考研数学知识点：连续的定义

2024-10-22

考研数学知识点：连续的定义（精选4篇）

考研数学知识点：连续的定义篇1

数学期望称期望或均值,是随机变量按概率的加权平均,表征其概率分布的中心位置.数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念.实际应用中,数学期望的定义及计算公式是一个重要内容.

在离散场合下,设随机变量X的分布列P{X=xk}=pk,k=1,2,…,则X取值xk,以pk为权值的加权平均值,即X的数学期望

该公式,可根据经典的分赌本问题,或者打靶问题等很容易推导得到.在概率统计这门课程中,学生普遍反映连续随机变量比离散随机变量的难度大.而教材中,往往对于连续随机变量数学期望的定义只是以“只需将分布列改为密度函数,求和改为积分即可”等比较笼统的叙述.

本文下面对连续场合随机变量的数学期望

这一定义式的推导过程进行讨论,其中p(y),-∞<y<+∞是Y的概率密度函数.

二、推导过程

为方便,假设连续随机变量Y的概率密度p(y)的非零区间为[a,b).考虑将Y离散化:在实轴插入点列{xk}后,实轴被分割成区间[xk,xk+1),且小区间长度依次为Δxk=xk+1-xk,k=1,2,…,规定X取值xk,显然,X是取值可列无穷多个的离散随机变量,且

满足分布列所需的非负性和正则性要求.由(1)式,容易计算随机变量X的数学期望

又由概率密度函数的性质、非零区间及积分中值定理,有

一般地,当连续随机变量Y的概率密度p(y)的非零区间为连续随机变量Y的概率密度p(y)的非零区间为(-∞,+∞),即a→-∞,b→+∞时,(3)式即为定义式(2).因此,连续随机变量的数学期望,在计算时要结合概率密度函数的分段情况,做到“分段函数分段积分”.

三、推广

假设连续随机变量Y的概率密度函数p(y),分布函数为F(y),-∞<y<+∞,若Y的期望存在,根据(2)式

将第一个积分改为二次积分,然后改变积分次序,得

同理

所以

特殊地,若Y为非负连续随机变量,当y<0时,有F(y)=0.显然,利用(4)式,得

摘要：本文主要对连续型随机变量的数学期望进行研究.首先,以离散随机变量数学期望的定义式为基础,借助极限思想和定积分的定义,结合积分中值定理,进而推导连续场合下随机变量数学期望的定义式.进一步,讨论数学期望存在的条件和物理解释.最后,当数学期望存在时,利用分布函数和概率分布给出其计算公式.

关键词：随机变量,数学期望,定积分

参考文献

[1]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2011.

[2]唐小峰.连续型随机变量独立性的几个充要条件[J].阜阳师范学院学报(自然科学版),2006(02).

考研数学知识点：连续的定义篇2

高等数学题目中比较困难的是证明题，今天凯程老师给大家整理了在整个高等数学，容易出证明题的地方。

一、数列极限的证明

数列极限的证明是数一、二的重点，特别是数二最近几年考的非常频繁，已经考过好几次大的证明题，一般大题中涉及到数列极限的证明，用到的方法是单调有界准则。

二、微分中值定理的相关证明

微分中值定理的证明题历来是考研的重难点，其考试特点是综合性强，涉及到知识面广，涉及到中值的等式主要是三类定理：

1.零点定理和介质定理； 2.微分中值定理；

包括罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理，其中泰勒定理是用来处理高阶导数的相关问题，考查频率底，所以以前两个定理为主。

3.微分中值定理

积分中值定理的作用是为了去掉积分符号。

在考查的时候，一般会把三类定理两两结合起来进行考查，所以要总结到现在为止，所考查的题型。

三、方程根的问题

包括方程根唯一和方程根的个数的讨论。

四、不等式的证明

五、定积分等式和不等式的证明

主要涉及的方法有微分学的方法：常数变异法；积分学的方法：换元法和分布积分法。

六、积分与路径无关的五个等价条件

这一部分是数一的考试重点，最近几年没涉及到，所以要重点关注。

考研数学各部分知识点总结篇3

考研到了最后一个月，这个时候考生在复习数学时，千万不要再大量做题了，应该回归教材，理清基本的知识点，梳理整个学科的知识框架。保持良好的心态，以最好的状态走上考场。李老师根据多年的教学经验，总结了考研数学高等数学的知识体系，希望能对广大能有所帮助。

从整个学科上来看，高数实际上是围绕着极限、导数和积分这三种基本的运算展开的。对于每一种运算，我们首先要掌握它们主要的计算方法;熟练掌握计算方法后，再思考利用这种运算我们还可以解决哪些问题，比如会计算极限以后：那么我们就能解决函数的连续性，函数间断点的分类，导数的定义这些问题。这样一梳理，整个高数的逻辑体系就会比较清晰。

极限部分：

极限的计算方法很多，总结起来有十多种，这里我们只列出主要的：四则运算，等价无穷小替换，洛必达法则，重要极限，泰勒公式，中值定理，夹逼定理，单调有界收敛定理。每种方法具体的形式教材上都有详细的讲述，考生可以自己回顾一下，不太清晰的地方再翻到对应的章节看一看。

会计算极限之后，我们来说说直接通过极限定义的基本概念：

通过极限，我们定义了函数的连续性：函数在处连续的定义是，根据极限的定义，我们知道该定义又等价于。所以讨论函数的连续性就是计算极限。然后是间断点的分类，具体标准如下：

从中我们也可以看出，讨论函数间断点的分类，也仅需要计算左右极限。

再往后就是导数的定义了，函数在处可导的定义是极限存在，也可以写成极限存在。这里的极限式与前面相比要复杂一点，但本质上是一样的。最后还有可微的定义，函数在处可微的定义是存在只与有关而与无关的常数使得时，有，其中。直接利用其定义，我们可以证明函数在一点可导和可微是等价的，它们都强于函数在该点连续。

以上就是极限这个体系下主要的知识点。

导数部分：

导数可以通过其定义计算，比如对分段函数在分段点上的导数。但更多的时候，我们是直接通过各种求导法则来计算的。主要的求导法则有下面这些：四则运算，复合函数求导法则，反函数求导法则，变上限积分求导。其中变上限积分求导公式本质上应该是积分学的内容，但出题的时候一般是和导数这一块的知识点一起出的，所以我们就把它归到求导法则里面了。能熟练运用这些基本的求导法则之后，我们还需要掌握几种特殊形式的函数导数的计算：隐函数求导，参数方程求导。我们对导数的要求是不能有不会算的导数。这一部分的题目往往不难，但计算量比较大，需要考生有较高的熟练度。

然后是导数的应用。导数主要有如下几个方面的应用：切线，单调性，极值，拐点。每一部分都有一系列相关的定理，考生自行回顾一下。这中间导数与单调性的关系是核心的考点，考试在考查这一块时主要有三种考法：①求单调区间或证明单调性;②证明不等式;③讨论方程根的个数。同时，导数与单调性的关系还是理解极值与拐点部分相关定理的基础。另外，数学三的考生还需要注意导数的经济学应用;数学一和数学二的考生还要掌握曲率的计算公式。

积分部分：

一元函数积分学首先可以分成不定积分和定积分，其中不定积分是计算定积分的`基础。对于不定积分，我们主要掌握它的计算方法：第一类换元法，第二类换元法，分部积分法。这三种方法要融会贯通，掌握各种常见形式函数的积分方法。熟练掌握不定积分的计算技巧之后再来看一看定积分。定积分的定义考生需要稍微注意一下，考试对定积分的定义的要求其实就是两个方面：会用定积分的定义计算一些简单的极限;理解微元法(分割、近似、求和、取极限)。至于可积性的严格定义，考生没有必要掌握。然后是定积分这一块相关的定理和性质，这中间我们就提醒考生注意两个定理：积分中值定理和微积分基本定理。这两个定理的条件要记清楚，证明过程也要掌握，考试都直接或间接地考过。至于定积分的计算，我们主要的方法是利用牛顿―莱布尼兹公式借助不定积分进行计算，当然还可以利用一些定积分的特殊性质(如对称区间上的积分)。一般来说，只要不定积分的计算没问题，定积分的计算也就不成问题。定积分之后还有个广义积分，它实际上就是把积分过程和求极限的过程结合起来了。考试对这一部分的要求不太高，只要掌握常见的广义积分收敛性的判别，再会进行一些简单的计算就可以了。

会计算积分了，再来看一看定积分的应用。定积分的应用分为几何应用和物理应用。其中几何应用包括平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算，曲线弧长的计算，旋转曲面面积的计算。物理应用主要是一些常见物理量的计算，包括功，压力，质心，引力，转动惯量等。其中数学一和数学二的考生需要全部掌握;数学三的考生只需掌握平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算。这一部分题目的综合性往往比较强，对考生综合能力要求较高。

考研数学三常考知识点篇4

从近几年的考试来看，数学题目虽然千变万化，有各种延伸或变式，数学三的考查都是常规题型与常考知识点的再现。同学们要想在考试中取得好成绩，华而不实靠押题碰运气是行不通的，必须要重视三基，多思多议，不断地总结经验与教训，做到融会贯通。数学教研室李老师建议大家，最后阶段时按规定时间做几份模拟题，了解一下究竟掌握到什么程度，同时知道薄弱环节，抓紧时间补上是最后提分关键。

(1)曲线的渐近线;

(2)某点处的高阶导数;

(3)化极坐标系下的二次积分为直角坐标系下的二次积分;

(4)数项级数敛散性的判定;

(5)向量组的线性相关性;

(6)初等变换与初等矩阵;

(7)二维均匀分布;

(8)统计量的常见分布;

(9)未定式的极限;

(10)分段函数的复合函数的导数;

(11)二元函数全微分的定义;

(12)平面图形的面积;