非线性最小二乘拟合论文（共8篇）
非线性最小二乘拟合论文 篇1
电子商务飞速发展使我们对市场的发展速度难以预计, 为此我们可以探讨用一种数学模式来探讨未来的市场走向, 为企业的发展提供有效的工具。
非线性最小二乘曲线拟合法, 就是利用非线性最小二乘法的基本思想和一些典型的非线性特征曲线来实现预测的方法。以下首先介绍线性最小二乘法的基本思想。然后, 尝试使用非线性特征曲线拟合法, 包括指数曲线拟合法、饱和指数曲线拟合法、皮尔 (Pearl) 曲线拟合法以及高柏茨 (Gompertz) 曲线拟合法。在历年中国网民的规模数据基础上, 对历年中国网民的规模做一个简单的预测。
一、最小二乘法的基本思想
作为其预测值, 对现有的x所对应的估值为:
二、指数曲线拟合法
大量的研究表明, 世界上许多事物的发展在一定时期内往往呈现出“雪崩”式的快速增长——指数增长。互联网行业同样如此, 伴随技术的进步、经济的起飞, 其增长趋势接近“指数规律”, 用指数函数建立拟合的模型较为满意。
1. 基本思想
其中, A>0, B>1。对式两边取对数, 得lgy=lg A+xlg B
令Y=lgy, a=lg A, b=lg B
这样, 便将指数曲线化为了直线, 于是, 可以套用算式 (6) 求得系数a和b, 再求反对数即获得指数增长模型中的待定系数A和B。对式 (9) 可做类似处理, 求出待定系数A和B。
2. 实例分析
截至2008年底, 中国网民规模达到2.98亿人, 较2007年增长41.9%, 互联网普及率达到22.6%, 略高于全球平均水平 (21.9%) 。继2008年6月中国网民规模超过美国, 成为全球第一之后, 中国的互联网普及再次实现飞跃, 赶上并超过了全球平均水平。 (1)
三、饱和指数曲线拟合法
1. 基本特征
实践证明, 各种事物的生长过程或成长过程均具有一定基本的共性, 主要具有下述两个特征。
(1) 发展的全过程科粗略分为三个阶段:首先是萌芽阶段, 此时, 事物处于初生或初创时期, 进展比较缓慢;其次是发展阶段, 此时在数量上出现明显的增长, 且往往有一个高速发展或突破性进展的事情;最后是饱和阶段, 此时的发展越来越慢, 趋于淘汰。 (2) 发展中存在一个上线或极限, 制约着每一个具体发展的全过程。
基于这两个事物共同的基本特征, 为了尽可能准确地拟合实际中各种各样的具体的事物发展过程, 便提出了有关描述“事物发展”的曲线拟合方法 (又称为生长模型法) , 其中, 饱和指数曲线拟合法以及皮尔 (Pearl) 曲线拟合法和高柏茨 (Gompertz) 曲线拟合法是比较具有代表性的方法。
2. 基本思想
其中, k, a, b为待求参数, 满足k>0, a>0, 0
通常用“三组法”来估计算式 (10) 中的参数, 以下简介之。
将 (2) 中的数据分别带入 (10) , 得
将方程组 (3) 中的算式顺序分成三组, 每组还有n个方程, 然后把各组加起来, 得
于是, 由方程组 (4) 便可以求得k, a, b的值:
3. 实例分析
将网民规模再次进行计算, 探讨中国网民的极限值。
按算式 (14) 计算b, a, k.。得出b=1.2868, 不在饱和指数曲线要求满足k>0, a>0, 0
四、结论
最小二乘法是一种数学优化技术, 它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳函数匹配。用最简的方法求得一些不可知的真值, 而令误差平方之和为最小。在电子商务各个领域都能得到有效的应用。
参考文献
[1]陈庄, 等.ERP原理与应用教程[M].北京:电子工业出版社, ISBN7-50536-8632-8/TP.
[2]第23次中国互联网络发展状况统计报告[R].CNNIC.
非线性最小二乘拟合论文 篇2
基于非线性半参数模型最小二乘核估计,给出了其参数分量的统计性质,即在一定正则条件下,估计的参数分量具有渐近正态性和有偏性,并推导了所估计参数分量的渐近方差公式.
作 者：张松林 张昆 王新洲 Zhang Songlin Zhang Kun Wang Xinzhou 作者单位：张松林,Zhang Songlin(同济大学测量与国土信息系,上海,200092)
张昆,Zhang Kun(华东师范大学资源与环境科学学院地理信息科学教育部重点实验室,上海,200062)
王新洲,Wang Xinzhou(武汉大学灾害监测与防治研究中心,武汉,430079)
非线性最小二乘拟合论文 篇3
在实验数据的处理、分析时, 数据拟合是经常采用的一种方法。数据拟合的目标是找到能反映变量之间关系的一种表达式, 使其在某种准则下最佳地接近已知数据。其原理有最小二乘法、契比雪夫法等, 且以最小二乘法最为常见和重要。
随着人类认识能力的不断进步以及计算技术的快速发展, 对于变量之间的未知关系, 应用曲线拟合的方法揭示其内在规律具有重要的理论和现实意义。针对最小二乘曲线拟合的有关问题以及相应的MATLAB实现进行探讨。
1 最小二乘曲线拟合
曲线拟合是指:已知n个数据点 (xi, yi) , i=1, 2, ……, n, 其中xi不全相同, 寻求函数f (x;a1, a2, …, am) 的待定参数a1, a2, …, am的一组取值, 使得在这组取值之下, 函数f (x;a1, a2, …, am) 与已知n个数据点整体上最为接近。
最小二乘曲线拟合方法根据已知数据, 首先构造出能够反映含有待定参数的函数f (x;a1, a2, …, am) 与n个数据点 (xi, yi) , i=1, 2……, n偏离程度的函数:
然后应用数学方法求函数J (a1, a2, …, am) 的最小值a1, am2, i…n, am=J (a1, a2, …, am) , 此时a1, a2, …, am的取值就是所求的待定值。这样一组取值使得函数f (x;a1, a2, …, am) 与n个数据点在二次平方和意义下最为接近。
2 最小二乘曲线拟合的MATLAB实现
2.1 线性最小二乘曲线拟合的MATLAB实现
线性最小二乘曲线拟合的含有待定参数的函数形式为:
其中rk (x) 为事先选定的一组已知函数, ak为待定系数, k=1, 2, …, n, m
该方程组可简化为RTRA=RTY, 其中:
当r1 (x) , …, rm (x) 线性无关时, RTR可逆, 方程组RTRA=RTY有唯一解。
根据线性最小二乘拟合理论可得关于待求参数构成的矩阵A的解, 利用MATLAB下命令A=RY, 可以直接求得待求参数, 下面举例说明。
例1下表给出了一组实测数据
已知数据 (xi, yi) 的函数原型为:
试用已知数据进行曲线拟合, 求出待定参数的值。
在MATLAB中输入以下程序:
运行程序, 输出待定参数结果为:
下面画出拟合得到的曲线及已知的数据散点图:
由图1可见, 曲线拟合效果非常好。事实上, 所给数据就是由已知曲线:
2.2 非线性最小二乘曲线拟合
在最小二乘曲线拟合中, 如果待定参数不能全部以线性形式出现, 如指数拟合函数f (x) =a0+a1e-a2·x, 这便是非线性最小二乘曲线拟合。
非线性最小二乘曲线拟合与线性最小二乘曲线拟合的原理没有什么区别, 但是最小二乘的解常常难以通过人的手算实现, 从而制约了该方法的应用。随着计算机技术的进步、专业软件的不断涌现, 这一问题的求解已不再困难。但是, 非线性曲线拟合中初值的选取是一个重要的问题, 目前为止还没有固定的理论或方法给出一般性的结论。
在MATLAB中实现非线性最小二乘曲线拟合有三个常用的命令。
(1) lsqcurvefit () 命令, 其使用格式为x=lsqcurvefit (fun, x0, xdata, ydata) , 其中fun是要拟合的非线性函数, x0是初始参数, xdata, ydata是拟合点的数据, 该函数最终返回系数矩阵。
(2) nlinfit () 命令, 其应用格式为beta=nlinfit (x, y, fun, beta0) , 其中x和y是拟合点数据, fun是被回归 (拟合) 的函数, beat0是初始参数。
(3) lsqnonlin () 命令, 其应用格式为x=lsqnonlin (fun, x0) , 其中fun的定义与lsqnonlin () 函数中fun的定义有差别, x0仍为初始参数向量, 将输出的系数结果放在变量x中。
例2假设已知
并已知该函数原型为y (x) =a1exp (a2x) +0.54exp (a3x) .sin (a4x) , 其中ai为待定系数。
在MATLAB中输入以下命令:
%建立函数原型, 则可以根据他来进行下面的求取系数的计算
运行结果为:
所求得的系数与原式中的系数相近。
如果想进一步提高精度, 则需修改最优化的选项, 函数的调用格式也将随之改变。
在MATLAB中输入以下命令:
%修改精度, 即是修改其限制条件
%两个空矩阵表示系数向量的上下限a', res运行结果为:
下面画出由拟合得到的曲线及已知的数据散点图, 如图2。
3 结论
首先介绍了最小二乘法的原理, 其次对线性最小二乘曲线拟合和非线性最小二乘曲线拟合应用MATLAB进行了具体实现, 使得相关曲线拟合理论更加生动易懂, 这使我们可以在今后的研究和工作中建立曲线模型对相应对象进行曲线拟合, 并应用MATLAB来实现, 从而找到更好更形象的反映变量之间关系的曲线, 也就找到最合适的模型了。
参考文献
[1]薛定宇, 陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解[M].北京:清华大学出版社, 2004.
[2]刘琼荪, 何中市, 傅鹂等.数学实验[M].北京:高等教育出版社, 2000.
[3]梁国业, 廖健平.数学建模[M].北京:冶金工业出版社, 2004.
非线性最小二乘拟合论文 篇4
三维激光扫描测量技术自出现以来就以快速性, 不接触性, 穿透性, 实时、动态、主动性, 高密度、高精度, 数字化、自动化等特性广泛应用到测绘领域, 通过主动测量方式获取观测目标对象表面丰富的信息, 不仅包含目标对象的三维坐标, 还包括物体表面的反射率、纹理等信息, 这些信息具有数据量大、种类多、速度快等特性, 在点云数据中以模拟的形式体现出来。由于数据量非常庞大, 在计算机中存储、运算需要大量的存储空间, 且调用数据的速度比较慢, 且通过模拟点形式体现目标形态, 因此大多数情况下目标对象的矢量化信息不能直接读取和加以利用[1]。
目前针对点云滤波的方法概括起来主要是以下几种:最大局部坡度滤波方法、增大窗口高程阈值滤波方法、移动曲面拟合滤波方法、区域增长滤波方法、数学形态学滤波方法等[2]。其中, 坡度理论的滤波方法设定的阀值需要大量的人工试验, 移动曲面拟合法在地势平坦的区域取得很好的滤波效果, 在地形起伏较大的区域效果较差。
本文采用移动窗口的最小二乘曲面拟合算法, 在地形数据滤波中表现良好, 具有适用于各种特征地形, 运行稳健、分类精度高等特点, 在地形起伏变化大的地区也可以得到良好的滤波效果, 不足之处是需要多次迭代。
1 移动窗口的最小二乘曲面拟合算法
移动窗口的最小二乘法曲面拟合算法是一种逼近理论, 是将采样数据通过格网化处理, 选取一定格网数据, 利用最小二乘曲面拟合法对对采样数据进行拟合计算, 得到采样数据拟合值, 满足拟合曲面在取样处的拟合值与实际值之差的平方和最小。
Axelsson等人提出了使用TIN作为参考DTM的移动窗口法, 这里使用六个已知点解算出的二次曲面代替TIN作为拟合的局部参考DTM[7]。
1.1 基本原理
移动窗口的最小二乘曲面拟合法算法的基本原理是在一定区域内, 使用给定的拟合曲面作为参考数字地面模型, 对区域内的点云数据进行判断。通过比较实际数据点高程值和参考的数字地面模型值的大小, 来实现数据的滤波, 保留阀值内的实际地形点, 滤除大于阀值的地物点。该算法在满足以下两个假设前提的条件下才能够成立:第一是在一定的区域范围内高程值最低点必须为地形点;第二是地面的点云数据在一定的区域范围内的分布情况是符合二次曲面分布的, 而其他的地物点则不在这个曲面上, 并且高于该曲面。在以上两个假设成立的前提下, 使用一个固定的窗口获取其范围内的六个高程最低点值, 并作为地形点解算出对应的曲面拟合方程作为参考的数字地面模型。将此作为依据, 对其他数据进行处理, 通过移动窗口的多次迭代计算, 逐步缩减窗口的大小和高程阀值的大小, 滤波剔除掉原始数据中的地物点, 最终获得全部是地形点的数据点集。
1.2 滤波应用
移动窗口最小二乘曲面拟合需要将点云数据进行格网化处理, 即按照一定间隔进行格网划分, 如图1所示, 这里使用长宽都为20m的格网对所有原始数据进行格网化处理。设定初始格网的大小为2×3的格网 (40m×60m) , 从首选窗口中确定六个格网中每个格网的最低点高程值, 并利用这六个点进行二次曲面拟合方程计算, 作为局部参考的数字地面模型, 将该窗口 (2×3个格网) 中的每个点云数据带入该曲面方程, 判断由拟合方程计算出来的值与实际值之间的差是否大于阀值, 若大于阀值, 则认为该点是地物点, 进行剔除, 若小于阀值, 认为该点是地面点, 予以保留。
判断完毕后, 移动到下一个六个格网处重复上述的判断, 按照顺序依次移动窗口, 直到窗口到达最后六个格网单元结束。初次滤波后, 得到初始的地形点集Points1。对得到的点集Points1重复进行移动窗口最小二乘曲面拟合, 此时缩小网格单元尺寸, 减小高程阀值, 得到新的地形点集Points2。往返多次, 最终可以得到较好的DTM。
对于格网单元内没有点的处理:把一个格网平面覆盖在点云数据上, 大多数的格网内是有数据的, 而且点云的个数很多, 但对于点云区域的边界或是由于建筑物的遮挡, 或是水面的吸收, 有些格网中没有点云数据, 这会导致曲面拟合方程无法构建或是出错。此时需要设置一个虚拟的最低点, 参与曲面方程的构建。
若格网中有两个格网内没有点, 则可以用上述的方法用其周围的一个点的高程作为一个虚拟点的高程, 但是有的时候, 格网单元内没有点的个数很可能大于两个, 此时, 要用其周围点的高程做虚拟高程, 拟合的面可能会成为平面, 与实际地形不符, 所以, 在这里当格网内无点个数大于两个的时候直接进行下一个格网的拟合。
1.3 算法的实现
该算法的具体实现过程如下:
(1) 首先通过对原始的点云数据的预处理进行极大极小点云的剔除;
(2) 在平面坐标系内, 找出两坐标的最大、最小值, 然后根据X、Y坐标的最大、最小值将原始点云数据进行格网划分, 根据设计大小的格网单元窗口对预处理后的点云数据进行最小二乘曲面拟合的迭代计算, 获取初始化的地面点集合。
(3) 通过缩减移动窗口的大小和高程阀值, 对初始化的地面点集进行第二次的移动窗口最小二乘曲面拟合迭代计算, 得到新的地形点集。
(4) 根据实际的滤波精度需要, 对新得到的数据点集进行多次重复迭代计算, 直到得到满意的结果为止。
1.4 试验分析
本文以徕卡地面三维激光扫描测量系统Scan Station2获取的地形点云数据为研究对象, 实验点云总数183155个, 覆盖面积17143.67478m2, 见图3。
由图3可见, 本试验区域范围内植被比较低矮, 地面具有一定的坡度, 故进行滤波时对滤波格网和高程阀值的设置不宜过大, 第一次设置滤波格网间距为8m, 高程阀值为1.5, 对点云进行滤波处理, 从图4中的点云模型可以看到, 滤波效果比较明显, 大部分非地面点已经被过滤掉, 很好地保持了地形特征。图5为经过移动窗口最小二乘曲面拟合滤波调整后, 设置滤波格网间距为4m, 高程阀值为0.2的模型显示, 该图中过滤了大部分第一次滤波中没有过滤掉的低矮植被。图6为经过二次移动窗口最小二乘曲面拟合滤波调整后, 设置滤波格网间距为1m, 高程阀值为0.05的模型显示, 从图6中可以明显地看出, 和原始点云相比, 植被覆盖及其他大量噪声点已经被剔除, 滤波效果较为理想。但是, 在用移动窗口最小二乘曲面拟合滤波处理前需要对极低点进行剔除, 否则, 在有极低点存在的那个窗口内, 会将大部分的地面点滤除, 这样就不能够得到较好的滤波效果。
经过三次移动窗口设置不同窗口大小和阀值, 采用最小二乘曲面拟合算法对点云进行滤波处理, 对处理后的点云数据进行精简与DEM模型重建, 从上述重建的模型上来看, 对于非地面的分类选择与剔除已基本达到要求, 且很好地保留了地形特征, 由于该算法对窗口大小和阀值设置还有一定的经验存在, 故主观性比较大, 需要对数据进行多次处理, 才能达到理想的效果。从图4与图6模型对比分析可以看出, 经过多次迭代滤波处理后, 地面点中的非地面点都被滤除了, 滤波效果比较理想。
2 点云滤波的质量评价[1]
2.1 定性评价
由于现实世界中, 相邻点之间的空间结构上有一个明确的联系, 然而, 在分类时, 由于对这种联系的未知, 导致在进行分类时不能充分利用好点之间的联系, 产生分类错误。如果只考虑将点云数据分为两类, 一是表示地形特征的数据;一是表示地物信息的数据。我们也可以分为两种分类错误, Ⅰ型错误 (将地面点分为地物点的分类错误) 和Ⅱ型错误 (将地物点分为地面点的分类错误) 两种类型[1]。
对点云数据用上述移动窗口最小二乘曲面拟合滤波算法, 通过对处理后的地面点集生成的模型的分析, 获得对滤波质量的评价, 从模型上的分析可以看出, 对于该地形区域, 利用移动窗口最小二乘曲面拟合的方法滤波效果较好, 基本上过滤掉地物点, 能很好保留地形特征。
2.2 定量评价
对于点云数据滤波质量的定量评价, 本文基于以下假设成立时, 采用了如下的评价指标:假定a表示的是分类处理时数据集中的地面点的总数;b表示的是分类数据集中非地面点总数;c表示分类过程中将地面点误分为地物点的总数;d表示分类时将地物点误分为地面点的总数。根据以上假设, 定义了以下三个评价指标:。
在实际情况下, 地形都是比较复杂的, 因此为了得到高精度的数字地形模型, 通常在进行滤波处理时, 首先要根据实际需要选择滤波参数, 达到所需的滤波要求。如对滤波结果的比较, 选择较小的一类误差, 但也不能忽略二类误差。总误差是衡量两类错误总数的指标, 所以通过总误差的比对, 选择更适合的数据。
本文通过植被比较密集的区域数据点分类及滤波处理, 得到一系列结果 (如表1所示) , 并通过所得到的结果对上述滤波方法进行定量评价:从一类误差的比较中可以看出, 移动窗口最小二乘拟合方法得一类误差较大, 说明在滤波处理时, 被误分为地物点的地面点较多;从二类误差的比较中可以看出, 移动窗口最小二乘拟合方法的二类误差较小, 说明在滤波的过程中被误分为地面点的地物点较少。
3 结论
对于点云数据的滤波处理, 一直是点云数据处理研究的热点和难点, 本文利用MATLAB语言编程实现了基于移动窗口的最小二乘曲面拟合滤波算法, 对试验数据进行了滤波处理, 同时结合徕卡测量系统自身配备的点云数据处理软件cyclone, 对点云数据进行预处理、点云拼接、点云精简、点云分割、平滑处理等操作, 取得了一定的效果。基于移动窗口的最小二乘曲面拟合滤波算法在点云数据滤波中表现较好, 具有适用于各种特征地形, 运行稳健、分类精度高等特点, 在地形复杂且连续变化的地方能够获得很好的滤波效果, 该算法的不足之处就是对数据进行滤波处理时需要对数据进行多次的迭代计算。
本文所做实验只是对该特定的区域进行的, 通过对滤波后的实验数据进行定量分析, 综合评价了上述滤波方法, 但是从总体上来说, 由于这种方法本身还存在一定的局限性, 因而还不能完全将地面点与地物点分离开来, 因此还需要在今后的研究中进一步的改进。
摘要：点云滤波是地面三维激光扫描数据处理的重点和热点问题, 也是点云数据处理的一项关键工作。本文在阐述了目前几种主要的点云滤波方法的基础上, 提出了基于移动窗口最小二乘曲面拟合算法, 详细介绍了该算法的基本原理、实现过程及其应用。该算法具有拟合曲面精度高、光滑性好等特性, 经试验数据分析, 该算法在点云数据率处理中取得了良好的滤波效果, 能够有效对点云进行分类, 去除点云噪声, 很好保持了地形特征, 获得高精度建模数据。在实际工程中得到了广泛应用。
非线性最小二乘拟合论文 篇5
地面三维激光扫描是获取空间数据的新技术, 可快速获取大量点的三维坐标 ( 点云数据) ,并进行三维建模。在点云数据平面拟合过程中,若只考虑观测向量的随机误差,可以构建高斯—马尔科夫 ( G-M) 模型,采用最小二乘法 ( Least Squares,LS) 获取参数最或然值; 但是由于仪器精度、观测条件、 观测对象特性等各种因素的影响,扫描仪所采集的点云数据都含有随机误差,拟合过程中仅仅考虑观测向量误差是不严谨的,文献 [1] 最早提出能同时顾及观测向量误差和系数矩阵误差的总体最小二乘法 ( Total Least Squares,TLS) ; 但总体最小二乘法仅是考虑系数矩阵和观测向量均服从独立等精度分布的情况,由于采集的点云数据是不等精度的,采取经典最小二乘方法和总体最小二乘方法求解所得参数估值并非最优解; 文献 [2] 提出了加权最小二乘方法 ( Weighted Total Least Squares,WTLS) ,随后, 国内外学者对加权总体最小二乘进行了深入的理论和应用研究[3~6],并用于点云数据平面拟合[7~10]。本文主要研究了点云数据平面拟合的加权总体最小二乘法及系数矩阵协因数阵的不同确定方法,并与总体最小二乘和加权最小二乘进行比较和分析。
1加权总体最小二乘平面拟合算法
1.1加权总体最小二乘原理点云数据空间平面方程式:
式 ( 1) 中的a,b,c为待求的平面拟合参数。
将式 ( 1) 写成矩阵形式:
式 ( 2) 中,
同时顾及观测向量Z和系数矩阵A的误差,建立EIV模型:
式 ( 3) 中,Z为观测向量,ez为观测向量的随机误差矩阵,A为系数矩阵,EA为系数矩阵的随机误差矩阵; vec表示矩阵按列拉直,顺序从左到右,eA= vec( EA) ,eA∈ R3n ×1; σ02是验前单位权方差; Qe= PZ-1,QA= PA-1,分别表示观测向量的协因数阵和系数矩阵协因数阵。
加权总体最小二乘参数估计准则:
1.2几种确定系数矩阵协因数阵的方法
点云数据是不等精度观测的,应根据各点精度确定其权值。相关文献研究表明点云数据入射角越小,其点位精度越高[9,11],当入射角 θ 越小,相应的余弦值cosθ 越大,因此可以把余弦值cosθ 作为平面拟合的权重。根据点云拟合平面方程式,i点的余弦值解算公式可表达为[9]:
式 ( 6) 中,θi为i点入射角,( a,b,- 1) 为拟合平面法向量,( xi,yi,zi) 为i点的三维坐标。
则i点权值及其协因数为[9]:
1.2.1直积形式构造系数矩阵协因数阵
点云数据平面空间方程式的系数矩阵A为一固定形式,假设点云数据在x,y,z三个方向等精度观测,则有 σx= σy= σz。根据系数矩阵的特点,构造系数矩阵A的权阵:
式 ( 8) 中,P0代表系数矩阵列向量之间的权阵,对角线元素分别为1,1和0,其中1表示系数矩阵A第一列和第二列是等精度观测,第三列为常数,不需要改正,因此P0第三对角元素为0。Px∈Rn ×n代表系数矩阵行向量之间的权阵,Px∈Rn ×n代表观测向量x的权阵。PA∈ R3n ×3n代表系数矩阵A的权阵, 表示 “Kronecker积”。Px、Pz与入射角余弦值cosθ 有关。
权阵对应的协因数阵:
由式 ( 8) 和式 ( 9) 得到系数矩阵协因数阵QA:
该定权方法构造系数矩阵A的协因数阵QA,便于理解与编程,适用于系数矩阵是固定形式时使用。 但当Q0奇异时,QA也奇异。系数矩阵A非固定形式时,不能使用该方法确定系数矩阵的协因数阵。
1.2.2Mahboub五条原则构造系数矩阵协因数阵
文献 [5] 提出了五条原则构造系数矩阵协因数阵QA。先把系数矩阵从左到右按列拉直,然后按照原则构造系数矩阵的协因数阵QA。根据点云数据平面拟合系数矩阵A的特点,构造的QA为:
式 ( 11) 中,Qxi= Qei= Pi-1。
该方法不受系数矩阵形式的限制,较好地保持了系数矩阵的结构性,构造出的协因数阵便于编程,而且可以直观地表现系数矩阵协因数阵的具体形式; 但构造协因数阵全过程需要手工操作,操作过程比较繁琐复杂,耗时长。
1.2.3协因数传播定律推导系数矩阵协因数阵
根据系数矩阵的特点,第三列为常数1,其协因数为0,只顾及第一第二列,按列拉直有:
式 ( 12) 中,B1∈ R2n ×2n为过渡的系数矩阵。
由协因数传播定律可把式 ( 12) 系数矩阵A1的协因数阵QA1表达为以下形式:
顾及系数矩阵A的第三列,系数矩阵A的协因数阵QA表达形式如下:
式中,
在系数矩阵没有固定形式时可采用该法推导系数矩阵协因数阵QA; 可先根据实际情况推导协因数阵Q,然后根据式( 12) 确定系数B1,顾及到系数矩阵A第三列为常数,在B1基础上确定系数B,但系数B需要复杂的手工操作,编程实现也比较麻烦。
1.3加权总体最小二乘迭代算法
点云数据拟合的Jazaeri算法具体迭代步骤如下[6]:
( 1) 将最小二乘平面拟合参数解作为起始值。 根据式 ( 6) 和式 ( 7) 计算各点的协因数并组成观测向量协因数阵Qe和系数矩阵协因数阵QA;
( 2) 根据加权最小二乘法,计算平面拟合参数初始值:
( 3) 重新计算各点协因数,更新协因数阵,并计算相关值:
( 4 ) 重复步骤 ( 3 ) 直到( ε 为预设的小值) ,迭代结束 。
( 5 ) 计算
( 6 ) 计算单位权中误差估计,点到拟合平面的距离( di) 以及平面拟合精度) :
式中,n为观测点个数。
2算例分析
2. 1模拟算例
根据点云数据空间平面方程式,首先给定参数真值a = c = 1,b = 2,拟合平面方程式为z = x + 2y + 1。利用MATLAB软件从该平面中随机选取1000个点 ( 见图1) ,在坐标 ( xi,yi,zi) 上均加上均值为u = 0,方差为 σ2= 1 / ( 100 × cosθi) 的随机误差( 其中i ∈ ( 1,…,1000) 表示点号,cosθi为最小二乘解所确定的i点入射角余弦值) ,得到一组含有随机误差的模拟点云数据。为避免随机误差对结果的影响, 作20次随机实验,获取20组含有随机误差的模拟点云数据。通过MATLAB编程,利用直积形式、五条原则和协因数传播律构造系数矩阵协因数阵的Jazaeri算法、文献 [2] 提出的Schaffrin算法、总体最小二乘法和加权最小二乘法对上述模拟点云数据进行参数估计,并取参数估值的平均值作为每个参数的最终计算结果,计算结果如表1所示。其中,直积形式、五条原则和协因数传播律构造系数矩阵协因 数阵的Jazaeri算法分别 表示WTLS1、 WTLS2和WTLS3,Schaffrin算法以WTLS4表示。
从表1可以看出,三种WTLS解算的三个参数估值都与真值最为接近,TLS次之,WLS解算的参数估值离真值最远; 三种WTLS的单位权中误差比WLS提高了60. 96% ,比TLS提高了39. 61% ; 平面拟合精度比WLS提高了9. 62% ,与TLS相比, 改善程度有限; 点到拟合平面最大距离也由WLS和TLS的12. 49cm和11. 32cm降为11. 28cm; 在迭代次数方面,三种Jazaeri算法迭代次数平均次数均为21次,Schaffrin算法平均迭代49次,在计算效率上,Jazaeri算法效果较好。
2.2实际点云数据平面拟合
使用RIEGL VZ-400三维激光扫描仪分别对地面、木板扫描,获取两组原始点云数据如图2所示。计算结果如表2、表3所示。
从表2中可以看出,三种WTLS单位权中误差比TLS提高了42. 66% ,与WLS相比改善有限,而WLS比TLS提高了42. 64% ; 由于TLS解算模型未顾及观测点点位精度,其单位权中误差最大,拟合效果最差; 而三种WTLS以各点入射角余弦值为权值,加权解算平面拟合参数,得到比较合理的平面拟合参数解; 在迭代次数上,Mahboub五条原则确定系数矩阵协因数阵的Jazaeri算法迭代次数为2次,其他三种WTLS方法迭代次数均为3次,计算效率上基本一致。
在表3中可以看出,综合三个精度评判指标, 三种WTLS相比WLS均有所改善,与TLS相比单位权中误差略大,在平面拟合精度上却有所改善; 造成这一结果的原因是由于WTLS、TLS和WLS单位权中误差计算方法不同,不能简单以单位权中误差大小判定算法的优劣,应该结合其他精度评判指标进行判定[9]; 顾及三个 精度评判 指标,三种WTLS与TLS精度相当,这是因为采用的木板表面附有零散建筑水泥斑点,导致斑点处的点云数据受到 “污染”,这部分点云数据入射角余弦值与实际权值有偏差,入射角余弦值已经不能代表该点的点位精度[17]; 在迭代次数上,直积形式、Mahboub五条原则以及协因数传播律确定系数矩阵协因数的Jazaeri算法和Schaffrin算法迭代次数分别为7、9、 14和23次。直积形式确定系数矩阵协因数阵的Jazaeri算法计算效率最高效,Schaffrin算法计算效率最差。
3结论
( 1) Jazaeri算法比Schaffrin算法在计算效率上要更加高效,无论是模拟算例还是在实际点云数据平面拟合上都表现其高效性;
( 2) 直积形式构造系数矩阵协因数阵的方法较简单方便、便于理解以及编程且计算效率快速高效。Mahboub五条原则构造系数矩阵协因数阵在计算效率上相对高效,但在构造协因数阵过程需要手工操作,大大增加了工作量和复杂程度。点云平面拟合以直积形式构造系数矩阵协因数阵较为理想;
非线性最小二乘拟合论文 篇6
关于电流互感器(current transformer,CT)铁心的磁化曲线拟合问题,国内外学者提出了多种方法,较常用的有拉格朗日插值法,最小二乘拟合法、分段线性插值法。除此之外新兴的方法还包括基于人工神经网络的曲线拟合和支持向量机,其中人工神经网络又包括BP神经网络和径向基函数神经网络,这两钟方法本质上都是利用网络的自学习功能来自动寻找最优的连接权系数,以达到非线性函数拟合的目的[1,2]。优点是选取的样本容量越大,拟合出来的精度越高,但此种方法所形成的网络结构较复杂,需要调节的连接权系数较多,训练过程也较繁琐,一些重要参数的选择不当甚至会导致整个学习过程陷入局部极值的问题;并且最后得到的拟合公式也很复杂。而传统支持向量机(SVM)虽然没有上述问题,但其训练问题是一个二次规划问题或凸规划问题,当样本数目较大时,其训练速度较慢,占用内存较大[3,4,5]。为此本文提出了一种利用最小二乘支持向量机来实现励磁特性曲线拟合的新算法。该算法不仅具有支持向量机在小样本情况下拟合精度高、泛化能力强的优点,同时还具有计算简单、求解速度快,内存需求少的特点。
1 最小二乘支持向量机原理
最小二乘支持向量机[6](Least Squares Support Vector Machines,LS-SVM),是支持向量机的一种改进,将传统支持向量机中的不等式约束改为等式约束,同时把误差平方和损失函数作为训练集的经验损失,将经验风险由偏差的一次方改为二次方,最终将求解二次规划问题转化为求解线性方程组的问题,避免了不敏感损失函数,大大降低了计算复杂度,提高了求解问题的速度和收敛精度。
1.1 具体算法描述
给定一个有N个训练样本的集合{xk,yk},k=1,2,…,N,其中训练样本n维向量xk∈R n,yk∈R。
首先用一个非线性映射φ(·)把原空间样本从Rn映射到特征空间φ(xi),这样就把低维空间的非线性逼近问题转化为高维空间的线性化逼近问题,在这个高维特征空间中构造最优决策函数:
依据结构风险最小化原则,寻找ω,b就是最小化;
根据统计学理论,函数拟合问题就变为求解如下最优化问题:
其中:|ω|2控制模型的复杂度;γ是正规化参数,控制对超出误差样本的惩罚程度;ω为权矢量;ξ为误差变量;b为偏差量;Remp为误差控制函数,也即不敏感损失函数。常用损失函数有线性损失函数,二次损失函数,Huber损失函数,当选取不同的损失函数,可构成不同形式的支持向量机。本文采用的损失函数为误差函数ξ的二次项。
用拉格朗日法求解这个优化问题:
其中:ak,k=1,2,…,N为拉格朗日乘子。根据最优化理论中的KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件可得到:
可推得:
其中:ai=Cξiωϕ(x i)+b+ξi-yi=0。
定义核函数ϕ(x i,yj)=ϕ(x i)iϕ(x j)是满足条件的对称函数。优化问题转化为求解以下线性方程组解的问题。
根据最小二乘法求出a与b,得到非线性拟合模型:
1.2 关于核函数的选取
LS-SVM的非线性拟合能力都是通过“核映射”的方法来实现的,对于一个具体问题,如果核参数取得不合适,LS-SVM就无法达到预期的拟合效果(数据子空间的维数决定了线性分类面能达到的最小经验误差),并且,核函数的类型[7,8]也应根据不同的情况加以正确选择才能达到理想的拟合效果。一般只要满足Mercer条件的函数都是核函数,常用的有以下几种:
如果选取式(1),那么LS-SVM实现的是一个多项式的向量机,参数q由用户自己取值;式(2),每个基函数的中心对应于一个支持向量,得到的是径向基函数向量机;式(3),实现的是一个两层的多层感知器神经网络。本文采用较常用的径向基函数作为核函数,其中:δ为核宽度。
1.3 数据预处理
为了便于后续处理,需要对训练各样本值按式(10)进行标准归一化处理
归一化后的各样本值的范围在(0,1)之间。
2 具体实现步骤
图1中是用Matlab7.0编程实现LS-SVM的结构框图,括号中是相应用到的函数,详细计算步骤如下:
(1)创建输入输出样本,用Load命令加载数据。
(2)将测得的数据样本按照式(10)进行标准归一化处理。
(3)设定最小二乘支持向量机参数gam和相应核函数sig2,type;其中:gam和sig2是最小二乘支持向量机参数,gam是正则化参数,决定适应误差的最小化和平滑程度,sig2是RBF函数的参数。Type中有两种类型:一类是关于分类的是classfication;另一类是用于函数拟合的是function approximation。
(4)用trainlssvm函数建立回归模型,根据数据样本的输入输出和上一步预先设置好的训练参数,对网络进行训练,得到最小二乘支持向量机的支持向量`alpha`和相应的阀值`b`。
(5)读取预估数据的输入,进行数据预处理,得到实际波形。
(6)将各训练后的点进行拟合,查看拟合情况。
(7)如果上步中出现的拟合波形与实际励磁特性曲线相比不能满足实际要求,可利用模型调整部分的函数进行(3)、(4)两部分建立好的回归模型的相应参数的调整,直到符合要求为止。
3 仿真波形验证
表1列出了某种硅钢材料励磁曲线B-H的部分测量数据值,共9组,将各数据依据式(10)进行标准归一化,之后将其按照以上介绍输入Matlab7.0中,经过多次对回归模型参数的调整实验,最终得到比较理想的拟合波形,如图2所示,此时Matlab7.0命令窗口中部分命令如下:
其中:B,H0为测量值;H1为训练后的样本值;%为两者之间的相对误差。
图2中,黑点为训练后的各样本点,实线为实际的励磁特性曲线。从图中可见,经调整参数训练后的各样本点基本都在实际励磁特性曲线上,拟合效果较理想。同时从表1中列出的训练后的样本值与实际值的偏差程度,发现二者之间相差甚小,拟合精度较高,可以满足实际的需要。
4 结语
本文提出使用最小二乘支持向量机来拟合电流互感器励磁特性曲线,为CT铁心饱和特性的建立提供了一种新的算法途径。实验仿真波形验证了该算法在铁心非线性逼近方面的有效性和准确性。此外,该算法除了可以应用于电流互感器的铁心拟合外,同时还可以进一步推广到其它领域的非线性曲线拟合与回归中。
摘要：针对传统支持向量机在电流互感器铁心励磁特性曲线拟合时样本数目较大出现的训练速度慢、占用内存大的问题,提出了一种新的基于最小二乘支持向量机算法。该算法将实测数据由径向基函数把非线性逼近问题转化为线性逼近问题,依据最小二乘法的思想,利用Matlab7.0求一个线性方程组的解,得到拟合曲线的近似表达式。实验结果表明,新算法训练速度快,误差小、拟合精度高。
关键词：电流互感器,最小二乘支持向量机,非线性,径向基函数,曲线拟合
参考文献
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非线性最小二乘拟合论文 篇7
空间直线拟合在工程中具有重要应用[1,2,3,4,5,6,7,8],如在计算机视觉[4]、三坐标测量问题[5]、机器人焊缝中心三维定位[6]和空间管线网络干线的确定[7]中。
由于最小二乘准则下问题求解比较容易,一些文献在该准则下给出确定空间直线的算法。文献[1]将直线理解为两个平面的交集,通过求取两个平面方程,从而确定直线。文献 [2,3]根据最佳平方逼近原理,证明直线必过数据中心,并用逐步迭代给定方向向量,从而确定点向式直线方程。文献 [5]则通过两次降维,先按全最小二乘准则拟合二维平面,将空间中的点投影到该平面上,再将该平面上数据利用全最小二乘准则拟合直线,从而确定空间直线。文献[6]先确定直线经过的点,再求导得到一个非线性方程组,解方程组确定方向向量,从而最终确定空间直线。这些算法比较复杂,本文给出一种基于主成分分析的简便算法,通过计算机仿真验证了算法的有效性。
由于最小一乘准则下确定空间直线是一个不可微优化问题,难度较大。文献 [7]提出了空间中按全加权最小一乘准则下确定直线问题,但没有给出具体的算法,文献[8,9]给出了平面上的求解方法,没有对空间中全加权最小一乘准则下确定直线问题进行讨论。本文给出一种基于无约束优化的搜索算法,并进行了计算机仿真。
1 空间直线拟合问题
空间直线拟合问题可以描述为:在三维空间给定n个点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),…,Pn(xn,yn,zn),求空间直线L:
为最小,其中
如在上述假设下,改为求目标函数:
最小,则是按全最小一乘拟合空间直线,这样得到的直线不易受奇异点(outliers)的影响。
如在上述假设下,改为求目标函数:
最小,其中wi(i=1,2,…,n)为权重,则是按加权全最小一乘拟合空间直线,这样得到的直线可以用于空间中管道的主干线确定问题。当wi=1(i=1,2,…,n)时,式(3)变为式(2)。
2 拟合空间直线的算法
2.1 全最小二乘准则下的拟合算法
将空间中三维分布的点集拟合为一维的直线,其本质就是降维,因此可以按照主成分的思想,对三维分布的空间数据进行主成分分析,提取第一主成分向量作为直线方向向量。文献[3]证明在最小二乘准则下,空间直线必通过数据中心点,因此可以由点向式确定空间直线方程。按此思想给出求问题式(1)中直线的算法如下:
第1步 输入三维空间中点坐标的n个数据点矩阵Xn×3,求出均值
第2步 求协方差矩阵
第3步 求出S的最大特征值λ1和对应特征向量
第4步 由点向式确定直线
由主成分意义,点到直线距离平方和为n(λ2+λ3),其中λ2与λ3为S的其余两个特征值,与由式(1)得到的结果相同。
2.2 加权全最小一乘准则下的拟合算法
由于问题式(2)是式(3)的特殊情形,因此讨论式(3)。在问题式(3)中目标函数中含有绝对值,是一个不可微函数,因而求解比较困难。
要在空间中确定一条直线,无论采用确定两个相交平面还是点向式方程都至少需要确定6个未知参数。
将问题式(3)中的目标函数看作是一个含有6个自变量的不可微无约束优化问题,可以采用文献[11]中不依赖于导数的Nelder-Mead的单纯形算法与Hooke-Jeeves的模式搜索法求解。MATLAB中有基于单纯形算法的fminsearch()命令可以直接调用。
本文采用点向式方程确定直线,约定6个自变量按下面方式排列
第1步 输入三维空间中点坐标的n个数据点矩阵Xn×3,给出初始值,给出
第2步 利用初始值和MATLAB中fminsearch()对目标函数
第3步 由点向式确定直线
2.3 空间点到拟合直线的投影
为了在计算机仿真中绘制空间中点到拟合直线的垂线,这里给出点到直线的垂足坐标确定方法。
由于空间拟合直线已经求出,故可以确定空间中每一个点Pi(xi,yi,zi)在直线上的垂直投影点P′i(x′i,y′i,z′i)。由空间解析几何知识[10]可知投影点P′i(x′i,y′i,z′i)为直线在经过点Pi(xi,yi,zi)且与直线垂直平面上的垂足,联立直线的参数式方程与直线垂直的平面方程。
可以解出
3 计算机仿真
为了检验本文算法的正确性和有效性,给出下面例子。
仿真环境为 Intel酷睿2双核 P8400、2G内存、Windows Vista OS、MATLAB7.5环境。
例1 设直线方程为x=1+t,y=1+t,z=1+t,t为参数。
参数t取值区间为[-6,6],先将该区间等分为30个小区间,t取区间端点,从而可在直线上确定31个点,可以确定31×3的数据矩阵。对直线上每个点进行随机扰动,让x,y,z分别加上随机数种子为rand(‘twister’,10),rand(‘twister’,20),rand(‘twister’,30) 的服从[-1,1]上均匀分布的n维随机列向量。绘出这些点三维散点图,如图1所示。
表1给出不同准则和算法得到的数值结果。其中方向向量已经标准化并约定向上(c>0),加权最小一乘准则中取权重全为1,即最小一乘,优化使用MATLAB自带的fminsearch()。
按最小二乘准则,绘制出拟合直线和点到拟合直线的垂线,如图2所示。
按最小一乘准则绘制出拟合直线和点到拟合直线的垂线,如图3所示。
4 结 论
本文讨论了空间中的直线拟合问题,针对全最小二乘和全加权最小一乘准则下,分别给出了基于主成分分析和无约束优化的空间直线拟合方法,这些方法在计算机上实现起来比较简便,计算机仿真验证了算法的有效性。这对使用空间直线拟合方法的科研人员具有一定的参考价值。
空间中曲线拟合比较复杂,未见到统一的方法,然而特殊情况比较容易。如空间中拟合圆周,可以先拟合平面,将三维数据投影到拟合平面上(降维到2),再根据平面法向量的方向角对平面上投影数据旋转使得一个分量全部为0,将旋转后的数据拟合圆周,得到圆周对应的圆心和半径。最后进行旋转逆变换,将球面方程与平面方程联立即得空间圆周方程。
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非线性最小二乘拟合论文 篇8
影响皮带秤称重系统精度要素之一就是张力, 利用张力补偿可以提高称重长期稳定性和精度。张力越准确, 称重就越精确。因此, 准确测得张力值十分重要。另外, 张力不稳定是由机械的不平衡与磨损和电机响应运转等方面造成的[1]。本文通过检测皮带垂度并对垂度数据进行算法处理, 从而对张力的不稳定因素进行补偿, 最终根据研究得到的垂度与张力数学模型来计算出张力。
本文先理论推导出张力随流量变化的数学模型, 其次, 通过离散垂度测量来建立垂度与流量的数据表, 利用最小二乘曲线拟合法对垂度与流量曲线拟合, 实现对数据的综合分析, 为研究物料流量与皮带垂度的关系提供科学的参考依据[2]。然后对拟合结果进行分析, 最终得到垂度、皮带倾角等参数的张力数学模型。
1 现场输送带载料模型分析
现场的输送带安装示意图如图1所示, 在具体研究中简化为图2所示模型。
其中, O1为托辊A, B之间输送带上的垂点, AB倾角为β1, 其中虚线是输送带传输方向, 实心直线为水平面, 根据实际测试, O1垂点对应的输送带挠度即垂度v<3%L。现取一小段输送带O1D分析, 建立xo1 y坐标系, 如图3所示。
取O1为坐标原点, 且以过O1点的切线为X轴, 与X轴垂直作Y轴, 其中, T1, TD分别为O1和D点处的张力, P为均布载荷;D点坐标为 (x, y) , 载荷重心坐标E (xe, ye) , 因输送带挠度较小, 曲线O1D近似等于x。因此, O1D上负荷可视为x P, 且, 同时, 根据条件可知。使用平衡条件可得:
式中, MD为关于D点的力矩, P为皮带及物料的质量分布简称流量, β1地面与水平面间的夹角。经整理得: (2)
又已知O1为AB垂点, 且为中间, 因此可得x=L/2, 代入上式得:
式中, L为两托辊间的距离。其中, L与β1均为已知量。当P与y两个变量检测出来, 对应O1点的张力也就随之求出。
2 基于最小二乘法的垂度-流量曲线拟合
2.1 最小二乘法曲线拟合原理
假设流量fi与垂度xi, 其中i=0, 1, 2, …, n。拟合关系为n次多项式, 函数为, 其中a0, a1, …, an为下面方程组的解:
如果方程组中的系数矩阵为非奇异, 则最优解唯一, 这里, 是Rm+1上向量的加权内积, 即, , 通过该方程使用Matlab软件求解出系数a0, a1, …, an, 就可以解得n次多项式[3]。
由于皮带传输物料的重量不均匀, 只有通过垂度值来反推出流量, 从而进一步估算载物的重量, 辅助称重系统判定称重单元计算结果的正确性与故障源。因此, 研究物料流量固定, 通过大量数据采样得到垂度值, 经均值数据处理, 得到一组垂度与流量的数据, 重复该方法获取多组不同流量下检测到的垂度值, 来准确反映流量与垂度的关系。
2.2 流量与垂度实验
实验条件:1) 标定初始值104mm;2) 输送带预紧力为840kg;3) 皮带宽为1.2m;4) 料斗下料给定值设为100t/h。
本实验通过改变电机驱动输送带运转的频率来改变落在输送带的物料重量即流量, 并检测获取相应的垂度, 得到表1所示的9组流量范围在14.62~46.3kg/m内的垂度与流量的关系数据。
2.3 垂度-流量特性研究
根据表1数据采用Matlab对拟合模型y=a0x0+a1x+…+anxn进行多项式拟合, 由最小二乘法确定多项式的系数a0, a1, …, an, 通过拟合发现高于5次多项式曲线就会严重失真, 因此只考虑5次以内拟合曲线, 通过Matlab计算获得各多项式曲线对应的残差如表2所示。
由表2可以观察到5次多项式拟合曲线残差为0.80778, 拟合效果最好, 其拟合曲线如图4所示。
由图可以观察出数据与曲线拟合度非常好, 因此选取5次多项式拟合曲线为最优拟合曲线, 其5次多项式空间为, 且曲线方程[4]如下:
另外, 根据皮带本身性能和受力情况分析可以设想曲线y=f (x) 是双曲型, 它与实际数据规律大致符合, 可以通过变量代换, 化为线性参数的数学模型。拟合数据。其中 (i=1, 2, …, 9) 。其中ti, zi分别由原始数据xi, yi据变量代换公式计算出来, 转换后的数据表如表3所示。
根据最小二乘法曲线拟合基本原理, 并且简化求解方程组得
将以上计算值代入简化方程组得如下方程组:
计算得a1=0.33822, a0=-0.0078494从而拟合曲线为
3 最小二乘法曲线拟合结果分析
3.1 拟合模型误差比较
根据实测垂度数据, 分别利用5次和双曲型拟合曲线计算出输送带上的物料流量, 进而计算出理论流量与计算流量之间的绝对误差, 误差平方[5]。具体计算结果如表4所示。
由表4算得5次与双曲型拟合曲线误差平方总和分别为0.6683, 1.2104。5次多项式拟合曲线误差平方更小, 拟合效果更好。
由上表分析研究选择5次多项式拟合曲线作为最优曲线拟合结果, 其函数如下:
3.2 张力数学模型
根据5次多项式拟合曲线测得的流量值, 将其带入张力公式 (其中β1=6°, L=1.2m) , 张力公式简化为, P=y+10 (其中y为检测流量, 10为皮带重量为一常量其单位为kg/m) 。再将垂度数据代入上式就可算得张力值, 如表5所示。
从表5中可以观察到垂度为4.5~10.3mm范围内张力随着垂度变大而减小, 张力的极小值产生于垂度为10.3mm~11.5mm之间, 张力自极小值之后会随着垂度的增加而增加, 由以上规律可判定张力与皮带性能有很紧密的关系, 可以在以后的实验中作进一步研究。最终形成的张力与垂度的数学模型为:
若将参数β1, L代入公式则可以转化为
式中a为皮带重量分布 (kg/m) ;x为测得的垂度值 (mm) ;T 1为张力 (kg) ;β1为皮带与水平地面之间的夹角;L为两托辊之间的距离 (m) 。
由公式 (7) 可以根据检测到的垂度推算出张力。
4 结论
1) 通过实验获取了流量与垂度关系的对应数据;利用最小二乘曲线拟合法研究垂度与流量的实验数据, 得到垂度与流量关系的拟合曲线;通过实验验证分析得出5次多项式拟合曲线为最优垂度与流量拟合曲线。2) 根据最优垂度与流量拟合曲线及张力与流量数学关系建立了皮带张力与垂度的数学模型。
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