模糊数学的简单应用

2024-07-04

模糊数学的简单应用（精选12篇）

模糊数学的简单应用篇1

我们在初中的学习中, 对二次函数做了基本的研究, 知道对应的解析式、图象, 很难从本质上加以理解。进入高中以后, 要对二次函数图像以及单调性、奇偶性、有界性灵活应用, 以及与基本初等函数的综合应用, 对二次函数还需再深入学习。

一、首先应该清楚二次函数基础内容

常用的三种形态 (1) 一般式:f (x) =ax2+bx+c (a≠0) ;

(2) 顶点式:f (x) =a (x-h) 2+k (a≠0) ; (3) 两根式:f (x) =a (x-x1) (x-x2)

二次函数的性质由函数式中的参数决定, 为了牢固二次函数的性质;可借助函数图像加深理解和记忆。求对称轴来确定大致位置;接着确定开口方向, 当a>0时, 抛物线的开口向上;当a<0时抛物线的开口向下;抛物线与x轴的位置关系;当且仅当判别式△>0时, 抛物线与x轴产生两个交点;当且仅当判别式△=0时, 抛物线与x轴相切;当且仅当判别式△<0时, 无交点。以二次函数的图像为直观背景, 二次函数的性质 (单调性, 奇偶性, 最大值, 最小值) 一目了然, 容易记住, 便于应用。

例1:已知某二次函数图像顶点 (-2, 1) 且经过 (1, 0) , 求二次函数解析式

解:设y=a (x+2) 2+1 (注:y=a (x-h) 2+k中h是顶点横坐标, k是顶点纵坐标)

由于二次函数图像过点 (1, 0)

因此a*32+1=0解得a=-1/9

所以所求作二次函数解析式为y=-1/9 (x+2) 2+1

如果已知二次函数一般形式与x轴的一个交点, 则可以利用根与系数的关系求出另一个交点

例2:y=x2+4x+3与x轴的一个交点是 (-1, 0) , 求其与x轴的另一交点坐标

解:由根与系数的关系得:

所以与x轴的另一交点坐标为 (-3, 0)

另外将y=ax2+bx+c向右平移2个单位可得

再向下平移2个单位得:y=a (x-2) 2+b (x-2) +c-2

二、二次函数在高中数学中的简单应用

(一) 一元二次不等式与一元二次函数的关系

解一元二次不等式的步骤:求根—画图—找解, 而关键的画图, 画的就是对应二次函数的图象, 如果要函数值大于0的部分即取x轴上方图象所对应的x的取值范围, 如果要函数值小于0的部分即取x轴下方图象所对应的x的取值范围, 即所对应的不等式解集。

(二) 与函数的定义域、值域有关的求解问题

例3:求函数y=x²-2ax+1在 (0, 2) 上的值域

解先求函数对称轴为直线=a然后讨论

(1) 当0≤a≤2时函数最小值为1-a²

当0.5≤a≤2时函数最大值为1。即值域为[1-a², 1)

当0≤a<0.5时函数最大值为5-8a。即值域为[1-a², 5-8a)

(2) 当a>2时函数在 (0, 2) 上单调递减, 值域为 (5-8a, 1)

(3) 当a<0时函数在 (0, 2) 上单调递增, 值域为 (1, 5-8a)

例4:设函数f (x) =lg (x2+ax+1)

(1) 若函数定义域为R, 求a的取值范围。 (2) 若函数值域为R, 求a的取值范围。

解本题需要揣摩两个问题的意思, 第一问等价于不等式x2+ax+1>0在R上恒成立, 即△<0。第二问等价于x2+ax+1>0在R上有解, 即△≥0。

总结:解答此类问题一定要揣摩题目意思, 究竟是有解还是恒成立, 需要我们仔细体会。

二次函数, 它有丰富的内涵和外延。作为最基本的函数, 可以以它为代表来研究函数的性质, 可以建立起函数、方程、不等式之间的联系。本文只讨论至此, 希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识, 使我们对它的研究更深入。

参考文献

[1]潘国本.快乐数学[J].思维与智慧, 2009, (22) , 6-7.

[2]罗小伟.中学数学教学论[M].南宁:广西民族出版社, 2000, 89-92.

[3]陆书环, 博海伦.数学教学论[M].北京:科学出版社, 2004.

[4]钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京:中央民族大学出版社, 2002.

模糊数学的简单应用篇2

教学案

本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址南沙初中初三数学教学案

教学内容：7.6锐角三角函数的简单应用（2）

课

型：新授课

学生姓名：________

学习目标：

通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。

教学过程：

一、阅读新知识：

如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?

显然，斜坡A1Bl的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A。

从图形可以看出，即tanAl＞tanA。

（注：在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度）

二、坡度的概念，坡度与坡角的关系

如图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图：

_________________________________叫做坡度，记作i，即i＝________。

注：坡度通常用1∶m的形式，如上图中的1：2的形式。

坡面与水平面的夹角叫做坡角。从三角函数的概念可以知道：

坡度与坡角的关系是i＝________。显然，坡度越大，坡角_______，坡面就越_____。

三、例题讲解。

问题

3、如图，水坝的横截面是梯形ABcD，迎水坡Bc的坡角为30°背水坡AD的坡度i（即tan）为1：1,坝顶宽Dc=2.5m，坝高4.5m。

求：（1）背水坡AD的坡角；（2）坝底宽AB的长。

拓展与延伸：如果在问题3中，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固坝堤，要求坝顶cD加宽0.5m，水坡AD的坡度改为i为1：，已知堤坝的总长度为5km，求完成该项工程所需的土方（精确到0.1）

四、练习：

．如图，一段路基的横断面是梯形，高为4.2米，上底的宽是12.51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°，求路基下底的宽。

tan32°=0.6249

tan28°=0.5317

2．如图，一段河坝的断面为梯形ABcD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD。

五、探究：

（09湖北荆州）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示.已知集热管AE与支架BF所在直线相交与水箱横截面⊙o的圆心o,⊙o的半径为0.2m,Ao与屋面AB的夹角为32°，与铅垂线oD的夹角为40°，BF⊥AB于B，oD⊥AD于D，AB＝2m,求屋面AB的坡度和支架BF的长.六、小结

七、课堂作业（见作业纸58）

南沙初中初三数学课堂作业（58）

（命题，校对：王

猛）

班级__________姓名___________学号_________得分_________

．（09兰州）如图，在平地上种植树木时，要求株距

（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75 的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为

（）

A．5m

B．6m

c．7m

D．8m

2、（09衡阳）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个破面的坡度为_________。

3、（09常德）如图，某人在D处测得山顶c的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡Ac的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，结果保留整数）．

4、（09日照）如图，斜坡Ac的坡度（坡比）为1:，Ac＝10米．坡顶有一旗杆Bc，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．试求旗杆Bc的高度．

5、如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角．

（1）求的度数；（2）求这棵大树折断前的高度？

（结果精确到个位，参考数据：，）．

课后探究：、（09浙江绍兴）京杭运河修建过程中，某村考虑到安全性，决定将运河边一河埠头的台阶进行改造．在如图的台阶横断面中，将坡面的坡角由减至．已知原坡面的长为6cm（所在地面为水平面）

（1）改造后的台阶坡面会缩短多少？（2）改造后的台阶高度会降低多少？

（精确到0.1m，参考数据：）

2、（09山西）有一水库大坝的横截面是梯形，为水库的水面，点在上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡的长为12米，迎水坡上的长为2米，求水深．（精确到0.1米，）

3、（09江苏）如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的c处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．

（1）求观测点B到航线的距离；

（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据：，，）

向量在中学数学中的简单应用篇3

在中学阶段学习的向量有平面向量和空间向量两部分，其中空间向量是平面向量的推广与拓展。

由于平面向量与空间向量没有本质的区别，因此，不管是平面图形还是空间图形，运用向量解决、研究图形问题的思路是一致。一般情况下，有两种途径：一是选择适当的基向量，其它有向线段用基向量线性表示，然后通过向量的运算求解；二是建立适当的坐标系，运用向量或点的坐标运算求解。究竟用哪一种方法，可视具体问题而定。）

一、求解平面上的夹角与利用空间向量求空间角问题

1.向量法求平面上的夹角问题：（求两非零向量a与b的夹角q的依据）

①cosq=；②设a==（x1，y1）和b=（x2，y2），则cosq=

2.求空间的角用向量则很好的解决了这一问题

对异面直线所成的角：若异面直线AB，CD的夹角为θ，则θ与向量，所成的角相等或互补，因此：=；

对直线与平面所成的角：设平面与其斜线m所成的角为，平面的法向量为n，直线m的方向向量为m，记=，与互余（当为锐角时）或与的补角互余（当为钝角时），因此： =︱cos|=，（0<<）注：这一公式也适用于直线与平面平行或垂直时所成的角。

求平面与平面所成的角：平面与平面相交形成两对平面角互补的二面角，于是：平面与平面相交所成二面角分三种情形：

向量a，b分别平行于平面，且都与二面角的棱垂直，记=，则与相等或互补，因此（正负号的选取视具体图形而定）。

向量a平行于平面，且垂直于二面角的棱，平面的法向量为n，记=，则（的选取视具体情况而定）。

平面与平面的法向量分别为m，n，记=，则与相等或互补，因此：（正负号的选取视具体情况而定）。

二、证明不等式

三、向量法解决直线问题

1.向量与直线方程的一些关系：

设直线l经过点，y=（a，b）是它的一个方向向量.p（x，y）是直线l上的任意一点，则向量与v共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一实数t，使=tv，即（x-x0，y-y0）=t（a，b），所以

如果直线l与坐标轴不平行，则ab≠0，于是可得。

消去参数t，得到直线l的普通方程= 。

这个方程称为直线l的点向式方程，a，b叫做直线l的方向数。

如果向量n与直线l垂直，则称向量n为直线l的法向量，设直线l有法向量n=（A，B），且经过点，则点在直线l上的充要条件是。

因为=，n=，且的充要条件是与n的数量积为0，于是，得到直线l的方程。

如果直线有一般式方程，且A≠0，则可得此直线的点法式方程：。

这是经过点，且法向量n=的直线方程.所以，n=是直线的法向量.由于法向量可以从直线的一般式方程中直接得到，应用法向量在解决某些直线问题中比较便捷。

设v=（-B，A），则v与n的数量积v·n=（-B）×A+A×B=0。

所以，v⊥n.从而v=（-B，A）是直线的方向向量。

2.向量与直线间的位置关系

设直线l1和l2的夹角为α，两条直线的法向量的夹角为θ，则α=θ或α=π-θ.所以，则有. .由此式可以求得两条直线的夹角。

3.利用向量求距离

I.求两条异面直线的距离

异面直线的距离是指异面直线的公垂线夹在两异面直线间的线段即公垂线段的长.因此，求两异面直线的距离时，需要确定两条异面直线的公垂线段，而在用向量法来解决这个问题则避免了公垂线段找错的问题。

重要结论：若向量与异面直线a，b都垂直，E，F分别为直线a.b上的点，则异面直线a，b的距离d=。

Ⅱ.求点到直线的距离

点到直线的距离是指通过点向直线所引的垂线段的长.有的时候，垂线段很难确定.这时我们用到的向量法可以很好的解决这一问题：

设直线a的方向向量为a，P为直线a外的一点，M为直线a上的点，记，则点到直线a的距离。

Ⅲ.求点到平面的距离

求点到平面的距离也可用如下的向量方法来求：设平面的法向量为n，则点，P为外的一点，则点到平面的距离为。

四、用向量求三角函数值

五、利用向量求曲线方程

利用向量还可以解决圆锥曲线中的最值问题以及处理圆锥曲线中的取值范围问题.利用向量的数量积构造出等式或函数关系，再利用函数中的方法依次就值，比只利用解析几何知识建立等量关系容易。

模糊数学的简单应用篇4

一、计算中渗透数形结合思想

数形结合思想方法是指将复杂抽象的数学逻辑题目通过简单明了的图形变成直观形象的数学模型。在计算教学中引导学生理解算理的策略是不同的, 数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。

例如在苏教版二年级数学课程中, “有余数除法”教学片段:

课始创设情境:9根小棒, 能搭出几个正方形? 要求学生用除法算式表示搭正方形的过程。

生:9÷4。

师:结合图我们能说出这题除法算式的商吗?

生:2, 可是两个搭完以后还有1根小棒多出来。

师反馈板书:9÷4=2……1, 讲解算理。

师:看着这个算式, 教师指一个数, 你能否在小棒图中找到相对应的小棒?

……

通过搭建正方形, 学生在头脑中基本上形成了图像, 这时教师及时作引导, 抽象出有余数的除法的横式、竖式, 沟通了图、横式和竖式各部分之间的联系。这样, 学生有了表象能力的支撑, 有了真正的体验, 直观、明了地理解了原本抽象的算理, 初步建立了有余数除法的竖式计算模型。学生学得很轻松, 理解得也比较透彻。

再如六年级下册的:1/2+1/4+1/8+1/16。

学生在没有图的情况下都是通过通分计算的。通过画图, 把正方形看作单位“1”, 可以根据原式画出左图。求和其实可以倒过来推想求绿色小正方形的大小, 可把原式转化成1-1/16=15/16。

把要有关数运算的性质问题借助图像特征表现出来, 通过对图像的解读、分析, 帮助学生形象地理解相关性质。

二、数形结合在线段图里是必不可少的应用方法

线段画起来很简单, 可就是这简单的线段却在小学应用题中起了奇妙的作用。学生可以借助直观形象的线段图加深对数量关系的理解, 产生不同的解题思路, 从而体现数形结合的思想。在二年级的小练习中, 有一道思维拓展题:甲乙丙三根绳子一共长5米, 其中甲绳比乙绳长50厘米, 丙绳比乙绳短150厘米, 甲绳比丙绳长多少厘米? 小学生正处在逻辑思维发展的阶段, 学生对数量关系的掌握程度也是因人而异的。二年级的小学生以具体形象思维为主, 为了便于学生轻松地理解其中的数量关系, 我指导学生开始画简单的线段图。在有关画线段图的教学中, 教师不仅要重视具体的画图方法的指导, 而且要重视为什么要这么画图的分析。如在此题中画完线段甲, 再画乙, “是画得比甲长还是短, 你是怎么知道的? 短一些, 短的这里是多长你知道吗? 根据题目的意思, 把有用的数据立即标在图上”。然后再根据“丙绳比乙绳短150厘米”这个有用条件画线段丙, 这里要告知学生由于不是作图题, 因此画的长度没必要是题上的真实长度, 只是为了帮助我们清楚地看出三者之间的关系, 有效理解题意。

三、数形结合思想方法是小学生解决应用题的必备武器

小学生在面对条件错综复杂的应用题时, 往往容易掉入陷阱之中, 或者就是因为理不清条件关系, 没有答题思路。这时教师可以引导学生借助数形结合的思想方法快速理清应用题中各个条件的复杂关系, 从而提高学生的答题速度。数学问题往往可以用多种方法解决的。教师应该敢于创新, 教师只有拥有创新意识才能使学生思维活跃。教师应该找寻到激发学生发散思维最合适的教学方法, 从而使学生有效地掌握解决题目的技巧和方法。如果只是死板地讲课本上的例题方法, 则大部分学生领略不到其他方法的精髓, 只能是死记硬背。如:五 (1) 班有25人, 许多同学参加了课外小组。参加音乐小组的有15人, 参加美术小组的有18人, 既参加音乐小组又参加美术小组的有多少人? 根据题意作示意图如下:

从图中可以知道:两组人之和为15+18=33 (人) , 可是全班人数是25人, 相差33-25=8 (人) , 说明8人报了2次, 就是这两组都参加的有8人。

数形结合就是根据数量与图形之间的对应关系, 借助“形”的直观表达数量关系, 运用“数”的深刻刻画图形、研究图形, 把抽象的数学语言、数量关系和直观的几何图形、位置关系结合起来考虑, 达到解决问题的目的。

教师要采用多样的教学方法实施教学, 注重对学生各方面能力和素质的培养和提高, 使学生在学习数学知识的同时, 结合数形结合的方法, 不但减少答题时间, 还拥有敏锐的洞察力和丰富的想象力。

参考文献

模糊数学的简单应用篇5

1、大米每千克4.5元，买25千克需要多少元？

2、粮店运进大米750千克，面粉的质量是大米的1.2倍，运进的面粉有多少千克？

3、徒弟每小时加工120个零件，师傅每小时加工的零件个数是徒弟的1.6倍，师傅每小时加工多少个零件？

4、一列火车每小时行250千米，飞机的飞行速度是火车的3.6倍，飞机每小时飞行多少千米？

5、一辆汽车每小时行75千米，3.5小时行多少千米？0.8小时行多少千米？

6、大米每千克4.5元，面粉每千克3.8元，买大米和面粉各25千克，一共需要付多少元？

7、六年级有40个同学一共为灾区学生捐款180元，平均每人捐款多少元？

8、甲乙两地相距480千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，需要多少小时？

9、100千克花生可以榨油38.5千克，750千克花生可以榨油多少千克？如果要榨油750千克需要花生多少千克？

小学数学简单应用题教学策略篇6

一、目前小学数学简单应用题教学存在的不足

1.在简单应用题教学之中，教师设计问题的水平不足。在实践教学之中，教师对于简单应用题的设计比较重视补充条件的题目，这样的题目没有办法引发学生的主观能动性，课堂之中几乎不存在学生的自编题，新课改之后要求教师们必须改变陈旧的教学模式，更要摈弃填鸭式的教学方式，要充分地诱导学生学习的兴趣与动力，教师要做好自己的引导工作。但是在实践教学中，许多教师认为学生的知识水平不足，便放弃了对学生的引导。且教师设计问题都较为简单，对于开放性方面的问题设计极少，这便会导致学生的数学思维发展受到局限。

2.教学联系生活过少。在简单应用题教学之中融入生活化教学是目前运用较为广泛的方式之一，且现在许多教师也意识到了这一点，在教学之中也在尝试融入学生熟知的生活情景，但是联系的程度不足，且效果不强。这些都是因为教师没有深入地探索教材，所以便受限于课本的范例，只停留于课本表面，没有深入地研讨，在组织学生探究学习之时还是采用传统的教学模式，训练方式过于陈旧。

3.课堂教学之中师生间的互动过少且单一。在数学教学之中提倡活跃有效的课堂气氛，这个学习环境之中要坚持学生的主体地位，教师需要通过多元化的教学来进行课堂教学活动，但是在现阶段的课堂教学之中，师生间的互动方式少且单一，且在简单应用题的教学之中学生的主体地位未被尊重，学生们之间的互动和沟通量过少，也没有给学生建立相关的平台，使学生们实际解决问题的机会少、渠道少，基本靠教师的讲解，学生被动地回答为主。因此，这样的教学氛围不利于培养学生的探究意识、主动学习等方面的能力。

二、提高简单应用题教学效果的建议

1.小学数学简单应用题教学的准备建议。第一，教师们在教学的过程中需要全面的了解每个学生的真实情况，学生的数学发展规律又是怎样的。同时在教学之前教师要引导学生有意识的去了解和运用相关的数学量词，当学生逐渐具有正确使用量词的能力之后，才可以进一步培育学生分析和解决简单应用题的能力，这些可以说是教师应用题教学的第一任务。第二，在进行简单应用题教学之时，教师面向的是全班学生，所以要引导每个学生学有所获，但是班级之中每个学生的学习水平都不同，所以，教师对于班级中学习能力差的学生，在应用题教学之前，教师可以先加强对学生的口述应用题才能的训练，这是能力差一些的学生进入简单应用题学习的初步教学，而在实际的口述能力培育中，教师可以采取图画列式的训练，要引导学生先描述出图画之中的知识，找出问题和已知条件，之后教师可以再次全面的復述一下问题和条件，再进行提问，引导学生复述教师说过的内容就可以了。这样循序渐进的进行，便可以逐渐培养学生看图并自己描述出问题和条件是什么。第三，教师要强化对学生问题意识的引导。在教学之中，教师要引导学生有对简单应用题分析的意识，激励学生要敢于提出数学疑问，这样通过日常的训练便可以引导学生逐渐养成善于思考的习惯。

2.培养学生解题能力的措施。第一，在应用题教学之中，教师要重视学生观察能力的培养。当然观察力需要有侧重性，小学生自制力差，易分散注意力，教师要善于及时引导学生回到学习的正途，当出现图片观察题时，教师要引导学生认真观察图片且结合文字信息进行理解，不能放过任何一个细节的信息，这样才可以保证学生能正确领会图片题的信息。第二，让学生大声朗读简单应用题，从整体感知题目的意图。针对图文结合的简单应用题，教师要指导学生观察且描述出来，这是审题的重点；针对单独文字的简单应用题，审题的重点是培养学生的审题能力，继而确定题意。这样才可为后续解题提供条件。第三，要将抽象化为具体。小学生学习时间短，理解能力较差。所以教师要将抽象题目简单化和思维化，教师可以利用学具、教具等，使学生从直观——表象——抽象，这样才可逐渐掌握应用题的数学关系，培养学生总结数量关系的能力。

模糊数学的简单应用篇7

大家好!我说课的题目是《微课程使数学学习化繁为简》。我将从教材解读、教学目标、重点难点、教学程序、微课程的应用这五个方面展开说明。

一、教材解读

“分数的简单应用”是人教版三年级上册新教材新增内容之一,教材做这样的变动,是非常有深意的。以前到了五年级进一步学习分数时,学生计算整体的几分之几是多少很难把握,不理解为什么有些分数后面带了单位,有些没有,那是因为之前学生接触到的分数,都在平均分一个物体,分数就表示具体的数量。所以现在三年级就让学生明白分数还可以表示部分与整体的关系很重要。这时虽不归纳“单位1”的概念,但却要让学生理解“单位1”的意思,这节课可以让学生用自己的话说一说分数的意义,重在从“学会学习”的角度发展学生的核心素养。

二、教学目标

基于以上认识,我制订了如下教学目标:

1. 通过折纸等操作活动,让学生经历整体由“一个”到“多个”的过程,理解分数可以表示部分与整体的关系。

2. 借助师生互动和生生互动等活动,发展学生的抽象概括能力、类比推理能力。(从“学会学习”的角度发展学生的核心素养)

3. 使学生在理解分数的意义的基础上解决实际问题,感受分数与生活的联系,发展分数数感这一核心素养,体验学习数学的乐趣。

三、教学重点、难点

重点:知道把多个物体看成一个整体平均分时,其中的一份或几份可以用哪个具体的分数表示。

难点:理解分数可以表示“整体”与“部分”的关系,体会分数可以不表示具体的数量。

四、教学程序及设想

《义务教育数学课程标准》指出:人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的发展。数学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。这节课作为老师的我尽量少说,让学生多说。师生互动、生生互动是这节课活动组织的指导思想,而微课的使用让这节课教学目标的实现变得更简单。

下面我就对细节做具体的阐述,并将教法与学法渗透其中:

1. 微课展示折纸的过程,复习分数的意义

引入部分我用了微课展示(课件播放微课),这个视频让每个学生都清楚地看到把一张纸平均分成四份,取其中的一份涂色的过程,既省时又省力,还解决了老师实际操作折纸存在学生观看时有视觉盲区的问题。让学生在这个环节顺利回忆分数的意义,复习分数线、分子、分母各表示什么意思。

2. 微课导入,进入对新知的探索

复习到位后,在引入新课时,让学生清楚地看到大正方形变成四个小正方形的过程,引导学生理解把多个物体看成一个整体平均分非常重要,所以我选择用微课展现(PPT展示视频)。

(1)初步体验。直观感受整体从一到多的过程,说清涂色部分与未涂色部分各用什么分数表示,并通过追问这里的四分之一和四分之三分别是几个小正方形?让学生体会这里的分数与具体数量有区别。

(2)从形到数,老师分苹果,让学生进一步体会分数不仅可以表示数量,还可以表示整体与部分的关系。并进行生生互动,让学生用自己的话说一说分数的意义。

(3)实践操作,并填写操作单,可以用同屏推送设备反馈学生作品,并请学生汇报。(特别注意展示错误的操作单)

(4)深入思考,总结升华,出示PPT

思考:(1)让学生体会平均分成的份数不同,分母就不同。(2)让学生深入理解分数可以表示部分与整体的关系,只要是把一个整体平均分成3份,取其中的一份就是总数的三分之一,与整体中物体的具体数量没有关系。

3. 巩固练习,运用新知

出示PPT,让学生用所学的知识进行有层次的练习,使不同层次的学生都得到发展。

五、微课程的应用

本节课中微课程的应用省去了Flash动画制作的繁琐,也避免了现场操作浪费时间且难以让每个学生都看到的问题,特别是微课展示把一张正方形的纸用剪刀剪成四张小正方形的纸,动态的演示吸引了学生的眼球,引发了学生的思考,帮助突破整体从一到多这个重点。

那么,微课只能用于引入阶段吗?不是的。我们学校正在进行“运用微课程实施小学数学分层差异化辅导的实践研究”,我们有“先学后教”的课堂,用的是课前微课,比如“比例的基本性质”先学习微课再针对练习讲解;还有课中微课,比如“面积和面积单位”中间介绍三种常用的面积单位时用到了微课;还有总结性微课,比如“数学思考”,老师的讲解过程被拍成微课进行课后总结;还有即时微课,比如同屏推送设备可以在课堂上即时拍摄学生的操作过程或教师的精彩讲解。这些微课可以传到群里,让学生带回家看,具有课堂的延伸性。

有些教师年龄偏大,不会做Flash动画,不会用PPT做课件,他们的智慧如何展示?如何让更多人看到?没有关系,因为除了专业软件,手机也可以成为微课录制的工具。比如,针对乘法分配率和结合律混淆的情况,我们的老教师编的教学故事就可以录成微课,在课堂展示上,我们可以用这样的微课进行差异化辅导。

综上所述,运用微课程这项现代信息新技术与数学学科教学高度融合,给教学带来一个全新的面貌。我感受到,微课程能让数学学习化繁为简。我的说课就到这里,谢谢大家。

摘要：<正>各位专家、各位老师:大家好!我说课的题目是《微课程使数学学习化繁为简》。我将从教材解读、教学目标、重点难点、教学程序、微课程的应用这五个方面展开说明。一、教材解读“分数的简单应用”是人教版三年级上册新教材新增内容之一,教材做这样的变动,是非常有深意的。以前到了五年级进一步学习分数时,学生计算整体的几分之几是多少很难把握,不理解为什么有些分数后面带了单位,有些没有,那是因为之前学生接

参考文献

模糊数学的简单应用篇8

一、问题的提出

根据高中数学新课标的要求, 在选修系列1中的选修1-1和选修系列2中的选修2-1专题中, 我们要求高中生进行了“常用逻辑用语”的学习.而在高考作文中常写的议论文的创作过程中就内在的含有逻辑的思想和推理的内容.

二、把议论文转化为数学语言

议论文的三大要素是:论点、论据、论证.如果运用数学中的简单逻辑思想, 可以把论点 (文章的中心思想) 称为结论 (下面用q来表示) , 论据称为条件 (下面用p来表示) , 论证就是推导的过程 (下文中用→来表示) .这样就可以转化为数学语言, 若p则q, 即p→q的形式.一般作文中是不能只用一个p就推出q的, 这样可能会造成条件不充分的而不能论证结论的结果.所以, 我们就要用多个条件推出, 用数学语言表达为“若p1且p2……且pi则q, 即p1∧p2∧…∧pi→q”这样的复合命题.我们的目标就是找出强有力的pi (i=1, 2, 3…) , 从而最后推出想要得到的q.这样, 就把议论文这种文体转化到了数学逻辑的范畴.

在议论文中大部分的篇幅是在论证已经确定的论点, 论证主要有立论和驳论两大类型.立论的方法就是上文所提到的:若p1且p2……且pi则q, 正推的形式.驳论则是另一种形式.驳论有三种基本方法:反驳论点、反驳论据、反驳论证.从数学简单逻辑的思想理解, 我们可以把驳论也转化为数学思想.反驳论点就可以理解为数学中的反证法, 先反设论点, 然后通过论据归谬, 最后得到希望得到的结论.反驳论据就可以理解为复合命题的真值问题.我们刚把议论文写成了“若p1且p2……且pi则q”的形式, 这个命题是由连接词“且”所连接, 所以只要有一个pi是假的, 也就是真值为0, 那么这个q的真值就为0, 即得不到论点.

三、例子

例如:2005年秋季高考 (北京卷) 的作文题“安”.

如果我们把“安”作为论点———q, 则我们只需要找出能推出q的条件q1, q2, …, qi (i≥1) , 再根据需要做成文章即可;如果我们把“安”作为论据———p, 则我们只需要找出由p能推出的q即可, 注意:这时得到的结论不唯一.

四、优点

把议论文表示成数学语言可以使同学更好地理解议论文中的逻辑关系, 不出现逻辑关系混乱的错误.强调要找到真值为1的论据去证明论点, 不出现目的不明的问题.这样就把数学中简单逻辑运用到了议论文的写作中, 简化了议论文的结构, 使文章思路更加清晰, 使同学犯条理不清的错误的概率降低, 进而提高作文成绩.

参考文献

[1]全日制义务教育数学课程标准 (修改稿) .

[2]新人教版选修系列1 (人教版) .

[3]新人教版选修系列2 (人教版) .

用简单的数学模型解决数学问题篇9

一、“局部 + 局部 = 整体”数学模型的提出

2012年11月, 我在苏州市景范中学听了课题为《用一元一次方程解决问题》的两节课, 上课的两位老师都是非常优秀的年轻教师, 在讲解时都提到了:要很好地用方程解应用题的关键之处是找到等量关系, 从而建立方程.我在平时的教学过程中发现, 学生觉得困难的就是找不到等量关系, 无从下手.我们老师要帮助学生在比较短的时间内找到等量关系, 但要怎么做呢, 从何入手呢?我一直在反思, 其实从小学开始老师始终没有把蕴含在其中的数学思想讲透, 从而造成了学生一学到方程解决应用题的时候“会的学生不用教, 不会的学生教也教不会”的尴尬局面.找等量关系先要建立一个数学模型, 其实这个数学模型很简单:局部 + 局部 = 整体.

1.工作量问题.

以苏科版数学七年级上册P110页问题5为例:将一批资料录入电脑, 甲单独做需18h完成, 乙单独做需12h完成.现在先由甲单独做8h, 剩下的部分由甲、乙合做完成, 甲、乙两人合作了多少时间?书上给出的等量关系是:全部工作量=甲单独做的工作量 + 甲、乙合作的工作量.设甲、乙合做了xh, 可列出方程8/18+ (1/18+1/12) x=1系的时候, 就应该要提出“局部 + 局部=整体”这样一个模型.局部1就是甲单独做的工作量, 局部2就是甲乙合做的工作量.局部1+ 局部2=整体 (全部工作量) .这道题学生还有另外一种列法8+x/18+x/12=1, 用到的等量关系是甲的工作量 + 乙的工作量=全部工作量. 也许学生在列方程的时候根本就没有意识到他是在用局部 +局部=整体这个模型, 但是通过老师的分析, 我们把数学思想渗透了进去, 学生以后在找等量关系时, 会先想一下是不是先要建立一个数学模型才能解决问题.

2.行程问题.

对于行程问题中相遇的问题:A、B两地间的路程为360km, 一列慢车从A站开出, 每小时行驶48km, 一列快车从B站开出, 每小时行驶72km (.1) 两车同时开出, 相向而行, 多少小时后相遇? (2) 快车先开25分, 两车相向而行, 慢车行驶多少小时后快、慢车相遇?

对于相遇问题 (1) (2) 的解决, 提醒学生将局部 + 局部 = 整体这个模型中, 改成慢车行驶的路程 + 快车行驶的路程=A、B两地间的路程.

二、“局部 + 局部 = 整体”模型在解题中的运用

1“.局部 + 局部 = 整体”模型在几何解题中的运用.

其实, 这个模型不仅可以用在列方程解应用题当中, 在几何解题当中也十分实用.

(1) 如图 , 点A在线段AB上 , AB=10cm, BC=4cm, 点M、N分别是AC、BC的中点, 求MN的长.

(2) 若直线上有A、B两点, C在直线AB上, 且AB=a, BC=b (a>b) , 点M、N分别是AC、BC的中点, 你能用a, b的代数式表示MN的长度吗?

学生在解决第 (1) 小题时比较顺利, MN=MC+CN=1/2AC+1/2BC=1/2× (10-4) +1/2×4=3+2=5

但在解决第 (2) 小题时明显有困难.困难一:不能确定C点的具体位置, 不会分类讨论.困难二:会分类讨论的同学又觉得计算比较困难, 觉得有些线段的长度比较难求. 首先我们先来解决第一个困难:分类讨论C的位置.

1C在AB之间, 如图, 同 (1) 的情况;

2C在B点的右边, 如图

3C在A点的左边, 如图, 不符题意AB=a, BC=b (a>b) , 应舍去;

再来解决第二个困难:计算的困难,

1MN=MC+CN=1/2AC+1/2BC=1/2× (AC+BC) =1/2AB=1/2a,

2 MN=MC-CN=1/2AC-1/2BC=1/2 (AC-BC) =1/2AB=1/2a

在该题中, AB两点的位置固定后, AB这个整体的长度不会改变 , 1中是AC+BC=AB, 再次出现“局部 + 局部 = 整体”这个模型, 2中是AC-BC=AB, 这是“局部 + 局部 = 整体”这个模型的变式.如果学生能先建构这个数学模型来找数量关系的话, 他就不会觉得计算的困难了.

2“.局部 + 局部 = 整体”模型在方程组中的运用.

用整体思想来解题是数学解题中一种常见的方法, 但学生往往难以找出这个整体, 从而不会用这样的简便方法.如:m, n满足, 求m+n的值。这道题学生通常的思路就是把方程组解出来, 求出m, n的值, 再求出m+n的值.实际我们只要用到“局部 + 局部 = 整体”这个模型就非常容易解决:两个方程相加, 得3m+3n=12, 再用等式性质, 得m+n=4.

三、将部分看成整体模型 (局部换元法) 的提出及运用

把问题的部分看成一个整体, 对整个问题进行比较分析来发现问题的整体特征, 运用集成的观念, 把部分式子或者图形看成一个整体, 找出整个问题之间的联系, 并且整理它们.

在初中, 我们把某个式子看成一个整体, 用一个变量去代替它, 从而使问题得到简化, 这叫换元法.换元的实质是转化, 关键是构造元和设元, 目的是变换研究对象, 将问题移至新对象的知识背景中去研究, 从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化, 变得容易处理.

1.整体思想在解方程中的运用.

例如在讲解方程 (x-2) 2-5 (x-2) +4=0时, 除了提醒学生观察, 我们可以将x-2看成一个整体, 设x-2=y, 则原方程可化为y2-5y+4=0, 解得y1=1, y2=4.当y=1时, 即x-2=1, 解得x=3;当y=4时, 即x-2=4, 解得x=6, 所以原方程的解为:x1=3, x2=6.

当然, 在初中, 我们讲解换元法的时候, 要考虑学生年龄特点, 可以适当地降低题目的难度, 利用阅读形式来讲解, 阅读材料:为解方程 (x2-1) 2-5 (x2-1) +4=0, 我们可以将x2-1看作一个整体, 然后设x2-1=y…1, 那么原方程可化为y2-5y+4=0, 解得y1=1, y2=4.当y=1时, x2-1=1, ∴x2=2, ∴x=±21/2 ;当y=4时, x2-1=4, ∴x2=5, ∴x=±51/2 , 故原方程的解为x1= 21/2 , x2=- 21/2 , x3=51/2 , x4=-51/2 .解答问题:

(1) 上述解题过程, 在由原方程得到方程1的过程中, 利用法达到了解方程目的, 体现了转化的数学思想; (2) 请利用以上知识解方程x4-x2-6=0.

2.整体思想在化简中的运用.

在某些因式分解中, 可以运用整体思想实现化简的功能, 例如, 因式分解:x6+14x3y+49y2时要将x3看成一个整体时, 运用完全平方公式进行因式分解. 再如, 已知 (2014-a) (2012-a) =2013, 求 (2014-a) 2 + (2012-a) 2的值 , 可以将2012-a看成一个整体, 设t=2012-a, 原题就变成了 (t+2) ×t=2013, 求 (t+2) 2+t2的值, 这样此题就简便了很多.

我们由于受到考试等因素的影响, 在平时的教学中经常忽略学生数学思想的建立与培养, 只是沉浸于无边的题海中, 长此以往, 学生将学不到数学应有的能力. 数学的思想与方法是数学的灵魂, 它需要教师在教学中自觉地渗透.数学思想的建立与培养不是一朝一夕的事情, 学生只有在老师的引领和熏陶下, 才能有意识去思考、去提高.

参考文献

[1]范超华.由数学解题谈数学教育[J].科技信息.2010 (19)

谈几点简单的数学看法篇10

中国剩余定理在《小学数学辞典》《初中生数学辞海》均有记载。经研究演算, 进一步地解算更多更大数字的剩余问题, 可以来回算另一种剩余问题, 同时形成余整数列, 每个数列也都能由这个公式所表示, 可以找到数列中的每个数字, 所以也叫做余整数列表达式或万能剩余公式。

一个数 (被除数) 用g来表示, 除以一个数 (除数) 用v1来表示, 所余的数 (余数) 用k1来表示;被除数g除以另一个数用v2来表示, 所余的数用k2来表示;被除数g除以一个数用v3来表示, 余数用k3来表示。被除数g分别除以除数vw余kw, v1, v2, v3, vw (不能整除的除数) 的最小公倍数简称为余, 为了好记就用“余”这个字来表示。被除数g除以一个数j1整除, 被除数g除以另一个除数j2整除, 被除数g除以jn整除, j1, j2, jn (这些能整除的除数) 的最小公倍数简称为整, 为了好记就用“整”这个字来表示。余和整的最大公约数用b来表示。

则:g= (余÷b×a+x) ×整=[余÷b× (a+1) -y]×整

注意:a为正整数, 包括“零”。a叫做门数, 好像是门牌号, 是从“零”开始的门牌号。a+1个是这个数列中从小到大的数的个数。a表示在数列中小于g的数的个数。x+y=余÷b

在小于“余÷b”的自然数中, 可确定x和y的有或无, 有x就有y。

x就叫这个数列的根, 也叫解。y就是增根, 因为x+y=余÷b

按一个数除以一个数或多个数, 整除都整除, 余几都余几的关系形成余整数列, 完全能把这个数列表达清楚的数字式叫做这个数列的数列表达式。由这个数列的表达式可以清楚地找到每个数字。数g除以v余k叫做除以v余k的数列, 数列中的数除以v的约数余几都余几, 整除都整除。数g除以j整除, 叫做j的整除数列, 数列中的数除以j的约数都整除。数g除以v余k, 除以j整除, 叫做v余k, j整除数列。

有时, 同一个数列可以写成多个恒等数列表达式, 最简便的数列表达式叫最简数列表达式。

例1.“韩信点兵”中除以3余2, 除以5余3, 除以7余2根据公式列出四个恒等数列表达式:105a+23=105× (a+1) -82= (5a+1) ×21+2=[5× (a+1) -4]×21+2

例2.10除以2整除, 除以5和10整除, 10除以3余1, 除以4余2, 除以6余4, 除以7余3, 除以8余2, 求达到以上条件的第123456个数是多少?2, 5, 10的最小公倍数是10;3, 4, 6, 7, 8的最小公倍数是168, 在168和10之间最大公约数是2, 列式: (168÷2×123455+1) ×10

例3.10000000里面有几个数可以达到以下条件:除以2整除, 除以3余1, 4整除, 5整除, 除以6余4, 除以7余3, 8整除, 除以9余1, 除以10整除的数, 数列表达式是多少?

解:10000000÷40÷63=3968……16

比10000000小的还有3968个达到条件。列出数列表达式: (63×a+16) ×40

例4.求:除以2余1, 除以3余2, 除以4余1, 除以5余4, 除以6余5, 除以7余6, 除以8余5, 除以9余8, 除以10余9, 除以11余4, 除以12余5, 除以13余5, 除以14余13, 除以15余14, 除以16余5, 除以17余2, 除以18余17, 除以19余16, 除以20余9的数列表达式?最小数字是多少?

解:根据2余1, 3余2, 5余4, 6余5, 7余6, 9余8, 10余9, 14余13, 15余14, 18余17, 这些数都余比本身小1的数, 叫台阶余, {除数和所余的数字差都相等, (v1-k1=v2-k2=v3-k3=v4-k4) }使用余整数列表达式后式得:630× (a+1) -1, 经计算a为0 (零) 时, 得数629只对11, 17, 19三个数字不合题意。升级列数列表达式:65520a+629

a为1时, 17合题意, 重新升级列数列表达式:1113840a+66149;

a为2时, 19正合题意, 再重新列数列表达式:21162960a+2293829;

a为1时, 11正合题意, 也就是2至20的数全合题意, 列数列表达式为本题的正确解:232792560a+23456789;

a为零时, 最小是23456789。

二、积差和等公式

积差和等公式:用平方差公式证明算解达到条件的数题, 简单快速, 不分小数和分数。

AB-CD在A+B=C+D时 (A+x) × (B+x) - (C+x) × (D+x) =AB-CD也就是说:两个因数的积, 减去另两个因数的积, 在第一组因数的和等于第二组因数的和时, 这四个因数同时加上[或减去]同一个数, 差[得数]永远不变。

第1例:67×33-87×13

第一种:这四个因数同时减去13得:54×20

第二种:这四个因数同时减去87得: (-20) × (-54)

第三种:这四个因数同时减去67得:0-20× (-54)

第四种:这四个因数同时减去33得:0-54× (-20)

第2例:985×785-1285×485分明是985+785=1285+485就能使用这种方法。

第一种:这四个因数同时减去485得:500×300

第二种:这四个因数同时减去1285得: (-300) × (-500)

第三种:这四个因数同时减去985得:0-300× (-500)

第四种:这四个因数同时减去785得:0-500× (-300)

第五种:这四个因数同时减去85得:900×700-1200×400

第3例:12345678956×12345678934-12345678988×12345678902

根据公式这四个因数同时减去12345678902得:54×32, 如果这四个因数同时写上小数点, 然后在小数点后有123456789照样可以使用。注意:在这里零的特点。a×0=0零乘以任何数都得零。这四个因数同时减去其中一个因数时, 减去这个因数本身的因数式就会变成零。a-0=a在减数式里的因数被同时减去时, 就算被减数式里同时减去那个因数后, 两个因数的积就是得数。0-a=-a零减去一个数等于这个数的相反数。也就是说∶被减数式里的一个因数被减去时, 不要忘记减数式前边的负号。

三、论无限循环小数0.9……等于1

理论二:在除法算式里, 同一个数字相除 (也就是一个数字除以它本身) , 个位上不商1, 硬写0, 第一位小数商9, 被除数补上0减去这个数乘以9得的数, 还是这个数。第二位小数再商9, 还是这样。这样下去没有完, 会形成无限循环小数0.9……所以同一个数字相除都会写成无限循环小数0.9……的形式。

模糊数学的简单应用篇11

【关键词】初中数学、简单性处理、简单数学

让生活中的事物更简单，在复杂的世界中归纳出简单的规律，用更简单的方法处理日常事物，这是数学孜孜不倦追求的目的。简单性贯穿于数学的产生、发展、应用，大大推动人类的进步。在7年级数学第一章《丰富的图形世界》中，大量的应用了简单性处理这种思想，下面我一一阐述。

一、数学来源于生活。

第一节《生活中的立体图形》，生活中有很多图形，各种各样的图形很复杂，不同方向看到的图形也不一样，怎么办？为了更简单的研究，我们先研究表面光滑的规则图形，把这些规则的图形命名为：圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球。让生活中的事物更简单。

二、归纳出简单的数学。

第二节《展开与折叠》，观察圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱的展开，发现这些立体图都能展开成平面图，都能展开成一个平面。学生再自己分组制作几何体，发现圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱都是由点、线、面组成，于是简单的规律出现，几何这门数学创造出来了。

接下来我们就发展几何。继续归纳出不同几何体展开与折叠中的共同点，得到任何相邻两个面的交线叫做棱这个概念。区别底面图形不同将棱柱分为三棱柱、四棱柱等。

三、应用数学。

从上面的自己制作几何体实验中，用简单的方法处理，把几何体分成很多部分来认识更简单，一个面描述物体比一个立方体描述物体更简单，那么如何更简单的描述一个几何体在一个面上呢？认识几何体除了展开和折叠，还有什么方法呢？

1、3D动画。

第4节《从不同方向看》，让学生观察不同方向的规则几何体，不同方向看到的效果不同。于是从现实生活中经常看到的事物着手，引入投影，从正面看的主视图、左面看的左视图、上面看的俯视图，这些平面图在计算机中组合就可以得到一个大概的几何体外型三维立体图，这就是3D动画。

2，CT。

如何更简单的描述一个几何体在一个面上，还有什么方法吗？有，观察一个几何体还有截面这种方法。第三节《截一个几何体》中，用不同的平面去截一个正方体，得到不同形状，这些不同形状组合后，就能大致了解这个几何体的内外部情况，这就是在医院你们看病经常用的CT，它能有效帮助医生了解病情。

四、得到复杂的数学。

总结出点、线、面的简单规律能够帮助我们认识几何体。点、线、面的规律都是从体总结出来的，点、线、面、体之间是有联系的，那么他们之间有什么规律呢？这就得到稍微复杂的数学。

1、封闭图形。

我们熟悉的图形如三角形、四边形、五边形等，他们共同点都是不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形，扩大到圆的研究范围，它也是一个封闭图形。用简单的方法处理，把圆分成很多部分认识，得到弧、扇形的概念。

2、欧拉定律。

大数学家欧拉真的很聪明吗？我们也可以成为大数学家吗？第5节《生活中的平面图形》，有我们熟悉的三角形、四边形、五边形、圆等，除了截面和投影，还有什么简单的认识规律吗？观察以下表格能得到什么规律：

有个别同学就得到了规律：面数f+顶点数v-棱数e=2，这就是著名的欧拉定律。所以数学家离我们也不远嘛！鼓励同学们从小就树立远大理想。

总之，我把简单性处理这种思维方式应用于数学教学中，同学生共同研究与学习数学、创造数学、发展数学、用数学语言描述数学，学生学得有趣，我教得也有趣。

数学中的复杂问题简单化篇12

1．抓住问题的本质，使复杂问题简单化

例1有甲乙两个人相距1000 m，相向而行，甲每分钟走40 m，乙每分钟走60 m，甲带有一只小狗以每分钟120 m的速度跑向乙，遇到乙后马上返回跑向甲，小狗就这样在甲乙两人之间来回跑动．求甲乙两人相遇时小狗所跑的路程．

这是一个小学数学问题，但是这个问题难住过不少人．主要是一般人都是顺着问题的叙述思路去思考，由于甲乙两人的距离越来越小，小狗每次跑动的时间不同，那么求小狗跑动的时间就变得复杂了．由于小狗跑动的速度是已知的，关键的问题是求小狗跑动的时间，而从小狗的角度求时间很难，那只能从另外的角度思考．其实甲乙两人相遇的时间就是小狗跑动的时间．由题意可知，甲乙两人相遇的时间是10分钟，故甲乙两人相遇时小狗所跑的路程是120 m.

这是一个很简单的问题，但是这个问题说明了数学里经常采用的一个思路，就是当一个问题按照问题的叙述思路去思考很复杂的时候，往往换一个角度，只要抓住了问题的本质，问题就变得很简单了．

2．利用转化思想，使复杂问题简单化

数学解题中的转化思想，是将难以解决的相关问题，通过运用适当的途径与方法，转化成能被已有知识所解决的数学解题方法．通过这种转化思想的运用，能够将不规范、不熟悉的复杂问题转化成规范的、熟悉的简单问题，使这些问题迎刃而解．

例2已知a,b,c,d都是实数且a2+b2=1,c2+d2=1.

求证:ac+bd≤1.

证设

这是中学课本上的一道题目，已有多种其他证法，现转化为向量法证明显得尤为简便．

3．利用类比法使复杂问题简单化

所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式．利用类比思想可以将数学问题简单化，类比思想的建立有助于培养和发展学生思维的条理性、缜密性，从而提高他们分析问题和解决问题的能力．

解用类比方法，可由联想到方程的解为x=a或x=1a．从而由

4．利用换元法，使复杂问题简单化

换元法是数学中的重要思想方法．在实际应用过程中，通过不同量引入其他的变量来使复杂的问题常规化，能突出题目的本质特点，迅速找到解题的方法．其关键是复杂的数学问题简单化．