差分分析（精选11篇）
差分分析 篇1
印刷电路板(PCB)作为互联的主要载体,通常是信号完整性问题的多发区域。随着电路设计复杂度的提升,单层PCB已无法满足当今的设计需求,多层PCB设计已成为主流趋势,在多层PCB设计中,位于不同布线层的信号线通常用过孔连接。然而由过孔引起的阻抗不连续及反射严重影响了信号传输质量[2,3]。在传统的制造工艺中,设计人员通过对差分过孔的残桩进行反钻以减小残桩带来的信号完整性问题[4]。但该方法的工艺要求及成本较高。本文在减小信号互联的不连续性的基础上,提出了差分过孔的优化设计,并通过阻抗端接过孔残桩减小其产生的反射。电磁场全波仿真软件HFSS的仿真结果表明,本文提出的优化设计方法能够有效减小差分过孔及其残桩引起的反射,改善信号传输质量,为多层PCB板的设计提供了参考。
1 构建模型
本文建立的差分过孔结构如图1所示,图1(a)为模型的顶视图,左下角为坐标原点,图中坐标的单位均为mil(1 mil=0.025 4);图1(b)为侧视图,各导体层厚度均为1.38 mil。其中,走线、焊盘与残桩所用材料均为铜,除此之外的介质层所用材料均为FR4,相对介电常数ε=4。a层与b层之间定义为信号的发送端Port1,b层与c层之间定义为信号的接收端Port2。
对于结构1,在Port1处加一个幅度为0.5 V、上升边为50 ps的差分阶跃信号,且在发送端做好端接匹配。从Port2处观察到的接收端信号如图2所示,由接收波形的振铃可知该差分过孔存在严重的反射[5,6]。针对差分过孔引起的阻抗不匹配,本文提出了差分过孔的优化设计方法,以减小反射,改善传输信号质量。
2 过孔反焊盘优化设计
本文提出的反焊盘优化设计方案如图3所示,通过增大差分过孔反焊盘的尺寸改变差分过孔的特性阻抗,减小过孔与信号线间的反射。
差分过孔的特性阻抗计算公式如式(1)所示
其中,Zvia为差分过孔的特性阻抗;Lvia为差分过孔的寄生电感;Cvia为差分过孔的寄生电容,这些参数可由电磁仿真软件Q3D进行提取。该优化设计通过增大反焊盘,进而增加了返回信号的返回路径,使寄生电感Lvia值增大,从而增加差分过孔的特性阻抗,减小差分过孔与差分传输线间的反射,提升差分过孔的传输特性。优化后差分过孔的特性阻抗计算公式如式(2)所示
其中,Lpur为传输线的单位长度电感;Cpir为传输线的单位长度电容;x是反焊盘的长度,图3中的其余尺寸与图1相同。该优化结构的频域传输参数S21和反射参数S11如图4所示。与图1参数的对比可知,图3差分过孔的传输参数在整个仿真频段内得到显著的改善。由S11可知,图3中过孔与传输线间的反射明显小于图1中的反射。
3 差分过孔残桩优化设计
从图4中可看出,虽结构2的传输参数在整个仿真频段内相对结构1有改善,但在整个仿真频段内并不是平滑的曲线,在特定频率上产生了谐振。结构2的频域传输参数曲线在11 GHz与14 GHz处发生了谐振。当互联传输线传输相应频率的信号时,接收信号会被严重衰减。该谐振是由差分过孔残桩的全反射引起的[7,8]。
由图1(b)中的结构分析可知,信号从Port1传输向Port2的过程中,当传输到过孔与c层走线的连接处时,由于过孔阻抗和传输线阻抗不匹配,信号在这里会发生反射与透射。一部分透射信号沿着传输线继续传播,另一部分信号被反射沿着传输线向源端传输,而还有一部分信号将沿着残桩传播,并在残桩的终端处发生全发射。反射信号会沿着残桩往回传输,传输到传输线c与过孔的链接处时,一部分信号透射到传输线c中,一部分信号则沿着过孔穿向源端[9]。本文通过对过孔残桩进行阻抗端接,通过吸收过孔残桩传输的信号减小信号在过孔残桩末端的反射,其优化设计如图5所示。
图6为结构2的过孔残桩端接不同的端接阻抗值时,其频域传输参数曲线的变化,端接阻抗值的变化范围是50~150Ω。以0频率点为准,仿真图形由下至上依次对应50~150Ω。图中虚线的仿真结果对应的端接阻抗为120Ω。由图可知,过孔的传输参数随着端接阻抗值的增大而逐渐变得平滑。谐振的峰值则随着阻抗的增大而逐渐减小。从频域曲线可看出,端接阻抗取120~140Ω时结构2在0~7 GHz频段内均表现出较好的传输特性。
图7所示为当Port1处加频率为4 GHz的伪随机码时,接收端Port2处的接收信号眼图的眼高、眼宽、抖动均方值和上升边时间随端接阻抗的变化。由图可知,眼图的眼高随着端接阻抗值的增加持续增加;眼宽随阻抗值的增加无规则的变化,但变动的值<1 ps;上升边随着端接阻抗值的增加持续增加,说明随着端接阻值的增加,信号的上升边延迟逐渐增大,由信号的抖动均方值随端接阻抗的变化可知,端接阻抗为120Ω时,抖动均方值最小。虽然端接120Ω阻抗时的眼高并不是最高的,但此时的眼宽与抖动都表现出了最佳的特性,而眼高可通过在接收端接放大器进行改善。
通过最终得出的眼图可直观的看出结构2的优势。过孔残桩端接阻抗值为120Ω时,结构2的接收信号的眼图如图8(a)所示,结构1过孔被反钻后的接收信号的眼图如图8(b)所示。由图可知,端接后的过孔接收信号眼图在眼宽、抖动值和信号反射方面均得到了良好的改善。
4 结束语
本文提出了差分过孔的优化设计方法,通过改善信号互联的阻抗匹配性,减小差分过孔与传输线间的反射,改善传输信号的质量。通过频域和时域仿真证明了本文提出的优化设计方案可行性,及对差分过孔性能的改善作用。通过增大反焊盘的尺寸,延长了信号的传输路径,增大了差分过孔的特性阻抗,减小了过孔与传输线间的反射。本文通过对差分过孔残桩进行端接,消除了残桩引起的全反射,进而提升传输信号的质量及差分互联结构的稳定性。
参考文献
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北斗沿海差分播发研究 篇2
关键词：航海无线电指向标 差分北斗 RBN-（DBDS+DGPS）
○ 引言
北斗卫星导航系统作为中国自主研发、独立运行的全球卫星导航系统，2012年12月起已覆盖亚太，具备定位、导航、授时以及短报文通信服务能力。目前，我国正在加紧北斗系统的建设，按照系统发展规划，到2020年左右将覆盖全球。
为推动北斗的全球应用发展，在海事应用方面，2013年，中国卫星导航系统管理办公室委托交通运输部海事局牵头启动了北斗国际海事标准化专项，旨在推动北斗卫星导航系统在国际航海中的应用，使其成为全球无线电导航系统（WWRNS）的组成部分，进而形成北斗国际海事应用的标准。
沿海差分服务是北斗系统海事应用的一种重要形式，和现有的RBN-DGPS系统类似，其通过在现有的航海无线电指向标（RBN）载频上（283.5～325.0kHz）播发北斗系统的差分改正信息，用户接收机通过接收此信息作误差修正，从而大大提高定位精度。
由于目前北斗差分应用的相关标准尚未出台，国内外也没有相关专业设备及配套软件，为此，北海航海保障中心从2013年开始进行了相关研究并进行了播发试验，取得了一些积极的成果。
1 RBN-DGPS系统
航海无线电指向标差分全球定位系统（RBN-DGPS）是国际海事组织（IMO）认可的一种全球无线电导航系统（WWRNS）的组成部分，在沿海水域能大大提高船舶的定位精度，在全球范围内获得了广泛应用。其是利用航海无线电指向标播发台播发DGPS修正信息，向用户提供高精度服务的助航系统，属单站伪距差分。其原理如图1所示。
图1 RBN-DGPS系统原理
RBN-DGPS系统主要由基准台、播发台、完善性监控台和监控中心组成。
（3）完善性监控台
完善性监控台由导航GPS接收机、指向标接收机和完善性监控计算机组成。其功能为：监测GPS系统的完善性和播发的差分修正值的正确性，监控基准台；计算并登录系统运行数据的统计结果。
（4）监控中心
监控中心的功能是监测、控制各RBN-DGPS站的工作。
目前，中国RBN-DGPS台站监控中心尚未建设。RBN-DGPS台站的设备主要有以下几部分组成：两台MX9400R基准台、两个MX-50M指向标调制器、一个MX9400N导航仪、一个MX-51R指向标接收机、一个运行完善性监测（IM）程序的PC机和两个指向标发射机。
2 RBN-（DBDS+DBDS）系统设计
由于现有的RBN-DGPS系统基于国际海运事业无线电技术委员会104特委会（RTCM-SC104）制定的GNSS差分信号格式以及完善性监测（RSIM）标准，而北斗系统尚无差分应用的相关标准及设备可用。考虑到不能对现有RBN-DGPS用户产生影响，北斗沿海差分服务必须在现有台站的基础上进行，且需完全兼容现有的RBN-DGPS系统。设计的播发框图如图2所示：
图2 RBN-（DBDS+DGPS）播发框图
RBN-（DBDS+DGPS）系统设计主要包括北斗差分生成软件的研发以及航海无线电指向标差分北斗设备的研制。
2.1 北斗差分生成软件研发
北斗差分生成软件包括的功能如下：
○实时获取基准站接收机的北斗/GPS伪距、载波相位原始观测数据和星历数据，并进行解码；
○基于准确的基准站坐标、星历和观测数据生成伪距差分改正数；
○对伪距差分数据按照RTCM2.X格式进行编码，形成标准二进制播发数据流；
○利用计算机串口向调制解调器播发二进制差分数据流。
北斗/GPS伪距差分改正数生成软件主要由原始数据解码模块、通信模块、北斗/GPS伪距差分改正数生成模块、RTCM格式数据编码模块组成，如图3所示。
图3 北斗/GPS伪距差分改正数生成软件模块组成
通信模块主要功能是连接串口、TCP/IP端口等数据源，获取基准站接收机的原始GNSS观测数据以及由生成的RTCM格式的差分数据向调制器输出。数据解码模块是把数据通信模块获取的GNSS观测数据原始二进制的数据，按照指定的格式解译成需要的观测值和星历信息。改正数生成模块是基于基准站已知高精度坐标和基准站的伪距、载波观测值信息生成伪距改正数。RTCM编码模块是将生成的改正数信息，按照RTCM格式标准生成二进制数据流。开发的软件界面如图4所示。
2.2北斗/GPS RBN基准站接收机研制
北斗/GPS RBN基准站接收机包括如下功能：
○接收机均具备RJ45形式的网络接口，控制中心采用 TCP/IP协议进行通讯，可远程通过TCP/IP访问基准站北斗/GPS接收机，获取实时数据并通过Internet等软件对接收机进行远程设置。
○实现北斗/GPS的卫星数据获取，并通过有线网络、串口等方式将数据发送给北斗/GPS差分生成播发软件。
○基于基准站坐标和原始观测数据，生成北斗/GPS伪距差分改正数，并进行编码发送到串口或者网络接口。
○对北斗/GPS进行观测，记录原始的观测数据。
○通过串口实现对调制解调器和信号调制器的控制和信息读取。
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○读取信号解调器收到的RTCM二进制流、并进行解码，进行伪距差分定位解算获取到精密差定位结果。
○对收到的RTCM改正数和本地收到的卫星信号进行评估。
○以RSIM格式与控制端软件进行信息交互，实时推送基准站接收机和监测站接收机的差分、定位、信号等状态信息。
○通过按键和显示屏对接收机进行网络参数、数据存储等进行设置，显示当前的卫星、定位状态、网络参数等信息。
○应可长期可靠稳定工作，并具有一定的适应性和故障恢复性能，即在通信条件变化时，不影响本机内部数据记录，且网络恢复后，可自动进行网络连接，因此要求接收机具备网络接口和本地串行接口；在因通信、电源等问题中断工作后，恢复时应可按照原定设置自动启动并恢复工作。
○可长期记录观测数据，要求有足够大的内存容量，可长时间不间断地记录观测数据。
○基于信息安全考虑，要求接收机具备访问认证等功能，即通过网络进行数据传输和远程控制时，可通过设置不同安全访问级别，实现对接收机的不同操作。例如：设置管理级、普通级和浏览级三种访问级别，其中管理级用户具备各种能力，可配置接收机各种选项、数据读写等；普通级用户具备数据读写权限，可进行接收机内部数据删除等操作；浏览级用户具备只读权限，不能执行数据删除等操作。
北斗/GPS RBN差分基准站、监测站接收机包括串口模块，北斗天线接口，电源模块，ARM数据处理模块，操作系统，数据存储模块，有线网卡，北斗/GPS/ OEM板等组成，如图5所示。
嵌入式基准站接收机和监测站接收机软件是整个系统功能实现的主要部分，包括通信、数据解码、完善性监测RSIM、差分改正数生成、编码、调制解调器控制、键盘和显示屏交互和控制、伪距差分定位、完备性监测等多个模块，其结构如图6所示。
3播发测试
测试目的：
（1）验证RBN差分系统增加北斗差分信息播发功能后，与原有系统的兼容性；
（2）测试现有终端改造后的北斗/GPS差分定位信号定位精度和可用性；
（3）测试RBN差分系统改造后GPS差分、北斗差分和GPS/北斗联合差分三种模式的定位精度及可用性。
测试方式包括以下三种：
○陆地定点测试
○陆地车载测试
○海上动态测试
在信号覆盖区域周边进行了以上3种测试，定点测试中发现差分北斗、差分GPS定位精度及误差二维分布情况相当，北斗/GPS联合差分定位静态测试平面误差在1m以内的历元占总采样历元的百分比远超过90%，效果更优；动态测试中发现北斗系统的区域增强优势导致其平均可见卫星数较GPS系统多，在遮挡环境下定位误差和稳定性都略优于GPS；海上动态测试发现伪距差分失败的历元占总历元的百分比都维持在很低的水平，北斗、GPS、北斗/GPS依次降低，其中北斗为1.29%，北斗/GPS仅为0.06%，说明该差分系统较为稳健，性能较优。
4 结语
航海无线电指向标差分北斗系统目前正在试运行，从运行情况来看，系统工作稳定，但是由于RTCM的标准中尚未包括北斗差分的电文，为此，要通过多方努力，使得北斗差分电文获得国际组织的认可，并将其纳入到新版的标准中。而本播发试验，仅仅是北斗差分的一种尝试，下一步将进行航海无线电指向标差分北斗/差分GPS的完善性监测软件的开发，完善系统设计，并进行各项应用测试，争取为北斗的国际海事标准化提供有价值的参考。
基于差分法的旅游收入回归分析 篇3
在以往的一些文章中, 不同的作者在样本的选取和多重共线性的消除方面采取了不同的方法。本文分别从旅行社数、星级饭店数、国内旅游人数、过夜旅游者人数、旅游总花费、平均工资及城镇居民家庭人均可支配收入出发, 收集7个主要影响旅游收入的经济数据, 分析它们对旅游收入的影响.而经济数据比一般的数据更为综合, 包含的信息交互性强, 数据间存在多重共线性在模型建立的过程中不可避免, 这将会导致回归模型缺乏稳定性, 统计检验失效, 可靠程度低[1]。因而, 在建模过程中必须充分考虑多重共线性问题, 保证变量间的相互独立。分法是克服这一问题的有效方法之一, 它将原模型变换为差分模型后再进行OLS估计, 得到较为准确的回归模型。
一、模型的建立
(一) 数据的选择与处理
将旅游收入 (亿元) 设为因变量y, 其余因素设为自变量:旅行社数 (个) x1;星级饭店数 (个) x2;国内旅游人数 (万人次) x3;过夜旅游者人数 (万人次) x4;旅游总花费 (亿元) x5;平均工资 (元) x6;城镇居民人均可支配收入 (元) x7。 (数据样本区间选择2000—2009年, 限于篇幅, 原始数据在此略去, 数据来源于《中国统计年鉴2011》)
(二) 模型设定与估计
用SPSS软件计算出变量的相关系数, 可以看出y与x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7高度线性相关, 与实际情况相符。故y与各变量可以作多元线性回归分析, 设理论模型为:
根据所设定的模型, 运用SPSS软件作多元线性回归, 可得表1。
复相关系数R=1.000, 决定系数R2=1.000, 回归方程是高度显著地。F=3701, P=0.000, x1、x2、x3、x4、x5、x6、x7整体上对有高度显著的线性影响。但是从输出结果可以看到x1、x3、x5、x7的方差扩大因子分别为, VIF1=1069, VIF3=5047, VIF5=4650, VIF7=1438全部远远超过了临界值10, 这表明各解释变量间存在严重的多重共线性, 由于多重共线性会影响回归模型的精度和参数估计值的稳定性.因此以上回归分析不能通过统计检验, 需寻求新的方法。
(三) 差分法的引入
为了避免多重共线性, 又由于回归模型中的所有解释变量均为时间序列资料, 所以, 对每一个解释变量作一次差分变换。
原模型中的因变量和自变量在期与期的一阶差分恰好表示了旅游收入逐年增加量和7个经济因素逐年增加量。以下就对旅游收入逐年增加量和各主要经济因素逐年增加量Δx1t, …, Δx6t, Δx7t进行线性回归分析.用SPSS计算:
Δyt与Δx2t的相关系数为0.142, 和Δyt与其他变量的系数比较而言小很多, 故星级饭店数的增加对旅游收入增加量影响很小, 剔除后重新计算:
复相关系数R=0.999, 决定系数R2=0.999, 回归方程是高度显著的.F=256, P=0.004, 也说明方程是显著的。Δx1t、Δx3t、Δx4t、Δx5t、Δx6t、Δx7t整体上对Δyt有高度显著的线性影响。
这里Δx3t的系数为负显然不合理, 原因可能是由于自变量之间的多重共线性。Δx3t、Δx4t、Δx6t、Δx7t的方差扩大因子分别为:VIF3=25.295, VIF4=24.645, VIF6=12.522, VIF7=15.630都超过了临界值, 说明回归方程存在多重共线性。从相关系数矩阵可以看到Δx1tΔx7t的相关系数高达0.747, 且在的显著性水平下系数显著性不能通过 (t值=3.240, P值=0.084) , 剔除Δx1t, 进一步计算可得VIF3=14.348, VIF4=12.783, 均大于, 且Δx4t的显著性检验不能通过 (t值=3.990, P值=0.984) , 剔除, 再用SPSS诊断。
按照相同的方法, 可进一步剔除Δx5tΔx7t, 从输出结果来看 (表2) , 剩下两个变量的回归系数检验的结果都是显著的, 所得模型显著性检验F统计量的P值为0.026, 也是显著的.VIF3=1.308, VIF6=1.308, 都远小于临界值, 说明模型中不存在共线性。
最终可得回归方程:
二、模型的相关检验
(一) 残差正态性检验
从图1中可以观察到, 模型残差直方图与正态曲线相吻合, 故模型通过残差正态性检验。
(二) 异方差检验
用SPSS软件得到未标准化残差绝对值和国内旅游人数、平均工资等级相关系数的分别为、, 都远远大于.故可排除存在异方差.
(三) 自相关性的检验
从输出结果得到DW=1.296, n=9, k=2, 查表可知所得模型不存在自相关[2]。
三、结论与讨论
综上, 我们得到两个对旅游收入增加量影响较为显著的经济因素, 即旅游人数增加量和平均工资增加量, 这与实际情况相符。随着经济的发展, 平均工资不断提高, 人们用于旅游上的消费也越来越高, 这也使得国内旅游收入进一步的增加。中国旅游研究院发布的2011年上半年旅游经济运行中显示, 2011上半年, 我国旅游经济保持平稳较快发展势头, 国民旅游市场快速增长, 旅游产业景气持续提升。预计上半年国内旅游人数为13.3亿人次, 同比增长12.6%;国内旅游收入为9 300亿元, 同比增长23%。报告预计, 今年国内旅游人数为25.5亿人次, 比年初目标增加2.5亿人次, 同比增长12%;国内旅游收入为1.9万亿元, 比年初目标增加5 000亿元[4]。通过以上分析可知, 所知模型较为合理。
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波动方程的差分反演模型 篇4
波动方程的差分反演模型
为了反演波动方程的系数函数,利用差分离散及扰动假设,推导出一个适合迭代的数值模型.解决了以往方法中正反演模型数值精度不一致问题,以及由此带来的一系列问题.经数值模拟计算说明,该方法是可行的.和有效的.
作 者：王德明 WANG De-ming 作者单位：哈尔滨工业大学数学系,哈尔滨,150001刊 名：应用数学和力学 ISTIC PKU英文刊名：APPLIED MATHEMATICS AND MECHANICS年，卷(期)：29(3)分类号：O241.8关键词：反问题 波动方程 扰动迭代
差分分析 篇5
关键词：高中数学；数列；差分；专题教学；研究
中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2015）04-068-01
高中阶段的数学教学过程中，尤其是“数列与差分”专题教学，可帮助学生有效解决现实生活中的一些问题，实用价值非常的大。
1. 数列与差分关系分析
第一，数列是描述世界客观事物的数学模型。数列是定义在自然数集上的特殊函数，对客观存在的各种离散变量进行描述。实践中可以看到，客观存在的很多变量本身都表现出一定的离散性，比如细胞分裂、股市等，均具有函数关系的离散性特点。同时，还存在着很多连续函数关系，无法用解析式对其进行表示，比如河流的水位变化等，只能通过测得相应数值来得到数列。在不影响研究结果的情况下，为了更加方便分析研究，通常将对连续函数的研究有效地转化成对数列的研究。
第二，差分是对数列变化进行描述的一种工具。比如，△an=an+1.其中，an 代表{an}这一数列中的第n项一阶差分，并将“△”称作差分算子，此时有△（△an）=△2；an=△an+1；其中△an代表{an}这一数列的第n项二阶差分。对于二阶差分△2an而言，其中的2代表差分两次运算。{an}这一竖列的二阶差分，构成了一个新的数列，即{△2an}。事实上，高中数学数列与差分之间存在着一定的关联性，具体表现在以下几个方面：当{an}={2，2，2，2，2}时，一阶差分△an为{0，0，0，0}；此时数列的一阶差分为各项是零的常数列；再如，当{an}={3n-5}时，即{an}={-2，1，4，7，10，13，16，19}；一阶差分△an为常数列 {3，3，3，3，3，3，3}，通项an=3n-5（线性函数）。当{an}这一数列是由线性函数定义的等差数列时，一阶差分即为常数列；当{an}= {n2-3n+5}= {3，3，5，9，15，23}时，一阶差分为{0，2，4，6，8}，二阶差分为{2，2，2，2}，通项an=n2-3n+5（二次函数）。当{an}这一数列由二次函数定义时，二阶差分为常数列。若将上述由二次函数、线性函数或者指数函数定义的不同阶差分结论作为定理，则这些结论对基于数列的一阶和二阶差分，对研究数列遵循变化情况、数列通项，意义重大。
2. 高中数学“数列与差分”教学策略
本文以待定系数法求解差分方程为例，对如何进行数列与差分教学深入分析。所谓待定系数法求解差分方程、常微分方程思想，可以对比分析；在非齐次线性差分方程求解过程中，采用待定系数法应用效果也非常的好。从应用实践来看，采用待定系数法对差分方程进行求解，主要是基于方程自身的特点，设一般模式，然后再根据相关条件，确定解之后将其代入方程之中，从而求得待定系数。比如，当K≠1时，一阶非齐次差分方程可表示为xn+1=kxn+b①，此时得到一个特定解，即xn=A；将xn=A代入公式①中，则可得A=kA+b，A=b/（1-k），此时xn=b/（1-k），一阶非齐次差分方程通解：xn=knc+ b/（1-k），（其中c代表任意常数）；当k=1时，xn+1=xn+b的一阶差分是一个常数，设xn=An特解，然后将其代入原方程之中，此时A（n+1）=An+b，即A=b；xn=bn；方程①的通解：xn=knc+ bn=c+bn（其中，c代表任意常数）。以下可通过具体的例子来说明上述理论分析。
例1：某教室内的座位布设过程中，如果每后一排均比前一排插座数量多出2个，而且已知首排插座数量为30，求以下四个问题的解。
①用yn表示n排插座的数量，试求yn与yn+1的关系；
②试求第九排插座的数量是多少？
③以Sn来表示第n排之前插座的总数，试求Sn与Sn+1的关系？
④若该教室共有20排插座，试问可以同时坐多少个学生？
解：①yn+1=yn+2；其中n=1，2… ②从题目中可知，k=1，b=2，此时yn=2n+c，（其中c代表任意常数）；已知y1=30，则可求出c=28，此时的特解方程为yn=2n+28，即y9=46；③Sn+1=Sn+yn+1= Sn+2（n+1）+28，此时Sn+1= Sn+30，n=1，2… ④通过③可以得到Sn+1-Sn= 2n+30，即Sn=2n+30，此时可得到数列Sn一阶差分表达式二次函数，将这一二次函数设为：Sn=An2+Bn+C，可得Sn= A（n+1）2+B（n+1）+C- An2-Bn-C=2An+A+B=2n+30；A=1，B=29，结合条件可得y1=30=S1，30=A+B+C， Sn=n2+29n，n=1，2… 由此可得S20=980.
3. 结语
总而言之，数学这门学科的实用性非常的强，将数列与差分教学纳入新课改下的高中数学教学过程之中，既是课程改革和教学的需求，又是学科发展的必然，因此应当重视和不断创新教学模式，只有这样才能提高教学质量和效率。
[参考文献]
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[2] 李昌官.高中数学“导研式教学”研究与实践[J].课程、教材、教
差分故障攻击在密码分析中的应用 篇6
伴随着计算机的普及和网络技术的飞速发展, 计算机安全也越来越成为不能忽视的问题。如何实现安全存储、安全处理、安全传输成为保障信息安全的重要课题, 对于现代社会具有重要意义。为了提高信息安全性, 产生了很多实用的方法, 其中利用现代密码对信息进行加密就是一种重要的方法。如何利用密码设计技术设计一种实用、高效的密码方案, 成为信息安全工作的重要环节。与密码设计技术的发展相对应, 密码分析技术也在近几年取得巨大进步, 产生了大量密码分析方法。这些分析方法能够发现现有密码体制存在的安全漏洞, 通过对密码算法的攻击, 提醒密码设计者去弥补这些漏洞, 并提出对密码方案新的要求, 从而推动密码设计技术的发展。差分故障攻击就是其中比较成功的一种分析方法。本文主要介绍差分故障攻击的一般方法和流程, 以及模拟方法和结论。
1 差分故障攻击介绍
差分故障攻击的方法首先是在公钥密码研究中提出来的, 但却是伴随着分组密码的应用而迅速发展的。分组密码以其结构简单, 安全性高, 理论成熟, 无论从硬件实现还是技术基础方面都具有优势, 在目前的网络技术中依然得到广泛的应用, 并且成为密码学研究的热点课题。差分故障分析在对分组密码分析中有着天然的优势, 因而也获得了巨大发展。
差分故障攻击的思想来源于1996年Bell通信实验室的三位学者对基于CRT实现RSA签名算法的故障攻击。在CRYPTO1997上, Biham和Shamir发现了它的潜力和价值, 将故障攻击的思想引入了分组密码, 并成功的攻击了经典分组密码算法DES。为差分故障攻击的发展打开了大门。差分故障攻击源于差分密码分析, 本质上是将密码方案看作一个数学函数, 通过人工导入的故障差分, 得到输出密文与加密密钥之间的联系, 重复进行故障导入, 最终得到密钥信息, 实现对密码的破译。
差分故障攻击实现的过程, 是通过外界手段, 诱导计算机内部发生瞬时故障, 这个故障如果参与了加密过程中, 就是我们所需的输入差分。故障诱导的方法通常有电磁干扰、电压跳变、温度突变等方法, 故障类型通常有比特故障、字节故障和多字节故障的等。随着现代技术的发展, 故障精确导入已成为现实, 故障位置和故障类型都可以控制, 我们只关注故障的应用, 故障导入这一点不作为本文主要内容。
2 差分故障攻击基本方法
下面以分组密码为例, 解释差分故障攻击的方法。
按照现代密码的要求, 密码方案的算法细节是应当被公开的, 密码的安全性完全取决于密钥的保护, 因此, 只要分析出加密主密钥, 就可以攻破密码方案。经典的分组密码通常包括两个重要的组件:S盒和P层。具体分析这两个组件的特性可以发现, S盒是一个非线性组件, 它的输入差分和输出差分之间存在一对多或多对一的非线性关系, 这给我们分析带来可能;而P层为故障差分提供的高效率扩散, 可以分析多个字节信息, 提高了分析的效率。
故障攻击首先要进行合理的假设:
(1) 攻击者拥有权限选择任意一个明文P并采用具体的密码方案进行加密, 得到正确密文C;
(2) 攻击者还能够选择同一组明文P, 在加密过程中某一个位置导入合适类型的随机故障, 当然, 故障的数值是未知的, 得到相应的错误密文C*;
得到了正误密文之后, 就可以得到输出差分.差分故障分析的理论基础, 是利用了下面的公式:
其中, a是S盒中原来的字节, f1为输入差分, f2为输出差分。这样通过已知的输出差分f2和经过对密码函数性质研究得到的输入差分f1 , 利用S盒的非线性性质, 即可推出a的候选值或候选区间。所以分析的关键步骤在于分析具体的密码函数特性, 得到f1的获取方法。不同密码方案, 分析的方法也有细微的不同。根本人之前研究的内容来看, 针对SPN结构密码, 通常通过构造S盒区分器, 例如攻击KLEIN密码;针对Feistel结构密码, 则通过对比不同位置输出差分值, 例如攻击LBLOCK密码。
当我们得到了a的值之后, 通常先对最后一轮加密进行分析, 由于大多数密码最后一轮是子密钥加的过程, 通过以下公式, 可以实现分析:
其中, NAri代表第r轮加密中a的第i个字节数据, NAri代表第r轮加密中子密钥Kr的第i个字节数据, NAri代表第r轮加密后输出Yr的第i个字节数据。式中, NAri是唯一的未知信息, 因而可以被唯一确定。
通过在不同位置多次诱导故障, 可以恢复子密钥的全部信息。经过一轮解密, 同样的方法可以再恢复上一轮的子密钥。这样可以得到多轮子密钥, 再续结合密码的密钥扩展算法, 最终可以逆推出主密钥, 实现对密码算法的攻击。
3 模拟及结果分析
密码方案通常把各组件分开设计, 最终, 再以密码函数将各部分组件整合, 这样, 通过C语言编程可以方便的实现密码方案的模拟, 先分别对各部分组件进行编译, 而后编写主函数。故障导入的过程是通过系统产生随机数的方法, 加入到加密过程中具体的位置。这样通过模拟出密码加密过程, 进一步可以实现密钥恢复, 通过多次循环, 最终得到密钥全部信息。统计恢复一个子密钥信息所需故障个数和恢复全部主密钥信息所需的故障个数, 并结合模拟结果对攻击效率进行评估。
差分故障攻击为攻击者提供了大量的新方法, 并有很大的创新空间。导入故障类型的不同和选取攻击方法的不同, 甚至是采用模拟软件不同, 攻击的结果都不尽相同。比较结果的好坏可以显示出攻击方法的优劣。
以上文中本人已经完成的两个密码方案为例, 实验模拟的结果分别如下:
在KLEIN密码分析过程中, 在各个字节处导入1bit的随机故障, 以高概率平均经过少量几次导入之后, 可以恢复出主密钥。
在BLOCK密码分析过程中, 采用的故障模型是单字节故障, 并攻击一轮扩散, 两次故障以内以高概率恢复成功。
4 结语
通过这两种密码方案的攻击过程, 可以得出, 这两种密码方案对差分故障攻击是不免疫的。除此之外, 很多密码方案都可以用差分故障攻击进行分析, 这证明了差分故障分析的方法在密码分析中是具有现实意义的方法, 同时也给密码设计提出了新要求, 设计抗差分故障攻击的密码方案变得非常有必要。
参考文献
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差分分析 篇7
关键词：边坡稳定,强度折减法,有限差分
0 引言
公路路线经过的地段常遇到土质条件较差而填挖高度又较大的情况。这种情况下,开挖或填筑之后的边坡的稳定性是工程设计者需要重点考虑的问题。影响边坡稳定性的因素很多,除土质条件等自身原因之外,降雨常常导致边坡土壤含水量增加,土颗粒之间的粘结力减弱,常常导致边坡失稳。一般工程中对于边坡稳定安全系数较低的路段边坡提前采取加固措施。而土层锚杆加混凝土护面是常采用的一种加固方式。
对于复杂的工程问题,寻找解析解常常是很难的。工程中锚杆等加固措施的采用,使计算内容涉及土与结构的相互作用,更加直观而有效的求解方法应该是采用数值方法。本文就某公路高路堑开挖段的边坡支护效果进行了数值分析。
与常用的有限元方法不同,有限差分方法(FDM)是将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以某种形式进行展开,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商来近似代替,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比较成熟的数值方法。这方面比较成熟的软件是美国Itasca公司开发的FLAC3D(Fast Lagrangian Analysis of Continua)。FLAC3D是一个三维有限差分程序,能够进行土体、岩石和其他材料的三维结构受力分析。FLAC3D采用的显式拉格朗日算法和混合—离散分区技术能够非常准确的模拟材料塑性破坏和流动。由于无须形成刚度矩阵,因此基于较小内存空间就能够求解大的三维问题。
1 工程实例分析
1.1 工程概况
某公路路堑开挖段,边坡高度12.1 m,竖向土质大致分两层,土层特性见表1。设计边坡坡度为H∶B=1.25∶1,边坡较陡。因此,此处边坡采用了锚杆加混凝土护面的方式进行加固。锚杆采用Ⅱ级钢筋,喷面混凝土标号为C25。上层锚杆距岩土体顶面4 m,锚杆之间的竖向和横向间排距都是3 m,锚杆长度7 m,锚杆倾角为15°。
路堑上方土体类型有一定的差异性,因此近似处理为两层,材料参数见表1。
1.2 分析过程
先用FLAC3D分析边坡未支护前自身的稳定性。通过建模,赋予模型材料特性,建立边界条件,施加自重应力并进行计算,得到如图1所示的边坡位移云图。图中边坡左侧区域部分是位移变形较大的部位,极易出现沿图中弧线的滑动,位移最大值达9.2 cm,因此有必要进行支护。
在FLAC3D中通过Cable单元来模拟锚杆,可以分别设置锚杆的弹性模量、抗拉强度、锚固段长度等参数。而混凝土护面可以通过Liner单元来进行模拟,Liner除具有壳单元的性能外,还可以考虑与周围土体网格之间的切向作用,法向方向可以承受拉压作用。
沿土坡的纵向取6 m为一计算单元,其中布置有竖向两列锚杆。先求解安装锚杆前的原始应力状态,之后安装第一排锚杆,此时进行求解,应力重新分布,再安装第二排锚杆并施加预紧力,再次进行计算,求得最后的应力场和位移场。通过计算发现,施加锚杆和混凝土喷面后的坡体的变形明显得到限制。计算后得到,支护后坡体的位移场如图2所示。其中前侧颜色较浅部位是安装了锚杆的部位,位移最大值1.75 cm,和其后方的土体暂时未安装锚杆,但由于临近锚杆的影响位移最大值也减小到2.1 cm。
另外一个能反应边坡稳定性的参数是剪切应变率。通过FLAC3D的计算得到支护前边坡剪切应变率分布云图如图3所示,可以看到潜在滑动面的分布情况,以及剪切应变趋势相反的两个区域。图4给出的是锚杆之后后边坡的剪切应变率分布图。可以看出具有较大剪切应变率的范围明显缩小。
在边坡稳定性分析中,用来判断边坡稳定系数的一种常用方法是采用强度折减法。对于采用摩尔—库伦计算模型的情况,就是将土体的强度参数粘结力c、内摩擦角除以一个折减系数f,将折减后的参数赋予计算模型重新计算,直到模型出现塑性破坏,此时的折减系数就是结构的安全系数。FLAC3D可以自动进行基于强度折减的计算来确定安全系数fos。通过本实例的分析,算得支护后结构的安全系数为1.62,能够满足安全使用的需要。
综上分析,所采用的锚杆加混凝土喷面支护起到了比较满意的支护效果,边坡变形得到很好的控制。
2结语
FLAC3D利用显式快速拉格朗日有限差分法对岩土工程问题进行计算,可以很好的模拟岩土体的位移和应力分布情况。可以对支护方案提出优化,设计合理的锚杆锚固角度、锚杆长度及锚杆间排距等参数。通过多方案的比选可以提出最优化的设计方案。
FLAC3D由于操作界面不具有很好的易用性,绝大部分操作要由命令来完成,增加了掌握这一软件的难度,另外前处理建模能力相对较弱,对复杂模型的建立很困难,需要加强和改进。
锚杆加混凝土护面支护形式是一种比较有效的边坡支护形式,而具体的设计参数需要结合实际的工程情况,确定主要影响因素,以数值分析为手段,通过正交试验等方法进行合理的分析和优化,以便找到安全、经济和合理的设计方案。但在不同的工程情况下,如何确定主要影响因素,以及各因素的影响权重仍是值得工程工作者不断探索的问题。
参考文献
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差分分析 篇8
密码技术是保障数字电视产业界及其运营商健康、迅速稳健发展的基石[1]。目前数字电视机顶盒[2]芯片的硬件安全水平良莠不齐。现代攻击技术多采用价格低廉的非侵入式攻击来提取机顶盒中的配对密钥。其中差分功耗分析技术是目前应用最广泛,技术发展最成熟的非侵入式攻击技术。该技术通过测量芯片在加密和解密控制字的过程中所泄露的功耗变化信息来获取密钥。如图1所示为采用差分功耗分析技术来提取配对密钥,进而实现控制字共享的原理图。
2 差分功耗分析攻击技术及原理
早在1998年6月,Kocher等人[3]就提出了基于智能卡微处理器的功耗分析攻击技术。随后,国内外的相关专家学者对该方法进行了一系列的研究。随着信息安全攻击技术以及大规模集成电路的发展,功耗分析的攻击方向已经逐渐从软件向硬件、集成电路方向转移。而现代数字机顶盒大都是采用专用集成电路(ASIC)方式来实现的。因此,研究ASIC密码芯片的抗攻击能力对于提高数字电视机顶盒芯片的安全性十分重要。到目前为止,有关ASIC密码芯片的差分功耗攻击报道较少[4]。刘鸣等人提出了一个适用于研究功耗分析及抗分析的理论研究平台[5],但是该平台自动化程度不高,仿真精度也不够。本文在文献[5]提出的功耗分析研究平台基础上,对其进行了改进。此外,还基于该平台设计了DES密码电路,并进行了差分功耗分析研究。
对于现代密码设备来说,大部分是以半导体逻辑门为基本单元构建的。其中CMOS逻辑门是使用最为广泛的一种,由互补型的上拉PMOS和下拉NMOS晶体管电路组成的,功耗模型可以表示为
式中:Pslat为静态功耗,即漏电流导致的功耗。在CMOS元件没有任何转换活动时,电源和地之间仍然存在少量的漏电流,可将其近似为0。Pdyn为动态功耗,只发生在逻辑门翻转时刻,由瞬时短路电流功耗和输出电容充电功耗组成。从本质上来说,密码设备处理不同数据所对应的功耗,主要表现为内部逻辑门电路翻转所产生的功耗。差分功耗分析则主要通过探测电路内部逻辑门翻转导致的功耗泄露,进而获取到密钥等隐秘信息。以CMOS反相器为例,当输入电压为高电平时,NMOS管导通,PMOS管截止,输出为低电平;当输入电压为低电平时,NMOS管截止,PMOS管导通,输出为高电平。图2给出了基于HSPICE仿真的CMOS反相器功耗图,其中横坐标表示时间,纵坐标表示反相器总的功率消耗。从图中可以看出来反相器在未发生翻转时,功耗接近于0,翻转时刻功耗迅速增加(图2中的电流尖峰位置)。因此,攻击者可以通过分析电路的功耗特征来推断逻辑门是否发生翻转,进而推测电路内部的数据运行状态。
对DES密码电路实施差分功耗分析攻击,首先需要N个随机明文输入PTI。对每个明文输入PTIi(1≤i≤N)执行密码运算过程中所泄露的功耗信息进行离散采样,采集到的功耗记为Si[j](j为采样时间点),相应的密文输出为CTOi。定义一个与密钥及已知非常量数据密切相关的区分函数,记为D(·),依据D值,可以将采集到的功耗信息Si[j]分成以下2个集合
对集合S0和集合S1中的功耗信号分别求平均值
式中:|S0|和|S1|分别表示集合S0和集合S1中的元素个数,且|S0|+|S1|N。将上述2个平均值相减,可以得到DPA偏差信号
如果猜测密钥正确,则T[j]中会出现明显的偏差尖峰。反之,猜测密钥错误。
3 功耗分析仿真研究平台设计
对于ASIC密码芯片来说,除了遵从一般ASIC芯片的设计流程之外,还需要对其安全性进行验证。其中,安全性验证主要体现为对芯片的抗功耗分析能力的验证。虽然生产后的安全性测试可以对其抗功耗分析能力进行验证,但是这并不能有效降低芯片的生产风险。尤其是芯片从设计、生产到测试验证本来就需要耗费一定的时间和资源,这给密码芯片的生产研制流程提出了更高的要求。因此,在生产前利用软件平台对芯片的安全性进行验证,生产后再通过相应的硬件平台验证,可以大大降低密码芯片的生产风险。本文立足目前主流的EDA工具,参考一般IC设计流程,开发了一个功耗分析仿真研究平台。图3所示为平台流程图。
与文献[5]中提出的功耗分析研究平台相比,本平台在以下两个方面进行了改进:
1)自动化程度
利用本平台进行功耗分析仿真研究时,无需额外设计转换程序等,只要按照图2给出的相应软件进行各阶段设计,即可完成功耗分析能力验证。
2)仿真速度及精度
本平台采用XA和Hspice软件进行电路仿真,该部分是本平台的核心。这2个软件均为Synopsys公司的电路仿真工具。其中,Hspice是业界精确电路仿真领域的“黄金标准”,其提供了一流的仿真及分析算法,并使用经晶圆厂认证过的MOS器件模型进行仿真。XA是一种易于上手的快速仿真工具,具有嵌入式仿真智能,能自动识别器件、拓扑和层级,并部署最高效的技术,以达到对任何设计类型的精确仿真。此外,该工具支持Hspice器件模型输入以及Hspice网表仿真,可以直接使用Hspice网表在XA中运行仿真。当set＿sim＿level为7时,采用XA仿真即可达到Hspice的仿真精度。对于本文设计的DES密码电路来说,采用Hspice进行一次功耗采集大约需要30～40 min,而采用XA仅仅需要2～3 min。基于以上分析,Hspice通常用于芯片内部分电路的精确仿真(如S盒),而XA通常用于对整个芯片的电路仿真。
4 基于DES密码电路的差分功耗分析
依据以上提出的功耗分析仿真研究平台,本文设计了一个DES密码电路,并对其进行差分功耗分析研究。如图4所示为DES密码算法的原理图。图中还给出了实施差分功耗分析攻击时所选取的区分函数D。由于本文所实施的仅为一般差分功耗分析攻击,这里将图中S盒输出中的某一位作为区分函数D。
为了方便研究,本文忽略初始置换及其逆置换步骤。因为这2个阶段对差分功耗分析没有影响。本文是基于0.18μm的CMOS工艺库来设计DES密码电路的,并采集了分别加密200组随机明文时产生的功耗信息。这里选取第1轮加密运算时S1盒输出的第1位为选择函数D,对输入S1盒的前6 bit子密钥进行猜测。依据差分功耗分析原理,对采集到的功耗图进行处理,可以得到实验结果见图5。图中,横坐标表示时间,纵坐标表示DES密码电路所获取的电源电流。此外,正确密钥对应的功耗曲线是用黑色绘制的,其余是用灰色绘制的。从图中可以找到最明显的偏差尖峰位置(画圈部分),即猜测密钥正确。剩余的42位子密钥可以通过同样的方法获得。
5 结论
本文开发了一个功耗分析仿真平台,并基于该平台对设计的DES密码电路进行了差分功耗分析。本文的研究工作提高了对相关密码芯片进行生产前安全性检测的效率,为数字电视机顶盒安全性的提高提供了参考。
参考文献
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差分分析 篇9
关键词：有源负载,差分式放大电路,共模电压增益
集成运算放大器以其具有高增益、高共模抑制比和低漂移等诸多优点广泛用于模拟信号的放大与处理电路中。而运算放大器的高共模抑制比主要取决于构成其第一级的差分式放大电路, 该电路通常是带有源负载的差分式放大电路, 因此弄清楚有源负载差分式放大电路的共模增益, 对理解运放高共模抑制比有极大帮助。由于带有源负载的差分式放大电路分析相对复杂, 所以国内多数教材少有涉及[1,5], 只有个别教材含有这部分内容[6], 且重点讨论的是差模增益, 采用的方法是简化的单边小信号等效电路分析法 (半电路法) , 对共模增益关注不够, 读者不太理解高共模抑制比是如何获得的。因此, 本文对有源负载差分式放大电路的共模增益进行了较详细地分析, 以便说明运算放大器具有高共模抑制比的缘由, 以期对学习这部分内容的读者有所帮助。鉴于MOS工艺已成为半导体器件的主流工艺, 所以这里仅以MOS管构成的差分式放大电路为例进行分析, BJT差分式放大电路的分析与此类似。
1 共模增益
MOS管构成的一种典型的差分式放大电路如图1所示, 该电路也称为带有源负载的源极耦合CMOS差分式放大电路。其中T1、T2是差分对管, T3和T4组成的镜像电流源作为T1、T2的漏极有源负载。由于T1、T2是NMOS管, T3、T4是PMOS管, 所以电路也称为CMOS (Complementary MOS) 差分式放大电路。图1虚线框中所示的T5~T8组成另一组直流镜像电流源, 它为差分式放大电路提供静态偏置, 由T8漏极看进去的电阻为电流源的动态电阻ro (=rce8) , 其中T5~T7用来建立基准电流IREF。
当输入共模信号时, 图1电路的完整小信号等效电路如图2所示, 有vi1=vi2=vic。可列出d1 (d3) 、d2 (d4) 和s1 (s2) 3个节点的KCL
电路对称情况下有vgs1=vgs2=vic-vs, vgs4=vgs3, rds1=rds2, rds3=rds4, 并且假设gm1=gm2=gm3=gm4=gm, 可得共模电压增益
尽管式 (1) 分子乘积项中第一部分很小, 但它对共模电压增益起着决定性作用, 所以不能将其简单近似为0。根据式 (2) , 式 (1) 可近似为
如果继续有gmrds2>>1, 则式 (3) 可进一步近似为
由此可见, 增大源极电流源的动态电阻ro, 将减小共模电压增益, 这与基本差分式放大电路 (漏极是电阻负载) 的影响趋势是一致的。
2 仿真验证
为简单起见, 图1电路中MOS管T1~T4、T8相关参数取值相同, 如表1所示。调整T5~T7相关参数, 设置电路静态工作点如表2所示, 在此静态工作点下进行电路仿真 (MOSFET采用Level=1模型) 。
输入共模电压时的PSpice仿真结果如图3所示, 得到共模电压增益Avc2≈-5.96×10-4。由表2第一组静态工作点下的gm和rds2值可知满足gmrds2>>1, 所以按照式 (4) 计算得Avc2≈-5.92×10-4, 与仿真结果一致, 而且获得小于10-3的共模增益也非常容易。说明该电路不仅可以获得比基本差分式放大电路 (漏极带电阻) 更高的差模增益[6], 而且也有更低的共模增益, 也就意味着它很容易获得高共模抑制比。
3 结束语
本文通过完整的小信号等效电路, 在电路对称情况下, 推导出带有源负载的源极耦合CMOS差分式放大电路的共模电压增益表达式, 进而在满足 (1/gm) 远小于rds2、rds4、ro和gmrds2>>1条件下, 得到其近似的表达式 (4) 。通过PSpice仿真, 验证了式 (4) 的正确性。
也可用本文类似的方法分析带有源负载的BJT差分式放大电路的共模电压增益。
参考文献
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差分分析 篇10
方程求根问题一直以来都是一个具有重要实践意义的问题。在科学技术和工程应用等领域中涉及的一些问题，通常需要先转化为方程或方程组的求根问题，然后再进行求解。其中，非线性方程组的求解是比较常见的一类问题，因而其求解方法一直以来都是数学和工程应用中的重要研究内容。
近十几年来，国内外的许多专家学者对非线性方程组的求解问题作了大量的研究，提出了许多行之有效的方法，常用的有牛顿法、迭代法、梯度法和共轭方向法等。但这些方法对方程组的要求较高，在求解一些相对复杂的方程组时还存在着一些缺陷。近年来，进化算法被广泛应用于优化问题的求解中。由于差分进化算法在求解非凸、多峰以及非线性函数等的优化问题上表现出显著的稳定性，在同样精度的要求下，差分进化算法的收敛速度更快，因而在求解优化问题及其他领域中得到了广泛的应用。
差分进化算法介绍
差分进化算法（DE）是最近几年流行的、比较新颖的一种进化算法，又称为差异演化算法、微分进化算法、微分演化算法、差分演化算法等，它是由Storn等人于1996年为求解切比雪夫多项式而提出的。该算法是对生物进化进行模拟的一种随机模型，通过一次一次的迭代，使得适应环境的那些个体被保留了下来。
算法的基本思想及特点。DE的基本思想是从一个随机生成的初始群体开始，从中随机选取两个个体，将其差向量作为第三个个体的随机变化源，再对差向量进行加权，然后按照特定的规则和第三个个体相加，从而产生变异个体，该过程称为变异；然后，将变异个体与某个预先决定的目标个体进行参数混合，从而产生新的实验个体，该过程称为交叉；如果新的实验个体的适应度值比目标个体的适应度值要好，则在下一代实验个体中选取新的目标个体来替换原有的目标个体，否则保留下当前的目标个体，该过程称为选择。在每一代的进化过程中，每一个个体只能作一次目标个体，DE算法通过反复地迭代计算，淘汰劣质个体，保留优良个体，使得搜索结果向全局最优解逼近。
DE算法是一种基于实数编码的，用于优化函数最小值的进化算法，变异是DE的主要操作。算法根据种群中个体间的差异向量来进行变异，从而达到修正各个体的值的目的。并且，DE采取基于种群的全局搜索策略，使遗传操作简单化。同时，DE会根据当前的搜索情况动态调整搜索策略，使得全局收敛能力较强，而且不需要借助问题的特征信息，因此适用于求解一些常规数学规划方法不能求解的复杂环境下的优化问题。
由方程组的收敛图可以看出，差分进化算法的收敛速度极快，能够快速的得到近似解。
差分分析 篇11
1 OD矩阵反推的基本原理
理论上,由路段观测流量推算现状OD分布矩阵是交通分配的逆过程。假设研究地区分为H个交通小区,该道路网络由一系列路段和节点构成,若忽略小区内部的出行,则该地区的OD出行量有 N(N-1)个元素,对于路段a来说,有关系式
式中:a为表示路段的编号;Va 为路段a上的流量; P
其中,Pi, j可通过各种出行分配方法获得,这些方法包括全有全无分配模型,平衡分配模型等,不同的分配方法对OD矩阵的推算有很大影响。当所有Pi, j和路段观测量Va已知时,通过一组联立方程组可以估计出Pi, j,但实际观测的路段数量一般远远小于未知量qi, j的数量。因此,不能唯一确定qi, j,一般可通过构造数学优化模型来获得OD出行量,设立以下目标函数
式中:T为OD出行推算矩阵,t 为先验OD矩阵,V为路段观测交通量向量,v为按T分配的交通量向量。
根据式(2)的不同形式,构造了不同的OD矩阵推算方法。目前,常用的方法有极大熵模型、广义最小二乘模型、最小信息量模型、极大似然模型等。
本文采用的目标函数为常用的极大熵模型,极大熵模型的求解可采用拉格朗日乘子法求解,而差分进化算法在维护群体的多样性及搜索能力方面功能较强,在各种求解最优化问题中获得广泛应用。
2 差分进化算法
差分进化算法是一类简单而有效的进化算法,已被成功应用于求解无约束单目标和多目标优化问题中。该算法在整个运行过程中保持群体的规模不变,也有类似于遗传算法的变异、交叉和选择等操作,其中变异操作定义如下
其中,Pr1、Pr2、Pr3为从进化群体中随机选取的互不相同的3个个体,F为位于区间[0.5,1]中的参数。
式(3)表示从种群中随机取出的2个个体Pr2、Pr3的差,经参数F放大或缩小后被加到第3个个体Pr1上,以构成新的个体
针对父代个体Pr=(x1,…,xn)中的每一分量xi,产生位于区间[0,1]中的随机数pi,根据pi与参数CR的大小关系确定是否用ci替换xi,以得到新的个体P′r=(x′1,…,x′n),其中
如果新个体P′r优于父代个体Pr,则用P′r来替换Pr,否则,保持不变。在差分进化算法中,选择操作采取的是贪婪策略,即只有当产生的子代个体优于父代个体时才被保留,否则,父代个体被保留至下一代。
3 差分进化算法求解极大熵OD反推模型
3.1 极大熵OD反推模型
对于上述极大熵模型,由于其目标函数的特殊性,直接求解难以进行,通常用拉格朗日乘子法将其化为如下非线性方程组的形式
上述方程组是含有 M+1个变量和 M+1个方程的非线性方程组,通过求解上述未知数即拉格朗日乘子 λ0,λ1,…,λM,然后再由式(5)求出OD矩阵,则有下式
对于上述非线性方程组的求解,传统的解法一般采用数值解法,最常用的是牛顿法或改进的牛顿法,牛顿法的思想直观自然,易于被接受,但在实际应用时却往往受到很多条件的限制,最大的限制之一是牛顿迭代法对初值要求比较严格。本文试用差分进化算法来求解该非线性方程组。
3.2 差分进化算法计算极大熵模型
使用差分进化算法求解极大熵OD反推模型,具体计算步骤如下:
1)确定目标函数。目标函数取为方程组(4)中左端计算值与右端真实值的均方差极小值
2)初始化种群。产生一个种群数 M(本例为1 000),定义维数为D的实数值参数向量为每一代的种群,D是拉格朗日乘子个数,即方程组中未知数的个数,每个个体表示为Xi,G (i=1,2,…,M),其中i为个体在种群中的序列;G为进化代数;M为种群规模,在最小化过程中M保持不变。种群初始化时,假定对所有随机初始化种群均符合均匀概率分布。设参数变量的界限为x
3)变异。对于每个目标向量Xi,G,i=1,2,…,M,变异向量如下产生
其中,随机选择的序号r1、r2和r3互不相同,且r1、r2和r3与目标向量序号i也应不同,变异算子F∈[0,2]是个实常数因数。进化过程中将不断判断是否满足边界条件,否则将重新生成。
对第g代种群{xi(g)|x
4)交叉。对第g代种群{xi(g)}及其变异的中间个体{vi(g+1)}进行个体间的交叉操作
其中,CR为交叉概率,jrand为[1,2,…,D]的随机整数。
5)选择
3.3 实例分析
构建区域道路网络如图 1 所示。该区域道路网络由8个交通小区构成,所求OD出行量为 T14、T15 、T16 、T24 、T25 、T26 、T34 、T35 、T36,调查的路段为交通小区 7～8的3个路段,其流量分别为 Qa=1 050,Qb=530,Qc=550 。先验 OD量(历史OD资料)和交通小区7～8的3条路径分配比例如表1所示,区域路网如图1所示。
采用本文所提出的改进遗传算法求解极大熵OD反推模型,根据上述计算步骤,利用Matlab 编写程序,参数M为200,G为5 000,F=0.75,运行得到最终结果如表 2 所示。
4 结束语
准确推算OD矩阵难度比较大,现有的各种推算方法均有不同的缺点。本文以路段观测流量和先验OD矩阵为基础,采用了极大熵模型反推OD分布矩阵,引入差分进化算法求解,从实例来看,差分进化算法求解极大熵OD反推模型与实际结果比较符合,误差在 5%范围内。本文在求解时分配率预先由历史资料设定,这和当前实际有误差,特别是在推算拥挤网络的OD出行矩阵时,路段流量分配率应随OD出行矩阵的不同而进行变换,因此,有待进一步研究。
摘要：利用极大熵模型反推OD分布矩阵,引入差分进化算法来求解极大熵模型。采用差分进化算法,与传统方法相比,能够提高求解极大熵模型的速度与精度,从而提高OD矩阵推算的准确度。最后,利用简单实例分析该使用方法的有效性。
关键词：OD推算,极大熵模型,差分进化算法,模型求解
参考文献
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