排列与组合（精选12篇）
排列与组合 篇1
题型1:分组问题
例1.将5名实习老师分配到3个班实习, 每班至少1名, 至多2名, 不同的分配方案有 ()
A.30 B.90
C.180 D.270
解析:由题目可知, 5名教师只能分组为1, 2, 2, 首先选出分配1个老师的那个班, 即C31·C51, 然后把剩下的4名老师随机各选2名分给剩余两班, 即C42·C22, 则最后应该有分配方案C31·C51·C42·C22=90种, 故选B。
考点升华:均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合常见题型。解决关键是是否均匀, 无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数;有序分组要在无序的基础上乘以分组数的阶乘数。
题型2:捆绑问题
例2.将4名男生、3名女生排队照相, 若7人排成一列, 4名男生须排在一起, 方法有 ()
解析:先将4名男生排在一起, 当成一个元素, 再与其余3名女生排, 故共有A44·A44=576种, 故选B。
考点升华:把相邻元素看做一个整体, 再和其他元素一起排列的方法称为捆绑法, 此法应注意捆绑元素内部的排列。
题型3:特殊元素 (位置) 问题
例3.某晚会由7个节目组成, 演出顺序有如下要求:甲节目须排在前两位, 乙不排在第一位, 丙须排在末位, 则节目排序方案有_______种。
解析:特殊节目有甲、乙、丙三个, 可按甲的节目分两类: (1) 甲排第一位, 共有A55=120种排法; (2) 甲排第二位, 共有A41·A44=96种, 据分类计数原理, 共有方案120+96=216种, 故填216。
考点升华:如果题目中含有特殊的元素或位置, 应先满足这些特殊元素或位置, 然后安排其他元素或位置, 即采取先特殊后一般的解题原则。
题型4:插空问题
例4.8名学生和2名老师站在一处留影, 2名老师不相邻的排法有 ()
A.A88·A29种 B.A88·C29种
C.A88·A27种 D.A88·C27种
解析:据题意先让8名学生排列, 共有A88种, 再让2名老师插在8名学生形成的9个空中, 有A92种, 故共有A88·A92种, 故选A。
考点升华:对于不相邻问题, 先考虑不受限制的元素的排列, 再将不相邻的元素插在前面元素排列所形成的空档中。
排列与组合 篇2
昨天学校督导课，我就上了排列这一节课，这节课重点要培养学生有顺序地全面地思考问题的意识，为了达到这个目标，我做了大量认真仔细的准备工作，首先认真研读教学参考书对本节课的解读，明确了本节课的教学目标、重难点，然后精心设计教学过程，精心制作教学，为学生准备了课堂上要使用的2份作业纸，还布置学生在家里制作了数字、字母卡片，三朵花。功夫不负有心人，上完本节课，我自己感觉学习效果非常好，学生也得到了相应的训练和发展，现把本节课反思如下：
本节课比较成功的地方有：
1.教学过程设计有趣味，符合二年级小孩子的心理特征
本节课，我设计了小豆班运动会的情境，以这个情境为主线，给运动员编号码，分彩花，照相留念。孩子们都喜欢动画片大耳朵图图里边的动画形象，所以他们很乐意参与到本节课的学习。这节课纪律井然有序，学生学得轻松自如，以前我班的一些男生上课总是随意说话，这次可能也是因为有很多听课老师，他们不敢随意说话，因此就认真听课了，正好这次的设计他们也喜欢，因此，整节课教学气氛好，活而不乱。
2.教学效果显著
我们的教学需要高效课堂，本节课排列的思考方法学生学习得很清楚、明白，我巡视时发现以前一些学东西很慢的几个学生都掌握了，听课老师巡视，也发现学生掌握非常好。课前备课时，我还担心学生学习有困难，特意把两道练习题的答案都做成了动态直观的，想着到时向学生展示，但是最后都没用到，因为学生都很会想，会表达，根本无需看我的答案。
3.注重了学生数学思想方法和数学语言的培养
排列和组合重点要培养学生有序的思考，这节课，我非常注重学生有序思考，教给他们有序思考的方法，还注重他们有序的表达自己的想法，邢皓斌同学讲解自己的方法时，就非常清楚有序，我及时表扬了他。
4.课前准备充足有效
为了保证本节课顺利高效，课前我做了大量的准备工作，备课、做、布置指导学生做数字和字母卡片，剪纸花等，各项工作准备充分。
5.板书设计整齐、井然有序
为了能突出本节课的重点、难点内容，我设计了井然有序的板书，为了上课时用两种思考方法写组成的两位数，头一天下午我就在黑板上画好了两个表格，这样避免了只用，翻页后学生啥都不记得了的现象。督导的各位领导对我的板书设计也大为赞赏。
6.注重了学生的自主学习和动手操作
低年级学生以形象思维为主，这节课的教学内容难度较大，为了让学生能更容易理解，我让他们提前准备了各种卡片和彩花，让他们自己动手摆数字和小花，通过形象的拼摆，他们对于组数、分花、照相站队认识非常形象到位。
7.练习题的设计注重形式多样
本节课共设计了两道练习题，第一题和例题形式相似，目的是为了巩固例题，第二题稍微有了难度，需要把例题中学的两种方法都用上，这样训练，学生对于本节课的知识掌握非常扎实。
本节课还需改进的地方是：
1.老师的教学语言再力求精炼。
排列与组合 篇3
《简单的组合与排列》是义教课标实验教材二年级数学上册第八单元数学广角的一个知识点。
在执教这一内容时，我引导学生总结出“交换法、排头法”组合与排列两位数后，设计一道练习题，意外 地形成了一个课堂高潮，学生们精彩的表现令我回味无穷。
教学过程：
师：下面请同学们参加一次有奖竞猜活动，中奖者奖给一朵带“奖”字的红花。话音未落，同学们已兴奋起来，有的举起拳头喊：“哦赛！”
接着，我宣布中奖规则：
1、本次中奖活动的号码是两位数。
2、中奖号码是由2、3、4、5四个数字中不同的两个数字组成。
3、写出由这四个数字组成的所有两位数者方能中奖。
然后提示到：试用刚学到的组合排列的方法，想一想，怎样才不至于遗漏？
（这时，学生各个睁着圆圆的大眼睛，专注地听着，都摆出一副想拿大奖的架势。）
师：动笔写出来吧！惊喜大奖等你拿呢！
话音刚落，学生们拿出笔，伏案写起来，一分钟、二分钟、三分钟过后，各个兴奋地举起手，你看他们面露微笑，似乎等着拿奖了。
生1：我写出10个两位数，依次是23、32……我用交换法想的。
生2：我写出8个，依次是……我用交换法想的。。
生3：我写出12个两位数，依次是23、24、25……我用排头法想的。
这时，师问：还有不同答案的吗？与生3的想法一样的请举手！
噢！全班学生的80％都举起了手。
我宣布：举手的同学们！恭喜你们，你们都中奖了！立刻，教室里欢腾起来，掌声欢呼声连成一片！
“现在，请大家想一想，用什么方法排列才不至于遗漏？”
生1：排头法。
生2：有规律的排列。
生3：交换法。
生:4：有顺序地排列。
师赞许地点点头：“对，你们的说法都有道理。只要有规律、有顺序的排列，才能保证不重复、不遗漏。”
课上到此，“有规律、有顺序”的排列与组合的思想，学生们在实践活动中已有体验，渗透在了他们的脑海里，生成了新知和技能。这一小插曲，为本节课增添了光彩。给我留下的印象是深刻的，回味之余，我感悟到：
一、数学教学要富有挑战性
《课标》指出：“数学教学内容应该是有意义的、富有挑战性的。”本教学片段从内容上，在教材范例中的两个数字和三个数字组合与排列的基础上，扩展到四个数字的组合排列。适当加大了难度，使学习内容富有了挑战性。学生刚刚学会用交换位置和排头方法，组合排列由两、三个数字组合排列两位数，兴犹未尽。此时，老师提出由4个数字组合排列两位数，大家都有再次验证刚学到的方法是否灵验的心理，也想试试自己是否有解决新问题的能力。加之选用了“比赛”的形式，运用了学生的好胜心理，也具有挑战性。这样，内容和形式达到有机结合与统一。因此，课堂气氛骤然升温。学生参与情绪达到了高潮。
二、创设和谐氛围，激发学习兴趣
托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。”以往，我总是先入为主，从结果出发，关注学生是否掌握教材现成的结论。行为上，总是引领学生一步一步完成教学过程或一个一个完成课堂练习。而今天，我只是提出问题和方式，交代比赛规则，完全放开了学生的手脚。而采取“猜奖活动”方式，更激发了学生的兴趣，学生学习的主动性，探究欲望得到了最大限度的释放。这一轻松和谐的学习氛围的营造，让学生以最佳的心理状态兴致勃勃地投入了学习之中。
三、建构过程开发――变静态接受为动态生成。
排列与组合的教学研究 篇4
一、两个计数原理的教学
两个计数原理分别是分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 它们看起来很简单,却是排列与组合的基础和核心,牢固掌握加法原理和乘法原理是学好排列与组合的基础和关键.
教学中可通过日常生活中具体生动的事例逐步引入这两个计数原理,然后着重补充讲解它们的区别及应用条件: 做一件事,如果有几类互相排斥的完成方法,那么就应用分类加法计数原理,把每一类的做法种数相加; 如果需要分几个互相独立的步骤,只有把每一步骤都完成,才能完成这件事,就应用分步乘法计数原理把每一步骤的做法种数相乘. 抓住这一特点,可更简单地归结为:
分步———相乘 分类———相加
如何区分分步与分类呢? 简单地说,如果每次得到的是中间结果,则为分步; 如果每次得到的都是最后结果,则为分类. 这样教学对学生来说更容易理解及掌握. 当然,问题并非都这么简单,如果在某个步骤中又分好几类,或在某一类中又要分好几个步骤,就需要综合运用这两个计数原理.
二、排列与组合概念的教学
排列与组合的概念是比较抽象的,教学中首先应结合教材上的例题,列出各种不同的排列( 组合) 结果,然后总结出各例子共有的特点,最后概括、抽象出问题的本质属性, 从而给出排列( 组合) 的一般定义.
排列与组合的概念,从二者的一般定义上看好像很相似,都是从n个不同的元素中取出m( m≤n) 个元素,这是它们的共同点; 而对取出的m个元素是否进行排序,是判断属于排列问题还是属于组合问题的关键. 抓住这个特点,可以简单地归结为:
既取又排———排列只取不排———组合
排列与组合的概念教学的关键就是让学生了解二者之间本质的区别.
三、排列数与组合数的教学
引入排列、组合的概念之后,应训练学生会具体写出某些个数不太多的所有排列( 或组合) ,这对巩固概念和推导排列数( 或组合数) 公式,起到承前启后的作用,也是培养学生逻辑思维能力的好机会,因此它是教学过程中不可缺少的一环,应引起足够的重视. 在推导出排列数Am n、组合数Cm n 的公式后,应引导学生观察公式的特点,掌握公式的各种变形,并通过做一定数量的习题强化,以达到理解概念熟悉公式,能灵活运用的目的.
四、关于应用题的教学
这部分是教学中的难点. 排列与组合问题由于条件不同,要求不同,因而解题的方法变化多端; 思维的方式不同, 就会有不同的解题方法. 教材例题一般都是典型的例子,应讲深讲透. 在讲解例题过程中,要穿插介绍分类及分步的原则. 分类原则: 分类必须用统一标准,无遗漏,每类之间互相排斥; 分步原则: 分步必须每一步互相衔接,不重复,每步完成一个内容,所有步骤衔接起来就是完成事件的全过程. 这两个原则对解决复杂问题非常有帮助.
总结各类排列、组合问题,可以发现,应用题大致分为三种类型:
1. 没有附加条件的单纯排列或组合题———称之为“基 本题”;
2. 有附加条件的单纯排列或组合题———称之为“变 化题”;
3. 排列与组合结合起来的综合性题———称之为“综 合题”.
“基本题”可以帮助学生巩固排列与组合的概念,建立“有序与无序”的思维; “变化题”与“综合题”可以培养、提高学生灵活运用知识的能力.
正确解题的前提是准确理解题意,尤其是对“变化题”和“综合题”. 教学中应特别注意引导学生考虑以下三点:
一是区分问题的性质,是排列问题还是组合问题.
二是明确共有多少元素,每次取几个.
三是考虑有什么限制条件,特别是有无隐含的限制条件.
尤其对第三点,应给予特别的重视,分析清楚所有限制条件,是解决复杂问题的关键. 解题的基本思路是: 特殊元素和特殊位置给予特殊安排( 称之为“三特思路”) . 下面举例说明:
例1从数字0,1,2,3,4,5中任取五个数字,问:
( 1) 可以组成多少个没有重复数字的五位数?
( 2) 没有重复数字的五位数中,1在首位、5在末位的数有多少个?
( 3) 没有重复数字的五位数中,有多少个是偶数?
分析与解答这是一个与“顺序”有关的问题,属于排列问题,并且每个问题都含有隐含条件或附加条件.
( 1) 这个问题有一个隐含条件,即0不能排在首位( 数字0为特殊元素,首位为特殊位置) . 需分两步完成: 第一步确定首位,从1,2,3,4,5中任选一个数字来排,有A1 5种排法; 第二步确定其余四位,从除首位数字以外的五个数字中任选四个数字来排,有A4 5种排法. 所以,符合条件的五位数的个数是A1 5A4 5= 600.
( 2) 这个问题有两个明确的附加条件: 1在首位,5在末位,数字1,5为特殊元素,首位、末位为特殊位置. 特殊元素及特殊位置优先确定之后,中间的三个位置从剩下的0,2, 3,4这四个数字中任取三个数字进行排列,有A3 4种排法. 所以,符合条件的五位数的个数是A3 4= 24.
( 3) 这个问题显然要复杂些,既含有隐含条件“0不能排在首位”,又含有附加条件“偶数”. 所以,首位数字不能是0,而末位数字必须从0,2,4( 特殊元素) 中任选一个,而0与2,4又有区别. 可把符合题意的五位数分为两类:
一类: 末位数字为0,这样其余位置上的数字可从除0以外剩下的五个数字中任选四个进行排列,共有A4 5种排法. 即末位数字为0的五位数的个数是A4 5.
另一类: 末位数字为2或4. 确定这样的五位数可分三步进行: 第一步,确定末位数字,可从2,4中任选一个,有A1 2 种排法; 第二步,确定首位数字,由于首位不能为0( 隐含条件) ,首位数字只能从除去0和末位数字后剩下的四个数字中任选1个,共A1 4种排法; 第三步,确定中间的三位数字, 从除去首位数字和末位数字后剩下的四个数字中( 包括0) 任取三个排在中间的三个位置上,共A3 4种排法. 根据分步乘法计数原理知,末位数字为2或4的五位数的个数是A1 2A1 4A3 4.
根据分类计数原理得,符合题意的五位数的个数是
例2四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,问: 恰有一个空盒的放法共有多少种?
分析与解答首先,由“四个不同的小球放入编号为1, 2,3,4的四个盒子中”知道“元素”不同,且“位置”不同,故有排列因素.
其次,由条件“恰有一个空盒”得到这样的信息: ( 1) 有且仅有一个空盒; ( 2) 另三个盒子中有且仅有一个盒子装两个小球. 确定一个空盒,需选; 两个小球放在一个盒子中,无序,故有组合因素.
由以上分析知: 这是一道排列组合的“综合题”. 解题思路是“先选后排”,分步解决.
第一步,选取空盒,从四个盒子中任选一个,有C1 4种选法;
第二步,将四个小球分成三堆,有一堆必是两个小球, 从四个小球中任选两个放在一堆,有C2 4种方法; 当分好两个小球的一堆后,余下的两个小球自然分成两堆. 故分堆法有C2 4种.
第三步,把不同的三堆分别放入除空盒以外的另三个不同的盒子中,有A3 3种放法.
由分步计数原理知,不同的放法种数是C1 4C2 4A3 3= 144.
总之,在排列与组合的教学中,两个计数原理是基础, 排列与组合的概念是重点,灵活综合运用是难点. 教学中应紧密围绕这三个方面,通过深入细致的分析讲解,并配合一定数量的例题与练习,达到提高学生思维能力,培养学生良好的思维品质,拓展学生分析和解决问题能力的目的.
摘要：排列与组合是数学中两个重要概念,也是教与学的难点,作者结合多年教学实践,从分步与分类、有序与无序入手,对这两个概念的本质区别和各类应用进行了深入的研究,对如何开展教学给出了具体的方法和步骤,可以为学生学习和教师教学提供一定的理论指导.
排列与组合教学设计 篇5
教学内容：
义务教育课程标准实验教科书（人教版）二年级上册p99-100第八单元的排列与组合
教学目标：
1、通过观察、猜测、操作等活动，找出最简单的事物的排列数和组合数,经历探索简单事物排列与组合规律的过程。
2、培养学生有顺序地全面地思考问题的意识。
3、感受数学与生活的紧密联系，激发学生学好数学的信心。教学重点：经历探索简单事物排列与组合规律的过程 教学难点：初步理解简单事物排列与组合的不同 教具准备：教学课件
学具准备：每组准备3张数字卡片，一张记录单，学具人民币，教学过程
一·情境导入，展开教学
师：同学们，你们喜欢去公园吗？为什么？ 生1：我喜欢去公园，因为公园里空气新鲜。生2：我喜欢去公园，因为公园里有许多动物。生3：我喜欢去公园，因为有许多好玩的东西。
师：今天老师也要带你们去一个更好玩而且充满智慧的地方-----“数学广角”你们想去吗？不过数学广角可不是那么好进的，每位同学不仅需要买门票，还要找到开门的密码才能进去，大家带钱了吗？大家看，儿童票多少钱一张，你准备怎样拿5角钱买门票？（生展示，师课件显示）
生1：我拿一张5角的纸币。生2：。。。。。生3：。。。。。
师：5角钱有这么多的拿法，真棒！既然钱都准备好了，我们就赶快买票去找密码吧！
二·多种活动，体验新知
（一）感知排列
师：.注意听:开门密码是由１、２、3三个数中的任意两个数组成的两位数．那么你能写出几个不同的两位数？（板书划线部分）
（1）请同学们三人合作，用数字卡摆一摆，其中两人摆数，组长记录，比一比看哪组摆出的两位数最多，注意不要重复。（分组完成）
（2）学生汇报交流：谁能告诉大家你们找到了哪几个密码？（展示学生记录单：有摆4个不同的两位数的，也有摆出6个不同的两位数的）
（3）小组讨论：你有什么好的方法能保证摆数时既不漏掉数，也不重复呢？把你的想法说给组内的同学听。（分组讨论）
（4）汇报交流：学生总结方法，生说师用课件演示。也可让生边说边用课件演示（如果方法2、3说不出，师可说：“我也有一种方法，小朋友们想听吗？”）
方法一：每次拿出两张数字卡片调换位置能摆出两个不同的两位数；
方法二：固定十位上的数字，交换个位数字得到不同的两位数；
方法三：固定个位上的数字，交换十位数字得到不同的两位数．
师小结：虽然这几种方法不同，但都能正确有序地摆出６个不同的两位数。可是这六个两位数哪一个才是密码呢？仔细听提示：密码的十位上是2，找到了吗？再听：密码不是21，找到了吗？密码是多少？同学们可真了不起，通过团结合作终于找到了密码。
（二）感知组合
师：你们的合作非常成功，互相握手祝贺一下！注意：每两个人只能握一次手，看一看你们一共握了几次手？
生分组活动，老师指导 生：（合作成功，合作愉快，和你合作真是太愉快了，你的想法太棒了，我们都是最棒的）
小组汇报结果，并表演给大家看，可多找两组汇报
组长（我先跟你握一次手，我再跟你握一次手，你们俩再握一次手，我们三人一共握了三次手）
（三）比较异同：
师：为什么刚才这三位同学握手只握了了3次，而前面的三个数字却组成了6个不同的两位数？(学生独立思考后组内交流：把你的想法说给组内的同学听)师小结：排数时两个不同的数字交换位置可以组成一个新的两位数，握手时两人交换位置还是他们两个人，所以3个数字可以摆出6个不同的两位数，而三个人握手只能握3次。
这就是我们今天学习的简单的排列组合。板书课题：简单的排列组合，这种排列组合的方法在今后的学习和生活中我们还会经常用到。三·反馈练习，加深理解
1.师：刚才同学们通过自己的努力找到了“数学广角”开门的密码，现在我们就到“数学广角” 的“数字宫”里去走一走，看一看，“数字宫”里比赛的题目可真不少，请看。
（1）你能用0、1、2组成几个不同的两位数？（看谁写的又对又快）（2）你能用5、6、7、8组成几个不同的两位数？（板书划线部分 2.“数字宫”里的摆数游戏大家玩得开心吗？下面我们再到“游艺宫”里去看一看，看一场乒乓球比赛，你们高兴吗？快来，乒乓球比赛马上就要开始了，三位运动员正等着我们去给他们搭配衣服呢！（课件。）
师：同学们请看，为运动员搭配衣服，有两件上衣和两条裤子，一件上衣和一条裤子搭配算一种穿法，你能帮老师算清楚一共有几种穿法吗？请同学们翻到课本第101页。101页，第一题，用连线的方法完成好吗？那就开始吧。（生独立完成）
谁愿意到前面来展示展示到底有多少种穿法呢？
生1.。。。。。生2.。。。。。（如果生说的没有顺序，师再提示：感觉有点乱，怎样才能做到有序搭配？）师引导观察：
第一种方案(按上衣搭配裤子)有几种穿法？（４种）
第二种方案(按裤子搭配上衣)有几种穿法?（４种）
师小结：不管是用上衣搭配裤子，还是用裤子搭配上衣，只要按照一定的顺序搭配就能够不重复、不遗漏。
同学们搭配出了4种衣服的穿法，三位运动员每人一套，另一套给老师作为候补队员，全体同学作裁判同意吗？如果每两位运动员只打一场比赛，那么三位运动员可以打几场比赛？同学们，你们有答案了吗？为什么那么快？（三个运动员打比赛和三个人握手的题是一个道理的）师：你也是这样想的吗？
比赛结束了，三位运动员为我们奉献了三场精彩的比赛，为了感谢他们，让我们把最美丽的鲜花献给他们。老师这里有四种花，每两种颜色的花插成一束，我们可以有多少种搭配方法呢？（课件）
学生分组讨论，然后汇报结果教师用课件演示。
下面就让我们把这些美丽的鲜花送给你心目中最优秀的运动员。让我们以最热烈的掌声感谢他们的精彩比赛！四·课后总结，畅谈感想
师：在数学广角中还有许多地方如：“艺术创想”，“科学殿堂”都等着我们去游玩，由于时间关系，今天我们就游玩到这里。说一说，今天你有什么收获？
生1：我学会了排列数 生2：我学会了搭配衣服
生3：我学会了按顺序思考问题。
排列与组合 篇6
1. 若[a，b，c]是取自集合[{1，2，3，4，5，6，7}]中的三个不同的数，且满足[ab+bc+ca]为奇数，则[a，b，c]不同选取方法共有（ ）
A. 132种 B. 96种
C. 60种 D. 24种
2. [（x2+3x+2）5]的展开式中含[x]的项是（ ）
A. [220x] B. [120x]
C. [240x] D. [140x]
3. 某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
[产品类别＼&A＼&B＼&C＼&产品数量（件）＼&＼&1300＼&＼&样本容量＼&＼&130＼&＼&]
由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是（ ）
A. 700件 B. 800件
C. 500件 D. 600件
4. 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如下面茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）
[8 9 7
9 3 1 6 4 0 2]
A. 91.5和91.5 B. 91.5和92
C. 91和91.5 D. 92和92
5. 利用简单随机抽样，从[n]个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为[13]，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（ ）
A. [13] B. [514] C. [14] D. [1027]
6. 在辽宁“全运会”的火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手，若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为（ ）
A. [151] B. [168] C. [1306] D. [1408]
7. 学生通过演示实验来估算不规则图形的面积，先在平面内画四条直线[x=0，x=5]，[y=-2，y=1]围成矩形，再画两条曲线[y=log2x，y=log2（x-3）]，称两条直
A. [35] B. [710] C. [45] D. [34]
8. 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为[a]，第二次出现的点数为[b]，向量[m=（a，b），n=（1，2）]，则向量[m]与向量[n]不共线的概率是（ ）
A. [16] B. [1112] C. [112] D. [118]
9. 已知随机变量[ξ]和[η]，其中[η]=12[ξ]+7，且[Eη]=34，若[ξ]的分布列如下表，则[m]的值为（ ）
[[ξ]＼&1＼&2＼&3＼&4＼&[P]＼&[14]＼&[m]＼&[n]＼&[112]＼&]
A. [18] B. [14] C. [16] D. [13]
10. 设一随机试验的结果只有[A]和[A]，且[P（A）=m]，令随机变量[X=1， A发生，0， A不发生，]则[X]的方差[DX=]（ ）
A. [m] B. [2m（1-m）]
C. [m（1-m）] D. [m（m-1）]
二、填空题（每小题4分，共16分）
11. 一个工厂生产了24000件某种产品，它们来自甲、乙、丙3条生产线，现采用分层抽样的方法对这批产品进行抽样检查.已知从甲、乙、丙3条生产线依次抽取的产品个数恰好组成一个等差数列，且知这批产品中甲生产线生产的产品数量是6000件，则这批产品中丙生产线生产的产品数量是 件.
12. 灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为[ξ]（单位：小时），已知[ξ][?][N]（1000，302），要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率为[99.7%]，问灯泡的最低使用寿命应控制在 小时以上.
13. 一个质地不均匀的硬币抛掷5次，正面向上恰为1次的可能性不为0，而且与正面向上恰为2次的概率相同.令既约分数[ij]为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率，则[i+j]= .
14. 设某大学的女生体重[y]（单位：kg）与身高[x]（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据[（xi，yi）]（[i]=1，2，…，[n]），用最小二乘法建立的回归方程为[y=0.85x-85.71]，若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加 kg.
三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“忠实韩剧迷”与性别有关？
[＼&非忠实韩剧迷＼&忠实韩剧迷＼&合计＼&男＼&＼&＼&＼&女＼&＼&＼&＼&合计＼&＼&＼&＼&]
nlc202309020512
（2）将日均收看该“韩剧”节目不低于50分钟的观众称为“超级忠实韩剧迷”，已知“超级忠实韩剧迷”中有2名女性.若从“超级忠实韩剧迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.
[[P（K2≥k）]＼&0.05＼&0.01＼&[k]＼&3.841＼&6.635＼&]
附：[K2=n（n11n22-n12n21）2n1+n2+n+1n+2].
16. 由于某高中建设了新校区，为了交通方便要用三辆通勤车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为[14]，不堵车的概率为[34]；汽车走公路②堵车的概率为[p]，不堵车的概率为[1-p]，若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响.
（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为[716]，求走公路②堵车的概率；
（2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望.
17. 高校招生是根据考生所填报的志愿，从考试成绩所达到的最高第一志愿开始，按顺序分批录取，若前一志愿不能录取，则依次给下一个志愿（同批或下一批）录取.某考生填报了三批共6个不同志愿（每批2个），并对各志愿的单独录取以及能考上各批分数线的概率进行预测，结果如表所示（表中的数据为相应的概率，[a，b]分别为第一、第二志愿）.
[批次＼&高考上线＼&[a]＼&[b]＼&第1批＼&0.6＼&0.8＼&0.4＼&第2批＼&0.8＼&0.9＼&0.5＼&第3批＼&0.9＼&0.95＼&0.8＼&]
（1）求该考生能被第2批[b]志愿录取的概率；
（2）求该考生能被录取的概率；
（3）如果已知该考生高考成绩已达到第2批分数线却未能达到第1批分数线，请计算其最有可能在哪个志愿被录取？（以上结果均保留二个有效数字）
18. 现有甲、乙两个盒子，甲盒中装有4个白球和4个红球，乙盒中装有3个白球和若干个红球，若从乙盒中任取两个球，取到同色球的概率是[1328].
（1）求乙盒中红球的个数；
（2）若从甲盒中任取两个球，放入乙盒中均匀后，再从乙盒中任意取出2个球放回到甲盒中，求甲盒中白球没有增加的概率；
（3）从甲、乙两个盒子中各任取两个球进行交换，若交换后乙盒子中的白球数和红球数相等，就说这次交换是成功的，试求当进行150次交换（都从初始状态交换）时，大约有多少次是成功的.
排列与组合应用题教学六法 篇7
一、直接法
依据两个基本原理以及排列、组合的有关概念, 直接列式计算而得到其方法种数的方法称为直接法.
例1:有甲、乙、丙三项任务, 甲需2人承担, 乙、丙各需1人承担, 从10人中选出4人承担这三项任务, 共有多少种不同的选法?
解:这是组合问题, 分三步完成:
第一步, 从10人中选出2人承担甲项任务, 共有_______种方法;
第二步, 从剩下8人中选1人承担乙项任务, 共有______种方法;
第三步, 从另外7人中选1人承担丙项任务, 共有_____种方法.
因此, 不同的选法种数共有C210·C81·C71=2 520种.
【说明】用直接法解题时, 捕捉信息, 分清排列问题还是组合问题, 进行分类或分步是解题的关键.
二、间接法 (排除法)
在求解附加有限制条件的排列、组合问题时, 可首先求出不含有其附加条件的排列、组合数, 再减去其中不符合附加限制条件的排列、组合数的方法称为间接法 (排除法) .
例2:某小组共有10名学生, 其中女生3名, 现选举2人当代表, 至少有1名女生当选, 共有多少种不同的选法?
解:从10名学生中任选2名当代表有C210种选法, 其中不符合要求的有:两人都是男生的选法有C72种选法, 因此, 符合条件的选法有C210-C72=24种.
【说明】本例是带有附加条件的组合问题, 这里“至少有1名女生当选”, 即为附加条件.先求出所有的组合数, 再减去不符合条件的选法.
三、捆绑法
在研究某些排列、组合问题时, 某些元素必须在一起, 处理时把它们并成1组, 或者作为一个整体, 与其他元素进行排列、组合, 然后再考虑该整体内部的排列、组合问题.这种方法叫捆绑法.
例3:有7个人排成一排照相, 甲、乙两人必须相邻的排法有多少种?
解:本例是排列问题, 可分为两个步骤:
第一步, 将甲、乙两人当作1个 (保证他们相邻) , 6个人的全排列数为A66;
第二步, 甲、乙两人的位置可以交换, 排列数为A22;
因此, 甲、乙两人必须相邻的排法种数为A66·A22=1 440种.
四、插空法
在研究不相邻的排列问题时, 可先安排无条件限制的元素, 然后把要求不相邻的元素根据题设安插在上述元素的空位当中, 必要时包括前后两端的空位, 这种解题方法称插空法.
例4:由数字1、2、3、4、5组成的没有重复的数字, 且数字1与2不相邻的5位数, 那么这种5位数共有多少个?
解:本例是排列问题, 分两步完成:
第一步, 先让3、4、5这3个数作全排列, 有A33种选法.排好后出现4个空位, 如下图:
第二步, 从这4个空位中任取两个让1、2去站位, 则数字1与2均不相邻共有站法种数为A42, 根据分步计数原理, 这种5位数共有A33·A42=72个.
五、先选后排法
对于排列、组合的混合应用题, 往往可以采用先选出来, 然后再按要求进行排列的方法, 这种方法称为先选后排法.
例5:从5男4女中, 选出3男2女共5个人, 分别参加5种不同的工作, 有多少种不同的选法?
解:这是一个排列、组合的混合应用题, 分两步完成:
第一步 (先选) , 从5男4女中选出3男2女5个人, 共有C53·C42种选法.
第二步 (后排) , 选出的5个人分别参加5种不同的工作, 有A55种选法.
依据分步计数原理, 不同的选法共有 (C53·C42) ·A55=7 200种.
【说明】用先选后排法解排列、组合的混合应用题, 关键是如何先选, 也就是把元素分成怎样的组合, 要选得合理, 解法才会正确.
六、特殊优先法
对于一些带有附加条件的排列、组合应用问题, 往往优先考虑受条件限制的某些特殊元素或特殊位置, 然后再考虑剩下的元素或位置的方法称为特殊优先法.
例6:用数字0、1、2、3、4、5能组成多少个没有重复数字的6位奇数?
解:本例是一个带有特殊条件的排列问题, 先排含特殊条件的数字, 共分3步完成:
第一步 (特殊优先) , 个位数可从1、3、5这3个奇数中任选1个, 有A31种选法;
第二步 (特殊优先) , 由于0不能是10万位数字, 所以从剩余的2个奇数与2、4共4个数字中任选1个作为10万位数字, 有A41种选法;
第三步, 再把剩余的3个数字与0共4个数字, 在万位数至10位数的4个位置上进行全排列, 有A44种选法;
依据分步计数原理, 共有A31·A41·A44=288种选法.
排列组合的算法设计与C++实现 篇8
排列和组合是数学和计算机科学中的一项重要内容, 很多问题 (如旅行商问题、工作分配问题) 的求解中都用到了{1, …, n}的全排列。我们知道{1, …, n}的全排列有n!中, 那么该如何设计算法来得到所有的排列, 并用某种语言编程实现呢?下面详细讨论了四种生成{1, …, n}的全排列的算法, 还讨论了一种生成{1, …, n}的字典序r-组合的算法, 5种算法都用C++语言编程具体实现 (由于篇幅问题, 此处没列出C++源程序, 需要源程序的本人可以提供) 。
2 用换位法生成全排列
设已经得到了{1, …, n-1}的 (n-1) !个排列的表, 我们可以把n插入到{1, …, n-1}的每一个排列中的n个可能的位置中去, 从而得到{1, …, n}的n (n-1) !=n!个排列的表。
我们开始从左到右把n插入到12… (n-1) 的n个位置中去, 然后每处理一个{1, …, n-1}的新排列时, 再调转方向。因为这样它满足最小变化要求:仅仅需要交换相邻的两个元素就能得到一个新的排列。
例n=4的情况, 如下:
开始1的排列 1
从右到左将2插入1 12 21
从右到左将3插入12, 再从左到右将3插入21, 得到123 132 312 321 231213
对上面得到的6个{1, 2, 3}的全排列, 从右到左将4插入123中, 再调转方向从左到右将4插入132, 再调转方向依次插入, 如下
为了得到{1, …, n}的所有排列, 就先得生成并保存{1, …, n-1}的所有排列, 而为了生成{1, …, n-1}的所有排列, 又必须先生成{1, …, n-2}的所有排列, 等等, 这样处理和编程都比较困难。
我们可以找到一种方法, 不需要保留所有排列的列表, 从第一个排列1, …, n开始, 每次交换相邻的两个数就得到一个新的排列, 得到与上面相同的顺序。为此, 我们给每个整数k赋予一个方向, 在其上面画一个小箭头来表示:k或k。如果一个整数k的方向指向一个相邻的更小的整数, 我们称这个整数是活动的。例如, 对2 6 3 1 4 5, 346是活动的。
生成{1, …, n}的排列的算法为:
从12…n开始, 重复进行下面3步, 直到不存在活动元素。
1) 求出一个最大的活动元素k
2) 交换k和它指向的相邻元素
3) 把所有大于k的元素的方向调转对n=3应用该算法, 如下所示:
3 用字典序法生成全排列
上面的算法得到的排列的顺序不是非常自然, 我们可以找到一个算法, 按字典序生成{1, …, n}的所有的排列。字典序就是像在字典中单词的排列顺序一样, 所有的排列按照升序排队。
我们先来看看从一个排列来找下字典序的一个排列。例如, 对{1, 2, 3, 4, 5, 6}的一个排列163542, 如何找它的下一个排列。为了按照字典序得到最小的变化, 我们应该尽量去换动右面的数字。我们发现最后三个数字是最大的 (从右到左一个比一个大) , 无法再做任何调整。但3小于右面的5, 3542不是最大的, 故可以换动3。为了使得变化最小, 应该在3的后面找一个比3大的最小的数, 这可以从右到左找到第一个比3大的数。交换这两个数后形成164532, 现在最后三个数依然是从大到小排列的, 为使这三个数最小, 可以把这三个数逆置, 这样便得到163542是下一个排列为164235。
于是, 按字典序生成{1, …, n}的所有的排列的算法如下:
将12…n放置到a数组中, 重复进行以下步骤
1) 从右向左找到第一个减小的元素a[m], 如果不存在这样的元素则结束
2) 再从右向左找到第一个大于a[m]的元素a[k]
3) 交换a[m]和a[k]
4) 将m以后的每个数逆置, 得到一个排列
4 用减治-递归法生成全排列
可以采用减治法, 把n个数的排列, 转化为n-1个数的排列。对{1, …, n}的所有的排列, 我们先把1放在首位, 把{2, …, n}的n-1个数进行全排列, 然后再把2放置在首位, 把剩下的n-1个数进行全排列, ……, 以此类推, 就得到{1, …, n}的所有的排列。为了把某个数 (比如2) 放到首位, 可以交换这个数和第一个数, 但在对剩下的数进行全排列后, 应该再把这两个数交换回来, 以保持原有的顺序不变, 以便可以继续把第一个数和另一个数 (比如3) 进行交换。
5 用回溯-递归法生成全排列
回溯法的一个很好的例子是n皇后问题, 就是在一个n×n的棋盘上放n个皇后, 使得彼此不受攻击。全排列问题可以看作是一个简化的n皇后问题, {1, …, n}的n个元素看做是n个皇后, 放到一个1×n的棋盘上, 每种放法就对应一个排列。
仿照n皇后问题, 得到全排列的回溯算法:先把12…n放置到a数组中, x数组用来记录每个位置所放的是哪个元素, c数组用来记录各个位置是否已经放了数。对于第个元素i, 有n个可能的位置, 先看第一个位置, 如果可以放就放下去, 同时记录该位置已放数据。从第i+1个元素开始将各个元素放到x数组中, 当放好第n个数后就得到一个排列。将已放下去的第i个元素拿起来, 继续看能否放到下一个位置, 放好了第i个元素后继续放置第i+1个元素。
6 组合问题, 按字典顺序生成{1, 2, …, n}的所有r-组合
前面均为{1, 2, …, n}的全排列, 下面来研究一下生成{1, 2, …, n}的所有r-组合的字典排序算法。
例如, {1, 2, …, 8}的字典序的5-组合, 第一个应该是12345, 最后一个是45678。对12478, 我们来找它的下一个组合。和排列一样, 为了得到最小的变化, 我们尽量去改动靠右面的数字。最右面两个数字78已是最大无法再增加, 而数字4还不是这个位置的最大的数, 于是可以把4加1改为5, 最后两位也跟着改为尽可能小的数67。于是得到12478的下一个组合是12567。
于是按字典序生成{1, 2, …, n}的所有r-组合的算法为
从12…r开始, 重复进行进行以下步骤
1) 从右到左找到第一个不是该位置的最大值的元素a[m]
2) 将该元素加1
3) 将该元素以后的元素依次递增, 得到一个组合
摘要：本文讨论了{1, …, n}的全排列的四种不同的算法, 以及按字典顺序列举{1, 2, …, n}的所有r-组合的算法, 并对各个算法用C++语言进行编程加以实现。
关键词：算法,排列,组合,C++程序
参考文献
[1][美]Richard A.Brualdi.组合数学[M].冯舜玺译.北京:机械工业出版社.2002:27-68.
[2][美]Richard Johnsonbaugh.离散数学 (第五版) [M].石纯一译.北京:人民邮电出版社.2003:167-182.
排列与组合 篇9
将个不同元素按照一定的条件分配给个不同的对象, 称为分配问题, 有定向分配和不定向分配两种情况.
将个不同元素按照一定的条件分成组 (或堆) , 称为分组问题.有非平均分组、平均分组和部分平均分组三种情况.
分配问题与分组问题有联系也有区别。相同点:分配问题和分组问题中每一对象或每组分得的元素之间是不考虑其顺序的.主要区别:分配问题涉及被分配的元素和接受元素的对象;分组问题则仅有被分的元素, 没有接受元素的对象, 各组之间不需考虑其顺序的.
二、解法辨析归纳
【问题1】将9本不同的书按照下列要求处理, 各有多少种不同的分法?
(1) 分成三组, 一组5本, 一组3本, 一组1本; (2) 分成三组, 每组3本. (3) 分成三组, 其中一组5本, 另两组每组2本.
【解析】 (1) 属非平均分组问题, 与顺序无关, 是组合问题, 由于每组书的本数是不一样的, 因此各组间不会出现相同的情况, 共有种分法
(2) 属平均分组问题, 与顺序无关, 是组合问题.有些同学会认为分组的方法数是种, 其实不然, 这种分法实际上重复了6次.我们不妨把9本书标上1、2、3、4、5、6、7、8、9九个号码。考察以下两种分法: (123) 、 (456) 、 (789) 与 (456) 、 (789) 、 (123) , 由于书是均匀分组的, 三组的本数一样, 三组的位置并无差别, 与顺序无关, 这两种分法是同一种分法, 故分法会产生重复, 考虑它们之间的次序有种方法, 所以要除以平均分组的组数的全排列数, 所以共有种分法.
(3) 属部分平均分组问题, 与 (2) 的处理方法类似, 要除以部分平均分组的组数的全排列数, 共有种分法.
【小结1】一般地, 把个不同的元素分成组, 各组内元素数目分别为, , …, , 其中有个组的元素数目相等, 那么分组的方法数是.
【问题2】 (接问题1) (4) 分给学生甲5本, 学生乙3本, 学生丙1本;
(5) 分给甲、乙、丙三人, 每人3本;
(6) 分给甲、乙、丙三人, 其中1人得5本、1人得3本、1人得1本;
(7) 分给分给甲、乙、丙三人, 其中一人5本, 另两人每人2本;
【解析】 (4) 属非平均定向分配问题, 不涉及排序, 可考虑甲先在9本书中任取5本, 取法有种, 再由乙在余下的书中取3本, 取法有种, 最后由丙取余下的1本, 有种取法, 由分步计数原理得共有种分法.
说明:对于 (4) (5) 小题, 由于分配给三人, 每人分几本是一定的, 属分配问题中的定向分配问题, 可由分步计数原理直接得出.
(6) 属非平均不定向分配问题, 先分组, 再分配, 与顺序有关, 需排序, 在 (1) 的基础上, 考虑到甲、乙、丙三人的平等地位, 让甲、乙、丙三人全排列调换位置, 共有种分法.
(7) 属部分均匀不定向分配问题, 先分组, 再分配, 在 (3) 的基础上排序, 共有种分法.
【小结2】一般地, 如果把不同的元素分配给几个不同的对象, 并且每个对象可接受的元素个数没有限制, 那么是先分组后排列的问题, 其分配的方法数等于分组方法数乘以对象数的全排列数.
三、高考真题演练
例1. (1998全国卷) 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检, 每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共有 ()
A.90种B.180种C.270种D.540种
【解析】属定向分配问题, 让3所学校依次挑选, 先由学校甲挑选, 有种, 再由学校乙挑选, 有种, 余下的到学校丙只有一种, 于是共有=540种分配方法.
例2. (2005江西卷) 将9个 (含甲、乙) 平均分成三组, 甲、乙分在同一组, 则分组方法的种数为 ()
【解析】先在除甲、乙以外的7个任选1人与甲、乙在同一组, 有种方法, 然后将其余的6人平均分成两组有种方法, 由分步计数原理得共有种方法.
例3. (2009重庆卷) 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官, 每个乡镇至少一名, 则不同的分配方案有种.
【解析】分两步完成:第一步将4名大学生按2, 1, 1分成三组, 其分法有, 第二步将分好的三组分配到3个乡镇, 其分法有, 所以满足条件的分配方案有种.
例4. (2006全国卷) 5名志愿者分到3所学校支教, 每个学校至少去一名志愿者, 则不同的分派方法共有 ()
A.150种B.180种C.200种D.280种
排列与组合 篇10
一、依据教材、课标及学生情况确定教学目标
1. 知识教学:
(1) 使学生理解分类与分步计数原理的内容。
(2) 结合实际问题使学生能正确运用分类与分步计数原理解题。
(3) 根据例题的解答, 使学生明确分类计数原理即为加法原理;分步计数原理即为乘法原理。弄清两个原理的区别。
2. 能力训练:通过本节学习, 培养学生的逻辑推理能力和自主创新能力。
二、教学过程
1. 创设问题情境。首先, 教师让学生思考两个引例:
引例1:书架上分别放有5本不同的数学书, 4本不同的英语书, 3本不同的语文书, 从书架上任取一本, 有多少种不同取法?
引例2:书架上分别放有5本不同的数学书, 4本不同的英语书, 3本不同的语文书, 每科任取一本, 有多少种不同取法?
然后, 教师找学生回答两个引例的解答方法, 再由教师梳理解题思路, 明确指出引例1用分类计数原理求解, 引例2用分步计数原理求解, 从而引出本节课题。
本设计意图是通过创设问题情境, 让学生尝试自主解决问题, 进一步掌握、巩固和升华知识, 把教学引向深入。
2. 自主探究:在这一层中主要揭示分类与分步计数原理, 并巩固原理。
(1) 揭示原理:本环节再现了知识的发生、发展及形成过程。
教师分析讲解:
第一, 引例1中要完成从书架上任取一本书这件事, 要分类考虑:第一类是取数学书, 有5种不同取法。第二类是取英语书, 有4种不同取法。第三类是取语文书, 有3种不同取法。所以共有5+4+3=12种不同取法。由此引出:
分类计数原理:完成一件事, 有n类办法, 在第1类中有m1种不同方法;在第2类中有m2种不同方法;……;在第n类中有mn种不同方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同方法。并特别指出:分类计数原理又叫加法原理。
第二, 引例2中要完成从书架上每科任取一本书这件事, 要分步考虑:第一步是取数学书, 有5种不同取法。第二步是取英语书, 有4种不同取法。第三步是取语文书, 有3种不同取法。所以共有5×4×3=60种不同取法。由此引出:
分步计数原理:完成一件事, 要分成n个步骤, 做第1步中有m1种不同方法;做第2步中有m2种不同方法;……;做第n步中有mn种不同方法。那么完成这件事共有N=m1×m2×……×mn种不同方法。并特别指出:分步计数原理又叫乘法原理。
本设计意图是让学生回答自己怎样区分两个原理。同学之间互相补充, 不仅锻炼了学生分析问题的能力, 又培养了学生语言表达能力, 同时也增强了学生对两个原理的理解。最后, 老师帮学生梳理清两个原理的区别。
(2) 巩固原理:本环节主要强化基本技能训练, 培养学生良好的学习习惯, 安排例题使学生巩固所学原理。
例1:高一年级有3名三好学生, 高二年级有5名三好学生, 高一年级有6名三好学生。
问题一:从这些人中任选一人, 有多少种不同取法?
问题二:从每个年级任选一人, 有多少种不同取法?
为了帮助学生思考, 教师给出两个问题:此题的两问有什么不同?两问分别用哪个原理来解答?
本设计意图是通过这道例题解答, 使学生更好地理解和运用两个原理。
在例1的基础上, 接着让学生做例2、例3。
例2:一种号码锁, 有4个拨号盘, 每个盘上有从0到9共10个数字, 这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码?
例3:要从甲乙丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班, 有多少种不同选法?
本设计意图是让学生自己动脑, 分析应该用哪个原理来解答。把抽象问题直观化、形象化, 有利于学生理解原理并顺利解答问题。
3. 巩固训练:
本层次分为基础训练和提高训练, 目的是让所有学生都能得到巩固和提高。通过这两组题目, 教师还要强调投信这种题型的特点, 让学生能灵活运用。
(1) 基础训练:
例题1:班内有30名男生, 20名女生。 (1) 从中任选一人, 有多少种不同选法? (2) 从男女中各任选一人, 有多少种不同选法?
例题2:从5名同学中选出正副组长各一人, 有多少种不同选法?
例题3:乘积 (a+b+c) (d+e+f+g) (k+m+n+p+q) 展开后共有多少项?
(2) 提高训练:
例题1:有4封信全部投进3个邮筒, 共有多少种不同投法?
例题2:3个班分别从5个旅游景点选一处游览, 有多少种不同选法?
例题3:在平面直角坐标系中, 横坐标与纵坐标均在A={0、1、2、3、4、5}内取值, 得到的不同点有多少个?
例题4:从1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取两个不同的数, 分别作对数的底数和真数, 共有多少个不同的对数值?
例题5:A={1、2、3}, B={a、b、c、d}, 从A到B的映射共有多少个?
本设计意图是使学生充分认识本节知识在实际生活中的应用, 并培养学生用所学知识解决实际问题的兴趣和能力。
4. 反思与回顾。
由学生陈述小结本节以下内容:分类计数原理内容;分步计数原理内容;两个原理的区别。本设计意图是通过小结, 帮助学生将新知识体系建立模型。
通过这样进行教学设计, 必能使学生深刻理解两个原理, 灵活运用两个原理解题, 为下一步学习排列组合打下坚实的基础。
排列组合中的球与盒子问题 篇11
一、[m]个不同的球放入[n]个不同的盒子
此类问题中球必须都放进盒子，因此按球分步.把“一个球放进盒子”作为第一步，共[m]步，每一步都有[n]种不同的放法，所以把[m]个不同的球放入[n]个不同的盒子，共有[nm]种不同的放法. 求解此类问题的关键在于分清楚谁是球，判断的标准为“球”必须都放完.
例1 4封信投入三个信箱，共有多少种不同的投法？
解析 由于每封信都必须投出去，因此把“信”类比“球”，共有34=81种不同的投法.
此类问题不仅要求“球”必须放完，而且要求每个盒子不空.求解此类问题时，首先要考虑分配情况，然后再考虑球的搭配、盒子的选择.
例3 将4本不同的书奖给3名同学，每个学生至少得1本，共有多少种不同的奖励方法？
三、[m]个相同的球放入[n]个不同的盒子
四、[m]个相同的球放入[n（n 例10 某运输公司有7个车队，现要从这7个车队中抽出10辆车组成一个运输队，每个车队至少抽出一辆，则不同的抽法有多少种？ 点拨 （1）插板与隔板的区别：插板不可相邻且不可放在头尾，而隔板既可相邻又可放在头尾. 这个区别决定了插板与隔板所选的位置不同. 六、[m]个相同的球放入[n]个相同的盒子 只考虑分配方案的个数，常用列举法. 例14 一角硬币3枚、五角硬币6枚、一元硬币4枚，共可组成多少种不同的币值？ 解析 从一角硬币中取，有0个、1个、2个、3个，共四种取法；同理从5角硬币中取有7种取法，从一元硬币中取有5种取法.由于三种硬币至少取一种，所以可组成4×7×5-1=139种不同的币值. 一、特殊元素“优先安排法” 对于带有特殊元素的排列组合问题,一般应先考虑特殊元素,再考虑其他元素。 例:七个同学排成一列,其中有四名男生,三名女生,若甲、乙两人不得排在两端,问有多少种排法? 分析:若有特殊要求元素,则根据情况考虑先排或后排,本题先将甲、乙排在中间5个位置中的两个位置,上再排其余5个人,共有A52·A55=240种。 二、分类法 例:(2004全国高考)同数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23 145且小于43 521的数一共有()个。 (A)56个;(B)57个;(C)58个;(D)60个。 分析:当首位排2,次位排3,有A33-1=5种,次位排4,5时有2A33=12种。 当首位排3时有A44=24种,当首位排4,次位排3时有A33-1=5种。 次位排1,2时有2A33=12种,故共有5+12+24+5+12=58个。 三、转化法 对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难的问题,直接入手不易解决,这时可以考虑间接将其转化为一个简单问题来处理。 例:动点从(0,0)沿水平或竖直方向运动到达(6,8),要使行驶的路程最小,有多少种走法? 解析:动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为14,把动点运动1个单位看成是1步,则动点走了14步,于是问题就转化为在14个格子中填写6个“上”和8个“右”,这也是一个组合的问题,于是得到一共有C614=3 003种走法。 四、先选后排法 对于排列组合混合问题,可先选出元素,再排列。 例:4个不同小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,恰有一空盒的方法有多少种? 分析:因有一空盒,故必有一盒子放两球。(1)选:从四个球中选2个有C42种,从4个盒中选3个盒有C43种;(2)排:把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素,对选出的3盒作全排列有A33种,故所求方法有C42C43A33=144种。 五、捆绑法 对于某几个元素要求相邻的排列问题,可将相邻的元素看做一个整体。 例:七个同学排成一列,其中有四名男生,三名女生,若甲、乙、丙三个人必须相邻,问有多少种排法? 分析:先将甲、乙、丙三个人捆绑在一起,看做一个人,与另外一男生及三名女生排列,然后再排列三名男生间的顺序,共有A55·A33=720种。 六、插空法 对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。 例:要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈不得相邻,问有多少种不同的排法? 分析:不相邻问题是要求某一些元素不得相邻,此类问题可以先将其他元素排好,再将所指定的不相邻元素,插入到它们的间隙及两端位置,本题是先将6个歌唱节目排好,其不同的排法有A66种。这6个歌唱节目的空隙及两端共7个位置中再排4个舞蹈节目有A74种,共有A74A66种。 七、整体优先法 对于局部排列问题,可先将局部看做一个元素与其余元素一同排列,然后再进行局部排列。 例:7人站成一排照相,要求甲乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种? 分析:甲、乙及间隔的3人组成一个“小整体”,这3人可从其余5人中选,有C52种;这个“小整体”与其余2人共3个元素全排列有A33种方法,它的内部甲、乙两人有A22种站法,中间选的3人也有A33种排法,故符合要求的站法共有C52A33A22A33=720种 八、插挡板法 例:由七个学校的学生组成一个10人的球队,每个学校至少有一人,其分配方案共有()种。 分析:10人排成一列,用6块挡板将10人分成7段,每段至少一人,所以两挡板不能相邻,且不在边上,即放在9个空当里,有C96种。 九、直排法 把几个元素排成前后若干排的排列问题,若没有其他的特殊要求,可采取统一排成一排的方法来处理。 例:27个人排队照相,第一排8个人,第二排9人,第三排10人,则所有不同的排法有多少种? 分析:27个人可以在前3排随意就坐,再无其他条件,故3排可看做一排来处理,不同的排法共有A2727种。 十、住店法 例:(1)4名同学报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队、每人限报一个运动队,不同报名方法种数是34还是43? (2)4名同学争夺三项冠军,不允许并列,则其共有多少种不同的冠军获得方法。 分析:要解决重复排列问题要注意分两类:一类元素可重复;另一类不可重复,不能重复的元素看做“客”,作为幂指数,能重复的元素看做“店”,作为幂的底数,再利用分步计数定理可求。故(1)34(2)43。 十一、集合法 例:从6名运动员中选出4名参加4×100 m接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第三棒,共有多少种不同的参赛方法? 分析:设全集U={6个人中任选4人参赛的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第三棒的排列},根据集合元素个数的公式可得方法有:card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)=A64-A53-A53+A42=252种。 十二、逆向法 例:某餐厅供应快餐,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同品种,现在餐厅准备了5种不同选择的荤菜,若要保证每位顾客有200种以上的不同选择,则餐厅至少还要准备多少种不同的素菜? 分析:直接求较难,可以逆向考虑,设n种,转化为方程计算。 解:至少还要准备不同的素菜n种,其中n≥2,n∈N。 ∵C52Cn2>200,∴Cn2>20即,∴n≥7。 故至少还要准备7种不同的素菜。 十三、染色问题特殊法 例:在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物,如图1,要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物。现有四种不同的植物可供选择,则有________种栽种方案。 分析:以A,C,E(相间)栽种植物情况作为分类标准: (1)A,C,E栽种同一种植物,有4种栽法;B,D,F各有3种栽法,∴共有4×3×3×3=108种栽法。 (2)A,C,E栽种两种植物,有C42C32A22种栽法(C42是4种植物中选出2种,C32是A,C,E3个区域中选出2个区域栽种同一种植物,A22是选出的2种植物排列),B,D,F共有3×2×2种栽法(注:若A,C栽种同一种植物,则B有3种栽法,D,F各有2种栽法),∴共有C42C32A22×3×2×2=432种栽法。 (3)A,C,E栽种3种植物,有A43种栽法;B,D,F各有2种栽法,∴共有A43×2×2×2=192种栽法。 综合(1),(2),(3),共有108+432+192=732种栽法。 【排列与组合】推荐阅读： 排列与组合知识点总结08-26 排列与组合的教学研究11-08 排列组合08-02 排列组合题08-18 排列组合算法10-31 排列组合经典例题讲解05-12 计数原理排列组合教案11-13 排列组合复习课学案07-19 怎样解排列组合应用题09-02 排列组合中的站队问题10-11浅谈排列组合 篇12