排列组合

排列组合（精选12篇）

排列组合 篇1

随着课程改革的不断深入,中学数学课堂教学的内容与形式不断发生新的变化,更注重与学生的积极配合,而不是传统数学教学中的“知识本位”。本文就两原理与排列组合谈一些体会。下面介绍几种题型及对策。

一、特殊元素“优先安排法”

对于带有特殊元素的排列组合问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其他元素。

例:七个同学排成一列,其中有四名男生,三名女生,若甲、乙两人不得排在两端,问有多少种排法?

分析:若有特殊要求元素,则根据情况考虑先排或后排,本题先将甲、乙排在中间5个位置中的两个位置,上再排其余5个人,共有A52·A55=240种。

二、分类法

例:(2004全国高考)同数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23 145且小于43 521的数一共有()个。

(A)56个;(B)57个;(C)58个;(D)60个。

分析:当首位排2,次位排3,有A33-1=5种,次位排4,5时有2A33=12种。

当首位排3时有A44=24种,当首位排4,次位排3时有A33-1=5种。

次位排1,2时有2A33=12种,故共有5+12+24+5+12=58个。

三、转化法

对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难的问题,直接入手不易解决,这时可以考虑间接将其转化为一个简单问题来处理。

例:动点从(0,0)沿水平或竖直方向运动到达(6,8),要使行驶的路程最小,有多少种走法?

解析:动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为14,把动点运动1个单位看成是1步,则动点走了14步,于是问题就转化为在14个格子中填写6个“上”和8个“右”,这也是一个组合的问题,于是得到一共有C614=3 003种走法。

四、先选后排法

对于排列组合混合问题,可先选出元素,再排列。

例:4个不同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,恰有一空盒的方法有多少种?

分析:因有一空盒,故必有一盒子放两球。(1)选:从四个球中选2个有C42种,从4个盒中选3个盒有C43种;(2)排:把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素,对选出的3盒作全排列有A33种,故所求方法有C42C43A33=144种。

五、捆绑法

对于某几个元素要求相邻的排列问题,可将相邻的元素看做一个整体。

例:七个同学排成一列,其中有四名男生,三名女生,若甲、乙、丙三个人必须相邻,问有多少种排法?

分析:先将甲、乙、丙三个人捆绑在一起,看做一个人,与另外一男生及三名女生排列,然后再排列三名男生间的顺序,共有A55·A33=720种。

六、插空法

对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。

例:要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈不得相邻,问有多少种不同的排法?

分析:不相邻问题是要求某一些元素不得相邻,此类问题可以先将其他元素排好,再将所指定的不相邻元素,插入到它们的间隙及两端位置,本题是先将6个歌唱节目排好,其不同的排法有A66种。这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目有A74种,共有A74A66种。

七、整体优先法

对于局部排列问题,可先将局部看做一个元素与其余元素一同排列,然后再进行局部排列。

例:7人站成一排照相,要求甲乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种?

分析:甲、乙及间隔的3人组成一个“小整体”,这3人可从其余5人中选,有C52种;这个“小整体”与其余2人共3个元素全排列有A33种方法,它的内部甲、乙两人有A22种站法,中间选的3人也有A33种排法,故符合要求的站法共有C52A33A22A33=720种

八、插挡板法

例:由七个学校的学生组成一个10人的球队,每个学校至少有一人,其分配方案共有()种。

分析:10人排成一列,用6块挡板将10人分成7段,每段至少一人,所以两挡板不能相邻,且不在边上,即放在9个空当里,有C96种。

九、直排法

把几个元素排成前后若干排的排列问题,若没有其他的特殊要求,可采取统一排成一排的方法来处理。

例:27个人排队照相,第一排8个人,第二排9人,第三排10人,则所有不同的排法有多少种?

分析:27个人可以在前3排随意就坐,再无其他条件,故3排可看做一排来处理,不同的排法共有A2727种。

十、住店法

例:(1)4名同学报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、每人限报一个运动队,不同报名方法种数是34还是43?

(2)4名同学争夺三项冠军,不允许并列,则其共有多少种不同的冠军获得方法。

分析:要解决重复排列问题要注意分两类:一类元素可重复;另一类不可重复,不能重复的元素看做“客”,作为幂指数,能重复的元素看做“店”,作为幂的底数,再利用分步计数定理可求。故(1)34(2)43。

十一、集合法

例:从6名运动员中选出4名参加4×100 m接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第三棒,共有多少种不同的参赛方法?

分析:设全集U={6个人中任选4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第三棒的排列},根据集合元素个数的公式可得方法有:card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)=A64-A53-A53+A42=252种。

十二、逆向法

例:某餐厅供应快餐,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种,现在餐厅准备了5种不同选择的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还要准备多少种不同的素菜?

分析:直接求较难,可以逆向考虑,设n种,转化为方程计算。

解:至少还要准备不同的素菜n种,其中n≥2,n∈N。

∵C52Cn2>200,∴Cn2>20即,∴n≥7。

故至少还要准备7种不同的素菜。

十三、染色问题特殊法

例:在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物,如图1,要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物。现有四种不同的植物可供选择,则有________种栽种方案。

分析:以A,C,E(相间)栽种植物情况作为分类标准:

(1)A,C,E栽种同一种植物,有4种栽法;B,D,F各有3种栽法,∴共有4×3×3×3=108种栽法。

(2)A,C,E栽种两种植物,有C42C32A22种栽法(C42是4种植物中选出2种,C32是A,C,E3个区域中选出2个区域栽种同一种植物,A22是选出的2种植物排列),B,D,F共有3×2×2种栽法(注:若A,C栽种同一种植物,则B有3种栽法,D,F各有2种栽法),∴共有C42C32A22×3×2×2=432种栽法。

(3)A,C,E栽种3种植物,有A43种栽法;B,D,F各有2种栽法,∴共有A43×2×2×2=192种栽法。

综合(1),(2),(3),共有108+432+192=732种栽法。

当然解决排列组合问题还有很多方法,比如缩倍法、列举法、比例法等。但不管采用哪种方法,都要注意仔细审题,深入分析,特别对于有限制条件的比较复杂的问题,要周密分析,设计出合理的方案,把复杂问题分解为若干个简单的基本问题解决。高考中排列组合问题常与概率结合,所以要熟练掌握解题策略,才能运用自如。

排列组合 篇2

例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法。

一是仔细审题。在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。

二是转换题目。在审题的基础上，为了激发学生兴趣，使其进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上(凳子已准备好放在讲台前)，要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法。

三是解决问题。这时我再选另一名学生来安排这5位学生坐位子(学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高)，班上其他同学也都积极思考(充分发挥了学生的主体地位和主观能动性)，努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有C种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C=20(种)。这样原题也就得到了解决。

四是学生小结。接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案(课堂气氛又一次活跃起来)。

五是老师总结。对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。

二、分组问题

例2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数，问这样的五位数有几个?

(本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P×P)

一是仔细审题。先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。

二是转换题目。在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，同学A将题目转换如下：从班级的第一组(12人)和第二组(10人)中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法。

三是解决问题。我让同学A来提出选人的方案，同学A说：“先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，有P×P种选法;再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P×P种选法;最后由乘法原理得出结论为(P×P)×(P×P)(种)。”(这时同学B表示反对)

同学B说：“如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P×P。”(同学们都表示同意，但是同学C说太麻烦)

同学C说：“可以先分别从两组中把5个人选出来，然后将这5个人在5门学科中排列，他列出的计算式是C×C×P(种)。”(再次通过互相讨论，都表示赞赏)

这样原题的解答结果就“浮现”出来C×C×P(种)。

四是老师总结。针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。

三、多排问题

把元素排成几排的问题，可看成一排考虑，再分段处理。

例3：7个人排成前后两排，前排3人，后排4人。

分析：分两步来完成，先选三人排在前排有，余下的4人放在后排有A44种，所以共有种A33×A44=5040;分析：A77=5040，所以对于分排列等价全排列。

排列组合理财法 篇3

若引入一个新的思路：按照“排列组合”方法对“4321理财法则”进行处理。就可以得到P（4，4）=4×3×2×1=24种排列组合方式，对应24种理财方案。需要说明的是，这些理财方案并不全都具有价值，还应该加入某些限定条件，使理财方案能够更加满足实际理财需要。

这些限制条件是：保费占年收入的10%或20%，储蓄占年收入的20%或30%，生活消费占年收入的30%或40%。

加入这3个限制条件后，得到的理财方案更加符合现实生活中不同家庭的实际理财需要。

最终可以得到4个实用型理财方案，分别是：

（A）投资占年收入的10%、保费占年收入的20%、储蓄占年收入的30%、生活消费占年收入的40%；

（B）保费占年收入的10%、投资占年收入的20%、储蓄占年收入的30%、生活消费占年收入的40%；

（C）保费占年收入的10%、储蓄占年收入的20%、投资占年收入的30%、生活消费占年收入的40%；

（D）保费占年收入的10%、储蓄占年收入的20%、生活消费年收入的30%、投资占年收入的40%。

以上4种理财方案分别对应收入水平不同的家庭，详细情况如下表所示。

其中，A方案适用于无社会保险的低收入家庭。由于这类家庭没有单位购买的社会保险，自己负担的保费水平要提高，其他家庭只需占年收入的10%，而这类家庭需提升至20%。由于家庭收入较低，大部分资金都要用在生活消费和储蓄上，生活消费一旦超支就需用储蓄来应急。

B方案适用于有社会保险的中低收入家庭。由于单位给家庭成员购买了社会保险，自己负担的保费支出下降了，只用年收入的10%就可以满足家庭需要。与此同时，由于家庭收入水平有所提高，与低收入家庭相比，有更多的资产用来投资。

C方案适用于有社会保险的中高收入家庭。这类家庭的成员已经有社会保险，自己额外负担的保费占比较低。由于家庭收入水平比前2种家庭更高，这类家庭可以用更多的资金来做投资。他们的储蓄所占比例虽然低，但由于家庭收入基数大，完全可以满足应急需要。

D方案适用于有社会保险的高收入家庭。这类家庭也已拥有社会保险，自身负担的保费压力小。同时，由于这类家庭收入水平很高，他们每年只把年收入的30%放到生活消费上就完全能够满足需要了，因此可以把家庭收入的最大比例（40%）用来做投资，实现财务自由。

案例1

小张23岁，是一位刚刚走上工作岗位的应届大学毕业生，每月工资4000元、年收入大约5万元，单位没有给他购买社会保险。

小张属于典型的“无社会保险、低收入”单身家庭，应该按照A方案进行财务规划：（1）20%的年收入用于购买保险。首先应为自己购买最低档次的社会保险，剩余资金用来购买意外保险、大病保险等商业保险作为有效补充。（2）他应把最大比例的2部分资金（年收入的40%、30%）放在生活和储蓄上。一旦生活消费超支，可以用银行储蓄作为应急和补充。（3）用剩下的少量资金（年收入的10%）作为投资尝试。由于资金量比较小，他这样做的主要目的并不在于能挣多少钱，而在于学习——利用小资金积累投资经验，为以后培养投资感觉。

案例2

王先生35岁，单身，10年工作经验。目前是外企的中层管理人员，月收入2万元。单位不仅为他购买了五险一金的社会保险，而且还为他缴纳了补充医疗保险等商业保险。

王先生属于典型的“有社会保险、中高收入”单身家庭，应该按照C方案进行理财规划：（1）王先生的社会保险已经非常完备，他只需用年收入的10%来购买商业保险，可选择意外保险、大病保险、健康保险、人寿保险等险种。（2）在投资方面，由于王先生的保障比较完备，他可以减少银行储蓄所占年收入的比例，占20%即可，从而可以把更多比例的资金（年收入的30%）用于投资，使家庭资产更具有进攻性，不仅能实现资产保值、还能实现稳步增值。

案例3

李先生38岁，目前是某国企的部门经理，年收入12万元，比较稳定；妻子赵女士今年35岁，某国企的普通会计，年收入8万元。他们夫妇二人的社会保险都比较完备；儿子10岁，小学4年级学生。

李先生家庭属于“有社会保险、中低收入”的三口之家，可以按照B方案进行理财规划：（1）用年收入的10%购买商业保险。首先给孩子购买儿童社会保险，然后再给大人和孩子购买意外保险和大病保险。（2）将家庭年收入的40%和30%分配到生活和储蓄上。（3）家庭年收入的20%用于投资。应优先选择购买稳健型投资理财产品。

案例4

周先生45岁，某公司总经理，年收入大约60万元；妻子吴女士43岁，某公司财务总监，年收入接近40万元。夫妇二人不仅拥有完备的社会保险（包括五险一金），而且还有公司为其购买的补充商业保险，包括意外保险和大病医疗保险。由于工作繁忙，他们一直没有生育自己的子女。

周先生家庭属于典型的“有社会保险、高收入”的丁克家庭，可以按照D方案进行理财规划：（1）用家庭年收入的10%来购买商业保险，可以选择购买高端医疗保险和养老保险。（2）将家庭年收入的20%用于银行储蓄、30%用于生活开销，以满足家庭的应急需要和基本生活需要。（3）可以把家庭年收入的40%用于投资，可适度追求进取型投资。

排列与组合模型 篇4

例1.将5名实习老师分配到3个班实习, 每班至少1名, 至多2名, 不同的分配方案有 ()

A.30 B.90

C.180 D.270

解析:由题目可知, 5名教师只能分组为1, 2, 2, 首先选出分配1个老师的那个班, 即C31·C51, 然后把剩下的4名老师随机各选2名分给剩余两班, 即C42·C22, 则最后应该有分配方案C31·C51·C42·C22=90种, 故选B。

考点升华:均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合常见题型。解决关键是是否均匀, 无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数;有序分组要在无序的基础上乘以分组数的阶乘数。

题型2:捆绑问题

例2.将4名男生、3名女生排队照相, 若7人排成一列, 4名男生须排在一起, 方法有 ()

解析:先将4名男生排在一起, 当成一个元素, 再与其余3名女生排, 故共有A44·A44=576种, 故选B。

考点升华:把相邻元素看做一个整体, 再和其他元素一起排列的方法称为捆绑法, 此法应注意捆绑元素内部的排列。

题型3:特殊元素 (位置) 问题

例3.某晚会由7个节目组成, 演出顺序有如下要求:甲节目须排在前两位, 乙不排在第一位, 丙须排在末位, 则节目排序方案有_______种。

解析:特殊节目有甲、乙、丙三个, 可按甲的节目分两类: (1) 甲排第一位, 共有A55=120种排法; (2) 甲排第二位, 共有A41·A44=96种, 据分类计数原理, 共有方案120+96=216种, 故填216。

考点升华:如果题目中含有特殊的元素或位置, 应先满足这些特殊元素或位置, 然后安排其他元素或位置, 即采取先特殊后一般的解题原则。

题型4:插空问题

例4.8名学生和2名老师站在一处留影, 2名老师不相邻的排法有 ()

A.A88·A29种 B.A88·C29种

C.A88·A27种 D.A88·C27种

解析:据题意先让8名学生排列, 共有A88种, 再让2名老师插在8名学生形成的9个空中, 有A92种, 故共有A88·A92种, 故选A。

排列组合综合问题. 篇5

[关键词] 排列/组合/综合 [标题] 排列组合综合问题 [内容]

北京市东直门中学 吴卫 教学目标

通过教学，学生在进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题 的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想． 教学重点与难点

重点：排列、组合综合题的解法． 难点：正确的分类、分步． 教学用具 投影仪． 教学过程设计

（一）引入

师：现在我们大家已经学习和掌握了一些排列问题和组合问题的求解方法．今天我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，来学习和讨论排列、组合综合题的一般解法． 先请一位同学帮我们把解排列问题和组合问题的一般方法及注意事项说一下吧!生：解排列问题和组合问题的一般方法直接法、间接法、捆绑法、插空法等．求解过程中要 注意做到“不重”与“不漏”．

师：回答的不错!解排列问题和组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用 分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法． 当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可 以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等． 解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．（教师边讲，边板书）互斥分类——分类法 先后有序——位置法 反面明了——排除法 相邻排列——捆绑法 分离排列——插空法

（二）举例

师：我下面我们来分析和解决一些例题．（打出片子——例1）

例1 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数．（1）分为两组，一组7人，一组5人；

（2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人；（3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人；（4）分为甲、乙两组，每组6人；（5）分为两组，每组6人；

52（6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；

（7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人；（8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；（9）分为甲、乙、丙三组，每组4人；（10）分为三组，每组4人．

（教师慢速连续读一遍例1，同时要求学生审清题意，仔细分析，周密考虑，独立地求解． 这是一个层次分明的排列、组合题，涉及非平均分配、平均分配和排列组合综合．各小题之 间有区别、有联系，便于学生分析、比较、归纳，有利于学生加深理解，提高能力）师：请一位同学说一下各题的答案（只需要列式）．

7566生：（1），（2），（3）都是C12；（4），（5）都是C12；（6），（7），（8）C5C654344都是C12（9），（10）都是C12 C7C3；C84C4师：从这个同学的解答中，我们可以看出他对问题的考虑分先后次序，用位置法求解是掌握 了的．但是还请大家审清题意，看（3）与（1），（2）；（5）与（4）；（8）与（6），（7）；（10）与（9）是否分别相同，有没有出现“重复”和“遗漏”的问题．（找班里水平较高的一位学生回答）生：（3）和（1），（2）；（5）和（4）；（8）和（6），（7）；（10）和（9）并不相 同．（3），（5），（8），（10）的答案都错了，既出现了“重复”也出现了“遗漏”的问题．（3）的答案是CCP312552（5）是2；

6644C12C6C12C84C45433；（8）是C12C7C3P 3（10）是P22P33（教师在学生回答时板书各题答案）

师：回答的正确，请说出具体的分析． 生：（3）把12人分成甲、乙两组，一组7人，一组5人，但并没有指明甲、乙谁是7人，谁是5人，所以要考虑甲、乙的顺序，再乘以P2；（8）也是同一道理．（5）把12人分成两组，66每组6人，如果是分成甲组、乙组，那么共有C12种不同分法，但是（5）只要求平均分C62成两组，这样甲、乙组两元素的所有不同排列顺序，甲乙、乙甲共P22个就是同一种分组了，66C12C6所以（5）的答案是；（10）的道理相同． 2P2师：分析的很好!我们大家必须认识到，题目中具体指明甲、乙与没有具体指明是有区别的 ．如果在解题过程中不加以区别，就会出现“重复”和“遗漏”的问题，这是解决排列、组 合题时要特别注意的． 例1中，（1），（2），（6），（7）都是非平均分配问题，虽然（1），（6）都没有指出 组名，而（2），（7）给出了组名，但是在非平均分配中是一样的．这是因为（2），（7）不仅给出了组名，而且还指明了谁是几个人，这一点上又与（3），（8）有差异．（3），（8）给了组名却没有指明谁是几个人． 题中（4），（5），（9），（10）都属于平均分配问题，在平均分配中，如果没有给出组 名，一定要除以组数的阶乘!如果12个人分成三组，其中一组2人，另外两组都是5人，求所有不同的分法种数．这里有不平均（一组2人），又有平均（两组都是是5人）．怎么办? 53 生：分两步完成．第一步：12个人中选2人的方法数C212；第二步：剩下的10个人平均分

5555C10C5C10C52成两组，每组5人的方法数，根据乘法原理得到，共有C12种不同的分法． 22P2P2师：很好!大家已经理解了不平均分配的、平均分配，以及部分平均分配的计算，部分平均

分配问题先考虑不平均分配，剩下的仍是平均分配，平均分配要商除．这样分配问题已彻底 解决了． 请看例题2．

（打出片子——例2）

（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．（教师读题、巡视）师：请一位同学说出（1），（2）的答案．

872生甲：N1＝P77P22；N2＝P8P7P2

师：完全正确!他是用捆绑法解决“相邻”问题的，把2女“捆绑”在一起看成一组，与6男共7组，组外排列为P77，女生组内排列为P2，得2女相邻排法数N1＝P77P22；（2）是用捆 绑法结合排除法来解得，从总体排列P88中排除N1得2女不相邻的排法数N2＝

2P88P77P22

（教师的复述是为了使水平较差学生明白解题思路，了解分析方法，真正理解解法）师：（2）的不相邻的分离排列还有没有其它解法? 生乙：可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，共有N2＝P66P72种不同排法．（板书（1），（2）算式）

师：对于（2）的两种解法思路不同，但殊途同归，结果一样，都是正确的．两种解法解决 分离问题是否都很方便呢?试想，如果“5男3女排成一排，3女都不能相邻“P88P66P33与P55P63一样吗?大家动手计算一下．

生：前者是36 000，后者是14 400，不一样，肯定有问题． 师：P66P33是什么? 生：3女相邻．

师：3女相邻的反面是什么? 生：P8P6P3是3女不都相邻，其中有2女相邻，不是3女都不相邻．

师：这一例题说明什么? 生：不相邻的分离排列还是用插空法要稳妥一些．

师：请大家下课后想一想，用捆绑法结合排除法能否解决上述问题，如果能解决，应该怎么 做?我们继续分析和解决（3），（4）两小题． 863 54 N3＝P33P44P44； N4＝2P44P44．（板书（3），（4）的算式）

834444师：非常正确!（4）吸取了（2）的教训，没有用P8P3P4P4，并且没有简单的用P4P5

插空，而是考虑到了男、女都要排实位，否则会出现．（板书）

（女男男女男女男女）两男或两女相邻的问题．这时同性不相邻必须男女都排好，即男奇数 位，女偶数位，或者对调．

（通过对例2的讨论和分析，能够帮助学生对于分离排列、排除法以及插空法有更清楚的认 识，只有这样学生才会找到合理的解法，提高分析和解决问题的能力．）师：我们再来看一个例题．（打出片子——例3）

例3 某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合双打练习，两边都必须是1男1女，共有多少种不同的搭配方法?（教师朗读一遍例3后巡视）师：请同学说一下答案．

224生：N＝C8． C7P4（板书此式）师：怎么分析的呢?

22生：每一种搭配都需要2男2女，先把4名队员选出来，有C8C7种选法，然后考虑4人的排法，故乘以P44

师：选出的4名队员做全排列，那么（板书）男A男B、女A女B行吗? 生：不行，有“重复”了，应该乘以什么呢? 师：这就需要我们再把问题想想清楚了，当选出2男2女队员进行混合双打时，有几种搭配方法呢?（板书）男——男女 ①Aa Bb ②Ab Ba ③Ba Ab ④Bb Aa 以上四种吗? 生：不是!③与②，④与①属于同一种，只有2种搭配，应该乘以2．

22师：这就对了．N=2C8C7，还可以用下面的思路：先在8男中选2男各据一侧，是排列问222题，有P82种方法；再在7女中选2女与之搭配，是组合问题，有C7种方法，一共有N=P8C7种搭配方法．（板书）

22解法1：N=2C8C7 22解法2：N=P8C7

师：最后看例4（打出片子——例4）

例4 高二（1）班要从7名运动员中选出4名组成4×100米接力队，参加校运会，其中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种?（教师读题，引导分析）

师：从7人中选4人分别安排第一、二、三、四棒这四个不同任务，一定与组合和排列有关，对甲、乙有特殊要求，这就有了不同情况，要分类相加了．先不考虑谁跑哪棒，就说4人的 选择有几类情况呢?

53生：三类，第一类，没有甲乙，有C4种选法；第二类，有甲没乙或有乙没甲，有2C5种选

2法；第三类，既有甲也有乙，有C5种选法．

师：如果把上述三类选法数相加再乘以P44行不行? 生：不行，对于上面三类不同选法，并不能都有P44种安排方法．考虑甲、乙二人都不跑中

44313222间两棒，应有不同的安排方法数是：N=C5P42C5P2P3C5P2P2．

师：第二项中的P21P33是什么意思呢? 生：第二类中甲、乙两人只有1人选中时，甲（乙）的排法数量是P21，其他三人的排法数是P33．

师：很好，这个排列组合综合题在求解中的分类十分重要，大家要认真体会，了解其思路和 方法．

（三）小结

我们通过对4个例题的分析和讨论，总结了分配问题，分离排列问题的解法，以及排列、组 合综合题的解法．

解排列、组合综合题，一般应遵循：先组后排的原则． 解题时一定要注意不重复、不遗漏．

（四）作业

1.四名优秀生保送到三所学样去，每所学样至少得1名，则不同的保送方案总数是 种．（23C4P336）

2.有印着0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9当作6用，那么从中任意以组成多少个不同的三位数?（6P或2C4P2P22C4P3C4P2P2P4152）5P4C1C4P2152课堂教学设计说明

关于排列组合的应用题，由于其内容独特，自成体系；种类繁多，题目多变；解法别致，思 维抽象；条件隐晦，难以捉摸；得数较大，不易检验．所以这一课历来是学生学习中的难点．为了降低解题的难度，在教会学生基本方法的同时，一定要使学生学会转化，分类的思想方法，将复杂的排列、组合综合题转化为若干个简单的排列、组合问题．基于这一点，在例题的选排上，特别安排了例1，在复习巩固前面所学基本解法的基础上，总结了分配问题的解法，并引出了简单的排列组合综合问题．通过例2来讨论排列中常见的相邻排列和分离排列问题，21112112332122 56 以及排除法、插空法等解法在应用中需注意的事项．例

3、例4是典型的排列、组合综 合题，分别侧重了分步和分类两个难点．

排列、组合常见错误辨析 篇6

1. 两个计数原理混淆不清

通常是对“完成一件事”的任务不明确，分类与分步混淆或分类与分步不准确而造成失误.

例1 50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，则至少有3件次品的抽法有（ ）种.

错解1 分两类情形：“有3件次品”时，可从4件次品中抽取3件，再从剩余产品中抽取2件，有[C34+C246]种抽法；“有4件次品”时，可从4件次品中抽取4件，再从剩余产品中抽取1件，有[C44+C146]种抽法.故共有[（C34+C246）（C44+C146）=46575]种.

错解2 先抽次品：至少有3件次品包含“3件次品”“4件次品”两种情形，有[C34+C44=5]种抽法；再抽剩余产品，同理有[C246+C146=1081]种抽法.共有抽法5×1081=5405种.

错因剖析 分类与分步混淆不清，即加法原理与乘法原理混淆，从而引起失误.

正解 解排列、组合问题，通常是先“分类”后“分步”.此题可先分为二类：第一类，有3件次品2件正品，有[C34?C246]（分为两步，用乘法原理）种抽法；第二类，有4件次品1件正品，有[C44?C146]种抽法.由加法原理，不同的抽法共有[C34?C246+C44?C146]=4186种.

2. 排列、组合问题判断失误

通常在判断一个问题是排列还是组合问题时，未考虑元素的顺序性而导致失误.

例2 有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（ ）种.

A. 1260 B. 2025 C. 2520 D. 5040

错解1 分三步完成：首先从10人中选出4人，有[C410]种方法；再从这4人中选出二人承担任务甲，有[A24]种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有[A22]种方法，由乘法原理，不同的选法共有[C410?A24?A22]=5040种，选D.

错解2 分三步完成，不同的选法共有[C410C24C22]=1260种，选A.

错因剖析 排列、组合概念混淆不清.承担任务甲的两人与顺序无关；剩下的两人去承担任务乙、丙，这与顺序有关.

正解1 先从10人中选2人承担任务甲，再从余下8人中选一人承担任务乙，最后从剩下的7人中选一人去承担任务丙. 由乘法原理，不同的选法有[C410?C18?C17]=2520种.

正解2 从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出二人承担任务乙、丙. 由乘法原理，不同的选法有[C210?A28]=2520种，选C.

3. 分类（或分步）遗漏（或重复）造成失误

例3 4男4女排成一排，任意两名女子不相邻且任意两名男子也不相邻的排法共有多少种.

错解1 4名男子与4 名女子的排法分别有[A44]种，故共有[A44?A44]=576种.

错解2 4名男子的排法有[A44]种，4 名女子的排法有[A45]，故共有[A45?A44]=2880种.

错因剖析 错解1是由于考虑不周，遗漏了交换位置的情况而出现失误；错解2忽略了题中的条件，即满足了4名男子不相邻而忽略了4名女子也不相邻的情形（如：男女男女 女男女男），错把必要条件当作充分条件了.

正解 此为相间排列问题.如先排男子，有[A44]种排法，由题意，四名女子插入的四个空必须不相邻，有两种插入方法，而4名女子的排法有[A44]种，由乘法原理知，不同排法的种数共有[2A44]·[A44]=1152种.

例4 给[n]个自上而下的正方形着黑色和白色.当[n4]时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示.由此推断，当[n=6]时，黑色正方形互不相邻的着色方案有（ ）种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有（ ）种.

错解 （1）20；（2）有37、39、40等多个答案.

4. 在分配、分组等问题中重复计算出错

例5 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）

A. 480?种???????? B. 240种

C. 20种???????? D. 96种

错解 先从5本书中取4本分给4个人，有[A45]种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共有[4×A45=480]种不同的分法，选A.

错因剖析 此为分配问题.设5本书[a，b，c，d，e]分给四个人甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能出现[ae，b，c，d]和[ea，b，c，d]的情形.第一种是甲首先分得[a]，最后分得[e]的情形；第二种是甲首先分得[e]，最后分得[a]的情形，这两种情况是完全相同的. 而在上述解法中却计算成了不同的情况，正好重复了一次.

正解 首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有[C25]种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有[A44]种方法.由乘法原理，共有[C25?A44=240]种方法，故选B.

5. 题意理解不透彻，忽视题设条件引起失误

例6 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（ ）种.

错解 先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有[2C13?A22=12]种，由乘法原理，共有4×12=48种.

错因剖析 上述解法主要是没有理解题设中“有4种颜色可供选择”的含义，即4种颜色不一定全部使用，用3种也可以完成任务.

正解 分为两类：当使用四种颜色时，由上述解法知，有48种着色方法；当仅使用三种颜色时，先从4种颜色中选取3种，有[C34]种方法，然后涂色：先涂第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有[C34×3×2=24]种.综上，共有48+24=72种.

例7 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）种.

A. 10种 B. 15种

C.2 0种 D. 30种

错解 分三类：比分3∶0有1种情况；比分3∶1，即前3局中（第四局必胜）有2局胜，共有[C23=3]种情况；比分是3∶2，即前4局中（第五局必胜）有2局胜，共有[C24=6]种情况；故共有1+3+6=10种情况获胜，故选A.

错因剖析 上述解法显然对“各人输赢局次的不同视为不同情形”未理解，造成仅考虑某一人获胜的情形而造成漏解.事实上，两人都有获胜的可能.

正解 只需把上述结果乘以2即可，选C.

6. 思维不严密而造成失误（遗漏有关情形）

例8 四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的点，不同的取法有（ ）种.

A. 150 B. 147

C. 144 D. 141

错解 选A或B或C.

错因剖析 考虑到四点共面的情形有三类：①四点位于同一表面；②四点为两组相对棱的中点；③四点为一条棱上的三点与其相对棱的中点.求解时若只考虑到情形①，就会由算式[C410-4C46=150]而错选A；若只考虑到情形①②，就会由算式[C410-4C46-3][=147]而错选B；若只考虑到情形①③，就会由算式[C410-4C46-6=144]而错选C.

正解 只有三种情形都考虑到，才能得到正确的结果[C410-4C46-6-3=141]，选D（从此题选项的设置可看出命题者之良苦用心）.

谈谈排列组合的解题策略 篇7

笔者认为之所以学生“怕”学排列组合, 主要还是因为排列组合的抽象性, 那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化, 我们不妨将原题进行一下转换, 让学生走进题目当中, 成为“演员”, 成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣, 活跃了课堂气氛, 还充分发挥学生的主体意识和主观能动性, 能让学生从具体问题的分析过程中得到启发, 逐步适应排列组合题的解题规律, 从而做到以不变应万变。当然, 在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性, 可操作性。

下面笔者将就教学过程中的两个难点通过两个特例做进一步的说明:

一、占位子问题

例1.将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中, 要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同, 问有多少种不同的方法?

1. 仔细审题:

在转换题目之前先让学生仔细审题, 从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手, 清楚这是一个“排列问题”, 然后对题目进行等价转换。

2. 转换题目:

在审题的基础上, 为了激发学生兴趣进入角色, 我将题目转换为:

让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上 (已准备好放在讲台前) , 要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同, 问有多少种不同的坐法?

3. 解决问题:

这时我在选另一名学生来安排这5位学生坐位子 (学生争着上台, 积极性已经得到了极大的提高) , 班上其他同学也都积极思考 (充分发挥了学生的主体地位和主观能动性) , 努力地“出谋划策”, 不到两分钟的时间, 同学们有了统一的看法:先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学, 有C52种方法, 让他们坐到与自己编号相同的凳子上, 然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法, 最后根据乘法原理得到结果为2×C52=20 (种) 。这样原题也就得到了解决。

4. 学生小结:

接着我让学生之间互相讨论, 根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。 (课堂气氛又一次活跃起来)

5.老师总结:

对于这一类占位子问题, 关键是抓住题目中的特殊条件, 先从特殊对象或者特殊位子入手, 再考虑一般对象, 从而最终解决问题。

二、分组问题

例2.从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数, 问这样的五位数有几个?

(本题我是先让学生计算, 有很多同学得出的结论是P53×P42)

1. 仔细审题:

先由学生审题, 明确组成五位数是一个排列问题, 但是由于这五个数来自两个不同的组, 因此是一个“分组排列问题”, 然后对题目进行等价转换。

2. 转换题目:

在学生充分审题后, 我让学生自己对题目进行等价转换, 有一位同学A将题目转换如下:

从班级的第一组 (12人) 和第二组 (10人) 中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛, 问有多少种不同的选法?

3.解决问题:

:接着我就让同学A来提出选人的方案。

同学A说:先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛, 有P312×P35种选法;再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P102×P25种选法;最后由乘法原理得出结论为 (P123×P35) × (P102×P25) (种) 。 (这时同学B表示反对)

同学B说:如果第一组的3个人先选了3门科目, 那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P102×P22。 (同学们都表示同意, 但是同学C说太繁)

同学C说:可以先分别从两组中把5个人选出来, 然后将这5个人在5门学科中排列, 他列出的计算式是C312×C210×P55 (种) 。 (再次通过互相讨论, 都表示赞赏) 这样原题的解答结果就“浮现”出来C35×C24×P55 (种) 。

4. 老师总结:

针对这样的“分组排列”题, 我们多采用“先选后排”的方法:先将需要排列的对象选定, 再对它们进行排列。

排列组合题常用的技巧 篇8

解排列组合问题除了掌握两个基本原理 (加法原理和乘法原理) 外, 没有现成的方法可用, 它联系实际、生动有趣, 但题型多样, 解题方法灵活.有关排列组合问题是高中学生学习中棘手的问题, 在考试中失分较多.实践证明, 学习排列组合问题最有效的方法是首先必须认真审题, 将题型与解法归类, 识别模式, 熟练应用, 抓住排列组合一般原则和常用技巧, 排列组合问题便会迎刃而解.一般原则是“分类相加、分步相乘、有序排列、无序组合”.

8个常用技巧是速解排列组合问题的基本方法, 下面分别归类举列说明:

1.相邻问题捆绑法

对于几个元素要求必须相邻的排列问题, 可将相邻元素“捆绑”起来, 看作一个大元素, 与其他元素排列, 然后再对大元素内部进行排列.

例1 书架上有4本不同的数学书, 5本不同的语文书, 3本不同的化学书, 全部竖成一排, 如果不使同类书分开, 一共有多少种排法?

解析 由于同类书不能分开, 所以把4本数学书, 5本语文书, 3本化学书分别捆在一起, 看作3个大元素进行排列, 有A${}_3^3$种, 每捆内部分别有A${}_4^4$种、A${}_5^5$种和A${}_3^3$种, 由分部计数原理共有排法:A${}_3^3$·A${}_4^4$·A${}_5^5$·A${}_3^3$=103680 (种) .

2.不相邻问题“插空法”

不相邻问题是指要求某些元素不能相邻, 可以将其他元素排好, 然后把不相邻的元素在已排好的元素之间和两端的空隙之间插入即可.

例2 在即将举行的汽车展上, 将有5个不同型号的三厢轿车和4个不同型号的二厢轿车在同一展台的9个车位上展出, 要求任何两个二厢轿车不得相邻, 则有 ( ) 种不同的排法.

解析 先将5个不同的三厢轿车排好, 其不同的排法有A${}_5^5$三种, 这5种不同的三厢轿车的空隙和两端共有6个位置, 其中再排4个不同的二厢轿车有A${}_6^4$种排法, 由分步计数原理可知共有:A${}_5^5$·A${}_6^4$=43200 (种) .

3.特殊元素“优先安排法”

含有特殊元素的排列组合问题, 一般应优先考虑特殊元素.

例3 要安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班, 每人值一天, 其中甲、乙两人都不安排在5月1日和5月2日, 不同的安排方法共有多少种?

解析 甲、乙两人先安排在5月3, 4, 5, 6, 7号这5天, 有A${}_5^2$种, 余下的5人全排列有A${}_5^5$种, 由分步计数原理得不同的安排方法有:A${}_5^2$·A${}_5^5$=2400 (种) .

4.定序问题缩倍法

在排列问题中有限制几个元素必须保持一定顺序问题, 这类问题用缩小倍数求解比较简便.

例4 今有2个红球、3个黄球、4个白球, 同色球不加以区分, 将这9个球排成一排有 ( ) 种不同方法. (用数字作答)

解析 可将9个球进行全排列有A${}_9^9$种排法, 然后再将同色球的顺序抵消掉, 共有A${}_9^9$÷ (A${}_2^2$·A${}_3^3$·A${}_4^4$) =1260 (种) 不同的方法.

5.总体“淘汰法”

对于含有否定词语的问题, 可以从总体中把不含有要求的除去, 此时应注意既不能多减也不能少减.

例5 从5位男教师和4位女教师中选出3位教师, 派到3个班担任班主任 (每班一位班主任) , 要求这三位教师男女教师中都有, 则不同的选法共有 ( ) .

A.210种 B.420种 C.630种 D.840种

解析 此题虽然没有否定词语, 然而选出三名教师中男女都要有, 就是说不能全是男教师, 也不能全是女教师.因此先选出3人共有C${}_9^3$种, 其中都是男教师有C${}_5^3$种不合题意, 都是女教师有C${}_4^3$种也不合题意, 因此共有 (C${}_9^3$-C${}_5^3$-C${}_4^3$) ·A${}_3^3$=420 (种) .应选B.

6.多元问题分类法

元素多, 取出的情况也有多种情况, 可按结果要求分成互不相容的几类情况分别计算, 最后总计.

例6 (2006年高考题) 设集合I={1, 2, 3, 4, 5}, 选择I的两个非空子集A和B, 要使B中最小的元素大于A中最大的数, 则不同选择方法共有 ( ) .

A.50种 B.49种 C.48种 D.47种

解析 (1) 若B={5}, 则A有C${}_4^1$+C${}_4^2$+C${}_4^3$+C${}_4^4$=24-1=15 (种) 选法.

(2) 若B={4}, 则A有C${}_3^1$+C${}_3^2$+C${}_3^3$=23-1=7 (种) 选法.

(3) 若B={4, 5}, 则A有C${}_3^2$+C${}_3^2$+C${}_3^3$=23-1=7 (种) 选法.

(4) 若B={3}或{3, 4}或{3, 5}或{3, 4, 5}, 则A均有C${}_2^1$+C${}_2^2$=3 (种) 选法, 共有3×4=12 (种) .

(5) 若B={2}或{2, 3}或{2, 4}或{2, 5}或{2, 3, 4}或{2, 4, 5}或{2, 3, 5}或{2, 3, 4, 5}时, A均有一种选法, 共有8种选法.

综上共有15+7+7+12+8=49 (种) 选法.应选B.

7.选排问题“选分堆后排列”

对于排列组合混合问题, 一般解法是“先分堆, 后排列”.须注意的是:分堆时, 不讲究顺序, 应除以有相同元素堆的堆数的全排列列数.给人时, 只需在分堆的基础上乘以人数的全排列即可.

例7 将6本不同的书分给甲、乙、丙三名同学, 其中两人各一本, 另一人四本, 有多少种不同的分法?

解析 先分堆, 有C${}_6^1$·C${}_5^1$·C${}_4^4$÷A${}_2^2$=15 (种) 分法, 再给人, 故共有C${}_6^1$·C${}_5^1$·C${}_4^4$÷A${}_2^2$×A${}_3^3$=90 (种) 不同分法.

8.至多 (或至少) 问题间接法

对于有附加条件 (含“至多”、“不超过”) 的问题, 先不考虑附加条件, 计算出排列或组合数, 再减去不符合要求的排列或组合, 即为所求.

例8 从6名男生和4名女生中选出三名代表, 要求至少包含一名女生, 则不同的选法有 ( ) 种.

解析 从10人中选三名代表有C${}_{10}^3$种选法, 全部男生有C${}_6^3$种选法, 故至少包含一名女生有C${}_{10}^3$-C${}_6^3$=10 (种) 选法.

以上介绍的排列组合应用题的几种解题技巧不是彼此孤立的, 解决某一问题可用上述不同技巧的多种技巧处理, 或综合应用几种求解技巧.解决排列组合问题通常是: (1) 先组合, 后排列; (2) 先分类, 再分步; (3) 先特殊 (特殊元素、特殊位置) , 再一般, 以简捷为原则.

排列组合应用问题的探究 篇9

1 整体原则

1.1 深入问题探索情景

在做题之前先清楚题目的情景, 准确地把握每个因素之间存在的联系, 切忌不懂就开始做题。通过题意先要弄清楚有没有“顺序”的要求, 若是题目有顺序要求, 就要按照顺序的步骤进行, 弄清目标, 分步解题, 最后完成题目。题目可能是先用加法原理、再用乘法原理。实际上, 在一个复杂的问题中, 分类和分步总是存在一定的联系, 这就要学生清楚知道哪个使用乘法原理, 哪个使用加法原理。

1.2 两面性解题思路

对于一个很复杂的题目, 通常都有两种解题方式。分别是从正面拼凑和从反面挑。正面拼凑就是要根据标准慢慢的选择出符合要求的解题方案, 反面挑就是先根据题目的局部要求, 选择方案再将不符合题目的方案淘汰。

1.3 注重一题多解

一题多解在排列组合题目中是很重要的解题方式, 一题多解能够全方位的对题目进行解析, 也是培养学生分析问题能力的有效措施。

2 排列与组合的定义与应用

2.1 排列

排列概念:通常来说在n个元素当中, 任意选取m个元素, 再根据特定的顺序排成一列, 这就称作在n个元素当中随意选取m个元素组成的排列。尤其是当m=n的时候这就称作n个不—样元素的全排列。

排列数概念:在n个元素当中选取m个元素的全部排列的数目。这就称作在n个元素当中选取m个元素的排列数, 使用数学符号Pnm表示。

2.2 组合

组合概念:通常来说在n个不一样的元素中随意选取m个元素组合成一组, 这称作在n个不一样的元素中随意选取m个元素的组合。

组合数概念:在n个不一样的元素中选取m个元素的全部组合的数目。称作在n个不一样的元素中选取出m个元素的组合数采用数学符号Cnm表示。

2.3 排列与组合的使用

1) 排列的使用:对于没有条件约束的简单排列问题可以借助公式直接求解, 有约束条件的排列问题, 可以按照约束条件采用“直接法”或者“间接法”进行求解。2) 组合的使用:对于没有条件约束的简单组合应用问题, 能用公式法直接求解。对于有条件约束的组合问题可以按照给定的约束条件借助“直接法”或者“间接法”求解。3) 排列、组合的整体问题:排列组合的整体问题关键就是排列组合的混杂问题, 在解题之时先要解决组合问题, 然后再探讨排列的问题。在解决排列组合综合问题的时候重视这几点:第一, 约束条件就是排列问题经常出现的出题模式:“在”和“不在”、“至少”和“最多”、“相邻”和“不相邻”。在解答实际问题的时候要有自己的解题思路和方式, 在遇到“相邻”问题时候, 经常采用捆绑法进行解题, 将题目中的两个元素看做一个元素。这也是解决相邻问题的最佳方式。对于“不相邻”问题, 解题常用的方法是“插空法”。解决“在”和“不在”问题的时候, 经常能接触到特别元素或者特别方位。一般经常有到“优先法”即将有特殊要求的元素进行排列。当题目中元素的排列顺序有约束的时候, 就先将顺序限制放在一边, 在排列结束之后, 再按照规定顺序求得结果。第二个约束条件的组合问题经常出现的命题模式:“含”和“不含”、“至少”和“至多”。在解决实际题目的时候, 经常采用“直接法”或“间接法”。第三在解决排列组合的混合问题的时候, 要准确分析题目中的条件元素和元素性质, 不能重复, 也要避免出现遗漏事件的发生。准确的互换使用两个原理, 在解决排列题目的时候, 这也是基础和主要思想。

3 对常见问题分析

相邻问题“捆绑法”针对若干个元素要求进行相邻的排列, 就先把相邻的几个元素“捆绑”到一起, 当成一个整体的元素与剩余的元素进行排列, 然后再对组合元素里的元素进行排列。

例题:书架上摆放3本不一样的语文书, 4本不同的化学书, 5本不同的英语书, 将这些书竖起排成一行, 若将同种类的书放在一起, 共有多少种排列方式?

解析:因为同种类书放在—起就将3本语文书4本化学书, 5本英语书相互绑扎在一起, 当做3个整体进行排列有P33种, 每捆内部的排列分别有P33、P44、P55种, 所以共有P33×P33×P44×P55种排法。

不相邻问题“插空法”针对几个不相邻元素的排列问题, 可以先排其他的元素, 再将不相邻的元素插在排好的元素之间。

例题:在学校文艺表演中有4个朗诵、2个舞蹈、3个独唱, 如果朗诵不能靠着这样一来节目进行的顺序总共有几种?

解析:先排2个舞蹈和3个独唱, 有P55种排法, 再在这些节目之间和两边的共6个“空”中选4个让朗诵插进去, 有P64种排法, 总共有P55×P64种排法。

正难反易“转换法”针对一些不常见的问题, 采用直接求解的方式比较困难在正面入手进行解决比较困难, 这时就能在反面入手, 将此类题转换为一个简单的问题来解决。

例题:选取1~5这六个数字, 组成比10000大且百位数是非2的不重复数字的五位数有多少个?

解析:猛然看到题目没有思路, 但是仔细分析, 比10000大实际上就是首位不是1的数字, 所以将问题看成“1”不在首位, “2”不在百位。分析下来, 你就会读懂了, 这与甲同学不做学委, 乙同学不当班长这个题相似吗?

数学中的排列组合, 是现在进展较快的组合数学的基础知识, 这种以计数问题为特点的内容在课本中涉及的还是比较少的, 也是数学的独特之处, 它不但使用范围广泛还和同学们的日常生活习习相关。所以它也是培养学生抽象思维和逻辑思考能力的良好材料。

参考文献

[1]刘星红.排列组合问题易错点透视[J].中学生数理化:高考版, 2009 (01) .

[2]龙克栋.解排列组合应用题的四大策略[J].高中生, 2009 (04) .

[3]王铁民.高考排列组合问题的求解策略[J].考试周刊, 2009 (07) .

求解排列组合问题的多种方法 篇10

一、优先考虑特殊元素

例1 6名同学站成一排, 其中甲、乙两位同学既不站排头也不站排尾, 有多少种不同的站法?

解析:因为甲、乙两位同学是特殊元素, 他们既不站排头也不站排尾, 则他们只能站在中间的四个位置上, 因此有A42种方法, 其他位置由余下的4人去站, 有A44种方法, 因此共有方法n=A42A44=288 (种) .

二、优先考虑特殊位置

例2同例1.

解析:排头与排尾是两个特殊位置.甲、乙两人不能站, 那么只能由其余4人中选2人去站, 有A42种方法, 其他4个位置由余下的四人去站, 有A44种方法, 因此共有n=A42A44=288 (种) .

三、正确分类谨防重复

例3写有0、2、4、6、8的5张卡片, 如果6允许作9使用, 那么从中抽取3张可组成多少个不同的三位数?

解析:符合条件中的取法可分为四类: (1) 选0不选6, 由于0不能排首位, 则应排在后两位之一, 故可组成三位数A21A32=12 (个) ; (2) 选0且选6, 则应再选一张卡片.由于0不能排在首位, 且6可以作为9使用, 故可组成3位数2C31A21A22=24 (个) ; (3) 不选0选6, 由于6可作为9使用, 可组成3位数2C32A33=36 (个) ; (4) 0、6都不选, 可组成三位数A33=6 (个) .因此符合条件的3位数共有n=A21A32+2C31A21A22+2C32A33+A33=78 (个) .

四、恰当分步以防遗漏

例4从6双不同的手套中任取4只, 其中恰有2只配成一双的取法有多少种?

分析:该事件可分四步来完成: (1) 从6双中取1双, 有C61种方法; (2) 从余下的5双中取2双, 有C52种方法; (3) 从取出的2双中的1双中取1只, 有C21种方法; (4) 从取出的2双中的1双中取1只, 有C21种方法.因此共有方法n=C61C52C21C21=240 (种) .

五、排列方阵处理直排

例5 9人排成3行, 每行3人, 其中3人要排在同一行, 有多少种不同的排法?

解析:9人排成3×3型方阵, 为方便可把每行的后2人拉上来与每行的第一人并列, 这样就成了9人排一列的排列.前3人称为第一行, 中间3人称为第二行, 后面3人称为第三行, 即

××× ××× ×××

从3行中任取1行共要排在1行的3人, 排列有C31A33种方法, 余下的6人排6个位置有A66种方法, 因此符合条件的排法n=C31A33A66=12960 (种)

六、不相邻元素插空档

例6 3人坐在8个座位的长椅上, 若每人左右都有空位, 这种坐法有多少种?

解析:要求3人左右都要有空位, 那么这3人只能在由5个空位所形成的4个空挡之中, 故有坐法n=A43=24 (种) .

七、相邻元素合并变大

例7一排长椅上有10个座位, 现有4人坐于其上, 问恰好有5个连续空位的坐法有多少种?

解析:把5个连续空位看成一个大元素a, 另一个空位为元素b, 并设4人为c、d、e、f, 则问题化为6个元素的排列, 其中a、b不能相邻, 因此a、b只能排在由c、d、e、f排列后所形成的3个空档及左、右两端的5个位置, 故共有坐法n=A44A52=480 (种) .

八、机会相等采用等分

例8从7个元素a、b、c、d、e、f、g中选取5个排成一排, 其中a在b的前面, 也在c的前面的排法有多少种?其中a在b的前面且b又在c的前面的排法有多少种?

解析:据题意a、b、c必须选上, 另两个元素从d、e、f、g中选, 有C42种方法.如果没有限制条件, 含a、b、c5个元素的全排列有A55种.另外a、b、c的位置关系只有3种可能: (1) a在b、c前面; (2) b在a、c前面; (3) c在a、b前面.所以a在b、c前面的排法占整个排法的, 故符合条件的排法 (种) .

同理, a在b前面而且b又在c前面的排法占整个排法的, 故这时符合条件的排法 (种) .

九、元素均分组去重复

例9把6本不同的书平均分成3堆, 每堆两本, 有多少种分法?

解析:若把6本不同的书平均分成甲、乙、丙三堆, 有C62C42C22种方法.设把6本不同的书平均分成三堆有x种分法, 对于每一种分法, 三堆以甲、乙、丙命名有A33种分法, 所以x·A33=C62C42C22, 因此 (种) .

十、直接不易间接排除

例10一条长椅上有7个座位, 4人坐, 要求3个空位中有两个空位相邻, 另一个空位与这两个空位不相邻, 有多少种不同的坐法?

解析:7个座位4人坐, 有A74种坐法, 其中不符合题意的坐法有两类: (1) 3个空位相邻, 把它们看成大元素, 有A55种不同的坐法; (2) 3个空位彼此不相邻, 那么3个空位只能插入由4人坐一排而形成的5个空挡中的3个, 有A44C53种方法, 所以n=A74-A55-A44C53=480 (种) .

十一、构造集合元素分类

例11车间有9个工人, 有4人只会车工, 有3人只会钳工, 有2人既会车工又会钳工.现从中选派车工、钳工各2人去完成某一任务, 有多少种指派方法?

解答排列组合问题的策略 篇11

学生“怕”学排列组合，主要还是因为排列组合的抽象性，那么解决问题的关键就是将抽象问题具体化，我们不妨将原题进行一下转换，让学生走进题目当中，成为“演员”，成为解决问题的决策者。这样做不仅激发了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛，还充分发挥学生的主体意识和主观能动性，能让学生从具体问题的分析过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。当然，在具体的教学过程中一定要注意题目转换的等价性，可操作性。

下面将就教学过程中的两个难点通过两个特例作进一步的说明：1、 占位子问题例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法？

① 仔细审题：在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。

② 转换题目：在审题的基础上，为了激发学生兴趣进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上（已准备好放在讲台前），要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法？

③ 解决问题：这时我在选另一名学生来安排这5位学生坐位子（学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高），班上其他同学也都积极思考（充分发挥了学生的主体地位和主观能动性），努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有C 种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C =20（种）。这样原题也就得到了解决。

④ 学生小结：接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案。（课堂气氛又一次活跃起来）

⑤ 老师总结：对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。

2.分组问题例2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数，问这样的五位数有几个？

（本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P ×P ）

① 仔细审题：先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。

② 转换题目：在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，有一位同学A将题目转换如下：从班级的第一组（12人）和第二组（10人）中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法？

③ 解决问题：接着我就让同学A来提出选人的方案同学A说：先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，有P ×P 种选法；再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P ×P 种选法；最后由乘法原理得出结论为（P ×P ）×（P ×P ）（种）。（这时同学B表示反对）

同学B说：如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P ×P。（同学们都表示同意，但是同学C说太蘩）

同学C说：可以先分别从两组中把5个人选出来，然后将这5个人在5门学科中排列，他列出的计算式是C ×C ×P （种）。（再次通过互相讨论，都表示赞赏）

这样原题的解答结果就“浮现”出来C ×C ×P （种）。

④ 老师总结：针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。

以上是我一节课两个例题的分析过程，旨在通过这种方法的尝试，进一步活跃课堂气氛，更全面地调动学生的学习积极性，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，让学生在互相讨论的过程中学会自己分析转换问题，解决问题。

怎样解排列组合应用题 篇12

一、重视用加法原理或乘法原理解题例1:某幢八层大楼的底层电梯上了8名乘客,各自到某一层下电梯,问有多少不同下法?

解:在8名乘客中,对乘客1来说,有在二楼下、三楼下……八楼下这7种可能性,其他7名乘客同样如此。所以按乘法原理,共有78种不同下法。

二、如何判断是排列问题还是组合问题?

例2:(1)10个人互赠照片,要多少张照片?(2)10个人相互下棋,要下多少盘棋?

解:(1)“甲赠乙照片”是一个选择结果,如果交换这个结果中的甲、乙位置,便得“乙赠甲照片”,这是另一回事,所以本例问题,结果总数是A210.

(2)“甲与乙下棋”同“乙与甲下棋”是一回事,所以本题是组合题,结果总数是C210.

三、复杂问题的分解与综合

一件复杂工作往往可以分几步做,即它是几件依次进行的简单工作的合成,要计算完成这件复杂工作的方法数,就当用乘法原理。有时一件复杂工作实际上是几种互相独立地工作的合并,每种工作方式都能独立完成这工作,要计算完成这件复杂工作的方法数,应当用加法原理。

例3:某生物考察队共15人,其中有6人熟悉当地环境,可充当向导,问一共有多少种选法?

解:本题由于有“至少要有2向导”这个附加条件,情况就复杂化了,所以必须对这个问题进行分析。

选拔先遣组有四种独立方式,每种方式又可分两步进行:(1)选2名向导,再选3名不熟悉环境的;(2)选3名向导,再选2名不熟悉环境的;(3)选4名向导,再选1名不熟悉环境的;(4)选5名向导,不选不熟悉环境的人。

将以上分析结果综合起来,得到先遣组选法总数为:

四、解有附加条件的应用题的直接法与间接法

仍然考虑例3上面所用的解法,可以称为直接法。现在改用间接法来解它。

如果我们选不考虑“至少要有2名向导”这个附加条件,先遣组的选法显然有C1515种,然后剔除不符合附加条件的那些选法——至多只有1名向导的选法,即所选5人中没有向导或只有1名向导,这样得到先遣组选法总数为:

其实,间接法也是加法原理的应用,不过是把n1+n2=n改为n1=n-n2罢了。一般来说,当不符合附加条件的选择分支数较少时,用间接法比较简便。

五、防止重复、遗漏

例4:有9本不同的书,(1)平均分给A、B、C三人,有多少种分法?(2)平均分三摊,有多少种分法?(3)分为三摊,一摊5本,另外两摊各2本,有多少种分法?

解(1)任取3本分给A,有C93种方法,再在剩下的6本书中任取3本给B,有C63种分法,最后三本留给C,所以共有C93C63C33种分法。

(2)上题A、B、C三人是可分辨的,而“三摊”是不予分辨的,不必考虑顺序,所以要把上题的结果总数除以A,即:平均分三摊,有C93C63C33/A33种方法。

(3)任取5本放一摊,有C95种方法,再把剩下的4本书平均分两摊,有C42C22/A22种方法。所以本题分法总数为C95C42C22/A22。