威布尔参数

2024-07-20

威布尔参数（精选4篇）

威布尔参数篇1

摘要：推导建立了疲劳寿命服从三参数威布尔分布情况下的最小、最大疲劳寿命分散系数求解方法, 阐明了所提方法的计算推导过程。结合算例, 阐述威布尔分布的三个参数对最小、最大疲劳寿命分散系数的影响。

关键词：三参数,威布尔分布,疲劳寿命分散系数

利用试验数据评估航空零构件的安全性进而确定安全寿命是结构疲劳可靠性分析中的重要内容之一。飞机结构的使用寿命根据全尺寸的结构疲劳试验给出, 但是飞机结构的疲劳试验结果有很大的分散性。而且对于造价昂贵、试验成本高、周期长的航空发动机零部件, 工程上一般仅通过少量结构试验确定其安全寿命。目前国内外较多采用疲劳寿命分散系数法。

疲劳寿命分散系数是飞机结构疲劳定寿中的关键技术参数, 依照各国的各种规范不同取值有所不同。了解它的变化规律和掌握它的取值大小, 可直接影响飞机的定寿问题和可靠性的高低, 因此在国际疲劳研究领域中, 都十分重视对它的研究[1]。

工程上常采用的寿命分布形式有对数正态分布以及威布尔分布[2]。威布尔分布对于各种类型的试验数据拟和的能力很强, 它对于浴盆曲线的三个失效期都能适应;在各个领域中有许多现象近似地符合于威布尔分布, 因此, 它的适用范围很广, 是在可靠性工程中广泛使用的连续型分布形式。威布尔分布常用来描述零件的寿命, 例如零件的疲劳失效、轴承失效等寿命分布。

对于疲劳寿命服从对数正态分布、两参数威布尔分布的情况, 国内外的学者做的研究比较多[3—8], 而对于疲劳寿命服从三参数Weibull分布的情况, 尚未见到相关的研究报道, 作者拟通过三参数威布尔分布的定义、次序统计量和疲劳寿命分散系数的概念对寿命服从三参数威布尔分布的疲劳寿命分散系数确定方法进行研究。

1 疲劳寿命分散系数的定义[9]

大部分文献中疲劳寿命分散系数均定为中值寿命与可靠寿命之比[1,2], 然而采用最差或最好试验寿命与可靠寿命之比的分散系数在工程技术寿命评估中常需用到, 特别是基于最差试验寿命的分散系数非常有用[5]。据此采取的一般疲劳寿命分散系数的定义为:

疲劳寿命分散系数S等于试验寿命［N］t与安全寿命估计值［N］Ρ, λ的比值:

式中:试验寿命［N］t一般是最小寿命、最大寿命或中值寿命;［N］Ρ, λ为在一定可靠度P和置信度λ下的寿命估计值, 对于航空发动机旋转件的安全寿命, 要求P=99.87%, λ=95%。

2 威布尔分布模型及最小、最大次序统计量

威布尔分布是瑞典物理学家Waloddi.Weibull于1939年分析材料强度及链条强度时推导出的一种分布[10]。在疲劳强度研究中它的一种常用分布函数形式为:

(2) 式中:N为寿命随机变量;α为形状参数;β为尺度参数或称特征寿命;γ为位置参数或称最小保证寿命。

一般情况下, α>0, 形状参数α与分散性有关;当γ=0时, 称为二参数威布尔分布;当γ>0时, 称为三参数威布尔分布[11]。形状参数α越小分散性越大, α值增加则分散性减小[12]。试验研究结果表明形状参数α取决于下列因素:

(1) 试验寿命的长短:分散度随试验寿命的增长而增大;

(2) 材料强度的高低:分散度随材料强度的增加而增大;

(3) 试验类型:光滑试件的分散性较大;

(4) 载荷类型:旋转弯曲的试件分散性较大。

数据分析表明国产材料的α值与美国同类材料的α值相当, 而且疲劳寿命的分散性也与美国相当。尤其疲劳寿命在104~106范围内, 国产材料不小于国外材料的α值, 但应注意的是在长寿命时α值下降, 所以对α的取值要做适当考虑。

不同材料的不同状态的分散性参数是不同的, 而且分散性也是比较大的, 只能根据大量同类型材料的疲劳试验数据统计, 取比较保守值推荐使用[13]。

样本的次序统计量是数理统计中一个应用十分广泛的概念。母体N的分布函数为FN (N) , N1, N2, …, Nn为取自母体的随机样本, 将其按由小到大的顺序重新排序为:

则称N (1) , N (2) , …NT (n) 为样本 (N1, N2, …Nn) T的次序统计量, N (k) 称为样本的第k次序统计量, N (1) 称为样本的最小次序统计量, N (n) 称为样本的最大次序统计量。

3 服从三参数Weibull分布的疲劳寿命分散系数

基于前述的基本理论, 下面推导寿命服从三参数威布尔分布的最小、最大疲劳寿命分散系数。

3.1 基于最小试验寿命的疲劳分散系数

假设低循环疲劳寿命N服从三参数威布尔分布, 其概率分布函数为:

由数理统计知识, 样本寿命子样最小次序统计量N (1) 的分布函数为:

对于给定置信度λ, N (1) 满足如下概率条件:

在已知形状参数α, 特征寿命β, 最小寿命γ, 样本数n的条件下, 可得最小试验寿命为:

下面来求可靠度为Ρ的低循环疲劳寿命值:

由 (9) 式可得:

由式 (1) 、式 (8) 和式 (10) 得基于最小 (差) 试验寿命的分散系数:

3.2 基于最大试验寿命的疲劳分散系数

由数理统计知识, 可得样本寿命子样最大次序统计量N (n) 的分布函数为:

式 (2) 代入式 (12) 中, 得:

对给定置信度λ, N (n) 满足如下概率条件:

由式 (13) 和式 (14) 可得:

在已知形状参数α, 特征寿命β, 最小寿命γ, 样本数n的条件下, 可得最大试验寿命:

由式 (1) 、式 (10) 和式 (16) 得基于最大 (好) 试验寿命的分散系数:

4 算例分析

计算国产航空发动机轮盘的两种材料GH 4133和1Cr11Ni2W 2Mov[14,15]的疲劳寿命分散系数, 同时观察威布尔分布的三个参数对疲劳寿命分散系数的影响。

4.1 疲劳寿命分散系数的计算

计算在可靠度P=99.87%和置信度λ=95%, 分别求n=1、2、3、4、5个试验件的疲劳寿命分散系数, 将不同 (α, β, γ) 值[11]带入式 (11) 和式 (17) 中, 得到结果如表1—表8所示。

观察表1和表2、表3和表4两种材料的最小、最大疲劳寿命分散系数可知:最小试验疲劳寿命分散系数随试验子样数的增加而减小;最大试验疲劳寿命分散系数随试验子样数增加而增大。

从上述四组计算结果不能得到威布尔分布的三个参数对疲劳寿命分散系数的影响程度, 现以表5—表8给出的数据来分析三个参数对分散系数的影响。

对比表5中a、b组, 表6中e、f组和表7中c、d组数据, 可知, 形状参数α变到原来的2倍, 对于疲劳寿命分散系数的影响不大, 而且随试验子样数的增加, 影响有减小的趋势;对比表5中a、g组, 表6中e、h组, 表8中i、j组数据, 可知, 尺度参数β变到原来的2倍, 对于疲劳寿命分散系数的影响较大;对比表6中e、k组, 表7中c、l组和表8中i、m组数据, 可知, 位置参数γ变到原来的2倍, 对于疲劳寿命分散系数的影响较大。上述计算了两种材料当α, β, γ分别增大一倍而其他两个参数保持不变的情况下, 最小、最大疲劳寿命分散系数的变化, 由计算结果可以得到结论, α值变化对于疲劳寿命分散系数的影响不再起主导的作用, β与γ值的变化对疲劳寿命分散系数产生一定的影响甚至有时比α值变化产生的影响更大一些, 而这一点与文献[6]中的结论 (2) 有所不同, 这是由于文献[6]中两参数威布尔分布的疲劳寿命分散系数的推导公式中β值被消去, 而三参数威布尔分布的分散系数公式中不仅含有α、β值, 并且多了一个γ值, 而且β、γ在推导公式中的位置比较重要。

4.2 固定三个参数中的两个参数时的计算结果

三个参数两个固定一个变化, 按式 (11) 和式 (17) 计算得到图1—图6中的曲线。通过这些曲线, 分析各参数对最小、最大疲劳寿命分散系数的影响 (计算中, 同样取可靠度P=99.87%和置信度λ=95%, 取试验子样数n=2) 。

图 (1) 、图 (2) 中取尺度参数β=7 077, 位置参数γ=3 421, 形状参数α在1.11—4.38变化, △α=0.01, 得到结果拟合图形, 由图中分析得到结论:最小、最大疲劳寿命分散系数随形状参数α值增大而减小, 并且最后随α的变化趋于平缓。

图 (3) 、图 (4) 取形状参数α=1.98, 位置参数γ=3 540, 尺度参数β在3 621—12 110变化, △β=1, 得到结果拟合图形, 由图中分析并对式 (11) 、式 (17) 求导得到结论:最小、最大疲劳寿命分散系数与尺度参数β近似呈线性关系, 并且随β的增大而增大。

图 (5) 、图 (6) 取形状参数α=3.25, 尺度参数β=4 952, 位置参数γ在122—2 611变化, △γ=1, 得到结果拟合图形, 由图中分析得到结论:最小、最大疲劳寿命分散系数随位置参数γ增大而减小, 并且在γ≤500时, 变化较快, 在γ≥1 500时, 其变化趋于和缓。

5 结论

(1) 采用本文推导的求解公式可计算寿命服从三参数Weibull分布的任意给定可靠度、置信度和子样数n的最小、最大疲劳寿命分散系数。

(2) 计算结果表明, 形状参数α值减小, 疲劳寿命分散系数增大, 特征寿命β与疲劳寿命分散系数近似呈线性关系, 而且随β值增大而增大, 最小、最大疲劳寿命分散系数增大。最小寿命γ值增大, 最小、最大疲劳寿命分散系数S减小。

(3) α值变化对于疲劳寿命分散系数的影响不再起主导性的作用, β与γ值的变化对疲劳寿命分散系数产生一定的影响甚至有时比α值变化产生的影响更大, 这一点与文献[6]中的结论 (2) 有所不同, 这是由于文献[6]中两参数Weibull分布下的分散系数的推导的公式中β值被消去, 公式中只含有一个参数α, 而三参数Webull分布的疲劳寿命分散系数不仅含有α、β值, 并且含有γ, 三个参数对分散系数均产生一定影响。

威布尔参数篇2

基于威布尔的发动机涡轮叶片寿命可靠性评估

在发动机涡轮叶片寿命层面上提出了三参数的威布尔分布.确定其寿命的.实际分布,为发动机涡轮叶片的可靠性定量评估提供了一种切实可行的方法,其可行性已被初步的实验证实.同时也为航空公司舍理备件、节约备件库存量提供参考,对提高公司的运作效益有着重要的意义.

作者：李书明董成利黄燕晓 LI Shu-ming DONG Cheng-li HUANG Yan-xiao 作者单位：中国民航大学,航空工程学院,天津,300300 刊名：中国民航大学学报 ISTIC英文刊名：JOURNAL OF CIVIL AVIATION UNIVERSITY OF CHINA 年，卷(期)：2008 26(4) 分类号：V232.4 关键词：威布尔分布可靠寿命线性回归极大似然估计涡轮叶片

威布尔参数篇3

数控机床失效概率一般服从指数分布或者威布尔分布。对于指数分布许多前辈都对其进行了大量研究并得到了显著的成果形成统一的体系。而威布尔分布由于其形式复杂至今仍需进行大量研究。本文讨论威布尔分布的定数截尾试验下的数控机床可靠性评估方案。

1 威布尔分布

设产品寿命T服从威布尔分布, 则它的分布函数和密度函数分数分别为

2 极大似然估计法求参数点估计

威布尔分布是常用分布之一, 对于威布尔分布的参数的点估计有许多方法, 例如最好线性无偏估计 (BLUE) 、简单线性无偏估计 (GLUE) 。但最通用和简单的是极大似然估计方法。它可使用于完全样本、截尾样本, 不但可以进行点估计还可进行区间估计。设t1≤t2≤…≤tr (r≤n) 是来自威布尔分布的定数截尾样本, r是其截尾数, 可得参数估计的极大似然估计方程为

我们可以从上述第二个方程解出参数m的估计值, 显然只能用数值方法解之, 可以用二分法, 并把得到的值m^带入第一个方程解出β的估计值。

3 威布尔分布参数区间估计

从而可以得到β和η及MTBF的区间估计。

4 实例分析

摘要：本文研究了基于威布尔分布的数控机床在定数截尾试验中的可靠性评估方案。首先提出了试验是在定数截尾试验, 进而提出在总样本数和截尾数固定的情况下威布尔分布参数的点估计与区间估计, 最后用实例证明此种方法得到的平均无故障时间的区间估计较其他方法更精确。

关键词：数控机床,定数截尾,平均无故障时间,区间估计

参考文献

[1]CHEN Zhen-min.Joint Estimation for the Parameters of Weibull-Distribution[J].Journal Statistical and Inference, 1998, 66:113-120.

[2]茆诗松, 王静龙, 濮晓龙.高等数理统计[M].北京:高等教育出版社, 2006, 77.

威布尔参数篇4

近年来,汽车行业发展迅猛,市场对整车舒适性和安全性的要求也愈来愈高。汽车底盘系统作为汽车整体结构的重要组成部分,其安全性尤其可靠性方面是整车安全性能的重要评价依据[1]。

目前,针对底盘零部件的疲劳寿命验证,多数汽车企业或零部件供应商只是对少数零部件进行试验验证,测试通过设计寿命即可。但在实际使用过程中,汽车底盘零部件受力情况复杂,环境条件恶劣,单个设计寿命或试验室测试寿命都不足以充分显示其可靠性寿命。整车可靠性测试,成本太高,是其最大短点。汽车部分行业标准规定,汽车底盘件的疲劳寿命要满足寿命B值寿命要求。Bx是指指定的时间区域或里程内,x%的样本达到所规定的失效或者检修的指标[2]。B值寿命的评估是在威布尔分布的基础上进行的可靠性寿命评估,是汽车行业应用较广的方法。但B值寿命的计算方法复杂,是阻碍其正常应用的难点。

本文以汽车底盘件中转向节为研究对象,依托试验室液压伺服可靠性系统实测数据,以威布尔理论为基础,对其疲劳寿命进行威布尔分布的参数估计,建立合理可行的B值寿命计算方法,以期对汽车底盘零部件的可靠性寿命预测和测试判定提供参考。

1 威布尔理论介绍

威布尔分布是随机变量分布之一,利用概率值推导出其分布参数,被广泛应用到各种寿命试验的数据处理,也是失效数据分析中应用最广泛的分布之一[3]。

威布尔分布在数学上可定义如下:

F(t)为故障密度分布函数;t为故障时间;t0为分布起始点或原点;η为特征寿命或尺度参数;β为斜率或形状参数;e为自然常数。

F(t)定义了在时间t将要发生故障的一组部件的累计概率,则1-F(t)为没有发生故障的概率,用可靠度R(t)表示。

威布尔分析的研究是通过在威布尔概率图上绘制单一失效模式的寿命数据来研究部件的寿命时间和它的可靠度之间的关系。

图1为威布尔概率图,其中横坐标为时间t,纵坐标为对应的累计概率。直线的斜率为β,其值不同,代表不同的失效类别,并对应不同的失效原因。

2 可靠性B值寿命算法

B值寿命通过威布尔累积概率密度分布函数来求得。威布尔故障密度分布函数表达式:

则,可靠度函数R(t)=1-F(t )=e-((t-t0)/η )β。

t0为分布原点,在此令t0=0,得:

两边取对数,求得:

将上式用直线方程表示,Y=BX+A。

针对直线方程,用最小二乘法求得估计值^B 、^A。

将其代入上式求得β和η值,得威布尔故障密度分布函数表达式。

对B值寿命(以Bx为例),令:

求得t即为Bx寿命,它表示x%的样本达到所规定的失效标准指标时,所用时间或寿命为t。

3 试验寿命评估及分析

汽车转向节是底盘系统中重要零部件。某汽车公司要对转向节部件进行疲劳耐久试验,以验证其疲劳可靠性能。样品数量为10件,在底盘可靠性试验系统上利用液压伺服进行单载荷疲劳寿命试验,加载条件和台架试验如下。

试验条件:按标准要求(满足力矩要求)固定样品,试验载荷±3900N,加载频率5Hz。100万次试验后,检查转向节有无裂纹、断裂等失效形式。将试验载荷增至1.1倍继续进行试验70万次,转向节未出现裂纹、断裂等失效形式。再将试验载荷增至1.6倍继续进行试验50万次,转向节局部出现裂纹、断裂等失效形式。试验过程中,任一阶段出现样品出现裂纹且长度大于10mm,或样品出现断裂,则样品失效,试验停止。

按照试验要求,对10件样品依次进行试验,样品编号和相应试验寿命如表1所示。

试验样品样本数量较小,针对底盘零部件,用B10寿命评估其疲劳可靠性寿命。根据式(4)~式(10),求得威布尔概率密度函数F(t),再将x=10代入式(11),即可求得转向节样品的B10寿命。

首先,将试验数据按照寿命从小到大重新排列,并编序号。根据文献[3],利用中位秩法伯那德公式(Benard's formuls),求得中位秩值。

其中,N为样本总数,i为调整秩值(试验寿命调整后的编号)。

利用式(1)~式(8),得出数据如表2所示。

然后,利用最小二乘法,将数据代入式(9)、式(10),得出最小估计值B^= β^=4.64,η^=eβ^=167.73,得出威布尔概率密度函数:

在该函数中,斜率或形状参数β=4.64率或,由文献[3]可知,此转向节失效属于快速损耗,可能引起的此损耗的原因为:部件老化;材料自身属性有改变或缺陷;制造过程中出现问题。

由此,可得寿命与威布尔分布概率的关系如图4所示。

其中,横坐标为试验寿命,纵坐标为对应的威布尔分布累计概率,分布数据相关系数r=0.98。

将x=10,β=4.64,η==16176.77.373代入式(11),得可靠性寿命B10=103.29万次。

从分布数据相关系数r和B10可知,威布尔可以合理的应用到可靠性数据处理,比较符合实际情况,可以推广运用到汽车底盘件疲劳可靠性B值寿命评估。

4 结论