数学知识（通用12篇）
数学知识 篇1
日常教学中, 我们都有这样的感受:有些数学课, 本身的思维容量比较大, 这样的课就有很多创新的空间, 容易“出彩”;而有的课, 内容相对简单, 不容易“出彩”。那么, 这样的课仅仅满足于学生学得轻松, 教学效果好就够了吗?到底简单的课该怎么上?
笔者认为, 简单的课要上出“数学味”, 关键要站在“数学”的角度而不仅仅是“知识”的角度考虑问题, 引导学生从学习“数学的知识”走向体验“知识的数学”。“数学的知识”侧重于“知识”, 重视“教教材”, 教师考虑的是采用什么样的教学方法让学生获得知识, 重在对具体教学方法的选择;而“知识的数学”侧重于“数学”, 重视用教材教, 即通过知识这个载体, 探究知识背后的数学价值, 培养学生的数学意识、数学思维, 发展学生的数学素养。
一、发展“知识”背后的“思维”
不少教师在研读教材时, 往往只从知识的角度来分析和设计教学, 重视知识的教学, 而忽视知识背后思维价值的开发, 这样对于简单的数学课, 也就上不出“数学味”, 不利于学生思维的发展。
例如苏教版六年级上册“倒数”一课, 就数学知识的角度来看, 要求学生掌握倒数的意义, 会找一个数的倒数, 这对于六年级的学生来说是非常简单的。那么, 学习“倒数”仅仅是为以后的数学学习奠定知识基础吗?我觉得还不够, 应该要挖掘教材的数学价值, 在学习数学知识的同时发展学生的数学思维。
“倒数”的知识, 研究的是两个数之间乘积的关系。而在小学数学中, 很多内容都是研究事物之间关系的, 如“平行”和“垂直”是研究同一平面内两条直线的位置关系;“因数”和“倍数”是研究两个数之间的整除关系;“加”和“减”是研究两个数量之间的和差关系。因此“倒数”的教学, 要站在数学的高度, 把握这一知识点之上的整个知识结构, 引导学生主动联系已学的知识, 贯通数学知识之间的联系, 体会两个数之间的特殊关系, 实现知识的自主建构。
课始, 我启发学生:同学们, 我们之前学过很多有关“数”的知识, 其实“数”与“数”之间有很多特殊的关系, 你能说说你学过的哪些数学知识是两个数之间的关系?学生交流后, 教师举例:比如“ () × () =0”, () 里可以填哪两个数呢?那么, 两个数相乘等于1的关系是怎样的呢?今天我们一起来研究。这样, 联系学生已有的知识经验, 通过“两个数相乘等于0的关系”引入到对“两个数相乘等于1的关系”的探究, 深化了学生对于“两个数之间的关系”的体验, 体会到数学知识之间相互联系的结构化思想。
二、展现“结果”背后的“过程”
数学知识往往是以结果的形式来呈现的。数学教学要让学生经历知识形成的过程, 并在这个过程中经历观察、比较、归纳、推理等数学活动。“倒数”一课的教学, 要在获得数学知识的同时, 让学生经历和体验“从特殊到一般”的归纳过程和“从一般到特殊”的演绎过程, 体会到数学的“普遍性”和“特殊性”。
1. 从特殊到一般:体会“普遍性”
“倒数”概念的建立, 是让学生在对一些具体算式的观察对比的基础上, 归纳这些算式的共同点:两个乘积是1的数互为倒数, 这是“从特殊到一般”的过程。在这一过程中, 有一个问题必须明确, 那就是“成为倒数的两个数不一定都是分数, 整数或小数也可以互为倒数。”平常教学中, 由于教师往往先选择分数的例子, 容易让学生形成只有两个分数才能互为倒数的错误认识, 即使到后面再研究整数的特例, 学生已经先入为主了。
教学中, 我出示: () × () =1, 引导学生独立探究、合作交流, 学生出现了四种情况: (1) 小数和整数相乘的情况:0.5×2=1, 0.25×4=1, 0.125×8=1; (2) 整数与整数相乘的情况:1×1=1; (3) 分数与分数相乘的情况:; (4) 整数与分数相乘的情况:。引导学生概括这些算式的共同点:两个数的乘积都等于1, 从而揭示“倒数”的概念:乘积是1的两个数互为倒数。这样, 从特殊到一般, 拓展了问题和思维的空间, 引导学生综合应用数学知识解决问题。另外, 避免了“只有两个分数才互为倒数”的错误认识。
2. 从一般到特殊:体会“特殊性”
在形成“一般方法”后, 再应用到对“特殊现象”的研究, 这是数学“演绎”方法的体现, 有利于巩固“普遍性”知识, 完善学生的认知结构。在学习倒数的意义, 掌握求倒数的方法后, 要研究一些特殊数的倒数, 如整数的倒数、1的倒数等。那么, 能不能把找整数、小数倒数的方法纳入到找分数倒数方法——交换分子分母的位置这一知识结构中呢?
教学中, 我首先引导学生研究互为倒数的两个分数之间的关系, 小结得出:找一个分数的倒数, 只要交换分子分母的位置。然后, 沟通整数、小数和分数倒数之间的联系, 引导学生观察:0.25×4=1, 1×1=1……0.25的倒数是4, 4的倒数是0.25;1的倒数是1……讨论:小数的倒数, 整数的倒数, 能不能也像求分数的倒数一样, 把分子和分母倒过来呢?这样, 从最基本的求分数倒数“把分子分母倒过来”的原始方法出发, 沟通了与求整数、小数倒数方法的联系, 体现了数学知识“普遍性”的特点, 体会到“普遍性”与“特殊性”的统一。
三、追问“方法”背后的“算理”
新课程理念下的计算教学, 强调算法与算理的结合, 重视算法的形成过程, 引导学生在探索算理的基础上掌握算法。而问题是, 对于简单的计算知识, 学生已经能够顺利迁移原有的算法形成新的算法, 这样的课, 如何重视算理的教学?
例如苏教版三年级上册“整百数乘一位数的口算”一课。由于学生有了整十数乘一位数口算的基础, 因此像“200×2”这样的口算, 学生都会算了。学生已经会了的, 教师如何教?这是一般教师比较头疼的问题。
1. 提炼核心问题
本课中, 对于“200×2怎么算”的问题, 学生可以顺利迁移“整十数乘一位数”的口算方法:先算2×2, 再在后面添两个0。在学生口算出答案后提出两个问题:你怎么能证明400一定是对的呢?为什么能先算2×2, 再在后面添两个0呢?第一个问题解释了乘法的意义:2个200就是400;第二个问题解决了算理问题。教师在学生讨论交流后小结:学习数学, 不仅要掌握方法, 而且要知道这样算的道理。这两个核心问题的提出和解决, 让本来简单的数学知识“厚”了起来, “算理”教学的重点得到了有效的突破。
2. 体验数学思想
对于“为什么可以这样算”的算理, 教师并不只是让学生简单说道理, 而是利用数形结合的思想方法, 选择了“计数器”这个有效的载体。教师结合“计数器”的拨珠, 引导学生联系已经学过的“一位数乘一位数的口算”“整十数乘一位数的口算”来理解“整百数乘一位数口算”的算理:2×2, 就是在个位上拨2个2, 得4个一;20×2, 就是在十位上拨2个2, 得4个十, 所以在4后面添一个0;200×2, 就要在百位上拨2个2, 得4个百, 所以在4后面添两个0……这样, 算理的理解和拨珠的过程相结合, 学生直观、清楚而又深刻地理解了算理, 这是其他教学形式都不能替代的。在此基础上, 教师再作延伸:如果再写下去, 2000×2应该怎样拨, 怎样算呢?2000×2, 就要在千位上拨2个2, 得4个千, 所以在4后面添三个0。
四、重视“算法”背后的“技能”
传统的计算教学强调“熟能生巧”, 往往通过高强度的练习来巩固算法, 提高计算的熟练程度。新课改以后, 重复机械的计算训练减少了, 但训练的量得不到保证, 学生的计算能力较课改前出现了明显的下降。事实上, 计算教学不能回避训练。在学生理解算理掌握算法后, 要提高学生的计算技能, 则需要一定训练量的保证。
“整百数乘一位数的口算”一课中, 教师安排的题量比较大, 采用口算、笔练以及同桌相互算等多种形式, 让学生在练习和反馈矫正中提高计算技能。此外, 在常式练习的基础上, 还设计了丰富的变式练习。一方面通过形式的变化, 提高学生计算练习的兴趣, 另一方面通过题组对比, 沟通了知识间的联系, 突出了计算方法的本质, 有利于完善学生的认知结构。
比如, 安排“500×3, 300×5;400×6, 600×4……”这样的题组练习, 计算后, 教师启发学生思考:为什么每组的答案都是一样的?这样通过比较, 强化了计算方法:都是先算0前面的数, 每组中0前面的数都是相同的, 再在后面加上相同个数的0。然后, 让学生编一些“变化后结果仍相等的题目”以及“ () × () =1600”这样的开放题, 学生学得主动, 练得有趣。
五、培养“知识”背后的“意识”
发展学生的数学素养, 不仅要让学生掌握数学知识, 体验数学思想和方法, 还要注重培养学生的数学意识。就“整百数乘一位数的口算”一课来说, 仅仅让学生掌握正确计算的方法, 还只是停留于知识教学的层面。因为在实际生活中, 真正“整百数乘一位数”的口算应用并不多, 更多的是接近整百数的数乘一位数的口算, 如商场里一件衣服往往标价299元、399元等。因此, 如何让学生体会到“整百数乘一位数口算”与生活的联系, 提高学生解决实际问题的能力, 显得相当重要。
本课中, 教师创设了丰富的生活情境, 培养学生的应用意识和估算意识, 引导学生掌握估算的方法, 从而解决实际问题。如下图:
这是公园景点的地形图, 小明要绕景点一圈, 大约要走多少米?让学生估算, 组织合作交流。教师还引导学生思考:别人的答案是怎样估计出来的?哪个数据估计得更准确些?
简单的数学课要上出“厚度”, 更需要教师深厚的学科功底。教师应该从学科本质出发, 开发显性知识背后的数学价值, 引导学生经历丰富的数学活动, 体验思想方法, 从而发展数学素养。
数学知识 篇2
随着中考制度的不但改革，要求学生的能力在不断提高，除了应掌握的课本知识外，还要学会应用课本知识解决实际问题的能力，这就要求教师除了培养学生的基本技能外，还要培养学生分析问题和解决问题的能力，先将有关中考中常考的几种题型总结如下，供同行们商榷。
题型一：列一元分式方程解应用题问题：
例题1:(日照) 春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心。“一方有难、八方支援”，某厂计划生产1800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务.求原计划每天生产多少吨纯净水?
解:设原计划每天生产x吨纯净水，则依据题意，得：180018003, x1.5x
整理，得：4.5x=900，解之，得：x=200， 把x代入原方程，成立，
∴x=200是原方程的解.答：原计划每天生产200吨纯净水.
点评：此题重点是解决原计划和实际生产的纯净水之间的倍数关系，从而就可以列出提前3天的函数关系是，也是解此类一元一次方程的关键所在。
题型二：通过一元一次分式方程及不等式解实际应用问题。
例题2：(2010济宁)某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.
(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量(以百米为单位)的方案有几种?请你帮助设计出来. 解：(1)设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设(x20)米. 根据题意得：350250.解得x70.检验: x70是原分式方程的解. xx20
答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米.
(2)解：设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队(1000y)米. y10,70由题意，得解得500y700.所以分配方案有3种.
1000y10.50
方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米;
方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米;
方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米.
点评：解决此类问题的关键是找出等式的条件，从而使问题(1)得到解决，解决问题(2)的关键是列出不等式。在500y700的条件下找出三种方案。
题型三：通过二元一次方程组解决实际问题。
例题3：(东营)如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(吨・千米)，铁路运价为1.2元/(吨・千米)，且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元.求：(1)该工厂从A地购买了多少吨原料?制成运往B地的产品多少吨?(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?
解：(1)设工厂从A地购买了x吨原料,制成运
往B地的产品y吨.则依题意，得：
,1.5(20y10x)15000.解这个方程组，得：1.2(110y120x)97200
,x400. y300
∴工厂从A地购买了400吨原料,制成运往B地的产品300吨.
(2)依题意，得：300×8000-400×1000-15000-97200=1887800
∴批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.
点评：通过购买原料和运成品列出满足公路和铁路运费的条件从而解决了得到利润。 题型四：通过与三角函数的结合解决有关实际问题。
例题4：(2012 东营)如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离?(参考数据：sin36.9°≈331212
，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈) 54135
B 解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里.
PCPC5x，∴AC=. ACtan67.512
PCx4x 在Rt△PCB中，∵tan∠B=，∴BC=. BCtan36.93
5x4x ∵AC+BC=AB=21×5，∴215，解得x60. 123P PCPC605 ∵sinB，∴PB. 60100(海里)PBsinBsin36.93 在Rt△APC中，∵tan∠A= C A ∴向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里. 点评：解决此类问题的关键是三角函数的定义，准确把握三角函数的定义的比值，找出边的 关系列出方程，才能正确解决好种类题型。
数学知识 篇3
关键词 数学概念 引入 建立 巩固
数学是研究数量关系和空间形式的科学。概念在数学学习中无处不在。所谓数学概念就是指客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映，是数学基础知识的重要组成部分。历史上很早就产生了数学概念，在《九章算术》中就出现了分数、负数等概念。《数学课程标准》指出：“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。” 据不完全统计，小学数学教材中的数学概念有五百多个，几乎每堂课都涉及有关概念。学习数学概念有利于促进思维，提高小学生的认知能力；有利于简化知识，使小学生的知识更加条理化；有利于丰富知识，为学生的知识创新储备能量。教给学生正确、清晰、完整的数学概念，是提高数学教学质量的根本。教师应该认真研究概念建构教学的模式，使学生形成准确的概念。
一、数学概念的引入阶段
1.数学概念引入的前提。⑴教师要认真研究教材。概念的掌握是一种特殊的认知活动，需要各种复杂的心理过程，特别是一些较难的数学概念，教学时需要一个深入细致的工作过程。教材是学生学习的重要资源、教师教学的重要依据。它不仅决定课堂教学内容，而且提供了教学活动的基本线索和方法。因此，钻研和理解教材，是组织概念教学的重要前提。
在《认识面积》课堂上，一位教师只讲了四句话总结面积概念：第一句话：物体都有面。板书：物体的面，接着课件展示：荷叶、乒乓球桌、湖面……这些都是学生熟悉的物体，都能够接受，又比黑板、课本、课桌视野更开阔些。这些物体，有的面很小，有的面很大很大。接着，老师说第二句话：它们有的面大，有的面小（看着画面，学生感知后，能够懂得）。接着说第三句话：每个面都有自己确定的大小。第四句话：物体的面的大小叫做面积（板书：面积）。对于这四句话的提炼，可见教师在教学之前研究教材之认真。
⑵教师要准确理解概念。要让学生准确理解概念，教师首先要准确理解概念，做好让学生准确理解的设计。在教学面积的概念时，每个老师都知道，物体表面的大小叫做面积。平面图形表面的大小叫做它的面积，这些以前教科书上都有。但这“大小”两个字的意思到底是什么？有大有小？还是有其他的意思？其实，当一个封闭的图形形成后，就确定了它的形状和大小，这确定的意思就是可以度量、可以描述。那么“大小”的第一层意思就是：每一个面都有它自己的大小。因为大小不同，所以物体有的大，有的小。那么“大小”既有确定面的大小，也有大小比较的意思。概念本身应抓住每个物体的面都有确定的大小，这确定的大小就是它的面积。所以教师正确、准确地理解概念，再通过有效的教学，可以为学生形成正确的概念打下坚实的基础。
2.数学概念引入的方法。数学概念包括数与代数方面的，还有空间与图形方面的。我们可以根据概念的不同采取不同的方法引入。
⑴重视感知，从实际引入概念。小学生对事物的认识是从具体到抽象，从感性到理性，从特殊到一般的逐步发展过程。小学数学中的许多概念，都是从小学生比较熟悉的事物中抽象出来的。它的讲授方法坚持直观的原则。运用直观的教学活动，让学生感知有关的对象，获得感性的认识，建立反应事物本质属性的表象，是概念建立的基础。在学生丰富直观的体验中领悟概念的关键特征，由此强化对概念的理解。
在《认识面积》教学中，教师让学生先摸一摸课本封面，且提出摸的方法指导：张开手，慢慢地摸，要摸到面的全部。这样孩子可以放松，在自然状态下摸。要求一边摸，一边感受封面的大小，接着看黑板的表面。把它与课本封面比一比，用完整的语言描述黑板的表面比课本封面大，并用课件将这句话呈现，接着让学生摸摸桌面，再看看地面，有什么想说的。互相说说。通过这几个活动，让孩子感知面的表象，引入概念。
⑵重视感悟，从情境中引入。数学情境是沟通现实生活与数学学习、具体问题与抽象概念之间的桥梁。创设直观生动、学生易于接受的学习情境，有利于丰富学生的感性认识，激发学生的求知欲，促进直观形象向抽象概括的转化。
教学《体积和体积单位》时，随着“乌鸦喝水”故事情境的引入，学生兴趣盎然地投入到观察实验之中，由放进水中的石子引起杯里水面高度的变化而认识到“物体占有一定的空间”，再经过两次（一次放书包，一次放文具盒）摸抽屉来感受“物体所占的空间有大有小”。在此基础上，老师顺势引导学生概括出体积的概念。再将趣味性的故事情境和现实性的生活情境结合起来，通过观察和实践，就把一个抽象的数学概念，变为学生看得见、摸得着的数学事实，降低了学生理解和形成概念的难度。
⑶重视已知，从旧知中引入。当新概念与原有概念联系密切时，不需从新概念的本义讲起，只需从已学过的与其有关的概念中加以引导，便可引出新的概念。
学习“素数和合数”这一概念，是在约数和倍数以及能被2、5、3整除的数的特征基础上进行教学的，是一节较抽象的概念课，没有生活的模型为依托且容易与奇、偶数等概念相混淆。因此，我在教学的时候打破常规，师生问好后，没有让学生坐下。而是利用学生的座号数说：“老师先请座号数是奇数的同学坐下，再请座号数是偶数的同学坐下。”学生都坐下后再问：“×××（偶数号），第一次，你为什么不坐下？”学生回答：“因为我是12号，能被2整除，是偶数。”我说：“很好，按照能否被2整除，我们已经认识了奇数和偶数这两位老朋友，今天呀！我们又迎来了两位新朋友——素数和合数。（出示课题）”这样的导入，很好地将旧知与新知联系起来，让学生学得自然省力。
二、数学概念的建立
1.通过预习建立概念。某些概念，在数学教学中，是无法探究也无需探究的，它没有“为什么”可言，更多的是某种科学上的约定。这样的知识在课一开始，即宣布学习内容，直奔主题，让学生有所准备。接着让学生预习，从书本中了解与本课学习相关的内容。结合学生自学的细致程度，组织学生交流学习感受实为必要。让学生在交流中，举例证明自己的观点，补充他人的观点。如，在学关于分数、整数、小数这样的概念时，可以让学生先通过预习，教师设计一些判断题让学生互相交流。不要将时间花在理解为什么叫整数、为什么叫小数、为什么叫分数这样的问题上。
2.通过抽象概括建立概念。抽象概括是形成概念的一种思维过程和方法。从思想中把某些具有一些相同属性的事物抽取出来的本质属性，推广到具有这些属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。许多名师在课堂中都喜欢说半句话。师说上半句，生接下半句。利用这种方式，帮助学生抽象出概念。
3.通过对比建立概念。数学中的一些概念是相互联系的，既有相同点，又有不同之处。注意比较有联系的概念的异同，划清了异同界线，才能建立明确的概念。而对这类概念，应用对比的方法找出它们之间的联系、区别，这样会更有利于学生对数学概念的建立。如:长方形、正方形都是特殊的平行四边形，相同处是都有四条边、对边平行且相等，四个角都是直角。不同处是长方形对边相等，正方形四条边都相等。
4.通过理解建立概念。概念的掌握，需要说出概念所反映的一类事物的共同本质属性；理解概念定义中的关键词，明确概念的内涵和外延，从而建立概念。
教学《认识面积》时，我在让学生感知概念后，注意发展概念的外延，设计从一个长方形的六个面说说哪个面比哪个面大，将一个面画到黑板上，映出平面图形也有它的大小，在此基础上得出平面图形的大小就是平面图形的面积，板书：平面图形的大小叫做平面图形的面积。再要求学生用涂颜色的办法涂出平面图形的面，感受黑板上平面图形的大小就是平面图形的面积。再画一个比黑板上小一些的面积。涂涂它的大小，感受它的面积，进一步体会平面图形的面积。这一活动使学生准确地理解了“面积”这一概念的内涵和外延，建立了面积这一概念。
三、数学概念的巩固
概念的巩固和概念的建立同样重要，我们要加强对教学概念的巩固，促进概念的深化。
1.对概念进行“深加工”，促进概念深化。小学生对概念的掌握不是一次就能完成的，需要从具体到抽象，再由抽象到具体多次反复巩固。在巩固中，由于小学生的认知还不是很成熟，学生在学习数学概念的过程中难免会产生一些概念错误，例如概念外延的缩小或扩大、内涵扩大或缩小以及概念与概念之间的交叉等等。比如，面积和周长是一组容易混淆的概念。认识面积之前学生已经认识了周长，学了面积后，学生会不会将面积和周长的意义混淆呢？这就需要我们教师要对概念进行“深加工”。
教学《认识面积》时，在学生自主探索、合作交流得出了比较面积常用的基本方法后，我又提出，用毛线围两个图形的边，通过比较毛线的长短来比较图形的大小。对于这种做法，你有什么想说的？引导学生说出其不妥的地方。接着又设计了：学生先闭着眼睛想一想周长和面积的样子，随后教师随意地说几件事情，让学生用动作来回答，如果是跟“周长”有关，就做画线一圈的动作，如果是跟“面积”有关，就做涂、摸动作。教师说了这样几个例子：⑴沿着操场跑一圈；⑵工人师傅铺草坪；⑶放学后，值日生扫地；⑷黑板镶上铝合金边等等。学生分别做了相应的动作。在学生对这两个容易混淆的概念比较后，我又设计了几个有效的练习：用看的方法比较几个省的面积大小；用数方格的方法说图形的面积；出示学校平面图的方法，比较各场所的大小；根据课件里的自我介绍猜是什么物体。通过一系列对概念的“深加工”，促进了概念的深化。
2.建立“关系树”，促进概念深化。学生存入記忆的概念组织得越好，提取越容易，让学生自己按概念间的关系对概念加以整理，并在脑中记住这种组织，更有利于提取。帮助学生贯通概念间的联系，建立有关的“关系树”。
教学“方程”时，学生对方程的理解不是很清晰，教师可在学习后，让学生将所学的式子分分类，其目的是为了在学生头脑中建立“关系树”，这样，学生对于方程概念的认识也就比较深刻和清晰了，从而也深化了方程这一概念。
数学知识 篇4
阅读下面有关数学知识的案例, 并请读者思考“什么是数学知识”.
案例小学数学教师对“数学知识”的认识
在“浙江省小学数学新教材教学研讨”活动期间, 笔者向不同年龄阶段的数学教师提出一个问题:“什么是数学知识?”以下是一些笔录:
老年教师 (男, 53岁, 小学高级教师) :数学知识就是数学课本的知识, 学生会解课本中的练习, 一般应该说掌握了数学知识.
中年教师 (女, 39岁, 小学高级教师) :数学知识应该包括数学书上的数学概念、定律、法则、计算, 当然, 还有一些几何的东西, 一下子也说不完.
青年教师甲 (女, 23岁, 小学一级教师) :数学知识包括数与代数、几何、统训、概率、实践与综合应用等的知识.
青年教师乙 (男, 24岁, 小学一级教师) :数学知识包括数学基本知识, 还有数学的思想, 数学方法, 等等.
这个案例揭示数学教师对“数学知识”的不同理解“数学知识”在基础教育中大约是使用频率最高的跨学科的教育专用词之一.这种被使用的状况, 一方面反映出它在数学教师心目中的重要地位;另一方面, 它又似乎在人们的泛用中成了教学日常用语中含义不言自明, 也无需考究的“常识”.“数学知识”确实重要, 教育界乃之于整个社会恐无异议, “数学知识”的理解与掌握, 也早已成为毋须争议的命题.但是, 把它看做“常识”, 看做无需研究的不言自明物, 则大谬不然, 上面案例2很能说明什么?实际上, 这个看似基本的问题 (什么是数学知识) 恰恰有着十分丰富的内涵需要探讨, 它与数学教学过程中方方面面的关系值得研究.
二、现前的理论综述
综观历史沿革可以看出, 从“小学堂算术”到“小学数学”, 课程目标有了很大的变化.由最初“满足自谋生计必需”, 发展到今天的“促进学生全面、持续、和谐地发展”;由“熟习日常之计算, 兼使思虑精确”, 演变为“知识与技能、数学思考、解决问题和情感态度价值观并重”.这种变化都有所继承, 也有所发展, 有所扩充, 也有所概括.
随着社会、经济、科学技术的进步, 数学自身也得到了空前的发展.数学科学不再仅仅是数和空间的研究, 它成为一门模式的科学, 其理论建筑在模式之间的关系以及模式和实际观察之间相吻合而产生的应用之上.从教育的角度来看, 数学对于发展人的理性思维和解决问题的能力具有显著的价值.然而, 对于一名小学生来说, 这些价值不仅是通过积累数学事实 (概念、性质、法则、定律、公式) 实现的, 而是更多地通过对数学活动经验的条理化, 对数学知识的自我组织等活动来实现.
三、小学数学知识的内涵及分类
1. 什么是知识
知识到底是什么, 目前仍然有争议.知识历来是哲学中认识论研究的对象, 故我国对知识的定义一般是从哲学角度提出的.在我国教育类辞书中流行的知识定义是“对事物属性与联系的认识.表现为对事物的知觉、表象、概念、法则等心理形式”上, 或者更具体:“所谓知识, 就它反映的内容而言, 是客观事物的属性和联系的反映, 是客观世界在人脑中的主观映象.就它反映活动的形式而言, 有时表现为主体对事物的感性知觉或表象, 属于感性知识, 有时表现为关于事物的概念或规律, 属于理性知识”.当代最著名的认知心理学家皮亚杰认为:“知识既不是客观的东西 (经验论) , 也不是主观的东西 (活力论) , 而是个体在环境交互作用的过程中逐渐建构的结果.
2. 数学知识内涵的现代理解
根据上面对知识的解释, 作为学生学习的数学知识, 不应当是独立于学生生活的“外来物”, 不应当是封闭的“知识体系”, 更不应当只是由抽象的符号所构成的一系列客观数学事实 (概念、定律、公式等) .它大体上有这样四个特点: (1) 数学知识表现为“形式化的思想材料”. (2) 数学知识具有一定的结构, 这种结构形成了数学知识所特有的逻辑序, 数学知识系统就成为一个相互关联的、动态的活动系统. (3) 数学知识具有二重性, 即表现为一种算法、操作过程;又表现为一种对象、结构. (4) 知识的抽象程度、概括程度表现出层次性———低抽象度的元素是高抽象度元素的具体模型.
从数学知识特点的角度看, 要充分理解时代发展赋予新的内涵.我们应从数学知识的动态发展加以理解.数学知识不仅包括“客观性知识”的数学事实, 这些事实被整个数学共同体所认同, 还会因地域和学习者的不同而发生改变的数学事实 (如商不变性质、乘法运算定律、三角形面积公式等) .这些就是我们传统意义上的数学知识, 属于一种静态知识.数学知识还应包括那些带有鲜明个体认知特征的个人知识和数学活动经验, 这些经验是学生在数学活动过程中自己总结出来的, 反映了学生对数学知识的理解, 并伴随着学生的数学学习而发展.
3. 数学知识的现代分类
对于一般知识而言, 现代认知心理学把个体的知识分为两大类三亚类.一类为陈述性知识, 是个人具有意识的提取线索, 因而能直接陈述的知识, 用于回答“是什么”;另一类为程序性知识, 是一一套办事的操作步骤.程序性知识又分两亚类, 一类为运用概念和规则对外办事的程序性知识 (智慧技能) ;另一类为运用概念和规则对内调控的程序性知识 (认知策略) .
综上所述, 数学家关注知识的客观形态, 主要从知识的逻辑意义来佐证.而心理学家、哲学家更关注知识的主观表征, 主要从知识的心理意义来考察.
我们认为, 数学知识应分为结果性知识和过程性知识两类.结果性知识包括数学概念、性质、法则、定律、公式等数学事实.即传统意义上数学知识的大部分知识, 可以用语言、文字明确表述的知识.对过程性知识如下界定:过程性知识是伴随数学活动对“思想材料”进行亲身体验, 并领悟“数学思想方法”的体验性知识.
摘要：获得重要数学知识是当前中小学数学教育的主要目标之一.数学知识包括“客观性知识”的数学事实和那些带有鲜明个体认知特征的个人知识及数学活动经验.数学知识的分类可以依据知识的形成与应用过程, 分成结果性知识与过程性知识两类.
数学知识 篇5
高三数学复习应该是知识整理而不是知识回顾，可以站在新的高度，全面、系统、扎实地掌握教材中的知识内容，形成知识网络，学生要去掉依赖性，要主动思考、主动分析，解决问题时需要有强烈的纠错意识。
一、要有纠错意识
目前有很多同学在这方面往往做得不够，平时的作业、练习等在做完之后从不检查，当完成任务，仅仅追求解题数量。而作业一旦老师批改后，或者自己做的练习核对答案后恍然大悟一下，错的地方不是不会做、不懂，而是不够仔细，没有检查。下次再做，然后再错。优秀的学生的错误往往出现在脑子中，同时又消灭在脑子中，而一般的同学的错误往往直接出现在本子中。
每个高三的同学，都应该学会自主学习，有目的有计划地复习，特别是自己要学会知识整理与归纳，对老师上课讲的内容、例题，对自己平时做的习题要进行分析，每个同学自己应该有自己的学习计划、复习计划，做到心中有底。一份试卷做完后，不但知道哪些会做，哪些不会做，而且还要知道哪些能得分，哪些会失分。
二、分类型解题
高三学习过程中，效率问题非常关键。重点问题重点学习，难点问题认真钻研。对一个比较难的知识点，要努力通过各种途径，如钻研、查找资料、老师指导等多种形式，真正弄懂它，杜绝一知半解。
函数、不等式、数列始终是高中数学的重点内容，解析几何、立体几何两大几何问题，通过几何特征考查学生分析问题、推理论证的能力，同时运算能力的`考查也蕴涵其中。导数、向量的工具作用在高考中也得到充分的体现，三角、复数、排列组合、概率虽说难度不大，但可以考察知识掌握的熟练程度和数学的基本功。
每一种题型的解题方法应有所不同，选择题要巧做，如特殊值法、排除法等;填空题要细做，因为填空题只有一个答案，没有过程分，方法正确，结果错误，是没有分数的;基础题要稳做，这是得分的关键，不能因为简单而一带而过，而把大量的时间化在难题上;高难题要敢做，近几年高考压轴题，得一半甚至一半以上的分数是很多同学可以做到的，能做好的同学却不多，
三、关注新颖解题法
学好数学关键在于解题，但只解题不一定能学好数学。在训练时，首先提高正确率、然后注意解题速度。解题时不要满足于会做，更要注意解题后的反思，从中悟出解题策略，体会数学思想方法。
近几年高考中都有一些创新题。平时要注意一些新颖问题的解题方法，找到与所学知识之间的相互联系，处理问题的方法的共同点，思考问题的突破口，使自己在遇到新问题时不会措手不及，能够从容面对。此外，心态有时比学习方法更重要，在数学复习中培养兴趣，保持进取状态。
高三生勤做练习题找出解题思路
“十一”期间，我接受了几个高三学生的咨询。其中，有一位男生洛伊(化名)的问题很有代表性。他说：“我妈妈认为，高三的关键问题就是做题，因此，她就买来了各种考试真题和模拟卷子，要求我每天都做，但我感觉很多知识还不是很清楚，做起题目来难度很大，尤其是一些综合题目，学习效率不是很高。但是，我妈强调说，随着做题的逐渐增多，感觉自然会越来越好的，因此要求我坚持下来。宋老师，高三的关键是做题吗?”
的确，洛伊的担心是很有道理的。做题对于高三复习来说，固然非常重要。但是，在大量做题之前，首先要解决好一个关键问题，那就是知识结构的融通。高中三年甚至初中的有关知识，都需要在高三有一个系统构建的过程。只有通过回顾、思考和分析，才能对中学知识有一个全面认识，尤其是针对一些相互交叉的综合类知识，一定要通过知识结构思考和具体题型分析相结合的方法，找出考题的出题思路，举一反三，找到解题线路。例如：物理中的力学和电学的结合点在哪里?数学中函数和数列的结合点在哪里?各个知识点之间是如何结合的?一道综合题目可以如何拆分等等。
另外，喜欢大量做题的同学，一定要注意解决以下几个问题：
巧记数学知识 篇6
记忆是以识记、保持、再认和重现的方式对经验的反映。“记”是外界信息在大脑中储存、编码的过程,“忆”是在头脑中提取信息的过程。在教学过程中,为了强化“记”,以及有效的“忆”,我总结了几种数学知识的记忆方法,通过实践,觉得对提高教学效果行之有效,愿与同仁们共享,更希望能够抛砖引玉。
一、理解记忆法
各种事实告诉我们,只有理解了的东西才能牢固记住它。因此,数学中的概念、定理、公式、法则……都必须弄通他们的来龙去脉,弄懂他们的关键点,证明过程,以便牢固记住它们。例如:一元一次方程等各类方程概念的记忆。若理解了“元”指未知数,“次”指未知项的最高次数。就很容易掌握各类方程的定义,并能方便的解决有关问题。
二、有些方法如果能编成顺口溜或歌诀可以帮助记忆
例如:求不等式组的解集问题。
由此可总结出求不等式组解集的顺口溜:大大取大;小小取小;大于小,小于大,中间找;小于小,大于大,无解了。
三、形象记忆法
有些知识,如果能借助图形,可以加强记忆例如:一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的性质是:k>0时,y随x的增大而增大;k<0时,y随x的增大而减小。通过图象可以体现出来,直线y=kx+b,当k>0时,直线从左向右上升;当k<0时,直线从左向右下降。由此可知,k决定着直线y=kx+b的方向。另外,直线y=kx+b与y轴交于(0,b)点。这样,任意一个一次函数,都可以借助几笔草图(或心中草图)得出该函数图象的大致位置。例如:y=kx+b(k>0,b<0)的图象。由k>0,可知图象是从左向右上升,b<0,可知直线与y轴交于负半轴,所以图象大致是即直线经过第一、三、四象限。
四、知识关联记忆法
按照知识的顺序、层次、系统列出某单元知识结构图,根据知识结构图逐步分层记忆,可提高记忆效率。以举一反三,触类旁通。例如:关于四边形、梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识,可按照这几种图形的逻辑关系记忆。
五、类比记忆法
对新知识可以联想已牢固记忆的旧知识,用类比的方法来帮助记忆。例如:分式的性质以及运算,可类比分数的性质及运算方法。解一元一次不等式,可類比解一元一次方程,但要注意不等式与等式性质的联系与区别。
六、复现法
就是为强化知识在大脑中的印迹而采取多次复现巩固记忆的方法。记忆的大敌是遗忘,与遗忘作斗争的良策便是复习,即所谓“一回生,二回熟”。“复现”应注意:1、及时性,再学习新知识后,应及时配备目标测试题,当堂的内容当堂强化,作业最好当堂完成。2、反复性,充分利用复习的机会,例如课前、课后、单元、期末复习,抓住学生积极迎考的心理,反复(不等于简单重复)进行强化。也应注意利用平时复习机会,例如讲授新旧知识交替部分,及时“挂上钩,接上头”。这样既自然得体,又省时收效快。3、应用性,理科知识比文科知识容易记的原因,不仅在于理科知识间联系的紧密性,还在于理科知识应用练习多。正所谓“百闻不如一见,百见不如一练”。
生活经验数学化数学知识生活化 篇7
一、捕捉“生活素材”, 唤起学习兴趣
“教科书, 只是教与学的工具, 绝不是唯一的资源”;“大胆而创造性地处理教材, 甚至是重组或改编教材, 那是教师的业务权利”。我认为, 教学时可以对数学教材内容进行替换或改造, 采用贴近学生实际生活的素材来取代, 以唤起学生的学习兴趣。
例如, 教学“24时计时法”时, 围绕教学目标, 对教材内容进行替换或改造, 较好地体现教学内容紧密联系学生实际生活, 增强教学实效。首先, 通过学生熟悉的春节联欢晚会倒计时从0点时刻引入, 围绕“正月初一你在干什么”?让学生谈一昼夜的活动安排, 结合钟面操作, 了解24时计时法。在计算一日内经过的时间这一教学环节, 设计“猜一猜”的内容替换教材的例题——老师明天去福州参加教学研讨活动, 请大家帮助老师设计方案: (1) 根据闽南快运从云霄到福州的汽车客运时刻表, 算一算经过多少时间能到达? (2) 根据会议报到的时间, 你建议老师应该乘坐哪个班次的客车?算一算老师大概什么时刻能到达福州。这样就把教材中缺少生活气息的题材换成学生感兴趣的题目, 使学生主动投入到学习数学的活动中, 真切感受到生活中处处有数学, 数学与生活同在。可见, 要唤起学生的学习兴趣, 增强教学实效, 关键是要善于捕捉“生活素材”, 采撷生活数学实例。
二、数学语言情趣化, 调动学生积极性
语言是情感交流、启发思维的工具, 它可以用来储存和传递信息, 在信息时代, 数学的语言功能更为突出。根据学生的年龄特点、兴趣爱好, 在不影响知识准确性的前提条件下, 巧妙运用生活化、情趣化、童趣化的数学语言感染学生, 让学生在充满情趣的语言交流中学习, 给课堂教学增添一份异样色彩。
“课题揭示”环节可以根据学习的内容进行设计:学习“米的认识”变成“我的新朋友———米”;学习“大于、小于”变成“一对好兄弟”;学习“比较大小”变成“排排队”;学习“人民币的认识”变成“逛商店”等。生活味十足的数学语言, 能激发学生的学习欲望, 让学生对学习的内容感到有趣又有用。
在学习过程中, 采用情趣化的语言感染学生, 更能调动学生的积极性, 开启学生的思维。如, 一年级学习“20以内数的认识”, 知道“老大”是20, “小弟”是0以后, 老师出示20> (, 风趣地问道:“这个小娃娃是谁呀?你能把他认出来吗?”简单而有趣的语言, 使学生感到数学问题亲近、好学, 活跃了课堂气氛。
三、学习方式活动化, 体现“在玩中学”
数学活动是学生喜欢的学习方式。创设游戏活动, 引导学生愉快地参与学习, 使其在自由、宽松、活跃的学习氛围中积极主动地感知、探索、发现数学问题, 创造性地解决问题。
动是儿童的天性, 让学生置身于学、玩结合的操作活动中, 既能满足动的需求, 又能达到启智明理的效果。例如, 启发学生思考:你能不能用转化的思想, 求出这块平行四边形的面积?学生经过剪、拼、量、算一系列操作, 悟出了方法, 既发展了思维, 又开发了智力。
学生具有很强的好奇心。在课堂教学中可以根据教学需要, 将课堂布置成各种生活“现场”, 让学生当演员, 设计模拟活动。如, 开设“文具店”、“玩具店”, 组织学生进行购物活动, 帮助学生认识、使用人民币。
合作活动是学生自主探索的重要学习形式, 以小组为单位的合作学习, 可以留给学生自学时空, 启发思维灵感, 发现数学规律。如, 学习“长方体的体积”, 可分组进行合作实验。用24个1立方厘米的小正方体可拼搭成怎样的一个大长方体, 并做好记录。根据实验结果展开讨论, 发现长方体的体积与长、宽、高之间的关系。在自由的合作活动中, 学生想自己所想的, 做自己想做的, 说自己想说的, 充分满足了他们的活动欲望并从中获得探索成功的喜悦。
四、思维训练生活化, 拓宽学生的思维
思维训练生活化, 是指课堂教学中的教学内容要联系生活实际, 为学生营造一种宽松、平等而又充满智慧的氛围, 使学生自然而然地受到创新性思维的训练。由于学生思维的创造过程是一种心智技能活动, 是内在的隐性活动, 因此, 必须以外在的动作技能活动作为基础。在教学中, 教师要善于结合学生的生活经验, 引导学生通过“再创造”来学习新知识, 以达到能力的拓展。
例如, 在学习“接近整百整十数加减法的简便算法”中, 有这样一题:“165-97=165-100+3”, 学生对“减100后要加上3”难以理解, 可以让学生联系“买东西找零”的生活实际想一想:妈妈带了165元去药店, 想买一盒97元的西洋参给爷爷补身体。她付给营业员一张百元钞票, 现在口袋里的钱应该是165元减去100元。营业员找回3元, 此时口袋里剩余的钱应该加上营业员找回的这3元钱。所以多减去的3应该加上。这样让抽象的运算算理获得了经验的支持, 具体的经验经过一番梳理和提炼, 也上升为理论上的简便运算。
浅析数学知识的记忆 篇8
“数学是科学的大门和钥匙”, 从哲人培根说过的这句话可以看出数学学科的重要性及在其他学科中所占的地位. 数学是我们生活、学习、工作中的有用工具, 也是学习其他学科知识的基础, 同时也可以锻炼和培养我们的思维能力, 是我们打开科学殿堂的金钥匙.
所以对我们来说, 学好数学知识是非常重要的! 然而, 打开数学书, 满眼的数学符号和公式, 运算和推导, 看起来琳琅满目, 千变万化. 似乎既抽象又深奥, 枯燥乏味, 常令人难以理解, 望而却步.
那么, 如何才能很好地学习和掌握好所学的知识呢?在学习过程中, 我深深地感觉到对数学知识的记忆在学习中是至关重要的.
二、记忆的作用
数学知识的记忆, 我认为: 记应该是在理解之上的记, 而忆应该是在需要时能够随时再现, 并很好地加以应用. 这样的活学活用, 才能说是真正的记忆.
我们知道, 人所记忆的知识量越多, 即通常所说的知识渊博, 则所能从事的工作就越多, 所能解决的问题也就越多. 打个通俗的比方, 计算机里的存储器的容量越大, 计算机所能记忆的信息也就越多, 所能做的运算和处理也就越多. 这与人脑的记忆不无相似之处.
而我们人类的记忆决不应该是这种单纯的记忆, 为了学习而学习, 为了考试而记忆. 而应该是在对知识的理解和消化基础上的记忆, 这样才能善于在实际工作中, 充分而恰当地发挥和应用我们所记忆的相关知识, 则我们的工作能力也就越大. 这也同计算机的工作情况是相通的, 计算机有大的记忆容量, 还必须要有人类编制的优良的操作、管理和应用软件, 才能充分地发挥出机器的工作潜力.
可见, 记忆在人们的生活、学习、工作中有多么的重要!那么, 怎么样才能记忆好所学的数学知识呢?
三、要有兴趣去记忆
爱因斯坦说过, 兴趣是人们最好的老师. 生动、新奇、富有趣味的知识, 往往能使人们趣味盎然, 特别能引起思维和联想, 力图去发掘其中的奥秘和规律.
数学知识其实并不枯燥、乏味和抽象, 而是来源于具体的现实生活之中. 就拿数的扩展过程来说, 就很有代表性, 很能激发人们的学习兴趣、探索知识的热情.
我们已经了解了数的分类, 其实数是根据需要由简单到复杂不断地发展充实完善起来的. 在小学里, 我们从开始学习计数, 知道了自然数 ( 也就是正整数) 和零; 之后在学习除法运算中, 在不能整除的情况下, 引进了小数, 也就是分数; 在做减法运算不够减情况下, 又引进了负数; 对数的运算也定义到了有理数的范畴; 在中学学习阶段, 在求正方形的对角线长度时遇到了这个无限不循环小数, 又引进了无理数这一概念, 把数也扩展到了实数范围; 以后, 在解一元二次方程x2+ 1 = 0中, 碰到了这个数, 在实数范围无解情况之下, 又引进了虚数的概念, 从而进一步把数又发展到了今天的复数这一范畴.
在数的发展中, 有多少先贤不断地探索, 为此耗费了毕生的心血. 今后的数又会不会再进一步发展呢? 在现实中当人们遇到在现有数的范围内解决不了的数学问题时, 一定还会往下发展. 也许下次定义新数概念的人, 可能在你我之中.
从数的发展过程中, 也可以看出数学的发展史, 也是非常现实, 生动有趣, 奥妙无穷的, 能使我们兴致勃勃, 求知欲高涨, 主动热情地去求索知识, 这样就能增强记忆知识的效果.
四、在理解基础上去记忆
数学知识的记忆, 和语文、外语、史地等科目的记忆规律有很大的不同, 决不能依靠死记硬背, 应该是在理解的基础上而加以记忆. 只有把数学知识弄懂搞清了, 这样就不易遗忘了.
就拿数学的定理和公式而言, 只要在现有知识的条件下, 能推导和证明的, 最起码对其过程应该听得懂或看得懂, 能做到不看书亲自去推导或证明一遍, 那是最好不过的. 这样就能对该定理或公式的来龙去脉了如指掌, 就是忘了, 也可知道它的出处, 稍加推导立马就可以回忆起来. 比如说, 三角函数里的两角和 ( α + β) 、两角差 ( α - β) 、倍角 ( 2α) 、半角 (1/2α) 的三角函数, 以及和差化积、积化和差的三角函数公式, 公式之多, 长度之长, 变化之大, 难学难记, 又经常要用到, 是使用者非常头痛的事. 而这些公式的基本出处为两角和差 ( α±β) 的三角函数, 由它们推导演变而得, 因此记好 ( α±β) 的三角函数, 其他的就不难了.
有理解地记忆数学知识, 那所学的知识是活的, 用起来既准确又简捷. 这样的知识, 才能说是真正学到手了.
五、在感性认识上的记忆
亲身经历的过程, 准确鲜明、生动有趣的知识演示或实验, 最不易让人忘怀. 譬如: 在小学学习的, 圆锥的体积等于同底等高的圆柱体积的三分之一, 当看到老师用圆锥体盛满细沙三次倒入同底等高圆柱体中恰好持平, 这一演示生动形象地再现了:, 至今仍旧在脑海里活灵活现的. 有了感官认识, 还可以进一步在理论上论证它.
可见, 把知识如果能变成看得见的具体的事物, 可以加深对知识的可信度, 耳闻目睹的知识, 使人印象深刻, 终生不忘.
六、要有规律地记忆
数学的内容很广, 单凭死记硬背, 不但很费力, 而且过后也容易忘记. 所以要记得巧, 应及时对所学知识进行归纳整理, 掌握其规律, 找出内在联系, 就能加深理解, 增强记忆, 也不容易遗忘了.
比如说, 平面几何中全等三角形的判定定理有三条, 它们的实质就是可以确定一个三角形的条件. 我们知道一个三角形有三条边、三个角, 但是只要已知其中的三条边, 或者两边及它们夹角, 或者两角及一边, 就能确定一个三角形了, 也就是三角形的三条边和三个角都能确定了, 即可以准确地画出该三角形. 因此, 我们依据这三条定理来判定两个三角形是否全等. 这样对这三条全等三角形的判定定理就能娴熟地记忆和掌握了.
七、要有应用地记忆
实践是知识的用武之地, 人们学了一个知识不去用它, 就会渐渐地遗忘了, 一点儿用处也没有. 在我们平时生活中, 经常会碰到各式各样的数学问题, 运用所学的知识, 解答这些问题, 不仅能加深理解和记忆所学的知识, 还能提高解决实际问题的能力.
在建筑工地上, 经常能看到技术人员和工人师傅, 用细绳利用勾3股4弦5在所要建筑地面上拉一个直角, 进行下桩, 这不就是勾股定理的一个典型应用吗? 又比如, 要测量教学大楼的高度, 并不需要一个人带上卷尺爬上楼顶去丈量, 而只要用一根竹竿垂直竖立在阳光下, 同时测量出地上竹竿的影长和大楼的影长, 就可以运用相似三角形对应边成正比例的定理, 通过简易的计算, 求得大楼的实际高度:
大楼高度∶竹竿长 =大楼影长∶竹竿影长.
记忆知识的目的在于应用. 只要肯用心, 勤动脑, 勤动手, 就会发现许许多多的能够应用数学知识去解决的问题, 就能把我们所学的知识掌握和记忆得更加充实, 还能从中学到实际技能.
八、结 语
学好数学知识, 不是一朝一夕所能做到的. 只要逐步培养起对数学的爱好和兴趣, 掌握好学习方法和正确的记忆规律, 通过系统的认真而严格的学习和训练, 真正做到对数学基本内容的深刻理解和清晰感知. 这样在学习上就能更上一层楼, 对数学知识的正确记忆能起到事半功倍的效果.并能熟练地加以运用, 就能为我们今后的学习和工作打下一个良好的基础, 也可使我们变得更加聪明起来.
摘要：记忆是掌握好数学知识的必要条件.本文从自己的教学体会出发, 对数学知识记忆的作用及如何记忆进行了论述.希望对莘莘学子有所帮助, 也希望能抛砖引玉, 得到同行们更好的教学方法.
数学知识 篇9
一、数学知识系统及关系
数学知识系统可以看作是由以下三个系统组成：数学理论系统、数学实践系统、数学思想方法系统。数学实践系统是指所研究的主要数学对象和数学问题的具体实例的全部，是产生数学理论和数学思想方法的基础。数学理论系统是数学实践系统一般规律的反映，即理论来源于实践。又由于数学研究对象的广泛性、深刻性、科学性，只有建立数学理论并运用数学理论才能更全面、更深刻、更有效地解决实践问题，即理论用于实践。数学思想方法系统是对数学对象本质上的认识，是对具体的数学概念、命题、规律、方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和方法。
综上所述，要想真正学好数学知识，就要全面学习三个知识系统。我们既要学习理论与实践，又要学习运用数学的思想方法，从而使学习更深刻、更全面、更有效、更具有研究能力和创新精神。
二、数学研究性学习过程的具体步骤
数学研究性学习过程和研究其它知识一样，是遵循人们认识世界的一般规律的，即从宏观到微观、从感性到理性、从定性到定量、从直观到抽象、从实践到认识的循环往复的认识过程。下面介绍具体数学研究性学习步骤。
（一）数学问题的展现
研究任何问题首先要对问题充分展现，为下面的工作奠定基础。数学是研究数与形的科学，故对主要研究对象和研究问题主要是以几何形式和代数形式展现。所谓主要研究对象是指需要研究的事物，而主要研究问题是指主要研究对象的某方面数学属性、关系或规律。如研究函数极限，其主要研究对象是函数，主要研究问题是极限规律的有关理论。在数学问题中，相同的主要研究对象有不同的主要研究问题。如同以函数为主要研究对象，就可以有函数概念、函数极限、函数连续、函数导数、函数微分、函数积分等不同的主要研究问题。数学问题的几何展现具有形象、直观、定性理解性强的特点。而数学问题的代数展现具有科学、准确、抽象、逻辑性强的特点。两种展现形式共同运用、优势互补、相辅相成，才能更好地对所研究的问题进行完善充分的展现。要特别注意的是在整个数学研究的四个具体步骤中，一定要对实践系统、理论系统、思想方法系统进行全面展现，否则就会形成研究背景不充分，使研究性学习过程受阻而不能顺利进行。如研究函数极限问题，既要有一般形式的函数及图像形式，又必须有具体函数即实践系统的全面展示，要展示基本初等函数及由基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤形成的初等函数，并要展现非初等函数。这样才能有助于在研究极限时进行各种情况的分析。并且，正是函数这个实践体系的结构关系才产生了极限四则运算、反函数和复合函数极限运算法则等理论。
（二）数学问题的分析
我们应对主要数学研究对象和主要数学问题进行深入、细致的分析，研究其属性、关系、规律，并在此基础上发现、提出数学猜想。这个工作是区别于以逻辑路线为主的“填鸭式”教学的重要学习环节，也是培养创新能力的关键环节。数学理论就是揭示事物属性、关系、规律的。在此环节的工作中我们要注意结合三个系统，即以数学思想方法为指导，注意理论从实践中来到实践中去的认识规律。如极限四则运算法则的学习，对于两个函数和、差、积、商的极限问题无论从几何上还是代数上都是极易理解的，也很容易提出极限四则运算的猜想。但对于不同问题数学研究有其多样性特点。如函数导数的四则运算法则，两个函数和、差求导法则就极易理解，而由于两个函数积、商的一般几何图形反映不能很精确，故积、商的求导法则直观、定性理解就要弱化，这是由于数学问题不同产生的正常现象。但我们仍能提出猜想：两个函数积、商的导数和这两个函数的导数是否存在关系?我们依此继续展开研究，用导数定义进行具体试验性运算，对此问题就会圆满解决。
（三）理论化工作
对于上一步分析所得到的直观性和定性的数学猜想，我们只有进行严格的数学论证或数学计算才能形成数学理论。运用数学理论对数学猜想进行科学论证或计算的思想方法是数学思想方法的极为重要部分。但既然是数学思想方法就有其广泛的共性，只要在学习过程中注意对思想方法的分析、总结，就会不断提高运用理论分析解决数学问题的能力。如罗尔、拉格郎日、柯西三个中值定理的证明，其思想方法本质只是一个。问题不同，论证思想方法本质相同或相近现象在数学知识系统中是极其广泛的，可以说无处不在。又如前面提到的函数极限的求导法则，当猜想提出后如何证明呢?这就要联想相关的极限问题理论及论证的思想方法，获得各种论证的可能方案，经过实践，使问题得以论证。值得珍惜的不仅是成功的方案，不成功的方案依然是珍贵的，正确的思路很可能在其它问题上是成功的方案，不完全正确的思路，有助于我们思想方法的积累和分析解决问题的能力的提高。
（四）反思阶段
一些教师在数学问题得到解决之后，往往就结束了对该问题的研究。其实这样有很大的不足。正如前面所述，数学学习既要学习理论和实践知识，又要学习数学思想方法，以利于学生丰富数学思想方法知识，提高分析问题和解决问题的能力。我们经过前三步虽然使问题得到了解决，但由于对新问题解决的思维过程是十分复杂的发散思维过程，对各种可能的解决思路要进行多种试验论证工作，在问题的研究过程中既有理性思维，又有许多感性的、直觉的、经验性的思维，因此问题虽然解决了，但整个思路处于比较混乱状态。所以只有经过对整个研究过程的思维过程进行反思，使思想方法得以化感性为理性、化混乱为清晰简明，才能使思想方法体系得到丰富和提高。只有不断总结、丰富新的思想方法，才能具有持续的掌握新的、更高级的、更复杂知识的能力。所以在学习过程中，对反思阶段我们必须给予高度重视。它是学习过程不可缺少的关键步骤，是学习思想方法的收获环节。
数学思想方法体系是多层次的丰富的知识系统。同一数学课程的不同部分存在着大量相同或相似的思想方法;不同的数学课程也存在着大量的相同或相似的思想方法;对于不同专业，即使是反差极大的文理学科，也存在着大量的相同或相似的思想方法。数学思想方法系统是无限的，需要我们不断地去丰富和完善。综合运用数学的思想方法形成科学的、具体的、可操作的数学学习和研究的方法与步骤对于数学的科学学习、研究、提高数学能力起着至关重要的作用。
摘要：本文以组成数学知识的三个知识系统之间的关系为思想基础, 遵循人们的思维规律, 提出了研究性数学学习模式是科学的学习模式, 给出了数学研究性学习的四个步骤。
关键词：数学思想方法,学习过程,研究性学习
参考文献
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数学知识 篇10
一、通过历史名题的教学, 激发学生的学习兴趣
通过对历史名题的解答和探究, 可以激发学生的求知欲, 使枯燥乏味的习题教学变得富有趣味和探索意义, 从而极大地调动学生的积极性, 提高他们的学习兴趣。如在教“找规律”时, 可以介绍斐波那契数列, 即让学生观察这个数列有什么规律, 或者可以让学生求1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…的后一项是什么。这是个斐波那契数列, 也叫“兔子数列”。为什么叫“兔子数列”呢, 这个问题可以追溯到意大利的著名数学家——斐波那契, 他早年就随其父在北非师从阿拉伯人学习算学, 后又游历地中海沿岸诸国, 回意大利后于1204年发表了著作《算盘书》, 这个“兔子数列”就是《算盘书》里一个问题, 这个问题也称“兔子问题”, 是这样叙述的:“如果每一对成兔每月都生一对幼兔, 幼兔经过2个月后成为成兔, 即开始繁殖, 假定不发生任何死亡.问年初的一对幼兔经过一年后能繁殖成多少对兔子?”
二、利用数学家思维, 提高学生对数学思想方法的深入理解和牢固掌握
数学史不仅给出了确定的知识, 还可以给出知识的创造过程, 对这种创造过程的再现, 不仅能使学生体会到数学家的思维过程, 还可以形成探索与研究的课堂气氛, 使得课堂教学不再是单纯地传授知识的过程。如在讲“求1+2+3+4+…+100的和”的算法时, 可以介绍高斯在8岁的时候就能用简便方法算出这道题的答案。高斯是德国伟大是数学家, 也是物理学家和天文学家, 他是近代数学奠基者之一, 在历史上影响之大, 是世界上最伟大的四位数学家之一, 有“数学王子”之称。他为什么这么小就能用简便方法算出来呢?是因为他善于观察和分析算式的结构, 发现这个式子有一定的规律性, 就是首尾相加都等于101, 于是就把求不同数字之和的问题转化为求相同加数的和的问题, 从而用乘法很快就可以算出其结果, 这种方法在解题思想方法中称为“化归法”, 是很常用的一种方法。
三、利用数学家们的高尚品质, 提高学生的学习兴趣
数学家们高尚的品德和献身科学事业的精神, 是对学生进行情感、态度和价值观教育的生动素材。如在教“圆柱体积”的时候, 引入阿基米德的圆柱容球定理, 这是阿基米德在他众多的科学发现中最为得意的事情, 因此在他的墓碑上铭刻了“圆柱容球”这一图案。教师还可以适当地扩展一下阿基米德的生平事迹:在第二次布匿战争中, 阿基米德曾发明投石炮击退了敌人的进攻, 还利用抛物镜面的聚焦性质将集中的阳光照射到敌人的船上, 把他们的船烧毁等故事来激发学生的学习兴趣。由于学生还没有学过球的体积, 借此可以将题目适当地变换一下, 让学生证明任意一个正方形里内切一个圆。如图1所示, 圆和正方形的面积之比是否为一个定值, 从而让学生发现他们的面积之比为π。还可以扩展一下, 在一个半圆里内切一个最大圆, 如图2所示, 得最大圆和半圆的面积之比为1/22
在数学教学中, 由于有很多知识点可以跟数学史联系一起, 这就要求我们教师去研究和发现。我们应重视数学史的渗透和补充, 将数学史知识融入到我们的课堂教学中, 扩展学生的知识面, 激发学生的学习兴趣。
参考文献
数学知识 篇11
2011版《数学课程标准》在总目标中明确提出：“学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”提出“运用数学的思维方式进行思考”等目标，这充分说明了数学思想的重要性。
所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中普遍的规律，它直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。
所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段，也可以说是解决数学问题的策略。
数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学阶段数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。
在小学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、法则、定律的理解，提高学生解决问题的能力和思维能力，也是小学数学进行素质教育的真正内涵之所在。因此，在学生学习数学知识的同时渗透数学思想的教学，让学生在掌握表层知识的同时领悟到深层知识，将实现数学学习质的“飞跃”，也是数学教学改革的新视角。
数学知识与数学思想方法是密切相关的，它们相互影响，相互联系，事实上，知识的发生过程，也就是数学思想方法的发生过程。如概念的形成过程、结论的推导过程、思路的探索过程、规律被揭示的过程等等都蕴藏着大量的数学思想方法。因此，在教学中，教师应根据数学知识的特征，适当地选配有关的数学思想方法，有计划、有目的、有步骤地进行渗透，能使学生在掌握知识的同时，也获取了数学思想方法。
凡事预则立，这就要求教师在备课时就要考虑要教授的某一知识中有哪些思想方法可以对学生进行渗透，在这种思路下，数学知识就会成为数学思想方法的一个载体。下面本人就北师大版三年级下册“铺地面”一课的教学，谈谈本课所包含着的一些数学思想。
一、数形结合的思想。
数和形是数学的二大支柱，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。数形结合思想方法就是通过数与形（用数解形，以形助数）处理数学问题，这是由客观世界和数学本身决定，数形结合思想方法贯穿于整个小学数学之中，主要体现为两个方面，一是对直观图形赋予数意义，要求学生能根据直观图形将实际问题抽象为数字问题；二是对抽象的数学问题赋予直观图形的意义，以形助数。
本课的教学内容是主要是认识面积单位以及单位间的进率，由于学生刚开始接触面积单位，同时从长度单位过渡到面积单位在空间上又增加了一维，因此觉得较抽象。从以往学生的错误情况上看，很多学生不知道1平方厘米、1平方分米、1平方米到底有多大，甚至出现乱填面积单位的现象。（如一张报纸30平方厘米等），因此在教学时教师要注意将概念教学形象化，而数形结合是最好的方法。本课教学这一片段时，可通过以下环节进行教学：①看一看，教师利用教具和学具向学生具体呈现1平方厘米、1平方分米、1平方米有多大。②画一画，让学生画一画边长是1厘米与1分米的正方形；③找一找，让学生找一找生活在接近1平方厘米与1平方分米的物体。通过以上看一看、画一画、找一找等活动使这些面积单位的大小与形状结合起来从而达到概念形象化，同时也渗透了数形结合的数学思想。
二、猜想验证思想方法
猜想验证是一种重要的数学思想方法，正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所说：“真正的数学家常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。”因此，小学数学教学中，教师要重视猜想验证思想方法的渗透，以增强学生主动探索和获取数学知识的能力，促进学生创新能力的发展。如在教学1平方分米等于多少平方厘米这一片段时，可以通过以下几个环节来完成。①猜一猜。先让学生猜一猜面积是1平方分米的正方形里可以摆多少个面积是1平方厘米的小正方形。②摆一摆。让学生沿着面积是1平方分米的正方形的边摆放小正方形。③数一数。让学生数一数1平方分米的大正方形沿着一条边可以摆几个小正方形，另一条相邻的边可以几个小正方形④算一算。将上面数完的正方形数，算一算一行摆几个，总共摆几行，一共摆多少个。这样，通过以上猜、摆、数、算，学生初步感知了1平方分米与1平方厘米之间的关系，并经历了由猜想→验证的过程。
三、转化思想方法
转化思想方法是用一种联系、发展、运动与变化的观点去认识问题，而不是用孤立、静止的眼光去看待问题，在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将一个问题转化成为另外一个问题来解决。一般是将复杂的问题转化为简单的问题，将难解问题转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。转换思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，也是一种解决数学问题的重要策略。
如在教学1平方米等于多少平方分米，这一环节时，可以通过以下环节向学生渗透转化的思想方法。①出示边长1米的正方形。②化一化。1米可以转化成多少分米？③算一算，边长1米的正方形面积是多少平方米；边长是10分米的正方形面积是多少平方分米。④比一比。边长1米的正方形和边长10分米的正方形面积的大小。
四、类比思想方法。
类比思想也叫“比较类推法”，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。其结论必须由实验来检验，类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大。
在本课小结部分，可以组织学生对长度单位与面积单位之间的进率进行比较，如在米以下的长度单位中相邻的两个长度单位的进率是10，而平方米以下的面积单位相邻的两个面积单位之间的进率是100，找到它们之间的相似点与不同点，进而渗透类比的思想。
唤起已有经验,关联数学知识 篇12
一、利用已有经验, 带入新问题情境中
知识是经验的积累. 要让学生从经验中获取新知识, 教师创设问题情境这一环节必不可少. 学生在长时间学习中, 总会自主积累一些知识或学习经验. 而这些经验往往有对有错, 对于一些存在问题的经验, 他们往往会对将来学习相关新知识的时候产生矛盾冲突, 从而影响到学生学习新的数学知识. 那么, 当教师发觉自己所教授的知识与学生的认知产生分歧的时候, 要善于创造具体实验机会, 引领学生在实际情境中进行实际演绎, 从而建立新旧知识之间的联系. 例如:在学习“比例尺”这一内容时, 教师可以要求学生对自己进行考核. 学生随便在地图上用直尺量出两点的距离, 而作为教师却可以在短时间内就转化成了实地距离. “这是为什 么呢? ”学生们纷纷表示疑惑. 这样的方法, 可以迅速地激发学生对学习新知识的兴趣, 使他们有充分的积极性去探究问题.此刻, 教师就可以将比例尺这一知识介绍给学生们, 并告诫他们只要学好了这个新知识, 也能像老师一样灵活转化地图上的距离. 这种教学模式, 同样也是一种利用矛盾来演绎问题, 使学生产生了强烈的求知欲望, 而且让他们可以自觉地加入到教学的讨论中去, 使他们可以在实践中获得新的知识.
二、运用生活经验, 解决数学实际问题
有教育专家认为, 小学生涯中学习的知识只是一种旧的常识. 而这些常识, 学生在平时的生活中就可以基本上接触到, 而在学校里学习数学知识是对他们在生活中实践接触到知识的一种汇总. 既然小学数学中的问题都是与日常生活接轨的, 教师就可以利用这种方式, 以学生们都了解的日常生活里的一些实例去教导他们通过自己的努力, 自己的尝试, 并结合教师在课堂上的指导解决问题, 在数学实践中学习新知识. 例如, 在学习“体积”时, 就以通过在装水容器中添加石块的方法让学生观察水面的变化. 通过这种数学实践, 再结合学生们都耳熟能详的寓言故事乌鸦喝水, 进一步阐述乌鸦能喝到水的原因, 以及乌鸦这样做法的原理. 学生们在结合故事和实践的同时, 让他们积极表发自己的看法, 提出自己的问题. 这其中可能会涉及石子的重量影响了水面, 或者是因为石子所占体积把水所占的体积排开了这类的推理. 学生们的积极性一旦被激发, 思路也逐步会变得开拓, 最终讨论出结果, 并加上教师自己的教学总结, 让学生轻松学习到了体积的基本知识.
三、运用数学知识, 解决生活中实际问题
数学知识与生活紧密相连. 学习数学的目的是为了解决实际问题的. 只有让数学充分结合生活中实例, 才能发现蕴含在其中的数学知识. 用学习数学的眼光去分析生活中的一些事件, 运用数学知识去解决生活上的难题, 这才是学习数学的最终极目标. 因此, 这就要求我们小学数学教师能够有组织性地带领学生演绎生活中有关数学知识的一些实验, 教会他们要运用自己所学过的数学知识去解答生活中的问题, 这样才能展现出学习数学的成果和好处. 例如, 在教学“比和比例”这一知识点时, 教师在教学中首先把基本知识介绍给学生, 然后可以在课后组织学生自行对校园内的植物进行测量, 并且教师可以鼓励学生采用不同的测量方案进行测量, 但是往往学生们所提出的设想都很难同平时里大家所学习的知识产生联系. 教师应当主动为学生引路: 教师们可以准备一根大约两米长的竿子, 并排插在要测量对象的旁边, 并要求学生观察竿子影子的长度与竿子之间存在某种什么样的联系. 这样, 就结合了比例的知识, 通过测量影子的长度, 运用比例推算出测量对象的长度, 是数学知识与生活实际相结合, 不仅锻炼了学生的动手能力, 同时也对平日里学习的数学知识进行了一次巩固.
四、完善认知结构, 搭建知识与经验桥梁
学习数学最理想的方法就是让学生在学习新数学知识之后, 将它们转化为自己能够理解的方式去记忆, 并进一步产生联想, 并且能够同实际生活中的一些实例产生联系. 教师之所以很看重学生对数学知识的理解能力, 是因为只有理解了数学计算的原理, 才能面对各种问题中陷阱都能轻松化解. 相反, 对知识点不够理解的同学, 面对一些有疑惑的问题, 往往会产生迷茫甚至被题目所误导的情况. 而教师对学生是否真正理解了知识点的判断往往可以通过举一反三观察学生能否解决类比一类的问题, 能否借助自己的语言去阐述一些数学公式的概念甚至要点. 例如, 一些过去学过的旧的知识, 教师可以把它添加到最近所学的知识中去, 并向学生提问, 看看他们能否在接受了新数学知识的基础上再把学过的旧知识也能回忆起来, 将新旧知识结合起来, 真正达到知识的活学活用, 而不是看了后面忘了前面这样的情况出现.同时, 教师在数学课堂上要充分地做到尽可能以一些实例来启发学生. 例如, 在学习乘法时, 教师可以通过“几个几”来阐述“倍数”这一概念, 使学生理解到几个几份就相当于一个东西的几倍这样的内容, 从而进一步阐释“倍数”的意义.