三角模糊数互补判断矩阵的一种排序方法

2024-06-14

三角模糊数互补判断矩阵的一种排序方法（共2篇）

三角模糊数互补判断矩阵的一种排序方法篇1

模糊互补判断矩阵的排序方法研究

指出了模糊互补判断矩阵的一种常用排序方法的不足,提出了模糊互补判断矩阵排序的一种新方法,并研究了该法所具有的`一些优良性质.该法不仅能充分利用模糊一致性判断矩阵的优良特性及其判断信息,而且可以直接由原模糊互补判断矩阵求出较为理想的排序向量,所需计算量较小.所得方案排序权重属于正常范围,因而更为合理、实用.最后进行了算例分析.

作者：徐泽水作者单位：东南大学经济管理学院,江苏,南京,210096刊名：系统工程与电子技术 ISTIC EI PKU英文刊名：SYSTEMS ENGINEERING AND ELECTRONICS年，卷(期)：200224(11)分类号：O223 C934关键词：模糊互补判断矩阵排序群决策

三角模糊数互补判断矩阵的一种排序方法篇2

在决策分析中, 需要决策者对方案进行两两比较, 并构造判断矩阵。判断矩阵按其元素的构成方式可分为:互反判断矩阵和互补判断矩阵。与互反判断矩阵相比, 互补判断矩阵更符合人类决策思维的心理特性[1]。因而, 更容易为决策者掌握和使用。目前, 关于判断矩阵中元素为确定值的互反判断矩阵与互补判断矩阵的研究已趋于成熟[2,3,4,5,6,7]。文[8]还详细研究了互反判断矩阵和互补判断矩阵之间的转换关系。然而, 在实际决策过程中, 由于客观事物的复杂性, 人类思维的模糊性, 造成专家判断的不确定, 给出的判断值常常是不确定的数值, 以三角模糊数等模糊形式给出。因此, 关于此类不确定数互补判断矩阵的一致性和排序方法研究, 具有重要的实际应用价值。

目前, 关于三角模糊数互补判断矩阵的一致性及排序研究, 虽然已取得一些进展[9,10,11,12,13,14,15,16,17,18], 但还存在缺陷和不足。从已掌握的文献来看, 国内关于三角模糊数互补判断矩阵的排序方法主要可分为四类, 第一类是将三角模糊数互补判断矩阵转化成精确数互补判断矩阵, 继而求出权重向量[9,10,11,12], 第二类是基于信息集结算子的排序方法[13], 第三类是仿照传统层次分析法中按行求和归一化法求得方案的权重向量[14,15,16], 第四类则根据三角模糊数互补判断矩阵的乘性一致定义, 从最优化角度, 建立线性目标规划或非线性规划模型, 通过求解该模型得到判断矩阵的权重向量[17,18]。后三类方法求得的权重向量都是三角模糊数, 难以直接比较大小, 为此引入三角模糊数期望值公式[19]和可能度概念[14,15], 通过计算出的期望值或可能度进行权重向量的大小比较。关于第三类方法求得的权重向量差别不大, 一般不易区别。第四类方法, 基于乘性一致性角度构建的优化模型, 存在着三角模糊数上界值逼近于中值的趋势, 因而在使用LINGO软件求解时, 为使目标函数最小化, 求得的三角模糊数权重向量, 其上界与中值总是相等, 这与实际情况不符。

基于此, 本文从加性一致性角度, 讨论了三角模糊数互补判断矩阵与三角模糊数互反判断矩阵之间的相互转换关系, 基于最小二乘法, 构建了多层次非线性规划模型, 从而求得权重向量。最后, 算例分析表明该排序方法的可行性和有效性。

2 预备知识

设X={x1, x2, …, xn}为方案集, 记N={1, 2, …, n}。专家对决策方案进行两两比较, 按互反型标度或互补型标度赋值, 则给出互反判断矩阵或互补判断矩阵[8]。

定义1 设矩阵A= (aij) n×n, 若满足条件:aij>0, aij=1/aji, aii=1, i, j∈N, i≠j, 则称其为互反判断矩阵[17]。

定义2 设A= (aij) n×n是互反判断矩阵, 若满足条件:aij=aikakj, ∀i, j, k∈N, 则称其为一致性互反判断矩阵[18]。

定义3 设矩阵B= (bij) n×n, 若满足条件:bij>0, bij+bji=1, bii=0.5, i, j∈N, i≠j, 则称其为互补判断矩阵[17]。

定义4 设B= (bij) n×n是互补判断矩阵, 若满足条件:bij=bik+bkj-0.5, ∀i, j, k∈N, 则称其为一致性互补判断矩阵[6]。

定理1 互补判断矩阵B= (bij) n×n与互反判断矩阵A= (aij) n×n可以通过下列公式[20]相互转化:

$\begin{array}{l} b_{i j} = 0.5 + 0.2 \log_{3} a_{i j} (1) \\ a_{i j} = 3^{5 (b_{i j} - 0.5)} (2) \end{array}$

定理2 一致性互补判断矩阵B= (bij) n×n与一致性互反判断矩阵A= (aij) n×n可以通过公式 (1) 、 (2) 相互转化。

设A= (aij) n×n是一致性互反判断矩阵, w= (w1, w2, …, wn) T是其权重向量, 其中, $w_{i} > 0, \sum_{i = 1}^{n} w_{i} = 1, i \in Ν$ , 则有aij=wi/wj, i, j∈N. 将其代入式 (1) , 则有bij=0.5+0.2log3wi/wj, i, j∈N. 把该式代入bij=bik+bkj-0.5, ∀i, j, k∈N, 则等式成立, 即B是一致性互补判断矩阵。因此, 若设B= (bij) n×n是一致性互补判断矩阵, v= (v1, v2, …, vn) T是其权重向量, 其中, $v_{i} > 0, \sum_{i = 1}^{n} v_{i} = 1, i \in Ν$ , 则有bij=0.5+0.2log3vi/vj, i, j∈N.

3 三角模糊数判断矩阵

定义5 若a= (al, am, au) , 其中0<al≤am≤au, 且al和au分别为a所支撑的下界和上界, 它们表示模糊的程度, 且au-al越大, 模糊程度越强, am为a的中值, 则称a为一个三角模糊数, 其隶属函数可表示为[18]

$μ_{a} (x) = {\begin{matrix} \frac{x - a_{l}}{a_{m} - a_{l}}, & a_{l} \leq x \leq a_{m} \\ \frac{x - a_{u}}{a_{m} - a_{u}}, & a_{m} \leq x \leq a_{u} \\ 0, & 其它 \end{matrix}$

三角模糊数有以下运算性质[21]:设a= (al, am, au) , b= (bl, bm, bu) , 则

(1) a♁b= (al, am, au) ♁ (bl, bm, bu) = (al+bl, am+bm, au+bu) ;

(2) λ♁a= (λ, λ, λ) ♁ (al, am, au) = (λ+al, λ+am, λ+au) ;

(3) a·○b= (al, am, au) ·○ (bl, bm, bu) = (albl, ambm, aubu) ;

(4) λ·○a= (λ, λ, λ) ·○ (al, am, au) = (λal, λam, λau) ;

(6) ln (a) ≅ (ln (al) , ln (am) , ln (au) ) ;

(7) exp (a) ≅ (exp (al) , exp (am) , exp (au) ) 。

定义6 设判断矩阵A= (aij) n×n, 其中aij= (alij, amij, auij) 为三角模糊数, 并且0<alij≤amij≤auij, ∀i, j∈N, 若矩阵A满足:

(1) alii=1, amii=1, auii=1, ∀i∈N,

(2) alijauji=auijalji=amijamji=1, i≠j, ∀i, j∈N,

则称矩阵A为三角模糊数互反判断矩阵[17]。

定义7 设判断矩阵B= (bij) n×n, 其中bij= (blij, bmij, buij) 为三角模糊数, 并且0<blij≤bmij≤buij, ∀i, j∈N, 若矩阵B满足:

(1) blii=0.5, bmii=0.5, buii=0.5, ∀i∈N,

(2) blij+buji=bmij+bmji=buij+blji=1, i≠j, ∀i, j∈N,

则称矩阵B为三角模糊数互补判断矩阵[18]。

定义8 设A= (aij) n×n是三角模糊数互反判断矩阵, 若矩阵A满足:aij=aikakj, ∀i, j, k∈N, 则称矩阵A为一致性三角模糊数互反判断矩阵[18]。

定义9 设B= (bij) n×n是三角模糊数互补判断矩阵, 若矩阵B满足:

(1) bmij+bmjk+bmki=1.5,

(2) blij+bljk+blki+buij+bujk+buki=3, ∀i, j, k∈N,

则称矩阵B为一致性三角模糊数互补判断矩阵[20]。

定理3 三角模糊数互补判断矩阵B= (bij) n×n与三角模糊数互反判断矩阵A= (aij) n×n可以通过式 (1) 、式 (2) 相互转化。

定理4 一致性三角模糊数互补判断矩阵B= (bij) n×n与一致性三角模糊数互反判断矩阵A= (aij) n×n可以通过式 (1) 、式 (2) 相互转化。

4 排序方法

设B= (bij) n×n是三角模糊数互补判断矩阵, 其中, bij= (blij, bmij, buij) , 设v= (v1, v2, …, vn) T是判断矩阵B的权重向量, 其中vi= (vli, vmi, vui) , i∈N, 则当B是一致性三角模糊数互补判断矩阵时, 有bij=0.5+0.2log3vi/vj, i, j∈N, 即

$\begin{array}{l} (b_{l i j}, b_{m i j}, b_{u i j}) = 0.5 + 0.2 \log_{3} (v_{l i}, v_{m i}, v_{u i}) / (v_{l j,} v_{m j}, v_{u j}) \\ = 0.5 + 0.2 \log_{3} (v_{l i} / v_{u j}, v_{m i} / v_{m j}, v_{u i} / v_{l j}), i, j \in Ν \end{array}$

也即

$\begin{array}{l} b_{l i j} = 0.5 + 0.2 \log_{3} v_{l i} / v_{u j} \\ b_{m i j} = 0.5 + 0.2 \log_{3} v_{m i} / v_{m j} \\ b_{u i j} = 0.5 + 0.2 \log_{3} v_{u i} / v_{l j} \\ i, j \in Ν (3) \end{array}$

然而, 由于决策者在实际决策过程中所给出的三角模糊数互补判断矩阵往往是非一致性的, 因此式 (3) 一般不成立。为此引入偏差函数

${\begin{cases} f_{l i j} = [b_{l i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{l i} / v_{u j})]^{2} \\ f_{m i j} = [b_{m i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{m i} / v_{m j})]^{2} \\ f_{u i j} = [b_{u i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{u i} / v_{l j})]^{2} \\ i, j \in Ν \end{cases}$

显然, 为了得到合理的权重向量v= (v1, v2, …, vn) T, 上述偏差函数总是越小越好, 因此建立下列多目标优化模型:

${\begin{cases} \min f_{l i j} = [b_{l i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{l i} - 0.2 \log_{3} v_{u j})]^{2} \\ \min f_{m i j} = [b_{m i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{m i} - 0.2 \log_{3} v_{m j})]^{2} \\ \min f_{u i j} = [b_{u i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{u i} - 0.2 \log_{3} v_{l j})]^{2} \\ 0 < v_{l i} \leq v_{m i} \leq v_{u i} \leq 1 \\ 0 < \sum_{i = 1}^{n} v_{l i} \leq 1 \leq \sum_{i = 1}^{n} v_{u i}, i, j \in Ν \end{cases}$

为了求解该优化模型, 由于每个目标函数希望达到的期望值均为0, 且根据三角函数的定义可知bmij为最可能值, 其隶属度为1, 因而在寻求最优解时, 应优先使fmij最小, 优先求得vmij, 可建立下列多层次非线性规划模型:

$\begin{array}{l} m i n J = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} {\begin{cases} Ρ_{1} [b_{m i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{m i} - 0.2 \log_{3} v_{m j})]^{2} \\ Ρ_{2} {[b_{l i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{l i} - 0.2 \log_{3} v_{u j})]^{2} \\ + [b_{u i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{u i} - 0.2 \log_{3} v_{l j})]^{2}} \end{cases} \\ s . t . 0 < v_{l i} \leq v_{m i} \leq v_{u i} \leq 1 \\ \sum_{i = 1}^{n} v_{m i} = 1 \\ 0 < \sum_{i = 1}^{n} v_{l i} \leq 1 \leq \sum_{i = 1}^{n} v_{u i} \\ i, j \in Ν \end{array} (4)$

其中, P1, P2表示优先等级, P1>P2. 可使用LINGO软件先求解P1层次目标函数, 得到解vmi (i∈N) , 然后将其作为约束条件, 求解P2层次目标函数, 得到解vli, vui (i∈N) 。由于vi (i∈N) 是三角模糊数, 不便直接比较其大小, 因此, 采用文献[19]中的公式:

$\begin{array}{l} v_{i}^{(α)} = \frac{1}{2} [(1 - α) v_{l i} + v_{m i} + α v_{u i}], \\ 0 \leq α \leq 1, i \in Ν (5) \end{array}$

计算三角模糊数的期望值, 其中α值的选择取决于决策者的风险态度。当α>0.5时, 称决策者是追求风险;当α=0.5时, 表示决策者是风险中立的;当α<0.5时, 称决策者是厌恶风险的。由v (α) i (i∈N) 的值可得相应方案排序结果。

5 算例分析

设决策者针对方案集合{x1, x2, x3, x4}给出的三角模糊数互补判断控阵为[16]

$\begin{array}{l} B = \\ [\begin{array}{l} (0.5, 0.5, 0.5) (0.4, 0.6, 0.7) (0.1, 0.7, 0.7) (0.3, 0.5, 0.5) \\ (0.3, 0.4, 0.6) (0.5, 0.5, 0.5) (0.1, 0.3, 0.4) (0.3, 0.5, 0.7) \\ (0.3, 0.3, 0.9) (0 / 6, 0.7, 0.9) (0.5, 0.5, 0.5) (0.2, 0.4, 0.6) \\ (0.5, 0.5, 0.7) (0.3, 0.5, 0.7) (0.4, 0.6, 0.8) (0.5, 0.5, 0.5) \end{array}] \end{array}$

根据模型 (4) , 利用软件LINGO求解可得矩阵B的三角模糊数权重向量:

$\begin{array}{l} v_{1} = (v_{l 1}, v_{m 1}, v_{u 1}) = (0.155, 0.36, 0.36) \\ v_{2} = (v_{l 2}, v_{m 2}, v_{u 2}) = (0.135, 0.158, 0.243) \\ v_{3} = (v_{l 3}, v_{m 3}, v_{u 3}) = (0.208, 0.208, 0.636) \\ v_{4} = (v_{l 4}, v_{m 4}, v_{u 4}) = (0.268, 0.274, 0.483) \end{array}$

利用式 (5) 可得

$\begin{array}{l} v_{1}^{(α)} = 0.2575 + 0.0525 α \\ v_{2}^{(α)} = 0.1465 + 0.054 α \\ v_{3}^{(α)} = 0.208 + 0.214 α \\ v_{4}^{(α)} = 0.271 + 0.1075 α \end{array}$