带有色观测噪声的改进自适应滤波算法

带有色观测噪声的改进自适应滤波算法（精选2篇）

带有色观测噪声的改进自适应滤波算法 篇1

带有色观测噪声的改进自适应滤波算法

在噪声消除系统中,若观测噪声为有色噪声,则基于最小二乘准则(LS),提出了两段RLS-RELS算法,这是一种改进的.递推增广最小二乘法,该自适应算法能显著减小噪声的影响,提高信号质量.并在此基础上提出了计算噪声方差的估值方法.计算机数值仿真例子和信噪比的计算比较证明了算法的正确性和有效性.

作 者：许鹏 窦寅丰 XU Peng DOU Yin-feng 作者单位：许鹏,XU Peng(暨南大学珠海学院计算机系,珠海,519070)

窦寅丰,DOU Yin-feng(黑龙江大学电子工程,哈尔滨,150080)

刊 名：科学技术与工程 ISTIC英文刊名：SCIENCE TECHNOLOGY AND ENGINEERING年，卷(期)：20099(11)分类号：O211.64关键词：自适应滤波算法 有色噪声 RLS-RELS算法

带有色观测噪声的改进自适应滤波算法 篇2

应用自适应噪声抵消技术, 可在未知外界干扰源特征、传递途径不断变化、背景噪声和被测对象信号相似的情况下, 有效地消除外界噪声的干扰, 提高信号传输中的信噪比。这一技术可为动态信号在测试环境不太理想的工作现场作测试分析和故障诊断提供了有效的方法和依据, 具有一定的理论和应用价值[1—6]。自适应噪声主动控制系统的核心是自适应滤波器和相应的自适应算法。至今已研究出很多最佳滤波准则。常见的有最小均方误差准则 (MMSE) 、最小二乘准则 (LS) 、最大信噪比准则 (MaxSNR) 、线性约束最小方差准则 (LCMV) 。最常用的就是基于最小二乘准则 (LS) 的递推最小二乘法 (RLS) 。递推最小二乘算法是考察一个由平稳信号输入的自适应系统在一段时间内输出误差信号的平均功率 (在时间上作平均) , 并使该平均功率达到最小作为自适应系统的性能的准则。但是当噪声来源比较复杂的时候, 递推最小二乘法会产生系统偏差, 用递推增广最小二乘法 (RELS) 可以消除噪声影响。但是用常规的递推增广最小二乘算法虽然简单, 其中采用了与参数估计耦合的白噪声估计, 因而影响了算法的精度和收敛速度。因此本文对于带有色噪声的系统提出了两段RLS-RELS算法 (这是一种改进的递推增广最小二乘算法 (RELS) ) , 得到信号权系数的自适应估值, 从而得到消除噪声影响的信号输出。该算法与递推增广最小二乘法 (RELS) 相比, 能显著提高估计精度和收敛速度, 在消除噪声信号的同时本文还对有色噪声的方差进行了估计。

1 问题阐述

考虑横向型滤波器模型的理想输出s (t) 为:

$s(t)={\displaystyle \sum _{i=0}^{{\rm N}-1}w}{}_i(t)x(t-i)=W{}^{\text{Τ}}(t)X(t)$ (1)

(1) 式中为自适应滤波器的输入信号, wi (t) 为权系数, s (t) 为滤波器输出信号, N为滤波器的阶数。其中输入矢量X (t) 和权系数矢量W (t) 为

X (t) =[x (t) , x (t-1) , …, x (t-N+1) ]T (A)

W (t) =[w0 (t) , w1 (t) , …, wN-1 (t) ]T (3)

当系统出现噪声的时候, 就需要对噪声进行过滤, 得到权系数的最优估值, 从而得到最优信号估值。假设系统噪声ε (t) 是均值为0, 方差为σ${}_{\epsilon }^2$的白噪声, 则系统输出方程应为:

s (t) =w0 (t) x (t) +w1 (t) x (t-1) +…+

wN-1 (t) x (t-N+1) +ε (t) (4)

也即

$\begin{array}{l}s(t)={\displaystyle \sum _{i=0}^{{\rm N}-1}w}{}_i(t)x(t-i)+\epsilon (t)=\\ W{}^{{\rm T}}(t)X(t)+\epsilon (t)(5)\end{array}$

横向型滤波器的模型结构为

2 两段RLS-RELS算法

2.1 递推最小二乘算法 (RLS) 求白噪声估值器

当噪声是白噪声的时候可以用递推最小二乘法 (RLS) 来估计权向量的值从而消除噪声对于信号的影响。

RLS算法推导见文献[6], 其递推公式为:

$\begin{array}{l}\widehat{W}(t+1)=\widehat{W}(t)+g(t)[s(t+1)-X{}^{\text{Τ}}(t+1)\widehat{W}(t)]\\ (6)\end{array}$

(6) 式表明t+1 时刻权系数的最佳值$\widehat{W}(t+1)$可由t时刻的权系数最佳值$\widehat{W}(t)$加一修正量得到, 修正量等于$g(t)[s(t)-X{}^{\text{Τ}}(t+1)\widehat{W}(t)]$, 其中g (t) 为根据预测误差进行修正时的比例系数, 因而称为增益系数

$g(t)=\frac{{\rm P}(t)X(t+1)}{\lambda +\mu (t)}$ (7)

(7) 式中

P (t) =λ-1[P (t-1) -g (t) XT (t) P (t-1) ] (8)

μ (t) =XT (t+1) P (t) X (t+1) (9)

且带初值$\widehat{W}(0)=0,{\rm P}(0)=\alpha {\rm I},\alpha$为很大的正数。

定义$\widehat{s}(t)$为根据t时刻的最佳加权$\widehat{W}(t)$和t时刻数据对s (t) 的预测值

$\widehat{s}(t)=X{}^{\text{Τ}}(t)\widehat{W}(t)$ (10)

因而e (t) 为预测误差

$e(t)=[s(t)-X{}^{\text{Τ}}(t)\widehat{W}(t)]$ (11)

RLS算法的收敛性与初值的选择没有关系, 且收敛速度很快。

已知噪声的估值为

$\widehat{\epsilon }(t)=s(t)-X{}^{\text{Τ}}(t)\widehat{W}(t-1)$ (12)

定义ε (t) 的方差σ${}_{\epsilon }^2$的采样方差估值为$\widehat{\sigma }{}_{\epsilon }^2(t)$

$\widehat{\sigma }{}_{\epsilon }^2(t)=\frac{1}{t}{\displaystyle \sum _{i=1}^t\widehat{\epsilon }}{}^2(i)$ (13)

其可以得到输入白噪声的方差的递推估值器为

$\widehat{\sigma }{}_{\epsilon }^2(t)=\widehat{\sigma }{}_{\epsilon }^2(t-1)+\frac{1}{t}[\widehat{\epsilon }{}^2(t)-\widehat{\epsilon }{}^2(t-1)]$ (14)

带初值$\widehat{\sigma }{}_{\epsilon }^2(1)=\widehat{\epsilon }{}^2(1)$。

2.2 改进的递推增广最小二乘算法

当噪声方差为有色噪声的时候用递推最小二乘法就不能得到正确的信号, 因此采用递推增广最小二乘法 (RELS) 来消除噪声的影响。系统在有色噪声的影响下, 输出方程为

s (t) =w0 (t) x (t) +w1 (t) x (t-1) +…+wN-1 (t) x (t-N+1) +ε (t) +a1 (t) ε (t-1) +…+an (t) ε (t-n) (15)

(15) 式中ε (t) 是零均值、方差为σ${}_{\epsilon }^2$的白噪声, 也即

$s(t)={\displaystyle \sum _{i=0}^{{\rm N}-1}w}{}_i(t)x(t-i)+{\displaystyle \sum _{i=1}^n\alpha }{}_i(t)\epsilon (t-i)+\epsilon (t)$ (16)

为了应用递推最小二乘法 (RLS) , 将ε (j) 用其递推最小二乘法 (RLS) 得到的估值$\widehat{\epsilon }(j)$近似表示, 则式 (16) 有LS结构

$s(t)=\overline{W}{}^{\text{Τ}}(t)\underset{¯}{\overline{X}}(t)+\epsilon (t)$ (17)

(17) 式中

$\begin{array}{l}\underset{¯}{X(t)}=[x(t),x(t-1),\cdots ,x(t-{\rm N}+1),\\ \widehat{\epsilon }(t-1),\cdots ,\widehat{\epsilon }(t-n)]{}^{\text{Τ}}(18)\end{array}$

$\underset{¯}{W(t)}=[w{}_0(t),w{}_1(t),\cdots ,w{}_{{\rm N}-1}(t),a{}_1(t),\cdots ,a{}_n(t)]{}^{\text{Τ}}$ (19)

则由递推最小二乘法引出的改进的递推增广最小二乘法的递推公式为:

$\underset{¯}{\widehat{W}}(t+1)=\underset{¯}{\widehat{W}}(t)+\underset{¯}{g}(t)[s(t+1)-\underset{¯}{X}{}^{\text{Τ}}(t+1)\underset{¯}{\widehat{W}}(t)]$ (20)

(20) 式中增益系数。

$\underset{¯}{g}(t)=\frac{\underset{¯}{{\rm P}}(t)\underset{¯}{X}(t+1)}{\lambda +\underset{¯}{\mu }(t)}$ (21)

$\underset{¯}{{\rm P}}(t)=\lambda {}^{-1}[\underset{¯}{{\rm P}}(t-1)-\underset{¯}{g}(t)\underset{¯}{X}{}^{\text{Τ}}(t)\underset{¯}{{\rm P}}(t-1)]$ (22)

$\underset{¯}{\mu }(t)=\underset{¯}{X}{}^{\text{Τ}}(t+1)\underset{¯}{{\rm P}}(t)\underset{¯}{X}(t+1)$ (23)

$\underset{¯}{\widehat{\epsilon }}(t)=s(t)-\underset{¯}{X}{}^{\text{Τ}}(t)\widehat{W}(t+1)$;j=t, t-1, …, t-n+1 (24)

且式 (24) 中的$\widehat{W}(t+1)$由 (6) 式计算, 且带初值$\underset{¯}{\widehat{W}}(0)=0,\underset{¯}{{\rm P}}(0)=\alpha {\rm I},\alpha$为很大的正数, 且规定

$\underset{¯}{\widehat{\epsilon }}(i)=0,(i\le 0)‚s(i)=0,(i\le 0)$ (25)

定义$\underset{¯}{\widehat{s}}(t)$为根据t时刻的最佳加权$\underset{¯}{\widehat{W}}(t)$和t时刻数据对s (t) 之预测值

$\underset{¯}{\widehat{s}}(t)=X{}^{\text{Τ}}(t)\underset{¯}{\widehat{W}}(t)$ (26)

因而$\underset{¯}{e}(t)$为预测误差

$\underset{¯}{e}(t)=[s(t)-X{}^{\text{Τ}}(t)\underset{¯}{\widehat{W}}(t)]$ (27)

定义在t时刻处σ${}_{\epsilon }^2$的采样方差估值$\widehat{\sigma }{}_{\epsilon }^2(t)$为

$\widehat{\sigma }{}_{\epsilon }^2(t)=\frac{1}{t}{\displaystyle \sum _{i=1}^t\underset{¯}{\widehat{\epsilon }}}{}^2(i)$ (28)

可以得到输入白噪声的方差的递推估值器为

$\widehat{\sigma }{}_{\epsilon }^2(t)=\widehat{\sigma }{}_{\epsilon }^2(t-1)+\frac{1}{t}[\underset{¯}{\widehat{\epsilon }}{}^2(t)-\underset{¯}{\widehat{\epsilon }}{}^2(t-1)]$ (29)

带初值$\widehat{\sigma }{}_{\epsilon }^2(1)=\underset{¯}{\widehat{\epsilon }}{}^2(1)$。

因此改进的递推增广最小二乘法由两段RLS算法 (6) 式— (9) 式。 和 (20) 式— (24) 式组成。在每一时刻t+1, 先实现 (6) 式— (9) 式, 再实现 (20) 式— (24) 式, 且后段不影响前端的结果。

由于改进的RELS算法中$\overline{X}$ (t) 的白噪声估值$\underset{¯}{\widehat{\epsilon }}(t)$由RLS算法计算, 与$\underset{¯}{\widehat{W}}(t+1)$无关, 且被单独用RELS算法计算因而用改进的RELS算法可提高权系数的收敛速度, 从而提高信号降噪的效果。

两段RLS-RELS算法的计算框图如图2所示。

3 信噪比

信噪比, 即SNR (signal to noise ratio) , 定义为语音信号的功率与噪声功率之比。若按总能量来计算信噪比, 定义自适应噪声抵消系统的信噪比SNR为主通道输入信号中的有用信号s (t) 的总能量与干扰噪声ε (t) 的总能量之比, 即

$S{\rm N}R=10\lg \left(10\frac{{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm M}}s}{}^2(i)}{{\displaystyle \sum _{i=1}^{{\rm M}}(}\left|\widehat{s}(i)\right|-\left|s(i)\right|){}^2}\right)$ (30)

(30) 式中M为计算时长。

4 计算机仿真例子

在仿真中, 假定输入信号由正弦波信号和有色噪声组成, 其中正弦波信号为

x (t) =4sin (0.002πt) (31)

自适应滤波器的阶数N为8, 但是系统噪声v (t) 是白噪声ε (t) 的线性组合, 也即

v (t) =ε (t) -0.47ε (t-1) -0.06ε (t-2) +

0.01ε (t-4) (32)

(32) 式中ε (t) 是均值为0 , 其方差为2的高斯白噪声。

应用公式 (30) , 可以得到信噪比如表1 所示。从表中可以看出当不采用任何自适应算法时, 信噪比是负的, 说明在输出信号中噪声的强度大于信号的强度, 但是在采用递推增广最小二乘法 (RELS) 和两段RLS-RELS后, 信噪比有了很大程度的提高。

采用RELS 算法和两段RLS-RELS进行滤波的结果分别如图3所示。其中, 图3 (a) 表示理想正弦信号, 图3 (b) 表示输入的正弦信号和有色噪声的组合, 图3 (c) 表示经过自适应滤波RELS算法后的输出信号, 图3 (d) 表示经过自适应滤波两段RLS-RELS算法后的输出信号。从图3可以看出原始正弦信号在加入有色噪声之后, 信号的质量受到了很大的影响, 当采用递推增广最小二乘法 (RELS) 后虽然输出信号的质量有了一定改善, 但是效果不是很明显, 在采用两段RLS-RELS算法后消除噪声的效果很明显, 此时的输出信号已经很接近真实信号了。

4 结 论

本文基于最小二乘准则 (LS) , 在递推最小二乘法的基础上提出了两段RLS-RELS, 这是一种改进的递推增广最小二乘法。该方法可以处理带有色噪声的观测系统, 能显著的消除噪声的影响。通过计算机仿真例子和信噪比的计算可以看出改进的递推增广最小二乘法能显著消除有色噪声对于信号的影响。

参考文献

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[4]李彦鹏, 黎湘, 庄钊文.RLS自适应噪声消除器设计研究.无线电工程, 2003;33 (9) :13—15

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