排列组合熵

排列组合熵（精选6篇）

排列组合熵 篇1

0前言

室性心律失常是一种很危险的心脏病,恶性室性心律失常甚至可以使病人心脏性猝死。准确地检测出心脏病病人发生室性心律失常的时刻,对心脏病病人的病情诊断和治疗都起着很大的作用。常见室性心律失常的检测方法有相关维的分析[1]、利用近似熵[2]、多重分形分析[3]、频域分析[4]和小波分析[5]等。大多数对于室性心律失常研究的重点都放在了区分VF(室性纤颤)和VT(室性心动过速)上。但如果一个心电自动分析系统不能精确快速地定位何时出现室性心律失常,即使分类率再高,实际应用价值也不会太大。Yinhe cao等人[6]提出了利用排列熵判断心电时间序列的不规则性,从而检测出发生病变的心电信号。zhang daoming等人[7]在其基础上利用排列熵移动窗口检测室性心律失常发生的时间,获得了较好的效果。但是,因为窗宽选择固定,没有考虑到覆盖整个心律节拍,因此,检出的室性心律失常发生的时间并不十分精确,不能准确地定位到某个节拍,且文中只对室性心律失常何时出现作了研究,并未对何时结束给出说明。针对上述文献中的不足,本文提出了一种利用检出R峰作为辅助,综合排列熵和RR间期的改变作为判定规则,精确定位室性心律失常的算法。心电数据来源于MIT-BIH心律失常和恶性室性心律失常数据库。结果表明,该算法取得了很高的检出率,可以精确地定位室性心律失常发生的节拍,并且当R峰的检测存在一定程度的漏检和误检时,也能利用R峰漏检回溯很好地定位室性心律失常发生的时间。

1 方法

1.1 基于Hilbert变换[8]的R峰检测

R峰的检出是为了近似算出心律节拍的起始点和结束点,从而得到室性心律失常发生的时间。对于受噪声污染的心电信号,检测R峰需要通过一系列的变换把R峰突出。对心电信号进行预处理,滤掉基线漂移、高频噪声,降低P、T波的影响。首先对心电信号进行小波分解,根据心电信号的频率分布特点进行重建,对重建后的信号一阶差分后进行Hilbert变换,将得到的结果与预处理后的信号综合考虑,根据阈值判定R峰。

1.1.1 基本原理

对于一个时域信号x(t),Hilbert变换的定义如下:

对信号进行Hilbert变换后,信号的拐点对应于Hilbert变换信号与横轴的零交叉点,信号在连续的两个正和负的极值点之间的零交叉点对应于Hilbert变换信号的峰值点。

1.1.2 算法实现

利用Mallat算法对心电信号进行6层小波分解,选择的是双正交样条小波(bior4.4),它由具有最小支撑范围且容易在计算机上实现的B样条函数构造。QRS波群的能量主要集中在17 Hz左右,对于采样频率为360 Hz的信号,R峰的能量主要在第三、四、五尺度上,这里结合第三、四、五尺度的心电信号作为滤波后的心电信号。这样可以滤去基线漂移、高频干扰和大部分P、T波的能量。将预处理后的心电信号进行归一化处理。

计算一阶差分:

对进行Hilbert变换:

归一化处理:

x(n)的峰值点对应着y(n)连续的两个正和负的极值点之间的零交叉点,y(n)在连续的两个正和负的极值点之间的零交叉点对应于Hilbert变换信号的峰值点。即x(n)的峰值对应着R峰位置。综合考虑和,得到:

选取一段心电信号,以D(n)的幅值判定R峰,取得了很好的效果,见图1。

注:从上到下依次为:原始心电信号;小波滤波后的信号;一阶差分信号;一阶差分的Hilbert变换。

1.2 基于排列熵的室性心律失常的检测

1.2.1 基本原理

排列熵是一种基于相空间重构的熵算法,主要是计算相空间内点的符号序列出现概率,然后以Shannon信息熵[9]的形式计算出熵值。排列熵的变化反映并放大了时间序列微小的细节变化,可以很好地检测出复杂系统的动力学突变。

对于时间序列{x(i),i=1,2……},以延迟1将其嵌入m维相空间:X(i)=[x(i),x(i+1),……x(i+(m-1))],对于相空间中任意一点中的m个元素进行升序排列:[x(i+(j1-1)),x(i+(j2-1))≤……≤x(i+(jm-1))],如果存在x(i+(ji1-1))=x(i+(ji2-1))的情况,就按j值的大小排序,这样,相空间中任意一点都可以得到一组序列符号(j1,j2,……jm),这是m!种排列情况中的一种,计算每一种排列出现的概率Pj,则时间序列的k种不同符号序列的排列熵就可以按照Shannon信息熵的形式定义为:

对Hp(m)用ln(m!)进行归一化处理,则

1.2.2 算法实现

排列熵的变化可以反应出动力系统混沌特性的微小改变,一段正常的心电信号的混沌特性与心律失常的心电信号混沌特性必然不一样,利用排列熵来检测出室性心律失常可以得到相当好的效果。

(1)利用本文提出的方法检出心电信号每个心律节拍的R峰的位置,记作R(1),R(2),……R(n)。以Q(1)=(R(1)+R(2))/2作为第一个心律节拍的起始位置,Q(2)=(R(2)+R(3))/2作为第一个心律节拍的结束位置,则Q(1)到Q(2)间的所有采样点近似作为第一个完整的心律节拍。依次计算Q(i)=(R(i)+R(i+1))/2,i

(2)以8个心律节拍作为窗宽。从Q(1)开始,对Q(1)到Q(9)间的所有采样点利用G-P算法[10,11]计算出适合的嵌入维,进行排列熵的计算,计作PE(1)。以一个心律节拍为移动窗口步长,对Q(2)到Q(10)间的所有采样点用G-P算法计算出适合的嵌入维,进行排列熵的计算。计作PE(2),重复该步骤,依次得到Q(3)到Q(3+N),Q(4)到Q(12)……Q(i)到Q(i+8)间的排列熵。分别计作PE(3)、PE(4)……PE(i)。以Q(1)到V(10)这一段采样点为例,若Q(1)到Q(9)的心律都为正常心率,Q(9)到Q(10)为室性心律失常心律,那么Q(1)到Q(9)和Q(2)到Q(10)的这两段时间序列的混沌特性有所不同,计算排列熵可以得出PE(1)>PE(2),即移动窗口中新加入了室性心率失常的采样点,排列熵会有一定程度的降低。降低的大小取决于发生室性心律失常的混乱程度和采样点数。

窗口在移动时,若舍去的一个心律节拍为正常心率,新加入的一个心律节拍若为室性心律异常节拍,则排列熵必然会降低,若舍去和新加入的心律节拍均为室性心律异常节拍,则会影响对新加入心律节拍的判断。需要避免舍去的心律节拍为室性心律失常节拍的情况,所以要对窗口的大小做一个自适应的改变。当窗口移动时,若舍弃的一个心律节拍是已检出的室性心律失常节拍,则将窗口大小改为9个节拍,即暂不舍弃室性心律节拍,新加入一个心律节拍,得到PE'(i+1),然后将窗口调为8个节拍,计算排列熵即PE(i+1),用PE'(i+1)取代PE(i+1)与PE(i)进行比较才能准确地反应窗口新加入的节拍的混沌特性。这样得到了PE和PE’交叉的序列。

(3)综合考虑RR间期与排列熵的关系,得到:

式中c为常数,本文中取15。mean(RR)为序列的平均RR间期。

当PR(i)的值<阈值时,那么就可以认为在第Q(i+8)~Q(i+9)段的节拍发生了室性心律失常。当发生室性心律失常时的RR间期较小时,新加入的室性心律失常的节拍的采样点不足以使得排列熵有较大下降时,RR_DI(i)的取值便会较小。而发生室性心律异常时的RR间期较大时,所加入的室性心律失常的节拍的采样点足够使得排列熵有较大下降。正常心率的排列熵的波动很小,RR间期的波动也不大,则RR_DI(i)的值也不会<阈值。

(4)漏检回溯。R峰的检测会存在一定的漏检,需要对算法进行漏检回溯。当新加入窗口节拍Q(i+8)~Q(i+9)时,若R(i+9)-R(i+8)>1.4mean(RR),则认为Q(i+8)~Q(i+9)间可能存在R峰漏检。取Q'(i+9)=(Q(i+8)+Q(i+9))/2,计算Q(i)~Q(i+9)间的排列熵PE''与Q(i)~Q(i+8)间的排列熵PE(i)做比较,若PE''-PE<-0.1,则认为在Q(i+8)~Q(i+9)间存在漏检,并且漏检的节拍为室性心律失常节拍,发生的位置定在Q'(i+9),但会与实际的R峰点位置有较小的出入。

2 实验和结果

为了验证本文提出的方法,从MIT-BIH心律失常及恶性室性心律失常数据库中提取信号,检测发生室性心律失常的节拍。

取其中一段包含室性心动过速(VT)的信号,取c=15,计算式PR(i)。以-0.06为阈值进行检测结果,见图2。可以看出在R峰被正确检出的情况下每个发生VT的节拍都被正确地检出。

R峰的检测会存在漏检,以图2的一段心电信号为例,假使发生漏检在图中标出(miss)相应位置;在进行漏检回溯时,检测到了漏检的室性心律失常节拍在图中标注“+”。检测结果,见图3。

从图3可见,在漏检回溯时将漏检的室性心律失常节拍检出,但是因为没有检出R峰具体位置的缘故,检出的室性心律失常的位置相对有些偏差。

通过阈值划分,可以很明显地区分正常心律节拍和室性心律失常节拍,与数据库中专家的注解对比,所有标注“V”的节拍全部检出。

本文采用的方法相比有关文献[7]中以固定的2000点采样点为移动窗口宽度,100点采样点为移动步长和-0.01的斜率为检出标准的方法相比,虽然计算相对较为复杂,但是获得了更高的精度,并且把室性心律失常发生的时间定位到了每个节拍,获得了理想的效果。

3 小结

精确检出室性心律失常是区分VT和VF的先决条件,针对目前对室性心律失常的研究,提出了一种利用检测R峰辅助检出室性心律失常的算法,算法首先对心电信号进行小波变换,然后对一阶差分进行Hilbert变换,可以很精确地检测出R峰。然后利用检测出的R峰辅助定位每个心电节拍,计算排列熵。最后综合排列熵和RR间期的改变作为检验室性心律失常的依据。利用MIT-BIH心律失常和恶性室性心律失常数据库来检测算法,效果比较理想。

摘要：目的 采用排列熵和R峰检测相结合方法,定位室性心律失常的发生时间。方法 首先检测出心电信号,利用检测出的R峰作为辅助,近似地划分每个心律节拍;然后利用移动窗口对心电信号进行排列熵计算,从排列熵的变化可以精确地反映出心电信号的规则性的变化;最后综合RR间期和排列熵的变化检测室性心律失常的节拍。结果 利用MIT-BIH心律失常和恶性室性心律失常数据库对该算法进行检测,正确率达到97%。结论 该方法能够快速精确地检测出室性心律失常。

关键词：心电图仪,心电图,室性心律失常,R峰检测,排列熵

参考文献

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[11]吕金虎,陆君安,陈士华.混沌时间序列分析及其应用[M].武汉:武汉大学出版社,2002:57-66.

排列组合熵 篇2

例1：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同，问有多少种不同的方法。

一是仔细审题。在转换题目之前先让学生仔细审题，从特殊字眼小球和盒子都已“编号”着手，清楚这是一个“排列问题”，然后对题目进行等价转换。

二是转换题目。在审题的基础上，为了激发学生兴趣，使其进入角色，我将题目转换为：让学号为1、2、3、4、5的学生坐到编号为1、2、3、4、5的五张凳子上(凳子已准备好放在讲台前)，要求只有两个学生与其所坐的凳子编号相同，问有多少种不同的坐法。

三是解决问题。这时我再选另一名学生来安排这5位学生坐位子(学生争着上台，积极性已经得到了极大的提高)，班上其他同学也都积极思考(充分发挥了学生的主体地位和主观能动性)，努力地“出谋划策”，不到两分钟的时间，同学们有了统一的看法：先选定符合题目特殊条件“两个学生与其所坐的凳子编号相同”的两位同学，有C种方法，让他们坐到与自己编号相同的凳子上，然后剩下的三位同学不坐编号相同的凳子有2种排法，最后根据乘法原理得到结果为2×C=20(种)。这样原题也就得到了解决。

四是学生小结。接着我让学生之间互相讨论，根据自己的分析方法对这一类问题提出一个好的解决方案(课堂气氛又一次活跃起来)。

五是老师总结。对于这一类占位子问题，关键是抓住题目中的特殊条件，先从特殊对象或者特殊位子入手，再考虑一般对象，从而最终解决问题。

二、分组问题

例2：从1、3、5、7、9和2、4、6、8两组数中分别选出3个和2个数组成五位数，问这样的五位数有几个?

(本题我是先让学生计算，有很多同学得出的结论是P×P)

一是仔细审题。先由学生审题，明确组成五位数是一个排列问题，但是由于这五个数来自两个不同的组，因此是一个“分组排列问题”，然后对题目进行等价转换。

二是转换题目。在学生充分审题后，我让学生自己对题目进行等价转换，同学A将题目转换如下：从班级的第一组(12人)和第二组(10人)中分别选3位和2位同学分别去参加苏州市举办的语文、数学、英语、物理、化学竞赛，问有多少种不同的选法。

三是解决问题。我让同学A来提出选人的方案，同学A说：“先从第一组的12个人中选出3人参加其中的3科竞赛，有P×P种选法;再从第二组的10人中选出2人参加其中2科竞赛有P×P种选法;最后由乘法原理得出结论为(P×P)×(P×P)(种)。”(这时同学B表示反对)

同学B说：“如果第一组的3个人先选了3门科目，那么第二组的2人就没有选择的余地。所以第二步应该是P×P。”(同学们都表示同意，但是同学C说太麻烦)

同学C说：“可以先分别从两组中把5个人选出来，然后将这5个人在5门学科中排列，他列出的计算式是C×C×P(种)。”(再次通过互相讨论，都表示赞赏)

这样原题的解答结果就“浮现”出来C×C×P(种)。

四是老师总结。针对这样的“分组排列”题，我们多采用“先选后排”的方法：先将需要排列的对象选定，再对它们进行排列。

三、多排问题

把元素排成几排的问题，可看成一排考虑，再分段处理。

例3：7个人排成前后两排，前排3人，后排4人。

分析：分两步来完成，先选三人排在前排有，余下的4人放在后排有A44种，所以共有种A33×A44=5040;分析：A77=5040，所以对于分排列等价全排列。

排列组合理财法 篇3

若引入一个新的思路：按照“排列组合”方法对“4321理财法则”进行处理。就可以得到P（4，4）=4×3×2×1=24种排列组合方式，对应24种理财方案。需要说明的是，这些理财方案并不全都具有价值，还应该加入某些限定条件，使理财方案能够更加满足实际理财需要。

这些限制条件是：保费占年收入的10%或20%，储蓄占年收入的20%或30%，生活消费占年收入的30%或40%。

加入这3个限制条件后，得到的理财方案更加符合现实生活中不同家庭的实际理财需要。

最终可以得到4个实用型理财方案，分别是：

（A）投资占年收入的10%、保费占年收入的20%、储蓄占年收入的30%、生活消费占年收入的40%；

（B）保费占年收入的10%、投资占年收入的20%、储蓄占年收入的30%、生活消费占年收入的40%；

（C）保费占年收入的10%、储蓄占年收入的20%、投资占年收入的30%、生活消费占年收入的40%；

（D）保费占年收入的10%、储蓄占年收入的20%、生活消费年收入的30%、投资占年收入的40%。

以上4种理财方案分别对应收入水平不同的家庭，详细情况如下表所示。

其中，A方案适用于无社会保险的低收入家庭。由于这类家庭没有单位购买的社会保险，自己负担的保费水平要提高，其他家庭只需占年收入的10%，而这类家庭需提升至20%。由于家庭收入较低，大部分资金都要用在生活消费和储蓄上，生活消费一旦超支就需用储蓄来应急。

B方案适用于有社会保险的中低收入家庭。由于单位给家庭成员购买了社会保险，自己负担的保费支出下降了，只用年收入的10%就可以满足家庭需要。与此同时，由于家庭收入水平有所提高，与低收入家庭相比，有更多的资产用来投资。

C方案适用于有社会保险的中高收入家庭。这类家庭的成员已经有社会保险，自己额外负担的保费占比较低。由于家庭收入水平比前2种家庭更高，这类家庭可以用更多的资金来做投资。他们的储蓄所占比例虽然低，但由于家庭收入基数大，完全可以满足应急需要。

D方案适用于有社会保险的高收入家庭。这类家庭也已拥有社会保险，自身负担的保费压力小。同时，由于这类家庭收入水平很高，他们每年只把年收入的30%放到生活消费上就完全能够满足需要了，因此可以把家庭收入的最大比例（40%）用来做投资，实现财务自由。

案例1

小张23岁，是一位刚刚走上工作岗位的应届大学毕业生，每月工资4000元、年收入大约5万元，单位没有给他购买社会保险。

小张属于典型的“无社会保险、低收入”单身家庭，应该按照A方案进行财务规划：（1）20%的年收入用于购买保险。首先应为自己购买最低档次的社会保险，剩余资金用来购买意外保险、大病保险等商业保险作为有效补充。（2）他应把最大比例的2部分资金（年收入的40%、30%）放在生活和储蓄上。一旦生活消费超支，可以用银行储蓄作为应急和补充。（3）用剩下的少量资金（年收入的10%）作为投资尝试。由于资金量比较小，他这样做的主要目的并不在于能挣多少钱，而在于学习——利用小资金积累投资经验，为以后培养投资感觉。

案例2

王先生35岁，单身，10年工作经验。目前是外企的中层管理人员，月收入2万元。单位不仅为他购买了五险一金的社会保险，而且还为他缴纳了补充医疗保险等商业保险。

王先生属于典型的“有社会保险、中高收入”单身家庭，应该按照C方案进行理财规划：（1）王先生的社会保险已经非常完备，他只需用年收入的10%来购买商业保险，可选择意外保险、大病保险、健康保险、人寿保险等险种。（2）在投资方面，由于王先生的保障比较完备，他可以减少银行储蓄所占年收入的比例，占20%即可，从而可以把更多比例的资金（年收入的30%）用于投资，使家庭资产更具有进攻性，不仅能实现资产保值、还能实现稳步增值。

案例3

李先生38岁，目前是某国企的部门经理，年收入12万元，比较稳定；妻子赵女士今年35岁，某国企的普通会计，年收入8万元。他们夫妇二人的社会保险都比较完备；儿子10岁，小学4年级学生。

李先生家庭属于“有社会保险、中低收入”的三口之家，可以按照B方案进行理财规划：（1）用年收入的10%购买商业保险。首先给孩子购买儿童社会保险，然后再给大人和孩子购买意外保险和大病保险。（2）将家庭年收入的40%和30%分配到生活和储蓄上。（3）家庭年收入的20%用于投资。应优先选择购买稳健型投资理财产品。

案例4

周先生45岁，某公司总经理，年收入大约60万元；妻子吴女士43岁，某公司财务总监，年收入接近40万元。夫妇二人不仅拥有完备的社会保险（包括五险一金），而且还有公司为其购买的补充商业保险，包括意外保险和大病医疗保险。由于工作繁忙，他们一直没有生育自己的子女。

周先生家庭属于典型的“有社会保险、高收入”的丁克家庭，可以按照D方案进行理财规划：（1）用家庭年收入的10%来购买商业保险，可以选择购买高端医疗保险和养老保险。（2）将家庭年收入的20%用于银行储蓄、30%用于生活开销，以满足家庭的应急需要和基本生活需要。（3）可以把家庭年收入的40%用于投资，可适度追求进取型投资。

排列组合熵 篇4

关键词：多尺度排列熵,偏均值,液压泵,故障特征

0 引言

分析壳体振动信号是液压泵故障诊断与预测的主要方法之一，基于振动信号分析结果可以判定液压泵故障的类型和程度[1]。对于轴向柱塞泵而言，由于液压油的压缩性、泵源与液压回路的流固耦合作用以及工作过程中泵体本身固有的机械冲击，导致液压泵的振动信号表现出很强的非平稳、非线性特性[2]。传统的小波分析、经验模态分解等方法能够很好地解决振动信号的非平稳性问题，但采用以上方法处理具有非线性特性的液压泵振动信号具有一定的局限性。

随着非线性理论的发展，许多非线性方法被应用到机械信号处理中，如分形维数、近似熵和样本熵等[3,4]。排列熵（permutation entropy,PE）是Bandt等[5]提出的一种新的时间序列复杂度指标，与Lyapunov指数、分形维数以及样本熵等相比，它在概念上更容易理解，且具有计算简单、运行速度快和对噪声鲁棒性强的优点，排列熵已被广泛应用于脑电信号、心音信号、地磁信号以及机械信号[6]处理中。多尺度排列熵（multi-scale permutation entropy,MPE）是Aziz等在排列熵的基础上提出的[7]，相关研究表明，多尺度排列熵具有比排列熵更好的鲁棒性[8]。在国内，刘永斌等[9]将排列熵用于旋转机械的状态监测，并分析了不同的延迟时间和嵌入维数对排列熵的影响。冯辅周团队对排列熵进行了更进一步的研究，将排列熵用于机械设备的状态监测和故障预测，并对排列熵的参数优化方法进行了研究[10,11]。郑近德等[12]将多尺度排列熵用于轴承的故障特征提取，并与支持向量机相结合，有效地实现了轴承的故障诊断。但现有关于排列熵的研究大都是基于排列熵良好的突变检测性能展开的，多数是采用排列熵检测某一系统的异常或者预测某一故障的发展变化趋势，将排列熵用作故障特征指标实现系统多故障识别的研究还比较少，将排列熵用于液压泵故障识别的研究更是很少见到报道。

本文将排列熵引入液压泵的故障识别中，在对液压泵振动信号排列熵和多尺度排列熵进行研究的基础上，提出了一种综合液压泵振动信号在多个尺度上排列熵值和排列熵值随尺度变化趋势的指标———多尺度排列熵偏均值（partial mean of multi-scale permutation entropy,PMMPE）作为液压泵的故障特征指标，对液压泵实测信号的分析结果验证了所提指标的有效性和优越性。

1 排列熵相关理论

1.1 排列熵算法及其参数优化

排列熵是一种衡量一维时间序列复杂度和随机性的指标，它可以很好地检测出系统的动力学突变[5]。对于一维时间序列{x(j),j=1,2，…，n}，以嵌入维数为m、延迟时间为r对其进行相空间重构，可以得到如下形式的矩阵：

重构的矩阵共包括K行，每一行是矩阵的一个重构分量。对每个重构分量中的元素按其数值大小进行升序排列，然后提取每个元素在排序前重构分量中所在列的索引组成一个符号序列。对于重构的m维列向量，可能出现的符号序列共有m！种，计算第k种排列形式的符号序列出现的概率，记为Pk，则该时间序列的排列熵可以由下式求得：

对Hp进行归一化可得

Hp的大小反映了时间序列的复杂程度和随机性。机械设备发生某种故障时，故障越严重，其振动信号的随机性越小、复杂度越低，此时振动信号的排列熵越小；反之，机械设备处于正常状态时其振动信号的随机性最大，排列熵值也最大[9]。Hp值的变化能够很好地反映机械设备故障程度的变化，常被用作机械设备状态监测和异常检测的指标。对于液压泵而言，当其处于不同的故障状态时，其振动信号的复杂度和随机性也各不相同，因此，排列熵应该可以作为液压泵的故障特征指标用于液压泵的故障识别。

根据排列熵的计算步骤可知，相空间重构时的延迟时间和嵌入维数是影响排列熵算法的两个主要参数，人为地确定这两个参数具有一定的主观性和随机性，针对该问题，饶国强等[11]对比分析了采用互信息法和伪近邻法独立确定两参数与采用关联积分法（C-C算法）联合确定两参数的效果，发现独立确定的参数求得的排列熵具有更好的突变检测效果，也即参数优化能够提高排列熵区分突变前后两状态的能力。

1.2 多尺度排列熵

多尺度排列熵是在多个尺度上计算时间序列的排列熵，求时间序列的多尺度排列熵首先要将时间序列多尺度化即粗粒化[12]。振动信号序列X={x(j),j=1,2，…，n}可以根据下式进行粗粒化：

yi(l）表示尺度为l的粗粒化序列，尺度因子l决定了时间序列的粗粒化程度，在粗粒化过程中时间序列的长度也相应缩短，尺度因子为l时，粗粒化序列长度为ent(n/l），当l=1时粗粒化序列就是原时间序列。

在对时间序列粗粒化处理后，计算每个粗粒化序列的排列熵即可得到多尺度排列熵。为了使每个尺度下的排列熵具有更好的故障识别效果，在计算每个尺度上的排列熵时有必要采用互信息法和伪近邻法优选延迟时间和嵌入维数，基于优化的参数计算各尺度排列熵。

1.3 多尺度排列熵偏均值

在关于多尺度排列熵的研究中，大部分文献都没有提出一种综合多个尺度上排列熵值的指标。文献[13]在对多尺度熵研究的基础上提出了综合时间序列在多个尺度上的非线性信息的指标———多尺度熵偏均值。该指标在计算轴承振动信号多尺度熵的基础上，结合偏均值的概念，综合了多个尺度样本熵值和熵值的变化趋势两方面的信息，能更加全面地反映振动信号所包含的信息。本文在对排列熵和多尺度排列熵研究的基础上，提出了多尺度排列熵偏均值的概念，并采用多尺度排列熵偏均值作为液压泵故障识别的特征参量，以期得到更好的故障识别效果。

某一振动信号序列X={x(j),j=1,2，…，n}的多尺度排列熵偏均值计算步骤如下：

(1）确定多尺度排列熵的最大尺度因子s。

(2）在某一尺度l(l=1,2，…，s）下对振动信号进行粗粒化，采用互信息法和伪近邻法确定该粗粒化序列的最佳延迟时间和嵌入维数，然后计算该粗粒化序列的排列熵Hp(l）；计算所有尺度下粗粒化序列的排列熵可得到X的多尺度排列熵Hmp(X）={Hp(1),Hp(2），…，Hp(s）}。

(3）计算多尺度排列熵的偏斜度Ske，即该序列的偏态绝对值与其标准差的比值，其计算公式如下：

式中，Hmmp、Hcmp和Hdmp分别表示多尺度排列熵Hmp的均值、中位数和标准差。

(4）该振动信号的多尺度排列熵偏均值可按下式求得：

2 液压泵故障特征提取

2.1 振动信号采集

实测液压泵振动信号采自液压泵试验台，液压泵型号为SY-10MCY14-1EL，驱动电机型号为Y132M-4，其额定转速为1480r/min。选用CA-YD-139型压电式加速度传感器与液压泵端盖进行刚性连接，见图1，使用DH-5920动态信号测试分析系统进行数据采集。采集正常、滑靴磨损、松靴、双松靴以及严重松靴5种故障状态下的液压泵振动信号，试验中液压泵故障采用装备检修时换下的出现故障的柱塞代替正常柱塞的方式进行模拟，试验所用部分柱塞见图2。试验中振动信号采样频率为10kHz，每种故障采集10组数据，每组数据采样点数为2048，采样间隔为1min。试验过程中试验台主溢流阀压力为10MPa，电机转速为其额定转速。

采集到的5种状态下液压泵振动信号波形如图3所示。从振动信号的波形图可以看出，不同故障模式下液压泵振动信号的幅值不同，正常液压泵振动信号的幅值最小，但根据时域波形图无法判断液压泵的故障。

2.2 基于排列熵的液压泵故障特征提取

首先分析排列熵作为特征指标区分液压泵不同故障的能力。根据文献[9]的经验，本文取排列熵计算过程中相空间重构的嵌入维数m=5，延迟时间r=3，根据排列熵计算步骤求得5种故障模式下各组样本的排列熵，如图4所示。由图4可以看出，不同故障模式下液压泵振动信号的排列熵具有不同的波动区间，且波动强度也不相同。正常信号的排列熵值最大，波动性最小；严重松靴状态下振动信号的排列熵值最小，波动性最大。排列熵能够较好地衡量不同故障模式下液压泵振动信号的复杂度和随机性。但从图4也可以看出，不同故障模式下的排列熵波动区间有一定的重叠和交叉，直接采用排列熵作为液压泵的故障特征可能会引起误判。

采用互信息法和伪近邻法对排列熵计算过程中的延迟时间和嵌入维数进行优选，基于优选的参数对信号序列进行相空间重构，然后计算其排列熵，以期得到更好的故障识别效果。限于篇幅，此处取正常信号中的第三组数据介绍其参数优选过程。首先采用互信息法确定延迟时间r，求得互信息（mutual information,MI）随延迟时间变化的曲线，如图5所示，根据互信息法确定延迟时间的规则，选定延迟时间r=4。在确定延迟时间的基础上[11]，采用伪近邻法优选嵌入维数，其中最大嵌入维数设置为8，判据一设置为20，判据二设置为2，伪近邻率（ratio of false neighbor,RFN）随着嵌入维数变化的曲线如图6所示，在嵌入维数为4处伪近邻率不再随着嵌入维数的增加而减小，则取嵌入维数m=4。

采用互信息法和伪近邻法求得的5种故障模式下各组样本的延迟时间和嵌入维数如表1所示。基于优选的延迟时间和嵌入维数对各组样本进行相空间重构，并计算其排列熵，得到优化参数下的排列熵如图7所示。

可以看出，与图4相比，图7中不同故障模式下排列熵间的区分度更好，同一故障模式下不同样本的排列熵间的差异更小，说明参数优选能够有效提高排列熵区分液压泵不同故障的能力。但是，不同故障模式下排列熵的波动区间仍有重叠现象。另外，在参数优选条件下，滑靴磨损信号的排列熵值明显变大，造成该变化的原因在于参数优选确定的延迟时间和嵌入维数明显区别于前文排列熵计算时的延迟时间和嵌入维数。以上分析表明，在计算排列熵过程中有必要对延迟时间和嵌入维数进行优选。

2.3 基于多尺度排列熵偏均值的液压泵故障特征提取

排列熵只能反映振动信号在单个尺度上的复杂度和随机性，为了衡量振动信号在多个尺度上的复杂度和随机性，并将多个尺度上的复杂度用一个指标反映出来，本文计算了液压泵振动信号的多尺度排列熵偏均值Hmppc，并对其作为液压泵故障特征指标的可行性和有效性进行分析。

按照多尺度熵偏均值的计算步骤，首先计算5种故障模式下每组样本的多尺度排列熵Hmp，此处从每种故障模式的样本中各选一组进行分析，取最大尺度因子为12，求得5组样本的多尺度排列熵曲线，如图8所示。由图8知，液压泵振动信号的多尺度排列熵熵值Hmp随着尺度因子l的增大呈现递减的趋势，这说明随着尺度的增大，粗粒化序列的复杂度和随机性降低。另外，不同故障类型振动信号的多尺度排列熵曲线具有不同的下降速率，说明不同故障振动信号随着尺度的增大其复杂度降低的速率不同。为了更好地区分液压泵故障，采用多尺度排列熵偏均值作为液压泵的故障特征指标。

计算5种故障模式下各组样本的多尺度排列熵Hmp，并计算它们的多尺度排列熵偏均值Hmppc，结果如图9所示。对比图9和图7可知，多尺度排列熵偏均值能够更好地区分液压泵故障，且具有更好的稳定性。实测液压泵振动信号的分析结果证明了本文提出的多尺度排列熵偏均值作为液压泵故障特征指标的有效性和优越性。

3 结论

排列组合综合问题. 篇5

[关键词] 排列/组合/综合 [标题] 排列组合综合问题 [内容]

北京市东直门中学 吴卫 教学目标

通过教学，学生在进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题 的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想． 教学重点与难点

重点：排列、组合综合题的解法． 难点：正确的分类、分步． 教学用具 投影仪． 教学过程设计

（一）引入

师：现在我们大家已经学习和掌握了一些排列问题和组合问题的求解方法．今天我们要在复习、巩固已掌握的方法的基础上，来学习和讨论排列、组合综合题的一般解法． 先请一位同学帮我们把解排列问题和组合问题的一般方法及注意事项说一下吧!生：解排列问题和组合问题的一般方法直接法、间接法、捆绑法、插空法等．求解过程中要 注意做到“不重”与“不漏”．

师：回答的不错!解排列问题和组合问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用 分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法． 当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可 以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等． 解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”．（教师边讲，边板书）互斥分类——分类法 先后有序——位置法 反面明了——排除法 相邻排列——捆绑法 分离排列——插空法

（二）举例

师：我下面我们来分析和解决一些例题．（打出片子——例1）

例1 有12个人，按照下列要求分配，求不同的分法种数．（1）分为两组，一组7人，一组5人；

（2）分为甲、乙两组，甲组7人，乙组5人；（3）分为甲、乙两组，一组7人，一组5人；（4）分为甲、乙两组，每组6人；（5）分为两组，每组6人；

52（6）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人；

（7）分为甲、乙、丙三组，甲组5人，乙组4人，丙组3人；（8）分为甲、乙、丙三组，一组5人，一组4人，一组3人；（9）分为甲、乙、丙三组，每组4人；（10）分为三组，每组4人．

（教师慢速连续读一遍例1，同时要求学生审清题意，仔细分析，周密考虑，独立地求解． 这是一个层次分明的排列、组合题，涉及非平均分配、平均分配和排列组合综合．各小题之 间有区别、有联系，便于学生分析、比较、归纳，有利于学生加深理解，提高能力）师：请一位同学说一下各题的答案（只需要列式）．

7566生：（1），（2），（3）都是C12；（4），（5）都是C12；（6），（7），（8）C5C654344都是C12（9），（10）都是C12 C7C3；C84C4师：从这个同学的解答中，我们可以看出他对问题的考虑分先后次序，用位置法求解是掌握 了的．但是还请大家审清题意，看（3）与（1），（2）；（5）与（4）；（8）与（6），（7）；（10）与（9）是否分别相同，有没有出现“重复”和“遗漏”的问题．（找班里水平较高的一位学生回答）生：（3）和（1），（2）；（5）和（4）；（8）和（6），（7）；（10）和（9）并不相 同．（3），（5），（8），（10）的答案都错了，既出现了“重复”也出现了“遗漏”的问题．（3）的答案是CCP312552（5）是2；

6644C12C6C12C84C45433；（8）是C12C7C3P 3（10）是P22P33（教师在学生回答时板书各题答案）

师：回答的正确，请说出具体的分析． 生：（3）把12人分成甲、乙两组，一组7人，一组5人，但并没有指明甲、乙谁是7人，谁是5人，所以要考虑甲、乙的顺序，再乘以P2；（8）也是同一道理．（5）把12人分成两组，66每组6人，如果是分成甲组、乙组，那么共有C12种不同分法，但是（5）只要求平均分C62成两组，这样甲、乙组两元素的所有不同排列顺序，甲乙、乙甲共P22个就是同一种分组了，66C12C6所以（5）的答案是；（10）的道理相同． 2P2师：分析的很好!我们大家必须认识到，题目中具体指明甲、乙与没有具体指明是有区别的 ．如果在解题过程中不加以区别，就会出现“重复”和“遗漏”的问题，这是解决排列、组 合题时要特别注意的． 例1中，（1），（2），（6），（7）都是非平均分配问题，虽然（1），（6）都没有指出 组名，而（2），（7）给出了组名，但是在非平均分配中是一样的．这是因为（2），（7）不仅给出了组名，而且还指明了谁是几个人，这一点上又与（3），（8）有差异．（3），（8）给了组名却没有指明谁是几个人． 题中（4），（5），（9），（10）都属于平均分配问题，在平均分配中，如果没有给出组 名，一定要除以组数的阶乘!如果12个人分成三组，其中一组2人，另外两组都是5人，求所有不同的分法种数．这里有不平均（一组2人），又有平均（两组都是是5人）．怎么办? 53 生：分两步完成．第一步：12个人中选2人的方法数C212；第二步：剩下的10个人平均分

5555C10C5C10C52成两组，每组5人的方法数，根据乘法原理得到，共有C12种不同的分法． 22P2P2师：很好!大家已经理解了不平均分配的、平均分配，以及部分平均分配的计算，部分平均

分配问题先考虑不平均分配，剩下的仍是平均分配，平均分配要商除．这样分配问题已彻底 解决了． 请看例题2．

（打出片子——例2）

（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．（教师读题、巡视）师：请一位同学说出（1），（2）的答案．

872生甲：N1＝P77P22；N2＝P8P7P2

师：完全正确!他是用捆绑法解决“相邻”问题的，把2女“捆绑”在一起看成一组，与6男共7组，组外排列为P77，女生组内排列为P2，得2女相邻排法数N1＝P77P22；（2）是用捆 绑法结合排除法来解得，从总体排列P88中排除N1得2女不相邻的排法数N2＝

2P88P77P22

（教师的复述是为了使水平较差学生明白解题思路，了解分析方法，真正理解解法）师：（2）的不相邻的分离排列还有没有其它解法? 生乙：可以用插空法直接求解．6男先排实位，再在7个空位中排2女，共有N2＝P66P72种不同排法．（板书（1），（2）算式）

师：对于（2）的两种解法思路不同，但殊途同归，结果一样，都是正确的．两种解法解决 分离问题是否都很方便呢?试想，如果“5男3女排成一排，3女都不能相邻“P88P66P33与P55P63一样吗?大家动手计算一下．

生：前者是36 000，后者是14 400，不一样，肯定有问题． 师：P66P33是什么? 生：3女相邻．

师：3女相邻的反面是什么? 生：P8P6P3是3女不都相邻，其中有2女相邻，不是3女都不相邻．

师：这一例题说明什么? 生：不相邻的分离排列还是用插空法要稳妥一些．

师：请大家下课后想一想，用捆绑法结合排除法能否解决上述问题，如果能解决，应该怎么 做?我们继续分析和解决（3），（4）两小题． 863 54 N3＝P33P44P44； N4＝2P44P44．（板书（3），（4）的算式）

834444师：非常正确!（4）吸取了（2）的教训，没有用P8P3P4P4，并且没有简单的用P4P5

插空，而是考虑到了男、女都要排实位，否则会出现．（板书）

（女男男女男女男女）两男或两女相邻的问题．这时同性不相邻必须男女都排好，即男奇数 位，女偶数位，或者对调．

（通过对例2的讨论和分析，能够帮助学生对于分离排列、排除法以及插空法有更清楚的认 识，只有这样学生才会找到合理的解法，提高分析和解决问题的能力．）师：我们再来看一个例题．（打出片子——例3）

例3 某乒乓球队有8男7女共15名队员，现进行混合双打练习，两边都必须是1男1女，共有多少种不同的搭配方法?（教师朗读一遍例3后巡视）师：请同学说一下答案．

224生：N＝C8． C7P4（板书此式）师：怎么分析的呢?

22生：每一种搭配都需要2男2女，先把4名队员选出来，有C8C7种选法，然后考虑4人的排法，故乘以P44

师：选出的4名队员做全排列，那么（板书）男A男B、女A女B行吗? 生：不行，有“重复”了，应该乘以什么呢? 师：这就需要我们再把问题想想清楚了，当选出2男2女队员进行混合双打时，有几种搭配方法呢?（板书）男——男女 ①Aa Bb ②Ab Ba ③Ba Ab ④Bb Aa 以上四种吗? 生：不是!③与②，④与①属于同一种，只有2种搭配，应该乘以2．

22师：这就对了．N=2C8C7，还可以用下面的思路：先在8男中选2男各据一侧，是排列问222题，有P82种方法；再在7女中选2女与之搭配，是组合问题，有C7种方法，一共有N=P8C7种搭配方法．（板书）

22解法1：N=2C8C7 22解法2：N=P8C7

师：最后看例4（打出片子——例4）

例4 高二（1）班要从7名运动员中选出4名组成4×100米接力队，参加校运会，其中甲、乙二人都不跑中间两棒的安排方法有多少种?（教师读题，引导分析）

师：从7人中选4人分别安排第一、二、三、四棒这四个不同任务，一定与组合和排列有关，对甲、乙有特殊要求，这就有了不同情况，要分类相加了．先不考虑谁跑哪棒，就说4人的 选择有几类情况呢?

53生：三类，第一类，没有甲乙，有C4种选法；第二类，有甲没乙或有乙没甲，有2C5种选

2法；第三类，既有甲也有乙，有C5种选法．

师：如果把上述三类选法数相加再乘以P44行不行? 生：不行，对于上面三类不同选法，并不能都有P44种安排方法．考虑甲、乙二人都不跑中

44313222间两棒，应有不同的安排方法数是：N=C5P42C5P2P3C5P2P2．

师：第二项中的P21P33是什么意思呢? 生：第二类中甲、乙两人只有1人选中时，甲（乙）的排法数量是P21，其他三人的排法数是P33．

师：很好，这个排列组合综合题在求解中的分类十分重要，大家要认真体会，了解其思路和 方法．

（三）小结

我们通过对4个例题的分析和讨论，总结了分配问题，分离排列问题的解法，以及排列、组 合综合题的解法．

解排列、组合综合题，一般应遵循：先组后排的原则． 解题时一定要注意不重复、不遗漏．

（四）作业

1.四名优秀生保送到三所学样去，每所学样至少得1名，则不同的保送方案总数是 种．（23C4P336）

2.有印着0，1，3，5，7，9的六张卡片，如果允许9当作6用，那么从中任意以组成多少个不同的三位数?（6P或2C4P2P22C4P3C4P2P2P4152）5P4C1C4P2152课堂教学设计说明

关于排列组合的应用题，由于其内容独特，自成体系；种类繁多，题目多变；解法别致，思 维抽象；条件隐晦，难以捉摸；得数较大，不易检验．所以这一课历来是学生学习中的难点．为了降低解题的难度，在教会学生基本方法的同时，一定要使学生学会转化，分类的思想方法，将复杂的排列、组合综合题转化为若干个简单的排列、组合问题．基于这一点，在例题的选排上，特别安排了例1，在复习巩固前面所学基本解法的基础上，总结了分配问题的解法，并引出了简单的排列组合综合问题．通过例2来讨论排列中常见的相邻排列和分离排列问题，21112112332122 56 以及排除法、插空法等解法在应用中需注意的事项．例

3、例4是典型的排列、组合综 合题，分别侧重了分步和分类两个难点．

排列、组合常见错误辨析 篇6

1. 两个计数原理混淆不清

通常是对“完成一件事”的任务不明确，分类与分步混淆或分类与分步不准确而造成失误.

例1 50件产品中有4件次品，从中任意抽出5件，则至少有3件次品的抽法有（ ）种.

错解1 分两类情形：“有3件次品”时，可从4件次品中抽取3件，再从剩余产品中抽取2件，有[C34+C246]种抽法；“有4件次品”时，可从4件次品中抽取4件，再从剩余产品中抽取1件，有[C44+C146]种抽法.故共有[（C34+C246）（C44+C146）=46575]种.

错解2 先抽次品：至少有3件次品包含“3件次品”“4件次品”两种情形，有[C34+C44=5]种抽法；再抽剩余产品，同理有[C246+C146=1081]种抽法.共有抽法5×1081=5405种.

错因剖析 分类与分步混淆不清，即加法原理与乘法原理混淆，从而引起失误.

正解 解排列、组合问题，通常是先“分类”后“分步”.此题可先分为二类：第一类，有3件次品2件正品，有[C34?C246]（分为两步，用乘法原理）种抽法；第二类，有4件次品1件正品，有[C44?C146]种抽法.由加法原理，不同的抽法共有[C34?C246+C44?C146]=4186种.

2. 排列、组合问题判断失误

通常在判断一个问题是排列还是组合问题时，未考虑元素的顺序性而导致失误.

例2 有甲、乙、丙3项任务，甲需要2人承担，乙、丙各需要1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有（ ）种.

A. 1260 B. 2025 C. 2520 D. 5040

错解1 分三步完成：首先从10人中选出4人，有[C410]种方法；再从这4人中选出二人承担任务甲，有[A24]种方法；剩下的两人去承担任务乙、丙，有[A22]种方法，由乘法原理，不同的选法共有[C410?A24?A22]=5040种，选D.

错解2 分三步完成，不同的选法共有[C410C24C22]=1260种，选A.

错因剖析 排列、组合概念混淆不清.承担任务甲的两人与顺序无关；剩下的两人去承担任务乙、丙，这与顺序有关.

正解1 先从10人中选2人承担任务甲，再从余下8人中选一人承担任务乙，最后从剩下的7人中选一人去承担任务丙. 由乘法原理，不同的选法有[C410?C18?C17]=2520种.

正解2 从10人中选出2人承担任务甲；再从余下8人中选出二人承担任务乙、丙. 由乘法原理，不同的选法有[C210?A28]=2520种，选C.

3. 分类（或分步）遗漏（或重复）造成失误

例3 4男4女排成一排，任意两名女子不相邻且任意两名男子也不相邻的排法共有多少种.

错解1 4名男子与4 名女子的排法分别有[A44]种，故共有[A44?A44]=576种.

错解2 4名男子的排法有[A44]种，4 名女子的排法有[A45]，故共有[A45?A44]=2880种.

错因剖析 错解1是由于考虑不周，遗漏了交换位置的情况而出现失误；错解2忽略了题中的条件，即满足了4名男子不相邻而忽略了4名女子也不相邻的情形（如：男女男女 女男女男），错把必要条件当作充分条件了.

正解 此为相间排列问题.如先排男子，有[A44]种排法，由题意，四名女子插入的四个空必须不相邻，有两种插入方法，而4名女子的排法有[A44]种，由乘法原理知，不同排法的种数共有[2A44]·[A44]=1152种.

例4 给[n]个自上而下的正方形着黑色和白色.当[n4]时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示.由此推断，当[n=6]时，黑色正方形互不相邻的着色方案有（ ）种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有（ ）种.

错解 （1）20；（2）有37、39、40等多个答案.

4. 在分配、分组等问题中重复计算出错

例5 5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）

A. 480?种???????? B. 240种

C. 20种???????? D. 96种

错解 先从5本书中取4本分给4个人，有[A45]种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有4种分法，共有[4×A45=480]种不同的分法，选A.

错因剖析 此为分配问题.设5本书[a，b，c，d，e]分给四个人甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能出现[ae，b，c，d]和[ea，b，c，d]的情形.第一种是甲首先分得[a]，最后分得[e]的情形；第二种是甲首先分得[e]，最后分得[a]的情形，这两种情况是完全相同的. 而在上述解法中却计算成了不同的情况，正好重复了一次.

正解 首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.第一步：从5本书中任意取出2本捆绑成一本书，有[C25]种方法；第二步：再把4本书分给4个学生，有[A44]种方法.由乘法原理，共有[C25?A44=240]种方法，故选B.

5. 题意理解不透彻，忽视题设条件引起失误

例6 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（ ）种.

错解 先着色第一区域，有4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有[2C13?A22=12]种，由乘法原理，共有4×12=48种.

错因剖析 上述解法主要是没有理解题设中“有4种颜色可供选择”的含义，即4种颜色不一定全部使用，用3种也可以完成任务.

正解 分为两类：当使用四种颜色时，由上述解法知，有48种着色方法；当仅使用三种颜色时，先从4种颜色中选取3种，有[C34]种方法，然后涂色：先涂第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有[C34×3×2=24]种.综上，共有48+24=72种.

例7 两人进行乒乓球比赛，先赢三局着获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（ ）种.

A. 10种 B. 15种

C.2 0种 D. 30种

错解 分三类：比分3∶0有1种情况；比分3∶1，即前3局中（第四局必胜）有2局胜，共有[C23=3]种情况；比分是3∶2，即前4局中（第五局必胜）有2局胜，共有[C24=6]种情况；故共有1+3+6=10种情况获胜，故选A.

错因剖析 上述解法显然对“各人输赢局次的不同视为不同情形”未理解，造成仅考虑某一人获胜的情形而造成漏解.事实上，两人都有获胜的可能.

正解 只需把上述结果乘以2即可，选C.

6. 思维不严密而造成失误（遗漏有关情形）

例8 四面体的顶点和各棱中点共10个点，从中取出4个不共面的点，不同的取法有（ ）种.

A. 150 B. 147

C. 144 D. 141

错解 选A或B或C.

错因剖析 考虑到四点共面的情形有三类：①四点位于同一表面；②四点为两组相对棱的中点；③四点为一条棱上的三点与其相对棱的中点.求解时若只考虑到情形①，就会由算式[C410-4C46=150]而错选A；若只考虑到情形①②，就会由算式[C410-4C46-3][=147]而错选B；若只考虑到情形①③，就会由算式[C410-4C46-6=144]而错选C.

正解 只有三种情形都考虑到，才能得到正确的结果[C410-4C46-6-3=141]，选D（从此题选项的设置可看出命题者之良苦用心）.