数学知识的简单渗透

数学知识的简单渗透（精选7篇）

数学知识的简单渗透 篇1

教材是学生学习的文本, 只有读懂教材, 才能挖掘教材的内涵。在“一师一优课、一课一名师、课课有精品”的活动中, 我准备执教《求一个数是另一个数的百分之几的简单实际问题》这节课。当打开教材时, 教材只呈现了一幅统计图。于是我开始思考:如果直接进行情境导入, 传授新知, 半节课时间, 课程就有可能结束。但效果怎样, 不得而知。经过反复磨课, 我重新设计复习导入这个环节, 先复习百分数的意义以及把小数、分数化成百分数。接着开始探索新知, 让学生提出一些与分数有关的问题, 并解决问题, 然后提出一些与百分数有关的问题, 加强新知与旧知之间的联系。让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程。有效地挖掘教材内容, 促进知识的迁移, 渗透了数形结合思想和类比的思想。教学效果显著。下面我以《求一个数是另一个数的百分之几的简单实际问题》为例, 谈谈这节课的教学实践与反思。

【教学过程】

一、复习导入

1.复习百分数的意义。

师:百分数的意义是什么?

生:表示一个数是另一个数的百分之几的数, 叫作百分数。

2.把下列各数化成百分数。

师:说说自己是怎样想的?

把小数扩大100 倍作百分号前面的数, 就可以把小数化成百分数。

可以把分数化成小数, 然后把小数化成百分数;如果分数的分母是100 的因数, 可以把分数的分母扩大若干倍, 把分数的分母化成是100的分数, 然后把分母是100的分数化成百分数。

【设计意图】首先复习百分数的意义。把小数、分数化成百分数。进一步巩固已学过的内容, 为新知教学做准备, 为知识的迁移做铺垫。

二、探究新知

1.创设情境。

(课件出示情境图)

师:请同学们观察情境图。

师:这幅情境图呈现的是一幅统计图。请学生说说从统计图中知道了什么。

生:统计图中横轴表示姓名, 分别是王红、李芳、林小刚;纵轴表示路程/千米, 每一格表示1千米。

师:能提出哪些与分数有关的问题?

生:①李芳跑的路程是王红的几分之几?

②王红跑的路程是李芳的几分之几?

③王红跑的路程是林小刚的几分之几?

师:这些问题你是如何解答的?说说你的想法。把什么看作单位“1”?分别用一句话把这些问题换成含有数字的语句说出来。然后列式解答。

师:王红跑的路程是李芳的几分之几?

师:王红跑的路程是林小刚的几分之几?

2.根据统计图提出有关百分数的问题。

师:你能根据统计图提出有关百分数的问题吗?

生:①李芳跑的路程是王红的百分之几?

②王红跑的路程是李芳的百分之几?

③王红跑的路程是林小刚的百分之几?

师:这些问题你是如何解答的?说说你的想法。把什么看作单位“1”。分别用一句话把这些问题换成含有数字的语句说出来。然后列式解答。

师:李芳跑的路程是王红的百分之几?

答:李芳跑的路程是王红的80% 。

师:王红跑的路程是李芳的百分之几?

答:王红跑的路程是李芳的125% 。

师:③王红跑的路程是林小刚的百分之几?

答:王红跑的路程是林小刚的71.4%。

【设计意图】通过解决“求一个数是另一个数的几分之几的简单实际问题”, 让学生提出不同的问题, 促进学生的思维发展。学生们根据“求一个数是另一个数的几分之几”的方法, 通过类推、迁移旧知, 思考并掌握“求一个数是另一个数的百分之几”的计算方法, 促进了知识的迁移。

三、巩固运用

1.完成“练一练”第1题。

师:说一说题中的条件和问题。把什么看作单位“1”?

生:题中的条件是“六年级有学生150 人, 其中30 人是学校的环保志愿者”。

问题:环保志愿者的人数占六年级学生人数的百分之几?

把六年级学生150 人看作单位“1”。

列式解答:30÷150=0.2=20%

答:环保志愿者的人数占六年级学生人数的20%。

2.完成“练一练”第2题。

学生独立完成, 指名说说解题的思考过程。

答:我国鸟类种数约占全世界的13.8%。

【设计意图】在解决“求一个数是另一个数的百分之几”的实际问题中, 学生根据“求一个数是另一个数的几分之几”的实际问题, 进行转化, 体现迁移思想和转化思想在数学课堂中的有效应用。

【教学反思】

1.读懂教材, 挖掘教材的内涵。

首先复习百分数的意义。把小数、分数化成百分数。进一步巩固学过的内容, 为新知教学做准备。

在日常生活和生产中, 为了统计与比较的方便, 人们经常用百分数表示调查与统计的结果。注意把百分数的学习置于统计活动的背景之中。引导学生根据这些统计数据求出相关的百分数, 利用这些图表中的百分数, 进行比较和判断, 进一步描述数量之间的关系, 进行简单的决策。这些活动, 都有利于学生加深对百分数意义的理解, 深刻体会百分数的应用价值, 增强数据分析观念。一方面可以启发学生借助图形直观思考解决问题的思路, 另一方面也体现分数、百分数与统计的密切联系。让学生进一步深化对百分数的理解, 体会百分数的应用价值, 提高分析和解决问题的能力。

2.抓住新知与旧知的联系, 促进知识的迁移。

学生根据“求一个数是另一个数的几分之几”的方法, 提出不同的问题, 进一步巩固解题方法, 促进学生的思维发展。通过类推、迁移旧知, 思考并掌握“求一个数是另一个数的百分之几”的计算方法, 促进了知识的迁移, 培养了学生的迁移能力。

3.渗透数学思想方法, 提高课堂教学效率。

创设情境时, 呈现学校田径队三名队员在一周中参加长跑训练所跑路程的统计图。以统计图的形式呈现问题, 数形结合, 把百分数的学习与统计有机结合。借助直观图理解题意, 蕴含着数形结合思想。把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来, 通过“以形助数”“以数解形”, 通过抽象思维与形象思维的结合, 把复杂问题简单化, 抽象问题具体化, 从而达到优化解题途径的目的。

在解决“求一个数是另一个数的百分之几”的实际问题中, 学生根据“求一个数是另一个数的几分之几”的实际问题, 进行转化, 提出“求一个数是另一个数的百分之几”的问题, 体现迁移思想和转化思想在数学课堂中的有效应用。将待解决的百分数问题, 与分数问题联系起来, 转化为较容易解决的分数问题, 最终使百分数问题获得解决的方法。进一步体会数学知识间的内在联系, 培养观察、比较、分析、综合、概括、推理等能力, 发展良好的数感;积累解决问题的经验, 感受类比和转化的数学思想方法, 提高应用所学知识解决实际问题的能力, 增强应用意识。

数学知识的简单渗透 篇2

培养学生实际运用能力

数学家华罗庚曾指出：“人们早对数学产生了枯燥乏味的印象，成因之一便是脱离实际。”新课程标准指出：数学教学，要紧密联系学生的生活实际，尤其，小学生主要以具体形象为主，他们的兴趣和情感更侧重于生活实践知识，所以，在教学中，我们应把数学知识巧妙地与学生的实际生活相联系，使学生主动深入地用数学眼光去观察生活，用数学头脑思考问题，通过动手实践解决问题，从而实现数学课程的生活化，社会化和实用化。下面，我就平时的实践谈谈体会：

一创设生活情景，体验数学乐趣

心理学研究表明，学生内容和学生熟悉的生活背景越贴近，学生自觉接纳知识的程度就越高。教师要精心创设情景，提供充足的时间，空间，使学生感受学习的乐趣，体验参与的快乐。例如，在教学长度单位“千米”时，为了让学生感受1千米到底是多长的距离，教师告诉学生从学校门口到xx家的路程就是1千米，并利用活动时间带领学生走一躺。学生身临其境地感受到了1千米的距离。

二善编生活例题，激发学习兴趣

在我们的生活中，处处都有数学，教师在教学中要善于从学生的生活中抽象出数学问题，使学生感到数学问题就在自己身边，从而产生浓厚的兴趣。例如，在教学“8加几”前，教师可以问班上8岁的小朋友：”小朋友，你们再过1年，是几岁呀？“接着问：”如果再过3年，那么你们应该是几岁？怎样列是式？“教师通过让学生算自己的岁数，很自然地引出新课地例题：8+3=？

三设计实践活动，创造应用机会

教师应该充分利用学生已有的生活经验，随时引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决身边的数学问题，了解数学在生活中的作用，体会学习数学的重要性。例如，在学习了”元，角，分“后安排一些购物中的数学问题。通过学生的亲身实践，引导学生在实践中学知识，在实践中用知识，从而真正真实而深刻地体会数学知识在日常生活中的重要作用。

四设计开放性题，增加应用情趣

要让数学走到生活中去，必须让学生对各类问题产生兴趣，愿意用数学的眼光去思考。教师可根据学生的实际情况，适当设置一些情境题和开放题，创造条件，让数学走向生活。例如，在学了”乘法的意义后，教师设计了一个学生生活中经常碰到的问题：你家有几口人，如果每人要吃2个苹果，至少要买多少个苹果？这样，学生既巩固了乘法的意义，又能利用学到的知识解决生活中的问题。

数学知识的简单渗透 篇3

一、化难为易思想，叩开数学知识之门

（片段一）提出问题，引发思考

师：请看大屏幕，看到了什么？

生：好多的点！

师：告诉你们这儿有100个点，咱们知道每两点之间可以连成一条线段，那么这100个点之间一共可以连成多少条线段呢！大胆地猜测一下。

生：99条，50条，9900条……

师：到底谁的答案正确呢？怎么办？验证？如何去验证？

【设计意图】教材中只呈现8个点之间一共可以连成多少条线段，然而笔者将问题改为100个点之间一共可以连成多少条线段。让学生无法用“连一连”的办法去验证到底谁的答案是正确的，再适时抛出数学家华罗庚的一句话：当我们碰到数学难题时，要学会“知难而退”。启发学生从简单的情况入手，有效地渗透了化难为易思想，为解决问题点燃希望。

二、合情推理思想，通往数学知识之路

（片段二）合作交流，发现规律

师：那咱们就从两个点开始研究。

1.同桌合作，互助学习

（1）同桌完成研究2～5个点的连线情况，并填写表格。

（2）讨论交流，每次增加的线段条数与点数有什么关系？

2.交流质疑，发现规律。

（1）学生汇报研究成果，一边汇报一边质问理由。

（引导学生明确：每次增加的线段条数比点数少1）

（2）学生类推：6个点之间一共可以连成多少条线段？7个点、8个点、10个点、20个点、100个点呢？

【设计意图】本环节是课堂教学的重点，笔者为求让学生充分经历操作、汇报交流、观察分析、合情推理等数学活动过程，不仅让学生有拨开云雾之感，慢慢感悟到数个点之间一共可以连成多少条线段存在着一定的规律。学生很容易发现100个点之间一共可以连成“1+2+3+…+98+99=4950”条线段，同时也很好地发展了学生的数学思维能力。

三、归纳总结思想，挖掘数学知识本质

（片段三）归纳总结，形成策略

师：刚才我们已经知道100个点之间可以连成“1+2+3+…+98+99”條线段，那么N个点之间一共可以连成多少条线段呢？

生：1+2+3+…+（N-1）条

师：真厉害，N有范围要求吗？

生1：没有 生2：要是自然数 生3：而且要比2大……

学生在争论中明白N≥2.

师：你能一句话来说一说其中的规律吗？

生1：有几个点，我们就从1依次加到比点数少1。

生2：线段总条数等于从1一直加到比点数少1的连续自然数之和。

……

师：同学们非常不错，不仅能验证，解决100个点之间可以连成多少条线段，而且能类推总结出其中的一般规律。看来，我们在遇到数学难题时，一定要学会知难而退，要退到事情最简单的情况入手，接着一步一步地前进，在恰当的时候再回头看一看，从中寻找到规律，就能达到化难为易之效。

【设计意图】让学生经历探究过程，发现规律之后，经过梳理小结，才能更好地将体验上升为经验总结，从而突显数学知识的本质，同时也促进了学生分析，归纳总结能力的发展。

四、迁移类推思想，绽放数学知识之花

对于数学知识本身并没有非常重要的意义，它作为载体能使学生在探究中充分体验数学活动过程，从中感悟到重要的数学思想方法，从而为今后的数学学习提供方法和途径，这才是学习数学知识的终极目的。

（片段四）巩固策略，拓展迁移

师：当我们遇到复杂的问题时，要学会知难而退，那咱们就用今天所学的数学思想方法来解决其他难题，有信心吗？

生：有。

师：一个正十二边形的内角和是多少度？

学生很快地运用化难为易思想，进而通过观察比较、分析，总结归纳出正十二边形的内角和=（12-2）×180°=1800°，甚至类推出n边形的内角和=（n-2）×1800°。

【设计意图】让学生将学习过程中所感悟到的数学思想方法，自主地迁移、运用到解决问题的过程中，这样的安排，既帮助学生巩固了解决问题的策略，同时也让学生感受到了挑战成功的喜悦。

数学知识的简单渗透 篇4

一、通过历史名题的教学, 激发学生的学习兴趣

通过对历史名题的解答和探究, 可以激发学生的求知欲, 使枯燥乏味的习题教学变得富有趣味和探索意义, 从而极大地调动学生的积极性, 提高他们的学习兴趣。如在教“找规律”时, 可以介绍斐波那契数列, 即让学生观察这个数列有什么规律, 或者可以让学生求1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…的后一项是什么。这是个斐波那契数列, 也叫“兔子数列”。为什么叫“兔子数列”呢, 这个问题可以追溯到意大利的著名数学家——斐波那契, 他早年就随其父在北非师从阿拉伯人学习算学, 后又游历地中海沿岸诸国, 回意大利后于1204年发表了著作《算盘书》, 这个“兔子数列”就是《算盘书》里一个问题, 这个问题也称“兔子问题”, 是这样叙述的:“如果每一对成兔每月都生一对幼兔, 幼兔经过2个月后成为成兔, 即开始繁殖, 假定不发生任何死亡.问年初的一对幼兔经过一年后能繁殖成多少对兔子?”

二、利用数学家思维, 提高学生对数学思想方法的深入理解和牢固掌握

数学史不仅给出了确定的知识, 还可以给出知识的创造过程, 对这种创造过程的再现, 不仅能使学生体会到数学家的思维过程, 还可以形成探索与研究的课堂气氛, 使得课堂教学不再是单纯地传授知识的过程。如在讲“求1+2+3+4+…+100的和”的算法时, 可以介绍高斯在8岁的时候就能用简便方法算出这道题的答案。高斯是德国伟大是数学家, 也是物理学家和天文学家, 他是近代数学奠基者之一, 在历史上影响之大, 是世界上最伟大的四位数学家之一, 有“数学王子”之称。他为什么这么小就能用简便方法算出来呢?是因为他善于观察和分析算式的结构, 发现这个式子有一定的规律性, 就是首尾相加都等于101, 于是就把求不同数字之和的问题转化为求相同加数的和的问题, 从而用乘法很快就可以算出其结果, 这种方法在解题思想方法中称为“化归法”, 是很常用的一种方法。

三、利用数学家们的高尚品质, 提高学生的学习兴趣

数学家们高尚的品德和献身科学事业的精神, 是对学生进行情感、态度和价值观教育的生动素材。如在教“圆柱体积”的时候, 引入阿基米德的圆柱容球定理, 这是阿基米德在他众多的科学发现中最为得意的事情, 因此在他的墓碑上铭刻了“圆柱容球”这一图案。教师还可以适当地扩展一下阿基米德的生平事迹:在第二次布匿战争中, 阿基米德曾发明投石炮击退了敌人的进攻, 还利用抛物镜面的聚焦性质将集中的阳光照射到敌人的船上, 把他们的船烧毁等故事来激发学生的学习兴趣。由于学生还没有学过球的体积, 借此可以将题目适当地变换一下, 让学生证明任意一个正方形里内切一个圆。如图1所示, 圆和正方形的面积之比是否为一个定值, 从而让学生发现他们的面积之比为π。还可以扩展一下, 在一个半圆里内切一个最大圆, 如图2所示, 得最大圆和半圆的面积之比为1/22

在数学教学中, 由于有很多知识点可以跟数学史联系一起, 这就要求我们教师去研究和发现。我们应重视数学史的渗透和补充, 将数学史知识融入到我们的课堂教学中, 扩展学生的知识面, 激发学生的学习兴趣。

参考文献

记一个简单的渗透测试过程 篇5

朋友发来的一个站，让我帮忙看看，用了一上午时间把主站搞定了，可是主站是提不了权LINUX，而且内网90%都是WINDOWS的服务器，拿LINUX搞WINDOWS各种不爽，况且还是个低权限的，NMAP的各种参数都用不了。又从外网看了下C段，除了主站外对外开了三个WEB服务，俩静态的放弃了，就剩一个2K3+IIS+ASP的站。就他了!

操起各种SCANNER一顿扫，没注入点，找到了后台路径。惆怅了!发现了一个能和管理员留言的地方，于是乎猥琐流XSS盲打后台。管理员也很不负责，M天之后他才登陆。进了后台，发现管理员的密码居然是123456，真想狠狠的抽自己个嘴巴，然后再把手剁了!

进了后台发现了一处上传图片，未果，放弃。又四处逛逛，发现有个上传档案的地方，应该能上传webshell(如图1)。上传了个ASP文件成功了，点了下后台的下载链接居然直接下载了，找不到上传路径。抓包看了下，也不行。

我突然对这个上传产生了一点自己的看法，那就是：MLGB!!

没办法，想着在后台找个注入点读数据，把写在数据库里download的路径读出来，

有的被过滤了，有的加引号报错(图2)，MYSQL4的数据库，UNION查询9个字段，但是提示类型不正确CINT，应该是ASP代码里强制加了类型转换。

继续在后台找别的注入点，发现了能正常UNION查询的，搞之。MYSQL4的数据库果断LOAD_FILE。先读IIS的配置文件C:WINDOWSsystem32inetsrvMetaBase.xml，得到网站根目录。之后load_file数据库连接文件，在之前的LINUX的SHELL里连，怎么都连不上，纳闷了。猜数据库的表和列，猜到表了，但是死活猜不出保存上传存储路径的列。

没办法，读download.asp，的文件得到如图3.

分析下代码，请注意

strAbsFile = Server.MapPath(“.”) & “file” & strSNO & trim(rs(“”))

这句。

原来上传的文件保存规则是网站根路径file上传文件的ID.后缀。

这样问题就解决了!嗯哼，成功拿到webshell，然后就开始各种猥琐的内网渗透，就不写了。。

因为是上班时间，行文比较流水，请大家见谅。

数学知识的简单渗透 篇6

诺贝尔经济学奖获得者理查德·斯通曾经在“社会科学中的数学”一文中提出了社会科学中使用数学的五个理由:“首先是社会科学的许多分支明显在当量化, 人口统计学和经济学是这方面明显的例子;其次社会科学的主题, 关于复杂系统的理论是用文字表达的而他们的分析与比较更适合用数学表示;第三, 除非这些理论关系可以定量化, 否则它们的应用就只能是很一般化的;第四, 对于一些主题中比较模糊、甚至很难得到确切信息的概念, 数学可以提供一种领会的手段;最后, 社会科学关注的不只是描述发生了什么, 它们之间是如何联系的, 还在于隐藏在背后的有效还是无效的决策, 在很大程度上, 这些决策过程可以数学地表述和分析, 使得我们的决策可以较多地依赖于知识, 较少地依赖推测。

数学源于实践, 高于实践, 又服务于实践, 数学的发展日益广泛和深入地渗透到社会科学领域, 数学课程设置要根据发展趋势及时更新教学理念和教学思想, 要了解授课对象的专业知识背景, 将专业知识与数学知识进行有机的结合, 在数学教学过程中最大限度地渗透专业课的知识, 再依此实施教学, 紧密联系实际, 体现应用为本;服务于专业培养目标需要, 实施分类教学;制定教学内容和教学方法, 淡化高等数学理论, 提高数学教学质量。

以商学院为例, 经济学是商学院学生必修的专业课程, 经济学发展到今天, 数学科学为定量分析提供方法和工具, 成为经济学理论的基础工具。在过去的20世纪, 国外许多经济学者已着眼于数学中研究不确定性、不稳定性引发的复杂性现象的方法, 用数学方法考察现代经济社会中的各种经济数量关系, 预测经济发展趋势, 检验经济政策效果。将数学方法应用于经济中已成为西方经济学的一个重要的特点。所以数学课程对于商学院学生来说显得更加重要, 而大学生在学习过程中普遍存在重专业轻基础的现象, 作为基础课程的大学数学课程更是得不到学生的重视, 所以, 在数学课上如果能够很好地将经济学的内容融入到对数学知识的分析和讲解当中, 能够使学生认识到数学知识对专业课学习的重要性, 调动学生学习数学的积极性和主动性, 会收到非常好的课堂教学效果, 下面选了几个典型的高等数学知识与经济学知识相融合的例子, 希望起到抛砖引玉的作用。

例1.在讲授导数定义和几何意义时可以融入导数的经济学意义。经济学上将函数的导数称为边际函数。以总成本函数C=C (Q) 为例, 其导数:C′=△liQm△C→0△Q (1) 称为边际成本函数, 也就是MC, 显然C′ (Q) >0, 式子 (1) 中Q是自变量相当于导数数学定义中的x, C是因变量相当于数学定义中的y, 所以 (1) 仍然表示的是因变量的增量与自变量增量的比值的极限。

例2.在讲授不定积分定义时可以融入经济学中总量函数的概念。设总量函数P (x) 可导, 其导数 (边际函数) 为P′ (x) , 则总量函数P (x) =蘩P′ (x) dx (2) 其中的积分常数可由某一点的总量函数值确定。用这一例子来解释积分的定义可能比纯数学语言更容易懂, 同时也可以用它来说明导数与积分的关系, 是一个很好的融合点。

例3.在讲述多元函数的偏导数时可融入多元经济函数的边际函数的概念, 多元经济函数的偏导数有其相应的经济意义:设需求函数为Q=f (P, P1, M) , 这里Q为商品的需求量, P为该商品的价格, P1为与此商品有关的另一商品的价格, M为消费者的收入。偏导数坠Q, 坠Q, 坠Q分别为价格P的

坠P坠P1坠M

边际需求、相关价格P1的边际需求和收入M的边际需求。更加具体细致的解释请见参考文献[2]。这一例子不但可以用来解释多元函数的概念, 也可以用来说明多元函数偏导、全微分的含义。

这样的例子有助于商学院学生学习高等数学, 深刻理解和掌握数学概念的含义, 对调动学生数学学习兴趣起到事半功倍的作用。因此, 只要我们数学教育工作者真正地明确教学目标, 了解教学对象所学专业和知识背景, 能够将数学知识融入到教学对象感兴趣的问题当中, 从数学的角度讲述他们所学的专业课知识, 学生就会对数学感兴趣, 就能够认识到数学的重要性, 我们的教学就会变得主动, 我们的学生必将会学数学、会用数学, 从而喜欢数学。

摘要：本文以商学院为例, 提出了将数学课程教学与学生所学专业课知识相融合的教学方法, 并列举了几个简单的融合点。

关键词：数学教学,专业知识,高等数学知识,经济学知识

参考文献

[1]景海.浅谈阅读教学中的美感效应[J].内江科技, 2010.

[2]张从军, 李辉, 鲍远盛, 刘玉华.常见经济问题的数学解析[M].东南大学出版社, 2004.

[3]陈娟, 戴斌祥.关于经济专业数学教学改革的思考.数学理论与应用, 2002.

数学知识的简单渗透 篇7

一、经历构建概念过程, 渗透分类思想

当学生学习了平角、周角的概念后, 为了让学生对角有更深入的理解, 必须对角进行分类, 理清锐角、直角、钝角、平角、周角之间的关系。因此, 学生根据角估认角的类型, 从而加深对角概念的理解。学生通过对角的测量来修正角的类型, 形成根据角的度数区分直角、平角、锐角、钝角和周角的策略。学生对下列角自主估认、测量、分类后, 进行交流并汇报。

生1:∠1和∠6是锐角, 因为这两个角比直角小。经过我的测量, ∠1的度数是45°, ∠6的度数是50°, 我的估认与我的测量结果相同。

生2:∠3是平角, 因为平角的两条边在同一直线上, 与量角器经过中心点的0刻度线完全重合, 度数是180°。∠5是周角, 因为周角是射线绕它的端点旋转一周所成的角。当周角的一条边绕它的端点旋转到同一直线上时形成平角, 这时正好是180°;再旋转到两条边重合在一起时, 等于2个平角, 所以∠5的度数是360°。

生3:∠2和∠7是钝角, 因为这两个角比直角大。经过测量, ∠2的度数是120°, ∠7的度数是130°。∠4是我的估认与实际测量不相同的, 我估认∠4是锐角, 经过测量发现∠4是直角。

生4:我想补充∠7不需要测量也能知道度数, 因为∠6和∠7形成一个平角, 已测得∠6=50°, 所以∠7=180°-∠6=180°-50°=130°。因此, ∠1和∠6是锐角, ∠4是直角, ∠2和∠7是钝角, ∠3是平角, ∠5是周角。

生5:我和同桌通过填表的方式来研究角的分类。

生6:我还知道各角之间的关系, 因为锐角<90°, 直角 =90°, 90°< 钝角 <180°, 平角 =180°, 周角 =360°, 所以, 锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角。

生7:我想补充生6的各角之间的关系, 1平角 =2直角, 1周角 =2平角 =4直角。

要对角进行有效分类, 确定分类标准是至关重要的。学生经历估认角的类型、测量角的大小后再根据角的度数对角进行分类, 逐步概括并形成角的概念。正如, 《义务教育数学课程标准 (2011年版) 》中所指出的那样:“通过多次反复的思考和长时间的积累, 使学生逐步感悟分类是一种重要的思想”。

二、经历估量、测量过程, 渗透数形结合思想

根据给定的角来估计角的度数, 根据角的度数来想象角的大小, 是学生学习角的度量的难点。如何让角的图形与角的度数有效结合?学生一组组地进行观察和比较, 判断每组中两个角的大小 (如图2) 。根据学生的原有认知, 绝大多数学生认为每组中上面的角比下面的角大一些, 理由是下面的角的边比上面的角的边长。

基于学生空间观念发展的特点, 学生用一幅三角板拼一拼图2中的每一组角, 判断上面的角与下面的角的大小, 并分别比较∠1, ∠3, ∠5和∠7及∠2, ∠4, ∠6和∠8的大小。学生用三角板拼后进行交流。

生1:我用三角板中的一个小角 (指30°角) 去拼∠1和∠2, 发现∠1和∠2是一样大的。

生2:我也用三角板上的小角去拼第二组中的∠3和∠4, 发现∠3和∠4都含有2个小角。

生3:我是用三角板上的大角 (指60°角) 去拼∠3和∠4, 发现∠3和∠4都是一个大角。

生4:我是用三角板上的小角去拼第三组的∠5和∠6, 发现∠5和∠6都含有4个小角。我的同桌用大角去拼, 发现∠5和∠6都含有2个大角。

生5:我用三角板上的大角和小角都无法拼出第四组中的角, 第四组中的角无法判断。

生6: (边展示边说) 我用两块三角板能拼出∠7和∠8, 先用含有小角的三角板拼直角, 再用另一块三角板的角 (指45°角) 就拼出了∠7和∠8。虽然我知道∠7和∠8一样大, 但我不知道∠7和∠8的度数。

师:角的大小与什么因素有关?

生1:经过比较, 角的大小与角两边的长短没有关系。

生2:角是从一点引出两条射线所组成的图形, 因为射线的一端可以无限延伸, 所以, 角的大小与角两边的长短无关。

生3:我发现∠1含有一个小角, ∠3含有两个小角, ∠5含有四个小角。角的大小与两条边张开的大小有关, 张开得越大, 角越大。

师:经过同学们的观察与比较, 得出角的大小要看两条边叉开的大小, 叉开得越大, 角越大。请同学们再比较∠1, ∠3, ∠5和∠7四个角的大小, 有多大, 大多少?

生1:∠3的度数是∠1的2倍;∠5的度数是∠3的2倍, 是∠1的4倍;∠7的度数是∠1的4倍多一些。因此, 这四个角的大小是∠1<∠3<∠5<∠7。

生2:用我的三角尺无法判断四个角的度数和大多少, 而我同桌三角尺上的度数能判断这四个角的度数。

生3:用三角板来判断角的大小, 要比对要计算, 不仅麻烦, 而且有的角无法用三角板来判断。比较角的大小, 要用量角器。

学生先估计一幅三角板上各个角的度数, 并量一量各是多少度, 再用量角器测量∠2, ∠4, ∠6和∠8中四个角的度数。学生估计与测量后, 进行交流并展示。

生1:长度标注在直角边的三角尺, 我的估测与测量的结果是相同的, 分别是90°、60°、30°。

生2:长度标注在底边的三角尺, 我的估测与测量的结果有不同的地方, 在估测时, 下面的两个角分别是40°、50°, 实际测量时发现这两个角的度数都是一样的:45°。

生3:经过对一幅三角尺的测量, 我发现开口向右的角一般要看内圈刻度, 开口向左的角一般要看外圈刻度。

生4:经过对∠2, ∠4, ∠6和∠8四个角的测量, 我测量的结果是∠2=30°、∠4=60°、∠6=120°、∠8=135°。我发现∠4比∠2大30°, ∠6比∠4大60°, ∠8比∠6大15°。

生5:四个角测量的结果与我们拼的结果一样, 而且, 我从四个角的比较中发现角可以看作一条射线绕其端点旋转一定度数后形成的图形。

学生6:经过测量, 我现在能比划出30°、45°、60°、90°、120°、135°的角。我能想象出30°、45°、60°、90°、120°、135°角的大小。

三、经历多元作图过程, 渗透类比思想

学生在学习画角知识时, 可以充分利用原有量角的知识和经验。学生不仅经历了画角的过程, 更重要的是引导学生充分经历类比的过程。如何让学生经历画角的过程, 从而培养学生的类比推理能力?学生选择合适的方法画出下列各角 (10°、45°、60°、90°、105°、120°、165°) , 并说说它们分别是哪一种角。学生先自主画角, 再分组讨论, 然后进行展示。

生1:我每个角都是用量角器画的, 因为我们已经学过量角的方法, 所以用量角器画角比较简单。在用量角器量角的时候, 先把量角器放在角的上面, 使量角器的中心和角的顶点重合, 零刻度线和角的一条边重合。因此, 我在画一个60°的角时, 先画一条射线, 使量角器的中心和射线的端点重合, 零刻度线和射线重合。在用量角器量角的时候, 接着要看角的另一条边所对的量角器上的刻度, 就是这个角的度数。因此, 画角时, 在量角器60°刻度线的地方点一个点。然后, 以画出的射线的端点为端点, 通过刚画的点, 再画一条射线。最后, 标好角的符号及度数。

生2:我觉得有的角用三角尺画比较简便, 用三角尺可以直接画出45°、60°、90°的角, 而10°、105°、120°、165°的角用量角器画比较简便。

生3:我除了10°的角要用量角器外, 其他的角用三角板都可以完成, 其中105°、120°、165°的角需要一幅三角板才能画出来。

师:谁来介绍一下用一幅三角板画出105°和120°、165°的角?

生4:画105°角的方法是:利用45°+60°=105°, 可以先用三角板画出一个45°的角, 然后与45°的角共一条边再画出一个60°的角, 这两个角的和就是105°。画120°角的方法与画105°角的方法是相同的, 可以利用60°+60°=120°或者90°+30° =120°来画。

生5:画165°角的方法是:利用30°+45° +90°=165°, 可以用三角板画一个30°的角, 再接画一个45°的角, 然后再接画一个90°的角, 这三个角的和就是165° (如图3) 。

生6:我补充画165°角的方法, 利用45°+60° +60°=165° (如图4) , 我的同桌利用180°—15° =165°也能画165°的角 (如图5) 。