多目标粒子群（共7篇）
多目标粒子群 篇1
0 引言
我国能源供应日益紧张,能源短缺将成为经济社会发展的制约瓶颈。经济负荷分配问题(Economic Load Dispatch,ELD)长期以来受到电力系统工程技术人员和研究者的重视,是电力系统分析领域中的重要研究课题。此外,发电过程中产生的很多污染物也逐渐引起人们的关注。因此在满足机组约束条件下,综合考虑燃煤成本和污染物排放量,采用多目标优化方法对机组负荷分配问题进行优化具有重要意义。
粒子群优化算法(PSO)是由Kennedy和Eberhart提出的一种优化算法[1],由于其易实现,在许多优化问题上得到了成功应用[2],并且很多情况下要比GA更有效。目前已有一些学者提出了基于PSO的多目标优化算法,其中Coello Coello等于2004年提出的MOPSO具有里程碑的意义[3];Liang等提出了全面学习粒子群算法(CLPSO)[4],该算法利用所有粒子的历史最好信息来更新粒子的速度;Liu等提出了一种模糊多目标粒子群算法(FMOPSO)[5],该算法引入了同步粒子局部搜索(SPLS)和模糊全局最好位置f-gbest;Agrawal等提出了一种交互粒子群算法(IPSO)[6],该算法结合了Pareto支配和交互决策行为。
在综合考虑燃煤成本和污染物排放量的情况下,很多学者提出了多种解决方案,如人工神经网络法[7]、免疫遗传算法[8]、人工免疫混沌优化方法[9]、伪并行NSGA-Ⅱ方法[10]等,此外另有针对区域电网节能发电调度模式的研究[11]。
本研究在节能减排背景下,综合考虑最小化机组煤耗量和污染物排放量,提出多目标节能减排负荷调度模型,改进基于Pareto最优概念的多目标粒子群算法,并对该模型进行求解。笔者按照本研究提出的方法对算例进行仿真实验,获得了分布良好的Pareto最优解,并有效降低了系统煤耗和污染物排放量。
1 多目标节能减排负荷调度模型
1.1 目标函数
本研究采用的节能减排发电调度模型是在满足系统运行约束和机组运行约束的条件下,以系统燃煤成本和污染物排放量最小为目标。
(1)最小燃料成本(或煤耗)。
燃煤成本是电厂生产最重要的经济指标,可以用机组有功出力的二阶多项式表示:
式中:Pi—第i台发电机组的有功功率;Ng—系统内发电机总数;ai,bi,ci—第i台机组的煤耗特性系数。
(2)最小污染物排放量。
火电机组在运行过程中会产生各种有害气体,主要为SO2和NOx氮氧化合物。SO2和NOx排放目标可用如下二次多项式表示(单位为kg/h):
式中:αis,βsi,γis和αi N,βi N,γi N—第i台机组的SO2和NOx的排放特性系数。
两个目标函数的量纲不同,宜采用标准化处理。由于本研究采用的多目标粒子群算法不需将多目标问题单目标化处理,同时由于引入半可行域概念从而避免了采用惩罚因子处理约束条件,只需要对相拥有同量纲的目标函数进行比较,故目标函数量纲不同不影响算法结果。
1.2 约束条件
(1)系统负荷平衡约束:
式中:PD—系统负荷需求;PL—系统的总网损,一般利用B系数法求取[12];P—Ng维发电机有功功率列矢量;B—Ng×Ng维对称方阵;B0—Ng维列矢量;B00—常数。
公式(5)给出了网损与B系数及各发电机有功功率的关系。
(2)机组出力约束:
式中:Pi,min、Pi,max—第i台机组的出力上、下限。
2 多目标粒子群算法及其改进
2.1 多目标优化问题
多目标优化问题的数学模型描述如下:
式中:x—决策向量,x=(x1,x2,…,xn)∈D;F—目标函数向量,F=(f1,f2,…,fr);gj(x)和hk(x)—约束条件;D—决策空间。
解x0、x1∈D,当且仅当:
称x0支配x1,记为xo>x1;设x*当且仅当不存在x∈D使得x>x*成立,则x*是Pareto最优解;所有Pareto最优解构成最优解集;所有Pareto最优解对应的目标函数值所形成的区域称为Pareto最优前端。
2.2 标准粒子群算法
标准PSO中,粒子在搜索空间的速度和位置根据如下公式确定:
式中:w—惯性权重;r1,r2—加速常数;rand()—[0,1]区间内产生的随机数;Pt,Gt—t时刻粒子自身最好位置pbest和全局最好位置gbest;xt,vt—时刻t的位置与速度。
PSO算法简单,容易实现,但使用PSO算法处理优化问题容易陷入局部最优,且由于多目标优化问题的特殊性,PSO算法还不能直接应用于多目标优化问题,需要对其进行改进。
2.3 改进多目标粒子群算法
2.3.1 约束条件处理
目前,使用最广泛的约束条件处理方法是惩罚函数法,该方法需要以大量的实验为基础来获得适当的惩罚系数,效率低下。本研究引入半可行域概念,避免了惩罚因子复杂的选取过程,通过设计PSO选择算子,并结合竞争选择对约束条件进行处理。
(1)竞争选择[13]:
(1)任何可行解都优于不可行解;
(2)两个可行解,目标函数值较好的为优;
(3)两个不可行解,违反约束程度小者为优。
(2)半可行域[14]:
大部分约束优化问题的解是在可行域边界附近取得,半可行域的引入就是对约束条件的放宽,这样可以更好地利用可行域边界附近的不可行解的有用信息。
(1)针对多目标优化问题,本研究对搜索空间的任一点X和可行域D之间的距离定义为:
式中:p,q—等式约束和不等式约束条件个数,m=p+q为全部约束条件个数;Gj(X)—违反第j个约束条件程度。
公式(15)表示了搜索空间中一点X违反第j个等式约束时Gj(X)等于gj(X),否则为0;公式(16)表示X违反第j个不等式约束时Gj(X)为hj(X)。显然d(X,D)描述了给定搜索空间中一点X和可行域D之间的关系:
(2)对于给定的正数ε∈R+,存在0
(3)半可行解优于不可行解,但劣于可行解。
(4)在半可行域内的个体可由多目标函数决定的Pareto支配来判定其优劣。
(3)选择算子[15]。
选择算子主要有两个作用:(1)形成半可行域,保证全局极值g Best一定在半可行域或可行域中,从而保证正确的进化方向;(2)当群体中的有利个体(可行解和半可行解)达到一定比例时,选择算子将逐渐减小半可行域宽度。选择算子的作用如图1所示,随着有利个体的不断增加,在已放宽的约束条件下,算法必将向此时的约束最优点(A1点)收敛,此时半可行域的宽度将减小,之后算法又将向另一点收敛(A2点),如此循环直至半可行域宽度为零,所有个体全部进入可行域,收敛于约束最优解B点。具体方法如下:
群体规模N,有利个体比例阈值R,初始化ε=0。
(1)计算有利个体的比例rate;
(2)如果rate>R并且ε=0,结束;
(3)如果rate>R并且ε>0,则ε=ε-σ,转(1);
(4)如果rate
一般来说σ的选取应该比ε小几个数量级。
2.3.2 非劣解集的构造
非劣解集用来保存每次迭代产生的新种群中的非支配解,外部精英集的更新将在非劣解集的基础上进行。本研究采用庄家法构造非劣解集,每一轮在群体中任选一个个体出任庄家,由庄家依次与群体中其他个体进行比较,将庄家所支配的个体淘汰出局;若庄家不被任何其他个体所支配,则庄家即为非支配个体,否则庄家也被淘汰出局。按照这种方法进行下一轮比较,直至群体为空。
2.3.3 精英归档技术
本研究采用精英归档技术,保存迭代过程中搜索到的非支配解。归档技术主要体现在两方面:(1)构建外部精英集,用来保存粒子群历史最优非支配解,并作为每个粒子全局极值的候选集合,通过自适应网格法进行维护,外部集保留的最终解集就是算法求解的结果;(2)构建粒子个体外部非支配解集,用来保存个体的历史最优非支配解,并作为每个粒子个体极值的候选集合。实践证明,归档机制能够大幅度提高算法的收敛速度和解的质量。
2.3.4 采用自适应网格法维护外部精英集
为了让外部集对种群起到很好的引导作用,以及获得分布均匀的Pareto前端,本研究采用自适应网格法对外部精英集进行维护。自适应网格法首先将整个目标空间分成若干个超立方体,网格的划分数和外部精英集大小为确定常数,网格的大小在搜索过程中根据当前代的个体分布情况自动调整。每个外部精英集中的粒子都对应一个超立方体,定义每个超立方体中的粒子数为该超立方体的密度值;当外部精英集满溢时,本研究随机选取密度最大的超立方体中的一个粒子抛弃,以实现对外部精英集的维护和更新。本研究对新产生的个体x分情况进行处理,注意不要抛弃在某个目标上取最小的个体(称为极点),这样有利于使进化群体具有更好的分布性。新非支配解在外部集边界外时的外部集更新方式如图2所示。具体方法如下:
(1)若个体x被外部集支配,则个体x不进入外部集;
(2)若个体x支配外部集中的某些粒子,则将个体x加入外部集,并去掉外部集中的被支配粒子;
(3)若个体x与外部集无关,且外部集不满,则将个体x加入外部集;若外部集满溢:(1)个体x在边界外或者个体x在边界内且不在密度最大区域,则将个体x加入外部集,并随机选择密度最大区域中的一个粒子抛弃;(2)个体x在边界内且在密度最大区域,则外部集保持不变。
2.3.5 个体极值和全局极值的选取
(1)个体极值pbest的选取。本研究引入半可行域的概念和个体外部非支配集后,对每个粒子i基于下述规则来选取pbest:当粒子i和其上一代pbest均为非可行解时,比较二者与可行域D之间的距离d(X,D)(定义见半可行域),d小者为pbest;当两者分别在可行域和半可行域,或者分别在半可行域和非可行域时,选取前者为pbest;当两者同为可行解或半可行解时,以支配关系来选取pbest;而当两者同为可行解或半可行解且是非支配关系时,把两个个体均存入个体外部非支配集,计算个体外部非支配集中非支配个体的权重系数Fi,对应权系数最小的个体被选作pbest。权重系数计算公式如下:
式中:fj(Xi)—个体外部非支配解集中个体Xi第j个目标函数值,Np—个体外部非支配解集中非支配解的数目,r—问题目标个数。
(2)全局极值gbest的选取。gbest的选取直接影响算法的收敛速度和解集的分布性,本研究采取轮盘赌法和高斯变异的方法对gbest进行选取。对外部精英集中的每个粒子i按照轮盘赌法选取一个超立方体(见自适应网格法),然后随机选取超立方体中的一个粒子,如果该候选粒子支配粒子i的上一代gbest,则将该候选粒子设为粒子i的新gbest。在迭代过程中,每个粒子所获得的gbest均不相同,这意味着粒子将沿不同的方向飞行,对提高算法的探索能力有利。
当算法运行到一定阶段后,作为gbest的粒子已在非劣最优面上,此时将很难找到支配gbest的粒子,gbest不再发生变化,最终导致算法停止搜索最优面上的其他解而影响解集的分布性。本研究采用实时变异来解决这个问题。当目前群体中的gbest位置连续无变化或变化非常小时,保留gbest位置并对gbest实行高斯变异,用变异后代代替gbest。对粒子i的gbesti=(gi1,gi2,…,gin)进行高斯变异,定义如下:
式中:N(0,1)—服从均值为0、均方差为1的高斯分布。
3 多目标最优负荷分配
3.1 粒子群矩阵表示方法
本研究构造粒子群矩阵P,维数为Num P×D,其中Num P为粒子群中的粒子个数,D为目标维数,具体形式如下:
式中:fij—第i个粒子的第j个目标函数值。
3.2 约束条件处理
对于问题的不等式约束,本研究引入半可行域的概念进行处理;对于等式约束,则先考虑前n-1台机组出力,然后以等式约束确定第n台机组出力,故该问题等式约束可严格满足。
3.3 最优折中解的确定
在得到Pareto解后,为从中选择一个满意解作为最后结果,本研究采取模糊逻辑来选出最优折中解。定义模糊隶属度函数[16]如下:
式中:fi—第i个子目标适应度值;fi,max,fi,min—适应度函数的上限和下限。对Pareto解集中每个解求其标准化满意度值,标准化满意度值最大的解即为最优折中解。标准化满意度值定义如下:
式中:uk—每个解的标准化满意度值,Nobj—目标个数,M—Pareto解集中个体的数目。
3.4 算法基本流程
算法基本流程如下:
(1)初始化粒子群P,对每个粒子确定其初始位置和零初始速度;
(2)计算粒子群P中每个粒子的目标向量;
(3)初始化pbest和gbest为本身初始位置;
(4)更新粒子速度和位置;
(5)利用选择算子,获得足够多的有利个体;
(6)利用庄家法构造非劣解集;
(7)更新外部精英集:利用自适应网格法将非劣解集放入外部集;
(8)更新pbest和gbest:按照pbest和gbest的选取规则更新pbest和gbest;
(9)返回步骤(4),直至满足终止条件。
4 算例分析
根据目前的模型及算法,本研究以文献[12]中的某厂六机组系统为算例,在负荷分别为500 MW和700 MW的情况下,计算求解各机组出力并进行综合分析。机组燃煤成本系数、NOx排放系数以及网损系数详见文献[17],系统负荷为PD=500 MW(/700 MW),种群规模为100,外部精英集规模为200,个体非支配解集规模为50,自适应网格划分数为16,w=0.5,r1=r2=2.0,有利个体比例阈值R=0.1,半可行域初始宽度ε=10,步长σ=0.001,最大迭代次数为300,仿真实验的终止条件为达到最大迭代次数。
算例计算过程表示,在迭代至10次以上时,粒子群中的大部分粒子将收敛至可行域,这部分粒子用来作为进入外部精英集的备选粒子;另有部分粒子位于不可行域并徘徊于可行域边缘,该部分粒子将继续引导粒子群探索最优解。
负荷为500 MW和700 MW时,采用本研究使用的改进多目标粒子群算法得到的Pareto前沿的分布情况如图3、图4所示。由该Pareto前沿可见,本研究采用的改进多目标粒子群算法通过使用自适应网格法维护外部精英级获得了分布均匀的Pareto最优解。此外图中显示的燃煤成本和NOx排放量的关系说明了二者之间的矛盾性,无论是降低燃煤成本还是降低NOx排放量都将已牺牲另一个节能减排指标为代价,而一般情况下使各目标同时最优是不可能的。本研究分别给出了燃煤成本最优、NOx排放量最优以及折中解3种结果,决策者可根据实际情况从中选取适当的最优解使用:当以燃煤成本为主要目标时,选择最优成本解;当以污染物排放量为主要目标时,选择最优NOx排放量解;若希望从整体角度进行节能减排优化,可选择折中解。
排放目标函数的收敛情况如图5所示,从图5中可以看出,在迭代45次后排放目标函数收敛(燃煤成本函数收敛情况类似),获得了较好的目标函数值。
在负荷为500 MW和700 MW时,笔者采用MAMOEA、NSGA-Ⅱ和本研究算法所求得的不同结果如表1、表2所示。由得到的不同负荷情况下的Pareto前沿及不同算法的求解结果可见:(1)无论是最优燃煤成本还是最优NOx排放量均获得了更低的最优值,扩大了值域范围,说明本研究采用的改进多目标粒子群算法利用精英归档技术以及基于半可行域的个体极值和全局极值选取方法得到了具有更好多样性的Pareto最优解;(2)由表1和表2可见,相比较MAMOEA和NS-GA-Ⅱ所得到的结果,本研究算法得到的最优燃煤成本、最优NOx排放量和500 MW负荷下的最优折中解均优于前二者,甚至在最优燃煤成本的结果中,同时获得了更低的NOx排放量,最优NOx排放结果也有类似情况,总体来说获得了更低的煤耗成本和污染物排放效果。假定全年每台机组平均运行320天,以负荷500 MW为例,则本研究方法与其他两种方法相比,一年最高可节省70多万元的燃煤成本,污染物排放量最高可减少4.5 t,充分说明了本研究算法的优越性。
5 结束语
本研究提出了多目标负荷调度的数学模型,并用改进的多目标粒子群算法加以求解。利用该算法可以得到具有良好多样性和分布性的Pareto最优解,并为决策者提供了具有不同侧重目标的最优解,有效地降低了系统煤耗和污染物排放量,分析结果验证了该方法的有效性和可行性。
摘要：在节能减排背景下,综合考虑最小化机组煤耗量和污染物排放量,提出了求解多目标节能减排负荷调度的模型及改进多目标粒子群算法。该改进算法引入半可行域的概念处理约束条件,避免了惩罚因子复杂的选取过程;采用精英归档技术构建了外部精英集和个体非支配解集,提高了算法的收敛速度和解的质量;采用了自适应网格法维护外部精英集,获得了分布均匀的Pareto前沿;并提出了基于半可行域概念的个体极值和全局极值选取规则。利用该方法对某电厂6台机组系统进行了节能减排最优负荷调度,获得了分布良好的Pareto最优解,有效降低了系统煤耗和污染物排放量,分析结果验证了该方法的有效性和可行性。
关键词：节能减排负荷调度,多目标粒子群算法,半可行域,精英归档技术,自适应网格法,高斯变异
多目标粒子群 篇2
关键词：粒子群,算法,工程项目,多目标,优化算法
现代工程实践和科学研究中遇到的很多问题都是多目标优化问题, 多个目标之间通过决策变量项目制约, 对于单个目标的优化问题的唯一最优来说, 多目标问题的解并不是唯一的, 而是存在一个最优解结合, 在该集合内的每一个解都称为多目标非支配解。对于工程项目来说, 工期、成本和质量是工程项目的“三大目标”, 也是决定项目成功与否的关键因素, 对于任何一个项目, 即需要在约定时间内完成, 也需要控制项目成本, 同时还必须确保项目质量符合需求。但是工期、成本和质量这三个目标存在相互制约的关系, 一般来说, 工期和成本成正比, 工期和质量成反比, 成本和质量成反比。。因此, 需要采用多目标算法来求解工期、成本和质量三个目标优化问题, 并且从得到的解集中根据需求挑选出最优解作为该项目的最优规划目标解。
1 多目标粒子群算法
1.1 多目标算法
多目标优化算法可以描述为:一个由满足一定约束条件的决策变量组成的向量, 使得一个由多个目标函数组成的向量函数最优化。目标函数组成了性能标准的数学描述, 而性能标准之间通常是互相冲突的。优化意味着要找到一个使得所有目标函数值都可接受的解。
多目标优化问题中的最优概念最先由Francis Ysidro Edgeworth提出, 后来Vilfredo Pareto给出了系统的定义, 通常称为Pareto最优[1,2]。
不失一般性, 在一个有k个目标函数最大化的问题中, 称决策向量x*∈F是Pareto最优的, 当不存在另外一个决策向量x∈F同时满足式1。
同样地, 在最大化问题中称决策向量x优于y, 或者支配y, 需要满足式2。
1.2 多目标粒子群算法
结合粒子群算法搜索思想和多目标算法原理设计多目标粒子群算法, 由于相对于单目标粒子群算法中的个体历史最优和群体历史最优的唯一性, 多目标算法中个体历史最优和群体历史最优均是一个非支配解集, 因此在多目标算法的设计中需要解决从非支配解集中挑选出最优跟踪个体的问题。该文采用了文件记录的方法来记录在算法搜索的过程中找到的所有的非支配解, 并且采用一定的方法来选择个体跟踪的优秀目标。
由于多目标粒子群算法在搜索的过程中同时记录个体全局最优解, 个体最优解和局部最优解, 因此需要三个记录文件来记录。但是由于三个记录文件中的非支配解存在相互交叉支配的现象, 并且为了算法简洁高效, 该文采用一个档案文件同时记录全局最优解, 个体最优解和局部最优解, 档案文件在算法搜索的过程中, 只要发现新得到的搜索解存在支配管理, 就把该解放入记录文件中, 同时根据支配关系, 密度关系等调整记录文件中的最优解。
在记录文件记录所有最优解的基础上, 通过非支配解排序的方法来解决这个每次迭代搜索的时候, 粒子跟随的最优个体问题, 具体思路就是首先评估排序所有的非支配解, 然后从排序好的解集中根据排序的序号, 以选择概率的方法选择排序靠前的非支配解作为个体跟踪对象, 非支配解排序的序号越靠前, 其被选中的概率越大。
2 工程项目多目标建模
2.1 工程项目分解
本文在求解的时候首先采用网络计划技术把整个项目进行工序分解, 并且得到工序流程图, 流程图中的每个工序节点都有多种不同的施工方案, 每个施工方法都对应不同的施工费用、工期和质量。因此项目建设规划便存在多种工期、成本和质量的组合方案, 工程项目网络计划图如图1所示[3]。
其中, Mij表示第i道工序的第j种执行模式, Cij、Tij、Qij为该执行模式需要的执行成本、执行工期以及工序质量。
2.2 模型建立
在多目标模型建立的环节, 首先分别建立工期目标模型、成本目标模型和质量目标模型, 然后把三个模型进行组合, 得到了工程项目工期、成本和质量多目标优化模型[4]。
项目工期模型如式 (3) 所示。
其中, L表示路径集合, Li表示具体的路径, xim为0或者1, 代表是否执行了活动i的第m道执行模式, 其中1表示执行, 0表示没有执行。tim表示执行了活动i的的第m道执行模式所获得的所需工时。
项目成本模型如式 (4) 所示。
其中, xim为0或者1, 代表是否执行了活动i的第m道执行模式。uim, k表示在执行活动i第m道执行模式时, 所耗费的第k项资源的单位费用, rmi, k表示在执行活动耗费的第k项资源的量。idcim, k表示执行活动耗费的第k项间接资源费用。
质量目标模型如式 (5) 所示。
其中, qim表示在子工序i的在第m道执行模式中对应的质量值, 分母表示把所有子工序对应的指标质量值均设为10时的项目总质量值。
因此, 总体的多目标模型如式 (6) 所示。
3 仿真实验
采用工程项目多目标粒子群算法仿真实际工程道路项目, 该道路工程为典型的土方施工项目, 根据项目施工规划要求以及施工地的地质特点, 整个项目可以细化为包括施工准备、路基土方、软土处理、防护工程等在内的15项具体活动, 该连接线工程的网络计划图如图2所示。
采用多目标粒子群算法优化项目工序模式选择, 因为项目工序模式为整数, 所以采用对种群进行离散化, 即每一次迭代得到新的种群后, 都采用四舍五入的方法把新的种群离散化。因为一共有14道施工工序, 所以粒子维数为14, 从而每一个粒子都代表一个施工方案, 其他的参数为种群个数为100, 算法迭代次数为20。算法得到的多目标非支配解如图3所示。
从图3可以看出, 该文提出的多目标粒子群算法搜索性能较高, 算法在运行的时候能够找到较多的非支配解集, 对于每个非支配解集中的解来说, 都代表其中的一个施工方案。
4 小结
针对工程项目建设规划问题中工期-成本-质量三个目标相互制约, 一般算法难以得到三个目标的最优解的问题, 该文采用多目标粒子群算法进行求解, 在建立寻优问题的基础上, 采用粒子群算法搜索多目标问题的非支配解集, 仿真实验表明多目标粒子群算法能够得到工期-成本-质量多目标优化问题的解集, 从而为工程项目规划提供了一个新的参考方法。
参考文献
[1]郑向伟, 刘弘.多目标进化算法研究进展[J].计算机科学, 2007, 34 (7) :187-192.
[2]崔逊学.多目标进化算法及其应用[M].北京:国防工业出版社, 2006:6-12.
[3]曹吉鸣, 徐伟.网络计划技术与施工组织设计[M].上海:同济大学出版社, 2000 (6) .
多目标粒子群 篇3
常规单脉冲雷达对落在同一距离—方位分辨单元内的多个目标难以区分。长期以来, 国内外一些学者对单脉冲雷达的多目标分辨技术进行了研究[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]。Blair[1,2]等人提出了对2点源进行角度估计的矩估计法; Sinha[3]针对SwerlingⅠ和SwerlingⅢ型目标提出了方位角的最大似然估计方法; Zhen Wang[4]对最大似然估计方法进行了改进, 得到了方位角估计值的显式解。然而, 以上技术都假设多个目标回波经匹配滤波后输出信号能量全部位于一个采样点上, 但实际上目标回波能量必存在泄漏。
Xin Zhang[5,6]针对匹配滤波器相邻采样点上存在能量泄露的情况, 提出了最大似然估计与MDL准则相结合的方法, 对目标的数目和参数进行估计, 并将其应用到了扩展目标[7]。在文献[6]的基础上建立了多目标方位角和距离参数的极大似然模型, 将多目标分辨的问题转化为求取似然函数极值的问题, 并采用改进的粒子群优化算法对模型进行求解, 同时采用MDL准则对目标数目进行确定。
1 不可分辨目标的回波信号模型
假定单脉冲雷达工作于跟踪状态, 其发射脉冲宽度为T, 发射的矩形波形经过匹配滤波器后的输出为三角形包络, 对匹配滤波器的输出进行采样, 采样率为1/T, 假设每个目标回波能量只出现在相邻的2个采样点上, 目标回波能量为x, 令α = ΔT/T, 则对应2个采样点处回波幅度分别为 ( 1 - α) x和αx, 如图1所示。
由于接收机同相支路获得的测量数据与正交支路获得的测量数据是相似的[8,9], 故在此只讨论同相支路。假设雷达主波束内存在N个Swerling II型目标, 连续观测M个脉冲, 则对于每次观测, 同相支路的测量数据为:
式中, {SI1 ( m) }M m = 1和 {DI1 ( m) }M m = 1为第1个采样点处的观测量; {SI2 ( m) }M m = 1和 {DI2 ( m) }M m = 1为第2个采样点处的观测量; S和D分别代表和信号、差信号; 归一化距离参数{α j }N j = 1和目标方位角{η j }N j = 1为待估计参数; 观测噪声nSIi ( m) 、nSI2 ( m) 、nDIi ( m) 和nDI2 ( m) 相互独立, 服从零均值高斯分布, 方差E[n2 SIi]= E[n2 SI2]= σ2 s, E[n2 DIi]= E[n2 DI2]= σ2 D; xj ( m) 为第j个目标在第m个观测脉冲时的回波幅度, 服从零均值高斯分布, 方差E[xj ( m) 2]=1。
定义观测向量为:
参数向量为:
z ( m) 和θ满足如下高斯分布:
式中, R = E[z zT]为协方差矩阵。因此θ的对数似然函数为:
则θ的最大似然估计量为:
其约束条件为: 0≤αi≤1, -1≤ηi≤1。
协矩阵R中有9个独立元素, 而每个目标有2个待估计参数, 因此基于上述最大似然估计方法最多可以估计出4个目标的参数。
2 改进的粒子群优化算法
粒子群优化算法首先初始一群随机粒子 ( 随机解) , 每个粒子都有一个被优化函数决定的适应值, 然后所有的粒子追随当前最优的粒子在解空间中搜索, 通过迭代得到最优解[10,11]。假设D维搜索空间中的第i个粒子的位置和速度分别为:
式中, i =1, 2, …, K。在每一次迭代中, 粒子通过跟踪2个最优解来更新自己, 即个体最优解pi, j、全局最优解pg, j, j =1, 2, …, D, 之后通过以下公式更新粒子的速度和位置:
式中, w为惯性权重; c1和c2为学习因子; r1和r2为 [0, 1]均匀分布的随机数。
粒子群算法的性能很大程度取决于上述几个控制参数, 合理的参数选择能使算法获得更快的收敛速度与精度[12]。采用变学习因子和自适应权重来改进算法的性能。
学习因子c1和c2决定了粒子本身经验信息和其他粒子的经验信息对粒子运行轨迹的影响, 选取较大的c1会使粒子过多的在局部范围内徘徊, 而较大的c2又会是粒子过早的收敛到局部极小值。为了使算法达到全局探测与局部开采两者间的有效平衡, 引入变因子:
式中, c1, ini和c2, ini代表c1和c2的初值; c1, fin和c2, fin代表c1和c2的迭代终值。
惯性权重w是粒子群算法中极为重要的控制参数, 较大的w有利于提高算法的全局搜索能力, 较小的w会增强算法的局部搜索能力, 为了平衡粒子群算法的全局搜索能力和局部改良能力, 可以采用自适应权重, 其表达式如下:
式中, wmax和wmin分别为w的最大值和最小值; f为粒子当前的目标函数值; favg和fmin分别为当前所有粒子的平均目标值和最小目标值。当各粒子的目标值趋于一致或者趋于局部最优时, 将使惯性权重增加, 提高全局搜索能力; 而各粒子的目标值比较分散时, 将使惯性权重减小, 从而保护目标函数值优于平均目标值的粒子。
3 基于 MDL 准则的目标数目估计
上述估计方法在对目标参数进行估计时要求目标的数目已知, 因此, 利用MDL准则来对目标的数目进行估计。
广义的MDL准则为: 对于给定的一组数据和一组关于待定参数的数据统计模型, 最佳的模型应该具有最小的描述长度。定义描述长度为:
式中, n为待估计的目标个数; k为每个目标待估计的参数个数; J为每个脉冲获得的观测数据个数 ( 文中J =4) 。最终所估计出的目标个数应满足:
通过MDL准则与粒子群优化算法相结合的方法, 能够得到待估计目标的个数以及每个目标各自的参数。
4 仿真实验
仿真中, 雷达波束宽度为5°, 脉冲积累数为30个, 目标参数设置如表1所示, 粒子群算法的控制参数如表2所示, 迭代次数为85次。
4. 1 特定信噪比下的多目标方位角估计
假设雷达主波束内存在上述4个目标, 目标信噪比为20 dB, Monte Carlo仿真40次, 4个目标的估计结果如图2所示。
4. 2 方位角估计性能与信噪比及目标个数的关系
方位角估计性能与信噪比、目标个数的关系如图3所示。可以看出随着信噪比的增加, 方位角估计的均方误差明显降低, 而目标个数增多会导致方位角估计的均方误差增大。
4. 3 目标数目估计性能与信噪比及目标个数的关系
采用MDL准则确定目标数目的正确率与信噪比、目标个数的关系如图4所示。随着信噪比的增加, 确定目标数目的正确率也随之提高, 而目标个数增多会导致正确率下降。
5 结束语
在文献[6]的基础上建立了多目标方位角和幅度参数的极大似然模型, 采用改进的粒子群优化算法对模型进行了求解, 并结合MDL准则对目标的数目进行了估计。仿真结果表明, 改进的粒子群算法能够有效加快收敛速度, 并且具有较高的估计精度, 在信噪比为20 dB, 积累30个脉冲的情况下, 单个目标方位角估计的均方误差小于0. 05°, 多目标数目估计的准确率达到90%以上。
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多目标粒子群 篇4
长期以来,冷连轧轧制规程优化都是轧制控制领域的一项重要研究课题,其优化的实质内容是带钢的总厚度变形量在各机架之间的合理分配。随着轧制技术的不断发展,许多学者对规程优化进行了大量研究。传统的采用 “计算-判断修正”的单目标规程优化[1,2]虽然有明确的目标, 但考虑的角度单一,使优化结果不尽合理。根据轧制规程的复杂性和优化目标的多样性,人们又提出了以加权系数聚合的多目标优化设计[3,4],但由于目标函数量纲不统一,在多目标转化为单目标过程中权值难以确定,人为因素太多,结果也不能令人满意。
本文从提高板形质量、降低能耗、延长轧机使用寿命角度考虑,选择等相对负荷和预防打滑[5]为目标,建立了轧制规程多目标优化模型[6]。根据粒子群 算法收敛 迅速、计算量相 对较小等 优点[7],将改进的多目标粒子群算法[8]应用到冷连轧规程优化中,并针对粒子群算法存在的收敛性和多样性难以均衡的缺陷[9]进行了改进;当算法陷入局部最优时,提出了一种带个体扰动的全局最优领导粒子选择策略,取得了很好的效果。
1轧制规程优化模型
冷连轧规程优化的目的是使轧制过程处于最佳状态,实现节能轧制,并充分发挥轧机的生产能力,同时保证产品质量。本文选用等相对负荷和预防打滑进行优化。
1.1前滑模型
在冷连轧实际生产中,薄窄料容易产生打滑现象,会直接影响带钢表面的质量,严重时出现划痕,导致成品被判报废。根据白振华等[5]提出的打滑因子,设计了轧制规程优化预防打滑的目标函数。打滑因子为
式中,Δh为绝对压 下量,mm;R′ 为工作辊 压扁半径, mm;μ为摩擦因数;T、T0为前后张力,kN;F为轧制力, kN;γ为中性角;α为咬入角。
当中性角占咬入角一半,即γ/α=0.5时,不会出现打滑现象。
很显然,打滑因子ψ越大时,表示中性面离变形区的中部越远,越容易发生打滑现象;相反,打滑因子越小,发生打滑的概率越小。 考虑到各机架轧制的整体性和彼此的差异性,预防打滑的目标函数可表示为
式中,β1和β2为相关权重系数;n为机架数;ψi为第i机架打滑因子。
1.2等相对负荷目标函数
在冷连轧机组中,为了更充分地发挥轧制设备的能力,可按各机架主电机的相对负荷来制定规程,其目标函数为
式中,ηi、η′i分别为第i机架主电机的实际轧制功率和额定功率。
1.3规程优化约束条件
冷连轧机在实际生产中会受到设备因素和工艺因素的约束,其中工艺约束有
式中,εmin、Tmin分别为允 许的最小 压下率、最小张力; εmax、Tmax分别为允许的最大压下率、最大张力。
设备因素约束有
式中,Mi、Fi分别为第i机架电机 实际力矩 和实际轧 制力;Mi M、Fi max分别为第i机架电机额定轧制力矩和设备所能承受的最大轧制力。
1.4轧制规程多目标优化数学模型
本文以等相对负荷、预防打滑为目标,建立多目标优化数学模型:
式中,J为目标函数;X为变量;gi(X)为第i个约束条件。
2改进的多目标粒子群算法
粒子群算法[10]可如下描述:设搜索空间为D维,个体总数为Psize;第i个粒子位置表示为Xi= (xi1,xi2,…,xiD);第i个粒子在寻优过程中的历史最优位置为Pi=(pi1,pi2,…,pid),设Pg为所有Pi(i=1,2,…,n)中的最优值;第i个粒子的位置变化率(速度)为向量Vi=(vi1,vi2,…,viD);每个粒子的速度和位置按照如下公式进行更新:
式中,vid(t+1)为下一代粒子的速度;vid(t)为当前代粒子的速度;ω 为惯性因子;c1、c2为正常数,称为加速因子; rand()为[0,1]之间的随机数;Pid(t)为个体的历史最优领导粒 子;Pgd(t)为所有粒 子的全局 最优领导 粒子; xid(t+1)为下一代 粒子的位 置;xid(t)为当前粒 子的位置。
在多目标粒子群算法中,最优解集存在多样性和收敛性难以平衡[9]以及易于陷入局部最优的缺陷。 本文采用 基于平行 坐标系 (parallel cell coordinate system,PCCS)的多目标粒子群优 化算法(MOPSO),通过计算外部集密度和收敛潜能来平衡收敛性和分布性,并加入带个体扰动的全局最优领导粒子选择策略,有效避免了算法陷入局部极值。
2.1收敛性能和分布性能的分析
首先通过下式将外部集中的粒子映射到一个N行M列的平行坐标系中:
式中,N为外部集的大小;M为目标函 数的个数;ceil(x) 表示大于x的最小整数;fn,m为第n个粒子对于第m个目标函数的适应值;fmaxn,m= max fn,m表示外部集中第n个粒子对于第m个目标函数的最大值;fminn,m= min fn,m表示外部集中第n个粒子对于第m个目标函数的最小值; Wn,m为映射后的适应值。
在分布性方面,根据下式计算平行坐标系中任意两个矢量之间的距离:
式中,S(Pi,Pj)为第i个和第j个粒子之间的距离,当Pi和Pj映射到同一个表格时,将两个向量之间的距离设置为0.5。
一个粒子的分布性受到周围所有 粒子的影 响,根据下式得到该粒子Pi的密度Den(Pi):
密度越小,被选为领导粒子的可能性也就越大。而对于密度较大的粒子,当外部集的大小达到允许的最大值时,将被删除。
外部集中粒子 的适应值 越大,则离真实 的Pareto前沿越远,收敛性能就越强。 根据下式计算出外部集中粒子的收敛潜能Pot(Pi):
在算法进化过程中,当粒子接近真实Pareto前沿时,粒子的收敛潜能会下降到一个稳定值,此时算法逐渐收敛。
2.2基于Pareto熵和个体扰动的全局最优领导粒子的选择
熵是一种检测微观分布均匀性的方法,通过Pareto熵来检测外部集中粒子的分布性,采用熵差来表示外部集中粒子相邻迭代时刻熵的变化大小,从而推测出种群发现新解的能力,估计种群的收敛状态和分布状态,进而确定领导粒子的选择方案。
熵H(t)和熵差 ΔH(t)由如下公式定义:
式中,Knm(t)表示外部集中粒子映射到平行坐标系后,第n行m列的格子中的坐标分量个数。
将外部集中粒子的密度Den(Pi)和收敛潜能Pot(Pi)分别从小到大排序,选择按Den(Pi)排序的前n个作为最优密度集dgb,选择按Pot(Pi)排序的前n个作为最优潜能集cgb。在进化前期,算法产生较多的新解来支配旧解,从而推动种群向真实的Pareto前沿收敛,此时熵和 熵差变化 较大,随机选择cgb中的粒子作为全局最优领导粒子Pgd;在进化后期,种群逼近真实的Pareto前沿后, 算法发现的新解只能支配当前解集中极少的个体,仅能引起Pareto熵和熵差的很小的变化,此时随机选择dgb中的粒子作为全局最优领导粒子Pgd。
粒子群算法的特点在于其学习机制和信息共享机制,粒子通过外部集中的全局最优领导粒子和自身经验来调整速度和位置,从而忽略了其他粒子的信息,使算法易于陷入早熟收敛。因此,当算法多代未更新且多代选用同一个 全局最优值时,增加一个扰动向量,使算法跳出局部极值。从种群中随机选择与当前个体相互支配或支配当前个体的粒子作为扰动粒子。第i个粒子第d维的速度和位置按照下式进行更新:
式中,Pdd为随机选出的扰动粒子的第d维。
判断新产生的扰动粒子与当前全局最优领导粒子的支配关系,若当前全局最优粒子被新粒子支配,则替换为新粒子。
经过多次仿真验证,加入个体扰动后的算法有效避免了陷入局部极值。采用测试函数ZDT2分别对基于PCCS的MOPSO算法[9]和加入个体扰动的MOPSO算法进行 仿真验证,算法迭代200代,得到的结果如图1、图2所示。
将算法分别 运行30次,加入个体 扰动的MOPSO算法,30次均收敛到近似Pareto前沿。 而未引入个体扰动的基于PCCS的MOPSO算法仅有12次能收敛到近似Pareto前沿,多数情况会陷入局部极值,如图2所示。
2.3轧制规程优化流程
根据现场的生产条件以及工艺参数,为了保持带钢板形的良好,本文将末机架作为平整机使用,仅对前四机架进行优化,第5机架采用固定压下率方式,压下量约为5%~10%。优化设计的基本思想是,根据给定带钢的初始数据,随机初始化前4个机架的压下率分配比,利用MOPSO算法求出使目标函数最小的压下率分配方案。算法步骤如下:
(1)初始化种群参数。设定种群大小为150。 外部集大小与种群大小一致。最大迭代次数为200。
(2)根据约束条件,产生初始种群和外部集。
(3)判断外部集的个数是否大于所允许的最大值,若大于,则根据拥挤距离策略,删除密集的多余个体,保证外部集个体数为最大值,执行(4)。 否则,直接执行(4)。
(4)按照支配关系更新个体历史最优领导粒子Pid。
(5)根据式(12)~式(15),计算外部集的每个粒子的密度和收敛潜能,获得外部集中粒子收敛性和多样性参数,并根据Pareto熵检测种群收敛和分布状态,更新全局最优领导粒子Pgd。
(6)判断算法是否陷入局部最优,若种群陷入局部极值,根据式(18)~式(19),采用带个体扰动的全局最优领导粒子更新机制,跳出局部极值,执行(7)。否则,直接执行(7)。
(7)根据粒子 的速度和 位置更新 公式 (式 (10)、式(11)),对粒子进行更新,产生新的种群。
(8)将产生的新种群放入外部集,并根据支配关系更新外部集。
(9)判断是否满足终止条件,是则执行下一步,否则转到(4)。
(10)输出外部 集,获得近似 最优Pareto前沿。
3仿真验证
为验证轧制规程的优化效果,本文选用某钢厂1250 mm冷连轧机 为例,来料宽度 为1000mm,来料厚度为1.5mm,要求成品厚度为0.3mm,此宽度下轧机的纵向刚度为3200kN。 其他参数见表1。
根据本文选用的MOPSO算法,得到冷连轧规程优化的近似Pareto前沿与原规程对比如图3所示。图3中,点“·”为优化出的近似Pareto前沿,五角星“☆”为原规程。可以明显地看到,优化出的近似Pareto前沿在原规程下方,则必然存在优于原规程的解。但图中近似Pareto前沿反映的是两个目标的折中关系,若想降低打滑指标,则必然要损失功率指标,在实际轧制过程中,决策者可根据近似Pareto前沿,依据现场需要,选取适当的解。
4结语
本文针对冷连轧机预防打滑和等相对负荷目标函数,采用了多目标粒子群优化算法进行优化, 并针对多目标粒子群算法存在的收敛性和多样性难以平衡的缺点,采用基于平行坐标系的方法,根据外部集中粒子的收敛程度和分布程度适当地选取全局最优领导粒子,当算法陷入局部最优时,采用带个体扰动的全局最优领导粒子选择策略,取得了明显的效果。
摘要：合理的轧制规程能够提高轧机的产量和产品的质量,带来显著的经济效益。采用多目标粒子群算法,选择等相对负荷和预防打滑为目标进行冷连轧规程优化。针对算法存在的收敛性和分布性难以均衡的问题,引入一种基于平行坐标系的密度和收敛潜能计算方法;同时,为克服算法易于陷入局部最优的缺陷,提出一种带个体扰动的全局最优领导粒子选择策略。仿真结果表明,该方法能快速跳出局部极值,获得具有更好收敛性和分布性的近似Pareto前沿。最后应用该方法对某五机架冷连轧机进行了轧制规程优化。
多目标粒子群 篇5
对于考虑泥沙淤积的水库来说,水库综合利用与水库排沙是水库运行和管理中普遍存在的矛盾,如何协调水库防洪、兴利和排沙减淤之间的矛盾以发挥和维持水库长期综合利用效益和减少库区泥沙淤积,成为近年来水库水沙联调研究的热点[1,2,3]。水库水沙联合调度是一个典型的高维、动态、强耦合、非线性的多目标优化问题,其多目标问题的处理以及模型的求解是水沙联调的关键技术。已有的相关研究主要有:彭杨等[1]应用权重法将发电目标和变动回水区航运目标转换为一个目标,作为水沙调度模型的基本目标,并采用约束法将防洪目标和下游航运目标转化为约束条件,把原多目标问题转化为一个有约束条件的单目标非线性优化问题,然后根据Kuhn-Tucker条件求解;练继建等[2]采用权重法分别赋予泥沙淤积量和发电量目标不同的权重,采用线性加权方法,将多目标问题转化成单目标问题,具体单目标的求解则采用遗传算法;向波等[3]利用约束法把多目标问题中泥沙淤积剩余的有效库容设为基本目标,发电量目标则转化为约束条件,然后采用改进的粒子群算法对转化后的单目标模型求解。这些研究主要都是先采用向量优化技术把多目标问题转化为单目标问题,然后再采用相应的单目标优化技术求解。可以看出,向量优化技术在转化过程中需要人为主观的设置权重系数或约束阈值,且单目标优化技术只是针对转化后的具体单目标问题,所以此类方法无法同时获得多个可行解,存在求解复杂、速率慢,生成的非劣解集不稳定等问题,不能广泛应用于工程领域。
多目标粒子群智能优化算法(MOPSO)[4]是目前学术界广泛研究的一种群体智能算法,具有随机性和隐含并行性,能同时搜索到多个局部最优解,非常适合于多目标优化问题的求解,但该算法同时也存在早熟收敛,易陷入局部最优的缺陷[5]。关于多目标粒子群算法的研究和改进较多,其目的是为了提高多目标粒子群算法的收敛性及收敛速度,增加非劣解的均匀多样性,文献研究表明,目前的多目标粒子群算法,若注重收敛速度,则解的均匀多样性较差;若注重解的均匀性,则收敛速度缓慢[6]。因此,本文尝试将“鲶鱼效应”机制引入到多目标粒子群算法,通过引入鲶鱼型粒子产生竞争压力激活种群,并依据sigma方法加快收敛,使得粒子种群的相对多样性和收敛性均得到改善,在此基础上提出基于鲶鱼效应的多目标粒子群算法(CE-MOPSO)。本文运用多目标规划思想方法,构建水库水沙联合优化调度多目标数学模型,并提出基于鲶鱼效应的多目标粒子群算法求解问题非劣解,通过三峡水库水沙调度的实例应用研究以及与其他算法的数值分析对比,验证了改进算法的高效性和适应性。
1 水库水沙联调多目标数学模型
在满足防洪、航运的要求下,为寻求长系列时间内水库发电与排沙减淤二者的非劣关系,本文以计算期内的年平均发电量最大和有效库容保持率最大为目标建立水库水沙联调多目标数学模型,其中前一个目标反映的是水库的兴利效益,后一个目标反映的水库的排沙减淤效益即水库长期发挥水库综合利用效益的能力,如下所示。
目标函数:
式中:f1为调度期内年平均发电量,kWh;T为调度期时段数;A为电站出力系数;Ht为时段平均水头,m;Qt为发电引用流量,m3/s;Δt为计算时段长度,s;f2为有效库容保持率,%;Vd为调度期初水库有效库容,m3;Vs为调度期末泥沙占据有效库容的淤积量,m3。
泥沙计算采用一维水沙数学模型,先统计泥沙总淤积量,然后根据水库淤积的深泓变化情况和河段淤积分布情况,统计占据水库有效库容的淤积量,剩余的库容百分比即为有效库容保持率。
将水库防洪、航运及水电站水库出力等主要约束转化为水位、流量、出力等相关约束参数,如下所示:
防洪约束:
式中:Zmax、qtmax分别为水库第t时段防洪允许的最高水位即防洪限制水位和下游防洪安全允许的最大下泄流量要求。
航运约束:
式中:Zmin、qtmin分别为水库第t时段库区航运保证水位和下游航运要求的最小下泄流量要求。
水电站出力约束:
式中:Ntmin、Ntmax为第t时段的出力下限和出力上限。
2 基于鲶鱼效应的多目标粒子群算法
2.1 鲶鱼效应机制
“鲶鱼效应”[7]源自于渔民为改善沙丁鱼群体生存状况引入鲶鱼个体激活沙丁鱼的典故,是让个别充满活力并具竞争力的个体加入到群体中,使群体内部紧张起来,改变其惰性,从而使整个群体充满活力。本文提出的基于鲶鱼效应的多目标粒子群算法(CE-MOPSO)是将鲶鱼效应机制引入多目标粒子群算法(MOPSO)中,在进化初始化阶段将所有粒子当作为沙丁鱼粒子,当粒子种群在进化过程中因多样性较差陷入“稳定”状态时,相当于沙丁鱼粒子的惰性停滞状态,此时需要引入鲶鱼粒子触发鲶鱼效应,鲶鱼效应是指利用鲶鱼粒子对沙丁鱼粒子的驱赶激活种群,并依据其收敛特性指导进化,使整个种群回到多样性较好的“活力”状态。CE-MOPSO算法包括2个核心模块:一是制作鲶鱼粒子即鲶鱼启发器如何触发,二是鲶鱼效应的数学模型及其工作原理。
2.2 算法求解步骤
CE-MOPSO算法在粒子种群进化前期采用收敛速度极快的Sigma方法开展搜素,而当粒子种群在进化过程中多样性较差陷入不利“稳定”状态时,启动鲶鱼启发器把非劣解设置为外部鲶鱼粒子,利用鲶鱼粒子对粒子种群的驱赶作用激活种群进行深度搜索,使整个种群回到“活力”状态,从而使非裂解集不断逼近真正的Pareto最优前沿,最终达到最优。算法具体实现步骤如下。
(1)算法参数设定。设定粒子种群规模N、最大迭代次数K和外部档案规模M;其中外部档案是用来保存算法中搜索到的非劣解,外部档案的规模决定了非劣解集的多少。
(2)初始化种群。初始化N个符合约束条件的粒子,构造种群P;随机初始化M/2个非劣解作为外部档案A的初始个体。
(3)计算粒子适应度,对外部档案进行维护。根据适应度函数计算粒子适应度(适应度函数和适应度均为多目标),对适应度分析选出所有的非劣解,将每一代进化后群体中产生的非劣解加入外部档案,并根据适应度支配关系剔除其中的劣解;若外部档案中的个体数超过档案规模M,则采用拥挤距离对此时档案中的所有个体排序,保留排在前面的拥挤距离较大的M个个体,维持外部档案的多样性。
(4)确定种群P中所有粒子的个体极值,并计算种群P和外部档案A中所有个体的Sigma[8]值。
(5)计算种群相对多样性,判断其是否满足阈值。设种群相对多样性预定阈值为ξ,在进化的第K代,计算种群相对多样性为ξ(k);若ξ(k)>ξ,说明多样性满足阈值要求,转入步骤(6);否则ξ(k)<ξ,则说明此时种群的多样性较差,需要启动鲶鱼启发器,利用鲶鱼效应增强群体多样性,转入步骤(7)。
(6)根据收敛性较好的Sigma方法确定每个粒子的全局极值(根据该方法,若种群P中某个粒子的Sigma值与某个外部档案成员的Sigma值最接近,则这个粒子就选取该成员作为它的全局最好位置),然后根据标准MOPSO飞行公式更新粒子位置和速度。由于种群此时多样性较好,采用Sigma方法可以使算法更专注于速度的收敛,该方法的优势在于能够加快算法的收敛速度,计算简单。
(7)启动鲶鱼启发器,利用鲶鱼效应增强群体多样性。当粒子种群多样性较差时,容易导致过早收敛从而影响群体目标的实现,此时需要启动鲶鱼启发器制作鲶鱼粒子。设置鲶鱼粒子数目最大规模为C,当外部档案中非劣解的个数小于C时,直接把外部档案中的非劣解设置为鲶鱼粒子;而当外部档案非劣解的个数大于C时,以外部档案中非劣解的最大、最小Sigma值作为距离空间,均匀的选择C个非劣解设置为鲶鱼粒子,作为外部有竞争力的个体加入到粒子种群P中,当代制作出的鲶鱼粒子只在当代迭代中起作用,到下一次迭代,当代鲶鱼粒子自动死亡移除。当种群P中加入了鲶鱼粒子后,粒子的飞行不仅受到全局极值和个体极值的引导,还要受到鲶鱼粒子的驱赶,如公式(6)所示:
式中:w为惯性权重;c1、c2为学习因子;r1、r2为0～1间随机数;j为粒子编号;vj∈[-v
公式(6)中的上标I为i分量上与粒子j距离最小的鲶鱼粒子编号,表示沙丁鱼粒子受离它最近的鲶鱼粒子的驱赶;式(6)中最后一项称之为驱赶作用项,种群粒子离鲶鱼粒子的距离越近则受到的驱赶作用越大。
可以看到带“驱赶作用项”的粒子速度更新公式所描述的鲶鱼效应有2个关键点:一个是粒子全局极值的选取不同于Sigma方法按照Sigma值最接近的方式选取,而是选取与粒子j的Sigma值第二接近的非劣解,这样是为了避免延续Sigma方法容易陷入局部最优的缺点,把引导粒子搜索的全局极值设置为与Sigma值最接近的邻域非劣个体,从而达到局部深度搜索的目的,加快收敛速度。另一个是粒子飞行比标准粒子群算法多了一个驱赶项,受到鲶鱼粒子的驱赶,使得粒子不能靠近这些由非劣解制作的鲶鱼个体,防止粒子集中在非劣解附近陷入停滞状态,粒子靠得越近则驱赶的力度越大,从而往更广阔的空间搜索,保持粒子多样性。
(8)根据速度和位置产生新一代粒子。
(9)以最大迭代次数为迭代终止条件,检查是否满足终止迭代条件,若满足则搜索结束,否则返回到步骤3重新迭代。
算法求解流程图如图1所示。
3 应用实例
3.1 实例资料及约束条件
实例分析以三峡水库为研究对象,选取泥沙计算设计所用的1961-1970年为典型系列年,数据资料表明该系列基本上包括了年水量的丰、中、枯及输沙量的大、中、小等多种类型的组合,而且来沙量年内的分配与多年平均值基本一致。考虑到泥沙计算的精度要求,每年6-9月取旬为计算时段,其余以月为计算时段,年内计20个时段,10年内总计算时段为200,即T=200。泥沙淤积计算采用目前较为成熟的一维非均匀沙、不平衡输沙数学模型。
在三峡水库原设计运行调度规则的基础上,设置主要约束如下。
(1)排沙要求和防洪约束:
考虑防洪预报技术提高和排沙减淤要求,汛期6-9月(汛限水位145 m),防洪限制水位允许在140～145 m之间动态控制运行,以达到降低水位排沙和满足防洪要求的目的;水库下泄流量不超过下游防洪允许泄量55 000 m3/s。
(2)最小出力和航运约束:
枯水期水电站最小出力499万kW;枯水期上游航运控制水位155 m。
3.2 数值模拟和成果分析
CE-MOPSO算法参数设置如下:种群规模N=50,外部档案规模M=100,鲶鱼粒子规模C=10,学习因子c1=c2=2,总迭代次数K=500,惯性权重系数w=0.9-k 0.5/K,式中k为当前迭代次数。设置其种群相对多样性阈值ξ=0.45(模拟仿真表明在此值附近,种群的进化过程趋于稳定,此时需要通过启动鲶鱼效应增强种群的多样性)。本文将通过与其他算法的数值模拟对比分析和三峡水库水沙调度优化成果来验证算法的高效性及其适应性。
(1)测试函数数值分析:这里选用国际上最具代表性的两目标问题测试函数ZDT3对本文所提算法的收敛性指标γ和分散性指标Δ[9]进行测试,并同2种较为常见的多目标粒子群算法MOPSO[4]、σ-MOPSO[8]进行比较。各算法独立模拟运行20次以上,结果如表1所示,3种算法的在ZDT3测试函数上的最终Pareto前沿如图2～图4所示。
由表1可见,σ-MOPSO与MOPSO算法相比,在收敛性和多样性方面并未体现出一定优势,从图2、图3对比可以看出,σ-MOPSO算法的两端收敛较好,但中间有断裂且分布较为分散,而MOPSO算法的两端解很差,只有零星的分布,但中间的解较为连续均匀,说明Sigma方法注重两端收敛,却忽略了非劣解的收敛质量和多样性。CE-MPSO在Sigma方法和鲶鱼效应的双重作用下,与其他2个算法比,无论是种群多样性还是收敛性都有明显的优势,尤其是种群多样性方面,从图4中也可以看出CE-MPSO算法获得了真正的Pareto前沿,且非劣解的分布均匀分散,这充分说明了该算法要优于σ-MOPSO与MOPSO算法。
(2)三峡水库水沙调度优化成果分析:以三峡水库水位作为决策变量,任一粒子可用Xj=(x
图5～图6中显示了CE-MOPSO算法第50、100、300和500次迭代进化后,Pareto最优前沿及其进化情况。从图中可以看出,随着CE-MOPSO的进化,外部档案非劣解集不断得到更新,算法得到的Pareto最优前沿逐渐逼近真实的Pareto最优前沿;迭代500次后的Pareto最优前沿与迭代300次后的成果相比,B-C区域和A-B区域中间段基本相同,不同的是A点区域的非劣解要优于300次迭代的最优成果,且B点区域的非劣解相比300次迭代的离散状态,形成了较为连续均匀的前沿,这说明在算法迭代的后期通过鲶鱼效应的调节提高了非劣解集的多样性,尤其是在最优前沿的顶端和拐点,使得非劣解集的分布更加分散均匀。
图5多目标优化的最终Pareto最优前沿反映了10年泥沙淤积量和年均发电量两个目标的非劣关系,年均发电量越大其泥沙淤积总量也越大,说明欲要减少水库泥沙淤积量,势必要增加发电量损失;由图6分析可知有效库容保持率和年均发电量两目标的非劣解关系曲线与图5的趋势相同,反映了有效库容保持率与增加发电量成反比的关系,并且从图上可以看出有效库容损失率一直处于很低的水平,说明汛期开展的排沙调度起了排沙减淤的作用;图5～图6中Pareto最优解所对应的优化方案集,与权重法各目标抽象的权重以及约束法人为主观设定的有限值数值相比,给了较为客观的能代表整个可行调度空间的泥沙淤积量与发电量非劣解集以及有效库容保持率与发电量非劣解集,且这些解的分布均匀,能为水库水沙联合优化调度提供更有效的数据支持,从而验证了算法在水沙联合优化调度工程领域的适应性。
4 结 语
本文以计算期内的年平均发电量最大和有效库容保持率最大为目标建立了水库水沙联调多目标决策模型;针对向量优化技术无法产生大量非劣解和多目标粒子群算法容易陷入局部最优的缺陷,提出了基于鲶鱼效应的多目标粒子群算法,该算法在进化前期充分利用Sigma方法收敛速度较快的优势迅速收敛,在进化中后期多样性较差时触发鲶鱼启发器引入外部鲶鱼粒子,利用鲶鱼的驱赶效应改善算法的收敛性和非劣解集的多样性;数值分析证明,与MOPSO和σ-MOPSO相比,CE-MOPSO算法在收敛性和分散性指标上有较明显的优势,算法效率和质量较高,同时以三峡水库实际算例表明,CE-MOPSO算法能给出有效库容保持率、泥沙淤积量和发电量之间的非劣关系和收敛较好、分布均匀的Pareto最优前沿,从而为多目标、高维、非线性复杂的水沙优化调度问题的求解提供了新的途径。
摘要：针对水库水沙联合优化调度多目标、高维、非线性和难以求解的特点,将鲶鱼效应机制引入多目标粒子群算法中提出基于鲶鱼效应的多目标粒子群算法,该算法在利用收敛速度较快的Sigma方法的基础上,通过触发鲶鱼启发器引入外部鲶鱼粒子,利用鲶鱼粒子对种群的驱赶效应增加种群多样性,从而提高算法的收敛性和非劣解集的多样性;数值分析证明,与MOPSO和σ-MOPSO相比,该算法的效率和质量更高,同时三峡水库实际算例也表明,该算法能给出代表整个可行调度空间、收敛较好、分布均匀的Pareto最优前沿,具有较好的适应性。
关键词：水沙联合调度,多目标粒子群算法,鲶鱼效应,Sigma方法
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多目标粒子群 篇6
无功优化是一个复杂、多目标、非线性的混合规划问题[1,2]。目前, 无功优化的目标函数主要有2类:多个子目标线性加权组合为单一目标, 从而转化为单目标优化问题, 该方法的优点是便于计算, 缺点是难以确定各目标函数的权重;应用多目标优化算法求取无功优化的Pareto前沿, 该方法的优点是能提供丰富的Pareto最优解集, 缺点是难以对大量的Pareto最优解进行取舍, 不利于生产决策, 而且目前多目标优化的算法多为对单一算法的局部改进, 不能从根本上解决单一算法的缺点[3,4]。文献[5]提出采用超效率包络分析法对Pareto最优解进行评估, 但在评估相对效率时, 仍需要人为地设定参考比例。文献[6-7]采用多目标模糊优化原理将多目标优化问题转化为单目标优化问题, 这种方法摆脱了惩罚函数的限制和后期决策难题。
传统的优化算法通常不能处理离散变量[8], 要求各控制变量连续、目标函数可微, 且容易产生“维数灾”, 因此人工智能算法被大量应用到无功优化中。其中, 粒子群优化PSO (Particle Swarm Optimization) 算法是美国Kennedy和Eberhart博士于1995年提出的一种生物进化算法[9], 该算法的优点在于并行计算、易于实现、收敛速度快等, 缺点在于存在初值敏感性、易陷入局部极值点、搜索精度不高等[10,11]。禁忌搜索TS (Tabu Search) 算法是一种高效启发式优化技术, 能以较大的概率跳出局部极值点, 缺点是初始解敏感性强, 如果初始解不理想, 该算法很难跳出局部最优解, 甚至无法收敛可行解[12,13]。因此, 可将2种算法结合起来, 优势互补, 但结合点在哪里, 目前尚无合理的判断方法[14], 显然过早进入TS算法不利于TS的爬坡能力, 过晚进入TS算法则不利于提高计算速度、节省计算时间。
本文针对有功网损、电压偏差和静态电压稳定裕度的多目标无功优化问题, 提出一种基于改进粒子群-禁忌搜索算法的多目标电力系统无功优化方法。以最小特征值模为电压稳定裕度指标构造了3个目标函数的单一妥协模型。应用Kent映射产生的混沌序列作为初始种群, 保证初始种群的多样性和均匀性。PSO算法进行前期计算时, 采用凸函数递减惯性权重和自适应学习因子提高算法的收敛速度和精度。针对PSO算法搜索精度不高和陷入局部最优的问题, 在PSO算法后期收敛后引入TS算法进行全局寻优。提出了一种基于群体适应度方差的PSO算法后期收敛指标, 当其值为0时算法自动进入TS计算阶段, 解决2种算法的结合点问题。最后, 将本文方法应用于IEEE 14、IEEE 30和IEEE 118节点系统中, 验证其有效性和可行性。
1 多目标无功优化模型
1.1 目标函数
本文以系统有功网损最小为经济性指标, 电压平均偏差最小和电压安全稳定裕度最大为技术性指标。
a.系统网损:
其中, L为系统总支路数;gk为支路k电导;Ui、Uj、θij分别为支路k两端节点i、j的电压幅值及其相角差。
b.电压平均偏差:
其中, NL为系统负荷节点总数;Ui为节点i实际电压;Ui*为节点i额定电压;Uimax、Uimin分别为节点i的最大、最小允许偏差。
c.静态电压稳定裕度。
静态电压稳定裕度是指系统当前运行点到电压崩溃点间的距离。目前用于无功优化的静态电压稳定裕度指标有基于广义Tellegen定理的静态电压稳定裕度指标[6,7]、最小特征值模指标[5,15,16,17]和负荷裕度指标等。负荷裕度指标因计算量大、增长模式难以确定而不经常采用[5], 最小特征值模指标由潮流雅可比矩阵直接求得, 不需要额外计算, 易于求取, 因而被广泛使用。
当电力系统由正常工作点向稳定极限过渡时, 雅可比矩阵最小特征值模单调地趋向于零, 如果潮流雅可比矩阵最小特征值模等于零, 表明该工作点是电压崩溃临界点, 因此本文静态电压稳定裕度目标函数为:
其中, J为雅可比矩阵;eig (·) 表示取特征根运算。
1.2 约束条件
a.等式约束条件, 即为潮流方程:
其中, Pi G、Pi L分别为节点i的发电机有功出力和有功负荷;Qi G、Qi L分别为节点i的发电机无功出力和无功负荷;Qi C为节点i的无功补偿容量;Gij、Bij分别为节点导纳阵中节点i和节点j之间的电导和电纳。
b.不等式约束:
其中, T为变压器变比;QC为无功补偿容量;QG为发电机无功出力;U为节点电压。
1.3 单一妥协模型
多个目标函数之间有时存在矛盾和制约, 即一个目标的优化可能降低另一个目标的性能, 很难使各个目标同时达到最优。如果采用加权法, 罚因子太大会使罚函数项淹没其他目标函数, 罚因子太小又会使罚函数项在目标函数中所占的分量过轻, 不利于搜索可行解。如果直接求取Pareto最优前沿, 又存在后期决策困难。因此本文引入模糊集理论, 对有功网损和静态电压稳定奇异值指标进行尺度变换, 建立单一妥协模型如下:
其中, μi (fj) (i=1, 2;j=1, 2, 3) 为各指标的隶属度值。
系统网损和电压平均偏差指标为极小值性目标函数, 对μ1 (fj) 构造隶属度函数[4,5]:
其中, fjmax、fjmin分别为目标函数fj的最大、最小值。
需要说明的是, 本文以最小特征值模为静态电压稳定裕度指标, 是极大值型目标函数, 故应对μ2 (fj) 应构造隶属度函数:
由式 (6) 可知, 模型目标是使隶属度值最大的指标最小, 对隶属度函数值较大的目标函数进行优化, 优化结果x*即为多目标问题的有效解[18]。
2 改进粒子群-禁忌搜索算法
2.1 初始种群的产生
PSO算法是一种群体优化算法, 随机产生的初始群体可能导致初始种群在解空间分布不均, 较大的“趋同性”使粒子群不能全面地搜索解空间, 故初始解空间分布越均匀多样, 搜索效果越好。混沌运动能在一定范围内按其自身“规律”不重复地遍历所有状态, 常被用来改进PSO算法[19]。Kent混沌方程为[20]:
其中, ζ为常数;z为混沌序列。
相比典型Logistic混沌系统[20], Kent混沌系统在[0, 1]上的分布更均匀。Kent混沌系统和典型Logistic混沌系统的概率分布如图1所示, 因此, 本文采用Kent映射产生的混沌序列作为初始种群。
设某个控制变量的取值范围为[xmin, xmax], 序列公式为:
其中, xid0为某控制变量的初始值;z (i) 为由式 (9) 产生的序列数。
2.2 PSO算法
PSO算法是一种群体智能的优化算法, 根据自身以及群体的飞行经历进行寻优, 寻优公式为:
其中, i=1, 2, …, n (n为种群数) ;d=1, 2, …, m (m为粒子数) ;k为迭代次数;c1、c2为学习因子, 通常取2, 用于平衡粒子个体和群体的认知能力;r1、r2为[0, 1]之间的随机数;pkid为粒子i在第k次迭代中第d维的最优位置, 称为个体最优位置;gdk为粒子群在第k次迭代中第d维的最优位置, 称为全局最优位置;w为惯性权重, 反映了粒子保持原有运动趋势的能力, 较小的w具有较好的局部搜索能力, 可提高求解精度, 增大w有利于增强对新区域的搜索能力。
惯性权重w一般按式 (13) 进行线性自适应调整。
其中, wmax、wmin分别为惯性权重的最大、最小值, 通常分别取为0.9、0.4;iter为当前迭代次数;itermax为最大迭代次数。
文献[21]在研究了线性递减、随机、凹函数递减和凸函数递减4种惯性权重取值方法之后, 证明凸函数递减惯性权重法在多峰函数寻优中收敛速度最快、精度最高。因此本文惯性权重w取为:
c1体现了粒子对自身的学习能力, c2体现粒子对群体的学习能力, c1递减和c2递增有利于算法初期粒子的自我探索能力和算法后期群体认知能力。因此本文c1、c2取值如下:
其中, c1f、c1i、c2f、c2i为常数, 按经验取值为c1f=1.5、c1i=0.7、c2f=2.5、c2i=0.5。
PSO算法寻优过程中, 粒子通过追踪个体最优位置pkid和全局最优位置gdk来更新自己。如果某次迭代中发现一个最优位置, 根据式 (11) — (16) , 所有粒子将迅速向其靠拢, 即粒子群迅速“趋同”, 无法在解空间内重新搜索。
2.3 PSO算法后期收敛指标
粒子群“趋同”之后无法重新搜索解空间, 容易陷入局部最优, 因此算法后期引入TS算法。TS算法有很高的初值要求, 故应以PSO算法的后期收敛解作为TS的初始解。如果仅以PSO算法迭代过程中全局最优位置gdk是否进化为PSO算法后期收敛的判断依据[14,19], 由式 (11) 知gdk不变时所有粒子向gdk靠拢, 个体最优位置pkid在迭代过程中有可能被更新, pkid更新过程中, 如果发现比gdk更优的位置, gdk将被替代, 因此仅以gdk是否进化来判断种群是否进入后期收敛状态是不完善的。
文献[22]提出用PSO算法群体适应度方差σ2来反映全部粒子的收敛程度, 因收敛程度具有模糊性, 因此本文引入模糊截集概念, 将模糊集合转化为经典集合, 并定义经典集合下的收敛指标δLCIkd。
设A∈F (UM) , F表示模糊集, UM表示模糊集的论域, 则A的λ截集可表示为。对于反映PSO群体收敛程度的适应度方差σ2, 它的隶属度函数可表示为:
其中, fi为第i个粒子的当前适应度;E (f) 为当前粒子群群体适应度期望;f*为定标因子。
置信水平λ为常数, 取为0.01, PSO算法收敛程度的λ截集可表示为:
PSO群体收敛程度的Aλ是一个经典集合。如果f∈Aλ, 则某次迭代的产生PSO群体在λ水平上尚未进入后期收敛状态, 仍有优化的裕度。
将Aλ用模糊向量法表示:
Aλ是一个{0, 1}集合。随着迭代次数k的增加, 集合中的0元素逐渐增多。本文将后期收敛指标δLCIkd定义为:
其中, ∨表示取上确界;kd为常数。
若δLCIkd=1, 说明PSO算法整体方差在λ水平上尚未进入后期收敛状态;若δLCIkd=0, 则判定PSO算法整体停止进化, 无法找到更优解, 应引入其他方法进行改良。本文选择获得优良解概率较大的TS算法。
2.4 TS算法
TS算法包含禁忌对象、禁忌长度、邻域函数、候选解、藐视准则等基本参数。算法步骤如下。
a.当δLCIkd指标检测到PSO算法进入后期收敛状态时, 说明PSO算法已经无法给出更优的解, 把此时PSO算法的最优解作为TS初始解, 并将TS的禁忌表置为空, 进入TS优化阶段。
b.利用TS当前解产生邻域解, 本文中保持当前解其他元素不变, 仅改变某个控制变量的档位或数值, 所有元素逐次调整一遍, 得到一个候选解集合。
c.逐个判断候选解集合中的候选解是否满足藐视准则, 藐视准则基于适应度的大小。若候选解满足藐视准则, 则用满足藐视准则的候选解集中的最优解代替当前解, 并替换最早进入禁忌表的禁忌对象, 禁忌表中各对象任期减一, 然后转步骤e;否则, 转步骤d。禁忌长度设置为0.6l (l为候选解个数) 。
d.逐个判断候选解集中候选解的禁忌属性, 候选解集中最优非禁忌候选解成为新的当前解, 同时替换最早进入禁忌表的禁忌对象, 禁忌表中各对象任期减1。
e.判断是否满足终止条件。若满足, 则结束算法并输出优化结果;否则, 转步骤b。
由步骤c、d可知, TS的新解不是在当前解的邻域中随机产生, 而是非禁忌候选解的最优解;由步骤d可知, TS算法搜索过程中可以接受劣解, 相比于一直进化的PSO算法, TS算法不仅可以进化还可以“退化”。因此, 获得优良解的概率较大。
3 混合算法在多目标无功优化中的应用
以发电机机端电压、有载调压变压器分接头位置及静止无功补偿电容器投入的步长为控制变量进行求解。实际运行中, 发电机机端电压可以在额定范围内连续变化, 故采用连续十进制实数编码, 变压器分接头调节档位和电容器投入容量按整数变化, 故采用离散变量十进制实数编码。那么PSO算法中的某个粒子, 或TS中的某个解表示为:
其中, UGi (i=1, …, ng) 为发电机节点电压;Tki (i=1, …, nT) 为有载调压变压器分接头;QCi (i=1, …, nc) 为静止无功补偿电容器投入的容量。
混合算法在无功优化中的求解流程如图2所示。
a.系统初始化。读入系统的网络参数, 利用式 (10) 产生初始种群。
b.PSO算法阶段。潮流计算, 利用式 (1) — (3) 求各目标函数, 由式 (7) 、 (8) 计算各目标函数的隶属度, 确定个体最优位置和全局最优位置。
c.由式 (17) — (21) 计算δLCIkd, 判断PSO算法是否停止进化。若δLCIkd=1, 则按式 (11) 、 (12) 、 (14) — (16) 更新粒子群的速度和位置, 再转入步骤b;若δLCIkd=0, 则PSO算法进入后期收敛状态, 转入步骤d。
d.TS阶段。详见第2.4节内容。
4 算例分析
分别以IEEE14、IEEE30和IEEE 118节点系统为例来验证本文算法的有效性和可行性。IEEE 14、IEEE 30节点系统的终止条件为迭代100次, IEEE118节点系统的终止条件为迭代200次。除平衡节点外, 电源节点都作为PV节点处理, 负荷节点都作为PQ节点处理。变压器变比上限为1.1, 下限为0.9, 调节范围为1.0±0.012 5×8, 编码范围为 (-8, 8) , 共有17档;无功补偿为-0.12~0.36p.u., 调节步长为0.04 p.u., 编码范围为 (-3, 9) , 负号表示投入为电抗器。
4.1 IEEE 14节点算例
运用本文方法及标准PSO算法对该系统进行无功优化, 为减少随机性对算法的影响, 分别运行50次, 结果取平均值, 与文献[17]获得的Pareto最优前沿折中解相比较, 结果见表1, 表中有功网损、电压偏差、电压稳定裕度为标幺值, 后同。可以看出, 与优化前相比, 优化后多种方法所得网损和电压稳定裕度都有所降低, 这是因为该系统网损和电压稳定裕度之间存在矛盾, 互相制约。文献[17]选出的折中解极大地改善了系统网损, 对电压稳定裕度的考虑较少, 所以系统电压稳定风险大。而标准PSO算法较早地收敛于局部解, 无法获得全局最优解。本文算法使有功网损从0.1365p.u.降至0.1207p.u., 降低了11.58%, 网损指标得到很大改善, 同时电压稳定裕度降低了0.95%, 比文献[17]和标准PSO算法付出的稳定代价小。
4.2 IEEE 30节点算例
运用本文方法、标准PSO算法和TS算法对该系统进行无功优化, 仿真结果如图3、4所示。由图知, 标准PSO算法前期寻优能力较强, 后期因粒子群迅速“趋同”而陷入局部最优;TS算法因初始解不够理想, 未能有效发挥其“爬山”能力, 结果不甚理想;本文算法用TS算法对PSO算法的解进一步优化, 所得结果优于单纯的PSO算法和TS算法。
本文算法与标准PSO算法、TS算法、文献[17]获得的Pareto最优前沿折中解相比较, 结果见表2。
由表2得出以下结论。
a.采用本文方法后, 有功网损得到较大改善, 电压偏差减小, 电压稳定裕度也得到了提高。
b.在计算速度方面, 本文方法逊于文献[17]和标准PSO算法, 优于TS算法。这是因为TS算法建立了外部存储单元———候选解集和禁忌表, 每次迭代都要逐项提取候选解比较其与藐视准则的关系, 若不满足藐视准则还要继续提取禁忌表内容进行禁忌属性对比。同时, TS算法在迭代过程中要对2个外部存储单元进行维护更新, 这大幅增加了计算时间, 降低了计算速度。标准PSO算法仅保留全局最优位置和局部最优位置, 每次迭代时直接利用, 节约了大量存储和比较时间, 因而计算速度较快。本文算法前期采用标准PSO算法, 后期采用TS算法, 因此计算速度快于TS算法, 慢于标准PSO算法。
c.文献[17]虽然计算速度快, 但结果为Pareto解集, 若用于指导实际生产, 仍需后续数据处理, 最优折中解的选取有其不确定性。本文算法计算时间虽长, 但后续数据处理时间为0, 因此有较大优势。
置信水平λ影响了迭代次数在PSO算法和TS算法之间的分配, 本文算法中置信水平λ取0.01和0.2时的优化结果对比如表3所示。
相同迭代次数下, λ越大, PSO算法的计算次数越少, TS算法的计算次数越多。λ过大时, PSO算法不能为TS算法提供较好的初始解, 影响算法整体寻优结果, 而且TS算法需建立2个外部存储单元, 计算速度慢。反之, λ越小, PSO算法的计算次数越多, TS算法的计算次数越少。所以, 在迭代次数足够多的情况下, λ取较小值为宜。
4.3 IEEE 118节点算例
用本文方法与其他3种优化算法分别优化IEEE 118节点系统, 结果见表4。
由表4得出以下结论。
a.相比其他3种优化算法, 本文方法在各个目标方向都取得了较好的结果, 优化后网损为1.147 p.u., 降损率为15.16%, 电压偏差降低为0.062 p.u., 同时电压稳定裕度得到提高。
b.在计算速度方面, 本文方法后期采用了TS算法, 建立了外部存储单元, 因此相同迭代次数下, 计算时间比标准PSO算法长, 计算速度慢。但本文方法能合理减少TS算法的计算次数, 计算时间比TS算法短。
c.随着系统控制变量的增多, TS算法外部存储单元存储量激增, 给存储单元的维护与更新带来较大困难, 同时完成一次迭代所需要的调用和对比时间也大幅增加。而且由于初值限制, TS算法难以获得比本文方法更优的解。
d.与文献[17]相比, 本文方法在计算阶段的耗时较长, 但其最优折中解的选择过程内嵌于目标函数中, 省却了后续数据处理时间。
λ取不同值时的优化结果如表5所示。
由表5知, λ取较大值时, 粒子群收敛程度较低, 本文前期优化结果不理想, 后期TS算法受初值影响, 难以获得较优解。在迭代次数有限且足够多的情况下, λ的增大造成TS算法计算次数增多, 不利于计算速度。
5 结论
本文综合考虑考虑系统网损、电压偏差以及电压稳定裕度3个目标, 建立了以最小特征值模为电压稳定指标的单一妥协模型。算法采用Kent映射产生初始种群, 使初始种群更加均匀多样, 采用凸函数递减惯性权重和自适应学习因子改进PSO算法, 以PSO算法的后期收敛解作为TS初始解进行全局寻优, 提出了一种基于PSO群体适应度方差的后期收敛指标, 当其值为0时进入TS算法阶段, 解决了2种算法的结合点问题。
本文方法是PSO算法和TS算法的合理结合, 能在各个目标方向取得较好的优化结果。相同迭代次数下, 本文方法计算速度比PSO算法慢, 比TS算法快。后期收敛指标的置信水平影响了迭代次数在PSO算法和TS算法之间的分配, 在迭代次数有限且足够多的情况下, 置信水平取较小值为宜。置信水平的取值可作为优化问题进一步研究, 例如通过优化置信水平得到合理的迭代次数, 减少计算时间, 加快计算速度。
摘要：针对有功网损、电压偏差和静态电压稳定裕度的多目标无功优化问题, 提出一种基于改进粒子群-禁忌搜索算法的多目标电力系统无功优化方法。以最小特征值模为电压稳定裕度指标建立了3个目标函数的单一妥协模型。应用Kent映射产生的混沌序列作为初始种群, 保证初始种群的多样性和均匀性。粒子群优化 (PSO) 算法进行前期计算时, 采用凸函数递减惯性权重和自适应学习因子提高算法的收敛速度和精度;针对PSO算法搜索精度不高和陷入局部最优的问题, 在PSO算法后期收敛后引入禁忌搜索算法全局寻优。基于群体适应度方差, 引入模糊截集理论将模糊集合转化为经典集合, 定义了经典集合下的收敛指标, 当其值为0时进入禁忌搜索计算阶段, 解决2种算法的切换问题。将所提方法应用于IEEE14、IEEE30和IEEE118节点系统中, 验证了其有效性和可行性。
多目标粒子群 篇7
随着我国经济的高速发展和电力系统的不断扩大, 人们对供电的安全性、可靠性等方面的要求也日益增长, 势必需要大量的输变电工程投入到电网建设中。为应对建设需求, 每年都会有大量的输变电工程上报。在这些工程中, 一部分是电网建设需要的, 但另有一部分也是没有必要的, 或者上报的方案不是最优的, 需要被替换成更好的实施方案。如何在大量的工程中选择需要的并且以一种最好的方案进行实施, 对于电网建设决策者而言至关重要。
输变电工程立项决策模型的基本任务是根据对电网的全面评价, 确定上报申请的待选项目是否有必要立项。如果确定立项, 则合理地决策用哪一种方案进行针对性地改造和建设, 从而使规划方案能满足电网安全可靠运行的要求, 适应电力发展的需求, 同时使能源资源得到合理的优化配置。
输变电工程立项决策问题是一个非线性、多阶段、多目标的复杂优化问题。它有3个方面的关键技术难点:需要一套科学、客观、合理以及全面的评价指标体系去建立该数学模型;输变电工程立项决策模型往往建立成一个多目标优化模型, 需要寻找一种高效的多目标优化算法进行求解;在利用多目标优化算法求得Pareto最优解后, 应用一种有效的综合评价方法比选备选决策也是一个重要的环节。
对于在输变电工程立项决策问题中的难点, 目前大部分文献集中在对于可选的电网规划方案, 用一些评价指标对各个方案进行评价后得到一个最终方案[1,2,3], 但采用多指标全方位地对电网进行综合评价并将其转化为多目标优化模型的文献并不多见。
对于多目标优化问题, 多目标遗传算法[4,5]最先被提出, 且很多学者专家对其进行了大量的改进[6,7]。鉴于粒子群优化算法参数简单, 并且无需复杂调整的特点, 在多目标遗传算法的基础上, 文献[8]首先提出了多目标粒子群优化 (MOPSO) 算法。为了更好地保持多样性, 文献[9]提出了基于小生境的多目标粒子群优化算法, 文献[10]提出了基于自适应划分的多目标粒子群优化算法, 进一步优化了多目标粒子群优化算法。但输变电工程立项决策问题指标众多, 普通的多目标优化算法很难求解这样一个高维的问题。
在评价方法方面, 已有文献提出了利用多目标模糊评价方法[1]、基于区间层次分析法[2]、基于熵权灰色法[3]和独立信息数据波动赋权 (DIDF) 法[11]等优度评价法, 对电网规划方案进行评价。但这些文献在指标选取上没有一个统一的标准, 而且其中有些指标意义不大或者在实际电网中难以获得原始数据。
因此, 本文基于一个较为完整的输变电工程立项决策方案评价指标体系, 包括电网的安全性、经济性、环境友好性、适应性和协调性5个方面, 形成一个输变电工程立项决策的多目标优化问题, 并针对部分指标需要优先满足的要求, 提出自动寻优的两阶段双层粒子群优化算法, 有效地求解各个方案的评价指标, 形成Pareto最优解, 最后用综合评价方法进行比选决策, 选取最优方案。
1 输变电工程立项决策数学模型
多目标优化问题的数学模型一般可以表示为式 (1) 的形式。
其中, n为决策变量的个数;m为目标变量个数;n维的决策变量x= (x1, x2, …, xn) , m维的目标函数矢量y= (y1, y2, …, ym) ;hi (x) 为等式约束;gj (x) 为不等式约束。
定义1:假设多目标优化问题的2个解向量U、V∈RD, 若满足
则称U相比V是Pareto占优, 也称U支配V。
定义2:假设x*∈RD, 当且仅当RD中不存在支配x*的x时, 则称x*为多目标优化问题的Pareto最优解。
本文将输变电工程立项决策问题构建成一个两阶段多目标的数学优化模型, 2个阶段分别为立项阶段和决策阶段。
在立项阶段, 决策者主要考虑目前该部分电网是否存在某个缺陷, 比如供电能力不足、容载比过低或存在安全隐患等。根据现有电网的输变电工程立项评价指标体系 (见图1) , 判断是否需要立项。若满足安全性I类指标要求, 则不需要立项;反之, 则需要立项。因此, 立项阶段主要考虑安全性I类指标, 包含容载比、主变及线路的最大负载率等。
在决策阶段, 对于系统某个缺陷, 存在很多实施方案, 同时上报的方案并不一定是最好的, 所以决策者需要在众多方案中选取一种最优的方案, 或者通过一定的方法去寻找出一种最优的方案。另一方面, 既然是因为安全性缺陷而立项, 那么所选的方案必须以满足安全性Ⅰ类指标为前提, 继而再去寻找安全性Ⅱ类、经济性[12,13]、环境友好性、协调性[14]、适应性[14]等其他指标的最优性。因此, 决策阶段综合考虑安全性Ⅰ类、安全性Ⅱ类、经济性、环境友好性、适应性和协调性6个大类指标, 构建一个较为完整的输变电工程方案决策评价指标体系, 如图2所示。
2 双层多目标粒子群优化算法
2.1 标准粒子群优化算法
标准粒子群优化算法用一群粒子表示优化问题的潜在解。在m维的搜索空间中, 粒子i在t时刻的位置为xi (t) , 速度为vi (t) , 该粒子的历史最好位置记为Pbesti, 而全部粒子经历过的最好位置记为Gbest。粒子群优化算法中粒子通过不断更新自身的位置和速度向最优解飞行, 第i个粒子的速度和位置更新公式为:
其中, r1、r2为均匀分布在[0, 1]区间的随机数;c1、c2为群体认知系数, 一般c1=c2=2;惯性权重ω=0.9-0.5i/Titer+1, Titer为迭代的总次数。
2.2 自动寻优的双层多目标粒子群优化算法
输变电工程立项决策模型包含非常多的目标函数, 并且体现安全性Ⅰ类指标的目标函数需要满足一定的安全限定, 同时又要尽可能被优化。由于安全性I类指标众多, 如果用罚函数处理这些指标并加入到约束中, 会导致搜索方向混乱, 优化时很难找到Pareto最优解。因此, 本文提出用双层多目标粒子群优化算法来求解这样的问题, 即在目标函数中, 有部分目标函数需要优先被满足。
本文用安全性Ⅰ类的多个指标构成下层的多目标优化模型, 将安全性Ⅱ类、经济性、环境友好性、适应性和协调性作为目标函数, 构成上层的多目标优化模型, 从而形成一个双层多目标优化模型。其中下层模型为必要条件, 上层模型则在下层模型的基础上进行优化。
2.2.1 自动寻优编码
在使用粒子群优化算法时, 首先要根据数学模型的特点编制相应的解编码, 使解从空间上映射到需要的数学表达方式, 合理的编码方式有利于提高算法的整体效率。
对于输变电工程立项决策方案自动寻优算法而言, 其解编码需要体现其具体的方案。对网架拓扑而言, 节点集合和线路集合会发生变化。对于自动寻优机制, 需要先输入可选的节点信息和线路信息, 这些信息都可以用一个整数值表示, 即对于可选的信息是选还是不选, 如果选的话是选几个。
a.可选的节点信息。因为对于一个具体的项目, 若要新建或者扩建变电站, 其容量等信息都是已知的, 只要决策是新建还是扩建。所以编码的第一位按0、1、2编码, 其中0为不建, 1为新建, 2为扩建, 分别对应相应的可选节点信息。
b.可选的线路信息。在可选的线路中, 一般考虑每个通道最多建4回线, 所以编码为0、1、2、3、4, 其中0表示不建, 1、2、3、4即为该通道新建的回路数, 如果需要建更多回路数, 可以根据具体情况设定相应的限值。编码的位数由可选的线路通道数决定。
假设某个项目有5个可选线路通道, 并且需要新建或者扩建1个变电站, 则其粒子的维数为6。如图3所示, 粒子的第1位表示新建变电站, 第2—6位表示相应的线路通道新建线路的回数。
2.2.2 上下层协调策略
上下层协调策略如图4所示, 本文在上下层协调策略中设置了安全方案集和不安全方案集, 先在下层多目标模型中计算安全性I类指标, 若不满足指标要求则将方案提交至不安全方案集, 并留下记录;反之则将方案提交至安全方案集, 并通过综合评价方法计算其安全裕度, 将具体方案和对应的安全裕度提交至上层多目标模型;然后进行上层多目标模型的优化, 即安全性Ⅱ类、经济性、适应性、环境友好性和协调性等其他特性指标的优化, 进一步求解Pareto最优解。
同时, 在粒子更新过程中, 将更新后的粒子与不安全方案集中的粒子以及安全方案集中的粒子进行比较:
a.若新粒子在不安全方案集中, 则粒子选择再次更新, 直至不在不安全方案集中;
b.若新粒子在安全方案集中, 则保留在上层多目标模型中, 等待下一次的迭代更新;
c.若新粒子既不在不安全方案集中, 也不在安全方案集中, 则将其移到下层多目标模型中, 继续校验其安全性Ⅰ类指标以及相应的安全裕度。
3 立项决策两阶段算法流程
基于输变电工程立项决策模型和双层多目标粒子群优化算法, 形成一个两阶段双层多目标粒子群优化算法。整体上分为立项和决策2个阶段, 在决策阶段又分为上下2层。在形成Pareto最优解后, 通过综合评价方法对各个方案进行评价确定最优方案。
3.1 综合评价方法
本文的综合评价方法由组合赋权法[15]先进行赋权, 再由灰色关联分析法[3]确定各个方案与理想方案的关联度, 决策者根据关联度的大小判断方案的优劣。其中组合赋权法将主观和客观赋权法结合起来, 既符合实际问题需要, 又能兼顾数据客观波动的影响, 其结构如图5所示。本文采用基于矩估计理论的组合赋权法。
3.2 算法步骤
利用两阶段双层多目标粒子群优化算法求解输变电立项决策模型的计算步骤如下。
阶段一:立项阶段。读入原始数据, 包括电力系统数据和算法初始参数;对整个系统进行潮流计算, 判断是否满足安全性I类指标要求, 若满足则无需立项;反之则进入决策阶段。
阶段二:决策阶段。
步骤1:读入方案初始数据, 进入上层多目标模型;设置迭代种群规模, 迭代次数t=0, 在控制变量变化范围内, 随机初始化粒子群 (初始种群规模大于迭代规模) , 每个粒子的个体极值和全局极值均为初始位置, 同时设置精英集为空。
步骤2:根据每个粒子对应的方案, 对整个系统进行潮流计算, 计算安全性I类指标对应的各个目标的适应值;将所求各个方案的安全性I类指标与安全极限进行比较, 将满足安全性I类指标要求的方案放入安全方案集, 不满足要求的方案则放入不安全方案集。
步骤3:用综合评价方法评价安全方案的安全裕度, 在初次迭代时, 以安全裕度的高低选取迭代种群规模数量的安全方案, 提交到上层多目标模型;在后续迭代中, 若更新粒子均满足要求, 则直接提交至上层多目标模型;若更新粒子不满足要求, 则不进行更新。
步骤4:进入上层多目标模型, 对下层多目标模型优化提交的安全方案, 计算出电网系统的安全性Ⅱ类、经济性、环境友好性、适应性和协调性等这些目标函数值。
步骤5:判断是否满足结束准则。达到最大允许迭代次数或最优解对应的目标函数值在给定的迭代步数内改变量小于给定值时, 停止优化并输出结果, 形成Pareto最优解, 转至步骤9;否则迭代次数t=t+1, 进入步骤6。
步骤6:根据Pareto支配概念, 比较各个粒子之间的优劣, 构造粒子群的非支配解集;通过比较非支配解集和精英集中解的Pareto支配关系, 更新精英集;若精英集数量还未达到上限, 则跳至步骤7, 反之则根据网格策略对精英集进行缩减。
步骤7:更新粒子的个体极值和全局极值, 全局极值采用随机从精英集中选择1个极值的策略, 然后按式 (3) 更新粒子的速度, 按式 (4) 更新粒子的位置, 构造新粒子。
其中, sigmoid函数;rand () 为随机函数。
步骤8:判断新粒子是否在安全方案集中, 若在则保留在上层多目标模型中, 转到步骤7, 等待下一次的更新;反之再判断新粒子是否在不安全方案集中, 若在则转到步骤7再次更新粒子的速度和位置;若新粒子既不在安全方案集中, 也不在不安全方案集中, 则转到步骤2, 进入下层多目标模型, 校验新粒子的安全性I类指标。
步骤9:根据自动寻优的双层多目标粒子群优化算法得到的Pareto最优解, 确定评价等级的范围, 根据3.1节建立优化模型, 将各种赋权法确定的指标权重进行优化组合求取最终的组合权重向量, 利用灰色关联分析法结合由矩估计得到的综合权重形成最终的评价结果。
4 算例分析
4.1 算例介绍
以某供区电网为例进行仿真计算, 验证本文算法的有效性。该原系统包含20个节点、3台发电机, 其拓扑结构见图6。图中, 节点A—F为500 kV电压等级的节点, 节点1—15为220 kV电压等级的节点, 方形节点为变压器节点。该供区原先有一个500 kV变电站 (节点A) 、3台1000 MV·A的主变。目前有一个项目上报, 需要对其进行立项决策。该项目考虑选择扩建节点A的变电站 (附带在节点B新建220 kV开关站, 且附带新建节点B至节点4—8的220 kV线路) 或者在节点B新建变电站, 两者新增变电容量均为2000 MV·A, 其余可选新建线路信息见表1。
4.2 立项决策过程
4.2.1 立项阶段
目前该供区需500 kV变电站网供负荷约为2 400 MW, 根据电力规划导则, 500 kV变电站容载比需在1.5~1.9之间, 经计算该供区500 kV变电站容载比为1.25, 不满足安全性I类的指标, 需要立项。为了提高供电可靠性, 必须提高变电容量。
4.2.2 决策阶段
本文以第1次迭代来说明本文算法的流程。首先根据自动寻优粒子编码方法, 随机选取表2所示的初始粒子方案 (新建/扩建一列中, 数字1表示新建, 数字2表示扩建, 后同) 。然后进入下层多目标模型, 经过潮流计算, 判断各个方案的安全性, 得方案4、5不满足安全性I类指标, 将其放入不安全方案集;方案1、2、3、6 (安全裕度分别为0.680、0.705、0.784、0.839) 满足安全性I类指标, 将其放入安全方案集。用综合评价方法对安全方案集中的方案进行比选, 并选出安全裕度较高的4个粒子方案 (迭代种群规模为4) , 提交至上层多目标模型。
在上层多目标模型中, 通过对粒子方案的安全性Ⅱ类、经济性、环境友好性、适应性和协调性计算比较后, 将方案1、2、3、6均放入精英集, 并根据粒子更新公式对各个粒子进行位置和速度的更新, 得到新粒子方案见表3。新粒子方案既没有在安全方案集中, 也没有在不安全方案集中, 需要到下层多目标模型中再校验安全性。
注:上标 (1) 表示迭代次数1。
在下层多目标模型中, 新粒子方案均满足安全性I类指标, 将其加入到安全方案集, 并提交至上层多目标模型。通过对粒子方案的安全性Ⅱ类、经济性、环境友好性、适应性和协调性指标进行计算比较后, 将方案1 (1) 、2 (1) 、3 (1) 、6 (1) 均放入精英集。此时精英集中包括方案1、2、3、6和更新的方案1 (1) 、2 (1) 、3 (1) 、6 (1) , 数量超过其规模上限 (4个) , 进行缩减, 得到表4。
按上述的过程不断迭代, 不断更新粒子方案, 直到得到最优解, 然后通过综合评价方法得到方案的最终评价结果见表5。
由表5可知, 方案3的灰色关联度最高, 为最优方案。从评价结果看在节点B处新建变电站的方案更优, 且安全裕度也更高。
注:上标 (1) 表示迭代次数1。
注:上标 (f) 表示精英集中的最终方案。
5 结论
针对输变电工程立项决策问题, 本文以安全性I类指标为前提, 安全性Ⅱ类、经济性、环境友好性、适应性和协调性指标为进一步优化目标, 建立了一个较为完整的输变电工程立项决策方案评价体系的高维多目标优化问题。为了能更有效地求解该问题, 提出自动寻优的两阶段双层多目标粒子群优化算法, 能在保证安全性的情况下, 有效地求解各个方案的评价指标, 并用综合评价方法进行比选决策, 选取最优方案。实际算例的应用结果表明该方法能有效地求解输变电工程立项决策问题。
摘要：建立输变电工程两阶段多目标决策评价模型, 该模型包括立项和决策2个阶段, 以及电网的安全性、经济性、环境友好性、适应性和协调性5个指标;提出双层多目标粒子群优化算法, 求解模型的Pareto最优解, 最后用综合评价方法选出最优实施方案。算例分析结果验证所提模型的正确性和有效性。
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