二次曲线拟合法论文（精选3篇）
二次曲线拟合法论文 篇1
摘要：建立应用最小二乘法进行水泵运行曲线拟合的数学模型并根据工程实例求解,得到各水泵实际运行曲线和在管路中的工况点,并对不合理的运行方式提出了改进办法。
关键词：曲线拟合,工况点,并联运行,大流量小温差
引言
水泵作为以热水为介质的供热系统的动力装置,其效率与能耗直接关系到采暖系统的运行是否节能。由于二次网在供热系统中数量众多,其水泵的电耗在整个采暖系统的电耗中占据了主要地位[1],因此怎样使水泵与管网合理匹配并实现节能运行则是供热工作的重点也是难点问题。本文以济南市某换热站水泵实际运行情况为例介绍水泵运行曲线的拟合方法,并进行能耗分析。
1 循环水泵运行曲线拟合方法
1.1 建立最小二乘数学模型
假设一组试验数据如下。
设undefined,使A*(x)与y=f(x)在上述m+1个点上的偏差函数δi=A*(xi)-yi(i=0,1,…,m)满足undefined
式中undefined为线性无关的函数,undefined。则函数A*(x)就是此组试验数据的最小二乘解。
1.2 数学模型求解
由于水泵运行曲线多为抛物线型,因此常用二次多项式来进行模拟。则undefined取值为2。其次要求解A*(x),只需要求得其回归系数a*j(j=1,2,…,n),因此问题转化为求多元函数undefined的极小值,令undefined可化简为:undefined,这是关于a0,a1,…,an的正规方程组,由于其有唯一解,求得回归系数aj=a*j(j=0,1,…,n),并带入A*(x)可解出得到最小二乘解。
因此可以得出用二次多项式拟合的水泵运行曲线为:
(1)
(2)
(3)
式中:Q—水泵流量,m3/h;
H—扬程,mH2O;
N—轴功率,kW;
η—效率%。
2 实例分析
2.1 工程概况
供热面积:10万m2;二次网设计供回水温度:80/60℃;最不利环路总水力损失:31.15m;设计流量:370.64m3/h。
循环水泵:1# 250RXL-38,流量320t/h,扬程35m(1台);2# 200RXL-32,流量250t/h,扬程30m(1台)。
设计运行方式:
(1)单独运行1#水泵,满足供暖季大部分时间的需求。
(2)在严寒期,采用双泵并联运行以增大流量。
在实际运行时,单独运行1#水泵难以满足要求,且在双泵并联的运行功耗较大,脱离设计运行方式,处于不经济运行状态。
2.2 运行曲线拟合及分析
通过流量实测并结合各水泵出口端压力表显示值换算为米水柱高度可以得到实际水泵运行数据(见表1)。
将表1数据按照最小二乘拟合建立数学模型可得到以下结果。
1#水泵H-Q拟合曲线:
2#水泵H-Q拟合曲线。
2.2.1 1#水泵单独运行工况
在正常运行时由于各种原因[2]形成了大流量、小温差的运行方式,实测流量可达到450m3/h左右,为设计计算流量的1.22倍。由于设计工况和实际运行工况的区别,根据各自的流量可计算得到设计工况和实际工况下的管路情况曲线分别为:H=2.268×10-4Q2,H′=1.437×10-4Q2。
实际运行曲线如图1所示。
1#水泵设计工况与实际工况计算结果如表2所示。
2.2.2 并联运行工况
结合以上实际运行的结果和水泵并联运行的特性,可求得并联时的拟合曲线方程为:H12=30.866+0.0362Q-5.459×10-5Q2,1#、2#水泵并联运行曲线如图2所示。
设计工况与实际工况计算结果如表3所示。
2.2.3 拟合曲线计算结果的分析
(1)设计工况。
在设计工况下双泵并联运行的流量、扬程及总功率分别比单独运行1#泵时增加了8.38%、17.5%和50.8%。流量增加有限[3]但是电耗增加较大,且2#泵由于通过流量小,运行效率极低只有37.67%,因此若按照设计工况运行会造成电能的大量浪费。
(2)实际工况。
单独运行1#水泵时由于总流量的增加,可提供扬程小于最不利环路总损失,其效率仅为63.56%,处于不经济运行状态,虽然在并联运行时可增加到76.15%,但同时2#水泵效率只有59.05%。因此在实际运行时,较容易出现由于大小流量泵各自通过的流量不同而造成不能同时工作在高效区内的现象。
2.2.4 设计改进方案
在充分考虑了对原有设备的最大化利用以及保证了与原水力工况相同的情况下,可增加1台2#水泵并与原2#水泵并联运行,以解决目前电耗过大的现状。曲线图和相关计算结果如图3、表4所示。
从以上计算结果可以看到,采用2台2#水泵并联可有如下优点:
(1)节能性好。水泵组的总轴功率为53.232kW,比单独运行1#水泵56.09kW还要少,一天可节约电能68.6kWh,若与1#、2#水泵并联运行相比,则一天可节约电能355.152kWh。根据现在的运行方式,按照济南地区供暖季145d,电价0.5元/kWh来计算,一个供暖季可节约电能23 701.5kWh,折合人民币11850.75元。
(2)能够提供较大的流量和较高的扬程,在流量变化较大时,仍然能够保证足够的扬程,水力稳定性好。
(3)流量调节范围较大。按照高效区为效率大于70%的定义来计算,水泵组的流量调节范围可达到384.2～686.4m3/h,可满足整个供暖季的需要,适应变化能力强。
3 结论
(1)根据实际运行数据进行水泵运行曲线拟合可以直观地了解到水泵在管路中的运行情况,得到曲线方程,精确地确定实际工况点与最佳工况点,以便使水泵运行在高效区。
(2)水泵并联运行可以增加最不利用户的资用压力但流量增加有限,在本例中设计和实际工况分别只增加了8.38%和10.28%,虽然可在一定程度上改善水力热力工况,但增加的能耗过大,尤其在两泵流量差距较大,总流量较小时,小流量泵运行效率极低。在增加一台2#水泵并与原2#水泵并联运行后,运行效率理论上可增加到75.33%,一个供暖季可节约电费11850.75元,且调节范围大,稳定性好。
参考文献
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[3]王昭俊.采暖循环水泵并联运行工况数学模型研究[J].煤气与热力,2001,21(6):499-501.
曲线拟合法的Octave应用 篇2
天线的问题
我们开始为踏青做准备的时候已经有点晚了,才刚刚把40米CW天线竖立起来。我们用熟知的468/f(MHz)公式将其缩减到了7.050MHz,并在天线中央到操作地点之间串起了一条450Ω的窗口线路。在连接无线电收发机之前,我们要用天线分析器对装置进行检查。可结果怎么会是这样?分析器告诉我们,天线的共振频率大约为7.23MHz。我们哪里弄错了?我们跑到80m波段的操作地点,问他们借了台分析仪,但却只是验证了我们这台的结果。我们难道是把12号的电线量错了?难道地面效应(我们的天线高度为25英尺)所造成的变化超出了我们的预期?我们该把天线拆开来,重新制作吗?
天线的建模
我们的天线其实一点问题都没有,完全可以拿去参加踏青日的活动。可是,我们用分析器测量时究竟出了什么错呢?错就错在对测量数据的解释上。既然踏青日已经过去了,我们也回到了家,就来我们给《传输线的Octave应用》(Octave for Transmission Lines)一文编写的输入阻抗代码来看看整个装置(包括天线和传输线)究竟怎么了吧。
不过,首先我们需要一个合理的模型,来表现出天线应有的特性。我们要使用GNU Octave中本系列之前一直用到的天线建模软件nec2c。我们假设踏青日的天线是一根中心馈电偶极天线,距离理想地25英尺,使用66.4英尺长的12号电线。我们要在所需的工作频率周围,比如说2MHz到6MHz至8MHz这样的范围内,取紧密间隔的各个频率点,测出天线和传输线的各方面数据。我们可以用nec2c生成与大量频率对应的众多输入阻抗,但这样做就太冗长了。于是我们改而尝试些新的方法。
我们首先要计算出在所需频率范围内每500kHz间距的输入阻抗。这需要在nec2c,或者你自己喜欢的天线分析程序中,进行五次调用,范围从6MHz到8MHz。结果列于表1。
我们可以用表2中的部分Octave代码将这些数据描成图线,结果示于图1。在表2中的plot一段,第三个指定的图线就会在零阻抗上产生一条水平线,这是为了使图像更加清晰。每个指定图线的第三个参数“-”会在每条图线的各个点之间画出一条直线,并按照需要量子化。本文中所使用的Octave代码可以从ARRL《QEX》网站下载。
此时,我们已经有了几条漂亮的曲线,如果将这些电阻和电抗的图线和The ARRRL Antenna Book第二章第2～3页的图2的对应部分相比较的话,看起来它们与偶极天线在接近共振区域的有限范围频率内所应有的表现非常符合。但是,组成这两条曲线的直线序列都是由五个间距500kHz的频率点产生的,而这五点之间的任意频率,我们依然没有办法进行天线的数学建模。
如果我们能让曲线与表1中的天线阻抗数据(与期望中偶极天线的表现极为相近)匹配起来,那么就能够利用描述这些曲线的等式,根据用天线建模程序计算出来的值,对天线的输入阻抗值进行合理的估计。有一种方法能提供这样的等式,那就是最小平方法。根据图1中的观察数据,我们要给无功部分采用线性拟合,而有功部分则采用抛物线(二级)拟合。
为了帮助避免出现大量冗长而易出错的手工计算结果,Octave提供了一种强大的曲线拟合函数polyfit,可以给出所需的多项式系数,与我们手上的数据进行拟合。Polyfit是这样定义的:
其中:
P是一个行向量,含有N级拟合多项式系数。
S是一个数据结构,含有拟合产生的方法以及拟合质量的相关信息。在本文的应用中,我们并不需要用到S。
X是一个行向量。
Y是一个行向量。
N是多项式拟合的级数,我们要将其作为X中点的函数,与Y中的点拟合。
我们使X的值代表天线阻抗计算的频率,而Y的值则代表实部和虚部中某一边的阻抗值。
表3中的代码将所需频率定义为fn,而天线阻抗的实部和虚部向量则为Rnec2c和Xnec2c。当我们在无功部分上以N=1、有功部分上以N=2来运行polyfit时,得出的多项式系数就可用于表3,定义Rfit和Xfit。请注意,这五个离散的频率被储存在向量fn中,而函数linspace则将6.0至8.0MHz的101个值储存在向量ff中,以便我们在为Rfit和Xfit作图时,近似出一条连续的曲线。
此时,我们可以用Rcoef和Xcoef中储存的数据写出以下等式:
不过,还有一种更加简单、不易出错的方法,可以生成这些等式,那就是利用Octave的polyval函数,其定义如下:
S=polyval(C,X)
其中:
S是一个行向量,含有根据X中指定点所估算的C值。
C是一个行向量,含有待估算的多项式的系数。
X是一个行向量,含有估算时函数C的参数。
请注意,这些等式虽然写成了数学表达式,但是在表2、3和4中的实际Octave代码则表示了如何在Octave中创建这些等式。Octave代码会在操作符之前使用一个小数点,告诉Octave进行逐元素算法,而不是矩阵算法。在QEX2007年1/2月号的《传输线的Octave应用》中有一段简短的指南和几个例子,解释了“点操作符”和与之对应的“没点”之间的区别。
在我们的曲线拟合中,需要使用:
Rfit=polyvaI(Rcoef,ff);
Xfit=polyval(Xcoef,ff);
我们将这些都代入表3中,在Octave下运行代码,就能得到图2中的线条和点。请注意,这些点代表了使用nec2c的天线计算,都里代表拟合曲线的线条非常接近,这表明这两条曲线是密切拟合的。如果我们想要进行更详细的数学分析,判断“拟合的好坏”,就可以用S的polyfit中储存的数据,不过,在这里并不需要这么做,因为我们可以从图2中看到,拟合已经足够满足我们的需要了。
传输线的建模
请看图2,天线在7.050MHz附近具有大约54Ω的电阻性阻抗,这正是我们所期望的。那么,究竟什么地方出错了呢?我们应该记得,我们是在60英尺长的450Ω传输线的末端用天线分析器进行测量的,而不是在天线上,因此,即使其单位长度的衰减率很低,但450Ω的传输线与天线本身依然存在误差。我们来将《传输线的Octave应用》中的代码修改一下,解决这里发现的问题。我们要用之前得出的曲线拟合将负载阻抗上的数据也包含进去,并在代码中指定传输线的特征,而不是通过键盘接收。
在这一装置中,我们使用了WM CQ 533架空明线,所以可以使用(The 201 1 ARR Handbook)的表22-60中的数据:
Z0和VF在较宽的频率范围内都是相对恒定的,我们可以在代码中将它们输入为常数。然而,衰减值则会随所用频率而发生变化。幸好,衰减的变化是可以预测的,对几乎所有传输线而言,在所需频率范围内均可视为与频率平方成比例。我们乘上一个10MHz的常数,可以解得:
这和《传输线的Octave应用》中一样。
我们要从取自《传输线的Octave应用》的代码中删除键盘输入的命令,然后将数据嵌入代码中。我们要将数据作成图像,而不是打印出来,并且只需考虑传输线输入阻抗的无功部分,因为我们感兴趣的是“共振”,也就是天线分析器检测到阻抗中的无功部分穿过0欧姆的那一点。表4列出了我们的代码。
在Octave下运行表4代码后,得到的图线就如图3所示。为了比较的方便,我们不仅作出了天线电抗的图线,也作出了在传输线输入端观察到的电抗图线,并加入了一条水平线,标出过零点。我们没有手动传输数据——这是个容易出错的步骤——而是利用代码从表3到表4中生成曲线。我们可以得出所有101个点的两幅图线,全都是近似连续的曲线。
我们还用text命令给图线添加了标签。我们也可以像上次的文章中那样,使用legend来显示不同曲线的图例。不过legend必须用不同的颜色或者线形将两者区分开来,而我觉得这张图像还是将两条图线都表示出那个实心线会比较清晰。
解释结果
当我们仔细观察图3时,会发现450Ω传输线会按照频率的函数对阻抗中的无功部分进行转化,让过零点位于7.23MHz左右,而我们的天线分析器就将这一点当成了共振点。
为什么80m的兄弟们进展得如此迅速,没有碰到这样的问题呢?嗯,因为他们用的不是架空线,而是50Ω的同轴电缆。在80m波段,同轴电缆的损耗很低,所以根本不用考虑梯形线带来的麻烦。
让我们看看,要是在40m波段中使用了同轴电缆,又会发生什么呢?我们从《ARRL HANDB00k 2011》的表22-60中找出RG-58同轴电缆(Belden 787A)的数据,将其包含在表4的代码中,并作好注释。请注意,我们采用了与窗口线路一样的做法,使用相同的频率模型平方根,对单位长度的衰减进行天线数据的曲线拟合。既然我们需要在图线中给同轴电缆一个不同的标签,而且标签的位置也要不一样,那么就还得给同轴电缆加入额外的text语句(已经注释出来了)。结果得出的图线如图4所示。
请注意,由于当频率接近天线共振频率时,同轴电缆与天线的匹配状况很好,所以阻抗中的无功部分在这一过程中沿传输线都没有多大的变化。不过,当我们远离共振点时,传输线的电抗就与不断增加的正极或负极电抗不匹配了,其程度要比采用450Ω传输线时更严重,而与零电抗的偏离程度也会更加明显。80m的兄弟们根据分析器的结果得知,他们的天线/同轴电缆组合的共振位置与预期的相同,于是就立刻开始操作了。
结论
我们从这次经验中学到了,对于天线分析器的结果,要留个心眼,特别是在天线和分析器之间存在一段长度的传输线时。
我们还学会了使用Octave的polyfit与polyval函数所组成的强大工具集,并见识了Octave通过简单的运算符或函数调用,来处理庞大的数据矩阵或向量的能力。
这些函数中所采用的最小平方法,以及无需手动传输数据,就能使用高阶曲线拟合的系数的能力,让我们能够对相对复杂的数据集进行高效、无差错的近似计算。
一些警告
最小平方法是一种强大的曲线拟合工具。不过,如果不小心的话,它可能会带我们误入歧途。让我们将一条曲线与正弦波形拟合起来,做个小小的实验。一般来说,我们并不需要这么做,不过这是个非常值得学习的例子,因为,我们已经对待拟合曲线的特性了然于胸。我们要根据表5中Octave代码里的向量amplitude (幅值),用一系列点来代表这条正弦曲线。正弦曲线、指数函数,以及其他相对复杂的函数也许可以用无限多的一组多项式来表达出来,所以,就可以利用最小平方拟合法,用被缩短的无限多的一组多项式近似替代原本的式子,从而生成所需的多项式,来准确表达出这条正弦波形。利用表5中的代码,我们作出了图5中的图线,这是对amplitude中几个点的五级最小平方拟合。我们还作出了正弦波形的101点近似曲线,这两者非常接近,几乎每一点都重合在一起。
要是提高级数,在多项式中增加更多的式子,是否就能得出更好的结果呢?我们在表5和图5中进行了七级最小平方拟合。请注意,最小平方的计算程序并不“知道”我们想做什么。它只“知道”我们想要得出一条曲线,尽可能接近地通过在polyfit参数中所指定的五个点。如果我们观察七级拟合的结果,就会发现在图中看来,每一个点都已经逼近到了最佳程度,但是却同时产生一条有些变形的曲线,看上去与五个采样点本来的那条曲线不太相似。
二次曲线拟合法论文 篇3
1 数学理论
1.1 曲线拟合
指选择适当的曲线类型来拟合观测数据, 并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。常用的是曲线拟合的最小二乘法, 包括四种基本的曲线模型线性模型、多项式模型、指数模型、对数模型。
1.2 基本原理
第一, 设纵坐标Y代表地下深度。D为孔隙直径, φ代表孔隙度。第二, 用直线法测定孔隙φ。第三, 拟合得到数学模型φ (Y) 。得到孔隙变化规律, 预测区域储层孔隙度。
2 应用实例
假设在某区获得一组薄片测量其孔隙如下。
在载物台上安装机械台以使薄片沿测线而移动, 在移动过程中用目镜微尺测量测线 (测线长度l1) 通过每个孔隙的交切点的长度 (截距) 来测量孔径大小的用直接法观测铸体薄片, 统计各类孔径孔隙 (其中各个薄片选取孔径中值) 所出现的频次。统计表 (如表1)
Di—孔隙直径的组中值;
Ii—各组中值对应的频数;
L—测线总长度为1.0×104μm。
得拟合曲线:
预测区域孔隙度模型:
3 结论
(1) 本文只对模型做了简单介绍, 实际上由于各个地区的实际情况不同, 孔隙度与深度的关系不仅仅只是多项式关系, 还有很多其他模型。
(2) 对研究区通过最小二乘曲线拟合的方法, 对储层孔隙度进行预测, 实际计算表明是可行的。
(3) 该方法提供了一条实用且有效的孔隙度预测途径, 也为其他地区提出了一种预测孔隙度的解决方案。因此, 对于其他地区, 建议根据该研究的思路找出适合的经验公式。
摘要：本文介绍了一种数值模拟方法—曲线拟合法, 在储集岩物性研究中的应用。通过实验测得储层孔隙度, 在一定的误差范围内, 分别建立它与地下深度之间的数学模型, 从而得到储层物性在纵向上的展布规律。进而预测得到整个区域上储层物性的分布规律, 为储层预测提供依据。
关键词：孔隙度,曲线拟合,储层物性,孔隙度预测
参考文献
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