八年级上数学复习计划

八年级上数学复习计划（通用6篇）

八年级上数学复习计划篇1

八年级语文（上）期末复习计划

一、复习目的意义：

学生全面掌握本学期所学的知识，形成系统的知识链。学生能够正确地理解和运用祖国的语言文字，使他们具有现代语文的阅读能力和写作能力，具有初步阅读文言文的能力；使学生获得一种基本的语文学习能力能力，培养道德情操。

二、指导思想：

（1）、注重基础知识的积累与整理。

基础知识的积累在于平时，但也必须适时进行整理归类。具体包括拼音、汉字、词语、句子、修辞、文学常识、古诗文名句、名著阅读等内容。

词语的积累要重点关注本学期已经学过的、在注释和课文后面的“读一读，写一写”中标注出来的字词的字音与字形。特别要注意它们在语言环境中灵活应用。

句子仿写、拟标语广告词和对联撰写是考试热点，能辨识修辞手法和分析其作用。

对规定篇目的背诵与默写（集中在第五单元和最后附录的10首古诗），要做到一个字都不能错。

关注名著的主要情节、人物形象和主题，阅读课本附录的名著介绍（三部作品）。

（2）、掌握记叙类作品的常见考点及答题方法。

八年级前半学期的教学内容还是以记叙类的作品为主（第一、二单元），后半学期将进入说明文的阅读学习(第三、四单元)。所以我们现阶段必须重点掌握记叙类作品的常见考点及答题方法。

最常见考点有：

1、对情节的概括和分析；

2、对人物形象的分析理解；

3、对景物描写的作用的分析；

4、对文中佳词美句与精彩语段赏析品味；

5、对表达方式和写作手法进行赏析等。

（3）、对学生进行答题方法的指导：

1、对情节的概括和分析理解：①从要素入手：时间、地点、人物、事情的起因、经过和结局；②语言要简洁概括。

2、如何分析人物形象：①看情节，从人物所做的事情来分析；②看描写，从人物的动作、语言、神态、心理、外貌等来分析；③看环境，人物所处的社会与自然环境来分析。

3、景物描写的作用：①点明故事发生的时间、地点、天气等；②交代故事发生的背景；③渲染环境气氛；④烘托人物心情；⑤推动情节的发展，为下文情节作铺垫。

4、赏析文中佳词美句与精彩段：应遵循“词不离句，句不离段，段不离篇”的原则。注意联系作者情感，联系文章主题，抓住修辞、关键词等进行赏析。

5、赏析写作手法：要使学生们熟悉一些常见的写作手法，如设置悬念、欲扬先抑、白描、前后照应、伏笔、正面与侧面描写、寓情于景、托物言志、象征、叙议结合等，要结合文本进行分析。

（4）、注重文言知识的积累和整理。

掌握每一篇文言文的重点实词的意义和用法（关注通假字、一词多义、古今异义等）、五个重点虚词的用法和意义（之、其、而、以、于）、重点句子的翻译，文章的内容及写作特色等。

（5）、关注作文题材的积累。

让学生回顾本学期的小作文和大作文，想一想还存在什么问题，应怎样克服；找一些优秀作文为他们做以示范，体会其精妙之处。进行课堂练笔。

三、复习内容：

1、熟练掌握1——4单元重点词语的读音、写法及意义。

2、熟练背诵及默写25、30课、课外古诗词、第21、22、26、27四课的重点古文和第23、24、28、29四篇一般古文。

3、文言文解释重点实词的意义，尤其注意通假字、古今异义和一词多义现象；对重点句子要会准确顺畅的翻译；会整体把握课文，概括文章内容和理解文章的主旨，会理解和把握作者的思想感情，会分析和评价文章的写作特色。重点古文：《桃花源记》（陶渊明）《陋室铭》（刘禹锡）《爱莲说》（周敦颐）

《三峡》（郦道元）《答谢中书书》（陶弘景）《记承天寺夜游》（苏轼）一般古文：《核舟记》（魏学伊）《大道之行也》《观潮》（周密）《湖心亭看雪》（张岱）

4、现代文重点要求：在整体把握课文的基础上，概括文章内容和理解文章的主旨，会理解和把握作者的思想感情，会分析和评价文章的写作特色。会就一些重点文段回答一些重点问题；会结合文段分析句子的含义。会记叙文、说明文、小说的一些知识点和考点。重点课文：

《新闻两篇》、《芦花荡》、《阿长与〈山海经〉》、《背影》、《老王》、《中国石拱桥》、《苏州园林》、《故宫博物院》、《大自然的语言》、《奇妙的克隆》（1）新闻知识点。

（2）环境描写的作用，人物描写对人物性格塑造的作用及人物形象性格分析；作者的感情态度。

（3）说明文重点掌握说明文的对象和特征，说明文的顺序，说明方法及作用，语言的特点。

5、综合性学习：

6、名著导读，要求：（1）熟记作者、主人公姓名。

（2）每本书至少掌握3个以上经典故事情节。（3）对人物性格的把握和评价。（4）这本书的主要内容和特色等。

名著——《朝花夕拾》《骆驼祥子》《钢铁是怎样炼成的》。

四、复习措施：

1、充分利用早读时间把好基础知识的过关，主要包括：（1）1——4单元重点词语的读音、写法和含义。（2）

25、30课、课外古诗词的背诵与默写。

（3）21、22、23、24、26、27、28、29课重点古文的背诵与默写。

2、利用好课堂上的时间，结合期末复习资料和《金牌练习册》上的习题以及文段阅读训练，指导学生阅读的答题方法与技巧，落实记叙文、说明文、小说的一些知识点。

3、利用读报课的时间，引导学生梳理名著的作者、主人公姓名及性格、经典故事情节、书的主要内容和特色等。

4、适时进行基础知识与重点古文释词译句的测试，督促学生牢固掌握。

5、每天的语文作业主要让学生复习古文，结合期末复习资料的练习进行。

五、进度表复习时间安排： 1月5~3日：复习内容：

1、现代文字词

2、新闻的问题知识以及考点和解题方法;

3、说明文的文体知识以及考点

4、本册古诗词的的背诵与名句的默写、赏析。

5、《陋室铭》的背诵和阅读理解 1月14~15日：复习内容：《爱莲说》 1月16~18日：复习内容：《桃花源记》 1月19~20日：复习内容：《三峡》

1月21~22日：复习内容：《答谢中书书》、《记承天寺夜游》 1月23~26日：复习内容：学生看书质疑，教师答疑指导。1月27以后：复习内容：专题训练，做习题及模拟考试。

八年级上数学复习计划篇2

1. 熟练掌握课本上的概念、定理、性质、判定、推论等,在开始做题前,做到对课本上知识心中有数.

2. 认真读题,审题,弄清题目给出的已知条件和问题;

3. 把题目涉及到的性质、判定,已知的直接条件,隐含条件,全部标注在图上,可以选择不同颜色线或符号来标注;

4. 逆向推理出题目结论需要些什么样的条件,一环扣一环的打开题目的面纱,最后直指已知条件.

三角形的角( 多边形的角)

1. 知识点

1三角形的内角和等于180°.

2三角形的外角和等于360°.

3多边形( n边) 的内角和为( n - 2) 180°.

4多边形( n边) 的外角和为360°.

5三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和.

6三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

7正多边形每个内角都相等

8直角三角形的两个锐角互余.

2. 例题讲解与方法归纳

例1如图. 已知∠BDC = 142°,∠B =34°,∠C = 28°,求∠A的度数.

分析: 要求∠A的度数,我们可以利用四边形的内角和为360°来进行求解,已知∠B、∠C与∠BDC,但是要弄清楚∠BDC不是四边形ABCD的内角,它是一个凹四边形,我们首先得找到四个内角,如图分别是∠A、∠B、∠C与∠1

解: ∵∠BDC = 142°∠B = 34°∠C = 28°

又∵∠1 + ∠BDC = 360°

∴∠1 = 360° - ∠BDC = 360° - 142° = 218°

在四边ABCD中有∠A + ∠B + ∠C + ∠1 = 360°

∴∠A = 360° - ∠B - ∠C - ∠1 = 360° - 34° - 28° - 218° = 80°

方法归纳: 充分利用多边形的内角和定理( n - 2) 180°,多边形的任一个内角与它相邻的外角互补.

巩固与提高:

( 1) 如右图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的四个外角,若∠A = 120°,则∠1 + ∠2 +∠3 + ∠4 =____.

( 2) 如右图,一个直角三角形纸片,剪去直角后,得到一个四边形,则∠1 + ∠2 =_______.

( 3) 三角形的三个内角之比为1∶3∶5,那么这个三角形的最大内角为_______.

( 4) 在△ABC中,∠C = 60°,∠A - ∠B = 20°,则∠B =____ .

例2如图,求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E的度数 .

分析: 初看此图,很多同学要把它想成一个多边形,然后就想用多边形内角和来求解,这样本题就走了歪路. 此题刚开始接触时,对我们大多数同学来说是陌生的,而我们要把陌生的问题转化成熟悉的问题来解决,把这个五角星的五个角转化到一个三角形中,利用三角形性质求解:

解: 如图在以B为顶点的三角形中标出∠1与∠2,可知∠1是以C、E为顶点的三角形的一个外角,∠2是以A、D为顶点的三角形的一个外角,根据三角形一外角等于以它不相邻的两个内角之和,有:

∠1 = ∠C + ∠E ∠2 = ∠A + ∠D

∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = ∠B + ∠1 + ∠2 = 180°

方法归纳: 把陌生的问题转化成熟悉的问题来解决,把这个五角星的五个角转化到一个三角形中,利用三角形性质求解.

巩固与提高:

( 1) 如图,求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E的度数.

( 2) 如图求∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F的度数.

例3若一个正多边形的内角和与一个外角的和为1300°,则这个多边形的边数是多少? 这个外角的度数是多少?

分析: 内角和不知,外角不知,有两个未知数,只有一个等量关系,显然要直接求出来,有难度.

思路: 这个外角有一个取值范围,大于0°,小于180°,可以此作为突破口.

解: 设此多边形为n边形,设角度数为X°

则有0° < X° < 180°

∴ ( n - 2) 180° + X = 1300°

即( n - 2) 180° = 1300° - X

而1300÷180° = 7……40°

∴ n - 2 = 7 X = 40°

∴ n = 9 X = 40°

方法归纳: 多边形( n边) 的内角和为( n - 2) 180°. 多边形( n边) 的外角和为360°.

正多边形每个内角都相等

巩固与提高:

( 1) 一个九边形所有内角的度数都相等,则每个内角的度数是_____.

( 2) 一个多边形的内角和与外角和之比为9∶2,求此多边形的边数.

例4AF,AD分别是△ABC的高和角平分线,且∠C > ∠B,求∠DAF与∠C、∠B的关系?

证明∵∠CAB = 1800 - ∠B - ∠ACB

又∵AF,AD分别是△ABC的高和角平分线,

∴∠CAD =1/2∠CAB = 900 -1/2∠B -1/2∠C

在直角三角形CAF中

∠CAF = 900 - ∠C

方法归纳: AF,AD分别是△ABC的高和角平分线,△ABC同一边上的高和角平分线的夹角∠DAF =1/2( ∠C - ∠B) ,( ∠C > ∠B) .

巩固与提高:

如图,AF,AD分别是△ABC的高和角平分线,且∠B = 44°,∠ACB = 68°,求∠DAF的度数.

例5如图,已知AB∥CD,∠C = 125°,∠A = 45°,那么∠E的大小为____.

解: 如图∵AB∥CD,∠C = 125°,∠A = 45°

∴∠1 = ∠C = 125°

∠1 = ∠A + ∠E

∴∠E = 125° - 45° = 80°

方法归纳: 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

巩固与提高:

( 1) 如图,在△ABC中,∠A = 80°,点D是BC延长线上一点,∠ACD = 150°,则∠B =_______.

( 2) 如图,用“> ”连接∠1,∠2,∠3,∠4为______.

( 3) 如图7,D,E分别在BC,AC上,AD,BE交于F,试说明:

∠AFB = ∠CAD + ∠C + ∠EBC

二、三角形的边

1、知识点:

1三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;

2三角形三条高交于一点( 这一点可在内部、外面、顶点上) ;

3三角形三条中线交于三角形内一点;

4三角形三条角平分线交于三角形内一点.

2、例题讲解

例1如图AD是△ABC中线,AB = 4,AC = 6.

求AD的取值范围.

分析: 已知AB = 4,AC = 6,求AD,三边不在同一个三角形中,无法应用两边之和大于第三边性质.

思路: 把三边归到一个三角形中.

解: 如图延长AD到E,使DA = DE

又∵AD是中线,∴BD = CD

在△ABD与△ECD中.

∴ AB = EC

在△ACE中,AC = 6,AE = 2AD,EC = AB = 4

6 - 4 < AE < 6 + 4

AD =1/2AE

∴ 1 < AD < 5

例2若△ABC的三边长分别为a,b,c,则| a - b - c | - | b + a - c |=____ .

分析: 要化简这个式子,就要打开绝对值,而打开绝对值,就要知道绝对值里面的式子是正还是负,然后,打开、合并就行了.

解∵三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边.

∴ a - b - c < 0 b + a - c > 0

∴ | a - b - c | - | b + a - c | = - ( a - b - c) - ( b + a - c)= - a + b + c - b - a + c= 2c - 2a

例3若等腰三角形的两边分别为5和10,则它的周长为_____.

分析: 两边分别为5和10,因为是等腰,第三边可能是5. 也可能是10.

解: 1当5为腰时,底为10,三边分别为5、5、10

5 + 5 = 10,不满足两边之和大于第三边,因此这种情况构不成三角形,不成立.

2当10为腰时,底为5,则三边分别是10、10、5成立

∴周长为10 + 10 + 5 = 25.

方法归纳: 三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;

巩固与提高:

1. 下列长度的各级线段中,能组成三角形的是( )

A. 1,2,4 B. 4,5,6

C. 6,2,3 D. 6,8,15

2. 最大角小于90°的三角形是____三角形.

3. 若等腰三角形的两边长分别为2,4则它的周长为 ____.

4. 若一个三角形的两边长分别是2和5,第三边长X为奇数,则X的值为_____ .

5. 一个等腰三角形的周长是36cm,

( 1) 已知腰长是底边长的2倍,求各边长.

( 2) 已知其中一边长为8cm,求其他两边长.

6. 已知a、b、c为三角形三边,化简

| a + b - c | - | a - b + c | - | b - a - c |

7. △ABC为一等腰三角形,D是AC中点,BD把△ABC的周长分12和15两部分,求三角形各边长.

数学八年级( 上) ( 人教版) 练习题参考答案( 一)

一、三角形的角( 多边形的角)

例 1 ( 1) 300° ( 2) 270° ( 3) 100° ( 4) 70°

例2 ( 1) 解: 如图连接AC

∠1 = ∠D + ∠E = ∠2 + ∠3

∠2 + ∠A + ∠B + ∠3 + ∠C = 1800

∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E = 1800

( 2) 解如图∠1 = ∠A + ∠B

∠2 = ∠C + ∠D

∠3 = ∠E + ∠F

∴∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F = ∠1 + ∠2 + ∠3 = 3600

例3 ( 1) 解: 设这个内角为X,则有

( 2) 解: 设此多边形边数为n,则有

( n - 2) ·180°∶ 360° = 9∶ 2

( n - 2) ∶ 2 = 9∶ 2

∴ n - 2 = 9 n = 11

例 4 ∠DAF =1/2( ∠C - ∠B) = 12°

二、三角形的边

1、B; 2、锐角三角形; 3、10; 4、5; 5、( 1) 7. 2 ( 2 ) 8 14 14; 6、- a + 3b- 3c

7、解分两种情况讨论:

1当上半部分为12时,下半部门为15

设 AD = X,则 AB = 2X

则有3X = 12,X = 4

BC + CD = 15 BC + X = 15 BC = 11

三边分别是8、8、11成立.

2当上半部门为15时,下半部分为12

设 AD = X,CD = X,AB = 2X

则有3X = 15,X = 5

BC + CD = 12,BC + 5 = 12 BC = 7

则三边分别为10、10、7成立.

( 二)

三角形全等证明及角平分线性质应用方法归纳

一、全等三角形证明:

1. 知识点

1“边边边”“SSS”; 2“边角边”“SAS”;

3“角边角”“ASA”; 4“角角边”“AAS”;

5“斜边直角边”“HL”.

填出下面的判定

( 2) 已知一边一角

例1如图,点E,F在AC上,AB∥CD,AB = CD,AE = CF,

求证: △ABF≌△CDE.

证明分析: 直接条件AB = CD

间接条件AE = CF,可得AE + EF = CF + EF

即 AF = CE

AB∥CD可得∠A = ∠C

在△ABF和△CDE中

AB = CD,∠A = ∠C,AF = CE,

△ABF≌△CDE( SAS) .

例2如图,为修公路,需测量出被大石头阻挡的∠A的大小,为此,小张师傅在直线AC上取点D,使CD = AC,在BC的延长线上取点E,使CE = BC,连接DE,则只要测出∠D的度数,就知∠A的度数,请说明理由.

[分析]只要构造出△ABC≌△DEC即可,由题意可知所给条件满足全等三角形的判定条件“SAS”,

证明: 由题意知AD,BE交于点C,所以

∠ACB = ∠DCE( 对顶角相等)

∴△ABC≌DEC( SAS) ∴∠A = ∠D

因此,只要测出∠D的度数,就知道∠A的度数了.

例3已知: 如图,AB = AE,∠1 = ∠2,∠B = ∠E,求证: BC = ED.

证明分析,要证BC = ED

只需要证△ABC≌AED

直接条件有AB = AE,∠B = ∠E

间接条件∠1 = ∠2,可得∠1 + ∠BAD = ∠2 + ∠BAD

∴∠EAD = ∠BAC

∴在△AED与△ABC中

∴△AED≌△ABC( ASA)

BC = ED

例4如图,在△ABC中,∠C = 900,点D是AB边上的一点,DM⊥AB且DM =AC,过点M作ME∥BC可得∠B = ∠MED

证明在△ABC与△MED中

∠MDE = ∠ACB,∠B = ∠MED

DM = AC,∴∠ABC = ∠MED( AAS)

3、巩固练习

1、如图,AB = AE,∠ABC = ∠AED,BC = ED,点F是CD的中点. 求证: AF⊥CD.

2、如图,点B,C,D,F在同一条直线上,已知AB = EC,AD = EF,BC = DF,探索AB与EC的位置关系,并说明理由.

3、如图,点E,F在BC上,AE⊥BC,DF⊥BC,AC = DB,BE = CF,求证: AC∥DB.

4、如图,在△ABC中,AB = CB,∠ABC = 900,F为AB延长线上一点,点E在BC上,AE = CF.

( 1) 求证: Rt△ABE≌Rt△CBF;

( 2) 若∠CAE = 300,求∠ACF的度数.

5、如图,AB = AC,∠BAD = ∠CAE,AD = AE,求证: △ABE≌△ACD

6、如图,已知AB = AD,BC = DC,求证: OB = OD

二、应用三角形特殊性质证明类题型的方法与技巧

1. 知识点

1角平分线性质,角平分线上的点到角两边距离相等

2角平分线的判定,在角的内部到角两边距离相等垢点在角平分线上

3垂直平分线性质,垂直平分线上的点到线段两端距离相等

4等腰三角形性质: 等边对等角,底边上三线合一

5直角三角形性质: 30 度角所对直角边等于斜边一半,斜边上的中线等于斜边的一半.

2. 例题讲解与方法疏理

角平分线类的题型可以按事下步骤进行

1、作出角平分线的点到角两边的距离

2、根据角平分线的性质可知,所作两条线段相等还有一个直角相等,还有一条公共边可以利用HL判断两个三角形全等

例1如图四边形ABCD中,已知BD平分∠ABC,∠A + ∠C = 180°求证:AD = CD

分析: 要证AD = CD,通常是利用三角形全等或者角平分线性质,垂直平分线的性质来完成,显然; 图中两个现成的三角形不全等,而已知条件告诉我们BD平分∠ABC,那么我们就可以充分利用角平分线性质,先作出角平分线到角两边的垂线,过D点作BA、BC垂线分别定于E. F两点.

证明: 如图过D作BA、BC垂线定于E、F两点

∵BD平分∠ABC DE⊥BA DF⊥BC

∴ DE = DF ∠DEA = ∠DFC = 90°

又∵∠A + ∠C = 180°即∠BAD + ∠C = 180°

又∵∠BAD + ∠DAE = 180°

∴∠C = ∠DAE

在△DFC与△DEA中

∴ AD = CD

例2如图在△ABC中,∠ABC的平分线与∠BAC的补角的平分线交于点D,求证: CD平分∠CAN

分析: 已知条件BD平分∠ABC,就充分与利用角平分线的性质,过D作BM、BD垂线,证全等而题目求证CD平分∠CAN,就要利用角平分线的判定,也需要过D点作CA与CN的垂线才能利用判定.

证明: 过D作DE⊥BM DF⊥BN DG⊥AC

∵BD平分∠BAC DE⊥BM DF⊥BN

∴ DE = DF

又∵AD平分∠MAC DE⊥AM DG⊥AC

∴ DG = DE = DF

又∵DG⊥AC DF⊥CN点D在∠CAN内部

∴CD平分∠CAN

例3已知,如图: 四边形ABCD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上

求证: BC = AB + CD

分析: 要求证: BC = AB + CD,简单的证明三角形全等无法达到题目的要求,而应用角平分线的性质也不能解决问题,因为这类题型对于大多数同学来说,就比较复杂了,要求比较高,多数人找不到从何“下手”,因为现有的认知,不能满足问题的需要,问题比较陌生; 这就需要我们把问题进行转化,把它化成我们熟悉的已知的类型,可以作以下转化:

1、把BC边截短,在BC上找一点G使BE = BA那么问题就能化成只需要证明GC = CD,问题就解决了.

证明: 方法一: 如图,在BC上取一点F,使BF = BA,连接EF.

∵EC,EB分别平分∠BCD和∠ABC

∴∠1 = ∠2∠3 = ∠4

在△ABE和△FBE中

∴∠A = ∠5,∵AB∥CD,∴∠A + ∠D = 180°

而∠5 + ∠6 = 180°,∠6 = ∠D

在△FEC和△DEC中

∴ FC = CD,∴ BC = BF + CF = AB + CD

2、把短边AB或CD补长,如图延长BA到F,使AF = CD问题就转化成求证: BC = BF.

方法二: 如图,延长BA、CE交于点F

∵EC,EB分别平分∠BCD和∠ABC

∴∠1 = ∠2∠3 = ∠4

∠2 = 1 /2∠ABC,∠3 = 1 /2∠BCD

又∵AB∥CD,∴∠ABC + ∠BCD = 1800

∴∠2 + ∠3 = 1 /2( ∠ABC + ∠BCD) = 900∠BEC = 900

在△BEC与△BEF中

∠BEC = ∠BEF = 90°

∴△BEC≌△BEF( ASA) ,

∴ BC = BF,EC = EF

∵AB∥CD,∴∠EAF = ∠D,∠F = ∠4

在△EAF和△EDC中

∴ CD = AF,∴ BC = BF = BA + AF = AB + CD.

3、巩固练习

1、如图,在△ABC中,BD = DC,ED⊥DF,求证: BE + CF > EF

2、如图,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E,EF⊥AB于点F,EG⊥AC的延长线于G,则BF = CG,为什么?

3、如图,在△ABC中,∠B = 90°,AD为∠BAC的平分线,DF⊥AC于点F,DE = DC,那么BE与CF相等吗? 请说明理由:

4、. 如图,已知AB = AC,BD = DC,DE⊥AB且交AB的延长线于点E,DF⊥AC且交AC的延长线于点F,求证: DE = DF

数学八年级( 上) ( 人教版) 巩固练习参考答案( 二)

一、全等三角形证明

1、证明: 如图,连接 AC,AD

∴在△ACF和∠ADF中,

∴△ACF≌△ADF( SSS) ,∴∠AFD = ∠AFC

又∵∠AFD + ∠AFC = 1800,∴∠AFD = ∠AFC = 900,∠AF⊥CD,

2、解: AB与EC的位置是AB∥EC

理由如下: ∵BC = DF,∴BD = CF

∴△ABD≌△ECF( SSS) ,∴∠B = ∠ECF,,∴AB∥EC

3、∵ BE = CF,∴ BE + EF = CF + EF,即 BF = CE

∵AE⊥BC,DF⊥BC,∴∠AEC = ∠DFB = 900

在 Rt△AEC 和 Rt△DFB 中

∴∠ACE = ∠DBF,∴AC∥DB

4、( 1) 证明: ∠ABC = 900,∴∠CBF = ∠ABE = 900,

在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中,∵ AF = CF,AB = BC,

∴ Rt△ABE≌Rt△CBF( HL) .

( 2) 解: ∵AB = BC,∠ABC = 900,∴∠CAB = ∠ACB = 450

∴∠BAE = ∠CAB - ∠CAE = 450 - 300 = 150,

由( 1) 知Rt△ABE≌Rt△CBF,∴∠BCF = ∠BAE = 150

∴∠ACF = ∠BCF + ∠ACB = 150 + 450 = 600

5、证明: ∵∠BAD = ∠CAE,∴∠BAD + ∠DAE = ∠CAE + ∠DAE

∴∠BAE = ∠CAD,在△ABE和△ACD中,

∴△ABE≌△ACD( SAS)

6、

∴△ABC≌△ADC( SSS) ,∴∠BCO = ∠DCO

∴△BCO≌△DCO( SAS) ,∴OB = OD

1证明: 延长FD到C,使DG = DF,连接BC,EG

∴△BDG≌△CDF( SAS)

∴ BG = CF

∵ ED⊥DF,

∴∠EDG = ∠EDF = 90°

∴△EDG≌∠EDF( SAS) ,∴EG = EF

在△EBG中,BE + BG > EG,∴BE + CF > EF

2、解: 连接BE和CE

∵ EF⊥AB,EG⊥AC,

∴∠BFE = ∠G = 90°

∴△BED≌△CED( SAS) ,∴BE = CE

∵AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC,∴EF = EG,

∴ Rt△EBF≌Rt△ECG( HL) ,∴ BF = CG,

3、解: BE = CF,理由:

∵AD为∠BAC的平分线,

∵DF⊥AC,∴∠AFD = ∠B = 90°.

∴ BD = DF,

∴ Rt△EBD≌Rt△CFD( HL) ,∴ BE = CF

∴△ACD≌△ABD ( SSS )

∴∠CAD = ∠BAD

又∵DE⊥AB,DF⊥AC,

八年级（上）期末复习检测试题篇3

1.一个矩形的面积为宽为，则矩形的长为________.

2.某校九年级（1）班有50名同学，综合数值评价“运动与健康”方面的等级统计如图1所示，则该班“运动与健康”评价等级为的人数是________________.

3.八年级（1）班进行一次数学测验，成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级.测验结果反映在扇形统计图上，如图2所示，则成绩良好的学生人数占全班人数的百分比是________________________%.

4.在平面镜里看到背后墙上的电子钟数如图3所示，这时的实际时间应该是________________.

5.如图4是由边长为和的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算如图4中阴影部分的面积，可以验证的一个公式是________________.

6.有一个多项式为，按照此规律写下去，这个多项式的第八项是________________.

7.一个等腰三角形的两边分别为8cm和6cm，则它的周长为________________cm.

8.若正比例函数和的图象关于轴对称，则的值为________________.

9.如图5，机器人从点沿着正西南方向行了个单位，到达点后观察到原点在它的南偏东60o的方向上，则原来的坐标为________________（结果保留根号）.

10.点（2，4）在正比例函数的图象上，这个正比例函数的解析式是____________.

11.如图6，AB=AC，要使△ABE≌△，应添加的条件是____________（添加一个条件即可）.

12.已知，，则____________.

二、选择题（每题2分，共24分）

13.下列计算正确的是（）.

A. B. C.D.

14.现规定一种运算：※=，其中、为实数，则※＋（）※等于（）.

A.B. C. D.

15.如图7，希望中学制作了学生选择棋类、武术、摄影、刺绣四门课程情况的扇形统计图.从图中可以看出选择刺绣的学生的比例为（）.

A.11%B.12%C.13% D.14%

16.已知一次函数，若随着的增大而减小，则该函数的图象经过（）.

A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限

17.如图8，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则PC与PD的大小关系（）.

A.PC＞PD B.PC=PD C.PC＜PD D.不能确定

18.如图9，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=44o，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）.

A.44oB.68o C.46o D.22o

19.如图10所示的图案中，是轴对称图形的个数为（）.

A.0个B.1个C.2个D.3个

20.如图11是某地区用水量与人口数情况统计图.日平均用水量为400万吨的那一年，人口数大约是（）.

A.180万B.200万 C.300万 D.400万

21.如图12是某校初一学生到校方式的统计图，根据图形可得出步行人数占总人数的（）.

A.60% B.50%C.30%D.20%

22.一次函数，若，则它的图象必经过点（）.

A.（1，1）B.（1，1） C.（ 1，1） D.（1，1）

23.将直线向上平移两个单位，所得的直线是（）.

A.B. C.D.

24.在直角坐标系中，A（1，2）点的横坐标乘以1，纵坐标不变，得到A'点，则A与A'的关系是（）.

A.关于轴对称B.关于轴对称

C.关于原点对称D.将点向轴负方向平移一个单位

三、解答题（共52分）

25.（1）计算：；

（2）计算：；

（3）分解因式：.

26.如图13，一轴对称图形已画出了它的一半，请你以点画的竖线为对称轴画出它的另一半.

27.如图14，已知D、E是等腰△ABC底边BC上两点，且BD = CE.求证：∠ADE=∠AED.

28.试确定、的值，使下列关于与的多项式是一个五次三项式：

29.先化简，再求值.

，其中.

30.如图15，已知点在∠AOB内，点M、N分别是点关于直线AO、BO的对称点，M、N的连线与OA、OB交于点E、F，若△PEF的周长是20cm，求线段MN的长.

31.如图16是某班学生外出乘车、步行、骑车的人数分布直方图和扇形图.

（1）求该班有多少学生？

（2）补上分布直方图的空缺部分；

（3）在扇形统计图中，求表示骑车人数的扇形所占的圆心角度数；

（4）若全年级有500人，估算该年级步行人数.

32.某天上午6点钟，汪老师从学校出发，乘车到市里开会，8点准时到会场，中午12点钟回到学校，他这一段时间内的行程（km）与时间（h）的关系可用如图17中的折线表示，根据图17提供的有关信息，解答下列问题：

（1）开会地点离学校多远？

（2）求出汪老师所经返校路程（km）与所花时间（h）的函数关系式；

（3）请你用一段简短的话，对汪老师从上午6点到中午12点的活动情况进行描述.

四、创新拓展（共20分）

33.某批发商欲将一批海产品由地运往地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办了海产品运输业务.已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时和100千米/时.两货运公司的收费项目和收费标准如下表所示：

注：“元/吨·千米”表示每吨货物每千米的运费；“元/吨·小时”表示每吨货物每小时的冷藏费.

（1）设该批发商待运的海产品有（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为（元）和（元），试求出和分别与的函数关系式；

（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应该选择哪个货运公司承担运输业务？

34.如图18—，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.

（1）线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；

（2）将图中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图，（1）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由；

（3）若将图中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形（草图即可），（1）中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由；

（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现.

参考答案：

一、1.；2.19人；3.45；4.21：05；5.；6.；7.20或22； 8.2； 9.( 0，4+ )；10.；11.答案不唯一，如：∠B=∠C，或AE=AD，或∠AEB=∠ADC等等； 12.. 二、13.D；14.B；15.C； 16.B； 17.B； 18.D； 19.C；20.A；21.B；22.D；23.A；24.B.三、25 （1）原式=；（2）原式=；（3）原式=. 26.略27.因为AB=AC, 所以，∠B=∠C，又BD=CE，所以，△ABD≌△ACE，所以，∠ADB=∠AEC，即 ∠ADE=∠AED. 28.=3，=5；29. =24；30.MN=20cm.提示：先证线段ME=EP，FP=FN；31.（1）由统计图可知，乘车的有20人，且占50%，所以全班共有40人；（2）直方图略；（3）圆心角度数=€?60€?108€埃唬?）估计该年级步行人数=500€?0%=100人. 32.（1）开会地点离学校有60千米；（2）设汪老师在返校途中与的函数关系式为(≠0).由图可知；图象经过点（11，60）和点（12，0），所以解之，得所以=60+720（11≤≤12）；（3）汪老师由上午6点钟从学校出发，乘车到市里开会，到了40公里处时，遇到了堵车，后约30分钟才通车，在8点钟准时到达会场开了3小时的会，会议一结束就返校，结果在12点钟到校.四、33（1）=2€?20+5€?120€?0)+200=250+200，=1.8€?20+5€?120€?00)+1600=222+1600；(2)若=,则=50,所以当海产品不少于30吨但不足50吨时，选择汽车货运公司合算；当海产品恰好是50吨时，选择两家公司没有区别；当海产品超过50吨时选择铁路货运公司费用节省一些； 34（1）AF=BE.证明：在△AFC和△BEC中，因为△ABC 和△CEF是等边三角形，所以AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60€?所以△AFC≌△BEC，故AF=BE，（2）成立.理由：在△AFC和△BEC中，因为△ABC和 △CEF是等边三角形，所以AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60€?所以∠ACB∠FCB=∠FCE∠FCB.即∠ACF=∠BCE，所以△AFC≌△BEC.所以AF=BE.（3）此处图形不惟一，如图，（1）中的结论仍成立，（4）根据以上证明、说明、画图，归纳如下：如图，大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C，则以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE.

八年级数学期末复习计划篇4

为了迎接2014期末统一检测，为取得较好的成绩，结合我班学生的情况，现对我班数学作如下学习计划：

一、复习章节：

1、第16章：二次根式；

2、第17章：勾股定理；第18章：平行四边行；第十九章：一次函数；第20章：数据的分析。

二、复习方向

1、在复习中，重视“双基”，回顾各章节的知识体系，掌握解决数学问题的方法和能力，进一步体会数学与生活的密切联系。

2、在复习中，进一步探索知识间的关系，提高计算能力、数形结合的分析能力、规范明确的表达能力。

3、通过专题强化训练，让学生体验成功的快乐，激发其学习数学的兴趣。

4、通过模拟训练，培养学生考试的技能技巧。

三、复习方式：

1、先分单元复习，再综合复习。

2、单元复习方法：学生先做单元导学稿，后反馈演习情况，再进行重点讲解，查漏补缺不留死角。

3、综合复习：通过做综合复习试卷，找出薄弱地方，在重点强化训练。

四、措施及注意事项

1、通过习题复习教材中的定义、概念、规则，重视对书本基本知识的整理与再加工，规范解题书写和作图能力的培养。

2、认真分析前一年的统考试卷，复习题目有层次，注意把握命题思想，掌握重难点，难度适中，照顾不同层次学生的学习。

3、对于复习阶段作业的布置，少而精，有针对性，发现错误及时订正。

五、时间安排第一阶段：

单元复习6月11日~6月18日第二阶段：综合测试 6月23日或6月26日

八年级上数学复习计划篇5

11章复习

一、学习目标

1、掌握三角形全等的判定方法，利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式．

2、能用尺规进行一些基本作图．能用三角形全等和角平分线的性质进行证明。

3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。

二、重点难点

教学重点：用三角形全等和角平分线的性质进行证明有关问题教学难点: 灵活应用所学知识解决问题，精炼准确表达推理过程

三、合作

1、、本章知识结构梳理

定义（1）定义：三角形

全等三角形（2）性质：（一般三角形3）判定方法直角三角形（1)性质：角的平分线（2)判定：

2、、方法指引

证明两个三角形全等的基本思路：

找第三边（__________)(1)已知两边找夹角(____________)看是否是直角三角形(__________)找这边的另一邻角(_____)已知一边与邻角找这个(2)已知一边一角角的另一边(_____)找这边的对角(_____)找一角(_____)已知一边与对角已知是直角，找一边(_____)找夹边（______________)(3)已知两角 找夹边外任意一边(______________)三角形全等是证明线段相等、角相等最基本、最常用的方法。

四、精讲精练

鼎大教育

1、精讲

例题

1、如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC

例题

2、已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD

当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等例题

3、已知∠B=∠E=90°，CE=CB，AB∥CD.求证：△ADC是等腰三角形

例题

4、已知：如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC，求证：EB=FC

BAEFCME

A B

C D

鼎大教育

证明线段的和、差、倍、分问题时，常采用“割长”、“补短”等方法

例题

5、如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证AB=AC+BD

A B 提示：要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：（1）、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）（2）、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补））

你能用尺规进行下面几种作图吗？

1、已知三边作三角形

2、作一个角等于已知角

3、已知两边和它们的夹角作三角形

4、已知两角和它们的夹边作三角形

5、已知斜边和一直角边作直角三角形

6、作角的平分线

2、精练

1、如图：在△ABC中，∠C =90°，AD平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE=。

2、如图，已知E在AB上，∠1=∠2，∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？

ACDEB3

E 4 D 2

鼎大教育

3、如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF 已知：EG∥AF，________，__________ A 求证：_________

4、如图，在R△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.五、课堂小结12999.com

学习全等三角形应注意以下几个问题（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义；（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；

（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；

（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角”、“公共边”、“对顶角”

六、作业

必做：课本26页复习题11第2、5、6、8、9题；选做：27页10-12题。

E B

八年级上数学复习计划篇6

一、集合及常用逻辑部分

一、选择题

(A) {3, 4} (B) {3, 4, 5}

2.已知全集U=R, 集合A={x|2x>1}, B={x|x2-3x-4>0}, 则A∩B= () .

(A) {x|x>0}

(B) {x|x<-1或x>0}

(D) {x|-1≤x≤4}

(A) [2, 3]

(B) (-∞, -1]∪[3, +∞)

(D) (-∞, -1]∪ (3, +∞)

(A) 0 (B) 1

5.已知集合A={x∈R||x|≥2}, B={x∈R|x2-x-2<0}, 且R为实数集, 则下列结论正确的是 () .

6.已知集合A={x||x|>1}, B={x|x<m}, 且A∪B=R, 则m的值可能是 () .

(A) -1 (B) 0

(A) 50 (B) 54

11.命题“若x>1, 则x>0”的否命题是 () .

(A) 若x>1, 则x≤0

(B) 若x≤1, 则x>0

(D) 若x<1, 则x<0

12.下列说法正确的是 () .

(A) 命题“若x2=1, 则x=1”的否命题为“若x2=1, 则x≠1”

(B) “x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件

(D) 命题“若x=y, 则sinx=siny”的逆否命题为真命题

13.设x∈R, 则“x2-3x>0”是“x>4”的 () .

(A) 充分而不必要条件

(B) 必要而不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

14.若a, b是两个非零向量, 则“|a+b|=|a-b|”是“a⊥b”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

(A) p∧q (B) p∨￢q

16.下列命题为真命题的是 () .

(A) 若p∨q为真命题, 则p∧q为真命题

(B) “x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件

(D) 已知命题p:∃x∈R, 使得x2+x-1<0, 则￢p:∀x∈R, 使得x2+x-1>0

17.给出命题p:直线l1:ax+3y+1=0与直线l2:2x+ (a+1) y+1=0互相平行的充要条件是a=-3;命题q:若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等, 则α∥β.对以上两个命题, 下列结论中正确的是 () .

(A) 命题“p且q”为真

(B) 命题“p或q”为假

(D) 命题“p且￢q”为真

(A) p是假命题

(B) ￢q是真命题

(D) p∨q是真命题

(A) p∨q是假命题

(B) ￢p∧q是假命题

(D) ￢p∨q是真命题

20.下列说法中, 正确的是 () .

(A) 命题“若am2<bm2, 则a<b”的逆命题是真命题

(B) 命题“p或q”为真命题, 则命题“p”和命题“q”均为真命题

(D) 命题“∃x∈R, x2-x>0”的否定是:“∀x∈R, x2-x≤0”

21.已知命题p:关于x的方程x2-ax+4=0有实根;命题q:关于x的函数y=2x2+ax+4在[3, +∞) 上是增函数.若p或q是真命题, p且q是假命题, 则实数a的取值范围是 () .

(A) (-12, -4]∪[4, +∞)

(B) [-12, -4]∪[4, +∞)

(D) [-12, +∞)

24.对于非空实数集A, 记A*={y|∀x∈A, y≥x}.设非空实数集合M, P满足:M⊆P, 若x>1, 则xP.现给出以下命题:

(1) 对于任意给定符合题设条件的集合M, P, 必有P*⊆M*;

(4) 对于任意给定符合题设条件的集合M, P, 必存在常数a, 使得对任意的b∈M*, 恒有a+b∈P*, 其中正确的命题是 () .

(A) (1) (3) (B) (3) (4)

二、填空题

27.已知集合A={x|1≤x≤2}, B={x||x-a|≤1}, 若A∩B=A, 则实数a的取值范围是______.

29.设集合Sn={1, 2, 3, …, n}, 若XSn, 把X的所有元素的乘积称为X的容量 (若X中只有一个元素, 则该元素的数值即为它的容量, 规定空集的容量为0) .若X的容量为奇 (偶) 数, 则称X为Sn的奇 (偶) 子集.则S4的所有奇子集的容量之和为.

30.“若“x2-2x-8>0”是“x<m”的必要不充分条件”, 则m的最大值为______.

31.下列四个命题:

(1) “∃x∈R, x2-x+1≤0”的否定;

(2) “若x2+x-6≥0, 则x>2”的否命题;

(4) “函数f (x) =tan (x+φ) 为奇函数”的充要条件是“φ=kx (k∈Z) ”.其中所有真命题的序号是______.

32.下列命题正确的序号为______.

(1) 函数y=ln (3-x) 的定义域为 (-∞, 2];

(2) 定义在[a, b]上的偶函数f (x) =x2+ (a+5) x+b的最小值为5;

(3) 若命题p:对∀x∈R, 都有x2-x+2≥0, 则命题￢p:∃x∈R, 有x2-x+2<0;

33.下列说法中:

(1) “∃x∈R, 2x>3”的否定是“∀x∈R, 2x≤3”;

(3) 命题“函数f (x) 在x=x0处有极值, 则f′ (x0) =0”的否命题是真命题;

(4) f (x) 是 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) 上的奇函数, x>0时的解析式是f (x) =2x, 则x<0时的解析式为f (x) =-2-x.

其中说法正确的是______.

34.下面有三个命题:

(1) 关于x的方程mx2+mx+1=0 (m∈R) 的解集恰有一个元素的充要条件是m=0或m=4;

(2) ∃x∈R, 使函数f (x) =mx2+x是奇函数;

(3) 命题“x, y是实数, 若x+y≠2, 则x≠1或y≠1”是真命题.

其中, 真命题的序号是.

35.设Xn={1, 2, 3, …, n} (n∈N*) , 对Xn的非空子集A, 定义f (A) 为A中的最大元素, 当A取遍Xn的所有非空子集, 对应的f (A) 的和为Sn, 则Sn=______.

36.已知{x1, x2, x3, x4}⊆{x>0| (x-3) ·sinπx=1}, 则x1+x2+x3+x4的最小值为______.

参考答案

6.D.A={x||x|>1}={x|x<-1或x>1}, B={x|x<m},

∵A∪B=R, ∴m=2.∴选D.

10.B.注意到⊙O1与⊙O3, ⊙O5, ⊙O6均无公共点, 集合{⊙O3, ⊙O5, ⊙O6}共有7个非空子集, 显然它的每个非空子集与集合{⊙O1}均可组成满足题意的“有序集合对”, 同理可得集合{⊙O3}, {⊙O4}, {⊙O6}分别有7个非空子集与其组成满足题意的“有序集合对”, 集合{⊙O2}、{⊙O5}分别有3个非空子集与其组成满足题意的“有序集合对”, 但其中重复的有8对.因此满足题意的“有序集合对” (A, B) 中, 其中的一个集合仅有一个元素的共有 (7×4+3×2-8) ×2=52对.若“有序集合对”的两个集合各有两个元素, 则共有2对, 即 ({⊙O1, ⊙O4}, {⊙O3, ⊙O6}) 和 ({⊙O3, ⊙O6}, {⊙O1}, ⊙O4) .因此, 满足题意的“有序集合对”共有52+2=54对, 选B.

11.C.否命题是原命题的条件和结论分别加以否定, 作为新命题的条件和结论, 只有C符合, ∴选C.

12.D.对于A只否定结论, 没有否定条件, 不正确;x=-1是x2-5x-6=0的充分条件而不是必要条件, B不正确;对于选项C, 该命题的否定是:∀x∈R, x2+x+1≥0, ∴C不正确;∵命题“若x=y, 则sinx=siny”是真命题, 其逆否命题也应是真命题.

∴选项D正确, 选D.

14.C.∵|a+b|=|a-b|a·b=0a⊥b.∴选C.

15.D.∵p为假命题, q为真命题,

∴￢p∧q为真命题.∴选D.

16.B.∵p∨q为真时, 可以是p真q假, 但此时p∧q为假命题, ∴A错;选项C的否命题应为x≥-1, 则x2-2x-3≤0, ∴C错;选项D的￢p应为∀x∈R, 使得x2+x-1≥0, ∴D错, 只有B正确.∴选B.

17.D.∵命题p为真命题, 命题q为假命题, ∴命题p且瓙q为真命题.∴选D.

∴命题q是真命题, 从而排除选项B, C, 只有D正确, ∴选D.

27.[1, 2].∵B={x|a-1≤x≤a+1}, 又A∩B=A, ∴a+1≥2且a-1≤1.

∴1≤a≤2.a∈[1, 2]

30.-2.由x2-2x-8>0, 解得x>4或x<-2.∵x2-2x-8>0是x<m的必要不充分条件, ∴m≤-2.∴m的最大值为-2.

31. (1) (2) .∃x∈R, x2-x+1≤0的否定为∀x∈R, x2-x+1>0是真命题;若“x2+x-6>0, 则x>2”的否命题为“若x2+x-6≤0, 则x≤2, ”是真命题;用反例或特例很容易判断 (3) , (4) 是假命题.

∴真命题的序号为 (1) 、 (2) .

34. (2) (3) . (1) 中当m=0时原方程无解, 故 (1) 是假命题; (2) 中当m=0时, f (x) =x显然是奇函数, 故 (2) 是真命题; (3) 中命题的逆否命题“x, y是实数, 若x=1且y=1, 则x+y=2”为真命题, 故原命题为真命题, (3) 为真命题.

∴Sn=20×1+21×2+22×3+…+2n-1×n.

由错位相减法求和, 得

36.12.由题意知, {x1, x2, x3, x4}⊆{x>0| (x-3) ·sinπx=1},

∴x1+x4=6.同理x2+x3=6.

∴x1+x2+x3+x4的最小值为12.

二、函数、导数及应用 (1)

一、选择题

2.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A (1, 3) , 则2a+b的值为 () .

(A) 2 (B) -1

3.函数f (x) =ax-1 (a>0, a≠1) 的图象恒过点A, 下列函数中图象不经过点A的是 () .

4.设f (x) 为定义在R上的奇函数, 当x>0时, f (x) =log3 (1+x) , 则f (-2) = () .

(A) -1 (B) -3

5.已知函数f (x) 的导函数为f′ (x) , 且满足f (x) =2xf′ (e) +lnx, 则f′ (e) = () .

(A) 1 (B) -1

6.函数f (x) 的定义域为开区间 (a, b) , 其导函数f′ (x) 在 (a, b) 内的图象如图1所示, 则函数f (x) 在开区间 (a, b) 内的极大值点有 () .

(A) 1个 (B) 2个

7.图2中阴影部分的面积S是h的函数 (0≤h≤H) , 则该函数的大致图象是 () .

8.已知曲线f (x) =lnx在点 (x0, f (x0) ) 处的切线经过点 (0, -1) , 则x0的值为 () .

(A) 1 (B) 2

10.函数f (x) =axm (1-x) 2在区间[0, 1]上的图象如图3所示, 则m的值可能是 () .

(A) 1 (B) 2

(A) f (x1) <f (x2)

(B) f (x1) >f (x2)

(D) f (x1) +f (x2) >0

13.已知x1, x2是函数f (x) =e-x-|lnx|的两个零点, 则 () .

14.[x]表示不超过x的最大整数, 例如[2, 9]=2, [-4, 1]=-5.已知f (x) =x-[x] (x∈R) , g (x) =log4 (x-1) , 则函数h (x) =f (x) -g (x) 的零点个数是 () .

(A) 1 (B) 2

(A) 3 (B) 4

(A) (-∞, 0)

(B) (-∞, 0) ∪ (0, 1)

(D) (0, 1) ∪ (1, +∞)

二、填空题

17.曲线y=xex+2x+1在点 (0, 1) 处的切线方程为______.

18.已知f (x) =x3-mx2+3mx+5在 (1, 4) 上有两个极值点, 则实数m的取值范围为______.

20.已知a∈R, 函数f (x) =x3+ax2+ (a-3) x的导函数是偶函数, 则曲线y=f (x) 在原点处的切线方程为______.

21.定义映射f:A→B, 其中A={ (m, n) |m, n∈R}, B=R, 已知对所有的有序正整数对 (m, n) 满足下述条件:

(1) f (m, 1) =1; (2) 若n>m, f (m, n) =0; (3) f (m+1, n) =n[f (m, n) +f (m, n-1) ], 则f (2, 2) =______, f (n, 2) =______.

23.定义在R上的函数f (x) 满足f (x) +f (x+5) =16, 当x∈ (-1, 4]时, f (x) =x2-2x, 则函数f (x) 在[0, 2013]上的零点个数是______.

25.已知函数f (x) 的定义域为[-1, 5], 部分对应值如下表:

f (x) 的导函数y=f′ (x) 的图象如图4所示:

下列关于f (x) 的命题:

(1) 函数f (x) 是周期函数;

(2) 函数f (x) 在[0, 2]上是减函数;

(3) 如果当x∈[-1, t]时, f (x) 的最大值是2, 那么t的最大值为4;

(4) 当1<a<2时, 函数y=f (x) -a有4个零点;

(5) 函数y=f (x) -a的零点个数可能为0, 1, 2, 3, 4.

其中正确命题的序号是______.

26.已知定义在R上的偶函数满足:f (x+4) =f (x) +f (2) , 且当x∈[0, 2]时, y=f (x) 单调递减, 给出以下四个命题:

(1) f (2) =0;

(2) x=-4为函数y=f (x) 的图象的一条对称轴;

(3) 函数y=f (x) 在[8, 10]上单调递增;

(4) 若方程f (x) =m在[-6, -2]上的两根为x1, x2, 则x1+x2=-8.

其中正确命题的序号为______.

三、解答题

(Ⅰ) 当k=4时, 求函数的单调区间;

(Ⅱ) 若曲线y=f (x) 与直线y=k只有一个交点, 求实数k的取值范围.

28.已知函数f (x) =ex (ax2-2x-2) , a∈R且a≠0.

(Ⅰ) 若曲线y=f (x) 在点P (2, f (2) ) 处的切线垂直于y轴, 求实数a的值;

(Ⅱ) 当a>0时, 求函数f (|sinx|) 的最小值.

29.已知函数f (x) =x2+2x+alnx (a∈R) .

(Ⅰ) 当a=-4时, 求f (x) 的最小值;

(Ⅱ) 当t≥1时, 不等式f (2t) ≥2f (t) +2t+aln2恒成立, 求实数a的取值范围.

30.已知函数f (x) =lnx+mx2 (m∈R) .

(Ⅰ) 求函数f (x) 的单调区间;

(Ⅱ) 若A、B是函数f (x) 图象上不同的两点, 且直线AB的斜率恒大于1, 求实数m的取值范围.

31.已知函数f (x) = (ax2+x-1) ex, 其中e是自然对数的底数, a∈R.

(Ⅰ) 若a=1, 求曲线f (x) 在点 (1, f (1) ) 处的切线方程;

(Ⅱ) 若a<0, 求f (x) 的单调区间;

(Ⅰ) 求f (x) 的解析式;

(Ⅱ) 若g (x) =x2·[f (x) -a], 且g (x) 在区间[1, 2]上为增函数, 求实数a的取值范围.

33.已知函数f (x) =lnx与g (x) =kx+b (k, b∈R) 的图象交于P, Q两点, 曲线y=f (x) 在P, Q两点处的切线交于点A.

(Ⅰ) 当k=e, b=-3时, 求函数f (x) -g (x) 的最大值; (e为自然对数的底数)

34.已知函数f (x) =ex+ax-1 (e为自然对数的底数) .

(Ⅰ) 当a=1时, 求过点 (1, f (1) ) 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;

(Ⅱ) 若f (x) ≥x2在 (0, 1) 上恒成立, 求实数a的取值范围.

(Ⅰ) 求函数f (x) 的解析式及k的值;

(Ⅱ) 若f (x) ≤g (x) -m+1对任意x∈[0, +∞) 恒成立, 求m的取值范围.

36.已知函数f (x) =ax+x2-xlna-b (a, b∈R, a>1) , e是自然对数的底数.

(Ⅰ) 试判断函数f (x) 在区间 (0, +∞) 上的单调性;

(Ⅱ) 当a=e, b=4时, 求整数k的值, 使得函数f (x) 在区间 (k, k+1) 上存在零点;

(Ⅲ) 若存在x1, x2∈[-1, 1], 使得|f (x1) -f (x2) |≥e-1, 试求a的取值范围.

参考答案

2.C.∵y=x3+ax+b, ∴y′=3x2+a,

∴切线的斜率k=f′ (1) =3+a, 又点 (1, 3) 在直线y=kx+1和y=x3+ax+b上,

∴2a+b=1, ∴选C.

4.A.∵f (x) 为R上的奇函数, ∴f (-2) =-f (2) =-f (1+2) =-log33=-1.

∴选A.

6.B.依题意, 记函数y=f′ (x) 的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1, x2, x3, x4, 当a<x<x1时, f′ (x) >0;当x1<x<x2时, f′ (x) <0;当x2<x<x4时, f′ (x) ≥0;当x4<x<b时, f′ (x) <0.因此, 函数f (x) 分别在x=x1, x=x4处取得极大值, ∴选B.

7.B.观察图象可知, 随着h的增大, 阴影部分的面积S逐渐减小, 且减小得越来越慢, 结合选项可知选B.

∴-1-f (x0) =-1, 即f (x0) =0.

∵lnx0=0, ∴x0=1.∴选B.

14.B.作出函数f (x) 与g (x) 的图象如图所示, 发现有2个不同的交点, 故选B.

15.C.由条件可知函数f (x) 为周期为4的偶函数.g (x) 的零点即为方程4f (x) -x=04f (x) =x的根, 亦即函数y=4f (x) 的图象与直线y=x的交点的横坐标.作出y=4f (x) 与y=x的图象, 观察可知, 两图象共有5个交点, 故g (x) 的零点个数为5.∴选C.

17.3x-y+1=0.∵y=xex+2x+1,

∴y′=ex+x+2, ∴k=y′|x=0=3.

∴切线方程为y-1=3x, 即3x-y+1=0.

20.3x+y=0.f′ (x) =3x2+2ax+a-3是偶函数, ∴a=0, ∴f′ (x) =3x2+a-3=3x2-3.f (x) 在原点处的切线斜率k=-3.

∴切线方程为y=-3x, 即3x+y=0.

21.2;2n-2.在f (m+1, n) =n[f (m, n) +f (m, n-1) ]中, 令m=1, n=2, 得f (2, 2) =2[f (1, 2) +f (1, 1) ]=2 (0+1) =2.令m=n-1, n=2, 得f (n, 2) =2[f (n-1, 2) +f (n-1, 1) ].若n=1, 则f (n, 2) =0;若n=2, 则f (n, 2) =2;若n>2, 则f (n, 2) =2[f (n-1, 2) +f (n-1, 1) ]=2[f (n-1, 2) +1], 即f (n, 2) +2=2[f (n-1, 2) +2], 故得f (n, 2) +2=2·2n-1, 故f (n, 2) =2n-2, 此式对n=1, 2也成立.

22.-4.f′ (x) =x2-3x+a, ∵f (x) 在[-1, 4]上单调递减, ∴-1, 4是方程x2-3x+a=0两个根, ∴a=-1×4=-4.

23.604.由f (x) +f (x+5) =16可知, f (x-5) +f (x) =16, 则f (x+5) -f (x-5) =0, 所以f (x) 是以10为周期的周期函数.在一个周期 (-1, 9]上, 函数f (x) =x2-2x在x∈ (-1, 4]区间内有3个零点, 在 (4, 9]区间内无零点, 故f (x) 在一个周期上仅有3个零点, 由于区间 (3, 2013]中包含201个周期, 又x∈[0, 3]时也存在一个零点x=2, 故f (x) 在[0, 2013]上的零点个数为3×201+1=604.

25. (2) (5) . (1) 函数f (x) 不一定是周期函数, 所以 (1) 是错误的;当x∈[0, 2]时, f′ (x) ≤0, 函数f (x) 在[0, 2]上是减函数, ∴ (2) 是正确的;如果当x∈[-1, t]时, f (x) 的最大值为2, 那么t的最大值为5, 所以 (3) 是错误的;当1<a<2时, 函数y:f (x) -a不一定有4个零点, ∴ (4) 是错误的;由图象的分析可知函数y=f (x) -a的零点个数可能为0, 1, 2, 3等4个, 所以 (5) 是正确的, ∴正确命题的序号为 (2) (5) .

27.解: (Ⅰ) ∵f′ (x) =x2-k,

∴当k=4时, f′ (x) =x2-4.

令f′ (x) =x2-4=0.

解之, 得x1=2或x2=-2.

f′ (x) , f (x) 随x的变化情况如下表:

所以f (x) 的单调递增区间 (-∞, -2) , (2, +∞) ;单调递减区间是 (-2, 2) .

(Ⅱ) 令g (x) =f (x) -k, 所以g (x) 只有一个零点.

因为g′ (x) =f′ (x) =x2-k.

当k=0时, g (x) =x3,

所以g (x) 只有一个零点0.

当k<0时, g′ (x) =x2-k>0对x∈R恒成立,

所以g (x) 单调递增,

所以g (x) 只有一个零点.

所以g′ (x) , g (x) 随x的变化情况如下表:

(Ⅱ) 设|sinx|=t (0≤t≤1) , 则只需求当a>0时, 函数y=f (t) (0≤t≤1) 的最小值.

29.解: (Ⅰ) 由已知得

f (x) =x2+2x-4lnx (x>0) , 则

当x>1时, f′ (x) >0,

当0<x<1时, f′ (x) <0,

∴f (x) 在 (0, 1) 上单调递减, 在 (1, +∞) 上单调递增.

∴f (x) min=f (1) =3.

(Ⅱ) 由题意得 (2t) 2+2 (2t) +aln2t≥2t2+4t+2alnt+2t+aln2恒成立, 即

当4t2-2t-a≥0时, g′ (t) ≥0, 即4t2-2t≥a恒成立, g (t) 单调递增, 则g (t) ≥g (1) =0,

∵t≥1, 故4t2-2t≥2恒成立, 可得a≤2.

当a>2时, 存在t0>1, 函数g (t) 在[1, t0]上有g′ (t) <0, 则有t≥1, g (t) <g (1) =0与题意矛盾.综上, a≤2.

当m≥0时, f (x) 在 (0, +∞) 上单调递增.

(Ⅱ) 依题意, 设A (a, f (a) ) , B (b, f (b) ) , 不妨设a>b>0,

即f (a) -f (b) >a-b恒成立,

即f (a) -a>f (b) -b恒成立.

令g (x) =f (x) -x=lnx+mx2-x,

则g (x) 在 (0, +∞) 上为增函数,

所以2mx2-x+1≥0对x∈ (0, +∞) 恒成立,

31.解: (Ⅰ) a=1时, f (x) = (x2+x-1) ex,

所以f′ (x) = (2x+1) ex+ (x2+x-1) ex= (x2+3x) ex.

所以曲线f (x) 在点 (1, f (1) ) 处的切线斜率为k=f′ (1) =4e.

又因为f (1) =e,

所以所求切线方程为y-e=4e (x-1) , 即4ex-y-3e=0.

∴f (x) 的单调递减区间为 (-∞, +∞) .

(Ⅲ) 由 (Ⅱ) 知, f (x) = (-x2+x-1) ex在 (-∞, -1]上单调递减, 在[-1, 0]上单调递增, 在[0, +∞) 上单调递减.

当x<-1或x>0时, g′ (x) >0;

当-1<x<0时, g′ (x) <0.

所以g (x) 在 (-∞, -1]上单调递增, 在[-1, 0]上单调递减, 在[0, +∞]上单调递增.

因为函数f (x) 与函数g (x) 的图象有3个不同的交点,

32.解: (Ⅰ) 设f (x) 图象上任一点的坐标为P (x, y) , 点P关于点A (0, 1) 的对称点P′ (-x, 2-y) 在h (x) 的图象上,

又g (x) 在区间[1, 2]上为增函数,

∴g′ (x) =3x2-2ax+1≥0在[1, 2]上恒成立,

故r (x) min=r (1) =4.

于是2a≤4, 即a≤2.

33.解: (Ⅰ) 设h (x) =f (x) -g (x) =lnx-ex+3 (x>0) ,

故方程v (x) =0至多有两个实根.

又v (1) =v (e) =0, 所以方程v (x) =0的两个实根为1和e.

故P (1, 0) , Q (e, 0) ,

34.解: (Ⅰ) ∵当a=1时, f (x) =ex+x-1, f (1) =e, f′ (x) =ex+1, f′ (1) =e+1,

∴函数f (x) 在点 (1, f (1) ) 处的切线方程为y-e= (e+1) (x-1) , 即y= (e+1) x-1.

设切线与x, y轴的交点分别为A, B.

(Ⅱ) 由f (x) ≥x2 (x∈ (0, 1) ) , 得

令k (x) =x+1-ex,

则k′ (x) =1-ex.

∵x∈ (0, 1) ,

∴k′ (x) =1-ex<0, k (x) 在x∈ (0, 1) 上为减函数,

∴k (x) <k (0) =0.

又x-1<0, x2>0,

∴h (x) 在x∈ (0, 1) 上为增函数,

h (x) <h (1) =2-e.

因此只需a≥2-e即可满足题意.

35.解: (Ⅰ) 由f (x) =ax3+bx2+cx知, h (x) =f′ (x) =3ax2+2bx+c.

由f (x) 的图象在点 (-2, f (-2) ) 处的切线方程为3x-y+4=0可知,

由题意, g (x) =kxex与y=x相切可知, 函数在原点处的切线斜率为1.

因为g′ (x) =k (ex+xex) ,

所以g′ (0) =k=1.

(Ⅱ) 若f (x) ≤g (x) -m+1对任意x∈[0, +∞) 恒成立,

再令φ (x) =ex-x-1,

φ′ (x) =ex-1=0, 解得x=0.

则当x∈[0, +∞]时, φ′ (x) ≥0, φ (x) 在[0, +∞) 上单调递增, φ (x) ≥φ (0) =0, 即p′ (x) ≥0, 所以p (x) 在[0, +∞) 上单调递增, p (x) ≥p (0) =0, 所以当x∈[0, +∞) 时, k (x) ≥0恒成立, 且k (0) =0.

因此, m-1≤0, 所以m≤1.

36.解: (Ⅰ) f′ (x) =axlna+2x-lna=2x+ (ax-1) lna.

由于a>1, 故当x∈ (0, +∞) 时, lna>0, ax-1>0, ∴f′ (x) >0.

故函数f (x) 在 (0, +∞) 上单调递增.

(Ⅱ) f (x) =ex+x2-x-4,

∴f′ (x) =ex+2x-1,

∴f′ (0) =0.

当x>0时, ex>1,

∴f′ (x) >0, 故f (x) 是 (0, +∞) 上的增函数.

同理, f (x) 是 (-∞, 0) 上的减函数.

又f (0) =-3<0, f (1) =e-4<0, f (2) =e2-2>0, 当x>2时, f (x) >0.

故当x>0时, 函数f (x) 的零点在 (1, 2) 内,

∴k=1满足条件;

故当x<0时, 函数f (x) 的零点在 (-2, -1) 内,

∴k=-2满足条件.

综上所述, k=1或k=-2.

(Ⅲ) 若存在x1, x2∈[-1, 1], 使得|f (x1) -f (x2) |≥e-1, 则当x∈[-1, 1]时, |f (x) max-f (x) min|=f (x) max-f (x) min≥e-1.

f′ (x) =axlna+2x-lna=2x+ (ax-1) lna,

(1) 当x>0时, 由a>1可知, ax-1>0, lna>0, ∴f′ (x) >0;

(2) 当x<0时, 由a>1, 可知ax-1<0, lna>0, ∴f′ (x) <0;

(3) 当x=0时, f′ (x) =0.

∴f (x) 在[-1, 0]上单调递减, 在[0, 1]上单调递增,

∴当x∈[-1, 1]时, f (x) min=f (0) =1-b, f (x) max=max{f (-1) , f (1) },

∴g (t) =tt1-2lnt在t∈ (0, +∞) 上单调递增, 而g (1) =0,

∴当t>1时, g (t) >0.

∴f (1) >f (-1) ,

∴f (1) -f (0) ≥e-1,

∴a-lna≥e-1, 即a-lna≥e-lne.

设h (a) =a-lna (a>1) , 则

∴函数h (a) =a-lna (a>1) 在 (1, +∞) 上为增函数,

∴a≥e, 即a的取值范围是[e, +∞) .

三、函数、导数及应用 (2)

一、选择题

1.定义在R上的函数f (x) 的图象关于直线x=2对称, 且f (x) 在 (-∞, 2) 上是增函数, 则 () .

(A) f (-1) <f (3) (B) f (0) >f (3)

2.下列函数中, 在[-1, 0]上单调递增的是 () .

3.函数f (x) =log2 (1+x) , g (x) =log2 (1-x) , 则f (x) -g (x) 是 () .

(A) 奇函数 (B) 偶函数

(D) 既是奇函数又是偶函数

(A) [0, 1) (B) (-∞, 1)

(D) (-∞, 0]∪ (1, +∞)

7.函数f (x) =log3x+x-2的零点所在的区间为 () .

(A) (0, 1) (B) (1, 2)

8.下列函数中, 与函数y=-3|x|的奇偶性相同, 且在 (-∞, 0) 上单调性也相同的是 () .

9.若函数f (x) =x3-3x+a有3个不同的零点, 则实数a的取值范围是 () .

(A) (-2, 2) (B) [-2, 2]

10.已知f (x) 是奇函数, 且f (2-x) =f (x) , 当x∈ (2, 3) 时, f (x) =log2 (x-1) , 则当x∈ (1, 2) 时, f (x) = () .

(A) -log2 (4-x) (B) log2 (4-x)

11.已知f (x) 是定义在R上且以2为周期的偶函数, 当0≤x≤1时, f (x) =x2.如果函数g (x) =f (x) - (x+m) 有两个零点, 则实数m的值为 () .

(A) (1) (4) (B) (2) (4)

15.设方程ex+x=a的解为x1, 方程lnx+x=a的解为x2, 则|x1-x2|的最小值为 () .

二、填空题

19.函数f (x) =x2+3xf′ (1) 在点 (2, f (2) ) 处的切线方程为______.

22.若直线y=2x+m是曲线y=xlnx的切线, 则实数m的值为.

(1) 函数h (t) 的最大值是______;

(2) 函数h (t) 的单调递增区间为______.

24.已知f (x) =|2x-1|, f1 (x) =f (x) , f2 (x) =f[f1 (x) ], …, fn (x) =f[fn-1 (x) ], 则函数y=f4 (x) 的零点个数为.

25.若直角坐标平面内两点P, Q满足条件:

(1) P, Q都在函数f (x) 的图象上; (2) P, Q关于原点对称, 则称点对 (P, Q) 是函数f (x) 的一个“友好点对” (点对 (P, Q) 与点对 (Q, P) 看成同一个“友好点对”.

三、解答题

27.已知函数f (x) =lnx+ax2+bx (其中a, b为常数且a≠0) 在x=1处取得极值.

(Ⅰ) 当a=1时, 求f (x) 的单调区间;

(Ⅱ) 若f (x) 在 (0, e]上的最大值为1, 求a的值.

(Ⅰ) 当a=1时, 求曲线y=f (x) 在点 (2, f (2) ) 处的切线方程;

(Ⅱ) 求f (x) 在区间 (0, e]上的最小值.

29.已知函数f (x) =x2+2x+alnx (a∈R) .

(Ⅰ) 若函数f (x) 在区间 (0, 1) 上有极值, 求实数a的取值范围;

(Ⅱ) 当t≥1时, 不等式f (2t-1) ≥2f (t) -3恒成立, 求实数a的取值范围.

30.已知函数f (x) =ax2-ex (a∈R) .

(Ⅰ) 当a=1时, 试判断f (x) 的单调性并给予证明.

(Ⅱ) 若f (x) 有两个极值点x1, x2 (x1<x2) .

(1) 求实数a的取值范围;

(注:e是自然对数的底数)

31.已知f (x) =ax2-x+xlnx的导函数是h (x) , M是h (x) 的图象上的点, N是直线x-2y+1=0的点.

(Ⅰ) 若h (x) 在点 (1, 2a) 处的切线与直线x-y-2=0垂直,

(Ⅱ) 是否存在实数a, 使f (x) 在 (2, +∞) 上单调递减?若存在, 求出a的取值范围;若不存在, 请说明理由.

(Ⅰ) 求a的值及f (x) 的最大值;

(Ⅰ) 若对[1, +∞) 内的一切实数x, 不等式f (x) ≥g (x) 恒成立, 求实数a的取值范围;

(Ⅱ) 当a=1时, 求最大的正整数k, 使得对[e, 3] (e是自然对数的底数) 内的任意k个实数x1, x2, …, xk都有f (x1) +f (x2) +…+f (xk-1) ≤16g (xk) ;

(Ⅰ) 求函数f (x) 的解析式及k的值;

(Ⅱ) 若f (x) ≤g (x) -m+x+1对于任意x∈[0, +∞) 恒成立, 求m的取值范围.

35.已知函数f (x) =ex (ax2-2x-2) , a∈R且a≠0.

(Ⅰ) 若曲线y=f (x) 在点P (2, f (2) ) 处的切线垂直于y轴, 求实数a的值;

(Ⅱ) 当a>0时, 求函数f (|sinx|) 的最小值;

(Ⅲ) 在 (Ⅰ) 的条件下, 若y=kx与y=f (x) 的图象存在三个交点, 求k的取值范围.

36.设函数f (x) =x2+aln (x+1) .

(Ⅰ) 若函数y=f (x) 在区间[1, +∞) 上是单调递增函数, 求实数a的取值范围;

参考答案

1.A.由题意得f (3) =f (1) , 且-1<1<2, ∴函数f (x) 在 (-∞, 2) 上是增函数,

7.B.令f (x) =0得log3x=-x+2, 在直角坐标系中分别作出函数y=log3x和y=-x+2的图象, 容易看出两图象交点的横坐标在区间 (1, 2) 内.∴选B.

8.C.y=-3|x|为偶函数, 排除A, D.∵在 (-∞, 0) 上, y=-3|x|是增函数, 选项B是单调递减函数, ∴排除B, 只有C正确.∴选C.

9.A.设g (x) =x3-3x, 则g′ (x) =3x2-3, 令g′ (x) =0, 得x=±1.∴g (x) 在 (-∞, -1], [1, +∞) 上单调递增, 在[-1, 1]上单调递减, 故g (x) 的极大值为g (-1) =2, 极小值为g (1) =-2.从而可以画出函数g (x) 的大致图象 (如右图所示) .而函数f (x) 的图象是把函数g (x) 的图象向上或向下平移|a|个单位得到, 所以函数g (x) 有3个不同的零点时, -2<a<2.∴选A.

10.C.依题意得, f (x+2) =f (-x) =-f (x) , ∴f (x+4) =-f (x+2) =f (x) .当x∈ (1, 2) 时, x-4∈ (-3, -2) , - (x-4) ∈ (2, 3) , ∴f (x-4) =-f (4-x) =-log2 (4-x-1) =-log2 (3-x) .∴选C.

所以选A.

19.x-y-4=0.∵f′ (x) =2x+3f′ (1) ,

∴f′ (1) =2+3f′ (1) .∴f′ (1) =-1,

∴f′ (x) =2x-3.∴函数f (x) 在x=2处的切线斜率为k=2×2-3=1.又f (2) =22-3×2=-2.∴切线方程为y+2=x-2,

即x-y-4=0.

22.-e.设切点为 (x0, x0lnx0) , 由y=xlnx, 求导数, 得y′=lnx+1.

∴切线斜率k=lnx0+1.切线方程为

y-x0lnx0= (lnx0+1) (x-x0) ,

整理, 得y= (lnx0+1) x-x0.

它与y=2x+m为同一条直线,

∴lnx0+1=2, 且m=-x0.

由lnx0+1=2, 得x0=e, ∴m=-e.

∴f (x) 有2个“友好点对”.

∵0≤x≤ln3, ∴1≤t≤3.

∴当2≤a≤3时,

因为函数f (x) =lnx+ax2+bx在x=1处取得极值,

所以f′ (1) =1+2a+b=0.

f′ (x) , f (x) 随x的变化情况如下表:

令f′ (x) =0, 设其两根为x1, x2,

因为f (x) 在x=1处取得极值,

令f (1) =1, 解得a=-2.

所以f (e) =lne+ae2- (2a+1) e=1.

(1) 若a≤0, 则f′ (x) >0, f (x) 在区间 (0, e]上单调递增, 此时函数f (x) 无最小值.

(2) 若0<a<e, 当x∈ (0, a) 时, f′ (x) <0, 函数f (x) 在区间 (0, a) 上单调递减, 当x∈ (a, e]时, f′ (x) >0, 函数f (x) 在区间 (a, e]上单调递增,

所以当x=a时, 函数f (x) 取得最小值lna.

(3) 若a≥e时, 则当x∈ (0, e], f′ (x) ≤0, 函数f (x) 在区间 (0, e]上单调递减,

综上可知, 当a≤0时, 函数f (x) 在区间 (0, e]上无最小值;

当0<a<e时, 函数f (x) 在区间 (0, e]上的最小值为lna;

∴h (x) 在 (0, 1) 上单调.

若h (0) ·h (1) =a (4+a) <0, 则h (x) 在 (0, 1) 上有零点, 解得-4<a<0, 故所求a的取值范围为-4<a<0.

(Ⅱ) 依题意可得 (2t-1) 2+2 (2t-1) +aln (2t-1) ≥2t2+4t+2alnt-3恒成立, 也可化为g (t) =a[ln (2t-1) -2lnt]+2t2-4t+2≥0恒成立, g (1) =0.

当4t2-2t-a≥0, g′ (t) ≥0, 即4t2-2t≥a在t≥1恒成立时, g (t) 单调递增, 满足题意, 可得a≤2.

故满足题意的实数a的取值范围为a≤2.

30.解: (Ⅰ) 当a=1时, f (x) =x2-ex, f (x) 在R上单调递减, f′ (x) =2x-ex, 只要证明f′ (x) ≤0恒成立即可.

当x=ln2时, g′ (x) =0,

当x∈ (-∞, ln2) 时, g′ (x) >0时, 当x∈ (ln2, +∞) 时, g′ (x) <0,

∴f′ (x) max=g (x) max=g (ln2) =2ln2-2<0, 故f′ (x) <0恒成立.

∴f (x) 在R上单调递减.

(Ⅱ) (1) 若f (x) 有两个极值点x1, x2, 则x1, x2是方程f′ (x) =0的两个根, 故方程2ax-ex=0有两个根x1, x2.

又x=0显然不是该方程的根,

当x<0时, φ (x) <0且φ′ (x) <0, φ (x) 单调递减,

当x>0时, φ (x) >0, 当0<x<1时, φ′ (x) <0, φ (x) 是单调递减, 当x>1时, φ′ (x) >0, φ (x) 单调递增.

故φ (1) <φ (t) <φ (0) ,

31.解: (Ⅰ) 根据已知得f (x) 的定义域为 (0, +∞) .

∵f (x) =ax2-x+xlnx,

∴h (x) =f′ (x) =2ax+lnx.

∴点 (1, 2a) 在h (x) 的图象上.

∵h (x) 在点 (1, 2a) 处的切线与直线x-y-2=0垂直, ∴h′ (1) =2a+1=-1,

∴a=-1.

∴h (x) =-2x+lnx.设M (x, -2x+lnx) , d是M到直线x-2y+1=0的距离, 则

即F (x) 为增函数;

即F (x) 为减函数.

∵M是h (x) 的图象上的点, N是直线x-2y+1=0上的点,

当x>e时, H′ (x) <0, h (x) 是减函数, 当0<x<e时, H′ (x) >0, H (x) 是增函数.

32.解: (Ⅰ) 依题意得函数f (x) 的定义域为 (-1, +∞) .

故f (x) =ln (1+x) -x,

当-1<x<0时, f′ (x) >0;

当x>0时, f′ (x) <0.

所以当x=0时, f (x) 取得极大值, 该极大值即为最大值, ∴f (x) max=f (0) =0.

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) , 得ln (1+x) -x≤0, 即ln (1+x) ≤x, 当且仅当x=0时, 等号成立.

将上述n个不等式依次相加, 得

33.解: (Ⅰ) 设点 (x0, y0) 为直线y=2x-2与曲线y=g (x) 的切点, 则有

由 (1) (2) 两式, 解得b=0, g (x) =2lnx.

∵x≥1, ∴要使不等式f (x) ≥g (x) 恒成立, 必须a≤x2-2xlnx恒成立.

∴当x≥1时, h′′ (x) ≥0, 则h′ (x) 是增函数, ∴h′ (x) ≥h′ (1) =0, h (x) 是增函数,

∴h (x) ≥h (1) =1.

因此, 实数a的取值范围是0<a≤1.

要对[e, 3]内的任意k个实数x1, x2, …, xk都有f (x1) +f (x2) +…+f (xk-1) ≤16g (xk) , 必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,

∵当x1=x2=…=xk-1=3时, 不等式左边取得最大值, xk=e时不等式右边取得最小值.

因此, k的最大值为13.

34.解: (Ⅰ) 由f (x) =ax3+bx2+cx可知, h (x) =f′ (x) =3ax2+2bx+c.

由f (x) 在 (-2, f (-2) ) 处的切线方程为3x-y+8=0可知,

由 (1) (2) (3) 解得a=1, b=2, c=-1.

∴f (x) 的解析式为f (x) =x3+2x2-x.

所以函数y=ln (x+1) 的图象在原点处的切线斜率为1.

因此g′ (0) =k (ex+xex) |x=0=1, ∴k=1.

(Ⅱ) f (x) ≤g (x) -m+x+1等价于x3+2x2-x≤xex-m+x+1,

即m≤x·ex-x3-2x2+2x+1=x (ex-x2-2x+2) +1,

只需m小于或等于x (ex-x2-2x+2) +1在[0, +∞) 上的最小值即可.

设k (x) =ex-x2-2x+2, 则k′ (x) =e2-2x-2, 又k′ (0) =-1<0, k′ (2) =e2-6>0,

所以k′ (x) =ex-2x+2=0必有一实根x0, 且x0∈ (0, 2) , ex0=2x0+2.

当x∈ (0, x0) 时, k′ (x) <0时;当x∈ (x0, +∞) 时, k′ (x) >0, k (x) min=k (x0) =ex0-x02-2x0+2=2x0+2-x02-2x0+2=4-x02>0, 所以k (x) =ex-x2-2x+2>0, x∈[0, +∞) .

所以x (ex-x2-2x+2) +1在[0, +∞) 上的最小值为1, 从而m≤1, 即m的取值范围是 (-∞, 1].

(Ⅱ) 设|sinx|=t (0≤t≤1) , 则只需求当a>0时, 函数y=f (t) (0≤t≤1) 的最小值.

(Ⅲ) 令ex (x2-2x-2) =kx, 显然x≠0,

∵-2x2-2x在[1, +∞) 上的最大值为-4, ∴a≥-4.

∴满足题意的a的取值范围为[-4, +∞) .

列表如下:

四、三角函数部分

一、选择题

2.已知sin10°=k, 则sin70°= () .

(A) 1-k2 (B) 2k2-1

(A) 2, -1 (B) 1, -1

7.函数f (x) =2sin (ωx+φ) (ω>0, 0≤φ≤π) 的部分图象如图1所示, 其中A, B两点之间的距离为5, 则f (x) 的单调递增区间是 () .

(A) [6k-1, 6k+2] (k∈Z)

(B) [6k-4, 6k-1] (k∈Z)

(D) [3k-4, 3k-1] (k∈Z)

(A) f (x-2) 一定是奇函数

(B) f (x+1) 一定是偶函数

(D) f (x-3) 一定是奇函数

14.设函数f (x) =sinx+cosx, 把f (x) 的图象按向量a= (m, 0) (m>0) 平移后的图象恰好为函数y=-f′ (x) 的图象, 则m的最小值为 () .

16.设f1 (x) =cosx, 定义fn+1 (x) 为fn (x) 的导数, 即fn+1 (x) =f′n (x) , n∈N*, 若△ABC的内角A满足f1 (A) +f2 (A) +…+f2013 (A) =0, 则sinA的值是 () .

(A) 1 (B) -1

二、填空题

20.△ABC中, a, b, c分别是角A, B, C的对边, 若a2-c2=2b, 且sinB=6cos AsinC, 则b的值为______.

26.设f (x) =cos (x-sinx) , x∈R, 关于f (x) 有以下结论:

(1) f (x) 是偶函数; (2) f (x) 是周期函数; (3) f (x) 在[0, π]上是增函数; (4) x=π是函数f (x) 的一条对称轴.

其中, 正确结论的序号是______.

三、解答题

(Ⅰ) 求f (x) 的最小正周期及单调递减区间;

(Ⅰ) 函数y=f (x) 的解析式;

(Ⅰ) 求sin2α-tanα的值;

(Ⅱ) 设点A, B分别在角α, β的终边上, 求tan (α-2β) 的值.

(Ⅰ) 求角B;

(Ⅰ) 将y表示为x的函数f (x) , 并求f (x) 的单调递增区间;

34.在△ABC中, 角A, B, C的对边分别为a, b, c, 且满足 (2c-a) cosB-bcos A=0.

(Ⅰ) 若b=2, 求△ABC的面积的最大值;

(Ⅰ) 求f (x) 的最大值, 并写出使f (x) 取最大值时x的集合;

36.如图4所示, 一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶 (图中的箭头方向为汽车行驶方向) , 汽车开动的同时, 在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问:骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望, 此时他驾驶摩托车行驶了多少公里?

参考答案

∴ω=2+6k, k∈Z, 又ω>0,

∴ω=2.∴ω的最小值为2.∴选B.

12.C.∵acosC, bcosB, ccos A成等差数列,

16.A.∵f1 (x) =cosx, ∴f2 (x) =f′1 (x) =-sinx, f3 (x) =f′2 (x) =-cosx, f4 (x) =f′3 (x) =sinx, f5 (x) =f′4 (x) =cosx, …, ∴fn (x) +fn+1 (x) +fn+2 (x) +fn+3 (x) =0, ∴f1 (A) +f2 (A) +…+f2013 (A) =f2013 (A) =f1 (A) =cos A=0, 又A为△ABC的内角,

∴sinA=1.∴选A.

∴联立解得b=3或b=0 (舍去) , ∴b=3.

单调递减区间为

因此, 点A, B的坐标分别是A (1, 2) , B (5, -1) .

33.解: (Ⅰ) 由m⊥n, 得m·n=0,

由余弦定理知, a2=b2+c2-2bccos A, 即

4=b2+c2-bc,

所以4= (b+c) 2-3bc,

因为b+c=4, 所以bc=4.

34.解: (Ⅰ) 依题意, 由正弦定理得

(2sinC-sinA) cosB-sinBcos A=0,

∴2sinCcosB-sin (A+B) =0,

∴sinC (2cosB-1) =0.

又b2=a2+c2-2accosB, b=2,

∴22=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac (当且仅当a=c=2时等号成立) ,

在△ABC中, 由余弦定理, 得

36.解:在题图中, 作MI垂直公路所在直线于点I, 则MI=3.

设骑摩托车的人的速度为v公里/小时, 追上汽车的时间为t小时, 由余弦定理, 得

五、平面向量部分

一、选择题

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

2.设向量a= (2, x-1) , b= (x+1, 4) , 则“x=3”是“a∥b”的 () .

(A) 充分不必要条件

(B) 必要不充分条件

(D) 既不充分也不必要条件

3.已知向量a, b, c中任意两个都不共线, 但a+b与c共线, 且b+c与a共线, 则向量a+b+c= () .

(A) a (B) b (C) c (D) 0

4.若两个非零向量a, b满足|a+b|=|ab|=2|a|, 则向量b与a+b的夹角为 () .

6.已知向量a, b是夹角为60°的两个单位向量, 向量a+λb (λ∈R) 与向量a-2b垂直, 则实数λ的值为 () .

(A) 1 (B) -1 (C) 2 (D) 0

(A) 1 (B) 2 (C) -2 (D) -1

(A) 3 (B) 6 (C) -3 (D) -6

12.已知不共线向量a, b满足|a|=2|b|, 且关于x的函数f (x) =-2x3+3|a|x2+6a·bx+5在R上单调递减, 则向量a, b的夹角的取值范围是 () .

13.已知函数f (x) 满足f (2+x) +f (6-x) =0, 现将函数f (x) 的图象按照a平移, 得到g (x) =2+x+sin (x+1) 的图象, 则a= () .

(A) (-5, 1) (B) (-1, 2)

15.设a, b是不共线的两个向量, 其夹角是θ, 若函数f (x) = (xa+b) · (a-xb) (x∈R) 在 (0, +∞) 上有最大值, 则 () .

(A) |a|<|b|, 且θ是钝角

(B) |a|<|b|, 且θ是锐角

(D) |a|>|b|, 且θ是锐角

二、填空题

18.已知向量a= (1, 2) , b= (x, 6) , 且a∥b, 则|a-b|=______.

19.已知向量a, b满足|a|=2, |b|=1, (b-2a) ⊥b, 则|a+b|=______.

三、解答题

(Ⅰ) 求函数f (x) =sin2xcosB-cos2xsinB的单调递增区间及对称中心;

(Ⅱ) 如果b=4, 求△ABC的面积的最大值.

(Ⅰ) 求函数f (x) 的单调递增区间;

(Ⅱ) 在△ABC中, 角A, B, C的对边分为a, b, c, 若ccosB+bcosC=2acosB, 求f (A) 的取值范围.

30.已知向量m= (sinx, -1) , n= (cosx, 3) .

(Ⅰ) 设函数f (x) = (m+n) ·m, 求函数f (x) 的单调递增区间;

(1) 求动点N的轨迹方程;

(Ⅰ) 求A;

(Ⅰ) 求角B的大小;

(Ⅰ) 求椭圆C的方程.

35.已知向量a= (1, -2) , b= (x, y) .

(Ⅰ) 若x, y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子 (六个面的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6) 先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数, 求满足a·b=-1的概率;

(Ⅱ) 若x, y∈[1, 6], 求满足a·b>0的概率.

(Ⅰ) 证明:{|an|}是等比数列.

(Ⅱ) 设θn是an-1, an的夹角 (n≥2, n∈N*) , bn=2nθn-1, Sn=b1+b2+…+bn, 求Sn.

(Ⅲ) 设cn=|an|·log2|an|, 问数列{cn}中是否存在最小项?若存在, 求出最小值;若不存在, 请说明理由.

参考答案

∵M为BC的中点,

3.D.依题意, 设a+b=λc, b+c=μa, ∴ (a+b) - (b+c) =λc-μa, 即a-c=λc-μa.∵a与c不共线, ∴λ=-1, μ=-1.

∴a+b=-c, 即a+b+c=0.∴选D.

6.D.∵a与b的夹角为60°, 且|a|=|b|=1.由 (a+λb) ⊥ (a-2b) , (a+λb) (a-2b) =0, 即a2-2a·b+λa·b-2b2λ=0,

9.A.以AB, AD所在直线分为x轴, y轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy.

13.A.∵函数f (x) 满足f (2+x) +f (6-x) =0, ∴f (x) 是以 (4, 0) 为对称中心, 由g (x) =2+x+sin (x+1) =x+1+sin (x+1) +1可知, g (x) 是以点 (-1, 1) 为对称中心.因此向量a= (-1, 1) - (4, 0) = (-5, 1) .∴选A.

15.D.f (x) =-a·bx2+ (a2-b2) x+a·b, 若f (x) 在 (0, +∞) 上有最大值, 则二次函数的图象开口向下, 且对称轴在y轴右侧,

∴|a|>|b|, θ为锐角.∴选D.