虚拟光学系统（精选3篇）
虚拟光学系统 篇1
0 引言
近年来,基于光学理论与方法的数据加密技术已愈加引起研究者的兴趣和关注,成为信息安全研究领域的热点[1,2,3,4,5]。由于光学技术具备二维成像与并行处理能力,光学加密方法被公认为是新一代信息安全理论与技术。该领域内的开拓性成果是1995年由Refregier和Javidi提出的双随机相位编码光学加密系统(Double Random Phase Encoding,DRPE)[6],该系统在光学4-f系统的输入面和频谱面各放置一块随机相位板,先后对原始图像的空间信息和频谱信息做随机扰乱,从而使系统的输出信息的复振幅为平稳随机的白噪声。DRPE被提出后,其安全特性及由其衍生出来的光学加密系统被广泛研究。例如,彭翔小组针对于该系统的安全性能问题进行了深入的分析,指出该系统对于已知明文攻击、唯密文攻击及选择性明文攻击的脆弱性[7,8,9],G.Unnikrishnan和Guohai Situ则分别将该方法推广到分数傅里叶域及菲涅尔域[10,11];Xianyu Su等将该方法应用于彩色图像、多幅图像加密及隐藏[12,13],L.Z.Cai等还将此技术与数字全息术结合起来对光学图像进行加密,取得了较好的效果[14]。这说明,作为光学信息加密的经典结构,双随机相位编码的光学加密系统具有巨大的研究空间和应用潜力。
本文中,我们对双随机相位编码系统中的空域随机相位板进行置换,而代之以随机振幅板,提出随机振幅-相位编码虚拟光学加密系统(Random Amplitude-Phase Encoding,RAPE)。首先研究了该系统的统计学性质,指出该系统同样可以将图像加密成平稳随机白噪声,从而理论上具有无限大的密钥空间,可以抵抗暴力攻击。并且,该系统对空域密钥的要求较双随机相位加密系统更低,因此空域密钥更加容易获取。此外,由于直接对图像的振幅进行编码,因此在频域密钥泄露的情况下攻击者依然不能获得原始图像信息,较双随机相位编码系统在加密图像数据时有更强的鲁棒性。
1 理论分析
随机振幅-相位编码光学加密系统利用标准4-f系统来实现,如图1所示。f(x,y)是被加密的图像,加密时,首先将输入信号f(x,y)在空域乘以随机振幅函数n(x,y),之后经过傅里叶变换,在频域被随机相位函数exp[i2πb(μ,ν)]滤波,再经傅里叶逆变换,在输出面上得到密文ψ(x,y),即加密结果。
在本系统中,对于空域振幅密钥n(x,y),要求其为数学期望为零的白噪声信号;对于频域相位密钥exp[i2πb(μ,ν)],要求b(μ,ν)为在[0,1]上均匀分布的白噪声。且空域密钥与频域密钥统计独立。后面的论述中将证实这些要求的必要性。整个加密过程可用公式表示为
其中:*表示卷积运算且h(x,y)被定义为
其中FT-1表示傅里叶逆变换。下面将证明,加密后的密文ψ(x,y)为平稳复随机白噪声,而且,使用单随机模板则不能实现这种效果。
首先考虑f(x,y)被n(x,y)调制后所得函数r(x,y)=f(x,y)n(x,y)的平稳性。容易看出,其均值为零。然后计算其自相关函数,有
因为已经要求n(x,y)为零均值的白噪声,根据白噪声的定义,有
其中δ表示二维冲击函数。因此式(3)可进一步化简为
式(5)说明f(x,y)被n(x,y)调制后所得函数并非平稳信号,并且等于被加密对象f(x,y)模的二次方与二维冲击函数的乘积,不具备加密的功能。因此需要引入第二个随机调制板,即频域内的随机相位板exp[i2πb(μ,ν)]。下面证明,在引入随机相位函数exp[i2πb(μ,ν)]后,系统的输出密文ψ(x,y)为平稳随机白噪声。根据式(1)和二维离散卷积的定义,可得
这里假设信号f(x,y),n(x,y)以及h(x,y)为大小为M×N的矩阵。为了研究二维随机过程ψ(x,y)的统计性质,计算ψ(x,y)的自相关函数。根据自相关函数的定义可知
因为n(x,y)和b(μ,ν)互相独立,同时考虑式(2),有
由于n(x,y)为均值为零的白噪声信号,在式(3)中已经得到
同时,也容易证明
根据二维离散傅里叶变换的定义,有
进而可以计算出来:
参照式(10),(11)将式(12)化简得到
综合式(7),式(8),式(9),式(13)可以得到:
式(14)意味着密文ψ(x,y)的自相关函数为二维冲击函数,表明其为平稳的二维随机白噪声。在这种情况下,作为密钥的随机振幅板及随机相位板分辨率很高,因而密钥空间很大,在不知道密钥信息的情况下,很难通过盲反卷积运算恢复图像,具有较高的安全性。关于平稳白噪声对于盲反卷积攻击以及暴力攻击的鲁棒性,文献[6]中给出了详细的论述。
解密方法是加密方法的逆过程。首先,对密文ψ(x,y)傅里叶变换后,在频谱平面上除以频域密钥exp[i2πb(μ,ν)],再经傅里叶逆变换并除以空域密钥n(x,y)调制,即可恢复出f(x,y)。
2 计算机模拟结果
为了验证所提方法的有效性,在PC机上使用MATLAB7.0进行了实验。用来进行加密的是一幅灰度图peppers(512×512×8 bit),在图2(a)中给出。用本文提出的随机振幅-相位编码虚拟光学系统进行加密,所采用的空域振幅密钥服从参数为(0,1)的高斯分布,频域相位密钥为均匀分布。图2(b),图2(c)是加密后图像的实部和虚部,可以看出,加密后的信号为白噪声信号,与原始图像无任何相关性,这证实了第1部分的理论分析。
下面证实该方法对暴力攻击的有效抵抗性。为了便于比较,采用相关系数(Correlation Coefficient,CC)来描述恢复出来的图像fr与原始图像之间f的符合程度。相关系数被定义为[15]
其中E表示求数学期望,这里省略了函数坐标。在对密码系统进行密码分析时,通常认为攻击者已经知晓密码算法的工作过程,即满足Kerekboffs假设[16]。图3(a)给出了在密文被截获的情况下,攻击者使用随机选取的错误的密钥得到的解密结果,此时相关系数cCC=0.004 7,可见这种解密结果与原始明文无任何相关性。图3(b)给出了使用正确密钥得到的解密结果,此时相关系数cCC=1.000 0,恢复出来的原始明文与真正的原始明文完全一致,同时证实了本方法的无损性。
3 几点讨论
3.1 系统对随机振幅板的要求
在Refregier和Javidi的文献中指出,用于加密的双随机相位板的相位分布应该是位于[0,2π]之间的均匀分布的二维白噪声矩阵[6],这个要求限制了随机相位板的可选择空间,使得攻击者清楚的知道密钥的统计特性,这对系统的安全性来说是一个潜在的威胁。而本文提出的随机振幅-相位加密系统,对于空域随机振幅板,只要求是期望为零的白噪声,对其概率密度函数没有要求,可以选择为高斯分布、均匀分布等等。这样会使得随机振幅板有充分的选择空间,从而会对攻击者破解系统造成极大的困难。在第2部分的模拟中使用的随机振幅板为满足高斯分布的零均值随机矩阵,在图4中给出了使用随机振幅板为均匀分布的零均值随机矩阵的加密结果。比较图4和图2可以看出,使用两种随机振幅板的加密效果相同,这进一步证实了上述分析。这种由于附加参数的多样性从而增加攻击困难的分析可参考文献[17],这是其对于双随机相位编码系统的优越性之一。
3.2 频域密钥泄露情况下系统鲁棒性讨论
对于双随机相位编码系统来说,其频域密钥一旦泄露,在加密的对象为实值图像的情况下,攻击者在不需要获取空域密钥的情况下可以获取完整的原始明文信息,这是其致命弱点之一。相比之下,由于本文提出的系统首先对原始图像的振幅进行调制,因此即使在频域密钥exp[i2πb(μ,ν)]泄露的情况下,攻击者依然不能获得原始明文信息。我们对此性质进行了计算机模拟,其结果在图5中给出。图5(a)是双随机相位加密系统频域密钥泄露情况下攻击者所获取的明文信息,此时相关系数cCC=1.000,可见其与原始明文完全一致,这显示了其对于部分密钥泄露攻击的脆弱性。图5(b)是随机振幅-相位编码系统频域密钥泄露情况下攻击者所获取的明文信息,此时相关系数cCC=0.007 7,这表明其与原始明文几乎没有相关性。这是本方法对于双随机相位编码系统的优点之二。
3.3 系统的物理实现问题
由于在系统的设计中假设随机振幅板为期望为零的白噪声,则振幅调制数值必然存在负数的情况,由于负幅度在物理上无法实现,因此该系统只能用计算机模拟的虚拟光学系统来实现,这是其局限性之一。
4 结论
本文提出了一种新的虚拟光学加密系统,即随机振幅-相位编码加密系统。使用统计学理论证实了该方法与双随机相位加密系统具有相同的加密效果,可以把实值图像或者复矩阵加密成平稳的复随机白噪声。其特点在于不知密钥的情况下,不能通过暴力攻击的方法破解系统。特别需要指出的是,该系统相比于双随机相位加密系统具备一些突出的优越性,即其对加密密钥的统计学要求更低,同时抵抗攻击的能力更强。其局限性是该系统只能用数字模拟的虚拟光学系统实现,不能够使用物理元件实现。
摘要：通过对双随机相位编码光学加密系统中空域的随机相位模板进行置换,提出采用随机振幅-相位模板对图像进行加密的新方法。理论分析表明,当随机振幅板为零均值白噪声且与频域相位板统计独立时,被加密图像的自相关函数为二维冲击函数,表明原始图像被加密为平稳的复随机白噪声,因而可以抵御盲反卷积攻击。采用计算机进行模拟,证实了所提方法的有效性。最后讨论了该方法相对于双随机相位编码系统的优越性:对空域密钥的统计学要求更低、在频域密钥泄露情况下系统鲁棒性更强。但是,由于物理上不存在幅度为负值的光波,因此该系统只能使用数字虚拟的方法来实现。
关键词：图像加密,随机振幅-相位编码,虚拟光学系统,盲反卷积
虚拟光学系统 篇2
3D虚拟头盔(3D Virtual Reality Head-Mounted Display,简称3D VR HMD)系统主要是利用光学系统将微显示器的图像投影在人的眼前成放大的虚像从而产生“沉浸感”[1]。作为新型图像信息显示器件,3D VR HMD在提供景象的全面信息方面具有很大的优势,已在航空航天、军事、医学和娱乐等领域得到了广泛应用。其中,光学系统是其重要的组成部分,因而,3D VR HMD光学系统的设计和开发成为光学领域研究的一个热点。
在HMD光学系统的设计中,通常采用光学玻璃作为透镜材料。同玻璃相比,聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)、聚苯乙烯(PS)等塑料材料制成的光学元件具有显著不同的性能[2]。例如,具有较轻的质量、较强的抗冲击性并且可以利用注射成型工艺和压制成型工艺进行加工,在形状上具有更多的选择性。用光学塑料注射成型,一模可成型多个透镜,其注射周期短,能够提高生产效率。世界各国对光学塑料元件进行了大量的研究工作,取得了很好的效果,使得光学塑料元件的应用范围迅速扩展到许多原先被光学玻璃元件统治的领域,未来将大规模应用于光通信、高分辨力微显示器以及更远期的高速光学计算机[3],随着相关技术的进步,它的应用将越来越广泛。
然而,设计全塑料的光学系统带来的问题是色差难以消除。利用塑料折衍混合元件研制的光学系统,由于衍射光学元件具有负色散特性、负温度特性、可实现对光波面的任意相位调制,与塑料元件配合,在改善系统成像质量、减小系统体积和重量以及降低成本等方面具有无可比拟的优势,从而使得设计全塑料式的HMD光学系统具有可行性。现有文献中的HMD光学系统多采用玻璃材料且结构复杂、镜片数量比较多,适用于对光学系统体积和重量要求相对宽松的头盔系统中。
本文设计了一种用于眼镜式3D VR HMD的折衍混合全塑料光学系统,该系统以OLED显示器为图像源,由两片透镜组成,包含一个非球面和一个衍射面。给出了设计结果,讨论了各种像差的表现情况,其中目视系统中需重点校正的像散和垂轴色差的最大值分别为0.31 mm和8.8µm;最大畸变为6.4%,最后讨论了塑料透镜衍射面的结构参量和现有的加工条件下制备衍射面的可行性。
1 HMD光学系统设计
1.1 设计目标
传统的HMD目镜系统的缺点是系统长、体积大、重量太重,因此不适合长时间戴在使用者头部。根据OLED图像源的相关参数设计了体积小、重量轻的全塑料目镜系统,系统使微显示器的图像在2 m远处成45in放大的虚像。参数如表1所示。
1.2 目镜光学系统设计方法
在微显示器应用于HMD的过程中,由于微显示器的尺寸小,给HMD的光学系统带来了根本的变化,也给相应的光学系统提出了更高的要求。本系统中,在折射元件中引入二元面构成折衍混合光学系统,以常规折射元件的曲面提供大部分的聚焦功能,利用折射/衍射单透镜代替消色差双胶合透镜,大大降低了系统重量。
本系统采用一种材料(PMMA)两片透镜的结构,第一个透镜的前表面设为衍射面构成折衍混合系统来消除色差和高级像差,第二个透镜的前表面设为非球面,用来消除畸变等其他像差。两镜之间使用了一个平直反射镜用来缩短长度。设计指标如表1,系统初始结构通过折射衍射混合薄透镜组的消色差理论计算来求解。
旋转对称衍射面的相位函数表示形式(衍射级次取+l级)为[4,5,6]
式中:r为半径,λ为波长,c1,c2为对应项系数。考虑一般透镜的相位变换式
式中f为焦距。可见当衍射面相位函数只取到二次项时,其作用就类比一个一般透镜,令ϕ(r)=ϕ′(r),有
传统薄透镜前后表面曲率半径与焦距的关系为
式中:nλ为对应波长λ的折射率,ƒλ为对应波长λ的焦距,R1,R2为透镜前后表面曲率半径。衍射元件的等效阿贝数为:VD=-3.452。
系统由衍射透镜1,折射透镜2和折射透镜3组成,衍射透镜1与折射透镜2组成折衍混合单透镜。入射光线在各透镜上的入射高度不同,消色差条件为
系统总光焦度为ϕ=ϕ1+ϕ2+h1h2ϕ3,入射角和瞳距已知,则入射光线在透镜1的入射高度h1可以确定,光线在折射透镜3的入射高度h2由式h1h2=1-d(ϕ1+ϕ2)确定,若已知两折射透镜间隔d,组成如下方程组
式中:ϕ1为衍射透镜1的等效光焦度,ϕ2为折射透镜2的光焦度,ϕ3为折射透镜3的光焦度,ϕ为系统的组合光焦度,V1为衍射面的等效阿贝数,V2和V3分别为透镜2和3所用材料的阿贝数,当ϕ,V1、V2和V3已知,本文中V1=VD=-3.452,V2=V3=57.44,解方程可得合适的透镜前后表面曲率半径,将ϕ1代人式(3)可得到衍射面的相位函数表达式系数。
2 系统结构图及像差特性分析
经过调整优化,设计了图1所示的虚拟头盔塑料光学系统,结果表明其体积小重量轻,重量仅为9.8 g,对佩戴者头部的压力非常小,镜头直径为28 mm,完全满足眼镜式双目头盔显示器对光学系统的要求。
图2给出了系统垂轴像差曲线,可见系统子午方向垂轴像差最大,但不大于52µm。图3为系统的调制传递函数曲线,和所选对角线尺寸为0.61 in,分辨力为800×600的OLED图像源对应的空间分辨力为30 lp/mm时,系统传递函数值最低为0.33,满足目镜要求。图4为场曲和畸变曲线,可以看出,系统的弧矢方向最大场曲为-0.34 mm,子午方向最大场曲为-0.65 mm,像散为0.31 mm。通常目视光学系统场曲用人眼离焦的屈光度(Diopter)来衡量,对应的屈光度为其中x为场曲和像散值。可知,对应的屈光度分别为0.18 D、0.34 D、0.16 D;系统的最大畸变为6.4%。图5为系统的垂轴色差曲线,可见,其垂轴色差最大值为8.8µm。
3 特殊面型
由CODE V软件给出的旋转对称衍射面位相分布式为
由式(1)、(7)可得,当ϕ(λ)=±2mπ(m=1,2,…,mmax)时,二元衍射面上的环带总数为
设计时取c1=-0.001 1,c2=1.103 2×10-6,而所设计的衍射面有效口径的半径为10.12 mm。图6给出设计中所使用二元面的相位函数曲线(线a)和环带密度曲线(线b),由图可知,随着径向坐标的增加,二元面的环带密度增大,在镜头边缘处,环带密度最大为30 periods/mm,由式(8)可计算得衍射面的环带数为174,特征尺寸为33µm。
本设计中的非球面采用CODE V软件中的Asphere面型,方程为
式中:c为曲率,k为二次曲线常数,A、B等为非球面增量系数。设计取k=-3.690 1,A=-0.002,B=9.692 4×10-8。
选好模具的坯料经过锻造,根据所得参数利用超精密光学加工技术在车床上切削成型得到所需模具,利用注射成型就可以批量生产含有非球面或二元衍射面的塑料透镜。现有的制作工艺能够满足上述非球面和二元衍射面的加工制作。
4 结论
一个用于虚拟现实立体显示的眼镜式3D VR HMD系统,就要求光学系统不仅在结构上轻便紧凑,还要满足特定的光谱范围、视场角、出瞳距离和出瞳直径。最终形成的3D VR HMD光学系统是对若干个设计因素综合考虑的结果,本文从结构和元件两方面入手,利用平直反射镜折叠光路,缩短系统长度,采用折衍混合塑料透镜使得系统保证成像质量的同时重量大幅度减少。系统总长为25 mm、高为32 mm,重量仅为9.8 g。此系统使微显示器的图像在2 m远处成45in放大的虚像,各项指标均满足眼镜式3D VR HMD显示器光学系统的设计要求,表明塑料折/衍混合元件应用于眼镜式3D VR HMD光学系统具有可行性。志谢:
感谢K.C.wong Education Foundation;Hong Kong所给予的支持。
摘要：研究了塑料透镜在3D虚拟显示头盔光学系统中的应用,设计了适用于眼镜式虚拟微显示器的全塑料(聚甲基丙烯酸甲脂-PMMA)光学系统。引入反射镜来折叠光路以缩短系统长度,引入衍射面,利用其负色散性和波面任意整形特性来消除系统色差及改善波前像差。该系统重量仅为9.8g。目视系统中需重点校正的像散和垂轴色差的最大值分别为0.31mm和8.8μm,最大畸变<7%。系统最小角分辨力为0.8mrad,全视场为32°。
关键词：塑料透镜,光学设计,虚拟显示,头盔显示器,二元光学
参考文献
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虚拟光学系统 篇3
(一) 平面镜
物体在静止的平面镜中出现的反射, 这一结论来自于光学传播的基本定律。分析虚像原理, 可以简单理解为物体对镜平面产生的对称形体。
(二) 柱面镜
将曲面作为反射面时, 入射光线与过曲面形成的成像点法线产生的角便是入射角, 是相当于反射光线和同一法线之间产生的反射角, 并且在同一平面内产生了入射光线、反射光线和法线, 这个平面和过曲面产生的成像点切平面彼此垂直。但是, 在过曲面上由于各点比不是彼此平行的法线方向, 例如:柱面法线垂直相交柱轴的很多叉线。因此, 所谓的柱面反射的虚像缺少固定的位置能够寻找, 而是随着视点不同位置而出现了差异。
二、柱面光学透镜反射光线追迹
将圆柱反射面光线反射作为追迹范例, 在圆柱面顶点位置A构建直角右手坐标系, 促使AX平行于圆柱面母线, 坐标面的子午截面是AXZ。如此, 假如圆柱面设a为曲率半径, 与坐标面OYZ平行的任意平面去截圆柱面时, 都是在平面AXZ上获得截线, 半径是a的圆。在AXY存在于物面上的点D (X, Y, Z) 沿着适量C方向发出一光线, 光线在圆柱面上的投射点d1可以通过点d和适量c, 促使d成为物面A点到d点的位置向量;圆柱面定A1至投射点a1的位置向量;N则是从A1到垂直于光线的向量, 在两表面间线段的光纤通过垂直划分为两部分;分别是从A1向C1产生的辅助向量。
三、柱面光学镜在光学成像系统中的运用
(一) 单面柱面光学镜在光学系统应用
仅在一个方向上柱面镜有曲率, 利用柱面反射镜光纤矢量追迹可知, 一个截面维度方向对于平行光束来说产生了会聚或者发散功能, 但是不会对X轴方向发挥任何作用。由于球差因素造成单片传统柱透镜和柱面反射镜产生了船形光斑并且产生了小视场等问题, 见图1。
由于不成像是柱面镜与母线方向平行的特点, 不能通过传统分辨率对成像特点进行测试。所以将一幅与母线方向平行的分辨率测试板放置在物平面上, 利用单片离轴柱面反射镜实施成像分析, 仅子午面方向柱面反射镜条纹成像。对正单片反射镜球差很难进行校正, 需要综合多片反射镜才能实行校正, 另外一方面多片结构还可以产生基于子午方向柱面反射系统的宽视场。
(二) 优化抛物柱面方法
对于光学成像系统, 柱面镜出现了线聚焦效果, 光束几乎不会影响到平行弧失面, 致使像差在弧失方向较大进一步需要特殊处置整体优化。
假设在B光轴的右手坐标系中, 针对平行于母线与X轴的柱面反射镜, 主要是子午面中的Y轴产生成像光线的像差。本文指出了一种优化正交抛物柱面的方法, 由于在弧矢面方向母线与X轴柱面系统平行的光焦度为0, 即与XB平面平行的光纤不会产生任何会聚或者发散功能。将一个抛物柱面反射镜添加在像面前, 促使其母线方向与Y轴平行, 也即是正交于设计柱面系统的母线。
对于平行于子午面现场的光束, 只有抛物柱面反射镜焦距相等于到像面的距离时, 在像面上柱面系统到X轴方向会获得最好的平行光束的成像, 因为经过对抛物柱面镜后弧方向像差进行校正为零。至此, 评价这一柱面光学系统可以评价光线追迹图, 抛物柱面镜已经校正了弧矢方向的像差, 确定像面和抛物柱面镜的有关参数量之后就可以自行优化设计光学成像系统, 进一步对柱面系数进行优化。
(三) 优化设计三反柱面光学成像系统
三反射柱面系统可以有效解决传统单片柱透镜和柱面反射非理想成像光束线焦距、子午面像差大等问题。在对三反射柱面初始结构进行选择时能够通过计算初始的空间三反成像系统结构, 对四种像差同时消除, 因为柱面系数及母线平面的成像光束与普通的三反空间成像结构垂直并且类似于午面内的成像光束。
利用提出的对正交抛物柱面进行优化的方法, 首先设计圆柱面的三反柱面面型, 通过追迹柱面光线的方式设计不同的弧矢方向像差与子午方向像差的权重并且进行优化。图2揭示了优化圆柱面条件下三反柱面的子午面方向上与MTF的像差,
在图2中MTF三条曲线分别是三个不同的子午面视场的传递函数, 所设计的柱面系统对子午方向的MTF进行了优化, 全视场达到了3°, 子午面方向的MTF在子午边缘市场分辨率达到45lp/mm时优于0.2, 很好校正了像差曲线, 但是还是突出了子午像差, 需要对子午面方向的MTF数值才能进一步提高。
由于在抛物二次曲面在焦点处的最佳成像, 能够设计柱面面型形成二次曲线柱面反射结构, 母线依然平行于X轴方向。利用对正交抛物线柱面进行优化的方法, 还是设计优化弧矢方向像差和子午方向像差的不同权重, 获得了十分理想的优化效果。
结语
针对单片柱面透镜在光学成像系统中产生的不理想光束、小视场等特点, 科学研究了一种三反射式柱面光学体系, 通过正交抛物柱面对初始结构进行了优化。传递函数在子午面方向三反煮面系统各个视场调制中取得了较为理想的优化成果, 使其满足高空间分辨率成想要求, 进一步解决了光学成像系统对特殊柱面自行优化设计问题。
摘要：在非球面透镜中柱面镜是最普遍的一种, 采用球面系统具有分别描述成像的特点, 在一些特殊场合其具有特殊作用。本文主要分析了柱面光学透镜成像原理, 柱面光学透镜反射光线追迹, 柱面光学透镜在光学成像系统中的运用。
关键词：柱面光学透镜,光学成像,运用
参考文献
[1]王之江.实用光学技术手册[M].北京:机械工业出版社, 2009.