二维傅里叶变换

二维傅里叶变换（精选11篇）

二维傅里叶变换 篇1

0.引言

FFT被提出后在工程背景当中起着巨大的作用。20世纪以来随着计算机技术的迅猛发展进而对DFT和FFT产生了深刻的影响, 进而使得FFT在通信领域应用更加广泛。虽然分数FFT的定义及数学理论很早就被提出, 并且逐渐完善, 但是它在通信领域的应用却迟迟到来。究其因有两方面:一方面是分数FFT的现实应用还清楚, 分数域的量纲含义不清晰;另一方面是没有出现像FFT这样易于快速算法。但是随着分数FFT在信号通信领域的研究逐渐深入, 近年来将其与通信结合的研究逐渐兴起。

1.图像矩阵的线性变换

正交变换和酉变换都是线性变换, DFT、DCT等都是变换核矩阵的不同特列。为了讨论二维傅里叶变换, 下面先给出变换的一般表达式, 然后讨论傅里叶变换。

1.1标量表达式

图像[f (m, n) ]M×N线性变换的标量表达式为:

图像线性反变换的标量表达式为:

其中:k, m, l, n=0, 1, 2, …N-1;=0, 1, …N-1, g和h分别称为正变换核和反变换核, 不同的线性变换其变换核也不同, 变换核集中反映了变换的性质。

1.2矢量表示

为了便于书写, 把线性变换表示为:

其中:G称为变换矩阵, , f是行向量或是列向量。当f是行向量时, 标量对应的关系式为:

其中:k, m, l, n=0, 1, 2, …N-1

1.3矩阵表示

如果变换核是可分的, 即:

则上式可以改写为:

1.4基平面

如果变换是可你的, 则有:

如果A和B分别用矢量表示出来, (7) 可以改写为:

把矩阵αiβj′称为一个基平面, F (i, j) 是f在平面上的坐标。

当图像的尺寸确定后。傅里叶变换的中基图像也就确定了, 以上是探讨图像变换的一般表达式, 下面探讨二维傅里叶变换的表达式。

2.傅里叶变换技术

是非常重要的数学工具, 它在工程领域到广泛的应用。在数字图像分析中, 二维傅里叶变换技术同样有着非常重要的作用。数字图像是一个空间域上的二维函数, 同时包含周期性成分、非周期性成分、噪声及背景。因为在空间领域中, 各种成分往往紧密交织在一起, 所以有时在空间领域上分离和处理这些成分是很困难, 有时是不可能实现。因此利用FFT技术可以将空间领域的图像转变为复频域的函数, 然后根据图像灰度特征的变化寻找反映空间领域中具有周期特征的点。

已知, 信号f (x) 的经典傅里叶变换形式如下:

如果信号f (x) 是实函数, 则变换后就变为复函数, 即:

这里, R (ω) 为F (ω) 的实部, I (ω) 为F (ω) 的虚部。

或将其表示为指数形式:

把 (12) 式进行推广, 使其维数扩展到二维, 就能得到:

而在实际的图像处理操作时, 应用到的往往都是傅里叶变换的离散形式。

下面, 给出经典傅里叶变换的一维离散表达形式:

将其维数推广到二维, 得到:

其中:k1=0, 1, 2…M-1;k2=0, 1, 2…N-1

其中:n1=0, 1, 2…M-1;n2=0, 1, 2…N-1

在对二维离散傅里叶变换进行运算时, 可将其转变为一维DFT的形式求解, 即先按行进行一维傅氏变换, 然后再按列进行一维FT。而在变换时, 如果人工计算其计算量可想而知, 因此人们开发了FFT, FT的结果得以图像的形式表现出来。

3.图像在傅里叶变换域的幅度和相位信息

对于人眼而言, 对相位变化比幅值信息变化更为直观, 然而相位信息比幅值信息更加重要, 而且相位信息在传输过程中容易受到影响, 相位的变化实质上反映图像的频率大小变化。下面我们一个离散矩形函数并做出其DFT的幅度对数图和相位图。在计算离散函数的DFT时, 可以对该函数进行补零来提高高高分分分辨辨辨率率率如如如图图图333所所所示示示。。。

4.实验结果及分析

在图像处理的广泛领域中, FT起着相当重要的作用, 包括图像的效果增强、图像分析、图像复原和图像压缩等。在图像数据的数字处理中常用的是二维FFT, 它能把空间领域的图像转变到复频域上进行研究, 从而能容易地对图像的各空间频域成分进行计算处理。在这里图像分析中的图像定位做本篇文章的实验结论, 首先用户期望在图像text.png中找到字母“a”, 如图5所示, 可以应用下面的办法来定位:将包含字母“a”的图像与图像text.png进行“与”运算, 也就是对包含字母“a”的图像和图像text.png进行FT, 同时利用快速卷积的办法, 处理字母“a”和图像text.png的卷积, 提取卷积运算的峰值, 即得到在图像text.png中对应字母“a”的结果。其次所谓将模板“a”和图像text.png进行相应运算, 就是先分别对其作FFT, 然后利用快速卷积的方法, 计算模板和图像text.png的卷积, 如图7所示, 并提取卷积运算的最大值, 即图8的白色亮点, 即得到图像text.png中字母“a”的定位结果。

参考文献

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二维傅里叶变换 篇2

第一部分 两种变换的背景。

首先是傅里叶变换的背景。这个背景想必大家在高数课，电分课和之前的信号与系统课上已经阅读过了，那么在这里大家可以稍稍再重温一遍。

接下来是拉普拉斯变换的背景。

大家一定没有想到，拉普拉斯变换并不是由拉普拉斯发明的，而是由这为Heaviside先生发明的。拉普拉斯对这项变换的贡献是进行了严密的数学定义，确定其可行性后进行了推广。因此这项变换被称为拉普拉斯变换。

说一句额外的话，在准备内容时，我本指望能像傅里叶变换一样，找到有关拉普拉斯变换发展的波澜历史，却因拉普拉斯变换并不是被其发明者命名，所以有关Heaviside先生如何得到这种变换的资料少之又少，而拉普拉斯对其定义的过程相对来说又很枯燥，并没有什么值得记载的故事，因此大家可以从刚刚这段说明中看出拉普拉斯的发展历史只是草草陈述。这也告诉我们，做事一定要完备，知识一定要渊博，否则发现了什么却忘记对其进行推广，或者知道要去推广却因数学功底不足而无法给出严格定义以及证明，流芳百世的机会也只能拱手让人。

因为现实生活中的信号多为因果信号，因此在此考虑拉普拉斯的现实意义，引入拉普拉斯单边变换。下述有关拉普拉斯变换的讨论均基于拉普拉斯单边变换。

第二部分

两种变换带来的便利。

首先是傅里叶变换带给我们的方便。求解线性电路有了通法。面对三角函数信号，以及电容电感这类原件，时域中求解电路状态变得十分困难。但通过电分的学习，我们掌握了频域解法。又通过傅里叶变换，我们可以将任何信号变成虚指数或者说三角函数形式，对于线性系统，我们可以依次求解这些三角函数分量作用时的电路状态，再加和。所以只要是线性系统我们都可以求解！

我们能够从一个不随时间变换的空间中观察函数或者信号。傅里叶就是通往这个世界的大门，把时域信号转换至频域。在这个域中，时间不是变量，频率才是变量。并且在这个域中，人们可以方便地观察不同频率的信号分量。

其次是拉普拉斯变换带给我们的便利。其实这两项优点是同一项，求解微分方程十分便利。大家可以回想一下学习高数时，用经典法求解常系数微分方程时的痛苦。现在拉普拉斯变换将微分方程统统化成简单的多项式方程，并且把用于求解特解的初值自动引入，可谓是十分便利。

下面是最后一部分

两种变换之间的区别

首先是两种变换后得到的信号从频域角度来看是否直观。

以这个信号为例，利用matlab对其进行傅里叶展开。这幅图是其幅度频谱。（在黑板上写出傅里叶展开的f(t)12F(j)ejtd）从这张图以及相位频谱，各位就可以描述

jtF(j)e出F(j)的表达式。又知道，f（t）即由一系列的d加和得到，所以从频域上我们可以直观看出不同频率的各个三角函数分量。这一点是拉普拉斯变换所不能企及的。这也是为什么傅里叶变换多用于针对信号的分析和处理，主要是频谱分析。

第二个方面是求解微分方程的简易性差别

一方面是可以将时域内的微分与积分的运算转换为乘法与除法的运算，将微分积分方程转换为代数方程，从而使计算量大大减少。这一点个大家都十分清楚，在许多书中也给出了证明。

另一方面是可以将初始状态包含到微分方程中直接求解。主要利用的就是时域微分性质。这里，我查阅许多资料与书籍发现都没有这个性质的证明，只是告诉我们如何使用，但这里我们需要从最本质的地方探究傅里叶与拉普拉斯在求解微分方程简易程度上的差别，因此课后通过推导，在这里给出证明：

而傅里叶的时域微分性质如下：

可以看到一个包含了初始状态，一个并没有。

最后一个就是拉普拉斯变换相比傅里叶变换可以对更多函数进行变换，这也是我们最后一个，也是最显著的一个区别。我们稍后再谈。

综上，可以发现拉普拉斯变换在求解微分方程上更占优势

我们来到了最后一个差别，也是最本质的差别，处理的函数范围不同。

在查阅了高等数学教材后，得到了数学上对傅里叶变换成立的收敛定理，如下： 1 函数f(x)在每个有限区间上可积;2 存在数M>0,当|x|≥M时，f(x)单调，且

lim

f(x)=0。

那么对于一些函数，例如eαtu(t)(α>0)，无法满足上述收敛定理，因此不存在傅里叶变换 下面是利用matlab进行求解的过程，可以看到，对于e^3t这个函数，无法求解出其傅里叶变换。与此同时，一些函数并不满足绝对可积条件，从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。

以斜坡信号tu(t)为例，对其用matlab进行求解，可以看到包含了dirac函数，也就是冲激函数。

因此我们在信号后乘上一个衰减速度十分快的衰减因子et，使得信号容易满足绝对可积条件，而得到的变换式也即拉普拉斯变换式

好的，接下来让我们看看同样的函数，使用拉普拉斯变换看会得到什么样的结果。对于e^3t*u(t)，得到了1/（s-3）； 对于tu（t），得到了1/s^2。

傅里叶变换与拉普拉斯变换广泛应用于工程实际问题中,不仅仅在数学领域有着应用，在测试技术及控制工程领域应用更为广泛，搞清两者的应用特点，对将来会频繁使用这两种变换的我们极其重要。希望本文指出的一些方面能给各位带来一些启发以及想法，在未来给各位带来些许帮助。

二维傅里叶变换 篇3

关键词：傅里叶变换红外光谱；辣椒；疫病；相关性分析

中图分类号： O657.33文献标志码： A文章编号：1002-1302（2014）06-0113-03

收稿日期：2013-09-01

基金项目：云南省教育厅基金（编号：2013Y480）。

作者简介：杨春艳（1979—），女，云南祥云人，讲师，从事物理教学和光谱研究工作。Tel（0877）2053601；E-mail：ychyky@163.com。辣椒，又名番椒、海椒、辣子等，是茄科辣椒属一年生或多年生作物，果实营养价值丰富，在蔬菜生产中占有重要地位。辣椒疫病是由辣椒疫霉菌引起的一种全生育期均可发病的土传真菌病害[1-2]，可侵染辣椒的根、茎、叶和果实。美国最早于1918年开始报道该病，我国1940年在江苏省首次报道此病发生，现在全国各地普遍发生[3]。一般发病率为5%～65%，平均达24.4%，发生严重的可减产4.0%～7.0%，甚至绝收[4]，是辣椒生产上的一种世界性分布的毁灭性病害。国内外对辣椒疫病的发生、防治及疫霉菌的生物学特性和常规鉴定已进行过研究报道[5]，但这些研究都没有反应病菌的化学组成信息或病菌对染病植株化学组成信息的影响。

傅里叶变换红外光谱（FTIR）是一种能够提供分子化学结构信息的技术，利用FTIR技术可以对样品进行定性和定量无损分析，根据红外吸收光谱的谱峰位置可以鉴定多种有机化合物及官能团的存在，而利用光谱吸收强度可以定量地计算出各种化学组分在样品中的相对含量[6]。目前，FTIR技术已经应用于农作物病害的研究，如任先培等用FTIR研究病害烟叶[6]；刘飞等利用FTIR研究油菜根肿病[7]；欧全宏等用FTIR研究稻瘟病、玉米锈病和蚕豆锈病叶片[8]，但研究辣椒病害方面还未见报道。本研究用FTIR技术对成株期正常辣椒和疫病辣椒4个不同部位的红外光谱进行对比分析，探讨了正常辣椒和疫病辣椒同一部位所含化学信息的差异，以期为辣椒疫病的研究提供参考。

1材料与方法

1.1仪器设备和测试条件

所用仪器为PE公司生产的Frontier型傅里叶变换红外光谱仪，装备DTGS检测器，累加扫描次数为16次，扫描范围为4 000～400 cm-1，分辨率为4 cm-1，光谱数据用OMNIC 80软件处理。

1.2样品制备及光谱预处理

测试的所有样品均是辣椒成株期样品，正常辣椒植株和疫病辣椒植株均采自红塔区北城镇，并经农职技术人员鉴定。样品经自然晾干，除去根部泥土，保存待测。取样时叶片、茎、主根和须根均取相同或相近部位，将样品放入玛瑙研钵磨为细粉，再加入溴化钾搅磨均匀，然后压片测定光谱。所有光谱都已扣除背景光，并使用OMNIC 8.0 软件进行自动基线校正、平滑和归一化处理。

2结果与讨论

2.1正常植株与疫病植株叶的红外光谱图的比较分析

为正常植株和疫病植株叶片的红外光谱图，其中a是正常植株的叶片光谱，b和c分别是疫病植株叶片无病斑处和病斑处的光谱，谱图都以1 630 cm-1附近的吸收峰为参考进行了归一化处理。3 330 cm-1附近出现的宽峰属羟基O—H和氨基N—H伸缩振动，2 959 cm-1和2 927 cm-1附近峰分别归属亚甲基和甲基的C—H反对称伸缩振动。正常植株叶片光谱中，1 730 cm-1附近弱峰为酯羰基CO的伸缩振动峰，说明辣椒叶片中含有脂肪类化合物。1 648 cm-1附近的强峰主要是酰胺Ⅰ带吸收，归属CO的伸缩振动[9]，为光谱第二强峰，由于没有1 540 cm-1附近的吸收峰存在，所以可以判断辣椒叶片中含有的酰胺大多为叔酰胺[10]。1 445 cm-1 附近为甲基的C—H剪式振动，1 319 cm-1为芳香胺中C-N伸缩振动，1 261 cm-1附近为酰胺Ⅲ带C-N伸缩振动、N-H变形振动[10]，说明样品中含有蛋白质类物质。位于1 140、1 121、1 071cm-1的宽峰，主要是多糖类物质C—O和C—O—C的伸缩振动[11]，881 cm-1附近是纤维素中C—H振动吸收峰[10]，781 cm-1附近为C—O对称弯曲振动吸收[12]。叶片光谱的上述特征，表明叶片中的主要物质成分为蛋白质、多糖和脂类物质。

在疫病叶片（病斑处和病斑附近）的光谱中，反映酯羰基CO伸缩振动的吸收峰峰位与正常植株相同，但强度有所增强；在酰胺带吸收区，反映蛋白质酰胺Ⅰ带CO 伸缩振动吸收峰的相对强度明显超过正常植株，成为最强峰，反映酰胺Ⅲ带吸收的1 261 cm-1处峰的相对强度也明显增加，新增了反映酰胺Ⅱ带吸收的1 546 cm-1弱峰，说明疫病植株叶片中含有蛋白质类物质。在1 500～1 200 cm-1 区域，比正常植株叶片光谱增加了1 389 cm-1处吸收峰，同时1 445 cm-1附近峰由最强峰变为弱峰，这可能与疫病植株叶片光谱中增加的蛋白质类物质有关。在1 200～1 000 cm-1 区域，只显示了1 071 cm-1 处峰，且相对强度显著强于正常植株在该处的光谱，说明多糖类物质的组成或结构有变化。在1 000～700 cm-1 区域，只出現了781 cm-1附近峰，其相对强度比正常植株叶片光谱在该处的稍强。光谱特征表明，疫病植株叶片中的主要成分仍为蛋白质、多糖和脂类物质。光谱差异表明，疫病植株叶片中3类营养物质的含量比正常植株中的高，说明辣椒疫病影响了辣椒叶片中营养物质的含量，同时还影响蛋白质和多糖的组成和结构。

2.2正常植株与疫病植株茎的红外光谱图的比较分析

为正常植株与疫病植株茎的红外光谱图，其中a是正常植株茎的光谱，b和c分别是疫病植株茎部无病斑处和病斑处的光谱，谱图都以1 384 cm-1附近的吸收峰为参考进行了归一化处理。

，正常植株茎的光谱和疫病植株茎部无病斑处和病斑处的光谱整体非常相似。1 735 cm-1附近的吸收是纤维素中羰基CO的伸缩振动峰，1 645～1 626 cm-1宽峰为酰胺Ⅰ带和木质素中羰基CO伸缩振动吸收峰，1 250 cm-1 附近的吸收是木质素酚醚键C—O—C骨架振动峰[12]，且1 645～1 626 cm-1处吸收峰强度高于1 250 cm-1处强度，说明样品中含有蛋白质和木质素。1 384 cm-1附近吸收是纤维素中甲基的C—H对角振动，1 158 cm-1的吸收峰和1 106～1 060 cm-1附近的宽峰，主要是纤维素中多糖C—O和C—O—C的伸缩振动[13]，说明样品中含有纤维素。茎部光谱的上述特征，表明茎中的主要物质成分是纤维素、蛋白质和木质素。

为红外光谱图a、b和c中3类物质特征峰的相对强度（以1 384 cm-1附近的吸收峰为参考）。由表1可知，b、c中3类物质特征谱峰的相对强度比a中相应谱峰的相对强度强，表明疫病植株茎中蛋白质、纤维素和木质素等3类营养物质比正常植株茎中的稍高，说明辣椒疫病影响了辣椒茎中营养物质的含量。

正常植株和疫病植株茎中3类主要物质吸收峰的相对强度

谱线相对强度1 732

cm-11 645

cm-11 250

cm-11 158

cm-11 106

cm-11 060

cm-1a0.1580.490.1670.4140.341b0.2720.5490.2530.3260.4530.485c0.2980.6750.2980.3970.5760.603

2.3正常植株与疫病植株主根的红外光谱图的比较分析

正常植株和疫病植株主根的红外光谱图，其中a是正常植株的主根光谱，b是疫病植株的主根光谱，谱图都以1 630 cm-1附近的吸收峰为参考进行了归一化处理。

在正常植株的主根光谱中，1 740 cm-1附近是纤维素中羰基CO伸缩振动，1 642～1 628 cm-1的吸收峰主要是蛋白质酰胺Ⅰ带CO伸缩振动吸收，1 383 cm-1附近是纤维素中甲基C—H对称变角振动，1 252 cm-1附近弱峰为木质素酚醚键C—O—C骨架振动[12]。在1 149、1 106、1 058、1 031 cm-1 附近显示的4个阶梯增强的吸收峰，主要是纤维素中 C—O—C伸缩振动。在919、829、781 cm-1附近显示的多个弱吸收峰主要是纤维素、木质素中糖环振动产生的[14]。光谱特征表明，正常植株主根中的主要物质成分为蛋白质、纤维素和木质素。且由于表征纤维素中羰基吸收的吸收峰低于表征木质素吸收的吸收峰，说明纤维素的相对含量比木质素的低。

在疫病植株主根光谱中，反映纤维素和木质素C—O—C伸缩振动的吸收峰峰位与正常植株相同，正常植株在 1 738 cm-1 附近显示有弱吸收，而疫病植株在此位置未显示吸收峰，各阶梯增强峰的相对吸收强度明显低于正常植株，1 252 cm-1 处峰的相对强度比正常植株稍弱，说明纤维素相对含量比正常植株有所下降。在酰胺带的吸收区域显示了吸收峰1 649 cm-1和1 543 cm-1，其中1 649 cm-1附近吸收峰的相对强度与正常植株相同，而表征酰胺Ⅱ带吸收的 1 543 cm-1 处中等强度峰在正常主根光谱中未出现，说明疫病植株主根的蛋白质组分与正常植株相比发生了变化。在 1 000～700 cm-1 区域只显示了781 cm-1附近的吸收峰，且相对强度几乎为正常植株主根中的50%，减少了正常植株主根光谱中体现纤维素中C—H振动的吸收峰919 cm-1和体现木质素中C—H平面弯曲振动的829 cm-1[15]。光谱特征表明，疫病植株主根光谱中的主要成分仍为蛋白质、纤维素和木质素。2种主根光谱的差异表明，疫病植株中纤维素和木质素的相对含量明显比正常植株的低，疫病植株中出现了新的蛋白质类物质。

上述对主根光谱的分析，反映了辣椒主根受到疫病病菌侵蚀后，物质成分的变化情况，病菌降解了主根内的纤维素和木质素，染菌主根中出现了新的蛋白质类物质。

2.4正常植株与疫病植株须根的红外光谱图的比较分析

为正常植株和疫病植株须根的红外光谱图，其中a是正常植株的须根光谱，b是疫病植株的须根光谱，谱图都以1 034 cm-1附近的吸收峰为参考进行了归一化处理。

正常植株与疫病植株的须根光谱显示，须根主要成分是蛋白质、纤维素和木质素。它们的光谱差异主要体现在：（1）在2 927、1 735、1 650～1 628、1 383、1 322、1 258 cm-1附近的吸收峰，疫病植株的相對吸收强度都比正常植株的弱，特别在1 383 cm-1附近，吸收峰相对强度由正常植株的1.0下降至0.374；在1 585～1 482 cm-1区域内，疫病植株的吸收都比正常植株的强；疫病植株在1 428 cm-1附近显示有吸收，但正常植株在此位置未显示吸收。（2）在1 200～1 000 cm-1区域，正常植株的须根光谱显示的谱峰有1 149、1 101、1 037、916、826、780 cm-1，而疫病植株须根光谱显示的谱峰为 1 156、1 034、781 cm-1，其中1 034 cm-1为光谱最强峰。上述光谱差异表明，正常植株须根中纤维素和木质素的相对含量比疫病植株须根中的高，同时疫病植株须根光谱中出现了新蛋白质组分。

另外，在光谱的低波段出现了多个吸收峰，正常植株须根的光谱有669、617、528、470 cm-1，疫病植株须根的光谱有662、528、470 cm-1，这些都是无机化合物的吸收峰。这些吸收峰结合光谱中出现的1 034、917、781 cm-1等吸收峰，构成了高岭土的特征吸收[7，15]，说明样品中含有高岭土，这可能是须根表面附带的少量泥土引起的。

2.5正常植株与疫病植株4个部位红外光谱的相关分析

以上对辣椒正常植株和疫病植株4个不同部位红外光谱的对比分析，反应了疫病对成株期辣椒不同部位的影响，为了更直观地反映这种影响，利用统计分析软件SPSS 18.0对相同部位的辣椒光谱进行相关分析。对同一部位光谱的4 000～2 800 cm-1、1 800～1 200 cm-1、1 200～700 cm-1 3个范围进行相关性分析，2种植株同一部位光谱的相关系数见表2。

由表2 可知，2种植株4个部位的光谱在4 000～2 800 cm-1 范围内高度相关，相关系数都在0.984以上；在 1 200～700 cm-1 范围的相关性比4 000～2 800 cm-1有所下降，特别是叶片光谱相关系数降至0.839；在1 800～1 200 cm-1 范围内相关性较差，叶片、茎、主根和须根的相关系数依次为0.621、0.409、0.910、0.790，说明2种植株光谱的相关性不高，样品的相似程度差，表明疫病对辣椒叶片、茎、主根和须根均有影响，尤其对叶片和茎的影响较大。

正常植株和疫病植株相同部分间的相关系数

3结论

对成株期正常辣椒和疫病辣椒植株叶片、茎、主根和须根的光谱测试和分析，测试结果反映了疫病对辣椒不同部位的影响。病害植株因受病菌的侵染，改变了叶片、茎和根的物质成分和相对含量，不能较好地将营养物质输送到植株的其他部位，影响了辣椒植株的正常生长和辣椒的产量。研究结果表明，傅里叶变换红外光谱可以判断正常辣椒和疫病辣椒植株同一部位所含的化学信息差异，从分子水平上揭示疫病对辣椒植株不同部位的影响，有望为辣椒疫病的研究提供参考，具有方便、易行的优点。

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[12]李倫，周湘萍，刘刚，等. 常绿树叶自然衰老的红外光谱研究[J]. 光谱学与光谱分析，2013，33（2）：340-343.

[13]Gorgulu S T，Dogan M，Severcan F. The characterization and differentiation of higher plants by fourier transform infrared spectroscopy[J]. Applied Spectroscopy，2007，61（3）：300-308.

[14]左承基，钱叶剑，何建辉，等. 木质生物质直接液化产物的红外光谱分析[J]. 可再生能源，2006（1）：10-12，16.

离散数列的傅里叶变换 篇4

一维连续函数f (x) 的傅里叶变换为[1]:

式 (1) 的逆变换为:

公式 (1) 与 (2) 中的j1。傅里叶变换存在的条件是:

傅里叶变换 (1) 将以x为变量的函数f (x) 变换为以u为变量的函数F (u) 。新变量u与新函数F (u) 的物理意义可以由傅里叶逆变换 (2) 看出。式 (2) 表示, 函数f (x) 可以展开为周期函数ej 2ux的线性组合, 组合系数为F (u) , 它由傅里叶变换公式 (1) 决定。u是x的单位间隔内周期函数ej 2ux变化的周期数, 也是cos (2ux) 与sin (2ux) 变化的周期数, 叫做频率。如果x是时间, 则u是单位时间内正弦函数sin (2ux) 变化的周期数。这正是我们熟悉的频率。F (u) 一般为复数F (u) R (u) j I (u) , 它的绝对值。

表示在f (x) 的展开式中频率为u的周期函数ej 2ux的强度, 叫做f (x) 的傅里叶频谱。

2离散数列的傅里叶变换

来实现, 其中 (xnx) 是函数[2], 它有如下性质:

显然, 离散数列傅里叶变换总是存在的。

参考文献

[1]余婉雁.傅里叶变换在通信中的应用[J].现代电子技术, 2004, 27 (1) :71-72.

[2]闵琦.函数的定义及其性质[J].大学物理, 2004, 23 (9) :18-20.

二维傅里叶变换 篇5

光学分数傅里叶逆变换的单透镜模式

用波前相因子判断法 ,将球面波照明物体的自由空间菲涅耳衍射光场分布,与分数傅里叶逆变换的标准频谱分布进行位相比较,提供了球面波照明条件下光学分数傅里叶逆变换的.单透镜模式,给出了其光学实现基本单元参量选择的判定法则.计算机模拟了实验证明了结论的可靠与可行.

作 者：杨虎 杨培林 作者单位：山西师范大学物理系,山西,临汾,041004刊 名：光电子・激光 ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF OPTOELECTRONICS・LASER年，卷(期)：13(6)分类号：O438.2关键词：分数级 傅里叶 光学变换

二维傅里叶变换 篇6

为了有效的记录和再现物体的数字全息图，搭建了以液晶光阀（LCD）为透镜的傅里叶数字全息装置。根据全息理论，分析了傅里叶数字全息的记录、再现及实验原理，并进行了相应的数字图像处理，结果表明，傅里叶变换数字全息再现算法简单，缩短了再现周期，可实现准实时化。并成功应用傅里叶变换全息来对字母和数字进行实时相干识别。

关键词：

全息； 傅里叶变换； 存储； 再现

中图分类号： TN 26文献标识码： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2013.05.008

引言

傅里叶变换数字全息在全息存储、信息隐藏等方面具有独特优势，因为傅里叶全息记录的是物光波的频谱，而大多数的低频物体，其频谱非常集中，对于记录高质量数字全息图具有十分重要的意义^[1]。近年来随着高性能计算机技术，液晶光阀（liquid crystal display，LCD）及高分辨电荷耦合器件（charge coupled device，CCD）的发展为全息图的记录介质提供了新的替代产品。利用CCD把记录到的全息图输入到计算机进行后期的数字处理和再现，实现了物光场的实时再现，在此条件下其拍摄速度更快，质量更高，在满足相同的记录和再现条件下，傅里叶变换数字全息能够记录更大物体的全息图^[2]。此外傅里叶变换数字全息比菲涅耳数字全息，其数值再现场的算法更加简单，大大缩短了再现时间，能够实现傅里叶变换数字全息的准实时化。

1傅里叶变换数字全息图的记录

在傅里叶变换数字全息术中，全息图不再记录在全息干板上而是直接记录在CCD上，通过CCD将数字传送到计算机内，再现过程由计算机直接完成，全息图再现不需要显影、定影等后期化学湿处理过程，数字全息的记录和再现模型如图1所示。

其中第一项是δ函数，第二项是物分布的自相关函数，第三项是原始像的复振幅，第四项是共轭像的复振幅，原始像和共轭像关于中心点对称^[34]。

由此可知，傅里叶变换数字全息再现像只需要进行一次逆傅里叶变换，就可以得到原始像与共轭像，再现算法相对于菲涅耳数字全息更简单，在很大程度上缩短了再现周期，可实现准实时化。

2实时傅里叶变换数字全息实验过程

傅里叶变换全息图是一种特殊的全息图它记录的不是物光波，而是记录物光波的空间频谱，即物光波的傅里叶变换。利用透镜的傅里叶变换性质，将物体置于透镜的前焦面，在后焦面得到物光波的傅里叶频谱，再引入一束参考光与物频谱相干涉，用得到的干涉条纹记录物体的振幅和相位分布，在干涉图样中就记录了物光波傅里叶变换光场的全部信息^[5]。

由于CCD的分辨率和全息干板相比较低，如果物光和参考光角度较大，形成干涉图样空间频率过高，就会超出CCD的记录能力，因此本实验采用了同轴的的实验记录光路，如图2所示。

HeNe激光器出来的光通过分束镜BS分为两束：一束为参考光，参考光经扩束镜扩束后再通过准直透镜形成平行光；另外一束为物光，由扩束镜扩束后经透镜准直，再经过一个傅里叶透镜照到LCD上，经过LCD发生衍射；这两束光再经由一个分束棱镜合成一束光后在CCD上接收干涉图像。由于光透过LCD会发生衍射，为减小高频损失，将物放在傅里叶透镜后面。另外由于物的空间频谱中，低频的成分一般大于高频成分，为减小高频损失，可减小参考光的强度。本实验以一个大写的字母“F”为拍摄图像，图3是待记录的物光图像，图4是记录下来的傅叶全息图，从图中可以看到傅里叶全息谱面上的图像特征。

在实验中，物体数据通过计算机输入LCD作为物体的投射像，连接计算机可以实现被拍摄物体的实时变换。

2.1再现实验

再现光路示意图如图5所示，平行光入射空间光调制器，空间光调制器上显示由上一步实验记录下来的干涉图样（傅里叶全息谱图像），经空间光调制器反射到傅里叶变换透镜，再由其进行一次光学傅里叶变换，在接收屏上就可以再现出原来记录的物光图像。

实验中，先后采用了LCD和DMD作为再现用的空间光调制器。LCD像素数为1 024×768，像素尺寸为25 μm，DMD像素数为1 024×768，像素尺寸为11 μm。实验中发现，LCD由于像素尺寸过大，达不到原干涉条纹的大小，无法良好地实现傅里叶全息再现，因此最终选择了使用DMD作为空间光调制器进行再现实验。由于再现出的图像非常小，使用照相镜头进行了放大。图6是再现实验的结果，可以看到基本上清晰地再现出了原物光。实验结果表明，使用高分辨率的CCD来记录傅里叶变换全息图，使用DMD来再现傅里叶变换全息图是可行的。实验成功地实现了傅里叶全息图实时记录、数字存储和实时再现。

2.2傅里叶相干识别实验

在掌握了实时傅里叶变换全息的基本方法和技术后，进一步地进行了该方法的应用研究，利用联合傅里叶变换全息记录来进行字母和数字的目标识别。联合傅里叶变换的记录光路和图2是相同的，在被测物与参照物相同、相近或完全不同的字母或数字的情况下，记录下它们的傅里叶变换全息图。如果被测物的图像与参照物相同，功率谱上将出现明显的干涉条纹，相关输出出现一对分离的一级亮斑和中心的零级亮斑；而不同字符的功率谱没有干涉条纹，其相关输出也没有分离的一级相关峰，因此能够很容易判断出来显示的图像与参照物是否相同，从而达到相干识别的目的。实验中选择了两组图像做对比，一组是一对相同的图像见图7（a），另一组是一对有明显差异的图像见图7（b）。

3结论

利用液晶光阀（LCLV）代替透镜的傅里叶变换功能，CCD代替传统全息干板作为记录介质的实时傅里叶变换全息图不仅摆脱了传统全息图的后期化学湿处理的束缚，有效地实现了实时记录和再现，而且这种实时傅里叶变换全息图在实时相干识别、物体表面的形变测量、粒子与流场分布测定等方面有着广泛的应用前景。

参考文献：

[1]孙光颖.现代全息术的回顾和展望[J].物理与工程，2002，12（4）：34-42.

[2]鲁剑锋.采用双DSP的实时傅里叶变换系统设计[J].光电工程，2005，32（11）：93-96.

[3]陈绵书，陈贺新.基于傅里叶变换特征遗传算法的人脸识别[J].计算机工程与应用，2007，28（10）：10-12.

[4]覃芳.计算全息图的基本理论与制作[J].光学仪器，2012，34（2）：16-21.

[5]郭春华，于佳，王金城，等.全视察合成全息图的激光直写拍摄[J].光子学报，2010，39（3）：518-521.

二维傅里叶变换 篇7

1 SURF算法

SURF算法利用两幅图像间共同的特征从而实现图像的匹配,通常包括特征提取、特征关联、参数优化求解以及图像重采样等环节。

1.1 SURF角点提取算法提取特征

SURF算法利用海森矩阵的行列式来确定特征点的位置,Lxx(x,y,σ)、Lxy(x,y,σ)、Lyy(x,y,σ)分别是输入图像卷积高斯函数的二阶导数形成的[5]。海森矩阵的表达式如下

为简化计算海森矩阵的行列式,用式(2)计算[6]

利用式(2)求出每个点的海森矩阵行列式后,在某点3×3×3的立体区域进行非极大值抑制。通过比较本尺度某点周围8个点以及上下尺度9个点共26个邻域值,取最大或最小的作为特征点[7]。

1.2 特征关联

计算在以每一个特征点为中心,半径为6(为该特征点对应的尺度)的圆形区域内点的哈尔小波响应,并给这些响应值分配高斯权值,以特征点为中心,滑动角度范围为π/3的扇形窗口,将角度范围为π/3的扇形区域里经过加权的响应值全部相加得到一个合成矢量。选取模值最大的矢量方向为该特征点的主方向。

以每一个特征点为中心,以其主方向为一个坐标轴,选取边长为20σ(σ为特征点的尺度)的正方形区域,将该区域分成4×4的子区域,计算每个子区域内的水平方向哈尔小波响应dx和垂直方向哈尔小波响应dy,并给每个响应值赋高斯权值,然后将每个子区域的响应值相加得到∑dx和∑dy。将每个子区域的响应值的绝对值相加得到∑|dx|和∑|dy|。每个子区域可以用一个四维向量表示v=(∑dx,∑|dx|,∑dy,∑|dy|),因此,对于每一个特征点,形成维特征向量,对向量进行归一化处理。

计算待匹配图像中特征点的特征向量与参考图像中特征点的特征向量的距离,利用最近距离比次近距离的方法进行特征关联[7]。

1.3 参数优化求解

利用关联好的特征点对的坐标,使用最小二乘法求出变换模型的参数。

1.4 图像重采样

利用双线性插值算法进行插值,最终得到匹配图像。

2 基于傅里叶梅林变换的SURF算法

2.1 算法原理

基于傅里叶梅林变换的SURF算法,先利用傅里叶梅林变换[8]的相关知识求得待匹配图像和参考图像间的旋转角度,然后利用求出的旋转角度矫正待匹配图像,得到初步匹配图像,进而利用SURF算法匹配得到的初步匹配图像和参考图像,从而得到最终的匹配图像。

2.2 傅里叶梅林变换

假定待匹配图像为f2(x,y),参考图像为f1(x,y),f1(x,y)与f2(x,y)之间的关系如式(3)所示。

式(3)中,a为尺度变换因子,θ0为待匹配图像和参考图像间的旋转角度,Δx和Δy为f(x,y)与f2(x,y)间的水平平移量和垂直平移量。

令λ=lgρ,b=lga,并定义rp1(θ,λ)=rp(θ,ρ),sp1(θ,λ)=sp(θ,ρ),则有

对式(6)运用傅里叶变换,并利用交叉能量谱公式即可求出θ0。

2.3 SURF算法再匹配

求出待匹配图像和参考图像间的旋转角度之后,利用求出的角度矫正待匹配图像,得到初步匹配图像,然后使用SURF算法对得到的初步匹配图像和参考图像进行匹配,从而得到最终的匹配图像。

3 实验结果及分析

为验证本文提出的算法的有效性,分别使用SIFT(Scale Invariant Feature Transform)算法、SURF算法以及本文提出的基于傅里叶梅林变换的SURF算法对待匹配图像和参考图像在不同旋转角度差下进行了实验。本文使用相关系数来衡量匹配方法的匹配精度。

假设图像A和图像B的尺寸为m×n,则图像A和图像B的相关系数CAB定义如下

图1为用于实验的待匹配图像和参考图像。

将SIFT算法、SURF算法以及本文提出的基于傅里叶梅林变换的SURF算法的匹配结果列于表1和表2中,表1为3种匹配方法处理待匹配图像和参考图像在不同旋转角度差下的匹配精度表,表2为3种匹配方法的匹配时间表。

/s

图2是待匹配图像和参考图像间旋转角度为50时,3种匹配算法的匹配结果图。

从表1中可看出,本文提出的算法可以有效解决图像间存在较大旋转角度的匹配,且匹配精度基本在0.96以上。SIFT算法和SURF算法在处理图像间旋转角度>20°的匹配时,匹配精度都<0.9,且随着角度的增大,匹配精度呈下降趋势。

从表2中可看出,本文提出的算法匹配时间基本和SURF算法相当,且远低于SIFT算法的匹配时间。

4 结束语

当前基于特征的图像匹配算法中较为常用的SIFT算法和SURF算法,在处理旋转角度较大的两幅图像间的匹配时,匹配效果不是很好,通常需要后续的去误匹配算法来矫正匹配效果,但有些去误匹配算法矫正效果并不理想,且增加了去误匹配算法会延长整个算法的匹配时间。

因此,本文提出了一种无须增加误匹配算法也可处理图像间存在较大旋转匹配的算法———基于傅里叶梅林变换的SURF算法。该算法利用傅里叶梅林变换先求出两幅图像间发生的旋转角度,从而首先矫正两幅图像间发生的旋转,然后利用SURF算法匹配初步得到的匹配图像和参考图像,最终完成两幅图像间的匹配。实验结果证明,本文提出的基于傅里叶梅林变换的SURF算法,不仅可处理图像间旋转角度较小的匹配,还能有效处理图像间旋转角度较大的匹配,且比起已有的SIFT和SURF算法,具有更好的匹配效果。

摘要：针对加速鲁棒性特征算法,在没有后续去误匹配等处理的情况下,对存在较大旋转角度的两幅待匹配图像,匹配精度较低的问题,提出了一种基于傅里叶梅林变换的SURF算法。该算法通过对待匹配图像和参考图像实施傅里叶变换和梅林变换,利用能量谱求出两幅图像发生的旋转角度,并利用SURF算法找出图像间发生的平移和尺度变化,实现了图像间的匹配。实验结果表明,该算法可有效地实现图像间存在较大旋转角度时的几何匹配,且相比已有的SIFT和SURF算法,具有更好的匹配效果。

关键词：图像处理,图像匹配,傅里叶梅林变换

参考文献

[1]王红梅,张科,李言俊.图像匹配研究进展[J].计算机工程应用,2004,40(19):42-44.

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[3]朱广新.基于特征点匹配的图像拼接及医学应用[D].南京:南京理工大学,2007.

[4]郑悦,程红,孙文邦,等.遥感影像匹配技术研究[J].电子设计工程,2011,19(20):97-100.

[5]时磊,谢晓方,乔勇军.基于SURF算法的人脸跟踪技术研究[J].计算机仿真,2010,27(12):227-231.

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[7]Bay H,Ess A,Tuytelaars T.SURF:speeded up robust features[C].Graz:The 9th European Conference on Computer Vision,2006.

二维傅里叶变换 篇8

心脏病一直是威胁人类生命健康的主要疾病之一, 如何有效地检测与评价心脏的功能状况, 对心脏病进行准确的预报和诊断是目前治疗心脏病的一个重要研究课题。采用心电图对心脏活动进行检测分析一直是医学临床实践中心脏功能检测和诊断的重要手法和手段。

目前, 心电信号的处理方法是:首先对心电信号滤波, 去噪, 然后采用一定准则确定域值, 检测出所需信号信息。这种处理方法不仅操作繁琐, 而且运算速度慢效率低不利于临床诊断。本设计采用MATLAB指令对心电信号进行分析处理, 切割出心电信号的各个子波 (QRS波、T波) , 对其进行时域波形的观察和频域的谱分析。方便、快捷, 能够更快速、准确地确定病情, 利于医疗诊断。

MIT-BIH是由美国麻省理工学院提供的研究心律失常的数据库。目前国际上公认的标准心电数据库之一。采用212格式存储心电数据[1,2,3]。

一、傅里叶变换

傅里叶变换建立了信号频谱的概念。所谓傅里叶分析即分析信号的频谱 (频率构成) 、频带宽度等。对心电信号的分析也不例外, 也必须采用傅里叶变换这一工具[4]。

对于连续时间信号f (t) , 其傅里叶变换为:

连续时间傅里叶变换特别适合于对时间连续信号的理论分析 (如信号与系统课程中的内容) , 但是, 由于其变换两边的函数f (t) 和都是连续函数, 不适合于计算机处理。工程应用中经常需要对抽样数据进行傅里叶分析, 这种情况下往往无法得到信号的解析表达式, 因而必须采用傅里叶变换的数值计算方法。下面介绍傅里叶变换的数值方法。

如果f (t) 的主要取值区间为[t1, t2], 定义T=t2-t1为区间长度。在该区间内抽样N个点, 抽样间隔为则有:

上式可以计算出任意频点的傅里叶变换值, 假设F (ω) 的主要取值区间位于[ω1, ω2], 要计算其间均匀抽样的k个值, 则有:

二、心电信号频谱分析

通过对信号的时域分析, 可以掌握信号幅值对应的时间, 同一形状的波形重复出现的周期长短, 信号波形本身变化的速率 (如脉冲信号的脉冲持续时间及脉冲上升和下降边沿陡直的程度) 。

对信号的频域分析也称为频谱分析, 是对信号在频率域内进行分析。分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线, 可得到各种幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等[6]。

时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系;频域分析是把信号变为以频率轴为坐标表示出来。一般来说, 时域的表示较为形象与直观, 频域分析则更为简练, 剖析问题更为深刻和方便。通过观察心电信号的时域与频域波形图就能直观的看出该心电信号产生者的一些身体状况, 也可以观测出患者各种心律失常、心室心房肥大、心肌梗死、心率异常、心肌缺血、电解质紊乱、心衰等症[7]。

三、实验结果

标准正常的心电图波形是由P、Q、R、S、T、U波及P-R期间、S-T期间、Q-T期间等组成。如图1所示。

本文以美国麻省理工学院提供的MIT-BIH数据库中的800心电信号为例进行分析。对MIT-BIH心电数据库中的800号信号进行切割并进行傅里叶变换, 可以得到QRS波与T波, 通过傅里叶变换可以得到QRS波与T波的频谱, 如图2所示。

通过截取出各个波段的波形, 可以直观的分析心电信号各部分负载的信息, 免去了一些不必要的麻烦。观察频谱图就可观察出变换的趋势, 通过对各部分波形的分析, 就能了解到心脏的部分信息, 从而做到掌握身体状况的目的。

四、结论

研究分析心电信号作为人身体状况的最直接体现, 具有很大的社会价值和医疗价值。本文利用的最简单易懂的方法分析出了心电信号这一繁琐杂乱的波形, 并作出分析处理, 为进一步的观测处理做好了铺垫。本文分析了MIT-BIH数据库中的一例心电数据, 但是其他数据都可以此方法类推, 分析不同心电信号的频谱, 频域时域的波形, 或做波形的提取等工作。该方法可以作为心电信号处理方面的基础, 为更深一步的研究提供广阔的空间。

参考文献

[1]王俊, 马千里.基于多尺度熵的心电图ST段研究[J].南京邮电大学学报, 2008, 28 (3) :70-76.

[2]李敏, 陈兴文.信号分析与处理的软硬件实现[M].大连:大连海事大学出版, 2009.

周期性序列的傅里叶变换求解法 篇9

关键词：周期性序列,傅里叶变换,离散时间傅里叶变换,离散傅里叶级数

1、引言

一个序列的傅里叶变换的一致收敛要求该序列是绝对可加的，均方收敛要求该序列是平方可加的。如周期序列均不满足这两个条件，因为当n→±∞时序列不趋近于零。因而它的傅里叶变换既不是一致收敛的，也不是均方收敛的。然而，对于某些既不是绝对可加的，又不是平方可加的序列，有一个傅里叶变换的表示是很有用的。当引入冲激函数后，绝对可加条件就成为不必要的限制，在这种意义上就可以有它的傅里叶变换存在，这样就能很好地描述周期序列的频谱特性。对于周期性序列的傅里叶变换的求解，目前大多数教材中都是采用直接给出变换的结果，再代入反变换的公式中求证的方法[1,2]。从教学实践的效果看，这种方法比较抽象，使学生难以理解。本文对周期性序列的傅里叶变换的求解方法进行了分析和讨论。根据离散时间傅里叶变换（DTFT）和傅里叶变换（FT）的关系以及利用周期序列的离散傅里叶级数（DFS）的求解方法不仅可以使求解过程简化，便于学生理解和掌握。

2、周期性序列的傅里叶变换求解方法

2.1 定义求解

多数教材中都是根据DTFT的定义给出序列的傅里叶变换的结果。下面以常数的傅里叶变换的求解为例说明.设x (n) =1, -∞<n<∞，可以把它表示成周期N=1的抽样序列串

这个序列既不是绝对可加的，又不是平方可加的，一般情况下，它的傅里叶变换既不是一致收敛，也不均方收敛。然而，把这个序列的傅里叶变

换定义成周期冲激串是可能的，并且是有用的，如下式所示[1]：

这时，这些冲激就是一个连续变量的函数，因此具有"无限高，零宽度和单位面积"。用（1）式作为序列x (n) =1的傅里叶表示是由于对此X (ejω) 求傅里叶反变换，得到的序列正是x (n) =1。

这种直接给出变换的结果，再代入反变换的公式中求证的方法比较抽象，难以理解。利用已学的知识来引入和理解新的知识是我们学习中常用的一种方法。由于傅里叶变换学生已经学习过，比较熟悉。由此想到可以根据傅里叶变换（FT）和DTFT的关系来求解。

2.2 根据DTFT和FT的关系求解

根据抽样序列x (n) 的z变换X (z) 与连续信号xa (t) 的傅里叶变换Xa (jΩ）的关系，

DTFT和傅里叶变换（FT）的关系可用下式描述[2]：

归一化（T=1）可表示为：

利用（3）式可以非常方便的计算序列的DTFT。仍以常数的傅里叶变换的求解为例说明。x (n) =1, -∞<n<∞，对应的连续信号xa (t) =1，-∞<t<∞, 则，代入（3）式可得

利用学生熟悉的FT和DTFT与FT的关系求解过程简单，学生容易接受。并且由此能够更好地理解DTFT的概念，以及几种变换之间的关系，使学过的知识融会贯通，提高学生解决问题的能力。当然此种方法也适用于一般的序列的DTFT的求解。

2.3 利用周期序列的离散傅里叶级数（DFS）求解

与研究连续周期信号的傅里叶变换和傅里叶级数之间的联系相同，把离散周期信号的离散傅里叶级数表示归并入傅里叶变换内的框架，可以使我们对它的理解更加深入、全面。如将周期信号的傅里叶变换看作时频域的脉冲幅值正比于序列的DFS系数的一个脉冲串，就可以实现这一点[1]。如果是周期的，周期是N，并且对应的离散傅里叶级数的系数为，则

的傅里叶变换定义为脉冲串

仍以常数的傅里叶变换的求解为例说明。设x (n) =1, -∞<n<∞,

由DFS的定义可求得

代入（4）式，可得x (n) =1的傅里叶变换为

3、结论

周期性序列既不是绝对可加的，又不是平方可加的序列，它傅里叶变换在通常意义下是不收敛的，但是引入了脉冲函数后，我们可以将周期性序列纳入傅里叶变换的分析框架内。其中第1种和第2种求解方法也适用于一般的既不是绝对可加的，又不是平方可加的序列。利用本文给出的第2种方法和第3种方法求解周期性序列的傅里叶变换，不仅可以使求解过程简化，并且由此能够使学生更好地理解DTFT的概念，以（下转第86页）及几种变换之间的关系，而且能使学生将已有的知识融会贯通和综合利用，提高学生解决问题的能力。

参考文献

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二维傅里叶变换 篇10

1 傅里叶变换的性质

1.1 傅里叶变换的基本性质

傅里叶变换的基本性质较多,有线性、对称性、尺度变换、时移、频移、时域微分、频域微分、时域积分、时域卷积、频域卷积、帕塞瓦尔定理等。[1]

1.2 掌握傅里叶变换性质的意义

掌握傅里叶变换的一些主要性质是非常必要的,一则可以更深刻地理解傅里叶变换与逆变换的意义,二则可使求解傅里叶变换或逆变换的计算得到简化。[2]

2 利用傅里叶变换的性质求解信号的频谱例题

例题1

如图1所示波形,试求f(t)的频谱F(ω),并求F(0)。

分析与解答:

(1) 题目未限定用何种方法求解信号的频谱,但同时要求F(0) 。,简称为净面积。此内容在傅里叶变换的时域积分性质中讲到,所以优先考虑用傅里叶变换的时域积分性质求解。

(2)将信号f (t) 求微分,得

∵的净面积为0,

∴由傅里叶变换的时域积分性质知:f(t)的频谱。

f(t) 的净面积F(0)= 1 × 1 + 1 × 2 = 3

说明:(1)此题求频谱亦可用傅里叶变换的线性性质,将f(t) 信号看做两个门函数的叠加。

(2) 在利用时域积分性质时需注意:性质内容中的F(0) 是指被积分信号的净面积,本题用时域积分性质求解时,应是图2信号的净面积(为0);而题目中的另一问求F(0) 是指求信号f (t) 的净面积(并不为0)。

例题2

求图3所示信号的频谱F(ω)。

分析与解答:

此题为三角脉冲信号,可用两种方法求解:傅里叶变换的时域积分性质和傅里叶变换的时域卷积定理。

(1) 用时域积分性质求解:

将f (t) 信号求两次微分,如图4所示,写出的表达式:

∵时域积分的净面积均为0,应用两次性质∴。

(2) 用时域卷积定理求解:

三角脉冲可看做两个矩形波相卷积得,即,由时域卷积定理可知,。

(3) 可验证,用两种方法求出来的结果形式虽然不同,但结果是等价的。

说明:

1)用时域积分性质通常需要将信号求导,到底求几次导?

通常求导到出现冲激信号为止,如例题1中只需求1次导。

2)用两个相同矩形波的卷积表示三角脉冲时,要注意正确地确定矩形波的宽度和高度。

3 结论

二维傅里叶变换 篇11

传统的傅里叶变换(FFT)对平稳信号的处理效果很好,但当信号频率随时间变化时,FFT就显得有些力不从心了。分数阶傅里叶变换(Fractional Fourier Transform,FRFT)可以很好地弥补FFT的不足,特别是处理线性调频信号(LFM)时,能够得到令人满意的结果。

FRFT也称为角度傅里叶变换(AFT) 或者旋转傅里叶变换(RFT),其定义式为:

$X{}_p(u)=R{}^{\alpha }[x(t)]={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }{\rm K}}{}_p(t,u)x(t)\text{d}t(1)$

式中变换核取作:

${\rm K}{}_p(t,u)=\{\begin{array}{l}\sqrt{\frac{1-\text{j}\text{c}\text{o}\text{t}\alpha }{2\text{π}}}\text{e}{}^{\text{j}(\frac{1}{2}u{}^2\cot \alpha -ut\text{c}\text{s}\text{c}\alpha +\frac{1}{2}t{}^2\cot \alpha )},\alpha \ne n\text{π}\\ \delta (t-u),\alpha =2n\text{π}\\ \delta (t+u),\alpha =(2n+1)\text{π}\end{array}$

则:

$\begin{array}{l}X{}_p(u)=\{F{}^{D}x\}(u)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }x}(t)k{}_p(t,u)\text{d}t\\ =\{\begin{array}{l}\sqrt{\frac{1-\text{j}\text{c}\text{o}\text{t}\alpha }{2\text{π}}}\text{e}{}^{\text{j}\frac{u{}^2}{2}\cot \alpha }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }x}(t)\text{e}{}^{\text{j}\frac{t{}^2}{2}\cos \alpha }\text{e}{}^{-\text{j}ut\text{c}\text{s}\text{c}\alpha }\text{d}t,\alpha \ne n\text{π}\\ x(t),\alpha =2n\text{π}\\ x(-t),\alpha =(2n+1)\text{π}\end{array}(2)\end{array}$

其中n为整数,即n∈Z。α=pπ/2称为分数阶Fourier变换的阶数,并有$R{}^{\alpha }=R{}^{p\frac{\pi }{2}}=F{}^p$。Kp(t,u)称为FRFT的核函数。Xp(u)称为x(t)的p阶Fourier变换。FRFT是一种线性算子,记为Fp,他满足以下性质:

(1) FRFT变换为线性算子;

(2) F0[x(t)]=F4[x(t)]=x(t)(恒等变换);

(3) F1[x(t)]=F5[x(t)]=X(ω)(标准Fourier变换);

(4) 广义Fourier变换算子为加性算子,即有Fp+q=FpFq。

2 采用分解方法计算FRFT的步骤

分数阶Fourier变换可以具体分解为以下三个主要的计算步骤:线性调频信号乘法;线性调频信号卷积;另一个线性调频信号乘法。假定p∈[-1,1],则我们可以将经过量纲归一化的信号f(x)的分数阶Fourier变换式(2)分解为以下三步运算:

$f{}_p(x)=\text{e}{}^{-\text{j}\text{π}x{}^2\tan (\alpha /2)}{g}^{\prime }(x)(3)$

和:

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }(x)=A{}_{\alpha }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\text{e}}{}^{\text{j}\text{π}\beta (x-x^{\prime }){}^2}g(x^{\prime })\text{d}{x}^{\prime }(4)\\ g(x)=\text{e}{}^{-\text{j}\text{π}x{}^2\tan (\alpha /2)}f(x)(5)\end{array}$

式中,α=pπ/2,β=csc α,而g(x)和g′(x)表示中间结果,并且:

$A{}_{\alpha }=\sqrt{\frac{1-\text{j}\text{c}\text{o}\text{t}\alpha }{2\text{π}}}(6)$

即是说,分数阶Fourier变换的数值计算的顺序如下:先计算式(式(5)),再计算式(4),最后计算式(3)。下面是每一步计算的有关细节。

第一步:将函数f(x)与线性调频函数相乘(式(5))。注意,g(x)的频率带宽与时间带宽乘积可以是f(x)的相应带宽乘积的两倍,所以要求g(x)的采样间隔为1/(2Δx)。如果f(x)样本值的采样间隔是1/Δx,那么就需要对这些样本值进行插值,然后再与线性调频函数的离散采样值相乘,以得到所希望的g(x)的采样。

第二步:将g(x)与一线性调频函数作卷积式(式(4))。注意,由于g(x)是带限信号,所以线性调频函数也可以用其带限形式代替而不会有任何影响。也就是说,我们可以取:

$\begin{array}{l}{g}^{\prime }(x)=A{}_{\alpha }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }\text{e}}{}^{\text{j}\text{π}\beta (x-x^{\prime }){}^2}g(x^{\prime })\text{d}{x}^{\prime }\\ =A{}_{\alpha }{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{\infty }h}(x-x^{\prime })g(x^{\prime })\text{d}{x}^{\prime }(7)\end{array}$

式中:

$h(x)={\displaystyle {\int }_{-\text{Δ}x}^{\text{Δ}x}{\rm H}}(\gamma )\text{e}{}^{\text{j}2\text{π}\gamma x}\text{d}\gamma (8)$

这里:

${\rm H}(\gamma )=\frac{1}{\sqrt{\beta }}\text{e}{}^{\text{j}\text{π}/4}\text{e}{}^{-\text{j}\text{π}\gamma {}^2/\beta }(9)$

是函数ejπβx2的Fourier变换。于是,式(7)的离散形式为:

$g^{\prime }(\frac{m}{2\Delta x})={\displaystyle \sum _{n=-{\rm N}}^{{\rm N}}h}\left(\frac{m-n}{2\text{Δ}x}\right)g\left(\frac{n}{2\text{Δ}x}\right)(10)$

这一离散卷积可以利用快速Fourier变换计算。

第三步:计算式(3)得到f(x)的分数阶Fourier变换fp(x)的采样值$f{}_p\left(\frac{m}{2\text{Δ}x}\right)$。由于假定f(x)的所有变换都是带限的,他们位于区间$\left[-\frac{1}{2}\text{Δ}x,\frac{1}{2}\text{Δ}x\right]$,所以需要用因子2对$f{}_p\left(\frac{m}{2\text{Δ}x}\right)$进行二抽一采样,以得到离散采样$f{}_p\left(\frac{m}{2\text{Δ}x}\right)$。因此,对于不是π/2整数倍的角度,分数阶Fourier变换的计算对应以下步骤:

(1) 原信号与一线性调频函数相乘;

(2) Fourier变换(其变元乘以尺度系数csc α);

(3) 再与一线性调频函数相乘;

(4) 乘以一复幅值因子。

3 对信号的FRFT处理及仿真图

首先要给出一个输入信号x,然后根据分解方法编出FRFT快速算法,根据不同的p值输入信号x会生成不同的曲线,其中p∈(0,4)。找出每个p值时FRFT的输出最大值点,组成一个一维数组m1,再从m1中找出一个最大值,该值所对应的p值就是FRFT变换的最佳角度α=pπ/2。

例1 假设输入信号为方波C=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ],长度N=73,在p=0～1之间进行FRFT变换,仿真结果如图1所示。

由图1(d)中可以看出当p=1时,α=π/2就是普通的傅里叶变换,这也验证了分数阶傅里叶变换的正确性。

例2 输入信号为多项式的线性调频信号fmpoly(N,p),x=exp(j*pi*(n-center)·^p/(N/2)^(p-1)/p),其中N为信号长度,p是信号的多项式幂,当p=2时该信号为chirp信号。取x=fmpoly(63,2)。

由图2可以看出,在图2(e)中p=1.5的时候,即α=3π/4时形成了一个冲击信号,说明了在此角度上信号的能量最好地集聚在一点上,由此可以识别出信号的调频系数,检测出信号的参数,这就是FRFT处理LFM信号的显著作用。

4 结 语

分数阶傅里叶变换是近二十年来发展起来的一种全新的信号时频分析工具,在很多方面得到了十分广泛的应用。而其快速算法的研究则对扩展其应用领域有着十分重要的意义。本文提出了一种有效并能准确计算FRFT 的新算法。该算法具有易实现、易理解、精度较高等优点,相信FRFT将会受到更广泛的重视,在信号处理领域会有良好的应用前景。

参考文献

[1]平先军,陶然,周思永,等.一种新的分数阶傅里叶变换快速算法[J].电子学报,2001,29(3):406-408.

[2]Lufs B Almeida.The Fractonal Fourier Transform andTime-Frequency Representations[J].IEEE Transactionson Signal Processing,1994,42(11).