《等腰三角形的性质》教学设计

《等腰三角形的性质》教学设计（通用15篇）

《等腰三角形的性质》教学设计 篇1

14.5等腰三角形的性质教学设计

设计理念：

数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画，逐渐抽象概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程，有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。因此，在设计本课时，我会体现以下教育教学理念：

1、学生是学习的“主人”，教学活动要遵循数学学习的心理规律，从已有的生活经验出发，让学生亲身经历将已有的实际问题抽象成数学模型，并解释和应用数学知识的过程。

2、教师是学习活动的组织者、引导者，在教学设计中充分考虑学生的个性化需求，通过自我探索与交流理解和掌握数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。教材分析：

本课是上海教育出版社七年级第二学期第十四章第三节内容。是在之前已学的图形的运动，几何说理，三角形的有关概念与性质和全等三角形的判定等知识的基础上的进一步的探索与研究

三角形是最简单、最基本的几何图形，它是研究其他图形的基础，等腰三角形是特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，还具有一些特殊的，也是重要的性质。探索等腰三角形的性质也为后面研究等腰三角形的判定做好铺垫

本单元的内容主要是研究等腰三角形和等边三角形的相关知识，这是在有了之前几何学习的基础下进行新的研究，通过本单元的学习可对前面所学知识进行复习与总结，又能对后面学习的八年级的几何论证起到打基础的重要作用。学情分析

七(3)班学生整体水平一般，个体之间差异不大，上课参与程度较高，男生发言更为积极，但女生思维比男生更出色，总体而言，对于数学的学习态度较好，但是热情不足，几何学习以来，部分同学对于数学更感兴趣了，但是思维要求的不断提升对于原来基础较好同学来说增添了不少压力。

从内容上来说，七年级的同学已经学习了图形的三种运动方式，三角形的高、角平分线、中线概念以及三角形内角与外角相关性质，简单的几何说理和三角形全等的证明，对于基本的证明题的说理过程掌握地的还是比较好，但是对于操作、归纳和想象能力较弱，所以在进行几何教学的时候，特别注重操作的过程，通过动手来得到一些结论，真正理解概念和方法，掌握分析问题与解决问题的办法，从而提升几何学习能力。

所以在本课的设计中，对于不同层次的学生，需设计不同难度以适应不同层次的学生，思维能力强的同学可以让他们在自我探索中得到，大部分中等层次的同学可以在交流讨论环节中得到结论，而学习能力较弱的同学则要求他们对性质有一个初步认识及应用。教学目标

1、经历观察、操作、说理等活动，发现并归纳等腰三角形“等边对等角”、“等腰三角形三线合一”的重要性质；

2、会用演绎法对等腰三角形的性质进行说理，同时体会实验归纳与逻辑推理这两种研究方法的联系与区别

3、掌握等腰三角形的性质并运用它解决有关的简单问题 教学重点及难点

重点：等腰三角形的有关概念、性质的观察、归纳； 难点：等腰三角形“三线合一”性质的正确表述和运用.教学过程设计



一、复习引入（事先画一个等腰三角形）（1）怎么样的三角形叫等腰三角形？

两条边相等的三角形叫等腰三角形；（2）等腰三角形有哪些元素？

相等的两条边叫做等腰三角形的腰；另一边叫做底边；两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫做底角.（3）还记得三角形的中线、三角形的角平分线及三角形的高的概念吗？



二、探究新知（事先先剪一个等腰三角形）

1、操作归纳

（1）生活中哪些物体具有等腰三角形的形象？

（2）请同学将事先所画的等腰三角形和一个剪好的等腰三角形拿出来

你们手中的等腰三角形是怎样画出？【这一部分体现了个别化教学设计，给不同层次的学生以不完全相同的任务，充分体现了的学生的个性化需求】

（有利用两边相等，联结端点—直接利用等腰三角形的概念；还有画一条线段，画它的垂直平分线—利用全等三角形知识（如果用尺规作图，则是利用了等腰三角形的概念）；还有画一条线段，分别作两个度数相等的角—这是利用什么性质呢？„„„„就是我们今天所学的内容）

首先先说明一下等腰三角形具有关于边的性质,那有没有关于角的性质呢? 操作:请同学观察自己所画的等腰三角形，可以用量角器量一下三个内角；或者在剪好的等腰三角形中，进行翻折(沿那条直线翻折？--顶角的平分线)。在翻折的过程中，你可以发现什么现象，得到了什么结论（学生动手操作，进行观察、操作，形成猜想.）

（3）得出结论：∠B=∠C，等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”)（实验操作，并用叠合法说理）【叠合法说明是一个难点，所以在设计的时候将相关语句用填空形式给出，可以给能力弱的学生一个向上的台阶】

2、推理论证

如图，在△ABC中，已知AB=AC，说明∠B=∠C的理由 解：过点A作∠BAC的平分线AD，AD和BC相交于点D.因为AD平分∠BAC（已知），所以∠BAD=∠CAD（角平分线的意义）

在△ABD与△ACD中，AB=AC（已知）∠BAD=∠CAD AD=AD（公共边）

所以△ABD≌△ACD(S.A.S)所以∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）

3、新知再探

（1）由△ABD≌△ACD，你还可以得到哪些其它的结论？【这里是本节课的一个难点及重点，可以小组交流讨论后再全班交流，在设计时将性质以填空形式印在任务单上，如果能力较弱可以当做填空题完成，也可以通过自己的探索直接归纳得到，体现了个别化的教学设计】

由△ABD≌△ACD，可知BD=CD（全等三角形对应边相等），所以AD是底边的中线.由△ABD≌△ACD，可知∠ADB=ADC=90º（全等三角形对应角相等），所以AD是底边上的高.这些性质可以表述如下：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“等腰三角形的三线合一”）

问：这条性质的条件是什么，结论又是什么，有哪些注意点？（注意大前提条件是等腰三角形，还有不能说等腰三角形的（底角）平分线、（腰上）中线和高重合）

追问：在刚才的证明中，我们是已知AB=AC，并且作顶角的平分线来说明等腰三角形的三线合一，那你是否尝试一下以其他两线为条件来说明（譬如已知AB=AC，作底边上的高或者底边山的中线来说明）可以作为课后思考题

（2）老师在准备等腰三角形的时候是这么做的，你们说我裁出来的是不是等腰三角形？（对折一张纸，沿着折痕裁一下）这运用到了等腰三角形的哪个特性？（轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线。） 新知应用

（1）书练习14.5/1（学习如何用符号语言表示这条性质）

（2）填空题（对于等腰三角形的概念进行巩固与复习，由于在将三角形的分类时已经初步接触过一些关于等腰三角形的题目，所以本大题设计的目的主要是为了巩固旧知，所以以填空题形式出现）

1）已知在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，求∠C和∠A的度数 2）已知等腰三角形的一个角是70°，求其余两个角 3）已知等腰三角形的一个角是100°，求其余两个角（教师板书，学生思考后作答）

（3）已知，AB＝AC，∠BAC=110º，AD是△ABC的中线.⑴求∠

1、∠2的度数；

⑵AD垂直与BC吗？为什么？

（本题是等腰三角形的三线合一这条性质的首次在说理中运用，要求学生有一定的说理要求，即条理性，所以带着他们一些完成这道说理题）解：⑴∵AB＝AC，AD是△ABC的中线（已知）, 1∴∠1＝∠2=∠BAC(等腰三角形的三线合一【初次写时应为：等腰三2角形底边上的中线和顶角平分线互相重合】)．

∵∠BAC=110º（已知），11∴∠1＝∠2＝×∠BAC＝×110º＝55º（等式性质）．

22⑵∵AB＝AC，AD是△ABC的中线（已知）, ∴AD⊥BC（等腰三角形的三线合一【初次写时应为：等腰三角形底边上的中线和底边上的高互相重合】）.（4）书练习14.5/2（这道题目的可以用等边对等角+三角形内角和性质去证，也可以用等腰三角形的三线合一去证，正好是两个不同层次的要求，略微考虑到学生之间的差异性）（5）书练习14.5/3（这道题目可以用等边对等角的思想，也可以利用等腰三角形三线合一的思想，充分发挥所学知识进而解决实际问题。）

说明：（3）（4）（5）这三道例题可以这么讲解：“这道题目已知什么条件？（等腰三角形），它有什么性质？（等边对等角，等腰三角形的三线合一），那怎么运用这条性质呢？（探究2和练习1中已做好铺垫，此时再做题难度略微降低些）”  课堂小结

1、学了哪些知识，是怎样获得的？

2、学了哪些方法，如何正确地运用它？

3、还有什么困惑？  作业布置 练习册14.5

《等腰三角形的性质》教学设计 篇2

一、教学设计的背景与思路

等腰三角形性质是义务教育课程标准试验教科书《数学》 (人教版) 八年级上册第14章第三部分第一课时的内容.等腰三角形的性质是学生进一步学习的基础, 也是本章中一个重要的知识点.这节课是在学生学习了轴对称概念、轴对称性质、轴对称变换的基础上提出来的.等腰三角形的性质是研究等边三角形, 也是证明线段相等和角相等的重要依据.教科书呈现的顺序是:动手操作得出概念→观察实验得出性质→推理证明论证性质→应用新知识进行巩固.为此, 根据课标课程的要求和学生的实际情况, 笔者把这节课的教学目标拟定为: (1) 通过现实生活中的例子, 经历“数学化”的过程, 体验数学来源于现实又作用于现实; (2) 通过观察等腰三角形的对称性, 提高学生观察、分析、归纳问题的能力, 发展其形象思维; (3) 通过运用等腰三角形的性质解决有关问题, 提高学生运用知识和技能解决问题的能力, 发展应用意识; (4) 引导学生对图形进行观察、发现, 激发学生的好奇心和求知欲, 并在运用数学知识解答问题活动中获取成功的体验, 建立学习的自信心.为实现上述综合化、多元化的教学目标, 笔者把这节课的教学策略拟定为:利用生活中的游戏 (折纸、剪纸) 作为教学资源来创设情境, 让学生在情境中活动, 在活动中体验, 在体验中领悟, 使学生的思维始终处于思考状态.

二、教学设计的过程与分析

1. 创设情境, 提出问题

问题: (1) 如图1, 把一张长方形的纸片对折, 并剪下阴影部分 (教科书图14.3-1) , 再把它展开, 得到一个什么图形? (2) 上述过程中得到的△ABC有什么特点? (3) 除了剪纸的方法, 还可以怎样作 (画) 出一个等腰三角形?

设计意图:给学生提供参与数学活动的时间与空间, 让学生体验数学与现实生活有密切联系, 使数学学习发生在真实的世界和背景中, 提高学生学习数学的兴趣, 同时为学生观察等腰三角形性质创设探索的情境.

2. 观察图形, 归纳性质

问题: (1) 上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗? (2) 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折, 找出其中重合的线段和角, 填写下面的表格. (3) 你能猜一猜等腰三角形有什么性质吗?说说你的猜想.

设计意图:在活动中, 教师要重点关注学生能否从轴对称图形的概念出发进行判断;关注学生能否用规范清晰的数学语言说出自己的猜想;关注学生在活动中的参与意识.通过学生观察, 教师引导, 归纳出等腰三角形的两条性质, 形成感性认识, 重视知识形成过程, 培养学生养成自主探究的学习方法.

3. 数学推理, 证明性质

问题: (1) 性质1 (等腰三角形的两个底角相等) 的条件和结论分别是什么? (2) 用数学符号如何表达条件和结论? (3) 如何证明? (4) 受性质1的证明启发, 你能证明性质2吗 (等腰三角形顶角平分线、底边上的高相互重合) ?

要引导学生利用全等三角形的性质, 根据对称性寻找辅助线的添加方法.

设计意图:培养学生的语言转换能力, 增强理性认识, 体验性质的正确性, 提高思维严密性.

4. 应用新知, 学以致用

问题: (1) 如果等腰三角形的顶角是36°, 那么它的底角的度数是________; (2) 在△ABC中, AB=AC, ∠BAC=90°, AD是BC边上的高, 则∠BAD=______, BD=______=_____; (3) 如图2, 在△ABC中, AB=AC, 点D在AC上, 且BD=BC=AD, 求△ABC各角的度数.

设计意图:培养学生正确应用所学知识的能力, 增强其应用意识和参与意识, 帮助其巩固所学的等腰三角形的性质.

5. 变式训练, 熟练技能

变式练习: (1) 等腰三角形的一个角是36°, 它的另外两个角是______. (2) 等腰三角形的一个角是110°, 它的另外两个角是________. (3) 如图3, 在△ABC中, AB=AD=DC, ∠BAD=26°, 求∠B和∠C的度数.

设计意图:先让学生思考、练习, 再进行讨论交流, 同时教师参与讨论, 强调等腰三角形的顶角可以是锐角, 也可以是钝角, 但底角一定是锐角, 关注学生是否注意到可能存在的多种情况.进一步巩固所学的知识, 了解学生的学习效果, 同时培养学生分类讨论的数学思想.

6. 提炼概括, 纳入系统

本课从折纸、剪纸等生活实例出发, 探究了等腰三角形性质. (1) 本课的全过程可以概括为:动手操作→感性认识→逻辑证明→性质的应用. (2) 本课所用的主要思想方法:数形结合思想、转化思想 (性质证明转化为三角形全等) 、分类思想、归纳方法和化归思想等. (3) 在学习过程中可以体会到:新旧知识有着内在联系;数与形有密切的关系, 数学与现实生活密切联系;学习需要学生仔细观察, 大胆猜想, 自主探究;文字语言与图形可以相互转化.

设计意图:使学生对本课所学的知识结构有一个清晰的认识, 对本课所学的思想方法有一个明确的了解, 对本课的学习过程, 学习方法有一个新的感悟.

7. 任务后延, 自主探究

(1) 课外作业:习题14.3第1, 4, 6题. (2) 讨论探究:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?

设计意图:使学生进一步巩固所学的等腰三角形的性质, 培养实践能力和解决问题的能力.

三、教学设计的反思与感悟

数学教学应当是一个“以知识的教学为基点, 以能力培养为核心, 以个性教育为附带”的三维结构, 只有这样, 才能实现“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的均衡发展.这里的关键是把数学教学恢复为当初数学家发现的过程.其中:设计一个好的问题情境是恢复思考的条件;给学生自主探索的时间与空间是恢复思考的前提;设置条理性问题, 实施有效点拨, 运用激励性评价是恢复思考的根本保证.

笔者的老师上这节课以及笔者早期上这节课, 呈现的方式是: (1) 讲授等腰三角形的有关概念; (2) 给出等腰三角形的性质; (3) 证明性质; (4) 应用性质.它的概念是采用教师教授为主, 要求学生记住有关的名称, 如底角、顶角、腰、底边等, 它的性质, 则在教师的分析引导下一个接一个地被发现, 其间还要求学生及时地加以严格的证明, 这种方法虽简单、快捷, 可以省出时间用于练习, 但学生没有体验知识的形成过程, 主要经历的是“接受、模仿与记忆”的学习过程.这对学生整体把握等腰三角形的本质是不利的, 并且更多的是使学生感到了数学的枯燥和乏味, 显然, 这种记忆性学习方式, 粗浅的思维水平, 无法实现“三维”目标.

三角形的性质 篇3

■ （2011江西）如图1，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=______.

■ 90°.

■ 本题主要考查三角形内角和定理和内心的基本性质. 因为三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，所以PA，PB，PC是△ABC的内角平分线，即∠PBC+∠PCA+∠PAB=■（∠ABC+∠ACB+∠BAC）=180°×■=90°.

■ （2011山东菏泽）将一副三角板按图2所示叠放，则角α等于（ ）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°

■ D.

■ 本题主要考查三角形的外角性质以及三角板的特殊角． 根据三角板的特殊性容易求得∠1的度数为45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可求得角α为75°．

■ （2011广东茂名）如图3，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建了三个加工厂A，B，D，已知AB=BC=CD=DA=5 km，村庄C到公路l1的距离为4 km，则村庄C到公路l2的距离是（ ）

A. 3 km B. 4 km

C. 5 km D. 6 km

■ B.

■ 本题主要考查角平分线的性质. 由已知能够注意到四边形ABCD是菱形，而菱形的对角线平分对角则成了解题的关键． 根据菱形的对角线平分对角，作出辅助线，即可证得CE=CF=4 km．

■ （2011广西河池）如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，下述结论错误的是（ ）

A. BD平分∠ABC

B. △BCD的周长等于AB+BC

C. AD=BD=BC

D. 点D是线段AC的中点

■ D.

■ 在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC与∠C的度数. 又由AB的垂直平分线是DE，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD=BD，继而可求得∠ABD的度数，于是可知BD平分∠ABC. 可得△BCD的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC=AB+BC. 可求得∠BDC的度数，进而求得AD=BD=BC．

■ （2011黑龙江）在△ABC中，BC ∶ AC ∶ AB=1 ∶ 1 ∶ ■ ，则△ABC是（ ）

A. 等腰三角形

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 等腰直角三角形

■ D.

《等腰三角形的性质》教学反思 篇4

在新课标中十分强调“过程”这一词，既要重视学生的参与过程，又要重视知识的再现过程。有了学生的参与，课堂教学才显得生机勃勃，学生才会变成课堂学习的主人。知识的再现过程有助于让学生了解所学知识从何而来，解决何种问题，在有限的时间内探究知识，主动获取知识。

本节课重点是让学生通过动手折纸得出“等腰三角形的两底角相等”及“三线合一”的性质。设计理念是让学生通过折纸、猜想、验证等腰三角形的性质，然后运用全等三角形的知识加以论证。使学生思维由形象直观过渡到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，从而实现教学目标。授课过程分为4个环节：

⑴ 感受生活中的等腰三角形。在学习本节课之前，学生早已认识了等腰三角形，所以在上课前引导学生寻找“身边的等腰三角形”，带领学生走进《等腰三角形的性质》的知识世界。

⑵ 形象认识等腰三角形的性质。由于等腰三角形的腰、底边、顶角和底角多数学生已提前掌握，因此对于本环节的学习学生感觉很轻松，积极参与探究等腰三角形的性质。

⑶ 通过折纸探究等腰三角形的性质。等腰三角形的“等边对等角”、“三线合一”的性质都是由其具有轴对称性质引出的，学生得出“等腰三角形的两底角相等”较为容易。由于担心“三线合一”的性质学生会感到困难，我特意介绍了三角形中的`角平分线、高线和中线，并且为学生们设计出对应表格，让学生填出“三线合一”的性质。这样做降低了“三线合一”的性质得出的难度，学生较易理解。但是我想如果让学生自主发挥，时间虽然多浪费一些，课堂上不确定因素虽然多了一些，但是学习效果应该会好得多!

⑷ 运用等腰三角形的性质解决实际问题。本节课的另一个重点是学会应用等腰三角形的性质解决实际问题。课堂上，完成了一些角度计算的填空后，侧重于让学生书写解题过程。我感觉到新课标教材中对学生解题步骤书写的规范程度要求比较放松，但是我总是认为如果让学生养成严谨的书写习惯对于培养学生思维的严谨性有很大的帮助，因此经过近一个学期的严格要求和训练，我们班虽然还有一部分学生对此感到困难，但是大多数学生都能够比较顺利地进行解题步骤的书写。

等腰三角形的性质和判定教学计划 篇5

察、分析、归纳概括，主动获得知识。

(2) 组织学生欣赏图片，激发学生的学习兴趣，让学生获得知识，提高能力。

(3) 在教学中，向学生渗透数学思想方法，培养学生说理的能力。

三、教材分析：

1、 等腰三角形是在三角形知识基础上的继续深入，如何利用学习三角形的过程中已经形成的思路和观点，也是对理解“等腰”这个条件造成的特殊结果的重要之处。

2、 等腰三角形是基本的几何图形之一，在今后的几何学习中有着重要的地位，是构成复杂图形的基本单位，等腰三角形的定理为今后有关几何问题的解决提供了有力的工具。

3、 对称是几何图形观察和思维的重要思想，也是解决生活中实际问题的常用出发点之一，学好本节知识对加深对称思想的理解有重要意义。

4、 例题中的几何运算，是数形结合的思想的初步体验，如何在几何中结合代数的等量思想是教学中应重点研究的问题。

5、 如何把握合情推理的书写及重点问题，本课中的例题也进一步做了示范，可以认真研究。

6、 本课对学生的动手能力，观察能力都有一定的要求，对培养学生灵活的思维，提高学生解决实际问题的能力都有重要的意义。

7、 本课内容安排上难度和强度不高，适合学生讨论，可以充分开展合作学习，培养学生的合作精神和团队竞争的意识。

8、 课本为学生提供自主探索的空间，然后在进行证明，将探索和证明有机的结合起来，引导学生不断感受证明的必要性。

四、教学方法

本节课采用合作探究的教学方法，在教师的引导下，通过合作探究的方式、发现、分析问题并解决问题，为学生提供从事数学活动的机会，帮助学生进行自主探究与合作交流。以活动形式展开教学，综合运用启发式、多媒体演示、互联网探索等教学手段，培养学生的.主体意识。

五、教学过程

教学目标：

1、知识与技能：经历探索——发现——猜想——证明等腰三角形的性质和判定的过程，初步文字命题的证明方法、基本步骤和书写格式。

2、过程与方法：会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算与简单的证明。

3、情感态度与价值观：逐步学会分析几何证明题的方法及用规范的数学语言表述证明过程。

教学重点：等腰三角形的性质与判定定理的证明

教学难点：证明过程的书写格式，用规范的符号语言描述证明过程

教学媒体：多媒体

六、教学过程：

(一)回顾知识

1、什么叫证明?什么叫定理?

2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些?

3、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实?此外，还有什么被看作是基本事实?

设计说明：师提出问题，回顾旧知识，达到温故而知新的目的，学生以小组为单位讨论交流

(二)创设情境

观察图片

百度图片搜索_等腰三角形金字塔的搜索结果

1、什么叫做等腰三角形?(等腰三角形的定义)你能用刻度尺华画一个等腰三角形吗?

2、你能画出它的顶角平分线吗?等腰三角形有哪些性质?

3、上述性质你是怎么得到的?(不妨动手操作做一做)

4、这些性质都是真命题吗?能否用从基本事实出发，对它们进行证明?

(三)探索活动

1、合作与讨论：说明你所画的三角形是等腰三角形。证明：等腰三角形的两个底角相等。

2、思考与讨论：说明你所画的是顶角的平分线。

怎样证明：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

3、通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理。

定理：等腰三角形的两个底角相等，(简称：“等边对等角”)

等边对等角_百度百科

设计说明：引导学生动手操作，让学生真正成为学习的主人，教师是数学学习的引导者，教师引导学生思考探究，逐步尝试运用说理的方式进行说明，教师引导学生，文字语言，

图形语言和几何语言间的互相转换。 已知：如图，在△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C

定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，(简称：“三线合一”) A

BD C4、你能写出上面定理的符号语言吗?

相似三角形的性质 教学设计 篇6

一、教学目标

1．利用前面几节的相关结论经过简单的推导得出相似三角形的各条性质； 2．运用相似三角形性质解决简单的问题。

二、教学重难点

教学重点：相似三角形的各条性质的掌握

教学难点：相似三角形性质中面积比的结论的得出。

三、教学过程设计 1．创设情境，设疑激趣

两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，还可以得到许多有用的结果．例如，在图18.3.9中，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么AD、A′D′之间有什么关系？

2．探索研究，形成新知

△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，而∠B＝∠B′，因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似．那么

由此可以得出结论： 相似三角形对应高的比等于相似比．

（通过研究讨论，让学生借助已有的知识对新问题进行研究，培养学生的思考探索能力，同时让他们自己得出结论，感受成功的喜悦。）

思 考

图18.3.11中，△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上 的中线，BE、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？

可以得到的结论是_________________________________________． 想一想： 两个相似三角形的周长比是什么？

可以得到的结论是_________________________________________．

（让学生用类似于“相似三角形对应高的比等于相似比”的方法进行研究，培养学生的推理能力。）

3．深入探究，得出结论

图18.3.10中（1）、（2）、（3）分别是边长为1、2、3的等边三角形，它们都相似．

（2）与（1）的相似比＝________________，（2）与（1）的面积比＝________________;（3）与（1）的相似比＝________________，（3）与（1）的面积比＝________________.从上面可以看出当相似比＝k时，面积比＝k2．数学上可以说明，对于一般的相似三角形也具有这种关系．

由此可以得出结论： 相似三角形的面积比等于________________________．（通过形象的图形比较，使学生直观地感知相似图形面积比与相似比之间的关系，便于被学生所接受。）

4．反馈练习，思维拓展 练习

（1）如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则对应角的角平分线的比等于多少?（2）相似三角形对应边的比为0.4,那么相似比为___________,对应角的角平分线的比为__________,周长的比为___________,面积的比为_____________.（3）如图,在正方形网格上有△A1B1C1和△A2B2C2,这两个三角形相似吗?如果相似,求出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比.（4）若两个相似三角形的最大边长为35cm和14cm，它们的周长差为60cm，则教大三角形的周长是多少？

（5）把一个三角形改成和它的相似三角形，如果面积扩大为原来的n倍，那么边长扩大为原来的几倍。

4．回顾反思，整体评价

今天我们研究了相似三角形的中线比、高线比以及角平分线的比、周长比、面积比同相似比之间的关系，那么今后我们就可以借助今天的结论去解决一些常见的数学问题，在今后的学习中请大家多留意。同时对于这些关系的得出要有一定的了解。

（通过总结把分散的知识系统化、结构化，形成知识网络，完善学生的认知结构，加深对所学知识的理解．）

一个等腰三角形性质的推广和应用 篇7

定理1 已知△ABC中, AB=AC, 如果D为BC边上任意一点, 那么AD2-AB2=BD·DC。

现把定理1条件中的点在底边上改为点在底边的延长线上, 就得:

定理2 如图1, 已知△ABC中, AB=AC, 如果D为BC延长线上任意一点, 那么AD2-AB2=BD·DC。

证明:作△ABC的外接圆⊙O, 交AD于E, 连接CE。由切割线割定理的推论, 得BD·DC=AD·DE=AD (AD-AE) =AD2-AD·AE, 因为∠CED是圆内接四边形ABCE的外角, 所以∠CED=∠B=∠ACB, 又因为∠AEC+∠CED=180°, ∠ACD+∠ACB=180°, 所以∠AEC=∠ACD, 又因为∠CAE=∠DAC, 所以∠ACE∽∠ADC, 所以 , 所以∠AE·AD=AC2, 即AE·AD=AB2, 因此AD2-AB2=BD·DC。

由定理1和定理2得:

定理3:等腰三角形底边所在直线上任意一点到底边两端点的距离的积等于腰长与这点到顶点距离的平方差的绝对值。

灵活巧妙地应用定理2, 也可非常简捷地解一类与等腰三角形有关的问题, 举例说明如下:

例1:如图1, 在△ABC中, AB=AC=1, D是BC延长线上的一点, 且 , 求BD·DC的值。

解:由定理2得 。

例2:△ABC中, AB=AC=2, BC边延长线上有100个不同的点P1, P2…P100, 记mi=AP2i-BPi·PiC (i=1, 2, …100) , 则m1+m2+……+m100=______。

解:由定理2得APi2-BPi·PiC=AB2=22=4,

即mi=4, 故m1+m2+……+m100==4×100=400。

例3:已知△ABC为等腰锐角三角形, AB=AC, D为BC延长线上一点, 使DA⊥AB。求证:BD2+BD·CD=2AD2。

证明 因为DA⊥AB, 所以AD2+AB2=BD2, …… (1)

又由定理2得AD2-AB2=BD·DC…… (2)

由 (1) , (2) 得BD2+BD·DC=2AD2。

例4:某船在B处以每小时8千米的速度向正东方向航行, 1小时后到达C处, 在B, C两处均测得与灯塔A的距离为8千米。 (1) 问再经过2小时该船距A多少千米? (2) 设该船从B处出发后某时刻所处的位置为P, 若PB=x, PA2=y, 求y关于x的函数解析式及x与y的取值范围。

解: (1) 设再经过2小时后该船在D处 (如图1) , 由题意得AB=AC=8, BD=24, CD=16, 由定理2得AD2=BD·CD+AB2=24×16+8=448, 所以 (千米) 。

(2) (1) 当P在线段BC上时, 由定理1得AP2=AB2-BP·PC, 所以x的取值范围是0

(2) 当P在线段BC的延长线上时, 由定理2得AP2=AB2+BP·PC, 所以y=82+x (x-8) , 即y关于x的函数解析式是y=x2-8x+64。x的取值范围是x>8, y的取值范围是y>64。

综合 (1) , (2) , 得y与x的函数关系式是y=x2-8x+64, x与y的取值范围分别是x>0, y≥48。

由定理还可以得到关于直角三角形的两个性质:

性质1 在Rt△ABC中, ∠C=90°, D是BC上任一点, 那么AD2+2BD·DC+DB2=AB2。

证明:延长BC到点E, 使CE=BC, 连接AE (如图2) , 则AE=AB, 由定理1得AB2=AD2+DB·DE=AD2+BD (2DC+BD) =AD2+2BD·DC+BD2

性质2 在RT△ABC中, ∠C=90°, D是边CB延长张上任一点, 那么AD2+BC2=DC+AB2。

证明:延长BC到点E, 使CE=BC, 连接AE (如图3) , 则AE=AB, 由定理2得AD2-AB2=BD·DE= (DC-BC) (DC+BC) =DC2-BC2, 所以AD2+BC2=AB2+DC2。

参考文献

《等腰三角形的性质》教学设计 篇8

关键词：圆锥曲线；三角形；简化；垂直；数形结合；垂直

圆锥曲线问题一直是近几年高考的重点、难点，也因为圆锥曲线的参数多、计算难、化简繁杂，而让许多学生望而却步.充分利用圆锥曲线的几何性质对于简化计算、减少参数提供了简便和快捷.本文试着从圆锥曲线内直角三角形的一个性质浅谈对解题的简化.

下面先介绍两个引理.

引理1 椭圆+=1上任意取两点P，Q，满足∠POQ为直角，则+为常数.

这个引理可以通过直接设椭圆上的两点，利用三角函数公式得出结论.

证明：如图1∠xOQ=α，则由题意知∠xOP=α+，设Q（OQcosα，OQ·sinα），POPcosα+，OPsinα+，即P（－OPsinα，OPcosα）.

代入椭圆方程得

OQ?摇2cos2αa2+OQ?摇2sin2αb2=1，OP?摇2sin2αa2+OP2cos2αb2=1， ?圯+=OQ2，+=OP2，

两式相加得+=+.

该性质也可以在双曲线中得到推证.

引理2 双曲线-=1（0

这两个定理在解决圆锥曲线题中可以直接发挥优势作用.

例1 （09年全国联赛一试）椭圆+=1（a>b>0）上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，（O为坐标原点）则乘积OP·OQ的最小值为________.

分析：本题考察圆锥曲线上两个动点与坐标原点的性质. 如果从设P，Q两点入手，直接去求乘积OP·OQ，显然变量较多，关系复杂，不容易求得结果.如果直接从定理入手解题就较为直接.

解答：设P（OPcosθ，OPsinθ），QOQcosθ±?摇，OQsinθ±?摇．

由P，Q在椭圆上得=+①，=+②.

①+②得+=+．

利用基本不等式可得，

当OP=OQ=时，

OP·OQ达到最小值.

例2 椭圆+=1上任意取两点A，B，使得OA⊥OB，求原点O到直线AB 的距离.

分析：本题若直接设直线，则计算量会较大. 如果从本文性质入手，就会使得解题明朗、简洁.

解：由以上结论可以直接得+=+.

而+=，又设原点O到直线AB的距离为h，

利用三角形OAB面积相等得OA·OB=h·AB?圯h=，

所以=+，

解得h=.

本例解法也适用于双曲线.在双曲线与直线相交于A，B和坐标原点构成直角三角形的题目中，巧妙利用性质，对解题有着决定性的作用.

例3 双曲线－=1（a，b>0）与直线x+y=1交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点）.

（1）?摇求-的值；

（2）若双曲线的离心率e满足≤e≤，求双曲线实轴的取值范围.

解：（1）由以上结论结合题意可得+=－，而

+==，其中h为原点到直线x+y=1的距离.

又易得原点O到直线的距离等于，

所以－==2.

（2）由（1）得－=2，

又由≤e≤易得1≤≤2，联立求解得0≤a≤.

所以双曲线实轴长范围为［0，1］.

《全等三角形性质》教学反思 篇9

复习课的类型很多，但目的都是帮助学生整理和贯通知识。复习课要精讲多练，但又不能把它演变成纯粹的习题课，否则效果甚微，为了能在有限的时间里得到比较有效的复习效果，我们集备组进行了反复的探讨，并结合学生层次和期中复习的综合性，选取从一个简单熟悉的图形出发，通过对它不断地叠加、变形衍生出许多新的问题，而这些问题所反映的知识又是相互联系，体现本章核心结构的，这当然要比给出不同的问题来落实重点知识好得多。另外为了解决抽象思维的不足，我们在课前准备了几何画板动态演示，以便让学生在课堂上能通过直观地观察进行联想，从课堂教学的效果来看，感觉教学设计意图在本次课中基本得到了贯彻，几何画板演示图形的旋转位置变化，不仅加深了学生对动态的理解，而且对动态问题进行静态研究提供了思路。

对一次复习课的探讨和实施过程，让我深切地感受到教师的教学设计意图、预见学生学习的困难情况、课前采取的应对策略、实施教学时对重点和难点的认识等等都直接会影响到一堂课的效果，这些都需要我们在课前进行深入地思考和研讨。

二、教学过程的成功之处：

1、本节课教学上我采用以引导发现法为主，并以讨论法、演示法相结合，以问题导入，循序渐近，由浅入深，从单一到综合，以逐步提高学生的应用能力。

2、多媒体辅助教学既能够直观、生动地反映图形，增加课堂的容量，又有利于突出重点、分散难点，增强了教学条理性，形象性，更好地提高了课堂效率。

3、教学中以多种形式（组合条件、添加条件、作全等三角形、练习等）强化学生对三角形全等判定的理解，并起到了一定的效果。

4、真正关注到中等偏下的学生，课堂中设计的问题有三分之二是针对这一部分学生，并在课堂中也正是让他们表现的。

5、营造了和谐轻松的课堂氛围，通过动手活动、分组交流归纳总结全等三角形的各种常见形式，这个环节的设计调动了学生的积极性，让每一学生都获得了成功的喜悦。

三、教学过程的遗憾之处：

1、题量过大，课堂时间安排较紧，有些问题落实的还不够深入。

2、出示了几道中考题，虽然学生做了，教师讲了，但没有从题目本身往深处挖掘，对中考命题方向进行研究和探索，仅是为做题而做题。

关于三角形的一个性质的讨论 篇10

结论1:任意三角形的外接圆与内切圆的半径的比值不小于2, 若比值等于2, 则该三角形一定是等边三角形.

故可得, 等号成立当且仅当abc- (a+b-c) (a+c-b) (b+c-a) =0, 即a (ab) (a-c) + (b-c) 2 (b+c-a) =0, 即a=b=c, 说明该三角形为等边三角形, 结论得证.

结论2:直角三角形的外接圆与内切圆的半径的比值不小于, 等号成立当且仅当该直角三角形为等腰直角三角形.

值得注意的是, 若任意一个三角形的外接圆半径与内切圆半径的比值等于, 那么该三角形未必是等腰直角三角形, 它可以既不是等腰也不是直角三角形.例如, 三边长分别为1, 1, 2-的三角形, 它就是一个外接圆半径与内切圆半径的比值等于, 但不是直角三角形的例子.

结论3:任意钝角三角的外接圆与内切圆的半径的比值大于, 反之不一定成立.

该结论之所以反之不一定成立, 是因为由若取a, b均为很大的数 (如a=b=10000) , 而c (如c=1) 为较小的数, 那么就会构造出一个比值很大, 但却是锐角三角形的例子.

《等腰三角形的性质》教学设计 篇11

1、猜想入手，激发学习兴趣。猜想是学生感知事物而获取知识过程中的重要环节。因此，在教学中老师鼓励学生大胆猜想：从满足一个条件相等是否可保证两三角形全等，满足两个条件相等是否可以保证两三角形全等，满足三个条件是否可保证两个三角形全等一系列的猜想中，引导学生一个个落实，进而得出三边分别相等可保证两个三角形全等的结论。在操作过程中，教师较好地激发了学习的兴趣。大部分学生做出猜测后，把自己的思维与所学的知识连在一起，主动参与，激发了学生的兴趣。

2、操作验证，培养探索能力。在探究SSS定理时，教师展现的猜想过程清楚明白，给学生今后的探索方向提供了模式。

3、得出SSS定理之后，例1的分析比较到位，特别是多媒体展示了思考方向，注意了数学语言的表述，给学生起到了示范作用。

4、在学习和探索的过程中，注意培养学生独立思考的能力，团队合作能力、有层次地安排了学生思考，同桌交流，小组合作;

5、重视了教师的示范作用。用SSS定理证明几何题，教师首先做出准确的示范，让学生一开始就掌握正确的书写格式。

等腰三角形性质说课稿 篇12

1.教材的地位与作用:

等腰三角形的性质是新人教版八年级数学第十三章第三节的内容,它是在认识了轴对称性质以及了解了全等三角形的判定的基础上进行的。主要学习等腰三角形的“等边对等角”和“等腰三角形的三线合一”本节内容既是前面知识的深化和应用,又是今后学习等边三角形的预备知识,还是今后证明角相等、线段相等及两直线互相垂直的依据,因此本节课具有承上启下的重要作用。

2.教学目标:

知识目标:了解等腰三角形的性质,会利用等腰三角形的性质,进行简单的推理、判断、计算作用。

能力目标:从设置问题?模型演示?自己动手探究发现等腰三角形的性质,培养学生的观察力、实验推理能力。

情感目标:要求学生在学习中运用发现法,体验几何发现的乐趣,在实际操作动手中感受几何应用美。

3.教学重点与难点

重点:等腰三角形两底角相等,等腰三角形三线合一。因为等腰三角形的性质是今后学习线段垂直平分线的基础,也是今后论证角、边相等的重要依据,所以是本节教学的重点。

难点:等腰三角形三线合一的推理应用

二、教法与学法

教法:我采用探索发现法完成本节的教学,在教学中以学生参与为主,便于激发学生学习热情,体验成功的喜悦,通过直观的演示和学生自己动手使学生在获得感性知识的同时,为掌握理性知识创造条件,这样更有利于调动学生积极性,激发学生兴趣,使学生变被动学习为积极主动愉快学习,也符合数学教学的直观性和可接受性。

学法:在教学中,把重点放在学生如何学这一方面,我认为通过直观演示,得到感性认识,学生在学习中运用发现法,开拓自己的创造性思维,实现由学生自己发现感受“等腰三角形的性质”通过学生自己看、想、议、练等活动,让学生自己主动“发现”几何图形的性质,而不是老师灌输几何图形的性质,这样做有利于活跃学生的思维,帮助他们探本求源,让每位学生都学有价值的数学。

三、教学过程:

(一)出示教学目标

知识目标:了解等腰三角形的性质,会利用等腰三角形的性质,进行简单的推理、判断、计算作用。

能力目标:从设置问题?模型演示?自己动手探究发现等腰三角形的性质,培养学生的观察力、实验推理能力。

情感目标:要求学生在学习中运用发现法,体验几何发现的乐趣,在实际操作动手中感受几何应用美。

让学生明白本节课的重要知识点和自己需要掌握的主要知识,做到有的放矢。

(二)直观演示,大胆猜想

观察含有等腰三角形图片,让学生从感性上认识等腰三角形,激发学生的兴趣。

由学生自己动手折纸游戏,演示等腰三角形轴对称变换,大胆猜测等腰三角形的性质,这种直观的低起点的方式引入新课更能提高学生兴趣,激发他们的求知欲,让每位学生都涌跃参与,领悟数学学习的价值。

(二)证明猜想,形成定理。

1△ABC中,AB=AC,求证:∠B=∠C

思考:1如何证明你的猜想?〔讲述一种证明方法:作顶角的平分线〕

2有其它的方法吗?试试看,用不同的方法证明这个结论。

让学生4人一组分组合作,在组与组之间合作,通过作辅助线,共同寻找全等三角形,相等的角,相等的边,体现学生组内合作,组与组之间的合作,让学生自己主动证明猜想,同时有也有利于学生对全等三角形的判定的巩固,既运用以旧引新的推理方式,又体现由特殊到一般的思维认识规律。采用这种探索发现的方式,让学生通过对直观图形的观察猜想,实验证明去揭示定理。同时也展示了猜想--证明这一数学认知基本方法。

2交流反馈,共同完成本节重要知识点的证明。

通过看幻灯片,让学生感性上认识等腰三角形性质〔等腰三角形三线合一〕,既锻炼学生的发散思维能力,又可提高学生的表述水平。

3小结:根据等腰三角形的性质填空。

(1)如果AB=ACAD是角的平分线那么......

(2)如果AB=ACAD⊥BC那么......

(3)如果AB=ACBD=CD那么......

总结,积累知识点,从理性上认识等腰三角形的性质,形成知识体系。

(三)应用举例,强化训练

为进一步深化巩固对新知识的理解,使新知识转化成技能,在教学中我遵循由线入深,循序渐进的原则安排以下练习,以求完成教学目标。

通过这一环节的题目训练,有利于激发学生探索精神,养成灵活运用新知识,敢干运用新知的跳跃精神。

四、归纳小结

为了使学生对所学知识有一个完整而深刻系统的认识,我让学生畅所欲言,谈体会、谈收获,让学生自己结合本节教学目标,发现在学习中学会了什么及还存在哪些问题。这样有利于学生学习后养成及时反思的习惯。

等腰三角形的性质教学反思

安排一课时学习等腰三角形的性质，内容很多，课堂容量很大，本课教学后，有很多方面需要总结。

在证明性质时，不再有同学直接用性质证明性质了，这是一个很大的进步，用三种方法研究性质的证明，要用到小组交流，比较发现有三种方法：取中点，用“SSS”证明全等;作垂线，用“HL”证明全等;作角平分线，用“SAS”证明全等。通过这样的教学设计，一方面，体会了辅助线不同的作法，就有不同的证法;另一方面，为性质2“三线合一”的教学提供了方便。不足的是，课堂交流的面可以更宽些。

性质2的应用比较多，初学者往往不能灵活应用这条性质优化证题途径，因此要解读这条性质，由图形训练和规范符号语言，把性质一句话改写成三句话或者六句话，一句话是“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”，三句话是“1等腰三角形的顶角平分线平分底边、垂直于底边，2等腰三角形的底边上的中线平分顶角、垂直于底边，3等腰三角形的底边上的高平分顶角、平分底边”，六句话是“1等腰三角形的顶角平分线平分底边，2等腰三角形的顶角平分线垂直于底边，3等腰三角形的底边上的中线平分顶角，4等腰三角形的底边上的中线垂直于底边，5等腰三角形的底边上的高平分顶角，6等腰三角形的底边上的高平分底边”，结合图形概括起来就是：在△ABC中，AB=AC，下列论断①∠BAD=∠CAD，②BD=CD，③AD⊥BC中，有一条成立，另外两条就成立，分六句话，写出推理语言。这里设计了一组填空题，有利于性质2的应用。学生能够整齐地叙述，但还需进一步巩固。

性质在计算中的应用，涉及到方程思想和分类讨论思想，课堂上的训练不是太充分的，没有安排同学在黑板上板演，主要培养了学生讨论和自觉纠错的学习习惯。

《等腰三角形的性质》教学设计 篇13

当时有很多学生都会想, 这个性质也不怎么用啊, 但是到了初二, 在学习三角形全等的证明过程中, 大家会发现它是证明角相等非常好、也是非常常用的一种方法, 尤其是余角的性质最为常用.

例如人教版八年级下册第27页第9题.

例1已知如图1, ∠ACB=90°, AC=BC, BE⊥CE于E, AD⊥CE于D, AD=2.5 cm, DE=1.7 cm, 求BE的长.

分析:在这个问题中, 很容易知道, 我们要证明△ADC和△CEB全等, 并且容易找到一边一角的条件, 即直角和AB=CB, 再找一个角或再找一个边就可以了.

其实这个时候会发现有很多的直角, 我们找角就是比较常见的, 并且基本上都是利用余角的性质, 因为∠DAC+∠ACD90°, ∠BCE+∠ACD=90°, 所以∠DAC=∠BCE.

由上面的这个题目拓展出来下面的题目.

拓展:△ABC中, ∠BAC=90°, AB=AC, 直线MN过点A, BD⊥MN于D, CE⊥MN于E.

(1) 当MN在△ABC外部时, 如图2, 猜想并证明DE、BD、CE之间的等量关系;

(2) 当MN与线段BC相交时, 即变成下图3、4时, 猜想并证明DE、BD、CE之间又各有什么等量关系.

以上题目都是课本上题目的变式, 并且变成了一个开放性的题目, 尽管是开放性的题目, 但是基本的思路是没有变的, 都是要证明△ABD≌△CAE, 并且在准备角的条件时都要用到余角的性质.

比如下面的几个题目:

1.已知如图5, 在△ABC中, ∠ACB=90°, CD垂直AB于点D, 点E在AC上, CE=BC, 过E点作AC的垂线交CD的延长线于点F, 求证AB=FC.

分析:要证明AB=FC, 必须先证明△ABC≌△FCE, 题目中有BC=EC, ∠ACB=∠FEC=90°, 所以要找角, ∠A与∠F都是∠ACD的余角故相等.

2.如图6, 在△ABC中, AD⊥BC, CE⊥AB, 垂足分别为D、E, AD、CE交于点H, 已知EH=EB=3, AE=4, 求CH的长.

分析:因为∠BAD+∠B=90°, ∠BCE+∠B=90°, 所以∠BAD=∠BCE, 再加上直角与BE=EH, 可证△AEH≌△CEB.

3.如图7, △ABC中, ∠ABC=45°, CD⊥AB于D, BE平分∠ABC, BE⊥AC于E, 与CD相交于点F, H是BC边的中点, 连结DH与BE相交于点G.求证:BF=AC.

分析:如图∠ABE+∠A=90°, ∠ACD+∠A=90°, 所以∠ABE=∠ACD, 其他的问题基本上和上面的就都一样了.

那么到底什么时候会用到这个性质呢?其实都是在找角的关系时比较常用这个性质, 当然因为要会用余角的性质, 所以大多数会存在多个直角三角形的, 这是用它的一个很重要的标志.掌握了这种找角相等的方法之后, 学生在做题的过程中会减少很多思维障碍.当然余角的性质可以找角相等的关系, 很多学生还会想到, 我们还学了一条补角的性质, “等角的补角相等”, 它在做题时一样很好用, 比方说下面一题.

例2如图8所示, 在△ABC中, AD平分∠BAC, 点E、F分别为AB、AC上的点, ∠EDF+∠BAF=180°, 求证DE=DF.

分析:因为这个题目中有角平分线, 所以学生根据经验很容易作出辅助线, 即过点D作DG⊥AC于G点, DH⊥AB于点H, 然后证明△DEH≌△DFG.但是会少一个条件, 很多学生想不到了, 其实我们有一个条件还没有用, 即∠EDF+∠BAF=180°.用它可以得到∠AED+∠AFD=180°, 而∠AFD+∠DFG=180°, 所以可以得到∠AED=∠DFG, 这样就利用了等角的补角相等, 为三角形全等准备了角相等的条件.

上面的例子都是直接应用余角或补角的性质, 但是有的时候也发现, 为了证明角相等的关系, 却用不了余角或补角的性质.这个时候, 我们也可以把性质进行一般化, 比方说:

例3 (2010·日照) 如图9, 四边形ABCD是正方形, 点G、E分别是边AB、BC的中点, ∠AEF=90°, 且EF交正方形外角的平分线CF于点F.

(1) 证明:∠BAE=∠FEC;

(2) 证明:△AGE≌△ECF.

学生在做第一问的时候就会出现问题, 无从下手, 或者过F点作BH的垂线段, 然后来证明两个直角三角形全等.但是这样证明条件不足, 其实我们是可以直接证明这对角相等的, 我们可以轻松地证明出∠BGE=∠GEB=45°, 所以可以得到两个等式∠BAE+∠AEG=45°、∠FEC+∠AEG=45°, 所以可以得到∠BAE=∠FEC, 这样证明就不需要添加辅助线了.

在这里我们就把等角的余角相等一般化了, 即“如果两个角都与同一个角 (或相等的角) 的度数和相等, 那么这两个角也相等”, 这一条在应用上会更加得心应手, 例如, 我们可以把例3进行变式.

变式1:如图10, 在正方形ABCD中, M是BC边 (不含端点B、C) 上任意一点, P是BC延长线上一点, N是∠DCP的平分线上一点, 若∠AMN=90°, 求:AM=MN.

变式2:如图11将变式1中的“正方形ABCD”改成“正三角形ABC”, N是∠ACP的平分线上一点, 则∠AMN=60°时, 结论AM=MN是否还成立?请说明理由.

这两个变式我们需要构造全等三角形, 在AB边上截取AE=MC, 连接ME, 通过例3的方法证明出∠EAM=∠CMN, 再证明三角形全等就可以了, 可以看出这种方法是非常行之有效的.

三角形中线的性质 篇14

设△ABC的角A、角B、角C的对边分别为a,b,c。

1、三角形的三条中线都在三角形内。

2、三角形的三条中线长：

ma=(1/2)√(2b2+2c2-a2)

mb=(1/2)√(2a2+2c2-b2)

mc=(1/2)√(2a2+2b2-c2)

(ma、mb、mc分别为角A,B,C所对边的中线长)

3、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。

4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的1/2。

5、角形中线组成的`三角形面积等于这个三角形面积的3/4。

6、三角形重心将中线分为长度比为1:2的两条线段。

三角形都有什么线

三角形有四线，分别为中线，高，角平分线，中位线。

1、中线定义：三角形的中线是连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段，一个三角形有3条中线。

2、高定义：从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段。

3、角平分线定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。

课题：等腰梯形的性质数学教案 篇15

课题：等腰梯形的性质数学教案

课题：等腰梯形的性质数学教案 -08-05 22:50:31 阅读7 评论0 字号：大中小 订阅 教学过程： 一、学生自主探究： 等腰梯形同一底上的两个角有什么关系?(学生先自己动手画图，进行测量、判断、猜想等，然后小组内交流) 结论：等腰梯形同一底上的两个角相等。 这是本结论的合情推理过程。对于几何命题来说，需要有严密的逻辑推理过程，也就是演绎推理过程，要求有理有据，符合逻辑。 二、师生共同探究： 证明：等腰梯形同一底上的两个角相等。 引导学生回顾：等腰三角形的两个角相等。全等三角形的`对应角相等。 引导学生分析：可以把等腰梯形同一底上的两个角转化到等腰三角形的两个角或者全等三角形的对应角当中。 引导学生找到方法： 1、作一腰的平行线。如：过点C作AD的平行线，交AB于点E。将角A转化到三角形CEB中。 2、作两条高。分别过点D、C作DE垂直于AB、CF垂直于AB，E、F分别为垂足。将角A和角B转化到全等三角形DAE和CBF中。 由学生板书证明过程，完成后师生共同点评。 虽然等腰梯形的性质可以直接作为证明命题的依据，但是通过上述演绎推理过程，i相信学生会更好的掌握此性质，运用起来会恰如其分，得心应手。