子空间跟踪算法

2024-11-11

子空间跟踪算法（通用6篇）

子空间跟踪算法篇1

0 引言

在现今的信号处理过程中，信噪比估计技术有着越来越重要的作用。信噪比估计是蜂窝以及卫星通信系统中非常重要的一个过程，准确的信噪比估计便于通信系统采用更为有效的解调算法，并为系统进行信道切换、功率控制和信道分配提供较为准确的信息。现有的信噪比估计算法很多，性能优劣不一，性能指标主要表现在观测数据长度、过采样率、调制类型以及信噪比估计范围。前人已经对信噪比估计算法有了较为系统和全面的介绍与研究[1]。

信噪比估计方法按数据来源可分为两类[2]:有数据辅助的(即DA算法)和无数据辅助的(即NDA算法)。在实际通信系统中以及信息对抗活动中，由于很难获取训练序列，尤其是在诸如卫星载波监视、监测、通信侦察和其他非合作接收等非协作通信中，由于没有调制类型的先验知识，解调前需要对信号进行调制识别。而为了提高调制识别的准确率，信噪比信息则是不可缺少的先验知识。因此，研究盲信噪比估计技术具有重要意义。

基于子空间的盲信噪比估计技术能够不依赖任何先验知识对接收信号求取较为准确的信噪比信息。信号子空间维数估计是影响子空间算法估计性能的重要因素。本文针对信号子空间的维数估计做了一些研究与分析。

1 子空间算法原理

基于子空间的盲信噪比估计算法的基本步骤是先对接收信号进行采样并构造接收信号的协方差矩阵，通过对协方差矩阵的分解运算，求解其特征值;其中大的特征值对应于信号功率，小的特征值对应噪声功率;通过计算对应的信号与噪声功率，求解出信噪比信息。基于子空间的信噪比估计算法的主要思想可以概括为[3]:(1)接收信号协方差矩阵可以分解为信号子空间和噪声子空间;(2)信号子空间和噪声子空间对应的特征值与信号和噪声功率存在对应关系。

对于文献[1]中的信号模型计算接收信号的协方差矩阵:

由于协方差矩阵真实值不能直接得到，经验做法是采用时间平均代替统计平均，以估计值代替真实值。

式中，K为所使用的样本长度。

算出协方差矩阵以后，对协方差矩阵进行特征值分解，以期求解出信号和噪声子空间所对应的特征值。假设协方差矩阵的特征值为bi(i=1,2,...

式中，为信号在第i个特征向量上的功率。图1为特征值确定信号子空间维数示意图，这里定义前边p个特征向量张成的空间为信号子空间，后边L-p个特征向量所张成的空间为噪声子空间[5]。那么只要确定p，就可以确定信号与噪声的功率大小:

进而可得信噪比估计式:

2 维数估计方法

由子空间算法原理可看出，欲求解准确的信噪比信息，其中重要的一步就是分离出准确的信号子空间和噪声子空间。目前关于信号维数估计方法主要有归一化比值法、最小描述长度准则(MDL)、加权平均信息准则(WIC)，以及噪声功率法(NP)。几种估计方法或准则在不同条件下性能有一定差别，下面的任务就是对比以上几种方法和准则的性能差异，并针对不同条件下选取适应性好的估计准则。

2.1 最小描述长度准则

MDL准则是基于贝叶斯理论以及信息论准则推导出来的[6]。Schwartz提出基于贝叶斯理论的方法，并且选择模型得到最大后验概率。Rissanen提出基于信息论准则的方法。由于每个模型都可以用来对观测数据进行编码，选择适当的模型使其具有最小的编码长度。经过证明，二者都可以推导出MDL准则[7]。其基本表达式为:

公式的第1部分为观测序列X={x(1)，…，x(K)}的概率密度函数的最大似然估计，第2部分为偏差校正项。将该准则应用于本文的信号观测模型，即可得到:

式中，K表示所采用的数据长度，则信号子空间的维数估计值为式:

2.2 归一化比值法

定义函数

预先确定一个非常接近于1的阈值(如0.995)[11]。当q是v(q)大于或等于该阈值的最小整数时，则认为前面q个特征值是“主要的”，从而将q确定为信号子空间维数p。

2.3 噪声功率法

设特征值已经过特征值分解得到，假设信号子空间维数为q，则对应噪声子空间的维数是L-q，那么相应的噪声功率的估计值为:

这是一个单调递减函数，当1≤q≤p函数值变化较快，而p≤q≤L时，函数值变化较缓慢，曲线由陡峭到平缓的跳变点即为信号子空间维数估计值p。但是由于跳变点难以寻找，可利用一阶前向对数差分描述曲线斜率:

对Δ(q)作差分处理得:

最后根据预先设置的阈值T从尾部对NP(q)进行搜索[9]，当首次满足NP(q)≥T时q的取值即为信号子空间维数估计值。

2.4 加权平均信息准则

WIC准则相对于上面的MDL准则，在于似然函数与偏差校正项做了一些调整[8]。调整后的偏差校正项为:

其中，A=2K(q(2L-q))/(K-q(2L-q)-1),B

则WIC的计算公式为:

对应信号子空间的维数估计值为:

3 仿真结果与分析

仿真采用QPSK信号，载波频率为5 MHz，采样频率为5倍载波频率，使用的数据点数为800。信号采用升余弦成型方式，滤波器滚降系数为0.5，仿真100次。仿真结果如图2所示。

从仿真结果来看，图2与图3显示，在当前仿真条件与环境下，NP法、MDL和WIC准则能够较准确地反映出信噪比信息。其中，MDL准则在信噪为-2 d B以下时估计标准差加大，远大于NP法与WIC准则的估计标准差。但当信噪比高于0 d B时，WIC与MDL准则有着相近的估计标准差，NP法标准差值比二者有0.2的差值。图4和图5则显示了当数据长度为2 000与3 000时的4种估计方法的估计标准差的对比。可见，在低信噪比时WIC准则与NP法相对于MDL准则表现优良，有较高的可靠性。

由上述结论可知，在信噪比较低的时候可以选择WIC准则或者NP法替代MDL准则作为信号子空间维数的估计方法。当信噪比达到0 dB以上时，WIC准则与MDL准则有着相近的估计效果。采用该策略可提高盲信噪比估计精度。

4 结束语

信号子空间维数估计的准确度是影响整个算法的估计精度的重要因素。针对几种位数估计算法做了比较分析，在本文的仿真条件与环境下，结果显示在低信噪比WIC准则以及NP法比经典的MDL准则有着更好的性能，不同噪比条件下选择不信同的维数估计方法能得到较好的估计效果。

子空间跟踪算法篇2

随着一些算法理论的成熟, 混沌振子、随机共振等算法逐渐开始用来发现小信号。当前的弱信号检测技术有了很大的提高, 但是更多的算法应该被引入到这个领域中, 因此将用于阵列测向的子空间算法引入到微弱信号检测中来, 希望能对以后新算法的应用提供参考。将两种检测算法在相同条件下进行仿真比较, 通过对实际单载波、带衰减的AM信号和航空AM信号的数据测试对两种算法的效果进行了对比, 最后使用FPGA对杜芬 (Duffing) 振子混沌算法中的核心模块进行了实现。

1杜芬振子混沌算法原理

Duffing振子混沌系统本身具有对弱信号检测的优势;它对输入的高斯白噪声有较强的免疫性, 而对与系统频率相近的小幅度信号却非常敏感［４］。主要表现在能够使混沌系统的相位图发生明显的变化。利用混沌振子检测时, 系统相图在策动力的作用下按一定规律变化, 当只加入高斯白噪声时, 相图轨迹与之前相比不会有较大的变化;当加入混有高斯白噪声的小幅值正弦信号后, 相图立刻会从混乱的状态变为趋向规则的周期运动状态, 这样就能够通过相图的变化判断出有无微弱信号的存在。这里使用的Duffing方程为［４］

式 (1) 中0.5为阻尼系数, (-x+x3) 为非线性回复力, r和ω分别为周期外力的幅值和角频率, rcosωt是周期策动力。方程的等价形式如式 (2) 所示。

系统中没有微弱信号时, 系统相图处于混沌状态;一旦有小信号输入, 相图立刻会从混沌状态变为大周期运动状态, 如图1所示, 此图1为simulink所搭建系统生成的相图。

2子空间算法原理

子空间算法本源自阵列测向技术, 这是在雷达技术中比较成熟的技术。算法的核心思想是对阵列输出的协方差矩阵做特征值分解, 将整个特征空间分成信号子空间和噪声子空间。因为阵列方向矢量和噪声子空间相互正交, 定义一个伪功率谱, 搜索伪功率谱的谱峰, 谱峰处对应的角度即为输入信号的波达方向［５］。根据实验发现子空间算法检测最低信噪比可以达到-30dB左右, 比常规方法要低一些, 适合在强噪声背景下提取信号;所以这也为微弱信号检测又提供了一种方法。

根据主次特征值的个数, 把酉阵U分解为两部分, Uｓ和Uｎ。U的前K个主特征向量组成Uｓ, 即信号子空间, 而U的后m-K个次特征向量构成Uｎ, 即噪声子空间［５］。定义子空间方法的伪功率谱表达式如式 (3) 所示:a (f) 为频率矢量, Uｎ为噪声子空间, P (f) 为所求伪功率谱。

3两种算法的仿真测试与比较

通过前面所述可知采用观察系统相图的方法可以发现信号;但在这里采用计算相图轨迹横坐标的方差来判断微弱信号的存在与否, 两者的原理是一样的。另外, 检测的信号并非为原信号的绝对频率, 而是它与接收机本振频率的偏差信号, 从理论上讲只要有微弱信号存在就一定会存在一个频差信号, 从而能够通过识别有无频差信号来实现对弱信号的检测。

利用混沌算法对输入数据进行处理时, 根据四阶龙格库塔方法求解混沌振子的状态微分方程;然后将每个搜索频点的计算结果求一次方差, 最后所有频点处的方差进行比较。若某点处的方差起伏最大, 则说明检测到有微弱信号的存在, 而且其对应的值就是这个频差信号的频率。对于子空间算法处理时, 根据计算信号的伪功率谱, 求得信号的绝对频率。

下面主要采用一些实际数据来仿真算法的效果, 包括:单载波信号、经过幅度衰减后的AM信号、利用Agilent公司sensor接收机采集到的航空波段AM信号。

3.1单载波信号

利用信号发生器产生一个单载波信号, 设置的参数如下:载波频率 (fｃ) =30mHz, 参考电平 (lev- el) =-67dBm, 信噪比 (SNR) =-20dB, 符号速率 (symbol rate) =2 000sym/s, 系统带宽20kHz。

搜索条件设置为:频率搜索下限 (f０) =5 Hz, 搜索上限 (f１) =50 Hz, 搜索步长fｓｔｅｐ=0.02, 采样频率 (fｓ) =2kHz, 迭代步长 (h) =1/fｓ。混沌算法检测的仿真结果如图2中所示, 通过方差-频率图可以看到频差为15 Hz左右处有一个波动较大的谱线, 则说明检测到了30mHz单载波信号。

如图3中所示, 子空间算法检测到了一个频率为30 mHz的信号, 即为输入单载波的绝对频率。通过单载波的实验, 说明两种算法对于检测单载波信号都有较好的效果。

3.2经过幅度衰减的AM信号

为了测试两种算法对于小幅度信号的检测能力, 于是将幅度衰减器应用到试验中。调节幅度衰减器, 使信号几乎淹没在噪声中, 从而近似于强噪声的背景。对于fｃ=80mHz的AM信号, 当SNR= -30db, 衰减系数为40时, 混沌算法已经无法检测到信号了, 但是子空间算法在衰减系数为58的时候仍可以较准确的识别出该微弱信号, 如图4中所示。因此, 子空间算法在检测幅度衰减较严重的信号时具有较大的优势。

3.3航空AM信号

为了更好的验证算法的检测效果, 所以使用接收机采集中心频率在133.306 mHz处的航空AM信号, 仿真结果显示两种方法对于真实的航空信号的检测效果都相对较好, 混沌算法结果如图6所示。

通过采集不同形式的数据对算法进行测试, 可以看出两种算法都能够检测到较低信噪比的信号, 并且将用在阵列测向中的子空间算法应用到弱信号检测中效果也是较好的。结果表明, 混沌振子检测算法对于单载波和航空AM信号检测效果较好, 但对于信号幅度衰减过于严重的则无法检测出;子空间算法对三种信号都能够检测出, 尤其是对信号幅度较低的信号, 检测效果优于混沌算法, 并且两种算法所能检测到的最低信噪比至少都能达到-30dB。

4硬件实现可行性对比

5杜芬振子混沌算法模块的实现

Duffing振子混沌模块是检测算法的核心部分, 使用工程中计算精度较高的RK4法计算系统相位运动轨迹。使用状态机的描述方式实现四次迭代过程, 输出数字混沌序列［６］。计算的数据采用29位小数的定点数, 第一个输出结果为537 039 461, 如图7所示。它的真实值是537 039 461/ (2２９) = 1.000 313 946 977 257 7, 然而matlab计算出的结果为1.000 314 012 313 531, 结果精确到小数点后第5位, 所以, 混沌算法可以满足微弱信号检测的要求。

6结论

论文针对混沌算法和子空间算法进行了研究, 从算法的基本原理、测试仿真、计算量和实现复杂度几个方面进行了论述和对比。另外, 通过运行速度和资源占用等方面的折中考虑, 认为杜芬振子混沌算法更具有优势一些。虽然这两种算法以前的用途不尽相同, 但是经过算法仿真和实际数据的测试证明, 将它们应用在微弱信号检测领域是完全可以的, 有一定的应用价值。

参考文献

[1] 高晋占.微弱信号检测.北京:清华大学出版社, 2010:1—3

[2] 夏均忠, 刘远宏, 冷永刚, 等.微弱信号检测方法的现状分析.噪声与振动控制, 2011; (3) , 156—161

[3] 郝云虎, 王福明.小波变换在机械故障信号分析中的应用.现代电子技术, 2008;31 (23) :110—112

[4] 李月, 杨宝骏.混沌振子检测引论.北京:电子工业出版社, 2004

[5] 张乐, 魏平.信号子空间的FPGA实现.成都:电子科技大学, 2006:5—59

子空间跟踪算法篇3

码分多址(CDMA)以扩频信号为基础,利用扩频码来区别各个用户,以实现多用户信息的传输,在实际通信系统中由于各用户信号间的码字不能达到完全正交和同步,因此多用户之间的干扰是不可避免的,这种干扰被称之为多址干扰(Multiple Access Interference,MAI),也称为多用户干扰。由于这种干扰的存在,接收机在接收远端用户弱信号时易受到近端用户强信号的干扰,产生了“远近效应”(Near-Far Resistance),并且随着用户数的增多,这种影响会增大,使得期望用户的误码性能变差,限制系统的容量。随着CDMA系统的迅速发展,通过抑制多址干扰和远近效应来提高系统性能、增加系统容量的要求就变得非常重要。

多用户检测(Multi-user Detection MUD)技术是一种在接收端消除多址干扰的最有效方法。在实际的通信系统中,多用户检测技术多应用于基站,由基站对接收的用户信号进行联合检测。传统检测技术是按照经典直接序列扩频理论对匹配滤波器的输出信号进行判决,以获得期望信号,没有充分考虑和利用其它已知用户的信息,把多址干扰当作高斯白噪声,没有考虑多址干扰的影响,因此降低了系统容量。多用户检测技术是将造成多址干扰的所有用户信号信息作为有用信号,利用它们对期望用户信号进行解调,从而有效的降低多址干扰和远近效应的影响,同时也降低了系统对精度的要求,提高了系统的容量。多用户检测技术已经被看作第三代移动通信系统中的关键技术之一,由于研究它要用到CDMA系统原理、自适应和盲信号处理技术、信号的检测与估计等各个方面的知识,所以有着很高的理论研究价值。

1 基于卡尔曼滤波的盲多用户检测

自适应和非自适应多用户检测算法,虽然可以克服多址干扰,但这种方法需要知道较多的先验信息,使得算法的复杂程度随用户的数目及每个用户所发送的码元数目呈指数增加,当用户数及统计长度较大时,算法将无法实现。最近,人们提出了只利用期望用户扩频码就可进行检测的盲自适应多用户检测技术。盲自适应多用户检测技术可以在不知道系统参数和不需要重新发送训练序列,因此得到广泛应用。

卡尔曼滤波理论是维纳滤波理论的发展,它最早用于随机过程的参数估计,后来很快在各种最优滤波和最优控制问题中得到了极其广泛的应用。卡尔曼滤波器具有以下特点:其数学公式用状态空间描述;它的解是递推计算的,即与维纳滤波不同,卡曼滤波器是一种自适应滤波器。值得指出的是,卡尔曼滤波器提供了推导称作递推最小二乘滤波器的一大类自适应滤波器的统一框架,在实际中实用广泛的递推最小二乘算法既是卡尔曼滤波算法的一个特例。

考虑一个离散时间的动态系统,它由描述状态向量的过程方程和描述观测向量的观测方程共同表示。

x(k+1)=Φ(k)x(k)+ω(k) (1)

y(k)=H(k)x(k)+v(k) (2)

对于待检测的用户i,线性多用户检测模型可用式(3)表示:

$\hat{b}_{i} (k) = s i g n$ (<ci(k),r(k)>)=

sign(c $_{i}^{Τ}$ (k)r(k)) (3)

其中,r(k)为第k个码元间隔内观察到的向量,ci被称为判决向量。自适应多用户检测就是要设法选取一定的判决向量ci,使判决结果达到所需的最佳性能标准。基于不同的性能指标和不同的优化算法,就形成了各种多用户检测算法。

由于判决向量随着信道参数的变化、多址干扰以及“远-近效应”的影响,需要采用盲多用户检测器进行准确估计。根据多用户检测的原理,对多用户检测器建立状态空间模型,然后采用卡尔曼滤波算法估计出最佳判决向量,这就是基于卡尔曼滤波的盲多用户检测算法。

首先构造出多用户检测系统的动态系统模型,对于用户i的判决向量ci(k)可以由式(4)表示:

ci(k)=si-Ci,nullwi(k) (4)

式中,Ci,null为N×(N-1)维矩阵,组成Ci,null的各个列向量张成了si的零空间(即<si,Ci,null>=0);N维向量wi(k)是ci(k)的自适应调整部分,目的是当si和Ci,null(Ci,null可通过正交方法获得,如斯密特方法或奇异值分解方法)已知时,利用式(3)自适应的更新ci(k)。

对于处于稳态的DS-CDMA系统,最佳判决向量ci(k)收敛于常数,即:

ci,opt(k)=ci,opt(k-1) (5)

将上式代入式(3)可以发现wi,opt(k)也收敛于常数,即:

wi,opt(k)=wi,opt(k-1) (6)

定义ei(k)=<ci,opt(k),y(k)>,zi(k)=sTiy(k),

hi(k)=yT(k)Ci,null,则:

zi(k)=hi(k)wi,opt(k)+ei,opt(k) (7)

上式中观测量zi(k)为标量,观测矩阵Ci(k)为N-1维行向量,观测噪声ei,opt(k)为(0,φmin)的高斯白噪声,且

φmin=cov{ei,opt(k)}=E{[ei,opt(k)-μ]2}=

A $_{i}^{2}$ (k)+E{(Ai(k)bi(k)-<ci,opt(k),y(k)>)2} (8)

令εmin(k)=MSE(ci,opt(k)),定义用户i期望的输出信干比:

$S Ι R = 10 \lg \frac{〈 c_{i, o p t} (k), s_{i} 〉}{ε_{\min} (k)} = - 10 \lg ε_{\min} (k) (9)$

在盲自适应多用户检测算法中最关键的是如何快速准确的估计出自适应调整向量wi,opt(k),在这里可以按照卡尔曼滤波方程自适应估计向量wi,opt(k),即:

初始条件:K(1,0)=I

wi,opt(k|k-1)=wi,opt(k-1|k-1) (10)

P(k|k-1)=P(k-1|k-1) (11)

K(k)=P(k|k-1)H(k)[H(k)TP(k|k-1)

H(k)+φmin]-1 (12)

P(k|k)=[I-K(k)H(k)T]P(k|k-1) (13)

wi,opt(k|k)=wi,opt(k|k-1)+K(k)[y(k)-

H(k)Twi,opt(k|k-1)] (14)

ci,opt(k)=si-Ci,nullwi,opt(k) (15)

以上就是基于卡尔曼滤波的盲多用户检测器的具体实现。基于卡尔曼滤波的盲多用具检测器无论是算法的收敛速度还是信道跟踪能力都具有非常好的性能,它具有稳定、快速的收敛性,尤其是其计算复杂度固定,不随用户数量的改变而改变。

2 基于子空间卡尔曼滤波的盲多用户检测

受到信号子空间概念的启发,这里将卡尔曼滤波和子空间方法结合,对经典算法进行了改进,改进后的算法将检测器模型化为信号子空间的一个向量,并且采用与文献相似的卡尔曼滤波器来自适应获得系统参数。该方法与原算法相比具有更低的计算复杂度和更快的收敛速度,当发生波形失配使信号受到严重消减时,改进算法依然表现出较好的性能。

2.1 改进的状态空间模型

根据描述的同步CDMA系统基带接收信号的向量表示模型 $r (n) = \sum_{k = 1}^{Κ} A_{k} b_{k} s_{k} (n) + δ n (n)$ 和与其相关的独立假设,可以得到接收信号r(n)的相关矩阵为R=E{rrH}=SA2ST+δ2IN,另一方面,对R进行特征值分解可以得到R=UVUT=UsΛsU $_{s}^{Τ}$ +UnΛNU $_{n}^{Τ}$ ,并且信号子空间Us和噪声子空间Un正交,即UTsUn=0。

假设用户1为期望用户,其检测器权向量为c1,则多用户检测器的输出为:

$\hat{b}_{1} = s i g n$ (c $_{1}^{Τ}$ r)=

$s i g n (c_{1}^{Τ} A_{1} b_{1} s_{1} + c_{1}^{Τ} \sum_{k = 2}^{Κ} A_{k} b_{k} s_{k} + c_{1}^{Τ} δ n) (16)$

式中的期望信号A1b1s1和干扰信号 $\sum_{k = 2}^{Κ} A_{k} b_{k} s_{k}$ 均属于S的值域空间,因此在信号子空间内求解c1以恢复期望用户波形和抑制干扰的方法是合理的。事实上,如果在满秩子空间内设计检测器,c1可以表示为c1=Usws+Unwn,其中ws和wn分别表示信号子空间和噪声子空间的权向量。实际上,在抑制MAI方面只有信号子空间的子集Usws是有用的,而剩余的噪声子空间的子集Unwn对检测器输出的信号分量没有积极作用,只是增加了计算复杂度和减缓算法的收敛速度。受到以上分析的启发,得到一种新的具有锚泊结构的检测器如下所示:

c1=s1+s1,nullw1 (17)

Subject to c $_{1}^{Τ}$ s1=1 (18)

其中,矩阵[s1s1,null]的列向量构成信号子空间的基底,N×(K-1)维矩阵s1,null的列向量张成了s1的零向量,也就是s $_{1}^{Τ}$ s1,null=0并且s1,null各个列向量之间也是正交的,即s $_{1, n u l l}^{Τ}$ s1,null=0。由于s1是已知的,s1,null可以通过对自相关矩阵R进行特征值分解获得。因此,现在需要解决的问题是如何找到最优权向量w1使得MAI最小,该问题转化为利用卡尔曼滤波方法来获得w1的估计值。

2.2 基于子空间的卡尔曼滤波算法的具体实现

卡尔曼滤波是一种动态系统中参数估计的状态空间方法,线性系统的一般状态空间数学模型可以简化为式(1)-(2),其中x(k)是包含系统变量的N×1维状态向量,y(k)表示M×1维带噪声观测向量,Φ(K)为N×N维状态转移矩阵,H(k)为M×N维测量矩阵,ω(k)是N×1维过程噪声向量,v(k)为M×1维测量噪声向量,以上所有参数均允许是时变的;ω(k)和v(k)都是独立高斯过程,其协方差分别为Q和R。式(18)是在状态空间框架下的表示形式,因此可以把w1看作系统的一个状态向量,从而将信号检测问题转化为一个状态估计的问题。

在时不变或慢时变系统,自适应检测器有足够的时间收敛于最优状态并且保证该状态近似为常数,即wi,opt(k)=wi,opt(k-1)。接收信号通过最优检测器的输出为:zi(k)=hi(k)wi,opt(k)+ei(k),与wi,opt(k)=wi,opt(k-1)共同构成了多用户检测器的状态空间模型,其中ei,opt(k)变成了测量噪声。

为了应用卡尔曼滤波准则,需要定义随机变量ei,opt(k)的一些统计量,分别用μ和φmin表示ei,opt(k)的均值和方差,其中:

μ=E{ei,opt(k)}=E{c $_{i, o p t}^{Τ}$ (k)r(k)}=c $_{i, o p t}^{Τ}$ (k)

E{r(k)}=0 (19)

φmin=A $_{i}^{2}$ (k)+MSE(ci,opt(k))=A $_{i}^{2}$ (k)+εmin (20)

当c1(k)达到最优值ci,opt(k)时,MSE(ci,opt(k))和MOE(ci,opt(k))取得最小值,也就是μ和εmin。因此检测器的最小能量输出φmin和最小均方误差εmin分别为:

$φ_{\min} = \frac{1}{s_{1}^{Τ} R s_{1}}, ε_{\min} = \frac{1}{s_{1}^{Τ} R s_{1}} - A_{1}^{2} (21)$

根据状态空间模型和式(19)-(20),下面给出改进的基于卡尔曼滤波和子空间方法的忙多用户检测算法的具体实现步骤:

第一步,信号子空间估计。

①计算包含J个符号的数据块的自相关矩

$R = \frac{1}{J} \sum r_{j} r_{j}^{Τ} (22)$

②对R进行特征值分解

R=UVUT=USΛSU $_{S}^{Τ}$ +UnΛnU $_{n}^{Τ}$ (23)

③构造矩阵Z=[s1u1 … uK-1],其中ui代表Us的第i个列向量,∀i=1,…,K-1

④对矩阵Z进行正交化以获得一个正交矩阵Y=[s1y1 … yK-1]

第二步,卡尔曼滤波估计n=1,2,…。

①计算状态向量预测误差相关矩阵的递推公式

K(k)=P(k|k-1)H(k)[HT(k)P(k|k-1)

H(k)+φmin]-1 (24)

P(k|k)=[I-K(k)HT(k)]P(k|k-1) (25)

②计算状态估计的更新公式

wi,opt(k|k)=wi,opt(k|k-1)+K(k)[y(k)-HT(K)wi,opt(k|k-1)] (26)

第三步,信号检测。

$\begin{array}{l} c_{i, o p t} (k) = s_{1} + C_{1, n u l l l} w_{i, o p t} (k) \\ \hat{b} (k) = s i g n \end{array}$

{c $_{i, o p t}^{Τ}$ (k)r(k)}

与经典卡尔曼滤波算法相比,改进后的算法降低了状态向量和测量矩阵的秩,其每次迭代过程所需复数乘法和加法运算的计算复杂度有所降低。

3 仿真实验与分析

实验一:假设一共10个用户的同步DS-CDMA系统,扩频增益为31,以用户1为被检测用户,其信号功率A $_{1}^{2}$ =1,信道模型为三径的瑞利衰落信道,此外系统中还存在5个30dB、2个40dB和一个50dB的干扰用户。图1是三种多用户检测算法迭代2000次独立运算100次的结果。

实验二:假设一共10个用户的同步DS-CDMA系统,扩频增益为31,以用户1为被检测用户,其信号功率A $_{1}^{2}$ =1,信道模型为三径的瑞利衰落信道,此外系统中还存在5个30dB、3个40dB和一个50dB的干扰用户。迭代到600步时有3个信噪比为40dB的用户加入到系统,迭代到1200步时有一个50dB和4个40dB的用户退出了系统。图2是三种多用户检测算法迭代2000次独立运算100次的结果。

实验三:假设一共10个用户的同步DS-CDMA系统,扩频增益为31,以用户1为被检测用户,其信号功率A $_{1}^{2}$ =1,三径瑞利衰落信道,此外系统中还存在5个30dB、2个40dB和一个50dB的干扰用户。图3是三种基于卡尔曼滤波算法的最小剩余能量EOE性能比较。

实验四:假设一共10个用户的同步DS-CDMA系统,扩频增益为31,以用户1为被检测用户,其信号功率A $_{1}^{2}$ =1,三径瑞利衰落信道,此外系统中还存在5个30dB、3个40dB和一个50dB的干扰用户。迭代到600步时有3个信噪比为40dB的用户加入到系统,迭代到1200步时有一个50dB和4个40dB的用户退出了系统。图4是三种基于卡尔曼滤波算法在动态条件进行的剩余能量的性能比较。

实验五:假设一共10个用户的同步DS-CDMA系统,扩频增益为31,以用户1为被检测用户,其信号功率A $_{1}^{2}$ =1,三径瑞利衰落信道,噪声功率δ2=0.01,信噪比为20dB,此外系统中还存在5个30dB、3个40dB和一个50dB的干扰用户。图5是三种卡尔曼滤波算法在多径环境下的误码率的比较。

从实验中可以看出,由于多径衰落的影响,基于子空间分解卡尔曼滤波的盲多用户检测器的平均输出信噪比略有下降,而基于卡尔曼滤波的盲多用户检测器和基于自适应卡尔曼滤波的盲多用户检测器性能严重下降,尤其是基于自适应卡尔曼滤波的盲多用户检测器的平均输出信噪比下降幅度最大。这是因为多径衰落对信号子空间的干扰要小于对信号本身的干扰,采用子空间分解方法计算,能够很好的抑制多径衰落的影响,而基于自适应卡尔曼滤波的盲多用户检测器因为在线估计未知噪声统计,把多径衰落的干扰误判为噪声干扰,因此平均输出信干比的下降比基于卡尔曼滤波的盲多用户检测器更严重。在移动通信环境中,无线信号在传输过程中由于很多原因通常会产生多径衰落,所以基于子空间分解卡尔曼滤波的盲多用户检测器具有更好的应用前景。

4 结束语

本文通过对基于卡尔曼滤波的盲多用户检测进行分析,提出了一种改进的多用户检测算法,并对几种多用户检测算法的性能进行了分析比较。通过比较发现,这种改进的新型多用户检测算法在同样的条件下,对系统性能的改善效果更加明显。

摘要：随着数字移动通信技术的飞速发展,以码分多址(CDMA)为核心的第三代移动通信(3G)技术已经走入人们的日常生活。CDMA系统具有容量大、软容量、抗多径衰落强等优点,但多址干扰(MAI)的存在却严重的影响了系统的性能和容量,因此如何消除和抑制这种干扰就成了CDMA技术研究的热门话题之一,第三代移动通信系统已经将多用户检测技术(MUD)作为克服多址干扰的有效方法之一。文中主要研究了直接序列扩频码分多址(DS-CDMA)系统中的盲多用户检测算法,深入的研究了基于卡尔曼滤波的盲多用户检测算法,通过在卡尔曼滤波算法上引入子空间提高了原有卡尔曼滤波算法的效率。

关键词：码分多址,多用户检测,盲多用户检测

参考文献

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子空间跟踪算法篇4

随着电力电子技术的日益发展,大量非线性负荷波动,各种变频调速装置、电力电子装置在电力系统中广泛应用,使得电力系统中电压、电流波形发生畸变,导致电力系统的谐波问题日益严重,同时非整数次谐波——间谐波和次谐波,也引起了国内外学者的广泛关注[1]。谐波和间谐波在电力系统中的大量存在导致了用户侧电流的畸变和电流波动频繁,因此需要可以同时准确分析谐波和间谐波频谱的方法[2]。

目前常见的分析方法有加窗插值FFT算法[3]、小波算法[4,5]、支持向量机算法[6]、Prony方法[7]、多信号分类法(MUSIC)[8,9]等,各种方法都存在优点和不足,特别在低信噪比时检测精度受到较大影响。

本文利用信号自相关矩阵的特征值分解理论,将信号的自相关矩阵分解为信号子空间和噪声子空间,利用2个子空间的正交性,进一步分解噪声子空间,对其进行变换构造出基于噪声子空间分解的特征多项式(DNS-MUSIC函数),求解此多项式后得到信号基波和谐波频率预估计,结合消去法[10]逐步得到频率的精确估计,并利用扩展Prony方法估计得到信号的幅值和相位。

实例仿真实验与其他方法比较表明,所提方法具有较高的频率分辨率,而且对数据长度没有要求,还具有一定的抗噪声能力。

1 数学模型

电力系统的电压(或电流)信号为

其中,x(t)为电压或电流信号;p为所含的谐波和间谐波的个数;u(t)为白噪声项;Ai为第i次谐波的幅值;fi为第i次谐波的频率;φi为第i次谐波的初始相位。

特征多项式是基于复信号计算的,可以借助Hilbert变换将原信号相移90°,将式(1)转换成复频率表达式:

2 空间谱频率估计的理论基础

本文假设噪声向量的每个元素都是零均值的复白噪声,相互独立,并且具有相同的方差σ2。由自相关矩阵的定义知:

利用特征值分解的理论(详细理论可参见文献[11]),自相关矩阵可分解为

自相关矩阵R的特征值为

这表明,当存在加性观测白噪声时,很容易将自相关矩阵R的前2p个特征值与后面的M-2p个特征值区分开。因此称前2p个特征值为信号的主特征值,其余的M-2p个特征值为噪声特征值。根据信号特征值和噪声特征值,又可以将特征矩阵U的列向量分成2个部分,分别由信号特征向量和噪声特征向量组成。

3 构造DNS-MUSIC函数

经典MUSIC法要在频率轴上进行全域搜索,计算量较大,而且频率分辨率较低,耗时较长,在信噪比较低的情况下可能产生虚假频谱[11]。为了改善经典MUSIC法的不足,有学者提出了求根MUSIC法,通过研究噪声空间和信号空间的正交性,构造MUSIC型函数[12]:

该多项式的阶数为2(M-1),通过求解式(6),可得到(M-1)对根,然后选出位于接近单位圆上的2p个根,估计出信号的频率。求根MUSIC法只采用单位圆上的根的信息来估计频率,造成了非单位圆上根的信息的丢失,在强噪声环境中对单位圆上根的误判可能产生虚假频谱,在修正过程中用P T(z-1)代替PH(z),而实际过程中PT(z-1)=PH(z)未必成立也造成了估计偏差。上述因素使得求根MUSIC法在估计电力系统信号频谱时检测精度受到了影响。鉴于此,本文提出了一种新的方法,通过噪声子空间分解DNS-MUSIC函数来求解频谱信息。

由文献[12]知定义多项式:

其中,a(z)=[1 z…z M-1]T;ei是自相关矩阵R的第i个特征向量。

由于信号子空间与噪声子空间正交,当zi=exp(jωi)时,即多项式的根正好位于单位圆上时,a(exp(jω))是一个空间频率ω的导向矢量。由特征结构类算法可知,a(exp(jω))就是信号的导向矢量,则zi=exp(jωi)(i=1,…,2 p)应该是式(7)中M-2 p个多项式的2p个根,即

从式(8)可知,这些多项式应该有一个能够用F(z)表示的2 p次的最大公因式,所有信号的频率可以通过求解F(z)来获取。F(z)的求解方法如下。

假设存在(M-2p)×1维向量:

通过式(9),对噪声子空间的特征向量进行变换,即

其中,VM为M×(M-2p)阶矩阵;VM1为2p×(M-2p)阶子矩阵;VM 2为(M-2 p)×(M-2 p)阶子矩阵;M为阵元个数,p为信号个数。

显然,式(10)是M-2 p个噪声空间的噪声向量的线性组合,噪声子空间与信号子空间正交,所以它的线性组合与信号空间也是正交的。因此,这种变换不会改变噪声特征向量的参数信息,而是把噪声子空间的参数信息最大限度地集中到VM1子矩阵上,这样便于利用VM1中的噪声特征向量来提取空间的参数信息。

由式(10)知:

则

由式(12)知,通过对噪声空间的特征向量进行变换,将噪声空间的参数信息集中到向量a中,防止空间参数信息的泄漏和丢失。据此可以构造出DNS-MUSIC函数:

该多项式的阶数为2p,即有p对共轭根,并且正好分布在单位圆上,与式(6)相比降低了特征多项式的阶数,简化了特征多项式的求解运算过程,减少了有效根解的影响因素,求解的结果将更真实。

求式(13)的根得:

所以有

DNS-MUSIC算法得到2p阶的特征多项式,只有p对共轭根(p个频率成分),即使信号中混有噪声,数据矩阵存在误差时,也不会产生虚假频率成分,即不会产生伪频谱。

DNS-MUSIC算法对噪声子空间的特征向量进行线性变换,可直接得到特征多项式的系数,不需要对其修正处理,防止了求根MUSIC法在修正过程中用PT(z-1)代替PH(z)造成的误差,也可以在一定程度上提高检测的精度。

DNS-MUSIC函数充分利用了噪声特征向量提取空间参数信息,有效克服了求根MUSIC法从很多个多项式中求解少量单位圆上根时带来的较大误差,也防止了在强噪声环境中求根MUSIC法会对单位圆上根的误判而产生伪谱的情况。因此该方法能大幅提高频率分辨率,并且使检测结果更加稳定准确。

综上分析,通过构造DNS-MUSIC函数,可以比求根MUSIC法更准确地估计信号频率,而且不会丢失信号信息或产生虚假信号信息。

4 谐波和间谐波频率检测过程

电力系统信号中谐波、间谐波分量的幅值一般仅为基波分量幅值的百分之几或更小。当对其进行非同步采样时,大幅值频率分量的频谱泄漏有可能淹没小幅值的频率分量[3]。

本文采用文献[12]中提到的递减处理思想作为本文检测过程的处理方法,其主要思想是:先检测原信号中的大信号,为了消除大信号的频谱泄漏对小信号的影响,在原信号的基础上减去大信号然后再依次检测小信号。这样不会丢失原信号的信息,并可以提高检测的精度。

设电力系统的信号为x(t),则

其中,νh(t)为大幅值信号;νi(t)为小幅值信号;

对电力系统信号按照奈奎斯特抽样定理抽样并把式(16)写成向量形式:

其中,W=[a b]T为待估系数;e为误差向量;N为采样点数。

系数W=[a b]T采用最小二乘法进行预估计处理,则有

由于式(8)的频率已由DNS-MUSIC算法确定,则矩阵R已知,向量X为采样信号,则通过式(18)可方便求出W,即可确定νh(t)的信息,然后由式(16)便可知:

由于在时域中减掉大幅值信号,从而减弱或消除了大幅值信号所带来的频谱泄漏,再继续采用DNS-MUSIC算法对式(19)定义的信号重采样进行频谱分析,即可准确地检测出小幅值信号的频率。

通过这种方法在电力系统信号中顺次减掉大幅值的基波、谐波和大幅值间谐波成分,从而检测出更小幅值的间谐波分量,有效抑制了基波、谐波和间谐波之间的干扰,进一步提高频率检测的精度和频率分辨率,检测过程如图1所示。

5 谐波和间谐波幅值和相位检测

通过以上过程得到谐波和间谐波的频率和个数,下面采取扩展Prony法来获取信号的幅值和相位[13]。扩展Prony法采用2p个具有任意幅值、相位、频率与衰减因子的指数函数为数学模型,式(2)可表示为

令阻尼因子α=0,并且用(采样近似值)代替x(n)(实际值),可知DNS-MUSIC函数求得的根即为Prony的极点。利用DNS-MUSIC算法求出信号中谐波和间谐波的频率fi之后,p和zi就成为已知量(对于实正弦信号,fi还应包括与正频率对应的负频率,频率个数2p应为正频率个数的2倍)。

于是式(16)的最小二乘解(详细原理可参见文献[13])为

求出bi后根据式(16)可以得到:

对于实信号,信号的实际幅值是式(22)计算幅值的2倍。

6 仿真实例和性能分析

根据电力系统信号(未加噪声)中谐波/间谐波的特点,设待检测信号为

信号基波频率50 Hz,含有100 Hz和200 Hz的谐波,根据间谐波特性分别设置40 Hz、125 Hz和201 Hz的间谐波成分,采样频率为1 000 Hz,阵元个数为40,采样点数为1000。

为了验证本文算法的性能,分别在无噪声和信噪比为10 d B和15 d B的情况下,用MATLAB7.4进行了插值FFT算法、求根MUSIC法与本文所提出的DNS-MUSIC算法进行仿真比较,结果如图2—4所示。

在信噪比为10 d B情况下,插值FFT算法无法检测到小幅值的间谐波成分,如图2(a)所示,只有当信噪比达到15d B才能检测到间谐波频率,如图2(b)所示,而且存在较大的误差,详见表1。这说明插值FFT算法中小信号对噪声比较敏感,其频率分辨率为fs/N,在数据量较少的情况下其频率分辨率也比较低[3]。

图3为求根MUSIC法的功率谱估计图。可以看出,求根MUSIC法在一定程度上提高了频率分辨率,并具有一定的抗噪性,但是在信噪比较低的情况下,基波的频谱泄漏较为严重,致使40 Hz的间谐波被基波频谱噪声完全淹没,而且出现了270 Hz的伪谱,对电力系统信号的频率造成误判,如图3(a)所示。

随着信噪比的提高,当信噪比达到15 d B时,40 Hz的间谐波成分被检测出来,而且抑制了伪谱成分,如图3(b)所示,但是在频率检测精度上有一定的偏差,详见表1。可见,插值FFT算法和求根MUSIC法在低信噪比的情况下不能准确检测电力系统信号的频率成分。

图4为DNS-MUSIC算法的功率谱估计图。可以看出,在低信噪比情况下,DNS-MUSIC算法能够检测出电力系统信号的频率个数和频率值,如图4(a)所示,克服了低信噪比情况下分辨率低、抗噪性差的不足。随着信噪比的提高,DNS-MUSIC算法在精度上大幅提高。在相同的仿真条件下,DNS-MUSIC算法在分辨率和精度上都远高于前2种算法,详见表1。

由表1可以看出,在无噪声的情况下,插值FFT算法、求根MUSIC法和DNS-MUSIC算法都可以检测出电力系统信号的频率、幅值和相位。但插值FFT算法检测出的电力系统信号成分存在较大误差,不能达到电力系统信号的高精度的检测要求。求根MUSIC法可以准确检测出基波和谐波的成分的相关参数,但是对间谐波的检测存在一定的误差。DNS-MUSIC算法在无噪声的仿真条件下可以准确检测出电力系统信号的各个成分。此外还可以看出,插值FFT算法和求根MUSIC法在低信噪比的情况下有可能淹没小幅值的间谐波成分,即便信噪比足够高,谐波和间谐波的估计精度也不高,而DNS-MUSIC算法都能准确分辨出谐波和间谐波成分,克服了求根MUSIC法在低信噪比情况下产生虚假频谱的不足,而且当信噪比相同的情况下DNS-MUSIC算法估计谐波间谐波频率的精度远高于插值FFT算法和求根MUSIC法,在频率达到较高精度的前提下Prony法可以准确估计出电力系统信号的相位和幅值。表1中还给出了通过Prony算法得到的幅值和相位的检测结果。

下面采用均方根误差(RMSE)来验证本文算法检测信号频率的准确性。

其中,Ns为仿真实验次数;fi为第i次实验获得的频率估计;f为频率的真实值。

利用3种检测方法,在不同信噪比下,对频率为200 Hz的信号分量分别做20次仿真实验,得到均方根误差曲线如图5所示,表明DNS-MUSIC算法在低信噪比情况下均方误差明显低于其他2种算法,说明该算法在低信噪比情况下具有良好的稳定性。随着信噪比的增加,均方根误差改善明显,在相同的仿真条件下,本文提出的算法大幅提高了频率分辨率和抗噪声的能力,而且具有较好的稳定性和准确性。

7 结论

本文在传统MUSIC的基础上,通过分析噪声空间的特性,构造出DNS-MUSIC函数,结合递减消噪法,应用到电力系统信号的检测过程中,得到电力系统信号的频率成分的估计值,通过Prony法,检测出电力系统信号的相位和幅值,取得了良好的频谱效果,尤其在间谐波成分的检测中取得了更高的精度。该方法克服了插值FFT算法在短数据情况下分辨率低的不足,弥补了求根MUSIC法在低信噪比情况下出现虚假频谱的不足。该方法比求根MUSIC法具有更高的精度,而且计算量小。但是由于Prony法对噪声比较敏感,采用Prony法估计电力系统信号的相位和幅值有一定的误差,有待进一步改进。综合而言,本文提出的新算法具有稳定性好、分辨率高、抗噪性强、运算时间短的特点,对电力系统信号的实时精确检测具有一定意义。

摘要：针对电力系统中存在的谐波和间谐波问题,提出了基于噪声子空间分解MUSIC(DNS-MUSIC)函数的谐波/间谐波检测方法。利用信号自相关矩阵的特征值分解理论,将信号的自相关矩阵分解为信号子空间和噪声子空间,利用2个子空间的正交性进一步分解噪声子空间,对其进行变换,构造出基于噪声子空间分解的特征多项式(DNS-MUSIC函数),求解该多项式得到信号基波和谐波频率预估计,结合消噪思想检测电力系统信号频率成分,然后利用扩展Prony法检测信号的幅值和相位。通过仿真实验与其他经典算法比较,结果证明了所提算法的可行性、高效性和稳定性。

子空间跟踪算法篇5

MIMO-OFDM技术将OFDM与空时编码技术有机地结合在一起, 将空间分集、频率分集以及时间分集有机地结合在一起, 这样可以大大地提高了无线通信中的信道容量和传输效率, 并能有效地抵抗衰落、抑制干扰和噪声。但MIMO-OFDM系统的接收机需要准确的信道参数来进行分集合并、相干检测和解码, 因此信道估计的准确性对提高系统的性能十分关键。在MIMO-OFDM系统中, 相关信号检测需要一个对发射天线与接收天线之间信道冲击响应 (CIR) 的可靠估计, 普通的信道估计可以采取发射训练序列来估计, 但是对训练序列的要求确实非常严格。更重要的是, 对某些系统发射训练序列并不一定可行。因此, 盲信道估计成为近年来信道估计研究的热点。目前, 盲信道估计的算法比较多, 如文献[2]提出了基于冗余线性预编码和噪声子空间的MIMO-OFDM系统的子空间的盲信道估计算法。文献[3]提出了利用二阶信号周期平稳统计特性并采用了周期非常量模天线预编码的算法来对MIMO-OFDM系统进行盲信道估计和均衡。文献[4]提出了基于非冗余线性分组码和相关性操作的盲信道估计算法。提出了利用噪声子空间算法对多用户多天线填零MIMO-OFDM系统的子空间估计。

本文给出了MIMO-OFDM盲信道估计的识别条件, 并实现了基于噪声子空间的盲信道估计。该算法统一了现存SISO-OFDM盲信道估计器的条件, 并推广到多天线的MIMO-OFDM系统中。采用CP比采用VC可获得更精确的精度, 但当信噪比和OFDM数目选取比较适当的时候采用VC也可实现较好的性能, 这就潜在地增加了频带的利用率, 因此该算法前景比较乐观。

1 MIMO-OFDM系统模型

MIMO-OFDM系统模型如图1所示。该模型有Mt个发射天线和Mr个接收天线。OFDM基带模型如图2所示。每个OFDM符号有N个子载波, 并使用k0到k0+D-1个子载波作为信息数据, 其余N-D未经调制的子载波作为虚拟子载波 (VC) 。如果我们设置k0=0, D=N时我们的系统就不存在子载波。因此该系统在有VC和没有VC两种系统中均适用。

根据MIMO-OFDM系统模型框图和OFDM基带模型我们定义OFDM调制前输出的信号为:

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式中dj (n, k) 表示第j个发射天线发射出的第n个OFDM符号块上第k个子载波上所携带的信息符号。通过在发射天线Mt上连续采集J个连续的OFDM符号, 则信息的符号向量d (n) 表示如下:

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定义一个N×N维的IDFT的变换矩阵WN:

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式中ωN=e-j2π/N。多载波调制用IFFT变换来实现, 产生的时域信号向量[s (n, 0) , s (n, 1) , …s (n, N-1) ]=Wdn, 式中的W是N×D部分IDFT变换矩阵。

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式中D表示携带信息的子载波的数目, 涉及到CP, 将IFFT变换输出向量的最后P个元素放在OFDM符号向量的前面组成一个Q×1 (Q=N+P) OFDM符号向量。

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式中P是循环前缀的长度, 则经OFDM调制后的时域信号s (n) 为:

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我们通过以1/T的采样率来采样接收天线所接收的信号, 我们用离散的复合信道来代替Mr个接收天线上连续的的信道。因此我们可以假定Mr-Mt之间的离散的复合信道模型为Mr×Mt有限冲激响应滤波器, 设信道阶数的上限为L。则第l阶信道可表示为:

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则传输函数H (z) 表示为:

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Mr个接收天线上接收到的信号表示为:

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通过合并J个连续的OFDM信号, 则接收向量r (n) 表示为:

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定义一个 (JQ-L) Mr×JQMt维的信道矩阵undefined:

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则公式17中接收的信号向量r (n) 可表示为:

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式中η (n) 是空间和时间上互不相关的复高斯白噪声, 均值为0, 方差为σundefinedI (JQ-L) Mr。

2 子空间算法

用噪声子空间算法对MIMO信道进行识别, 需要公式19中的Ξ为列满秩的, 以下定理一给出了列满秩的充分必要条件。

定理1:在Mt≤Mr和L≤ (Q-D) 的条件下, 当且仅当rank (H (ωundefined) ) =Mtk0≤i≤k0+D-1时, 矩阵Ξ是满秩的。

该定理总结了SISO-OFDM系统的信道识别条件, 并将此定理推广应用到MIMO-OFDM系统中。由上述定理可以看出, 基于噪声子空间算法的MIMO信道识别条件要求频域子载波上的MIMO信道矩阵列满秩。除此之外, 此算法只要求了MIMO信道的阶数上限, 并没有要求其真实阶数。由于在可行的MIMO-OFDM系统中CP的长度大于信道的延迟, 因此我们可以将CP的长度作为MIMO信道阶数的上限。

当信道满足定理1时, 且加性高斯噪声与发射的符号不相关, 则公式3中信息符号向量d (n) 的自相关矩阵Rdd=E{d (n) d (n) H}列满秩。则公式19中的接收信好向量r (n) 的自相关矩阵Rrr=E{r (n) r (n) H}可进行奇异值分解 (SVD) , 其特征向量U可分为向量Us和向量Un, 由它们分别构成信号子空间span (Us) 和噪声子空间span (Un) 为:

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由于span (Ξ) 和span (Us) 共有相同的维数JDMt, 且与span (Un) 相互正交, 我们可以得到下面的关系式:

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定义一个 (L+1) Mr×1维的信道响应向量和信道系数矩阵H:

undefined

令矩阵H′和H有相同的维数, undefined′是有H′组成的非零矩阵, 其构造方法与H构成undefined的方法相同。定义undefined′w为undefined为H′ (z) 。利用这些定义, 我们引出定理2和引理1与MIMO信道估计模糊度的关系。

3 算法仿真

为了检验此算法的性能, 我们采用2发2收的MIMO-OFDM系统, 设置子载波数目N为48, 信号符号di (n, k) 独立同分布的QPSK调制信号, 每个信道抽头hij (l) 是独立同分布且是随机产生的符合CN (0, σundefined) 。信道的阶数L为4, 我们假定在每次信道估计的时候信道是时不变的。为了更精确对性能进行比较, 设置每个OFDM符号的传输能量为Es, 每个天线上的加性噪声为为空间不相关的复高斯白噪声, 均值为0, 方差由SNR来决定。

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式中P0为整个仿真中CP长度的最大值。

为了测量系统性能, 采用归一化均方误差 (NRMSE) 作为性能测量的标准:

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式中Nm为蒙特卡罗实验的次数, k代表是第k次蒙特卡罗实验, hundefined和undefinedundefined分别代表真实的信道和估计的信道值。

图3, 图4中均采用了J=2个连续的OFDM符号进行估计, 并且固定了CP的长度和VC的长度之和为4。由下图可以看出归一化均方误差 (NRMSE) 随着信噪比的增加和OFDM符号数目的增加都呈现下降的趋势, 从而验证此方法快速收敛的性能。而且当CP和VC采用不同的组合的时候性能也会出现差异。没有CP的系统要比CP不足的性能差, CP不足的系统要比只有CP的性能差。这说明了在基于子空间的估计中, 采用CP比采用VC的性能要好。这是因为存在加性高斯噪声时, 很难从估计的特征向量里区分出扩展为信号子空间的特征向量和扩展为噪声子空间的特征向量。其次CP增加了扩展为噪声子空间的每个特征向量的维数, 因此加强了对信道冲击响应的约束, 所以采用CP增加了估计的精度, 但是同时也提高了计算的复杂度。

4 结束语

摘要：统一了应用于SISO-OFDM系统子空间算法盲信道估计的识别条件并推广到MIMO-OFDM系统中, 实现了基于噪声子空间算法的盲信道估计技术。该算法对信道的真实阶数不敏感, 只需要MIMO信道阶数的上限, 且可以获得信道的精确估计, 并且能快速收敛。仿真结果验证了该算法的均方误差性能。

关键词：MIMO-OFDM系统,盲信道估计,循环前缀,虚拟子载波

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子空间跟踪算法篇6

随着Internet的普及和企业信息化程度的提高,无结构和半结构化的文本数据正以飞快的速度增长。由于缺乏标准的文本分类准则,人们很难有效利用这些海量的信息资源。文本挖掘、信息过滤和信息检索等方面的研究,已引起国内外专家的重视。作为文本信息挖掘技术核心之一的聚类技术,其目标是将文本集合分成若干个簇,使同一簇内文本内容的相似度尽量大,而不同簇之间的相似度尽量小。

自20世纪50年代以来人们提出了多种聚类算法,其中最著名的是基于划分的K-均值聚类算法。K-均值算法家族的基本成员包括K-均值、K-模[1]和K-原型[2]。K-均值算法具有聚类速度快、易于实现等优点,但k-均值算法的一个缺点是其涉及到所有的变量并且这些变量对距离的影响是等同的。文本经过预处理,用向量空间的一个特征子集。因此,提出一种基于子空间变量自动加权的K-均值算法,它在聚类过程中,对每一个聚类簇根据变量不同的重要程度赋予其不同的权值,这就能针对文本特征矩阵稀疏性和高维性的特点,有效地提高聚类质量,改善聚类效果。

1经典K-均值算法

1.1基于向量空间模型的文本表示方法

对文本进行聚类,首先要把文本表示成计算机可识别的形式。目前对文本信息处理使用较多的方法是基于向量空间模型[3]表示方法。在这个模型中,文本空间被看作是由一组正交词条向量组成的向量空间,每个文本表示为其中一个范化特征向量。给定文本Di=(ti,1,wi,1,...,ti,n,wi,n),其中ti,j为某一特征词条,wi,j为文本Di中特征词条ti,j的权重,其权重wi,j的计算是根据TF-IDF公式:

$w_{i, j} = \frac{t f (t_{i, j}, D_{i}) \times \log (Ν / n_{t} + 0.01)}{\sqrt{\sum_{j = 1}^{m} [t f (t_{i, j}, D_{i}) \times \log (Ν / n_{t} + 0.01)]^{2}}}$

tf(ti,j,Di)为特征词ti,j在文本Di中的频数,N为文本的总数,nt为训练文本集中出现ti,j的文本数,权重wi,j刻画了词条区分文本内容属性的能力。

1.2k-均值算法[4]

$Ρ (W, Ζ) = \sum_{l = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} w_{l, j} d (z_{l, i}, x_{j, i})$

假设X={X1,X2,...,Xn}是n个对象的集合。Xj=(xj,1,xj,2,...,xj,m)是具有m维变量的一个对象。K-均值算法在聚类过程中把对象集X聚成k个簇,使得目标函数P最小,P是各个簇中所有点到聚类中心距离的总和其中 $\sum_{l = 1}^{k}_{l, j} = 1, 1 \leq j \leq n$ ,这里:

① W是一个k×n的隶属矩阵,wi,j是一个二值变量,当wl,j=1时意味着对象j被分配到簇l中,wl,j=0时意味着对象j未被分配到族l中;wl,j=0时意味着对象j未被分配到簇l中;

② z={z1,z2,...,zk}是k个矢量的集合,代表k个聚类族的中心;

③ d(zl,i,xj,i)是对象j和簇l的中心在第i维变量上的距离或相似度。这里采用欧氏距离来表示:

d(xj,i,zl,i)=(xj,i-zl,i)2

2基于子空间变量自动加权的K-均值算法

2.1变量自动加权的K-均值算法

对于聚类数据,K-均值算法同等地看待所有的属性变量。为了在聚类过程中能使K-均值算法区别不同的变量,本文扩展传统的K-均值算法,为每一个变量添加一个可计算的权重。通过权重值的大小可以识别变量的重要程度。这种新的算法可以通过最小化如下目标函数得到:

$Ρ (W, Ζ, Λ) = \sum_{l = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} w_{l, j} λ_{l, i}^{β} d (z_{l, i}, x_{j, i})$ (1)

约束条件

${\begin{cases} \sum_{l = 1}^{k} w_{l, j} = 1 1 \leq i \leq n \\ w_{l, j} \in {0, 1} 1 \leq j \leq n, 1 \leq l \leq k \\ \sum_{i = 1}^{m} λ_{l, i} = 1 0 \leq λ_{l, i} \leq 1, 1 \leq l \leq k \end{cases} (2)$

这里,Λ=(Λ1,Λ2,...,Λk)是所有聚类簇的权重矢量集,其中每一个Λl=(λl,1,λl,2,...,λl,m)是第l聚类簇m个变量的权重矢量。β(>1)是属性权重λl,i的一个参数。

未知变量W和Z可以按照前面标准的K-均值算法方法解决,每一个属性变量的权重λl,i可以通过拉格朗日最小数乘方法得到:

$λ_{l, i} = \frac{1}{\sum_{t = 1}^{m} [\frac{\sum_{j = 1}^{n} \tilde{w}_{l, j} d (\tilde{z}_{l, i}, x_{j, i})}{\sum_{j = 1}^{n} \tilde{w}_{l, j} d (\tilde{z}_{l, t}, x_{j, t})}]^{1 / (β - 1)}}$ (3)

这个算法通过在每一个聚类簇中自动为变量计算权重,从而可以从不同子空间发现聚类簇,重要的变量将赋予较大的权值,否则将赋予较小的权值。

然而,在高维和稀疏的数据中,会存在一种特殊的情况,一个聚类簇不能包含所有的变量。这种情况将导致0点离散,公式(3)中的∑ $_{j = 1}^{n}$ $\tilde{w}_{l, j} d (\tilde{z}_{l, i}, x_{j, i})$ 项将是0,因此相关的λl,i将变得无限大,目标函数不能正常最小化。

2.2处理文本数据的稀疏性

我们提出一种新的基于子空间的K-均值聚类算法,把它叫作FW-KMeans算法,它可以有效地解决上面提到的稀疏性问题。新的方法通过向距离函数添加一个常量σ来修改式(1),修改后的公式如下:

$Ρ (W, Ζ, Λ) = \sum_{l = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} w_{l, j} λ_{l, j}^{β} [d (z_{l, i}, x_{j, i} + σ]$ (4)

通过引入常量σ,在一个聚类簇中一个变量的离散性将不可能为0,因此目标函数(4)能够正常最小化。参数σ值的大小将会影响变量加权的处理过程。如果σ比d(zl,i,xj,i)大很多,权重将主要由σ决定,λl,i将接近 $\frac{1}{m}$ 。这将使聚类处理过程返回到标准的K-均值算法。如果σ太小,则0离散变量和其他重要变量的权重之间的差距将太大,因此,破坏了其他变量的重要性。为了平衡,我们去σ为完全数据集上所有变量的平均离散度,公式如下:

$σ = \frac{\sum_{j = 1}^{\hat{n}} \sum_{i = 1}^{m} d (x_{j, i}, o_{i})}{\hat{n} \times m}$

这里,oi是完全数据集上属性变量的平均值。在实践中我们可以用一个样本代替完全的数据集来计算σ。 $\hat{n}$ 是样本中文本的个数。试验结果表明,用这种方法选择的σ是合理的,它可以得到满意的聚类结果,并且可以识别聚类簇中重要的变量。

3实验结果

3.1实验数据集

在实验中,数据集引用自谭松波、王月粉整理的中文文本分类语料库-TanCorpV1.0(网址为:http://lcc.software.ict.ac.cn/～tansongbo/corpus1.php)。从语料库中选出部分文本,分别选出金融、球类、校园、电影娱乐、电脑科技五类文本各二十篇。统计所有测试文本中每个词出现的总频率和在测试集中出现的次数,去掉意义虚泛的停用词和高频词(测试集中出现的次数大于测试集文本个数的30%),最后选出总频率最高的150个词作为关键词,按照TF- IDF公式,计算每个关键词在相应文本中的权重,生成一个100×150的矩阵作为聚类的初始数据。

3.2评价标准

聚类实验结果的评价,本文采用比较常用的纯度(Purity)来度量。设簇ci的大小为ni,则该簇的纯度定义[6]为:其中ni′表示簇ci与第j类的交集大小,则整个聚类的纯度定义[5]为:其中k为聚类最终形成的簇的数目。

3.3聚类结果比较

为了比较算法的有效性,我们用传统的k-均值算法和FW-KMeans算法进行比较,在测试集上分别聚类10次,这里聚类的簇数k设置为5,每次聚类前随机打乱文本的输入顺序,为了有可比性,两种算法每次随机选择同样的k个样本点作为初始聚类中心进行聚类,对于FW-KMeans算法,我们给出所有变量的权重初值都为1/m,比较两种算法聚类纯度的效果如图1所示。图1显示优化后的算法对聚类效果有很大提高。

4结语

对K-均值算法作了改进,得到一种基于子空间变量自动加权的文本聚类算法,在纯度标准度量下,聚类算法在测试集上显示出了很好的性能。我们在使用K-均值的优化过程中,对每一个聚类簇中的文本数据有个分析过程,每个聚类簇限定于矢量空间的一个子集,重要的变量赋予较大的权值,从而优化了聚类结构,有效地解决了文本数据的高维性、稀疏性等问题,这不仅显著地提高了聚类效果,还可以通过权重值识别出重要的关键词,为聚类簇的标引提供依据。

摘要：传统的K-均值算法聚类虽然速度快,在文本聚类中易于实现,但其同量地依赖于所有变量,聚类效果往往不尽如人意。为了克服这一缺点,提出一种改进的K-均值文本聚类算法,它在K-均值聚类过程中,向每一个聚类簇中的关键词自动计算添加一个权重,重要的关键词赋予较大的权重。经过实验测试,获得了一种基于子空间变量自动加权的适合文本数据聚类分析的改进算法,它不仅可以在大规模、高维和稀疏的文本数据上有效地进行聚类,还能够生成质量较高的聚类结果。实验结果表明基于子空间变量自动加权的K-均值文本聚类算法是有效的大规模文本数据聚类算法。

关键词：文本聚类,K-均值,变量加权,子空间

参考文献

[1]赵恒,杨万海.基于属性加权的模糊K-Modes聚类算法[J].系统工程与电子技术,2003,25(10):13291302.

[2]王宇,杨莉.模糊k-prototypes聚类算法的一种改进算法[J].大连理工大学学报,2003,43(6):849852.

[3]陈涛,宋妍,谢阳群.基于IIG和LSI组合特征提取方法的文本聚类研究[J].情报学报,2005,24(2):203209.

[4]Joshua Zhexue Huang,Michael K Ng,Hongqiang Rong,Zichen Li.Au-tomated Variable Weighting in K-Means Type Clustering[J],IEEE transactions on pattern analysis and maching intelligence,2005,27(5):657668.

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二维子空间05-18

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