重磅推出的办公自动化软件 (Microsoft office) 的重要组成部分, Excel已经超出了传统的表格处理界限, 朝着办公自动化, 集成化, 数据库化方向发展。社会的高速发展催生出天量数据, 数据的管理与控制即数据库在办公领域发挥愈来愈重要的作用, 而excel作为基础软件, 具备普及率高, 界面高度友好性, 上手操作容易等优点, 因此很多办公人员乐意借助excel管理数据, 构建自己的数据库系统。

而在这些浩如烟海的数据函数, 有一类函数尤其吸引我们的关注和兴趣, 即均值函数。这类函数看似简单, 但却在日常办公、统计, 生活, 财务管理等各个方面发挥举足轻重的作用。本文先将Excel中有关均值函数做一简要分类和简析。

1 一般平均值函数

平均值在统计学中是非常重要的概念, 有算术平均值, 几何平均值等各种平均值概念。excel根据这些现实需求也开发出多种求平均值的函数。

1.1 Average函数

该函数返回统计组的算术平均值。其语法形式为AVERAGE (Numberl, Number2, …, ) , 其中Number1到NumberN为需要统计的参数。该函数虽看似简单, 但在大量处理数据面前需要进入其他函数的嵌套, 这方面就需要学习者苦下功夫。下面举一个求平均值的案例。

实例1:现有100万数据, 如何通过excel函数实现按顺序每1万个数据求平均值呢?我可以可以利用如下函数实现AVERAGE (INDIRECT ("A"& (ROW (A1) *10000-9999) &":A"& (ROW (A1) *10000) ) )

1.2 GEOMEAN函数

函数返回统计组中的几何平均值。其语法形式为GEOMEAN (Number1, Number2, …, ) 。需要说明的是考虑到几何平均值, Number1, Number2, …, 这些数值必须都为正数。

1.3 HARMEAN函数

该函数返回参数组的调和平均值, 其语法为HARMEAN (number1, number2, …) , 如果数组或引用参数包含文本、逻辑值或空白单元格, 则这些值将被忽略, 如果单元格包含零值, 该参数会以0被计算在内。另外, 该函数参数可以是数字, 或者是包含数字的名称、数组或引用。

2 反映参数离散程度的均值函数

2.1 AVEDEV函数

该函数不是反应参数均值得指标, 而是返回数据与其均值的绝对偏差的平均值, 该值体系了数据组的离散情况。其公式为

其在EXCEL里面的函数实现为AVEDEV (Nummber1, Number2, …, )

2.2 COVAR函数

该函数也称协方差平均值。协方差平均值是指每对数据点的偏差乘积的平均数。利用协方差可以研究两个数据集合之间的关系, 它也是数理统计中重要的指标参数。其公式为

该函数的语法形式为COVAR (array1, array2) 参数:Array1是第一个所含数据为整数的单元格区域, Array2是第二个所含数据为整数的单元格区域。

实例2:如果A1=3、A2=2、A3=1、B1=3600、B2=1500、B3=800, 则公式“=COVAR (A1:A3, B1:B3) ”返回933.33。

3 具备特殊功能的均值函数

3.1 AVERAGEA函数

其语法形式为AVERvalue1, value2, ...) 。该函数与average函数一样, 同样返回参数组中的平均值, 但不同的是, AVERAGE函数仅对数字参数有效, 而AVERAGEA函数不仅对数字有效, 而且可以将文本和逻辑值 (如TRUE和FALSE) 纳入运算体系。

实例3:如果A1=76、A2=85、A3=TRUE, 则公式“=AVERAGEA (A1:A3) ”返回54 (即 (76+85+1) /3=54) 。这是因为A3对应的逻辑值为1。

3.2 TRIMMEAN函数

在现实的数据统计中, 有些数据可能对我们的统计是无效的, 这就需要对统计数据进行一定的筛选, 然后再进行运算。TRIMEAN就是提供了这样一种具有筛选功能的函数, 方便我们科学有效的对数据进行分析统计。

该函数在求平均值前, 先从数据集的头部和尾部去除一定比例的数据。比如, 一般在计算选手得分时, 通常会去掉一个最高分和一个最低分再统计选手的平均值。TRIMMEAN的语法形式为TRIMMEAN (Array, Percent) , 其中Array为需要进行筛选并求平均值的数组或数据区域;Percent为计算时所要除去的数据点的比例。

实例4:例如函数Trimmean (A1:A20, 0.2) , 表示头尾各去掉10%的数据, 然后再统计平均值, 即头尾分别取得2个数据即四个数据。但需要注意的是TRIMMEN函数去处数据遵循向下舍入为最接近的2的倍数的原则。比如如果是统计TRIMM EN (A!:A 26, 0.2) 共计19个数据, 19的20%为5.2, 向下最接近2个倍数是4。

4 结论

Excel函数博大精深, 但从均值函数即可窥其一斑。对excel的使用者来说, 我们首先要掌握基本函数的使用, 比如普通的求平均值函数, average等。但随着学习的深入, 我们需要结合使用者特点的专业需求, 工作诉求, 更加深入地学习更高级的函数, 提高效率, 让计算机服务于我们, 让我们从繁琐的数据中解脱出来, 能够腾出视角站在更高层次构架数据, 更好地服务于我们的工作。

参考文献

[1]张山风, 周凤.Excel统计函数应用解析.办公自动化 (综合版) , 2009, 11.

[2]刘君妹, 赵其明, 姚桂芬等.Excel统计函数在数据分析方面的应用技巧.河北工业科技, 2002, 5.

[3]滕颖俏.关于Excel一些统计函数的研究.东北大学:概率论与数理统计, 2007.

均值函数 篇2

关于Fiboancci计数函数三次均值的计算

利用Fibonacci数列的基本性质,在猜测、归纳的`基础上,得出了Fibonacci数列计算函数三次均值计算公式:Ar(N)=∑n＜Nar(n)(r=1,2,3).

作 者：陈斌 赵教练 CHEN Bin ZHAO Jiao-lian  作者单位：渭南师范学院数学与信息科学系,渭南,714000 刊 名：科学技术与工程  ISTIC英文刊名：SCIENCE TECHNOLOGY AND ENGINEERING 年，卷(期)： 9(20) 分类号：O156 关键词：Fibonacci数列   均值   计数函数  

关于一个复合函数的均值 篇3

关键词：复合函数,均值,渐近公式

1 引言及结论

定理设p、q是两个素数,b(n)表示n的平方补数,对任意实数x≥1,有渐近公式

2 定理的证明

设p为一素数,由b(n)的定义有:

对于任意实数s,定义函数:。由ep(n)和b(n)的定义,可以得到eq(b(n))是积性函数。于是当Re s=σ>1时,由Euler乘积公式[4]及b(pm)的表达式有

其中,ε是任意确定的正数。

为了估计其主项

容易估计

利用分部积分法可得

因此有

这样就完成了定理的证明。

参考文献

[1]Smarandache F.Only problems,not solutions.Chicago:Xiquan Pub-lishing House,1993

[2]LüChuan.A number theoretic function and Its mean value.Research on Smarandache Problems in Number Theory.Phoenix:Hexis,2004:33—35

[3]Gao Nan.A hybrid number theoretic function and its mean value.Re-search on Smaran-dache Problems in Number Theory.Phoenix:Hex-is,2004:107—109

[4]Apostol T M.Introduction to analytic number theory.New York:Spring-Verlag,1976

均值函数 篇4

双阶乘函数Smarandache双阶乘:

对于任意整数m,它的Smarandache双阶乘为

$m!!=\{\begin{array}{ccccc}1\cdot 3\cdot 5\cdots m,& \text{i}\text{f}& m& \text{i}\text{s}& \text{o}\text{d}\text{d}\\ 2\cdot 4\cdot 6\cdots m,& \text{i}\text{f}& m& \text{i}\text{s}& \text{e}\text{v}\text{e}\text{n}\end{array}$

,例如:3!!=1×3=3,6!!=2×4×6=48。

双阶乘函数Sdf(n):对于Smarandache双阶乘,我们定义函数:对任意的正整数n,双阶乘函数Sdf(n)定义为最小的正整数m使 得m!!是n的一个倍数,即 Sdf(n)=min{m:m!!=kn,m∈N.k∈N}。

对于Smarandache双阶乘而言双阶乘函数Sdf(n)的前几项值为:

Sdf(1)=1;Sdf(2)=2;Sdf(3)=3;Sdf(4)=4;Sdf(5)=5;Sdf(6)=6;Sdf(7)=7;

Sdf(8)=4;Sdf(9)=9;Sdf(10)=10;Sdf(11)=11;Sdf(12)=6;Sdf(13)=13;

Sdf(14)=14;Sdf(15)=5;Sdf(16)=6,…。

关于双阶乘函数Sdf(n),已有许多学者[3,4,5,6]对这个数列进行了研究: 在文献[1]中,Kenichiro Kashihara介绍了这一函数,文献[3]研究了有关${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{Sdf(n)}}$、${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{Sdf(n)}{n}}$敛散性, 同时给出了Diophantine方程Sdf(n)=Sdf(n+1)解的讨论,特别是文献[2]、给出了一个较强的渐近公式

${\displaystyle \sum _{n\le x}S}df(n)=\frac{x\text{l}\text{n}x}{\text{l}\text{n}\text{l}\text{n}x}+{\rm O}\left(\frac{x\text{l}\text{n}x}{\left(\text{l}\text{n}\text{l}\text{n}x\right){}^2}\right)$。

Kenichiro Kashihara建议我们研究S(n)与Sdf(n)之间的关系,本文通过初等方法和解析方法研究了双阶乘函数K次方及其它的复合的均值估计问题,并获得了几个较强的渐近公式,推广了文献[6]的结果。

定理1 对任意的实数.对任意固定的正整数$k\left(k\ge 2\right)$及r,有渐近公式

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n\le x}(}Sdf(n)-{\rm P}(n)){}^k=\frac{\zeta (k+1)}{8(k+1)}\frac{x{}^{k+1}}{\text{l}\text{n}x}+{\displaystyle \sum _{i=2}^r\frac{c{}_{i}x{}^{k+1}}{\ln {}^{i}x}}+\\ {\rm O}\left(\frac{x{}^{k+1}}{\ln {}^{k+1}x}\right)。\end{array}$

其中P(n)是n的最大素因子,ci(i=2,3,…,k)是可计算常数。

推论 当k=2时

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n\le x}(}Sdf(n)-{\rm P}(n)){}^2=\frac{\zeta (2)}{24}\frac{x{}^3}{\text{l}\text{n}x}+{\displaystyle \sum _{i=2}^k\frac{c{}_{i}x{}^3}{\ln {}^{i}x}}+\\ {\rm O}\left(\frac{x{}^3}{\ln {}^{k+1}x}\right)。\end{array}$

其中ζ(s)是Riemann Zeta函数, ci(i=2,3,…,k)是可计算常数。

定理2 对任意的实数,对任意固定的正整数k(k≥2)及r,有渐近公式

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n\le x}(}Sdf(n)-S(n)){}^k=\frac{\zeta (k+1)}{8(k+1)}\frac{x{}^{k+1}}{\text{l}\text{n}x}+{\displaystyle \sum _{i=2}^r\frac{c{}_{i}x{}^{k+1}}{\ln {}^{i}x}}+\\ {\rm O}\left(\frac{x{}^{k+1}}{\ln {}^{k+1}x}\right)。\end{array}$

其中ζ(s)是Riemann Zeta函数, ci(i=2,3,…,k)是可计算常数。

推论 当k=2时

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n\le x}(}Sdf(n)-S(n)){}^2=\frac{\zeta (2)}{24}\frac{x{}^3}{\text{l}\text{n}x}+{\displaystyle \sum _{i=2}^k\frac{c{}_{i}x{}^3}{\ln {}^{i}x}}+\\ {\rm O}\left(\frac{x{}^3}{\ln {}^{k+1}x}\right)。\end{array}$

2 几个引理及其证明

引理1 对于任何实数x≥1,有渐近公式

设$\pi (x)={\displaystyle \sum _{p\le n}1}$,由Abel求和公式[7]及素数定理,$\text{π}(x)={\displaystyle \sum _{i=1}^k\frac{a{}_{i}x}{\ln {}^{i}x}}+{\rm O}\left(\frac{x}{\ln {}^{k+1}x}\right)$。

其中ai=(i-1)!,(i=1,2,3,…,k)。

引理2的证明可参阅文献[2]中定理4.2及文献[7]中定理3.2。

引理2 设p是素数,则有

${\displaystyle \sum _{p\le x}p}{}^k=\frac{1}{k+1}x{}^{k+1}{\displaystyle \sum _{i=1}^r\frac{a{}_i}{\ln {}^{i}x}}+{\rm O}\left(\frac{x{}^{k+1}}{\ln {}^{r+1}x}\right)$。

证明 由Abel求和公式[7]及引理1,有

3 定理的证明

定理1证明:

对于任意的n≥1, n=p${}_1^{\alpha {}_1}$p${}_2^{\alpha {}_2}$…p${}_r^{\alpha {}_r}$为n的标准素因子分解式把区间(1,x]的所有正整数n分成如下两个部分:

A:区间(1,x]满足${\rm P}(n)\ge \sqrt{n}$,所有正整数n,i=1,2,…,k,其中P(n)是n的最大素因子。

B:表示区间(1,x]中不属于集合A的正整数n。那么:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n\le x}(}Sdf(n)-{\rm P}(n)){}^k={\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}n\le x\\ n\in A\end{array}}}(Sdf(n)-{\rm P}(n)){}^k+\\ {\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}n\le x\\ n\in B\end{array}}}(Sdf(n)-{\rm P}(n)){}^k。\end{array}$

若n∈A,则n=mP(n),且P(m)<P(n),由A的定义知Sdf(2)=2,对于任意正整数n>2,且n∈A,若2|n,Sdf(n)=2P(n),若2n,Sdf(n)=P(n),根据这个性质,有

由引理2有

${\displaystyle \sum _{2n<p\le \frac{x}{2n}}p}{}^k={\displaystyle {\int }_{2n}^{\frac{x}{2n}}t}{}^k\text{d}\text{π}(t)=\left(\frac{x}{2n}\right){}^k\text{π}(x)-k{\displaystyle {\int }_{2n}^{\frac{x}{2n}}t}{}^{k-1}\text{d}\text{π}(t)\text{d}\text{t}=$

$\frac{x{}^{k+1}}{8\left(k+1\right)n{}^{k+1}}+{\displaystyle \sum _{i=1}^r\frac{b{}_{i}x{}^{k+1}\ln {}^{i}n}{n{}^{k+1}\ln {}^{i}x}}+{\rm O}\left(\frac{x{}^{k+1}}{\ln {}^{r+1}x}\right)(11)$

式(1)中用到估计式$2n\le \sqrt{x}‚b{}_i(i=2,3,\cdots ,k)$是可计算常数。

注意到${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{}^{k+1}}}=\zeta (k+1)$,根据式(10),式(11)可得

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}n\le x\\ n\in A\end{array}}}(Sdf(n)-{\rm P}(n)){}^k=\frac{\zeta (k+1)}{8(k+1)}\frac{x{}^{k+1}}{\text{l}\text{n}x}+{\displaystyle \sum _{i=2}^r\frac{c{}_{i}x{}^{k+1}}{\ln {}^{i}x}}+\\ {\rm O}\left(\frac{x{}^{k+1}}{\ln {}^{k+1}x}\right)(12)\end{array}$

式(12)中ci(i=2,3,…,k)是可计算常数。

对于任意的n≥1且n∈B,易见$Sdf(n)\ll \sqrt{n\text{l}\text{n}n}$和${\rm P}(n)\ll \sqrt{n}$,故有

${\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}n\le x\\ n\in B\end{array}}}(Sdf(n)-{\rm P}(n)){}^k\ll {\displaystyle \sum _{n\le x}n}\ln {}^{k}n\ll x{}^k\ln {}^{k}x(13)$

结合式(12)、式(13),立刻有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n\le x}(}Sdf(n)-{\rm P}(n)){}^k={\displaystyle \sum _{n\le x}^{n\in A}}(Sdf(n)-{\rm P}(n)){}^k+\\ {\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}n\le x\\ n\in B\end{array}}}(Sdf(n)-{\rm P}(n)){}^k=\\ \frac{\zeta (k+1)}{8(k+1)}\frac{x{}^{k+1}}{\text{l}\text{n}x}+{\displaystyle \sum _{i=2}^r\frac{c{}_{i}x{}^{k+1}}{\ln {}^{i}x}}+\\ {\rm O}\left(\frac{x{}^{k+1}}{\ln {}^{k+1}x}\right)\end{array}$

其中ζ(s)是Riemann Zeta函数。这就完成了定理的证明。

现在我们证明定理2。

若n∈A,S(n)-P(n)=0;若$n\in B,|S(n)-{\rm P}(n)|\preccurlyeq \sqrt{n}$;根据文献[6]的结论与定理2的证明我们有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n\le x}(}Sdf(n)-S(n)){}^k={\displaystyle \sum _{n\le x}(}Sdf(n)-{\rm P}(n)){}^k+C{}_k^1{\displaystyle \sum _{n\le x}(}{\rm P}(n)-S(n))(Sdf(n)-{\rm P}(n)){}^{k-1}+\\ C{}_k^i{\displaystyle \sum _{n\le x}(}{\rm P}(n)-S(n)){}^i(Sdf(n)-{\rm P}(n)){}^{k-i}+\cdots +{\displaystyle \sum _{n\le x}(}{\rm P}(n)-S(n)){}^k=\frac{\zeta (k+1)}{8(k+1)}\frac{x{}^{k+1}}{\text{l}\text{n}x}+\\ {\displaystyle \sum _{i=2}^r\frac{c{}_{i}x{}^{k+1}}{\ln {}^{i}x}}+{\rm O}\left(\frac{x{}^{k+1}}{\ln {}^{k+1}x}\right)。\end{array}$

其中ζ(s)是Riemann Zeta函数。这就完成了定理3的证明。

摘要：利用初等方法和解析方法,研究了双阶乘函数Sdfk(n)的性质,获得了几个较强的均值性质及渐进公式。

关键词：Smarandache函数,复合函数,均值,渐近公式

参考文献

[1]Tom MA.Introduction to analytic number theory.NewYork:Spring-er-Verlag,1976

[2]沈虹,一个新的数论函数及其它的值分布.纯粹数学与应用数学,2007;23(2):235—238

[3]贺艳峰.两个数论函数的混合均值公式.黑龙江大学自然科学学报,2008;25(4):477—479

[4]陈国慧.Slnarandaehe M题新进展.Ann Arbor:High A merica Press,2007

[5]Zhu Minhui.On the mean value of the smarandache double-factorial function.Scientia Magna,2005;Vl(1):197—202

[6]Xu Z F.On the value distribution of the Smarandache function.Acta Mathematics Sinica,Chinese Series,2006;49(5):1009—1012

妙用均值定理求多元函数的最值 篇5

在教学实践中, 学生一般都能用均值定理求一个变量的最值, 这只需按照“一正、二定、三等”六字诀即可搞定;但是, 对于含双元 (或两个以上) 的最值问题, 学生往往能列出式子, 但无法求出最值来!笔者的体会是, 不必拘泥于“定值”二字, 而应尝试用均值定理去“化积”、“化和”, 从而把这个非定值的积或和约分, 进而突破“瓶颈”, 使问题获解.举例说明如下:

例1 求函数$f(x‚y)=\frac{4x+y+4\sqrt{xy}}{x+y}(x‚y＞0)$的最大值.

分析 把积$4\sqrt{xy}$化为“和”x+4y, 使分子“凑出”5x+5y, 再约去x+y即求出最值.

解$4\sqrt{xy}=2\sqrt{x\cdot 4y}\le x+4y$,

故$f(x‚y)\le \frac{4x+y+(x+4y)}{x+y}=5.$

所以函数f (x) 的最大值为5, 当且仅当x=4y时取得.

例2 △ABC的三边a, b, c依次成等比数列, 求角B的取值范围.

分析 由b2=ac, 得$\cos B=\frac{a{}^2+c{}^2-b{}^2}{2ac}=\frac{a{}^2+c{}^2-ac}{2ac}$.注意到分式中的“积”, 我们把a2+c2化为“积”2ac即可求出最值.

解 因为b2=ac, a2+c2≥2ac, 所以

$\begin{array}{l}\cos B=\frac{a{}^2+c{}^2-b{}^2}{2ac}=\frac{a{}^2+c{}^2-ac}{2ac}\\ \ge \frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2}.\end{array}$

又B∈ (0, π) , 故$B\in \left(0‚\frac{\text{π}}{3}\right].$

例3 用长为l的铁丝围成直角三角形的三边, 求直角三角形的最大面积.

分析 设直角边长分别为x, y (x, y>0) , 面积为S, 则$l=x+y+\sqrt{x{}^2+y{}^2},S=\frac{1}{2}xy$.注意到求“积”的最值, 我们把x+y和x2+y2分别化“积”$2\sqrt{xy}$和2xy即可巧妙求出最值.

$\begin{array}{l}\text{解}l=x+y+\sqrt{x{}^2+y{}^2}\\ \ge 2\sqrt{xy}+\sqrt{2xy}=2\sqrt{2S}+\sqrt{4S}‚\end{array}$

得$S\le \frac{3-2\sqrt{2}}{4}l{}^2.$

所以S的最大值为$\frac{3-2\sqrt{2}}{4}l{}^2$, 当且仅当$x=y=\frac{2-2\sqrt{2}}{2}l$, 即等腰直角三角形时取得.

例4 有一块半径为r, 圆心角为60°的扇形木板, 现欲按如图1锯出一矩形桌面再利用, 求此桌面

的最大面积.

分析 设矩形MNPQ的边长MN=x, NP=y, 则S=xy, Rt△OMQ中, ${\rm O}{\rm M}={\rm M}Q\cdot \cot 60°=\frac{\sqrt{3}}{3}y$;Rt△OPN中, OP2=ON2+NP2, 即

$r{}^2=\left(x+\frac{\sqrt{3}}{3}y\right){}^2+y{}^2=x{}^2+\frac{4}{3}y{}^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}xy.$

将$x{}^2+\frac{4}{3}y{}^2$化“积”即得最值.

解 如图1, 设MN=x, NP=y, 则S=xy, 且

$\begin{array}{l}r{}^2=(x+y\cdot \cot 60°){}^2+y{}^2=x{}^2+\frac{4}{3}y{}^2+\frac{2\sqrt{3}}{3}xy\\ \ge 2x\cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}y+\frac{2\sqrt{3}}{3}xy=2\sqrt{3}S.\end{array}$

所以$S\le \frac{\sqrt{3}}{6}r{}^2$, 即桌面的最大面积为$\frac{\sqrt{3}}{6}r{}^2$, 当且仅当$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}y$, 即当$x=\frac{\sqrt{3}}{3}r‚y=\frac{r}{2}$, 此时点P恰为弧AB的中点时取得最值.

均值函数 篇6

关键词：Lucas数列,Fibonacci数列,均值,计数函数

文献[1—3]研究了Fibonacci数列的基本性质, 文献[4]对Lucas数列的研究中, 对于任意一个正整数m都可以用Lucas数列的正项唯一地表示为或1;具体的表示方法如下:若Ln≤m<Ln+1, 则m=Ln+r1;若Lk≤r1<Lk+1, 则r1=Lk+r2, k<n;这样依次进行, 直到rj=0为止.并且在此基础上, 定义了一个计数函数a (m) =a1+a2+…+an, 同时得到一个计算其均值的公式

于是, 任意一个正整数是否也可以用Lucas数列的负项唯一地表示出来呢?这当然是可以的, 不仅如此, 还可以表示出任意一个负整数, 同时, 同样可以依此来定义新的计数函数, 进而研究其均值的计算。

1 预备知识

Lucas 数列{Ln}和Fibonacci 数列{Fn}可以表示为:

$\{\begin{array}{l}n\cdots -6-5-4-3-2-10123456\cdots \\ L{}_n\cdots 18-117-43-1213471118\cdots \\ F{}_n\cdots -85-32-110112358\cdots \end{array}$

并且, 它们的项满足这样的关系式:Ln+2=Ln+1+Ln , Fn+2=Fn+1+Fn

命题1 对于任意一个正整数k, 有以下等式成立:

$\begin{array}{l}A{}_1(L{}_k)={\displaystyle \sum _{0\le n<L{}_k}a}(n)=kF{}_{k-1},\\ A{}_2(L{}_k)={\displaystyle \sum _{0\le n<L{}_k}a}{}^2(n)=\frac{1}{5}[(k-1)(k-2)L{}_{k-2}+5(k-1)F{}_{k-2}+7(k-1)F{}_{k-3}+3F{}_{k-1}]=\frac{1}{5}k[(2k+1)F{}_{k-1}-(k-1)F{}_{k-2}]。\end{array}$

2 新的计数函数的定义及其均值计算公式

定义1 设B和B′分别为任一正整数和任一负整数, 则B和B′可以用{Ln}数列的负项唯一地表示为:

$\begin{array}{l}B={\displaystyle \sum _{i=t}^{-1}a}{}_i\left|L{}_i\right|\text{和}{B}^{\prime }=-{\displaystyle \sum _{i=s}^{-1}a}{}_i\left|L{}_i\right|=\\ {\displaystyle \sum _{i=s}^{-1}a}{}_i(-\left|L{}_i\right|)‚a{}_i=0\text{或}1；\end{array}$

(ⅰ) 若$\left|L{}_t\right|\le B<\left|L{}_{t-1}\right|$, 则$B=\left|L{}_t\right|+r{}_1$;若$\left|L{}_k\right|\le r{}_1<\left|L{}_{k-1}\right|$, 则$r{}_1=\left|L{}_k\right|+r{}_2$, t<k;这样依次进行, 直到rj=0为止;

(ⅱ) 若$\left|L{}_s\right|\le \left|B^{\prime }\right|<\left|L{}_{s-1}\right|$, 则$B^{\prime }=-\left|L{}_s\right|+r{}_1$;若$\left|L{}_k\right|\le \left|r{}_1\right|<\left|L{}_{k-1}\right|$, 则$r{}_1=-\left|L{}_k\right|+r{}_2$, s<k;这样依次进行, 直到rj=0为止.

根据定义1, 这里所定义的计数函数为:

$\{\begin{array}{l}a(B)=a{}_t+a{}_{t+1}+a{}_{t+2}+\cdots +a{}_{-1}\\ a(B^{\prime })=a{}_s+a{}_{s+1}+a{}_{s+2}+\cdots +a{}_{-1}\end{array}$

它们的均值计算公式为:

$A{}_r({\rm M})=\{\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{0\le n<{\rm M}}a}{}^r(n),{\rm M}>0\\ {\displaystyle \sum _{{\rm M}<n\le 0}a}{}^r(n),{\rm M}<0\end{array}(r=1,2)$

3 主要结论及其证明

由定义1 容易得知, 当B′=-B时, a (B) =a (B′) ,

同理就有:a (B-1) =a (B′+1) , a (B-2) =a (B′+2) , …,

从而易得:$A{}_r(B)={\displaystyle \sum _{0\le n<B}a}{}^r(n)=a{}^r(0)+a{}^r(1)+\cdots +a{}^r(B-2)+a{}^r(B-1)=$

$a{}^r(0)+a{}^r(-1)+\cdots +a{}^r(B^{\prime }+2)+a{}^r(B^{\prime }+1)={\displaystyle \sum _{B^{\prime }<n\le 0}a}{}^r(n)=A{}_r(B^{\prime })=A{}_r(-B)$。

定理1 对于任意负整数k, 有以下等式成立:

$\begin{array}{l}k\text{为}\text{奇}\text{数}\text{时},A{}_1(L{}_k)={\displaystyle \sum _{L{}_k<n\le 0}a}(n)=kF{}_{k+1}(1)\\ k\text{为}\text{偶}\text{数}\text{时},A{}_1(L{}_k)={\displaystyle \sum _{0\le n<L{}_k}a}(n)=-kF{}_{k+1}(2)\end{array}$

证明: 1° 当k=-1 (奇数) 时, A1 (L-1) =A1 (-1) =0=-F0, 所以 (1) 式成立.

当k=-2 (偶数) 时, A1 (L-2) =A1 (3) =2=- (-2) F-1, 所以 (2) 式成立.

2° 假设对于任意的k≥m+1, 当k为奇数时 (1) 式成立, 当k为偶数时 (2) 式成立, 则由假设, 当k=m时, 有:

(m为奇数时)

$\begin{array}{l}A{}_1(L{}_m)={\displaystyle \sum _{L{}_m<n\le 0}a}(n)={\displaystyle \sum _{-L{}_{m+1}<n\le 0}a}(n)+{\displaystyle \sum _{L{}_m<n\le -L{}_{m+1}}a}(n)=\\ A{}_1(-L{}_{m+1})+{\displaystyle \sum _{L{}_{m+2}<n\le 0}a}(n-L{}_{m+1})=\\ A{}_1(L{}_{m+1})+{\displaystyle \sum _{L{}_{m+2}<n\le 0}(}a(n)+1)=\\ A{}_1(L{}_{m+1})+{\displaystyle \sum _{L{}_{m+2}<n\le 0}a}(n)+\left|L{}_{m+2}\right|(L{}_{m+2}<0)=\\ A{}_1(L{}_{m+1})+A{}_1(L{}_{m+2})-L{}_{m+2}=\\ -(m+1)F{}_{m+2}+(m+2)F{}_{m+3}-L{}_{m+2}=mF{}_{m+1}。\end{array}$

(m为偶数时) 。

$\begin{array}{l}A{}_1(L{}_m)={\displaystyle \sum _{0\le n<L{}_m}a}(n)=\\ {\displaystyle \sum _{0\le n<-L{}_{m+1}}a}(n)+{\displaystyle \sum _{-L{}_{m+1}\le n<L{}_m}a}(n)=\\ A{}_1(-L{}_{m+1})+{\displaystyle \sum _{0\le n<L{}_{m+2}}a}(n-L{}_{m+1})=\\ A{}_1(L{}_{m+1})+{\displaystyle \sum _{0\le n<L{}_{m+2}}(}a(n)+1)=\\ A{}_1(L{}_{m+1})+{\displaystyle \sum _{0\le n<L{}_{m+2}}a}(n)+L{}_{m+2}=\\ A{}_1(L{}_{m+1})+A{}_1(L{}_{m+2})+L{}_{m+2}=\\ -mF{}_{m+1}-(F{}_{m+1}+F{}_{m+3})+L{}_{m+2}\times \\ (F{}_{m+1}+F{}_{m+3}=L{}_{m+2})=-mF{}_{m+1}。\end{array}$

3° 由1°和2°可知, 对于任意负整数k, 当k为奇数时 (1) 式成立, 当k为偶数时 (2) 式成立.

定理2 对任意的负整数k, 有以下等式成立:

$\begin{array}{l}k\text{为}\text{奇}\text{数}\text{时},A{}_2(L{}_k)={\displaystyle \sum _{L{}_k<n\le 0}a}{}^2(n)=\\ \frac{k}{5}[(-2k+1)F{}_{k+1}-(k+1)F{}_{k+2}](3)\\ k\text{为}\text{偶}\text{数}\text{时},A{}_2(L{}_k)={\displaystyle \sum _{0\le n<L{}_k}a}{}^2(n)=\\ -\frac{k}{5}[(-2k+1)F{}_{k+1}-(k+1)F{}_{k+2}](4)\end{array}$

证明:1° 当k=-1 (奇数) 时, $A{}_2(L{}_{-1})=A{}_2(-1)=0=\frac{-1}{5}(2+1)F{}_0$, 所以 (3) 式成立。

当k=-2 (偶数) 时, $A{}_2(L{}_{-2})=A{}_2(3)=2=\frac{2}{5}(5F{}_{-1}+F{}_0)$, 所以 (4) 式成立。

2° 假设对于任意的k≥m+1, 当k为奇数时 (3) 式成立, 当k为偶数时 (4) 式成立, 则由假设, 当k=m时, 有:

(m为奇数时)

$\begin{array}{l}A{}_2(L{}_m)={\displaystyle \sum _{L{}_m<n\le 0}a}{}^2(n)={\displaystyle \sum _{-L{}_{m+1}<n\le 0}a}{}^2(n)+{\displaystyle \sum _{L{}_m<n\le -L{}_{m+1}}a}{}^2(n)=\\ A{}_2(-L{}_{m+1})+{\displaystyle \sum _{L{}_{m+2}<n\le 0}a}{}^2(n-L{}_{m+1})=\\ A{}_2(L{}_{m+1})+A{}_2(L{}_{m+2})+2A{}_1(L{}_{m+2})-L{}_{m+2}=\\ -\frac{m+1}{5}[(-2m-1)F{}_{m+2}-(m+2)F{}_{m+3}]+\\ \frac{m+2}{5}[(-2m-3)F{}_{m+3}-(m+3)F{}_{m+4}]+\\ 2(m+2)F{}_{m+3}-L{}_{m+2}=\frac{m}{5}[(-2m+1)F{}_{m+1}-\\ (m+1)F{}_{m+2}]。\end{array}$

(m为偶数时)

$\begin{array}{l}A{}_2(L{}_m)={\displaystyle \sum _{0\le n<L{}_m}a}{}^2(n)=\\ {\displaystyle \sum _{0\le n<-L{}_{m+1}}a}{}^2(n)+{\displaystyle \sum _{-L{}_{m+1}\le n<L{}_m}a}{}^2(n)=\\ A{}_2(-L{}_{m+1})+{\displaystyle \sum _{0\le n<L{}_{m+2}}a}{}^2(n-L{}_{m+1})=\\ A{}_2(L{}_{m+1})+{\displaystyle \sum _{0\le n<L{}_{m+2}}(}a(n)+1){}^2=\\ A{}_2(L{}_{m+1})+{\displaystyle \sum _{0\le n<L{}_{m+2}}a}{}^2(n)+2{\displaystyle \sum _{0\le n<L{}_{m+2}}a}(n)+L{}_{m+2}=A{}_2(L{}_{m+1})+A{}_2(L{}_{m+2})+2A{}_1(L{}_{m+2})+L{}_{m+2}=\frac{m+1}{5}[(-2m-1)F{}_{m+2}-(m+2)F{}_{m+3}]-\frac{m+2}{5}[(-2m-3)F{}_{m+3}-(m+3)F{}_{m+4}]+2(-m-2)F{}_{m+3}+L{}_{m+2}=-\frac{m}{5}[(-2m+1)F{}_{m+1}-(m+1)F{}_{m+2}]。\end{array}$

3° 由1°和2°可知, 对于任意负整数k, 当k为奇数时 (3) 式成立, 当k为偶数时 (4) 式成立。

参考文献

[1]Duncan R L.Application of uniform distribution to the fibonacci numbers.The Fibonacci Quarterly, 1967;3 (5) :137—140

[2]Kuipers L.Remark on a paper by R.L.Duncan concerning the Uni-form distribution mod1of the sequence of the Logarithms of the Fi-bonacci numbers.The Fibonacci Quarterly, 1969;5 (7) :465—466

[3]London H, Finkelstein R.On fibonacci and lucas numbers which are perfect powers.The Fibonacci Quarterly, 1969;5 (7) :476—481

两个新的数论函数的混合均值 篇7

对任意正整数n, 若n=p${}_1^{\alpha {}_1}$p${}_2^{\alpha {}_2}$…p${}_s^{\alpha {}_s}$为n的标准分解式, 其中 (pi为素数, 1≤i≤s) 。定义Sk (n) 为其阶乘可被nk整除的最小正整数, 即

Sk (n) =min{m:m∈N, nk|m!}。

从Sk (n) 的定义知, $S{}_k(n)=\underset{1\le i\le s}{{\displaystyle \max }}\{S{}_k(p{}_i^{\alpha {}_i})\}$。

文献[1]研究了Sk (n) 的性质并得出对任意实数x≥3, 正整数k≥1, 有

${\displaystyle \sum _{n\le x}S}{}_k(n)=\frac{k\text{π}{}^{2}x{}^2}{12\text{l}\text{n}x}+{\rm O}\left(\frac{x{}^2}{\ln {}^{2}x}\right)$。

且对任意正整数n, 若有最大素因子$p(n)>\max \{k,\sqrt{n}\}$, 就有

Sk (n) =kp (n) (1)

对于其他素因子pi (1≤i≤s, pi≠p (n) ) , 容易得到

Sk (p${}_i^{\alpha {}_i}$) ≤αipi (2)

对正整数n, 当n>1, n=p${}_1^{\alpha {}_1}$p${}_2^{\alpha {}_2}$…p${}_s^{\alpha {}_s}$为n的标准分解式, 其中 (pi为素数, $1\le i\le s),\overline{\text{Ω}}(n)$定义为

$\overline{\text{Ω}}(n)=\alpha {}_{1}p{}_1+\alpha {}_{2}p{}_2+\cdots +\alpha {}_{s}p{}_s$,

当$n=1,\overline{\text{Ω}}(1)=0$, 如$\overline{\text{Ω}}(2)=2,\overline{\text{Ω}}(3)=3,\overline{\text{Ω}}(4)=4,\overline{\text{Ω}}(5)=5,\overline{\text{Ω}}(6)=5,\overline{\text{Ω}}(7)=7,\overline{\text{Ω}}(8)=6,\overline{\text{Ω}}(9)=6,\overline{\text{Ω}}(10)=7,\cdots$。

文献[2]对$\overline{\text{Ω}}(n)$进行了研究得到了它的均值公式

${\displaystyle \sum _{n\le x}\overline{\text{Ω}}}(n)=x{}^2{\displaystyle \sum _{i=1}^k\frac{b{}_i}{\ln {}^{i}x}}+{\rm O}\left(\frac{x{}^2}{\ln {}^{k+1}x}\right)$ (3)

式 (3) 实数x≥1, k为任意正整数bi为可计算的常数$(i=1,2,\cdots ,k),b{}_1=\frac{\text{π}{}^2}{12}$。

现研究函数Sk (n) 与数论函数$\overline{\text{Ω}}(n)$的混合均值, 并给出一个渐近公式, 即得到下面的定理

定理 对任意实数x≥2, 正整数k≥1, 有渐近公式

${\displaystyle \sum _{n\le x}\overline{\text{Ω}}}(n)S{}_k(n)=\frac{k\zeta (3)x{}^3}{\text{l}\text{n}x}-\frac{kx{}^2}{2\text{l}\text{n}x}+{\rm O}\left(\frac{x{}^{\frac{3}{2}}}{\ln {}^{2}x}\right)$。

推论 对任意实数x≥2, 有渐近式

${\displaystyle \sum _{n\le x}\overline{\text{Ω}}}(n)S(n)=\frac{\zeta (3)x{}^3}{\text{l}\text{n}x}-\frac{x{}^2}{2\text{l}\text{n}x}+{\rm O}\left(\frac{x{}^3}{\ln {}^{2}x}\right)$。

2定理的证明

现给出定理的证明, 为方便起见, 将[1, x]中的正整数n分为集合A和B, 即

$A=\{n|n\le x,p(n)>\sqrt{n}\}$;

$B=\{n|n\le x,p(n)\le \sqrt{n}\}$。

${\displaystyle \sum _{n\le x}\overline{\text{Ω}}}(n)S{}_k(n)={\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}n\le x\\ n\in A\end{array}}\overline{\text{Ω}}}(n)S{}_k(n)+{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}n\le x\\ n\in B\end{array}}\overline{\text{Ω}}}(n)S{}_k(n)$

。

从定义可知$\overline{\text{Ω}}(n)$为完全可加函数, 即对任意正整数$a,b,\overline{\text{Ω}}(ab)=\overline{\text{Ω}}(a)+\overline{\text{Ω}}(b)$。结合集合A的定义及式 (1) 有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}n\le x\\ n\in A\end{array}}\overline{\text{Ω}}}(n)S{}_k(n)={\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}n\le x,p|n\\ p>\sqrt{n}\end{array}}\overline{\text{Ω}}}(n)S{}_k(n)=\\ {\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}pn\le x,p|n\\ p>\sqrt{n}\end{array}}\overline{\text{Ω}}}(np)S{}_k(np)=\\ {\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}pn\le x\\ n<p\end{array}}k}p(p+\overline{\text{Ω}}(n))=\\ k{\displaystyle \sum _{n\le \sqrt{x}}{\displaystyle \sum _{n<p\le \frac{x}{n}}p}}{}^2+k{\displaystyle \sum _{n\le \sqrt{x}}{\displaystyle \sum _{n<p\le \frac{x}{n}}p}}\overline{\text{Ω}}(n)(4)\end{array}$

根据素数函数$\text{π}(x)=\frac{x}{\text{l}\text{n}x}+{\rm O}\left(\frac{x}{\ln {}^{2}x}\right)$ (见文献[3]) , 利用Abel求和公式[4]有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n<p\le \frac{x}{n}}p}{}^2=\text{π}\left(\frac{x}{n}\right)\left(\frac{x}{n}\right){}^2-n{}^2\text{π}(n)-{\displaystyle {\int }_n^{\frac{x}{n}}2}t\text{π}(t)\text{d}t=\\ \frac{x{}^3}{n{}^3\ln \frac{x}{n}}+{\rm O}\left(\frac{x{}^2}{n{}^2\ln {}^2\frac{x}{n}}\right)。\end{array}$

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n\le \sqrt{x}}\frac{\text{l}\text{n}n}{n{}^3}}=\frac{\ln \sqrt{x}}{(\sqrt{x}){}^3}\text{π}(\sqrt{x})-\\ {\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{x}}\left(\frac{t}{\text{l}\text{n}t}+{\rm O}\left(\frac{t}{\ln {}^{2}t}\right)\right)}\frac{1-3\text{l}\text{n}t}{t{}^4}\text{d}t=\\ \frac{\ln \sqrt{x}}{(\sqrt{x}){}^3}\left(\frac{\sqrt{x}}{\ln \sqrt{x}}+{\rm O}\left(\frac{\sqrt{x}}{\ln {}^2\sqrt{x}}\right)\right)-\\ {\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{x}}\left(\frac{1}{t{}^3\text{l}\text{n}t}-\frac{3}{t{}^3}+{\rm O}\left(\frac{1-3\text{l}\text{n}t}{t{}^3\ln {}^{2}t}\right)\right)}\text{d}t=\\ -\frac{1}{2x}+{\rm O}\left(\frac{2}{x\text{l}\text{n}x}\right)。\end{array}$

当m≥2时, 有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n\le \sqrt{x}}\frac{\ln {}^{m}n}{n{}^3}}=\frac{\ln {}^m\sqrt{x}}{(\sqrt{x}){}^3}\text{π}(\sqrt{x})-\\ {\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{x}}\left(\frac{t}{\text{l}\text{n}t}+{\rm O}\left(\frac{t}{\ln {}^{2}t}\right)\right)}\frac{m\text{l}\text{n}{}^{m-1}t-3\ln {}^{m}t}{t{}^4}\text{d}t=\\ \frac{\ln \sqrt{x}}{(\sqrt{x}){}^3}\left(\frac{\sqrt{x}}{\ln \sqrt{x}}+{\rm O}\left(\frac{\sqrt{x}}{\ln {}^2\sqrt{x}}\right)\right)-\\ {\displaystyle {\int }_1^{\sqrt{x}}\left(\frac{m\text{l}\text{n}{}^{m-2}t}{t{}^3}-\frac{3\ln {}^{m-1}t}{t{}^3}+{\rm O}\left(\frac{m\text{l}\text{n}{}^{m-3}t-3\ln {}^{m-2}t}{t{}^3}\right)\right)}\text{d}t=\\ \frac{\ln {}^{m-2}x}{3\times 2{}^{m-2}x}+{\rm O}\left(\frac{\ln {}^{m-2}x}{2{}^{m-2}x}\right)。\end{array}$

所以

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n\le \sqrt{x}}{\displaystyle \sum _{n<p\le \frac{x}{n}}p}}{}^2={\displaystyle \sum _{n\le \sqrt{x}}\left(\frac{x{}^3}{n{}^3\ln \frac{x}{n}}+{\rm O}\left(\frac{x{}^3}{n{}^2\ln {}^2\frac{x}{n}}\right)\right)}=\\ {\displaystyle \sum _{n\le \sqrt{x}}\frac{x{}^3}{n{}^3}}\frac{1}{\text{l}\text{n}x-\text{l}\text{n}n}+\\ {\rm O}\left({\displaystyle \sum _{n\le \sqrt{x}}\frac{x{}^3}{n{}^2}}\frac{1}{(\text{l}\text{n}x-\text{l}\text{n}n){}^2}\right)=\\ \frac{x{}^3}{\text{l}\text{n}x}{\displaystyle \sum _{n\le \sqrt{x}}\frac{1}{n{}^3}}\left(1+\frac{\text{l}\text{n}n}{\text{l}\text{n}x}+\frac{\ln {}^{2}n}{\ln {}^{2}x}+\cdots +\frac{\ln {}^{m}n}{\ln {}^{m}x}+\cdots \right)+\\ {\rm O}\left(\frac{x{}^3}{\ln {}^{2}x}{\displaystyle \sum _{n\le \sqrt{x}}\frac{1}{n{}^2}}\frac{1}{\left(1-\frac{\text{l}\text{n}n}{\text{l}\text{n}x}\right){}^2}\right)=\\ \frac{\zeta (3)x{}^3}{\text{l}\text{n}x}-\frac{x{}^2}{2\text{l}\text{n}x}+{\rm O}\left(\frac{x{}^2}{\ln {}^{2}x}\right)。\end{array}$

由$\text{π}(x)=\frac{x}{\text{l}\text{n}x}+{\rm O}\left(\frac{x}{\ln {}^{2}x}\right)$, 结合式 (3) 就有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n\le \sqrt{x}}{\displaystyle \sum _{n<p\le \frac{x}{n}}p}}\overline{\text{Ω}}(n)\le {\displaystyle \sum _{n\le \sqrt{x}}x}{}^{\frac{1}{2}}\text{π}\left(\frac{x}{n}\right)\overline{\text{Ω}}(n)\le \\ x{}^{\frac{1}{2}}\frac{x}{\text{l}\text{n}x}{\displaystyle \sum _{n\le \sqrt{x}}\frac{\overline{\text{Ω}}(n)}{n}}\le \frac{x{}^{\frac{3}{2}}}{\ln {}^{2}x}(5)\end{array}$

结合式 (3) —式 (5) 得

${\displaystyle \sum _{n\in A}\overline{\text{Ω}}}(n)S{}_k(n)=\frac{k\zeta (3)x{}^3}{\text{l}\text{n}x}-\frac{kx{}^2}{2\text{l}\text{n}x}+{\rm O}\left(\frac{x{}^{\frac{3}{2}}}{\ln {}^{2}x}\right)$。

现讨论B中的情况。由B的定义及 (2) (3) 知

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{n\in B}\overline{\text{Ω}}}(n)S{}_k(n)={\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}n\le x,p|n\\ p\le \sqrt{n}\end{array}}\overline{\text{Ω}}}(n)S{}_k(n)=\\ {\displaystyle \sum _{\begin{array}{l}np\le x,p|n\\ p\le \sqrt{n}\end{array}}\overline{\text{Ω}}}(np)S{}_k(np)\le \\ {\displaystyle \sum _{np\le x}\alpha }p(p+\overline{\text{Ω}}(n))\le {\displaystyle \sum _{n\le x}\alpha }n+{\displaystyle \sum _{n\le x}\alpha }\sqrt{n}\overline{\text{Ω}}(n)\le \frac{x{}^{\frac{3}{2}}}{\ln {}^{2}x}(6)\end{array}$

由集合A和B的定义及上面的计算就有${\displaystyle \sum _{n\le x}\overline{\text{Ω}}}(n)S{}_k(n)=\frac{k\zeta (3)x{}^3}{\text{l}\text{n}x}-\frac{kx{}^2}{2\text{l}\text{n}x}+{\rm O}\left(\frac{x{}^{\frac{3}{2}}}{\ln {}^{2}x}\right)$。

于是完成了定理的证明。

在定理中令k=1即得到推论。

摘要：对任意正整数n, 定义数论函数Ω (n) 为Ω (1) =0, 当n>1, n=pα11pα22…pαss为n的标准分解式, Ω (n) =α1p1+α2p2+…+αsps, 其中 (pi为素数, 1≤i≤s) 。数论函数Sk (n) 定义为Sk (n) =m in{m:m∈N, nk|m|m!}, 即最小正整数m, 使得nk|m|m!。运用初等方法研究数论函数Ω (n) 与Sk (n) 的混合均值问题, 并得到一个有趣的渐近公式。

关键词：数论函数,混合均值,渐近公式,推广

参考文献

[1]丁丽萍.一个新的数论函数及其均值.延安大学学报 (自然科学版) , 2004;23 (3) :5—6

[2]薛社教.一个新的算术函数及其均值.纯粹数学与应用数学, 2007;23 (3) :351—354

[3]潘承洞, 潘承彪.素数定理的初等证明.上海:上海科学技术出版社, 1988

均值函数 篇8

例.已知x>0, y>0, 且 , 求x+y的最小值

分析:本题是求和的最小值, 要找积为定值, 困难在于如何利用条件 , 对条件 从不同的角度进行分析就可以得到不同的解决问题的方法

解法一:整体地利用条件, 灵活运用“1”进行代换, 在x+y上乘以“1”展开构造 的形式, 两者的积 是定值

当且仅当 , 即x=, y=12时, 上式等号成立, 故当x=4, y=12时, (x+y) min=16

解法二:将原式变形构造x+y= (x-1) + (y-9) +10, 两者的积 (x-1) (y-9) =9是定值

由 得 (x-1) (y-9) =9 (定值) , 又知x>1, y>9,

所以, x+y= (x-1) + (y-9) +10莛2姨9+10=16

当且仅当x-1=y-9=3, 即x=4, y=12时, (x+y) min=16

解法三:由结构特点联想到三角函数公式, 将原式换元变形x+y=coc2θ+9sec2θ=cot2θ+9tan2θ+19, 而cot2θ·9tan2θ=9是定值

则:x+y=csc2θ+9sec2θ=cot2θ+9tan2θ+19莛2姨9+10=16,

当且仅当 , 即x=4, y=12时, (x+y) min=16

解法四:将二元函数转化为一元函数,

当且仅当 (x-1) 2=9, 即x=4, y=12时, (x+y) min=16

由此可见, 利用均值不等式求最值时, 要进行巧妙地分拆、组合、添加系数等使之变成可用均值不等式的形式是关键。若多次利用均值不等式求最值, 必须保持每次取“=”号的一致性, 否则就会出错.

请同学们分析下面的解法错在何处?

当然本题也可以利用判别式法和数形结合法求解, 请同学们自己去探索。

以下几道题, 请同学们试试:

1.已知不等式 对任意正实数x, y恒成立, 则正实数a的最小值为 ()

A.2 B.4 C.6 D.8

2.已知两正数x, y满足, 则取最小值时的值分别为 ()

A.5, 5 B.10, C.10, 5 D.10, 10

3.设x、y为正实数, 且xy- (x+y) =1, 则 ()

4.已知a>b>0, 求 的最小值

解析:

1.选B

2.由x+y+5=xy得 , 再利用二次函数求xy的最小值, 当且仅当 时xy取到最小值, 求得