二维DOA估计

二维DOA估计（精选7篇）

二维DOA估计 篇1

智能天线系统是利用共享同一信道的用户之间的空间差异来实现通信容量倍增的, 因此波达方向 (DOA) 估计技术作为获取用户空间位置的重要方法得到了广泛的研究, 取得了一系列高效的处理方法。其中, 经典的有基于子空间技术的多信号分类 (MUSIC) 算法、DOA估计的最优解方法及最大似然 (ML) 算法等。然而这些方法主要是基于一维DOA估计的, 而通信中的用户位于三维空间, 显然二维DOA比一维DOA (方位角) 能更有效地开发信道冗余, 含有更多的信息量, 因此更需要对有效的二维DOA估计算法, 即时空DOA矩阵方法进行研究[1]。

1一种有效的二维DOA估计算法——时空DOA矩阵方法

1.1 阵列信号模型

图1是二维虚拟阵列技术中的阵列结构。该阵列是由位于x轴上阵元间距为dx的M-1元均匀线阵和一个位于y轴上的导引阵元xM组成, xM与x轴的间距为[1]dy。

假设有D个己知波长为λ的窄带信号以DOA{ (α1, β1) , (α2, β2) , …, (αD, βD) }入射, 则各阵元上的观测信号为:

$\begin{array}{l}x{}_i(t)={\displaystyle \sum _{k=1}^{d}s}{}_k(t)\exp \left[-\text{j}\frac{2\text{π}}{\lambda }(i-1)\mathit{d}{}_x\cos \mathit{\alpha }{}_k\right]+n{}_i(t),\\ i=1,2,\cdots ,{\rm M}-1(1)\\ x{}_{{\rm M}}(t)={\displaystyle \sum _{k=1}^{d}s}{}_k(t)\exp \left[\text{j}\frac{2\text{π}}{\lambda }\mathit{d}{}_y\cos \mathit{\beta }{}_k\right]+n{}_{{\rm M}}(t)(2)\end{array}$

式中:sk (t) 为参考阵元x1上接收的信号;ni (t) 代表均值为零, 方差为σ2的加性高斯白噪声[2]。假设sk (t) 之间互不相关, 各阵元间的噪声ni (t) 与sk (t) 之间互不相关, 将式 (1) , 式 (2) 写为矩阵形式:

X (t) =AS (t) +N (t) (3)

A=[α1, α2, …, αD]T, αk=[α1k, α2k, …, αik, …, αMk]T (4)

$\alpha {}_{ik}=\exp \left[-\text{j}\frac{2\text{π}}{\lambda }(i-1)\mathit{d}{}_x\cos \mathit{\alpha }{}_k\right],i=1,2,\cdots ,{\rm M}(5)$

$\alpha {}_{{\rm M}k}=\exp \left[\text{j}\frac{2\text{π}}{\lambda }(i-1)\mathit{d}{}_y\cos \mathit{\beta }{}_k\right](6)$

注意这时αk的结构是Vandermonde矢量[3]。如果得到αk, 就可以求得对应的二维角 (αk, βk) 。

1.2 时空DOA矩阵方法处理[4]

为估计A, 定义xM (t) 与各阵元的相关函数为:

$R{}_{x{}_{i}x{}_{{\rm M}}}=E\{x{}_i(t+\tau /2)x{}_{{\rm M}}^{*}(t-\tau /2)\},i=1,2,\cdots ,{\rm M}(7)$

其中:RX (τ) , RY (τ) 矩阵形式为:

$\begin{array}{l}\mathit{R}{}_X(\tau )=\mathit{A}R{}_S(\tau )\\ \mathit{R}{}_Y(\tau )=\mathit{A}\mathit{\Phi }R{}_S(\tau )\end{array}(8)$

由式 (8) 得:

$\mathit{X}=\mathit{A}\mathit{S},\mathit{Y}=\mathit{A}\mathit{\Phi }\mathit{S}(9)$

其中:

$\begin{array}{l}\mathit{S}=[R{}_S({\rm T}{}_S),R{}_S(2{\rm T}{}_S),\cdots ,R{}_S({\rm N}{\rm T}{}_S)](10)\\ \mathit{R}{}_{{\rm T}{}_S}=\mathit{Y}\cdot [\mathit{X}]{}^{-}(11)\end{array}$

其中:[·]-表示伪逆, 即:

$[\mathit{X}]{}^{-}=\mathit{X}{}^{\text{Η}}(\mathit{X}\mathit{X}{}^{\text{Η}}){}^{-1}(12)$

由$\mathit{R}{}_{{\rm T}{}_S}\overline{\mathit{A}}=\overline{\mathit{A}}\mathit{\Phi }$, 就得到了信号的二维DOA。

1.3 仿真结果与分析

采用如图1所示阵列结构M=4, 阵元间距dx, dy均为0.5波长, 实际快拍数为100, 伪快拍数为50;每一次实验均分别在信噪比为 20 dB下, 进行 50次Monte-Carlo实验。

(1) 有3个来波方向分别为 (50, 50) , (60, 80) , (90, 120) 的窄带信号入射, 仿真结果如图2所示。

这个实验确定该估计方法有效准确。从图2中可以看出该方法准确有效。

(2) 有3个来波方向分别为 (51, 71) , (52, 72) , (53, 73) 的窄带信号入射, 估计结果如图3所示。

这个实验确定该估计方法的分辨率。从图3中可以看出该方法大致可以分辨间隔为1°的两个角。

(3) 有3个来波方向分别为 (40, 50) , (40, 80) , (70, 80) 的窄带信号入射, 估计结果如图4所示。

这个实验确定该估计方法抗角度兼并能力。从图4中可以看出该方法可以处理角度兼并问题[5]。

通过仿真结果可以看出, 时空DOA矩阵是一种非常高效的估计算法, 具有很强的分辨能力, 且能解决二维估计中的角度兼并问题。但是仿真中由于阵元数的限制, 所以该方法也只能分辨比阵元数少一个的信号数[6]。

2 算法的改进

从上述分析可以看出, 虚拟阵列变换的方法可以弥补时空DOA矩阵方法的缺点, 经过分析可将两种方法有效地结合在一起。步骤如下:

(1) 根据时空DOA矩阵方法得到伪快拍数据矩阵X=AS, Y=AΦS;

(2) 根据虚拟阵列变换方法对期望的区间进行阵列变换, 求得变换矩阵$\mathit{B}=\overline{\mathit{A}}\mathit{A}{}^{-1}$;

(3) 可以得到虚拟阵列的伪快拍数据矩阵$\overline{\mathit{X}}=\mathit{B}\mathit{A}\mathit{S}‚\overline{\mathit{Y}}=\mathit{B}\mathit{A}\mathit{\Phi }\mathit{S};$

(4) 得到时空虚拟DOA矩阵, 求得需要的DOA。

根据这一步骤进行了算法仿真[7]:

采用如图1所示阵列结构, M=4, 阵元间距为一个波长, 对于不同的信号个数和变换区域进行了2次仿真实验, 实际快拍数为100, 伪快拍数为50;每一次实验均在信噪比为20 dB下, 进行了10次Monte-carlo仿真[8], 其结果如下:

(1) 5个窄带源分别以入射角度为 (40, 50) , (40, 60) , (43, 70) , (46, 80) , (50, 80) 入射, 变换区域为40°～50°, 虚拟变换后的$\overline{{\rm M}}=7$, 阵元间距为半个波长。DOA估计结果如图5所示。

(2) 6个窄带源分别以入射角度为 (30, 50) , (36, 60) , (42, 70) , (48, 80) , (56, 90) , (62, 100) 入射, 变换区域为30°～70°, 虚拟变换后的$\overline{{\rm M}}=9$, 阵元间距为0.735个波长。DOA估计结果如图6所示。

3 结 论

通过对时空DOA矩阵法数学分析、模型建立及算法的仿真处理, 由仿真结果可以看出[9]:

(1) 时空DOA矩阵法是一种非常高效的估计算法, 具有很强的分辨能力, 且能解决二维估计中的角度兼并问题。

(2) 时空DOA矩阵法的仿真中由于阵元数的限制, 只能分辨比阵元数少一个的信号数。

(3) 对时空DOA矩阵法进行有效的改进, 提出了时空虚拟DOA矩阵方法。该方法可以弥补时空DOA矩阵方法的缺点, 可以估计超过阵元数的信号, 具有较高的分辨性能和较好的稳健性。

参考文献

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二维DOA估计 篇2

近十几年来, 基于电磁矢量传感器阵列空间信源多参数估计问题成为学者们研究的热点问题[1,2,3,4,5,6], 它在雷达、声纳、通信和生物医学等领域都有着十分广泛的应用前景。电磁矢量传感器是由三个正交的电偶极子和三个正交的磁偶极子共点配置而成, 能够同时感应入射信号的三个电场分量和相应的三个磁场分量。因此, 利用单个电磁矢量传感器所获得的六个电磁场分量不仅可以实现信号的DOA估计, 还能得到反映信号电磁场具体分布的极化特性。同时, 单个电磁矢量传感器不会受到传感器互耦和位置误差等非理想因素的影响, 具有很好的实际应用价值。Nehorai和Paldi[1,2]最先提出了电磁矢量传感器概念, 建立了电磁矢量传感器阵列的信号接收模型, 并提出了一种基于矢量叉积的DOA和极化参数估计算法。文献[3]利用单个矢量传感器估计最多五个不同数字频率完全极化信号的到达角和极化参数, 但要求入射信号频率不同。文献[4,5]在假设入射信号频率相同且已知的情况下, 利用电磁矢量传感器阵列实现信号到达角和极化参数估计, 但当频率不同或未知时该方法失效。文献[6]利用单电磁矢量传感器估计多个同频率的非高斯信号源的二维DOA和极化参数, 但是对信号源数有限。上述算法大都基于信号的空间特性, 而对信号的时间特性没有充分利用。文献[7]则利用信号的时间特性, 采用二阶循环相关函数方法实现宽带循环平稳信号二维DOA和极化参数估计。而高阶循环累积量不但具有二阶循环相关函数方法的优点, 而且具有高阶累积量的特性, 因此具有更强的测向能力。

本文利用这一特性, 提出一种单电磁矢量传感器的四阶循环累积量算法, 解决在任意分布的加性平稳噪声背景下宽带循环平稳信号的多参数估计问题。该方法具有信号选择的能力, 能够抑制任意分布的加性平稳噪声以及具有不同循环频率的干扰信号的影响。

1 数据模型

电磁矢量传感器由三个电偶极子和三个磁偶极子组成, 能够同时感应入射电磁波信号的三个电场分量和相应的三个磁场分量。设第k个完全极化信号入射到单电磁矢量传感器上, 其电场分量ek和磁场分量hk在笛卡尔坐标系中可以表示如下[2,3]:

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式中:θk∈[0, π) 为信号仰俯角;φk∈[0, 2π) 为信号方位角;γk∈[0, π/2) 为辅助极化角, ηk∈[-π, π) 为极化相位差。极化参数γk和ηk反映了信号的极化状态。从式 (1) 可以看出, 电磁矢量传感器的输出不仅含有信号的空间信息Θk, 还含有信号的极化信息gk。因此, 与传统的标量传感器阵列相比, 电磁矢量传感器阵列含有更多的信息量。

假设K个非高斯循环平稳信号以 (θk, φk) 入射到单个电磁矢量传感器上, 则输出矢量可以表示为:

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式中:s (t) =[s1 (t) , s2 (t) , …, sk (t) ]T为信号矢量矩阵, 且各信号是互不循环相关的;A=[a1, a2, …, aK]=[Θ1g1, Θ2g2, …, ΘKgK]称为极化-角度域导向矢量矩阵;n (t) =[n1 (t) , n2 (t) , …, n6 (t) ]T为噪声向量, 且各噪声是平稳的。

为清楚地说明算法的原理又不失一般性, 做如下假设:

(1) {sk (t) }undefined是K (K<5) 个具有共同循环频率的零均值非高斯循环平稳过程, 具有非零的四阶循环累积量。

(2) {ni (t) }undefined是任意分布的平稳过程, 或者是高斯循环平稳过程, 或者是循环频率与{sk (t) }undefined不同的循环平稳干扰。噪声与信号之间, 以及噪声之间统计独立。

(3) sk (t) 之间四阶循环统计独立, 即:

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2 基于四阶循环累积量的二维参数联合估计算法

定义单个电磁矢量传感器输出X (t) 的6×6空间四阶 (零时延) 循环累积量矩阵为Cundefined, 其中Cundefined的第 (i, j) 个元素为:

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式中:cumα{·}表示循环累积量运算符;α为循环频率。

将式 (2) 代入式 (4) , 并根据假设 (1) 和 (2) , 利用高阶循环累积量的性质[8,9,10], 可得:

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式中:undefined。

由于四阶循环累积量对高斯噪声的自然盲性和四阶循环累积量的信号选择性, 空间四阶循环累积量只包含了具有循环频率α的非高斯信息, 抑制了不具有循环频率α的干扰和噪声, 所以式 (5) 中的cumα{n1 (t) , n*1 (t) , ni (t) , n*j (t) }=0。令:

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将式 (5) 代入式 (6) , 可得:

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式中:A=[a1, a2, …, aK]为极化-角度域导向矢量矩阵;D=diagundefined是一对角矩阵。

对式 (7) 进行奇异值分解, 进而推导出噪声特征向量V2与矩阵A正交, 从而利用噪声特征向量求解信号源的DOA和极化参数。定义空间谱PMUSIC:

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式中:det表示矩阵行列式运算。利用式 (8) 和式 (9) 通过两次二维搜索可以得到DOA和极化参数的估计值, 详细推导过程见文献[8]。

式 (4) 的空间四阶 (零时延) 循环累积量切片的方法如下[10]:

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式中:Aundefined为二阶循环矩的循环频率集。对于有限长度的样本, 式 (10) 中的四阶和二阶循环矩Mundefined (i, j, k, l) 和Mundefined (i, j) 可分别用式 (11) , 式 (12) 进行估计:

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上述的推导过程中并没有对信号带宽有任何的约束, 因此该方法既适用于宽带信号, 也适用于窄带信号。

3 仿真结果

通过计算机仿真验证本文所提的基于四阶循环累积量的二维DOA和极化参数估计算法的性能。考虑期望信号是宽带QPSK信号, 码元速率为5×106 Baud, 载波频率fc=10 MHz, 数据长度为2 048 B。噪声假设是平稳的有色噪声, 且噪声与信号, 以及噪声之间是统计独立的。

实验1:检验本文所提算法对高斯色噪声的抑制能力

假设两个期望信号s1, s2的DOA和极化参数分别为[θ1, φ1, γ1, η1]=[35°, 120°, 45°, -90°]和[θ2, φ2, γ2, η2]=[150°, 60°, 45°, 90°]。噪声假设是高斯色噪声, 它是由高斯白噪声通过一个二阶AR模型产生。其信噪比 (SNR) 为10 dB。在仿真实验中, 选取循环频率α=4fc。估计结果如图1和图2所示, 可以看出本文方法在加性高斯色噪声背景下, 能够正确估计信源的DOA和极化参数。

实验2:检验本文所提算法对干扰信号的抑制能力

假设两个期望信号s1, s2的DOA和极化参数分别为[θ1, φ1, γ1, η1]=[35°, 70°, 60°, 55°]和[θ2, φ2, γ2, η2]= [105°, 30°, 75°, 30°]。另一个具有不同载频等功率的干扰信号的DOA和极化参数为[θ3, φ3, γ3, η3]=[65°, 40°, 20°, 45°]。噪声假设是高斯色噪声, 信噪比为10 dB。取循环频率α=4fc。实验结果如图3和图4所示。

从图3和图4中可知在平稳的有色噪声和干扰信号同时存在的情况下, 本文所提算法能够正确地估计出信号的DOA和极化参数。这是由于利用了信号的循环平稳特性, 能有效地抑制平稳噪声, 实现信号的分选功能, 去除了循环频率不同的干扰信号。

实验3:检验本文算法的性能

两个信源的参数同实验1。改变信噪比从0～30 dB, 其他的仿真条件不变, 每个都进行100次独立的Monte Carlo实验。DOA和极化估计的均方根误差 (RMSE) 定义如下:

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DOA、极化估计的均方根误差与SNR的关系如图5所示。由图5可以看出:所提算法的信号参数估计的RMSE都随着信噪比的增加而迅速减小。而且在信噪比较低的情况下, 也能得到较好的估计。这说明充分利用信号的循环平稳特性, 利用四阶循环累积量能有效地抑制平稳噪声的影响。

4 结 语

提出一种基于单个电磁矢量传感器的四阶循环累积量的算法来实现宽带循环平稳信号的多参数估计。本文算法不仅能够抑制具有不同循环频率的干扰信号, 而且能够抑制任意分布的加性平稳噪声。通过仿真实验, 验证了算法的有效性。

参考文献

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二维DOA估计 篇3

信号波达方向( DOA) 估计作为阵列信号处理的主要研究内容之一,在雷达、无线通信、天文学等领域都有着广泛应用。在过去几十年的研究中,学者们提出了许多有效的DOA估计算法,具有代表性的算法有Schmidt提出的MUSIC算法[1]和Roy提出的ESPRIT算法[2]等两大类算法。但这两类算法都依赖于数据的统计性能,随着快拍数减少、信噪比下降,算法的性能会急剧下降。

稀疏表示理论的发展为DOA估计求解提供了新的解决思路。Fuchs将DOA估计表示为波束空间的稀疏重建问题[3]; Cotter等人将MMV问题和匹配追踪相结合来求解DOA估计问题中的联合稀疏重建问题[4]; Malioutov等人提出l1- SVD方法[5],结合奇异值分解和基于l1范数的稀疏重建方法来求解DOA估计问题,该算法通过阵列接收信号进行奇异值分解,降低了算法的运算量,使算法的复杂度不再随快拍数的增加而增大。但当信号源个数未知时,l1- SVD算法的估计性能将受到影响,并且该方法计算量较大。Hyder等人利用高斯函数逼近l0范数,提出JLZA( Joint l0Approximation) 算法[6],通过求解l2 ,0范数实现DOA估计。当快拍数较大时,该方法计算效率较低,且易受噪声影响。Wei等人提出了贪婪块坐标下降( Greedy Block Coordinate Descent,GBCD) 算法[7]及其改进———加权贪婪块坐标下降R - GBCD + 算法[7],通过求解l2 ,1范数来实现DOA估计,该方法具有收敛速度快、估计精度高和抗噪能力强等优点。林波等人从相关性条件理论分析出发,证明了在实际应用中最优稀疏表示模型是等正弦稀疏表示模型[8]。

本文应用R - GBCD + 算法思想,采用等正弦稀疏表示模型对入射信号进行DOA估计。仿真结果表明,在相同的网格划分数条件下,采用等正弦稀疏表示的估计性能优于文献[7]采用等角度稀疏表示的估计性能。

1 基本信号模型

考虑K个窄带远场信号入射到阵元数为N的均匀线阵( ULA) 上,阵元间距d为入射信号中心频率对应波长的1 /2。假设阵列接收到的加性噪声相互独立,且为平稳、零均值的复高斯白噪声。则t时刻阵列接收数据为:

其中,s ( t) 为入射信号,n ( t) 为噪声,s( t) =[s1( t) ,s2( t) ,…,sK( t) ]T,A为N × K维阵列流型矩阵A = [a( θ1) ,a( θ2) ,…,a( θK) ]。

其中,k = 1,2,…,K。

2 等正弦稀疏表示模型

等正弦划分时阵列空间稀疏化模型对应阵列流型矩阵的原子间的相关性比等角度划分时对应的阵列流型原子间的相关性小,具有更好的重构性能。

将信号可能存在的空间按等正弦划分为Ns个网格,rn= sin( θn) = - 1 + 2n /( Ns- 1) ,n = 1,2,…,Ns,网格数Ns远大于信源数( Ns>> K ) ,根据ULA的阵列流型矩阵构造N × Ns维过完备原子库。

其中,a( ri) 称为原子,定义Ns× 1 维稀疏向量,当第k个方向有信号入射时,zk=sk( t) ,否则zk= 0。Z( t) 中有K个非零系数,其余Ns-K个系数都是零。等正弦稀疏表示模型可表示为:

在M个快拍期间,目标信号并没有跨角度单元移动,因此非零位置并没有改变,多快拍情况下将式( 2) 写为:

根据Z中非零元素的位置即可确定入射信号的DOA。

3 等正弦稀疏表示的DOA估计

式( 3) 为等正弦稀疏表示的阵列接收信号模型,根据其解可估计入射信号的DOA。式( 3) 的求解等价于如下优化问题:

令目标函数为:

其中,

其中, 表示Kronecker积,zi表示Z的第i行。在第k次循环时,G( Z) 用泰勒级数展开,则F( Z) 近似为:

其中,pi( k) 表示P( k) 的第i行,

其中,c( k) 在Z( k) 已知的情况下为常数项。

应用R - GBCD + 算法的思想对Fa( Z) 求解,根据Z中非零元素所在的位置确定入射信号的DOA估计值。

4 仿真验证

通过实验仿真来验证采用等正弦稀疏表示模型进行DOA估计算法的有效性,并与文献[7]中的R - GBCD + 算法比较,分析算法性能。

实验采用角度估计均方根误差作为算法性能指标,角度估计均方根误差定义为:

其中,L是蒙特卡洛实验次数,K是信源数,θk是第k个入射信号的真实角度值,是第k个入射信号在第l次蒙特卡洛实验中的角度估计值。

实验采用阵元数N = 10 的均匀线阵,等正弦与等角度网格划分相同的网格数,均为Ns= 201。

实验1: 考虑两个非相干信号,信号入射角度分别为10. 2°和18. 1°,快拍数M = 200,进行500 次蒙特卡洛实验,角度估计均方根误差随信噪比的变化如图1 所示。

由图1 可知,随信噪比增加,角度估计均方根误差逐渐减小,算法的估计精度逐渐提高。R -GBCD + 算法在相同信噪比情况下,等正弦网格划分比等角度网格划分具有更小的均方根估计误差。

实验2: 考虑两个非相干信号,入射信号角度分别为10. 2°和18. 1°,信噪比SNR = 5d B,进行500 次蒙特卡洛实验,均方根误差随快拍数的变化如图2所示。

由图2 可知,随着快拍数的增加,角度估计均方根误差逐渐减小。R - GBCD + 算法在相同快拍数的情况下,等正弦网格划分比等角度网格划分具有更小的均方根估计误差。

实验3: 考虑两个非相干信号,入射信号角度分别为10. 2°和18. 1°,快拍数M = 200,进行500 次蒙特卡洛实验。每次实验中,当角度均方根误差小于0. 3°时,记为实验成功,成功次数加1; 否则,实验失败,估计成功概率随信噪比的变化如图3 所示。

由图3 可知,R - GBCD + 算法在相同信噪比情况下,等正弦网格划分比等角度网格划分估计成功的概率更高。当信噪比大于15d B时,实验成功概率为100% 。

5 结束语

从角度估计均方根误差随信噪比变化、随快拍数变化以及实验成功概率随信噪比变化三个方面进行实验对比,仿真结果表明,R - GBCD + 算法在相同条件下,等正弦网格划分比等角度网格划分估计具有更好的估计性能。

摘要：利用稀疏信号表示求解DOA估计问题具有对快拍数要求低、可处理相干信号等优点。解决DOA估计问题首先要建立稀疏信号模型,已有的加权贪婪块坐标下降算法采用等角度网格划分模型,具有较好的估计性能。等正弦稀疏表示模型比等角度稀疏表示模型具有更好的重构性能。采用等正弦稀疏表示模型,结合贪婪块坐标下降思想,进行DOA估计具有更好的估计性能,实验仿真验证了该算法的有效性。

关键词：波达方向,稀疏表示,等正弦,贪婪块坐标下降

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[6]Hyder M M,Mahata K.Direction-of-arrival estimation using a mixed l2,0norm approximation[J].Signal Processing,IEEE Transactions on,2010,58(9):4646-4655.

[7]Wei X,Yuan Y,Ling Q.DOA estimation using a greedy block coordinate descent algorithm[J].Signal Processing,IEEE Transactions on,2012,60(12):6382-6394.

二维DOA估计 篇4

ESPRIT方法[1]现在已经成为信号DOA和极化参数估计的重要方法,与经典的MUSIC算法相比,ESPRIT算法不需要进行谱峰搜索,所以大大降低了计算和存储的代价。ESPRIT算法的关键是对接收数据的协方差矩阵进行特征分解,进而估计出信号的参数。然而在实际运用中,信号的参数往往是时变的,因此必须对协方差矩阵进行实时更新,但若对每一个样本都进行特征分解,所需运算量太大,难以实现。

Liu等人提出的自适应ESPRIT算法[2]是建立在秩显URV分解[3]的基础上的,使得运算量大大减少,且可以有效地并行实现,王雪松等人提出的极化域-空域联合谱估计[4]较传统的MUSIC方法运算量大大减少,但是仍需进行谱峰搜索。

本文在信号序贯处理的基础上,提出了信号相关矩阵的递推估计,并且根据矩阵扰动理论,利用矩阵特征分解的一阶修正法,实现了特征值和特征向量的递推估计,从而使得ESPRIT算法能够自适应地估计信号的参数,并且由于不需要每次都进行特征分解,其运算量也大大减少了。

2 ESPRIT 算法

考虑一个由M个阵元组成的极化敏感阵列,如图1所示。每个阵元都由相互正交的偶极子对组成,阵元间距为δ。假设有K个连续波信号入射到阵列(K

信号k的极化矢量表达式为:

undefined

定义相位延迟因子:undefined。

则阵列接收信号的矢量表达式为:

undefined

其中A=[a1,a2,…aK]。

undefined

各信道噪声相互独立,且与信号不相关。协方差阵为:

undefined

其中R0=ARsA,Rs为信号自相关阵,σ2为噪声功率,对R进行特征分解,假设其特征值为:

undefined

对应的特征向量为e1,e2,…e2M。

由此可得信号子空间为Es=[e1e2 … eK],因此存在非奇异矩阵T,满足Es=AT。

让Aq1,Aq2分别表示矩阵A的前2(M-1)和后2(M-1)行组成的子矩阵,则:Aq2=Aq1φ,其中φ=diag(q1,q2,…qK)。

Eq1,Eq2分别表示信号子空间的前2(M-1)和后2(M-1)行组成的子空间,则:

undefined

则φ中的元素就是矩阵Ψ=T-1φT的特征值,Ψ满足Eq2=Eq1Ψ。

假设undefined,让Ar1,Ar2分别表示矩阵A的偶数行和奇数行组成的子矩阵,则Ar2=Ar1φr,φr=diag(r1,r2,…rK)。

Er1,Er2分别表示信号子空间的偶数行和奇数行组成的子矩阵,则:

undefined

则φr的元素就是Ψr=T-1φrT的特征值,Ψr满足Er2=Er1Ψr。

在多个信号的情况下,我们还需要判断Ψ,Ψr中特征值的对应关系,假设Ψq=Ψr-1Ψ,则Ψq的特征值是Ψ和Ψr特征值的比值。这样Ψ和Ψr的对应特征值应满足使下式最小:

undefined是Ψq的特征值

在估计出(qk,rk)后,就可以估计信号的参数了。

undefined

3 阵列协方差的更新

根据阵列采样数据{x(k),k=1,2,…,N}可得阵列协方差矩阵的极大似然估计为:

undefined

对于非平稳情形,利用当前观测数据x(k)对前一时刻阵列协方差矩阵R(k-1)更新得到当前时刻阵列协方差矩阵R(k)。更新过程可以表示如下:

undefined

其中:ε 为遗忘因子(0<ε<1),ε提供了指数窗有效长度的一个粗略测度。上式重写为:

undefined

其中:Rk为当前观测数据带来的新息矩阵,定义为:

undefined

可以看出,对于足够小的ε,当前的阵列协方差矩阵R(k)可以解释为R(k-1)经过微小扰动εRk得到,由于扰动项由ε线性表出,所以称为一阶扰动。

4 矩阵特征分解的一阶修正

假定已经获得R(k-1)的特征值和特征向量对{λi(k-1),ui(k-1),i=1,2,…,2M},根据k-1时刻的特征分解可以得到:

R(k-1)ui(k-1)=λi(k-1)ui(k-1)

ui(k-1)Huj(k-1)=δij

其中:δij为第拉克函数。假定R(k)的特征值和特征向量对为{λi(k),ui(k),i=1,2,…,2M},则根据矩阵扰动理论[5]{λi(k),ui(k),i=1,2,…,2M}可以用ε的幂级数展开,并且当ε→0 时,他们将分别收敛到{λi(k-1),ui(k-1),i=1,2,…2M}。存在幂级数:

undefined

根据k时刻的特征分解可知:

undefined

则由上面三个式子可以得到undefined的表达式。下面不加推导的给出其表达式。具体推导可参见文献[6]。

undefined

其中yi=ui(k-1)Hx(k),为k时刻的观测向量x(k)在k-1时刻特征向量ui(k-1)上的投影坐标。

undefined

其中,

undefined

以上修正式是在没有重根的情况下得到的,对于有重根的情况必须进一步修正[7]。

undefined

其中,undefined,噪声子空间的第一个特征矢量集中了噪声的全部能量,所以只需考虑第一个特征向量为:undefined,并且当j=K+2,…,2M时,bij=0。

5 仿真分析

(1) 阵列由3个阵元组成,间距为δ=λ/2,排列方式为沿y轴。

假设有一个信号入射到阵列,其参数为:

undefined

持续时间为500 s,采样周期为1 s,SNR为10 dB,信道噪声为0均值高斯噪声,与信号不相关。仿真结果如图2所示。

从图1可以看出在经过30次左右的适应之后,便能很好地跟踪信号参数的变化,且信号的DOA和极化参数都能够较好地估计出来。

(2) 假设由两个信号入射到阵列,信号的参数为:

undefined

(SNR1=10 dB,SNR2=20 dB)。其余条件和图1中一样,仿真结果如图3,图4所示。

从图3,图4中可以看出文中方法的有效性,信号2参数的仿真结果较好,但与(1)的仿真结果相比,误差较大。这主要是因为阵列的阵元数太少,如果加大阵元同样能够取得较好的结果。对于(2)中极化参数的仿真误差较大,这主要是由于信号DOA 估计误差增大的原因,同样也有阵元数较少的原因,这主要是为了与(1)的结果相比较。

6 结 语

ESPRIT算法可以有效地估计出信号的DOA 和极化参数,但是面临着矩阵特征分解的问题。如果阵元较多,计算量将非常大,特别是需要对信号进行实时估计的情况。文中针对这一问题,利用矩阵特征分解一阶修正法,使得矩阵特征值和特征向量能够进行递推,从而实现了自适应估计,且计算量大大减少,有利于实时估计。经过总结认为还有以下方面可以完善:运用二阶修正应该能够减小误差;加大阵元数应该能够取得更好的结果。

参考文献

[1]Roy R,Kailath T.ESPRIT-Estimation of Signal Parametersvia Rotational Invariance Techniques[J].IEEE Trans.onAcoust.,Speech,Signal Processing,1989,37:984-995.

[2]Liu KJ R,Leary D P O,Stewart GW,et al.URV Esprit forTracking Time-Varying Signals[J].IEEE Trans.on SignalProcessing,1994,42:3 441-3 448.

[3]Stewart G W.An Updating Algorithm for Subspace Track-ing[J].IEEE Trans.on Signal Processing,1992,40(6):1 535-1 541.

[4]徐振海,王雪松,肖顺平.极化域-空域联合谱估计[J].国防科技大学学报,2004,26(3):63-67.

[5]张贤达.信号处理中的线性代数[M].北京:科学出版社,1997.

[6]徐振海,王雪松,肖顺平.矩阵特征分解二阶修正算法[J].信号处理,2004,20(6):600-604.

二维DOA估计 篇5

关键词：MUSIC算法,波达方向估计DOA,共轭重构,相干信号

0 引言

DOA估计是空间谱估计研究的主要课题之一。DOA估计大致可分为2类: 基于空间谱分析的方法和参数化方法。空间谱分析方法是指构造一个以空间方位为参数的谱函数, 并根据谱函数输出的峰值得到目标信号波达方向的估计, 如Bartlett波束形成算法。参数化的方法通常要求同时对所有感兴趣的参数进行搜索, 如极大似然算法[1,2,3,4]。参数化方法的估计精度要高于空间谱分析的方法, 但是计算量却大大增加。基于信号子空间与噪声子空间的正交性, Schrnidt等人提出的MUSIC方法具有很好的角度分辨能力, 该算法虽然属于空间谱分析算法, 但是在一定的条件下, 它又是最大似然法的一种一维实现, 具备与最大似然法相近的性能, 这使得MUSIC算法性能优越, 在空间谱估计中备受重视[5,6,7,8,9]。但是该算法仅仅局限于入射信号非相关时, 当信号相关时, 该算法的估计性能恶化, 为克服这一问题, 本文对传统方法进行改进, 对阵元接收的数据阵做相应变换, 共轭重构其协方差矩阵, 再通过特征值分解来寻求峰值, 并通过计算机进行了大量仿真实验。

1 经典 MUSIC 算法波达方向估计

设有D个窄带信号入射到由M个阵元组成的均匀直线阵上, 则第i个阵元接收的信号为:

式中, sk ( t) 为第k个辐射源辐射的列天线阵的波前信号; λ为信号波长; d为阵元间距; ni ( t) 为t时刻测量噪声; θk为第k个源信号 的入射角 度。对式 ( 1) 用矩阵形式可表示为:

N ( t) 为加性噪声矢量, ni ( t) 是均值为0、方差为σ2的高斯白噪声, 且与信号源不相关, T表示转置。对矩阵X, 做相关处理得其协方差矩阵Rx为:

式中, P为源信号的协方差矩阵; I为单位矩阵; A为阵列流形矩阵; H表示矩阵共轭转置。

因为Rx是Hermite矩阵, 所以各特征向量是相互正交的, 根据信号和噪声的独立性, 可把Rx分解为与信号和噪声分别相关的2部分。对Rx进行特征分解得: Rx= Us∑sUHs+ Un∑sUHn, 式中Us是D个较大特征值对应的特征向量构成的酉矩阵, 张成信号子空间; Un是由M - D个较小特征值对应的特征向量构成的噪声子空间; ∑s是由D个大特征值构成的对角阵[10]。因噪声特征向量和信号向量的正交关系, 则θ为多径分量的DOA时, aH ( θ) UnUHna ( θ) = 0。因此, 多个入射信号的DOA可以通过MUSIC空间谱的峰值作出估计, MUSIC算法的空间谱估计公式可得MUSIC算法的空间谱:

式中, 分母是信号向量和噪声矩阵的内积, 当a ( θ) 和Un的各列正交时, 该分母为零, 但由于噪声的存在, 它实际上为一最小值, 正交性将使分母达到最小, 因此Pmusic ( θ) 有一尖峰。通过θ变化来寻找波峰来估计到达角, MUSIC谱中最大峰值对应于入射到阵列上的信号的DOA[11,12]。

2 改进 MUSIC 算法 DOA 估计

在模型准确的前提下, MUSIC算法对DOA的估计理论上可以达到任意高的分辨率。从经典MUSIC算法的推导过程来看, 信号子空间和噪声子空间正交的结论来自于协方差矩阵Rx满秩。因此, 经典MUSIC算法应用的前提条件是入射信号之间弱相干或不相干。但是, MUSIC算法研究的信号仅仅限于非相关的信号, 当信号源是相关信号或者相隔比较近的小信噪比信号时, MUSIC算法的估计性能恶化, 甚至完全失效。因此要对MUSIC算法进行改进, 本文通过对MUSIC算法数据阵的共轭重构提出的一种改进的MUSIC算法, 就是要对阵列输出信号协方差矩阵进行处理, 使信号协方差的秩恢复为rank ( Rx) = D, 从而能有效地估计出信号的DOA。

首先, 做一个M阶反单位矩阵F为转换矩阵, 即

再令矩阵Y = FX*, 其中X*是X的复共轭矩阵, 则Y的协方差矩阵为:

由Rx和Ry之和得到共轭重构后的矩阵, 由于协方差矩阵Rx= APAH+ σ2I, 所以,

根据矩阵理论, 矩阵Rx、Ry和R具有相同的噪声子空间。此时可对R进行特征分解求出其特征值及对应的特征向量, 根据估计的信号源数从特征向量中分离出噪声子空间, 再用新的噪声子空间构造空间谱, 最后通过寻求峰值来确定波达方向的估计值[13]。改进MUSIC算法的实现步骤如下:

步骤1: 产生信号模型X ( t) = A ( θ) S ( t) + N ( t) ;

步骤2: 由协方差矩阵Rx和Ry之和, 得到重构后共轭矩阵R;

步骤3: 对共轭重构后的矩阵R进行特征值分解;

步骤4: 由R的最小特征值的个数估计信号源数, 利用最小特征矢量建立噪声子空间;

步骤5: 求Pmusci的D个最大峰值, 得到DOA估计。

3 计算机仿真试验结果分析

对经典MUSIC和改进MUSIC用Matlab7. 0软件进行相关信号的DOA估计仿真试验分析, 比较2种算法的估计结果。仿真的条件为: 4个入射角度为 - 20°、20°、25°和60°的信号源, 阵元数M = 10, 阵元间距d = 0. 5λ, 有噪声时信噪比S /N = 20 d B, 采样快拍次数N = 256, 噪声为理想高斯白噪声, 仿真结果如图1, 图2, 图3, 图4, 图5和图6所示。

经典MUSIC仿真结果如图1, 图2, 图3和图4所示。由图1可知, 若入射信号互不相干时, 不管入射信号有无噪声干扰, 采用经典MUSIC算法都能构造出针状的谱峰, 准确的估计出入射信号的个数和方向, 可有效估计出独立信号源的DOA。

由图2、图3和图4可以看出, 当信号源有2个出现相干情况时, 算法估计性能变差, 特别是当4个入射信号互相相干时, 出现多个波峰, 经典MUSIC算法完全失效, 不能进行独立信号源的DOA估计。

由图5和图6可以看出, 改进后的MUSIC算法, 不论多个入射信号源相干或不相干, 都能够准确地估计出入射信号的方向和个数, 同时可以看出即使信号差为5°时, 仍然能够准确估计。可见, 改进算法可以有效解决密集信号环境中多个辐射源的高分辨率、高精度测向定位问题。具有较好的性能和较高的效率, 能提供高分辨率及渐近无偏的到达角估计, 使得信号的DOA估计性能更加完善, 证实了理论分析的正确性。

4 结束语

二维DOA估计 篇6

以MUSIC算法为代表的子空间类高分辨DOA估计算法是利用信号子空间与噪声子空间的正交性来实现DOA估计。此类算法通过对阵列接收数据协方差矩阵的特征分解来实现子空间的分离, 所以在实现参数估计高分辨力的同时也带来了巨大的运算量 (m×m矩阵的特征分解的运算量为O (m3) ) 。为了使此类算法减小运算量, 具备实时性, 已有的研究主要集中在以下2个方面:文献[1]给出的PM算法避开了矩阵的特征分解和奇异值分解, 有效地减小了算法的计算量 (运算量为O (m2n) ) ;文献[2]提出的子空间快速分解法采用Lanczos方法求取阵列接收数据协方差矩阵的正交基, 然后利用求得的正交基将协方差矩阵变换为一个三角对角阵, 再对该对角阵进行特征分解, 从而减小计算量 (运算量为O (m2n) , n<m, n为信源个数) 。本文通过详细分析PM算法机理, 利用阵列分割去噪原理对PM算法中提取噪声子空间基的数据矩阵进行了修改, 在不增加算法复杂度的前提下提高了PM算法的分辨力, 得到了较好的估计效果, 并通过计算机仿真试验验证了改进后算法的有效性。

1 PM算法

PM算法的前提假设:

① 窄带远场信号;② m>n, m为阵列的阵元数, n为信源数;③ 点信源假设, 且相互独立;④ 各阵元的噪声为加性白噪声, 且与信源不相关;⑤ 阵列流形矩阵A的前n行线性独立。

在上述假设条件下, PM算法可表述如下[1]:

阵列的流形矩阵是以导向矢量为列, 信源个数为列数, 阵元个数为行数构成的矩阵:

对于均匀线阵:

式 (1) ～式 (3) 中, d为阵元间隔, λ为信号波长, θi为第i个信源对应的角度, (·) T表示矩阵 (·) 的转置。

将流形矩阵作如下划分:

式中, A1为n×n的矩阵, A2为 (m-n) ×n的矩阵。因为A的前n行为线性独立且其秩为n, 所以A2为A1的线性变换:

式中, PH为 (m-n) ×n的矩阵, (·) H表示矩阵 (·) 的共轭转置; (·) -1表示矩阵 (·) 的求逆操作。构造m× (m-n) 的矩阵Q如下:

I为秩为m-n的单位阵, 则有:

A的列空间与信号子空间相同, 所以Q成了噪声子空间。获得矩阵Q的关键是求得矩阵P。假设阵列各阵元接收信号时没有噪声, 即阵列接收信号如下:

式 (9) 中, S为n×1的信号矢量;R1为m×n的矩阵;R2为m× (m-n) 的矩阵:

阵列实际的接收数据是含有噪声的, 则P的估计值$\widehat{\mathit{{\rm P}}}$为[1]:

从阵列接收的数据协方差矩阵中估计出矩阵$\widehat{\mathit{{\rm P}}}‚$结合式 (6) 可得矩阵Q, 从而可得噪声子空间, 再利用式 (11) 进行峰值搜索, 完成DOA估计:

2 消噪预处理的PM算法

由上述分析可知, 经典PM算法是在阵列接收数据协方差矩阵中提取噪声子空间的基。由于数据中噪声的存在, 从协方差矩阵中提取噪声子空间的算法为理论分析算法的近似 (式 (11) 为式 (10) 的最小二乘近似) , 从而影响了算法对噪声子空间逼近的精度。针对以上算法的不足, 本文提出通过将阵列分割为2个子阵来消除接收数据中的噪声, 在经过消噪预处理的数据基础上运用PM算法。这样就使从实际数据中提取噪声子空间的算法与理论分析的算法一致 (均利用式 (10) 进行求解) , 避免了由于噪声而产生的算法模糊, 从而提高算法的估计精度。消噪PM算法的表述如下:

消噪PM算法的前提假设:

① 窄带远场信号;② m>n, m为阵列的阵元数, n为信源数;③ 点信源假设, 且相互独立;④ 阵元的噪声为加性噪声与信源线性独立, 两子阵的噪声相互独立;⑤ 对阵列分割所得的两子阵的流行矩阵前n行线性独立。

在上述假设前提下, 将阵列分割为含有m-n个阵元的子阵1与含有n个阵元的子阵2, 二者的流形矩阵分别为B1=[b1 (θ1) , b1 (θ2) , …, b1 (θn) ], B2=[b2 (θ1) , b2 (θ2) , …, b2 (θn) ]。且

两子阵接收的数据为:

作2个子阵接收数据的相关:

由于任何矩阵C左乘满列秩矩阵或者右乘满行秩矩阵后, 矩阵C的秩保持不变。

式 (18) 可以变换为:

式中, B11为n×n的矩阵, 秩为n;B12为 (m-2n) ×n的矩阵;Rs为n×n的信号相关矩阵, 其为满秩;BH2为满行秩矩阵, 秩为n。由式 (19) 可得, 矩阵T1=B11BsBH2的秩与B14相同为n, T1为n×n的矩阵;T2为 (m-2n) ×n的矩阵。所以RY的前n行线性独立, 且其列空间与B1的列空间相同, 即为信号子空间, 则:$\mathit{{\rm P}}{}^{´\text{Η}}\mathit{{\rm T}}{}_1=\mathit{{\rm T}}{}_2‚\mathit{{\rm P}}{}^{´\text{Η}}=\mathit{{\rm T}}{}_2\mathit{{\rm T}}{}_1^{-1}‚{\mathit{Q}}^{\prime }=[\frac{{\mathit{{\rm P}}}^{\prime }}{-{{\rm I}}^{\prime }}]。$

I′为m-2n秩为的单位矩阵, 则有:

综合上述讨论可得消噪的PM算法的峰值搜索公式:

3 仿真验证

为了充分的说明本文对PM算法的改进效果, 对于均匀线阵分别运用PM算法与消噪PM算法进行DOA估计, 仿真过程与结果如下:

① 仿真前提:16阵元的均匀线阵;信源个数n=3;阵元间隔d=0.5λ;信噪比snr=5 dB;快拍数N=1 500;信源俯仰角θ=0, 1/4, 4/19, 单位为π;② 仿真结果:如图1所示。

由文献[1]可知PM算法随着快拍数的增大, 估计的偏差越来越小, 但计算量也越来越大。由图1可清楚地看出在大快拍数、低信噪比条件下, 消噪PM算法分辨力明显好于经典的PM算法。同时表明, 阵列接收数据协方差矩阵的噪声对PM算法的影响要大于由于阵列分割而产生的阵列孔径损失对PM算法的影响。

4结束语

本文基于文献[1]提出的快速子空间类DOA估计算法—PM算法, 利用阵列分割去噪原理, 对原算法进行修改, 在消去噪声的数据矩阵中提取噪声子空间的基, 实现对噪声子空间的估计。与原算法相比, 改进后的算法由于阵列的分割虽然带来了阵列孔径损失, 但在大快拍数条件下可以达到较好的去噪效果, 从而更好地逼近噪声子空间。相同条件下的DOA估计仿真试验表明改进的算法在大快拍数时较之原算法具有更好的分辨力, 同时算法的复杂度并未增加, 与原算法相比不影响算法的实时性。

参考文献

[1]MARCOS S, BENIDIR M.Source bearing estimation and sensor positioning with the propagator method[C].Signal Processing Alg, Arch, and Implementations, SPIE.1990:312-323.

[2]XUG, KAILATHT.Fast subspace decomposition[J].IEEE Trans.On Signal Processing, 1994, 42 (3) :535-551.

二维DOA估计 篇7

在阵元噪声不满足白噪声模型的情况下, 诸如MUSIC、ESPRIT的DOA估计算法的性能将会急剧恶化。在一些实际应用中, 对色噪声的假设可以简化为各阵元之间相互独立的空间非均匀噪声[2,3,4]。

针对空间非均匀噪声环境下的DOA估计问题, 文献[2]利用转换矩阵法, 可以完全消除空间非均匀噪声, 但估计性能受到转换矩阵参数的限制, 且尚无有效选取转换矩阵参数的方法。文献[3]提出一种改进的最大似然估计方法, 这种方法引入了迭代优化过程, 为使迭代过程快速收敛需要寻找合适的初始值, 因此计算量很大。文献[5]提出一种在有效估计噪声协方差矩阵基础上来实现信号DOA估计的算法, 但当信号源为强相关或相干源时此方法失效。文献[6]利用平滑预处理对此方法进行了改进, 从而可以有效估计强相关源或相干源, 且运算量比原方法要小。然而以上这些方法都是基于均匀线阵 (Uniform Linear Array, ULA) 的研究。非均匀线阵在阵元数目一定时通过合理设置阵列结构既可以消除测向模糊, 又可以提高阵列分辨力。实际测向系统由于场地等因素的限制, 有些情况阵列天线必须排布为非均匀线阵。

在NLA阵的基础上应用文献[6]的算法得到一种新的空间非均匀噪声环境下的DOA估计方法, 并利用仿真实验验证了这一方法的可行性和有效性。

1恢复噪声协方差矩阵算法[5]

1.1阵列结构和信号模型

测向阵列是由N个全向天线组成的非均匀线性阵列, 阵元位置矢量为X=0.5λ[0, 3, 8, 11, 16, 19, 24, 27, 32, 35], 将第1个阵元确定为参考阵元。入射信号源为窄带远场信号, 信源数为L (L

x (k) =A (θ) s (k) +n (k) 。 (1)

式中, x (k) =[x1 (k) , x2 (k) , …, xN (k) ]T为阵列输出快拍数据矢量;s (k) =[s1 (k) , s2 (k) , …, sL (k) ]T为信号源数据矢量;A (θ) =[a (θ1) , a (θ2) , …, a (θL) ]为阵列流型矩阵;n (k) =[n1 (k) , n2 (k) , …, nN (k) ]T为阵列噪声数据矢量;a (θi) =[1, exp (-jβx2sinθi) , …, exp (-jβxNsinθi) ]T为导向矢量, β=2π/λ, 则阵列输出数据协方差矩阵为:

Rx=E{x (k) xH (k) }=ARSAH+Q。 (2)

式中, RS=E{s (k) s (k) H}为信号协方差矩阵, 阵元噪声建模为空间非均匀噪声, 即各阵元噪声相互独立、均值为零、协方差矩阵为互不相等的对角矩阵:

Q=E{n (k) n (k) H}=diag[σ21, σundefined, …, σundefined]。 (3)

将噪声协方差矩阵分块表示为[6]:

Q=blkdiag (Q1, Q2, Q3) 。

式中, Q1、Q2为L×L阶矩阵;Q3为 (N-2L) × (N-2L) 阶矩阵。

1.2噪声协方差矩阵的估计[5]

将Rx的行和列按{L, L, N-2L}分块为:

式中, ～表示该分块是与计算Q3无关的分块。将A的行按{L, L, N-2L}分块为:

A=[AT1AT2AT3]T, 由式 (4) 可得: R1=A2RSA1, R2=A3RSA*1, R3=A2RSA*3, R4=A3RSA*3+Q3, 在A列满秩的情况下, A1, A2可逆, 可得

Q3=R4-R2RundefinedR3, (5)

引入降维变换矩阵Z=[I3L×3L, O3L× (N-3L) ], 其中, I3L×3L为单位矩阵;O3L× (N-3L) 为全零矩阵, 则

ZT=ZRxZT=ZARSAHZT+ZQZT=BRSBH+Q′。 (6)

将ZT、B、Q′进行分块, 分块后的每个子矩阵为L阶方阵, 有

undefined

由此可得, R11=Q1+B1RSB*1, R22=Q2+B2RSB*2, 由于A, B列满秩, X4=B2RSB*3, X5=Β3RSB*1, 因此X4, X5可逆, 可得

Q1=R11-X2XundefinedX3, Q2=R22-X3XundefinedX6。 (7)

这样就得到了噪声协方差矩阵Q的估计矩阵undefined上标*表示共轭, T表示转置, H表示共轭转置。

1.3DOA估计

用估计得到的噪声协方差矩阵undefined来预白化阵列协方差矩阵Rx, 得到

undefined。 (9)

对矩阵Rw运用MUSIC方法估计得出信号源的DOA。即

undefined。 (10)

式中, undefined为undefined的噪声特征矢量。

2改进的恢复噪声协方差算法[6]

2.1平滑预处理

利用空间平滑技术的思想首先对阵列输出数据矢量x (k) 进行变换:

y (k) =Jx* (k) 。 (11)

J为副对角线元素为1其余元素都是0的N阶倒序置换矩阵。那么, y (k) 的协方差矩阵可以表示为:

Ry=E{y (k) yH (k) }=JR*sJ。 (12)

则前后向平滑后的协方差矩阵可以写为:

undefined。 (13)

其中新的噪声协方差矩阵变为:

undefined。 (14)

2.2估计噪声协方差矩阵

情形①:当2L≥N-2L, 即N≤4L时, 由式 (7) 可以估计出噪声协方差矩阵的前2L个对角线元素Q1, Q2, 假设

式中,

则

Q2′=Q1′ (N-2L∶-1∶1, N-2L∶-1∶1) 。 (17)

情形②:当2L≤N-2L时, 即N>4L时, 应用式 (5) 估计出后N-2L个噪声参数Q3, 假设

则

Q″3=Q3 (N-2L∶-1∶N-4L+1, N-2L∶-1∶N-4L+1) 。 (19)

根据不同情形下估计得到的噪声协方差undefined, 再运用式 (9) 预白化阵列协方差矩阵R, 将空间非均匀噪声变成空间白噪声, 然后按照式 (10) 对预白化处理后的阵列协方差矩阵运用MUSIC方法就可以估计得到信号的DOA。改进后的算法对数据进行了平滑预处理与原方法相比可以估计包含2个相干信号的信号源, 且计算量降低。

3可行性分析和DOA估计步骤

3.1可行性分析

改进后的算法要求阵列必须为中心对称阵列, 且上文中对数据进行的平滑预处理, 相当于是采用了MMS (修正的MUSIC) 算法, 故可以处理包含2个相干信号的信号源, 而这一算法可以应用于非均匀线性阵列的解相干处理, 将NLA阵列的阵元位置矢量设为X=0.5λ[0, 3, 8, 11, 16, 19, 24, 27, 32, 35], 应用改进后的算法, 对整个阵列进行一次前后向平滑, 这样既可以保证文献[6]算法对阵列结构的要求, 同时可以克服NLA阵的测向模糊问题。因此本文的方法同样可以估计包含2个相干信号的信源, 由于非均匀阵列的阵列孔径更大, 所以理论上可以得到比文献[6]中更好的角度分辨力且所需信噪比门限更低。

3.2DOA估计步骤

① 设置非均匀阵列的阵列结构, 使其符合中心对称结构;

② 采样得到阵列数据矢量式 (1) , 并对其进行平滑处理, 得到矩阵式 (13) ;

③ 对2种不同的情形①, ② (即阵元数目和信号数目的大小关系) 分别进行估计, 得到噪声协方差矩阵的估计值如式 (15) 或式 (18) , 再用估计得到的噪声协方差矩阵预白化式 (13) 的数据协方差矩阵;

④ 对预白化后的协方差矩阵进行特征值分解得到信号的DOA估计值。

4仿真实验

4.1对独立信源的估计

方位角为-8°, 0°, 8°的独立信源入射到10元NLA阵, 阵元位置矢量为:X=0.5λ[0, 3, 8, 11, 16, 19, 24, 27, 32, 35], 快拍数为500, 非均匀噪声的协方差矩阵为:Q=[1.9, 2.7, 2.5, 1.9, 2.5, 2.0, 1.0, 0.9, 1.0, 1.9], 信噪比从 (-10∶1∶30) dB变化时, 每一信噪比下重复蒙特卡罗实验50次, 分别计算本文方法和文献[6]中方法的估计成功概率 (误差范围±0.5°) , 结果如图1所示。

从图1可以看出, 所提方法完全分辨3个信号所需的信噪比门限为SNR=0 dB, 而文献[6]的方法则为SNR=22 dB, 可见对空间分布很近的信源的DOA估计, 本文的方法要比文献[6]的算法得到的结果要好得多。这是由于NLA阵列在同样阵元数目条件下阵列孔径更大, 分辨力更高。

4.2对相干信号的估计

入射信号的方位角为:-20, 4, 38, 其中后2个信号相干, 相干系数为exp (j0.7) , 噪声环境、阵列结构、快拍数同上实验, 分别用本文方法与文献[6]中的方法观察SNR=5 dB时的DOA估计结果, 如图2所示。在同样的实验条件下, 使信噪比变化范围为 (-20:1:20) dB, 每一信噪比值下重复50次蒙特卡罗实验, 观察信号DOA估计的成功概率 (误差范围为±1°) 结果如图3所示。

从图2可以看出, 在SNR=5 dB的情况下本文提出的方法的谱估计结果底部存在明显的起伏, 这是由于非均匀线性阵列结构本身的缺点, 但不影响最终结果的判断, 2种方法都可以有效实现对包含一对相干信号信源的DOA估计

从图3 可以看出, 本文所提方法完全分辨3个信号所需的信噪比门限为-2 dB, 而文献[6]的方法则需1.5 dB, 即本文方法可以以更低的信噪比门限达到所需的角度分辨率。

5结束语

与改进后的恢复噪声协方差算法得到的结果相比, 上述方法同样可以实现对独立信号和相干信号的DOA估计, 但信号分辨率更高且完全分辨信号所需的信噪比门限要更低。这是由于非均匀线性阵列在同样的阵元数目下可以获得更大的阵列孔径, 因此获得的优势是以更大的阵列孔径为代价来获取的, 为了不引起模糊进行了一次前后平滑, 因此所提的方法同样只可以对包含一对相干信号的信号源进行DOA估计。

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