用做题提升考研数学把握思路的能力

用做题提升考研数学把握思路的能力（共2篇）

用做题提升考研数学把握思路的能力 篇1

考研数学 用做题打基础 靠质量做提升

基本题也要认真做

有人认为数学基本题太简单，不愿意做，都去做更多更难的题目。但是，如果对理论知识领会不深，基本概念都没搞清楚，恐怕基本题也做不好，又怎么谈得上做更多更难的题目呢?缺乏基本功，盲目追求题目的深度、难度和做题数量，结果只能是深的不会做，浅的也难免错误百出。其实解题的`过程也是加深对数学定理、公式和基本概念的理解和认识的过程。如果在这个过程中出现很多错误或没有解题思路，也就说明你对教材的理解和认识上有很多欠缺、片面甚至错误的地方，或是在运用知识的能力方面还很不够。这时就要抓住他，刨根问底，找出原因：是对定理理解错了，还是没有看清题意;是应用公式的能力不强，还是自己粗枝大叶，没有仔细分析等等。

寻找原因，有针对地改正

找到原因，就要有针对性地加以改正，就能吃一堑长一智，不必埋怨自己“倒霉”，这对大家反而是一种“幸运”，毕竟在备考时期能够发现问题，并且有时间解决问题，实在是对你考研复习的一大鞭策。因此，当你在备考过程中发现问题是，只要有针对性地加以改正即可。做题最重要的是讲求质量，所以我们一定要精选精解。提醒考生，考研数学复习必须注意考点和题型，二者相辅相成，互相促进提高。如果学生做了某道题目后，便能处理同类的题目，能够举一反三，则这道题目就代表了一种题型，其解题方法就有一定的代表性，应该精练。当然，能否举一反三与学生的基础有关，但学生做一道题后，能否得到很多收获和提高，却是题目的代表性和典型性问题。绝大部分的数学考研参考书一般以题型分类进行编写，同学在复习时也可以自己进行题型的归纳总结，化繁为简，提高做题的质量和解题的能力。

希望大家通过做题的练习，数学成绩能有质的飞跃!

用做题提升考研数学把握思路的能力 篇2

一、反思题意, 有的放矢

在平时解题中, 经常有学生因题意理解不清或思考过程不严密而犯错误.而在解题之后, 有目的的引导学生反思题意, 不仅能弥补审题的不足, 而且能防止误解, 避免因为题中一字之差而导致结论谬以千里的错误.对于貌似熟悉的问题更应警惕, 对题目的条件和结论需要再回首, 防止条件误用或漏用, 做到有的放矢.

例1已知不等式 (a2-a-2) x2+ (a-2) x+1>0对任意的实数x恒成立, 求实数a的取值范围.

解:不等式 (a2-a-2) x2+ (a-2) x+1>0对任意的实数x恒成立,

即函数f (x) = (a2-a-2) x2+ (a-2) x+1的图象恒在x轴上方,

即与x轴没有交点,

解得, a<-2或a>2.

反思本题在题意理解中, 把不等式恒大于零问题转化为函数的图象恒在x轴上方, 充分体现了函数、不等式之间的相互转化, 思路明确, 但对函数的定位和定性上, 思维出现了遗漏, 忽视了函数f (x) 也可能不是二次函数, 即当a2-a-2=0, 即a=2或a=-1时的情况.显然a=2时, f (x) =1>0成立.

因而, 正确的结论应为, a<-2或a≥2.

例2已知不等式ax2+2x-3<0在a∈ (-1, 1) 时成立, 求x的取值范围.

反思本题虽小, 但内容丰富.学生在处理时, 多数无从下手.本题可以从以下三个角度反思:

1. 题意定位:给出的不等式ax2+2x-3<0是关于x的不等式, 还是关于a的不等式, 弄清这一点是解题的关键.根据条件a∈ (-1, 1) , 因此不等式应理解为关于a的不等式, 其中x为要求的参变量.

2. 方法选择:不等式ax2+2x-3<0既为关于a的不等式, 不妨设f (a) =x2a+2x-3, 即问题转化为f (a) <0在 (-1, 1) 上恒成立.

当x=0时, f (a) =-3<0成立;

当x≠0, 即x2>0时, f (a) 为关于a的一次函数, 且为增函数, 需f (1) ≤0, 即x2+2x-3≤0, 所以-3≤x≤1且x≠0.

综上:x的取值范围为-3≤x≤1.

3. 本题并不是解不等式存在问题, 而是无法判断是解x, 还是解a.因此解题时应深入的理解题意, 以便恰当地选择正确的解题方法.

二、反思过程, 思路畅通

有些数学问题, 在解决过程中往往不能完全领悟, 或解题过程走了弯路, 若能在解题后再杀“回马枪”, 细致、准确的审题, 抓住关键词语, 找准突破口, 仔细回味、反思, 不仅使思路畅通, 而且也训练了学生思维的简捷性.

例3已知, 求f (2) 的值.

则x=3 (t-1) (t≠1) ,

反思回顾以上解题过程可知, 通过换元法, 先求出f (x) 的表达式, 然后再求f (2) , 这是学生最容易处理的一种方法, 而函数f (x) 的含义是:x→f (x) 是x与f (x) 之间的对应关系, 即自变量x的值决定了f (x) 的值.而本题f, 即是x与之间的对应关系, 要求的值, 关键是能否求出x的值.因此, 本题可以不求y=f (x) 的解析式, 而得如下简捷解法:

三、反思方法, 事半功倍

学生对问题的理解程度, 取决于学生的知识水平、思维角度, 也就影响着解题方法的选择, 好的解题方法, 不只能快速地求出问题的结果, 也更能反映思维的灵活性、创造性.

对于一些题目, 在解题时, 有时因计算量大, 造成解题过程较为繁琐甚至解不下去.这时就应仔细反思方法的选择是否恰当.

例4已知椭圆, A、B是其左右顶点, 动点M满足MB⊥AB, 连结AM交椭圆于点P, 在x轴上有异于A、B的定点Q, 以MP为直径的圆经过直线BP、MQ的交点, 则定点Q的坐标为____.

解法一:由题意知A (-2, 0) , B (2, 0) , 设M (2, m) , 则直线AM的方程为:

与椭圆方程联立解得:

设Q (x0, 0) , 由PB⊥MQ,

即BP·MQ=0得

所以x0=0.

故定点Q的坐标为 (0, 0) .

反思这种解法是从题目叙述的过程中, 直接入手, 涉及到字母的运算, 计算量较大, 对于一些学生是个难点.进一步反思本题题意及解法一:Q点既为定点, 即不受点M变动的影响, 能否让M为定点呢?基于这种反思, 得到如下解法:

解法二:由题意知A (-2, 0) , B (2, 0) 不妨设M (2, 1) ,

则直线AM的方程为:

与椭圆方程联立解得:

设Q (x0, 0) , 由PB⊥MQ,

即BP·MQ=0得

所以x0=0.

故定点Q的坐标为 (0, 0) .

反思解法二, 把解法一中字母的运算转化为数字的运算, 要简单的多, 但解题过程一样.

解法三:由题意知A (-2, 0) , B (2, 0) , 不妨设P,

则直线AP的方程为,

MB⊥AB, 所以

设Q (x0, 0) , PB⊥MQ,

即BP·MQ=0.

所以

即2 (2-x0) -4=0,

所以x0=0.

故定点Q的坐标为 (0, 0) .

从本题以上解法可以看出, 对于一个问题, 思维角度不同, 对问题的认识程度就不同, 因而采用的方法也不同.如何在众多的方法中选取简便的解题方法, 是解题教学的重点.特别是把一般性问题转化为特殊性问题研究, 往往能探索出简便的方法, 避免计算过程的繁杂.

四、反思规律, 触类旁通

规律是一般结论的总结, 往往隐含在特殊的问题情境中.解题后, 如果有针对性地引导学生从题目特征、解题策略、解题方法、结论特征等方面进行多角度、多侧面的总结.启发、引导学生思考:此题是否可作一般性的推广和引申, 能否概括总结出此类问题的解题规律?这样就能达到举一反三, 触类旁通, 提高解题能力.

例5若集合A1, A2满足A1YA2=A, 则称 (A1, A2) 为集合A的一个分拆, 当且仅当A1=A2时, (A1, A2) 与 (A2, A1) 为同一分拆, 则集合A={1, 2, 3}的不同分拆有___种.

解: (1) 若A1=○, A2={1, 2, 3}, 此时不同分拆有1=C30×20种;

(2) 若A1为单元素集, 有C31种, 相应的A2有2=21种, 不同分拆有C31×21种;

(3) 若A1为双元素集, 有C32种, 相应的A2有22种, 不同分拆有C32×22种;

(4) 若A1为三元素集, 有C33种, 相应的A2有23种, 不同分拆有C33×23种;

所以, 集合A={1, 2, 3}的不同分拆共有C30×20+C31×21+C32×22+C33×23= (2+1) 3=27种.

反思1在例4的题目背景下, 集合A={1, 2, 3}中元素可推广到n个的情形:若A={1, 2, 3, …, n}, 则的不同分拆有___种.

类似于例5的求解, 有Cn0×20+Cn1×21+Cn2×22+…+Cnn×2n= (2+1) n=3n种不同的分拆.

反思2若集合A1、A2、A3满足A1∪A2∪A3=A, 则称 (A1, A2, A3) 为集合A的一个分拆, 当且仅当A1=A2=A3时, 各分拆为同一分拆, 则集合A={1, 2, 3}的不同分拆有___种.

反思3若集合A1、A2、A3满足, 则称 (A1, A2, …, Am) 为集合A的一个分拆, 当且仅当A1=A2=…=Am时, 各分拆为同一分拆, 则集合A={1, 2, 3, …, n} (m≤n) 的不同分拆有___种.

对于具有相同特征的问题进行反思比较, 不仅能开阔学生的思维视野, 能通过特殊的个例, 推导出一般性的结论, 更为学生提供了一个创新的平台, 提供了一个展示自我思维的空间.

五、反思错误, 亡羊补牢

“智者千虑, 必有一失”, 何况学生由于阅历贫乏、经验不足、认知的肤浅、技能的缺乏、思维的片面与心理的浮躁, 在解题过程中走进误区、落入陷阱, 就不足为奇了.因此, 教学中教师有必要展示学生的错误过程, 引导学生反思错误的原因, 领悟正确的解题方向, 获得走出困境的途径.经常反思错误, 有益于提高免疫力, 防止重蹈覆辙.

例6已知两个等差数列{an}、{bn}, 它们的前n项和分别为Sn、Tn, 且

解:因为, 可设Sn=k (2n+3) , Tn=k (3n-1) (k≠0) .

又因为a9=S9-S8=k (2×9+3) -k (2×8+3) =2k,

这些同学很快得出了结果, 可与其他同学用其它方法得到的答案不一样, 而老师又说这个答案是错的.于是质疑反思:我的答案错在哪里?

反思上例中的是含有变量n的比, n取不同的值, 它们的比值是不一样的.又数列{an}、{bn}的前n和公式为关于n的二次式 (常数项为0) , 因此, 当假设Sn=k (2n+3) , Tn=k (3n-1) (k≠0) 时, 等式右边是关于n的一次式, 左边是关于的二次式, 等式两边关于n的次数不一样.所以, 这样的假设是错误的.

那么, 如何假设才合理呢?解决这一问题的关键是抓住等式两边关于n的次数, 只需设Sn=kn (2n+3) , Tn=kn (3n-1) (k≠0) 即可.

正解:由题意可设Sn=kn (2n+3) , Tn=kn (3n-1) (k≠0) .

因为a9=S9-S8=9k (2×9+3) -8k (2×8+3) =37k,

经过这样的反思过程, 促使学生进一步理解了等差数列的前项和公式特征 (是关于的二次式) , 又使学生获得了这类问题正确的解题方法.