模糊判断矩阵

2024-10-19

模糊判断矩阵（精选9篇）

模糊判断矩阵篇1

1 引言

在决策分析中, 需要决策者对方案进行两两比较, 并构造判断矩阵。判断矩阵按其元素的构成方式可分为:互反判断矩阵和互补判断矩阵。与互反判断矩阵相比, 互补判断矩阵更符合人类决策思维的心理特性[1]。因而, 更容易为决策者掌握和使用。目前, 关于判断矩阵中元素为确定值的互反判断矩阵与互补判断矩阵的研究已趋于成熟[2,3,4,5,6,7]。文[8]还详细研究了互反判断矩阵和互补判断矩阵之间的转换关系。然而, 在实际决策过程中, 由于客观事物的复杂性, 人类思维的模糊性, 造成专家判断的不确定, 给出的判断值常常是不确定的数值, 以三角模糊数等模糊形式给出。因此, 关于此类不确定数互补判断矩阵的一致性和排序方法研究, 具有重要的实际应用价值。

目前, 关于三角模糊数互补判断矩阵的一致性及排序研究, 虽然已取得一些进展[9,10,11,12,13,14,15,16,17,18], 但还存在缺陷和不足。从已掌握的文献来看, 国内关于三角模糊数互补判断矩阵的排序方法主要可分为四类, 第一类是将三角模糊数互补判断矩阵转化成精确数互补判断矩阵, 继而求出权重向量[9,10,11,12], 第二类是基于信息集结算子的排序方法[13], 第三类是仿照传统层次分析法中按行求和归一化法求得方案的权重向量[14,15,16], 第四类则根据三角模糊数互补判断矩阵的乘性一致定义, 从最优化角度, 建立线性目标规划或非线性规划模型, 通过求解该模型得到判断矩阵的权重向量[17,18]。后三类方法求得的权重向量都是三角模糊数, 难以直接比较大小, 为此引入三角模糊数期望值公式[19]和可能度概念[14,15], 通过计算出的期望值或可能度进行权重向量的大小比较。关于第三类方法求得的权重向量差别不大, 一般不易区别。第四类方法, 基于乘性一致性角度构建的优化模型, 存在着三角模糊数上界值逼近于中值的趋势, 因而在使用LINGO软件求解时, 为使目标函数最小化, 求得的三角模糊数权重向量, 其上界与中值总是相等, 这与实际情况不符。

基于此, 本文从加性一致性角度, 讨论了三角模糊数互补判断矩阵与三角模糊数互反判断矩阵之间的相互转换关系, 基于最小二乘法, 构建了多层次非线性规划模型, 从而求得权重向量。最后, 算例分析表明该排序方法的可行性和有效性。

2 预备知识

设X={x1, x2, …, xn}为方案集, 记N={1, 2, …, n}。专家对决策方案进行两两比较, 按互反型标度或互补型标度赋值, 则给出互反判断矩阵或互补判断矩阵[8]。

定义1 设矩阵A= (aij) n×n, 若满足条件:aij>0, aij=1/aji, aii=1, i, j∈N, i≠j, 则称其为互反判断矩阵[17]。

定义2 设A= (aij) n×n是互反判断矩阵, 若满足条件:aij=aikakj, ∀i, j, k∈N, 则称其为一致性互反判断矩阵[18]。

定义3 设矩阵B= (bij) n×n, 若满足条件:bij>0, bij+bji=1, bii=0.5, i, j∈N, i≠j, 则称其为互补判断矩阵[17]。

定义4 设B= (bij) n×n是互补判断矩阵, 若满足条件:bij=bik+bkj-0.5, ∀i, j, k∈N, 则称其为一致性互补判断矩阵[6]。

定理1 互补判断矩阵B= (bij) n×n与互反判断矩阵A= (aij) n×n可以通过下列公式[20]相互转化:

$\begin{array}{l} b_{i j} = 0.5 + 0.2 \log_{3} a_{i j} (1) \\ a_{i j} = 3^{5 (b_{i j} - 0.5)} (2) \end{array}$

定理2 一致性互补判断矩阵B= (bij) n×n与一致性互反判断矩阵A= (aij) n×n可以通过公式 (1) 、 (2) 相互转化。

设A= (aij) n×n是一致性互反判断矩阵, w= (w1, w2, …, wn) T是其权重向量, 其中, $w_{i} > 0, \sum_{i = 1}^{n} w_{i} = 1, i \in Ν$ , 则有aij=wi/wj, i, j∈N. 将其代入式 (1) , 则有bij=0.5+0.2log3wi/wj, i, j∈N. 把该式代入bij=bik+bkj-0.5, ∀i, j, k∈N, 则等式成立, 即B是一致性互补判断矩阵。因此, 若设B= (bij) n×n是一致性互补判断矩阵, v= (v1, v2, …, vn) T是其权重向量, 其中, $v_{i} > 0, \sum_{i = 1}^{n} v_{i} = 1, i \in Ν$ , 则有bij=0.5+0.2log3vi/vj, i, j∈N.

3 三角模糊数判断矩阵

定义5 若a= (al, am, au) , 其中0<al≤am≤au, 且al和au分别为a所支撑的下界和上界, 它们表示模糊的程度, 且au-al越大, 模糊程度越强, am为a的中值, 则称a为一个三角模糊数, 其隶属函数可表示为[18]

$μ_{a} (x) = {\begin{matrix} \frac{x - a_{l}}{a_{m} - a_{l}}, & a_{l} \leq x \leq a_{m} \\ \frac{x - a_{u}}{a_{m} - a_{u}}, & a_{m} \leq x \leq a_{u} \\ 0, & 其它 \end{matrix}$

三角模糊数有以下运算性质[21]:设a= (al, am, au) , b= (bl, bm, bu) , 则

(1) a♁b= (al, am, au) ♁ (bl, bm, bu) = (al+bl, am+bm, au+bu) ;

(2) λ♁a= (λ, λ, λ) ♁ (al, am, au) = (λ+al, λ+am, λ+au) ;

(3) a·○b= (al, am, au) ·○ (bl, bm, bu) = (albl, ambm, aubu) ;

(4) λ·○a= (λ, λ, λ) ·○ (al, am, au) = (λal, λam, λau) ;

(6) ln (a) ≅ (ln (al) , ln (am) , ln (au) ) ;

(7) exp (a) ≅ (exp (al) , exp (am) , exp (au) ) 。

定义6 设判断矩阵A= (aij) n×n, 其中aij= (alij, amij, auij) 为三角模糊数, 并且0<alij≤amij≤auij, ∀i, j∈N, 若矩阵A满足:

(1) alii=1, amii=1, auii=1, ∀i∈N,

(2) alijauji=auijalji=amijamji=1, i≠j, ∀i, j∈N,

则称矩阵A为三角模糊数互反判断矩阵[17]。

定义7 设判断矩阵B= (bij) n×n, 其中bij= (blij, bmij, buij) 为三角模糊数, 并且0<blij≤bmij≤buij, ∀i, j∈N, 若矩阵B满足:

(1) blii=0.5, bmii=0.5, buii=0.5, ∀i∈N,

(2) blij+buji=bmij+bmji=buij+blji=1, i≠j, ∀i, j∈N,

则称矩阵B为三角模糊数互补判断矩阵[18]。

定义8 设A= (aij) n×n是三角模糊数互反判断矩阵, 若矩阵A满足:aij=aikakj, ∀i, j, k∈N, 则称矩阵A为一致性三角模糊数互反判断矩阵[18]。

定义9 设B= (bij) n×n是三角模糊数互补判断矩阵, 若矩阵B满足:

(1) bmij+bmjk+bmki=1.5,

(2) blij+bljk+blki+buij+bujk+buki=3, ∀i, j, k∈N,

则称矩阵B为一致性三角模糊数互补判断矩阵[20]。

定理3 三角模糊数互补判断矩阵B= (bij) n×n与三角模糊数互反判断矩阵A= (aij) n×n可以通过式 (1) 、式 (2) 相互转化。

定理4 一致性三角模糊数互补判断矩阵B= (bij) n×n与一致性三角模糊数互反判断矩阵A= (aij) n×n可以通过式 (1) 、式 (2) 相互转化。

4 排序方法

设B= (bij) n×n是三角模糊数互补判断矩阵, 其中, bij= (blij, bmij, buij) , 设v= (v1, v2, …, vn) T是判断矩阵B的权重向量, 其中vi= (vli, vmi, vui) , i∈N, 则当B是一致性三角模糊数互补判断矩阵时, 有bij=0.5+0.2log3vi/vj, i, j∈N, 即

$\begin{array}{l} (b_{l i j}, b_{m i j}, b_{u i j}) = 0.5 + 0.2 \log_{3} (v_{l i}, v_{m i}, v_{u i}) / (v_{l j,} v_{m j}, v_{u j}) \\ = 0.5 + 0.2 \log_{3} (v_{l i} / v_{u j}, v_{m i} / v_{m j}, v_{u i} / v_{l j}), i, j \in Ν \end{array}$

也即

$\begin{array}{l} b_{l i j} = 0.5 + 0.2 \log_{3} v_{l i} / v_{u j} \\ b_{m i j} = 0.5 + 0.2 \log_{3} v_{m i} / v_{m j} \\ b_{u i j} = 0.5 + 0.2 \log_{3} v_{u i} / v_{l j} \\ i, j \in Ν (3) \end{array}$

然而, 由于决策者在实际决策过程中所给出的三角模糊数互补判断矩阵往往是非一致性的, 因此式 (3) 一般不成立。为此引入偏差函数

${\begin{cases} f_{l i j} = [b_{l i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{l i} / v_{u j})]^{2} \\ f_{m i j} = [b_{m i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{m i} / v_{m j})]^{2} \\ f_{u i j} = [b_{u i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{u i} / v_{l j})]^{2} \\ i, j \in Ν \end{cases}$

显然, 为了得到合理的权重向量v= (v1, v2, …, vn) T, 上述偏差函数总是越小越好, 因此建立下列多目标优化模型:

${\begin{cases} \min f_{l i j} = [b_{l i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{l i} - 0.2 \log_{3} v_{u j})]^{2} \\ \min f_{m i j} = [b_{m i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{m i} - 0.2 \log_{3} v_{m j})]^{2} \\ \min f_{u i j} = [b_{u i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{u i} - 0.2 \log_{3} v_{l j})]^{2} \\ 0 < v_{l i} \leq v_{m i} \leq v_{u i} \leq 1 \\ 0 < \sum_{i = 1}^{n} v_{l i} \leq 1 \leq \sum_{i = 1}^{n} v_{u i}, i, j \in Ν \end{cases}$

为了求解该优化模型, 由于每个目标函数希望达到的期望值均为0, 且根据三角函数的定义可知bmij为最可能值, 其隶属度为1, 因而在寻求最优解时, 应优先使fmij最小, 优先求得vmij, 可建立下列多层次非线性规划模型:

$\begin{array}{l} m i n J = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} {\begin{cases} Ρ_{1} [b_{m i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{m i} - 0.2 \log_{3} v_{m j})]^{2} \\ Ρ_{2} {[b_{l i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{l i} - 0.2 \log_{3} v_{u j})]^{2} \\ + [b_{u i j} - (0.5 + 0.2 \log_{3} v_{u i} - 0.2 \log_{3} v_{l j})]^{2}} \end{cases} \\ s . t . 0 < v_{l i} \leq v_{m i} \leq v_{u i} \leq 1 \\ \sum_{i = 1}^{n} v_{m i} = 1 \\ 0 < \sum_{i = 1}^{n} v_{l i} \leq 1 \leq \sum_{i = 1}^{n} v_{u i} \\ i, j \in Ν \end{array} (4)$

其中, P1, P2表示优先等级, P1>P2. 可使用LINGO软件先求解P1层次目标函数, 得到解vmi (i∈N) , 然后将其作为约束条件, 求解P2层次目标函数, 得到解vli, vui (i∈N) 。由于vi (i∈N) 是三角模糊数, 不便直接比较其大小, 因此, 采用文献[19]中的公式:

$\begin{array}{l} v_{i}^{(α)} = \frac{1}{2} [(1 - α) v_{l i} + v_{m i} + α v_{u i}], \\ 0 \leq α \leq 1, i \in Ν (5) \end{array}$

计算三角模糊数的期望值, 其中α值的选择取决于决策者的风险态度。当α>0.5时, 称决策者是追求风险;当α=0.5时, 表示决策者是风险中立的;当α<0.5时, 称决策者是厌恶风险的。由v (α) i (i∈N) 的值可得相应方案排序结果。

5 算例分析

设决策者针对方案集合{x1, x2, x3, x4}给出的三角模糊数互补判断控阵为[16]

$\begin{array}{l} B = \\ [\begin{array}{l} (0.5, 0.5, 0.5) (0.4, 0.6, 0.7) (0.1, 0.7, 0.7) (0.3, 0.5, 0.5) \\ (0.3, 0.4, 0.6) (0.5, 0.5, 0.5) (0.1, 0.3, 0.4) (0.3, 0.5, 0.7) \\ (0.3, 0.3, 0.9) (0 / 6, 0.7, 0.9) (0.5, 0.5, 0.5) (0.2, 0.4, 0.6) \\ (0.5, 0.5, 0.7) (0.3, 0.5, 0.7) (0.4, 0.6, 0.8) (0.5, 0.5, 0.5) \end{array}] \end{array}$

根据模型 (4) , 利用软件LINGO求解可得矩阵B的三角模糊数权重向量:

$\begin{array}{l} v_{1} = (v_{l 1}, v_{m 1}, v_{u 1}) = (0.155, 0.36, 0.36) \\ v_{2} = (v_{l 2}, v_{m 2}, v_{u 2}) = (0.135, 0.158, 0.243) \\ v_{3} = (v_{l 3}, v_{m 3}, v_{u 3}) = (0.208, 0.208, 0.636) \\ v_{4} = (v_{l 4}, v_{m 4}, v_{u 4}) = (0.268, 0.274, 0.483) \end{array}$

利用式 (5) 可得

$\begin{array}{l} v_{1}^{(α)} = 0.2575 + 0.0525 α \\ v_{2}^{(α)} = 0.1465 + 0.054 α \\ v_{3}^{(α)} = 0.208 + 0.214 α \\ v_{4}^{(α)} = 0.271 + 0.1075 α \end{array}$

显然, 对任意0≤α≤1, 均有v (α) 4>v (α) 1>v (α) 2及v (α) 3>v (α) 2. 当0≤α<0.3065时, 有v (α) 1>v (α) 3, 当0.5915<α≤1时, 有v (α) 3>v (α) 4, 因此有:

(1) 若0≤α<0.3065, 则有v (α) 4>v (α) 1>v (α) 3>v (α) 2, 相应方案的排序结果为x4≻x1≻x3≻x2.

(2) 若α=0.3065, 则有v (α) 4>v (α) 1=v (α) 3>v (α) 2, 相应方案的排序结果为x4≻x1～x3≻x2.

(3) 若0.3065<α<0.5915, 则有v (α) 4>v (α) 3>v (α) 1>v (α) 2, 相应方案的排序结果为x4≻x3≻x1≻x2.

(4) 若α=0.5915, 则有v (α) 4=v (α) 3>v (α) 1>v (α) 2, 相应方案的排序结果为x4～x3≻x1≻x2.

(5) 若0.5915<α≤1, 则有v (α) 3>v (α) 4>v (α) 1>v (α) 2, 相应方案的排序结果为x3≻x4≻x1≻x2.

由以上结果可知, 方案的排序结果受决策者风险态度的影响。

本文结果与文[16]结果相比, 取α=0.5时, 得权重向量为:v= (0.2838, 0.1735, 0.315, 0.3248) T, 各权重值之间有明显的差别, 方案排序结果与文[16]结果相一致。

模糊判断矩阵篇2

基于模糊判断矩阵的对数最小二乘排序方法

基于决策者提供方案偏好信息的排序方法研究是决策分析的一个重要问题.不同类型的偏好信息有不同的排序方法和理论依据.根据模糊判断矩阵完全一致性的.概念,从最优化角度提出了模糊判断矩阵的对数最小二乘排序方法,并研究了其性质,给出了相应的一致性检验指标.最后进行了算例分析.

作者：和媛媛周德群王强 HE Yuan-yuan ZHOU De-qun WANG Qiang 作者单位：南京航空航天大学经济与管理学院,江苏,南京,210016刊名：中国管理科学 ISTIC PKU CSSCI英文刊名：CHINESE JOURNAL OF MANAGEMENT SCIENCE年，卷(期)：15(z1)分类号：C934关键词：模糊判断矩阵排序方法完全一致性对数最小二乘法

模糊判断矩阵篇3

AHP确定指标权重的关键是专家根据指标的相对重要性构造判断矩阵[1]。由于客观事物的复杂性和人的认识能力的局限性，使得专家在作交叉判断时出现不一致的情况，如甲指标比乙指标明显重要，乙指标比丙指标稍微重要，而丙指标又比甲指标重要，由此专家给出的判断矩阵往往不满足一致性要求，对于此种情况，AHP的处理方法是调整判断矩阵以使其满足一致性要求[1,2]，而现有的研究成果也主要集中在如何调整判断矩阵才能提高其一致性水平上[3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]。其实，并不是判断矩阵的一致性水平越高，指标权重就越接近实际[1,2,3]。相反，为了使判断矩阵的一致性水平达到要求而改变判断矩阵的元素，可能会丢掉专家的一部分判断信息，从而使所得指标权重更远离实际。由于判断矩阵是由领域专家经过认真研究确定的，因此有理由认为判断矩阵的大部分信息是比较准确的，基于此点，本文提出基于判断矩阵行一致信息的指标权重均值确定算法，该算法的最大特点是不需要对专家判断矩阵进行一致性检验，同时能充分利用专家比较准确的判断信息，有效减弱专家不准确判断信息对指标权重的影响。

1 算法原理

1.1 以行元素为基础的一致性矩阵

设某目标准则下所考虑的指标为A1,A2,…,An，则相应的判断矩阵A具有如下形式：

式中：aij是专家按照1～9评判法则对指标Ai与Aj重要性程度的比较结果[1]，该判断矩阵A具有以下特点：

即A是互反矩阵[4]。因此，确定判断矩阵A，实际上只需确定对角线元素aii(i=1,2,…,n）的右上角所有元素即可。

事实上，只要专家给出判断矩阵的任意一行元素（也就是专家给出任意一个指标同其他所有指标的相对重要性的判断结果），那么判断矩阵其他各行的元素就在一定的一致性逻辑关系下确定了（即其他指标两两之间相对重要性就确定了）。比如，有4个指标A1,A2,A3,A4，专家给定A={aij}n×n的第一行元素为a11=1,a12=3,a13=7,a14=9，那么矩阵A={aij}n×n中从第二行起的任何一个元素aij(i=2,3,4;j=1,2,3,4）就被第一行元素a1i和a1j确定了。以第二行元素a23被第一行元素a12=3和a13=7确定为例进行说明。a23是指标A2与A3相对重要性比较的结果，由a12=3可知A1比A2的重要性高2个等级，由a13=7可知A1比A3的重要性高6个等级，由此可以得出A2比A3的重要性高4个等级（由6-2计算得出），从而可得a23=5。用同样的方法，可以计算出a24=7,a34=3，于是可以得到如下的一个互反矩阵：

由于矩阵A(1)是以指标A1与其他所有指标相对重要性的判断结果为基础，按照一定的一致性逻辑关系确定，所以A(1)满足一致性要求，称其为以行元素为基础的一致矩阵。经过对各种情况的分类研究，本文总结归纳出根据专家判断矩阵A={aij}n×n中的任一行（设为第k行）元素构造一致矩阵（设为A(k)={aij(k)}n×n）的算法如下：

(1）计算转换矩阵B(k)={bij(k)}n×n的第k行元素：

式中：j=1,2,…,n。

(2）计算转换矩阵B的其他各行对角线右上角元素bij(k)(i≠k,i<j,i=1,2,…,n,j=2,3,…,n)

(3）以专家判断矩阵A的第k行元素为一致矩阵A(k)={aij(k)}n×n的第k行元素，利用式（3）计算A(k)的其他行对角线右上角元素aij(k)(i≠k,i<j,i=1,2,…,n-1;j=2,3,…,n)

(4）根据A(k)是互反矩阵，写出一致性矩阵A(k)={aij(k)}n×n的其余元素。

1.2 指标权重均值确定算法

由于判断矩阵是由领域专家经过认真研究确定的，因此有理由认为判断矩阵的大部分信息是比较准确的，当以某行元素为基础构造一致性矩阵时，实际上就是利用蕴涵于那行元素的专家一致性判断信息对所有元素两两之间的相对重要性进行一次“测量”，根据多次测量所得平均值更接近被测对象真值的原理，可得如下指标权重均值确定算法：

(1）分别以原专家判断矩阵A={aij}n×n中的每一行元素为基础，按照1.1节的方法构造一组新的一致性矩阵A(k)={aij(k)}n×n,k=1,2,⋯,n;

(2）用方根法求出每个A(k)={aij(k)}n×n的单位特征向量W(k),k=1,2,...,n;

(3）求出平均向量作为指标权重。

2 算例

设原专家判断矩阵为：

下面按照本文基于行一致性信息的均值算法确定指标权重：

(1）分别以每行元素为基础，按照1.1节的方法构造如下5个一致矩阵A(k)={aij(k)}5×5(k=1,2,...,5):

(2）用方根法求出每个A(k)={aij(k)}5×5的单位特征向量W(k):

(3）计算平均向量:

由此可知指标权重依次为0.138,0.066,0.302,0.4560.038。

3 结语

(1）本文提出基于判断矩阵行一致信息的指标权重均值确定算法，由于判断矩阵是由领域专家经过认真研究确定的，因此有理由认为判断矩阵的大部分信息是比较准确的，由多次测量求平均值的原理可知，本文算法能够充分利用判断矩阵中蕴涵的专家比较准确的判断信息，有效减弱了专家不准确判断信息对指标权重的影响。

(2）由于以行元素为基础的一致矩阵是按照原判断矩阵中每行元素所蕴涵的专家判断的一致信息构造的，所以这些矩阵均满足一致性要求，从而无论原判断矩阵的一致性比率是否满足要求，按照本文方法得到的原判断矩阵的平均一致性比率一定满足要求，因此，本文方法不需要对原判断矩阵进行一致性检验。

(3）算法完全可以通过计算机编程实现，指标越多，算法的效率越高。

参考文献

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模糊判断矩阵篇4

语言判断矩阵的一致性及相关问题研究

摘要：研究了语言判断矩阵的一致性及基于语言判断矩阵的方案排序问题.在给出语言判断矩阵有关概念的基础上,通过对有序语言短语集中的有序语言短语进行量化,给出了语言间相互作用的运算定义,探讨了语言短语及语言判断矩阵的基本性质,进一步从理论上提出了语言判断矩阵完全一致性和满意一致性的概念;为了方便检验语言判断矩阵的一致性,通过引入导出矩阵的概念将语言判断矩阵转化为数量矩阵,并提出了语言判断矩阵完全一致性、满意一致性的简便的.判定方法;针对基于语言判断矩阵的方案排序问题,根据导出矩阵的性质通过求解最大特征根,给出了一种简便的方案排序方法; 最后通过两个算例说明了本文给出的一致性判定方法和方案排序方法. 作者：陈岩樊治平Author：作者单位：东北大学工商管理学院,辽宁,沈阳,110004 期刊：系统工程理论与实践 ISTICEIPKU Journal： SYSTEMS ENGINEERING―THEORY & PRACTICE 年，卷(期)： ,24(4) 分类号： C934 N945.25 关键词：语言判断矩阵完全一致性满意一致性导出矩阵判定方法机标分类号： N94 C93 机标关键词：语言判断矩阵完全一致性满意一致性判定方法排序问题排序方法导出矩阵概念短语最大特征根数量矩阵基本性质转化运算求解理论基础基金项目：国家自然科学基金，教育部优秀青年教师资助计划

模糊判断矩阵篇5

当使用AHP方法进行决策时, 人们需要在递阶层次结构内给出很多判断矩阵, 若递阶层次数目很多或方案数很大, 则判断决策者未必能有足够时间做完所有比较判断, 同样, 若判断决策者对判断事物的背景缺乏足够的了解而无法表明自己的偏好见解或不愿表明自己的偏好见解时, 往往都放弃某些方案或准则重要程度的判断比较, 从而导致不完全判断矩阵的产生。因此, 如何在不完全判断矩阵的情况下科学地导出判断矩阵的排序权值有着广泛的实际应用背景和理论意义。目前已提出的不完全判断矩阵排序方法主要有特征向量排序法 (EM) [1]和最小偏差排序法 (LDM) [2]。Harker[3,4]采用的等价判断矩阵求解权重应用最为广泛, 但等价判断矩阵是对不完全判断矩阵的一种推断, 没有充分估计不完全判断矩阵内含不确定性特点, 可能造成决策误导, 因此有必要提出并加以修正.不完全判断矩阵的一致性度量研究相对较少, 而一致性和权重求解紧密相关, 文献[5]利用图论理论研究二元标度的不完全判断矩阵一致性, 文献[6]采用等价判断矩阵方法研究1—9标度判断矩阵一致性。

1粒子群优化算法

评价判断矩阵是否一致性时, 采用如下公式

$C R = \frac{λ_{\max} - n}{(n - 1) R Ι}$ (1)

式 (1) λmax为判断矩阵的最大特征值, RI为随机一致性指标, 一般CR≤0.1时认为该判断矩阵具有满意一致性。λmax越小越满足一致性。因此以最大特征值λmax为目标函数, 使其值达到最小。即

min λmax (2)

因此这是一个非线性优化问题, 由于目标函数不易直接计算, 目前没有一个理想方法解决这类问题, 这里拟采用粒子群优化方法来解决此难题。

粒子群优化算法 (PSO) [7,8]是模拟鸟群的捕食行为, PSO中, 每个优化问题的解都是搜索空间中的一只鸟, 称为“粒子”。所有的例子都有一个由被优化的函数决定的适应值, 每个粒子还有一个速度决定他们飞翔的方向和距离, 然后粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。PSO初始化为一群随机粒子 (随机解) , 然后通过迭代找到最优解。在每一次迭代中, 粒子通过跟踪两个极值来更新自己。一个是粒子本身所找到的最优解, 这个解叫做个体极值pbest, 以pe表示;另一个极值是整个种群目前找到的最优解, 这个极值是全局极值gbest, 以ge表示。另外也可以不用整个种群而只是用其中一部分为粒子的邻居, 那么在所有邻居中的极值就是局部极值。在找到这两个最优值时, 每个粒子根据如下的公式来更新自己的速度和新的位置

vk+1=c0vk+c1 (pek-xk) +c2 (gek-xk) (3)

xk+1=xk+vk+1 (4)

其中:vk是粒子的速度向量;xk是当前粒子的位置;Vpe粒子本身所找到的最优解的位置;Vge整个种群目前找到的最优解的位置;c0, c1, c2表示群体认知系数, c0一般取介于 (0, 1) 之间的随机数, c1, c2取 (0, 2) 之间的随机数。

解不完全信息判断阵的粒子群优化算法框架为:

(1) 对每个粒子初始化, 设定粒子数n, 随机产生n个初始解 (每个解是判断矩阵的上三角残缺部分组成的向量, 随机值的范围为[1/9, 9]) , 随机产生n个初始速度;

(2) 根据当前位置和速度产生各个粒子的新的位置;

While (迭代次数<规定迭代次数) do

(3) 仿真计算每个粒子新位置的适应值 (最大特征值λmax) , 对各个粒子, 若粒子的适应值优于原来的个体极值Vpe, 设置当前适应值为个体极值Vpe;

(4) 根据各个粒子的个体极值Vpe找出全局极值Vge;

(5) 按 (3) 式, 更新自己的速度, 并把它限制在vmax内;

(6) 按 (4) 式, 更新当前的位置, 把其值限制在[1/9, 9]内;

End。

3算例分析及改进

如残缺矩阵[1]

粒子优化算法参数如下:粒子数m=100, c0的0.9, c1取1, c2取3, 优化的结果为:λmax=5.739 5, 上三角残缺部分A (1, 4) =0.919 1, A (2, 5) =0.474 5和A (3, 5) =0.222 9。权值为w= (0.226 9, 0.128 3, 0.063 3, 0.247 0, 0.334 5) 。此时λmax=5.739 5比Harker方法小, 该结果更为合理。Harker方法不对残缺值估值, 本方法先对残缺值估值, 然后计算。

基本粒子群优化算法, 把残缺值限制在[1/9, 9], 根据上面结果可以缩小搜索范围, 如把残缺值限制在[0.1, 1]内, 得到改进的结果:λmax=5.737 3, 上三角残缺部分A (1, 4) =0.924 2, A (2, 5) =0.431 2和A (3, 5) =0.222 5。权值为w= (0.225 7, 0.125 6, 0.063 2, 0.247 5, 0.338 1) 。表1列出了各种方法得到的权值。

4结束语

层次分析法 (AHP) 是系统工程中十分典型的定性分析与定量分析综合集成方法, 在各种实际复杂系统综合评价和多目标决策中得到了广泛的应用。针对AHP中不完全判断矩阵问题, 提出以使判断矩阵的最大特征值达到最小为目标, 建立求解权值准则。给出利用粒子群优化算法解决此问题, 以实例对各种方法作了比较, 说明以使判断矩阵的最大特征值达到最小为准则更为合理。

参考文献

[1]许树柏.层次分析法引论.北京:中国人民大学出版社, 1990:233—241

[2]陈宝谦, 刘桂茹, 柴巧珠.层析分析法中不完全判断矩阵排序问题.南开大学学报 (自然科学版) , 1989;22 (1) :38—46

[3]Harker P T.Incomplete pairwise comparisons in the analytic hierar-chy process.Mathematical Modelling, 1987;9 (11) :837—848

[4]朱建军, 王梦光, 刘士新.不完全判断矩阵的一致性及权重估值模型研究.系统工程学报, 2006;21 (1) :75—78

[5]Nishizawa K.Amethod to find elements of cycles in an incomplete di-rected graph and its applications-binary AHP and Petri nets.Comput-ers&Mathematics with Applications, 1997;33 (9) :33—46

[6]胡培.不完全判断矩阵的决策方法.西南交通大学学报, 1995;30 (5) :573—578

[7]Eberhart R C, Kennedy J.A new optimizer using particles swarm theory.Proceedings of Sixth International Symposium on Micro Ma-chine and Human Science, Nagoya, Japan, 1995:39—43

模糊判断矩阵篇6

群决策是决策科学的一个重要研究领域。在决策分析中, 决策者给出两两方案比较的判断矩阵是一种常见的偏好信息形式, 其中关于AHP (analytic hierarchy process) 的判断矩阵和模糊互补判断矩阵的研究成果已十分丰富[1,2,3,4,5,6]。近年来, 有关语言判断矩阵形式偏好信息的研究一直引起了广泛的关注, 已取得了一些有价值的研究成果[7,8,9,10,11,12,13,14,15,16]。但需要指出的是, 在已有的有关语言判断矩阵形式偏好信息的群决策的方案排序方法中, 通常采用LOWA算子或其它算子进行群集结, 得到专家群体的综合语言判断矩阵, 对综合语言判断矩阵进行方案排序。但是, 经过群集结的综合语言判断矩阵通常不具有满意一致性或完全一致性, 甚至不满足语言判断矩阵的互补性。而不具有满意一致性或完全一致性的语言判断矩阵的方案排序往往不满足其只身的逻辑性, 往往决策结果会引起矛盾。为了弥补已有方法的不足, 下面给出一种基于简单无向图理论的语言判断矩阵的群决策方案排序方法。

1 有关语言判断矩阵的若干定义及性质

记I={1, 2, …, n} (n≥2) , J={1, 2, …, m} (m≥2) , U={0, 1, 2, …, T}。在考虑的群决策问题中, 设一个有限方案集为X={xi|i∈I}, 其中xi表示为第i个决策方案;专家集为E={ek|k∈J}, 其中ek表示为第k个专家;语言短语评价 (或语言符号) 集合S={si|i∈U}。考虑专家针对方案集X给出的两两方案优势比较的偏好信息是一类语言判断矩阵的偏好形式。下面给出这种形式偏好信息的简单描述[7,8,9,10,11,12,13,14,15,16]。

专家ek针对方案集X给出的偏好信息由一个矩阵Pk⊂X×X描述, 相应的隶属函数μP:X×X→S, 其中μP (xi, xj) =pkij∈S, pkij可以被理解为从预先定义好的语言短语集S中选择一个元素作为对方案xi优于方案xj程度的描述。例如, 一个由9个元素构成的有序语言短语集S可描述为S={s0=I (Impossible) , s1=EU (Extremely Unlikely) , s2=VLC (Very Low Chance) , s3=SC (Small Chance) , s4=IM (It May) , s5=MC (Meaningful Chance) , s6=ML (Most Likely) , s7=EL (Extremely Likely) , s8=C (certain) }。可见, 集合S中有T+1个元素, 根据人们的习惯, 一般T/2≤8[1], 并要求S具有如下性质:①有序性:当i<j时, 有si“<”sj或sj“<”si, 即表示si劣于sj或si优于sj;②存在一个逆运算neg:neg (si) =sj, j=T-i;③极大化运算:当si“≥”sj时, 有max{si, sj}=si;④极小化运算:当si“≤”sj时, 有min{si, sj}=si.

根据语言评价集S中元素的描述, 若矩阵Pk中的元素pkij=sl, sl∈S, 可作如下规定:①pkij“=”sT/2, 表示方案xi与xj无差别, 记为xi～xj;②s0“≤”pkij“<”sT/2, 表示方案xj优于xi, 记为xj≻xi, 且l越小, 说明方案xj优于方案xi的程度越大;③sT/2“<”pkij“≤”sT, 表示方案xi优于xj, 记为xi≻xj, 且l越大, 说明方案xi优于方案xj的程度越大。记xi⪰xj表示决策者认为方案xi不劣于xj (即xi≻xj或xi～xj) 。

下面给出关于语言的量化算子、矩阵的完全一致性和满意一致性的概念。

定义1[12] 设S={s0, s1, …, sT/2, s (T/2) +1…, sT}为有序语言短语集, si∈S表示第i个语言短语, 它所对应的下标i和序数i所对应的有序语言短语分别可由下面的函数I及函数I-1来得到:

$\begin{array}{l} Ι : S \to Ν (1 a) \\ Ι (s_{i}) = i, s_{i} \in S (1 b) \\ Ι^{- 1} : Ν \to S (1 c) \\ Ι^{- 1} (i) = s_{i}, i \in U (1 d) \end{array}$

定义2[12,13] 设专家ek的语言判断矩阵Pk= (pkij) n×n, 若∀i, j, l∈I, 其元素满足下列关系:

$Ι (p_{i l}^{k}) + Ι (p_{l j}^{k}) = Ι (p_{i j}^{k}) + Τ / 2 (2)$

则称矩阵Pk是完全一致的。若∀i, j, l∈I, 当pkil≥sT/2, pklj≥sT/2时, 有pkij≥sT/2; 或当pkil≤sT/2, pklj≤sT/2时, 有pkij≤sT/2, 则称矩阵Pk具有满意一致性。

定义3 设A={a1, a2, …, am}是一组需要被集结的语言短语集, 其中aj为属于语言短语集S, 则LOWA算子φL定义如下:

$\begin{array}{l} φ_{L} (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}) = W \cdot B^{Τ} = C^{m} {w_{k}, b_{k}, k = 1, 2, \dots, m} \\ = w_{1} \otimes b_{1} \oplus (1 - w_{1}) \otimes C^{m - 1} {β_{h}, b_{h}, h = 2, 3, \dots, m} (3) \end{array}$

式中, W= (w1, w2, …, wm) 是一个权向量, 并满足 $\sum_{i = 1}^{m} w_{i} = 1$ ;且 $β_{h} = w_{h} / \sum_{k = 2}^{m} w_{k}, h = 2, 3, \dots, m$ ; B={b1, b2, …, bm}是与A相应的一个向量, B=δ (A) ={aσ (1) , aσ (2) , …, aσ (m) }, 其中aσ (j) ≤aσ (i) , ∀i≤j, 其中, σ是对语言短语集A的一个排列; Cm是对m个语言短语凸组合的算子。

当m=2时, C2{wi, bi, i=1, 2}=w1⨂Sj♁ (1-w) ⨂Si=Sk, Si, Sj∈S (j≥i) , k=min{T, i+round (w1 (j-i) ) }, round表示取整算子。

在群决策的集结运算中常用语言量化算子表示模糊多数的概念, 并用这一量化算子来计算权重。非减型量化算子可由下式表示:

$Q (r) = {\begin{matrix} 0, & r < a \\ \frac{r - a}{b - a}, & a \leq r \leq b \\ 1, & r > b \end{matrix}, a, b, r \in [0, 1]$

三种典型相对模糊量化算子分别表示为“至少一半”“尽可能多”“大多数”, 其对应的参数 (a, b) 分别为 (0, 0.5) 、 (0.5, 1) 和 (0.3, 0.8) 。LOWA算子的权重可由下式表示:

$w_{i} = Q (i / n) - Q ((i - 1) / n), \forall i \in Ι (4)$

定义4 设Pk= (pkij) n×n为专家ek给出的语言判断矩阵, 令Rk= (rkij) n×n, 其中rkij由下式给出:

$r_{i j}^{k} = {\begin{cases} 1, p_{i j} > s_{Τ / 2} \\ 0, 其他 \end{cases}, \forall i, j \in Ι (5)$

则称Rk为语言判断矩阵Pk= (pkij) n×n的偏好矩阵。

定义5[17] 设V={v1, v2, …, vn}和E={e1, e2, …, em}分别为点集和边集, 图G是由点V及边E所构成, 若G中无环 (两端点相同的边称为环) , 且无平行边。则称图G=〈V, E〉为简单图。若G中每一对不同的顶点之间都有一条路, 则称无向图G=〈V, E〉为连通图。

定义6[17] 设无向图G=〈V, E〉为连通图, 若G是一个无圈连通无向图, 则称无向图G=〈V, E〉为一颗树。

定理1[17] 无向图G=〈V, E〉为一颗树的充分必要条件是任何两个不同的顶点之间有且仅有一条路。

2 语言判断矩阵的群决策方案排序方法

为了给出语言判断矩阵的群决策的方案排序方法, 下面首先给出完全一致性或满意一致性语言判断矩阵满足的条件。

定理2 设Pk= (pkij) n×n为语言判断矩阵, 从矩阵Pk= (pkij) n×n当中任选 (n-1) 个元素, 其中这 (n-1) 个元素中任意一个元素均不能由其它 (n-2) 个元素导出, 则这 (n-1) 个元素能构造出完全一致的语言判断矩阵。

证明设V={v1, v2, …, vn}是平面上的n个点, 对应着语言判断矩阵Pk= (pkij) n×n的n个方案, 任何两个点之间的连线 (即为边) 可看作两个方案的对比关系, 对应着矩阵Pk的元素a $_{i j}^{k}$ 或a $_{j i}^{k}$ , 语言判断矩阵Pk的n-1个元素相当于图中的n-1条边, 这n-1个元素中任意一个元素都不能由其他n-2个元素导出, 则相当于n-1条边所构成了连通无向图G=〈V, E〉, 所以其本身就是一棵结点数为n的生成树。由于G=〈V, E〉中任意两结点之间都有唯一的一条路径相连。因此, 图中任意两个不相邻结点 (方案) 之间的对比关系总可以通过它们的连接路径得到。例如, 5个方案一个连接图如图1所示。由于完全一致性矩阵满足:I (pkil) +I (pklj) =I (pkij) +T/2。所以能够得到任意两结点 (方案) 之间的对比关系, 即构成了整个语言判断矩阵。并根据完全一致的语言判断矩阵定义, 由它们衍生出来的矩阵为完全一致性的语言矩阵。证毕。

定理3 设Pk= (pkij) n×n为语言判断矩阵, 从Pk= (pkij) n×n中任选 (n-1) 个元素, 其中这 (n-1) 个元素中任意一个元素均不能由其它 (n-2) 个元素导出, 则这 (n-1) 个元素能构造出满意一致性的语言判断矩阵。

证明由定理2可知, 语言判断矩阵Pk的n-1个元素对应于图中的n-1条边, 这n-1个元素中任意一个元素都不能由其他n-2个元素导出, 则相当于n-1条边构成了一棵结点数为n的生成树。所以图中任意两个不相邻结点 (方案) 之间的对比关系可根据通过它们的连接路径构造得出, 即当pkil“≥”sT/2, pklj“≥”sT/2时, 则只需构造pkij“≥”sT/2即可, 例如, 取pkij=s (T/2) +1;或当pkil“≤”sT/2, pklj“≤”sT/2时, 只需满足pkij“≤”sT/2即可, 例如, pkij=s (T/2) -2. 从而能够得到任意两结点 (方案) 之间的对比关系, 即构成了整个语言判断矩阵。并根据满意一致性的语言判断矩阵的定义, 由它们衍生出来的矩阵为满意一致性的语言矩阵。证毕。

定理4 设Pk= (pkij) n×n为语言判断矩阵, 则共组成N=nn-2种元素组合, 其每一组元素均构造出完全一致的语言判断矩阵, 即构造出N=nn-2个完全一致的语言判断矩阵。

证明设Pk= (pkij) n×n为语言判断矩阵, V={v1, v2, …, vn}对应着语言判断矩阵Pk= (pkij) n×n的n个方案, 顶点集为K={1, 2, …, n}, V={v1, v2, …, vn}是顶点集为k={1, 2, …, n}在平面上的n个点, 其中vi∈K, 则矩阵的各元素 (两个方案的对比关系) akij或akji看作两个点 (vi, vj) 或 (vj, vi) 之间的连线 (即为边) , 由于平面点V={v1, v2, …, vn}生成了一棵结点数为n的数, 构成了n-1条边, 即选择了语言判断矩阵Pk= (pkij) n×n的n-1元素, 而这n-1元素构造成完全一致的语言判断矩阵, 因此, 定理2等价于一个顶点集为k={1, 2, …, n}的连通图kn的生成树个数为nn-2.

首先, 证明任一生成树可以得到一个长为n-2的序列。任取定Kn的一个生成树T, 设s1是T中第一个一次顶点 (即顶点只有一条边) , 取t1为与s1相邻的顶点之号码, 把s1从T中删除; 设s2是T-s1中第一个叶, 取t2为s2在T-s1中相邻的顶之号码, 依此类推, 最后剩下的是一个K2, 即只有2个顶点, 于是, 得到由K中元素构成的长为n-2的序列t1, t2, …, tn-2.

其次, 证明任一长为n-2的序列可以得到一个生成树。任给定由K中构成的长为n-2的一个序列 t1, t2, …, tn-2, 取s1是K中的第一个号码, 把s1与t1连一条边, s2是K-{s1}中的第一个号码, 把s2与t2连一条边, 依此类推, 得到n-2条边s1t1, s2t2, …, sn-2tn-2, 再连接K-{s1, s2, …, sn-2}中剩下的两个顶点。于是, 可得到生成树。

最后, 证明顶点集为k={1, 2, …, n}的连通图kn的生成树个数为nn-2. 由于任何一个生成树对应着一个序列t1, t2, …, tn-2, 而序列t1, t2, …, tn-2中的每一个ti有n种不同取法, 因此, 生成树个数为 $\underset{n - 2}{n \times n \times \dots \times n} = n^{n - 2}$ . 证毕。

定理5 设Pk= (pkij) n×n为语言判断矩阵, 则共组成 $Ν = n^{n - 2} \cdot \frac{(Τ + 1) (n - 1) (n - 2)}{2}$ 种元素组合, 其每一组元素均构造出满意一致性的语言判断矩阵, 即构造出 $Ν = n^{n - 2} \cdot \frac{(Τ + 1) (n - 1) (n - 2)}{2}$ 个满意一致性的语言判断矩阵。

证明设Pk= (pkij) n×n为语言判断矩阵, V={v1, v2, …, vn}是顶点集, 为k={1, 2, …, n}在平面上的n个点, vi∈K, 则矩阵的各元素 (两个方案的对比关系) akij或akji看作两个点 (vi, vj) 或 (vj, vi) 之间的连线 (即为边) , 语言判断矩阵Pk的n-1个元素中任意一个元素都不能由其他n-2个元素导出, 则相当于n-1条边构成了一棵结点数为n的生成树。由定理4可知, 顶点集为k={1, 2-…, n}的连通图kn共生成树个数为nn-2, 即语言判断矩阵Pk共组成N=nn-2种元素组合, 由定理3可得到:每一组 (n-1) 个元素均能构造出满意一致性的语言判断矩阵。根据语言判断矩阵Pk的互补性, 任何一个语言判断矩阵Pk中共有 $\frac{n (n - 1)}{2}$ 个独立元素, 其它元素均由这些元素导出。而满意一致性的语言判断矩阵Pk只需取到这些独立元素中的 (n-1) 个元素即可, 剩下的元素个数为 $\frac{n (n - 1)}{2} - (n - 1) = \frac{(n - 1) (n - 2)}{2}$ 。同时, 在构造满意一致性的语言判断矩阵时, 当pkil“≥”sT/2, pklj“≥”sT/2时, 只需满足pkij“≥”sT/2即可, 所以pkij共有 (T+1) 种取法; 或当pkil“≤”sT/2, pklj“≤”sT/2时, 只需满足pkij“≤”sT/2即可, 所以pkij同样共有 (T+1) 种取法, 其中T+1为语言评价集S的个数。因此, 对于语言判断矩阵Pk, 共构造出 $Ν = n^{n - 2} \cdot \frac{(Τ + 1) (n - 1) (n - 2)}{2}$ 个满意一致性的语言判断矩阵。证毕。

定义7 设Pk= (pkij) n×n为专家ek给出的语言判断矩阵, Pl= (plij) n×n为专家el给出的语言判断矩阵, ∀k, l∈J, 令矩阵E= (eij) n×n, 其中eij由下式给出:

$e_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{l = k + 1}^{n} | Ι (p_{i j}^{k}) - Ι (p_{i j}^{l}) |, \forall i, j \in Ι (6)$

则称矩阵E= (eij) n×n为专家群体判断偏差矩阵。

性质1 设专家群体判断偏差矩阵E= (eij) n×n, 其中 $e_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{l = k + 1}^{n} | Ι (p_{i j}^{k}) - Ι (p_{i j}^{l}) |$ , ∀i, j∈I, 则专家群体偏差矩阵E= (eij) n×n为对称矩阵, 即eij=eji, ∀i, j∈I, 且eii=0。

不难看出, 若任意两个专家ek和专家el给出的语言判断矩阵Pk= (pkij) n×n和Pl= (plij) n×n均具有完全共识性, ∀k, l∈J, 则eij=0, ∀i, j∈I, 所以, 矩阵E= (eij) n×n为零矩阵。

为了得到语言判断矩阵的综合判断矩阵, 通常采用LOWA算子进行群集结, 根据已有的方法, 对综合语言判断矩阵进行方案排序。但经过群集结的综合语言判断矩阵往往不具有满意一致性或完全一致性, 甚至不满足语言判断矩阵的互补性。为了弥补已有方法蹬不足, 下面给出一种新的语言判断矩阵的群决策方案排序方法。

首先, 根据专家给出的语言判断矩阵Pk= (pkij) n×n, ∀k∈J, 挑选出判断尽可能一致的n-1组元素;然后, 将挑选出的n-1组元素进行群集结可得到综合语言判断矩阵的n-1元素, 进而构造出完全一致或满意一致性的语言判断矩阵;最后, 根据构造的完全一致或满意一致性的综合语言判断矩阵, 利用已有的方案排序方法, 对语言判断矩阵的群决策方案进行排序。

下面给出语言判断矩阵的群决策方案进行排序的具体步骤:

步骤1 对语言判断矩阵Pk= (pkij) n×n进行满意性或完全一致性检验, ∀k∈J, 将未通过一致性检验的矩阵Pk反馈给相应的专家ek进行调整, 直到满足一致性检验为止。

步骤2 根据式 (6) 计算出专家群体判断偏差矩阵E= (eij) n×n.

步骤3 根据专家群体判断偏差矩阵E= (eij) n×n找出矩阵E= (eij) n×n中元素最小的n-1个元素ei*j*, 且这 (n-1) 个元素中任意一个元素均不能由其它 (n-2) 个元素导出。

步骤4 从语言判断矩阵Pk= (pkij) n×n中找出与元素ei*j*对应的元素aki*j*, ∀k∈J, 利用LOWA算子进行群集结得到专家群体判断的矩阵元素。

步骤5 根据定理2或定理3, 构造出完全一致性或满意一致性的语言判断矩阵P*= (p*ij) n×n.

步骤6 根据语言判断矩阵中元素p*ij的优劣关系, 可得到群决策的方案排序。

3 算例

假设4个决策者 (E1, E2, E3, E4) 从预先定义好的语言短语集S={S0=I (Impossible) , S1=EU (Extremely Unlikely) , S2=VLC (Very Low Chance) , S3=SC (Small Chance) , S4=IM (It May) , S5=MC (Meaningful Chance) , S6=ML (Most Likely) , S7=EL (Extremely Likely) , S8=C (Certain) }中选择一个元素作为对方案Xi优于方案Xj的程度的描述, 4位专家 (即e1, e2, e3, e4) 针对4个方案 (即x1, x2, x3, x4) 分别给出下列语言判断矩阵形式的偏好信息[9]:

$Ρ_{1} = [\begin{matrix} - & S C & Μ C & V L C \\ Μ C & - & Ι Μ & Ι Μ \\ S C & Ι Μ & - & V L C \\ Μ L & Ι Μ & Μ L & - \end{matrix}]$

$Ρ_{2} = [\begin{matrix} - & Ι Μ & Ι Μ & V L C \\ Ι Μ & - & Μ C & Ι Μ \\ Ι Μ & S C & - & V L C \\ Μ L & Ι Μ & Μ L & - \end{matrix}]$

$Ρ_{3} = [\begin{matrix} - & Ι Μ & Μ C & Ι \\ Ι Μ & - & Μ L & Ι Μ \\ S C & V L C & - & V L C \\ C & Ι Μ & Μ L & - \end{matrix}]$

$Ρ_{4} = [\begin{matrix} - & S C & Μ C & S C \\ Μ C & - & V L C & S C \\ S C & Μ L & - & V L C \\ Μ C & Μ C & Μ L & - \end{matrix}]$

在采取“至少一半”原则下, 模糊量化算子Q对应的参数为 (d, f) = (0, 0.5) , 由式 (6) 计算出专家群体判断偏差矩阵E= (eij) n×n为

$E = [\begin{matrix} - & 4 & 3 & 9 \\ 4 & - & 13 & 3 \\ 3 & 13 & - & 0 \\ 9 & 3 & 0 & - \end{matrix}]$

找出矩阵E= (eij) n×n中元素最小的n-1个元素e13, e24, e34, 初步确定语言判断矩阵共识性较高的三个元素为ak13, ak24, ak34 (k=1, 2, 3, 4) , 根据定理2或定理3的方案与图之间的对应关系, 作出其对应的无向连通图。

由图2可知, 不存在回路, 所以元素pk13, pk24, pk34可作为构成满意一致性或完全一致性语言判断矩阵的3个元素。从语言判断矩阵Pk (k=1, 2, 3, 4) 中提取这3个元素如下: pk13=MC、IM、MC、MC; pk24=IM、IM、IM、SC; pk34=VLC、VLC、VLC、VLC。

在采取“至少一半”原则下, 即模糊量化算子Q对应的参数为 (a, b) = (0, 0.5) , 由式 (4) , 经计算可得各个专家的权重分别为:W=[1/2, 1/2, 0, 0], 由定义3, 利用LOWA算子可得:p*13=MC, p*24=IM, p*24=EU, 根据定理2和定理3, 构成的完全一致性的语言判断矩阵分别为:

$Ρ^{*} = [\begin{matrix} - & S C & Μ C & S C \\ Μ C & - & Μ L & Ι Μ \\ S C & V L C & - & V L C \\ Μ C & Ι Μ & Μ L & - \end{matrix}]$

根据语言判断矩阵中元素p*ij的优劣关系, 专家群体的方案排序向量为x4≈x2≻x1≻x3. 方案排序与文献[9]的最优方案排序结果基本相同。

4 结束语

本文研究了基于语言判断矩阵形式偏好信息的群决策方案排序问题。该方法通过给出的构造具有完全一致性或满意一致性的语言判断矩阵满足的条件; 并根据图论的简单无向连通图理论, 给出了基于语言判断矩阵的群决策的方案排序方法。弥补了以往解决语言判断矩阵群决策的方案排序方法的不足。该方法直观简洁、易于计算。需要指出的是, 基于图论理论的方案排序方法的研究成果目前还不多见, 还需要进一步深入研究。

模糊判断矩阵篇7

在模糊粗糙集中, 所有的属性值都可以是模糊的, 属性的等价关系也对应的变为相似关系, 因此连续属性值的离散化过程就被属性模糊化过程所替代, 即将实数转化为相应的隶属度值, 因而能够更加客观地表达现实世界。目前, 对模糊粗糙集的研究基本都集中在从不同的角度导出模糊粗糙近似算子及其性质、粗糙集的性质在模糊粗糙集中的成立条件、模糊粗糙集的属性约简算法、模糊粗糙集在知识获取中的应用等, 这些研究都丰富了粗糙集和模糊集的研究成果[1,2,3,4,5,6]。

划分不仅可以用集合的形式表示, 也可以用矩阵形式刻画, 本文提出粗糙集理论中相关概念的矩阵刻画, 通过矩阵刻画粗糙集的上 (下) 近似、重要度等, 将其运用到模糊信息系统的属性约简算法中, 为模糊信息系统的属性约简和知识获取提供新的思路和方法。

本文第一部分介绍相关知识, 首先建立了模糊等价矩阵, 然后提出了基于模糊等价矩阵的属性重要性的度量方法;第二部分介绍上 (下) 近似的矩阵表示;第三部分介绍模糊等价矩阵的模糊信息系统属性约简算法, 即给出模糊信息系统的属性约简算法;第四部分实例验证该方法的可行性和有效性, 最后得出结论该算法结果是有效的。

1 基础知识

1.1 模糊等价矩阵

定义1:设U={u1, u2, …, un}是非空有限集合 (n>0) 。n为U中元素的个数n=U, 称U为论域。

定义2:U上的模糊关系R如果满足自反性、对称性、传递性三点, 则称R是模糊等价关系, 也称模糊等价矩阵。只满足前两点的关系称为模糊相似关系矩阵。

引理1[7]:若R为模糊等价矩阵, 则R=R2=R3=…=Rn-1=Rn。

证明:

由R的自反性可知:

由R的传递性可知:

故得证。

由引理1可知, 在得到模糊相似关系之后, 直接对其取传递闭包便可得到相应的模糊等价关系矩阵。这一点在进行具体的属性约简操作时尤为重要。

定理1[7]:模糊等价矩阵的交矩阵 (对应元素取小) 仍是等价矩阵。即若R{α}和R{β}都是模糊等价矩阵, 则R{α, β}也是模糊等价矩阵。

证明:

(1) 自反性:由R{α}和 (R{β}∩R{β}) '=的等价性可知其满足自反性, 即其对角线元素都是1, 因而对i有R{α, β} (i, i) =min{R{α} (i, i) , R{β} (i, i) }=1, 即R{α, β}满足自反性。

(2) 对称性:由R{α}=R{α}'和R{β}得 (R{α}∩R{β}) '= (R{α}) '∩ (R{β}) '=R{α}∩R{β}即其对称性满足。

综上, R{α, β}是等价矩阵。

1.2 基于模糊等价矩阵的上 (下) 近似表示

定义3:在模糊系统中, 相对应的上下近似为:设U为非空论域, R为模糊等价关系, A∈[0, 1]U, 则模糊集合A的上下近似分别为:

2 模糊信息系统的属性约简算法

定义5:满足下面两个条件的B为属性全集C的约简 (其中BC) 。

(2) 对于任意的α∈B, 有RB-{α}≠RC, 也就是说B是独立的。

特别地, 针对模糊信息系统, 这里的R只要求是模糊相似矩阵。

下面通过上述定义给出基于模糊等价矩阵的模糊信息表的一种启发式属性约简算法。分为两步完成, 即先求出核属性, 然后再求约简。

2.1 求核算法

第1步:设CORE (C) =Φ。

第2步:α∈C, 如果 (这里的不等一般都是大于, 对于模糊集认为其差一般不可以被忽略时) , 则CORE (C) CORE (C) ∪{α}。

第3步:遍历后, 输出CORE (C) , 算法结束。

2.2 求属性约简算法具体步骤

第1步:根据等价矩阵的定义计算出RC。

第2步:令BCORE (C) 。

第3步:判断 , 若相等, 则输出B, 算法结束;否则转到第4步。

第5步:输出B, 算法结束。

3 约简算法在UCI数据集上的应用

本文选取来自UCI公开数据库中的属性数较多的存在冗余属性的可能性较大的数据集“wine”来进行实验分析。其中有13个属性, 分别为Alcohol、Malic acid、Ash、Alcalinity of ash、Magnesium、Total phenols、Flavanoids、Nonflavanoid phenols、Proanthocyanins、Color intensity、Hue、OD280/OD315 of diluted wines、Proline, 包含178个对象, 结果分成了三个类, 对象1-59是第一类, 元60-130是第二类, 131-178是第三类。

针对模糊数据集“wine”的前13列也就是13个属性进行约简, 运用matlab进行编程过程如下:

步骤1:根据距离公式计算出13个属性的模糊相似矩阵。

步骤2:根据得到的相似矩阵建立相应的模糊等价矩阵。

步骤3:通过对13个模糊等价矩阵取交, 得到所有属性的模糊等价矩阵。

步骤4:计算核属性, 选取精度dd=0.002作为约简条件。

具体结果如下 (其中a到m代表第一到第十三个属性;d1到d13是这13个属性的重要度值) :

d1=9.0408e-004属性a不是核

d2=9.3279e-004属性b不是核

d3=0.0029属性c是核

d4=7.8389e-004属性d不是核

d5=0.0016属性e不是核

d6=0.0014属性f不是核

d7=9.1895e-004属性g不是核

d8=0.0022属性h是核

d9=0.0019属性i不是核

d10=8.8248e-004属性j不是核

d11=0.0013属性k不是核

d12=0.0011属性l不是核

d13=0.0011属性m不是核

因而取核为CORE={c, h}。

步骤5:接下来根据属性约简算法步骤, 令约简B=CORE (C) 计算B的等价矩阵, 并计算其重要度d (B) =0.0176>0.002, 所以没有达到约简结束条件, 进入步骤6。

步骤6:依据重要度排序首先是B=CORE (C) ∪{i}={c, h, i}, 这时B的重要度为d (B) =0.0133>0.002, 约简仍然不能结束, 重复这个过程, 当约简为B={c, h, i, e, f, k, l, m, b, g, a}时, d=0.0017<0.002达到精度要求。

算法结束:其在精度为0.002要求下的约简结果为B={c, h, i, e, f, k, l, m, b, g, a}, 如果精度的选取和后面的覆盖算法一致, 即d=0.02, 那么核属性CORE={c, h}就是其约简。

4 结束语

属性约简是信息系统面临的主要问题之一, 合理的属性约简能起到关键的作用, 对于知识获取、决策分析等起到指导作用。划分不仅可以用集合的形式表示, 也可以用矩阵形式刻画, 本文就是提出粗糙集理论中的相关概念的矩阵刻画, 通过矩阵刻画粗糙集的上 (下) 近似、重要度等, 并将其运用到模糊信息系统的属性约简算法中。研究表明这种方法是合理可行的, 这为下一步建立高效的算法设计提供了基础。

摘要：基于模糊粗糙集的知识获取方法在模糊粗糙集的研究中具有十分重要的作用, 通过矩阵来刻画粗糙集理论, 用模糊矩阵定义了模糊粗糙集和粗糙模糊集的上 (下) 近似、重要度等概念, 给出模糊信息系统的属性约简算法, 并用UCI数据集说明算法的可行性。

关键词：等价矩阵,上 (下) 近似,粗糙模糊集,UCI数据集

参考文献

[1]Pawlak Z.Rough sets[J].International Journal of Computer and Information Science, 1982 (11) :341-356.

[2]王国胤.Rough集理论与知识获取[M].西安:西安交通大学出版社, 2001.

[3]苗夺谦, 胡桂荣.知识约简的一种启发式算法[J].计算机研究与发展, 1999, 36 (6) :681-684.

[4]叶东毅, 陈昭炯.一个新的差别矩阵及其求核方法[J].电子学报, 2002, 30 (7) :1086-1088.

[5]Eric C, Tsing C, Degang Chen, et al.Attributes reduction using fuzzy rough sets[C].IEEE transactions on fuzzy systems, 2008.

[6]J S Mi, Y Leungm, H Y Zhao, et al.Generalized fuzzy rough sets determined by a triangular norm[J].Information Sciences, 2008, 178 (16) :3203-3213.

模糊判断矩阵篇8

关键词：电力系统,不良数据辨识,模糊等价矩阵,聚类分析,传递闭包

0 引言

电力系统不良数据的检测与辨识是电力系统状态估计的重要功能之一,其目的在于排除量测采样数据中偶然出现的少量不良数据,提高状态估计的可靠性[1]。迄今为止,国内外用于不良数据检测与辨识的方法主要有目标函数极值检测法、加权或标准化残差检测法、量测量突变检测法、残差搜索法、非二次准则法和估计辨识法等[2]。这些方法的缺点是很可能出现残差污染和残差淹没现象,从而引起不良数据的误检和漏检。

近年来,许多学者尝试用新理论解决不良数据的处理问题,将很多新方法引进了电力系统不良数据辨识当中。文献[3-5]利用模糊数学中的ISODATA方法和隶属度概念来判定不良数据,有效地克服了残差污染和残差淹没现象。文献[6]用反向传播神经元网络进行估计前的滤波,用典型工况的正确量测作为训练样本,以便在实时监控时能正确辨识不良数据。文献[7-9]在不良数据处理过程中引入GSA算法,并提出利用肘形判据判断最佳聚类个数,得到了较好的检测效果。另外,运用抗差估计理论处理不良数据,也是目前不少学者研究的课题[10,11]。

自从美国著名控制论专家、加利福尼亚大学L.A.Zadeh教授于1965年建立模糊集理论,模糊数学已在实践中证明是现代智能技术中最重要的技术之一,是处理不确定性问题的有效方法,在电力系统中也有广泛的应用前景[12]。利用模糊数学理论对不良数据进行处理是一种有效的尝试,但其在具体实施过程中仍有许多课题需要研究。

本文利用基于模糊等价矩阵的动态聚类分析方法,采用标准残差RN和两相邻采样时刻的量测数据差值ΔZ,作为特征值进行模糊聚类分析,通过寻找最佳阈值λ,对量测项目进行聚类,根据个别已知的良数据和“数以类聚”的原则,得到全良数据的分类,进而辨识出不良数据。仿真分析表明该方法能快速准确地辨识出不良数据,有效地避免残差污染和残差淹没现象,并能灵活选择动态聚类结果,更适合实际电网的计算要求。

1 标准化残差RN检测的原理

所谓标准化残差RN检测,是将残差方程进行标准化,得到标准残差,在一定的误检概率下,确定检测门槛值,与量测点的标准残差比较,超过检测门槛值即被判为可疑数据而予以检测出。

设正常量测条件,在某误检概率Pe下由标准化残差灵敏度矩阵和残差方程,得到检测门槛值γN。按下述的假设检验方式对逐个量测点的标准残差进行检测。

式中:RN,i为第i个量测点的标准化残差;γN,i为第i个量测点标准化残差的检测门槛值。

2 模糊聚类分析法

对事物按一定要求进行分类的数学方法,就是聚类分析,它属于数理统计多元分析的一支。由于现实的分类往往伴随着模糊性,聚类问题采用模糊数学语言描述有其方便之处。

设被分类对象的集合为U={u1,u2,…,un},每一个对象ui由一组特征数据(ui1,ui2,…,uim)来表征,其中uij表示第i个对象的第j个特性指标,记作

称U*为U的特性指标矩阵。

由于m个特性指标的量纲和数量级不一定相同,要对U*进行数据规格化处理,常用的方法有数据标准化、极差规格化和对数规格化等[13]。根据实际系统的计算要求,用多元分析的方法来确定对象ui和uj之间的模糊相似度,建立模糊相似矩阵,即:

此时得到矩阵R=(rij)n×n,一般来说只具有自反性和对称性,不一定具有传递性,未必是模糊等价矩阵[14]。因此,还要由模糊相似矩阵R出发,构造模糊等价矩阵,并以其为基础,进行动态聚类,得到各个阈值λ下的分类。最后根据实际需要选择最佳阈值λ,确定符合系统要求的最佳聚类结果。

3 基于模糊等价矩阵的不良数据辨识

根据模糊数学的理论,考虑不良数据的特点,本文采用标准残差RN和两相邻采样时刻的量测数据差值ΔZ作为特征值,得到原始样本数据集,见表1。对于量测项目集U={u1,u2,…,un},形成特性指标矩阵U*,特性指标m=2。

3.1 模糊相似矩阵的形成

利用Fortran6.5软件编程,本文对比了极差规格化、最大值规格化和数据标准化三种方法,根据数据处理的效果,决定采用数据标准化方法对U*进行规格化处理。

对特性指标矩阵U*的第j列,计算

得到标准残差RN和量测差值ΔZ的平均值和标准差,然后通过变换

得到服从标准正态分布的规格化矩阵U0=(u'ij)n×2。

此系统中量测项目的特征指标偏少,通过试算对比相关系数法和最大最小法的处理效果,选用最大最小法来确定量测项目ui和uj之间的相似关系。

由最大最小公式,计算

得到相似系数rij,其中i,j=1,2,…,n,进而构成模糊关系矩阵R=(rij)n×n。

3.2 基于模糊等价矩阵的聚类

显然,式(6)得到的矩阵R具有自反性和对称性,没有传递性,不能直接用于动态聚类,故必须对其改造,求得相应的模糊等价矩阵,再进行动态聚类。本文采用模糊传递闭包法解决上述问题。

(1)利用平方自合成的方法求出模糊相似矩阵R的传递闭包t(R),即

其中,k≦[㏒2n]+1。t(R)就是所需的模糊等价矩阵R'。

(2)适当选取阈值λ∈[0,1],求出t(R)的λ截矩阵t(R)λ,并对其聚类,具体原则如下:

设t(R)=(r'ij)n×n,t(R)λ=(r'ij(λ))n×n,则

对于ui,uj∈U,若r'ij(λ)=1,则在λ水平上将量测项目ui和uj归为一类。

(3)当λ在[0,1]中取不同值时,相应分类也随之改变。将λ按照从1到0的顺序,对t(R)所得分类逐步归并,得到t(R)λi的一系列分类Sik,其中i=1,2,…,h,h为阈值λ的个数,S为聚类集,k为聚类个数。为了能直观地看到量测项目间的相关程度,文中让λi按照步长0.1逐次递减,得到系统的动态聚类,至此量测项目的动态聚类过程结束。

3.3 最佳聚类结果的确定

可以预见,不良数据辨识的理想聚类数k=2,即全部数据分为良数据和不良数据两类。因此,选取动态聚类中聚类数为2的聚类集S2,便得到系统的最佳聚类。实践表明,这种方法对于偏差较小的不良数据辨识,具有较好的效果,但对于偏差较大的不良数据辨识,则不能保证较高的辨识精度。

本文通过合理选择最佳阈值λ,确定最佳聚类结果。阈值λ的选择,是不良数据动态聚类的关键环节。阈值越大,则辨识精度越高,聚类个数越多,误判的可能性就越大;阈值越小,则辨识精度越低,聚类个数越少,漏检的可能性就越大。

在兼顾辨识精度和聚类稳定的条件下,考虑阈值λ和聚类数k的变化率

其中:i为λ从大到小的聚类次数;ki和ki+1分别为第i次和第i+1次聚类的个数;λi和λi+1分别为第i次和第i+1次聚类时的阈值。如果

则认为第i次聚类的阈值λ为最佳阈值。

在不良数据的辨识过程中,式(10)保证了在取得较高辨识精度的同时,选取具有较好稳定性的聚类集,由此得到的最佳阈值,所对应的聚类结果即为最佳聚类结果。通过对大量数据的分析,发现聚类集Sk在λ在(0.7,0.4)之间时具有较好的稳定性。

3.4 不良数据辨识系统

对于实际系统中存在的不良数据,为了保证较好的辨识精度,最佳聚类结果可能不是理想聚类结果,即k≥2。这时,我们就需要利用个别确定为良数据的量测量,比如电网电压等级V等,根据聚类后“数以类聚”的原则,判断出全良数据的一类,进而得到不良数据的分类,完成不良数据的辨识。

综上,不良数据辨识系统的简要流程,见图1。

4 算例仿真与系统测试

为了验证算法的有效性,本文利用Fortran6.5软件编制了不良数据辨识系统,对传统的4节点模型进行了仿真分析,最后采用某地区电网的实时数据,进行了系统测试。

4.1 仿真算例分析

传统4节点模型接线图如图2所示,其量测配置如表2所示,量测项目总数为16。

对节点1的注入有功功率P1,先后两次分别设置不良数据值ΔP1=10 MW和ΔP1=50 MW,节点1和节点3的电压量测值作为已知的良数据,并在其他量测点设置服从N(0,1)正态分布的随机干扰,最佳阈值由式(10)确定,检测分析结果如表3所示。

对节点1的注入有功功率P1与线路12的有功功率P12,设置不良数据ΔP1=25 MW和ΔP12=20MW,其他计算和实验条件同上,检测分析结果如表4所示。

对节点1的注入无功功率Q1与线路12的无功功率Q12,设置不良数据ΔQ1=25 MW和ΔQ12=20MW,其他计算和实验条件同上,检测分析结果如表5所示。

分别采用方法1(标准化残差RN检测法)、方法2(加权残差RW检测法)和本文方法处理以上四种情况,检测结果见表6,其中标准残差门槛值γN=2.81,本文方法中1表示不良数据、0表示良数据。将三种方法的辨识效果进行对比,如表7所示。

由表6和表7可以看出,在单不良数据的情况下,采用传统方法时出现了残差污染现象,并且随着不良数值的增大,检测出的不良数据增多,说明残差污染现象加重,增加了辨识的困难,而本文方法的检测结果则比较理想。在多不良数据的情况下,由于不良数据的相互作用,导致部分或全部不良数据点上的残差接近于正常残差,同时部分正常测点的残差超过门槛值,故采用传统方法时不仅出现了残差淹没,而且伴随着残差污染,直接造成了漏检和误检,而本文方法的检测结果则更加准确。

算例表明,该算法能够快速准确地辨识出不良数据,并有效克服残差污染和残差淹没,避免误检和漏检情况的出现。另外,通过对不良数据偏差较大的情况处理,说明这种方法可以方便、灵活地在辨识精度和动态聚类结果上做出选择,从而得到更符合实际工况的辨识结果。

4.2 实时数据系统测试

本次系统测试的数据采用某地区电网中3个发电厂、1个升压站和16个变电站的实时运行数据。从此系统共获取186个量测值,取自2010年3月27日的运行情况,其中包含14个节点电压值,15对发电机组出力的有功和无功,23对负荷潮流,16对变压器输入有功无功和32对线路潮流,并对各个量测点都分配各自的标号。各量测点的标准残差均采用适应计算要求的经验值。

由于无法得到原始的生数据,本文利用电力系统SCADA状态估计处理后的数据进行测试。假设量测数据中共出现4个不良数据,分别是第67号(贾庄变168号联络线有功),第104号(香王线1979号有功),第121号(姚程线2320号有功)和第152号(香山变#1主变有功)量测量,其超过正常值在15%~30%之间。测试结果见表8。

5 结论

模糊判断矩阵篇9

财务风险是导致投资者预期投资下降而存在的一种潜在风险, 这种风险的成因来自于多个方面, 例如公司的财务结构不合理, 筹资领域与投资领域存在着较大的风险等等[1], 财务风险会导致公司融资不当, 导致企业经营不善, 从而使企业丧失一定偿债能力, 使企业投资者受损。当前的投资者与过去投资者很大的不同点在于这些投资者更加关注企业内部的经营动向, 因为他们意识到企业的财务活动与生产经营活动是密不可分的, 财务活动是生产经营活动的前提条件[2]。他们更加关注企业在经营的稳定性及这一过程中的财务稳健性。经营存在着风险, 自然附带而来的就是财务风险, 而二者又相互影响, 财务状况恶化, 必然导致经营资金链出现问题。因此企业管理者为更好吸引外部投投资, 保障股票市盈率, 企业的管理者有责任及时识别企业各方面的财务风险, 从而采取及时措施控制降低这种风险来维护投资者的权益, 本文研究目的在于给企业的管理者和投资者提供一个有力工具来认识这种风险。

二、财务风险指标评价体系构建

根据众多学者对上市公司财务风险的研究[3], 本文选取四个方面的一级评价指标和十二个方面的二级评价指标来对上市公司的财力见险进行研究。指标体系见图1。

三、财务风险评价模型构建

(一) 运用层次分析法确定影响指标权重。

层次分析法模型是一种较为常用的用来评价多指标权重问题的一种方法, 特别适合于多层次定性与非定性相结合的评价问题, 由于财务风险有些指标很难进行量化, 因此这里选择层次分析作为主导分析方法, 又因这种方法较为常用简单, 在这里对此不再过多的陈述。

(二) 运用模糊关系矩阵评价财务风险值。

第一、通过调查问卷得到各个指标的隶属度, 我们将财务风险指标的隶属度分为四个水准, (很高、较高、一般、低) , 这四个隶属度之和为1。第二、构建模糊矩阵进行模糊评判, 由层次分析法可得权重向量, 以求模糊评价向量。

undefined

以此类推, W2, W3, W4同样算法可计算出来。同时根据模糊隶属度评价向量我们可以进一步得到一级指标所处的风险状况, 我们归定如表1。第三、计算一级各评价指标的风险评价得分值θ1=W1· (100 75 50 25) T, 依此类推, θ2, θ3, θ4。

四、实证分析

以上市公司A为例, 对其一级影响指标及二级影响指标做AHP影响权重分析, 按照层次分析法建模要求, 有表2 RI值。

在公司内部及外部发放调查问卷共180份, 有效回收144份, 有效率为80%, 基本符合调查要求, 对调查问卷采取加权平均进行处理, 得到如下系列判断矩阵。

注:LMAX=4.1155 C.I.=0.0385 C.R=0.043<0.1

注:LMAX=3.0142 C.I.=0.007 C.R=0.01<0.1

注:LMAX=3.0536 C.I.=0.027 C.R=0.046<0.1

注:LMAX=3.0858 C.I.=0.043 C.R=0.073<0.1

对以上矩阵进行一致性检验。undefined, 完全符合层次分析法的要求。

根据上述权重结果, 我们得到二级评价指标的层次总排序列表 (表8) 。

同样是采取问卷调查的形式, 发放问卷调查100份, 有效回收80份, 针对A公司的二级评价指标, 我们得到如下隶属度评价列见 (表9) 。

根据以上信息, 可得如下一级指标的模糊评价向量。

筹资风险模糊评价向量:

undefined

投资风险模糊评价向量:

undefined

经营风险模糊评价向量:

undefined

存货风险模糊评价向量:

undefined

从而得到各一级评价指标的财务风险值。

筹资风险得分:

undefined

投资风险得分:

undefined

经营风险得分:

undefined

存货风险得分:

undefined

五、结语

由财务风险隶属度可知, A公司存货风险得分为33.4分, 介于[风险低, 风险一般]之间, 比较理想。筹资风险、偷袭风险、经营风险介于[风险一般, 风险较高]之间, 尤其是筹资风险与投资风险均超过了60分, 需要公司的管理者严密注意其动态, 以防其风险上升。从A公司目前整体的财务风险来看, 其财务结构较为合理, 如果公司出现个别风险指标较高的情况, 还需进一步从影响因素权重及风险因素实际存在的风险水准入手, 分析其具体的原因, 对症下药, 从而降低公司所存在的财务风险。

参考文献

[1].罗欣.企业财务风险的衡量[J].生产力研究, 2011, 4:198

[2].企业财务风险内涵的研析[J].武汉汽车工业大学学报, 2000, 22 (5) :89

【模糊判断矩阵】推荐阅读：

三角模糊数互补判断矩阵的一种排序方法06-14

互补判断矩阵06-13

模糊数学矩阵09-09

群决策中基于互补判断矩阵的逆判问题研究07-19

判断研究07-18

专家判断10-16

自动判断10-16

临床判断05-27