整数的概念

整数的概念（共3篇）

整数的概念 篇1

数学整数概念同步练习题

1、整数的意义：自然数和0都是整数。

2、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。

一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。

3、计数单位：一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。

每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。

4、数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。

5、数的整除：

(1)整除、倍数、约数：整数a除以整数b(b≠0)，除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

如果数a能被数b(b≠0)整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数(或a的因数)。倍数和约数是相互依存的。

例如因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。

一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。

一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。

(2)整除的性质：

个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。

个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。

一个数的.各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。

一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。

能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。

一个数的末两位数能被4(或25)整除，这个数就能被4(或25)整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。

一个数的末三位数能被8(或125)整除，这个数就能被8(或125)整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。

(3)奇偶性：能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。

0也是偶数。自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。

(4)质数与合数：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数(或素数)，100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数。

1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。

(5)分解质因数：每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5叫做15的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如把28分解质因数28=22×7

(6)公约数与公倍数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12;18的约数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公约数，6是它们的最大公约数。

整数的概念 篇2

1. 教学内容

“整数除以整数, 商是小数”是“除数是整数的小数除法”中的一种类型。之前学习的“整数除法”与“小数的意义”是本课学习的重要基础, “除数是整数的小数除法”的算理、算法都与整数除法基本相同, 是根据小数的意义将整数部分的运算向小数部分拓展。

人教版教材中“除数是整数的小数除法”共安排了3个例题:例1是小数除以整数, 除到被除数的末尾没有余数;例2是整数除以整数, 除到被除数末尾仍有余数, 需要添0继续除;例3是被除数比除数小, 整数部分不够商1的情况。

2. 学生情况

本单元教学之前, 笔者安排学生对整个“小数除法”单元的计算部分进行了预习, 关于“除数是整数的小数除法”学生提出了如下一些问题:

(1) 为什么商的小数点要和被除数的小数点对齐?为什么不数小数点的位数呢?

(2) 小数除法第一步看不看小数点?

(3) 列竖式计算的过程中, 商的小数点什么时候点?

(4) 被除数位数不够时为什么能添0继续除?

……

从这些提问中可以分析出, 学生不太能接受小数除法没能像乘法那样“先当成整数算, 最后再点小数点”的计算方法, 也不理解“商的小数点与被除数对齐”“添0继续除”等算法背后的算理。

基于此, 本次教学调整了教材中例题的顺序, 先教学例2“整数除以整数, 商是小数的情况”。先教学这类小数除法, 可以从有余数的整数除法过渡到小数除法, 这样更有利于算理的理解、算法的迁移, 同时也有利于学生更深刻地理解小数的意义——小数是比整数更精确的数。

二、教学目标

1. 探究整数除以整数商是小数的小数除法, 掌握计算方法。

在观察、比较等活动中, 丰富学生对除法的认识, 深化对小数的意义的理解。

2. 借助实物直观和图形直观, 理解“添0继续除”“商的小数点与被除数的小数点对齐”的道理, 能正确地计算整数除以整数商是小数的小数除法。

3. 在分析方法、迁移运用的过程中, 学会用联系的眼光分析问题的意识和能力。

4. 初步养成乐于思考、言必有据的良好品质。

三、教学过程

1. 引入

(1) 回答问题并列出算式

师:将7支钢笔平均分给2人, 怎么分?用算式表示。

生:7支钢笔平均分给2人, 每人3支还余1支。算式是7÷2=3……1。

师:将7元钱平均分给2人, 怎么分?用算式表示。

生:7元钱平均分给2人, 每人可以先分到3元, 剩下的1元换成10角, 每人就可以得到3元5角, 也就是3.5元。算式是7÷2=3.5。 (课件演示分的过程, 教师板书:7÷2=3……1;7÷2=3.5)

(2) 对比两题, 引出课题

师:为什么都是7÷2, 商却不同?

生:因为分的东西不一样。

生:分钢笔, 剩下1支就不能再分了;分钱, 剩下的1元可以换成10角继续分。

师:对于分钢笔的问题, 可以用以前学过的有余数除法来解决, 而分钱的问题则要用到新知识——小数除法来解决。这节课我们就来研究小数除法, 体会一下今天学习的小数除法与之前学习的整数除法有什么联系和区别。 (板书课题:小数除法)

(点评:在学生已有的认知经验中, “除法”与“平均分”有着密切的联系。在本课学习之前学生有比较丰富的整数除法运算经验。知道“平均分”的结果有“恰好分完”和“分完有剩余”两种情况, 这是学生数学学习的认知基础。同时, 学生们又知道货币可以“化整为零”, 平均分完剩余“1元”, 可以换成“10角”继续分, 这是学生的生活经验。上面两个例子均使用了实物直观, 其价值在于充分调动了学生的已有经验, 为基于经验的迁移探究奠定了基础, 也初步回答了学生课前的疑问。)

2. 新课

(1) 研究算法, 追问算理

(1) 学生尝试写竖式

师:将7元钱平均分成2份, 经过了分—换—再分的过程, 想一想, 怎样用竖式表示出这些过程?

学生尝试写竖式;同桌交流竖式中的哪些部分分别表示了分、换、再分的过程。

(2) 分析竖式, 追问算理

学生展示竖式的不同写法, 并说明竖式表示的分的过程。

师:大家写的竖式有很多相同点, 比如都在余1的后面添了一个0, 为什么要添0呢?

生:添0后, 1就变成10了。

生:1除以2不够除, 10除以2就够除了。

生:不对, 应该说添0后, 1就变成1.0了, 就相当于把1元换成了10角。

师:这个0能添吗?

生:当然能添了, 这是小数末尾的0, 小数末尾添多少个0都行!

师:商5的前面为什么要点上小数点呢?

生:因为5代表的不是5个1, 而是5个0.1。

生:5是10除以2算出来的, 10角平均分成2份, 每份是5角, 是0.5元。

(3) 板演竖式, 规范写法

教师演示竖式的书写过程, 说明计算过程中的小数点可以省略。

(点评:教师通过引导学生将生活经验与学习经验进行融合, 平均分硬币的直观模型有助于帮助学生将“分—换—再分”这一平均分的过程, 与竖式运算中的“除—添‘0’—再除”的过程建立起联系。“添0”就是“换钱”, 就是化小计数单位。“大单位”不够分时可以“化小”计数单位 (增加计数单位的个数) , “够分了”再继续分。让学生尝试写竖式, 也是将探究与思考的机会留给了学生, 自主探寻课前的问题。学生通过试写、对比和分析逐步聚焦问题, 抓住计数本质分析计算方法。实物直观模型较好地突显了除法中的“添0”就是“计数单位转换”这一核心。)

(2) 巩固算法, 深究算理

(1) 巩固算法, 尝试计算11÷4

师: (板书11÷4) 这个算式表示什么意思?

生:把11平均分成4份, 每份是多少。

师:11个1怎样平均分成4份呢?请你结合分的过程也可以模仿7÷2的竖式, 尝试写一写11÷4的竖式。 (学生独立思考, 尝试写竖式计算11÷4, 一生板演)

(2) 解读竖式, 演示分的过程

学生解读竖式的每个步骤, 教师用课件演示平均分的过程。

(3) 深入分析算理

师:为什么计算11÷4时, 要添两个0?

生:个位余3, 需要在十分位上添0继续除;十分位上又余2, 就需要在百分位上添0继续除。

师:除到末尾有余数就在后面添0, 添0是在改变什么?

生:添0, 就让余数“变碎”了, 变成了更小的单位。

生:计数单位小了, 计数单位的个数就增多了, 就够除了。 (教师结合学生的发言, 再次演示课件)

(4) 总结算法

师:比较一下, 计算7÷2与11÷4时, 有什么共同点?

生:都是整数除以整数, 商是小数。

生:除到最后有余数, 需要点上小数点, 添上0继续往下除。 (教师补充课题:整数÷整数=小数)

生:我补充, 在添0之前要先添上小数点, 商也要对应着点小数点。

(点评:在学生对这类小数除法有了初步感悟的基础上, 再借助几何直观的演示, 有利于帮助学生逐步形成对算法的抽象理解, 并有助于形成对这一类计算的普遍性认识。从直观形式来看, 执教老师所选用的方格图是学生认识小数时常见的直观模型, 因此使用它对于学生理解计算过程中每一步所得到的结果以及数的变化有支撑作用。从直观的使用时机来看, 是在学生尝试计算之后再进行几何直观的演示, 这样的安排使直观模型发挥了验证结论和揭示过程的作用, 有助于学生完成两个对接, 即平均分的过程与竖式书写对接, 理解直观与理解运算对接。)

(3) 拓展延伸

(1) 尝试计算5÷25

师:这里还有一道整数除以整数的题目, 大家尝试用竖式计算一下。 (学生独立尝试计算)

(2) 讨论:商是5、0.5还是0.2?

师:我看到大家的计算结果有5、0.5和0.2, 哪个不对, 为什么?

生:不可能是5, 5除以25表示把5平均分成25份, 每份连1都分不到, 所以不可能是5。

生:0.5也不对, 0.5乘25不等于5。

(3) 交流自主探究中的疑问

师:得出这些错误的商, 是因为在计算过程中同学们有一些疑问, 我们一起来交流一下。首先第一个问题就是5和25, 哪个数写在里面, 哪个数写在外面?

生:5是被除数, 5写在里面, 25写在外面。

生:无论什么数, 都应该将被除数写在里面, 除数写在外面。

生:我是这么写的, 可是我不知道怎么用5除以25, 5比25小啊?

生:5不够除, 可以添0啊, 50除以25就够除了!

生:不能只是添0, 也要添小数点, 而且写商时也要先写上0, 点上小数点, 商的2是2个0.1。

结合学生发言, 教师演示课件如下:

(4) 对比, 补充算法

师:同样是整数除以整数商是小数, 这道题却有些不同, 哪儿不一样?

生:被除数比除数还要小。

师:在整数除法中, 除了0作被除数, 我们从没有遇到过这种情况。被除数比除数小, 商最明显的特点是什么?

生:商一定是小数。

生:商一定小于1!因为被除数比除数小, 每份一定不够1。

生:商肯定是零点几, 被除数不够除, 需要添上0和小数点才能除!

(5) 巩固练习:3÷8

(点评:计算学习通常都是发现一个又一个“新情况”, 并根据数学概念及运算意义“破解”一个又一个“新情况”的过程。学生学习小数除法时有两个重要的生长点:第一是“个位剩余可以继续分”, 在前面的新课环节已经重点探讨。第二是“较小数除以较大数”的情况, 这既是学生认知的生长点, 也是本课学习的难点。教师在引导学生借助估算初步感知结果范围的基础上, 再次使用几何直观帮助学生认可结果, 并深入理解“先添小数点, 再添继续除”的道理。)

3. 总结质疑

师:这节课学习了什么?在原来学习整数除法的基础上, 研究了哪些新问题?

生:研究了怎样将有余数的整数除法继续除下去。

生:研究了如果被除数比除数小怎么除。

师:你还有什么疑问吗?

生:是不是不断添0除下去, 就一定能除尽?

生:不一定, 我知道还有循环小数。

生:比如1÷3, 3乘几也不可能得几十, 那就总会有余数, 怎么补0也除不尽!

……

四、教学点评

陈老师基于学情分析, 对教学内容的顺序进行了调整, 本课被作为“小数除法”单元的起始课。这样的安排, 充分地调动了学生对除法意义以及小数意义的已有认知经验。引导学生通过经验迁移、方法迁移、认知迁移, 在自主探究、对比和反思中探寻方法, 辨析解惑, 推广经验。整数除法中有关“平均分”的经验可以迁移到小数除法, 整数除法中“从高位开始, 一位一位地平均分”的方法可以迁移到小数除法, 学生对小数意义的认知可以迁移到小数的运算中, 即“如何算” (方法) 取决于“数是什么样的” (本质) 。这次尝试, 也是充分考虑了学生的基础和需求, 从实施效果来看是被学生接受的。并且能够层层深入地展开思考, 对计算方法的认识逐渐清晰而完善。同时, 本课的收获又为接下来继续研究“小数÷整数”“小数÷小数”奠定了新的认知基础。

小数除法是计算教学中难点比较集中的教学内容。学生对其方法也常存有困惑, 这些都是教师在教学中应全面了解并给予充分关注和准确回应的。归纳起来, 学生的困惑主要集中在“如何处理小数点”和“如何处理0”上。在本课设计中, 陈老师重点借助“三次直观”突破认知难点, 又通过“三次对比”不断突显核心概念。

1. 三次直观:推动认知发展

2. 三次对比:突显核心概念

“数”与“运算”是紧密相连的教学内容, 计算教学中算法和算理的沟通离不开“计数单位”这一核心概念。但是核心概念是抽象的, 不容易被学生感悟、理解和运用。因此教学中, 教师需要设计有效的活动, 促使学生不断形成对核心概念的深入理解。本课中, 陈老师通过“三次对比”不断突显了核心概念的价值。第一次是对比两个“7÷2”的结果, 平均分7支钢笔剩余1支就不能再分了;而平均分7元钱剩余1元还可以换成10角继续分。这次对比让学生自然而然地接受了“换小单位可以继续分”, 虽然此时还是实际情境, 但已为学生把握核心概念奠定了坚实的基础。第二次是对比小数除法与整数除法。小数除法中的“添0继续除”与整数除法中的“落0继续除”很相似, 这种感受有助于学生算法迁移, 同时又让学生感受到整数除法中“落完了”也就除完了。而小数除法只要需要就可以不停地“添0”继续除, 这正是小数的性质所决定的。这次对比既突显了除法运算中“不断化小计数单位继续除”的“通法”, 又突显了小数“没有最小计数单位”的核心概念, 这些有助于提升学生运算能力。第三次是对比两类“整数÷整数=小数”的除法, 一种是“被除数>除数”, 另一种是“被除数<除数”, 这组对比使学生主动地将估算与精算相结合, 并进一步聚焦了“处理0”的难点问题。“该不该添0”“0该添在哪儿”等问题都指向于学生对“计数单位”“数位”等概念的深入理解。

整数的概念 篇3

1．经历阅读、思考、解答并与同事交流关于整数乘法概念教学研究的相关资料与问题的过程。

2．能够明确整数乘法概念的定义以及小学数学中乘法概念的直观描述。

3．能够对整数乘法概念教学的不同片段进行比较与分析，明确整数乘法概念教学的重点。提升整数乘法概念教学的能力。

二、活动内容、形式与时间

1．数学组教师独立解答关于整数乘法概念教学的相关问题，并与同事交流；独立解答时间约2小时，交流时间约1小时。

2．教研组确定一位教师上一节“乘法初步认识”的教研课，数学组其他教师听课后评课。听课时间约40分钟，评课与交流时间约1小时。

可以根据学校教研活动的时间和教研组教师的情况，选择下面“活动前准备”中的一些问题进行解答与交流。

三、活动前准备

解答下面的问题，并准备交流。（说明：本文中所指的乘法均指正整数乘法。带“*”的题目表示有一定难度）

1.你觉得什么叫乘法？写一写。阅读下面的文章，并回答问题。

在1984年出版的中等师范学校数学课本《小学数学基础理论与教法》（第一册）中，关于乘法给出了以下的定义：

b（大于1的整数）个相同加数a的和c叫做a与b的积。就是：c=a+a+…+a（b个a相加）。求两个数的积的运算叫做乘法。

记作：a×b=c。

读作：“a乘以b等于c”或“b乘a等于c”。

数a叫做被乘数，数b叫做乘数，被乘数与乘数也叫做积的因数。

补充定义：

(1)当乘数是1时，a×1=a。

(2)当乘数是0时，a×0=0。

在2001年颁布的《数学课程标准》中，有这样的注释：“关于乘法：3个5，可以写作3×5，也可以写作5×3。3×5读作3乘5，3和5都是乘数（也可以叫因数）。”

在2011年颁布的《数学课程标准》中，有一个整数乘法意义的例题与说明：“例5 教室里有6行座位，每行7个，教室里一共有多少个座位？[说明]这个例子可以引导学生理解教室中的座位数是6个7的和，可以写成：6×7或7×6。”

请回答下面的问题：

(1)在上文的数学课本中，有一个补充定义，你认为给出这样的补充定义有什么意义？

(2)从上文中可以看到，无论是中等师范学校的数学课本，还是两个课标的注释或说明都是在阐述乘法的意义。你觉得这三个说法有什么相同与不同的地方？

(3)*有老师（戎松魁，2004）认为，2001年颁布的《数学课程标准》中的注释存在三个问题：①“3个5”的意义不明确，应改为“3个5相加”；②“3个5，可以写作3×5，也可以写作5×3”的规定不合理；③“乘数”也可以叫“因数”的说法不妥当。

你觉得戎松魁老师指出的这三个问题是否有道理？为什么？在2011年颁布的《数学课程标准》的例5与说明中，这三个问题是否同样存在着？

(4)*有老师（戎松魁，2012）认为，按照2011年颁布的《数学课程标准》例5中的规定，乘法交换律将不复存在。理由是：按照规定，“6个7的和”可以写成6×7或7×6”，由此可知，“b个a的和就可以写成b×a或a×b”。由于“a×b”和“b×a”都表示“b个a的和”，于是a×b=b×a这个等式是由规定得到的，并没有经过概括、推理或证明，因而不能叫做“乘法交换律”。

你觉得这样的说法有道理吗？为什么？

2.你觉得在小学数学教材中，应该怎样描述乘法的意义？写一写。阅读下面的文章并回答问题。

以前的教材在乘法的初步认识中，常常写着“求几个相同加数的和，用乘法计算比较简便”（1982年出版的人民教育出版社五年制第二册教材第62页）这样直观描述乘法意义的语言。而根据课程标准实验稿编写的教材，对于乘法意义的描述有了变化。以下是三个版本的教材结合同数连加的情境给出的描述。

人教社教材：“用乘法算式表示真简便。”

北师大教材：“用乘法表示就简单了。”

浙教版教材：“求几个相同加数和可以用乘法计算。”“用乘法表示比较简便。”

你觉得以前的表述与现在的表述有什么相同与不同的地方？这种变化可能的原因是什么？

3.如果我们用“求几个相同加数和的简便计算叫乘法”作为乘法含义的描述，那么，你认为在教学时，应该强调“求几个相同加数的和”，还是应该强调“简便”？还是两者都十分重要？为什么？

4.如果你教学“乘法初步认识”这节课，那你会设计怎样的教学过程，让学生经历与感受“求几个相同加数的和”以及“简便”？简要地写一写你的设计。

5.下面有两个教学片段，你觉得这两个片段有什么相同与不同？你更喜欢哪一个教学片段？为什么？

【教学片段一】

上课开始，教师出示游乐园的情境图，让学生观察，并写出连加算式。

学生观察后写出了：

坐着看的人数：3+2+4+3。

坐小火车人数：2+2+2+2。

玩转盘的人数：4+4+4+4+4。

气球的个数：5+5+5+5+5+3；10+10+8。

玩三轮车人数：3+3+3。

黄花的朵数：2+3+3。

然后教师引导学生观察这些加法算式，并对它们进行分类。

【教学片段二】

上课开始，教师出示下面的这些加法算式，让学生观察并进行分类。

3+2+4+3； 2+2+2+2 ； 4+4+4+4+4；

5+5+5+5+5+3； 10+10+8； 3+3+3； 2+3+3。

6.下面是一位教师（蔡宏圣，2004）在教学乘法初步认识时的一个教学片段，你认为这样的教学有什么特点？

教师用图片的形式出示“电脑教室里，每张电脑桌放2台电脑，9张电脑桌一共有多少台电脑？”要求用加法算式解决问题。

师：×× ，老师刚才注意到，你在写9个2相加的算式时，怎么一边写算式一边在数数？

生：算式太长了，不数就不知道写了几个2。

师：这个经验很好，哪个同学还有写9个2相加的成功经验？

生：先写几个2相加，停下来数一数还缺几个2，再写。

师：写9个2相加的算式都这样麻烦，那如果电脑教室里有20张、30张电脑桌，写20个、30个2相加的算式，那不更麻烦吗？看来我们有必要创造一种新写法，把9个2相加写得简便些。（接着教师让学生创造新的写法）

生：2+2……

生：2+2+ ?+ ?+ ?+

生：2+2等等。

师：大家真了不起，虽然这些新写法数学书上都找不到，但就像科学家们的创造一样，刚创造出来的新东西，往往有很多不完善的地方。下面，把我们的新写法和原来的9个2相加的算式比一比，看看还有哪些需要改进的地方。

（学生逐渐体会到写法虽然简便了，但没有把有9个2相加表示出来。）

师：好，那我们在第一阶段创造的基础上再来创造既能够简便又能表示9个2相加的写法。

生：2+2+2+2+2……9。

生：2+2 多9。

生：2+2。

在鼓励学生创造的基础上，引导学生讨论思考：既然新写法中出现了9，就表示“9个2相加”，那是不是还有必要在新写法中写2个2、3个2？学生进行了进一步的创造：

生1：2+9

生2：2?9

生3：2 9

师：太了不起了。但老师有个问题想请教大家，这三种写法中都写了“2”和“9”，能不能把2和9改成8、10或其他数？为什么？能不能把9写在其他位置上？

（通过上面的提问，教师引导学生反思，更加清晰地把握住新写法的关键，并着重让生2和生3讲讲为什么这样写，促使学生认识到：为保证新写法不至于像生1的写法那样引起混淆，应该在“2”和“9”之间加个符号。）

师：除了像生2那样在2和9之间加个“点”，或者像生3那样把“2”和“9”隔开些以外，你们还想加个什么符号把“2”和“9”联系起来？

生：我喜欢★ ，我想加个★。

生：我想加个△。

师：小朋友们想出了这么多有意思的符号。那你们知道数学家们想到了什么符号吗？

教师用多媒体出示：由于相同加数的加法是特殊的加法，所以，三百多年前，一位数学家想到把“+”转过来变成“×”，用“×”把“2”和“9”联系了起来。

随后教师引入乘法算式的读法以及算式中各部分的名称。

7.在乘法的初步认识教学中，一般的教师都会先创设一个情境，然后让学生认识几个几，再从加法到乘法。下面有两个教学片段，你觉得这两个教学过程有什么相同与不同？你更喜欢哪个教学过程？为什么？

【教学片段一】

上课开始，教师出示一个情境图：图中有房子、草地、河流、小桥，还有两种小动物，一种是兔子，2只2只站在一起，共有6只；一种是鸡，3只3只站在一起，共有12只。教师引导学生认真观察主题图，说一说，图上有什么？学生说完后，出现了下面的师生对话。

师：图上有几只兔子？你是怎么知道的？

生：有6只兔子，我是一只一只数出来的。

师：很好。一只一只可以数出6只。还有其他方法吗？

生：我是一眼就看出有6只兔子的。

师：你能力很强，一眼就能看出6只。

生：我也是一眼就看出有6只兔子的。

师：你的能力也很强。还有用其他方法的吗？

生：我是2只、2只数出来的，2只、4只、6只。

师：这种方法很棒！还有其他方法吗？

生：我是用2乘3乘出来的，2乘3是6。

师：你很能干，乘法也知道了。还有其他方法吗？

生：我是用加法加出来的，2+2+2=6（只）。

师：你的方法也很好，可以加出来。还有其他方法吗？

生：我是先一眼看出4只，然后再加上2只，一共是6只。

师：你分两部分也很好，还有其他方法吗？

生：我是一眼先看出5只，然后再加上1只，一共也是6只。

师：你能这样看也很好。小朋友们能够用这么多的方法知道图上有6只兔子，真了不起！刚才有的小朋友是2只、2只数出来的，下面我们一起来看有几个2呢？

【教学片段二】

上课开始，教师出示了一个情境图，情境图的内容与上面教学片段一的相同。学生说出情境图中有什么后，出现下面这段师生对话。

师：小朋友们刚才说了图上有很多东西，现在大家来注意看图上的兔子，兔子是几只几只站在一起的？

生：兔子是2只、2只站在一起的。

师：如果让你数一数，一共有几只兔子，你会几个几个数呢？

生：我会2个、2个数，一共6只。

生：我会1个2只、2个2只、3个2只这样数，一共是6只。

师：如果要列出一个加法算式，算出一共有几只，你会怎么列式计算呢？请每一个小朋友在草稿纸上写一写算式，并计算出结果。

……

如果你更喜欢教学片段二，认为教学片段一有一些不妥，那么，你会从哪几个方面去分析与阐述？如果说，从整节课的教学内容、结构和时间上去分析，教学片段一从内容上看，教学重点不突出；从结构上看，过渡不紧凑；从时间上看，安排不科学。你觉得这样的观点有道理吗？为什么？

8.请你先将下面的加法算式改写成乘法算式，再想一想，写一写，你是怎么解决这类改写问题的，解决这类问题可以分成哪几步来完成？

2+2+2+2+2= 5+5+5+5=

8+8+8= 12+12+12+12+12=

下面是对解决这一类问题思维过程的概括，你觉得这样的概括对教学有什么帮助？

解决问题的思维过程：

一看：看相同加数是几；

二数：数出相同加数的个数；

三写：写出乘法算式，可以把相同加数写在乘号前面，也可以把相同加数的个数写在乘号前面。

想一想，写一写，把一个乘法算式（如4×3）改写成同数连加的算式（4+4+4或3+3+3+3）的思维过程是怎样的？

9.想一想，写一写，你认为以下的练习有什么价值？

给出一个乘法算式，比如3×4，要求学生：(1)写出加法算式表示它的意思；(2)画一个图表示它的意思；(3)做动作表示它的意思；(4)用语言说一说它的意思；(5)举一个生活中的例子说明它的意思。

10.问题：看一看下面的哪些加法算式可以改写成乘法算式，并尝试把乘法算式写出来。

8+8+8+8 6+6+6+6+6+5 2+2+2+2+1 7+7+7

(1)请你解决上面的问题。

(2)有一个学生在解决上面的问题时，把“2+2+2+

2+1”改写成了“2×4+1”。把“6+6+6+6+6+5”改写成了两种形式“6×5+5”和“6×6-1”。你认为这个学生的做法是正确的，还是错误的？如果在课堂教学中遇到这样的情况，你会如何进行反馈与评价？

(3)有人认为，在解决上面这个问题时，无论是把“2+2+2+2+1”改写成了“2×4+1”，还是把“6+6+6+6+6+5”改写成了两种形式“6×5+5”和“6×6-1”，都是错误的。理由是：题目要求我们改写成乘法算式，而像“6×5+5”和“6×6-1”这样的算式是一个既有乘法又有加法的混合算式，它不符合题目的要求。你认为这种说法是否有道理？如果没有，请说明理由；如果有，对这个学生的做法，如何进行反馈与评价？写一写你的反馈评价语言。

(4)有一个应用问题：如果买一双袜子是5元钱，那么买这样的袜子10双一共要多少钱？有学生认为，可能是50元、49元、48元等等，因为买10双已经比较多了，可以打折。如果你课堂上遇到这样的情况，你会如何反馈评价？有人认为，这个学生的做法是绝对错误的！理由是随意改变题目中的条件。题目改变为：如果买一双袜子是5元钱，买多了可以打折，那么买这样的袜子10双一共要多少钱？那么这个学生的做法才是正确的。你同意这样的观点吗？为什么？通过上面的问题(3)与(4)的解决，你有什么感受？

(以上活动方案中问题的相应参考答案略)