共线条件方程在建筑物比高求解中的应用

共线条件方程在建筑物比高求解中的应用（共3篇）

共线条件方程在建筑物比高求解中的应用 篇1

Milne-Hamming线性多步法在求解姿态四元数微分方程中的应用

姿态微分方程的求解是SINS(Strap-down Inertial Navigation System)导航解算中一项重要的.内容,对算法的稳定性、精度和计算量有较高的要求.引入了一种求解姿态四元数微分方程的新方法Milne-Hamming线性多步预测校正方法,详细推导了应用此方法求解姿态四元数微分方程的过程.应用仿真数据和实测数据对此算法和四阶龙格-库塔算法进行了对比验证,结果表明Milne-Hamming线性多步预测校正方法是一种求解姿态四元数微分方程的有效方法,其稳定度明显优于四阶龙格-库塔算法并且计算量小.

作 者：王柬 孙付平李海峰 秦士琨 WANG Jian SUN Fu-ping LI Hai-feng QIN Shi-kun 作者单位：信息工程大学,测绘学院,河南,郑州,450052刊 名：测绘科学技术学报 PKU英文刊名：JOURNAL OF GEOMATICS SCIENCE AND TECHNOLOGY年，卷(期)：200825(1)分类号：P228关键词：捷联惯性导航系统 Milne-Hamming线性多步法 姿态四元数 龙格-库塔法

共线条件方程在建筑物比高求解中的应用 篇2

在化工过程研究及设计中,Excel软件在求解复杂化工方程中可以发挥很好的作用。利用Excel的单变量求解、距阵求解、规划求解、积分式求解等功能,可以快速准确地求解方程,并且可根据问题的要求来调整解的精度[3,4]。本文通过举例对Excel在几类常见化工复杂方程求解中的应用说明了其应用方法及特点。

1一元超越方程的求解

一元超越方程求解是化工设计及模拟计算中常见的问题,尽管这类方程属一元方程,但由于方程内有对数、指数及三角函数等,方程求根难度较大。

例1.已知管路中雷诺数和摩擦系数关系方程在雷诺数低于4000时有以下关系:

$\left(\frac{1}{\lambda }\right){}^{0.5}=1.74-2\lg \left[\frac{2\epsilon {}_i}{d{}_i}+\frac{18.7}{\mathrm{Re}\lambda {}^{0.5}}\right]$ (1)

已知2εi/di=0.1,Re=4000,求该管路摩擦系数λ。

将已知数值代入关系式(1)方程,得到方程:

$1.74-2\lg \left[0.1+\frac{18.7}{4000\lambda {}^{0.6}}\right]-\left(\frac{1}{\lambda }\right){}^{0.5}=0$ (2)

观察式(2),可发现它是一个以λ为自变量的超越方程,该方程可用Excel的“单变量求解”功能求解,方法如下:

在单元格A1中输入0.01,B1中输入函数表达式“=1.74-2*LOG(0.1+18.7/(4000*A1^0.5))-(1/A1)^0.5”;打开[工具]-[选项]-[重新计算],在“反复操作”选项中将最多迭代次数设为10000,最大误差设为1E-12;打开[工具]-[单变量求解],出现三个输入框:“目标单元格”指方程表达式所在单元格,填入“B1”,“目标值”为方程右边的数值,填入“0”,“可变单元格”指自变量所在单元格,填入“A1”。填好之后,点[确定],则A1单元格的自变量数值自动变为0.076958,目标值变为0,方程解出[5]。

需要说明的是,对于超越方程求解,自变量初值的设置很重要,对于某些有多个解的方程,所求的解往往是与初值最为接近的解,因此在给初值的时候应依据所求参数的范围,尽可能给接近正确值的初值。

2积分值求取

在化工问题研究中,定积分计算是常见的,对于无法得到原函数解析式的积分式,可以利用积分的原始定义来计算,其计算方法有矩形近似、梯形近似与Simpson近似求解。

例2.在等压及无相变的条件下,将体系温度从T1加热到T2所需热量为:

$Q={\displaystyle {\int }_{{\rm T}{}_1}^{{\rm T}{}_2}(}16.6+0.054{\rm T}+\frac{8.8}{{\rm T}})d{\rm T}$ (3)

求体系温度从100 K上升到250 K所吸收的热量。

根据积分的原始定义,积分值为曲线所包围的面积,该面积可看为若干个小梯形面积之和:

${\displaystyle {\int }_a^{b}f}(x)dx={\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{y{}_i-y{}_{i-1}}{2}}(x{}_i-x{}_{i-1})$ (4)

Excel也可以很方便的对式(4)进行计算。首先在单元格A1中输入T,A2中输入100,然后利用Excel等差填充功能在A列中以1为差值填充至A152;在B1中写入Y,B2中写入“=16.6+0.054*A2+8.8/A2”;在C3中写入“=(B3+B2)/2”,分别自动填充至B152、C152,然后利用求和功能对C列求和,则可得Q值为3915.56。

这种利用积分原始定义的求解方法还可以根据积分精度的要求设定步长值与小数点位数,以满足不同情况的要求。

3线性方程组的求解

在化工设计和计算中还会遇到线性方程组的求解问题,这时可使用Excel距阵及逆距阵函数,下面通过例题来说明其用法[6]。

已知饱和蒸汽压与温度之间的关系为:

$\ln {\rm P}=A+\frac{B}{{\rm T}}+C\ln {\rm T}+\frac{D{\rm P}}{{\rm T}{}^2}$ (5)

求式中的各系数。

根据已知的T-P值,将A、B、C、D各常数看作未知数列出四个线性方程组成一个线性方程组(6):

$\left(\begin{array}{l}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)A+\left(\begin{array}{l}1/{\rm T}{}_1\\ 1/{\rm T}{}_2\\ 1/{\rm T}{}_3\\ 1/{\rm T}{}_4\end{array}\right)B+\left(\begin{array}{l}\ln {\rm T}{}_1\\ \ln {\rm T}{}_2\\ \ln {\rm T}{}_3\\ \ln {\rm T}{}_4\end{array}\right)C+\left(\begin{array}{l}{\rm P}{}_1/{\rm T}{}_1^2\\ {\rm P}{}_3/{\rm T}{}_2^2\\ {\rm P}{}_3/{\rm T}{}_3^2\\ {\rm P}{}_4/{\rm T}{}_4^2\end{array}\right)D=\left(\begin{array}{l}\ln {\rm P}{}_1\\ \ln {\rm P}{}_2\\ \ln {\rm P}{}_3\\ \ln {\rm P}{}_4\end{array}\right)$

(6)

首先在Excel的A1-4与B1-4中输入相对应的T、P值,根据线形方程组常数项在C1输入“1”,D1输入“=1/A1”,E1输入“=LN(A1)”,F1输入“=B1/A1^2”,G1输入“=LN(B1)”,然后将以上各列自动填充至第四行,选中H1:H4,在H1单元格中写“=MMULT(MINVERSE(C1:F4),G1:G4)”,然后同时按下键盘上[Shift]+[Ctrl]+[Enter],则线性方程组各系数可得A=29.3,B=-5577.3,C=-1.3,D=-5.4。

4非线性方程组的求解

在化工计算中,为了知道反应前后各物料的浓度,常常要联立求解一些非线性方程组。应用Excel的规划求解功能可很方便地解这种方程。通常情况下,Excel并没有该功能,需要添加,具体安装方法,请参阅有关书籍,本文不再赘述。

例4.在合成氨生产中,烃类蒸汽发生以下转化反应:

$\text{C}\text{Η}{}_4+\text{Η}{}_2\text{Ο}\stackrel{}{\rightleftharpoons }\text{C}\text{Ο}+3\text{Η}{}_2$ (7)

$\text{C}\text{Ο}+\text{Η}{}_2\text{Ο}\stackrel{}{\rightleftharpoons }\text{C}\text{Ο}{}_2+\text{Η}{}_2$ (8)

已知进料甲烷为1 mol,水蒸气为5 mol,反应后总压P=1 atm,反应平衡常数分别为KP1=0.9618,KP2=2.7,试求反应平衡时各组分的浓度。

设平衡时x mol甲烷转化为CO,同时又有y mol CO转化为CO2,根据反应方程(7)～(8)及平衡常数的定义可列方程组:

$\{\begin{array}{l}\frac{(x-y)(3x+y)}{(1-x)(5-x-y)(6+2x){}^2}=0.9618\\ \frac{y(3x+y)}{(x-y)(5-x-y)}=2.7\end{array}$

(9)

在Excel的单元格A1中输入假设的CO初值0.5,在A2中输入假设的CO2初值0.25,在B1中输入“=((A1-A2)*(3*A1+A2)^3)/((1-A1)*(5-A1-B1)*(6+2*A1)^2)”,B2中输入“=(A2*(3*A1+A2))/((A1-A2)*(5-A1-A2))”,打开[工具]-[规划求解],目标单元格设为B1,其值设为0.9618,可变单元格为A1:A2,在约束中添加B2=2.7,点击[求解],则A1值变为0.9397,A2值变为0.6794,该方程解出。

规划求解对迭代次数、最大误差及初值的设置要求与单变量求解的设置要求一样,否则有可能得不到正确的解。

5结语

用Excel进行复杂化工方程求解,具有无需编程、使用简便快速的特点。利用Excel数值计算功能在化工设备设计中已多次使用,同时在数学模型的验证中也发挥了很好的作用。其强大的函数运算功能,不仅可解决化工设计中的部分问题,也可应用于其它科学研究与设计工作,Excel计算功能的挖掘,为我们又提供了一种很好的科学计算途径。

摘要：在化工过程研究及设计中,经常需要求解对象模型的方程以得到所需的数值,而化工方程表达式一般较复杂,数学求解计算量很大,精度较低。本文通过举例介绍了Excel软件的单变量求解、距阵求解、规划求解、积分式求解等功能在复杂化工方程中的应用,说明用Excel可以求解此类方程,并且具有节约方程求解时间、提高数值精度的特点。

关键词：Excel,数学模型,解方程,化工,计算

参考文献

[1]周爱月.化工数学[M].北京:化学工业出版社,2001:36-37.

[2]江体乾.化工数据处理[M].北京:化学工业出版社,1984:45-46.

[3]曹小刚等译.精通Excel2002中文版[M].北京:清华大学出版社,2002:208-209.

[4]徐抗成.EXCEL数值方法及其在化学中的应用[M].兰州:兰州大学出版社,2000:28-29.

[5]祝建章.Excel在换热器设计中的应用[J].广州化工,2011,39(18):38-39

共线条件方程在建筑物比高求解中的应用 篇3

一、 直线的参数方程基础知识

1. 直线参数方程的标准式

过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是:

x=x0+tcosα

y=y0+tsinα（t 为参数）

其中，e=（cosα，sinα）为直线的单位方向向量，α∈［0，π），P（x,y）为直线l上任意一点，P对应参数为t，则P0P=te.当点P在点M0的上方时,t＞0；当点p在点M0的下方时,t＜0；当点P与点M0重合时,t=0；且|PM0|=|t|.

2.基本应用

若P1 、P2、P3是直线l上的三点，所对应的参数分别为t1、t2、t3，则

（1） |P1P2|=|t1-t2|

（2） P1P2中点P3的参数为t3=t1+t22,|P3M0|=t1+t22

（3） 若M0为P1P2的中点，则t1+t2=0，t1•t2＜0

3.直线参数方程的一般式

过点M0(x0,y0)，斜率为k=ba（a≠0）的直线的参数方程是x=x0+at

y=y0+bt（t为参数）

设P（x,y）为直线l上任意一点，P对应参数为t，则|PM0|=|t|•a2+b2.

二、 例题解析

例1已知直线l经过点P（1，-33），倾斜角为π3，

(1) 求直线l与直线l′∶y=x-23的交点 Q与P点的距离|PQ|；

(2) 求直线l和圆x2+y2=16的两个交点A,B与P点的距离之积。

解：(1) ∵ 直线l经过点P(1, -33),倾斜角为π3,

∴ 直线l的标准参数方程为

x=1+tcosπ3

y=-33+tsinπ3（t为参数），

即x=1+12t

y=-33+32t （t为参数）

代入直线l′方程y=x-23，

得1+12t--33+32t-23=0整理，解得t=4+23，

t=4+23即为直线l与直线l′的交点Q所对应的参数值，

根据参数t的几何意义可知：|t|=|PQ|，

∴ |PQ|=4+23

(2) 把直线l的标准参数方程x=1+12t

y=-33+32t（t为参数）代入圆的方程x2+y2＝16，得

1+12t2+-33+32t2=16，整理得：t2-8t+12=0，

其中，Δ=82-4×12＞0 ，设此二次方程的两个根为t1、t2，则t1•t2=12，

根据参数t的几何意义，t1、t2 分别为直线和圆x2+y2＝16的两个交点A，B, 所对应的参数值，则|t1|=|PA|，|t2|=|PB|,

所以|PA|•|PB|=|t1•t2|=12

点拨：利用直线标准参数方程中的参数t的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便，计算不那么繁琐.

例2已知直线l：x=-1+3t

y=2-4t（t为参数）与椭圆（x+1）29+（y+2）216=1交于A，B两点，求|AB|及P（-1，2）到A,B两点的距离之积与之和。

解：设t1、t2分别为A,B两点对应的参数

将x=-1+3t

y=2-4t（t为参数）代入椭圆方程(x+1)29+（y+2）216=1中，化简得：t2-t=0

解得t1=0，t2=1

∴ |AB|=32+(-4)2•|t1-t2|=5，

|PA|=32+(-4)2•|t1|=5，|PB|=32+(-4)2•|t2|=0

∴ |PA|•|PB|=0，|PA|+|PB|=5

点拨：本题中应注意直线参数方程标准式和一般式中参数t的几何意义的区别与联系，即|PM0|=|t|•a2+b2中的a2+b2千万不能丢掉；另外，本题中求解过程还可以与例1类似，不解出t1、t2的值，根据韦达定理同样可以求解。

例3已知椭圆（x-1）24+y23=1，AB是通过左焦点F1的弦，F2为右焦点，求|F2A|•|F2B|的最大值.

解：由椭圆方程知a=2，b=3，c=1,F1(0，0)，F2（2，0）

设过左焦点F1的弦所在直线的参数方程为

x=tcosα

y=tsinα （t为参数）

代入椭圆方程整理得（3+sin2α）t2-6tcosα-9=0，

其中 Δ=36cos2α+36（3+sin2α）＞0

设上述方程的解为t1、t2，分别为A,B两点对应的参数，由韦达定理t1+t2=6cosα3+sin2α，t1t2=-93+sin2α