二次差分法（精选7篇）
二次差分法 篇1
由于环境污染越来越受到人们的重视, 传统的以经济成本为主要目标的水火电优化调度已不能满足社会的需求, 更多的学者也开始关注火电厂的污染排放问题[1,2,3]。为此, 有的学者提出一种兼顾经济性和环保性的水火电联合优化调度模型, 该问题也逐步变成许多学者关注的焦点问题。
传统的多目标优化主要通过将多目标问题转化为单目标问题的方法, 再采用单目标进化算法进行求解。国外学者M.Basu在经过多个目标加权求和后, 采用交互模糊满意度的方法求解了该问题, 并取得了一定的研究成果[4]。K.K.Mandal通过差分进化算法对不同目标权重下的总目标进行优化运算, 并分析比较了其结果的优劣程度[5]。
虽然上述方法可以一定程度上解决多目标优化问题, 然而, 由于在实际工程应用中, 各目标的权重是难以精确描述的, 因此, 该转化策略的实用性不强。随后, 国内学者马光文[6]将NSGA-II的多目标进化方法应用到水火电调度系统中, 并产生了一系列非劣解集, 为实际调度过程提供了足够的决策支持。在此, 该文提出了一种多目标自适应二次变异差分进化算法 (ASMMODE) , 运用自适应控制参数调节了群体的收敛速度, 引入Logistic混沌序列增加了进化群体的多样性, 从一定程度上避免了“早熟”现象的发生。同时, 该文运用启发式嵌套修正的约束处理方法, 有效地解决了水火电调度系统中的复杂约束问题, 并将多目标自适应二次变异差分进化算法应用到水火电调度系统中, 取得了较为满意的结果, 从而为多目标水火电联合优化调度提供了一条新途径。
1 水火联合优化调度模型概述
多目标水火电联合优化调度主要是在满足水火电站出力约束、系统负荷平衡、水量平衡等约束条件的基础上, 并同时对氮氧气化物排放量和火电经济成本进行优化[7,8,9,10,11,12,13]。
1.1 目标函数
(1) 火电经济成本。
其中, T为调度时间长度;Ns为火电站个数;Psit为第i个火电站第t个时段的出力;ai、ib、ci、di、ei为第i个火电站运行的成本系数;Psimin为第i个火电站的最小出力限制。
(2) 污染气体排放量。
1.2 约束条件
(1) 系统负载平衡约束。
其中, Phjt为第j个水电站在时段t的出力;PLt为第t时段的电力传输损失。而水电站的出力则主要是由其库容和下泄流量决定。Nh为水电站数量;PDt为第t时段系统的负载需求。而水电站的出力与库容和下泄流量相关, 其具体表达式如下:
而C1i、C2i、C3i、C4i、C5i、C6i为第i个水电站的出力系数;Vhit和Qhit为第i个水电站在t时段的库容和下泄流量。其中, 电力传输损失一般可以表示为火电出力的函数, 具体如下[13]:
其中, Bij, 、B0i、B00为电力传输损失系数。
(2) 水量平衡约束。
其中, Iit为第i个水电站在t时段的来水;Sit为第i个水电站在t时段的弃水;Ni为第i个水电站上游与第i个电站有直接水力联系的电站数量;ik为第i个水电站上游第k个电站的时滞时间长度。
(3) 出力约束。
其中, Phimin、Phimax为第i个水电站的最小和最大出力;Psjmin、Psjmax为第j个火电站的最小和最大出力。
(4) 水库库容、流量约束。
(5) 初末库容约束。
其中, Vi, begin、Vi, end分别为第i个水电站的初末库容。
2 多目标自适应二次变异差分进化
多目标自适应二次变异差分进化算法根据多目标进化算法特有的选择机制, 将Pareto等级划分操作替代单目标差分进化的适应度函数比较过程[14]。并在差分进化算法的基础上加入了外部档案集的维护和修改操作, 保留了进化群体中的精英个体[15]。结合混沌序列产生机制, 对变异操作的参数进行改进, 使得变异算子可以自适应地指导群体的进化过程。
2.1 自适应二次变异的差分进化
由于传统的差分进化算法无法自适应地根据进化种群的多样性实时地改变进化策略, 使得其优化效率较低或容易产生“早熟”现象。为此, 该文提出一种自适应二次变异的差分进化方法。其一般形式如下:
其中, m为控制参数;gnow为当前进化代数;gmax为进化的最大代数。在一般情况下, 差分进化的变异操作按照上述的形式进行。特别地, 检查种群第j维多样性是否低于一定阈值即 (j) , 多样性指标 (j) 表达式为:
其中, NQ为外部档案集大小;xgij为外部档案集个体的第j维变量;xjg为xijg的平均值;uj、lj为第j维变量最大和最小边界。
由此, 进化种群的多样性将会增大, 搜索范围不仅仅局限于局部区域, 当遇到多峰函数时, 其优化结果不会陷入局部最优, 从而避免“早熟”现象的发生。
2.2 基于密度熵的非劣前沿分布性控制
在多目标优化过程中, 为了保留群体进化过程中的精英个体, 制定了外部档案集的精英保留策略。该策略主要根据非劣前沿的分布特性制定精英个体的保留策略。在文献[15]中, 非劣前沿的平均距离被用来作为其分布性指标, 该方法在一定程度上保证非劣前沿整体的分布性, 但是无法精确描述个体与个体之间的聚集程度。该文采用一种基于信息熵的非劣前沿分布性控制方法[17], 采用文献[14]中的相对距离控制非劣前沿上个体的聚集程度, 从而提高其非劣前沿的分布性。
其中, NP为外部档案集的大小。该文采用的密度熵法不仅考虑非劣前沿中个体的分布距离, 还兼顾非劣前沿整体的分布距离。如图1所示, 非劣前沿个体若出现A、B、C三种分布情况, 则不难看出, C分布不属于均匀分布, 若其中存在新加入个体, 则应该剔除;而A和B分布均属于均匀分布, 但B中个体距离相对整体的跨度而言较小, 仍然不符合整体的分布性要求。而A不仅具有均匀的个体分布距离, 而且还符合非劣前沿整体的分布要求。因此, 可以保留非劣前沿中密度熵较大的个体, 从而提高非劣前沿整体的分布特性。
2.3 水火电系统约束处理方法
(1) 编码。
由于在整个水火电调度过程中, 一般将下泄流量和火电出力作为决策变量对其联合优化模型进行求解。其具体表达式如下:
(2) 约束处理方法。
由于水火电联合调度过程呈现的高维、非线性和强耦合特性, 各种复杂约束的处理效果对整体优化结果有较大的影响, 所以高效的约束处理方法能提高优化的效率。约束处理的重点一般集中在水量平衡和系统负载平衡约束的处理上, 由于水量平衡约束效果对负载平衡有后效影响, 所以采取先处理水量平衡约束再处理负载平衡约束的方法。在此, 该文采用文献[18]中启发式嵌套修正的方法, 对水量平衡和负载平衡约束进行处理, 并根据约束违反程度的标准界定个体的可行性, 从而有效地将进化中的群体控制在可行区域内。
3 实例研究
以4个水电站和3个火电站组成的水火电系统为例[4], 将该文提出的二次变异自适应多目标差分进化算法应用到该系统中, 调度时段总长度为1天, 每一个小时为一个时段, 其4个水电站的拓扑结构如图2所示。该实例中关于水电站、火电站以及负载平衡等约束及相关数据均可参考文献[19-20]。
进化群体经过2000代的变异、交叉和选择操作后, 在外部档案集中存储了30个非劣精英个体或非支配解, 如图3所示。根据污染总量和成本总量的曲线图可知, 污染气体排放总量和经济成本总量为相互矛盾和制约的关系。
通过和NSGA-II得到的结果对比, 可以看到, 多目标二次变异方法得到的解集处于NSGA-2解集的左下方, 也就意味着该方法得到的最优方案集明显要优于NSGA-II, 而在非劣方案集的分布特性特明显要好于NSGA-II。
而多目标二次变异方法求解得到所有非劣解集如表1所示, 总煤耗量最小可以达到42 193美元 (方案1) , 总污染量最小可以控制在16 581磅 (方案30) , 而方案15的总煤耗量为43 772美元, 总污染量为16 871磅。
为了进一步地分析非劣解集的优化方案, 将方案集中的方案1、方案15以及方案30作为3种典型方案, 并针对电力传输损失、各电站的出力过程进行深入剖析, 如图4、5、6和7所示。方案1中的经济成本最小, 方案30的污染气体排放量最小, 方案15为折衷方案。图4中为3种典型方案下的网络传输损失对比结果, 其大致趋势基本保持一致, 网络传输损失基本保持在7.5 MW以下, 其不同主要集中在网络损失的波峰和波谷。图5、6和7为火电站1、火电站2和火电站3在3种典型方案下的出力过程。图5中3种方案下的出力过程基本保持一致, 不难看出, 相比其他两种方案, 方案1的出力过程基本保持在最低状态, 方案15次之, 方案30最高。由于网络传输损失主要和各火电站的出力紧密相关, 因此, 火电站1可能对网络传输损失有较大影响。
同样地, 在火电站2和火电站3中, 3种方案下的出力过程也基本保持一致, 但并不存在火电站1中类似的出力过程;而在火电站3中, 不难看出, 方案1的出力过程基本保持最高状态, 方案15次之, 方案30出力最低。
由于这3种典型方案代表着不同的利益背景, 方案1经济成本最低, 单从火电站生产运营的角度, 该方案是最好的;方案30污染排放量最小, 社会环境污染影响最低;而方案15相对折衷, 在需要同时兼顾经济性和环保性的条件下, 该方案为最佳方案。
该文以方案15为折衷方案, 对其方案下的水电出力过程、库容变化和下泄流量过程进行深入分析。4个水电站的出力过程如表2所示, 不难发现, 所有出力均被控制在出力约束允许的范围内, 且在整个调度时段内装机最大的水库4始终维持最大的调节能力。
库容和下泄流量过程如图8和图9所示, 其变化过程均控制在可行范围内。由于水库4具有最大的调节能力, 且处于4个水电站的最下游, 其库容和下泄流量在多数时间段内均维持较高状态。
综上所述, 基于二次变异的差分进化算法能较好地同时优化污染排放量和经济成本, 得出一系列非劣方案集。方案中各火电站出力、水电站出力及库容和下泄流量变化均满足各类约束条件, 且将网络传输损失控制在较小范围内, 最终得到的优化方案也进一步证明了该方法的可行性和有效性。
4 结语
该文考虑了节能环保多目标水火电优化过程中的网络损失问题, 将线性等式约束问题推广到非线性等式约束问题, 使得调度过程变得更加复杂。为此, 该文根据多目标进化算法的特点改进了差分进化算子, 提出了一种多目标自适应二次变异差分进化算法。并将该算法应用到该调度模型中, 结果表明, 多目标自适应二次变异差分进化算法经过一次运行后产生的非劣解集, 不仅较好地解决了该复杂约束问题, 而且同时具有较高的收敛精度和较好的分布特性。并根据非劣方案集选取符合实际需求的调度方案, 制订了各火电站和各水电站的短期发电计划, 为多目标水火电联合调度提供了一种新思路。
二次差分法 篇2
目前, 电磁场的时域计算方法越来越引人注目。时域有限差分法 (Finite Difference Time Domain, FDTD) 作为一种主要的电磁场时域计算方法, 最早是在1966年由K.S.Yee提出的。这种方法通过将Maxwell旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解, 通过建立时间离散的递进序列, 在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。经过三十多年的发展, 这种方法已经广泛应用到各种电磁问题的分析之中。
Matlab作为一种工程仿真工具得到了广泛应用。用于时域有限差分法, 可以简化编程, 使研究者的研究重心放在FDTD法本身上, 而不必在编程上花费过多的时间。
下面将采用FDTD法, 结合Matlab的图形功能来模拟自由空间中目标的散射近场, 说明了将二者结合起来的优越性。
(二) FDTD方法的基本原理
时域有限差分法的主要思想是把Maxwell方程在空间、时间上离散化, 用差分方程代替一阶偏微分方程, 求解差分方程组, 从而得出各网格单元的场值。FDTD空间网格单元上电场和磁场各分量的分布如图1所示。
电场和磁场被交叉放置, 电场分量位于网格单元每条棱的中心, 磁场分量位于网格单元每个面的中心, 每个磁场 (电场) 分量都有4个电场 (磁场) 分量环绕。这样不仅保证了介质分界面上切向场分量的连续性条件得到自然满足, 而且还允许旋度方程在空间上进行中心差分运算, 同时也满足了法拉第电磁感应定律和安培环路积分定律, 也可以很恰当地模拟电磁波的实际传播过程。
1. Maxwell方程的差分形式
Maxwell旋度方程为:
令f (x, y, z, t) 代表E或H在直角坐标系中某一分量, 在时间和空间域中的离散形式取以下符号表示:
其中:i, j, k和n为整数。对于二维问题, 设所有物理量均为与z坐标无关, 即∂/∂z=0, 于是将 (1) 式利用二阶精度的中心有限差分式来表示函数对空间和时间的偏导数, 下面以TE波为例, 即可得到如下FDTD基本差分式:
上式中的参数Ca、bC、aD、bD的定义如下:
其中:ε, μ, σ, σm是各点处的电磁参数。在 (3) 式的推导过程中假设时间步进Δx=Δy=δ。由于计算机存储时数组下标是整数, 所以对 (3) 式进行了修改, 修改后的更新方程如下:
利用TM波和TE波之间的对偶关系, 即可编写统一适用于TE波和TM波情况的二维FDTD计算程序。
2. 数值色散及稳定性条件
为了减小数值色散, 在选取空间网格尺寸δ时, 应满足λmin≥10δ, δ=min (Δx, Δy, Δz) , 其中λmin是被研究媒质空间的最小波长值。由此可以看出:减小网格尺寸可以减小数值色散, 但是会引起计算存储量的增大, 因此需综合考虑, 权衡处理。
为了使数值计算稳定, 时间步长的选择应满足:
(三) 自由空间中目标散射近场的可视化模拟
1. 自由空间中未加散射体时的散射近场
FDTD模拟参数为:计算区域大小150×150 (网格数) , 正中的130×130为总场区, 其外是散射场区。取空间网格大小δ=λ/40, 时间步进Δt=δ/2c。平面波从左边入射, 入射角度为0°。图2是自由空间中未加散射体时的散射近场。
从图中我们得到:在自由空间内没有散射体的情况下, 整个空间就没有散射场。入射波只存在于总场区内, 散射场区域内没有电磁波。即入射波完全由总场散射场边界产生, 又由总场散射场边界吸收, 且在总场区域内也保持了平面波传播的特性, 这与事实相符。由此可见, 该方法的有效性。
2. 自由空间中金属圆柱的散射近场
FDTD模拟参数为:计算区域大小150×150 (网格数) , 正中的130×130为总场区, 其外是散射场区。圆形金属散射体的圆心位于网格正中心, 圆柱半径r=λ, λ=1×10-2m, 取空间网格大小δ=λ/40, 时间步进Δt=δ/2c, 可见圆柱半径为40个网格。平面波从左边入射到目标, 入射角度为0°。图3是位于自由空间中金属圆柱在不同时刻的散射近场可视化模拟结果。
3. 自由空间中金属方柱的散射近场
FDTD模拟参数与上述第1点相同, 只是将散射体从金属圆柱换成金属方柱。图4是位于自由空间中金属方柱在不同时刻的散射近场可视化模拟结果。
由于散射体是金属, 其散射性很强, 从图3、图4中可以看出圆柱和方柱散射体内部均没有场, 遵循了金属散射体的电磁规律。图中总场边界 (入射波在此边界引入) 处场为不连续, 这是因为在总场边界以内为总场, 以外为散射场, 目标位于总场边界内部。通过这两个算例可以看出FDTD在可视化近场时非常实用。
(四) 自由空间中目标的远场RCS
1. 自由空间中金属圆柱的远场RCS
2. 自由空间中金属方柱的远场RCS
图5和图6给出了不同形状散射体的双站RCS (用波长归一化) , 包括TE波和TM波情况。所得结果与参考文献[1]作了对比, 可以看出一致性很好。
(五) 结语
以上结合FDTD和Matlab对自由空间中目标的近场散射做了仿真分析, 所编Matlab程序简洁明了, 运行效率也较高。FDTD法在电磁场数值分析方面有很大的优越性, 而Matlab具有强大的数据处理和图形处理功能, 可以快速地编出高效高质量的程序。将二者的优势有效地结合起来, 可以将算法迅速程序化, 并获得很好的数据处理结果, 使研究者可以集中精力在FDTD方法和研究对象本身上, 而只需花费少量的时间在程序的实现上。
参考文献
[1]葛德彪, 闫玉波.电磁场时域有限差分方法[M].西安:西安电子科技大学出版社, 2005.
[2]Yee K S.Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell equations in isotropic media[J].IEEE Trans, Antennas Propagat, May1996, AP-14 (3) :302-307.
[3] (美) Duane Hanselman, Bruce Littlefield著.精通Matlab7[M].朱仁峰, 译.北京:清华大学出版社, 2006.5.
采用有限差分法解三维深梁 篇3
1 弹性问题势函数的形成
考虑到立方体构件的平衡,并使立方体的各边平行于坐标轴。根据弹性体的连续性质,其各应力的功能函数为:σxx,σyy,σzz,σxy,σxz,σyz,连续函数的平衡微分方程和位移协调条件ux,uy,
2 解决方法
有限差分法在这里的作用是,用来处理微分方程和与边界条件相联系的代数条件。考虑到矩形形状的边界和微分方程性质,一个统一的矩形网格网络用于整个区域。离散值Χ(x,y,z)在网格点得到了系统的线性代数方程组产生的离散的控制方程和相关的边界条件。最后,所有参数的利益,在解决问题的光束可随时得到Χ(x,y,z)是在网格点。值得注意的是,目前的有限差分法,解决的仅仅是一般计算方法的1/3。
3 深梁的数值结果
两端固定深梁示意图如图1所示,梁(L/D=2,L/B=2),为了获取数值结果,梁假定取得普通钢(μ=0.3,弹性模量E=209 GPa)。有限差分法的解决办法继续沿用了有限元分析软件ANSYS的代码。图2描述的结果是uz和ux在梁不同位面,各自的位移是正常的。有限差分法解决方案被证明是很好的很实用的。图3是两个应力的结果,σzz,σyy在梁不同位面。两个解决方案结果非常接近,但不包括在该区域的过渡。本方法解决方案符合所有的要求,物理特性适当。
4 结语
有限差分法是准确的可靠的方法,对于3-D深梁任何重要部分,减少了未知代数变量并提高了准确性,且计算速度快。
摘要：采用一种新的数值方法分析三维弹性深梁,更具体而言,采用了有限差分方法,这个方法有效解决了三维深梁问题,指出相比传统的计算方法,该方法提供的数值解精度高,减少了计算工作,其计算结果通过与传统方法相比得到了验证。
关键词：深梁,有限差分法,应力
参考文献
[1]江见鲸.钢筋混凝土非线性有限元分析[M].西安:陕西科学技术出版社,2002.
[2]徐芝纶.弹性力学[M].北京:高等教育出版社,2004.
[3]陈亚娟,杨乾坤.钢筋混凝土简支梁的数值模拟[J].山西建筑,2008,34(12):80-81.
二次差分法 篇4
关键词：边坡稳定,强度折减法,有限差分
0 引言
公路路线经过的地段常遇到土质条件较差而填挖高度又较大的情况。这种情况下,开挖或填筑之后的边坡的稳定性是工程设计者需要重点考虑的问题。影响边坡稳定性的因素很多,除土质条件等自身原因之外,降雨常常导致边坡土壤含水量增加,土颗粒之间的粘结力减弱,常常导致边坡失稳。一般工程中对于边坡稳定安全系数较低的路段边坡提前采取加固措施。而土层锚杆加混凝土护面是常采用的一种加固方式。
对于复杂的工程问题,寻找解析解常常是很难的。工程中锚杆等加固措施的采用,使计算内容涉及土与结构的相互作用,更加直观而有效的求解方法应该是采用数值方法。本文就某公路高路堑开挖段的边坡支护效果进行了数值分析。
与常用的有限元方法不同,有限差分方法(FDM)是将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以某种形式进行展开,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商来近似代替,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比较成熟的数值方法。这方面比较成熟的软件是美国Itasca公司开发的FLAC3D(Fast Lagrangian Analysis of Continua)。FLAC3D是一个三维有限差分程序,能够进行土体、岩石和其他材料的三维结构受力分析。FLAC3D采用的显式拉格朗日算法和混合—离散分区技术能够非常准确的模拟材料塑性破坏和流动。由于无须形成刚度矩阵,因此基于较小内存空间就能够求解大的三维问题。
1 工程实例分析
1.1 工程概况
某公路路堑开挖段,边坡高度12.1 m,竖向土质大致分两层,土层特性见表1。设计边坡坡度为H∶B=1.25∶1,边坡较陡。因此,此处边坡采用了锚杆加混凝土护面的方式进行加固。锚杆采用Ⅱ级钢筋,喷面混凝土标号为C25。上层锚杆距岩土体顶面4 m,锚杆之间的竖向和横向间排距都是3 m,锚杆长度7 m,锚杆倾角为15°。
路堑上方土体类型有一定的差异性,因此近似处理为两层,材料参数见表1。
1.2 分析过程
先用FLAC3D分析边坡未支护前自身的稳定性。通过建模,赋予模型材料特性,建立边界条件,施加自重应力并进行计算,得到如图1所示的边坡位移云图。图中边坡左侧区域部分是位移变形较大的部位,极易出现沿图中弧线的滑动,位移最大值达9.2 cm,因此有必要进行支护。
在FLAC3D中通过Cable单元来模拟锚杆,可以分别设置锚杆的弹性模量、抗拉强度、锚固段长度等参数。而混凝土护面可以通过Liner单元来进行模拟,Liner除具有壳单元的性能外,还可以考虑与周围土体网格之间的切向作用,法向方向可以承受拉压作用。
沿土坡的纵向取6 m为一计算单元,其中布置有竖向两列锚杆。先求解安装锚杆前的原始应力状态,之后安装第一排锚杆,此时进行求解,应力重新分布,再安装第二排锚杆并施加预紧力,再次进行计算,求得最后的应力场和位移场。通过计算发现,施加锚杆和混凝土喷面后的坡体的变形明显得到限制。计算后得到,支护后坡体的位移场如图2所示。其中前侧颜色较浅部位是安装了锚杆的部位,位移最大值1.75 cm,和其后方的土体暂时未安装锚杆,但由于临近锚杆的影响位移最大值也减小到2.1 cm。
另外一个能反应边坡稳定性的参数是剪切应变率。通过FLAC3D的计算得到支护前边坡剪切应变率分布云图如图3所示,可以看到潜在滑动面的分布情况,以及剪切应变趋势相反的两个区域。图4给出的是锚杆之后后边坡的剪切应变率分布图。可以看出具有较大剪切应变率的范围明显缩小。
在边坡稳定性分析中,用来判断边坡稳定系数的一种常用方法是采用强度折减法。对于采用摩尔—库伦计算模型的情况,就是将土体的强度参数粘结力c、内摩擦角除以一个折减系数f,将折减后的参数赋予计算模型重新计算,直到模型出现塑性破坏,此时的折减系数就是结构的安全系数。FLAC3D可以自动进行基于强度折减的计算来确定安全系数fos。通过本实例的分析,算得支护后结构的安全系数为1.62,能够满足安全使用的需要。
综上分析,所采用的锚杆加混凝土喷面支护起到了比较满意的支护效果,边坡变形得到很好的控制。
2结语
FLAC3D利用显式快速拉格朗日有限差分法对岩土工程问题进行计算,可以很好的模拟岩土体的位移和应力分布情况。可以对支护方案提出优化,设计合理的锚杆锚固角度、锚杆长度及锚杆间排距等参数。通过多方案的比选可以提出最优化的设计方案。
FLAC3D由于操作界面不具有很好的易用性,绝大部分操作要由命令来完成,增加了掌握这一软件的难度,另外前处理建模能力相对较弱,对复杂模型的建立很困难,需要加强和改进。
锚杆加混凝土护面支护形式是一种比较有效的边坡支护形式,而具体的设计参数需要结合实际的工程情况,确定主要影响因素,以数值分析为手段,通过正交试验等方法进行合理的分析和优化,以便找到安全、经济和合理的设计方案。但在不同的工程情况下,如何确定主要影响因素,以及各因素的影响权重仍是值得工程工作者不断探索的问题。
参考文献
[1]原艳.边坡支护中多种技术措施的综合应用[J].山西建筑,2007,33(5):120-121.
[2]Dawson EM,Roth W H,Drescher A.Slope stability analysis bystrength reduction[J].Geotechnique,1999,49(6):47-48.
二次差分法 篇5
关键词：岩溶地基,稳定性,有限差分法
0引言
我国的岩溶分布比较广泛,几乎占了整个国土面积的1/3。在岩溶地区,由于岩溶的作用,在建筑物或构筑物的地基中分布了大量的地基基础的稳定和变形影响较大的溶洞[1]。在利用岩溶地基作为上部建筑物或构筑物地基基础的持力层时,岩溶地基基础的稳定性就变得非常的关键。在对岩溶地基基础稳定性的评价中,大部分都是在现有自然条件下对岩溶的塌陷进行评价。对于岩溶地基稳定性的评价,当前的评价方法一般可以分为定性和定量评价两种,定性评价主要依靠设计施工者的工程经验,定量的评价主要有理论计算和数值计算两种方法[2,3,4]。数值计算的方法虽然比较繁琐,但精度相对较高。本文拟通过强度折减法与有限差分法数值计算相结合的方法,定量的评价岩溶地基顶板的稳定性。
1岩溶地基稳定性分析评价
在评价岩溶地基的稳定性时,除了考虑岩溶围岩的物理力学性质,还必须了解工程建设场地的岩溶构造发育情况、岩体结构面的特征、溶洞的形态、顶板所承受的荷载及其他可能出现的人为因素等。它们与溶洞围岩的物理力学性质一样,都可以作为岩溶地基稳定性分析评价的重要依据。这些因素中,对于岩溶地基稳定性的影响各不相同。
1.1 岩溶发育情况
岩溶的发育情况不仅包括了围岩岩体的断裂构造、褶皱构造等,还包括了特定的地质及水文地质条件,因为这决定了用于计算的地质概化模型的建立[5]。总体上来说,断裂构造的存在,为水的流通和载荷作用下的滑动提供了条件,它对岩溶地基的稳定性是不利的。它的力学性质、规模、岩体本身的胶结特征、断裂的发育程度等在一定程度上决定了上部构筑物地基的稳定性。张性和扭性断裂不利于地基的稳定性,压性和压扭性断裂对地基的稳定性影响较小。褶皱构造的存在,使得溶洞的围岩内分布了一定的节理,这有利于地下水的活动,对于岩溶地基的稳定性也是不利的。
1.2 结构面和溶洞形态
在进行岩溶地基的稳定性分析时,结构面的性质、成因、空间分布及组合形态,是决定岩溶地基稳定性的重要因素。另外,溶洞的形态对岩溶地基的稳定性影响也较大,溶洞埋藏较深、覆盖层较厚、洞体较小都是对岩溶地基稳定性有利的因素;单体分布的溶洞及圆形溶洞同样有利于岩溶地基的稳定性。因此,在本文中采用最不利的矩形溶洞进行分析。
2岩溶地基稳定性分析方法
2.1 FLAC3D有限差分的基本原理
FLAC3D软件是一种显式有限差分程序,它的优点主要在于时步小于稳定时的临界值,每一时步只需少量的计算。FLAC3D在求解时采用了有限差分、空间离散及动态求解技术。先将分析域离散为由四面体单元组合形成的五面体或六面体单元,在显式时间差分求解中所有的矢量参数(力、速度和位移)均存储在网格节点上,所有的应力及材料特性均存储在单元的中心位置。通过运动方程由应力及外力可求出节点的速度及位移,再由空间导数得出单元应变率,借助于材料的本构关系,由单元应变率可获得单元新的应力。
2.2 强度折减法
强度折减法是Zienkiewicz等在1975年首次在土工弹塑性有限元数值分析中提出了抗剪强度折减系数的概念,它的基本原理是将岩土体的强度参数c,ϕ 同时除以一个折减系数Fs,得到一组新的参数值c′,ϕ′,然后作为新的材料参数代入程序进行计算,通过不断地变化折减系数Fs,直到顶板达到临界破坏,对应的折减系数即为安全系数。
c′=c/Fs (1)
ϕ′=arctan(tanϕ/Fs) (2)
2.3 顶板破坏的判定标准
强度折减法最初是用来进行边坡稳定性分析,它采用的是计算过程中计算不收敛作为破坏标准,也即是在一定的指定收敛标准下不收敛。在这种情况下,在不收敛时土体内的应力一般是不能满足破坏准则和总体平衡的要求的,因此采用不收敛作为破坏标准在物理意义上不是十分明确,这同时也是许多学者至今还对强度折减法持怀疑态度的原因所在。本文拟通过一定的经验和试算工作,采用土体内某一幅值的广义剪应变在土体内的贯通作为土体临近破坏的判定标准,寻找塑性区内潜在的滑移带贯通作为判别标准,其物理意义比较明确,计算图形形象清楚,能很好的作为顶板失稳的判别标准。在求解顶板的安全系数时,采用二分法的优化理论进行优化。
3岩溶地基顶板稳定性分析计算
3.1 基本假定
为了计算的简便,对岩溶地基的溶洞做如下的假定:
1)溶洞在天然状态下是稳定的;
2)溶洞围岩是均质的各向同性的,变形属于小变形;
3)溶洞内的充填物在分析时作为有利因素考虑,所以溶洞在计算时按空溶洞进行计算;
4)溶洞的形状和大小只考虑其现状,形状按长方体考虑,并将小型的群溶洞等效为单跨溶洞考虑。
3.2 计算步骤
基于上面的基本假定,分为以下几个步骤:
1)调查计算工程施工段的地下空区分布,并进行合理的等效;
2)根据地下空区的分布和合理等效建立几何计算模型;
3)计算当前空区地面所承受的荷载大小,包括静荷载和动荷载;
4)进行自重应力作用下的静力场;
5)计算空区顶板安全系数;
6)确定顶板的稳定性。
如果计算出的安全系数不能满足安全需要,需要从第二步开始重复以后的步骤,直到达到给定的安全系数为止。
3.3 计算参数
在计算中,计算力学参数采用下列值进行计算,具体数据如下:围岩重度为20 kN/cm3,弹性模量取18 GPa,泊松比为0.19, 粘聚力取45 kPa,内摩擦角为30°。
3.4 计算模型
以FLAC3D为平台,建立了岩溶地基的分析模型。岩溶围岩的应力应变关系特性考虑为理想弹塑性,采用摩尔—库仑屈服准则。如图1所示,模型在x方向取40 m,y方向取1 m,z方向取20 m。分析模型采用四面体网格,共有单元1 888个,节点3 976个。模型地面和侧面采用反向约束,表面自由。划分单元时,对于不同部位的单元,采用不同的大小,对于应力和位移情况需要了解得比较详细的部位或应力及位移变化比较剧烈的部位,单元应划得小一些,对于次要的部位或应力及位移变化比较平缓的部位,单元就可大一些。在溶洞顶板部位和承受外部荷载的部位,单元最小,在计算区域的边缘部位及底部,单元最大。从重要部位到次要部位,单元由小到大逐渐变化。
4计算结果分析
4.1 溶洞跨度与安全顶板厚度的关系
假定条形基础的荷载为0.5 MPa,顶板安全系数为1.3和1.4时,根据顶板塑性区分布,判断塑性区的分布是否贯通,根据前面定义的顶板破坏准则,得到跨度与顶板厚度的关系,见图2。
通过对图2的分析,随着溶洞跨度的增大,达到相同的安全系数所需要的顶板安全厚度也相应的增大,它们之间满足如下的关系:
Hsaf=aebD (3)
其中,Hsaf为岩溶顶板安全厚度;D为溶洞跨度;a,b均为材料系数,它与岩溶溶洞围岩的物理力学性质及所需要的安全等级有关。在本文中,对于顶板安全系数为1.3和1.4时,它们的取值见表1。
4.2 溶洞顶板厚度与承载力的关系
计算了溶洞跨度为4 m, 条形基础宽度为1 m时的顶板厚度与地基承载力的关系。此时,顶板的安全系数取为1.3。根据上面的顶板稳定的破坏准则,得到了顶板厚度与地基承载力的关系见图3。
通过分析,随着顶板厚度的增大,地基的承载力相应的增大,它们之间满足如下的关系:
P=cedHsaf (4)
其中,c,d均为材料系数,它与岩溶溶洞围岩的物理力学性质及所需要的安全等级有关。本文中它们的取值为:c=0.353 5,d=0.125 2。
4.3 溶洞跨度与承载力的关系
本文计算了顶板厚度为4 m,顶板安全系数为1.3时,不同跨度与地基承载力的关系。同样,采用上面的顶板稳定的破坏准则,得到了顶板厚度为4 m时,溶洞跨度与地基承载力的关系见图4。
通过分析,随着跨度的增大,地基的承载力相应的减小,它们之间满足如下的关系:
P=eD-f (5)
其中,e,f均为材料系数,它与岩溶溶洞围岩的物理力学性质及所需要的安全等级有关。本文中它们的取值为:e=7.720 3,f=0.207 9。
5结语
通过岩溶条件下条形基础地基稳定性的定性和基于有限差分法与强度折减法结合的定量评价,得到了岩溶顶板厚度、溶洞跨度、地基承载力之间的定量关系,计算结果对于指导岩溶地区的岩溶基础设计和施工具有重要的意义。它们之间的关系表明,采用塑性区连通形成潜在滑移通道作为岩溶顶板破坏的判别标准物理意义明确,并且可以在一定的安全系数条件下,求取岩溶顶板破坏的临界厚度;在一定的岩溶顶板厚度条件下,得到作用建筑物后地基基础的安全系数,并且这种与有线差分法相结合的方法还具有节约计算时间的优点。该方法可以为以后的岩溶地区地基稳定性的类似工程提供参考。
参考文献
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二次差分法 篇6
虽然对目标检测的研究过程中有许多问题,但是目前较为流行和比较常用的方法主要有帧间差分法、光流法、背景差法。帧间差分法适用条件是存在很多运动目标和移动的监视器,并且是应用作差分运算对排列的视频图像分析最终得到运动目标轮廓的原理。基本思想是将相邻两帧图像做差分运算,将差值大于某一阈值的部分判为运动目标,其他部分判为背景。三帧差分法的优点是充分考虑了运动像素的时间相关性,融合了多帧图像的像素信息,可用于动态变化的场景,且该方法对运动检测比较灵敏,对随机噪声有很强的抑制作用,但也存在一定的缺陷,如检测到的运动目标会存在多检或者少检。 针对这个缺点,本文提出一种将三侦差分法和相似梯度相组合来进行检测,动态场景的运动目标检测算法的研究是当今图像处理与图像理解领域的一个热门方向, 也是未来视频处理的发展方向,受到当前图像界以及人工智能领域专家的极大重视。
1三帧差法的基本原理
三帧差法的公式的基本步骤是:第一,将相连的三张图片进行平滑去噪处理;第二,对三张图片分别进行帧差法处理,也就是用下一张图片减去上一张,分别用第k帧图片减去第k-1帧图片,再用第k=1帧图片减去第k帧图片,最终得到两个值,即D1(x,y)、D2(x,y) ;第三,将得到的这两个值进行或运算,就会顺其自然的得到我们想要的检测结果了。公式表示为:
2基于相似梯度的边缘连接算法
作为图像最基础的特征,图像边缘囊括了轮廓、位置、集合等相关信息,具体图像内容显现为屋顶变化或是阶跃变化的成像,提供是特征参数来解释图像和识别目标。
2.1边缘检测
边缘检测的基本思想旨在凸显图像的局部边缘,首先确定图像中的边缘强度,建立门限的方法来获取边缘点。本篇文章恰恰利用边缘检测来得到结果的,作为高斯函数的一阶导数,边缘检测器是将信噪比和定位做乘法运算逐渐取最接近算子,笔者认为正确的边缘检测有一下几方面的特征:(1)真实的边缘点上没有出现低概率的标记;(2)获得的边缘点无限接近真实的边缘中心;(3)单个数值很好地适应了边缘响应。
2.2边缘连接
在图像处理中,假如获得的图像优良,并且没有其它音质影响,边缘点最接近中心边缘的,边缘检测最大的优点就真正发挥出来了。可是现实情况也不完全一样,大部分的边缘检测结果不必要对图像进行再次处理。
2.3一种基于相似梯度的边缘连接算法
边缘检测的思想可以用于边缘算法的连接对于这种创新的思路我们可以解决很多问题,需要要用到图像像素的梯度值。
二维函数f(x，y)的一阶导数 ( 也就是梯度 ) 定义的向量形式为 :
该梯度向量的幅值为:
便于计算分析,对于公式(5)进行忽略平方根的方法:
或选择去近似绝对值的方法 :
梯度是在坐标位置的最明显变化方向,在最大变化方向出现的最大角度:
算法的假设思想是把边缘点看作是图像中的某些特殊重要点,在这些特殊的点区域内分析出梯度改变方向及图像像素相同的点,这样就是巧妙的运用上了边缘检测原理。
具体实验的操作过程为:
(1):对特殊点坐标进行变换边缘检测得到图像二值;
(2):赋予一个特殊的二值坐标图C(x,y),并且二值图像C(x,y) 的大小和B(x,y) 相同,并做C(x,y)=B(x,y) 操作;
(3):对二值图像B(x,y) 的的任意一点进行边缘查询,同时对其上下左右的点进行梯度定值分析;
(4):把结果(3)中的所有梯度点进行边缘连接得到最终的结果。
通过对阈值的分析判别进而得到梯度的相似性,首先对一个阈值T进行重新定义赋值重置,根据不同梯度下计算得出的阈值T的大小分析出图像的边缘特性, 梯度值是决定图像相似性的重要因素。
3实验仿真与分析
本文采用的实验平台为奔腾处理器, 1G内存,512M显存的计算机,用matlab R2009a编程实现。实验采用图像均为大小为256× 256的8bits灰度图像。实验分析可知图5是对图3的第13帧图像进行边缘扫描,结果如图5所示。再利用本文方法对边缘检测的结果进行边缘连接,最后边缘检测结果为图6。
对连续的第12、13、14帧图像做三帧差检测,并做过腐蚀和膨胀处理,然后从该结果中分析出边缘最大范围, 接着进行三帧差法连接设置增加边界条件息。
加入边缘分析处理后的检测结果与直接用三帧法的检测结果相比,可以看出目标显得更充实,目标区域的空洞明显减少了,目标显得相对完整,弥补了帧差法检测的区域漏检问题。
4结语
动态场景的视频图像序列的运动目标检测一直是计算机视觉、数字视频与图像处理和模式识别领域中一个重要的基础研究课题, 是目标跟踪识别与目标行为分析和理解的基础环节。随着成像设备的快速发展,计算机性能的迅速提高以及技术系统的无人化趋势发展,动态场景下的运动目标检测在将来的工业、智能交通、空间技术和国防军事等领域有着广阔的应用前景,然而至今仍然存在很多关键的问题尚未解决, 特别是当摄像机运动较复杂时, 如摄像机发生往返运动,摄像机的运动速度较大,或者摄像机运动方向复杂变化等,运动目标的检测将变得更加困难,本文通过角点检测及跟踪确定图像中的角点,再将检测出的角点进行分类以提取出属于目标的角点,最后利用等周分割方法进行初始分割,并结合目标点集的坐标信息在初始分割图像中提取出目标区域。目标角点检测的数量对目标提取的区域定位有重要的影响,属于目标身上的角点越多,定位越准确,提取出的目标越完整。
图2 第 12 帧图像
图3 第 13 帧图像
图4 第 14 帧图像
图5 第 13 帧图像边缘检测
图6 基于相似梯度的边缘连接结果
图7 三帧差法检测结果
二次差分法 篇7
关键词：热场测量,实验法,有限元法,在线仿真
0 引言
机床制造业是国家工业的基础,一般来说,影响机床加工精度的误差主要有:机床几何误差、热变形误差、切削力误差和振动引起的误差等。其中,占机床总误差40% ~ 70% 的热误差,成为影响加工精度的主要因素。采用误差补偿技术能有效地减小机床热误差,建立精确热误差模型是精确补偿的前提,掌握机床主要部件热特性是其第一步,如针对轴承、立柱、主轴等展开热特性测量研究[1,2,3]。现有热特性测量方法主要可分为实验法、有限元模拟法两类。
实验法通过对测试对象有限个测点的温度测量,进而掌握整个测试对象热变形的信息。实验法数据可信度好,但信息量少,且受测量传感器数量及安装位置的限制而得到的信息有限。有限元模拟法基于热有限元模型分析,可以定量地计算出温度分布状态和由此产生的热位移、应力和应变等数据[4,5]。有限元模拟法信息量大,但受有限元分析边界条件、参数设置等不确定性的影响,所得到的数据可信度差,往往只能用于解决定性分析的问题。
针对精密机床主要零部件,综合利用实验法获取测点热场数据的真实性和有限元模拟法获取虚拟热场数据的全局性优势,本文提出一种热特性虚实结合在线实时测量的方法。该方法将实验测量和有限元模拟法两种方法的优点充分结合,力图获得信息量大且数据可信度好的机床热特性测量结果。
1 热测量误差来源分析
虚实结合的方法综合应用了实验法和有限元法两种方法,因此误差也主要源于这两种方法。第一类误差是实验法产生的误差,可以依赖提高测量工具的精度和优化测点[5]来解决。第二类误差是有限元模拟方法产生的误差,其中形状误差和离散误差是有限元法计算误差主要来源,需要在建模阶段通过优化几何模型予以消除。对于有限元中的参数误差,考虑有限元分析中所有的可变参数是不必要且也不现实的,一般选取最主要的几个参数作为影响热场的关键参数,通过改变这些主要参数实现对热有限元分析模型的控制。
通过实验法得到测点数据,通过该数据优化有限元热分析模型的可变参数,进而优化有限元分析的精度。如图1 所示,该图描述了本文的技术路线。
若测点数目为n,在测点处实测温度值为{tiexp},i ∈[1,n]。有限元模型第k次温度分析结果值为{tik}。有限元热模型在满足一定条件下,通过改变有限元热模型的可变参数{λj},j ∈ [1,m],若在测点处满足实测要求,则可以推断整个模型的分析值满足实测要求,且每个测点的温度值是可变参数的因变量,即ti = ti(λ1,λ2,…,λm) ,因此问题转化为求解以下最优化问题:
2 热有限元几何模型优化构建
在有限元几何模型优化构建中,网格划分方法多为根据经验所得。在初始模型的基础上,对分析模型进行更精细的网格划分,比较计算分析结果,若模型具有较大的离散误差,须继续细分网格,直到满足要求。
定义模型的可修性指标:
形状误差= |优化模型的计算误差- 精细模型的计算误差|
离散误差= |优化网格的计算误差- 精密网格的计算误差|
其中,总误差是指主轴系统有限元模型上n个测点温度计算值ti与实验值tiexp的误差:
可修性指标U表明总误差的百分之几可以通过模型参数修正消除。可修性指标较小时,初始模型就无法通过参数修正来改善精度,须重新建模,反之则认为模型得到优化。
3 热有限元模型参数修正
关于有限元模型修正,各国学者进行了广泛的研究[6],一般都是从结构的各种实验计算的残差最小化出发,对不同的修正对象,按照不同的优化目标和约束条件,提出了一系列的有限元模型修正算法[7,8,9,10,11]。本文对于参数误差(如载荷误差、物理性能参数等),通过求解式(1),可以得到优化的可变参数,也即下式成立。
给出的显示形式很难,而要求解式(1)的优化问题,可以采取数值迭代法来求解,则可以得到以下的近似形式:
其中,Hij也可称为热敏感度矩阵,其定义如下:
依据式(4) - (5),可以得到每次迭代中参数的更新值:
接下来重点需要计算式(5)的矩阵。若参数只有两个,则可以如下计算。
若h1= h2= h3= h4= h,则可以简化为:
4 测点布置与实时测量
测点的布置对于实时测量的结果很关键。测点相关性分析方法就是对温度测量点的温度数据进行抽样检测,应用数理统计方法分析测量点间的相关系数 ρ。通过测点相关性的分析,可以精简测点数目,迅速找到有效测点,达到选取最优测点的目的。
相关系数 ρ 的数学定义如下:
上式中S1、S2分别代表第一个变量的标准偏差和第二个变量的标准偏差。N表示测点总数。ρ 的取值范围是- 1 到+ 1。当 ρ = 1,表示两个变量是正线性相关; ρ = - 1,表示两个变量是负线性相关关系。
当有两个以上变量时,那么每一对变量之间都存在着一个相关系数。这时候就要用相关系数矩阵来将这些相关系数按一定顺序排列。由于变量X | Y之间的相关系数,也就是Y | X之间的相关系数,同时变量与自身的相关系数值为1。因此,相关矩阵是所有对角元素为1 的对称矩阵。
5 实例
5. 1 实例一
以某型号的数控磨床立柱热特性分析为例,在温度场分析过程中,由于对流传热系数很难在理论上精确确定。图2 为磨床立柱有限元模型。因此在理论计算的基础上结合经验选取对流传热系数范围为:立柱顶面对流系数 λ1为4 - 8w /,立柱三个侧面对流系数 λ2为1 - 5w /。对流系数的不确定性影响了有限元模型的准确性,因此需要对这两个参数进行修正。
将上述两种热对流系数作为设计变量 λ1,λ2,取立柱顶面与立柱侧面共9 个测点(如图2 所示)的温度场作为分析的对象。为了使模拟结果逼近实验结果,对n个测点某一时刻的温度分析计算值与实验值进行比较,构造目标优化函数为:
将修正后的参数输入ANSYS进行分析,得到的分析结果如图3 所示。
依据上述算法,开发了实时测量平台,程序界面如图4 所示。
将本文算法和响应面算法做对比。分别取三组数据做测试,第一组数据用以测试差分法在不同的初值输入情况下的收敛情况。第二组和第三组数据用以测试被测点温度分别在[- 2,2]和[- 1,1]的范围内变动后,算法执行情况。由数据可知,差分法能取得比响应面法更好的结果。由于热场变化在较短时间内变化不会太大,因此,本方法在各种情况下均能得到较好的结果,如表1 所示。
5. 2 实例二
以某型号的数控磨床主轴热特性分析为例,取10 个测点进行测量,每个测点的实测值与分析值如图5 所示的界面中实时显示,整个主轴的热场分布也可以实时显示。
在热稳态的情况下程序运行4 个小时,由于热稳态,因此实测值在[- 0. 1,0. 1]区间内有微小异动。图6 所示为10 个测点的有限元分析温度值与实测值之间的偏差,可以看到其差别在[- 6% ,6%]之间变动。 图7 为目标函数值的变动情况。可以看到,尽管最终目标值无法收敛到0,但是结果是相当稳定的。该算法单次运行时间在2 分钟以内,完全满足热场参数的更新时间。
6 结束语
与传统的热误差建模方法相比,本文提出的热场实时测量技术具有以下特点:
一是热变形误差建模条件与实际工作条件实时相符。通过实时采集热误差测量结果来进行热误差建模,具有真实性和实时性特点。
二是热误差模型建模可一次完成、多次使用。通过设计有限元分析模型的优化参数化,在机床主体结构没有大改动的情况下,无需经常更改热误差模型,从而无需像传统热误差补偿方法一样需要定期开展热变形误差建模实验。
三是热误差模型适应于同型号的各台机床。传统方法过于依赖实时测量结果,造成由于每一台机床的制造与装配条件均存在差异,即使同一型号的机床其热变形误差模型也不相同。而使用基于有限元模型的方法,只要机床模型的有限元模型一样,就可以开展同类型机床的热误差模型构建。
基于以上几点分析,基于实验法和分析法的热误差测量与补偿方法将优于传统方法,预期本项目的研究将产生极大经济效益。
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