行列式的计算方法总结要点

行列式的计算方法总结要点（精选3篇）

行列式的计算方法总结要点 篇1

三阶行列式可用对角线法则：

D = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32- a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32。

矩阵A乘矩阵B，得矩阵C，方法是A的第一行元素分别对应乘以B的第一列元素各元素，相加得C11，A的.第一行元素对应乘以B的第二行各元素，相加得C12，C的第二行元素为A的第二行元素按上面方法与B相乘所得结果，N阶矩阵都是这样乘，A的列数要与B的行数相等。

行列式的计算方法总结要点 篇2

一、利用矩阵运算计算行列式

( 1) 计算抽象矩阵乘积的行列式

知识点: (1) 设A, B为同阶方阵, 则A, B, |An|=|A|n.

(2) 设A为n阶方阵, K为常数, 则|KA|=Kn|A|.

例设A, B为三阶方阵, | A | = 2, | B | = 3, 则| | AB | AB2|=_.

解∵ | AB| = | A| | B| = 3 × 2 = 6,

( 2) 计算抽象矩阵线性组合的行列式

A, B为抽象同阶矩阵, 求a A + b B的行列式| a A + b B | .

注意: | A ± B| ≠| A| ± | B | , 因此解决此类问题, 一般有两种方法:

(1) 若A, B存在一定关系, 可利用此关系化为一个矩阵的行列式;

(2) 若A, B没有关系, 利用矩阵的运算转化为矩阵乘积再处理.

例设A为三阶矩阵, A*是A的伴随矩阵, 且|A|=-1/2, 则

【1988 数学三】

例设A, B为三阶矩阵, 且| A | = 3, | B | = 2, , 则| A + B- 1| =______.

【2010年数学二、三】

(3) 计算矩阵方程中某些矩阵的行列式

已知矩阵方程g (A, B) =0, 求|f (A) |.

方法: 将g ( A, B) = 0 转化为f ( A) ( ……) = E, 然后两边再取行列式.

例矩阵, E为2阶单位矩阵, 矩阵B满足BA=B+2E, 则|B|=______.

【2006 数一、二、三】

解由BA = B + 2E, 得B ( A - E) = 2E.

上式两边取行列式, | B| ( A - E) =

( 4) 计算含有伴随矩阵 ( 或代数余子式) 的矩阵的行列式.

知识点:

设矩阵A = ( aij) n × n, Aij是aij的代数余子式, A的伴随矩阵A*= (Aji) n × n.

(1) AA*= A*A = | A | E.

(2) 当A可逆时, A*= | A | A- 1.

例设A为三阶矩阵, | A | = 3, A*为A伴随矩阵, 若交换A的第一行与第二行得到B, 则| BA*| =______.

【2012 数学二, 三】

解∵ A交换第一行与第二行得B, ∴ | B| = - | A|

例设A = ( aij) 是三阶非零矩阵, | A | 为A的行列式, Aij为aij的代数余子式, 若aij+ Aij= 0 ( i, j = 1, 2, 3 ) , 则| A |=______.

【2013 数学一、二、三】

由行列式的按行按列展开定理, 知

由A≠O知aij不全为零, 得

二、利用两向量组间的关系计算行列式

( 1) 已知用行 ( 列) 向量表示的两方阵及其行列式的值, 求其线性组合后行列式的值.

知识点: 设 αi为同维向量, 则行列式加法:

矩阵加法: ( α1, α2, α3) + ( α1, α2, α4) = ( 2α1, 2α2, α3+ α4) .

例设4×4矩阵A= (α, γ1, γ2, γ3) , B= (β, γ1, γ2, γ3) , 其中 α, β, γ1, γ2, γ3均为列向量, 且已知行列式| A | =4, | B | = 1, 则行列式| A + B | =______

( 2) 设B的列向量组均为A的列向量组的线性组合, 已知| A| 或| B| 的值, 求另外一个行列式的值

知识点: 设有向量组A: α1, α2, …, αm及B: β1, β2, , …, βl, 若向量组B能由向量组A线性表示, 即

例已知 α1, α2, α3, β1, β2, β3均为三维列向量, 其中 β1= α1+ α2+ α3, β2= α1+ 2α2+ 3α3, β3= α1+ 4α2+ 9α3, 设A= ( α1, α2, α3) , B = (β1, β2, β3) , 且| A| = 1, 求| B| .

【2005 数学一、二】

三、利用矩阵的特征值计算行列式

知识点: 设矩阵A的特征值为 λ1, λ2, …, λn, 则

例设 α = ( 1, 0, - 1) T, 矩阵A = ααT, n为正整数, 则

【2000 年数学四】

解矩阵A=ααT的特征值为λ1=2, λ2=λ3=0.

则矩阵a E-An的特征值为a-λin.

即a - 2n, a, a, 则有

参考文献

[1]李永乐.2014年数学复习全书.北京:中国政法大学出版社, 2013.

高阶行列式的几种基本计算方法 篇3

【关键词】高阶行列式 范德蒙德行列式 爪型行列式

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）10-0185-02

行列式的概念是随着求解线性方程组而发展起来，是线性代数中的一个重要工具，在数学本身、物理学、工程技术等其他学科领域有着广泛的应用。

方法一、定义法

由行列式定义可以知道，阶行列式值等于所有取自不同行、不同列的个元素的乘积的代数和。随着行列式阶数的增大，计算量越来越大，在行列式阶数较低或含有很多零元素的情况下选择利用定义法计算行列式的值。

例1 计算行列式。

解 行列式D中每行只有一个非零元，由定义仅考虑非零项 ，其符号为，故。

利用定义法计算出三角行列式及对角行列式的结果都是主对角线元素的乘积。

方法二、化三角形法

参考文献

[1] 戴斌祥. 线性代数[M]. 北京： 北京邮电大学出版社， 2013. 12.

[2] 李师正. 高等代数解题方法与技巧[M]. 北京： 高等教育出版社， 2010. 11.

[3] 钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 北京： 中央民族大学出版社，2014. 6.