曲面混凝土

曲面混凝土（精选7篇）

曲面混凝土 篇1

1 工程概况

银川车站改造工程站房屋面为轻钢屋面与现浇钢筋混凝土梁板屋面结合，(9)轴～(12)轴/?轴～轴范围为现浇清水混凝土双曲薄壳板屋面，结构外型较为复杂，由双曲面体构成，分成三对连续双曲面薄壳板构件，壳体顶标高分别为32 m,38 m,32 m，薄壳板厚度为450 mm，屋盖面积约11 768 m2，清水混凝土约2 648 m3。清水混凝土系一次成型，不做任何外装饰，直接采用混凝土本身的自然质感和精心设计安排的对拉螺栓孔、明缝、蝉缝、装饰片等组合形成自然状态作为装饰效果的混凝土工程。

由于本工程为双曲面构件，对模板弯曲、抗折要求高，且混凝土浇筑面呈曲线状，要确保混凝土浇筑成型且质量达到设计的尺寸要求，则模板工程是一个主要课题。为了能确保混凝土表面质量和外观效果，达到清水混凝土质量要求和设计效果，最后确定采用进口覆膜WISA板，此种模板具有表面平整光洁，模板易分块、腹膜质量好、面板易分割和穿墙螺栓孔眼排列规律整齐，几何尺寸准确，拼缝严密，周转使用次数多的特点。

2 模板的加工制作

2.1 模板组装部件的加工

1)面板的选择及加工。

选料:为保证清水混凝土的饰面特征，加工时要注意WISA面板是否平整、有无破损，夹板有无空隙、扭曲，边口是否整洁，厚度、形状等是否符合要求。

下料:模板的深化设计需根据模板周转使用部位和建筑设计要求出具完整的加工图、现场安装图，每块模板要进行设计编号。

模板的裁切采用裁板机进行套裁，保证裁切部位平直、不崩边。

所有在胶合板上新分割或开孔的地方都要进行封边处理，以防止水的渗入而影响面板的平整度。下料成型的面板不允许出现破损现象，并摆放整齐，有利于下一步工序的进行。

研缝:为保证模板高度尺寸，防止漏浆，满足清水饰面分隔线的尺寸要求，切割后的模板需进行研缝精加工，加工高度比设计尺寸小0.3 mm，研缝成型后刷清漆防潮并堆放整齐。

2)模板龙骨的加工。

模板骨架在保证模板平整度、强度、刚度方面提供了有力保障。因此，模板龙骨加工的准确性也非常关键。

竖向背龙骨采用100×50×4方铝，重量轻、强度高、操作灵活简便。加工时，在方铝背面用电钻钻14圆孔，对应位置另一面钻6圆孔，然后用5×19木螺钉将面板和方铝连接稳固。方铝与面板连接如图1所示。经计算，为保证方铝与木板连接牢固，每隔60 cm钉两个螺钉，两个螺钉相距10 cm。木螺钉严禁从面板一侧钉入。

边框的加工:边框采用10号槽钢，在槽钢上用电钻钻6圆孔，用自攻螺丝固定，见图2。

2.2 模板的制作与安装

1)墙模架体组装。

工序:边框就位(边框采用10号槽钢)→调整宽度尺寸→安装模板内龙骨(受力竖肋采用50 mm×100 mm×4 mm方铝，间距300 mm)→微调对角线→固定模板外楞(采用12勾头螺栓将槽钢固定)→在边框槽钢上焊吊环(用Φ14钢筋做成门拱形)→边框固定(用自攻螺丝固定)→调直边框→报检。

2)面板组装。

加工工序:微调架体→拉对角线、找方→打密封胶→铺板→打自攻钉→拼缝处海绵胶条、黄胶带(防止漏浆)→研边(将下料宽度方向留的余量刨去，要保证平整度)→画穿墙孔底线→开穿墙孔→刷清漆(模板四边及穿墙孔眼部位)→检验→码放。

加工要求:面板拼缝之间的玻璃胶需均匀，自攻钉需均布并打实，画板应抄平并将面板擦干净。模板拼缝做法见图3。

模板竖向拼缝除了采取上述措施防止漏浆外，在大模板边框槽钢上开12的圆孔，用M10对拉螺栓连接紧固，安装图见图4。

3)模板安装。

施工时，须先支设预留洞口、临边模板，再根据模板标号布置支设清水混凝土模板。模板安装顺序如下:a．根据模板施工放线和模板编号，将准备好的模板吊装入位;b．将模板调到合适的位置，通过定位龙骨进行初步固定;c．调整模板的平整度及拼缝，锁紧龙骨;d．检查模板支设情况，根据节点要求对局部进行加强。

3 模板的拆除

1)当混凝土强度达到100%之后，开始拆除模板;

2)第一步先松开顶托，与外龙骨松扣;

3)第二步松开墙模与外龙骨连接，拆除外龙骨，使模板与板底分离;

4)如模板与板底粘结较牢时，用撬棍轻轻敲打模板框架使之与墙体分离，严禁使用撬棍撬动模板破坏清水混凝土;

5)将脱离混凝土面的模板吊至地面，清灰、涂刷脱模剂，以备周转。

4 模板工程技术保证措施

4.1 模板面板

为合理的降低总体模板工程造价，将混凝土浇筑部位分为有建筑表面效果要求的饰面性混凝土与无建筑表面效果要求的普通性混凝土。饰面性混凝土与普通性混凝土模板体系不同，故模板面板材料的选择予以区分对待，饰面性混凝土优先选择优质进口覆膜多层板。

模板面板在对接时，为防止在打灰时漏浆，在水平接缝处打胶，并且在水平接缝的背后加胶带。模板面板的接缝与大模板的接缝必须与建筑设计的明缝蝉缝相吻合，严禁将模板接缝留在非建筑立面效果设计部位。为保证墙面质量，板面应随时清灰，用干净棉丝擦抹并及时涂刷新的隔离剂。

4.2 模板体系

为了保证面板与几字型材的连接强度，防止面板在使用过程中发生脱落，圆弧墙体模板的面板与几字型材采用背面木螺丝连接，为减少外露印迹，钉头下沉，表面刮腻子，待腻子表面平整后，在钉眼位置喷清漆，使其在混凝土表面不会留下明显痕迹;直墙模板的面板与几字型材的连接采用反钉法。

模板体系利用建筑立面的饰面设计特点采取了有效措施防止漏浆，大模板拼装时除了夹紧模板夹具外，在模板的接缝处要加塞海绵胶条，同时在模板下口装饰条紧贴的明缝内要注意海绵胶条的设置。

4.3 脱模剂

脱模剂的选用一定要经过实验，证明不会对混凝土造成污染后才能使用。

4.4 吊装运输

模板进场卸车时，应水平将模板吊离车辆，并在吊绳与模板的接触部位垫木方或角钢护角，避免吊绳伤及面板，建议两块一起吊，吊点位置应作用于背楞位置，确保有四个吊点并且均匀受力。吊离车辆后，平放在平整坚实的地面上，下面垫木方，避免产生变形。平放时背楞向下，面对面或背对背的堆放，严禁将面板朝下接触地面。模板面板之间加毡子以保护面板。模板吊装时一定要在设计的吊钩位置挂钢丝绳，起吊前一定要确保吊点的连接稳固，严禁钩在几字型材或背楞上。注意模板面板不能与地面接触，必要时在模板底部位置垫毡子或海绵。模板施工中必须慢起轻放，吊装模板时需注意避免模板随意旋转或撞击脚手架、钢筋网等物体，造成模板的机械性损坏和模板的变形及安全事故发生，影响其正常使用;并严格保证两根吊绳夹角小于5°;严禁单点起吊;4级风(含)以上不宜吊装模板。入模时下方应有人用绳子牵引以保证模板顺利入位，模板下口应避免与混凝土墙体发生碰撞摩擦，防止“飞边”。调整时，受力部位不能直接作用于面板，需要支顶或撬动时保证几字型材、背楞位置受力，并且必须加木方垫块。套穿墙螺栓时，必须在调整好位置后轻轻入位，保证每个孔位都加塑料垫圈，避免螺纹损伤穿墙孔眼。模板紧固之前，应保证面板对齐，严禁在面板校平前上夹具加固。浇筑过程中，严禁振捣棒与面板、穿墙套管接触。模板拆卸应与安装顺序相反，即先装后拆、后装先拆。拆模时，轻轻将模板上口撬离墙体，然后整体拆离墙体，严禁直接用撬棍挤压面板。拆模过程中必须做好对清水墙面的保护工作。拆下的模板轻轻吊离墙体，放在存放位置准备周转使用。装车运输时最下层模板背楞朝下，模板面对面或背对背叠放，叠放不能超过6层，面板之间垫棉毡保护。

5 结语

银川车站改造工程站房屋面施工中，通过重点从模板品种、模板体系的选型、模板施工工艺和模板的加工与安装四方面进行有效控制，屋面的清水混凝土工程质量达到了业主、设计院及监理单位所制定的指标要求。

摘要：以银川车站改造工程为例,着重对现浇清水混凝土双曲薄壳板的模板制作安装、拆除及技术保证措施等方面进行了具体分析,经实践取得了良好效果,为今后同类模板施工提供了一定经验。

关键词：清水饰面混凝土,双曲抛物面,模板施工

参考文献

[1]程华安.现浇楼梯清水混凝土模板设计与施工[J].山西建筑,2010,36(17):133-134.

曲面混凝土 篇2

曲面重构是当前逆向工程中的一项关键技术, 其方法可被归纳成两类:一类是直接对整个网格进行曲面重构的方法, 如利用一系列B-样条曲面片, 面片之间保持一定的几何连续性的重构[1,2,3]、使用细分曲面[4]和代数曲面[5]的重构、使初始表面自动收缩到目标模型的基于水平集的重构[6];另一类则是先将原始网格进行区域分割, 形成多个特征区域, 而后对各个特征区域根据其类型分别进行曲面重构的方法[7,8,9]。这两类方法由于缺乏原始曲面的信息, 在复杂度以及适应性方面往往不能满足应用的需求。

为此, 本文在基于原始曲面信息的基础上, 提出了一套针对变形后的网格进行曲面重构的框架与方法。利用原始边界点的信息, 将变形后的网格分成多个特征区域, 对于二次曲面, 提出了一种基于等参数线的参数提取方法, 对于一般样条曲面, 则采用了一种误差控制的B-样条曲面多步迭代方法。

1 变形网格的曲面重构框架

由于CAD模型中曲面类型的多样性, 本文基于分而治之的思想进行曲面重构。对于不同类型的曲面, 采用不同的重构方法, 使得整个系统的鲁棒性较好。为此, 我们按图1构建了整个系统框架。

(1) 将原始CAD曲面模型进行三角化, 受力分析后得到变形后的网格。三角化的过程中记录下边界上的点以及各点对应于原始曲面上的参数值u、v, 利用这些边界点的信息, 可以将变形后的网格分成多个特征区域, 使得每个特征区域对应于原始模型中的一张面。这样既提高了网格分解的效率与准确性, 又为以下各步提供了原始曲面的信息。

(2) 根据原始曲面类型, 将待重构的曲面分为二次曲面和一般NURBS曲面。

(3) 根据二次曲面特征, 判断变形后的二次曲面是否依然为二次曲面。若是, 提取二次曲面参数, 重构出二次曲面;若不是, 执行 (4) 。

(4) 根据原始曲面是否为闭合周期曲面, 分别利用闭合周期曲面的方法和开曲面的方法进行拟合, 得到变形后的B-样条曲面。

(5) 所有曲面重构完成后, 对重构出来的曲面进行裁剪缝合, 得到变形后的实体模型。

为了便于描述, 记每张曲面三角化后的点列为{Qi: (xi, yi, zi) } (i=0, 1, …, N-1) , Qi对应于原始曲面的u、v参数为 (ui, vi) 。

2 二次曲面的识别和参数提取

如果物体只是作刚体变换, 变形前的二次曲面, 对应于变形后的曲面, 仍然是二次曲面, 我们可以先识别出这些二次曲面, 从而简化整个曲面重构过程, 并且可以提高曲面重构的质量。本文中各二次曲面的识别基于先构造后识别的思想, 即如果原始曲面是二次曲面, 我们先假定变形后的曲面仍然是一个二次曲面, 即只是刚体变换, 构造一个二次曲面, 然后判断待拟合点列{Qi}到该二次曲面的误差, 如果误差在给定的误差范围之内, 则认为变形后的曲面即为所构造的二次曲面, 否则采用B-样条面进行拟合。

由于参数曲面具有仿射不变性的特点, 如果变形后的曲面仍然是二次曲面, 即只经过刚体变换, 变形前各点所对应的u、v参数值, 即为变形后各点的u、v参数值。基于这个结论, 本文提出了一种基于等参数线的二次曲面构造的方法, 该方法避免了直接拟合过程当中的非线性求解问题[10], 简化了二次曲面的构造。

2.1等参数线的提取

基于刚体变换这一假设, 变形前和变形后各点的参数相同, 我们先从参数域上对各个三角面片进行插值, 而后得到三维笛卡尔坐标系中的等参数线。

如图2所示, Qi (i=1, 2, 3) 为原始曲面上邻近的三个采样点, 其对应的u、v参数值分别为 (ui, vi) , 为了提取对应于u=u0上的等参数线, 先通过插值方法得出图中Q点的坐标。令undefined, 则Q点的参数值为u=u0, v= (1-t) v1+tv2, 将参数域映射到三维笛卡尔坐标系中即可得到插值后的点Q= (1-t) Q1+t Q2。将插值后得到的各点进行拟合, 即可得到所求的等参数线。

在下文的分析中, 我们将所提取的等参数线的条数取为3, 分别对应于u向 (或v向) 参数值中的最小值umin (或vmin) 、最大值umax (或vmax) 和中值undefined (或undefined。如果为了提高参数提取的精度, 则可以适当增加提取的等参数线的条数来实现。

2.2平面识别与参数提取

如果原始曲面是平面, 直接利用最小二乘拟合的方法, 可以得到平面的参数〈P, n〉, 其中undefined, 为平面上一点, n为平面的法向, 由其协方差矩阵中对应于最小特征值的特征向量得到。

判断各点到平面〈P, n〉的最大误差ε, 若ε小于给定的误差阈值ε0, 则认为是平面, 否则按B-样条曲面重构方法进行拟合。

2.3圆柱面识别与参数提取

如果原始曲面是圆柱面, 先构造一个圆柱面。圆柱面可以用一个三元几何参数〈P, n, r〉来表示, 这里的P则为轴线上一点, r为圆柱面半径。

(1) 圆柱面轴向n的提取。

按2.1节所述方法提取出v向 (即轴向) 上的等参数线, 其类型为直线, 设每条等参数线的方向为ni, 则柱面轴向为这些方向的平均值, 即undefined, 其中, m为等参数线的条数。

(2) 轴线上一点P以及圆柱面半径r的确定。

得到轴向n后, 可以通过点列中任意一点 (不失一般性, 记为Qk, 0≤k≤N-1) , 以轴向n为法线做平面S, 将所有点{Qi}投影到该平面S, 记Qi所对应的投影点为Q′i, 对{Q′i}拟合最小二乘圆, 其圆心和半径即为所求的P和r。

判断各点到柱面〈P, n, r〉的最大误差ε, 若ε小于给定的误差阈值ε0, 则认为是柱面, 否则按B-样条曲面重构方法进行拟合。

2.4锥面识别与参数提取

如果原始曲面是圆锥面, 先构造一个圆锥面。同样, 圆锥面也可以用一个三元几何参数〈P, n, φ〉来表示, 其中φ为锥面张角。各参数构造如下:

(1) 锥面轴向n以及轴线上一点P的提取。与圆柱面轴向n的提取不同, 我们首先提取出u向 (即圆周方向) 上各等参数线, 其类型为圆, 设各等参数线所在圆的圆心为ci (i=0, 1, …, m-1) 。对所有圆心ci进行直线拟合, 所得直线的方向即为所求的轴向n。轴线上一点P的确定, 可以取任意圆心ci在轴向n上的投影。

(2) 锥面张角φ的提取。分别提取对应于等参数线v=vi上的等参数线, 其类型为直线, 设该直线与轴线的夹角为φi, 则锥面张角可以取为这些夹角的平均值, 即undefined。

判断各点到锥面〈P, n, φ〉的最大误差ε, 若ε小于给定的误差阈值ε0, 则认为是锥面, 否则按B-样条曲面重构方法进行拟合。

3 B-样条曲面的重构

B-样条曲面重构过程中, 参数化起着关键性的作用。Sarkar等[11]解决了B-样条曲线曲面拟合中的参数优化问题;Ma等[12]利用构造基曲面的方法来解决散乱数据的参数化问题;Floater等[13]对参数化作了一个总结。

由于变形前和变形后的曲面拓扑同胚, 参数曲面在仿射变换下又具有不变性, 因此, 在变形不是太厉害 (如褶皱) 的情况下, 变形前的参数即可认为是变形后各点的参数值, 这样无须考虑待拟合网格的拓扑形状, 也不用关心其是否存在孔洞, 大大简化了曲面重构中参数化的问题。本文给出了一种误差控制的B-样条曲面逼近的多步迭代方法。

3.1误差估计及新节点向量的确定

通常, 估计待拟合点列{Qi:i=0, 1, …, N-1}到曲面S的最大距离可根据如下两种方式[14]进行计算:

undefined

或者

undefined

后者是一个非线性优化的问题, 可用Newton-Raphson迭代的方法求得, 但计算量较大。本文利用前者来估计待拟合点列到拟合曲面的最大距离。

如果拟合曲面的最大误差大于给定的阈值, 统计出这些点所对应的节点的区间, 对于u向而言, 可以得到一个大于给定阈值的点的数目最大的区间, 设为[uk, uk+1], 同样, 对于v向而言, 也可以得到一个区间[vl, vl+1]。新的节点U′、V′可以通过分别在原有的节点U、V中将undefined插入到[uk, uk+1]区间, 再将undefined插入到[vl, vl+1]区间而获得。新得到的节点可以表示为

undefined

undefined

3.2误差控制的B-样条曲面逼近的多步迭代方法框架

(1) 根据原始曲面的信息, 确定待拟合曲面的次数ki, i= (u, v) 以及初始控制顶点数目m0、n0。曲面次数及初始控制顶点数目可以为原始曲面的次数及控制顶点数, 原始曲面次数小于3的则取为3, 原始控制顶点数目小于5的则取为5, 这样可以减少曲面拟和过程中的迭代次数。用以控制最大误差的阈值ε0通常由用户给定。

(2) 待拟合点列的参数化。由于原始曲面与变形后的曲面有着拓扑同胚的关系, 我们直接利用变形前各点的参数值作为该点的参数值 (ui, vi) 。

(3) 利用平均节点参数化[12]方法计算出初始节点U0和V0。Ma等[12]的研究结论表明, 平均节点参数化几乎可以保证最小二乘求解中的系数矩阵不是奇异矩阵或者条件数很差, 因此使用平均节点参数化方法可以防止病态方程的出现或是方程无解, 从而提高曲面拟合的鲁棒性。

(4) 利用最小二乘的方法, 拟合一张B-样条曲面Si (u, v) 。闭合周期曲面和开曲面分别使用不同的拟合算法。闭合周期曲面将增加额外的闭合周期的约束, 使得重构出来的曲面S在起始和终止点处具有与其他节点处相同的连续性。

(5) 计算变形后各点到曲面的最大误差ε。误差估计采用3.1节中所描述的方法, 若ε<ε0, 结束迭代。否则执行 (6) 。

(6) 若迭代次数超过给定阈值Niter, 结束迭代。否则将控制顶点数目加1, 即m0=m0+1, n0=n0+1, 新的节点向量按照3.1节中所描述的方法进行计算, 转入 (4) 继续迭代。

图3显示了B-样条曲面拟合的一个迭代过程, 给定的误差为0.1mm, 其中, 图3a所示为受力分析变形后的网格, 图3b～图3d所示为第一次、第二次、第三次的迭代结果, 其v向的控制顶点数分别为5、6、7, u向控制顶点数分别为20、 21、22, 三次迭代即可满足给定的误差要求。

4 曲面的裁剪缝合

各张曲面拟合完成后, 需要将拟合好的曲面进行裁剪缝合, 得到一个与原始实体模型拓扑一致的实体模型。如果不借鉴原始模型的拓扑信息, 拟合出来的曲面需要两两延伸求交才能得到裁剪后的曲面, 其计算复杂度为N′ (N′+1) /2 (N′为原始模型中面的个数) , 计算量是非常大的, 并且容易产生错误的结果。

本文基于采样点中的边界信息, 通过将拟合好的边界曲线投影到曲面上而得到裁剪后的曲面。记原始模型中的边和面分别为ei和fi, 变形后拟合出来的相应边界曲线和曲面分别为e′i和f′i, 原始模型中面fi的边界为{ei1, ei2, …, eini}, 其中ni为面fi的边界的条数, 则裁剪后的变形后的曲面可以通过将边界曲线{e′i1, e′i2, …, e′ini}投影到f′i上得到。这里需要考虑两方面的问题:一是为了保证边界曲线能够投影到曲面上, 需要将拟合出来的曲面进行延伸, 试验中通过在参数域上沿各个方向分别延伸1%得到;另一方面是边界曲线投影到曲面上后, 会将曲面分割成几个不同的区域, 需要通过一定的准则快速选取一个正确的区域作为裁剪后的曲面。记分割后的各个区域为Ωi, 选取准则可以描述如下:

(1) 计算各区域Ωi的边界数, 如果Ωi的边界数等于原始模型中相应面的边界数, 加入到候选集中。

(2) 如果候选集中的区域数为1, 则该区域即为所求的裁剪后的曲面。

(3) 如果候选集中的区域数大于1, 选取对应的变形后的网格中的一个内部点, 记为vi, 对于候选集中的每个区域, 计算vi到该区域的距离, 距离最小的那个区域即为所求。

该过程中耗时最多的步骤为求点到曲面的距离, 由于大部分情况下, 候选集中的区域数为1, 只有对于类似于球, 圆环的情况才会出现 (3) 中所描述的现象, 并且此时候选集中的区域数已经很少, 通常为2, 因此求点到曲面的距离的次数是很少的, 整个选取的过程比较高效。

裁剪后得到的各张曲面, 按照原始的拓扑关系进行缝合即可得到最后的实体模型。

5 实验结果

本文算法基于Windows XP操作系统, 以VC++ 6.0为实现平台, 在PⅣ 2.4GHz, 1GB内存的PC机上实现。

图4给出了几个实际模型重建后的结果, 其中模型A为各拟合曲面经延伸、裁剪以及缝合后得到的受力分析变形后的实体模型, 模型B为原始模型。变形数据在COSMOSWorks中经有限元分析后得到, 其中箭头1表示受力方向, 箭头2表示固定区域, 实体模型均是在SolidWorks中生成并显示的。表1给出了图4中各模型曲面重构后的统计分析, 其中二次曲面和B-样条曲面两栏分别表示模型变形前后相应曲面的个数, 其形式为m′/N′, m′表示变形前相应曲面的个数, N″表示变形后相应曲面的个数。最大误差、平均误差、均方差是图4中各模型的误差分析主要指标, 图5给出了误差分析的可视化显示。

6 结束语

本文在基于原始曲面信息的基础上, 提出了一套针对变形后网格进行曲面重构的框架与方法。利用CAD模型中的边界信息将变形后的网格分成多个特征区域。对于二次曲面, 提出了一种基于等参数线的参数提取方法;对于一般样条曲面, 采用了一种误差控制的B-样条曲面多步迭代方法。对于闭合周期曲面, 加上了周期的约束, 使得曲面在起始和终止点处具有与其他节点处相同的连续性。由于使用的是变形前的u、v参数作为曲面拟合中的参数, 对于变形剧烈的模型, 重构的效果不是很好。

摘要：为了对有限元分析后的模型进行干涉检查和再分析, 需对变形后的网格重建实体模型。基于原始曲面的信息, 对变形后的网格进行区域分割, 针对分割后的每个特征区域, 分别对二次曲面和B-样条曲面采用了不同的重构方法。对于二次曲面, 提出了一种基于等参数线的二次曲面参数提取的方法;对于B-样条曲面, 给出了一种误差控制的B-样条曲面拟合的多步迭代方法。基于原始模型的拓扑结构, 对重构后的曲面进行裁剪缝合得到变形后的实体模型。由于利用了原始曲面信息, 使得曲面重构得以简化。实验表明, 基于原始曲面信息的曲面重构方法可以快速有效地重构出任意复杂拓扑结构的变形后的曲面。

“平面”“曲面”探源 篇3

明清时期, 西学东渐历经300多年。大致分为两个阶段, 第一阶段是明万历年间, 耶稣会传教士的到来, 在我国传播了大量的科学技术。在这一阶段中, 利玛窦和徐光启合译的欧几里得的《几何原本》前六卷为最早专门对西方数学著作所做的翻译。

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作, 共13卷。这本著作是现代数学的基础。我国的《几何原本》是1607年意大利传教士利玛窦 (Matteo Ricci, 1552-1610) 和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》 (15卷) 合译的, 共翻译了前6卷。而后9卷的翻译则推迟了200多年, 由清代数学家李善兰和英国人伟烈亚力合作完成。本文所说的“平面”与“曲面”是根据徐光启和利玛窦翻译的前6卷而做的探讨。

二、平面

(一) 辞典的解释

《汉语外来词词典》平面:“最简单的面, 在一个面内任意取两点连成直线, 如果直线上所有的点都在这个面上, 这个面就是平面。”源日平面意译英语plane。《辞海》也收入“平面”, 其释义和《汉语外来词词典》一样, 也表明是外来词, 源自日本。

“平面”真的源自于日本吗?我们先看下中国词典的释义:

据《汉语大词典》【平面】指没有高低曲折的面。数学上称最简单的面, 即在相交的两直线上各取一动点, 并用直线连接起来, 所有这些直线构成一平面。现亦常用于比喻。 (这里给出了意思并无例证。) 《汉语大词典》对“平面”的另一种解释认为用例最早出现在明朝吴承恩的《先府君墓志铭》:“里中有争鬪較量, 競趨先公求平面, 折之亦欣欣去。” (这里“平面”意为评断面折, 是其缩写, “平”通“评”。并不表示物体表面的意思, 与本文讨论之“平面”无关联。) 《近现代辞源》解释“平面”:一条直线在空间中沿着单一方向或相反方向运动的轨迹。最早是在1602年利玛窦《坤與万国全图跋》:“地形本圆球, 金图为平面”。

以上可以看出我国使用“平面”一词是在1602年, 是在西学东渐时产生。

再看日本辞典的释义:

《日本国语大辞典》ひら‐おもて【平面】幅が広く、平板な顔。平たい顔。*宇治拾遺[1221頃]九·五「ひらづらなる法師の、ふとりたるが、六十ばかりなるにてあり」 (这里的“平面”意思为人的脸面)

《日本国语大辞典》 (名) 1. (形動) たいらな表面。また、表面がたいらであるさま。 (“平面”用来指物体表面)

*遠西観象図説[1823]中·太虚「只、平面不動の大世界にして、山岳·江海·其上に凝著し、人蓄·草木、其間に生死す。これを地球と云ふ」

*東京新繁昌記[1874～76]〈服部誠一〉初·招魂社「阪頂に到れば則ち平面広濶、以て群霊を招く可し」

2. (形動) 物事に変化や激動などのないこと。また、そのさま。

*手紙[1911]〈夏目漱石〉二「常と少しも違はない平面な調子で」

数学で、面の一種。その上にあるどの二点を通る直線も常にそれに含まれるような面。

*工学字彙[1886]〈野村龍太郎〉「Plane平面」

*数学ニ用ヰル辞ノ英和対訳字書[1889]〈藤沢利喜太郎〉「Plane Surface平面」

*幾何要法‐審平面章「平面者、諸方皆作直線」 (可以看出“平面”来源于《几何原本》)

日本对“平面”最早的例证是宇治拾遺[1221頃], 是在1221年左右, 比中国的1602年早, 难道“平面”真的源自于日本?下面笔者做个“平面”义项的分析, 探讨下“平面”的来源。

(二) “平面”的义项分析

从上面的各种辞典中, 笔者把“平面”的意思归为三个:一是指人的脸面是平坦的 (指人) , 记做平面1 (《日本国语大辞典》中书证1221年, 中国词典中无此义项) ;二是指物体的表面是平的 (指物) , 记做平面2。在数学中运用的“平面”记做平面3。

从以上各种词典用例可以看出, 日本用平面1一词最早是在1221年左右, 意为宽广平坦的脸面, 用来指人。用平面2和平面3都是从《几何原本》中传入的, 最早书证是在1823年。另外, 根据以上各个辞典所引书证表明中国使用“平面”一词是在西学东渐时期。

我们先看下平面1, 据考查平面1在我国古代早已经出现:

例: (1) 行马一对, 红罗窄袄子, [平面]玉御带, 银褐中单, 乌纱幞头, 衣匣, 衣床, 行马全。 (金《大金吊伐录》) 这里的“平面”就是平面1, 表示人的脸面是宽广的, 方的, 平的等, 此书纪金太祖 (1068-1123年在位) 太宗 (1123-1135年在位) 用兵克宋之事, 可见比日本的最早例证1221年早。

此外, “平面”在我国古代形容人的还有另外一种意思指“平视”, 例如:

(2) 曲礼曰视天子由袷以下, 视诸侯由颐以下, 视大夫由衡, 视士则[平面], 得游目五步之内。 (《礼》)

(3) 扫除却粪秽草土并当尽。一物亦无。是何物。尔坐时[平面]端身正坐。 (唐佛经《楞伽师资》)

所以日本的平面1一词继承了我国古代“平面”之词的一个义项。

再看下平面2, 据以上词典收入的用例, 可以认为我国使用平面2是在1602年利玛窦翻译《坤與万国全图跋》出现, 中国比日本早了一百多年。而使用平面3是1607年利玛窦在中国翻译《几何原本》时出现, 这种意思表达也远比日本早。也就是说中国用平面2和平面3在西学东渐时产生, 比日本早二百多年。但是探求下其的词义与词源, 事实并不是如此。

据考证, “平面”一词在中国古代早已有之, 请看文献记载:

(4) 如笏或團, [平面]磨錯令光净, 以塩水灑之, 於醋甕中隂處埋之 (北宋唐慎微 (1086～1094) 《重修政和证类本草》)

(5) 金、玉、水晶、金涂四等闹装, 占鞢促结为坐龙, 碾鈒镂尘沙面、[平面]、洼面、方团、寸节、卷荷校具, 皆垂六鞘, 金银裹鞍桥、衔镫 (《宋史》)

(6) 以分至日不设椅桌, 唯用[平面]席褥, 不焚纸币, 以子弟执事, 不杂以婢仆, 先事致斋之类颇为近古宋徐度《却扫编》

这里的“平面”意为物体的表面是平面。也就是说平面2在我国宋代已经出现, 并不是西学东渐的产物。

最后考查平面3, 在我国的《九章算术》中也已经出现:

(7) 五尺為句, 句自乘幂二十五尺, 倍之得五十尺, 以為股幂, 謂[平面]方五尺之弦也 (《九章算术》)

这里“平面”就是指的数学意义上的平面, 所以我国在古代也早已经使用平面3。

以上可以看出, 无论是平面1或平面2或平面3都是来自于中国古代, 并不是日本传来, 也不是西学东渐的产物。从而我们得知徐光启和利玛窦在翻译《几何原本》时把平面用到数学意义上是理所当然。

二、曲面

《汉语外来词词典》并未收录“曲面”, 《现代汉语辞海》也没有收录, 所以“曲面”是不是我国词汇呢?若是, 是在何时出现的呢?是不是与“平面”相对应出现呢?

《汉语大词典》【曲面】物体的边缘或空间中的曲线依一定条件运动的轨迹, 例如球面、圆柱面等。 (只有解释并无用例)

《近现代辞源》收入“曲面”:按一定条件运动的轨迹。最早出现是在1607年利玛窦译《几何原本》卷一:“若曲面者, 则中间线不遮两界。”

《日本国语大辞典》きょく‐めん【曲面】 (名) 1.面のうち平面でないもの。球の表面や円柱、円錐の側面など。

*ガトフ·フセグダア[1928]〈岩藤雪夫〉四「此の太平洋を三股位に跨いでゐるかも知れない程の潮の曲面とその頂点 (てっぺん) が一筋か二筋、見えるだけだ」。 (最早书证)

以上辞典得出“曲面”在我国西学东渐时产生, 随后影响日本, 用来表示物体表面不是平的, 弯曲的, 进而用到数学上。

那我国古代有没有“曲面”一词呢?请看以下文献记录:

(1) 沔彼流水兮, 清且漣漪;度木為梁兮, 斯焉在斯。成金橋之巨麗, 得鐵鏁之宏規。當其受以金模, 觀其[曲面], 經始也 (唐潘炎金橋賦)

(2) 西山藴靈異九[曲面]崚嶒泉石漱鳴玊松蘿掛古藤勢雄掀宇宙地大壓丘陵日永清隂覆朝来爽氣澄幽尋 (元無錫縣誌)

可见, 我国唐朝就有“曲面”一词, 表示曲折不平的面。所以, “曲面”一词我国古代也早已有之, 也用来表示物体的表面不平之意。因此, 利玛窦在翻译外籍文献时所用“曲面”也是照用的我国古代词语, 并不是西学东渐的产物。

摘要：本文考察了《几何原本》中“平面”和“曲面”两词的来源与其表达的意思。发现“平面”并非日源词, “平面”和“曲面”也并不是在西学东渐时所产生, 其在我们古代早已经出现, 只是利玛窦在翻译《几何原本》时给它们增加了数学意义。

关键词：西学东渐,平面,曲面

参考文献

[1]、汉语大词典编纂委员会《汉语大词典》, 汉语大词典出版社, 1986—1993年

[2]、黄河清《近现代辞源》, 上海辞书出版社, 2010年

[3]、范庆华等《现代汉语辞海》, 黑龙江人民出版社, 2002年

[4]、刘正埮、高名凯、麦永乾、史有为《汉语外来词词典》, 上海辞书出版社, 1984年

[5]、大辞典刊行会《日本国语大辞典》 (第二版) , 小学馆, 2000—2002

复杂空间曲面幕墙设计 篇4

近年来, 随着国内劳动力成本的提高, 单元式幕墙与框架式幕墙之间的成本差距已经缩小, 而另一方面, 随着市场对建筑幕墙品质要求的不断提升, 单元式幕墙质量一致性好以及施工速度快的优点开始突出起来, 这些有利的因素开始推动单元式幕墙在高层、超高层建筑中逐渐普及。

单元式幕墙在工厂完成单元组件制作, 将面板安装在单元组件框上, 而单元组与主体结构的连接构件安装在单元组件内侧, 在吊装时单元组件与主体结构的连接在内侧操作。单元组件间靠相邻两单元组件相邻框对插组成。

不过, 单元式幕墙使用也有局限。其构造复杂, 不适合做多规格少批量的生产。所以一般都希望尽量能统一规格, 以形成一定的加工批量。另外单元式幕墙密封系统采用等压腔原理, 其比普通框架式的密封胶封闭工艺要复杂, 对单元板块互相插接后所形成的腔体也有严格的要求。这就要求立面造型尽量简单。所以一般情况下, 单元式幕墙适合用在立面规整、造型简单的建筑中, 而立面复杂的建筑则多使用框架式幕墙。

以往的高层和超高层建筑大都符合单元式幕墙的使用条件, 一般都是较大的体积和较为规整的立面。但人们总向往能够得到与众不同的东西, 所以像鸟巢、央视大楼这一类造型奇特的建筑便应运而生了。这对我们来说, 意味着市场正在形成一个新的需求, 有必要进行这一领域的技术探索和研究。

二、技术难点

在之前的许多项目中, 由于建筑表现的需要, 有时需要将一些扭曲的复杂空间曲面应用于建筑外表。这一类项目的幕墙构造也是采用平板材料来模拟空间曲面, 对于圆锥、圆球一类的规则空间曲面, 还可以采用一组梯形平面板块来模拟, 但对于不规则的复杂空间曲面则往往只能采用三角形的平面板块来模拟。

这种情况主要是因为复杂空间曲面很难划分出四点共面的四边形板块, 因而相邻四边形板块边缘就不能彼此完全重合, 从而无法形成有效密封。而三角形的板块不存在顶点不共面的问题, 可以保证相邻板块的边缘完全重合, 有效解决幕墙的密封构造问题, 所以广泛应用在复杂空间曲面的划分上。

但是, 三角形板块的应用障碍是视觉效果不好, 尤其是从室内观看的效果尤为突出, 一是三角形的斜边破坏视角的通透性, 二是由于倾斜的线条过多且会在视觉上显得比较杂乱, 所以在使用过程中, 其效果不如四边形板块好。

三、解决方案

国际上一些流行的做法, 大都采用对碰式的密封技术。这种方法是将单元板块侧面安装两圈空心胶条, 单元板块安装时板块对碰, 靠胶条的压缩变形实现密封。这种做法的好处是构造简单, 但缺点是密封不佳。由于胶条的尺寸与相邻两个单元板块的胶条无法对齐, 所以必须通过加大胶条的叠合面积来解决板块的错动问题。错动量越大, 胶条尺寸就越大, 否则会在错动的单元板块间会形成局部缝隙, 无法形成密封腔体。

对于水密性能要求很高, 加上板块之间的错动量较大的单元幕墙, 不适合采用传统的‘对碰密封’技术。如何对传统的‘对碰密封’技术加以改造呢?我们通过分析后, 采用了一个新的思路, 将用于碰接的密封部分和用于安装玻璃的框架部分分解成两部分, 即可解决这个问题。沿着这个思路, 我们需要做以下几个工作:

1. 密封组件和框架组件之间的连接及工艺

复杂空间曲面在划分四边形板块时, 单元板块规格会非常多, 但每种规格的数量很少, 甚至有的规格只有一块。考虑到加工生产所面对的困难和挑战, 必须在工艺设计上尽量降低生产和施工的工作量。

如图1, 在构造设计过程中, 采用了平面四边形的板块边框配合活动密封槽的构造。这样将拼接板块由空间四边形转化为平面梯形, 降低了加工难度。在密封槽的设计上, 采用固定密封槽 (与板块边框成为一体) 与活动密封槽搭配的设计。之所以不采用纯活动密封槽搭配的原因, 是活动密封槽与固定密封槽搭配方式可以比纯活动密封槽搭配减少一半的零件数量, 这对生产加工带来很大的好处。

活动密封槽与板块边框之间采用螺钉连接。由于活动密封槽在板块边框上安装固定时需要调整角度, 为方便调整安装角度, 在活动密封槽上开条形孔, 并设置防滑纹。这对于加工生产而言, 无需精确测量及加工, 以简化加工难度。

与板块边框加工不同的是, 活动密封槽的端头加工需要切空间角度。保证足够加工精度需要以降低生产效率为代价。但我们经过分析后认为, 密封槽的功能仅为构造幕墙的密封系统所用, 其本身并不外露, 因而在能保障接头密封的情况下可以放松接缝的拼接要求, 这样可以较大幅度地提高生产效率。当然, 为保证在降低接缝工艺标准的情况下仍然可以满足接头的密封要求, 我们在密封槽拼接接缝部位用EPDM发泡垫片来消除误差。EPDM发泡垫片因其耐老化性好, 现场处理比较容易, 同时减少加工厂打胶, 可以节省加工时间。

2. 保证对碰胶条严格对齐

单元式幕墙基本构造如图2, 从图中可看出, 等压腔达到防水的关键是密封条的对碰及密闭。因此确保对碰的胶条对齐是本次设计的一个重点, 这直接影响水密性能和气密性能是否能够满足设计要求。由于本项目板块均为空间定位, 因此板块之间不能维持横平竖直的对照关系, 所以单元板块安装时很难准确定位在理论的空间位置上。但单元板块一旦因为安装定位偏差, 就会造成密封槽的对碰胶条错位, 从而影响密封效果, 严重的还会导致密封系统失效。因此在设计采用了一个新的思路, 在活动密封槽之间加装定位角码, 通过其定位来消除误差, 确保本胶条中心线在同一位置, 从而使气密性和水密性能满足要求。我们在密封槽设计上采用了活动密封槽和固定密封槽搭配的方法, 并在固定密封槽内设置了导向定位器 (定位角码) 来确定活动密封槽的安装。在两个板块对碰的过程中, 导向定位器可以纠正板块之间的拼装偏差, 从而确保对碰胶条严格保持对齐。

三、结束语

谈谈曲面积分的计算方法 篇5

2将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法

这就必须把曲面分别投影到y Oz、z Ox、x Oy面上, 再分别按照前侧为正后侧为负、右侧为正左侧为负、上侧为正下侧为负的规则再次分解。这样一来就需要六个式子来计算一个第二型曲面积分, 运算量相当大且容易出错。

例:计算下列闭曲面上的曲面积分 (积分沿区域Ω之边界曲面的外侧) :

(2) 先将第二型曲面积分转化为第一型曲面积分:

再将第一型曲面积分转化为二重积分:

若在x Oy面:

y Oz, x Oz面上以此类推。

最后利用二重积分计算得出结果。

较第一种方法, 此方法更加灵活多变, 在计算中可以省很多力气。

在第一、四卦限 (x≥0, z≥0) 的部分, 积分沿S的上侧;解:S的单位正法向为

3 总结

利用向量形式计算第二型曲面积分直接将第二型曲面积分转化为一个二重积分计算, 避免了传统计算方法对曲面侧的判定, 其显著优点是物理意义明确, 计算过程简单, 适用于所有的第二型曲面积分的计算。但是, 计算时要不断地总结, 学会根据题型的变化来选择方法, 寻求更加简便的方法, 不能一味的追求某一种。

而且, 高等数学这门科学是博大精深的, 要不断的学习研究才能领悟得更多。就自身而言, 要抱着谦虚谨慎的态度, 努力钻研高数, 希望能够参透高等数学的一角。

摘要：这里介绍将第二型曲面积分化为二重积分来计算的方法, 第二型曲面积分属于向量函数的积分, 在流体力学和电磁学等领域有极为广泛的运用。所以, 正确选择计算第二型曲面积分的方法对解决问题有着很大的帮助。

关键词：曲面积分,二重积分,计算,转换

参考文献

[1]数学分析讲义.高等教育出版社上册, 第五版, 2008年

DMFFD的曲面变形技术研究 篇6

由于FFD存在固有的问题, 所以在FFD变形的基础上, 又提出了许多FFD变形的改进算法, 如直接操作自由形式变形[3], 扩展自由变形[4]等直接操作自由形式变形 (DMFFD) 是直接操作物体的顶点, 来反求得控制点的位移, 简单方便, 容易操作, 且因是直接变形而能够达到精确变形, 解决了FFD变形四个方面的问题。

但是直接操作自由形式变形只能移动物体的控制点, 变形方式唯一, 有些物体的变形是单纯靠移动控制点无法完成的。

本文对直接操作自由形式的变形技术进行介绍, 同时对直接操作自由变形进行了改进, 使其更加直观, 更多的选择性, 有更好的自主性, 较好的完成了曲面变形。

1 算法介绍

1.1 B样条曲线

与FFD变形相同, DMFFD变形也是把待变形的物体嵌入到参数空间 (称作变形空间) , 该参数空间由一些基函数组成。FFD变形采用的是贝塞尔基函数, 而因B样条具有很好的局部性和连续性, DMFFD采用B样条基函数。B样条曲线在形式上与贝塞尔曲线相似, 对于给定的n+1个控制点P0, P1, P2, …, Pn和节点向量U={u0, u1, …, um}定义P次B样条如下:

其中是次B样条的基函数, 也被称作Cox-de Boor递推公式, 其定义如下:

由B样条曲线可以很容易推导出B样条曲面和B样条体, DMFFD变形就是将待变形的物体嵌入到B样条体中。

1.2 直接操作自由变形技术

DMFFD是直接作用于待变形的物体, 把物体上的一点移动到指定的位置, 然后求得控制点的位移, 使得满足物体从源点移动到目标点的条件, 最后求得物体上其他点的变化。

DMFFD变形和FFD变形一样先建立控制晶格体, 然后在其上建立局部坐标系。

物体上的任一点都可以表示成下式所示:

这样局部坐标系的坐标就可以由下面公式求得:

然后, 在控制晶格上嵌入控制点, 选择变形基函数, 即可以得到变形公式:

其中l, m, n表示在三个方向上的控制点的个数l, ', m', n'表示各自基函数的次数。

DMFFD变形是移动物体上的一个顶点q到目标点q+∆q, 则其中的控制点的位移∆P, 可由 (5) 得出:

其中B是B样条的矩阵表示形式, ∆q是物体顶点到目标位置的位移, 简化得:

通过公式 (7) 可以求得控制点有多组解。其解的选择依据是:控制点总的位移最小。这样就可以求出:

其中B+表示伪逆阵。因为一次移动物体上一点, 所以B是一个单行的矩阵, 其伪逆阵如下:

结合公式 (9) , 可以得到控制点的位移, 进而求出物体上其他点的位移, 完成变形。

DMFFD的算法流程如图2所示:

2 直接操作自由变形技术的改进

上述的DMFFD变形采用B样条基函数。B样条曲线是Nurbs曲线的特例, Nurbs在控制顶点处加上一个权重, 使得曲线更具有一般性, 更加容易调整, 并且也具有较好的局部性和连续性。对于给定的控制点P0, P1, P2, …, Pn和节点向量U={u0, u1, …, um}以及权重, Nurbs曲线的定义如下所示:

其中是P次Nurbs样条的基函数, 公式同B样条基函数。一般来说, 权重wi是正的, 但是负的权重也有一些应用, 如果权重为0, 则对应的控制点对于计算曲线是没有影响的, 权重为0有时也称作无限控制点。

本文采用Nurbs作为基函数, 对DMFFD变形技术的改进。即是把待变形的物体嵌入到Nurbs平行六面体中, 可以得到Nurbs体张量积:

从上面公式可以看出, 改变控制点和权重, 都可以使得Nurbs体张量积发生变化, 从而使得物体发生变形。

2.1 首先考虑控制点的变化对变形的影响

DMFFD变形是直接移动物体上的点来求得控制点的位移, 使控制点的位移满足物体顶点的变化量。假设物体上的一点S移动到目标点T, 控制点的位移量为, 由此可以得出:

将Ri, j, k (u, v, w) 代入上式简化可得:

进而推导出:

通过物体的变化量来求得控制点的位移, 会有多组解, 用最小二乘思想, 选择一个使得其位移量最小的一个解, 作为控制点的位移, 这个解的形式如下:

其中表示伪逆阵, 由于是单行矩阵, 所以:+R R

将R+代入公式 (15) , 可以计算出控制点的位移:

然后通过变形公式, 就可以计算出物体其余点的位移, 即完成物体的变形。

2.2 其次考虑权重变化对物体变形的影响

通过公式 (11) 可以看出, 当控制点的权重发生变化时, 物体的顶点也会发生改变, 从而物体发生变形, 公式如下:

基于权因子的变形, 有两种形式。第一种是, 选择一个权因子, 然后再进行上述的DMFFD直接变形, 可以完成某些形状的构造;第二种是, 通过移动物体上的点来反求权因子的变化量, 使得满足物体上的顶点的变化, 来达到变形的效果, 这类方法类似于通过移动物体上的顶点来反求控制点的位移, 具体参见文献[5]。

调节权因子时, 权因子大于1, 则使得控制点的位移加权变大, 该控制点对应的控制模型区域形状变大;权因子小于1, 则使得控制点的位移加权变小, 该控制点对应的控制模型区域形状变小;权因子为0, 使得控制点为0, 该控制点对应的控制区域会产生特殊的形状。

所以, 调节Nurbs曲线的权因子和控制点, 都可以使得物体的形状发生改变, 对于一些形状的构造, 需要结合两者的变形方式, 这给DMFFD变形提供很大的灵活性以及选择性。

3 实验结果

本实验是在Virtual Box虚拟机ubuntu11.10上进行的, 其配置为758M内存, Intel core 2 cup E8200 2.66GHz主频, 15G的硬盘。

图3为sphere模型的变形过程。sphere模型有642个顶点和1280个面, 每个轴上共有四个控制点。图3-b、图3-c、图3-d是对z轴上的4个控制点的权因子进行调整的结果。可以看出, 通过调整权因子, 球形可以变形为拓扑结构不一致的模型。

a.原始曲面模型b.调节权因子变形c.调节权因子变形d.调节权因子变形

图3-b是z轴上第二个控制点和第四个控制点的权重为0的变形结果, 图3-c是z轴上第二个控制点和第3个控制点的权重为0的变形结果, 图3-d是z轴上第-个控制点和第四个控制点的权重为0的变形结果。

图4为vase模型的变形过程, vase模型有10113个点和19801个面, 对其进行DMFFD变形, 变形结果如下所示:

a.原始vase模型b.采用B样条的变形c.采用Nurbs的变形d.采用Nurbs的变形

其中在图4-c、图4-d是先进行权因子的调节, 然后再进行DMFFD变形, 其中图4-c是z轴上第一个和第三个控制点的权因子为1.5, 而图4-d则是z轴上第一个和第三个控制点的权因子为0.5。

图5为bunny模型的变形过程, bunny模型有35947个顶点和69451个面, 对其进行DMFDD变形, 变形结果如图5所示。

a.原始bunny模型b.采用B样条的变形c.采用Nurbs的变形d.采用Nurbs的变形

其中在图5-c和图5-d是先进行权因子的调节, 然后再进行DMFFD变形, 其中图5-c中是z轴第一个和第四个控制点的权因子为1.5, 而图5-d则是z轴第一个和第四个控制点的权因子为0.5。

4 结论

本文论述了直接操作自由变形技术, 将其运用于曲面模型, 并对其变形公式进行改进。实验表明, 直接自由变形技术能够很好的应用于曲面模型上, 并且能达到精确变形;改进后的直接操作自由变形技术有更大的灵活性, 更多的选择性, 更好的自主性, 权因子的变化会导致特殊变形的发生, 这对于实际的工程运用具有一定的指导意义。

摘要：本文首先介绍B样条曲线, 并推广到B样条曲面及B样条体, 然后在此基础上介绍直接操作自由变形技术 (Direct Manipulation of Free Form Deformation) , 将此技术应用于曲面模型上, 使得物体发生变形。在此基础上, 对直接操作自由形式变形进行了改进, 提出了以Nurbs曲线作为变形基函数的变形方法;并且讨论了Nurbs曲线的控制点和权因子的改变对变形的影响;然后, 结合Nurbs曲线控制点和权因子的变化, 完成DMFFD变形;最后, 比较了以Nurbs作为变形基函数与以B-spline作为变形基函数变形的不同。实验结果表明, 改进后的DMFFD变形有更好的选择性和自主性。

关键词：检测技术与自动化装置,直接操作自由变形技术,Nurbs曲线,权因子

参考文献

[1]SEDERBERG T W, PARRY S R.Free form deformation of solid geometric models[J].Computer Graphics, 1986, 20 (4) :151-160.

[2]徐岗, 汪国昭, 陈小雕.自由变形技术及其应用[J].计算机研究与发展, 2010, 47 (2) :344-352.

[3]WILLIAM M HSU, JOHN F.HUGHES, HENRY KAUFMAN.Direct manipulation of free-form deformation[J].Computer Graphics, 1992, 26 (2) :177-184.

[4]SABINE COQUILLART.Extended freeform deformation:A sculpturing tool for 3D Geometric Modeling[J].Compute Graphics, 1990, 24 (4) :187-196.

隐式曲面重建方法研究 篇7

关键词：逆向工程,散乱点云,隐式曲面重建

逆向工程 (Reverse Engineering, RE) [1], 主要是对已有实物的原型或模型进行三维扫描以获取点云数据, 然后对点云数据进行曲面重建, 在曲面重建结果的基础上进行分析和修改, 重建出新产品的模型, 最后通过先进的制造技术对其新产品进行生产制造。逆向工程具有快速研发新产品的特性, 其技术已在众多领域得到应用, 如机械制造、现实虚拟仿真、3D游戏、3D打印、人体器官仿真等。

在逆向工程中, 根据三维扫描设备获取的点云数据信息重建出三维物体模型表面的技术, 称之为三维曲面重建技术, 见图1。

近年来, 隐式曲面因其具备易于实现交、差、并等集合操作, 能表示拓扑结构复杂的几何形体, 对轻微的噪声不敏感等特点, 使得隐式曲面造型技术受到了越来越多专家学者的重视和关注, 并提出了一系列有效的隐式曲面重建算法。

1 RBF方法

Carr[2]等人将RBF函数插值方法应用于点云数据的曲面重建中, 该类算法以散乱数据点作为径向基函数插值中心, 计算权值构造插值函数逼近模型曲面的表达函数。其优点是不需要知道任何散乱数据点之间的拓扑结构信息, 重构得到的曲面光顺, 曲面细节特征明显, 具备良好的孔洞修复能力。但是由于求解径向基函数权重的方程组随输入点数目的增多而不断扩张, 当点云数据的数目增多时, 运算量将迅速增大, 这样使得由大规模点云数据构成的隐式曲面在赋值计算时非常耗时, 极大限制了算法的应用范围。

2 MPU方法

在隐式曲面重建算法中, 多层次单元划分 (Multi-level Partition of Unity Implicits, MPU) 曲面重构算法颇受国内外学者的关注。此算法由Ohtake[3]于2003年提出, 首先利用八叉树对输入的点云数据进行分割存储, 根据每个子域内的数据点位置和法向量关系, 选择不同的局部函数拟合局部点集所表示的曲面, 然后计算每个局部函数的权值, 最后利用这些权值将局部函数拼接出全局隐式函数来表示模型曲面。该方法比较有效地解决了内存消耗大, 运行时间慢的问题。可以对海量散乱点云数据进行快速的曲面重建。但是, 使用该算法得到的模型曲面局部细节特征不明显, 孔洞修复能力差, 同时, MPU算法不具备抗噪性, 要求散乱点云数据点中不能含有噪声。

3 Poisson方法

Poisson曲面重建算法是一种较新的曲面重建算法。在曲面重建领域, Kazhdan把重建问题归结为一个泊松问题[4]。在此之前, 大部分的隐式曲面重建算法都是把点云数据分割成许多小块, 分别对其进行局部拟合, 然后再用某种拼接函数把局部拟合的结果拼起来。与此相反, 泊松重建是一种全局的曲面重建方法, 免去了试探性的点云分割和拼接过程。泊松重建方法兼具全局重建和局部重建的优点, 能够得到平滑的重建表面, 对噪声具有较强的鲁棒性。它的缺点在于不能及时地反应采样数据点集的修改信息, 不引入跟模型形态相关的信息, 容易错误地把一些不该连接的点云孔洞区域连接起来, 对非封闭的点云模型, Poisson会自动重建出封闭的曲面。

4 小波分析方法

J.Manson等人[5]提出了基于小波的三维曲面重建算法, 首先利用三元张量积小波构造三维小波基, 生成一个尺度函数和七个小波函数, 然后对小波基进行初始化, 再由小波基函数重构逼近模型表面, 从而实现三维点云模型的曲面重建。但此算法不具备抗噪性, 且如何正确选取小波基也是尚未解决的难题。

参考文献

[1]李响, 张海敏, 徐人平, 等.逆向工程在工业设计中的应用[J].轻工机械, 2010, 28 (1) :102-106.

[2]J.C.Carr, R.K.Beatson, J.B.Cherrie, T.J.Mitchell, W.R.Fright, B.C.Mc Callum, T.R.Evans.Reconstruction and representation of 3D objects with radial basis functions[J].Proceedings of ACM SIGGRAPH2001, 2001:67-76.

[3]Y.Ohtake, A.Belyaev, M.Alexa, G.Turk, H.P.Seidel.Multi-level partition of unity implicits[J].Proceedings of ACM SIGGRAPH2003, 2003, 22 (3) :463-470.

[4]Michael Kazhdan, Matthew Bolitho, Hugues Hoppe.Poisson Surface Reconstruction[J].Euro-graphics Symposium on Geometry Processing, 2006:61-70.