函数

函数（精选11篇）

函数 篇1

Q函数、误差函数、互补误差函数及常用函数

注：以下来自《C++数值算法一书》，仅对章节内容做摘要，为的是给自己扫盲，不涉及算法。特殊函数其实是指一些常用的函数，它们通常有自己的软件包，本章的目的是为了理解它们的内部运行情况。

1.伽马函数、B函数、阶乘、二项式系数

思想：伽马函数满足递推式Γ(z+1)=zΓ(z)。如果z是整数那么这就是一个阶乘函数的变体。计算伽马函数的数值方法有很多，但都不如Lanczos导出的近似公式清晰。而计算lnΓ(z)比Γ(z)更好，不容易溢出。阶乘也容易溢出，对于小数字的阶乘，最好用查表法，稍大一些的用伽马公式计算。求解Beta函数和二项式系数是根据lnΓ(z)推导的。

2.不完全伽马函数、误差函数、χ2概率函数、累积泊松函数

思想：不完全伽马函数P(a,x)它的互补Q(a,x)=1-P(a,x)也是不完全伽马函数。P(a,x)可以由伽马函数求得，而Q(a,x)可以进行连分式展开；误差函数及其互补形式是不完全伽马函数的特例，因此可以用之前的方法加上一些它本身的特性，很方便地求取。累积泊松概率函数与都与不完全伽马函数有简单的关系，可以很容易推导出来。

3.指数积分

思想：指数函数是不完全伽马函数的特例，可以写成包含连分式的形式。对于x>=1的情况，连分式才可以很快收敛；对于0

4.不完全B函数、学生分布、F分布、累积二项式分布

思想：不完全B函数用连分式表示更为有效，学生分布、F分布和累积二项式分布概率函数可以用不完全B函数推导出来。

5.整数阶贝塞尔函数

思想：贝塞尔函数满足递推关系：

Jn+1(x)=(2n/x)Jn(x)-Jn-1(x)

Yn+1(x)=(2n/x)Yn(x)-Yn-1(x)

计算整数阶贝塞尔函数的实用策略分成两步：第一步，如何计算J0, J1, Y0和Y1；第二步，如何使用稳定递推关系找到其他J和Y。

6球面调和函数

思想：数学上可以将调和函数与连带勒让德多项式联系起来。求解连带勒让德多项式的方法有很多，它满足很多递推关系。

7.Fresnel积分、余弦和正弦积分

思想：Fresnel积分当x较小时，对任意的精度要求，计算函数值最方便的方法是幂级函数；x较大时，则用连分式。余弦和正弦积分可以用幂级数和复连分式相结合的方法求函数值。

8.Dwason积分

略

9.椭圆积分和雅可比椭圆函数

略

10.超几何函数

思想：通过复平面上的直线积分求此函数值的方法。

这章太长了，而且我完全不知道在讲什么+_+

Q函数、误差函数、互补误差函数及常用函数

函数 篇2

1 Doc/View结构

(1)文中新建工程My Project1

(2)新建单文档类

(3)访问框架类,获得框架类指针

CMain Frame*p Frame=(CMain Frame*)

Afx Geta Min Wnd();

(4)需要访问单文档类和视类的话,运用CFrame Wnd Get Active Document CFrame Wnd::Get Active View即可。

(5)新建多文档类,获得框架类指针

(6)需要访问多文档类和视类的话,首先获得上述活动框架类指针,然后应用CFrame Wnd::Get Active Document和CFrame Wnd::Get Active View即可,具体操作如下:

获得了文档和视类的指针,就可以应用指针访问文档和视类中的成员函数。

当然访问应用程序类成员函数,可直接运用应用程序类全局变量the App,不过需要在其头文My Project1.h中添加extern CMy Project1App the App。在其他需要运用the App访问类中成员函数的.cpp文件中,添加#include“My Project1.h”就可以访问应用程序类成员函数。

为了方便使用,一般在Doc里面定义一个相应的View类的指针,在View类中的On Initial Update()函数给Doc类中的View指针赋值,这样在Doc类中需要用到视类函数时,不用每次都去获取视类的指针。而在视类中使用Doc类的函数时,利用Get Document()可以轻松得到Doc类的指针。

2 Dialog based结构

新建工程My Project2,需要在自己新添加的X.cpp文件中访问对话框程序中的成员函数(X.cpp文件中的类是CX),可以采用传递指针的办法。

2.1 利用构造函数传递指针变量

在新添加的X.h文件中,添加构造函数

CX(CMy Project2Dlg*p Dlg);

在相应的X.cpp中添加其实现函数:

此处m_p Dlg是在X.h中定义的类成员函数:CMy Project2Dlg*m_p Dlg;

这样通过在CMy Project2Dlg中定义CX的指针,就可以在X.cpp中实现访问CMy Project2Dlg中的构造函数,具体操作如下:

在CMy Project2Dlg.h中添加

CX*m_p X;

在CMy Project2Dlg.cpp中添加

m_p X=new CX(this)

则实现了传递对话框指针给m_p Dlg,这样就可以通过m_p Dlg实现对CMy Project2Dlg中成员函数的访问。

2.2 直接在对话框类中实现访问

采用直接在对话框创建时,在对话框显示之前初始化对话框的时候传递指针。

第2种方法较第1种方法简单,在实际应用中比较常用的一种方法。

访问应用程序类成员函数,可直接运用应用程序类全局变量the App,方法类似Doc/View结构下的实现。

3 回调函数中访问函数

回调函数是系统自动调用的函数,相当于该函数由系统来管理。它类似于消息处理函数,由系统调用,但其中的处理过程,需要写代码来实现。程序中常常需要实现回调,在开发视频应用程序过程中用到了回调函数以实现视频数据的导出。当设置回调后,只要设备处于运行状态,每一场/帧数据到达时回调函数被调用。这样就可以在回调函数中进行数据的处理。

回调函数就相当于一个中断处理函数,由系统在符合设定的条件时自动调用。为此,需要做3件事:(1)声明;(2)定义;(3)设置触发条件。下面以笔者所做的视频图像数据导出程序为例。

回调函数声明:

void WINAPI CALLBACKFUNCT(PVOID p Data,IMAGEINFO p Image Info,PVOID p User Data,ULONG Index);

视频当前图像数据指针p Data,用户传递给回调函数的上下文数据p User Data。

回调函数的定义:

设置触发条件,也就是在函数中把回调函数名称作为一个参数,以便于系统调用。

回调函数只能声明为类的静态成员函数或全局变量,而不能声明为类的普通成员函数,因为若声明为类的普通成员函数,则系统在调用回调函数时需要先生成类的对象,以便调用类的成员函数,然而运行时代码根本不知道如何去产生一个类的对象。

将类名定义为CCamera,下面讨论如何在回调函数中调用类的成员函数进行数据的处理。回调函数中访问类的成员函数,此时可以设置回调函数为全局函数,定义中添加如下:

这样就可以在回调函数中采用p This访问CCamera类中的成员函数(注意此处把类的this指针作为传递的上下文数据)。

也可以采用下列形式,首先定义一全局变量g_p Camera,具体实现如下:

CCamera*g_p Camera=NULL;

g_p Camera=this;

这样就可以利用g_p Camera实现对类的成员函数的访问。如果回调函数被定义成类中的静态成员函数:

Static void WINAPI CALLBACKFUNCT(PVOID p Data,IMAGEINFO p Image Info,PVOID p User Data,ULONG Index);

则在静态回调函数中调用类的成员函数与上述全局回调函数实现类似,但在定义一全局变量g_p Camera时需要定义一静态的全局变量,具体实现如下:

Static CCamera*g_p Camera=NULL;g_p Camera=this;

这样,就可以利用静态全局变量g_p Camera访问类中的成员函数。

4 结语

给出VC++中关于MFC各类间成员函数的访问方法和回调函数中访问其他函数的技巧,希望对大家编程方面,特别是视频应用方面的开发有所帮助。

参考文献

[1]孙鑫,余安萍.VC++深入详解[M].电子工业出版社,2006.

[2]陆宏伟.MFC程序中类之间变量的互相访问.电脑编程技巧与维护,2001.

函数 篇3

1. 函数y=12|x+1|的值域是.

2. 方程lg(x2-4)=lgx+lg3的解是.

3. 已知幂函数f(x)=x-14，若f(2a+3)＜f(1-a)，则a∈.

4. 已知f(x)=1, x＞0，0, x=0，-1,x＜0，则方程x+1=(2x-1)f(x)的解为.

5. 已知函数f(x)满足f2x+|x|=log2x|x|，则f(x)的解析式是 .

6. 设f∶x→x2是集合A到集合B的映射，如果B={1,4},则A∩B等于

7. 49-12-lg5+lg22-lg4+1-31-log32=.

8. 已知函数f(x)=(2a-1)x+7a-2,x＜1,ax,x≥1在(-∞,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是.

9. 已知函数f(x)=log2(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则实数a的取值范围是.

10. 在y=2x,y=log2x,y=x2这三个函数式中，当0＜x1＜x2＜1时，使fx1+x22＜f(x1)+f(x2)2恒成立的函数个数是.

11. 已知函数f(x)=x2-2x+a，x∈［0,3］,它的任意三个函数值总可以作为一个三角形的三边长，则a的取值范围是.

12. 有下列命题：

（1） 定义在R上的函数f(x)，若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2)，则f(x)是偶函数;

（2） 定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数;

（3） 定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0］上是单调减函数，在区间(0,+∞)上也是单调减函数，则f(x)在R上是单调减函数;

（4） 既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个.

其中真命题有 .

二、 解答题

13. 已知f(x)=x13-x-132,g(x)=x13+x-132.

（1） 计算f(4)-2f(2)g(2)和g2(2)-f2(2)的值；

（2） 概括出函数f(x)和g(x)对所有不为零的实数都成立的两个恒等式.

14. 已知函数f(x)=x+log2m+x1-x（m为常数）的

图象关于原点对称.

（1） 求m的值；

（2） 若x∈-1,13，f(x)是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.

15. 已知正数a,b,c满足条件：(lgab)·(lgbc)=-1，求ca的取值范围.

16. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23，且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).

（1） 求证：f(x)为奇函数；

（2） 若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围.

17. 已知函数f(x)=1x-1.

(1) 作出函数f(x)的图象；

(2) 若集合A=y|y=f(x)，12≤x≤2，B=［0,1］，试判断A与B的关系；

(3) 若存在实数a,b(a＜b)，使得集合{y|y=f(x)，a≤x≤b}=［ma,mb］，求实数m的取值范围.

（参考答案见第43页）



巩固练习参考答案

《形影不离的单调性与定义域》

1. (-∞,0)及（0，+∞） 2. a∈(1,2)

3. (-∞,-3) 4. 存在，a∈(1,+∞)

5. x∈12,43

《函数奇偶性判断的常见误区》

1. D

2.f(x)=1, x＞0，0, x=0，-1,x＜0.

3. f(x)是在（-1，1）上的奇函数.

4. 令x=y=0，得f(0)=0；再令y=-x，得f(-x)+f(x)=f(0)=0，得证.

《在错误中提升方法》

1. 0＜a＜1,b≤0；

2. (1) a=1;(2) 略.

3. ［2，+∞）.

4. 设x1＜x2＜0，

则y1-y2=2x1+12x1-2x2+12x2=(2x1-2x2)+12x1-12x2=(2x1-2x2)(2x1+x2-1)2x12x2.

因为x1＜x2＜0，所以0＜2x1＜2x2,x1+x2＜0，2x1+x2-1＜0,所以y1-y2＞0,

所以函数y=2x+12x在（-∞，0）上是单调减函数.

《对数函数学习过程中的关注点》

1. A

2. 由已知得lga,lgb是方程x2+(lg7+lg5)x+lg7·lg5=0的两根，

所以lga+lgb=-(lg7+lg5)=lg135，所以ab=135.

3. 设u=2-ax，则y=logau，由已知a＞0,a≠1，所以u=2-ax在区间［0,1］单调递减，因此要使函数y=loga(2-ax)在［0,1］上是x的减函数，则a＞1,且u=2-ax＞0在区间［0,1］上恒成立.可得1＜a＜2.

4. （1） 由x+x2+1＞x+x2=x+|x|≥0，可得函数f(x)=lg(x+x2+1)的定义域是R；

（2） 由f(x)=lg(x+x2+1)，可得f(-x)=lg(-x+x2+1)，

所以f(-x)+f(x)=lg(-x+x2+1)+lg(x+x2+1)=lg(-x2+x2+1)=lg1=0，所以f(-x)=-f(x)，即函数f(x)=lg(x+x2+1)是奇函数.

（3） 略.

《幂函数的概念、图象和性质》

1. D 2. C 3. 12008

4. （1） k=0或k=1，f(x)=x2;（2） 存在q=2满足题意.

《比较指数式大小的常用方法》

1. a1.2＞1a-0.3.

2. 1.40.1＞0.93.1.

3. 因为-233为负数，4313大于1，3412大于0小于1,所以4313＞3412＞-233.

4. B

5. ① x＞6:当a＞1时，有a4x-5＞33x+1;当0＜a＜1时，则有a4x-5＜33x+1.

② x=6时，a4x-5=a3x+1.

③ x＜6:当a＞1时，有a4x-5＜a3x+1;当0＜a＜1时，则有a4x-5＞a3x+1.

单元测试参考答案

1. (0,1］ 2. x=4 3. -23,1

4. 0,2,-1-174

5. f(x)=-log2x 6.{1}或7. 0 8. 38,12 9. (1,2) 10. 2

11. (5,+∞) 12. 2

13. (1)0和1;(2) f(x2)-2f(x)g(x)=0，g2(x)-f2(x)=1.

14. (1)m=1;(2)先证明f(x)单调递增，f(x)max=f13=43.

15. 已知式可化为关于lgb的方程lg2b+(lga+lgc)lgb+lgalgc+1=0.

由Δ≥0得：(lga-lgc)2≥4，所以lgca≤-2或lgca≥2,

所以ca∈0,1100∪［100,+∞).

16. (1) 略.

(2) 因为f(x)在R上是单调函数，且f(3)=log23>f(0),

所以f(x)在R上单调递增.

又f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0,即f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(9x-3x+2),所以9x-3x+2＞k·3x，即9x-(k+1)3x+2＞0对x∈R恒成立.

所以k+1≤0或k+1＞0，-k+122+2＞0，解得k＜22-1.

17. (1)

(2) A=［0，1］=B.

(3) 因为a＜b，ma＜mb，所以m＞0.

又f(x)≥0,所以ma≥0，又a≠0，所以a＞0.

① 0＜a＜b≤1，由图象知，f(x)在x∈［a，b］上递减，所以1a-1=mb，1b-1=maa=b，与a＜b矛盾.

② 0＜a＜1＜b，这时f(1)=0，而ma＞0,也与题设不符；

③ 1≤a＜b，f(x)在x∈［a,b］上递增,

所以1-1a=ma，1-1b=mb，可知mx2-x+1=0在［1,+∞)内有两不等实根.

由Δ＞0，12m＞1，解得0＜m＜14

函数 篇4

用途：返回修正Bessel函数值，它与用纯虚数参数运算时的Bessel 函数值相等，

语法：BESSELI(x，n)

参数：X为参数值。N为函数的阶数。如果 n 非整数，则截尾取整。

2.BESSELJ

用途：返回 Bessel 函数值。

语法：BESSELJ(x，n)

参数：同上

3.BESSELK

用途：返回修正Bessel函数值，它与用纯虚数参数运算时的Bessel 函数值相等。

语法：BESSELK(x，n)

参数：同上

4.BESSELY

用途：返回Bessel 函数值，也称为Weber函数或Neumann函数。

语法：BESSELY(x，n)

参数：同上

5.BIN2DEC

用途：将二进制数转换为十进制数。

语法：BIN2DEC(number)

参数：Number待转换的二进制数。Number的位数不能多于10位(二进制位)，最高位为符号位，后9位为数字位。负数用二进制数补码表示。

6.BIN2HEX

用途：将二进制数转换为十六进制数。

语法：BIN2HEX(number，places)

参数：Number为待转换的二进制数。Number 的位数不能多于10位(二进制位)，最高位为符号位，后 9 位为数字位。负数用二进制数补码表示;Places为所要使用的字符数。如果省略places，函数 DEC2BIN用能表示此数的最少字符来表示。

7.BIN2OCT

用途：将二进制数转换为八进制数。

语法：BIN2OCT(number，places)

参数：Number为待转换的二进制数;Places为所要使用的字符数。

8.COMPLEX

用途：将实系数及虚系数转换为 x+yi 或 x+yj 形式的复数。

语法：COMPLEX(real_num，i_num，suffix)

参数：Real_num为复数的实部，I_num为复数的虚部，Suffix为复数中虚部的后缀，省略时则认为它为i。

9.CONVERT

用途：将数字从一个度量系统转换到另一个度量系统中。

语法：CONVERT(number，from_unit，to_unit)

参数：Number是以from_units为单位的需要进行转换的数值。From_unit是数值 number的单位。To_unit是结果的单位。

10.DEC2BIN

用途：将十进制数转换为二进制数。

语法：DEC2BIN(number，places)

参数：Number是待转换的十进制数。Places是所要使用的字符数，如果省略places，函数DEC2OCT用能表示此数的最少字符来表示。

11.DEC2HEX

用途：将十进制数转换为十六进制数。

语法：DEC2HEX(number，places)

参数：Number为待转换的十进制数。如果参数 number是负数，则省略places。Places是所要使用的字符数。

12.DEC2OCT

用途：将十进制数转换为八进制数。

语法：DEC2OCT(number，places)

参数：Number为待转换的十进制数。如果参数 number是负数，则省略places。Places是所要使用的字符数。

13.DELTA

用途：测试两个数值是否相等。如果 number1=number2，则返回1，否则返回0。

语法：DELTA(number1，number2)

参数：Number1

函数 篇5

函数是高中数学的一个基本而重要的知识点，它的有关概念和理论是研究运动变化着的变量间相互依赖关系的规律的工具。在高考试题中占有很大的比重。在高中阶段是运用集合、对应的思想，即“映射”的观点去概括函数的一般定义，深化函数的概念。函数作为中学数学的重要知识体系，不但其自身内容十分丰富，而且与不等式、数列、三角、复数、解析几何等都紧密相连，因此，要用运动变化，相互联系，相互制约，相互转化的观点和方法去分析问题和解决问题。此外，还应重视数形结合，分类讨论，等价转化（包括变形，换元等）等重要的思想方法的运用，加强函数与各部分知识间的联系，加强综合运用知识和方法的能力，在函数复习中应给予高度的.现将有关知识点作如下归纳，供复习参考.1．幂函数

(1)定义形如y=x的函数叫幂函数，其中α为常数，在中学阶段只研究α为有理数的情形 α

2．指数函数和对数函数

(1)定义

指数函数，y=a(a＞0，且a≠1)，注意与幂函数的区别．

对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)．

指数函数y=a与对数函数y=logax互为反函数． xx

(2)指数函数y=a(a＞0，且a≠1)与对数函数y=logax(a＞0，且a≠1)的图象和性质如表1-2． x

(3)指数方程和对数方程

函数精品复习(结构2分式函数) 篇6

7、对勾函数yx

a

0),(0，)上为增函数 是奇函数,a0时,在区间(，x

a0时,在(0a],[a,0)递减 在(，a],[,)递增

8.分式函数

典例分析

1．(2007海南、宁夏理)设函数f(x)2．（2009重庆卷理）若f(x)3若函数h(x)2x

A．[2,)

(x1)(xa)

为奇函数，则a．

x

a是奇函数，则a． 2x

1（）

kk

在(1,)上是增函数，则实数k的取值范围是 x

3B．[2,)

C．(,2]

D．(,2]

4.（2009全国卷Ⅱ理）曲线y

x

在点1,1处的切线方程为 2x1

A.xy20B.xy20C.x4y50D.x4y50

ax14

a的图象关于直线yx对称，则a=。

4x55

x

2(xR)的值域是 6.（2007浙江文）函数y2

x1

7.（2002全国理科）函数

y1的图象是（）

5.若函数y

exex(2009山东)函数yx的图像大致为().x

ee

D

A

9.（12分）函数f(x)2x

a的定义域为(0,1]（a为实数）.x

（1）当a1时，求函数yf(x)的值域；

（2）若函数yf(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围；

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10.（13分）已知函数f(x)的图象与函数h(x)x解析式（2）若g(x)=f(x)+

12的图象关于点A（0，1）对称.（1）求函数f(x)的xa，且g(x)在区间（0，2]上的值不小于6，求实数a的取值范围.x

xa（a、b为常数）.xb

⑴若b1，解关于x的不等式f(x1)0；

5⑵当x[1,2]，f(x)的值域为[,2]，求a、b的值.411、（2009重庆八中）已知函数f(x)

x2(1p)xp(p0)

12、（2009西南师大附中）已知f(x)2xp

（1）若p > 1时，解关于x的不等式f(x)0；

函数 篇7

复变函数起源于19世纪,至今已涌现出许多新的理论新的方法,这些新的理论和方法也有力的促进了复变函数理论本身的发展,不仅使它的内容更加丰富,而且开辟了许多新分支和新领域,而解析函数是复变函数论起初所研究的主要对象。1988年,王见定提出了共轭解析函数概念,这是一类和解析函数对称的函数,它的出现使复变函数达到对称完美。共轭解析函数可以用来解决解析函数所能解决的所有问题,并且比解析函数更直观方便。复变函数共轭解析的前提是函数共轭可微,因而研究复变函数共轭可微的充要条件就显得尤为重要。文献[1-2]中以习题的形式给出了复变函数的形式导数,一些学者在文献[3-5]研究了复变函数的可导性、解析性与共轭解析性间关系。本文在前面研究的基础上进一步研究解析函数、共轭解析函数及复调和函数关系;先看解析函数、共轭解析函数与复调和函数概念:

下面引进复变数:z=x+iy,z*=x-iy则,复变函数:

定义1[1]设函数w=f(z),z∈D;z0,z0+△z∈D如果△z按任意方式趋于零时:

存则就说f(z)在z0可导,此极限值就称为f(z)在z0的导数,记作:

若f(z)在z0的某邻域内可导。z0称为解析点,否则称为奇点。

f(z)在区域D内解析:f(z)在D内处处解析[1]。

存在,则就说f(z)在z0共轭可导,此极限值就称为f(z)在z0的共轭导数,记作

这时称函数w=f(z),z∈D于z点共轭可导或共轭可微[2]。王见定对自变量以代数形式给出的复变函数在一点的共轭可微性进行了讨论,对函数共轭可微的充要条件给出了如下的定理。

引理1[1]函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z=x+iy可微及共轭可微的充分必要条件是:u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,在该点满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程:。

王海英在文献[4]中也进行了讨论,并对函数共轭可微的充要条件给出了如下的定理。

引理2[4]函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区域D内一点z=x+iy共轭可微的充分必要条件是:u(x,y)与v(x,y)在点(x,y)可微,且满足。

定义2[1]实函数u(x,y)为区域D内的调和函数:u(x,y)在区域D内有二阶连续的偏导数且满足△u=uxx+uyy=0(称为调和方程或Laplace方程)。

引理3[1]:设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域D内的解析函数的充分条件是:

u与v是区域D内的调和函数。

定义3[1]若u与v是区域D内的调和函数且满足柯西-黎曼程,则称v为u的共轭调和函数。

引理4[1]函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充分必要条件是:v为u的共轭调和函数。

下面就从复变函数的复形式出发,研究解析函数、共轭解析函数及复调和函数,给出新的充要条件。即就是证明了下面的定理:

定理1设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是:

二元函数u(x,y)和v(x,y)在区域D内可微且满足。

定理2设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内共轭解析的充要条件是:

二元函数u(x,y)和v(x,y)在区域D内可微且满足。

由于二元函数的可微性可以通过偏导数连续判断出来,因而很容易得到下面的结论。

推论1设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是:

二元函数u(x,y)和v(x,y)在区域D内内均有二阶连续的偏导数且满足。

推论2设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内共轭解析的充要条件是:

二元函数u(x,y)和v(x,y)在区域D内内均有二阶连续的偏导数且满足。

定理3设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内为复调和函数的充要条件是:

二元函数u(x,y)和v(x,y)在区域D内均有二阶连续的偏导数且满足。

1 定理的证明

为了完成定理的证明需要下面的引理:

引理5设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)形式导数为

证明:f=u+iv

证毕

定理1的证明

可利用证明定理1同样的方法证明定理2。

定理1与定理2表明:若f(z)解析则,若f(z)共轭解析则。实际上z与z*并不是独立变量,因为它们是互相共轭的。也就是说,一个共轭可微函数与z无关,而是z*的独立函数。这也就是我们把一个共轭可微函数看作确实是一复数的函数,而不称为两个实变数的复值函数的理由;共轭解析函数与解析函数是对称完美的。

定理3的证明:由于二元函数u(x,y)和v(x,y)在区域D内均有二阶连续的偏导数,有

对于给定的调和函数f(z),因表明共轭导函数是共轭解析的,复调和函数是共轭解析函数的共轭原函数。

2 定理应用

例1判断下列函数的共轭可微性。

解:(1)由于,所以u(z)=z在整个复平面内都共轭可微。

参考文献

[1]钟玉泉.复变函数论(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2O04.

[2]王见定.半解析函数与共轭解析函数[M].北京:北京工业大学出版社,1988.

[3]仝泽柱,娄正凯.复变函数共轭解析的充要条件[J].徐州工程学院学报.20O6,(3):97-100.

[4]王海英.复变函数共轭可微的又一充要条件及应用[J].吉林师范大学学报,20O8,(2):82-83.

函数、一次函数概念透析 篇8

函数是初中数学“数与代数”的重要内容，是学生比较难理解的、较为抽象的数学概念，也是学习一次函数、反比例函数、二次函数的基础.初中数学中，函数的概念是：在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x的每一个值，变量y都有唯一的值与之对应，那么我们称y是x的函数.其中，x指的是自变量，y指的是因变量.在这个定义中，“变化的过程”指出研究对象不是固定的常数关系、固定的位置关系，而是变化的数量关系、变化的位置关系. “两个变量x和y”指出函数研究的对象是两个变化量之间的关系.其中，“x指的是自变量，y指的是因变量”，即在变化的过程中，由于x的变化从而引起y随之发生变化. “对于x的每一个值，变量y都有唯一的值与之对应”，即自变量x每取一个不同的数值，因变量y都有唯一的值与之对应. 函数常见的表达形式有3种：（1） 表格；（2） 图像；（3） 关系式. 现从这3种形式具体分析函数的概念：

1. 表格

正方形的边长与面积的变化情况如下表：

3. 实际问题中的k，b的含义

一、 函数的概念及表达形式

函数是初中数学“数与代数”的重要内容，是学生比较难理解的、较为抽象的数学概念，也是学习一次函数、反比例函数、二次函数的基础.初中数学中，函数的概念是：在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x的每一个值，变量y都有唯一的值与之对应，那么我们称y是x的函数.其中，x指的是自变量，y指的是因变量.在这个定义中，“变化的过程”指出研究对象不是固定的常数关系、固定的位置关系，而是变化的数量关系、变化的位置关系. “两个变量x和y”指出函数研究的对象是两个变化量之间的关系.其中，“x指的是自变量，y指的是因变量”，即在变化的过程中，由于x的变化从而引起y随之发生变化. “对于x的每一个值，变量y都有唯一的值与之对应”，即自变量x每取一个不同的数值，因变量y都有唯一的值与之对应. 函数常见的表达形式有3种：（1） 表格；（2） 图像；（3） 关系式. 现从这3种形式具体分析函数的概念：

1. 表格

正方形的边长与面积的变化情况如下表：

3. 实际问题中的k，b的含义

一、 函数的概念及表达形式

函数是初中数学“数与代数”的重要内容，是学生比较难理解的、较为抽象的数学概念，也是学习一次函数、反比例函数、二次函数的基础.初中数学中，函数的概念是：在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x的每一个值，变量y都有唯一的值与之对应，那么我们称y是x的函数.其中，x指的是自变量，y指的是因变量.在这个定义中，“变化的过程”指出研究对象不是固定的常数关系、固定的位置关系，而是变化的数量关系、变化的位置关系. “两个变量x和y”指出函数研究的对象是两个变化量之间的关系.其中，“x指的是自变量，y指的是因变量”，即在变化的过程中，由于x的变化从而引起y随之发生变化. “对于x的每一个值，变量y都有唯一的值与之对应”，即自变量x每取一个不同的数值，因变量y都有唯一的值与之对应. 函数常见的表达形式有3种：（1） 表格；（2） 图像；（3） 关系式. 现从这3种形式具体分析函数的概念：

1. 表格

正方形的边长与面积的变化情况如下表：

不要轻视拷贝构造函数与赋值函数 篇9

由于并非所有的对象都会使用拷贝构造函数和赋值函数，程序员可能对这两个函数有些轻视。请先记住以下的警告，在阅读正文时就会多心：

 本章开头讲过，如果不主动编写拷贝构造函数和赋值函数，编译器将以“位拷贝”的方式自动生成缺省的函数。倘若类中含有指针变量，那么这两个缺省的函数就隐含了错误。以类String的两个对象a,b为例，假设a.m_data的内容为“hello”，b.m_data的内容为“world”。

现将a赋给b，缺省赋值函数的“位拷贝”意味着执行b.m_data = a.m_data。这将造成三个错误：一是b.m_data原有的内存没被释放，造成内存泄露；二是b.m_data和a.m_data指向同一块内存，a或b任何一方变动都会影响另一方；三是在对象被析构时，m_data被释放了两次。

 拷贝构造函数和赋值函数非常容易混淆，常导致错写 错用。拷贝构造函数是在对象被创建时调用的，而赋值函数只能被已经存在了的对象调用。以下程序中，第三个语句和第四个语句很相似，你分得清楚哪个调用了拷贝构造函数，哪个调用了赋值函数吗？ Stringa(“hello”);

Stringb(“world”);

Stringc = a;// 调用了拷贝构造函数，最好写成 c(a);

c = b;// 调用了赋值函数

函数解答题-构造函数证明不等式 篇10

(I)求L的方程;

(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.【答案】解:(I)设f(x)lnx1lnx,则f(x).所以f(1)1.所以L的方程为2xx

yx1.(II)令g(x)x1f(x),则除切点之外,曲线C在直线l的下方等价于

x21lnxg(x)0(x0,x1).g(x)满足g(1)0,且g(x)1f(x).x2

2当0x1时,x10,lnx0,所以g(x)0,故g(x)单调递减;

当x1时,x10,lnx0,所以g(x)0,故g(x)单调递增.所以,g(x)g(1)0(x0,x1).所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.又解:g(x)0即x12lnx0变形为x2xlnx0,记h(x)x2xlnx,则x

12x2x1(2x1)(x1)h(x)2x1,xxx

所以当0x1时,h(x)0,h(x)在(0,1)上单调递减;当x1时,h(x)0,h(x)在(1,+∞)上单调递增.所以h(x)h(1)0.)

例2（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知函数fx1xe2xx3,gxax12xcosx.当x0,1时，2

1;1x(I)求证:1-xfx

(II)若fxgx恒成立,求实数a取值范围.【答案】解：(1)证明：要证x∈[0，1]时，(1＋x)e－2x≥1－x，只需证明(1＋x)ex≥(1－x)ex.－

记h(x)＝(1＋x)ex－(1－x)ex，则h′(x)＝x(ex－ex)，当x∈(0，1)时，h′(x)＞0，因此h(x)在[0，1]上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0.所以f(x)≥1－x，x∈[0，1]．

－

－

要证x∈[0，1]时，(1＋x)e

－2x

1≤ex≥x＋1.1＋x

记K(x)＝ex－x－1，则K′(x)＝ex－1，当x∈(0，1)时，K′(x)＞0，因此K(x)在[0，1]上是增函数，故K(x)≥K(0)＝0.所以f(x)≤，x∈[0，1]．

1＋x1

综上，1－x≤f(x)≤，x∈[0，1]．

1＋x(2)(方法一)

x

ax＋1＋2xcos x f(x)－g(x)＝(1＋x)e－2

－2x

x3

≥1－x－ax－1－2xcos x

2x

a＋1＋＋2cos x.＝－x2

x2

设G(x)＝2cos x，则G′(x)＝x－2sin x.记H(x)＝x－2sin x，则H′(x)＝1－2cos x，当x∈(0，1)时，H′(x)＜0，于是G′(x)在[0，1]上是减函数，从而当x∈(0，1)时，G′(x)＜G′(0)＝0，故G(x)在[0，1]上是减函数．于是G(x)≤G(0)＝2.从而

a＋1＋G(x)≤a＋3，所以，当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．

下面证明，当a＞－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．

1x3

f(x)－g(x)≤1－ax－2xcos x

21＋x－xx3

＝ax－－2xcos x

21＋x

1x

＝－x1＋xa2＋2cos x.

－11x21记I(x)＝＋a＋2cos x＝＋a＋G(x)，则I′(x)＝＋G′(x)．当x∈(0，21＋x1＋x（1＋x）1)时，I′(x)＜0.故I(x)在[0，1]上是减函数，于是I(x)在[0，1]上的值域为[a＋1＋2cos 1，a＋

3]．

因为当a＞－3时，a＋3＞0，所以存在x0∈(0，1)，使得I(x0)＞0，此时f(x0)＜g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．

综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]．(方法二)

先证当x∈[0，1]时，1－x2≤cos x≤1－2.241

记F(x)＝cos x－1＋x2，则F′(x)＝－sin x＋x.22

记G(x)＝－sin x＋x，则G′(x)＝－cos x＋1，当x∈(0，1)时，G′(x)＞0，于是G(x)在[0，1]上是增函数，因此当x∈(0，1)时，G(x)＞G(0)＝0，从而F(x)在[0，1]上是增函数，因此F(x)≥F(0)＝0.所以

当x∈[0，1]时，12≤cos x.同理可证，当x∈[0，1]时，cos x≤1－2.411

综上，当x∈[0，1]时，1－x2≤cos x≤1－x2.24因为当x∈[0，1]时．

x

ax＋1＋2xcos x f(x)－g(x)＝(1＋x)e－2

－2x

1x3

1－2 ≥(1－x)－ax－1－2x42

＝－(a＋3)x.所以当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．

下面证明，当a＞－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．因为 x

ax＋1＋2xcos x f(x)－g(x)＝(1＋x)e－2

－2x

11x3

1－x2 ≤1－ax－2x221＋xx2x3

＝(a＋3)x 1＋x2

x－a＋3），≤x23

a＋31所以存在x0∈(0，1)例如x0取中的较小值满足f(x0)＜g(x0)，即f(x)≥g(x)在[0，321]上不恒成立．

综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]．

例3（2012高考辽宁文21）(本小题满分12分)

设f(x)＝lnx＋x－1，证明： 3

(1)当x>1时，f(x)<2(x－1)； 9x－1

(2)当1

【答案】解：(1)(证法一)

记g(x)＝lnx＋x－1－2(x－1)．则当x>1时，113

g′(x)＝x2，g(x)在(1，＋∞)上单调递减．

2x又g(1)＝0，有g(x)<0，即

f(x)<2x－1)．(证法二)

由均值不等式，当x>1时，x

令k(x)＝lnx－x＋1，则k(1)＝0，k′(x)＝x1<0，故k(x)<0，即 lnx

由①②得，当x>1时，f(x)<2(x－1)．(2)(证法一)记h(x)＝f(x)－

9x－1，由(1)得 x＋5

1154

h′(x)＝x2xx＋52＋xx＋55454＝2xx＋54xx＋5x＋53－216x

＝4xx＋5令g(x)＝(x＋5)3－216x，则当1

9x－1

x＋5(证法二)

记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，则当1

－9 2x－1)＋(x＋5)x2x1

＝2xx(x－1)＋(x＋5)(2＋x)－18x]

x11

2x3xx－1＋x＋52＋22－18x 1

＝4xx2－32x＋25)<0.因此h(x)在(1,3)内单调递减，又h(1)＝0，所以h(x)<0，即f(x)<

9x－1

.x＋5

例4（2012高考浙江文21）（本题满分15分）已知a∈R，函数f(x)4x32axa（1）求f(x)的单调区间

（2）证明：当0≤x≤1时，f(x)+ 2a＞0.【答案】

【解析】（1）由题意得f(x)12x22a，当a0时，f(x)0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为,.当a

0时，f(x)12(x

此时函数f(x)的单调递增区间为x，.(2)由于0x1，当a2时，f(x)a24x32ax24x34x2.333

当a2时，f(x)a24x2a(1x)24x4(1x)24x4x2.设g(x)2x2x1,0x

1，则g(x)6x26(x则有

x.33

所以g(x)ming10.3

当0x1时，2x2x10.故f(x)a24x34x20.例5（2012高考山东文22）(本小题满分13分)

已知函数f(x)

lnxk

(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点ex

(1,f(1))处的切线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值；

(Ⅱ)求f(x)的单调区间；

(Ⅲ)设g(x)xf(x)，其中f(x)为f(x)的导函数.证明：对任意x0,g(x)1e2.1

lnxk【答案】(I)f(x)，ex

由已知，f(1)

1k

0，∴k1.e

lnx1(II)由(I)知，f(x).ex

设k(x)

lnx1，则k(x)20，即k(x)在(0,)上是减函数，xxx

由k(1)0知，当0x1时k(x)0，从而f(x)0，当x1时k(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,).(III)由(II)可知，当x1时，g(x)xf(x)≤0＜1+e2，故只需证明g(x)1e2在0x1时成立.当0x1时，ex＞1，且g(x)0，∴g(x)

1xlnxx

1xlnxx.x

e

函数 篇11

本讲重点考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想. 题型为选择题或填空题，若求函数零点的问题，难度较易；若利用零点的存在求相关参数的值的问题，难度稍大. 分值为5分.建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力. 在高考中分值为5～12分.

命题特点

结合这几年考题，这部分内容的命题主要有如下特点：（1）考查具体函数的零点的取值范围和零点个数，注意根的存在性原理的运用.（2）利用二分法求方程的近似解. （3）利用函数零点求解参数的取值范围，考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想.（4）考查二次函数、指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题.（5）合理选择变量，构造函数模型，求两变量间的函数关系式，从而研究其最值.

1. 函数零点和零点个数判断：这类题型以小题为主，是数形结合的具体应用，抓住方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想.

例1 （1）函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）上的零点个数是 （ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

（2）函数[f（x）=2x|log0.5x|-1]的零点个数为 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析 （1）法一：∵函数y=2x与y=x3-2在R上都是增函数，

故f（x）=2x+x3-2在R上是增函数，

又f（0）=-1，f（1）=1，即f（0）·f（1）<0

故f（x）在（0，1）上有惟一零点.

法二：令f（x）=0，即2x+x3-2=0，则2x-2=-x3.

在同一坐标系中分别画出y=2x-2和y=-x3的图象，由图可知两个图象在区间（0，1）上只有一个交点，

∴函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）内有一个零点.

（2）函数的零点等价于[y=（12）x与y=log0.5x]图象交点个数，在同一直角坐标系下分别画出其图象及可作出判断.

答案 （1）B （2） B

点拨 本题（1）是利用函数单调性与根的存在性原理结合判断.题（1）法2和题（2）是利用数形结合法判断零点个数.对函数零点个数的判断可从以下几个方面考虑：（1）结合函数图象；（2）根据零点存在定理求某些点的函数值；（3）利用函数的单调性判断函数的零点是否惟一.

2. 二次函数零点问题：前面已介绍过，二次函数是中学阶段应用非常广泛的函数，结合二次函数特征，也会出现零点问题.

例2 （1）已知α，β是方程x2+（2m-1）x+4-2m=0的两个实根，且α<2<β，求m的取值范围；

（2）若方程x2+ax+2=0的两根都小于-1，求a的取值范围.

解析 （1）设f（x）=x2+（2m-1）x+4-2m.

∵α，β是方程f（x）=0的两个根，且α<2<β，

∴f（2）<0，即22+2（2m-1）+4-2m<0，得m<-3.

（2）设f（x）=x2+ax+2， f（-1）=1-a+2，Δ=a2-8.

由题意得，[f（-1）>0，Δ≥0，-a2<-1，]∴[22≤a<3].

点拨 结合二次函数图象探求二次方程根的分布是解决此题的关键.熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确解决二次函数零点的关键. 用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨很容易导致解题出错.主要抓住如下几点：（1）二次项系数符号；（2）判别式；（3）对称轴；（4）所给分界点的函数值的符号.

3. 利用函数零点求解参数的取值范围.

例3 （1）已知函数f（x）=[2x，x≥2，x-13，0

（2）已知函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2.若在区间[-1，3]上，函数g（x）=

f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围为 .

解析 （1）在同一个直角坐标系中作出函数y=f（x），y=kx的图象，函数y=f（x）图象最高点坐标为A（2，1），过点O，A的直线斜率为2.x≥2时，f（x）=[2x]单调递减且f（x）>0，直线y=kx过原点，所以斜率0

（2）依题意得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即函数f（x）是以2为周期的函数. g（x）=f（x）-kx-k在区间[-1，3]上有4个零点，即函数y=f（x）与y=k（x+1）的图象在区间[-1，3]上有4个不同的交点. 在坐标平面内画出函数y=f（x）的图象（如图所示），注意到直线y=k（x+1）恒过点（-1，0），由图象知，当k∈[0，14]时，相应的直线与函数y=f（x）在区间[-1，3]上有4个不同的交点，故实数k的取值范围是[0，14].

答案 （1）[0，12] （2）[0，14]

点拨 （1）是分段函数的零点问题，这里直线y=kx过原点，将其绕着原点旋转就可以得出结果.（2）是周期函数零点问题，关键要能准确判断周期并作出一个周期内的图象再解题.利用函数零点求参数范围要注意构造两个函数，利用数形结合的方法求解，通常还要给参数赋予几何意义.

4. 函数模型及应用：这类问题主要是将实际问题构造数学模型，利用以学数学知识求解.

nlc202309032007

例4 如图，建立平面直角坐标系[xOy]，[x]轴在地平面上，[y]轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程[y=kx-120（1+k2）x2][（k>0）]表示的曲线上，其中[k]与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标[a]不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

[y（千米）][x（千米）][O]

解析 （1）在[y=kx-120（1+k2）x2（k>0）]中，令[y=0]得， [kx-120（1+k2）x2=0].

由实际意义和题设条件知[x>0，k>0].

∴[x=20k1+k2=201k+k≤202=10]，当且仅当[k=1]时取等号.

∴炮的最大射程是10千米.

（2）∵[a>0]，∴炮弹可以击中目标等价于存在[k>0]，使[ka-120（1+k2）a2=3.2]成立.

即关于[k]的方程[a2k2-20ak+a2+64=0]有正根.

由[Δ=-20a2-4a2a2+64≥0]得，[a≤6].

此时，[k=20a+-20a2-4a2a2+642a2>0]（不考虑另一根）.

∴当[a]不超过6千米时，炮弹可以击中目标.

点拨 利用函数解决实际问题主要有以下步骤：（1）审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质，初步选择模型；（2）建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题（这是解题关键）；（3）解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；（4）还原：回到实际问题，检验结果的实际意义，给出结论.

备考指南

1. 要强化训练零点求法，函数与方程的转化技巧，会结合图象利用数形结合判断零点个数、零点所在区间. 掌握函数性质与方程根与系数关系的综合应用问题，总结基本解题规律.

2. 建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力. 要求会理解题意，将实际问题抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题.

限时训练

1. 函数[f（x）=lnx+2x-6]的零点所在的区间为 （ ）

A. （1，2） B. （[32]，2）

C. （2，[52]） D. （[52]，3）

2. 某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y=f（x）的图象大致为 （ ）

[y][x][O][1] [A] [y][x][O][1][B][y] [x][O][1][C] [y] [x][O][1][D]

3. 若a

A. （a，b）和（b，c）上 B. （-[∞]，a）和（a，b）上

C. （b，c）和（c，+[∞]）上 D. （-[∞]，a）和（c，+[∞]）上

4. 函数f（x）=2x-[2x]-a的一个零点在区间（1，2）上，则实数a的取值范围是 （ ）

A. （1，3） B. （1，2）

C. （0，3） D. （0，2）

5. 函数f（x）=[x-cosx]在[0，+∞）上 （ ）

A. 没有零点 B. 有且仅有一个零点

C. 有且仅有两个零点 D. 有无穷多个零点

6. 二次函数[f（x）=x2-bx+a]的部分图象如图，则函数[g（x）=lnx+f ′（x）]的零点所在的区间是 （ ）

A. [14，12] B. [12，1] C. [1，2] D. [2，3]

[y][x][O][1][1] [y][x][O][7][11][4 6]

（第6题） （第7题）

7. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N*）为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大 （ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

8. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y=f（x），则y=f（x）的图象是 （ ）

[y][x][O][2][10][1][5] [y][x][O][2][10][1][5] [y][x][O][2][10][2][10] [y][x][O][2][10][2][10]

A B C D

9. 假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=[M02-t30]，其中M0为t=0时铯137的含量. 已知t=30时，铯137含量的变化率是-10ln2（太贝克/年），则M（60）= （ ）

A. 5太贝克 B. 75ln2太贝克

C. 150ln2太贝克 D. 150太贝克

10. 若偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x2，则关于x的方程f（x）=[110x]在[0，103]上根的个数是 （ ）

nlc202309032007

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下，那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根为 （精确到0.1）.

[f（1）= -2＼&f（1.5）=0.625＼&f（1.25）=-0.984＼&f（1.375）=-0.260＼&f（1.4375）=0.162＼&f（1.40625）=-0.054＼&]

12. 已知函数f（x）= [x2，x≤0，f（x-1），x>0，]g（x）=f（x）-x-a，若函数g（x）有两个零点，则实数a的取值范围为 .

13. 函数f（x）=（x-1）sinπx-1（-1

14. 将一个边长分别为a，b（0

15. （1）求函数f（x）=x3-2x2-x+2的零点；

（2）已知函数f（x）=ln（x+1）-[1x]，试求函数的零点个数.

16. 设函数f（x）=[xx+2]-ax2，a∈R.

（1）当a=2时，求函数f（x）的零点；

（2）当a>0时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点；

（3）若函数f（x）有四个不同的零点，求a的取值范围.

17. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元. 为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10[a-3x500]万元（a>0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.

（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

18. 某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4m. 这种薄板须沿其对角线折叠后使用. 如图所示，ABCD（AB>AD）为长方形薄板，沿AC折叠后AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好.

（1）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；

（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？

（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ [B′][A][D][C][B][P]