模糊数学方法（共12篇）
模糊数学方法 篇1
模糊数学是用数学方法来解决一些模糊问题。水污染评价中“污染程度”的界限是模糊的,人为的用待定的分级标准去评价环境污染程度是不确切的。应用模糊理论处理模糊问题,才能符合实际,判断合理。常用的水质评价方法有P值法、W值法。但这两个方法都有缺陷。模糊数学在水质评价的应用分为模糊聚类分析法和模糊综合评判法。模糊综合评价就是根据给出的评价标准和实测值,经过模糊变换,对评价对象给出总的评价的一种方法。在评价中,找出影响水质的各主要因素,确定评价因子集、评价集、隶属函数,然后通过计算各因素的权重和隶属度,得到综合隶属度,确定水质类别。本文,笔者用此评价方法,以锦州2010年小凌河监测数据为例进行评价,获得满意结果。
一、因子集和评价集的建立
在水质监测的若干监测指标中根据一定的原则,选择若干指标作为评价因子,建立因子集。本文,笔者在《地表水环境质量标准》(GB3838-2002)评价标准的基础上,选用了化学需氧量(COD)、生化需氧量(BOD5)、总磷、石油类、氨氮、高锰酸盐指数(CODmn)、挥发酚等7项代表性较强的指标作为评价因子。监测数据见表1。
mg/L
在国家的地表水环境质量标准中,将水质级别分为5类,因此确定评价集为:V={Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ},见表2。
mg/L
二、计算各参数的隶属度,建立模糊关系矩阵R
隶属度能合理划分分级的界限,它可通过隶属函数的计算求得。隶属函数如下:
将各监测断面的监测数据代入前面确定的隶属函数中,就可以计算其隶属度,并建立每个断面的因子模糊评价矩阵R。以小凌河的何家信子为例,其模糊评价矩阵R为:
三、计算各参数的权重,建立权重集A
权重是衡量因子集中某一因子对水质污染程度影响相对大小的量,权重系数越大,则该因子对水质的影响程度就越大。根据权重计算公式,其计算结果见表3。
四、模糊综合评价
根据模糊综合评价的最大隶属度原则,对哪类水质隶属度大,则该分析水质就属于哪一类。评价结果见表4。
由表4可以看出,何家信子断面水质较好,属于Ⅰ类。灌渠首断面和西树林断面水质较差,均为Ⅴ类。在影响水质的各指标中,通过对权重的计算可以看出氨氮和总磷对水质的影响程度相对较大,说明水体中的主要污染物为氨氮和总磷,这与该地区的水质污染问题相一致,说明本文笔者所述的模糊数学方法评价可以获得有价值的科学评价结果。
在《地表水环境质量标准》(GB 3838-2002)中,依据地表水水域使用目的和保护目标,按功能高低依次划分为5类。
Ⅰ类。主要适用于源头水、国家自然保护区。
Ⅱ类。主要适用于集中式生活饮用水水源地一级保护区、珍稀水生生物栖息地、鱼类保护区、鱼虾类产卵场、仔稚幼鱼的索饵场等。
Ⅲ类。主要适用于集中式生活饮用水水源地二级保护区、鱼虾类越冬场、洄游通道、水产养殖等渔业水域及游泳区。
Ⅳ类。主要适用于一般工业用水区及人体非直接接触的娱乐用水区。
Ⅴ类。主要适用于农业用水区及一般景观要求水域。
对应地表水上述5类水域功能,将地面水环境质量标准基本项目分为5类,不同功能类别分别执行相应类别的标准值。水域功能类别高的标准值严于水域功能类别低的标准值。同一水域兼有多类使用功能的,执行最高功能类别对应的标准值。实现水域功能与达功能类别标准为同一含义。
综上,采用模糊数学评价水质污染程度,评价结果与实际污染现状相吻合,避免了目前环境质量评价中常采用一个数字指标作为分界线的简单评价法的不足。提高了评价的精度,可见模糊数学评价对环境质量综合评价工作的开展起着推动作用。
模糊数学方法 篇2
注重结论，轻视过程：数学命题的特点是条件和结论之间紧密相联的因果关系，不注意条件的掌握，常会导致错误的结果，甚至是正确的结果、错误的过程。如学习中看不出何时需讨论、如何讨论。原因之一在于数学知识的前提条件模糊(如指对数函数的单调性，不等式的性质，等比数列求和公式，最值定理等知识)
忽略及时复习和强化理解：“温故而知新”这一浅显的道理谁都懂，但在学习过程中持之以恒地应用者不多。由于在老师的精心诱导教诲下，每节课的内容好像都“懂”，因此也就舍不得花八至十分钟的“宝贵”时间回顾当天的旧知。殊不知课上的“懂”是师生共同参与努力的结果，要想自己“会”，必须有一个“内化”的过程，而这个过程必须从课内延伸到课外。切记从“懂”到“会”必须有一个自身“领悟”的过程，这是谁也无法取缔的过程。
忽视解题过程的规范化，只追求答案：数学解题的过程是一个化归与转化的过程，当然离不开规范严谨的推理与判断。解题中跳跃太大、乱写字母、徒手作图，如此态度对待稍难的问题，是难以产生正确答案的。我们说解题过程的规范不只是规范书写，更主要是规范“思考方法”，同学们应该学会不断调控自己的思维过程，力争使解题尽善尽美。
解决问题过程中的四种不良心态
数学思想—数学方法的源泉 篇3
线性规划问题其实质就是在线性约束条件下求目标函数的最大值或最小值的问题.规划意即利用条件合理安排使之达到理想状态，生活中的规划问题处处可见，数学问题很多也属于规划问题，只不过不一定是线性的.
一 条件非线性、目标线性型
例题1 设实数x,y满足x+y＞0x2+y2 1，则2x+y的取值范围是( ).
A. 32,5
B. -22,22
C. -22,5
D. ［-5,5］
解析：画出约束条件所表示的图形如图3，令t=2x+y，当直线过点A-22,22时，tmin=-22，当t=2x+y与图形相切时，tmax=5;故选C.
此型与线性规划问题的形式完全一样，解题思路明显，只要理解条件的几何意义，最小值，在解决此型问题时要深刻理解可行域中的“域”的概念，它可以是直线、可以是曲线、可以是曲线围成的区域，并不一定要是直线围成的图形才可以作为“域”.
二 条件线性、目标非线性型
例题2 设实数x,y满足x-y-2≤0x+2y-5≥0y-2≤0,求u=x2+y2xy的取值范围.
解析：根据线性约束条件，作出可行域△ABC，如图4所示.
∵u=x2+y2xy=xy+yx,令t=xy，则12≤xy≤3，∴u=t+1t,其中12≤t≤3而在12≤t≤1时，u(t)是一个单调递减函数；在1≤t≤3时，u(t)是一个单调递增函数，∴umin=u(1)=2,又u12=52,u(3)=103 ∴umax=103 故u=x2+y2xy的取值范围为2,103.
例题3 已知a≥0,b≥0,且当x≥0y≥0x+y≤0时，不等式ax+by≤1恒成立，则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积为（ ）.
解析：画出可行域如图5所示，令Z=ax+by时,
（1） 当b=0时，Z=ax，又0≤x≤1，故只需a≤1即可；
（2） 当a=0时，Z=by，又0≤y≤1，故只需b≤1即可；
故只需线性目标函数过点A(1,0)或B(0,1)两点时Z不大于1即可，即0≤a≤10≤b≤1综上所述a,b应满足的线性约束条件为0≤a≤10≤b≤1，故可行域如图6所，所以a,b为坐标点P(a,b)所形成的面积区域面积为1.
例2中，目标函数为u=x2+y2xy，为非线性关系，将其转化为u=xy+yx，由线性规划中的“斜率型”问题的处理方法先求出xy的范围，令t=xy，将其转化为一元函数，根据其单调性求出u的范围，充分体现了规划思想在解题中的应用；例3中，目标为求点P(a,b)所形成的平面区域的面积，其实质就是求a,b满足的约束条件，此题从形式上让我们很容易想到用线性规划的思想来求解，但若对线性规划的原理不透、思想不通，生搬硬套，解决时却难以下手.
三 条件、目标均非线性型
例题4 已知函数f(x)=13x3+a2x2+2bx+C,当x∈(0,1)时，函数f(x)取得极大值，当x∈(1,2)时，函数f(x)取得极小值时，则u=b-2a-1的范围为（ ）
解析：f′(x)=x2+ax+2b，∵当x∈(0,1)时，函数f(x)取得极大值，当x∈(1,2)时，函数f(x)取得极小值时.
∴f′(0)＞0f′(1)＜0f′(2)＞02b＞01+a+2b＜01+2a+2b＞0 u=b-2a-1的几何意义是点A与B(1,2)连线的斜率结合图7得14＜u＜1
例题5 已知函数f(x)=x2+ax+1x2+ax+b(x∈R且x≠0)若对实数a,b使f(x)=0有实根，求a2+b2的最小值.
解析：利用换元法将函数f(x)=x2+ax+1x2+ax+b转化为二次函数，令x+1x=t，设g(t)=t2+at+b-2，问题转化为“实数a,b使方程t2+at+b-2=0有实根，求a2+b2的最小值”.解｜t｜=｜x｜+1｜x｜≥2，则t≥2或t≤-2.
(1) 若t2+at+b-2=0仅存在一个大于等于2或小于等于-2的实数根，则由g(2)=2a+b+2≤0，或g(-2)=-2a+b+2≤0
2a+b+2≤0在直角坐标系内表示平面如图8所示，a2+b2=［(a-0)2+(b-0)2］2，求a2+b2的最小值转化为在线性约束条件下原点到直线2a+b+2=0的距离的平方，可得d2=0+0+252=45
同理可得原点到直线-2a+b+2=0的距离的平方为45.
(2) 若方程t2+at+b-2=0存在两个大于等于2或小于等于-2的实数根，则由g(2)=2a+b+2≤0，或g(-2)=-2a+b+2≤0，则g(2)≥0Δ≥0-a2＞0或g(2)≥0Δ≥0-a2＜-2解得a＜-4或a＞4，显然a2+b2＞16
综合（1）（2）可知，a2+b2的最小值为45.
例6 若正数a,b满足ab=a+b+3，求ab的取值范围.
解析：由ab=a+b+3，变形为(a-1)(b-1)=4，又因为a＞0,b＞0.ab＞3所以a-1＞0,b-1＞0.
令x=a-1，y=b-1,即xy=4，于是ab=(x+1)(y+1)=5+x+y
构造目标函数为Z=5+x+y,约束条件为xy=4x＞0y＞0
如图9可知，当直线与双曲线相切时，直线的纵截距最小，Z有最小值，此时由xy=x(x+Z-5)=4,设x2+(5-Z)x+4=0,在由方程由两个相等的实根，设Δ=(5-Z)2-16=0，解得Z=9
综上可知，Z≥9,即ab的取值范围是［9,+∞).
例4、例5为线性规划问题中的“距离型”、“斜率型”，但约束条件不是明显的线性关系，需根据现有条件将其转化为线性关系，再利用线性规划的思想求解，其间综合性较强，必须具备较强的转化能力，才能实现非线性向线性转化，解题实思想中，转化的数学思想占有主导地位；例6解法较多，采用此法，使问题从另一角度得以解决，给人以一种“曲径通幽”的亲切感受.
线性规划问题的解题思想，给我们提供了一种求二元函数最值的思想，简单的线性规划问题作为高中数学的新增内容从2004年起在高考试卷中出现，随着教学和试题研究的不断深入，试题的难度一直在提高，综合性越来越强，灵活性越来越大，高考试题追求创新，注重思想方法的考查，逐步从知识立意向能力立意转化，可以猜想，线性规划问题越来越不会以单纯的小题出现，而是穿插于其它题型中来考查，要让学生在高考中取胜，仅仅靠题型演练来提高数学能力是跟不上高考要求的，只有让学生深刻领会其思想，才可能跟上不断发展的高考试题的要求.
“问渠哪得清如许，为有源头活水来”.数学思想是数学方法的源泉，没有思想的源泉，方法的小溪终会干涸，一道题也许是一首清新隽永的诗，也许是一条源远流长的河，正因为人们给它注入了鲜活的思想，它才给人们产生不同的感受，要使学生解决问题的能力不断提高，教师要适时点激、诱发学生思考，唤醒学生“沉睡”的思维，使之能在不同的问题情境中创造性地解决问题.
参考文献
模糊数学方法 篇4
在决定矿山方案的选择中, 我们先要根据矿山开采的适宜条件, 并依据相似优先比选出几种适合的方案, 然后运用模糊数学的相关知识, 通过科学、具体、严密的运算从中选出最佳的开采方案。在运用模糊数学进行分析过程中, 我们需要认真分析运算中的每一个参数, 比如矿山的相对权系数、经济指标权系数等。在分析过程中, 我们还要认真对待权系数矩阵。系数矩阵带有一定的随机性, 为此我们通常的做法是利用层次分析来确定权系数矩阵, 这就在一定程度上提高了权系数矩阵的精确度, 进而增大了运用模糊上学来选择采矿方案的准确率。同时我们还要尽量精确地计算隶属度矩阵, 隶属度矩阵精确与否体现着预测经济指标的合理与否。
2 应用模糊数学的采矿方法选择步骤
在实际应用中, 采矿选择方法分两步进行: (1) 在技术方案中初选。 (2) 应用模糊数学终选。
2.1 技术方案中初选的具体步骤
在实际的采矿方法确定过程中, 往往事先确定几个与开采条件相适宜技术方案。然后在这几个方案中选出最佳的一个。为此, 我们首先对采矿中的一些目标做出数学上的假设。如以目标矿山定为u0, 我们做出的方案分别记作u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, u9……, 它们与u0的相似程度可用海明距离来进行描述:
其中i=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9……, di0为第i个方案与目标矿山的海明距离。由此, 我们可以得出相似优先比得数学表达式:
进而, 我们得出模糊数学矩阵:Rn×n其元素:rij= (rij) n×n0≤rij≤1
然后我们根据模糊数学的有关知识和相似优先比原理, 初步确定出3至5个在技术上比较可行的采矿方案。
2.2 运用模糊数学对上述采矿方案进行终选
首先, 我们要分析各个方案的经济指标。综合考虑采矿的经济条件、技术条件、管理条件, 并根据初选所确定的几个方案与目标矿山的相似程度来预测目标矿山的经济指标。其计算公式为:
公式中, ωi是矿山所对应的权系数;yi为类似矿山的经济指标;γ为目标矿山的经济指标。然后我们运用模糊数学知识, 推导出模糊关系方程:A=B·B。式中, A是目标矿山的隶属度矩阵;B为类似矿山权系数隶属度矩阵;B是类似矿山开采技术条件隶属度矩阵。在计算经济指标时, 若此方程的解集为空集, 则我们需删除某一备选方案, 直到该方程有解为止。
接下来我们用模糊数学进行综合评判, 所用到的方程为:
式中, R代表隶属度矩阵;C代表各方案的相对优选度矩阵;W代表各指标的权系数矩阵。其中W的计算方法采用几何平均法。
据此, 我们构造判断矩阵X
式中, xij表示xi对xj的重要程度
构造判断矩阵后, 我们可以根据
得到权系数。
3 应用案例
3.1 工程背景
本案例所研究矿体的各项具体参数为:南西西-北东东走向, 倾向北北西方向, 其倾角经过计算在8°～200°范围内, 其平均值在10°～11°之间, 有着相对稳定的厚度, 其理论估计值为3.74km。走向14km, 宽4～6km, 面积60km, 底板为石英砂岩, 顶板为砂岩、页岩、泥灰岩;稳定性较好。结合采矿企业自身的经济技术条件以及该矿体实际条件, 初步考虑采用房柱法、液压支护法、充填法等三种方案来进行开采。
3.2 指标权系数计算
根据不同采矿方法的指标体系我们建立层次结构模型, 利用层次分析法确定各影响因素的权重。并由此推断出三种方案的经济指标: (1) 房柱法, 生产能力 (t/d) 为28, 采矿工效 (t/工班) 为3, 损失率为8%, 贫化率为15%, 采切比 (m/kt) 为15; (2) 液压支护法, 生产能力 (t/d) 为45, 采矿工效 (t/工班) 为10, 损失率为18%, 贫化率为25%, 采切比 (m/kt) 为14, 根据三种方案的经济指标我们可以进行权系数计算; (3) 充填法, 生产能力 (t/d) 为25, 采矿工效 (t/工班) 为2, 损失率为10%, 贫化率为20%, 采切比 (m/kt) 为20。
3.3 隶属度矩阵计算
隶属度矩阵是根据采切比、生产能力、贫化率、采矿工效、损失率等五个定性指标计算出来的。
3.4 根据模糊数学的运算结果。我们得出相对选择率结果
根据上述结果, 我们可以明显看出方案1的优选度大于方案2与方案3的优选度。故根据最大隶属度原则, 我们决定采用方案一即房柱法进行矿山开采。
结语
运用数学原理去解决企业中的决策、管理问题已经成为现代社会发展的必然趋势, 尤其是今年来, 模糊数学在采矿方法选择上的应用成为了现代采矿企业的热潮。鉴于此种情况, 本文详细论述了当代采矿企业选择采矿方法的原理, 选择采矿方法的具体操作步骤, 并着重分析了模糊数学在其中的运用, 推导并论证了模糊数学在其中原理作用, 最后通过实际生产中的例子, 加以具体说明, 使得模糊数学更加通俗易懂, 以期模糊数学的广泛应用。
参考文献
[1]赵彬, 王新民, 张钦礼.新桥硫铁矿采矿方法模糊选择[J].安徽理工大学学报 (自然科学版) .2008 (04) .
[2]刘智超.模糊数学在采矿方法选择上的应用[J].金属矿山, 1986 (03) .
高中数学思想和数学方法 篇5
逻辑思维是指学生对事物进行观察、分析、比较、综合、判断、推理、抽象以及概括的能力.处于高中阶段的学生，其抽象逻辑思维能力呈现为理论状态，能够用课本中的理论知识对材料进行分析和综合，并在日常的学习中不断地丰富自身的知识领域，初步了解并建立了对立统一的辩证思维.
因此，数学教师在渗透数学思想方法时，应当根据高中生的心理发展特征，在传授基础知识的同时引导学生进行实践性、探究性和创造性的讨论，缩短实践与理论之间的距离，从而有利于把具体的实物抽象化，使得思维更加开阔，在分析和思考问题时能更加全面.
提高渗透的自觉性
数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中，是有“形”的;数学思想方法却隐含在数学知识体系里，是无“形”的，并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲，讲多讲少，随意性较大，常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学生的要求是能领会多少算多少。因此，教师首先要更新观念，从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识，把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的，把数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次，要深入钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素，对于每一章、每一节，都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透。渗透哪些数学思想方法、怎么渗透、渗透到什么程度，应有一个总体设计，提出不同阶段的具体教学要求。
注重渗透的反复性
数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为此，在教学中，首先要特别强调解决问题以后的“反思”，因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法对学生来说才是易于体会、易于接受的。如通过分数和百分数应用题有规律的对比板演，指导学生小结解答这类应用题的关键，找到具体数量的对应分率，从而使学生自己体验到对应思想和化归思想。其次要注意渗透的长期性，应该看到，对学生数学思想方法的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的，而是有一个过程。数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练，才能使学生真正地有所领悟。
把握渗透的可行性
数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程才能实现。因此，必须把握好教学过程中进行数学思想方法教学的契机――概念形成的过程、结论推导的过程、方法思考的过程、思路探索的过程、规律揭示的过程等。同时，进行数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透，要有意识地、潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种.种数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。
4数学思想方法教学的具体措施
数学思想方法教学要求层次。
从“九年义务的教学大纲”中可以明确看出，在初中数学教学阶段，思想方法教学是由一定分寸的。到了高中数学教学阶段，相应提升了思想方法教学的要求层次，比如转化思想、函数和方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。对于这些思想方法教学形式，不仅仅要求能够理解，并且要求在理解前提下灵活掌握以及运用。随意降低或是提升要求层次，都会使高中数学的课堂教学效果受到影响。
数学思想方法的渗透方法。
在高中数学教学中主要使用的思想方法就是渗透方法，通俗的来讲渗透法就是在教与学数学知识过程中，将转化思想、函数和方程的结合思想、数形结合思想、分类讨论思想等数学思想方法反复讲解的过程。经过逐渐积累，使学生由浅入深，循序渐进地对数学思想方法产生一定的认识，以便学生能够独立、自主的使用。
转换观念，加强对思想方法的认识。
高中数学教师应从基本备课着手，用数学思想方法对教材进行深入研究，经过对定理、公式、概念的不断探讨、研究，挖掘出一些有关数学的思想方法，将数学方法的基本教学要求和相关数学技能、知识的教学要求一起提出。在高中数学的课堂教学中，注重对学生思想方法的培养。在数学每章小节中，加强对思想方法的归纳、总结。让学生经过思考独立地对本章知识点进行总结，以思想方法的角度了解数学知识点的本质。总之，就是要将思想方法在数学教学中渗透，使其贯穿整个课堂教学中。
在知识的总结中概括数学思想方法
数学思想方法贯穿于整个高中数学教材的各个章节中，甚至存在同一个知识内容蕴含了多种不同的数学思想方法，它以一种需要教师和学生深度挖掘的方式融于整个高中数学知识体系中，而高中学生要将这些思想化为自己的观点，需要数学教师及时进行总结和归纳.
数学思想方法与学生的数学素质 篇6
1.高中数学的思想方法
高中数学中蕴含的数学思想方法有许多,主要有五个:即整体思想、转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合与分类思想和分类讨论思想。它是高中数学知识点学习的精髓。下面结合具体例子说明在课堂教学中如何提炼这些重要的数学思想。
1.1整体思想
在研究数学问题时,将要解决的问题看作一个整体,通过研究问题的整体形式,整体结构或作整体处理以后,达到解决问题的目的,这就是高中数学的整体思想。高中数学的整体思想是一种重要的数学观念。如在高一教材中,整体思想随处可见。如函数的定义域与值域问题,三角函数的图象问题,三角函数的单调区间问题。因此在教学中教会学生在数学解题中灵活运用整体思想显得更为重要。
1.2转化与化归思想
转化思想是把一个新的(或复杂的)问题转化为已经解决的问题上来,它是数学最重要、最基本的思想方法。如数列中的许多问题都可以用转化思想,三角的一些列问题,立体几何问题,以及应用问题中的函数思想等。
1.3函数与方程思想
方程思想就是从分析问题的数量入手,适当设定未知数,运用定义,公式,性质,定理和已知条件,隐含条件,把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系,转化为方程或方程组等数学模型,从而使问题得到解决的思维方法。方程思想对解决与等量有关的数学问题十分有效。如解析几何直线与曲线的位置关系的解法,立体几何中求最值问题,数列问题等。
1.4分类思想和分类讨论思想
分类就是按照一定的标准,把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情形,然后逐个加以解决,最后予以总结的思想方法,其实质是化整为零,各个击破的转化。如含有字母系数的二次函数的最值问题,排列组合问题。
1.5数形结合思想
数形结合的思想就是在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质,或者把图形的性质转化为数量关系,从而使复杂问题简单化,抽象问题具体化。如解无理方程问题,直线与曲线方程的关系问题等。
以上各种数学思想方法在教学中注重运用,不断渗透。深入挖掘教材中的数学思想方法,用数学思想指导课堂教学,来激发学生的数学意识。
2.在数学教学中培养学生的数学意识
学生在学习过程中,面对立意新颖、情景陌生的问题,总会出现思维不畅的现象。究其原因,是缺乏理解问题的意识。因此,在教学中,应当注重培养学生的数学意识。
2.1整体意识
高中数学有函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、算法、向量、概率与统计等,它们既各自独立成体系,相互之间又有内在的联系。让学生从整体上把握这些知识,形成知识网络。在解决问题时,要善于从大处着手,小处着眼,关键处着力,可使问题柳暗花明,事半功倍。
2.2转换意识
数学活动的本质是思维转换的过程,数与式、数与形、特殊与一般、有限与无限、低维与高维等,为转换意识的培养提供了素材。在解题中,两类数学对象之间联想与沟通,有利于转换意识的形成与发展。
2.3探索意识
探索是数学的生命线,数学活动中养成多思多想,知难而进的顽强意志品质,以培养数学的探索意识。
2.4应用意识
数学是一门自然科学,它来源于人们的社会活动,应用于解决实际问题。数学的实际应用才是数学的归宿,要让学生体会到数学就在身边,逐步养成学生运用数学的意识。
2.5创新意识
数学中的创新意识是最为可贵的,创新是时代的要求,是一种对所学知识的灵活运用和驾驭基础知识之上的创新,因此要培养学生的创新意识。
3.在教学中注意培养学生的数学素质
在高中数学教学中要适时渗透数学思想方法,对进一步深化数学课堂教学极其重要,这样可避免“题海战”,减轻学生学习负担,提高学生数学能力,更是培养学生创新意识的必要条件。在平时教学中注重依据基本数学思想,在解题时注重与学生分析、探讨解题思路与策略,在解题后带领学生进行回顾,如题目中应用哪些知识概念,利用哪些基本技能,体现了哪些数学思想方法,还有哪些解法(一题多解)还有哪些题可借助本题的解法(多题一解),应用变式教学拓展学生的思维,从而提高学生的探究能力。在探索思维过程中,引导学生真正领悟隐含于数学问题中的数学思想方法,使学生真正掌握数学思想方法,并应用数学思想方法解决数学实际问题,逐步形成数学整体素质。对于习题的选择不可以条块分割、泾渭分明,应在知识网络的交汇处选题,有意识地设计隐含着数学思想方法的习题、高频率再现,精心安排,恰到好处地点拨。从而进一步提高学生的数学素质。
总之,高中数学教学中,注重学生的数学意识的培养,提高学生的数学素质是现代教育思想的宗旨。
模糊数学方法 篇7
一、分类与比较是数学思想方法渗透的起点
“分类比较思想”不是数学所特有的方法, 而是自然科学乃至社会科学研究中都用到的基本逻辑方法, 这里把它作为数学思想方法提出来, 是因为它是众多思想方法的基础, 也是学习空间与图形领域内的重要方法.分类与比较是寻找事物之间联系与区别的重要方法, 而明晰形体或形体运动的区别与联系自然离不开分类与比较这种方法, 尤其是在图形的认识和特征的学习中, 这一方法的运用非常广泛.
例如, 青岛版教材三年级上册“旋转与平移”的教学中, 我们让学生在分类与比较中, 初步认识形体运动之间的区别.上课伊始, 教师课件演示一些物体的运动, 并提出问题:“这些运动中的物体根据运动方式的不同, 可以把它们分几类?哪些是一类?为什么这样分类?”其中学生1是这样说的:“换气扇、转轴、车轮为一类, 因为它们都是转动的;传送带、汽车和大门分为一类, 因为它们都是左右移动的;升降机自己为一类, 因为它是上下移动的.”学生2是这样说的:“换气扇、转轴、车轮为一类, 都是转动的;传送带、大门、升降机、机车分为一类, 它们都是直直的移动.”这时教师又提出问题:“大家觉得这两种分法, 哪一种更为合理?”教师在学生的辨析中明确:根据运动方式的不同, 整体上可以分为两类:一类是转动的, 称之为旋转;另一类是平平的、直直的运动, 称之为平移.而第一个学生实际上把平移这一大类进行了再一次分类.
这节课是对平移和旋转的初步认识, 分类不是它的教学内容, 却是学习的重要途径与方法.在学生使用方法遇到疑难时, 通过辨析这一环节的展开, 使学生对二次分类有了进一步的理解和认识, 帮助他们掌握好分类的方法, 形成分类的思想.长此以往, 学生就会对分类有较为深刻的认识, 那么在较为复杂的情况下, 就会利用好分类的思想方法, 进行合理的分类, 从而帮助学生更加全面、准确地分析问题和解决问题.
二、转化思想是数学思想方法渗透的重点
转化思想是在教材中广泛应用的数学思想, 它是将一种形式转变为另一种形式的思想.转化思想用到几何图形中能避繁就简, 用到计算中能化难为易, 用到解决问题中能使解题思路简捷.青岛版教材特别注重对转化思想的渗透, 如平行四边形的面积公式可以转化为长方形推导出来, 圆的面积公式可以转化为长方形推导出来, 圆柱的体积可以转化成长方体推导出来, 小数乘法的计算可以转换成整数的乘法来计算, 等等.并且转化思想不仅在新授课中有体现, 在练习中也有充分的体现.转化的思想极为重要, 教师应注意挖掘, 并抓住适当的契机, 将这一思想方法渗透给学生, 学生收获的就不只是数学知识, 更主要的是一种数学素养.
三、数形结合思想是教学难题的突破点
数和形, 是数学教学研究的主要对象, 数离不开形, 形离不开数, 一方面将抽象的数学概念、复杂的数量关系借助图形使之直观化、形象化、简单化, 另一方面将复杂的形体可以用简单的数量关系表示.数形结合是沟通数与形的联系以形成数学概念或寻找解决问题途径的一种思维方式.青岛版教材中也注重了这一思想方法的渗透.其中统计图是图形描述数据的一种直观、有效的方式;借助画图的方法是帮助学生理解算理的有效方法;正比例图像也是用图形反映两种量成正比例关系的直观形式;在平面内确定物体的位置时, 也是把数和形结合起来思考的.
四、类比是数学思想方法渗透的基点
所谓类比, 就是根据两个对象的某些相同或相似的性质, 推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式.运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象 (已经学过的知识或已有的方法经验) .要进行类比, 需要有一定的知识、方法的积累.类比的关键在于沟通不同维度知识的内在联系, 它多发生在低维度到高维度知识的提升之处, 对学生来说, 类比方法的每一次使用都是思维的一次跨越.如:在青岛版教材六年级上册第三单元“比和比值”的教学中, 从两个同类量的相互关系、不同类量的相除关系扩展到两个一般数量之间的相除关系, 引导出“两个数相除, 又叫做两个数的比”.在除法的旧知识上寻找比的知识生长点, 再通过分数之间的对比, 从而在比、除法、分数之间建立起牢固的联系, 形成知识网络.在教学“比的基本性质”时, 上课伊始, 教师引导学生先复习分数、除法、比之间的关系, 然后再问:“我们学过分数的基本性质, 比有没有这样的性质呢?”学生大胆猜想, 紧接着进行验证, 将比的前项后项同时乘或除以相同的数 (零除外) , 看看比值的变化情况.学生在回答问题的时候已经应用了类比的数学思想, 感受了数学知识的层次性、连续性、衔接性.在这里学生学到的不仅仅是知识, 更重要的智慧———用以前的方法用来解决新问题, 这些恰是学生在数学学习中应该体验到的.类比思想不仅使数学知识容易理解, 而且使公式的记忆也变得顺水推舟, 自然和简洁.
模糊数学方法 篇8
一、初中数学中蕴含的数学思想方法
数学中蕴含着丰富的数学思想方法, 而在初中阶段最基本的数学思想方法是数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、方程思想、函数思想等, 它们产生于数学知识, 而数学知识又蕴含着数学思想, 两者相辅相成, 密不可分.
1. 数形结合思想
“数”和“形”是数学中最基本的两个概念, 数学家华罗庚先生说:“数无形时不直观, 形无数时难入微.”这句话直观、形象、生动、简练地指出了“形”和“数”的互相依赖、相互制约的辩证关系.因此, 在研究数学问题的数量关系时, 常常联系到图形;在研究图形时常常将其数量化, 使数量关系和对应的图形结合起来, 这就是“数形结合思想”, 它是连接“数”与“形”的“桥”.如完全平方公式“ (a+b) 2=a2+2ab+b2”, 数形结合把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合, 将抽象思维和形象思维结合, 通过“以形助数”或“以数解形”, 可使复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 从而达到优化解题途径的目的.
2. 分类讨论思想
分类讨论思想也是研究数学问题的一种重要思想方法, 它始终贯穿于整个数学教学中, 它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性, 使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题, 学生只有掌握了分类的思想方法, 在解题中才不会出现漏解的情况.在教学中需要启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类, 帮助他们掌握好分类的方法与原则, 形成分类的思想, 如“有理数加法”法则的得出需要分类;判断“-a一定小于零吗”需要分类;研究实数的性质、三角形的形状、方程的类型等都需要分类;这样在较为复杂的情况下, 利用分类思想正确地确定标准, 做到既不重复也不遗漏, 使看问题更加全面、准确.
3. 转化与化归思想
转化与化归思想贯穿于初中数学教学的始终, 贯穿于解题过程的始终, 它是解决数学问题最重要的、应用最广的一种数学思想, 如化繁为简、化难为易、化未知为已知、化陌生为熟悉、化抽象为直观等, 在数学中无时不有, 无处不在.因此, 广东省每年的中考试卷都很重视对“转化与化归思想”的考查.例如, 2005年广东省中考试卷的第12题:解方程, 解分式方程的指导思想是将分式方程转化为整式方程, 转化的主要途径是去分母.同时要注意, 转化后的整式方程与原分式方程不一定是同解方程, 要记得验根.
4. 函数思想
辩证唯物主义认为, 世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中, 因此, 数学新课程很重视符号表示与换元思想、集合与对应思想、函数思想的教学, 已经渗透到初中的各个年级的教学内容之中.广东省的中考一向十分重视对“函数思想”的考查, 最近四年中考压轴题都是通过对函数问题的研究, 将静态的知识模式演变为动态的讨论, 赋予了函数的实质, 发展了函数思想.
二、在数学课堂教学中渗透数学思想方法的途径
数学思想方法往往是以数学知识为载体, 以隐蔽的形式蕴含于课本的具体内容之中, 这就要求我们教师首先应当要弄清教材中所反映的数学思想方法以及它与数学相关知识之间的联系.通过课堂教学将数学思想方法进行有效地挖掘和揭示, 化隐为显, 以促使学生达到真正地领会和掌握数学思想和方法.
1. 在概念教学中渗透数学思想方法
数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映, 概念教学不应只是简单地给出定义, 而要引导学生感受及领悟隐含于概念形成之中的数学思想.比如绝对值概念的教学, 初一代数是直接给出绝对值的描述性定义 (正数的绝对值取它的本身, 负数的绝对值取它的相反数, 零的绝对值还是零) , 学生往往无法透彻理解这一概念只能生搬硬套, 如何用我们刚刚所学过的数轴直观形象地揭示“绝对值”这个概念的内涵, 从而能使学生更透彻、更全面地理解这一概念, 对后续课程中进一步解决有关绝对值的方程和不等式问题, 无疑是有益的.
2. 在公式和定理的探求中挖掘数学思想方法
数学家华罗庚说过:“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料, 不要只看书上的结论.”数学定理、公式、法则等结论, 都是具体的判断, 在定理公式的教学中不要过早给出结论, 而应引导学生参与结论的探索、发现、推导过程, 搞清其中的因果关系, 领悟它与其他知识的关系, 让学生亲身体验创造性思维活动中所经历和应用到的数学思想和方法.如在圆周角定理从度数关系的发现到证明体现了特殊到一般、分类讨论、转化与化归的数学思想方法.在教学中我们可依次提出如下富有挑战性的问题让学生思考: (1) 我们已经知道圆心角的度数定理, 我们不禁要问:圆周角的度数是否与圆心角的度数存在某种关系?圆心角的顶点就是圆心!就圆心而言它与圆周角的边的位置关系有几种可能? (2) 让我们先考察特殊的情况下二者之间有何度量关系? (3) 其他两种情况有必要另起炉灶另外重新证明吗?如何转化为前述的特殊情况给予证明? (4) 上述的证明是否完整?为什么?
显然, 由于以上引导展示了探索问题的整个思维过程所应用的数学思想方法, 因而较好地发挥了定理探讨课型在数学思想方法应用上的教育和示范功能.
3. 在问题解决过程中强化数学思想方法
许多教师往往产生这样的困惑:题目讲得不少, 但学生总是停留在模仿型解题的水平上, 只要条件稍稍一变则不知所措, 学生一直不能形成较强的解题能力, 更谈不上创新能力的形成.究其原因就在于教师在教学中仅仅是就题论题, 殊不知授之以“渔”比授之以“鱼”更为重要.因此, 在数学问题的探索教学中, 更重要的是让学生真正领悟数学问题的数学思想方法.如在多边形的内角和的求法的教学中, 其教学结构可设计成“设问—猜想—论证—反思”四个环节.首先从简单的多边形———四边形、五边形、六边形开始, 在特殊的情况求得问题的解决, 再把解题中得出的思想方法运用到解决一般多边形的过程中去.这种从特殊到一般的探索数学问题的数学思想方法是解决数学问题的一种很有用的方法, 它对我们今后的解题也会很有帮助的, 我们要逐步掌握它.
4. 在归纳总结中逐步内化数学思想方法
数学思想方法贯穿在整个中学数学教材的知识点中, 以内隐的方式融于数学知识体系.要使学生把这种思想内化成自己的观点, 应用它去解决问题, 就要把各种知识所表现出来的数学思想适时作出归纳概括.我们教师应把概括数学思想方法纳入教学计划中, 有目的、有步骤地引导学生参与数学思想的提炼概括过程, 特别是章节复习时在对知识复习的同时, 将统领知识的数学思想方法概括出来, 增强学生对数学思想方法的应用意识, 从而有利于学生更透彻地理解所学的知识, 提高独立分析、解决问题的能力.
总之, 数学思想方法是数学中最精彩、最本质、最有价值的东西.因此, 我们教师在平时的教学中渗透、提炼数学思想方法, 将数学知识真正建立在数学思想方法基础之上, 用现代数学的思想方法指导学生掌握数学的核心内容, 并且能将知识和方法用于今后的工作和生活之中, 从而达到培养学生的数学素养的目的.
参考文献
初中数学常见的数学思想和方法 篇9
1. 通过游戏丰富学生的想象力
初中阶段以学生独立思考、老师分析指点为主, 这不仅给学生带来新鲜感, 还让学生在独立解决问题后获得自豪感。此外, “起始教学”就意味着新的起点。学生普遍有学好功课的决心和信心, 即使学困生也有“而今迈步从头越”的决心, 因而教师应该利用学生的学习积极性, 抓住机遇, 最大限度地保护和激发学生的学习兴趣和求知欲。
在游戏中学生处于高度兴奋状态, 思维速度很快, 精神高度集中, 从而激发“潜知”, 在思考问题的同时产生快速的判断和丰富的想象, 生成直觉思维的结果。这样既能提高学生的学习兴趣, 又使学生受到良好的数学思想方法的熏陶。很多心理学家认为直觉思维是一种潜意识行为, 是创造性思维积极活跃的一种表现。它既是发明创造的先头部队, 又是百思不解之后瞬间获得的硕果, 在发明创造的过程中具有很重要的地位。阿基米德在跳入澡缸的一瞬间, 惊奇地发现澡缸溢出的水的体积和他身体入水部分的体积同样大, 于是悟出著名的比重定律。当达尔文在察觉到植物幼苗的顶端朝太阳照射的方向弯曲这一现象时, 就猜想到幼苗的顶端一定含有某种物质, 在阳光照射下跑向背光一侧, 后经证明这种物质就是植物生长素。
2. 数学的美是激发直觉思维的诱因
美是人类通过实践活动创造出来的产物。通常我们所说的美包括自然美、社会美, 以及在此基础上产生的艺术美、科学美等。数学美是科学美的核心, 是自然美的客观反映。“感人心者莫先乎情”, 教师应加强与学生情感的交流, 增进与学生的友谊, 关心爱护他们, 热情地帮助他们解决学习和生活中的困难, 做学生的知心朋友, 使学生对老师有较强的责任感、亲近感, 并自然而然地过渡到喜欢你所教的数学, 达到“亲其师, 信其道”的效果。
数学美区别于其他美在于它具有一种蕴涵美。老师们都有这样的感觉, 相当多的同学对体美音感兴趣, 而对数学缺乏兴趣。我认为原因有两个:一是体美音的美是外显的, 这种美人们比较容易感受、认知和理解;虽然数学中的美也有一些表现在数学对象的外表, 如对称的图形、精美的公式、奇妙的解法等, 但总体来看数学中的美还是深藏在它的基本结构中, 学生往往难以感受、认知和理解, 这同时也是数学有别于其他学科的重要特征之一。二是我们的中学数学教材太过强调逻辑推理, 过于重视逻辑体系, 忽视了数学美感和数学直觉的作用, 使得学生将数学与逻辑等同起来, 过于注重数学的逻辑性而忽视数学美, 学习时就会觉得枯燥无味缺乏兴趣。
3. 美的意识能唤醒数学思维
从古至今, 数学美感的审视与挖掘, 都是直觉思维的重要源泉。数学上的许多发现和创造无论从宏观还是微观上看几乎都遵循美的创造规律。数学美集中表现在数学本身的简单性、和谐性、对称性、相似性、奇异性等。因此, 在数学教学中让学生领略和体验数学的内在美, 提高审美意识, 是发展直觉思维的重要一环。美感和美的意识是数学直觉的本质特征。
世界上万事万物都是相互联系、不可分割的, 数学概念、公式、定理及法则等也是相互联系有机统一的。数学知识的部分与部分和部分与整体之间的相互联系体现了数学美的统一性。例如只有当学生知道了正方形是特殊的长方形, 长方形又是特殊的平行四边形, 平行四边形又是特殊的四边形之后, 才对四边形有了一个比较完整的认识。在教学生掌握了椭圆、双曲线、抛物线的定义和概念之后, 再总结出圆锥曲线的统一定义, 不仅加深了学生对各种曲线的区别与联系的认识, 更让学生体会到了数学的统一美。
我们还要善于揭示数学中的统一美、对称美、奇异美, 帮助学生更好地构建数学知识体系, 启发学生学会用辩证唯物主义的思想, 用运动、发展、变化的观点看待貌似静止、孤立的数学知识系统。古代哲学家、数学家普洛克拉斯说:“哪里有数, 哪里就有美。”在学习过程中, 我们只有积极探索、善于发现才能感受到美的存在, 体验到美所带来的愉悦感, 并深入其中欣赏美、创造美。数学的美, 更需要我们用智慧、用心去挖掘, 这样才能体会到它深邃的思想及其对人类思维的深刻影响。
4. 结语
在初中数学中不少学生容易急躁, 也有的贪多求快, 囫囵吞枣, 取得一点小小成绩就骄傲自大, 遇到一点小小挫折就一蹶不振, 对数学“谈虎色变”。这就对初中数学教学提出了严峻的挑战, 所以初中阶段数学教学中教会学生认识数学思想和掌握数学方法显得尤为重要。
摘要：数学教学中一直存在着这样的问题:重逻辑少直观、多机械训练少创新思维等。由此导致的一些弊端已经逐步显现出来, 而这些已经引起不少教育专家和教育工作者的重视。本文主要分析初中数学常见的数学思想和方法。
关键词：初中数学,思想,方法
参考文献
[1]郑毓信.数学教育:从理论到实践, 21世纪数学教育探索[M].上海:上海教育出版社, 2005:156-157.
[2]叶奕乾, 何存道, 梁宁建.普通心理学[M].上海:华东师范大学出版社, 2010:106-108.
[3]吴宝莹.数学解题中的直觉思维[J].数学教学研究, 2009, (10) :87-88.
让数学思想引领数学教学方法 篇10
一、提高认识、改变观念
数学思想方法是小学生理解数学、认识数学和应用数学必不可少的。让小学生初步理解一些数学思想, 并运用数学思想分析和解决问题, 有利于开阔小学生的视野, 认识数学知识之间的联系, 有意识地理解和运用数学解决问题。在小学数学教学中有意识地渗透一些基本数学思想方法是提高小学生数学能力和思维品质的重要手段, 是数学教学中实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要活动。因为数学教学内容始终反映着显形的数学知识 (概念、定理、公式、性质等) 和隐形的数学知识 (数学思想方法) 这两方面。教学中不仅应当注意显形的数学知识的传授, 也应注意数学思想方法的训练和培养。只有注意思想方法, 才能把课讲活、讲懂、讲深。“讲活”, 就可让学生看到数学知识的来龙去脉, 而不是死的数学知识;“讲懂”就是让学生真正理解有关的数学内容, 而不是囫囵吞枣, 死记硬背;“讲深”是指学生不仅掌握具体的数学知识, 而且也能感受、领会、形成、运用内在的思想方法。只有方法的掌握, 思想的形成, 才能真正地提高学生的数学能力并受益终生, 正所谓“授之以鱼, 不如授之以渔”。
二、把握教材、渗透落实
义务教育实验教材在编排上更显得直观、浅显、易懂, 这些形象直观的数学知识, 蕴含许多与高等数学相通的数学思想方法。这些数学思想方法呈隐蔽的形式, 蕴含在教材中, 渗透在学生获取知识和解决问题的过程中。所以, 教师在使用教材时, 要认真分析教材, 充分挖掘潜藏教材里的隐性资源, 把握蕴含其中的数学思想方法, 对教材进行再创造, 有意识地引导学生经历知识的形成过程, 让学生在学习的过程中发现知识背后蕴含的数学思想。
1. 在制定目标时, 明确数学思想方法。
教师在使用教材、分析教材时要深层次地分析、研究, 充分挖掘、把握教材中蕴涵的隐性资源, 有意识地从教学目标的确定、教学过程的预设、教学效果的落实等方面来体现数学思想方法, 实现对教材的再思考、再创造。如在解答一些比较复杂的分数应用题时, 例:一杯牛奶第一次喝掉二分之一杯, 第二次又喝掉剩下的二分之一, 像这样每次都喝掉上一次剩下的二分之一, 五次一共喝了这杯牛奶的几分之几?这道题如果用分数来解答是也可以通过数形结合的思想方法, 先画出一个正方形, 让学生能快速地直观地得出要解决的问题。还可以用单位“1”减去余下的部分, 1-1/32, 这里就又用到了转化的思想, 所以, 教师在钻研教材、分析教材时, 要充分地挖掘, 自觉地渗透, 让数学思想方法在数学课堂中得以自觉的落实和体现。
2. 在探究新知时, 渗透数学思想方法。
学生在学习过程中, 教师要善于引导学生积极主动地经历知识的形成过程, 让学生在观察、实验、分析、归纳、抽象、概括的过程中, 发现潜藏其中的思想方法, 有利于学生自觉地理清解题思路, 探究获取知识的方法, 实现知识的正迁移。如小学数学第十一册的《解决问题的策略———假设》, 教材选择的是学生能够接受的素材创设问题情境, 通过让学生主动经历探索过程式帮助学生积累思想方法, 在教学中着眼于帮助学生体会数学思想积累数学方法, 感受解题策略。当学生审题后, 说说得到哪些信息?然后让学生讨论用什么策略解决?生:用算一算、凑一凑的方法, 教师顺着学生的表述用表格列出大船数、小船数、总人数和42人等项, 进行比较:1、9、1×5+9×3=32、少了10人;3、7、3×5+3×7=36、少了6人;5、5、5×5+3×5=40、少了2人;6、4、5×6+3×4=42、正好。学生发现:从第1只大船、9只小船少了10人可以看出, 还有10人没有坐到船, 那么把一只小船替换成大船就可以多坐2人, 10÷2=5只, 说明要把5只小船替换成大船, 所以大船就是6只。这个环节把重点定位在感受替换的策略, 开阔学生的思路, 通过问题“你还有不同的想法吗?”促使学生寻找不同的解题策略。假设的策略主要是运用画图, 借助直观图画与数学思考相结合, 帮助学生在经历对比之后能自主选择和运用较为简单, 直接的方法解决实际问题。把学生真正看成是学习的主体, 并有机地、自然地结合数学知识进行, 何做到有意识、有目的、有计划地将数学思想方法渗透给学生。
3. 在运用知识时, 体验数学思想方法。
数学教学中要加强学生的应用意识, 鼓励学生运用已学的数学思想方法去发现、分析和解决生活中的实际问题, 引导学生加以抽象、概括, 建立数学模型, 探求解决问题的一般方法, 培养学生自觉的应用意识。如:在“空间与图形”领域的教学中渗透函数思想。在学习了长方体与正方形体的表面积和体积后我们可以设计“表面积和体积”的练习课。课上设计这样的环节:用12个棱长是1厘米长小正方体拼成一个长方体, 有多少种不同的拼法, 拼成的体积各是多少?表面积最大是多少?最小是多少?并按照序号、长cm、宽cm、高cm、表面积cm2、体积cm3填写表格。学生通过讨论得出四种: (1) 长12厘米、宽1厘米、高1厘米; (2) 长6厘米、宽2厘米、高1厘米; (3) 长4厘米、宽3厘米、高1厘米; (4) 长3厘米、宽2厘米、高2厘米;这四种长方体, 体积都是12立方厘米;表面积是第一种最大, 第四种最小。在研究的过程中学生会渐渐地认识到;12个小正方体的个数是不变的, 也就是所拼成的长方体的体积是不变的, 如果所拼成的长方体的形状越像一个正方体时, 表面积是最小的。这样就把“静态”的学习变成了“动态”的研究, 而这种由“静”到“动”本身就是函数的本质。因此说, 函数思想使学生学习的过程“动”了起来, 使学生的学习主动起来, 这样也更有利于渗透函数域的概念和极值的概念。
4. 在总结延伸时, 领悟数学思想方法。
模糊数学方法 篇11
一、初中数学中蕴含的数学思想方法
数学中蕴含着丰富的数学思想方法,而在初中阶段最基本的数学思想方法是数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想、方程思想、函数思想等,它们产生于数学知识,而数学知识又蕴含着数学思想,两者相辅相成,密不可分.
1.数形结合思想
“数”和“形”是数学中最基本的两个概念,数学家华罗庚先生说:“数无形时不直观,形无数时难入微.”这句话直观、形象、生动、简练地指出了“形”和“数”的互相依赖、相互制约的辩证关系.因此,在研究数学问题的数量关系时,常常联系到图形;在研究图形时常常将其数量化,使数量关系和对应的图形结合起来,这就是“数形结合思想”,它是连接“数”与“形”的“桥”.如完全平方公式“(a+b)2=a2+2ab+b2”,数形结合把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合,将抽象思维和形象思维结合,通过“以形助数”或“以数解形”,可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而达到优化解题途径的目的.
2.分类讨论思想
分类讨论思想也是研究数学问题的一种重要思想方法,它始终贯穿于整个数学教学中,它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性,使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题,学生只有掌握了分类的思想方法,在解题中才不会出现漏解的情况.在教学中需要启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类,帮助他们掌握好分类的方法与原则,形成分类的思想,如“有理数加法”法则的得出需要分类;判断“-a一定小于零吗”需要分类;研究实数的性质、三角形的形状、方程的类型等都需要分类;这样在较为复杂的情况下,利用分类思想正确地确定标准,做到既不重复也不遗漏,使看问题更加全面、准确.
3.转化与化归思想
转化与化归思想贯穿于初中数学教学的始终,贯穿于解题过程的始终,它是解决数学问题最重要的、应用最广的一种数学思想,如化繁为简、化难为易、化未知为已知、化陌生为熟悉、化抽象为直观等,在数学中无时不有,无处不在.因此,广东省每年的中考试卷都很重视对“转化与化归思想”的考查.例如,2005年广东省中考试卷的第12题:解方程x+1x-2+1x+1=1,解分式方程的指导思想是将分式方程转化为整式方程,转化的主要途径是去分母.同时要注意,转化后的整式方程与原分式方程不一定是同解方程,要记得验根.
4.函数思想
辩证唯物主义认为,世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中,因此,数学新课程很重视符号表示与换元思想、集合与对应思想、函数思想的教学,已经渗透到初中的各个年级的教学内容之中.广东省的中考一向十分重视对“函数思想”的考查,最近四年中考压轴题都是通过对函数问题的研究,将静态的知识模式演变为动态的讨论,赋予了函数的实质,发展了函数思想.
二、在数学课堂教学中渗透数学思想方法的途径
数学思想方法往往是以数学知识为载体,以隐蔽的形式蕴含于课本的具体内容之中,这就要求我们教师首先应当要弄清教材中所反映的数学思想方法以及它与数学相关知识之间的联系.通过课堂教学将数学思想方法进行有效地挖掘和揭示,化隐为显,以促使学生达到真正地领会和掌握数学思想和方法.
1.在概念教学中渗透数学思想方法
数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映,概念教学不应只是简单地给出定义,而要引导学生感受及领悟隐含于概念形成之中的数学思想.比如绝对值概念的教学,初一代数是直接给出绝对值的描述性定义(正数的绝对值取它的本身,负数的绝对值取它的相反数,零的绝对值还是零),学生往往无法透彻理解这一概念只能生搬硬套,如何用我们刚刚所学过的数轴直观形象地揭示“绝对值”这个概念的内涵,从而能使学生更透彻、更全面地理解这一概念,对后续课程中进一步解决有关绝对值的方程和不等式问题,无疑是有益的.
2.在公式和定理的探求中挖掘数学思想方法
数学家华罗庚说过:“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料,不要只看书上的结论.”数学定理、公式、法则等结论,都是具体的判断,在定理公式的教学中不要过早给出结论,而应引导学生参与结论的探索、发现、推导过程,搞清其中的因果关系,领悟它与其他知识的关系,让学生亲身体验创造性思维活动中所经历和应用到的数学思想和方法.如在圆周角定理从度数关系的发现到证明体现了特殊到一般、分类讨论、转化与化归的数学思想方法.在教学中我们可依次提出如下富有挑战性的问题让学生思考:(1)我们已经知道圆心角的度数定理,我们不禁要问:圆周角的度数是否与圆心角的度数存在某种关系?圆心角的顶点就是圆心!就圆心而言它与圆周角的边的位置关系有几种可能?(2)让我们先考察特殊的情况下二者之间有何度量关系?(3)其他两种情况有必要另起炉灶另外重新证明吗?如何转化为前述的特殊情况给予证明?(4)上述的证明是否完整?为什么?
显然,由于以上引导展示了探索问题的整个思维过程所应用的数学思想方法,因而较好地发挥了定理探讨课型在数学思想方法应用上的教育和示范功能.
3.在问题解决过程中强化数学思想方法
许多教师往往产生这样的困惑:题目讲得不少,但学生总是停留在模仿型解题的水平上,只要条件稍稍一变则不知所措,学生一直不能形成较强的解题能力,更谈不上创新能力的形成.究其原因就在于教师在教学中仅仅是就题论题,殊不知授之以“渔”比授之以“鱼”更为重要.因此,在数学问题的探索教学中,更重要的是让学生真正领悟数学问题的数学思想方法.如在多边形的内角和的求法的教学中,其教学结构可设计成“设问—猜想—论证—反思”四个环节.首先从简单的多边形——四边形、五边形、六边形开始,在特殊的情况求得问题的解决,再把解题中得出的思想方法运用到解决一般多边形的过程中去.这种从特殊到一般的探索数学问题的数学思想方法是解决数学问题的一种很有用的方法,它对我们今后的解题也会很有帮助的,我们要逐步掌握它.
4.在归纳总结中逐步内化数学思想方法
数学思想方法贯穿在整个中学数学教材的知识点中,以内隐的方式融于数学知识体系.要使学生把这种思想内化成自己的观点,应用它去解决问题,就要把各种知识所表现出来的数学思想适时作出归纳概括.我们教师应把概括数学思想方法纳入教学计划中,有目的、有步骤地引导学生参与数学思想的提炼概括过程,特别是章节复习时在对知识复习的同时,将统领知识的数学思想方法概括出来,增强学生对数学思想方法的应用意识,从而有利于学生更透彻地理解所学的知识,提高独立分析、解决问题的能力.
总之,数学思想方法是数学中最精彩、最本质、最有价值的东西.因此,我们教师在平时的教学中渗透、提炼数学思想方法,将数学知识真正建立在数学思想方法基础之上,用现代数学的思想方法指导学生掌握数学的核心内容,并且能将知识和方法用于今后的工作和生活之中,从而达到培养学生的数学素养的目的.
参考文献
史宁中,孔凡哲.方程思想及其课程教学设计[J].课程•教材•教法,2004(9).
模糊数学方法 篇12
1 中介目标:货币供应量
货币政策中介目标是中央银行在实现最终目标的过程中, 制定的一系列定期的、数量化的、较精确的货币经济变量。根据世界各国中央银行的传统操作, 货币政策中介目标一般包括利率、信贷规模和货币供应量等。利率和信贷规模不宜作为我国目前货币政策中介目标。我国目前尚未形成一套合理的利率决定机制, 市场利率难以真正发挥作用, 利率并未反映资金的实际供求状况, 中央银行无法通过操纵短期基准利率来影响长期市场利率, 并且由于金融市场无论在深度和广度上均未形成规模, 也使利率在金融调控中的纽带作用被弱化, 无法真正传递金融调控意图和反映资金市场的真实状况, 因此, 利率不是我国当前货币政策的理想中介目标。市场经济体制的逐步完善和中央银行间接调控体系的健全, 中央银行主要通过市场供求关系, 运用资产组合调节金融和经济, 行政调控逐渐被取代。过去几年的数据表明, 虽然银行信贷规模得到控制, 但资金的扩张仍在持续;随着我国非国有商业银行和非银行金融机构的迅速发展, 单一的国家银行体制已被多种金融机构所取代, 国家对信贷规模的干预能力和统计工作越发困难;对外开放的不断扩大和直接融资的迅速发展, 资产结构产生较大变化, 只监测银行贷款已不能全面反映社会的货币支付能力。货币供应量是我国当前货币政策中介目标的理想选择。由于直接融资市场的迅猛发展, 货币从银行体系纷纷流向直接融资市场, 大量手持现金和居民储蓄转变成股票、债券等金融资产, 企业存款大增, 货币资产结构开始发生变化, 以及同业拆借市场的迅速发展, 信贷规模调控漏洞不断, 货币供应量大量增加。
2 货币需求函数与货币流通速度
货币余额需求与其决定因素之间的关系是宏观经济行为的基本内容, 也是政策制定者关心的问题。货币需求的变动是货币政策调节货币供给的基本依据, 稳定的货币需求函数长期以来被看作政策实施中运用货币总量的先决条件。
2.1 货币需求理论
凯恩斯的货币需求理论把人们对货币的需求分为交易动机、预防动机和投机动机三类。货币需求的交易动机是指企业或个人为了应付日常交易, 而必须在一段时间内保持一定数量的货币, 这一货币需求主要与收入成正比;货币需求的预防动机是指人们为了应付突然发生的意外而持有的一定数量的货币, 凯恩斯认为这一货币需求也主要由收入的多少决定;投机动机是指人们为了在未来的某一适当时机进行投机活动而保持一定数量的货币, 这一货币动机与利率成反比。综合交易、预防和投机货币需求, 货币需求函数可以表示为:
其中表示货币需求, Y为收入水平, i为利率水平。
以弗里德曼为代表的货币主义学派认为, 货币是一种资产或一种持有财富的方式, 货币需求理论是资本理论的一个特殊命题。个人财富是决定货币需求的主要因素, 恒久性收入是代表财富的主要变量。另外, 持有货币而放弃其他资产所提供的劳务构成了持有货币的机会成本, 货币替代品 (如债券、股票和实物资产等) 的收益就成了具有代表性的持有货币的机会成本, 从而得到货币需求函数:
因此, 按照凯恩斯主义的观点, 由于货币需求函数不稳定, 并且利率弹性不大, 货币政策不能有效地通过影响利率对实物经济产生影响。货币学派则认为货币需求是稳定的, 因而货币管理部门可以通过控制货币供给来影响收入、就业和物价。
2.2 货币流通速度下降的解释
基于货币数量论, 实际货币余额需求与货币流通速度的乘积等于实际收入:
其中, 为实际货币余额需求, Y为实际收入水平, V为货币流通速度。货币流通速度可以表示为:
在货币供求均衡的条件下, 真实货币余额需求Ma应处于真实货币供给水平上, 为给定的货币供给。再以实际GDP表示实际收入水平Y, 广义货币M2表示货币供给量, 则货币流通速度又可表示为:
从货币流通速度的函数关系式中可以看出, 实际收入Y和利率水平i是影响货币流通速度的两个主要因素。从上式来看, 利率水平i的上升会引起货币需求L下降, 从而导致货币流通速度V随之下降, 即货币流通速度与利率水平负相关。但是, 货币流通速度与实际收入之间的关系是不能直接确定的, 这是因为, 实际收入Y对货币流通速度V的影响依赖于货币需求的收入弹性, 当货币需求弹性等于1时, 两者同比例变化;当货币需求弹性大于1时, 货币流通速度随着实际收入增加而下降;当货币需求弹性小于1时, 货币流通速度随着实际收入增加而上升。
3 案例分析
下面用一个简单的货币流通模型来说明货币需求公式。
假设有炼油厂A、机器厂B、钢铁厂C这三家产业链上的工厂, 炼油厂A为满足消费者的汽油需求生产汽油, 预先从银行贷款购买机器厂B生产的机器;机器厂B为炼油厂A生产机器, 预先从银行贷款购买钢铁厂C的钢材。钢铁厂C为流动资金向银行贷款, 预先生产了钢材。因为这三家生产厂不可能发生同一时点上的支付, 因此, 银行将消费者存在银行准备用于支付购汽油的存款同时借给了A、B两厂家, 钢铁厂C的短期流动资金贷款从银行的流转货币中贷出。此时银行手中已没有货币支付手段。
在第一个时点, 当机器厂B获得银行贷款具有支付手段时, 立即用贷款支付购买钢材款。此时, 钢铁厂卖出了钢材实现了从商品到货币的循环, 获得增的GDPc量货币, 同时也获得了抵偿成本的货币, 钢材厂这时偿还向银行的原属于成本开支的借款。银行收到还贷款, 同时获得支付手段货币C。
在第二个时点, 当炼油厂A用银行贷款支付购买机器款时, 银行在原贷款时点上并没有将此贷款的支付手段给炼油厂, 但现炼油厂需要贷款的支付手段时, 刚好此时银行已获得支付手段货币C, 银行用货币C完成支付, 机器厂B实现了所生产的商品到货币的循环, 获得增值的GDPb量货币, 同时也获得了抵偿成本的货币, 机器厂这时偿还向银行的原成本借款。银行收到还贷款, 同时获得支付手段货币B。
在第三个时点, 当消费者需要取出自己的工资存款用于支付购买汽油时, 银行在消费者原存款时点上曾将此款贷出, 在刚贷出的那个时点上并没有货币。现在刚好已获得支付手段货币B, 银行用货币B偿还消费者的存款, 消费者用于购买汽油。从而, 炼油厂A实现了所生产的商品到货币的循环, 获得增值的GDPa量货币, 同时也获得了抵偿成本的货币, 炼油厂这时偿还向银行的原成本借款。银行收到还贷款, 此款返回银行的流转货币库。
如果消费者购买行为不与银行发生关系, 例如, 直接用现金向粮食厂商购买粮食, 粮食厂商实现了所生产的商品到货币的循环, 获得增值的GDPx量货币持有, 同样要进入GDP总值。
因此, 从这个模型可以看出:
(1) 生产过程中的各厂家产值, 每个厂家都是通过出售商品后的货币持有, 积累在各自的GDPa+GDPb+FGDPc+……中。 (2) 当年的国民总产值GDP是最低的货币需求满足条件, 否则, 就有部分厂家所生产的商品不能实现价值。 (3) 货币在A、B、C三厂家通过银行贷款在不同时点上流通了三次, 但都是由同一笔工资存款所派生的货币完成的。这说明, 实现GDP的价值生产过程, 其中所发生的中间生产过程中的货币流通, 可以通过派生货币提高货币流通速度的方式实现。资本的货币持有是构成基础货币的一大组成部分。但是, 现实中资本的资产形式, 有由固定资产所构成的实物资本, 也有由流动资产和金融资产所构成的货币资本, 资本的货币持有并不是唯一持有形式。因此, 基础货币并不等于GDP, 而应该是GDP/h值。 (4) 货币M2的数量大小是受生产的中间环节中货币流通次数的影响, 由于有银行的价值链保证, 其数量的增加并不会造成通货膨胀, 但人为地控制压缩货币M2数量却会引起生产链条的中断。
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