差分能量（通用5篇）
差分能量 篇1
1 引言
随着密码技术的日趋完善和集成电路技术的发展进步, 以银行卡、交通卡、身份证为代表的数据存储密码芯片在电子商务、通信、税收等领域广泛地应用, 同时其安全性也越来越受到人们的关注。
密码芯片的安全性主要体现在密码算法的安全性和与之相关的实现安全性。与利用数学分析法试图寻找加密算法漏洞来实现密码破解的传统攻击方法不同, 旁道攻击方法根据密码算法执行过程中物理器件泄漏的各种系统信息 (运行时间、功耗、电磁辐射等等) , 对与非密码模块的交互、密码算法的实现缺陷以及运行过程中的物理特性进行分析, 弥补了传统攻击方法对密码芯片安全性评估的不足。
在旁道信息中, 由于功耗的可测试性最强、测试功耗的工具最简单、功耗曲线也最适合分析, 使得功耗分析攻击在实际攻击中应用最多。功耗分析攻击的前提是建立功耗与密钥或与密钥紧密相关的数据模型, 本文旨在研究针对AES算法的攻击模型, 通过有效刻画旁道信号的特征模板恢复密钥。
2 理论基础
2.1 功耗与数据相关性模型
微控制器可以被建模成依赖时钟信号触发并在不同状态之间转换的状态机, 其状态和CMOS电路的逻辑门翻转有关, 一定时间内旁道泄漏的数据取决于该时间内从一个状态到另一个状态的翻转数。
汉明重量模型是非常实用的功耗分析模型。汉明重量定义为一个机器字中被置位为1的比特个数, 攻击者只需知道某个状态值的汉明重量, 就可构造功耗与数据间的映射关系。假设当前处理状态是一个定长的机器字D, 即对于m位的数据编码, 其中dj=0or1, 则它的汉明重量为。
2.2 差分能量分析
差分能量分析 (DPA) 攻击的目标是记录密码设备对大量不同数据分组进行加解密操作时的能量迹 (功耗曲线) , 并基于能量迹恢复出密码设备中的密钥。相对于其他攻击方式, 差分能量分析的优势在于:
(1) 攻击者无须知道攻击设备的详细知识;
(2) 即使在加密或解密操作时能量迹受到噪声污染, 也可以完成密钥的恢复;
(3) 攻击仅利用固定时刻功耗与被处理数据之间的依赖关系。
文献[3]归纳出DPA攻击的一般步骤。
1选择密码算法执行的一个中间值, 该值必须是由已知且非常量数据和部分密钥构成的函数输出。
2当设备执行密码算法时, 采集旁道泄露的能量迹。
3根据密钥假设空间中的密钥和明文数据, 计算出相应的中间值。
4建立功耗模型的映射, 实现假设中间值到假设功耗值的转换。
5将假设功耗值和实际能量迹比较结果做统计检验, 以此恢复出密钥。
2.3 模板攻击
模板攻击将密码设备运行时的功耗作为随机变量, 并利用多元正态分布对采集的能量迹特征 (均值和协方差) 进行刻画来构建模板, 再用极大似然判定准则来匹配模板, 由两个阶段组成。
(1) 模板构建
为对攻击设备的特征进行刻画, 攻击者需要对不同的数据和密钥来执行特定的指令序列, 并根据记录的能量迹进行统计分析。设密码算法的密钥空间为K个可能的二进制数Ok, 其中k=1, ..., K (K=2B, B为Ok的比特位数) , 即需要构建的模板总数为K。对某个猜测密钥Ok, 用相同的明文加密N次, 每次采集的样本数为n, 则能量迹集合为
由于各条能量迹统计独立, 且假设密钥与能量迹的随机依赖关系服从高斯分布, 即
式中分别代表用猜测密钥Ok加密的N条能量迹的期望及协方差。当采集到每个密钥对应的N条能量迹集合, 就能以采样值的均值μk和协方差来估计能量迹的期望μk和协方差Σk, 其中
密钥Ok构建的模板则可以用二元组表示。
(2) 模板匹配
将构建好的模板与采集的能量迹进行比较, 根据极大似然判定准则, 匹配概率最大的模板即为匹配最好的模板, 而该模板对应的密钥就是最可能的正确密钥:
3 基于 AES算法的模板攻击
AES是一种基于有限域运算的迭代密码算法 , 有128bits、192bits和256bits三种密钥版本, 不同的密钥版本区别仅仅在于采用了不同的密钥扩展算法和加密轮数。本文以AES-128为例实施攻击。
3.1 模板构建策略
在实际攻击过程中, 为估计能量迹多元正态分布的均值向量和协方差矩阵, 传统基于DPA的模板攻击方法会面临的挑战:1计算复杂度高, 由于协方差矩阵的大小与能量迹样本点的平方成正比, 而样本点往往很多 (>103) , 直接用于模板攻击将导致巨大的计算复杂度;2构建的模板数量众多, AES-128算法的密钥空间为2128, 即需要构建2128个模板。显然, 需要找到针对AES-128的模板构建策略:
(1) 选取特征点
特征点是指能量迹上刻画指令最多信息的样本点。统计分析中, 相关系数能衡量变量之间相关关系的密切程度。DPA攻击可利用能量迹上与密钥有最大相关性的样本点构建特征点分布, 相关系数的计算如下:
式中cov (·, ·) 表示协方差, var (·, ·) 表示方差;T (t) 为能量迹上由采样时刻t对应的能量泄露的采样值, yk表示每条能量迹对应的密钥向量。ρ (t) 值越大, 表明T (t) 与yk越相关, 即此刻刻画密钥操作的信息越精确。
设相关系数阈值为λ, 基于ρ (t) ≥λ选取模板的特征点, 同时忽略能量迹上其他的样本点。由此可见, 以特征点构建的模板: 1大大降低存储空间和计算复杂度;2避免无关采样点干扰模板构建的准确度。
(2) 构建基于S-Box输出的汉明重量模型
AES算法运算单元可划分为线性逻辑和非线性逻辑两大类。线性逻辑单元结构简单, 造成泄露的功耗信息较少; 而在非线性逻辑运算单元中, S-Box对硬件资源的消耗大且运算时间长, 泄漏的功耗信息丰富, 同时AES算法的轮加密需多次使用S-Box。本文选择S- Box作为DPA的中间值。
AES-128的S-Box输入为128bits的明文和轮密钥异或后的值, 以4×4大小的字节矩阵进行字节替换, 这样128bits密钥按字节被划分为16个段, 每段密钥可建立的模板数为28个。
进一步考虑功耗与处理数据间的相关性, 引入汉明重量模型, 实现S-Box输出到功耗值的映射转换。由于数据0x1和数据0x2的MOV操作产生几乎相同的功耗, 因此无需为同一汉明重量的数值构建不同的模板。对于字节输出的中间值, 汉明重量取值范围为[0, 8], 共9个取值可能, 每一段密钥的模板数目可压缩至9个, 所有16段密钥需要建立的模板数目仅为9×16=144, 远远小于2128。
3.2 攻击优化
尽管极大似然准则可以降低式 (4) 的误判风险, 但基于单条能量迹的攻击并不总能成功, 实践中需利用多条能量迹实施攻击。
设实施攻击的能量迹矩阵T的条数为D, 依据贝叶斯定理更新后验概率:
再次应用极大似然准则, 产生最高概率P (Ok| T) 的Ok就是最可能的正确密钥。
计算上, 为避免指数exp (x) 中|x|≥710出现浮点溢出的问题, 针对式 (2) 先引入对数运算, 则式 (2) 等效于:
另外, P (Ok| T) 计算利用迭代法 , 即在计算P (Ok| t'i) 时令先验概率P (Ok) =P (Ok| t'i-1) , 则有P (Ok| T ) =P (Ok| t'D) 。
4 实验结果及分析
实验数据来源于公共数据集, 攻击对象以ATMELAT89S8252为微控制 器的8bits单片机系 统实现AES-128算法, 共采集10000条能量迹。实验以AES-128首轮S-Box输出的首字节为例作为攻击点, 截取包含首字节执行运算指令时的功耗共5000个样本点。
首先以500条能量迹计算相关系数, 并定义阈值为0.85, 共获取17个具有显著区别的特征点分布 , 如图1中△所示。
随后, 以上述17个特征点分布, 对6000条能量迹构建基于汉明重量模型的9个字节模板, 能量迹的特征结果如表1所示。
模板建立后根据式 (6) 实施DPA攻击, 图2给出了P (Ok| T ) 随能量迹数量变化的规律:在第6条攻击能量迹之后, 正确密钥假设的概率已达到1, 且获得的字节密钥 (119) 与实验预期相一致, 可见模板建立后只需很少的能量迹就可以完成攻击, 表明模板构建是有效的。
5 结束语
本文以AES算法的S-Box运算输出作为DPA攻击的中间值, 通过相关系数选取特征点并以此构建基于汉明重量模型的模板, 同时使用贝叶斯定理优化攻击, 大大降低了计算复杂度和模板数量, 最后以公共数据集的实验验证了该方法的有效性。
参考文献
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[2]刘飚, 封化民, 袁征等.一种针对密钥的单比特电磁模板攻击方法[J].电波科学学报, 2012, 6:1213-1218.
[3]Mangard S, Oswald E, Popp T.Power analysis attacks:Revealing the secrets of smart cards[M].Springer, 2008.
[4]Kocher P, Jaffe J, Jun B, et al.Introduction to differential power analysis[J].Journal of Cryptographic Engineering, 2011, 1 (1) :5-27.
[5]罗鹏, 冯登国, 周永彬.功耗分析攻击中的功耗与数据相关性模型[J].通信学报, 2012, Z1:276-281.
[6]http://www.cs.bris.ac.uk/home/eoswald/.
差分能量 篇2
1 考虑一维热传导方程的模型问题
其中φ (0) =φ (1) =0, 记
建立向前Euler格式[1]
建立向后Euler格式[1]
2 差分格式解的先验估计式
记号:
定理1:设为差分格式 (2.1) - (2.3) 的解, 记
当时, 有
证明:对 (2.1) 式两端同乘以h (uik+1+uik) , 并对i求和, 得到
现估计上 (5) 式中每一项
左端第一项
对左端第二项应用引理1[1], 并有
右端项
将上三式代入 (5) 得:
令
因而当r<时,
由 (6) (7) 式得
或
当时, 有
由Gronwall不等式得
由 (7) (8) 式及E0定义得
定理2:设为差分格式 (3.1) - (3.3) 的解, 对任意步长比r都有
证明:对 (3.1) 式两端同乘, 并对i求和, 得到
现估计上式中每一项。
左端第一项
对左端第二项应用引理1[1], 并有
右端项
将上三式代入 (9) 式得或递推出
3 结论
本文用能量法分析了向前Euler格式和向后Euler格式, 我们也可尝试用极值原理方法分析Crank-Nicolson格式和紧差分格式, 研究紧差分格式的外推算法。
摘要：用能量分析法给出了向前Euler格式, 向后Euler格式解的先验估计式, 并给出了证明。
关键词：热传导方程,先验估计式,能量法
参考文献
差分格式的稳定性讨论 篇3
关于差分格式的稳定性讨论
本文在差分格式稳定性的概念的基础上,按照稳定性的.定义来验证某个差分格式,验证差分格式是否稳定,往往比较复杂.讨论稳定性有很多方法,如矩阵方法,离散扰动方法.Hitt呲启示性方法和Fouder方法等等.每个方法各有优劣,本文讨论应用最广泛,也较为方便的Fourier方法.
作 者：李卓识 作者单位：吉林农业大学,吉林,长春,130118刊 名：网络财富英文刊名：INTEMET FORTUNE年，卷(期)：2009“”(23)分类号：G64关键词：差分格式稳定性 Lax等价定理 Foutier方法
差分能量 篇4
信号降噪是信号处理和故障诊断的关键环节, 从试验现场采集的振动信号往往存在多种干扰噪声, 比如随机脉冲、电磁尖峰脉冲、由放大器或传感器引入的尖脉冲等。诸如此类的脉冲干扰往往具有很宽的频带, 造成系统信号与噪声信号在频带上互相混叠而难于区分[1], 因此, 能否有效降低噪声, 提高信噪比, 是进行故障诊断的关键。常用的降噪技术包括时域平均法、自适应滤波、小波降噪和频域特征抽取技术。时域平均法在具体应用时必须有时标信息的支持, 并且需要足够的数据量;自适应滤波和小波降噪方法的降噪效果在很大程度上依赖于滤波器性能的优劣, 不同的滤波器对降噪效果会产生不同的影响;频域特征抽取技术不仅与信号的幅值、频率和相位信息紧密相关, 而且对某些变频信号而言, 根本无法实现成功降噪[2]。
数学形态学是一种新近发展起来的降噪方法, 参考文献[3]引入广义形态滤波器进行振动信号降噪, 但是由于存在结构元素选择的随机性, 降噪性能受到了一定限制。参考文献[4-6]利用集合经验模态分解 (Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD) 对振动信号进行了降噪处理, 但由于在使用EEMD算法时需要确定EEMD的2个参数, 即加入原信号的白噪声的幅值系数K和执行经验模态分解的总次数M。参考文献[7-8]中, 均推荐M取为100, K选择0.01~0.1倍信号的标准偏差, 因此, 该方法存在一定的人为选择因素。
奇异值分解 (Singular Value Decomposition, SVD) 作为一种信号处理方法已被成功应用于信号降噪。但是, 奇异值分解方法在实际应用过程中需解决2个问题, 即重构矩阵的行列数确定和分解后重构矩阵的有效阶次确定问题。对于前一个问题, 根据参考文献[9-11]的结论及多次仿真实验, 已经能够得到降噪效果较好的行列数;对于后一个问题, 参考文献[2, 12]分别提出采用奇异熵增量和阈值法来选择重构阶数, 但这些方法往往依赖于使用者的经验, 降噪效果并不理想。为此, 本文引入奇异值能量差分谱, 根据信号和噪声对奇异值的能量贡献来确定重构阶数, 由此实现信号的降噪。
1 奇异值分解原理
奇异值分解是一种正交化方法, 对于一个实矩阵A∈Rm×n, 不管其行列是否相关, 必定存在正交矩阵U= (u1, u2, …, um) ∈Rm×m和正交矩阵V= (v1, v2, …, vn) ∈Rn×n, 使得
式中:D= (diag (σ1, σ2, …, σq) , 0) 或者其转置, 这取决于m
奇异值分解降噪原理利用了信号与噪声的能量可分性, 对含噪信号构成的矩阵进行分解, 然后保留信号特征奇异值, 对矩阵进行重构, 以达到去除噪声、保留有用信号的目的[13]。
设离散信号x (i) (i=1, 2, …, N) 为观测的时间序列, N为信号采样点数, 基于相空间重构理论构造矩阵A:
式中:1
对含噪信号运用奇异值分解的难点在于如何确定重构相空间的Hankel矩阵的分解阶次和矩阵重构过程中有用奇异值阶次。参考文献[9-11]的结论及多次仿真实验结果表明, 在构造Hankel矩阵时, 如果信号采样点数N为偶数, 取列数n=N/2、行数m=N/2+1来构造Hankel矩阵;如果N为奇数, 取列数n= (N+1) /2、行数m= (N+1) /2来构造Hankel矩阵能取得较好的降噪效果。
在信号重构过程中, 奇异值的有用阶次确定十分关键。当选择较少的奇异值进行信号重构时, 由于降噪阶次较低, 会导致信号中包含的信息不完整, 甚至导致波形畸变, 难以还原出原信号的真实信息;而选择较多的奇异值进行信号重构时, 由于降噪阶次较高, 会导致降噪后的信号中仍然残留一部分噪声, 无法达到降噪的目的。因此, 本文定义了奇异值能量差分谱, 并根据信号和噪声对奇异值的能量贡献来确定奇异值分解后重构矩阵的有效阶数。
根据参考文献[14]可知, 信号能量可表示为
因此, 定义奇异值能量差分谱, 并进行归一化处理:
将所有p (i) (i=1, 2, …, q) 所形成的序列称为奇异值能量差分谱。式 (4) 可以描述相邻奇异值所代表的能量变化情况, 当相邻2个奇异值相差较大时, 能量差分谱必将出现一个峰值。由于有用信号的奇异值能量相对噪声而言所占比重较大, 因此, 在信号与噪声的分界处, 必然会引起较大的峰值波动, 而峰值后的奇异值主要由噪声贡献, 相邻奇异值能量差值较小, 所产生的峰值波动也较平缓, 可以根据最大峰值分界点k来区分有用信号和噪声, k点之前的奇异值所对应的分量即为有用信号, 而k点之后的奇异值所对应的分量即为原信号中所含有的干扰噪声。因此, 在奇异值能量差分谱中找到k点对应的奇异值, 然后将k当做重构信号的阶次, 实现有用信号和噪声的分离。此处需要说明的是, 在参考文献[10]中, 将信号分为包含直流分量和不包含直流分量2种情况, 当信号中包含直流分量时, 奇异值会在差分谱的第一个坐标处发生突变, 此时若以最大峰值位置为标准选择有用信号, 将只会得到信号中的直流分量, 而将交流分量丢弃, 因此, 本文研究的振动信号都是经过去直流分量后剩余的信号。
2 仿真分析
为了验证奇异值分解的降噪效果, 采用如下仿真方程来模拟汽轮发电机组发生不对中故障时的转子振动信号, 同时在原始信号中加入由周期尖峰脉冲干扰和白噪声构成的复合噪声i (t) , 使信号处于复合噪声背景下, 即
设采样频率fs=2 048 Hz, 采样点数N=1 024, 原始含噪信号的时域波形如图1所示。
对含噪信号进行奇异值分解, 图2 (a) 给出了奇异值分布曲线, 图2 (b) 为根据式 (4) 计算得到的奇异值能量差分谱, 为便于观察, 取前100个奇异值进行分析。从图2 (a) 中可看出, 有用信号的奇异值位于前面几个且较大, 而后面的奇异值代表了噪声, 值较小而且变化平缓。图2 (b) 中的尖峰位置对应于图2 (a) 中奇异值发生突变的位置, 即为有用信号与噪声的分界点, 根据奇异值能量差分谱定义, 有用信号和噪声的分界点为k=4处, 因此, 重构阶次取为4, 即取前4个奇异值进行信号重构, 而后面的奇异值取为零。降噪后的信号如图2 (c) 所示, 对比图1可知, 重构后的降噪信号, 尖峰脉冲和白噪声基本被剔除, 说明根据奇异值能量差分谱确定重构阶次的方法是可行的。
为了与其他方式进行比较, 图3为采用EEMD方式和数学形态滤波器进行降噪处理的结果。由图3可知, 采用EEMD方式和数学形态滤波降噪处理后的信号, 在剔除噪声的同时将一部分有用信息一同剔除了, 其降噪效果远不如基于奇异值能量差分谱的奇异值分解降噪方法, 这说明改进后的奇异值分解降噪方法确实能将有用信息和噪声区分开, 在剔除噪声的同时较好地保留了原始信号中有用信号的特征。
3 实例验证
图4为某电厂实测汽轮发电机组振动信号, 转速为3 000r/min, 采样频率为6 400Hz。从图4可看出, 该振动信号由于受到尖峰脉冲和随机噪声的干扰而影响了振动特征的识别。
现采用本文提出方法对该信号进行降噪处理, 以消除信号中的噪声干扰。图5为降噪处理后得到的信号时域波形。为便于对比, 图6给出了形态滤波降噪处理后得到的信号时域波形。对比图5、图6可知, 信号经过奇异值差分谱降噪处理后, 原信号中含有的尖峰脉冲干扰和随机噪声都得到了很好的抑制, 这证明了本文提出方法的可行性和有效性。
4 结语
构造了信号的奇异值能量差分谱, 将能量差分谱曲线中最大峰值点作为重构信号的有效阶次来实现有用信号和噪声的分离, 实现了奇异值分解对信号的自适应降噪预处理。通过对实验结果的分析, 得出了如下结论:
(1) 奇异值能量差分谱有效地解决了重构信号阶次难以确定的难题, 避免了人为因素的干扰, 使奇异值分解方法的应用更为方便。
(2) 奇异值分解可对仿真信号和实测振动信号进行降噪处理, 能较好地区分原信号中的有用成分和噪声, 使有用信号的幅值和初相位得到了保留, 也证明了本文提出方法的可行性和有效性。
差分能量 篇5
滚动轴承是旋转机械设备的重要组成零部件之一，其运行状态的好坏直接关系到旋转设备的运行状态，因此对滚动轴承工作状况进行实时监测和故障诊断的研究越来越受到人们的重视[1]。故障特征提取是故障诊断过程的一个重要环节，同时也是目前制约故障诊断技术发展的主要瓶颈，直接关系到故障诊断的准确率和故障早期预报的可靠性。传统的故障特征提取方法通常是从时域或频域中反映信号的特性，无法同时兼顾信号在时域和频域的局部化特征和全貌。经验模式分解（empirical mode decomposition,EMD）方法[2]可将复杂的多分量信号自适应分解为一系列位于不同频带的本征模态函数（intrinsic mode function,IMF）之和，每一个IMF分量都是具有单一频率成分的波形信号，但EMD算法的频率分辨率有限，对于频率相近的信号，EMD算法很难分离出，会产生模态混叠现象。针对这一问题，文献[3]提出了一种基于微分的经验模式分解（differential-based empirical mode decomposition,DEMD）方法，该方法是对EMD分解算法的改进，在信号进行EMD分解前，对原信号进行微分运算，使信号的能量尽可能地按频率从高到低递减，进而能够有效分辨出不同频率成分，有效抑制模态混叠现象。当轴承发生故障时，故障信号通常以调制的形式出现，因此解调方法就成为了机械故障诊断中一种最为常用的方法[4]，常用的Hilbert变换的包络解调方法存在着误差较大等问题[5]，而Teager提出的能量算子法[6,7,8]具有更高的解调精度，但是，能量算子只适用于单分量的调幅调频信号，而大多数机械故障振动都是多分量的信号，所以一般都是先把信号分解成若干个单分量调幅调频信号，然后进行能量算子解调[9,10,11]。
本文将DEMD和对称差分能量算子解调算法相结合用于振动信号特征的提取，即首先对信号进行DEMD分解，得到若干个本征模态函数分量，然后对每一个分量进行三点对称差分能量算子解调，计算信号的瞬时幅值和瞬时频率，最后利用谱分析得出特征提取结果。
1 微分经验模态分解
DEMD算法在进行EMD处理前先对原始信号进行微分运算，然后再对各阶IMF分量进行积分还原信号。通过对原始信号进行微分，改变了信号中不同频率成分所占比重，增强EMD的频率分解能力，有利于将信号中相近的频率或微弱的高频成分提取出来，进一步改善EMD的模态混叠现象[12]。DEMD算法的步骤如下。
(1）对原信号x0(t）进行一次微分后再进行EMD分解，得到m个IMF分量，利用Hilbert变换解调方法判断分解后的IMF分量是否存在模态混叠现象。
(2）如果存在模态混叠现象，则对一次微分后的信号继续微分，然后进行EMD处理，直到微分n次后得到的xn(t）再进行EMD分解后，得到的m个IMF分量cni(t)(i=1,2，…，m）没有模态混叠现象为止，rn0(t）为分解过程中残余分量。
(3）对各阶IMF分量进行一次积分得
再对各b(n-1)i(t）进行一次EMD分解得
(4)c(n-1)i(t）为原信号x0(t）微分n-1次后的IMF分量，残余分量为
(5）重复步骤（3）～步骤（4），直到n次积分后获得原始信号的各阶IMF分量和残余分量：
信号经过微分处理能够使高频成分在信号中的振幅比重增加，进而使高频成分能量增加。故障信号往往存在高频部分，尤其是故障初期，故障信号的比重很小，很可能淹没于其他信号当中，不利于故障诊断。DEMD分解可以诊断出相对于主信号占比重很小的故障信号的存在，比传统的经验模态分解具有更好的故障识别能力。
2 对称差分能量算子解调方法研究
调频调幅信号
对应的离散信号为
对于信号x(t），能量算子ψ定义为
式（5）中的能量算子针对连续时间信号定义，对于离散时间信号x(n），应用差分代替微分，则能量算子变为
一般来说，调制信号比载波信号变化要慢得多，即。对离散信号x(n）进行非线性算子运算，得
对x(n）的向后差分信号y(n)=x(n)-x(n-1）进行能量算子计算求得ψ（y(n））后，得到信号的幅值a(n）和频率ω（n）的估计值：
传统能量算子解调方法在信号波形光滑度和频率值准确度方面还不尽如人意[13?15]，与Hilbert调制方法一样，瞬时幅值和瞬时频率在端点及突变点产生较大的波动，为此提出了对称差分能量算子解调方法。
对能量算子解调方法改进如下：
首先定义x(n）的差分序列为
为了提高解调结果的准确度，该差分序列就是在原离散信号基础之上进行了平滑处理。则y(n）的差分序列为
将式（10）和式（11）代入式（5）进行能量算子运算，得到改进的算子：
使用传递函数H(z)=z(1+2z1+z2）求解新的能量算子，得到信号x(n）新的幅值和频率估计值：
称该改进方法为对称差分能量算子解调法。
3 仿真分析
无论是能量算子解调还是对称差分能量算子解调，都只适用于单分量的调幅调频信号，而大多数的旋转机械故障振动信号都是多分量的调幅和调频信号，基于此，先采用DEMD方法把一个复杂的信号分解成若干个IMF分量之和，每一个IMF分量都可以是幅度或频率调制的单分量信号，再对每一个IMF分量进行对称差分能量算子解调，得到原始复杂信号的幅值和频率信息。
仿真信号为
仿真信号的波形图见图1，对仿真信号进行DEMD分解，得到图2所示分解结果，对IMF1、IMF2分量分别采用能量算子解调方法提取幅值和频率信息，得到的瞬时幅值和瞬时频率如图3所示。图4所示为采用对称差分能量算子解调法得到的各分量瞬时幅值和瞬时频率。
对比图3、图4可以看出，采用能量算子解调方法得到的瞬时幅值和瞬时频率曲线在两端仍出现波动，而且曲线并不十分光滑，说明在解调过程中产生了误差；经过对称差分能量算子解调得到的瞬时幅值和瞬时频率曲线波动减小，而且曲线波形更加平滑。对得到的信号进行频谱分析，得到包络谱如图5、图6所示，由图5可以看出，在7.816Hz、0.9771Hz和13.68Hz处出现了峰值，这和设定的调幅频率7.5Hz、调幅频率0.5Hz的二倍频和基频15Hz值接近，但是没有提取出调幅调频分量的基频成分（90Hz），由图6a可以看出，采用对称差分能量算子解调后不仅出现了7.816Hz的频率峰值，还出现了89.89Hz的频率峰值，这与调幅频率7.5Hz和基频90Hz接近，误差分别为4.21%和0.12%，图6b中，采用对称差分能量算子解调得到IMF2分量的包络谱在0.9771Hz和14.66Hz出现了峰值，分别与调幅分量的调幅频率0.5Hz的二倍频和基频15Hz值接近，误差为2.29%和2.26%，误差小于能量算子解调得到频率误差。可见，基于DEMD和对称差分能量算子解调算法能够更加准确地提取出振动信号的特征频率。
4 试验研究
本文对美国凯斯西储大学的滚动轴承振动数据进行试验研究及分析，以进一步验证提出的基于DEMD和对称差分能量算子解调方法的有效性。在试验装置中，1.5kW的三相感应电机通过自校准联轴器与1个功率计和1个扭矩传感器相连，最后驱动风机进行运转，电机的负载由风机来调节。将电机轴的轴承作为待测轴承，待测的滚动轴承型号为SKF6205，使用电火花加工技术在轴承上布置了直径为0.1778mm的单点故障。试验中电机的转速n为1750r/min，则转轴基频为29.16Hz，将振动加速度传感器垂直固定在感应电机输出轴支撑轴承上方的机壳上进行数据采集，采样频率为12kHz，经过计算，滚动球轴承的内圈故障特征频率为157.94Hz。采集轴承内圈故障状态下的振动信号，信号时域波形如图7所示，其包络谱如图8所示，图中只在54.69Hz处存在明显谱线，这和计算得到的转轴基频的二倍频（58.32Hz）接近，内圈故障频率和其二倍频均被淹没在其他频率信号中，不能被清晰地提取出来，故需对故障信号进行近一步处理。对原信号进行小波软阈值去噪处理，分解层数取5，阈值规则选择rigrsure规则。对消噪后的信号进行DEMD分解，图9中列出了分解后的前5个IMF分量。
从图9可以看出，由于随着DEMD分解的逐阶进行，各IMF分量的幅值越来越小，作为研究数据的价值越来越小，所以取幅值相对较大的IMF1和IMF2分量作为研究对象，采用能量算子解调法提取前两个IMF分量的瞬时幅值和瞬时频率，进一步进行频谱分析，其包络谱如图10所示。
从图10包络谱中可以看出，在29.3 Hz、58.59Hz、158.2Hz和319.3Hz处出现了峰值，这和计算得到的转轴基频（29.16Hz）、转轴基频的二倍频（58.32 Hz）、内圈故障的频率（157.94Hz）及其二倍频（315.88Hz）的值接近，都在误差允许范围内，但同时也可以看出，图10中存在着虚假干扰频率，并且这些频率的幅值比较大。对分解后前两个IMF分量进行对称差分能量算子解调，进而得到图11所示的包络谱，与图10相比，不仅在计算所得到的转轴基频的二倍频（58.32Hz）、内圈故障的频率（157.94Hz）及其二倍频（315.88Hz）附近出现了峰值，而且峰值频率得到突出，几乎没有虚假干扰频率，其中只有几个幅值相当小的干扰频率，完全不影响故障诊断结果，故障特征更加明显直观。结合图8原始故障信号的包络谱可以看出，采用能量算子解调和对称差分能量算子解调提取出来的特征频率更加接近真实的故障频率，且采用对称差分能量算子解调得到包络幅值在特征频率29.3 Hz、58.59Hz、158.2Hz和319.3Hz处比能量算子解调大，幅值比重增大，更有利于机械故障特征的提取，从而可以明确地判断轴承内圈产生了故障。
可见，将DEMD与对称差分能量算子解调相结合可以较好地完成对于轴承振动信号的处理和故障特征提取，效果优于基于DEMD的能量算子解调方法。
5 结论
(1）针对滚动轴承振动信号的非平稳特性和其周期性冲击特点，提出了基于DEMD和对称差分能量算子解调的滚动轴承故障诊断方法。
(2）该方法采用DEMD方法对故障轴承振动信号进行分解，从而将复杂的多分量信号分解成多个IMF分量，再对包含主要故障信息的IMF分量进行对称差分能量算子解调来提取信号的瞬时幅值和瞬时频率，进一步进行频谱分析，提取出特征频率，并与基于DEMD能量算子解调方法进行比较。对称差分能量算子解调具有解调精度高等特点，其性能要优于常用的Hilbert变换解调和能量算子解调方法。
(3）数值仿真和试验诊断实例的结果表明，基于DEMD和对称差分能量算子解调方法，能够更加准确地提取出振动信号的特征频率，实现轴承故障有效诊断。
摘要：针对机械故障振动信号多为调制信号的特点,为了更好地提取多分量调幅调频信号的幅值和频率信息,提出了基于微分的经验模式分解(DEMD)与对称差分能量算子相结合的解调方法。利用DEMD算法将原始振动信号进行分解,得到若干个单分量信号;对每一个单分量信号进行三点对称差分能量算子解调,得到各单分量信号的瞬时幅值和瞬时频率,并计算出包络谱。将该方法应用于仿真信号和滚动轴承故障信号的诊断,实验结果表明,该方法能有效地提取机械故障信号的故障特征,实现旋转机械故障诊断。