等腰直角三角形

等腰直角三角形（精选12篇）

等腰直角三角形 篇1

教学设计

教学反思

运用“电子书包”平台进行学习, 拓展了学生的学习空间和视野.利用这个平台中的"互动讨论"功能, 师生之间以及学生之间课下也可以充分地交流所思所想.在论坛中学生可以谈谈自己的学习心得, 实现知识的相互分享.也正是这种相互学习的新手段, 大大地提高了学生学习数学的兴趣.在课上, 老师可以随时浏览学生的思考过程, 然后将学生的作品展示到大屏幕上进行讨论, 在反复的探究过程中, 得出结论, 提升能力.对于整个教学活动来说, 老师只是负责贯穿整堂课的教学环节, 而学生才是课堂的真正领导者.学生可以充分发挥思维和创造能力, 让知识在学生的参与过程中自然生成.最后老师利用"电子书包"的测试反馈功能, 统计学生课堂知识掌握情况, 并针对个别题目、个别学生进行个性化讲解, 真正做到了因材施教.

在准备这节课的过程中, 我觉得按部就班的流程、插页精美的PPT不是教学的重点, 经过这一次实践, 我真正地感悟到了突破传统教学理念的重要性."翻转课堂"是老师针对学生的学习进行引导、点拨, 帮助学生学会自主学习的课堂.在今后的教学中, 我会充分利用"电子书包"平台, 打破固定的学习模式, 让学生真正地自主学习.

摘要：本节课利用"电子书包"翻转了传统的数学课堂.课前, 祁老师通过让学生自主学习微课并参与论坛中的主题讨论和独立完成测试题, 提高和发展了学生多方面的能力.课中, 祁老师在通过展示学生论坛中的优秀发帖导入新课后, 不断引导学生通过独立思考、小组讨论, 对课前所学知识进行了完善的推理论证.此外, 在课上的"拓展思维, 巩固提高"教学环节中, 祁老师利用"电子书包"实现了学生动态学习过程的监督和学生学情的即时反馈, 打造了一节高效的数学"翻转课堂".

等腰直角三角形 篇2

14．3．1．1 等腰三角形

（一）教学目标

（一）教学知识点

1．等腰三角形的概念． 2．等腰三角形的性质．

3．等腰三角形的概念及性质的应用．

（二）能力训练要求

1．经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点． 2．探索并掌握等腰三角形的性质．

（三）情感与价值观要求

通过学生的操作和思考，使学生掌握等腰三角形的相关概念，并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯．

教学重点

1．等腰三角形的概念及性质． 2．等腰三角形性质的应用．

教学难点

等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．

教学方法

探究归纳法．

教具准备

师：多媒体课件、投影仪；

生：硬纸、剪刀．

教学过程

Ⅰ．提出问题，创设情境

[师]在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？ [生]有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． [师]那什么样的三角形是轴对称图形？

[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，•也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形．

[师]很好，我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形．

Ⅱ．导入新课

个等腰三角形的两个底角相等，•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．

[师]很好，大家看屏幕．

（演示课件）

等腰三角形的性质：

1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．

2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．

[师]由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质．同学们现在就动手来写出这些证明过程）．

（投影仪演示学生证明过程）

A [生甲]如右图，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，因为

ABAC, BDCD，ADAD,BDC 所以△BAD≌△CAD（SSS）．

所以∠B=∠C．

[生乙]如右图，在△ABC中，AB=AC，作顶角∠BAC的角平分线AD，因为

ABAC, BADCAD，ADAD, 所以△BAD≌△CAD．

A1 所以BD=CD，∠BDA=∠CDA=∠BDC=90°．

2BDC [师]很好，甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明，过程也写得很条理、很规范．下面我们来看大屏幕．

A（演示课件）

[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．

D [师]同学们先思考一下，我们再来分析这个题．

[生]根据等边对等角的性质，我们可以得到

CB∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC，• 再由∠BDC=∠A+∠ABD，就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A． 再由三角形内角和为180°，•就可求出△ABC的三个内角．

[师]这位同学分析得很好，对我们以前学过的定理也很熟悉．如果我们在解的过程中把∠A设为x的话，那么∠ABC、∠C都可以用x来表示，这样过程就更简捷．

ABDC

答：∠B=77°，∠C=38.5°．

（二）阅读课本P138～P140，然后小结．

Ⅳ．课时小结

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．

我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．

Ⅴ．课后作业

（一）课本P147─1、3、4、8题．

（二）1．预习课本P141～P143． 2．预习提纲：等腰三角形的判定．

Ⅵ．活动与探究

如右图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．

求证：AE=CE．

BDA

过程：通过分析、讨论，让学生进一步了解全等三角形的性质和判定，•等腰三角形的性质．

结果：

证明：延长CD交AB的延长线于P，如右图，在△ADP和△ADC中

EC12, ADAD，ADPADC, ∴△ADP≌△ADC．

∴∠P=∠ACD．

又∵DE∥AP，∴∠4=∠P．

∴∠4=∠ACD．

《等腰三角形》测试题 篇3

——斯里尼瓦萨•拉马努扬（19世纪、20世纪印度数学家）

一、填空题（每小题3分，共27分）

1． 若等腰三角形周长为30，一条边长为12，则另两边的长为__；若等腰三角形周长为30，一条边长为4，则另两边的长为__.

2． 若等腰三角形的顶角和一个底角的和是110°，则它的一个底角为__.

3． 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12 cm和21 cm两部分，则这个等腰三角形的底边长是__.

4． 如图1，在△ABC中，AD⊥BC于D.请你再添加一个条件，使△ABC是等腰三角形.你添加的条件是：__.

5． 如图2，△ABC中，AD⊥BC，D为垂足.点E、F分别是AC、AB上的点，且DF⊥AB，DE⊥AC.要使DF=DE，则图中线段应满足的条件是__.

6． 在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则△ABC的底角为__.

7． 如图3，已知△ABC中，∠C=90°，∠DBC=18°，AD=BD，那么∠A=__.

8． 如图4，△ABC中，D是BC边上的一点，若AD=BD，AB=AC=CD，则∠BAC=__.

9． 如图5，△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AC于E.BE=5 cm，△BCE的周长是18 cm，则BD=__.

二、选择题（每小题3分，共27分）

10． 已知等腰三角形两条边的长分别为2和5，则它的周长为（）.

A. 9 B. 12C. 9或12 D. 5

11． 有下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有（）.

A. ①②③B. ①②④

C. ①③ D. ①②③④

12． 如图6，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BE平分∠ABC，DE∥BC，则图中有等腰三角形（）.

A. 1个 B. 3个 C. 4个D. 5个

13． 如图7，把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（）.

A. △EBD是等腰三角形，EB=ED

B. 折叠后∠ABE和∠CBD一定相等

C. 折叠后得到的图形是轴对称图形

D. △EBA和△EDC是全等三角形

14． 如图8，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，且MN∥BC.设AB=12，BC=24，AC=18，则△AMN的周长是（）.

A. 30 B. 33 C. 36 D. 39

15． 如图9，已知△ABC中，AB=AC，∠C=30°.AB⊥AD，AD=2.则BC的长为（）.

A. 8 B. 6C. 4 D. 2

16． 如图10，已知D是BC上一点，且有AB=AC=BD，那么∠1与∠2的关系是（）.

A. 3∠2-∠1=180°B. ∠1+2∠2=180°

C. 3∠1+∠2=180°D. ∠1=2∠2

17． 图11中的每个等腰三角形都给出了顶角的度数，其中能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）.

A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①③④

18． 图12是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（端点A、C除外）.设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边△ABC的高为h，则d与h的大小关系是（）.

A. d>h B. d

三、解答题

19． （8分）如图13，在△ABC中，AB=AC，D点在边AC上，且BD=BC.E点在边AB上，AD=DE=EB.求∠EDB.

20． （8分）如图14，△ABC中，AB=AC，∠BAC

=120°.AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F.求证：BF=2CF.

21． （8分）如图15，在△ABC中，AB=AC，点D是BC边的中点，E是BA延长线上一点，F是AC上一点，且AE=AF.连接EF并延长，交BC于G.则AD与EG平行吗？为什么？

22． （10分）如图16，D为等边△ABC内的一点，BP=AB，∠DBP=∠DBC，∠BPD=30°.试判断△ABD的形状，并说明理由.

23． （10分）如图17，D为等边△ABC中AB边上的一点.作∠CDE=60°，DE交∠ABC的补角的平分线于点E .试证明△CDE是等边三角形.

四、拓展题

24． （10分）如图18，△ABC是边长为1的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°.E、F分别在AB、AC上且∠EDF=60°.求△AEF的周长.

25． （12分）如图19，以△ABC的两边AB、AC为边向外作等边三角形ABD和ACE，DC、BE相交于点O.

（1）求证：DC=BE.

（2）求∠BOC.

（3）∠BAC的大小发生变化时，∠BOC是否变化？若不变化，请求出∠BOC；若发生变化，请说明理由.

等腰三角形与分类讨论 篇4

一、三角形的形状不明确或图形不明确时需要分类讨论

三角形可以分为锐角三角形,直角三角形和钝角三角形,如果题目中没有明确指出是何种三角形是需要分情况说明。

例1,等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为a,则其底边上的高为()。分析:此题中等腰三角形是何种三角形?未明确。不同类型的三角形一腰上的高与腰的关系不同,因此需要进行分类讨论。

解:显然,此三角形不可能为直角三角形。有两种可能:

1,此三角形为锐角三角形。如图,△ABC中,AB=AC=a,CD⊥AB,∠ACD=30°

∵∠ACD=30°,CD⊥AB

∴,∠A=60°

∴ABC为等边三角形,∴高

2,此三角形为钝角三角形。如图,⊿ABC中CD⊥AB,∠ACD=30°。

作AE⊥BC,垂足为E。

综合1,2.此三角形底边上的高是或。

在有的问题中,虽然在题目中给出有关条件,但没有明确的给出有关图形,导致了多中可能,仍需要分类讨论。

例2,已知等腰三角形中,腰上的中线把三角形的周长分为,两部分。则此三角形的腰长为______。

分析:画出图形,如图在⊿ABC中,D为AC为中点,△ABC的周长被BD分为AB+AD,BC+CD两部分。

但哪一部分是24cm,哪一部分是18cm没有确定,因此需要分类讨论。

解:设AD=CD=xcm,BC=ycm,有两种可能:

1,AB+AD=24cm,BC+CD=18cm.由题意2x+x=24,x+y=18.解之得:x=8,y=8.此时腰长为16cm,底边长为10cm,△ABC存在。

2,BC+CD=18cm,AB+AD=24cm由题意2x+x=18cm,x+y=24cm.解之得:x=6cm,y=18cm,此时腰长12cm,底边长18cm,△ABC存在综合1,2.此三角形腰长为16cm或12cm.

学生在解决此类问题时,常常由于不能熟练掌握分类讨论的方法,往往忽略两种情况中的一种,导致问题漏解。

当顶角,底角不明确时,需分类讨论。

例3.等腰三角形ABC中∠A=50,则另外两角分别为()

分析:A有两种可能,顶角或底角。如果不明确,需分类讨论。

解:1,∠A为顶角,则另外两角分别为65°,65°.

2,∠A为底角,则另外两角分别为50°,80°.

综合1,2.另外两角分别为65°,65°或50°,80°.

类似练习:等腰三角形ABC中,∠A=100°.则另外两角分别为()

二、当腰与底不明确时,需分类讨论

在此类问题中,腰与底没有明确指出,需分类讨论。有两种分类方法:1,按底边分;2,按腰分。这两种分类方法在实质上是一致的,一般的按底分类比较清晰,易于理解。

例4.等腰三角形ABC中,有两边长分别为6cm,8cm,则此三角形的周长为()。解:有两种可能:1,底为6cm,则腰为8cm,此时三角形三边长分别为8cm,8cm,6cm.

周长为22cm.

2,底为8cm,则腰为6cm,此时三角形三边长分别为6cm,6cm,8cm,周长为20cm.

综合1,2.三角形周长为20cm或22cm.

三、利用顶角的不同进行分类讨论。

利用腰与底的分类可以解决大多数与边有关的等腰三角形分类讨论问题,但在解决一些问题时会显得麻烦或易混淆,甚至会出现遗漏。三角形有三个角,每一个角都有可能是顶角,此时如果利用顶角不同的情况进行分类讨论,则问题会变得简单。

1. 已知两点,寻找第三点。

此类问题,往往给出等腰三角形的两点,要求找出符合条件的第三点,大多数出现在网格中或平面直角坐标系中。

例5,如图,已知直线y=x-2与双曲线y=k/x(x>0)交点为A(3,m).

(1)求m,k的值

(2)连接OA,在x轴上是否存在点Q,使AOQ是等腰三角形,若存在,请写出所有符合条件的点Q的坐标,若不存在,请说明理由。分析:如果凭感觉寻找,能找到一些点,但容易出现遗漏。如果理由顶角的不同情况进行分类,则不易遗漏。有三种可能:1,以∠QOA为顶角,2,∠以QAO为顶角,3,以∠AQO为顶角。解:1(略解)m=1,k=3

2. 分三种情况:

1.以∠AOQ为顶角,则OQ=OA。或

2.以∠QAO为顶角,

3. 以∠AQO为顶角,则QA=QO,Q在AO的中垂线上。

作CQ垂直平分AO,垂足为C,交x轴于点Q。易证△OCQ∽△OBA

综合1,2,3,Q点坐标为或或或(5/3,0)。

2.与动点问题向结合

动点问题是近年来中考命题的热点,对学生而言也是难点,它考查学生分析问题的能力,也考查学生运算的能力。当它与等腰三角形问题结合在一起的时候,往往令考生感到畏惧。在2008,2009年中考很多地区竟然不约而同的出现,更多的出现在压轴题中,此类问题牵涉的量较多,如果能做好有关等腰三角形的分类讨论,则问题会变得很清晰。例6.(江苏2009中考数学压轴题)如图,已知射线DE与x轴和y轴分别交于点D(3,0)和点E(0,4).动点C从点M(5,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左作匀速运动,与此同时,动点P从点D出发,也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动.设运动时间为t秒.

(1)请用含t的代数式分别表示出点C与点P的坐标;

(2)以点C为圆心、个单位长度为半径的⊙C与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),连接PA、PB.

①当⊙C与射线DE有公共点时,求t的取值范围;

②当△PAB为等腰三角形时,求t的值.

分析:最后一个问题与等腰三角形有关,牵涉到三条线段:PA,AB,PB。有三种不同的可能,需要分类讨论。我们先用t表示出各线段或各线段的平方:

利用顶角分类讨论即可。

解:(1)C(5-t,0),.

(2)①,略解

当⊙C与射线DE有公共点时,t的取值范围为.

②分三种情况,当PAB为顶角时,PA=AB,过P作PQ⊥x轴,垂足为Q,有

当APB为顶角时,有PA=PB,有PC⊥AB,

等腰三角形教学反思 篇5

（三）》教学课后反思

本节课是鲁教版七年级下册第十章等腰三角形的第三个课时，是在学生已经学习等腰三角形两个课时的基础上，认识特殊的等腰三角形—等边三角形。学生在初一已经初步认识了等边三角形的知识，了解了等边三角形的定义，探索了等边三角形的性质，本节课的重点是学习等边三角形的判定及探索得到直角三角形中一个角是30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

让学生自己阅读教材，提出疑问，学生集体讨论，我做最后订正。使学生能感知知识的起点，前后的承接。在研究直角三角形中一个角是30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。这个定理的证明，让学生在课本知识的基础上，广开思路，思考更多的解题方法，把这个定理的证明设计成开放式题形，激发学生的求胜心，调动学生积极思考。一改以往直接给出结论的传统教学方法，精心设计适宜的教学情景，让学生在动手实践中自己发现结论，这种做法不仅能使学生“感到自然、好接受”，更重要的是它体现了数学教育既重视证明又重视猜想的正确教学观。另外，在选取例题的过程中是源于教材胜于教材，注重数学思想的渗透，培养学生的数学思维能力。纵观本节课的收获有：

（1）本节课的设计体现了以教师为主导、学生为主体，以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想。教师以探究任务引导学生自学自悟的方式，提供了学生自主合作探究的舞台，营造了思维驰骋的空间，在经历知识的发现过程中，培养了学生分类、探究、合作、归纳的能力。

（2）在课堂教学设计中，尽量为学生提供“做中学”的时空，不放过任何一个发展学生智力的契机，让学生在“做”的过程中，借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大认知结构，发展能力，完善人格，从而使课堂教学真正落实到学生的发展上。

（3）“乐思方有思泉涌”，在课堂教学中，时时注意营造积极的思维状态，关注学生的思维发展过程，创设民主、宽松、和谐的课堂气氛，让学生畅所欲言，这样学生的创造火花才会不断闪现，个性才得以发展。

不足之处：

（1）小组发言之后，小组评价不及时。（2）报告厅的黑板小板书设计不详细。

探求等腰三角形的第三点　　 篇6

一、相关知识回顾

1，等腰三角形的定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。

2，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上任何一点到这条线段两端点距离相等。

二、已知等腰三角形两个顶点，探求第三点的位置所在已知线段AB，求作一点C，使AABC为等腰三角形。

由等腰三角形的定义可知：点C在以点A为圆心，AB为半径的圆上或在以点B为圆心，BA为半径的圆上(与直线AB的交点除外)。

由线段垂直平分线的性质可知：点C在线段AB的垂直平分线上(与AB的交点除外)。

由此可得：点C只能在以上述作法的两个圆上或AB的垂直平分线上(与AB的交点除外)，如图1虚线部分。

三、中考试题分析

例l (2005年山东省东营市)如图2，在直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(1，1)，在X轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有()。

(A)4个

(B)3个

(C)2个

(D)1个

析解：已知点A与O是等腰三角形的两个顶点，在X轴上寻找满足条件的点P可按如下方法：

如图3，(1)以A为圆心，AO为半径画圆，与X轴有异于点O的一点，记为Pl；以O为圆心，OA为半径画弧，与X轴有两个交点，记为P₂、P₃；

(2)线段OA的垂直平分线与X轴有一个交点，记为P₄。

综上可得：符合条件的点P共有4个，故选A。

例2(2007年重庆市)已知，如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A(10，0)、C(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_____________。

析解：易知，点D与O是等腰三角形的两个顶点，在边BC上寻找满足条件的点P可按如下方法：

如图5，(1)以O为圆心，OD(长为5)为半径画圆，与BC边有一个交点，记为P₁；以D为圆心，DO为半径画圆，与BC边有两个交点，记为P₂、P₃，由已知结合勾股定理等知识可算得：P₁(3，4)、P₂(2，4)、P₃(8，4)。

(2)线段OD的垂直平分线与边BC的交点P₄，但此时等腰三角形的腰长不等于5，不合题意。

因此符合条件的点共有3个，其坐标分别是(3，4)、(2，4)、(8，4)。

例3 (2001年江苏省徐州市)边长为2的正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图6所示，在平面内找点P，使APAB、APBC、APCD、APDA同时为等腰三角形，这样的点P有几个?作出这些点(保留作图痕迹，不写作法)，并写出它们的坐标(不必写出解答过程)。

析解：(1)如图7，以AD为等腰三角形的底，而X轴为AD的垂直平分线，所以所求的点P必在X轴上。

以点A为圆心，AB长为半径画圆，与X轴有两个交点，记为P₁，P₂，由AD∥BC且AB=CD可推知，P₁，P₂两点符

(3)若AB(或CD)与AD(或BC)同时为等腰三角形的底，则它们的垂直平分线的交点为坐标原点，易知点P₉(O，0)也符合要求

综上可知：符合条件的点P有9个，坐标见上，作图略。

对“等腰三角形”的分析和设计 篇7

1.这是七年级下第九章《轴对称》中的重点部分, 是等腰三角形的第一节课, 由于小学已经有等腰三角形的基本概念, 故此节课应该是在加深对等腰三角形从轴对称角度的直观认识的基础上, 着重探究等腰三角形的两个定理及其应用, 如何从对称角度理解等腰三角形是新教材和旧教材完全不同的出发点, 应该重新认识, 把好入门的第一关.

2.等腰三角形是在第八章《多边形》中的三角形知识基础上的继续深入, 如何利用学习三角形的过程中已经形成的思路和观点, 也是对理解“等腰”这个条件造成的特殊结果的重要之处.

3.等腰三角形是基本的几何图形之一, 在今后的几何学习中有着重要的地位, 是构成复杂图形的基本单位, 等腰三角形的定理为今后有关几何问题的解决提供了有力的工具.

4.对称是几何图形观察和思维的重要思想, 也是解决生活中实际问题的常用出发点之一, 学好本节知识对加深对称思想的理解有重要意义.

5.例题中的几何运算, 是数形结合思想的初步体验, 如何在几何中结合代数的等量思想是教学中应重点研究的问题.

6.新教材的合情推理是一个创新, 如何把握合情推理的书写及重点问题, 例题也进一步做了示范, 可以认真探究.

7.本课对学生的动手能力、观察能力有一定的要求, 对培养学生灵活的思维, 提高学生解决实际问题的能力有重要意义.

8.本课内容安排上难度和强度不高, 适合学生讨论, 可以充分开展合作学习, 培养学生的合作精神和团队竞争的意识.

二、学情分析

1.教学中应给予学生充分思考的时间, 谨防填鸭式教学.

2.可以充分发挥合作的优势, 活跃课堂氛围, 加深理解应用.

3.在解决具体问题的时候可以兼顾不同能力的学生, 充分调动学生的学习积极性.

三、教法剖析

1.回归学生主体, 一切围绕着学生的学习活动和当堂课的反馈程度安排教学过程.

2.原则性和灵活性相结合, 既要完成教学计划, 又在教学过程中根据现实的情况, 安排例题的难度, 体现一些灵活性.

3.学而不思则罔, 思而不学则殆, 精研、精思, 方能晓其义, 识其神.教学的形式上注重个体化, 充分给予学生讨论和发表意见的机会, 注重学生的参与性, 努力避免以教师活动为主体的课堂教学过程.

四、教学目标

知识目标:等腰三角形的相关概念, 两个定理的理解及应用.

技能目标:理解对称思想的使用, 学会运用对称思想观察思考, 运用等腰三角形的思想整体观察对象, 提高分析问题和解决问题的能力.

情感目标:体会数学的对称美, 体验团队精神, 培养合作精神.

五、教学中的重点、难点

重点:1.等腰三角形对称的概念.2.“等边对等角”的理解和使用.3.“三线合一”的理解和使用.

难点:1.等腰三角形三线合一的具体应用.2.等腰三角形图形组合的观察、总结和分析.

六、教学方法

1.使用导学法、讨论法.2.运用合作学习的方式, 分组学习和讨论.3.运用多媒体辅助教学.4.调动学生动手操作, 帮助理解.

七、教学准备

1.多媒体课件片段, 辅助难点突破.2.学生课前分小组预习, 上课时按小组落座.3.学生自带剪刀、圆规、直尺等工具.4.每人得到一张印有“长度为a的线段”的纸片.

八、教学过程及说明

摘要：根据多年的教学积累, 我认为等腰三角形是基本的几何图形之一, 在今后的几何学习中有着重要的地位, 是构成复杂图形的基本单位, 等腰三角形的定理为今后有关几何问题的解决提供了有力的工具.

等腰直角三角形 篇8

一、教学设计的背景与思路

等腰三角形性质是义务教育课程标准试验教科书《数学》 (人教版) 八年级上册第14章第三部分第一课时的内容.等腰三角形的性质是学生进一步学习的基础, 也是本章中一个重要的知识点.这节课是在学生学习了轴对称概念、轴对称性质、轴对称变换的基础上提出来的.等腰三角形的性质是研究等边三角形, 也是证明线段相等和角相等的重要依据.教科书呈现的顺序是:动手操作得出概念→观察实验得出性质→推理证明论证性质→应用新知识进行巩固.为此, 根据课标课程的要求和学生的实际情况, 笔者把这节课的教学目标拟定为: (1) 通过现实生活中的例子, 经历“数学化”的过程, 体验数学来源于现实又作用于现实; (2) 通过观察等腰三角形的对称性, 提高学生观察、分析、归纳问题的能力, 发展其形象思维; (3) 通过运用等腰三角形的性质解决有关问题, 提高学生运用知识和技能解决问题的能力, 发展应用意识; (4) 引导学生对图形进行观察、发现, 激发学生的好奇心和求知欲, 并在运用数学知识解答问题活动中获取成功的体验, 建立学习的自信心.为实现上述综合化、多元化的教学目标, 笔者把这节课的教学策略拟定为:利用生活中的游戏 (折纸、剪纸) 作为教学资源来创设情境, 让学生在情境中活动, 在活动中体验, 在体验中领悟, 使学生的思维始终处于思考状态.

二、教学设计的过程与分析

1. 创设情境, 提出问题

问题: (1) 如图1, 把一张长方形的纸片对折, 并剪下阴影部分 (教科书图14.3-1) , 再把它展开, 得到一个什么图形? (2) 上述过程中得到的△ABC有什么特点? (3) 除了剪纸的方法, 还可以怎样作 (画) 出一个等腰三角形?

设计意图:给学生提供参与数学活动的时间与空间, 让学生体验数学与现实生活有密切联系, 使数学学习发生在真实的世界和背景中, 提高学生学习数学的兴趣, 同时为学生观察等腰三角形性质创设探索的情境.

2. 观察图形, 归纳性质

问题: (1) 上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗? (2) 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕AD对折, 找出其中重合的线段和角, 填写下面的表格. (3) 你能猜一猜等腰三角形有什么性质吗?说说你的猜想.

设计意图:在活动中, 教师要重点关注学生能否从轴对称图形的概念出发进行判断;关注学生能否用规范清晰的数学语言说出自己的猜想;关注学生在活动中的参与意识.通过学生观察, 教师引导, 归纳出等腰三角形的两条性质, 形成感性认识, 重视知识形成过程, 培养学生养成自主探究的学习方法.

3. 数学推理, 证明性质

问题: (1) 性质1 (等腰三角形的两个底角相等) 的条件和结论分别是什么? (2) 用数学符号如何表达条件和结论? (3) 如何证明? (4) 受性质1的证明启发, 你能证明性质2吗 (等腰三角形顶角平分线、底边上的高相互重合) ?

要引导学生利用全等三角形的性质, 根据对称性寻找辅助线的添加方法.

设计意图:培养学生的语言转换能力, 增强理性认识, 体验性质的正确性, 提高思维严密性.

4. 应用新知, 学以致用

问题: (1) 如果等腰三角形的顶角是36°, 那么它的底角的度数是________; (2) 在△ABC中, AB=AC, ∠BAC=90°, AD是BC边上的高, 则∠BAD=______, BD=______=_____; (3) 如图2, 在△ABC中, AB=AC, 点D在AC上, 且BD=BC=AD, 求△ABC各角的度数.

设计意图:培养学生正确应用所学知识的能力, 增强其应用意识和参与意识, 帮助其巩固所学的等腰三角形的性质.

5. 变式训练, 熟练技能

变式练习: (1) 等腰三角形的一个角是36°, 它的另外两个角是______. (2) 等腰三角形的一个角是110°, 它的另外两个角是________. (3) 如图3, 在△ABC中, AB=AD=DC, ∠BAD=26°, 求∠B和∠C的度数.

设计意图:先让学生思考、练习, 再进行讨论交流, 同时教师参与讨论, 强调等腰三角形的顶角可以是锐角, 也可以是钝角, 但底角一定是锐角, 关注学生是否注意到可能存在的多种情况.进一步巩固所学的知识, 了解学生的学习效果, 同时培养学生分类讨论的数学思想.

6. 提炼概括, 纳入系统

本课从折纸、剪纸等生活实例出发, 探究了等腰三角形性质. (1) 本课的全过程可以概括为:动手操作→感性认识→逻辑证明→性质的应用. (2) 本课所用的主要思想方法:数形结合思想、转化思想 (性质证明转化为三角形全等) 、分类思想、归纳方法和化归思想等. (3) 在学习过程中可以体会到:新旧知识有着内在联系;数与形有密切的关系, 数学与现实生活密切联系;学习需要学生仔细观察, 大胆猜想, 自主探究;文字语言与图形可以相互转化.

设计意图:使学生对本课所学的知识结构有一个清晰的认识, 对本课所学的思想方法有一个明确的了解, 对本课的学习过程, 学习方法有一个新的感悟.

7. 任务后延, 自主探究

(1) 课外作业:习题14.3第1, 4, 6题. (2) 讨论探究:等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?

设计意图:使学生进一步巩固所学的等腰三角形的性质, 培养实践能力和解决问题的能力.

三、教学设计的反思与感悟

数学教学应当是一个“以知识的教学为基点, 以能力培养为核心, 以个性教育为附带”的三维结构, 只有这样, 才能实现“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的均衡发展.这里的关键是把数学教学恢复为当初数学家发现的过程.其中:设计一个好的问题情境是恢复思考的条件;给学生自主探索的时间与空间是恢复思考的前提;设置条理性问题, 实施有效点拨, 运用激励性评价是恢复思考的根本保证.

笔者的老师上这节课以及笔者早期上这节课, 呈现的方式是: (1) 讲授等腰三角形的有关概念; (2) 给出等腰三角形的性质; (3) 证明性质; (4) 应用性质.它的概念是采用教师教授为主, 要求学生记住有关的名称, 如底角、顶角、腰、底边等, 它的性质, 则在教师的分析引导下一个接一个地被发现, 其间还要求学生及时地加以严格的证明, 这种方法虽简单、快捷, 可以省出时间用于练习, 但学生没有体验知识的形成过程, 主要经历的是“接受、模仿与记忆”的学习过程.这对学生整体把握等腰三角形的本质是不利的, 并且更多的是使学生感到了数学的枯燥和乏味, 显然, 这种记忆性学习方式, 粗浅的思维水平, 无法实现“三维”目标.

一个等腰三角形性质的推广和应用 篇9

定理1 已知△ABC中, AB=AC, 如果D为BC边上任意一点, 那么AD2-AB2=BD·DC。

现把定理1条件中的点在底边上改为点在底边的延长线上, 就得:

定理2 如图1, 已知△ABC中, AB=AC, 如果D为BC延长线上任意一点, 那么AD2-AB2=BD·DC。

证明:作△ABC的外接圆⊙O, 交AD于E, 连接CE。由切割线割定理的推论, 得BD·DC=AD·DE=AD (AD-AE) =AD2-AD·AE, 因为∠CED是圆内接四边形ABCE的外角, 所以∠CED=∠B=∠ACB, 又因为∠AEC+∠CED=180°, ∠ACD+∠ACB=180°, 所以∠AEC=∠ACD, 又因为∠CAE=∠DAC, 所以∠ACE∽∠ADC, 所以 , 所以∠AE·AD=AC2, 即AE·AD=AB2, 因此AD2-AB2=BD·DC。

由定理1和定理2得:

定理3:等腰三角形底边所在直线上任意一点到底边两端点的距离的积等于腰长与这点到顶点距离的平方差的绝对值。

灵活巧妙地应用定理2, 也可非常简捷地解一类与等腰三角形有关的问题, 举例说明如下:

例1:如图1, 在△ABC中, AB=AC=1, D是BC延长线上的一点, 且 , 求BD·DC的值。

解:由定理2得 。

例2:△ABC中, AB=AC=2, BC边延长线上有100个不同的点P1, P2…P100, 记mi=AP2i-BPi·PiC (i=1, 2, …100) , 则m1+m2+……+m100=______。

解:由定理2得APi2-BPi·PiC=AB2=22=4,

即mi=4, 故m1+m2+……+m100==4×100=400。

例3:已知△ABC为等腰锐角三角形, AB=AC, D为BC延长线上一点, 使DA⊥AB。求证:BD2+BD·CD=2AD2。

证明 因为DA⊥AB, 所以AD2+AB2=BD2, …… (1)

又由定理2得AD2-AB2=BD·DC…… (2)

由 (1) , (2) 得BD2+BD·DC=2AD2。

例4:某船在B处以每小时8千米的速度向正东方向航行, 1小时后到达C处, 在B, C两处均测得与灯塔A的距离为8千米。 (1) 问再经过2小时该船距A多少千米? (2) 设该船从B处出发后某时刻所处的位置为P, 若PB=x, PA2=y, 求y关于x的函数解析式及x与y的取值范围。

解: (1) 设再经过2小时后该船在D处 (如图1) , 由题意得AB=AC=8, BD=24, CD=16, 由定理2得AD2=BD·CD+AB2=24×16+8=448, 所以 (千米) 。

(2) (1) 当P在线段BC上时, 由定理1得AP2=AB2-BP·PC, 所以x的取值范围是0

(2) 当P在线段BC的延长线上时, 由定理2得AP2=AB2+BP·PC, 所以y=82+x (x-8) , 即y关于x的函数解析式是y=x2-8x+64。x的取值范围是x>8, y的取值范围是y>64。

综合 (1) , (2) , 得y与x的函数关系式是y=x2-8x+64, x与y的取值范围分别是x>0, y≥48。

由定理还可以得到关于直角三角形的两个性质:

性质1 在Rt△ABC中, ∠C=90°, D是BC上任一点, 那么AD2+2BD·DC+DB2=AB2。

证明:延长BC到点E, 使CE=BC, 连接AE (如图2) , 则AE=AB, 由定理1得AB2=AD2+DB·DE=AD2+BD (2DC+BD) =AD2+2BD·DC+BD2

性质2 在RT△ABC中, ∠C=90°, D是边CB延长张上任一点, 那么AD2+BC2=DC+AB2。

证明:延长BC到点E, 使CE=BC, 连接AE (如图3) , 则AE=AB, 由定理2得AD2-AB2=BD·DE= (DC-BC) (DC+BC) =DC2-BC2, 所以AD2+BC2=AB2+DC2。

参考文献

等腰直角三角形 篇10

例1在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,1),在x轴上确定一点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P共有().

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个

【分析】此题应该分情况讨论. 以OA为腰或底分别讨论.

解:(1)若AO作为腰时,有两种情况.

1当A是顶角顶点时,P是以A为圆心,以OA为半径的圆与x轴的交点,共有1个;

2当O是顶角顶点时,P是以O为圆心,以OA为半径的圆与x轴的交点,有2个;

(2)若OA是底边时,P是OA的中垂线与x轴的交点,有1个.

以上4个交点没有重合的. 故符合条件的点有4个. 故选A.

【点评】此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定;对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确哪边是底哪边是腰,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.

变式1本题若将在x轴上确定一点P改成在y轴上确定一点P,符合条件的点P共有几个?

解答:方法同上,有4个.

变式2本题若将在x轴上确定一点P改成在坐标轴上确定一点P,符合条件的点P又有几个?

解答:方法同上,有8个.

变式3在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(2,0)、(2,4),点P在坐标轴上,△ABP是等腰三角形,符合条件的点P共有______个.

解答:由点A、B的坐标可得到AB⊥x轴,AB=4,然后分类讨论:若AP=AB,满足△ABP是等腰三角形的P点有4个;若BP=AB,满足△ABP是等腰三角形的P点有2个;若PA=PB,满足△ABP是等腰三角形的P点有1个.

所以点P在坐标轴上,△ABP是等腰三角形,符合条件的点P共有7个.

故答案为7.

变式4在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,3),点P为坐标轴上一点,则以A、B、P为顶点的等腰三角形有______个.

解:建立平面直角坐标系,在平面直角坐标系中,作出点A和点B,点P为坐标轴上的点,连接AB. 如图,以AB为腰的三角形有4个,分别是△ABP1,△ABP2,△ABP3,△ABP4;以AB为底的三角形有两个,分别是△ABP5,△ABP6.

因此,以点A、B、P为顶点的等腰三角形共有6个. 故填6.

例3如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,四边形OABC是矩形,点B的坐标为(5,4),点P为BC上的动点,当△POA为等腰三角形时,点P坐标为______.

【分析】当PA=PO时,根据P在OA的垂直平分线上,得到P的坐标;当OP=OA=5时,由勾股定理求出CP即可;当AP=AO=5时,同理求出BP、CP,即可得出P的坐标.

等腰直角三角形 篇11

例1：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）

A.4个 B.3个C.2个D.1个

分析：此题应该分情况讨论.以OA为腰或底分别讨论.

解答：（1）若AO作为腰时，有两种情况，

①当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个

②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有1个；

（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个.

以上4个交点没有重合的.故符合条件的点有4个.

故选：A.

点评：此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.

变式1：本题若在x轴上确定一点P改成在y轴上确定一点P ， 符合条件的点P共有几个？

解答：方法同上，有四个.

变式2：本题若在x轴上确定一点P改成在坐标轴上确定一点P ， 符合条件的点P又有几个？

解答：方法同上，有八个.

变式3：在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0）、（2，4），点P在坐标轴上，△ABP是等腰三角形，符合条件的点P共有 个.

解答：由点A、B的坐标可得到AB⊥x轴，AB=4，然后分类讨论：若AP=AB，满足△ABP是等腰三角形的P点有4个；

若BP=AB满足△ABP是等腰三角形的P点有2个；若PA=PB，满足△ABP是等腰三角形的P点有1个.

所以点P在坐标轴上，△ABP是等腰三角形，符合条件的点P共有 7个.

故答案为7.

变式4：在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，3）、点P为坐标轴上一点，则以A、B、P为顶点的等腰三角形有 个.

解答：建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中，作出点A和点B，点P为坐标上的点，连接AB，如图，以AB为腰的三角形有4个，分别是△ABP1，△ABP2，△ABP3，△ABP4；以AB为底的三角形有两个，分别是△ABP5，△ABP6.

因此，以点A、B、P为顶点的等腰三角形共有6个.

故填6.

例2：在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），在直线y= x上取点P，使△OPA是等腰三角形，求所有满足条件的点P坐标.

分析：根据等腰三角形的腰长不明确，所以分①OP=OA，②AP=OA，③线段OA的垂直平分线与直线的交点，三种情况进行讨论求解.

点评：本题考查了正比例函数图形的性质与等腰三角形的判定，根据腰长的不确定性，注意分情况进行讨论.

例3：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（5，4），点P为BC上动点，当△POA为等腰三角形时，点P坐标为 .

分析：当PA=PO时，根据P在OA的垂直平分线上，得到P的坐标；当OP=OA=5时，由勾股定理求出CP即可；当AP=AO=5时，同理求出BP、CP，即可得出P的坐标.

解答：当PA=PO时，P在OA的垂直平分线上，P的坐标是（2.5，4）；

当OP=OA=5时，由勾股定理得：CP= =3，

P的坐标是（3，4）；

当AP=AO=5时，同理BP=3，CP=5﹣3=2，

P的坐标是（2，4）.

故答案为：（2.5，4），（3，4），（2，4）.

等腰直角三角形 篇12

流程1:自学指导, 调起学生主动学习的胃口。

在此环节中, 教师首先指导学生读书, 然后思考老师设计的问题。学生们读书状况不尽相同, 其中不乏蜻蜓点水式阅读, 于是教师便叫学生到黑板上画图形, 而且要求准确无误……在学生画完并得到教师的表扬之后, 他们沸腾了———读, 反复读, 认真读, 争先恐后画图, 胃口也被调动起来。待教师叫学生背等腰三角形概念和性质时, 正确率竟然100%。

反思1:

这里教师没有喝令学生读, 而是巧妙地点拨 (表扬) , 也没有 (必要) 详细讲解, 学生的主体作用就发挥出来了。

由此可以看出, 教师的教学设计非常重要, 它能直接导引学生学习的方向。而后教师的适度表扬, 则成为了学生自主、主动学习的催化剂。自学指导, 关键在于教师如何指导自学, 像这位教师这样, 学生的主动性哪能不会被激发呢?

流程2:小组讨论, 充分发挥学生的主观能动性。

在接下来的几个步骤中, 教师指导学生细读书中的重要文字, 引导学生进行讨论, 如例题中有何知识点?在小组讨论时, 各小组尽最大可能找出了很多知识点, 教师巡视点拨, 提示哪些可以在全班展示, 并且给予每个小组评分, 全班展示。教师巡回小组讨论评价10分钟, 全班展示5分钟。

反思2:就在这15分钟里, 全班学生都有过不同程度不同层次的表现, 而且通过课堂检测环节验证, 学生达标率达90%以上。如此的高效, 原因在哪里呢?我认为在于教师的巡视上。每个教师都会巡视, 但这位教师的巡视, 不是逡巡地视看, 而是参与到学生小组活动之中, 给小组活动以指导, 对各小组找出的重要的、有代表性的知识点进行鼓励并展示。这不能不说, 教师的高明之处在于指导、引导、点拨、评价, 充分了发挥学生的主观能动性。

整体反思:

整个课堂中, 教师为主导, 学生为个体和主体, 均表现为主体。教师心中熟练掌握各环节, 每环节中教师只是指导、引导、点拨、评价, 充分发挥学生的主体作用;学生讨论、交流、展示, 充分表现, 全体表现, 使主观能动性得以真正发挥。