双层规划模型

2024-08-23

双层规划模型（精选12篇）

双层规划模型篇1

摘要：双层规划(Bilevel Programming Problem,BLPP)是一种具有二层递阶结构的系统,上层结构和下层结构都有各自的决策变量、约束条件和目标函数。BLPP研究的是具有两个层次系统的规划与管理问题,自适应粒子群优化算法(Adaptive Particle Swarm Optimization,APSO)不仅具有PSO的优势,如算法简洁,参数少,易于实现等,而且平衡了PSO算法的全局搜索能力和局部改善能力,大大提高了PSO算法的收敛性与精度。提出用APSO算法求解BLPP的问题,借助分层迭代的思想,进而提出了求解双层规划模型的通用算法,最后通过实验验证了算法的有效性。

关键词：双层规划,自适应粒子群优化算法,分层迭代

1 引言

双层规划研究的是具有两个层次系统的规划与管理问题。上层决策者只是通过自己的决策去指导下层决策者,并不直接干涉下层的决策;而下层决策者只需要把上层的决策作为参数,他可以在自己的可能范围内自由决策。这种决策机制使得上层决策者在选择策略以优化自己的目标达成时,必须考虑到下层决策者可能采取的策略对自己的不利影响。因此,双层规划是一种NP hard问题,具有一定的复杂性与现实意义。

目前对于双层规划模型通常采用数值仿真计算,以期在合理的时间内获得模型的近似最优解。但是,当前国内外一些学者提出的求解算法或求解方法,都是针对特定的双层规划模型提出的,并且算法的运行效率和收敛精度都不高。本文在分析和借鉴现有的一些较优秀的算法思想的基础上,提出采用自适应粒子群优化算法求解双层规划模型。实验研究表明,本文提出的算法不仅能有效求解双层规划模型,可以获得高质量的全局最优解,而且该算法具有通用性和普遍性,不依赖于具体的双层规划模型。

2 双层规划模型

双层规划模型的基本思想可以用下面的数学模型来描述:

设上层决策者控制的变量为

下层决策者控制的变量为

上层规划的数学模型为:

其中y=y(x)由下层规划求解。

下层规划数学的模型为:

双层规划模型是由以上两个相互关联的子模型(U)和(L)组成,F是上层规划所确定的目标函数,x为上层规划的决策变量,G是对变量的约束;f为下层规划所确定的目标函数,y为下层规划的决策变量,g是对变量y的约束。上层决策者通过设置x的值影响下层决策者,因此限制了下层决策者的可行约束集,而下层决策者的行为反过来又会通过y影响上层的决策,所以下层决策变量y是上层决策变量x的函数,即y=y(x),这个函数一般称为反应函数。

一般来说,求解线性双层规划问题是非常困难的,Jeroslow指出线性双层规划是一个NP-hard问题,Ben-Ayed及Bard对此结论给出了简短的证明;Hallsen对性双层规划是强NP-hard问题给出了严格的证明。后来,Vicente指出,寻找线性双层规划的局部最优解也是NP-hard问题,不存在多项式求解算法。即使双层规划上、下层中目标函数和约束函数都是线性的,它也可能是一个非凸问题,并且是非处处可微的。非凸性是造成求解线性双层规划问题异常复杂的重要原因。

3 粒子群优化算法模型

3.1 基本粒子群优化算法

粒子群优化算法是通过模拟鸟群觅食行为而发展起来的一种基于群体协作的随机搜索算法,在PSO中,每个优化问题的解都是搜索空间中的一只鸟。我们称之为“粒子”。所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适应值,每个粒子还有一个速度决定他们飞翔的方向和距离。然后粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。

PSO初始化为一群随机粒子(随机解),然后通过迭代找到最优解,在每一次叠代中,粒子通过跟踪两个“极值”来更新自己。第一个就是粒子本身所找到的最优解,这个解叫做个体极值pBest,另一个极值是整个种群目前找到的最优解,这个极值是全局极值gBest。粒子在找到上述两个极值后,就根据下面两个公式来更新自己的速度与位置:

其中,Vk为迭代第k步粒子的速度,Xk为第k步粒子的位置,pBestk为第k步粒子本身所找到的最优解的位置,gBestk为第k步整个粒子群当前找到的最优解的位置;rand是[0,1]之间的随机数,c1和c2被称作学习因子,通常,c1=c2=2,w是加权系数,一般取值在0.1-0.9之间。

3.2 自适应粒子群优化算法

为了平衡PSO算法的全局搜索能力和局部改善能力,采用非线性的动态惯性权重系数,公式如下:

其中wmax、wmin分别表示w的最大值和最小值,f表示粒子当前的目标函数值,favg和fmin分别表示当前所有粒子的平均目标值和最小目标值。在上式中,惯性权重随着粒子的目标函数值而自动改变,因此称为自适应权重。

当各粒子的目标值趋于一致或者趋于局部最优时,惯性权重将增加,而各粒子的目标值比较分散时,惯性权重将减小,同时对于目标函数优于平均目标值的粒子,其对于的惯性权重因子较小,从而保护了改粒子,反之对于目标函数值差于平均目标值的粒子,其对于的惯性权重因子较大,使得该粒子向较好的搜索区域靠拢。

3.3 双层规划模型求解方法

双层规划问题是一个多目标优化难题,对于一个非线性双层规划问题,对其求解会更加复杂。粒子群优化算法结构简单,控制参数更少,本文将利用分层迭代的思想,采用改进的粒子群算法求解双层规划问题。算法的基本流程如下:

步骤1(初始化)初始化自适应粒子群算法中的参数;随机产生下层模型的初始解(需满足约束条件)。

步骤2 (求解上层规划)将下层模型的解代入上层模型,利用算法求解上层模型,获得上层模型的最优解。

步骤3(求解下层规划)将上层模型的解代入下层模型,利用传统优化方法求解下层模型,获得下层模型的最优解。

步骤4(判断)若满足算法终止条件(误差足够好或者达到最大迭代条件),则停止,否则转步骤2。

4 算例研究

下面通过几个双层规划模型的数值例子,来验证本文给出的自适应粒子群算法求解双层规划模型的可行性与有效性,并与参考文献中的结果做比较。

例1

例2

在上例中,取离子数为40,学习因子都取2,最大惯性权重为0.9,最小惯性权重为0.6,迭代步数取100,最后得到的结果和文献比较如表1所示。

从上述的例子结果可以看出,本文算法的计算结果和文献基本相符合,充分可以得出本文算法的有效性,另外,由于粒子群算法的简单与智能化,参数设定比较少,因此,在解决类似问题具有一定的优势。

5 结论

采用自适应粒子群算法求解双层规划模型是一项崭新的尝试,通过对算例的数值计算,表明本文提出的算法是非常有效的。自适应粒子群算法不仅能够有效的求解双层规划模型,而且具有一定的通用性和普遍性。本研究期望能为以合理的代价用智能算法求解大型复杂模型指明一条新的路径。

参考文献

[1]Kennedy J.Eberhart R.Particle swarm optimization[C].IEEE International Conference on Neural Networks(Perth,Austra1ia),IEEE Service Center,Piscataway,N J,1995,IV:1942-1948.

[2]Shi Y.Eberhart R.A modified particle swarm optimizer[C].IEEE International Conference on Evolutionary Computation,Anchorage,Alaska,May4-9,1998.

[3]孙会君,高自友.供应链分销系统双层优化模型[J].管理科学学报,2003,6(3):66-70.

[4]吕振肃,侯志荣.自适应变异的粒子群优化算法[J].电子学报,2004,32(3):416-420.

[5]江燕,胡铁松等.基于粒子群算法的非线性二层规划问题的求解算法[J].运筹与管理,2006,15(2).

[6]刘佳,秦四平.不确定性决策在配送中心选址y元素中的应用研究[J].物流技术.2006.(12):52—54.

[7]龚纯,王正林.精通MATLAB最优化设计[M].北京:电子工业出版社,2009.271-290.

[8]王红双,张欣蕾,赵娜.基于双层规划模型的配送中心选址问题研究[J]-科技信息,2010(12).

双层规划模型篇2

（1）Fiona

菲奥纳

最初是苏格兰作家威廉？夏普的笔名。他曾经撰写一系列取自克尔特民间故事题材的小说。他的笔名选用的很恰当。因为爱尔兰的许多名字都带有‘Finn-’或‘Fionn-’这个前缀；这两个克尔特语前缀的意思是‘美丽’和‘白色’。据古代传说，在爱尔兰曾居住着一批巨人。他们当中，有一个英雄名叫Finn，又名Fionn或Fingal。此外，人们还传说古爱尔兰住着一位‘白肩姑娘’(克尔特语为Fionnguala，她是李尔王的女儿。后来她变为天鹅，在漫长的几百年间，游荡在爱尔兰的河川湖泊中。

（2）Erica

艾丽卡

①有权力的；帝王的；统治者。②(老式挪尔斯语)“所向无敌”;是Eric的女性形式。所向无敌？没错！Erica被看做是意志坚强，性感的金发女子，富有，任性，而且定不下来。

（3）Ellie 埃莉

为Eleanor,Ella, Ellen等字的简写：人们认为ELLIE是可爱保守的南方乡村女孩，天真，迷人，而且甜美。

（4）Abraham 亚伯拉罕

原为希伯来文，意为“民族之父”。后来，它演变成“万物之父”的意思。大多数人将ABRAHAM形容为高大壮硕留着胡子的领袖，诚实，庄严，聪明，像亚伯拉翰林肯总统一样。

（5）Albert 艾伯特

(老式英语)崇高，聪明之意。ALBERT引人联想起三种形象；肥胖、笨重、缓慢，如Fat Albert；聪明，行为古怪，如Albert Einstein：或是正式，ALFRED(古英语)，睿智的参谋。ALFRED给人两种截然不同的印象：一种是超重的智者，所谓智者就是有智能的老人家，行事谨慎，另一种是文弱的书呆子。ANDREW洛j希腊里有男子气概、雄壮、勇敢的男人。

（6）Bruce 布鲁斯

来自一个地名Bruis或Braose，它是法国瑟堡(Cherbourg)附近的村庄。据说，村里有一个庄主，取名叫Bruis，当诺尔曼人征服英国时，他们的子孙征服者来到英国，并把这姓名也传入英国。后来，苏格兰出现了一位民族英雄，叫罗伯特?布鲁斯，据说就是由法国去的布鲁斯家族的后代。（7）Caspar 卡斯珀

人们对Caspar有两种印象。友善，害羞乐于助人的，就像鬼马小精灵一样。或是年长,有着忠实信仰，就像圣经里Caspar一样.CHARLES(古德文)有男人气概，强壮。CHARLES不是被看做辛勤，忠实的朋友与领导者就是被认做是聪明，自大的吹毛求疵者。

（8）Daniel 丹尼尔

(希伯来)“上帝为我们的裁决者”.Daniel被形容为英俊强壮的美国童子军，喜好运动勇敢，友善，值得信赖，教养良好，聪明且随和的人。DARRYL(古英语)意为『亲爱的』。

（9）Edgar 埃德加

老式英语)“幸运的战士”。原盎格鲁萨克逊语为Eadgar。Ead-这个前缀词表示『富有』,『幸福』。

英国历史上，有一位人人皆知的国王Edgar the Peaceful(安详的埃德加)，创建了英国的海军部队，并联合了八个小国王，使英国国力有所增强。十九世纪美国诗人兼小说家阿兰?波(Edgar Allan Poe)就是叫Edgar，昵称Ed。

（10）Elvis 埃尔维斯

(老式挪斯语)“全能的”同Elwin。Elvis Presley是这个名字的代表人物。人们将Elvis描绘为英俊大方，唱蓝调的南方摇滚巨星 EVAN(威尔斯)“年轻的战士”，JOHN的威尔斯型式。人们形容Evan是文质彬彬的年轻人有着男孩般俊俏面容，聪明的能够完成医学院的学业，才气纵横的足够出书。

（11）Jack 杰克

同JOHN,JACOB;是JACKSON的简写，大部份的人认为Jack是个具威胁力的人-体魄健壮，阳刚，强壮，自负，聪明。也有人认为Jack可爱，有趣喜欢追求快乐的家伙。

（12）Kenny 肯尼

是Kenneth的简写，人们把kenny当做是一般的美国男孩，年轻的足球英雄而且心地善良，成年后也是个肯为家庭投注心力的好男人。

（13）Nicholas 尼古拉斯

(希腊)“胜利的人”。感谢圣者Nicholas，大部份的人认为Nicholas是可爱，肥胖，快乐，大方的。有些人则认为Nicholas是个被宠坏难以捉摸的小恶魔。

（14）Rex 雷克斯

(拉丁)帝王的意思。谢谢HENARY HIGGINS做的REX HARRISON的雕像，人们对REX的印象是强壮庄严相当有自我风格的人，但别人眼中却稍嫌莽撞。有些人却认为REX是个独来独往的死硬派-有可能是飞行员或小偷。REX也是个适合小狗的名字。

（15）Shawn 肖恩

双层隐形裤脚篇3

于是，我先找出我穿的黑裤子，然后找了些黑布，把黑布裁成长方形的布条，布条不能太长也不能太短，再让奶奶帮我把布条接到了裤子止。我当模特试了试，把袜子套在内层的裤脚上，既舒服，又美观。

哈哈，我的小发明就这样诞生了，它就是漂亮的黑裤子上的双层隐形裤脚。

指导教师王琪

四川省成都市实验小学青华分校

温光控开关

牟伦丹

我发现现有的声光控开关．虽然解决了一些节能的问题，但它并不算智能化。它们有两个缺点：一是遇到打雷、下雨、动物叫等声音时，灯就会误亮；二是过往行人为了自己的照明，往往不顾及别人的休息，要么大声吼叫，要么拍掌、跺脚，严重地影响了人们正常的休息。我想将现有的这种开关的声控部分作一些改进，利用仿生学的原理，制造一个“颊窝”(响尾蛇的感觉器官)，这个“颊窝”的灵敏度极高，能感觉到十分之几度的温度变化。当行人在距开关15米—20米处的地方时，它便可根据人身上的体温接收器自动感应，然后接通电流。此开关不会受季节温度变化的影响，开关的原光控部分仍然适用。

指导教师：叶小柱

双层规划模型篇4

1 符号定义

考虑网络G=(N,A),其中:N为交通网络中节点的集合;A为交通网络中有向弧(即路段)集合;A*为交通网络中收费有向弦的集合, A*⊆A;R为产生交通量的起始点的集合,R⊆A;S为吸引交通量的终讫点集合,S⊆N,S∩R不一定是空集;r为代表一个起始点,r∈R;s为代表一个终讫节点,s∈S;Krs为连接O-D对r-s的所有路径的集合;qrs为在所研究时段内从r到s的交通需求量。固定需求下为一个常数,弹性需求下,为该O-D对r-s间最小阻抗μrs的单调下降函数,即qrs=Drs(μrs);f $_{k}^{r s}$ 为O-D对r-s之间的第k条路径上的流量,k∈Krs;xa为路段a上以基本车型计算的交通流量,a∈A;ya为路段a上以基本车型计算的收费率水平,a∈A;ya min为在弦a上应付的收费费率值;ya max为在弦a上最高的最低收费费率值;ta为路段a上基本车型的阻抗,a∈A;C $_{k}^{r s}$ 为O-D对r-s之间的第k条路径上基本车型的阻抗;δ $_{a, k}^{r s}$ 为如果路段a在连接O-D对r-s的第k条路径上,值为1,否则为0。

2 双层规划模型的提出

由于交通网络管理部门(政府),收费道路建设、经营者和道路使用者在路网上收费道路费率的制定上,他们的目的、决策地位和所起的作用不同,交通网络管理部门在规划和修建高速公路和确定收费费率时,关心的是交通网络被利用的状况;收费道路建设与经营者希望达到的目标是总收费额或盈利最大;而道路使用者则要求出行车辆尽量小,三者的目标各自独立、矛盾。因此,收费道路费率的确定是一个典型的双层决策问题,双层规划成为描述道路网中道路费率的理想工具。

2.1 假设条件

1)只考虑单个道路收费经营者。如果路网中有多个收费道路经营者,由于路网中各路段的相互协调性,他们之间的利益目标可能相互冲突,需要协调,可采取加权和 $\sum_{n \in Ν} W_{n} = 1, W_{n} \geq n$ ;最大目标为 $\max_{t} Ζ (x (y), y) = \sum_{n \in Ν} W_{n} \sum_{a \in A^{*}} x_{a} y_{a}$ ,其中路网中共有N个收费道路经营者。

2)驾驶员的路径阻抗和交通需求具有路段可加性,即 $c_{k}^{r s} = \sum_{a} t_{a} δ_{a, k}^{r s} ‚ x_{a} = \sum_{r} \sum_{s} \sum_{k} f_{k}^{r s} δ_{k}^{r s} ‚ \sum_{k} f_{k}^{r s} = q_{r s}$ 。

3)由于分车型计算收费费率可以转换为单纯以基本车型计算的一般费率水平,考虑到收费模型的简化,以及模型解的存在和求解的方便,可以采用先以单一的基本车型计算一般费率水平,然后根据不同车型交通量的换算系数和费率比例系数、以及不同车型的交通量比例,来确定不同车型的费率。因此,建立如下的路段阻抗函数[12]:

$t_{a} (x_{a}, y_{a}) = t_{a}^{0} [1 + α (\frac{x_{a}}{C_{a \max}})^{β}] + θ \times Ω_{a} + θ \times y_{a} + τ_{a} .$

式中:t $_{a}^{0}$ 为弧上基本车型的自由流行驶时间,h;Ca max为弧a上基本车型计算的最大允许交通量,辆;Ωa为弧a上基本车型计算的行驶费用,包括燃润油、轮胎等消耗费用,在非拥挤的状态下,取值与路段长度有关,而与路段流量无关;τa为弧a上基本车型由于安全性、舒适性和个人偏好的随机扰动项,服从二重指数分布,存在于随机的交通分配模型中,在固定和弹性需求的交通分配模型中取值为0;α、β为标定的参数。其中:①基本车型的不同类用户具有相同的时间价值,所以弧上基本车型的形式费用Ωa和收费费率ya的时间转换系数都为θ;②Ωa和ya在路段阻抗函数均为外生常量,与路段流量xa无关;③ta(xa,ya)仅仅受自身路段流量xa变化的影响,与其他路段的流量无关,并且是xa的严格单调增函数;④t(x,y)具有连续可微的原函数I(x,y),即t(x,y)=∇I(x,y)。

2.2 上层规划管理者

拟定上层规划管理者为收费道路建设者与经营者,其目标是保证收回贷款,保证道路基本交通量以及路段流量不超过通行能力、同时使整个网络收费额最大,得到如下上层规划管理者模型为

$\begin{array}{l} \max_{t} Ζ (x (y), y) = \sum_{a \in A^{*}} x_{a} y_{a}, \\ s . t . y_{a \min} \leq y_{a} \leq y_{a \max}, a \in A^{*}, \\ \sum_{a} G_{a} (x_{a}, t_{a}) \geq Ρ . \end{array}$

式中:Ga(xa,ta)为路段a在一定收益水平下的收益;p为当路段属于还贷模式时,等于收费道路修建费用、贷款利息、运营与养护费用等之和。

2.3 下层用户模型

下层模型为用户努力使自己的出行费用最省为目标,路网中每对O-D点对间的出行需求要受到两点之间阻抗的影响,当两点之间的收费额增加时,阻抗随之增加,交通量会相应减少。因此,下层规划采用弹性需求用户均衡模型处理会更加符合实际。得到如下下层规划用户模型,公式为

$\begin{array}{l} \min_{x (t)} F (x, y) = \sum_{a \in A} \int_{0}^{x_{a} (y)} t_{a}^{1} (ω) d ω + \\ θ \sum_{a} Ω_{a} x_{a} + θ \sum_{a} y_{a} x_{a} - \sum_{r s} \int_{0}^{q_{r s}} D_{r s}^{- 1} (ω) d ω, \\ s . t . \sum_{k} f_{k}^{r s} = q_{r s}, q_{r s} \geq 0, f_{k}^{r s} \geq 0 . \end{array}$

其中

$x_{a} = \sum_{r} \sum_{s} \sum_{k} f_{k}^{r s} δ_{k}^{r s} ‚ t_{a}^{1} (x_{a}) = t_{a}^{0} [1 + α (\frac{x_{a}}{C_{a \max}})^{β}]$ .在O-D对(r,s)之间的交通需求与它们之间的出行费用的关系可用一个函数来描述

qrs=Drs(crs),

式中:crs为节点r到节点s的出行费用;qrs为从r～s的出行需求量;Drs(·)为r和s间的出行量需求函数;D $_{r s}^{- 1}$ (·)为反函数。

3 数值算例

1)在图1中,①到②是收费公路,①到③是待修的收费高速公路,其余路段都是非收费公路,同时假定网络中仅有两种车型,同时规定弹性需求模式下各个O-D对之间标准车型的交通需求函数形式为

$q_{r s} = \hat{q}_{r s} \exp (- k c^{r s}), \forall r, s .$

式中: $\hat{q}$ rs为标准车型在O-D对(r,s)间的潜在需求;c $_{g}^{r s}$ 为车型g在O-D对(r,s)间的出行费用;k为反映需求对出行费用的灵敏度的参数,k=24。

表1中列出了单车型(折算成车型Ⅰ)的测算收费费率的各O-D对之间的需求以及分车型测算收费费率时各车型在不同O-D对之间的潜在需求。

辆/d

2)路段阻抗函数为

$t_{a} (x_{a}) = t_{a}^{0} [1 + 0.15 (\frac{x_{a}}{C_{a \max}})] + θ \times y_{a} + Λ_{a} .$

式中:α=0.15,β=1.0;Λa=θ×Ωa+τa;la为弦a的长度,a∈A;当a∈A-A*,a上基准车型的收费ya为0,而当a∈A*={①,③}时,各车型在两条路上的收费相同。以yala作为求解变量。

在此计算例中,为了计算简便,假设运输成本和个人偏好时一个常数,将行驶成本折算后的时间成本和个人的偏好费用用来表示行驶费。

表2列出了单车行测算收费费率时路段a上的行驶费用Λa以及分车型测算收费费率时路段a上基准车型g的行驶费用Λag。将运输费转化为等价值时间的转换系数(θ1a,θ1ag)和将收费转化为等价时间的转化系数(θa,θag取成相等)。

3)收费路段①-③的建造成本函数是路段容易Ca max的线性函数

$G_{a} (C_{a \max}) = σ C_{a}^{0} C_{a \max}, a \in A^{*} .$

式中:零流时间C $_{a}^{0}$ 与路段长度la成正比,σ是比例参数,即σ=2.4×107。

4)将收费道路的建造成本费用映射为单位时间的费用。取参数ψ=8.16×10-4(1/d),则ψGa表示路段a的单位时间建造成本费用。

5)网络中车型Ⅰ与车型Ⅱ的换算系数比值为Γ1∶Γ2=1∶1.7,他们在路段上的收费转化为等价值时间的转化系数分别为φa1=1/2 400(d/元),φa2=1/4 800(d/元),a∈A*。另外设单车型测算收费费率对应参数为θa=1/2 800(d/元)。

6)收费路段①-③的道路容量设计为225 000(辆/d)。

4 基于遗传-模拟退火的混合优化算法

Step0:初始化。

令基准车型g的初始阻抗为

$\begin{array}{l} t_{a g}^{(0)} = t_{a}^{1} (0) + θ_{a g} y_{a g} + Λ_{a g}, \forall a \in A^{*}, g \in G; \\ t_{a g}^{(0)} = t_{a}^{1} (0) + Λ_{a g}, \forall a \in A^{*}, g \in G . \end{array}$

按“全由全无”法将各车型的O-D矩阵加载,得到各车型的路段流量{x $_{a g}^{(1)}$ },∀g∈G,设 $x_{a g}^{(1)} = \sum_{g} Γ_{g} x_{a g}^{(1)}, \forall a \in A$ 。置循环次数n=1,附加项中的系数γ为区间(0.0,1.0)中的一个小正数,如γ取0.001。

Step1:更新各车型的路段阻抗。

对每一车型,计算

$\begin{array}{l} t_{a g}^{(n)} = t_{a}^{1} (x_{a}^{(n)}) + θ_{a g} y_{a g} + Λ_{a g}, \forall a \in A^{*}; \\ t_{a g}^{(n)} = t_{a}^{1} (x_{a}^{(n)}) + Λ_{a g}, \forall a \in A - A^{*} . \end{array}$

Step2:寻找可行方向。

对每一车型g,根据{t $_{a g}^{(n)}$ },用“全由全无”法将各车型的O-D矩阵加载上网,得到每一车型的辅助路段流量{v $_{a g}^{(n)}$ },设 $v_{a g}^{(n)} = \sum_{g} Γ_{g} v_{a g}^{(n)}$ 。

Step3:计算迭代步长。

用二分法求解一维极小问题

$\begin{array}{l} \max \sum_{a \in A} \int_{0}^{x_{a}^{(n)} + λ (v_{a g}^{(n)} - x_{a}^{(n)})} t_{a}^{1} (ω) d ω + \\ \sum_{a \in A} \sum_{g \in G} Γ_{g} Λ_{a g} [x_{a g}^{(n)} + λ (v_{a g}^{(n)} - x_{a g}^{(n)}] + \\ \sum_{a \in A} \sum_{g \in G} Γ_{g} θ_{a g} y_{a g} l_{a} [x_{a g} + λ (v_{a g}^{(n)} - x_{a g}^{(n)}] + \\ \sum_{a \in A} \sum_{g \in G} \frac{γ Γ_{g}}{2} [x_{a g}^{(n)} + λ (v_{a g}^{(n)} - x_{a g}^{(n)}] ‚ \\ s . t . 0 \leq λ \leq 1 . \end{array}$

其解为λn。

Step4:更新路段流量。

计算:

$\begin{array}{l} x_{a g}^{(n + 1)} = x_{a g}^{(n)} + λ_{n} (v_{a g}^{(n)} - x_{a g}^{(n)}), \forall a \in A, g \in G; \\ x_{a g}^{(n + 1)} = \sum_{g \in G} Γ_{g} x_{a g}^{(n + 1)}, \forall a \in A, g \in G . \end{array}$

Step5:检验收敛性。

如果 $\sum_{g \in G} Γ_{g} (\sqrt{\sum_{a \in A} (x_{a g}^{(n + 1)} - x_{a g}^{(n)}} / \sum_{a \in A} x_{a g}^{(n)}) \leq ε$ (小正数),则停止迭代;否则令n=n+1,γ=0.5γ,转Step1。

得到弹性需求模式下采用单车型和分车型测算收费费率两种方案的计算结果,表3列出了不同方案下各路段上的交通量和收费总额。

5 结束语

从表3可以看出收费大小对路段的流量影响十分显著,分车型测算的收费费率比单车行测算费率的收费费率下调了26.2%(车型Ⅰ),那么收费路段上的车型Ⅰ的交通量肯定会相应增加,从而使得总的交通量也会有所增加。本文结合算例总结出采用弹性需求模式下收费道路费率优化算法,能合理的调整费率,能保证导率经营者实现财务目标,而且能有效地均衡道路交通流量,由于双层规划模型计算复杂,因此,大规模的路网还需要进一步研究。

摘要：考虑弹性用户需求下,当两点之间的收费额增加时,阻抗会随之增加,交通需求量会相应减少,引入新的交通阻抗函数。根据弹性交通需求下交通均衡配流,考虑一个双层规划模型来考虑道路经营者收费道路费率制定,同时在这个基础上给出了基于遗传-模拟退火的混合优化算法(GASA)求解算法,最后通过一个数值算例加以简单的论证,得到比较合理的费率。

双层油罐的安装问题 - 副本篇5

 政府文件背景

一、2015年国务院正式发布了《水污染防治行动计划》（以下简称《计划》），《计划》内容包括总体要求、工作目标、主要指标以及10条细则。《计划》又称“水十条”，其第八条内容为全力保障水生态环境安全，要求保障饮用水水源安全、深化重点流域污染防治、加强近岸海域环境保护、整治城市黑臭水体、保护水和湿地生态系统。第八条部分条款：

（二十四）保障饮用水水源安全。从水源到水龙头全过程监管饮用水安全。地方各级人民政府及供水单位应定期监测、检测和评估本行政区域内饮用水水源、供水厂出水和用户水龙头水质等饮水安全状况，地级及以上城市自2016年起每季度向社会公开。自2018年起，所有县级及以上城市饮水安全状况信息都要向社会公开。强化饮用水水源环境保护。开展饮用水水源规范化建设，依法清理饮用水水源保护区内违法建筑和排污口。单一水源供水的地级及以上城市应于2020年底前基本完成备用水源或应急水源建设，有条件的地方可以适当提前。加强农村饮用水水源保护和水质检测。防治地下水污染。定期调查评估集中式地下水型饮用水水源补给区等区域环境状况。石化生产存贮销售企业和工业园区、矿山开采区、垃圾填埋场等区域应进行必要的防渗处理。加油站地下油罐应于2017年底前全部更新为双层罐或完成防渗池设置。报废矿井、钻井、取水井应实施封井回填。公布京津冀等区域内环境风险大、严重影响公众健康的地下水污染场地清单，开展修复试点。（环境保护部牵头，财政部、国土资源部、住房城乡建设部、水利部、商务部等参与）

二、为了解决油品渗漏导致的污染问题，2013年住建部和国家质量监督检验检疫总局联合发布了GB50156《汽车加油加气站设计与施工规范》其中第6.5.2条规定：“采取防止油品渗漏保护措施的加油站，其埋地油罐采用下列之一的防渗方式：

1、单层油罐设置防渗罐池；

2、采用双层油罐。”（而单层油罐加防渗罐池的方式在成本上远高于双层油罐，且施工周期长，因为采用双层壁油罐是必然的发展趋势）

 产品

一、基础知识：

 SS双层罐材料：内罐为5-7厚的Q235碳素结构钢，外罐由5-7mm钢制结构。为了确保油罐不受土壤腐蚀，SS双层壁油罐通常采用外壁喷涂防腐漆加阴极保护的方式，SS双层壁油罐通常采用压力真空法测漏，该方法属于I级测漏系统，反应灵敏，对地下水无污染。

SS双层壁罐的优点在于罐体强度高、耐腐蚀性好，使用寿命长，导静电性能优异

 SF双层罐材料: 内层为5-7厚的Q235碳素结构钢外层为: 不小于4mm玻璃钢通常采用喷涂工艺生产，即将玻璃纤维、树脂、固化剂按照一定的比例在钢罐外壁喷射成型，当达到一定厚度时用滚轮压实。相对比单层钢制油罐，SF双层壁油罐能够有效的抵御土壤的侵蚀，但其内罐在油品的长期侵泡很容易产生腐蚀，尤其随着含醇汽油与低碳柴油的大规模应用，这一过程将进一步加速，这在一定程度上限制了SF双层油罐的发展。

 FF双层罐材料：内外层均为：玻璃钢FRP 内外壁厚分别为 : 不小于4mm玻璃钢，中间层厚度：0.1-3.5mm可参考《中石化FF埋地双层油罐技术要求（实行）》 FRP由玻璃纤维和树脂基体复合而成

特点1：永不锈蚀

1、FRP由玻璃纤维和树脂基体复合而成，保证永不锈蚀；

2、不需昂贵的阴极保护，检修周期长，彻底解决了油品存储的防腐问题；

3、油品更干净，材料耐腐蚀，使油罐远离微生物腐蚀及铁锈，保证油品的质量。特点2：易于安装

1、无需为油罐铺设混凝土基础，采用预制混凝土地锚；

2、地锚抗浮系统简单有效；

3、革命性的车道下直接埋设；

4、重量轻，施工方便快捷，安全可靠。

特点3：终身价值费用比高，综合使用成本低于单层罐设防渗池，车道下节省承压室费用；

三、双层油罐的安装问题: 双层油罐是水泥的底座好还是碳钢做的底座好：

1、双层油罐必须使用混泥土底座作为油罐支撑

优点是：1）混泥土自重较高，可以有效的防止油罐移动，2）混泥土抗腐蚀性较好，深埋地下不会产生变性，可以有效的保护双层油罐的外层，3）混泥土底座是和油罐防渗池一起施工，结构强度较高

2、双层油罐不能使用碳钢支座的原因：

1）碳钢支座采用碳钢板焊接而成，抗腐蚀低，如果深埋地下很容易因锈蚀致使支座变形，从而失去都油罐的支撑作用

界线分明的双层湖篇6

一个湖里产两种水里的鱼

最早发现这个秘密的是一个爱斯基摩人。很久以前，他来到这里捕鱼，一网撒下去，发现竟然有的是淡水鱼，有的却是咸水鱼，这怎么可能呢？他大吃一惊，怀疑自己是不是眼花了，把鱼都看错了。他仔细辨认之后，终于肯定确实是两种鱼，一种是当地的淡水鱼，一种是近海的海水鱼。他接着又连撒了几网，捕上来的还是有淡水鱼也有咸水鱼。太奇怪了，怎么会有这么蹊跷的事情——在同一个湖里竟会产出两种水里的鱼，这难道不是上帝赐予我们渔民的福吗？他高兴极了，并把这个消息告诉了族人，于是，人们都来到这个湖里捕鱼，看看他说的是不是真的。而事实正如这个渔民所说，千真万确，丝毫不差。

这个消息就像长了翅膀，迅速传到了各地，同样也传到了一位生物学家的耳朵里。于是，这位生物学家动身来到了努乌克湖。在当地渔民的帮助下，他很快弄清了这个湖里所产的淡水鱼和海鱼的种类。可是，这个湖里为什么会产出两种鱼，一时半会儿还是弄不清楚。

这位生物学家又请来了潜水员，之后自己索性也穿上了潜水衣，一次次潜入湖底，并分层取水样，目测和取样都证实了一个奇妙的发现——在该湖离湖面2米深的地方，竟存在着一层淡水层和咸水层的分界线！

两层湖水的颜色也不相同

也许你还不了解这个发现究竟意味着什么。要想了解双层湖的神奇之处，我们得先做一个实验，先拿半杯盐水，再往里倒半杯清水，稍稍搅拌一下，你看到了什么？拿起来喝一口，是咸的还是淡的呢？再拿一根吸管，伸到一半或者更深一点的地方吸一口，味道又是什么样的呢？对于这三个问题，你甚至不用做这个实验，凭着我们的常识，就能很轻松地得出结论——这杯水并没有明显的分界线，喝起来都是一个味道，带着淡淡的咸味。可是双层湖则不然，有一条明显的界线把水分为两层，使淡水层和咸水层分明，这就说明了这个湖的湖水上下并不掺和。

湖水分两层。上层是淡水，生活着淡水鱼类等；下层是略带苦味的咸水，生活着的各种动植物却同北冰洋的生物完全相似。上层的生物与下层的生物互不往来，各自生活在自己的水域中。水层的分界线位于湖面以下2米处，界面十分清晰，两层湖水的颜色也不相同。

谜底终于揭开了

为什么会发生这种奇特的现象呢？究竟是什么造成了这种截然不同的水层互不“侵犯”的局面呢？科学家们通过研究，最终得出一个结论，原来这个湖泊是由海湾上升形成的，早些时候是一片低洼地，它的北部是一条狭长的陆地，像一个堤坝与北部的海水隔开。由于冬季降雪充足，大量融化的雪水在春天流入这个“口袋”里，又因为湖上气候奇寒，使这些淡水始终不能和咸水相混。

有时北面海水被海上风暴激起，翻过狭窄的“长堤”，掀进湖里，而海水的比重比淡水大，所以就都沉到湖的底层去了。因此，努乌克湖底层的水比邻近海洋中的海水要咸。而且，努克湖位于北极圈内上部两米多厚的淡水层经常冻结成冰，无法流动。这样，淡水和海水之间的界面便格外分明了。

謎底揭开，事情豁然开朗。科学研究得出了正确的结论，也让我们对自然界的认识越来越深刻。

双层规划模型篇7

OD流是交通运输规划与管理的重要依据,是道路网络交通流预测的基础。传统的获取OD矩阵的方法是通过大规模的抽样调查,如家庭调查和路边调查等,由于交通数据量十分庞大,这项工作将耗费大量的人力、财力和物力,而且花费巨大代价得来的数据生命周期却很短,而利用路段实测交通量来推算OD矩阵,以其方便、快捷、低廉和时效性高等优点,越来越引起重视[1]。

OD矩阵估计有很多方法,如极大熵模型[2]、最大似然模型[3]、广义最小二乘法模型[4]以及贝叶斯法[5]等。关于OD矩阵估计的双层规划问题,理想情况是找上层目标函数的全局最优解,由于寻找全局最优解比较困难,而且得到的估计矩阵的分配流量和路段实测流量差别较大。

本文提出了OD估计的多步双层规划模型新算法。该方法从初步始矩阵分配流量分N步逼近路段实测流量,N确定时算法的解是惟一的,算法从初始矩阵出发,逐步寻求符合条件的矩阵,最终获得的矩阵分配流量和路段实测流量相近。

1 OD估计的多步双层规划模型

许多研究者研究过OD矩阵问题,如Cascetta和Nguyen等[11]。其中应用比较广泛的是广义最小二乘模型,目标函数是最小化估计矩阵和初始矩阵及路段实测流量和估计交通流之间的“距离”[12]。

$\begin{array}{l} m i \underset{t}{n} Ζ (t, v) = (Τ - t)^{Τ} U^{- 1} (Τ - t) + \\ (\bar{V} - v)^{Τ} W^{- 1} (\bar{V} - v) \\ s . t . v = Ρ t, t \geq 0 \end{array}$

式中:t为估计OD矩阵,写成向量的形式t=(…,ti,…)T,i∈I,I为OD对集;T为初始矩阵的列向量,T=(…,Ti,…)T,i∈I;v为估计路段流量的列向量v=(…,va,…)T,a∈A; $\bar{V}$ 为实测路段流量, $\bar{V} = (\dots, \bar{V}_{a}, \dots)^{Τ}, a \in \bar{A}, \bar{A}$ 为实测路段集, A为路网的路段集;U和W为权重矩阵,或者说是初始矩阵和实测路段流量的方差-协方差矩阵;P为路段选择率矩阵。

目标函数的第二项仅仅是对有实测数据的路段进行观测,没有必要对所有路段都进行观测。在这个问题中,t是估计变量,v是t的因变量,P假设是给定的。这个问题的解 $\tilde{Τ}$ 为:

$\tilde{Τ} = (U^{- 1} + Ρ^{Τ} W^{- 1} Ρ)^{- 1} (U^{- 1} Τ + Ρ^{Τ} W^{- 1} \bar{V})$

路段流量和路段选择率由一个分配模型决定。Powell和Sheffi在1982年提出了一个随机用户均衡模型(SUE)[13]:

$\begin{array}{l} \min_{v} Ζ_{S U E} (v, t) = - \sum_{i} t_{i} S_{i} (v) + \sum_{a \in A} v_{a} c_{a} (v_{a}) - \\ \sum_{a \in A} \int_{0}^{v_{a}} c^{a} (x) d x \end{array}$

式中:ca(va)是路段a的阻抗函数;Si为OD对i的期望感知阻抗。在SUE分配问题中,可以找到SUE解,即路段选择率和路段流量。虽然t是由目标函数推导得来的,但在SUE分配中t是固定的。在这里,我们用V(t)和P(t)来分别表示SUE解,即路段选择率和路段流量。于是有V(t)=P(t)t。SUE分配模型一般没有明确的函数形式V(t)和P(t)。

本文提出的是OD估计的多步双层规划模型新算法,T为待更新的目标矩阵, $\bar{V}$ 为待更新的路段流量。本算法中将初始矩阵分配到路网上的流量到实测流量之间的“距离”分成N步,相应的T和 $\bar{V}$ 也要更新N次,每一步都是一个双层规划,上层是广义最小二乘估计,下层是随机用户均衡分配。

2 多步双层规划求解算法

本文的算法就是基于广义最小二乘估计和随机用户均衡分配模型的,将初始矩阵分配到路网上的流量到实测流量之间的“距离”分成N步,每一步的估计都是一个双层规划,都要用到广义最小二乘估计和随机用户均衡分配方法,每一步估计完之后将得到的OD矩阵作为新的初始矩阵,再将流量“距离”分为N-1步,重新估计,直至全部N步估计完成。

先将初始OD矩阵用均衡分配模型分配到路网上,这里用SUE分配,得到各路段上的流量V0,而路段实测流量为V实,假设初始OD矩阵在逼近真实OD矩阵的过程中,V0是逐步逼近V实的,并假设V0是近似等速逼近V实的。

算法步骤如下:

1) 初始化n=N (N=1,2,3,…),i=0。

2) 将OD矩阵Ti用SUE分配模型分配到路网上得Vi、 $Ρ_{i} ‚ \bar{V}_{i} = V_{i} + \frac{1}{n} (V$ 实-Vi),T0取初始矩阵值。

3) 求解规划问题

$\begin{array}{l} m i \underset{t}{n} Ζ (t, v) = (Τ_{i} - t) Τ U^{- 1} (Τ_{i} - t) + \\ (\bar{V}_{i} - v) Τ W^{- 1} (\bar{V}_{i} - v) \end{array}$

式中:v=Pit。得矩阵 $\tilde{Τ}$ i。

4) 将矩阵 $\tilde{Τ}$ i用SUE分配模型分配得 $\tilde{V}$ i。

5) 令 $d_{i} = \tilde{V}_{i} - V_{i}$ ,解规划问题。

$\begin{array}{l} m i \underset{β_{i}}{n} f (β_{i}) = [\bar{V}_{i} - (V_{i} + β_{i} d_{i})]^{Τ} \cdot \\ [\bar{V}_{i} - (V_{i} + β_{i} d_{i})] 得 β_{i} ‚ \\ Τ_{i}^{*} = Τ_{i} + β_{i}^{*} (\tilde{Τ}_{i} - Τ_{i}) 。 \end{array}$

6)令n:=n-1,如果n=0则停止,估计矩阵为T*i,否则Ti+1=T*i, i=i+1,返回步骤2)。

关于算法步骤的说明。

1) 初始化n和i,n值取N,N为自然数,n取几就称分几步逼近。当n取值大时说明每次的路段流量变化相应的变小,在路段流量变化中路段选择率P变化不大,从而在这一轮矩阵估计中得到的矩阵也相应较准,但是N过大会增加推算总轮次,影响计算效率,应该在能保证推算精度的前提尽量减小N值,i是推算轮次的序号。

2) 在这一步骤中,将矩阵Ti分配到路网上得到Vi、 $Ρ_{i} ‚ \bar{V}_{i} = V_{i} + \frac{1}{n} (V$ 实-Vi)算得的 $\bar{V}$ i作为步骤3中的实测路段流量,Pi也在步骤3中用到,T0取初始矩阵值,其他的Ti取每轮计算得到的最后矩阵。

3) 这是一个广义最小二乘估计,解为 $\tilde{Τ}_{i} = (U^{- 1} + Ρ_{i}^{Τ} W^{- 1} Ρ_{i})^{- 1} (U^{- 1} Τ_{i} + Ρ_{i}^{Τ} W^{- 1} \bar{V}_{i})$ 。

4) 这是一个SUE分配过程,用 $\tilde{Τ}$ i分配得 $\tilde{V}$ i、 $\tilde{Ρ}$ i。在本文中,求解SUE模型时用的是相继平均法。

5) 这一步的目的是利用Ti和 $\tilde{Τ}$ i来找一个矩阵使其分配后的流量更靠近 $\tilde{V}$ i,因为 $\tilde{V}_{i} = \tilde{Ρ}_{i} \tilde{Τ}_{i}$ 、Vi=PiTi,而 $\tilde{Τ}$ i和Ti距离较近,所以 $\tilde{Ρ}$ i与Pi相差不大,假设 $Ρ = \tilde{Ρ}_{i} = Ρ_{i}$ ,现在要找一个β*i使得 $\tilde{V}$ i与Vi连线上一点距离 $\bar{V}$ i最短,而规划问题 $\min_{β_{i}} f (β_{i})$ 解得的 $β_{i}^{*} = \frac{d_{i}^{Τ} (\bar{V}_{i} - V_{i})}{d_{i}^{Τ} d_{i}}$ 使得 $\tilde{V}$ i与Vi连线上一点距离 $\bar{V}$ i最短,令 $Τ_{i}^{*} = Τ_{i} + β_{i}^{*} (\tilde{Τ}_{i} - Τ_{i})$ ,并假设T*i的分配率矩阵也是P,则

$\begin{array}{l} Ρ Τ^{*} = Ρ Τ_{i} + β_{i}^{*} (Ρ \tilde{Τ}_{i} - Ρ Τ_{i}) = \\ V_{i} + β_{i}^{*} (\tilde{V}_{i} - V_{i}) = V_{i}^{*} \end{array}$

即矩阵T*i分配后的流量为V*i,V*i更靠近 $\bar{V}$ i。所以T*i即为所求矩阵。

6)算法终止条件判断,如果n-1后等于零说明已经完成全部N步流量逼近,上一步等到的矩阵即为最后结果;若不为零则将上一步得到的矩阵作为下一轮运算的初始矩阵继续进行运算。

3 算例分析

本算例采用一个简单的网络,如图1所示,图中所有路段都是双向的,网络的参数见表1。

此路网有4个OD对,分别为1-5、3-7、5-1、7-3。OD对间真实OD流量见表2所列。将其用SUE分配到路网上,表3列出了实测路段流量,并假设实测流量与分配所得的流量相等。

现假设有一靠近真实OD矩阵的初始矩阵为(1 000,750,450,600)。在这个例子中,用广义最小二乘估计时,为方便起见U和W都取单位矩阵。在图2中可以看到随着N值的增加,估计的精度也随着提高,在这里用均方根误差来测试模型的性能,即基于所有路段的估计流量x $_{k}^{n}$ 和实测流量xk计算均方根误差RMSE(LF) :

$R Μ S E (L F) = \sqrt{\frac{1}{L} \sum_{k = 1}^{L} (x_{k}^{(n)} - x_{k})^{2}}$

在这个例子中当N=30时,估计矩阵为(898.803,651.061,598.734,751.318),RMSE(LF)为0.286 63。

如果没有初始矩阵,则设一个小的初始矩阵(100,100,100,100),其余参数取值和上例中一样。图3中显示了RMSE(LF)随N值的变化。

从图3和图2对比可知,当初始矩阵离真实矩阵越远时得到同样精度的估计所需要的步数也越多。在这个例子中,当N=200时,估计矩阵为(888.807,662.862,584.676,761.387),RMSE(LF)为1.787 88。

从上述例子可以看出,当N取值合适时,估计得到的OD矩阵分配所得流量与实测流量可以很接近。IEA算法求得的是一个相容解,且最后所得的OD矩阵分配所得流量与实测流量不能很好的接近,本文所用的算法由于把估计过程划分为了N步,每一步中的分配率矩阵变化不大,因而得到的估计矩阵非常接近那一步中所应该得到的“真实”矩阵。而且每一步结束后都调整一次流量移动方向,所以最终得到的OD矩阵可以充分接近“真实”矩阵。

4 结语

介绍了OD矩阵估计和随机用户均衡分配问题,分析了传统算法的缺陷,提出了OD矩阵估计新算法,给出了算法的步骤和详细说明,最后的实例证明该算法是有效的,而且估算的OD矩阵分配所得的流量能很好的接近于实测流量。另外,本算法由于是预先给定迭代步数N,所以计算量预先就可以知道,最终估算结果与初始矩阵和真实矩阵的距离、实测路段流量以及N的取值有关。需要进一步研究的是如何根据初始矩阵分配所得路段流量与实测流量估计一个合适的N值,以及如何在大型网络中应用本算法。

摘要：建立了一个OD估计模型。将OD估计分为固定的步数,每一步都是一个双层规划,上层为广义最小二乘估计,下层为随机用户均衡分配模型,即以广义最小二乘估计和随机用户均衡分配模型为基础,通过更新估计模型中目标矩阵和实测路段上的流量来估计OD矩阵。最后用一个简单的路网验证了该算法的有效性。

双层堤基管涌模型试验研究篇8

关键词：双层堤基,模型试验,临界坡降

一、引言

近年来全球极端气候频发, 每当遇到特大洪水来袭时, 堤防发生崩岸、滑坡、漫溢和管涌等险情将不可避免, 其中管涌危害性极大且发生频率高。依据九八洪水期间堤防工程中较大险情的资料统计, 堤基管涌居各类险情之首, 占险情总数的百分之五十以上, 溃堤的七处险情之中有五处是由堤基管涌引发。堤基管涌是堤防工程各类险情中最常出现的, 且由于管涌在发生之前不易被发现又容易被忽视, 这种情况的存在极易造成溃堤, 于是大量的人力﹑物力和财力用于了管涌的检查和抢险。堤防工程中的抢险和加固实践表明, 管涌成为了最常见最普遍并且难以根除的心腹大患。因此, 研究堤基管涌的形成机理, 对探测和防治管涌的发生与破坏, 对提高防洪抢险能力和堤防管理水平, 具有极其重大的经济社会效益和重要的现实意义。

在此说明, 本文所述的堤基管涌和土力学中所定义的管涌有所不同。在土力学中, 管涌的定义是指在渗透水流的作用力下, 土体中较细的颗粒在较粗的颗粒所形成的通道中移动并被带出的现象。本文所说的堤基管涌是指堤防工程中经常出现的一种渗透破坏形式, 具有工程意义, 泛指堤坝地基形成管状渗流通道的渗透破坏现象。

二、试验模型

(一) 模型设计。

试验砂槽模型槽长1.0m、宽0.3m、高0.4m。砂样长0.6m, 宽0.3m, 高0.4m。砂样两端填充大粒径石子稳定水头。为了便于观察试验现象, 砂样上部覆盖厚0.8cm的有机玻璃板。有机玻璃板上开孔模拟管涌孔口, 在模型槽底部位置开孔三排安装测压管, 测压管高度分别为10cm、20cm、30cm。试验过程用摄像机、照相机和肉眼观察记录试验现象和数据。试验模型砂样为一般建筑用河砂, 砂样上覆盖5cm厚粘土后盖有机玻璃板。本试验共分为两组:第1组砂样采用流土型砂样;第2组砂样采用管涌型砂样。

(二) 试验过程及分析。

本试验采用逐级增加水头的方式进行, 每级水头渗透变形稳定后再继续抬高水头进行下一步试验。模型渗透变形稳定的判别标准是:渗水清澈稳定且砂粒不再带出, 测压管水位平稳和渗流量稳定。

与水头的逐级升高相照应, 堤基管涌的渗透破坏可以分为三个特征鲜明的阶段:无明显渗透破坏阶段, 堤基砂层的颗粒没有被带出的现象发生;堤基局部发生管涌破坏阶段, 堤基砂层的颗粒逐渐被带出, 但是渗透变形最终能够达到稳定状态不再发展 (在实验水头保持不变的情况下) ;堤基整体破坏阶段, 管涌通道在试验水头保持不变的情况下能够持续发展, 最终与上游进水口连通, 导致堤基整体破坏和溃堤。

三、双层堤基管涌试验现象与机理分析

(一) 流土型砂样管涌试验现象与分析。

流土型砂样管涌试验现象总结如下:一是在本组试验当中, 堤基砂层产生管涌通道的控制因素是覆盖层的厚度和管涌孔口的平均水力坡降, 当管涌孔口的平均水力坡降小于破坏时所需要的临界水力坡降时, 管涌孔口下方的砂层由上到下逐渐液化;直到管涌孔口的平均水力坡降大于破坏时所需要的临界水力坡降时, 液化的砂层穿透覆盖层, 在覆盖层与下部砂层的接触面突然形成连通上游的管涌通道, 水流携带着大量泥沙从管涌孔口带出, 此后覆盖层在水流的冲刷下逐渐坍塌破坏。二是堤基管涌的渗透破坏开始于覆盖层预留的薄弱区域管涌孔口, 在管涌孔口下方的砂层由上到下逐渐液化, 直到液化的砂层穿透覆盖层, 在覆盖层与下部砂层的接触面形成连通上游的管涌通道, 在水流的不断冲刷下管涌通道的位置逐渐上移, 直到导致堤基和覆盖层的整体破坏, 但在堤基砂层内部没有出现深层的破坏现象。三是在堤基管涌的渗透破坏开始后, 砂粒被渗透水流通过砂沸带出, 在渗流力的作用下逐渐堆积在了管涌孔口, 这些砂粒在管涌孔口形成沙丘, 管涌孔口上方的沙丘和下方的砂层开始液化且缓慢运动, 直到液化的砂层穿透覆盖层形成连通上游的管涌通道, 水流携带着大量的泥沙从管涌孔口带出。四是在没有形成管涌通道的情况下堤基砂体在各级水头作用下测压管水头基本稳定, 然而一旦管涌通道形成很快会连通上游, 测压管水头会快速下降到水位很低的水平并最终趋于稳定;随着试验水头的不断提升, 管涌孔口承担的水头损失逐渐加大, 当管涌孔口处的水力坡降接近砂层颗粒的土粒比重时, 管涌通道快速形成并连通上游。

以流土型土体为地基的双层堤基管涌过程的机理分析如下:对于以流土型土体为地基的双层堤基, 由于堤基砂层顶面的流线最短且其渗透系数远远大于堤身土体和覆盖层, 因此在堤基砂层顶面产生的水力梯度最大, 实际流速也最大, 于是在堤基砂层顶面的渗流力也就最大。由于重力的原因对于堤基砂层越往下受到的地基应力也就越大;由于堤身与覆盖层的原因对于同一水平面的堤基砂层受到的地基应力也不相同, 堤身下的基本规律是堤基正下方的地基应力最大, 越往边缘地基应力越小, 覆盖层下的地基应力与覆盖层的厚度有关, 覆盖层厚的地方地基应力大。综合以上分析, 由于在堤内坡脚处和覆盖层下的土体颗粒受到覆盖层的影响, 虽然在没有发生渗透破坏现象之前, 无法确定何处的覆盖层最薄, 但是在相同水力条件下覆盖层最薄的地方渗流力最大, 因此当堤基砂层顶面的土体颗粒受到的渗流力大于最薄覆盖层的阻力和由地基应力对其产生的摩擦阻力、其自身重力与由其自身重力产生的摩擦阻力之和时, 在覆盖层最薄的地方堤基管涌发生, 大量泥沙被水流携带喷涌而出。此后管涌通道的发展的情况取决于河内水位与管涌孔口水位之差了, 当水位差产生的渗流力大于堤基正下方砂层顶面的土体颗粒自身重力产生的摩擦阻力与由地基应力产生的摩擦阻力的和时, 管涌通道的发展将不会停止, 直接连通上游河水, 甚至会导致堤防决口;当水位差产生的渗流力不大于堤基正下方砂层顶面的土体颗粒自身重力产生的摩擦阻力与由地基应力产生的摩擦阻力的和时, 管涌通道发展到一定长度以后会停止发展, 直到河内水位继续升高, 使渗流力大于堤基正下方砂层顶面的土体颗粒自身重力产生的摩擦阻力与由地基应力产生的摩擦阻力的和时, 管涌通道的发展才不会停止, 一直发展到连通上游河水。此外, 管涌孔口土体颗粒的堆积减小了河内水位与管涌孔口水位之差, 增加了堤基颗粒竖直爬升的高度, 有利于管涌通道发展的停止, 管涌抢险中的大量实例对此可以证实。

(二) 管涌型砂样管涌试验现象分析。

“管涌型”砂样管涌试验现象总结如下:一是在本组试验当中, 堤基砂层能产生的管涌通道有两个分别是小管涌通道和大管涌通道, 小管涌通道是由堤基砂层内的细颗粒被渗透水流带走, 在作为堤基骨架的大颗粒的缝隙中形成的, 即使小管涌通道与上游连通, 堤基也不会发生破坏, 只是渗流量增加的非常显著;直到试验水头达到一定值, 出现作为堤基骨架的大颗粒被渗透水流冲刷失去稳定, 堤基砂层才开始产生破坏堤基的管涌通道, 即本组的大管涌通道。二是堤基管涌的渗透破坏开始于堤基砂层与覆盖层接触的顶面内, 在水平渗流力的作用下, 细颗粒不断被渗透水流运送携带向下游, 在管涌孔口下方和堤基砂层与覆盖层接触的顶面形成小管涌通道, 直到试验水头超过某一水头后, 才开始产生破坏堤基的管涌通道, 但这种大管涌通道也是产生在管涌孔口下方和堤基砂层与覆盖层接触的顶面内的, 在堤基砂层内部没有出现深层的破坏。三是在堤基管涌的渗透破坏开始后, 先是堤基砂层内的细颗粒被渗透水流带向下游并在下游聚集, 有部分的细颗粒被渗透水流从管涌孔口带出堤基砂层, 当试验水头超过某一水头后, 作为堤基骨架的大颗粒也被渗透水流冲刷带出堤基堆积在管涌孔口周围。四是在没有形成管涌通道的情况下堤基砂体在各级水头作用下测压管水头基本稳定, 随着时间的持续还有所升高, 小管涌通道一旦形成, 测压管水头就会快速下降, 随着时间的不断延长, 测压管水头会逐渐降低最终趋于稳定, 有时稳定后的测压管水头还会略有所抬高, 在大管涌通道的发展过程中, 测压管水头会突然下降, 同一级水头下随着时间延长测压管水头逐渐降低最终趋于稳定。

以“管涌”型土体为地基的双层堤基管涌过程的机理分析如下:对于以“管涌”型土体为地基的双层堤基, 由于堤基砂层顶面的流线最短且其渗透系数远远大于堤身土体和覆盖层, 因此在堤基砂层顶面产生的水力梯度最大, 实际流速也最大, 于是在堤基砂层顶面的渗流力也就最大。对于单个的土体颗粒, 在同一流速下其体积与表面积比越小, 其受到的单位体积的渗流力也就越大, 也就是说土体颗粒的粒径越小, 单位体积的土体颗粒受到的渗流力也就越大。由于重力的原因对于堤基砂层越往下受到的地基应力也就越大;由于堤身与覆盖层的原因对于同一水平面的堤基砂层受到的地基应力也不相同, 堤身下的基本规律是堤基正下方的地基应力最大, 越往边缘地基应力越小, 覆盖层下的地基应力与覆盖层的厚度有关, 覆盖层厚的地方地基应力大。由于堤基砂层土体颗粒粒径的不均匀性, 细颗粒受到的由地基应力产生的摩擦阻力几乎为零, 以致于细颗粒可以在作为堤基骨架的粗颗粒的缝隙内运动, 因此堤内砂层内的细颗粒抵抗渗流力使其自身保持稳定主要是依靠由其自身重力产生的摩擦阻力。在相同水力条件下覆盖层最薄的地方渗流力最大, 因此当堤基砂层顶面的土体颗粒受到的渗流力大于最薄覆盖层的阻力时, 渗透水流将突破覆盖层涌出。由于在相同水力条件下堤基砂层顶面的渗流力最大, 当堤基砂层顶面的渗流力大于由细颗粒自身重力产生的摩擦阻力时, 细颗粒便失去稳定状态被渗透水流携带开始向下游运动。由于覆盖层的渗透系数比较小突破覆盖层需要的渗流力较大, 当覆盖层被突破后会有大量细颗粒被渗透水流携带开始向下游运动, 有部分细颗粒被渗透水流带出管涌孔口。随着细颗粒的被带出在堤基砂层粗颗粒的缝隙内便会形成连通上游河水与下游堤内坡脚的小管涌通道。当覆盖层被突破后一般不会有大量粗颗粒被渗透水流带出管涌孔口, 除非管涌孔口的水力梯度特大。随着河内水位的升高和水力梯度的增大, 管涌孔口处的水力梯度和渗流力也就不断增大, 当管涌孔口的渗流力大于粗颗粒自身重力与由其自身重力产生的摩擦阻力之和时, 粗颗粒便被渗透水流带出管涌孔口形成大管涌通道。此后管涌通道的发展过程与以"管涌"型土体为地基的单层堤基管涌通道的发展过程基本一样。

四、结语

对于双层堤基管涌孔口都产生在覆盖层薄弱处, 管涌通道的位置也都发生在堤基砂层的顶部, 无论是以流土型土体为地基的双层堤基还是以“管涌”型土体为地基的双层堤基, 管涌通道的渗透破坏都开始于覆盖层薄弱处, 只是开始后在堤基砂层顶部发展的过程不同而已。

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区间线性双层规划的最好最优解篇9

自从Stackelberg应用Stackelberg博弈模型对非均衡市场进行了成功的研究[1]之后, 双层规划作为一种处理递阶决策问题的模型与方法, 被人们广泛地应用与研究。不仅在双层规划的理论研究上取得了重大的成果, 而且还提出了许多求解双层规划的算法, 比如K次最好法[2]、K-T条件法[3,4]、罚函数法[5]、启发式算法[6]以及模糊算法[7,8]等。上述算法都要求所有参数均为常数。然而, 在现实的决策环境中, 各种参数往往是不确定的。因此, 随机规划和模糊规划被提出来解决这一问题。但是, 提前指定参数的概率分布或隶属度函数并非易事, 有时甚至是不合理的。某些情况下, 决策者只知道参数的上界和下界, 可以用区间规划来处理这类问题。

目前, 求解单层区间规划的方法主要分为两种:第一种方法将区间目标函数转化为由区间端点值、区间中值和区间宽度构成的多目标或单目标函数, 基于区间数排序将区间约束条件转化为确定型约束条件, 求解确定型规划, 最终给出该区间规划的一个满意解[9];第二种方法是直接求得区间规划目标函数的取值区间[10]。两种方法的本质区别是前者在求解过程中融合了决策者的偏好直接做出决策, 而后者只是在现有数据的基础上挖掘出更多的信息以供决策者参考。同时, 后者求出的目标函数的最好值和最差值也是前者建立决策偏好 (满意度函数) 经常用到的参数。相比根据目标函数的上下界估计建立的满意度函数, 根据后者方法求出的目标函数最好值和最差值建立满意度函数, 更能准确地反映决策者的偏好以及满意程度。

本文采用第二种方法处理区间线性双层规划问题。首先定义区间线性双层规划的最好最优解以及最好最优值, 然后提出基于K次最好法的求解方法, 并分析下层目标函数系数的变动对最好最优解的影响, 最后用数值例子验证该算法的有效性和可行性。

2 区间线性双层规划及其解的概念

本文考虑如下形式的区间双层线性规划:

$\min_{x_{1}, \dots, x_{m}} F (x, y) = \sum_{i = 1}^{m} c_{1 i} x_{i} + \sum_{j = 1}^{n} d_{1 j} y_{j}$

其中y1, …, yn是规划

$\begin{array}{l} \min_{y_{1}, \dots, y_{n}} f (x, y) = \sum_{i = 1}^{m} c_{2 i} x_{i} + \sum_{j = 1}^{n} d_{2 j} y_{j} \\ s . t . \sum_{i = 1}^{m} a_{k i} x_{i} + \sum_{j = 1}^{n} b_{k j} y_{j} \geq h_{k}, k = 1, \dots, p \\ x_{i} \geq 0, y_{j} \geq 0, i = 1, \dots, m, j = 1, \dots, n \end{array} (1)$

的解。其中, $c_{1 i} \in [\underline{c}_{1 i}, \bar{c}_{1 i}], c_{2 i} \in [\underline{c}_{2 i}, \bar{c}_{2 i}], d_{1 j} \in [\underline{d}_{1 j}, \bar{d}_{1 j}], d_{2 j} \in [\underline{d}_{2 j}, \bar{d}_{2 j}], a_{k i} \in [\underline{a}_{k i}, \bar{a}_{k i}], b_{k j} \in [\underline{b}_{k j}, \bar{b}_{k j}], h_{k} \in [\underline{h}_{k}, \bar{h}_{k}], i = 1, \dots, m, j = 1, \dots, n, k = 1, \dots, p .$

模型 (1) 的矩阵-向量形式可表示为:

$\min_{x} F (x, y) = c_{1} x + d_{1} y$

其中y是规划

$\begin{array}{l} \min_{y} f (x, y) = c_{2} x + d_{2} y, \\ s . t . A x + B y \geq h \\ x \geq 0, y \geq 0 \end{array} (2)$

的解。其中, 行向量 $c_{1} = (c_{11}, \dots, c_{1 m}) \in [\underline{c}_{1}, \bar{c}_{1}], c_{2} = (c_{21}, \dots, c_{2 m}) \in [\underline{c}_{2}, \bar{c}_{2}], d_{1} = (d_{11}, \dots, d_{1 n}) \in [\underline{d}_{1}, \bar{d}_{1}], d_{2} = (d_{21}, \dots, d_{2 n}) \in [\underline{d}_{2}, \bar{d}_{2}]$ , 矩阵 $A = (a_{k i})_{p \times m} \in [\underline{A}, \bar{A}], B = (b_{k j})_{p \times n} \in [\underline{B}, \bar{B}],$ 列向量h= (h1, …, hp) T∈ $[\underline{h}, \bar{h}], x = (x_{1}, \dots, x_{m})^{Τ}, y = (y_{1}, \dots, y_{n})^{Τ}$ , 区间线性双层规划的约束域记为S (A, B, h) ={ (x, y) |x≥0, y≥0, Ax+By≥h}。

假设1 在区间系数的取值范围内, 任取 (A, B, h) , 约束域非空且为紧集。

假设2 在区间系数的取值范围内, 任取 (c1, c2, d1, d2, A, B, h) , 对任意x∈{x:∃y, x≥0, y≥0, Ax+By≥h}, 下层规划有唯一最优解。

定义1 在区间系数的取值范围内, 任取 (c1, c2, d1, d2, A, B, h) , 模型 (1) 转变为确定型线性双层规划, 称该规划的最优解为 (1) 的一个可能最优解, 称相应的目标函数值F (x, y) 为 (1) 的一个可能最优值。

定义2 区间线性双层规划 (1) 的可能最优值的集合记为Ω, 称 $\bar{F} = \min {F | F \in Ω}$ 为 (1) 的最好最优值, 相应的解称为 (1) 的最好最优解。

定义3 若存在 $c_{1}^{*} \in [\underline{c}_{1}, \bar{c}_{1}], d_{1}^{*} \in [\underline{d}_{1}, \bar{d}_{1}]$ , 使得对任意的 $c_{1} \in [\underline{c}_{1}, \bar{c}_{1}]$ 和 $d_{1} \in [\underline{d}_{1}, \bar{d}_{1}]$ 有c*1x+d*1y≤c1x+d1y, 则称c*1x+d*1y为区间线性双层规划 (1) 的最优目标函数。

定义4 若存在 $A^{*} \in [\underline{A}, \bar{A}], B^{*} \in [\underline{B}, \bar{B}]$ 和 $h^{*} \in [\underline{h}, \bar{h}]$ , 使得对任意 $A \in [\underline{A}, \bar{A}], B \in [\underline{B}, \bar{B}]$ 和 $h \in [\underline{h}, \bar{h}]$ 均有S (A, B, h) ⊆S (A*, B*, h*) , 则称S (A*, B*, h*) 为区间线性双层规划 (1) 的最大约束域。

由x≥0, y≥0, 显然有以下定理成立:

定理1 区间线性双层规划 (1) 的最优目标函数为 $\underline{c}_{1} x + \underline{d}_{1} y .$

定理2 区间线性双层规划 (1) 的最大约束域为S ( $\bar{A}$ , $\bar{B}$ , $\underline{h})$ 。

3 K次最好法

Bard给出了线性双层规划的基本定理[11]:

定理3 若约束域非空且为紧集, 且下层规划有唯一最优解, 则最优解在约束域的一个顶点上达到。

将定理3扩展到区间线性双层规划, 即:

定理4 在假设条件1、2下, 区间线性双层规划 (1) 的最好最优解在其最大约束域S ( $\bar{A}$ , $\bar{B}$ , $\underline{h})$ 的一个顶点 (x*, y*) 上达到, 区间线性双层规划的最好最优值为 $\underline{c}_{1} x^{*} + \underline{d}_{1} y^{*} .$

证明S ( $\bar{A}$ , $\bar{B}$ , $\underline{h})$ 为区间线性双层规划 (1) 的最大约束域, 根据定义4, 对任意 $A \in [\underline{A}, \bar{A}], B \in [\underline{B}, \bar{B}]$ 和 $h \in [\underline{h}, \bar{h}] ‚ S (A, B, h)$ 的顶点是S ( $\bar{A}$ , $\bar{B}$ , $\underline{h})$ 的内点或者顶点。由定理3可知, (1) 的最好最优解在S ( $\bar{A}$ , $\bar{B}$ , $\underline{h})$ 的一个顶点 (x*, y*) 达到。由定理1、定义2和定义3可知, $\underline{c}_{1} x^{*} + \underline{c}_{1} y^{*}$ 是 (1) 的最好最优值。

基于定理4, 设计K次最好法求解最好最优解。算法的基本思想为:按 $\underline{c}_{1} x^{[q]} + \underline{d}_{1} y^{[q]}$ 取值的升序枚举S ( $\bar{A}$ , $\bar{B}$ , $\underline{h})$ 的顶点 (x[q], y[q]) , q=1, 2, …, 若存在 $c_{2}^{*} \in [\underline{c}_{2}, \bar{c}_{2}]$ 和 $d_{2}^{*} \in [\underline{d}_{2}, \bar{d}_{2}]$ 使得y[q]是x=x[q]时下层规划的解, 那么 (x[q], y[q]) 即为最好最优解, $\underline{c}_{1} x^{[q]} + \underline{d}_{1} y^{[q]}$ 为最好最优值。

为方便讨论, 以下假设 $\bar{A} x + \bar{B} y \geq \bar{h}$ 中已经包含了x≥0, y≥0。对于上层规划给定的x=x[q], 下层规划如何选择y仅与d2的取值有关, 与c2没有关系。为了检验y[q]是否是x=x[q]时下层规划的解, 只需考虑下层规划的K-T条件:

${\begin{cases} \underline{d}_{2} \leq d_{2} = γ^{Τ} \bar{B} \leq \bar{d}_{2} \\ γ_{k} (\sum_{i = 1}^{m} \bar{a}_{k i} x_{i}^{[q]} + \sum_{j = 1}^{n} \bar{b}_{k j} y_{j}^{[q]} - \underline{h}_{k}) = 0 \\ γ_{k} \geq 0, k = 1, \dots, p \end{cases} (3)$

如果存在K-T乘子向量γ= (γ1, …γp) T使得式 (3) 成立, 那么存在 $d_{2}^{*} \in [\underline{d}_{2}, \bar{d}_{2}]$ 使得y[q]为x=x[q]时下层规划的最优解, 并且相应的d2的取值范围可以由γ的取值范围间接确定。

定义5 给定x=x[q], A, B, h, 令 $S_{1} = {y | \sum_{i = 1}^{m} a_{k i} x_{i}^{[q]} + \sum_{j = 1}^{n} b_{k j} y_{j} \geq h_{k}, k = 1, \dots, p} ‚ S_{2} = {y | \sum_{i = 1}^{m} a_{k i} x_{i}^{[q]} + \sum_{j = 1}^{n} b_{k j} y_{j} \geq h_{k}, k = 1, \dots, p, k \neq k_{0}}$ , 如果S1=S2, 则称 $\sum_{i = 1}^{m} a_{k_{0} i} x_{i}^{[q]} + \sum_{j = 1}^{n} b_{k_{0} j} y_{j} \geq h_{k_{0}}$ 为 (x[q], A, B, h) 下的非有效约束 (非有效约束的识别算法参见文献[12]) 。

K次最好法的具体步骤如下:

Step1 置q=1, 应用单纯形法求解如下线性规划问题 $\min_{x} {\underline{c}_{1} x + \underline{d}_{1} y | \bar{A} x + \bar{B} y \geq \underline{h}}$ 得到最优解 (x[1], y[1]) 。令W={ (x[1], y[1]) }, T=K[1]1=K[1]2=∅.

Step2 依次检查约束条件, 如果约束条件满足 $\sum_{i = 1}^{m} \bar{a}_{k i} x_{i}^{[q]} + \sum_{j = 1}^{n} \bar{b}_{k j} y_{j}^{[q]} \neq \underline{h}_{k}$ , 则令γk=0且K[q]1=K[q]1∪{k}。

Step3 为保证约束条件梯度线性无关, 依次检查约束条件, 若 $\sum_{i = 1}^{m} \bar{a}_{k i} x_{i}^{[q]} + \sum_{j = 1}^{n} \bar{b}_{k j} y_{j} \geq \underline{h}_{k}$ 是 (x[q], $\bar{A}$ , $\bar{B}$ , $\underline{h})$ 下的非有效约束, 令γk=0, K[q]1=K[q]1∪{k}, K[q]3={1, …, p}-K[q]1-K[q]2;如果第k1个和第k2个约束可构成一个等式约束, 即 $\bar{b}_{k_{1} j} / \bar{b}_{k_{2} j} = (\underline{h}_{k_{1}} - \bar{a}_{k_{1} i} x_{i}^{[q]}) / (\underline{h}_{k_{2}} - \bar{a}_{k_{2} i} x_{i}^{[q]}) = e < 0$ 成立, 令K[q]1=K[q]1∪{k1}, K[q]2=K[q]2∪{k2}, K[q]3={1, …, p}-K[q]1-K[q]2, γk1=0, γk2为无约束变量。

Step4 若凸集 $Ν^{[q]} = {γ | \underline{d}_{2} \leq γ^{Τ} \bar{B} \leq \underline{d}_{2}, γ_{k_{1}} = 0, γ_{k_{3}} > 0, k_{1} \in Κ_{1}^{[q]}, k_{3} \in Κ_{3}^{[q]}}$ 非空, 停止, 令K=q, (x[K], y[K]) 即为最好最优解, $\underline{c}_{1} x^{[Κ]} + \underline{d}_{1} y^{[Κ]}$ 为最好最优值, 相应的系数集为 ${(c_{1}, c_{2}, d_{1}, d_{2}, A, B, h) | c_{1} = \underline{c}_{1}, c_{2} \in [\underline{c}_{2}, \bar{c}_{2}], d_{1} = \underline{d}_{1}, A = \bar{A}, B = \bar{B}, d_{2} = γ^{Τ} \bar{B}, γ \in Ν^{[Κ]}, h = \underline{h}}$ ;否则转step5。

Step5 令W[q]为由 (x[q], y[q]) 的相邻顶点构成的集合, 这些顶点 (x, y) ∈W[q]均满足 $\underline{c}_{1} x + \underline{d}_{1} y \geq \underline{c}_{1} x^{[q]} + \bar{d}_{1} y^{[q]}$ .置T=T∪{ (x[q], y[q]) }, W={W∪W[q]}T.

Step6 置q=q+1, 选择 (x[q], y[q]) 且 $\underline{c}_{1} x^{[q]} + \underline{d}_{1} y^{[q]} = \min {\underline{c}_{1} x + \underline{d}_{1} y | (x, y) \in W}$ , 置K[q]1=K[q]2=∅.转Step2。

注1 对给定的 $d_{2}^{*} \in {d_{2} | d_{2} = γ^{Τ} \bar{B}, γ \in Ν^{[Κ]}}$ 及 $A = \bar{A}, B = \bar{B}, h = \underline{h}$ , 区间线性双层规划 (1) 的最优值区间为 $[\underline{c}_{1} x^{[Κ]} + \underline{d}_{1} y^{[Κ]}, \bar{c}_{1} x^{[Κ]} + \bar{d}_{1} y^{[Κ]}]$ 。

注2 对给定的 $d_{2}^{*} \notin {d_{2} | d_{2} = γ^{Τ} \bar{B}, γ \in Ν^{[Κ]}}$ 但 $d_{2}^{*} \in [\underline{d}_{2}, \bar{d}_{2}]$ , 只需从算法的Step5继续执行, 即可获得相对于d*2的最好最优解和最好最优值, 因为顶点 (x[1], y[1]) 到 (x[K], y[K]) 已经被检验过。

4 算例

考虑区间线性双层规划:

$\min_{x} [- 2, - 1] y$

其中y是规划

$\begin{array}{l} \min_{y} [2, 3] x + [- 1, 2] y \\ \begin{array}{l} s . t . g_{1} : [0.5, 1] x + [1, 2] y \geq [10, 12] \\ g_{2} : [- 2, - 1] x + [1.5, 2] y \geq [- 6, - 5] \\ g_{3} : [- 3, - 2] x + [0.6, 1] y \geq [- 21, - 18] \\ g_{4} : [- 1.5, - 1] x + [- 3, - 2] y \geq [- 38, - 36] \\ g_{5} : [0.6, 1] x + [- 3, - 2] y \geq [- 18, - 15], \\ g_{6} : x \geq 0 \\ g_{7} : y \geq 0 \end{array} (4) \end{array}$

蹬解。

求解过程如下:

Step1 q=1, (x[1], y[1]) = (10, 14) , W={ (10, 14) }, T=K[1]1=K[1]2=∅.

Step2 γ1=γ2=γ3=γ6=γ7=0, K[1]1={1, 2, 3, 6, 7}。

Step3 g4为非有效约束, 令γ4=0, K[1]1={1, 2, 3, 4, 6, 7}, K[1]3={5}。

Step4 $Ν^{[1]} = {γ | 0 < γ_{5} \leq \frac{1}{2}, γ_{1} = γ_{2} = γ_{3} = γ_{4} = γ_{6} = γ_{7} = 0} \neq \emptyset$ .停止, K=1。最好最优解为 (10, 14) , 最好最优值为-28, 相应的系数集为 ${(c_{1}, c_{2}, d_{1}, d_{2}, A, B, h) | c_{1} = 0, c_{2} \in [2, 3], d_{1} = - 2, d_{2} \in [- 1, 0), A = \bar{A}, B = \bar{B}, h = \underline{h}}$ 。

对于d2∉[-1, 0) , 我们可以从Step5继续执行上面的算法来求得区间线性规划 (1) 的最好最优解。下面以d2=2为例。

Loop1:W[1]={ (16, 11) , (0, 9) }, T={ (10, 14) }, W={ (16, 11) , (0, 9) }, 转Step 6。置q=2, 选择 (x[2], y[2]) = (16, 11) , 置K[2]1=K[2]2=∅, 转Step2。

Loop2:γ1=γ2=γ5=γ6=γ7=0, K[1]1={1, 2, 5, 6, 7}, 转Step3。合并约束g3和g4为一个等式约束, 即y=11。令γ3=0, γ4为无约束变量。K[2]1={1, 2, 3, 5, 6, 7}, K[2]2={4}, K[2]3=∅.转Step4。N[2]={γ|γ4=-1, γ1=γ2=γ3=γ5=γ6=γ7=0}≠∅.停止, K=2。最好最优解为 (16, 11) , 最好最优值为-22, 相应的系数集为 ${(c_{1}, c_{2}, d_{1}, d_{2}, A, B, h) | c_{1} = 0, c_{2} \in [2, 3], d_{1} = - 2, d_{2} = 2, A = \bar{A}, B = \bar{B}, h = \underline{h}}$ 。

5 结语

应用双层规划对现实决策问题进行建模时, 经常会遇到各种系数很难给出确定数值, 只能估计系数变化区间的情况。本文引入了区间线性双层规划的最好最优解和最好最优值的概念, 提出K次最好法求解, 分析下层目标函数系数变动对最好最优值的影响, 从而为决策者提供决策依据, 而不是引入决策偏好来消除决策的不确定性。同时, 最好最优解和最好最优值也是建立满意度函数的必要参数。数值算例验证的算法的有效性和可行性。

摘要：针对目标函数系数和约束条件系数均为区间数的线性双层规划问题, 提出了区间线性双层规划的最好最优解和最好最优值的定义, 提出了K次最好法来求解最好最优解, 并分析了下层目标函数的系数的变动对最好最优解的影响, 数值例子验证的该方法的有效性和可行性。

关键词：线性双层规划,区间系数,最好最优解,K次最好法

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双层规划模型篇10

危险品通常是指具有易爆、易燃、毒性、腐蚀性和放射性的化学品以及以它们作为原料所制成的各种产品,它们在国民经济中起着重要的作用。危险货物在运输过程中容易发生爆炸、燃烧、毒害、腐蚀、放射性等事故。

随着工业和国民经济的发展,危险品生产量和运输量也随之增加,并呈现逐年上升趋势。据统计,我国95%以上的危险品涉及异地运输问题,其中约80%是通过道路运输的[1]。每天危险化学品的运输量超过100万t,每年总的运输量将超过4亿t[2]。与此同时,危险品事故发生的次数和频率也有所增长,已造成严重的经济损失和人身伤亡以及不良的社会影响。例如:2000年10月24日福建省龙岩市上杭县发生氰化钠罐车污染水体事故、2004年杭甬高速公路绍兴段“8·19”液化气槽车泄漏事故、2005年京沪高速公路江苏淮安段“3·29”特大液氯泄漏事故、2008年3月13日广州转卸爆炸事故、2008年10月8日杭甬高速公路宁波段塘出口处载29 t硝酸槽罐车侧翻泄漏事故等,不仅对人类生命财产和自然环境造成严重损害,而且两边对当地社会安定的造成了严重影响。

公路运输因其具有点多、线长、面广、批量小、易组织、机动灵活并可实现“门到门”运输服务和为其他运输方式提供衔接服务等特点,已成为国内外危险化学品的主要运输方式。危险品道路运输由于汽车运输行业的高风险性和危险品潜在高危险性和事故高危害性而日益受到全社会的高度关注。因此,如何尽可能的减小危险化学品运输风险以及灾害损失,已经成为一个迫切需要重视的课题。危险品道路运输既是一个十分重要的社会公共安全问题,也是一个重要的战略和战术决策问题,已引起公众和政府监管部门的广泛关注。

危险品运输网络设计是保证危险品运输安全的一个重要措施。为此,国内外很多学者都进行了研究。国内外文献中,有关运输问题和道路网络设计问题文献很多,而危险品运输及危险品运输网络问题的研究较少,并且集中于风险定量评价及运输路径优化选择方面。他们的共同点是从经营运输企业的角度,在政府指定的路径中寻求最小风险、最小成本或两者兼之的最优路径,是各自的单OD路径选择。而政府指定危险品运输路径及时段时仅考虑规避最大人口风险及交通流分配等问题,没有考虑各运输者路径选择的偏好及综合效应,并没有使得总风险期望最小。

List等[3]对危险品运输风险评价和选线进行了综合分析,概述了20世纪80年代的主要研究方法;Kara、Erkut、宋杰珍等人先后使用了类似的危险品运输双层规划模型并使用库恩-塔克条件提出该模型的一个简单解法[4,5,6];Konstantinos等[7]建立了双目标优化模型并采用启发式算法求解。

危险品道路运输网络特性分析

危险品道路运输网络多指一个地区或城市的道路网络,分布有一定数量的危险品运输起讫点(OD)。网络上有两类作用者:当地政府和运输者。危险品运输关系到国家和人民的生命财产安全,因此危险品运输通常受到政府的管制。通常是在既定的运输网络上关闭某些风险较大的路段,这样剩下的路段就构成危险品的运输网络。

政府首先决定禁止危险品运输车辆通行的路段,然后运输者在已开放路段形成的运输网络内根据自己利益或偏好做出反应,进行路径选择决策。可以认为政府主要关心风险最小化,而运输者主要关心运输成本最小化[8]。这形成一个双层设计问题,政府代表第一层,而运输者代表第二层。

一旦政府制定网络,运输者将在网络上OD间选择最小成本路径。然而,政府在设计网络时必须考虑运输者行为。认为运输者保持在最小风险路径上是毫无道理的,并且政府无法对运输者指定路线(不现实也不经济)。因此,政府设计网络时必须结合运输者选择最低成本路线的特点,形成本文的双层设计问题。危险品运输网络设计受到政府和运输商的共同影响,可用图1表示。

种网络设计想定

假定按政府目标为风险最小化,运输者目标为成本最小化来分析网络设计问题。下面通过4种不同的想定来说明网络中两种决策者如何相互作用,其中表1为前3种想定。

下面用一个例子来进行比较,来说明危险品运输网络设计问题单层规划模型的不足。如图2显示的是一个包含5个节点和4个运输OD的对称网络图。O:1,2;D:4,5。每条边上的权重含义:如边35上的(2,4)表示R=2,C=4。

假设运输同一种商品,每对OD间的运输量相同。根据表1,则前3种想定情况下的路线选择及运输风险、成本分析结果见表2。

从以上结果可以看出,R3>R2,即风险超出了政府的预期。因此,政府在制定危险品运输网络时,如果忽视了运输者路线选择,则结果可能是风险值远高于政府的预期。为有效控制风险,政府在决策时必须考虑运输者在网络上按最小成本选择路线。这引出危险品运输网络的双层规划设计,也是第4种想定。

想定4。政府考虑运输者对运输网络的实际运用,形成一个双层规划问题。设风险为R4。

双层规划模型

危险品运输网络设计问题是一个图论问题。用一个有向图G=(V,A)代表一个地区的道路网络。式中:V为节点集;A为边的集合。节点代表道路交叉口,边代表一个路段。本网络设计问题是在G上寻找一个包含K个运输任务,由政府规划设计的考虑运输者特性的城市。

(i,j)表示一条路段。显然,i,j∈N,(i,j)∈A。

O(k),D(k)为第k个运输任务的OD,k∈{1,2,…,K},dk为相关运输量。

rijk和cijk表示第k个运输任务在路段(i,j)上的运输风险和成本。其中:风险根据危险品的类型选用相应的扩散模型求解,本文采用文献[9]中的危险品运输泄漏事件的影响区人员伤亡风险来表示;成本以运输距离表示。

决策变量:

危险品道路运输网络设计是一个典型的领导者-追随者对策问题,双层规划模型可描述为:

式中:xijk由下面规划求得

式(1)是上层规划目标函数:政府期望由运输者运用的网络总风险最小;式(2)是上层决策变量:路段(i,j)或(j,i)被选择,则边(i,j)为双向开放;式(3)是有些路段可能会经过一些重要的单位或区域,政府有时会对这条路段规定一个期望损失上限α;式(4)是下层目标函数:运输者期望的总运输成本最小;式(5)是下层约束条件:流量均衡,保证货物运出和到达目的地;式(6)是下层约束条件:运输商只能在政府开放的路段中选择路线;式(7)是下层决策变量的0,1约束。

双层规划模型的遗传算法

4.1 算法的基本要素

1)基本运行参数。根据本问题所需的求解规模以及多次调试结果确定各基本运行参数为:

M为群体大小,取M=50;

T为当前进化代数,取终止进化代数Tmax=200;

Pc为交叉概率,取Pc=0.5;

Pm为变异概率,取Pm=0.05。

2)编码。因为优化对象是网络,故对个体的编码采用网络图的邻接矩阵。

3)生成初始种群。随机产生M个初始布尔矩阵,矩阵的阶数为节点数,并对产生的矩阵进行连通性检查。对每个矩阵按上层规划求出的网络就是不同的危险品运输网络方案,都应该是道路网的子网。

4)适应度评价。确定个体适应度的量化方法,即由上层目标函数值U到个体适应度的转换规则。这里做以下转换:

式中:Ui由式(1)算得,取cmax=1 700。

5)选择算子。选择算子有很多种,这里采用选择算子采用无回放余数随机选择策略,这种算子的优点是可确保适应度高的一些个体一定能够遗传到下一代群体里,选择误差比较小,具体实现步骤如下:

(1)计算群体中每个个体在下一代的生存期望数目

6)交叉算子。采用非等概率单点交叉。具体方法是随机产生一个随机整数I(0<I<V,V为节点数量),确定交叉交叉点位置,在I行后进行单点交叉。

7)变异算子。采用自适应调整Pm。

其中a、b为控制变异概率的参数,具体值应结合相应问题多次试验求得,本文中a取0.8,b取0.5。采用最大适应度Fmax、最小适应度Fmin适应度平均值Fave这3个变量来衡量群体适应度的集中程度,自适应的改变整个群体的Pm。

8)粘贴算子。构造一个粘贴算子处理路网连通性约束,该算子的主要功能是对以上3个遗传操作后的结果进行路网连通性检验,如果路网节点不连通,则在路段编码中对取值为0的边进行强制性变异,直到路网连通为止。

9)终止条件。由于求解双层规划问题,最优解事先无法知道,所以只能采用给定一个最大进化次数作为终止依据。

4.2 求解步骤

步骤1。初始化,随机生成M个个体作为初始群体P(0),进行连通性检验,计算各个体的可达矩阵,运用粘贴算子,确保所有OD的连通,得到初始可行方案。设置进化代数计数器t=0,设置最大进化代数T。

步骤2。根据上层规划进行路线选择,按上述适应度评价方法计算各个体方案的适应度。

步骤3。按上述4个算子依次进行选择、交叉、变异和粘贴操作,进行连通性检验,产生新一代的群体。

步骤4。将种群中的各个个体代入下层规划进行交通分配,得到最小成本网络方案。

步骤5。如果t>T,转入下一步;否则t=t+1,转到步骤2。

步骤6。将最大适应度的个体作为最优解输出,终止运算。

4.3 实例

双层规划和遗传算法的求解运用Python编程,将网络及流量分配结果输出到PDF文件中,并将结果输出到Excel文件中。考虑图2描述的简单运输问题,假设运输同一种危险品,各OD间的运输量为100时4种想定下的危险品运输网络及流量分配见图3。

根据以上4种想定,图2问题的运算结果见表3。

结束语

从表2可以看出,目前常用的危险品道路运输网络规划方法即想定3的总风险接近于运输者在网络上按最小费用选择路径时的总风险(想定1),可能超过政府的预期(想定2)。另一方面,从图3还可以看出,其网络构成的路段数量少,将致使这3条路段的风险加大,也未达到风险控制的目的。

对于使用双层规划的想定4,其总风险控制最接近于过度管制即想定2下的总风险,同时,网络结构也比较理想。由于想定2需要政府监管部门对每个运输任务指定最小风险路径并进行监控,显然这不太现实。因此,想定4是最优解。

综上所述,危险品道路运输网络的双层规划设计方法是科学、合理的,采用遗传算法进行求解能得出稳定的最优解,具有可行性和可操作性。

参考文献

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[9]储庆中.基于双层规划的危险品道路运输网络优化设计[D].南京:东南大学,2009.

伦敦双层巴士的乘车准则篇11

红色双层巴士在伦敦有个响亮的名字叫“马路主人”。由于伦敦街道狭窄拥挤，双层巴士推出后很好地解决了交通拥堵问题。伦敦巴士是前置引擎的，车身中间有一道车门，并设有升降平台以供残障人士使用。甚至巴士还为乘客提供了免费Wifi，非常人性化。伦敦巴士不是每个站都停的，若有意下车，请按车内扶手栏杆上红色的停车按钮一次，司机在下一站就会停车。

我和杰克搭乘一辆双层巴士前往伦敦东区。上了车后，我发现车上只有三位乘客坐在车后排，车内显得空空荡荡的。我找了个靠前的座位坐下来，在海德公园玩了一天，我打算在车上打个盹儿，这时杰克拉起我坐到了车后排。我不太情愿地说：“车后排有点颠簸，坐着不舒服啊！”杰克看着我说：“难道先上巴士的人不应该先坐后排吗？”“为什么先上来的人要坐后排呢？”我不解地问。“在伦敦，先上巴士的人都是从后排坐起的，这样可以让车厢整洁不至于拥挤，更重要的是能让后上车的人在短时间内找到位子坐好啊！”杰克的话提醒了我，再看看巴士的前排座椅，果然无人。“伦敦的巴士上没有老弱病残孕专座，我们习惯把巴士的前兩排为这些人留着。”杰克打趣地对我说，“今后可别再坐错位子了。”

经典的红色双层巴士可以说是伦敦街头一道流动的风景线，而伦敦人恪守的这些虽未成文但大家都心照不宣的“乘车准则”更是为这道风景线增色不少。

双层规划模型篇12

在数据操作系统中, 用户的计算请求在系统中转换为可调度的计算任务, 再通过相应的调度策略分配到可用的计算资源上[1]。同时, 由于计算任务的数据对象分散于各个结点, 数据的可用性以及节点的选择都需要通过调度策略进行判断。因此, 调度是数据操作系统中的关键问题。传统的调度研究关注点如公平性[2]、本地性[3]等在数据操作系统环境下仍适用。

系统的工作负载结构一直是调度策略制定的基本依据之一。随着数据计算环境的演化, 交互作业已经在工作负载中和传统批处理作业有了明确区分。本文引出了交互式作业在分布式处理框架调度问题中的目标与方法, 并提出了一种针对传统作业以及交互作业混合工作负载结构的双层优化调度模型。在该策略中, 双层结构分别针对作业级和用户级管理交互式作业, 管控其调度时间; 从而分别实现交互式作业针对传统批处理作业的优化以及各个用户之间的等待时间等级公平性。

本文各部分的组织如下: 在第2部分中介绍了数据操作系统环境下的作业调度背景。在第3部分中阐述了当前数据操作系统工作负载的结构趋势以及交互式作业的特点, 同时论证针对交互式作业调度优化的可行性。在第4部分本文提出了一种基于交互式作业优化的双层调度模型, 并详细列出其实现细节。在第5部分中, 对比传统的调度策略, 针对本文提出的调度策略进行评估。最后, 在第6部分进行总结。

2 数据操作系统中的作业调度背景

如同传统的系统研究理论体系, 调度问题仍然是是决定数据操作系统计算效率的关键问题之一[4]。通常情况下, 调度工作由系统内一个或多个调度器完成。数据操作系统环境下, 用户提交的请求被系统识别为用户作业, 并拆分为可调度的计算任务[5,6]。各调度器按照设定的调度策略将各个计算任务分配给可以支配的计算资源。常见的调度策略是例如: 先入先出 ( FIFO) 策略, 其调度的主要考量是作业提交时间, 提交时间较早的作业将更快地获得调度; 公平性策略[2] ( Fair Schedule) , 在多用户环境下以保证各个用户对资源的支配公平地调度策略。每一种调度策略的逻辑结构来源于一种或多种调度考量。

调度策略的设计和选择也与工作负载的自身性质紧密相关。在数据操作系统环境下, 工作负载中的作业有多种途径的来源和多样的计算要求。虽然在数据操作系统中, 各个不同性质的作业最终被分割为可以被统一调度, 相似度较高的调度任务; 然而, 由于数据操作系统用户对各种作业的侧重点不一而要求调度策略对各类作业加以区别。例如一种最经典的工作负载划分方式是将作业划分为单次处理作业与服务作业。针对工作负载自身结构的策略设计可以帮助系统提高用户满意度或者达到服务质量协议的相应指标。

3 交互式作业与当前的工作负载分析

海云协同网络环境下[7], 工作负载的结构正在持续发生变化。由于数据操作系统的一个直接使用场景是将用户的实时交互的数据操作请求转换为系统作业提交, 因此产生了一种特殊来源的作业: 交互式作业[8]。通常情况下, 用户在交互式操作请求提交之后会进行持续的等待, 所以这类交互式作业通常具有规模小、速度快和延迟敏感的特点。而传统的批处理作业是由用户提交的批处理计算请求产生的, 用户不会对批处理作业的结果进行持续等待, 而是采取定期查看批处理运行进度和结果的方式。因此批处理作业通常规模中等或者较大, 执行速度慢且对时间不敏感。

按照用户的使用场景推测, 在工作负载中, 交互作业通常集中在1到10个计算任务的规模, 而批处理作业则通常包含多于10个任务, 并均匀的分布于几个到数千个任务。同时, 较短的交互处理作业应该占据了所有作业数量上的多数, 但是主要的集群资源将被批处理作业占用。如果这种假设成立, 占据主要数量但是少量资源的交互作业就可以作为主要调度目标, 在不影响整体数据操作系统处理能力的基础上进行调度调整。

为了验证如上所述的假设, 本文分析了Facebook公司2010年内连续45天的工作负载记录, 共6. 5万条。在分析时, 本文首先将作业按照大小排序, 并以十个任务为递进单位将作业记录分为各个单元。图1中所示横坐标bin x代表了第x个单元。这个单元包含了工作负载记录中所有规模处于区间之内的作业。图中纵坐标代表了各个作业单元中作业数量占总作业数的百分比。可以明显地看出, 该分布符合重尾分布的定义[9], 除前两个单元有明显更多的作业之外 ( 共有超过70%作业) , 其余单元基本均匀分布少量作业, 直到第2800单元结束。数据表明, 在当前环境的工作负载中, 小规模的作业, 通常是交互型作业占据了数量上的多数, 成为在调度过程中不得不重点考虑的调度对象。

为了验证在数量上占据多数的交互作业对集群整体资源的占有情况, 本文进一步对同一工作负载记录进行了分析。与上一组试验采取了同样的划分单元的方式, 在这组试验中分析了在每一个作业单元内, 总任务数的分布情况。由于Hadoop框架对集群资源的基本调度单位是计算空位, 使用对应的任务数可以基本反映作业的资源占有情况。如图2中所示, 虽然从总体分布上各个单元对资源的占有比例并不完全均匀, 但是相对于图1中的作业数量分布, 其资源占有情况基本可以视为同样量级。数据显示占据数量上大多数的第一单元和第二单元作业对资源占有的比例与其余单元, 尤其是数量占据极少数的末尾单元所占据的资源属于同量级。由此验证了虽然交互作业在当前工作负载中占据了多数, 但是其总资源使用以及基本调度单位占用占总集群比例较小, 支持了可以在对总集群吞吐量影响可控的情况下优化交互作业的假设。

在现实工作负载的验证使针对这种工作负载的调度调整成为可能。虽然交互作业和批处理作业的性质不同导致其二者对用户满意度影响不同, 但其基本共性是交付时间长度与用户满意度负相关。各分布式处理框架现有的调度器虽然可以较好地解决本地性, 公平性等问题, 但是对交互作业并不能进行良好的区分, 因而导致交互式作业的延迟问题。这部分将会在本文的评估部分详述。由于以上原因, 本文提出一种兼顾交互作业与批处理作业共性和区别的调度策略。

4 一种数据操作系统的双层优化调度模型

由于在一般使用场景下, 用户持续等待交互式作业的提交结果, 因此相对于批处理作业, 交互作业的时长变化更容易导致用户对计算服务满意度的变化。同时, 针对多个用户共享集群资源的情况, 由于调度策略不同用户之间可能发生等待交互作业时间有较大差异的情况。由此可以引出本文调度策略的基本目标, 在保证传统调度考量的基础上使交互作业处理时间尽量小。虽然相对于交互作业, 批处理作业对执行时间延时相对不敏感, 但是执行时间也是用户对该类作业计算服务的重要衡量指标。因此交互任务不能简单无限抢夺或优先占有计算资源。尤其需要限制每个用户的交互作业优化和批处理作业损失的综合公平性。为此本文定义了作业等待级别 ( DoS) , 和综合和用户交互作业和批处理作业的用户等待级别 ( UDoS) , 两种指标作为算法的中间变量。其中前者可以用户表达归一化的单个作业用户等待级别情况, 后者表达了用户级别所有作业的等待级别变化情况。因此其调度目标与约束可以表达为

主体优化指标含义即尽量使交互作业获得更小的作业等待级别。其约束条件为在加速交互作业的同时, 各个用户综合等待级别应分布均匀, 即变异系数处于可接受状态。其中阈值30% 基本可以保证各用户在综合用户加速级别的分布处于均匀, 不会因为交互任务的加速使得批处理任务急剧减速也不会将加速的交互任务等级集中在少数几个用户中。以该经验值其作为基本约束指标。等待级别的计算公式与相关变量如表1。

针对以上设定, 设计的总体调度框架如图3中所示。首先由一个用户服务管理模块 ( USM) 控制用户层级的交互作业影响。以独立队列 ( Queue) 代表各个用户的作业执行情况, 在一般情况下, 队列层级内普通公平调度器 ( FS) 仍发挥作用, 但在涉及交互作业的队列时, 交互作业控制机制 ( IC) 则会与公平调度器共同作用形成组合调度器。因此, 调度目标1将由USM模块在用户层控制实现, 调度目标2由各队列与调度器在作业层控制实现。

这种双层结构的框架有两个主要的优点: 一是具备较好的兼容性: 它可以与现有的调度器很好地结合。图3中公平调度器也可以替换为先入先出调度器或其他自定义调度器, 其具体的实现将在3. 1部分介绍。二是具备较好的可扩展性: 由于针对用户层级的管理以及针对作业级管理分开, 允许用户使用调度策略是分别调整相关参数以达到优化处理的目的。

4. 1 基于负载结构的作业层调度

在作业层的调度主要负责在工作负载中, 相对于批处理作业对交互作业实现调度优化, 从而达到从总体上降低用户等待交互作业时间的目的。该在作业层级该调度的主体结构与逻辑流程伪码如图4中左部所示。其中一个用户队列中包含一个用户的多个作业, 其中有交互型作业I与批处理作业B。对于每个交互型作业I, 针对其在队列中等待时间会导致作业等待级别 ( DoS) 的变化。队列与两个调度器相连接, 一个是普通的公平调度器FS, 另一个是由用户等待级别确定调度顺序的交互任务作业调度器 ( IC) 。作业层级的调度结果还会为用户层级调度产出用户等待级别 ( UDoS) 的变化依据。

作业层调度的主体流程如图4中伪码所示, 主要分为更新DoS参数与调度策略切换两个部分。在一个用户队列内, 待处理作业等待集群的调度通知。当一个调度通知到达时, 需要从队列中选出一个作业, 安排计算该作业中的一个任务。更新DoS发生在一次调度通知到达时, 从所有作业中计算并选出交互作业中DoS指标最高的作业, 将其信息存储在IC中。由IC内部定义的规则 ( 默认为大于固定阈值MD) 判断启用那个队列内调度策略。如果符合规则条件, 则直接传回IC内存储的作业信息。如果不符合, 则按照普通的公平调度器的调度方式来调度队列。

4. 2 面向公平性用户层调度

用户层调度的主要功能为选出UDoS指标最高的用户队列, 并且在本次对队列进行优先调度。这种调度逻辑保证了最终所有用户的UDoS级别是趋同的, 间接确保各个用户针对总体作业的等待等级不出现严重分化。其核心是用户等待级别管理部分 ( USM) 。当然, USM默认的策略也可以被替换成其他管理策略, 比如选取UDoS上升趋势最快的队列。只要最终的策略目标是让各队列UDoS的差距在可接受范围内, 即可符合整体调度目标。

如图5所示, 用户层及的调度流程比较直观。其主目标是当一个调度通知到达时, 从各个用户队列中选出合适的队列进行调度。队列内调度的过程按照3. 1中的流程进行。当调度通知到达时, 各个队列首先更新各自的UDoS值, 注意在UDoS处理过程中可以按照各个用户的SLA差异进行加权, 从而达到用户细分的目的。之后由USM按照指定策略选取出进行调度的队列。当然, 也可以关闭USM从而使用普通的公平调度器管理多用户队列。

5 实现与评估

本文中实验的基于DataOS v0. 1中的分布式数据处理应用程序Ha-doop, 实现上述的调度策略。实验的硬件平台基于一组8台服务器的集群, 每台服务器24核, 在Hadoop中被分配为16个Map计算空位和8个Reduce计算空位。用于处理的工作负载是针对真实Facebook中2010年工作负载集合进行的按比例抽样, 保证100个交互作业并按比例抽区批处理作业。保持了真实工作负载的交互作业与批处理作业的组成比例以及作业在各个规模上的基本分布。

本文先后使用普通公平调度器, 简单公平调度器以及本文提出的双层调度模型在真实机群上进行验证。普通公平调度器选取的是DataOS v0. 1中分布式处理框架自带的常见多用户调度器。简单公平调度器是在普通公平调度器之上屏蔽了本地性策略的版本。由于理想情况下的交互作业等待时间很难在实际机群中获得, 本文在试验中选用简单公平调度器作为对比基准。这样做的原因是, 仅考虑资源分配比例的简单公平调度器是公认合理的资源分配方式, 同时它的调度模式也相对稳定。本文希望评估本文提出的双层调度模型是否基于工作负载结构作业在其基础上获得显著优化, 是否实现设计的两个基本调度目标。另外与简单公平调度器对比在未优化的情况下, 于本文提出的调度策略的异同。

如本文第4节所述, 本文提出的调度策略有两个基本要求: 一是使交互作业等待等级尽量小。二是使所有用户的综合等待级别分布尽量均衡。试验结果如图6所示, 图6中横坐标代表是每个交互作业的序号。纵坐标代表的是相对于基准的简单公平调度器, 所选调度策略是针对交互作业取得加速。由图中可以看出, 实心点代表的普通公平调度均匀, 轻微地改变交互作业等待时间。而空心点代表的基于工作负载结构优化的双层调度模型显著加快了交互作业速度, 减少了用户的交互等待时间。虽然有部分作业也有超过普通公平调度的减速, 但是其总体交互作业平均加速达到87. 55%。同时, 少量用户调度的中间变量DoS值已经接近于0, 表明该算法针对工作负载结构的优化空间已经获得较为充分使用。图6的试验结果证明了优化调度机制要解决的原始问题已经解决, 同时说明了作业层的调度策略设计有效。图7中根据五个提交作业的用户, 对每个用户的交互作业等待情况进行了分析。首先由于在工作负载中交互作业获得的总体速度提升, 各用户的交互作业也体现出了较明显的趋势。说明此优化调度策略在整个工作负载上的交互任务发生作用。同时, 由于用户级调度策略的设计, 使得各用户的交互等待等级提升较为均匀。

表2中列举了两组实验的对比结果的一些指标, 从数据中看出, 对于设定的限制条件: 用户综合等待等级变异的系数, 优化双层调度策略在实验变中的异系数为27. 10%, 仍在设定的约束范围内。更为重要是, 集群吞吐率相对普通公平调度器和简单公平调度器并没有明显差异。再次印证了在当前常见的工作负载中, 针对交互作业的调度对整体集群处理效率影响较小这一前提假设。

6 结束语

本文阐述了当前数据操作系统环境下工作负载的变化趋势, 指出了工作负载结构优化的必要性和合理性。本文随即提出一种针双层优化调度模型, 并详细展示了其理论模型, 基本调度逻辑和实现步骤。通过在实际机群上模拟真实工作负载的形式进行试验验证, 证实了该调度模型能够显著地优化交互式作业的等待时间、能够有效平衡各用户间等待时间公平性并且该调度模型不会对整体集群吞吐量造成显著影响。

摘要：调度问题是数据操作系统研究中的关键性问题, 它建立了计算资源、计算任务以及数据间的链接关系。在海云协同网络环境下的调度问题中, 常见的调度考量包括公平性、数据本地性等。由于数据操作系统使用环境的演化, 工作负载中任务的交互特性给调度问题提出了新的挑战。本文在保留传统调度考量的基础上, 兼顾交互、批处理两种作业模式的异同, 提出一种优化的双层调度模型, 并使用符合实际产业环境分布的工作负载在现实集群上对该调度模型进行了验证。实验结果说明, 该模型以微量降低系统吞吐量的代价整体优化了交互作业的响应时间, 同时兼顾了用户级公平性。

关键词：任务调度,交互式作业,工作负载,数据操作系统

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