二次曲线

2024-08-16

二次曲线（共8篇）

二次曲线篇1

经过平面上任一点向二次曲线作切线, 能作几条, 怎样求出切线方程, 文[1]是用方程组求切点的方法, 根据切点的个数来判断经过平面上任一点作二次曲线的切线的情况.这种方法需要解无理方程组, 计算量比较大.文[2]是用计算曲线函数的偏微分求切线方程, 且需要由一个二元二次六项式分解得到两个一元一次三项式的积, 来求得两条切线方程.而二元二次六项式的分解对一般学生是有很大难度的.本文是先定义了曲线的内部、外部, 根据定理1可较简单地判断平面上的点在曲线的内部或外部, 由此得到过平面上任一点向二次曲线可作几条切线的理论依据, 再由给出的切线方程的形式, 可较简便地解出曲线的切线方程, 这种方法容易理解, 也简化了求二次曲线的切线方程.在此我们讨论的二次曲线, 只限于非退化的实二次曲线, 即圆、椭圆、抛物线及双曲线.为了讨论二次曲线的切线, 我们先讨论平面上的点与二次曲线的相关位置.

1二次曲线的区域

定义1平面上含有二次曲线焦点的区域称为二次曲线的内部, 不含有二次曲线焦点的区域称为二次曲线的外部[2].

由此定义可知, 二次曲线把平面分成了两个区域, 二次曲线本身是这两个区域的公共边界.

定理1平面上二点M1 (x1, y1) , M2 (x2, y2) 同属于二次曲线f (x, y) =0的内部 (或外部) 的充要条件是[2]

f (x1, y1) ·f (x2, y2) >0.

证明先证条件的必要性.

设若M1, M2同属于内部 (或外部) , 但f (x1, y1) ·f (x2, y2) <0, 过M1, M2连一条与f (x, y) =0不相交的曲线l (对圆、椭圆、抛物线, l显然存在, 对双曲线, 可将平面视为扩充平面, 则双曲线两支构成一条封闭曲线, 于是l存在) .因f (x, y) 的连续性, 在l上至少存在一点M0 (x0, y0) 使得f (x0, y0) =0, 即M0既在l上, 又在二次曲线f (x, y) =0上, 这和l与f (x, y) =0不相交矛盾.故M1与M2不都属于f (x, y) =0的内部 (或外部) , 即一点在内部, 一点在外部.

再证条件的充分性.

设f (x1, y1) ·f (x2, y2) >0. (1)

要证M1 (x1, y1) 与M2 (x2, y2) 同属于f (x, y) =0的内部 (或外部) .

由于f (x, y) =0, 故由f (x, y) 的连续性可知, 在平面上至少存在两点P1 (x1*, y1*) , P2 (x2*, y2*) 使

f (x*1, y*1) ·f (x*2, y*2) <0. (2)

由必要性知, P1与P2必不同属于f (x, y) =0的内部 (或外部) , 设若M1与M2也不同属于f (x, y) =0的内部 (或外部) , 则内部与外部各有一点.不妨设P1与M1属于内部, P2与M2属于外部.由必要性便有

由此可得

但由 (1) 与 (2) 却有

(3) 与 (4) 矛盾, 故M1与M2必同属于内部 (或外部) .

根据上述定理, 我们就可以得出如何判断平面上一点 (除曲线上的点外) 是属于二次曲线的内部还是外部.圆是椭圆的特例, 故我们只就标准化了的椭圆、双曲线、抛物线进行讨论.

1.1平面上一点是属于椭圆的内部或外部的判断

由此得出, 对点M (x0, y0) , 若

则M点属于椭圆内部, 否则属于外部.

1.2平面上一点是属于双曲线的内部或外部的判断

则M点属于双曲线内部, 否则属于外部.

1.3平面上一点是属于抛物线的内部或外部的判断

抛物线f (x, y) =y2-2px.可类似1.1的推导过程得到对点M (x0, y0) , 若

y20-2px0<0.

则M点属于抛物线内部, 否则属于外部.

2二次曲线的切线条数的判定和切线方程

2.1过平面上一点作椭圆的切线

由于过点M (x0, y0) , 故有

即 (x20-a2) k2-2x0y0k+ (y20-b2) =0. (6)

由 (6) 解出k, 代入 (5) , 即得过点M (x0, y0) 的给定椭圆的切线.

由于 (6) 中关于k的二次方程有

所以, 当

时, 方程 (6) 分别有二不等实根、二等实根、没有实根, 相应于过点M有两条切线, 一条切线, 没有切线.

考虑到前面判定点属于椭圆的内部还是外部的方法, 由 (7) 可得出如下结论:

过椭圆外部的点给椭圆可作两条切线;过椭圆上的点可作一条切线;过椭圆内部的点不能作切线.

2.2过平面上一点作双曲线的切线

由于过点M (x0, y0) , 故有

由 (9) 解出k, 代入 (8) , 即得过点M (x0, y0) 的给定双曲线的切线.

由于 (9) 中关于k的二次方程有

所以, 当

时, 方程 (9) 分别有二不等实根、二相等实根、没有实根, 相应于过点M有两条切线, 一条切线, 没有切线.

于是根据同样的理由, 由 (10) 可得出如下结论:

过双曲线外部的点给双曲线可作两条切线;过双曲线上的点可作一条切线;过双曲线内部的点不能作切线.

2.3过平面上一点作抛物线的切线

过点M (x0, y0) 给抛物线y2=2px (p>0) 作切线.

由文[3]中定理2的证明方法可推出, 所给抛物线的切线为

由于过点M (x0, y0) , 故有

由 (12) 解出k, 代入 (11) , 即得过点M (x0, y0) 的给定抛物线的切线.

对于抛物线可进行类似的讨论, 得出同样的结论.总之, 过二次曲线的外部任一点, 给二次曲线可作两条切线, 过二次曲线上的点, 给二次曲线只能作一条切线, 过二次曲线内部的点不可能给二次曲线作切线.

参考文献

[1]邓兴琪, 李原.关于圆锥曲线切线的判定与求法[J].中学数学, 1990, (21) :24-26.

[2]周华生.二次曲线切线方程的进一步讨论[J].数学通讯, 1983, (11) :25-26.

[3]詹紫浪.用直线的包络定义二次曲线[J].数学教学研究, 2011, 30 (8) :53-55.

二次曲线篇2

例1抛物线x2=2py（p>0）的焦点F恰好是双曲线y2a2-x2b2=1（a>0，b>0）的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F，求该双曲线的离心率.

解答由x2=2py，

y2a2-x2b2=1消x得b2y2-2a2py

-a2b2=0.设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线与双曲线的两个交点，则y1+y2=2a2pb2，由对称性知AB垂直于y轴且过焦点F，因此y1=y2=p2，所以p2+p2=2a2pb2，即b2=2a2，得离心率e=3.2错解剖析

抛物线和双曲线的交点A（x1，y1），B（x2，y2）都在x轴上方，因此y1>0且y2>0，而方程b2y2-2a2py-a2b2=0的两根是一正一负，因此该方程的两根并非是y1和y2，由此用韦达定理解题带来错误.

但可以肯定：y1=y2且y1是该方程的根；上述方程中，y有一个负实根，这负实根应该舍弃，因为把它代入抛物线x2=2py（p>0），没有意义.

把该解法修改一下可以得到如下正确解法.

正解由x2=2py，

y2a2-x2b2=1消x得b2y2-2a2py

-a2b2=0…①.由题意知抛物线和双曲线交点的纵坐标为p2，因此p2是方程①的解，则

b2（p2）2-2a2p·p2-a2b2=0……②，

又p2=c…………③

由②，③消去p得

b2c2-4a2c2-a2b2=0，

由此解得e=2+1.

3错解反思

若直线方程和二次曲线方程消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，为何我们可以通过该一元二次方程的判别式来判定直线和二次曲线的交点个数，通过韦达定理来研究与交点有关的问题.而一般情况下，若两个二次曲线方程消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，却不可以通过它的判别式和韦达定理解决类似问题？

二次曲线的存在条件篇3

二次曲线是解析几何学研究的重点对象, 它不但对几何学本身发展有重要影响, 而且在物理学等其他相关学科也有重要应用.现有文献对二次曲线的研究, 大都集中在渐近方向、中心、渐近线、切线、直径以及它的分类方面, 对于二次曲线的存在条件研究甚少.解析几何的主要目的是通过曲线的方程来研究其几何性质.而二次曲线的存在条件是求二次曲线方程的重要依据, 同时, 二次曲线的存在条件也是研究二次曲线几何性质的重要工具.本文将利用二次曲线的一般理论, 给出二次曲线的若干存在条件, 所得结论不但推广了[1]中第五章习题中的有关结果, 而且为求二次曲线提供了一定的理论基础.

一、有关概念与已知结果

一条二次曲线的方程可写成a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0, aij∈R, 且a11, a12, a22不全为0.两个这样的方程, 如果其对应系数成比例, 则它们代表同样的曲线, 否则代表不同的曲线.由于二次曲线方程的独立参数的个数是5, 所以一般来说, 如果已给曲线上五个不同的点 (xi, yi) , i=1, …, 5, 那么从以下五个关于六个未知数aij的齐次线性方程组

${\begin{cases} a_{11} x_{1}^{2} + 2 a_{12} x_{1} y_{1} + a_{22} y_{1}^{2} + 2 a_{13} x_{1} + 2 a_{23} y_{1} + a_{33} = 0 \\ a_{11} x_{2}^{2} + 2 a_{12} x_{2} y_{2} + a_{22} y_{2}^{2} + 2 a_{13} x_{2} + 2 a_{23} y_{2} + a_{33} = 0 \\ a_{11} x_{3}^{2} + 2 a_{12} x_{3} y_{3} + a_{22} y_{3}^{2} + 2 a_{13} x_{3} + 2 a_{23} y_{3} + a_{33} = 0 \\ a_{11} x_{4}^{2} + 2 a_{12} x_{4} y_{4} + a_{22} y_{4}^{2} + 2 a_{13} x_{4} + 2 a_{23} y_{4} + a_{33} = 0 \\ a_{11} x_{5}^{2} + 2 a_{12} x_{5} y_{5} + a_{22} y_{5}^{2} + 2 a_{13} x_{5} + 2 a_{23} y_{5} + a_{33} = 0 \end{cases} (1)$

中, 可以得出a11:a12:a22:a13:a23:a33.于是我们得出结论:平面上五个不同的点, 一般地决定一条二次曲线.

有时我们所得的曲线不是唯一的, 例如当所给的五点有四点共线时, 曲线变成退化的, 其中一部分为四点所在的直线, 另一部分是过第五点的任一条直线.

事实上, 除了上述情形外, 总可以得到唯一的二次曲线.因为从代数上知道, 如果方程组 (1) 被看成关于aij的齐次线性方程组, 若其系数矩阵的秩是5, 那么就只有一组关于aij的线性无关的解, 因此只有一条二次曲线通过已给的五个点.

如果方程组 (1) 的系数矩阵的秩小于5, 至少有一个方程是另外四个方程的线性组合.不妨设第五个是前四个的线性组合.这就是说, 满足前四个方程的aij也满足第五个, 即经过M1, M2, M3, M4四点的一切二次曲线全都经过第五个点M5.关于这一款, 我们有:

引理1[2] 如果经过M1, M2, M3, M4四个不同的点的每一二次曲线总经过第五个点M5, 则这四个点中必有三个共线.

引理2[2] 在引理1的假设下, 如果M1, M2, M3, M4四点中, 有三点共线, 则M5也在这条直线上.

合并两个引理得:已给五个点, 如果其中有一个点总在经过其他四个点的每一个二次曲线上, 那么这五个点中必有四个共线, 于是有:

命题3 平面上无四点共线的五点唯一确定一条二次曲线.

二、主要结论及其证明

定理1 平面上给定无三点共线的四点, 则以其中一点为中心, 且经过其他三点, 存在唯一二次曲线, 更进一步地, 该曲线是椭圆、双曲线或二平行直线.

证明设二次曲线的方程为a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0, 无三点共线的四点为 (xi, yi) , i=0, 1, 2, 3, (x0, y0) 是二次曲线的中心, (xi, yi) , i=1, 2, 3是二次曲线上的三个点.

因为 (x0, y0) 是二次曲线的中心, 则 (x1, y1) , (x2, y2) 关于 (x0, y0) 的对称点为 (2x0-x1, 2y0-y1) , (2x0-x2, 2y0-y2) . (xi, yi) , i=1, 2, 3与 (2x0-x1, 2y0-y1) , (2x0-x2, 2y0-y2) 五点若有四点共线, 则与 (xi, yj) , i, j=0, 1, 2, 3无三点共线相矛盾.因此由命题3, (xi, yi) , i=1, 2, 3与 (2x0-x1, 2y0-y1) , (2x0-x2, 2y0-y2) 唯一确定一条二次曲线.进一步地, 当这五点存在一顺序, 使按该顺序依次连接各点所得到的封闭图形为凸五边形时, 二次曲线是椭圆或二平行直线, 否则是双曲线.

注验证平面上五点是否存在一顺序, 使按该顺序依次连接各点所得到的封闭图形为凸五边形, 可根据凸五边形的定义, 任意取定一点, 然后将该点与其余四点相连, 验证是否存在二连线可充当凸五边形的边 (只要验证剩余三点是否在该连线的同侧) .若存在二连线可充当凸五边形的边, 再以这两边的新端点 (非开始取定的点) 作为新取定点与剩余两点分别相连, 看连线是否可充当凸五边形的边.若这四连线中有两条可充当凸五边形的边, 最后验证剩余两点的连线否可充当凸五边形的边.如果上述三步连接都得到肯定答案, 则平面上这五点一定存在一顺序, 使按该顺序依次连接各点所得到的封闭图形为凸五边形, 否则, 这五点便不可能是一凸五边形的顶点.

引理2 以直线A1x+B1y+C1=0为渐近线的二次曲线方程总能写成

(A1x+B1y+C1) (Ax+By+C) +D=0. (2)

证明设以A1x+B1y+C=0为渐近线的二次曲线为

F (x, y) ≡a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0.

它的渐近线为φ (x-x0, y-y0) =0, 其中 (x0, y0) 为曲线的中心.从而有

φ (x-x0, y-y0) ≡ (A1x+B1y+C1) (Ax+By+C) .

而φ (x-x0, y-y0) ≡a11 (x-x0) 2+2a12 (x-x0) (y-y0) +a22 (y-y0) 2=a11x2+2a12xy+a22y2-2 (a11x0+a12y0) x-2 (a12x0+a22y0) y+a11x $_{0}^{2}$ +2a12x0y0+a22y $_{0}^{2}$ .

因为 (x0, y0) 是曲线的中心, 所以a11x0+a12y0=-a13, a12x0+a22y0=-a23.

因此φ (x-x0, y-y0) =F (x, y) +φ (x0, y0) -a33.

令φ (x0, y0) -a33=-D, 代入上式得F (x, y) =φ (x-x0, y-y0) +D, 即F (x, y) = (A1x+B1y+C1) (Ax+By+C) +D.

所以以A1x+B1y+C1=0为渐近线的二次曲线可写为 (A1x+B1y+C1) (Ax+By+C) +D=0.

定理3 以一直线A1x+B1y+C1=0为渐近线, 且通过平面上不共线的三点 (至少两点不在渐近线上) , 唯一确定一条二次曲线.

证明设二次曲线的方程为 (2) , 平面上不共线的三点为 (xi, yi) , i=1, 2, 3.

(ⅰ) 当三点都不在渐近线上时, 把三点代入方程 (2) :

$\begin{array}{l} {\begin{cases} (A_{1} x_{1} + B_{1} y_{1} + C_{1}) (A x_{1} + B y_{1} + C) + D = 0 \\ (A_{1} x_{2} + B_{1} y_{2} + C_{1}) (A x_{2} + B y_{2} + C) + D = 0 \\ (A_{1} x_{3} + B_{1} y_{3} + C_{1}) (A x_{3} + B y_{3} + C) + D = 0 \end{cases} \\ \Rightarrow {\begin{cases} A x_{1} + B y_{1} + C = \frac{- D}{A_{1} x_{1} + B_{1} y_{1} + C_{1}}, \\ A x_{2} + B y_{2} + C = \frac{- D}{A_{1} x_{2} + B_{1} y_{2} + C_{1}} ‚ \\ A x_{3} + B y_{3} + C = \frac{- D}{A_{1} x_{3} + B_{1} y_{3} + C_{1}} . \end{cases} (3) \end{array}$

方程组 (3) 的系数行列式 $| \begin{array}{l} x_{1} y_{1} 1 \\ x_{2} y_{2} 1 \\ x_{3} y_{3} 1 \end{array} | \neq 0 .$

由克拉默法则得线性方程组 (3) 有唯一解.

(ⅱ) 当平面上不共线的三点有一点在渐近线上时, 若 (x1, y1) 在渐近线上, 则A1x1+B1y1+C1=0, 求出D=0.

把另外两点代入方程 (2) , 得

${\begin{cases} A x_{2} + B y_{2} + C = 0, \\ A x_{3} + B y_{3} + C = 0 . \end{cases} (4)$

方程组 (4) 的系数矩阵的秩r=2, 所以线性方程组的解唯一确定A∶B∶C.因此存在唯一二次曲线.

注当平面上不共线的三点有两点在渐近线上时, 如右图, 直线a, b, c.P, Q, R是不共线的三点, P, Q在c上, R是a, b的交点, 过P, Q, R三点的a, c是一条二次曲线.同时, 过P, Q, R三点的b, c也是一条二次曲线.因此, 当两点在渐近线上时, 定理2中的唯一性不成立.

摘要：本文基于二次曲线的一般理论, 探讨了二次曲线的以下几个存在条件:以一点为中心, 且通过平面上另外三点能确定一条二次曲线;通过平面上三个点且以一条直线为渐近线, 能确定一条二次曲线.这些结论不但可以运用到二次曲线的求解中, 还可以为研究二次曲线的性质提供便利.

关键词：二次曲线,中心,渐近线

参考文献

[1]吕林根, 许子道.解析几何[M].北京:高等教育出版社, 2004.

二次曲线的数控加工编程篇4

在数控车床中常见零件的加工都可以通过数控系统提供的直线、圆弧、螺纹等指令的组合来完成,但如果工件含有椭圆、抛物线、双曲线等二次曲线的时候,常常会遇到很大的困难。随着数控车床系统功能的升级与发展,具备了宏变量和宏指令调用功能,通过使用二次曲线的数学方程式运算加工,进一步扩展了数控车床的加工范围。运用数控系统宏指令的运算、判断功能,结合二次曲线的数学方程式,可以方便的实现普通数控系统难以完成的加工。实践证明,采用宏程序编程的工件,加工效果可以满足实际需要的要求。

1 二次曲线的数学模型

(1)椭圆曲线的数学方程式及坐标变换

椭圆的图形如图1所示,椭圆的标准方程式为:

用三角函数表示为:,

根据数控车床的坐标系定义,将X-Y坐标系转换到Z-X坐标系,则椭圆的数学方程式为:

(2)抛物线的数学方程式及坐标变换[1]

抛物线的图形如图2,抛物线的标准方程式为:x2=2py,通过数学变换可以转化成为:

根据数控车床的坐标系定义,将X-Y坐标系转换到Z-X坐标系,则抛物线的数学方程式为:

2 宏程序变量及宏指令

(1)数控系统宏变量的变量种类及功能

数控系统的变量一般分为局部变量、公用变量和系统变量三种。局部变量只能用在宏程序中存储数据,存储中间运算结果等,当断电时,局部变量被初始化为空。调用宏程序时,自变量对局部变量赋值。公用变量是作为系统的公用的,某些公用变量在系统断电后保持原来的值。系统变量的用途是固定的,主要用作系统的输入输出接口信号状态的存储。

(2)数控系统宏指令及其功能

数控系统中常见的宏程序有指令式和语句式。命令式以G65为宏程序命令,以地址H指定运算方式,以地址P、Q、R指定宏变量或者常量,指令式宏程序表达不够直观,不便于应用。语句式宏指令是以类似高级语言的表达式方式编程,符合编程习惯,容易理解和应用。以广州数控设备有限公司生产的GSK980TDc为例,说明宏指令的功能及应用。该系统提供了类似于高级语言的宏指令,用户通过宏指令,可以实现变量的赋值、算数运算、逻辑判断、条件转移等功能。灵活应用宏指令编制特殊零件的加工程序,减少手工编程时进行繁琐的数值计算,减小工作量,提高编程效率和编程质量,减小系统的存储器开销。

1)数控系统提供的宏变量定义如表1[2]所示。

2)数控系统的宏程序表达式

语句式宏程序采用了类似高级语言的表达式方式,具有简单、直观、易于记忆和理解以及使用方便的特点。数控系统的部分宏程序表达式如表2所示。

3)数控系统的程序控制指令

在程序中使用转移及循环代码可以改变控制的流向,有三种转移和循环操作可供使用:无条件转移GOTO,有条件转移IF…GOTO,IF....THEN及WHILE DO循环。程序控制指令如表3所示。

4)数控系统宏程序运算符如表4所示。

3 二次曲线的编程加工实例

(1)椭圆零件的编程与加工,工件形状如图3。毛坯直径45mm,长轴为40mm,短轴为20mm,以零件的端面为坐标原点。

1)椭圆相关坐标点的数学计算

根据椭圆的标准方程:,计算出椭圆的起点坐标:Z0=25,X0=31.224(直径值),椭圆的起始角为32°,椭圆起点到终点的旋转角度为116°。

2)椭圆宏程序编程如下

以椭圆的中心点为坐标原点,刀具起始点为Z=80,X=50

G00 X50 Z80;刀具定位到起始点

M03 S800;启动主轴,转速800转/分

T0101;选择1号刀及1号刀补

G00 Z25 X16;靠近切削起始点

G01 X31.224 F100;定位到切削起始点

#100=32;定义起始角度

#101=0.1;定义角度的增量值

#102=50;定义长轴

#103=40;定义短轴

#104=0;初始化Z轴坐标变量

#105=0;初始化X轴坐标变量

N10#100=#100+#101;增加一个步距

#104=#102*COS[#101];计算Z轴坐标值

#105=#103*SIN[#101];计算X轴坐标值

#105=2*#105;换算成直径值

G01 Z#104 X#105 F80;执行一步椭圆插补

IF[#100 LT 148]GOTO 10;判断当椭圆的旋转角未到达终点时返回N10程序继续运行

G00 Z80 X50;退到起始点

M05;关主轴

M30;程序结束

(2)抛物线形状零件的编程

工件形状如图4,毛坯直径45mm,曲线的方程为:z2=60x,编程原点为曲线的定点。

1)抛物线相关坐标点的数学计算

根据抛物线的标准方程:z2=60x,变换为z为自变量的方程式:。在曲线的坐标系中计算出抛物线的起点坐标:Z0=20,X0=16.667,抛物线的终点坐标为:Ze=-20,Xe=16.667。

2)抛物线程序编程如下

以工件轴线与抛物线对称轴的交点为坐标原点,在工件坐标系中,抛物线的起点坐标为:Z0’=20,X0’=26.667,终点坐标为Ze’=-20,Xe’=26.667,刀具起始点为:Z=50,X=40。

G00 X40 Z50;刀具定位到起始点

M03 S800;启动主轴,转速800转/分

T0101;选择1号刀及1号刀补

G00 Z20 X28;靠近切削起始点

G01 X26.667 F100;定位到切削起始点

#100=20;定义Z轴起始位置

#101=0.1;定义角Z轴增量值

#102=60;定义焦距

#103=10;定义X轴偏移量

#104=0;初始化Z轴坐标变量

#105=0;初始化X轴坐标变量

#106=-20;定义Z轴终点坐标

N10#100=#100-#101;Z轴进给一个步距

#104=#100;计算Z轴坐标值

#105=#104*#104/60;Z2/60,计算X轴在抛物线上的坐标值

#105=#103+#105*2;计算X轴坐标.并换算成直径值

G01 Z#104 X#105 F80;执行一步抛物线插补

IF[#100 GT#106]GOTO 10;判断当抛物线未到达终点时返回N10程序段继续运行

G00 Z50 X40;退到起始点

M05;关主轴

M30;程序结束

3 结束语

从宏程序编辑的加工程序可以看出,利用宏程序的数学运算功能及条件转移指令,可以很方便的实现二次曲线的数控加工,大大减轻了编程人员的计算量,简化了程序。对于精度要求较高的零件,只要将每次步进的增量值取得较小,增加插值点,使微小直线逼近曲线的误差值更小,精度会更高。实践证明,利用宏指令编程是解决复杂无规则轮廓加工的一种好方法,容易满足零件加工精度的要求,运用上述方法,同样可以推广在其它类型的复杂轮廓如半球、抛物线和椭球等的加工程序编程。

摘要：常见数控系统具备直线、圆弧插补指令,但对于如椭圆、抛物线等二次曲线没有专用的插补指令。采用普通的手工编程方法编辑二次曲线的加工程序,需要计算很多点的坐标,计算量大,易出错,难以快速实现。运用宏程序来实现常见二次曲线的编程,不仅大大减少计算量,减少用户程序的长度,而且可以实现快速的编程和加工。

关键词：二次曲线,宏程序,数控加工

参考文献

[1]陈洪涛.数控加工工艺与编程[M].北京:高等教育出版社,2004.

二次曲线的切点弦的性质篇5

一、切点弦方程

(2) 抛物线y=2px (p>0) 外一点P (x0, y0) 对抛物线引切线的切点弦方程是y0y=p (x0+x) (p>0) .

一般地, 若P (x0, y0) 为二次曲线外一点, 用求切线的替换法则, 即得到P对二次曲线的切点弦方程.见下表:

二、切点弦的性质

1.弦长公式

例2:求P (x0, y0) 对椭圆 (a>b>0) 的切点弦AB的长.

2.切点弦AB与OP的关系

例3:过椭圆 (a>b>0) 外一点P (x0, y0) 引椭圆的切线, 得切点弦AB, 求证:线段AB被OP平分.

所以, O, M, P三点共线, 从而OP平分AB.

推论:由 (1) 知切点弦AB不能过椭圆的中心O, 因为若m=0, n=0可推知x0=y0=0, 这与在椭圆外矛盾.实际上, 若AB过中心O, 则A、B两点外的切线互相平行.

同理可证: (1) 双曲线 (a>0, b>0) 外一点P (x0, y0) 对双曲线引切线的切点弦AB, 被OP平分, 且AB不可能过中心O.2

(2) 抛物线y=2px (p>0) 外一点p (x0, y0) 对抛物线引切线的切点弦AB, AB被过点P与抛物线的对称轴平行的直线平分.

3.过焦点F的切点弦AB的性质

例4:证明:P (x0, y0) 对椭圆 (a>b>0) 的切点弦AB过焦点F, 则PF⊥AB.

证明:如图3所示, 切线、点弦AB的方程为b2x0x2+a2y0y2=a2b2.

因为F∈AB, 所以b2x0c=a2b2, 所以

因为k·k=-1, 所以PF⊥AB.

推论由 (1) 知, 焦点弦两个端点处的切线的交点在与焦点对应的准线上.同理可以证明:

(1) 点P对双曲线 (a>0, b>0) 的切点弦过焦点F, 则PF⊥AB, 这时点P在与F对应的准线上.

关于有心二次曲线的一个结论篇6

题已知圆C:x2+y2=1,直线l:x+y-3=0,P为l上任意一点,过P做圆C的两条切线,切点分别为A,B,切点弦AB的中点为M.当P变化时,求M的轨迹方程.

一般地,我们把方程形如u(x-m)2+v(y-n)2=1(u,v不同时为负)的曲线称为有心二次曲线,其中点(m,n)称为曲线的中心,并给出以下结论:

结论对有心二次曲线Γ:u(x-m)2+v(y-n)2=1,P为Γ外直线l:Ax+By+C=0上任意一点,过P做Γ的两条切线,切点分别为S,T.则切点弦ST的中点ω的轨迹仍为有心二次曲线,且其轨迹方程为:

证明从定义我们可以看到S,T为ω的相关点,而Γ为S,T的相关曲线,并且S与T由P和Γ唯一确定,P又为l上任意一点,故经过ω的二次曲线系方程可设为:

到这里,我们已经可以确定ω的轨迹为有心二次曲线,接下来如何找到恰到好处的条件解出μ成为关键.

事实上,根据射影几何观点,Γ固定,当l上的点P趋向于无穷远时,其两条切线可视为平行,而当有心二次曲线的两条切线平行时,其切点弦必过曲线中心.(*)

两边同时对x求导得2u(x-m)+2v(y-n)·y'=0,设S,T的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),

当y'变化时,ST中点的轨迹恒经过点(m,n).

摘要：顾名思义,有心二次曲线,即有对称中心的二次曲线.而对称图形往往有很多优美的性质,引发人们无限的思考和遐想.笔者在做一道题目时对题目中的结论展开了拓展与探究,并总结出一个一般性结论.

关键词：有心二次曲线,切点弦,无穷远

参考文献

[1]陈天雄.有心二次曲线的直径式定义和直径式方程——对一道习题的研究性学习[J].数学教学,2004(5):41-43.

[2]张文海.有心二次曲线的一个有趣性质[J].中学数学研究,2012(8):33-35.

[3]金益.有心二次曲线的一个定值性质[J].中学数学月刊,2013(6):46-47.

[4]谢鹏作.有心二次曲线的一个性质[J].河北理科教学研究,2013(5):50-51.

二次曲线篇7

关键词：曲线拟合,工况点,并联运行,大流量小温差

引言

水泵作为以热水为介质的供热系统的动力装置,其效率与能耗直接关系到采暖系统的运行是否节能。由于二次网在供热系统中数量众多,其水泵的电耗在整个采暖系统的电耗中占据了主要地位[1],因此怎样使水泵与管网合理匹配并实现节能运行则是供热工作的重点也是难点问题。本文以济南市某换热站水泵实际运行情况为例介绍水泵运行曲线的拟合方法,并进行能耗分析。

1 循环水泵运行曲线拟合方法

1.1 建立最小二乘数学模型

假设一组试验数据如下。

设undefined,使A*(x)与y=f(x)在上述m+1个点上的偏差函数δi=A*(xi)-yi(i=0,1,…,m)满足undefined

式中undefined为线性无关的函数,undefined。则函数A*(x)就是此组试验数据的最小二乘解。

1.2 数学模型求解

由于水泵运行曲线多为抛物线型,因此常用二次多项式来进行模拟。则undefined取值为2。其次要求解A*(x),只需要求得其回归系数a*j(j=1,2,…,n),因此问题转化为求多元函数undefined的极小值,令undefined可化简为:undefined,这是关于a0,a1,…,an的正规方程组,由于其有唯一解,求得回归系数aj=a*j(j=0,1,…,n),并带入A*(x)可解出得到最小二乘解。

因此可以得出用二次多项式拟合的水泵运行曲线为:

(1)

(2)

(3)

式中:Q—水泵流量,m3/h;

H—扬程,mH2O;

N—轴功率,kW;

η—效率%。

2 实例分析

2.1 工程概况

供热面积:10万m2;二次网设计供回水温度:80/60℃;最不利环路总水力损失:31.15m;设计流量:370.64m3/h。

循环水泵:1# 250RXL-38,流量320t/h,扬程35m(1台);2# 200RXL-32,流量250t/h,扬程30m(1台)。

设计运行方式:

(1)单独运行1#水泵,满足供暖季大部分时间的需求。

(2)在严寒期,采用双泵并联运行以增大流量。

在实际运行时,单独运行1#水泵难以满足要求,且在双泵并联的运行功耗较大,脱离设计运行方式,处于不经济运行状态。

2.2 运行曲线拟合及分析

通过流量实测并结合各水泵出口端压力表显示值换算为米水柱高度可以得到实际水泵运行数据(见表1)。

将表1数据按照最小二乘拟合建立数学模型可得到以下结果。

1#水泵H-Q拟合曲线:

2#水泵H-Q拟合曲线。

2.2.1 1#水泵单独运行工况

在正常运行时由于各种原因[2]形成了大流量、小温差的运行方式,实测流量可达到450m3/h左右,为设计计算流量的1.22倍。由于设计工况和实际运行工况的区别,根据各自的流量可计算得到设计工况和实际工况下的管路情况曲线分别为:H=2.268×10-4Q2,H′=1.437×10-4Q2。

实际运行曲线如图1所示。

1#水泵设计工况与实际工况计算结果如表2所示。

2.2.2 并联运行工况

结合以上实际运行的结果和水泵并联运行的特性,可求得并联时的拟合曲线方程为:H12=30.866+0.0362Q-5.459×10-5Q2,1#、2#水泵并联运行曲线如图2所示。

设计工况与实际工况计算结果如表3所示。

2.2.3 拟合曲线计算结果的分析

(1)设计工况。

在设计工况下双泵并联运行的流量、扬程及总功率分别比单独运行1#泵时增加了8.38%、17.5%和50.8%。流量增加有限[3]但是电耗增加较大,且2#泵由于通过流量小,运行效率极低只有37.67%,因此若按照设计工况运行会造成电能的大量浪费。

(2)实际工况。

单独运行1#水泵时由于总流量的增加,可提供扬程小于最不利环路总损失,其效率仅为63.56%,处于不经济运行状态,虽然在并联运行时可增加到76.15%,但同时2#水泵效率只有59.05%。因此在实际运行时,较容易出现由于大小流量泵各自通过的流量不同而造成不能同时工作在高效区内的现象。

2.2.4 设计改进方案

在充分考虑了对原有设备的最大化利用以及保证了与原水力工况相同的情况下,可增加1台2#水泵并与原2#水泵并联运行,以解决目前电耗过大的现状。曲线图和相关计算结果如图3、表4所示。

从以上计算结果可以看到,采用2台2#水泵并联可有如下优点:

(1)节能性好。水泵组的总轴功率为53.232kW,比单独运行1#水泵56.09kW还要少,一天可节约电能68.6kWh,若与1#、2#水泵并联运行相比,则一天可节约电能355.152kWh。根据现在的运行方式,按照济南地区供暖季145d,电价0.5元/kWh来计算,一个供暖季可节约电能23 701.5kWh,折合人民币11850.75元。

(2)能够提供较大的流量和较高的扬程,在流量变化较大时,仍然能够保证足够的扬程,水力稳定性好。

(3)流量调节范围较大。按照高效区为效率大于70%的定义来计算,水泵组的流量调节范围可达到384.2～686.4m3/h,可满足整个供暖季的需要,适应变化能力强。

3 结论

(1)根据实际运行数据进行水泵运行曲线拟合可以直观地了解到水泵在管路中的运行情况,得到曲线方程,精确地确定实际工况点与最佳工况点,以便使水泵运行在高效区。

(2)水泵并联运行可以增加最不利用户的资用压力但流量增加有限,在本例中设计和实际工况分别只增加了8.38%和10.28%,虽然可在一定程度上改善水力热力工况,但增加的能耗过大,尤其在两泵流量差距较大,总流量较小时,小流量泵运行效率极低。在增加一台2#水泵并与原2#水泵并联运行后,运行效率理论上可增加到75.33%,一个供暖季可节约电费11850.75元,且调节范围大,稳定性好。

参考文献

[1]王淞,杨扬,杨广宁.供热系统中动力设备的节能问题分析[J].节能,2006,3(1):27-30.

[2]房永富.大流量、小温差运行方式分析[J].节能,2000,(10):40-42.

代数曲线的有理二次B样条逼近篇8

曲线的参数和代数表示在几何造型中各有优缺点,CAGD中同时采用曲线的两种表示法,两种形式间的转换成为必须解决的课题。参数曲线的代数化[1]总是可以实现的,但大部分代数曲线都不能精确参数化,近似参数化问题由此产生。

相关研究工作已取得一些有价值的成果。如线性逼近方法[2];多边形逼近技术[3],可变的B样条曲线逼近方案[4],特殊情形的有理逼近手段[5],分段有理逼近途径[6],区间三次Bézier曲线逼近算法[7],分段有理二次曲线逼近理论[8]。

经过对比分析不难发现,有些逼近算法的计算复杂度较高,有些计算必须构造数值方法才能解决,如“肩点”等问题的计算。这里提出的有理二次B样条逼近算法侧重于曲线段“中点”的信息,规避了复杂的“肩点”计算问题。同时,逼近曲线保持了原始曲线的一些重要几何性质,如凹凸性,单调性和G1连续性;递归调用逼近算法,可以将误差控制在指定的范围之内。

1 代数曲线分段

1.1 曲线的凹凸和单调区间分段

已知代数曲线

$\tilde{A}$ :F(x,y)=0 x∈[a0,an] (1)

假定根据凹凸性将区间[a0,an]分割为n段

[a0,an]=[a0,a1]∪[a1,a2]∪…∪[an-1,an] (2)

这里,ai∈[a0,an] i=1,2,…,n-1表示曲线拐点的横坐标。

在凹凸区间

[ai,ai+1] i=0,1,…,n-1 (3)

上,第i段曲线表示为:

$\tilde{A}_{i}$ :F(x,y)=0 x∈[ai,ai+1] (4)

设曲线段(4)在区间(3)上的极值点为ami,将区间(3)进一步分割(若已经单调,则不再分割)为如下形式:

[ai,ami]∪[ami,ai+1] i=0,1,…,n-1 (5)

则曲线段(4)表现为两段:

$\begin{array}{l} f (x, y) = 0 x \in [a_{i}, a_{m i}] \\ f (x, y) = 0 x \in [a_{m i}, a_{i + 1}] \end{array} (6)$

这样,所给代数曲线在每个分段区间上具有固定的凹凸性和单调性。

1.2 曲线段的三角形凸包假定分割后的某条代数曲线段为

A:F(x,y)=0 x∈[a,b] (7)

设它的两个端点为V0,V2,求出曲线段在两端点处切线,记为:

$\begin{array}{l} Τ_{0} : a_{0} x + b_{0} y + c_{0} = 0 \\ Τ_{2} : a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0 \end{array} (8)$

容易证明,切线T0,T2必相交于一点。

记交点为V1。这样,由三点V0,V1,V2形成了曲线段A的三角形凸包(如图1)。

例如,给定一条平面代数曲线段(如图2(a)):

C:x6+y6+3x4y2+3x2y4-x4-y4+2x2y2=0 (9)

它的右四分之一(如图2(b))分割为四段(如图3(a)),各段曲线的三角形凸包如图3(b)所示,其中A,B,C,D四点坐标依次为 $(0 ‚ 0) ‚ (\sqrt{30} / 9 ‚ \sqrt{6} / 9) ‚ (1, 0), (\sqrt{30} / 9, - \sqrt{6} / 9)$ 。

2 曲线段的有理二次B样条逼近

2.1 有理二次B样条曲线

设控制顶点为:

Qi(xi,yi) i=0,1,2

权因子为:

wi(>0) i=0,1,2

则有理二次B样条曲线[4,5,6,7]P(u)u∈[0,1]可以表示为:

${\begin{cases} x (u) = \frac{w_{0} x_{0} (1 - u)^{2} + w_{1} x_{1} (1 + 2 u - 2 u^{2}) + w_{2} x_{2} u^{2}}{w_{0} (1 - u)^{2} + w_{1} (1 + 2 u - 2 u^{2}) + w_{2} u^{2}} \\ y (u) = \frac{w_{0} y_{0} (1 - u)^{2} + w_{1} y_{1} (1 + 2 u - 2 u^{2}) + w_{2} y_{2} u^{2}}{w_{0} (1 - u)^{2} + w_{1} (1 + 2 u - 2 u^{2}) + w_{2} u^{2}} \end{cases} (10)$

它的基本性质是:起始点P0=P(0)和终止点P1=P(1)分别位于Q0Q1,Q1Q2上,并和Q0Q1,Q1Q2相切。要确定与分段曲线A对应的B样条曲线段P(u),首先必须确定控制顶点和权因子。

根据Farin和Worsey提出的B样条曲线的参数化标准形式[8],当曲线首末两端的权因子为1时,曲线具有较好的参数化效果。这里取

w0=w2=1 (11)

2.2 控制多边形的确定

已知A的三角形凸包V0V1V2,设:

$V_{i} = (\tilde{x}_{i}, \tilde{y}_{i}) i = 0, 1, 2$

取控制顶点 Q1=V1 (12)

则 $x_{1} = \tilde{x}_{1}, y_{1} = \tilde{y}_{1}$ ,由V0=P0,V2=P1得:

$\frac{Q_{0} + w_{1} Q_{1}}{1 + w_{1}} = V_{0} ‚ \frac{w_{1} Q_{1} + Q_{2}}{1 + w_{1}} = V_{2}$

即有:

$x_{0} = (1 + w_{1}) \tilde{x}_{0} - w_{1} \tilde{x}_{1} ‚ y_{0} = (1 + w_{1}) \tilde{y}_{0} - w_{1} \tilde{y}_{1} (13)$

$x_{2} = (1 + w_{1}) \tilde{x}_{2} - w_{1} \tilde{x}_{1} ‚ y_{2} = (1 + w_{1}) \tilde{y}_{2} - w_{1} \tilde{y}_{1} (14)$

这样,控制顶点将借助于下文的权因子w1的确定而确定(如图4),曲线P(u)中的w1的自由变化对应代数曲线段A的逼近曲线族(如图5)。

2.3 “中点”到“中点”的最小距离逼近

这里,A上的“中点”是指SF(x(a+b)/2,y(a+b)/2);B样条曲线P(u)上的“中点”是指P(1/2),记作S1/2。“中点”到“中点”的最小距离逼近的条件:

$\begin{array}{l} Μ i n : f (w_{1}) = | S_{1 / 2} S_{F} |^{2} = (\frac{x_{0} + 6 x_{1} w_{1} + x_{2}}{2 + 6 w_{1}} - x_{(a + b) / 2})^{2} + \\ (\frac{y_{0} + 6 y_{1} w_{1} + y_{2}}{2 + 6 w_{1}} - y_{(a + b) / 2})^{2} (15) \end{array}$

即:

$\frac{\partial f}{\partial w_{1}} = 0 (16)$

将(13)、(14)代入(16)可以得到关于w1的方程,求出w1,并由(12)、(13) 、(14)确定控制顶点为:

Qi(xi,yi) i=0,1,2

最后由(10)确定P(u)。

2.4 逼近曲线的性质

1) 保持原有曲线的凹凸性不变;

2) 保持原有曲线的单调性不变;

3) 在曲线的分段点处保持G1连续性[6];

4) 逼近曲线段的“中点”到原始曲线段的“中点”距离最小。

3 分段逼近算法

3.1 逼近误差

在几何学中,曲线段C和它的近似表示Ca之间的误差经常使用Hausdorff距离来描述

$e (C, C_{a}) = d i s (C, C_{a}) = \max_{Ρ \in C} \min_{Q \in C_{a}} d (Ρ, Q)$

这种距离便于理论分析但不便于计算。

设A为代数曲线段,P(u)为逼近曲线段,下面给出一种易于计算的误差概念。

定义1 在参数域[0,1]上任意取一点

ui=i/n 0≤i≤n n∈N

记P(u)上的对应点为(x(ui),y(ui)),A上的对应点为 $(x (u_{i}), \hat{y} (u_{i}))$ ,定义逼近误差为

$e (A, Ρ (u)) = \max_{i}$ $\hat{y} (u_{i}) - y (u_{i}) | (17)$

3.2 算法描述及其说明

输入代数曲线 $\tilde{A}$ 以及误差限δ,输出误差小于δ的分段逼近的有理二次B样条曲线。

1) 由(1)至(6)式对原始代数曲线进行分段(涉及拐点和极值点的计算);

2) 计算曲线段A两端切线T0,T2及其交点V1,确定三角形凸包V0V1V2;

3) 根据(13)、(14)、(16)式确定权因子w1;

4) 由(12)、(13)、(14)式确定Q0,Q1,Q2;

5) 依据(10)式计算逼近曲线P(u);

6) 若逼近误差e(A,P(u))<δ,则计算过程中止;否则,采用逐步二分分段区间的方法,递归调用上述分段逼近算法,直至满足给定的误差要求。

3.3 算法的收敛性

定理1 在上述算法的实施过程中,A和P(u)之间的Hausdorff距离收敛于0。即如果设二分k次后的Hausdorff距离为Ek(A,P(u)),则

$\lim_{k \to + \infty} E_{k} (A, Ρ (u)) = 0 (18)$

证明:如图6,由代数曲线的分段方法及其凸包形成过程可知,△V0V1V2是确定的。设:

∠V1V0V2=α,∠V1V2V0=β 0<α,β≤π/2

记边V0V2的高为h,则:

h=V0V1sinα h=V2V1sinβ

记“中点”SF到边V0V2的距离为d。设经过SF的切线分别和V0V1、V2V1相交于P1,P2,自P1,P2分别向V0SF、V2SF引垂线,记P1H1=d11,P2H2=d12。

又设∠P1V0SF=α1,∠P2V2SF=β1 0<α1,β1<π/2。

显然E0(F,P(u))<d<h,经过在“中点”处一次分割后,

d11=P1V0sinα1=a1V1V0sinα1 0<a1<1

d12=P2V2sinβ1=b1V1V2sinβ1 0<b1<1

经过k次分割后,

dk1=a1a2…akV1V0sinαk 0<ai<1,i=1,2,…,k

dk2=b1b2…bkV1V2sinβk 0<bj<1,j=1,2,…,k

设 $a = \max_{i} {a_{i}} ‚ b = \max_{i} {b_{i}}$ ,显然0<a,b<1,于是

$\begin{array}{l} \lim_{k \to + \infty} d_{k 1} < \lim_{k \to + \infty} a^{k} | V_{1} V_{0} | \sin α_{k} = 0 \\ \lim_{k \to + \infty} d_{k 2} < \lim_{k \to + \infty} b^{k} | V_{1} V_{2} | \sin β_{k} = 0 \end{array}$

从而, $\lim_{k \to + \infty} E_{k} (F, Ρ (u)) = 0$ 。

4 实验结果

逼近算法的求解(参见(15)或(16)式)不存在实质性的困难,算法容易实施。

图3中曲线C的右四分之一分段一步有理二次B样条曲线的逼近结果参见图7,图8为误差函数图形,一步逼近误差

$e_{1} (A, Ρ (u)) = \max_{i}$ $\hat{y} (u_{i}) - y (u_{i})$ <0.015

5 结论

代数曲线的有理二次B样条逼近算法计算简单,保持了原始曲线的一些重要几何性质,通过算法的递归调用,可以将逼近误差控制在指定的范围之内。

参考文献

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