免疫量子粒子群

免疫量子粒子群（精选7篇）

免疫量子粒子群 篇1

1 引 言

模糊控制策略是解决非线性和复杂控制问题的一种有效的智能控制方法[1]。模糊控制器的设计通常需要专家经验并要对众多的参数进行整定以达到满意的控制效果。这样一个依赖于专家经验的人工寻优过程会给工程应用带来不便。目前, 很多学者致力于用进化算法来优化模糊控制器的参数[2,3,4], 但是很少有文献提出对控制决策表进行优化。控制决策表是模糊控制器的重要组成部分, 在实时控制中是影响控制效果的关键因素。另外, 用于参数优化的进化算法往往需要调整很多参数, 给优化的实现带来了难度。

基于传统粒子群算法 (Particle Swarm Optimization, PSO) 提出的量子粒子群算法 (Quantum-behaved PSO, QPSO) 具有计算机实现简单、鲁棒性强、可调参数少的优点。本文给出一种免疫量子粒子群算法 (QPSO-immune Algorithm, QPSO-IM) , 它根据系统所要达到的性能指标来优化模糊控制器中的控制决策表, 使模糊控制规则更加完善。该算法将免疫算子引入QPSO算法中, 在保留原算法优点的基础上提高了算法的全局搜索能力。模糊控制器和控制决策表的优化设计在SCON-2000模糊控制平台进行了工程化实现, 在对水箱液位模糊控制中取得了令人满意的控制效果。

2 模糊控制系统简介

常规模糊控制系统如图1所示, 其控制可分为模糊化、模糊推理和解模糊三步。

模糊化就是将基本论域上的精确量:误差e和误差变化率ec, 变换为量化论域上的模糊集的过程。模糊推理过程就是对模糊输入量根据制定的模糊规则和模糊推理方法进行模糊推理, 求出模糊输出量, 继而通过解模糊求得确定的控制量。为提高系统的实时性, 通常是根据上述过程离线计算出控制决策表用于控制。水箱液位模糊控制的控制决策表如表1所示。控制过程中, 根据输入信号e和ec查询控制决策表, 所得增量按比例转换后再施加于被控对象。

在系统投运时, 仅基于专家经验构成的控制决策表往往是不完善的, 还要对控制决策表进行参数整定以取得满意的控制效果。由表1可以看出, 控制决策表是一个13×15的实数矩阵, 其参数的人工整定不仅需要丰富的专家经验, 还要耗费大量时间。因此, 控制决策表的自动调整优化是一项具有实际意义的工作。

3 基于QPSO-IM算法的控制决策表优化

3.1 QPSO算法简介

传统粒子群算法将算法中的可行解看作没有重量和体积的粒子, 粒子在n维搜索空间中追随本身目前所找到的最优位置和整个粒子群所找到的最优位置进行迭代飞行[5]。

Sun等人从量子力学的角度提出了一种新的PSO算法模型——量子粒子群优化算法 (QPSO) 。研究结果证明, 在保证种群规模的情况下, QPSO算法的搜索能力优于PSO算法, 而且QPSO算法的参数少, 更容易实现控制[6]。设粒子i的当前位置为xi= (xi1, xi2, …, xin) ;粒子i所经历的最好位置为pi= (pi1, pi2, …, pin) ;整个粒子群所经历的最好位置为pg= (pg1, pg2, …, pgn) , 即搜索到的最优解。粒子根据式 (1) ～ (3) 进行迭代飞行, 达到迭代次数后飞行结束。

xij (t+1) =p′ij±β|mbestj-xij (t) |ln (1/u) (1)

其中,

$\begin{array}{l}mbest=\frac{1}{{\rm M}}\underset{i=1}{\overset{{\rm M}}{{\displaystyle \text{Σ}}}}p{}_i=\left(\frac{1}{{\rm M}}\underset{i=1}{\overset{{\rm M}}{{\displaystyle \text{Σ}}}}p{}_{i1}‚\frac{1}{{\rm M}}\underset{i=1}{\overset{{\rm M}}{{\displaystyle \text{Σ}}}}p{}_{i2}‚\cdots ‚\frac{1}{{\rm M}}\underset{i=1}{\overset{{\rm M}}{{\displaystyle \text{Σ}}}}p{}_{in}\right)(2)\\ p^{\prime }{}_{ij}=\phi p{}_{ij}+(1-\phi )p{}_{gj}‚\phi =rand()(3)\end{array}$

mbest是各粒子本身所经历的最优位置的平均位置;φ和u是在[0, 1]上产生的相互独立的随机数;β为伸缩因子, 是QPSO算法中唯一的可调参数。式 (1) 中的正负号以相同概率随机产生。

3.2 人工免疫算子的引入

把QPSO算法中的粒子看作人工免疫系统中的抗体, 将免疫的思想引入QPSO算法可以提高算法的性能[7]。基于人工免疫原理, 浓度选择机制保证了粒子 (抗体) 的多样性从而提高了算法的全局搜索能力。设有N+M个粒子, 每个粒子的适应度值为f (·) , 则第i个粒子的浓度为:

$\rho (x{}_i)=\frac{1}{\underset{j=1}{\overset{{\rm N}+{\rm M}}{{\displaystyle \text{Σ}}}}|f(x{}_i)-f(x{}_j)|}(4)$

从N+M个粒子中选择N个粒子以避免粒子过度集中, 第i个粒子的选择概率为:

${\rm P}(x{}_i)=\frac{\frac{1}{\rho (x{}_i)}}{\underset{i=1}{\overset{{\rm N}+{\rm M}}{{\displaystyle \text{Σ}}}}\frac{1}{\rho (x{}_i)}}=\frac{\underset{j=1}{\overset{{\rm N}+{\rm M}}{{\displaystyle \text{Σ}}}}|f(x{}_i)-f(x{}_j)|}{\underset{i=1}{\overset{{\rm N}+{\rm M}}{{\displaystyle \text{Σ}}}}\underset{j=1}{\overset{{\rm N}+{\rm M}}{{\displaystyle \text{Σ}}}}|f(x{}_i)-f(x{}_j)|}(5)$

另外, 接种机制用在QPSO中, 以保留最优粒子的形式提高算法的收敛速率[8]。

改进后的QPSO算法称为免疫量子粒子群算法 (QPSO-IM) 。

3.3 基于QPSO-IM算法的控制决策表优化

QPSO-IM算法流程如图2所示, 其实现步骤如下。

(1) 编码。

本文要优化的控制决策表是一个13×15的实数矩阵, 如表1所示。采用实数编码方式, 将该矩阵元素以行序组成一维向量, 作为一个粒子。若矩阵的第i行元素表示为aij, 则粒子编码为:

a1j, a2j, …, a13j (j=1, 2, …, 15)

可见, 每个矩阵的编码是一个195维的行向量, 所以控制决策表的优化是一个高维优化问题。

(2) 初始种群的生成。

本文对已经存在但控制效果欠佳的控制决策表1进行优化调整, 以达到满意的控制效果。因此, 没有必要在实数域内随机产生初始种群。而且, 随机产生的控制决策表几乎都无法达到控制目的, 进化中对它们的评价也就没有意义。因此, 初始种群可在表1的基础上产生。本文的方法是按表1编码的各位加上[-c, c]之间的随机实数, 由此产生初始种群, 在可行解空间范围内搜索最优解。正实数c的选取将影响算法的寻优能力。较大的c有助于提高算法的全局搜索能力;较小的c则有助于提高算法的局部搜索能力。在工程应用中, c的选取受制于控制量的约束范围。在执行机构允许范围内, c的选取可参考表1中的最大元素 (aij) max, 即:

c< (aij) max (i=1, 2, …, 13;j=1, 2, …, 15)

(3) 记忆库。

用于保存进化过程中的最优粒子, 记忆库在迭代过程中不断更新。

(4) 适应度值的确定。

本文采用时间与误差绝对值的乘积的积分 (ITAE) 来评价个体性能, 它综合反映了系统的超调量、上升时间以及过渡过程等性能指标[9], 如式 (6) 所示。

ITAE=∫${}_0^{{\rm T}}$t|e (t) |dt (6)

其中, 积分上限T的设定关系到能否对个体优劣进行有效区分。过小的T无法有效区分个体优劣程度;过大的T不仅过度放大了较差个体的劣势, 而且会增加计算机的计算量, 从而给算法实现带来困难。通常T可取调整ts的2～4倍。据式 (6) 可知, ITAE值较小的粒子具有较好的控制效果。为了使控制效果更好的粒子具有更大的适应度值, 我们将计算出的ITAE值进行转换, 然后用于浓度的计算。这里采用一种线性转换的方式来计算粒子的适应度, 如图3所示。

在进化过程中, 每一代粒子的适应度值由该粒子的ITAE值以及这一代粒子的最大ITAE值和最小ITAE值确定, 则ITAE值为x的个体的适应度值为:

$f(x)=\frac{{\rm I}{\rm T}AE{}_{\max }-x}{{\rm I}{\rm T}AE{}_{\max }-{\rm I}{\rm T}AE{}_{\min }}(7)$

这种变换令某一代的最差个体和最优个体的适应度值分别为0和1, 能够有效区分个体之间差异。需要指出的是, 该变换得出的适应度值仅在该代中有效, 不同代个体不能利用这种变换得出的值进行比较计算。不同代个体只需直接用ITAE值进行比较即可。

(5) 粒子更新的两种方式。

a.迭代更新。由式 (1) ～ (3) 产生N个新粒子;

b.重新生成M个新粒子。生成方式和初始种群的生成方式相同。

(6) 基于浓度的粒子选择。

用式 (4) 计算N+M个新粒子的浓度, 然后依概率公式 (5) 选择N个粒子组成新的群体。

(7) 接种疫苗。

用记忆库中的免疫记忆粒子替换粒子群中适应度较差的粒子。

(8) 结束条件。

达到预先设定的最大进化代数时寻优结束。

4 应用实例与结果分析

LTT三容液位控制实验装置是高等院校的教学实验设备, 主体由三个圆柱形容器罐、若干手动排水阀和一个蓄水池组成。用液位传感器检测容器水位, 用变频器调节泵的转速, 继而改变泵的供水量。本文在自行研制的SCON-2000先进控制系统的模糊控制平台上进行单容水箱液位模糊控制, 考察跟踪参考输入响应和负荷变化时的响应, 并将优化前后控制决策表的控制效果进行了对比。

初始种群规模N=50, 产生的方式是按表1的编码的各位加上[-2, 2]之间的随机数;每次迭代, 产生新粒子数M=10;伸缩因子β在迭代过程中从1.0到0.5线性下降;粒子的每位限定在[-7.5, 7.5]之间;取式 (6) 的积分时间T=4ts;每次迭代时, 选择种群中3个最差粒子替换为免疫记忆粒子;最大进化代数为200。本文同时利用SCON-2000先进控制系统的建模平台对水箱进行建模, 得到的水箱模型为:

$G=\frac{-0.06598e{}^{-45s}}{48.90789s+1}$

优化后的控制决策表如表2所示。

在SCON-2000先进控制平台上对水箱液位进行实时控制, 设定液位为200 mm, 误差量化因子Ke=2.53, 误差变化率量化因子Kec=125, 控制量比例因子Ku=1, 模糊控制器采用增量形式。优化前后的响应曲线以及控制量曲线如图4、图5所示, 可见优化后的控制决策表性能比优化前有了很大的改善。

(1) 优化前, 系统响应的超调量为30%, 调节时间为3.5min;优化后, 系统响应的超调量为5%, 调节时间为2 min。

(2) 优化前, 系统响应的稳态波动在±25mm内;优化后, 系统响应的稳态波动在±10 mm以内。这表明优化后的控制决策表的精度更高。

(3) 在系统稳态时加入负荷扰动, 优化前的系统需要5.5min恢复稳态, 并有超调;优化后的系统仅用2 min就重新到达稳态, 且没有超调。这表明优化后系统响应具有更好的快速性和平稳性。

5 结束语

本文提出用QPSO-IM算法来优化模糊控制器中的控制决策表。算法实现简单, 可调参数少, 使模糊控制决策表的参数整定易于工程应用。实验结果表明:用QPSO-IM算法优化过的控制决策表明显改进了模糊控制器的性能, 从而达到了优化模糊控制器的目的。

参考文献

[1]孙绪刚, 王丽荣.模糊控制在聚合装置的应用[J].化工自动化及仪表, 2001, 28 (4) :29-32.

[2]LINKENS D A, NYONGESA HO.Genetic Algorithm for FuzzyControl, Part 1:Offline System Development and Application[C]//IEE Proceedings-Control Theory and Applications.U-nited Kingdom:IET, 2004:161-176.

[3]ESMIN A A A, AOKI A R, LAMBERT-TORRES G.ParticleSwarm Optimization for Fuzzy Membership Functions Optimiza-tion[C]//IEEE International Conference on Systems, Man andCybernetics.Tunisia:IEEE, 2002, 3:5.

[4]HOMAIFAR A, MCCORMICK E.Simultaneous Design of Mem-bership Functions and Rule Sets for Fuzzy Controllers Using Ge-netic Algorithms[J].IEEE Transactions on Fuzzy System, 1995, 3 (2) :129-139.

[5]KENNEDY J, EBERHART R.Particle Swarm Optimization[C]//Proceedings of the IEEE International Conference onNeural Networks.Australia:IEEE, 1995:1942-1948.

[6]SUN J, FENG B, XU W B.Particle Swarm Optimization withParticles Having Quantum Behavior[C]//Proceeding of 2004Congress on Evolution Computation.Portland:CEC, 2004:325-331.

[7]LIUJ, SUNJ, XUW B, et al.Quantum-behaved Particle SwarmOptimization Based on Immune Memory and Vaccination[C]//Proceedings of the IEEE International Conference onGranular Computing.USA:IEEE, 2006:453-456.

[8]DASGUPTA D.Artificial Immune Systems and Their Applica-tions[M].New York:Springer-Verlag, 1999.

[9]DORF R, BISHOP R H.Modern Control Systems[M].Califor-nia:Addison Wesley, 1998.

基于高斯变异的量子粒子群算法 篇2

由Eberhart和Kennedy等于1995[1]年提出的粒子群优化算法(Particle swarm optimization,PSO)是一种基于种群搜索的自适应进化计算技术,它源于对鸟群和鱼群群体觅食运动行为的模拟。与其他生物进化算法类似,PSO算法是一种基于迭代过程的优化方法。PSO作为一种并行优化算法,可以用于解决大量非线性、不可微和多峰值的复杂问题优化。目前在电路及滤波器设计、神经网络训练、机器人控制[2,3,4]等领域均取得了非常好的效果。

由于粒子群算法具有收敛速度快,计算简单,易于实现等优点,因此,当它提出以后就引起了进化计算领域学者们的广泛关注。但由于粒子群算法在对多模函数求解时出现了早熟收敛的现象,许多学者对它进行了改进。文献[5]中指出具有惯性因子的粒子群算法不仅有效的提高了原始PSO算法的收敛速度,而且在收敛精度上也优于原始PSO。因此现在对粒子群算法的研究大都是基于这个版本,在本文中我们称作基本PSO算法。量子-粒子群算法[6](QPSO)相对于标准粒子群算法来说,由于粒子随时具有跳出当前局部点的可能性,因此算法具有了更强的全局搜索能力。但QPSO在迭代后期由于粒子的聚集性,算法依然存在着早熟收敛的趋势。

本文首先针对QPSO算法的缺点,提出了基于高斯变异的量子粒子群算法(GQPSO)。该策略针对群体历史最优解能够有效地引导粒子群前进的方向,对群体历史最优解有效地运用了高斯变异因子。由于该策略在保证粒子有效的进行局部搜索的前提下,同时加大了允许粒子对整个搜索空间进行搜索的可能性,从而保证改进以后的量子粒子群算法能够更为快速有效的进行全局搜索。

1 基本粒子群算法介绍

全局优化问题(p)的多个可行解的一个集合称为一个种群(swarm)。种群中的每个元素(可行解)称为一个粒子(particle),微粒的个数称为种群规模(size)。用n维向量Xi来表示第i个粒子的位置,用Vid来表示第i个微粒第d维的速度。粒子在迭代过程中,它自身经历的最佳位置为Ppi=(Ppi1,Ppi2,…Ppin)T,微粒群所经历过的最佳位置用Pg表示。因此,微粒在每一次迭代中的速度和计算函数的评价函数的位置可通过如下两个公式计算:

其中:i=1,2…m;d=1,2…n;w称为惯性因子,根据文献[5]设置为大小随着迭代次数的减少由0.9下降到0.4;rand1和rand2是服从U(0,1)分布的随机数;学习因子C1和C2为非负常数,C1=C2=2;vid=[-Vmax,Vmax],Vmax是由用户设定的速度上限。

2 基于高斯变异的QPSO算法

文献[6]从量子力学的角度出发提出了一种新的PSO算法模型。该模型以DELTA势阱为基础,提出了量子粒子群算法。通过蒙特卡罗随机模拟的方式得到粒子的位置方程为:

其中u为[0,1]范围内变化的随机数,L被定义为

其中

式中β称为收缩扩张因子。第T次迭代时取为β=0.5*(MAXTIME-T)/MAXTIME,M为粒子的数目。pi为第i个粒子的历史最优解,可以由(6)式求得,φ为[0,1]范围内变化的随机数。

根据(4)式可以看出,在QPSO算法中,只有一个参数β决定粒子的位置,同标准粒子群算法相比较更少,QPSO算法更易于控制。另外由于QPSO算法中的粒子能够以一定的概率出现在整个搜索空间中,甚至是一个远离收敛点P的点,因此相对于标准粒子群算法来说具有着更强的全局搜索能力,图1为高斯概率密度分布图。

基于高斯变异因子的粒子群算法主要是借鉴遗传算法中的变异因子来改善粒子群算法的全局搜索能力。以原点为中心的Gaussian:

其中为了覆盖整个解空间,Gaussian的参数分别设置为σ=0.16。

其中t是在[-1,1]内的随机数。算法迭代过程描述为:

Step1:设置最大进化代数,随机初始化每个粒子的位置,初始化pp、p8。

Step2:repeat:

Step3:for each particle j∈[1…D]

Step4:利用(4),(5)式计算每个粒子的适应度值,并移动粒子到新的位置上。

对gbest使用(7)式进行变异并比较两者结果获得最优值。

Step6:until结束条件成立

3 对比试验

3.1 实验设计

本文设计了4类测试实验以分析提出的GQPSO的总体性能:

(1)PSO优化试验;

(2)GPSO优化试验,参数设置参考文献[7];

(3)QPSO[6];

(4)GQPSO,同时引入6个Benchmark优化问题来进行优化分析。根据文献[8]~[9]对测试函数和测试标准的规定,函数形式以及搜索范围的设置见表1。

本文测试的粒子群数目设置为20。基本PSO中使用的vmax设置为xmax。另外针对Matlab语言的特点,使用rand(‘state’,sum(i*30))语句以保证每种算法运行时对应的rand函数种子相同(其中i表示在算法中的当前运行次数),每一种算法独立运行50次。

测试函数中f1~f3是单模函数,对于单模函数来说,算法的收敛速度比实验结果更值得关注,因此本文在列出比较结果的同时也列出比较函数在单模函数上的收敛比较图;对于f4~f5这种高维的多模函数,实验结果的精度比收敛速度更值得关注,因此在本文中列出了各种比较算法解的平均值和标准方差。对于以上两种函数本文分别测试各种比较算法在10,20以及30维下的运行情况。f6是具有较少局部最优点的低维函数,用以测试比较算法在低维函数上的运行情况。所有测试函数的理论最优解都为0。

3.2 实验结果及分析

对于单模函数来说,由于GQPSO针对gbest使用了Gaussian变异因子,因此能够在当前历史最优解附近进行有效的搜索。根据表2的结果可以看出,在单模函数上相对于其他比较函数来说,GQPSO都获得了最优的成绩。另外,图2的结果论证了该算法在收敛速度上都优于比较函数。对于复杂的多模函数,由于GQPSO相对于其他比较算法来说粒子具有更强的跳出局部最小点的能力,同时由于gbest能够提供给粒子群更为有效的进化方向,因此相对于其他算法来说,GQPSO更为彻底的搜索了解空间。根据实验结果无论是全局搜索能力还是稳定性,GQPSO都获得了最好的成绩。对于低维函数的优化能力参考表3的结果,GQPSO依然获得了最好的结果。

4 结论

针对粒子群算法无法保证搜索到全局最优的缺点和搜索精度低的问题,提出了一种基于Gaussian变异的量子粒子群算法(GQPSO)。典型函数优化的仿真结果表明,该算法不仅可有效的避免标准PSO算法的早熟收敛,而且具有寻优能力强、搜索精度高、稳定性好等优点。同比其他使用变异因子的粒子群算法,GQPSO表现出极强的全局搜索能力和快速的收敛速度,接下来该算法的应用和推广将是研究的重点。

摘要：粒子群算法相对于其他优化算法来说有着较强的寻优能力以及收敛速度快等特点,但是在多峰值函数优化中,基本粒子群算法存在着早熟收敛现象。针对粒子群算法易于陷入局部最小的弱点,提出了一种基于高斯变异的量子粒子群算法。该算法使粒子同时具有良好的全局搜索能力以及快速收敛能力。典型函数优化的仿真结果表明,该算法具有寻优能力强、搜索精度高、稳定性好等优点,适合于工程应用中的函数优化问题。

关键词：粒子群,高斯,变异,全局搜索,收敛速度

参考文献

[1]J.Kennedy and R.C.Eberhart.Particle swarm optimization[C],In ProcIEEE Int.Conf.Neural Networks,IV,Perth:IEEE Press,1995.1942-1948.

[2]Jehad I.Ababneh,Mohammad H.Bataineh.Linear phase FIR filterdesign using particle swarm optimization and genetic algorithms[C].Digital Signal Processing,2008,vol.18(4),pp.657-668.

[3]张长胜,孙吉贵,欧阳丹彤,等.求解车间调度问题的自适应混合粒子群算法[J].计算机学报,2009,32(11):2137-2146.

[4]Saska,M.,Macas,M.,Preucil,L.,Lhotska,L..Robot Path Planning usingparticle swarm optimization of Ferguson Splines[C].IEEE Con.EmergingTech.and Factory Auto.,2006,vol.20(22),pp.833-839.

[5]Daniel Bratton,James Kennedy.Defining a standard for Particle SwarmOptimization[A].Proceedings of IEEE Swarm Intelligence Symposium(SIS),Honolulu,USA.2007:120-127.

[6]SUN J,XU WB.Particle Swarm Optimization with Particle HavingQuantum Behavior[A].IEEE Congress.Evolutionary Computation.2004.325-331.

[7]Andrews.P.S.An Investigation into Mutation Operators for ParticleSwarm Optimization[C].IEEE Cong.On Evolutionary Computation,pp.1044-1051,Sep.2006.

[8]M.M.Ali,C.Khompatraporn,Z.B.Zabinsky.A Numerical Evaluation ofSeveral Stochastic Algorithms on Selected Continuous Global Optimiza-tion Test Problems,Journal of Global Optimization[J].pp.635-672,Nov.2005.

免疫量子粒子群 篇3

关键词：Kriging近似模型,粒子群优化算法,一维势垒

1. 前言

Kriging近似方法是拟合精度较高[1~3]的算法之一, 该方法在国内外都有较为广泛的应用[4, 5]。

然而Kriging近似方法中普遍采用高斯函数构造相关矩阵, 而基于传统优化算法 (如:斐波那契法) 的相关矩阵参数θ寻优, 一方面在寻优过程中, 可能会造成相关矩阵的奇异;另一方面寻优过程对初始值依赖性较大。针对第二个方面, 游海龙[6]及陈鹏[7]等人采用随机进化算法对Kriging改进。但是游海龙[6]及陈鹏[7]的研究虽然避免了相关矩阵参数的初值, 却额外引入了的参数——游海龙引入了交叉概率及变异率等, 陈鹏引入了两个加速因子和变异率, 而参数的过多引入可能会造成计算结果再现性降低。

本文为进一步减少参数输入、提高计算效率及结果再现性, 对已舍弃加速因子的量子粒子群算法进行了改进。并将改进的量子粒子群算法运用到了Kriging模型中, 并验证这种改进了的Kriging模型。

2. 数学模型

2.1 Kriging近似模型[4]

Kriging近似方法最早由南非地质学者Krige于1951年提出, 算法经过Matheron[8]及Giunta[9]等人的理论改进, 广泛运用于诸多领域。

在Kriging模型中, 真实未知函数形式如下:

f (x) 是关于x的未知函数, Z (x) 是均值为0、方差为σ2的随机函数。f (x) 相当于对全部设计空间的全局模拟, 而Z (x) 是对全局模拟的背离。

Z (x) 的协方差矩阵为如下表示形式,

R是相关矩阵, R是相关函数常用如下形式的高斯函数:

即为相关矩阵参数, 根据式 (5) 对的寻优结果很大程度上影响了Kriging拟合的准确性。

2.2 粒子群优化算法

粒子群算法是Kennedy和Eberhart于1995年提出的[10], 然而标准的粒子群算法容易陷入早熟, 国内外针对这个问题提出过多种解决方法。Jun Sun等人以DELTA势阱为基础提出了所谓的量子粒子群算法 (QPSO) [11]。

在QPSO算法中, 粒子的速度和位置信息都归结与一个参数。为保证算法的收敛性, 每一个粒子必须收敛于各自的p点, , 是该粒子在第d维的值。

其中:是介于0和1之间的随机函数。

同时在粒子群中引入一个中值最优位置来计算粒子的下一步迭代变量, 该值定义为所有粒子的局部极值的平均值mbest。

因此可以得到粒子的进化方程:

其中:u是 (0, 1) 的随机数, 是系数创造力, 调节它的值能控制算法的收敛速度。通常情况下, 从1.0线性减小到0.5时, 算法可以达到比较好的结果

为了进一步提高QPSO的全局搜索能力, Wenbo Xu等人提出了所谓的动态适应及强化动态适应QPSO算法 (DAQPSO、EDAQPSO) [12]。DAQPSO就是将从线性变化转变成梯度变化, 而EDAQPSO则是在DAQPSO的基础上引入一个所谓的成熟度 (mutation rate, MR) , 来对粒子局部最优位置进行修改。本论文作者理解, PSO具有记忆性, 这种记忆性可以提高寻优效率, 也可能将算法带入“早熟”。Jun Sun, Wenbo Xu及Bin Feng在QPSO中通过 (1) 将速度和位置信息都归结与一个参数 (2) 引入中值最优位置这两个措施从侧面避免“早熟”现象, 对粒子的记忆性并未做过多干预, EDAQPSO恰恰合适的修改的粒子的“记忆”, 从而有助于使算法跳出局部最优。

另外针对公式 (7) , 项是一个随机项, 因此有可能会出现函数绝对值较大的问题, 本文借鉴标准PSO的内容, 称之为速度项并给定其上限, 从而保证每一次粒子的进化都能最大可能的保留“记忆”。但一味限制也可能造成算法陷入局部最优, 同时成熟度的引入增加了在参数设置上的不确定性。因此作者参考一维势垒的“隧穿”理论思想, 引入“隧穿”效应公式来求解成熟度, 从而得到计算成熟度的公式。

本文为叙述方便将这种改进的QPSO算法简称为EQPSO, 基于EQPSO寻优的Kriging模型简称为E-K模型。

3. 算法的实现

根据上文所述原理, Kriging近似方法采用C语言实现, 具体流程如图1。

图1中“值的寻优”采用EQPSO算法进行寻优;“标准化响应点矩阵”标准化过程与构建标准正态分布的方法类似;“构造相关矩阵”过程中需要使用到公式 (3) ;“计算未知点的预测值”过程中使用到了公式 (4) 。

EQPSO算法也采用C语言实现, 程序流程如图2所示。

图2中“参数设置”中需要设置计算域大小、最大迁徙速度、种群规模、粒子的维度 (反应自变量的个数) 及最大迭代次数;“个体的迁移”过程中使用公式 (14) ;“个体最优位置进化”及“种群的进化”过程, 本质上就是计算结果的比较。

为验证EQPSO算法的有效性, 本论文使用Ackley、Schaffer、Grienwank、Rastrigrin函数来验证, 其自变量的取值范围与最优点分析如下:

Ackley是一个具有大量局部最优点的多峰函数, 全局最小值为f (x) =0, 在处获得;Schaffer函数是一个非常困难的函数, 算法容易陷入位于全局最优点附近的同心圆上的局部最优点, 是优点在 (0, 0) 处取得的, 最小值为0;Griewank函数最优点为 (0, 0, …, 0) , 最优值为0;Rastrigrin函数最优点为 (0, 0, …, 0) , 最优值为0。

在验算时, 最大迭代次数设置为10000, 种群数为100 (Griewank函数的为200) , 搜索范围为[-50, 50], 除了Schaffer函数外, 其他函数维数取4。

4.2 测试结果

基于4.1中的四个测试函数, 论文对标准PSO算法 (简称PSO) 、EDAQPSO算法及本文改进得到的EQPSO算法进行比较。其中标准PSO算法中额外设置了两个加速因子及一个惯性因子, 分别为1.8、1.8及1.0;EDAQPSO算法中额外引入成熟度0.08。

4.2.1 优化结果比较

表1~表4给出了三种粒子群算法的对四个测试参数的优化结果。

从以上四个表中, 可以看出粒子群算法确实在整体上具有较强的优化能力, 但是从表2可以得出在对Griewank函数寻优时, PSO算法及EDAQPSO算法陷入了局部最优, 而EQPSO算法则没有陷入局部最优。另外从整体上看, EQPSO算法的优化精度也要好于其它两种粒子群算法。

4.2.2 收敛速度的比较

图3~图6给出了最优适应度与迭代次数的关系曲线。

从图3~图6可以看出, 量子粒子群算法的收敛速度明显快于标准PSO算法的, 而EDAQPSO的和EQPSO的收敛速度差别不明显, 图3中EDAQPSO的收敛速度快于EQPSO的, 而图4~图6中的EQPSO的要略胜一筹。

结合以上优化结果及收敛速度两个方面的比较, 可以得出本文的EQPSO算法具备一定的优势。另一方面EQPSO算法输入的参数更少, 因为参数输入的减少, 其潜在的优化结果稳定性会有不同程度的提高。

4.3 其它参数对优化结果的影响

一般优化算法在处理高维数问题时, 往往会陷入困境, 因此有必要对EQPSO算法做这方面的考察。针对Ackley、Griewank及Rastrigrin函数, 取种群数为400, 搜索范围为[-50, 50], 维数分别取10、20及50, 考察EQPSO算法在处理高维数问题的能力。

经计算一般情况下随着维数的升高算法的寻优能力有降低的趋势。计算结果指出这三种粒子群算法在处理不同高维函数时有各自的优势, 比如标准PSO算法更适合10维的Ackley函数, 而成熟度为0.08的EDAQPSO算法则适合于高维Griewank函数。

针对Ackley函数, 标准PSO算法在20维以上 (含) 陷入局部最优, EDAQPSO算法在50时陷入局部最优 (成熟度:0.02) ;针对Griewank函数PSO在20维陷入局部最优;而EQPSO算法对这两个函数都保持着较为理想的寻优结果。

另外EDAQPSO算法依赖于成熟度的取值, 可以推测标准PSO算法也依赖于加速因子及惯性因子这三个参数的取值, 因此在处理实际问题时, 参数的设置就将依赖于经验。然而EQPSO算法因没有额外的参数输入, 算法计算结果更加稳定, 虽然在个别的高维函数中并非最优秀, 但是对不同函数的普适性较好, 因此在一般的实际问题中具备较高的可信度。

5. Kriging模型的检测

5.1 算例一

本论文采用的验证函数为, 以该公式为基础设置响应点, 通过函数上的其它点来验证近似精度。比较结果如表8所示。其中EDA-K为基于EDAQPSO算法的Kriging模型。

从表5中在插值点内[点 (0.198, 1.98) , 点 (0, 3) ], E-K算法和EDA-K算法都能得到非常精确的结果, 但是插值点外[点 (0, 0) ]会存在些许误差。另外EDA-K算法中当MR设置为0.08时, 对插值点外的预测可以认为是错误的, 事实上此时对参数寻优得到的值为-0.138344, 而其它对参数的寻优值均为0.163444。参数应该是一个大于0的值, 可见EDA-K算法中当MR设置为0.08时寻优出现了错误。

作者针对各个状态反复进行了验算, 发现当MR设置为定值时, 寻优结果有较小概率出错, 以表8验证为例, 当MR设置为0.08时, 在 (0, 0) 处出错概率很大, 而当设置为0.2时, 出错概率明显降低, 可见MR设置成0.2更适合于这个算例。相比较而言E-K算法则始终保持近似结果健壮, 这也印证了4.3节中的讨论结果。因此可以认为参数引入越多, 近似结果的不稳定性越大。

5.2 算例二

本文将E-K算法运用于一个实际案例中, 输入的响应点为11km高度下DLR-F6的CFD计算结果。在已知攻角α和马赫数Ma情况下近似升力系数Cl及阻力系数Cd。表10给出了E-K算法得到的近似结果与CFD计算结果的比较 (测试点不是响应点) 。

从表6中可以得出E-K算法对升力系数的预测结果误差小于1%, 对阻力系数的预测有一定误差, 其原因可能在于: (1) 本文给定的响应点输入总数较少; (2) 阻力系数的数值较小, CFD的计算结果稍有偏差就会产生较大误差。

综合算例一及算例二, 经本文改进得到的E-K近似模型, 不论在对理论函数的近似拟合上还是在实际案例的运用中, 都具备较高的近似拟合精度。同时与其它算法相比, 设置的参数较少, 从而降低了案例的分析难度, 提高了近似结果的稳定性。

6. 结论

本文基于“隧穿”效应的思想, 得到了对成熟度的计算公式 (15) 及 (16) , 并改进了原来QPSO算法中的“速度项”, 得到了所谓的EQPSO算法。将该算法运用于Kriging近似算法中, 得到E-K算法。

由验算结果得出以下结论: (1) EQPSO算法在保持快速收敛速度的同时, 具备更优越的全局搜索能力; (2) Kriging模型的拟合精度严重依赖于参数, 因此在对参数的寻优的过程中, 引入的参数越多可能会导致拟合结果的差错, 而本文基于EDAQPSO算法改进的EQPSO算法则将引入参数最少化, 从而为得到了稳健的近似结果提供了可能。

参考文献

[1]Sack J., Welch W.J., Mitchell T.J.Design and analysis of computer experiments, Statistical Science.1998, 4 (4) :409-435.

[2]Simpson T.W., Mauery T.M., Korte J.J.Comparison of response surface and Kriging models for multidisciplinary design optimization, Proceeding of the7th AIAA/USAF/NASA/ISSMO symposium on multidisciplinary analysis&ptimization, 1998, St.Louis, USA.

[3]Simpson T.W., Peplinski J.D., Koch P.N.Meta-models for computer-based engineering design:survey and recommendations.Engineering with computers.2000, 17 (2) :129-150.

[4]谢延敏.基于Kriging模型和灰色关联分析的板料成形工艺稳健优化设计研究 (D) .上海交通大学.2007.4.

[5]Jakumeit J., Herdy M and Nitsche M.Parameter optimization of the sheet metal forming process using an iterative parallel Kriging algorithm (J) .Structural and Multidisciplinary Optimization, 2005, 29 (6) :498～507

[6]游海龙, 贾新章.基于遗传算法的Kriging模型构造与优化 (J) .计算机辅助设计与图形学学报.2007, 1:第19卷, 第1期.

[7]陈鹏, 李剑, 管涛.基于PSO的Kriging相关参数优化 (J) .微电子学与计算机.2009, 4:第26卷, 第4期.

[8]杜德文, 马淑珍, 陈永良.地质统计学方法综述 (J) .世界地质.1995, 14 (4) :79-84.

[9]Giunta A A.Aircraft multidisciplinary design optimization using design of experiments theory and response surface modeling[D].Virginia Polytechnic Institute and State University, 1997.

[10]Eberhart R.C, Kennedy J.A new optimizer using particles swarm theory[C].NewYork:IEEE Piscataway, 1995:39-43.

[11]Jun Sun, Bin Feng, Wenbo Xu.Particle Swarm Optimization with Particles Having Quantum Behavior (C) .IEEE Proc.of Congress on Evolutionary Computation, 2004.

基于量子粒子群的最优潮流问题 篇4

电力系统最优潮流(Optimal power flow)是指当电力系统的结构参数及负荷情况给定时,在各种运行约束指标下,实现某种目标函数获得最优值的优化过程。其目标函数可以是发电机运行成本,也可以是电力系统总网损最小。最优潮流的研究始于20世纪60年代,因其在数学模型中可以引入表示成状态变量和控制变量的各种不等式约束,统一了电力系统对各种性能的要求,因此得到了广泛的关注。九十年代,随着各国电力市场化进程不断深入,最优潮流得到广泛的应用。

最优潮流是一大规模,非线性和多约束的优化问题。随着计算技术的发展,最优潮流得到了很大的发展。目前求解最优潮流的方法主要分两大类:经典的数学方法和智能方法。经典的数学方法包括牛顿法,内点法,线性规划,动态规划和整数规划等等;智能方法包括禁忌搜索,模拟退火和遗传算法等。但这些算法均存在一些缺点,如计算速度慢,易陷入局部最优解等。

粒子群优化算法(Particle Swarm Optimization,PSO),是J.Kenndy等[1]提出的一种新基于群体智能的演化算法,通过模拟鸟群寻找食物过程中的群聚集行为而提出的。该算法具有并行性,鲁棒性等特点,且简单易实现。PSO算法已广泛应用于电力系统各种优化算法。文献[2]提出PSO算法求解最优潮流问题,并结合罚函数处理约束问题。但罚因子的选取给搜索增加了难度,且标准的PSO易陷入局部最优。因此,为了克服PSO算法的局限性,本文介绍了量子粒子群算法 (Quantum-behaved Particle Swarm Optimization,QPSO),并将其用于求解最优潮流问题。对于约束条件的处理,采用分离目标函数与约束条件,保留可行解的策略处理约束条件避免了粒子在不可行域中的无效搜索。

1最优潮流的数学模型

最优潮流问题在数学中是一典型的非线性规划问题,其一般形式为:

min f(x,u)

s,t g(x,u)=0,

h(x,u)≤0 (1)

式(1)中:x∈Rm为状态变量,通常包括负荷节点电压幅值,除平衡节点外的所有节点电压相角;μ∈Rn表示控制变量,通常包括PV节点发电机所有有功出力和端电压幅值,有载调压变压器变比和并联无功补偿装置容量。目标函数可以是系统网损,发电机发电成本。等式约束通常指节点潮流方程,不等式约束通常包括:

(1) 发电机有功出力约束:

p${}_{gi}^{\min }$≤pgi≤p${}_{gi}^{\max }$。

(2) 发电机无功出力约束:

q${}_{gi}^{\min }$≤qgi≤q${}_{gi}^{\max }$。

(3) 发电机节点电压幅值约束:

v${}_{gi}^{\min }$≤vgi≤v${}_{gi}^{\max }$。

(4) 可调无供电源约束:

q${}_{ci}^{\min }$≤qcii≤q${}_{cii}^{\max }$。

(5) 负荷节点电压约束:

v${}_{li}^{\min }$≤vli≤v${}_{li}^{\max }$。

(6) 线路功率约束:

s${}_{li}^{\min }$≤sli≤s${}_{li}^{\max }$。

(7) 可调压变压器约束:

t${}_{li}^{\min }$≤tli≤t${}_{li}^{\max }$。

2量子粒子群优化算法

标准的PSO算法是一种基于群体智能方法的演化计算技术,粒子在搜索空间中的位置代表了优化问题的潜在解,飞行的速度决定了搜索的方向和步长,通过追踪粒子自身迄今为止发现的最好位置以及整个群体迄今为止发现的最好位置来不断地修正自己的前进方向和速度大小,从而形成了群体寻优的正反馈机制。

但是即使在标准的PSO算法基础上提出的各种改进算法,也不能保证其全局收敛,为了更好地解决这个问题,在标准的PSO基础上Sun[3]等人从量子里力学的角度,提出了新的算法——量子粒子群(QPSO)。在QPSO中,由于粒子满足聚集态的性质完全不同,使粒子在整个可行解空间中进行搜索寻求全局最优解。QPSO中,粒子群中每个粒子必须收敛于各自的随机点pi,其中pi=(pi1,pi2,…,pid),粒子群按下面三个公式移动:

$mbest=\frac{1}{{\rm M}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}p}{}_i=\left(\frac{1}{{\rm M}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}p}{}_{i1},\cdots ‚\frac{1}{{\rm M}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}p}{}_{ij}\right)(3)$

Pig=fPig+(1-f)Pgf (4)

$x{}_{ig}={\rm P}{\rm P}{}_{gj}\pm \alpha |mbest{}_j-x{}_{ij}|\ln \left(\frac{1}{u}\right)(5)$

mbest为pbest中间位置,Ppj为粒子本身所找到的最优解pbest,Ppj为种群目前找到的最优解gbest,Pij为Ppj,Pgj中间随机点,α为QPSO收缩扩张系数,第t次迭代中一般取α=0.5+0.5×(MAXTME-t)/MAXTME,其中MAXTME为最大迭代次数。

3最优潮流问题的求解

3.1约束条件的处理

最优潮流中约束条件的处理也是一个重要环节。目前,使用较广泛的处理方法为惩罚函数法,但这种方法确定罚因子较困难。文献[4]提出了不需罚因子而直接比较个体优劣的方法。本文在文献[5]的基础上让每个粒子的适应值由目标函数来度量,采用目标函数与约束条件分离,让可接受的不可行解和可行解按照优劣比较准则比较,以便保留一部分性能较优的不可行解。对于优化问题(1)定义:fitness(i)对应于所求问题的目标函数值,voilation对应于所求问题的约束条件,它反应粒子与约束边界的接近程度。基于QPSO 的个体优劣比较准则如下:

(1) 当第t代个体xi和pi都是不可行解,比较他们之间voilation(xi)和voilation(pi),若voilation(xi)较小,则用xi代替pi,否则不改变pi。

(2) 当第t代个体xi和pi都是可行解时,比较他们之间适应值f(xi)和f(pi)。若f(xi)较小,则用xi代替pi,否则不改变pi。

(3) 当第t代个体xi可行而pi不可行时,如果不可行的是可接受的,保留不可行解,并比较这些pi的目标函数值,选择适应值小的pi作为pg。该原则中保留不可行解有利于搜索到全局最优解,同时也不需要选择罚因子。

3.2算法设计

本文基于量子粒子群求解最优潮流的算法步骤如下:

步骤1 初始化粒子的个体极值和全局极值gbest。设置最大迭代次数,种群规模和粒子数,系统参数和每个变量的上下界。

步骤2 对种群中每个粒子进行潮流计算,评估每个粒子的适应度,并更新pbest和gbest;

步骤3 根据式(3)—式(5)更新每个粒子位置,生成新的粒子群体;

步骤4 根据3.1所述的比较准则更新每个粒子的pbest和gbest;

步骤5 判断算法的停止准则是否满足,如果满足转向步骤6,否则转向步骤2;

步骤6 输出gbest,算法停止。

4实验仿真

本文对IEEE30节点进行数值实验,该算法系统具有30个节点,6台发电机,4台可调变压器,4条支路,节点变化范围均为0.94—1.06 p.u.。发电机g1和g2的燃料成本函数为分段二次成本曲线,发电机 g5,g8,g11和g13的燃料成本函数为二次成本曲线,其参数设置[6,7]如表1。最优潮流问题的目标函数为发电机成本最小。

本文在CPU为2.93 GHz, RAM为1 GB的Pentinm 4 PC机上编写MATLAB程序进行计算,其中算法的初始化粒子数30,最大迭代次数100,收缩扩张系数a其值从0.7线性减少到0.3,每次迭代保留10个不可行解。以上实例的实验结果如表2,表3为发电成本的比较。

通过数值实验表明,利用量子粒子群算法求解最优潮流问题,不仅可以提高收敛性,还可以准确地计算最小发电成本。从而使发电公司有更好的收益。

5结语

量子粒子群算法是一种新型的具有高效的全局搜索能力的算法,它受量子基本理论的启发得到,在PSO进化方程中不需要速度向量,方程形式更简单。本文将量子粒子群和电力系统最优潮流结合,并采用保留不可行解的分离比较法处理约束条件,避免了罚因子的选择,提高了搜索效率。对IEEE30节点的测试表明,本文提出的对于求解最优潮流的算法是有效的。

参考文献

[1] Eberhart R,Kennendy J.A new optimizer using particle swarm theo-ry.In:Proc of 6th Int'1 Symposium On Micro Machine and humanScience Piscataway.NJ:IEEE Service Center,1995:39—43

[2]崔鹏程,陈明榜,向铁元.基于粒子群优化算法与混合罚函数法的最优潮流计算.电网技术,2006;30:191—194

[3] Sun Jun,Xu Fengbin,Xu Wenbo.Particle swarm optimization withparticles having quantum behavior.proc of Congress on EvolutionaryComputation,2004:325—331

[4] Hu X,Eberhart R.Solving constrained nonlinear optimization prob-lems with swarm optimization.In:Proceedings of the Sixth World Mu-ticonfereence on Systemics,Cybernetics and Informatics(SCI2002),Orlando,USA 2002

[5] Dos L.Gaussian quantum-behaved particle swarm optimization ap-proaches for constrained engineering design problems.In:Expert Sys-tems with Applications,37,2010:1676—1683

[6] Bakirtzis A,Zoumas C E.Optimal power flow by enhanced geneticalgorithm.IEEE Transanctions on Power System,2002;17(3):229—236

[7]刘盛松,侯志俭,邰能灵,等.基于滤波器—信赖域方法的最优潮流算法.中国电机工程学报,2003;23(6):1—6

免疫量子粒子群 篇5

粒子群算法 (PSO) 与其他算法一样, 是基于种群和进化的概念, 通过个体间的协作与竞争, 实现复杂空间最优解的搜索[1]。但PSO不像遗传算法那样对个体进行交叉, 变异, 而是将群体中的个体看作是在D维搜索空间中没有质量合体积的粒子 (particle) , 每个粒子以一定速度在解空间运动, 并向自身历史最佳位置Pbest和邻域历史最佳位置lbest移动, 实现对候选解的进化。

文献[2] 提出“分支函数叠加法”来构造适应值函数。文献[3] 对遗传算法在软件测试用例生成的性能进行研究, 并提出了两种提高遗传算法生成测试用例效率的方法。文献[4] 将把量子理论应用于PSO算法中从而提出一种改进的粒子群优化算法。文献[6] 提出了一种基于粒子群算法的人脑成像的方法, 本文提出一种基于量子的PSO方法, 并通过实验验证, 其效率明显优于传统的粒子群算法, 解决了PSO算法容易陷入局部最优解的问题。

一、基本PSO模型

1) 初始化例子位置, 将粒子以速记速度随机分布在D维搜索空间;2) 循环;3) 对每个粒子, 评估当前适应函数值;4) 将适应值与之前最佳值相比较, 如果当前值优于历史最佳值, 则将历史最佳值设为当前值, 如果相等, 则等于当前;5) 确定邻域最佳粒子, 将其下标赋予变量g;6) 根据 (1a) 和 (1b) 式更新粒子的位置和速度;7) 如果达到设定目标 (得到最优解或达到最大迭代次数) , 停止循环。

在 (1a) 中, 右边由三项组成, 一个是惯性 (inertia) 或动量 (momentum) 部分, 反映了粒子的运动习惯, 代表粒子有维持自己先前速度的趋势, 第二部分是认知 (cognition) 部分, 反映了粒子对自身历史经验的记忆, 代表粒子有向自身历史最佳位置靠近的趋势。第三部分是社会学习部分. 第一项代体现了粒子的全局搜索能力, 第二项体现了粒子的局部搜索能力。为了更好的控制搜索区域, Shi and Eberhart在1998 年提出了如下的改进模型:

式中ω为惯性权重, 较大的惯性权重有利于全局搜索, 增加种群多样性; 较小的惯性权重有利于局部搜索。由于 (1a) 为ω=1时的特殊情形, (2a) 和 (2b) 称为标准PSO模型。

二、改进的量子粒子群算法

文献[4] 从量子力学的角度出发提出了一种新的PSO算法模型, 认为粒子具有量子的行为, 并根据这种模型提出了量子粒子群算法。本文引入加权因子, 设λ, λ >0 , 在量子空间中, 粒子的速度和位置是不能同时确定的, 可通过波函数ψ来描述粒子的状态 , 通过求解薛定谔方程得到粒子在空间某一点出现的概率密度函数。随后通过蒙特卡罗随机模拟的方式得到粒子的位置方程为:

Step 1 粒子群初始化;Step 2 确定粒子的位置矢量;Step3 更新, 判断迭代次数是否达到最大;达到最大则输出结果; 否则Step 4 更新迭代次数加1;Step 5 计算适应度函数值;Step 6 对粒子进行评价;Step 7 对分支函数进行性计算, 如果函数值为0, 输出最佳参数;Step 8 更新粒子的位置矢量;Step 9 进行迭代, 转入step 3

三、应用

粒子群算法可以应用在CT医学成像领域, 为了检验算法的有效性, 我们对人脑的参数应用改进的新型粒子群算法进行估计, 得到了较好的效果。在频域内, 麦克斯韦方程为:

该算法比较传统粒子群算法误差都有所减少.

四、结论

本文提出了一种基于加权的量子粒子群算法, 该算法能解决局部最优问题, 计算误差比传统粒子群算法有所向下降, 计算速度比传统粒子群算法要快。应用实际表明, 该算法有效。

摘要：本文提出了一种新型的量子粒子群算法 (PSO) 。该算法在PSO算法基础上引入量子的概念, 采用加权办法, 从而构造了新型粒子群算法, 该算法解决了PSO算法搜索空间有限, 容易陷入局部最优解的问题。本文把该算法应用到实际中, 实验证明, 该方法是有效的, 其效率也明显高于传统的GA算法和PSO算法。

关键词：空间搜索,粒子群算法,局部最优

参考文献

[1]J.Kennedy and R.C.Eberhart, Swarm Intelligence.Burlington, MA, USA:Morgan Kaufmann, 2001.

[2]KOREL B.Automated software test data generatiton[J].IEEEtransactions on Software Engineering, 1990, l6 (8) :870-879.

[3]Donald J.Berndt and Alison Watkins.Investigating the Performance of Genetic Algorithm-Based Software Test Case Generation[C].High Assurance Systems Engineering, 2004, 1530-2059.

[4]SUN J, FENGB, XUWB.Particle Swarm Optimization with Particles Having Quantum Behavior[A].Proceedings of 2004 Congress on Evolutionary Computation[C].2004.325-331.

[5]SUN J, XUWB.A Global Search Strategy of Quantum behaved Particle Swarm Op timization[A].Proceedings of IEEE conference on Cybernetics and Intelligent Systems[C].2004.111-116.

[6]D.Ireland and M.E.Bialkowski, “Microwave head imaging for stroke detection, ”[M].Progr.Electromagn.Res.M, 2011, 21:163-175,

免疫量子粒子群 篇6

电力系统经济负荷分配 (Economic Load Dispatch, ELD) 是指在满足电力系统或发电机组运行约束条件的基础上在各台机组间合理地分配负荷以达到最小化发电成本的目的,是经济调度中非常重要的问题,是电力系统中一类典型的优化问题。传统的解决ELD问题的方法包括拉格朗日松弛法等经典数学方法,这些算法要求应用对象有良好的数学特性,而实际的ELD优化问题具有高维性、非凸性、离散性和非线性等特点,这使得经典数学方法处理ELD问题效果不理想[1]。

近年来,随着人工智能技术不断发展,混沌优化算法[2]、遗传算法[3]等智能算法被广泛应用于ELD问题的求解中,取得了一定的效果。

粒子群优化算法 (Particle Swarm Optimization PSO) 是由美国的Kenny和Eberhart在1995年提出的,是对鸟群觅食过程的模拟。与遗传算法等智能优化算法相比,它的突出优点在于流程简单易实现,算法参数简洁,不需要复杂的调整。PSO已被应用于ELD问题的研究中[4]。但是,PSO算法的粒子的收敛是以轨道的形式实现的,并且又由于粒子的速度总是有限的,因此在搜索过程中粒子的搜索空间是一个有限的区域,不能覆盖整个解空间,因此PSO算法并不是严格意义的全局收敛算法。本文将量子粒子群优化 (Quantum-behaved Particle Swarm Optimization, QPSO) 算法用于ELD中,它是一种新型的具有高效率全局搜索能力的进化算法[5,6]。它是以粒子群中粒子的基本收敛特性为基础,受量子物理基本理论的启发而提出的,是对整个PSO算法进化搜索策略的改变,进化方程中不需要速度向量,而且进化方程的形式更简单,参数更少且更易控制,在搜索能力上优于传统PSO算法。通过对多个经济负荷分配算例进行仿真,验证了该方法的有效性。

2 电力系统经济负荷分配的数学模型

2.1 目标函数

ELD问题在数学上可以表示为满足若干个等式约束和不等式约束的非线性规划问题,就是使式(1)的价值函数最小。

式(1)中,cost为价值函数;ng为系统内发电机总数;Pi为第i台发电机的有功功率;Fi(Pi)为第i台发电机发出有功功率Pi时,单位时间所需的能源耗量,即耗量特性。

发电机耗量特性曲线常用发电机有功功率的二次函数近似表示,即

式(2)中,ai、bi、ci为常数。

2.2 约束条件

经济负荷分配的约束条件主要考虑发电机的运行约束条件和功率平衡约束条件。

(1) 发电机的运行约束条件

式(3)中,Pundefined为第i台发电机有功功率的最小值; Pundefined为第i台发电机有功功率的最大值。

(2)功率平衡约束条件

式(4)中PL为系统内的总负荷; PS为系统的总网损。

2.3 发电机耗量曲线的阀点效应

发电机耗量曲线常用发电机有功功率的二次函数近似表示,如式(2)所示。

在实际中,在机组热运行测试阶段,发电机的有功功率从最小值缓慢增加到最大值的过程中,机组的耗量曲线是起伏的,相当于在机组的耗量曲线上叠加一个脉动效果。造成这种起伏的原因是汽轮机的调节汽门随着发电有功功率的增大而依次开放所形成的,当上一级汽门已全开而下一级汽门刚开时,蒸汽的流通会因节流效应产生损失,而导致耗量增大,曲线向上凸起,这种现象称为阀点效应。

阀点效应可以表示为

式(5)中,Ei为阀点效应引起的耗量特性变化量。gi、hi为常数。

2.4 网损

网损PS是发电机有功功率、传输线参数和网络拓扑结构的函数。网损一般采用潮流计算或B系数法求得。工程人员习惯使用B系数法计算网损,网损与B系数及各发电机有功功率的关系为

式(6)中,P为ng维发电机有功功率列向量;PT为P的转置;B为ng×ng维对称方阵;B0为ng维列向量;B00为常数。

在实际应用中B系数可以存储,而且每隔一定时间要测量修正一次(几秒～几十秒),因此结果是精确的。

3 量子粒子群算法

3.1 基本粒子群算法

PSO算法是对鸟群觅食过程的模拟。PSO算法中每个粒子相当于所求问题的一个解,在每次进化过程中, PSO记忆每个粒子的最佳位置,相当于生物个体的个体经验,同时PSO还记忆全部粒子的目前最佳位置,以供下一代粒子的进化作参考,相当于生物群体的群体经验,可供生物个体之间相互交流,所有粒子根据个体经验和群体经验不断调整自己的速度和位置,朝着个体最优和群体最优的目标飞行。

设在d维搜寻空间中有M个粒子,f(x)作为粒子的适应度函数,第i个粒子的当前位置向量表示为Xi=(xi1,xi2,:,xid),第i个粒子的当前速度向量表示为Vi=(vi1,vi2,:,vid),第i个粒子所经历的最佳位置向量pBest表示为Pi=(pi1,pi2,:,pid),群体中全部粒子所经历的最佳位置向量gBest表示为Pg=(g1,g2,:,gd),t表示粒子的迭代次数。则基本PSO算法的公式如下:

其中:j表示粒子i在d维搜寻空间中的第j维,c1,c2是加速因子,rand1,rand2是0到1之间的随机数。

3.2 量子粒子群算法

量子粒子群算法(QPSO)是量子计算与粒子群算法相结合的产物。它是以粒子群中粒子的基本收敛特性为基础,受量子物理基本理论的启发而提出的[5,6]。它的本质是模拟Schrodinger方程,这是封闭量子系统演化的一种方式。在QPSO算法中,由于粒子满足聚集态的性质完全不同,使粒子在整个可行解空间中进行搜索寻求全局最优解,因而QPSO算法在搜索能力上优于已有的PSO算法。QPSO算法参数个数少,进化方程的形式更加简单,更容易控制。

在QPSO算法中,粒子群不再按照公式(7)、(8)进行更新,而是按照新的更新方式:

其中:rand1,rand2是0到1之间的随机数,mBest是pBest的中间位置向量,PPij为pij和gj之间的随机点。w为QPSO的收敛系数。

通过式(7)可以看出,在基本PSO算法中粒子是通过向pBest和gBest靠近来实现寻优的,粒子在经典力学的状态下沿着确定的轨迹飞行,此粒子搜索的空间是一个有限的区域,因而不能保证一定找到全局最优解。 而式(9)—(11)表示的QPSO算法, 粒子具有量子行为,在量子空间中的粒子满足聚集态的性质完全不同,粒子移动时没有确定的轨迹,这使粒子能够出现在整个可行的搜索空间中任意一个位置,即可以在整个可行解空间中进行探索寻找全局最优解,因而QPSO算法的全局搜索能力远远优于基本PSO算法。

QPSO的算法流程为:

(1) 迭代次数t=0,对种群的每个粒子的位置向量进行初始化;

(2) 根据目标函数计算每个粒子的目标函数值;

(3) 更新每个粒子的最佳位置向量pBest;

(4) 更新群体中全部粒子所经历的最佳位置向量gBest;

(5) 根据公式(9)计算pBest的中间位置向量mBest;

(6) 根据公式(10) 计算每个粒子的随机点PPij;

(7) 根据公式(11)更新每个粒子的当前位置向量Xi;

(8) 令t= t+1,返回到第(2)步,重新计算,直到终止条件满足。

4 算例及仿真结果比较

算例1:以文献[7]的13机电力系统为例,发电机承担的总负荷为1800MW,考虑耗量特性的阀点效应,忽略系统网损。各发电机的耗量特性参见文献[7]。

采用QPSO算法进行仿真,粒子个数M取100,维数d取13,rand1,rand2取0到1之间的随机数,收敛系数w取1。终止迭代次数L取400。则仿真结果如表1所示。

为进一步研究QPSO算法的性能优势,将该算法与已有优化算法结果进行比较,性能对比见表2所示。其中,算法Ⅰ为本文所采用的QPSO算法,算法Ⅱ为文献[4]的改进粒子群算法的仿真结果,算法Ⅲ～算法Ⅵ为文献[7]采用的四种改进形式的进化规划算法的仿真结果。

从表2可以看出,与改进粒子群算法相比,采用QPSO算法后最小总费用减少4$,与其它优化算法相比,最小总费用改善程度更为明显。可见,从算例1的解的情况看,QPSO算法具有一定的优越性。

算例2: 以文献[2]的3机6母线系统为例,发电机承担的总负荷为500MW,考虑阀点效应,并计及系统的网损,用B系数法计算。各发电机的耗量特性及所用的B系数参见文献[2]。

采用QPSO算法进行仿真,粒子个数M取50,维数d取3,rand1,rand2取0到1之间的随机数,收敛系数w取1。终止迭代次数L取100。则仿真结果如表3所示。

为进一步研究QPSO算法的性能优势,将该算法与已有优化算法结果进行比较,性能对比见表4所示。其中,算法1为本文所采用的QPSO算法,算法2为文献[2]的遗传算法仿真结果,算法3为文献[2]的混沌优化算法仿真结果,算法4为文献[8]的混沌粒子群优化算法仿真结果。

从表4可以看出,与遗传算法相比,最小总费用减少145.8$,与混沌优化算法相比,最小总费用减少136.6$,与混沌粒子群优化算法相比,最小总费用减少136.6$。可见OPSO算法是具有一定的优势的。同时,从表4中也可以看出,与其它已有优化算法相比,采用QPSO算法后网损量减小明显。与遗传算法相比,网损减少21.2MW,与混沌优化算法相比,网损减少20.45MW,与混沌粒子群优化算法相比,网损减少21.43MW。该算法能够满足节能调度的要求。

5 结论

本文首次将量子粒子群算法用于电力系统经济负荷分配中,取得了以下结论: (1)将量子粒子群算法用于电力系统经济负荷分配中,可有效解决经济负荷分配问题; (2)量子粒子群算法是一种新型的具有高效率全局搜索能力的优化算法,它是以粒子群中粒子的基本收敛特性为基础,受量子物理基本理论的启发而提出的,是对整个PSO算法进化搜索策略的改变,进化方程中不需要速度向量,而且进化方程的形式更简单,参数更少且更易控制; (3)通过实例仿真证实所提出方法的有效性,获得较满意的解,为量子优化算法的进一步实用化奠定了基础。

参考文献

[1]AI-Sumait J S,AL-Othman A K,Sykulski J K.Application ofpattern search method to power system valve-point economicload dispatch[J].International J Elec.Power and EnergySystems,2007,29(10):720-730.

[2]唐巍,李殿璞(Tang Wei,Li Dianpu).电力系统经济负荷分配的混沌优化方法(Chaotic optimization for economicdispatch of power systems)[J].中国电机工程学报(Proc.CSEE),2000,20(10):36-40.

[3]He Dakuo,Wang Fuli,Mao Zhizhong.Hybrid geneticalgorithm for economic dispatch with valve-point effect[J].Electric Power Systems Research,2008,78(4):626-633.

[4]侯云鹤,鲁丽娟,吴耀武(Hou Yunhe,Lu Lijuan,WuYaowu).改进粒子群算法及其在电力系统经济负荷分配中的应用(Enhanced particle swarm optimization algorithmand its application on economic dispatch of power systems)[J].中国电机工程学报(Proc.CSEE),2004,24(7):95-100.

[5]Jun Sun,Bin Feng,Wenbo Xu.Particle swarm optimizationwith particles having quantum behavior[A].CEC2004[C].Oregon,USA,2004.325-331.

[6]Sun Jun,Xu Wenbo,Feng Bin.A global search strategy ofquantum-behaved particle swarm optimization[A].2004 IEEEConference on Cybernetics and Intelligent Systems[C].Singapore,2004.111-116.

[7]Nidul Sinha,R Chakrabarti,P K Chattopadhyay.Evolutionaryprogramming techniques for economic load dispatch[J].IEEETrans.on Evolutionary Computation,2003,7(1):83-94.

免疫量子粒子群 篇7

MIMO可以在无需增加带宽的情况下,大幅提高信道容量,被认为是下一代无线通信的关键技术[1]。但在实际应用中MIMO信道容量受多方面的影响,很多学者对实际环境中MIMO信道容量的影响作了大量研究[2,3,4,5,6,7],这些研究论文都从一个或几个方面对影响MIMO信道容量的因素进行了深入探讨,并据此给出了一些理论建议,这对于实际应用中尽可能达到最大容量是有益的。然而如何在实际中限制性条件下使MIMO信道容量最大化是一个要考虑的问题。本文综合考虑影响MIMO信道容量的因素,利用量子粒子群算法,在既定的条件下给出MIMO系统架构的最优方案。

1 MIMO信道容量影响因素

1.1 天线数量

MIMO信道容量是随着收发天线数的较小值成线性增加的关系[8,9],图1是对MIMO在不同收发天线数目下的信道容量的仿真,其中Tx为发射天线数,Rx为接收天线数。

由图1可以发现,相比较于传统的一发一收形式,MIMO的信道容量有了显著增加,但实际应用中空间和复杂度的限制,天线数目并不能无限扩展,这就需要在有限的条件下给出最合理的天线设计。

1.2 天线阵列结构

以线性天线阵为例,在不同的天线间隔,以及不同的扩展角条件下,MIMO的信道容量有较大差别[10,11],因为这些因素都在不同程度上影响天线之间的相关性,而天线之间的相关性是决定MIMO信道容量的关键因素[12],图2仿真的是不同相关系数下MIMO信道容量的比较,这里以2×2为例。

由图2可以看出,MIMO信道容量随着相关系数的增加变化较大。天线之间相关性受天线之间的间隔以及扩展角度等因素的影响,而这种影响并不是一个简单的增减函数[13],这就需要在实际条件下仔细分析给出最优的架构。

1.3 天线高度

图3是接收端场强随发送端天线高度变化的趋势,这里假设接收端高为1.5 m。

图3可以看出,接收端的场强不是随发送端天线高度成线性变化的,如果发射天线设计不合理极有可能造成接收端信号的极度衰弱。所以有必要结合实际情况所确定的高度范围对发送端天线进行合理的设计。

1.4 其他典型因素

除了以上提到的关键因素外,还有较多的重要因素影响MIMO的信道容量,在已知和未知信道状态信息的情况下,尤其是在天线数量较多时,MIMO信道容量差距较大[14];而在巷道里,MIMO的信道容量又受巷道尺寸的影响[4];不同的移动速度对MIMO信道容量有不同的影响程度[2]等,这些都是需要考虑的。

2 MIMO信道容量优化

透过以上的分析,发现有必要结合实际情况对MIMO的天线做合理的布置,但同时可以看到,MIMO信道容量受多方面的影响,要作出合理设计需要多点考虑。量子粒子群优化算法[15]在解决这类问题上具有很大优势。

量子粒子群算法是对传统粒子群算法的改进,由于引入了量子的概念,使得此算法具有更高的全局搜索能力,而且需要的参量更少。这里解决主要问题的有粒子的构造,这是最基本的,目的是要寻找最优的粒子;构建惩罚函数,以使得算法能按照既定的要求搜索最优粒子;得到粒子的搜索空间,这就要结合实际条件给出恰当的范围。

2.1 算法设计

首先要构造一个基本粒子X(m1,m2,m3,m4,…),为了节省问题的处理,这里假定m1, m2,m3分别表示天线的间隔、天线高度、天线数目,其他因素可以再继续加上。

其次要构建一个惩罚函数,这是寻找粒子的依据,根据以上的分析,给出一个简单的公式

式中:;μ1,μ2分别表示影响因子;Imin是指M,N中的最小值所组成的单位矩阵;det(·)表示行列式;ξ是信噪比;H表示瑞利矩阵,HH表示H的共轭矩阵;λ,σ,ω,l分别表示波长、角能量分布的标准差、中心到达角以及天线间隔;p,d,r,λ,h1,h2分别表示发送端有效辐射功率、方向系数及收发天线间隔、波长以及收发天线高度;Q定义为[9]

再次,要根据实际情况给出粒子的范围,比如天线高度在50～100 m,天线允许间隔在0～20 cm,天线数目在2～4根,这样就给出了粒子的三维搜索空间。

这些基本的参数给出以后,初始化一群粒子,如X(2,60,3),X(3,58,2),X(5,63,3)等,然后代入迭代公式[15]

式中:pbest,gbest,M分别为个体极值、全局极值以及总的粒子数;ε1,ε2,u分别是在0～1之间的随机数;η是收扩系数。根据式(3)就可以找出一系列的粒子,这里要用到惩罚函数以确定是否为最优粒子。最后根据粒子的范围以及粒子的精度或者迭代次数终止循环迭代,以找出最优的粒子。

2.2 仿真及分析

这里精确到小数后4位,迭代次数为100,然后对信噪比在0～30 dB之间的MIMO信道容量进行优化,同时再对得出的最优粒子进行比较,取其中数值最小的粒子作为最优粒子,这是由于惩罚函数的震荡性导致求出的最优粒子有多个,而其中的最小值代表着成本的最小值,因为数值越小表示高度越低,间隔越小,天线数目越少,这样可以减少信号处理和天线架设的成本。

依据上述条件得出最优粒子X(20,54.374 9,4),这表示天线间隔为20 cm,高度为54.374 9 m,收发天线均为4根时为最优方案,这样根据得出的最优方案再对MIMO信道容量作计算,图4是优化前后的比较。

从图4可以看出,根据量子粒子群算法所得出的最优方案比未进行优化的MIMO信道容量有了较为明显的提高,而实际情况下若无优化,架设天线时很难人工准确找到最佳的方案,所以MIMO信道容量具有一定的随机性。虽然某些情况下未优化的MIMO信道容量也能达到最优值,但是其随机性较大,这会一定程度上影响通信的质量。 而优化之后的MIMO信道容量稳定性较好,没有出现较大的跳跃性,这对实际的应用是有利的。

3 结论

MIMO作为下一代无线通信的关键技术,具有很高的信道容量,但是实现其高容量受到很多方面的限制。本文综合考虑影响MIMO信道容量的各个因素,并给出了其中几个关键因素的仿真情况,透过这些仿真发现,要实现MIMO高信道容量需要对天线根据实际情况作出合理的设计布置。据此,依据量子粒子群优化算法,给出了其中的惩罚函数,并构造了基本粒子,这样根据算法的迭代函数,就可以求出最佳粒子,依据此最佳粒子可以对天线做合理的优化布置。本文中给出的参数中有几个是与MIMO信道容量成正比的,这会很大程度上影响量子粒子群算法的优势,然而在实际情况中,影响MIMO信道容量很多的因素是与其成一定的函数关系,而不是正比例关系,所以本文给出优化算法对此类问题的处理有一定的参考意义。